ANALISIS FRAKTAL GARIS PANTAI DI YOGYAKARTA SKRIPSI · pendekatan fraktal ini memberikan arti bahwa panjang garis pantai Yogyakarta ... Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa

ANALISIS FRAKTAL GARIS PANTAI DI YOGYAKARTA

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh :

Yosep Cahyo Ardi

NIM : 131414029

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2017

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

i


SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh :

Yosep Cahyo Ardi

NIM : 131414029

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2017


ii

SKRIPSI


Oleh :

Yosep Cahyo Ardi

Telah disetujui oleh :

Pembimbing

Beni Utomo, M.Sc. Tanggal : 7 Juni 2017


iii

SKRIPSI


Dipersiapkan dan ditulis oleh :

Yosep Cahyo Ardi

NIM : 131414029

Telah dipertahankan di depan panitia penguji

pada tanggal 15 Juni 2017

dan dinyatakan memenuhi syarat

Susunan Panitia Penguji

Nama Lengkap Tanda Tangan

Ketua : Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd. ...........................

Sekretaris : Dr. Hongki Julie, M.Si. ...........................

Anggota I : Beni Utomo, M.Sc. ...........................

Anggota II : Dra. Haniek Sri Pratini, M.Pd. ...........................

Anggota III : Febi Sanjaya, M.Sc. ...........................

Yogyakarta, 15 Juni 2017

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Sanata Dharma

Dekan,

Rohandi, Ph.D.


iv

HALAMAN PERSEMBAHAN

Energi Mengikuti Imajinasi

(Albert Einstein)

... Janganlah kuatir akan hidupmu, akan apa yang hendak kamu makan, dan

janganlah kuatir pula akan tubuhmu, akan apa yang hendak kamu pakai.

(Lukas, 12 : 22)

Kupersembahkan untuk :

Tuhan Yesus

Bunda Maria

Ibuku Tarmi dan bapakku Haryono

Almamaterku : Universitas Sanata Dharma


v

PERNYATAAN KEASILAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak

memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam

kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.


Penulis

Yosep Cahyo Ardi


vi

ABSTRAK

Yosep Cahyo Ardi, 2017. Analisis Fraktal Garis Pantai di Yogyakarta. Skripsi.

Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan.

Universitas Sanata Dharma.

Garis pantai memiliki bentuk yang tidak beraturan, karena

tetidakteraturannya sulit untuk menentukan panjang garis pantai secara tepat.

Garis pantai mempunyai pola-pola yang mirip dengan bangun- bangun fraktal.

Garis pantai yang utuh dapat didekati dengan mengulangi pola-pola dasar

sehingga mendekati bentuk garis pantai aslinya. Berdasarkan sifat kemiripan yang

sesuai dengan sifat fraktal yaitu self similarity, maka penelitian ini menggunakan

pendekatan fraktal. Metode yang digunakan adalah pengolahan citra satelit yang

diambil dari Google Maps. Gambar garis pantai Yogyakarta terlebih dahulu

dipotong-potong sesuai dengan karakteristiknya. Kemudian, dicari dimensi

fraktalnya untuk tiap-tiap bagian menurut metode Dimensi Kotak

( )

dengan beberapa nilai Penghitungan dilakukan dengan bantuan

software MATLAB. Hasil dimensi fraktal inilah yang akan digunakan untuk

menentukan nilai prediksi panjang garis pantai di Yogyakarta.

Hasil penelitian menunjukkan prediksi panjang garis pantai Yogyakarta

adalah 134 . Panjang garis pantai berdasarkan pengukuran langsung

menggunakan Google Maps adalah 127 yang artinya selisih 7 atau dengan

nilai galat 5,51%. Menurut Badan Lingkungan Hidup Daerah Istimewa

Yogyakarta (BLH DIY) panjang garis pantai Yogyakarta adalah 113 , yang

berarti bahwa selisih 21 atau dengan nilai galat 18,58%. Prediksi dengan

pendekatan fraktal ini memberikan arti bahwa panjang garis pantai Yogyakarta

lebih panjang 5,51% dari pengukuran langsung dengan Google Maps, dan lebih

panjang 18,58% dari data panjang garis pantai Yogyakarta berdasarkan BLH DIY.

Kata kunci : garis pantai, MATLAB, dimensi fraktal, panjang prediksi.


vii

ABSTRACT

Yosep Cahyo Ardi, 2017. Fractal Analysis of Coastline in Yogyakarta. Thesis

Mathematics Education Study Program, Mathematics and Sciene Education

Department, Faculty of Teacher Training and Education. Sanata Dharma

University.

The coastline has irregular shape, since it is difficult to determine the exact

length of the coastline. The coastline has patterns that are similar to fractal builds.

The intact coastline can be approached by repeating the basic patterns so as to

approximate the shape of the original coastline. Based on the similarity

characteristic in accordance with fractal characteristic is self similarity, this

research uses fractal approach. The method used is the processing of satellite

images taken from Google Maps. The image of Yogyakarta’s coastline first cut

into pieces according to their characteristics. Then, looking for the fractal

dimension for each section according to the Box Dimension method

( )

with multiple values . The calculation is done by using

MATLAB software. The result of this fractal dimension will be used to determine

the predicted value of coastline length in Yogyakarta.

The result shows that the predicted length of Yogyakarta’s coastline is 134

. The length of the coastline based on the direct measurement using Google

Maps is 127 which means the difference of 7 or with the error rate of 5,51

%. According to Yogyakarta’s Environment Agency (BLH DIY) the length of

Yogyakarta’s coastline is 113 , which means that the difference is 21 with

an error rate of 18,58 %. The prediction with this fractal approach gives the mean

that the long of Yogyakarta’s coastline is 5,51% longer than the direct

measurement with Google Maps, and 18,58% longer than the long coastline data

of Yogyakarta based on BLH DIY.

Keywords : coastline, MATLAB, fractal dimension, length of prediction.


viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma :

Nama : Yosep Cahyo Ardi

NIM : 131414029

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma karya ilmiah yang berjudul :


Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata

Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain,

mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan

mempublikasikan di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa

meminta ijin dari saya maupun memberikan royalty kepada saya selama tetap

mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.


Yang menyatakan

Yosep Cahyo Ardi


ix

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang

telah melimpahkan berkat dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan

skripsi yang berjudul “Analisis Fraktal Garis Pantai di Yogyakarta” ini dengan

baik dan tepat waktu. Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat

memperoleh gelar Sarjana Pendidikan.

Dalam penulisan skripsi ini, penulis menemui banyak masalah yang

menghambat penulisan. Penulis menyadari skripsi ini tidak akan selesai dengan

baik tanpa dukungan dan doa dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis ingin

menyampaikan ucapan terima kasih kepada :

1. Bapak Rohandi, Ph.D. selaku dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan,

Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

2. Bapak Dr. Hongki Julie, M.Si. selaku Ketua Program Studi Pendidikan

Matematika, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

3. Bapak Beni Utomo, M.Sc. selaku dosen pembimbing skripsi yang juga

sekaligus dosen pembimbing akademik yang telah bersedia meluangkan

waktu, tenaga, dan masukan selama penulisan skripsi dan selama penulis

menjalani kuliah di Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata

Dharma Yogyakarta.

4. Bapak dan ibu dosen Program Studi Pendidikan Matematika Universitas

Sanata Dharma yang telah mendidik penulis selama kuliah di Pendidikan

Matematika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.


x

5. Seluruh staf sekretariat JPMIPA Universitas Sanata Dharma yang telah

membantu dalam hal administrasi.

6. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma yang telah menyediakan buku-buku

yang menunjang perkuliahan selama kuliah di Program Studi Pendidikan

Matematika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

7. Kedua orang tua penulis Ibu Tarmi dan Bapak Haryono yang telah

membiayai kuliah, mendukung, memberi semangat, dan berdoa untuk

kesuksesan penulis.

8. Van Deventer-maas Stichting yang telah membantu membiayai kuliah dalam

bentuk beasiswa.

9. Kakek penulis Mbah Mitro dan keluarga besar Mbah Mitro yang telah

mendukung, dan berdoa untuk penulis.

10. Saudara sepupu penulis Nidia yang telah meminjamkan laptop selama penulis

menulis skripsi.

11. Teman-teman seperjuangan Dhevin, Dora, Emi, Tri, Ipo, Dina, Gerar, dan

Ardian yang telah memberi dukungan, semangat, dan motivasi.

12. Teman-teman Pendidikan Matematika Kelas A yang telah berdinamika

berbagi pengetahuan suka, dan duka selama kuliah.

13. Teman-teman Pendidikan Matematika angkatan 2013 yang telah berdinamika

berbagi pengetahuan suka, dan duka selama kuliah.

14. Teman-teman UKM Seni Karawitan yang telah berbagi pengetahuan tentang

seni Jawa.


xi

15. Teman-teman PPL yang telah memberikan semangat dan dukungan Ines,

Shella, Ana, Clara, Agnes, Stephani, dan Br. Anton.

16. Semua pihak yang telah bermurah hati membantu penulis selama kuliah dan

selama menulis skripsi yang tidak dapat disebutkan satu persatu.


Penulis

Yosep Cahyo Ardi


xii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ..................................................... ii

HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ iv

PERNYATAAN KEASILAN KARYA ................................................................. v

ABSTRAK ............................................................................................................. vi

ABSTRACT ............................................................................................................ vii

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ................. viii

KATA PENGANTAR ........................................................................................... ix

DAFTAR ISI ......................................................................................................... xii

DAFTAR TABEL ................................................................................................ xiv

DAFTAR GAMBAR ............................................................................................ xv

DAFTAR LAMPIRAN ......................................................................................... xx

BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1

A. Latar Belakang ............................................................................................. 1

B. Rumusan Masalah ........................................................................................ 5

C. Batasan Masalah........................................................................................... 5

D. Tujuan Penelitian ......................................................................................... 5

E. Manfaat Penelitian ....................................................................................... 6

F. Metode Penelitian......................................................................................... 6

G. Sistematika Penulisan .................................................................................. 8

BAB II LANDASAN TEORI ............................................................................... 10


xiii

A. Ruang Metrik ............................................................................................. 10

B. Ruang Fraktal ............................................................................................. 33

C. Transformasi .............................................................................................. 37

D. Sistem Fungsi Iterasi .................................................................................. 41

BAB III ANALISIS FRAKTAL ........................................................................... 49

A. Regresi Linear ............................................................................................ 49

B. Dimensi Fraktal .......................................................................................... 52

BAB IV ANALISIS FRAKTAL GARIS PANTAI DI YOGYAKARTA............ 73

A. Dimensi Fraktal Garis Pantai Yogyakarta.................................................. 74

B. Prediksi Panjang Garis Pantai Yogyakarta ................................................ 88

BAB V PENUTUP ................................................................................................ 91

A. Kesimpulan ................................................................................................ 91

B. Saran ........................................................................................................... 92

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 94

LAMPIRAN .......................................................................................................... 96


xiv

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1 Contoh data hasil penelitian .................................................................. 51

Tabel 3.2 Nilai residual dari contoh hasil penelitian............................................. 51

Tabel 3.3 Perolehan jumlah selimut- untuk Citra Lena ...................................... 71

Tabel 3.4 Nilai residual masing-masing untuk Citra Lena ........................ 72

Tabel 4.1 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian I ...................... 75

Tabel 4.2 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian II ..................... 77

Tabel 4.3 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian III .................... 79

Tabel 4.4 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian IV .................... 81

Tabel 4.5 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian V ..................... 83

Tabel 4.6 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian VI .................... 85

Tabel 4.7 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian VII .................. 87

Tabel 4.8 Prediksi panjang garis pantai untuk tiap-tiap bagian ............................ 89

Tabel 4.9 Hasil pengukuran langsung menggunakan Goolge Maps ..................... 89


xv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 (a) Segitiga Sierpinski ........................................................................ 4

Gambar 1.1 (b) Kurva Koch................................................................................... 4

Gambar 2.1 Contoh afinitas ............................................................................ 39

Gambar 2.2 Contoh similaritas ....................................................................... 40

Gambar 2.3 (a) Ilustrasi algoritma Deterministik untuk Segitiga Sierpinski............... 47

Gambar 2.3 (b) Ilustrasi algoritma Random Iterasi untuk Segitiga Sierpinski ............ 47

Gambar 3.1 Himpunan Cantor ........................................................................ 59

Gambar 3.2 Segitiga Sierpinski ...................................................................... 61

Gambar 3.3 Kurva Von Koch ......................................................................... 63

Gambar 3.4 Karpet Sierpinski ......................................................................... 66

Gambar 3.5 (a) Citra Asli Lena ............................................................................ 69

Gambar 3.5 (b) Citra Biner Lena dengan deteksi tepi Canny .............................. 69

Gambar 3.6 Diagram Alir pencacahan selimut ............................................... 69

Gambar 3.7 List program pencacahan selimut untuk Citra Lena.................... 70

Gambar 3.8 Garis Regresi untuk dimensi citra Lena ...................................... 71

Gambar 3.9 Nilai residual untuk citra Lena ......................................... 72

Gambar 4.1 (a) Garis pantai Yogyakarta via google maps .................................. 74

Gambar 4.1 (b) Pemotongan garis pantai menjadi 7 bagian ................................ 74

Gambar 4.2 (a) Garis Pantai bagian I setelah diedit dengan Photo Scape ........... 75

Gambar 4.2 (b) Citra biner garis pantai bagian I dengan deteksi tepi Canny ...... 75

Gambar 4.3 Garis Regresi untuk dimensi garis pantai bagian I ...................... 76


xvi

Gambar 4.4 Nilai residual untuk garis pantai bagian I ........................ 76

Gambar 4.5 (a) Garis Pantai bagian II setelah diedit dengan Photo Scape .......... 77

Gambar 4.5 (b) Citra Biner garis pantai bagian II dengan deteksi tepi Canny .... 77

Gambar 4.6 Garis Regresi untuk dimensi garis pantai bagian II .................... 78

Gambar 4.7 Nilai residual untuk garis pantai bagian II ....................... 78

Gambar 4.8 (a) Garis pantai bagian III setelah diedit dengan Photo Scape ......... 79

Gambar 4.8 (b) Citra biner garis pantai bagian III dengan deteksi tepi Canny ... 79

Gambar 4.9 Garis Regresi untuk dimensi garis pantai bagian III ................... 80

Gambar 4.10 Nilai residual log untuk garis pantai bagian III ..................... 80

Gambar 4.11(a) Garis pantai bagian IV setelah diedit dengan Photo Scape ........ 81

Gambar 4.11(b) Citra biner garis pantai bagian IV dengan deteksi tepi Canny ... 81

Gambar 4.12 Garis Regresi untuk dimensi garis pantai bagian IV ................... 82

Gambar 4.13 Nilai residual untuk garis pantai bagian IV ..................... 82

Gambar 4.14(a) Garis pantai bagian V setelah diedit dengan Photo Scape .......... 83

Gambar 4.14(b) Citra biner garis pantai bagian V dengan deteksi tepi Canny ..... 83

Gambar 4.15 Garis Regresi untuk dimensi garis pantai bagian V .................... 84

Gambar 4.16 Nilai residual untuk garis pantai bagian V ....................... 84

Gambar 4.17(a) Garis Pantai bagian VI setelah diedit dengan Photo Scape ........ 85

Gambar 4.17(b) Citra Biner garis pantai bagian VI dengan deteksi tepi Canny ... 85

Gambar 4.18 Garis Regresi untuk dimensi garis pantai bagian VI ................... 86

Gambar 4.19 Nilai residual untuk garis pantai bagian VI ..................... 86

Gambar 4.20(a) Garis pantai bagian VII setelah diedit dengan Photo Scape ....... 87

Gambar 4.20(b) Citra biner garis pantai bagian VII dengan deteksi tepi Canny .. 87


xvii

Gambar 4.21 Garis Regresi untuk dimensi garis pantai bagian VII ................. 88

Gambar 4.22 Nilai residual untuk garis pantai bagian VII .................... 88


xviii

DAFTAR SIMBOL

: Himpunan semua bilangan real

: Himpunan semua bilangan asli

( ) : Jarak titik ke titik

: Untuk semua

: Elemen

: Tidak sama dengan

: Tak hingga

: Ruang dimensi atas bilangan real

* + : Barisan

* ( )+ : Barisan pemetaan-pemetaan kontraksi

( ) : Bola terbuka di dengan jari-jari , berpusat di

( ) : Bola tertutup di dengan jari-jari , berpusat di

: Himpunan bagian

: Himpunan bagian sejati

: Gabungan

: Irisan

: Himpunan kosong

( ) : * ( ) untuk suatu +, Himpunan semua titik

interior

: yang memenuhi ( ( ) * +)⋂ himpunan semua titik

limit

: Komplemen


xix

: Bukan elemen

: Himpunan titik closure

( ) : * kompak+, keluarga himpunan bagian tak kosong

yang kompak dari

( ) : * ( ) ( )+ jarak Hausdorff antara titik dan di

( )

: Skalar bernilai real

( ) : Dimensi Hausdorff-Besicovitch

: Nilai pendekatan

: Implikasi kiri ke kanan

: Implikasi kanan ke kiri

: Dimensi Kotak bawah

: Dimensi Kotak atas

( ) : Jumlah minimum selimut berukuran yang dapat menyelimuti

: End of Proof atau bukti selesai


xx

DAFTAR LAMPIRAN

List Program Tampilan GUI (Graphical User Interface) MATLAB ................... 96

Hasil Eksekusi Program dengan Tampilan GUI ................................................. 104


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Yogyakarta adalah salah satu tempat destinasi wisata populer di

Indonesia. Yogyakarta memiliki keindahan panorama pantai yang indah.

Secara umum pantai di Yogyakarta terbagi menjadi 3 wilayah pantai yaitu :

Kulon Progo, Bantul, dan Gunung Kidul. Berdasarkan yogyalagi.com Kulon

Progo memiliki 4 pantai, Bantul memiliki 8 pantai, sedangkan Gunung Kidul

berdasarkan noyvesto.net memiliki 70 pantai. Kulon Progo dan Bantul

tersusun oleh dataran Aluvial, sedangkan di Gunung Kidul berupa kawasan

perbukitan Batu Gamping.

Garis Pantai adalah pertemuan antara daratan dengan lautan yang

dipengaruhi oleh pasang surut air laut (UU No 4 Tahun 2011). Garis pantai

memiliki bentuk yang tak beraturan. Pembentukan garis pantai ini

dipengaruhi oleh faktor abrasi dan struktur batuan. Panjang garis pantai

dahulu dengan panjang garis pantai pada masa sekarang mungkin berbeda.

Hai ini dikerenakan faktor abrasi dan struktur batuan dari pantai tersebut.

Sulit untuk ditentukan panjang garis pantai secara tepat. Berbeda cara

pengukuran dimungkinkan akan menghasilkan hasil yang berbeda. Menurut

Dodi Sukmayadi dalam www.bakosurtanal.go.id terdapat beberapa metode

dalam menentukan dan mengukur garis pantai diantaranya : survei terestris

(dilaksanakan langsung ke lapangan), interpretasi foto udara, interpretasi citra

satelit, dan penghitungan dengan pemodelan garis pantai. Setiap metode


http://www.bakosurtanal.go.id/

2

memiliki kelebihan dan kekurangan. Interpretasi foto udara memberikan hasil

yang akurat namum membutuhkan biaya yang mahal, foto citra satelit

membutuhkan biaya yang lebih murah namun hasilnya kurang akurat,

sedangkan dengan metode survei terestris menghasilkan hasil yang cukup

akura namun kurang efektif karena hanya dapat dilakukan untuk daerah-

daerah yang mudah dijangkau.

Matematika adalah ilmu yang dipelajari untuk membantu menyelesaikan

permasalahan yang dihadapi manusia. Secara sadar ataupun tidak sadar kita

mengetahui bahwa alam berkaitan erat dengan matematika. Matematika dapat

ditemukan di alam. Salah satu cabang matematika yang berkaitan dengan

alam adalah geometri. Geometri berasal dari dua kata bahasa Yunani yang

berarti bumi, dan ukuran, tampak bahwa Geometri muncul untuk kebutuhan

pengukuran tanah (bumi) (Burton, 2011:53). Pada mulanya geometri

digunakan oleh bangsa Mesir untuk menentukan batas-batas tanah yang

hilang karena banjir di sungai Nil. Salah satu pelopor geometri adalah

Euclides (325-265 SM) yang kini karyanya disebut sebagai Geometri Euclid.

Geometri Euclid banyak diterapkan dalam bidang teknik seperti : Arsitektur,

gambar-gambar perspektif, maupun gambar-gambar teknik lain. Geometri

Euclid juga dapat ditemui disekitar kita. Benda-benda yang menyerupai

segitiga, persegi panjang, trapesium, balok, kerucut, dan tabung dapat kita

temukan di sekitar kita.

Benda-benda alam disekitar kita mungkin secara umum menyerupai

bangun pada Geometri Euclid. Namun demikian, ada benda-benda dan


3

fenomena alam yang tidak dapat dikaji dengan geometri Euclid. Geometri

Euclid terlalu umum untuk mempresentasikan benda-benda alam. Seorang

matematikawan mengatakan bahwa Clouds are not spheres, mountains are

not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nur does

lighting trevel in a straight line. More generally, I claim that many patterns

of nature are so irregular and fragmented Mandelbrot (1983:1). Secara tidak

langsung Mandelbrot mengatakan bahwa dengan Geometri Euclid saja alam

tidak dapat dikaji dengan baik. Awan tidak dapat digambarkan hanya dengan

gambar bulatan saja, gunung tidak dapat digambarkan hanya dengan sebuah

kerucut, garis pantai tidak dapat digambarkan hanya dengan lingkaran, dan

permukaan kulit kayu tidaklah halus. Secara umum Mandelbrot mengatakan

bahwa alam terdiri dari pola-pola tidak beraturan dan terpecah-pecah.

Seiring berkembangnya geometri muncullah gagasan-gagasan lain yang

bertentangan dengan geometri Euclid yang disebut sebagai Geometri Non-

Euclid. Salah satu Geometri Non-Euclid adalah Geometri Fraktal. Istilah

Fraktal pertama kali dipakai Beniot Mandelbrot pada tahun 1975. Fraktal atau

fractal dalam bahasa Inggris berasal dari bahasa latin frangere yang berarti

“rusak” kata ini untuk mendeskripsikan bentuk yang tidak beraturan

(Mandelbrot, 1983:4). Tokoh matematikawan lain yang berperan dalam

perkembangan Geometri Fraktal adalah Waclaw Sierpinski yang dikenal

dengan temuannya yaitu Segitiga Sierpinski, Helge von Koch yang dikenal

dengan kurva von Koch, Gaston Julia dengan Himpunan Julia, dan George


4

(Sumber : http://wiki.eanswers.com/id/Fraktal) (Sumber : Falconer, 2003)

Cantor dengan himpunan Cantor. Temuan-temuan itulah yang menjadi dasar

berkembangnya Fraktal.

Fraktal dikenal dengan kemampunannya dalam menyajikan alam. Alam

yang “rumit” dapat direpresentasikan dengan cukup baik oleh geometri

fraktal. Garis Pantai adalah salah satu bentuk alam yang tak teratur. Garis

Pantai memiliki lekukan-lekukan yang berbeda-beda di sepanjang garis

pantai. Namun demikian, lekukan ini mirip satu sama lain. Kemiripan adalah

sifat utama Fraktal, sebab bangun Fraktal bisa dihasilkan dengan mengulang

pola-pola sehingga membentuk suatu bangun yang mirip dengan bangun

aslinya. Ketika suatu bangun fraktal dipotong kemudian diperbesar akan

terlihat bangun itu mirip dengan bangun sebelumnya. Secara terus-menerus

dengan pemotongan di tak hingga dan diperbesar tetap mirip dengan bangun

sebelumnya sifat ini disebut self-similarity.

Berbeda dengan Geometri Euclid, Geometri Euclid mempunyai dimensi

bulat misalnya berdimensi : 0, 1, 2, atau 3. Titik mempunyai dimensi 0, garis

mempunyai dimensi 1, bidang mempunyai dimensi 2, dan benda pejal

mempunyai dimensi 3. Bangun Fraktal mempunyai dimensi yang berbeda

Gambar 1.1 (b) Kurva Koch Gambar 1.1 (a) Segitiga Sierpinski


5

dengan dimensi Geometri Euclid. Dimensi ini bisa tidak bulat tetapi pecahan.

Bangun fraktal bisa memiliki dimensi antara 0 dan 2, atau antara 2 dan 3.

Pegunungan, awan, pohon, dan bunga semua mempunyai dimensi antara 2

dan 3 (Oliver, 1997:32). Dimensi pecahan pada geometri fraktal ini lebih

dikenal dengan nama Dimensi Fraktal.

B. Rumusan Masalah

1. Bagaimana cara mencari dimensi fraktal garis pantai Yogyakarta?

2. Bagaimana cara menentukan nilai prediksi panjang garis pantai di

Yogyakarta?

3. Apa manfaat hasil penelitian bagi masyarakat yang tinggal di daerah

pesisir pantai Yogyakarta?

C. Batasan Masalah

Penulisan ini membahas mengenai geometri fraktal sebagai dasar

penelitian. Penelitian mengabaikan faktor susunan batuan Pantai di

Yogyakarta. Peneliti hanya fokus kepada bentuk gambar citra satelit oleh

Google Maps. Peneliti juga mempercayai keakuratan Google Maps sebab

Google Maps telah menjadi salah satu aplikasi maps terpopuler di dunia.

D. Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian yang ingin dicapai adalah :

1. Mengetahui dimensi fraktal garis pantai Yogyakarta.

2. Mengetahui nilai prediksi panjang garis pantai Yogyakarta.


6

3. Mengetahui relevansi penelitian bagi masyarakat di daerah pesisir

pantai.

E. Manfaat Penelitian

a. Bagi Penulis

Penulis mendapatkan pengetahuan baru tentang Geometri Fraktal.

Disamping itu penulis juga dapat mengetahui penerapan geometri

Fraktal untuk menentukan nilai prediksi panjang garis pantai di

Yogyakarta.

b. Bagi Pembaca

Pembaca dapat mengetahui geometri lain selain geometri Euclides.

Pembaca juga dapat mengetahui cara mencari dimensi fraktal dan

dapat mengetahui penerapan ilmu pengetahuan khususnya penerapan

Geometri Fraktal untuk menemukan panjang garis pantai di

Yogyakarta. Penelitian ini juga bermanfaat bagi pembaca yang ingin

mengetahui metode lain yang dapat digunakan untuk menentukan

panjang garis pantai.

F. Metode Penelitian

a. Jenis Penelitian

Berdasarkan tujuan penelitian, penelitian ini termasuk ke dalam

Penelitian Terapan. Penelitian menggunakan teori matematika

khususnya Geometri Fraktal untuk diterapkan dalam konteks dunia

nyata berkaitan dengan panjang garis pantai. Jika ditinjau berdasarkan


7

jenis data yang digunakan dalam penelitian, maka penelitian ini

termasuk dalam penelitian Kuantitatif. Data yang diperoleh berupa

data numerik yang diperoleh dari pengolahan objek yang digunakan.

b. Metode Penelitian

Metode penelitian yang dilakukan adalah studi pustaka, yaitu

dengan mempelajari buku, e-book, karya ilmiah, dan jurnal yang

berkaitan dengan topik skripsi.

c. Objek Penelitian

Objek penelitian ini berupa citra digital yaitu representasi suatu

objek yang dapat diolah dengan komputer. Objek berupa representasi

garis pantai Yogyakarta dalam bentuk citra digital berformat jpg.

d. Metode Pengumpulan Data

Metode pengumpulan data dilakukan dengan cara dokumentasi.

Data diperoleh dari pengolahan objek yang diunduh dari Google Maps.

e. Instrumen Pengumpulan Data

Instrumen yang digunakan untuk pengumpulan data adalah Google

Maps dan MATLAB. Google Maps digunakan untuk memperoleh

objek berupa citra digital representasi garis pantai Yogyakarta.

Sedangkan MATLAB, digunakan untuk memperoleh data yang akan

digunakan untuk menentukan dimensi fraktal garis pantai Yogyakarta.

f. Analisis Data

Berdasarkan tujuannya, analisis data dibedakan menjadi dua

macam yaitu analisis data untuk memperoleh dimensi fraktal dan


8

analisis data untuk memperoleh prediksi panjang garis pantai. Untuk

memperoleh dimensi garis pantai Yogyakarta analisis data dilakukan

dengan menggunakan MATLAB. Sedangkan untuk memperoleh

prediksi panjang garis pantai Yogyakarta, digunakan suatu rumus.

g. Langkah-langkah Penelitian

Secara umum, penelitian ini dilakukan dengan langkah-langkah

sebagai berikut :

1. Menentukan topik skripsi.

2. Membaca referensi-referensi yang berkaitan dengan topik skripsi

dari buku, e-book, skripsi, maupun jurnal.

3. Mengambil gambar objek citra satelit melalui Google Maps.

4. Membagi objek menjadi beberapa bagian.

5. Mencari dimensi fraktal masing-masing bagian dengan membuat

program terlebih dahulu pada software MATLAB.

6. Mencari nilai prediksi panjang garis pantai di Yogyakarta.

7. Menyusun hasil penelitian.

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

a. Latar Belakang

b. Rumusan Masalah

c. Pembatasan Masalah

d. Tujuan Penelitian

e. Manfaat Penelitian


9

f. Metode Penelitian

g. Sistematika Peneltian

BAB II LANDASAN TEORI

a. Ruang Metrik

b. Ruang Fraktal

c. Transformasi

d. Sistem Fungsi Iterasi

BAB III ANALISIS FRAKTAL

a. Regresi Linear

b. Dimensi Fraktal

BAB IV ANALISIS FRAKTAL GARIS PANTAI DI YOGYAKARTA

a. Dimensi Fraktal Garis Pantai

b. Prediksi Panjang Garis Pantai Yogyakarta

BAB V PENUTUP

a. Kesimpulan

b. Saran

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN


10

BAB II

LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dibahas berbagai teori yang mendasari geometri fraktal.

Teori yang dibahas diantaranya : ruang metrik, ruang fraktal, afinitas, similaritas,

dan Sistem Fungsi Iterasi. Ruang metrik mendasari ruang fraktal, sedangkan

afinitas dan similaritas adalah sifat utama fraktal. Sistem Fungsi Iterasi adalah

suatu sistem yang membentuk bangun fraktal atau mengkonstruksi fraktal.

A. Ruang Metrik

Ruang metrik penting untuk dibahas di awal, karena teori-teori tentang

fraktal didasarkan pada ruang metrik seperti halnya barisan dan ruang fraktal.

Secara umum pada pembahasan ini didasarkan pada ruang Euclid dimensi

atau . Ketika maka yang berarti himpunan semua bilangan

real. Ketika maka akan menjadi bidang datar. Titik pada

dinotasikan dengan ( ) Jika suatu himpunan bagian dari

dengan suatu fungsi jarak yang bekerja padanya dengan beberapa aksioma

yang berlaku maka disebut sebagai ruang metrik. Berikut ini adalah syarat yang

harus dipenuhi dari suatu ruang metrik yang disajikan dalam definisi ruang

metrik.

Definisi 2.1.1 (Barnsley, 1988:11)

Misalkan adalah himpunan tak kosong. Metrik pada adalah fungsi bernilai

real yang memenuhi aksioma berikut.

( ) ( ) ( )


11

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Metrik juga disebut sebagai fungsi jarak. Himpunan tak kosong yang

dilengkapi dengan metrik pada disebut sebagai ruang metrik, dituliskan

dengan ( ).

Contoh 2.1.1

Misalkan fungsi didefinisikan ( ) | | buktikan

bahwa ( ) adalah metrik di .

Penyelesaian :

Untuk membuktikan bahwa ( ) merupakan metrik, maka perlu dibuktikan

( ) memenuhi aksioma-aksioma pada definisi 2.1.1.

( ) ( ) | |

| |

( )

( ) Nilai mutlak bilangan real adalah tak negatif. Untuk

berlaku

| | ( )

( ) ( ) | |

( ) ( ) | |


12

| |

(| | | |)

| | | |

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Dari ( ) ( ) ( ) dan ( ) ( ) adalah metrik di .

Contoh 2.1.2

Misalkan didefinisikan ( ) jarak Euclides dengan ( )

√( ) ( ) ( ) dan ( )

buktikanlah bahwa ( ) adalah metrik di .

Penyelesaian :

( ) ( ) √( ) ( )

√( ) ( )

( )

( ) Akar dari suatu bilangan real adalah tak negatif. Untuk

berarti bahwa atau sehingga berlaku

√( ) ( ) ( )

( ) ( ) √( ) ( )

√

( ) ( ) √( ) ( )

√( ) ( ) ( ) ( )


13

dengan ( ), (menurut ketaksamaan

segitiga)

√( ) ( ) √( ) ( )

Dari ( ) ( ) ( ) dan ( ) ( ) adalah metrik di .

Setelah mengetahui tentang ruang metrik, selanjutnya melihat hubungan

antar metrik. Dua metrik yang berbeda pada bisa memiliki keterkaitan satu

sama lain. Keterkaitan ini misalnya, metrik yang satu bisa dibangun oleh

metrik yang lain dengan mengalikan terhadap suatu konstanta. Dua metrik

yang demikian disebut dua metrik yang ekuivalen. Secara umum dua metrik

yang ekuivalen dicirikan oleh definisi 2.1.2 berikut ini.


Dua metrik dan pada ruang dikatakan ekuivalen jika terdapat dan

konstan dengan sedemikian sehingga

( ) ( ) ( ) ( ) .

Contoh 2.1.3

Misalkan metrik ( ) | | | | dan ( ) | | | |, metrik

( ) dan ( ) adalah dua metrik yang ekuivalen.

Bukti :

Akan dibuktikan bahwa metrik ( ) dan ( ) dapat dinyatakan sebagai

( ) ( ) ( ) dengan dan konstan.

Dipilih , maka jelas bahwa


14

| | | | | | | |

Dengan maka diperoleh

| | | | | | | | (| | | |) | | | |

yang artinya bahwa ( ) ( ) ( ) ( )

dengan demikian ( ) dan ( ) adalah dua metrik yang ekuivalen.


Dua ruang metrik ( ) dan ( ) adalah ekuivalen jika terdapat fungsi

dengan fungsi bijektif sedemikian sehingga metrik pada

dengan definisi ( ) ( ( ) ( )) ekuivalen dengan .

Contoh 2.1.4

Misalkan , -, , - dan fungsi . Didefinisikan

sebagai metrik Euclides dan | |. Buktikanlah bahwa ( ) dan

( ) adalah dua ruang metrik yang ekuivalen.

Bukti :

Terdapat ( ) . Selanjutnya akan dibuktikan bahwa

( ) ( ) ( ) ( ) . Menurut definisi 2.1.3

berlaku bahwa

( ) ( ( ) ( ))

| ( ) ( )|

Berdasarkan yang diketahui ( ) | | .

Dipilih

maka


15

| ( ) ( )| | |

Dengan diperoleh

| ( ) ( )| | | | ( ) ( )|

( ) ( ) ( ) ( )

Selanjutnya, akan dibahas tentang kekontinuan suatu fungsi di dalam

ruang metrik. Fungsi yang kontinu di titik pasti mempunyai limit di tetapi

tidak sebaliknya. Berikut ini adalah definisi dari fungsi yang kontinu.


Misalkan suatu fungsi adalah pemetaan dari ruang metrik ( )

ke ruang metrik ( ). Fungsi dikatakan kontinu jika, untuk setiap

dan terdapat sedemikian sehingga ( )

( ( ) ( )) .

Contoh 2.1.5

Misalkan diberikan ( ) dan ( ) adalah ruang metrik. Tunjukkanlah

bahwa fungsi konstan kontinu.

Bukti :

Diberikan sebarang , untuk sebarang dengan fungsi konstan

( ) berlaku ( ( ) ( )) ( )

Dengan demikian terbukti kontinu.


16

Contoh 2.1.6

Diketahui ruang metrik di dengan metrik Euclides. Diberikan fungsi

dengan definisi ( ) untuk setiap . Tunjukkanlah

bahwa kontinu.

Bukti :

Diberikan untuk sebarang . Harus dicari sedemikian

sehingga untuk setiap yang memenuhi | | berlaku | ( )

( )|

Dipilih maka | |

| ( ) ( )| | ( )| | |

dengan demikian terbukti kontinu.

Suatu barisan dalam ruang metrik dapat dibedakan menjadi dua macam

barisan, yaitu barisan konvergen dan barisan divergen. Kedua macam barisan

tersebut mempengaruhi kelengkapan dari suatu ruang metrik. Ruang metrik

dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy di dalamnya konvergen ke suatu

titik di ruang metriknya. Berikut ini adalah definisi dari barisan Cauchy yang

dilanjutkan dengan definisi barisan konvergen.


Barisan * + dalam ruang metrik ( ) disebut barisan Cauchy jika

untuk sebarang terdapat bilangan bulat sehingga ( )

.


17

Suku-suku pada suatu barisan jika diperhatikan untuk nilai suku ke- yang

semakin besar, dapat dibedakan menjadi barisan divergen dan barisan

konvergen. Barisan yang menunjukkan sifat suku ke- yang semakin besar

mendekati suatu nilai tertentu disebut barisan konvergen. Sebaliknya, jika

untuk nilai suku ke- yang semakin besar dari suatu barisan tidak

menunjukkan semakin dekat dengan nilai tertentu disebut sebagai barisan

divergen. Berikut ini definisi 2.1.6 mendefinisikan secara matematis suatu

barisan konvergen.


Barisan * + dalam ruang metrik ( ) dikatakan konvergen ke

jika untuk sebarang terdapat bilangan bulat sehingga ( )

. Titik konvergensi adalah limit dari barisan * + dinotasikan

dengan . Titik yang merupakan konvergensi dari barisan * +

memenuhi ( ) * ( ) + atau bola tertutup dengan jari-jari

dan berpusat di .

Kekonvergenan suatu barisan tidak lepas dengan adanya titik konvergensi.

Ketika suatu barisan diketahui konvergen, pastilah barisan tersebut mempunyai

titik konvergensi. Berikut ini adalah suatu teorema (2.1.1) yang menyatakan

bahwa titik konvergensi dari suatu barisan adalah tunggal. Selanjutnya melalui

teorema 2.1.2 ditunjukkan bahwa barisan yang konvergen merupakan barisan

Cauchy. Mengutip dari buku Metric Spaces (Shirali dan Vasudeva, 2006) pada

definisi 2.1.7 dijelaskan bahwa adanya keterkaitan antara barisan dan barisan


18

bagian (subbarisan). Pada definisi 2.1.7 tersebut dikatakan bahwa, jika suatu

barisan konvergen ke suatu titik maka subbarisannya juga konvergen ke titik

yang sama. Hal ini berlaku juga untuk subbarisan dari suatu barisan yang

konvergen ke suatu titik, barisannya juga akan konvergen ke titik yang sama

dengan subbarisannya. Sebagai akibat dari definisi 2.1.7 pada proposisi 2.1.1

keterkaitan antar barisan dan subbarisan ini juga berlaku untuk barisan Cauchy.

Teorema 2.1.1 (Searcoid, 2007:86)

Misalkan ( ) adalah suatu ruang metrik, barisan * + di yang konvergen

akan konvergen ke tepat satu titik di .

Bukti :

Diberikan barisan * + yang konvergen. Misalkan * + konvergen ke titik

dan titik yang berbeda. Ambil sebarang . Maka ada

sedemikian sehingga ( )

dan ( )

.

Dipilih * + sehingga untuk menurut ketaksamaan

segitiga

( ) ( ) ( )

Jadi ( ) berarti bahwa . Terbukti bahwa barisan * +

konvergen ke satu titik.

Teorema 2.1.2 (Barnsley, 1988:18)

Jika barisan * + pada ruang metrik ( ) konvergen ke maka

barisan * + merupakan barisan Cauchy.

Bukti :


19

Diberikan ruang metrik ( ) dan barisan * + di ( ) yang konvergen ke .

Menurut definisi 2.1.6 untuk sebarang terdapat bilangan bulat positif

dan sehingga ( )

. Demikian juga untuk setiap

berlaku ( )

. Menurut ketaksamaan segitiga ( ) ( )

( )

untuk setiap * +. Diperoleh ( )

sehingga * + barisan Cauchy.

Contoh 2.1.7

Diketahui barisan * + =

di ruang metrik ( ) dengan dan

adalah metrik Euclides. Buktikanlah bahwa barisan * + adalah barisan

Cauchy dan konvergen ke 0.

Bukti :

Diberikan sebarang , maka terdapat sehingga

. Untuk

dan misalkan berlaku

( ) (

) |

|

Selanjutnya jelas bahwa ( )

Diperoleh ( ) dan ( ) maka terbukti bahwa barisan * +

barisan Cauchy dan konvergen ke 0.

Definisi 2.1.7 (Shirali dan Vasudeva, 2006:48)

Misalkan barisan * + dalam ruang metrik ( ) dan barisan bilangan

bulat positif * + dengan . Barisan { }


20

dikatakan subbarisan dari * + . Jika { } konvergen, limitnya

merupakan limit dari * + . Jelas bahwa barisan * + di

konvergen ke jika dan hanya jika setiap subbarisannya konvergen ke .

Proposisi 2.1.1 (Shirali dan Vasudeva, 2006:48)

Jika barisan Cauchy dalam metrik ( ) memuat sub barisan yang konvergen

maka barisan itu konvergen ke limit yang sama dengan limit sub barisannya.

Bukti :

Diberikan barisan Cauchy * + di ( ) maka untuk setiap terdapat

bilangan bulat ( ) sehingga ( ) dengan ( ). Barisan

{ } sub barisan dari * + konvergen, misal konvergen ke . Diperhatikan

bahwa * + barisan bilangan bulat positif yang naik maka ( )

untuk ( ). Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh ( )

( ) (

) ( ) untuk ( ). Jika ,

maka ( ) . Sehingga ( ) yang artinya bahwa * +

konvergen ke

Pada pembahasan sebelumnya telah dibahas tentang : ruang metrik,

barisan Cauchy, dan barisan konvergen. Selanjutnya, pada definisi berikut ini

menunjukkan hubungan ketiganya yaitu tentang ruang metrik lengkap.


Ruang metrik ( ) dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy * + di

mempunyai limit , dengan kata lain konvergen ke suatu titik di .


21

Contoh 2.1.8

Ruang metrik ( ) dengan merupakan jarak Euclides adalah ruang metrik

lengkap.

Bukti :

( ) √( ) ( ) dengan ( ) dan

( ) . Misalkan diberikan barisan * + untuk ,

(

) didefinisikan barisan Cauchy di sehingga ( )

untuk . Kemudian untuk terdapat bilangan bulat ( )

sedemikian sehingga ( ) √( )

(

)

untuk setiap ( ). Menggunakan prinsip kekonvergenan * + akan

konvergen ke suatu titik katakanlah . Berlaku untuk setiap

( ) * + akan konvergen ke suatu titik ( ) .

Contoh 2.1.9

Diketahui ruang metrik ( ) dengan metrik Euclides dan ( ). Ruang

metrik ( ) merupakan ruang metrik tidak lengkap.

Bukti :

Terdapat barisan * +

, akan dibuktikan barisan * + barisan Cauchy.

Diberikan maka terdapat sehingga

. Untuk setiap

berlaku

,

. Barisan * + adalah barisan Cauchy namun

barisan * + konvergen ke sehingga ( ) bukan ruang metrik lengkap.


22

Sistem bilangan real mempunyai dua tipe sifat. Sifat yang pertama adalah

aljabar dengan penjumlahan, perkalian dan yang lainnya. Sifat yang kedua

adalah topologi yang ada kaitannya dengan jarak antar bilangan dan konsep

limit (Shirali dan Vasudeva, 2006:64). Pembahasan selanjutnya yaitu tentang

topologi dalam ruang metrik khususnya himpunan terbuka dan himpunan

tertutup. Sebelum membahas tentang dua hal tersebut perlu diketahui terlebih

dahulu tentang : persekitaran, titik interior, dan titik limit.


Misalkan ruang metrik ( ) himpunan ( ) * ( ) + di

mana dan , disebut bola buka dengan jari-jari dan pusat .

Himpunan ( ) * ( ) + di mana dan ,

disebut bola tertutup dengan jari-jari dan pusat .

Contoh 2.1.10

Bola buka ( ) di garis real adalah selang terbuka ( ). Contoh

bola tertutup ( ) di garis real adalah selang tertutup , -.


Diberikan ruang metrik ( ) persekitaran di adalah sebarang bola

buka di ( ) dengan pusat di .


Himpunan bagian dari ruang metrik ( ) dikatakan terbuka jika untuk

sebarang , terdapat sehingga ( ) .


23

Berikut ini adalah suatu teorema 2.1.3 yang menyatakan bahwa setiap bola

buka merupakan himpunan terbuka. Terorema 2.1.4 menunjukkan keterkaitan

antar himpunan-himpunan terbuka dimana gabungan himpunan-himpunan

terbuka merupakan himpunan terbuka, demikian juga untuk irisan himpunan-

himpunan terbuka juga merupakan himpunan terbuka.

Teorema 2.1.3 (Shirali dan Vasudeva, 2006:66)

Dalam sebarang ruang metrik ( ), setiap bola buka adalah himpunan

terbuka.

Bukti :

Misalkan ( ) adalah bola buka tak kosong maka ( ). Ambil

sebarang titik ( ) maka ( ) . Misalkan ( ) .

Akan dibuktikan ( ) ( ). Untuk sebarang ( ) berlaku

( ) ( ) ( ) ( ) , berarti bahwa ( ).

Dengan demikian ( ) ( ) dan merupakan bola buka. Sehingga

( ) adalah himpunan terbuka di


Diberikan ruang metrik ( ), maka

( ) dan adalah himpunan terbuka di ( ).

( ) Gabungan dari keluarga berhingga himpunan-himpunan terbuka adalah

himpunan terbuka.

( ) Irisan dari keluarga berhingga himpunan terbuka adalah terbuka.


24

Bukti :

( ) Himpunan kosong tidak memuat titik di dalamnya, syarat bahwa setiap

titik di adalah titik pusat bola buka otomatis terpenuhi yaitu himpunan

kosong juga. Selanjutnya, ruang terbuka karena setiap titik pusat bola

buka ada di .

( ) Diberikan sebarang himpunan dan * : + yang merupakan

keluarga himpunan terbuka. Akan dibuktikan ⋃ . Jika

maka jelas bahwa terbuka menurut ( ) Asumsikan bahwa ,

ambil sebarang maka terdapat sedemikian sehingga

.

adalah himpunan terbuka maka terdapat sehingga

( )

. Jadi terdapat sehingga ( ) .

terbuka.

( ) Diberikan himpunan * + keluarga himpunan terbuka di

dan ⋂ Akan dibuktikan terbuka. Jika maka jelas

bahwa terbuka menurut ( ). Asumsikan bahwa , ambil sebarang

maka terdapat , - sedemikian sehingga . adalah

himpunan terbuka, maka terdapat sedemikian sehingga ( )

. Dipilih * + maka ( ) ( ) dengan

. Dengan demikian ( ) ⋂ ( ) .

terbuka.


25

Titik interior dari suatu himpunan akan dibahas pada definisi 2.1.12. Dari

definisi 2.1.12 diturunkan teorema 2.1.5 yang menunjukkan keterkaitan antara

titik interior dengan himpunan terbuka.


Misalkan himpunan bagian dari ruang metrik ( ). Titik disebut titik

interior jika terdapat bola buka dengan pusat di sedemikian sehingga

( ) untuk suatu Himpunan semua titik interior

dinotasikan ( ) * ( ) untuk suatu +.

Contoh 2.1.11

Diketahui *( ) +, ( ) dengan

dan didefinisikan ( ) | | | | | | dengan

( ) ( ) . Titik ( ) adalah titik

interior .

Bukti :

Jelas bahwa ( ) sebab . Menurut definisi

( ) ( ) dengan dipilih

maka ( ) | |

| | | |

dengan ( ). Akan dibuktikan .

/

. Ambil sebarang ( ) .

/ perhatikan bahwa

| | | | | | | |

| |


26

, dengan cara yang sama diperoleh

dan

. Kemudian

yang berarti ( ) . Dengan demikian

.

/


Diberikan himpunan bagian dari ruang metrik ( ).

( ) adalah himpunan bagian terbuka dari yang memuat setiap

himpunan bagian terbuka dari .

( ) terbuka jika dan hanya jika .

Bukti :

( ) Diberikan sebarang . Menurut definisi terdapat bola buka ( )

. Berdasarkan teorema 2.1.3 ( ) adalah himpunan terbuka, setiap titik

di ( ) merupakan titik pusat dari bola buka dalam ( ) dan juga di

dalam . Oleh karena itu setiap titik dalam ( ) adalah titik interior

maka ( ) . Dengan demikian adalah titik pusat bola buka dalam

. Karena dan ( ) berarti bahwa terbuka. Misalkan

dan adalah himpunan terbuka. Ambil sebarang maka

terdapat bola buka ( ) . Jadi menurut definisi 2.1.12 .

Berarti bahwa dengan kata lain .


27

( )

Diketahui terbuka. Berdasarkan ( ) diperoleh bahwa dan

yang berarti bahwa .

Diketahui , seperti halnya pada ( ) diperoleh bahwa terbuka

yang artinya juga terbuka.

Suatu titik di disebut sebagai titik limit jika memenuhi definisi 2.1.13.

Jika setiap titik limit dari suatu himpunan adalah himpunan bagian dari

himpunan tersebut, maka himpunan itu dikatakan himpunan tertutup. Lebih

jelasnya himpunan tertutup didefinisikan pada definisi 2.1.14. Teorema 2.1.6

mengatakan hubungan antar himpunan terbuka dan himpunan tertutup. Melalui

teorema 2.1.6 ini dapat diketahui bahwa jika suatu himpunan adalah tertutup

maka komplemennya terbuka, demikian pula jika komplemen suatu himpunan

adalah terbuka maka himpunannya tertutup. Dengan kata lain berlaku

biimplikasi antara himpunan dan komplemen himpunannya.


Diberikan ruang metrik dan . Titik disebut titik limit jika

setiap bola buka dengan titik pusat memuat setidaknya satu titik yang

berbeda dengan di , dengan kata lain ( ( ) * +)⋂ . Himpunan

semua titik limit dinotasikan dengan .


28


Himpunan bagian dari ruang metrik ( ) dikatakan tertutup jika memuat

setiap titik limitnya dengan kata lain .


Diberikan ruang metrik ( ) dan . tertutup di jika dan hanya jika

terbuka di .

Bukti :

Andaikan tertutup di , akan dibuktikan terbuka di . Jika maka

dan merupakan himpunan terbuka menurut teorema 2.1.4. Asumsikan

bahwa . Ambil sebarang maka . Karena tertutup

dan maka bukan titik limit sehingga terdapat sedemikian

sehingga ( ) . Oleh karena itu ( ) yang berarti bahwa

terbuka.

Sebaliknya, andaikan terbuka akan dibuktikan tertutup. Ambil dan

titik limit . Andaikan bahwa maka . Karena terbuka maka

terdapat sehingga ( ) yang berarti ( ) . Akibatnya

bukan titik limit , kontradiksi dengan titik limit . Sehingga haruslah

.

Seperti halnya pada himpunan terbuka. Pada terorema 2.1.7 di bawah ini

menunjukkan keterkaitan antar himpunan-himpunan tertutup dimana gabungan

himpunan-himpunan tertutup merupakan himpunan tertutup, demikian juga

untuk irisan himpunan-himpunan tertutup juga merupakan himpunan tertutup.


29

Gabungan himpunan dengan himpunan titik limitnya disebut sebagai closure

(penutup). Lebih jelasnya, pada definisi 2.1.15 didefinisikan closure dari suatu

himpunan.


Diberikan ruang metrik ( ) maka

( ) dan adalah himpunan tertutup

( ) Irisan dari himpunan-himpunan tertutup adalah tertutup

( ) Gabungan berhingga dari himpunan-himpunan tertutup adalah tertutup

Bukti :

( ) Himpunan kosong tidak memuat titik di dalamnya, syarat bahwa himpunan

tertutup memuat semua titik limitnya terpenuhi oleh himpunan kosong.

Sebarang ruang memuat semua titik, berarti bahwa memuat semua titik

limitnya.

( ) Diberikan himpunan * + keluarga himpunan tertutup di dan ⋂ .

Menurut teorema 2.1.6, tertutup jika terbuka. Dengan hukum De

Morgan

(⋂

)

⋃

Diketahui tertutup, menurut teorema 2.1.6 adalah himpunan

terbuka. Dengan teorema 2.1.4 ( ) ⋃

adalah himpunan terbuka

sehingga terbuka.


30

( )Diberikan keluarga berhingga himpunan-himpunan tertutup

* + dan misalkan ⋃ . Menurut teorema 2.1.6

tertutup jika terbuka. Dengan hukum De Morgan diperoleh

(⋃

)

⋂

Diketahui untuk setiap adalah tertutup maka menurut

teorema 2.1.6 untuk setiap adalah terbuka. Dengan

menggunakan teorema 2.1.4 ( ) ⋂

adalah himpunan terbuka.

Karena ⋂

maka terbuka sehingga tertutup.


Misalkan himpunan bagian dari ruang metrik ( ). Himpunan

disebut closure (penutup) dari dan dinotasikan dengan .

Contoh 2.1.12

Diberikan ruang metrik ( ) adalah jarak Euclides di dan himpunan

dengan 2

3. Titik limit adalah 2, maka * +.

Sebelum mempelajari tentang ruang metrik yang kompak perlu diketahui

terlebih dahulu tentang selimut. Pada definisi 2.1.16 didefinisikan suatu selimut

terbuka dari ruang metrik.


Diberikan ruang metrik ( ) dan adalah keluarga himpunan terbuka di .

Jika untuk setiap terdapat suatu anggota sedemikian sehingga


31

, maka disebut selimut terbuka dari . Keluarga bagian dari yang

merupakan selimut terbuka dari disebut selimut bagian.

Contoh 2.1.13

Gabungan keluarga interval-interval terbuka pada

* ( ) ( ) ( ) ( ) + adalah selimut terbuka di .


Ruang metrik ( ) dikatakan kompak jika setiap selimut terbuka dari

mempunyai suatu selimut bagian berhingga yaitu keluarga bagian berhingga

* + sedemikian sehingga ⋃ .

Contoh 2.1.14

Diberikan himpunan bagian terbatas dari ruang metrik ( ). adalah

himpunan kompak

Bukti :

Misalkan * + dan selimut terbuka dari dengan

* + maka ⋃ . Untuk ada , sedemikian sehingga

. Demikian juga untuk ada , sedemikian sehingga

.

Berlaku seterusnya hingga untuk ada sedemikian sehingga

. Dengan demikian diperoleh keluarga bagian dari yaitu

{

}. Kerena memuat selimut bagian berhingga maka

kompak.


32


Diberikan ruang metrik ( ) dan himpunan bagian tak kosong dari .

dikatakan terbatas jika terdapat sedemikian sehingga ( )

.

Definisi 2.1.18 mendefinisikan tentang keterbatasan suatu himpunan.

Himpunan yang terbatas adalah himpunan yang memiliki nilai maksimum

untuk setiap titik-titik pada himpunannya. Nilai maksimum jarak dalam definisi

2.1.18 ditandakan dengan suatu konstantan real . Selanjutnya, melalui

teorema 2.1.8 ditunjukkan bahwa himpunan kompak dari suatu ruang metrik

adalah tertutup dan terbatas. Melalui teorema 2.1.8 ini secara tidak langsung

menunjukkan bahwa adanya keterkaitan antara kekompakan, ketertutupan, dan

keterbatasan dari suatu himpunan.


Diberikan ruang metrik ( ) dan . Jika himpunan kompak dari

( ) maka tertutup dan terbatas.

Bukti :

Diberikan himpunan bagian kompak dari ruang metrik ( ) dan ,

. Untuk suatu bilangan real positif ( ) dipilih ( )

( ) maka

terdapat bola buka ( ( )) dan ( ( )) sedemikian sehingga

( ( )) ( ( )) . Jelas bahwa ⋃ ( ( )) . adalah

himpunan kompak maka terdapat sedemikian sehingga

⋃ ( ( )) . Untuk setiap bola buka ( ( ))


33

memenuhi ( ( )) ( ( )) . Misalkan ⋂ ( ( ))

maka himpunan bagian terbuka dari yang memuat . Selanjutnya

dibuktikan bahwa . Jika maka ( ( )) untuk

suatu dalam * + dan ( ( )). Akibatnya ( ( ))

( ( )) maka kontradiksi dengan ( ( )) ( ( ))

sehingga tidak ada titik di yang dapat menjadi titik limit di . Akibatnya

semua titik di titik limit , sehingga tertutup.

Selanjutnya akan dibuktikan terbatas. Jika tidak terbatas maka

terdapat dan di sedemikian sehingga untuk sebarang bilangan positif ,

( ) . Mengingat kembali untuk titik pusat bola buka di , untuk

jelas bahwa ⋃ ( ) . Karena kompak maka terdapat

sedemikian sehingga ⋃ ( ) . Misalkan { ( )

}. Terdapat dan di sedemikian sehingga ( ) .

Karena maka terdapat dan sedemikian sehingga ( ) dan

( ). Menurut ketaksamaan segitiga diperoleh ( ) ( )

( ) ( ) . Kontradiksi dengan ( ) , sehingga

terbatas.

B. Ruang Fraktal

Pembahasan sebelumnya mempelajari ruang metrik dengan himpunan-

himpunan di yang dilengkapi dengan metrik , dan dengan beberapa

aturan menjadi ruang metrik kompak. Pada pembahasan kali ini akan dibahas


34

gabungan dari himpunan-himpunan kompak yang membentuk suatu ruang.

Ruang tersebut dilengkapi dengan metrik yang dinamakan metrik/jarak

Hausdorff. Ruang yang terbentuk dengan gabungan himpunan-himpunan

kompak yang dilengkapi dengan metrik Hausdorff tersebut dinamakan ruang

Fraktal. Pada definisi 2.2.1 berikut ini didefinisikan ( ) yang merupakan

ruang yang titik-titiknya (elemen-elemennya) merupakan himpunan bagian tak

kosong yang kompak.

Pada definisi 2.1.1 telah didefinisikan sebagai metrik pada . Pada

ruang fraktal himpunan yang dipakai bukan lagi tetapi ( ) yang telah

disinggung sebelumnya. Konsep jarak/metrik pada ( ) berbeda dengan jarak

pada . Definisi 2.2.2, 2.2.3, dan 2.2.4 mendefinisikan tentang pengertian jarak

pada ( ). Dari definisi-definisi jarak pada ( ) ini, diturunkanlah suatu

teorema yang menyatakan adalah suatu metrik pada ( ). Sehingga, jika

dalam ada sebagai metrik maka di dalam ( ) ada sebagai metriknya.


Misalkan ( ) adalah ruang metrik lengkap. Kemudian ( ) didefinisikan

sebagai ruang yang titik-titiknya adalah himpunan bagian yang kompak dari

yang tak kosong.


Diberikan ruang metrik lengkap ( ), dan ( ) didefinisikan

( ) * ( ) + kemudian ( ) disebut jarak dari titik ke

himpunan .


35


Diberikan ruang metrik lengkap dan ( ) didefinisikan ( )

* ( ) +. ( ) adalah jarak dari himpunan ( ) ke

himpunan ( ).

Contoh 2.2.1

Tentukan ( ) jika ( ) adalah ( ) dengan jarak Euclides,

dan

2 ( )

3⋃ * +

Penyelesaian :

Infimum dari dicapai ketika yaitu . Jadi ( )

.

Contoh 2.2.2

Diketahui ( ) ruang metrik lengkap. Buktikan bahwa jika ( )

maka ( ) ( ) ( )

Bukti :

( ) * ( ) +

* ( ) + * ( ) +

( ) ( )


Diberikan ruang metrik lengkap ( ). Jarak Hausdorff antara titik dan di

( ) didefinisikan oleh

( ) ( ) ( ) * ( ) ( )+


36

Teorema 2.2.1 (Edgar, 2008:72)

Diberikan ruang metrik . Fungsi Hausdorff adalah metrik pada ( ).

Bukti :

metrik jika memenuhi aksioma-aksioma pada definisi 2.1.1. Maka akan

dibuktikan memenuhi aksioma-aksioma tersebut.

( ) ( ) * ( ) ( )+ * ( ) ( )+ ( )

( ) Untuk maka terdapat sehingga dan . Jadi jelas bahwa

( ) . ( ) * ( ) + maka ( ) . Karena

( ) * ( ) ( )+ dan ( ) maka ( )

( ) ( ) * ( ) ( )+ ( ) * ( ) +

( ) Akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa ( ) ( ) ( )

Ambil sebarang maka

( ) * ( ) +

* ( ) ( ) +

* ( ) + * ( ) +

( ) ( )

* ( ) + * ( ) +

( ) ( )

Jadi ( ) ( ) ( ) dengan cara yang sama akan diperoleh

juga bahwa ( ) ( ) ( )

Selanjutnya akan dibuktikan ( ) ( ) ( )

( ) * ( ) ( )+

*( ( ) ( )) ( ( ) ( ))+


37

* ( ) ( )+ * ( ) ( )+

( ) ( )

Berdasar ( ) ( ) ( ) dan ( ) terbukti bahwa metrik di ( ).

Himpunan ( ) yang dilengkapi dengan metrik atau dinotasikan

dengan ( ( ) ) ini disebut sebagai ruang fraktal.

C. Transformasi

Transformasi menjadi salah satu bagian yang penting dari Geometri

Fraktal. Secara khusus geometri fraktal dicirikan dengan transformasi Afin.

Pada bagian ini juga akan dibahas tentang similaritas. Similaritas dan Afin

menjadi sifat utama dari fraktal. Bangun fraktal seperti : Segitiga Sierpinski

dan Kurva Salju Von Koch dapat dibentuk melalui dua sifat ini. Sifat inilah

yang menyebabkan suatu bangun fraktal mempunyai kemiripan diri di setiap

skala.

a. Transformasi Afin

Transformasi Afin di diperoleh dengan menerapkan transformasi

linear dan diikuti dengan translasi. Transformasi Afin melibatkan beberapa

macam transformasi diantaranya : rotasi, translasi, dilatasi dan refleksi.

Gabungan dari transformasi tersebut membentuk transformasi baru yang

disebut dengan transformasi Afin. Sebelum membahas tentang transformsi

Afin, pada definisi 2.3.1 didefinisikan suatu transformasi dari ke .

Definisi 2.3.2 mendefinisikan suatu translasi yang perlu untuk diketahui

sebelum mempelajari transformasi Afin.


38

Definisi 2.3.1 (Crownover, 1995:62)

Suatu transformasi dari ke adalah suatu pemetaan yang

memenuhi ( ) ( ) ( ) untuk setiap dan skalar

Contoh 2.3.1

Sebuah contoh transformasi linear di bidang

( ) ( ) ,

Jika disajikan dalam bentuk matriks sebagai berikut :

.0

1/ 0

1 0

1


Translasi pada adalah pemetaan dengan bentuk ( ) ,

dengan adalah ketetapan atau vektor konstan.

Berdasarkan pembahasan sebelumnya, setiap transformasi Afin

pada dapat direpresentasikan dengan matriks vektor sebagai berikut

( ) ,

Dalam menjadi

.0

1/ [

] 0

1 0

1

Berikut ini adalah suatu gambar yang menunjukkan ilustrasi transformasi

Afin.


39

Gambar 2.1 Contoh Afinitas

b. Similaritas

Ciri khas lain dari Geometri Fraktal selain Afin diri adalah similaritas

atau kesebangunan. Sebelum membahas tentang similaritas terlebih dahulu

perlu diketahui tentang pengertian Isometri. Similaritas lekat kaitannya

dengan isometri. Kemiripan (similaritas) penting untuk mengkonstruksi

bangun fraktal.


Transformasi disebut isometri jika memenuhi | ( )

( )| | |, .


Suatu transformasi disebut similar dengan rasio similaritas

jika memenuhi syarat berikut

| ( ) ( )| | |

Berikut ini adalah definisi similar untuk suatu transformasi di .


Suatu transformasi disebut similar jika transformasi afin

yang mempunyai salah satu dari bentuk

(Sumber : Falconer, 2003)


40

0

1 0

1 0

1 0

1

0

1 0

1 0

1 0

1

Untuk translasi ( ) , bilangan real , dan sudut dengan

. disebut rotasi sudut sedangkan adalah skala. Transformasi

linear

0

1 0

1 0

1

adalah suatu rotasi. Transformasi linear

0

1 0

1 0

1

adalah suatu pencerminan.

Berikut ini adalah suatu gambar yang menunjukkan transformasi dan

similaritas yang dapat dilakukan untuk suatu gambar

(Sumber : Barnsley, 1988)

Gambar 2.2 Contoh Similaritas


41

D. Sistem Fungsi Iterasi

Konstruksi bangun fraktal tidak cukup dilakukan hanya dengan satu

fungsi. Pembentukan (konstruksi) bangun fraktal membutuhkan banyak

fungsi. Kumpulan fungsi-fungsi yang membentuk suatu bangun fraktal inilah

yang disebut dengan Iterated Function System (IFS) atau Sistem Fungsi

Iterasi. Sistem Fungsi Iterasi atau disingkat SFI terdiri dari himpunan

berhingga pemetaan-pemetaan kontraksi. Berikut ini pada definisi 2.4.1

didefinisikan terlebih dahulu tentang invarian (titik tetap). Suatu titik dalam

ruang metrik yang jika ditransformasikan menghasilkan titik itu sendiri

disebut titik tetap. Selanjutnya pada definisi 2.4.2 menjelaskan tentang

pemetaan kontraksi secara umum. Pemetaan kontraksi inilah yang akan

membentuk Sistem Fungsi Iterasi.


Misalkan merupakan transformasi pada ruang metrik. Titik

sedemikian sehingga ( ) disebut titik tetap.

Contoh 2.4.1

Diketahui suatu pemetaan dengan dan ( )

. Carilah

titik tetap ( ).

Jawab :

Misalkan titik tetap dari ( ) adalah maka berlaku ( )

.

Selanjutnya diperoleh bahwa yang berarti bahwa . Sehingga,


42

titik tetap ( ) adalah dan .


Transformasi pada ruang metrik ( ) disebut kontraktif atau

pemetaan kontraktif jika terdapat sedemikian sehingga

( ( ) ( )) ( ) Sebarang bilangan disebut faktor

kontraksi .

Contoh 2.4.1

Misalkan transformasi pada ruang metrik ( ), dengan

adalah metrik Euclid. Pemetaan didefinisikan oleh ( )

,

tunjukkanlah bahwa pemetaan kontraktif.

Bukti :

Untuk menunjukkan bahwa adalah pemetaan kontraktif maka perlu

ditunjukkan ( ( ) ( )) ( ) dengan .

Ambil sebarang titik pada misalkan titik dan . Metrik adalah metrik

Euclid maka

( ( ) ( )) ((

) (

))

( )

( )


43

dengan

terbukti bahwa ( ( ) ( )) ( )

sehingga, adalah pemetaan kontraktif.

Berikut ini adalah suatu teorema yang menunjukkan hubungan antara

pemetaaan kontraksi dengan titik tetap.

Teorema 2.4.1 (Barnsley, 1988:76)

Misalkan pemetaan kontraksi pada ruang metrik lengkap ( ).

Maka memiliki tepat satu titik tetap dan bahkan untuk sebarang titik

, barisan * ( ) + konvergen ke . Atau berlaku

( )

Bukti :

Diberikan barisan * + dengan ( ) dengan dan

. Berdasarkan ketidaksamaan segitiga berlaku

adalah pemetaan kontraktif, maka untuk berlaku

( ) ( ( ) ( ))

. ( )( ) ( )( )/

. ( )( ) ( )( )/

( ( )( ))

Diperoleh

. ( )/ ( ( )) ( ( ) ( )) . ( )( ) ( )/


44

( ( )) ( ( )) ( ( ))

( ( ))

( ( ))( )

( ( ))( )

( ( ))

Maka untuk diperoleh

( ( ) ( ))

( ( ))

Untuk setiap dipilih sedemikian sehingga

( ( )) .

Untuk , diperoleh ( ( ) ( ))

( ( ))

( ( )) , sehingga * + merupakan barisan Cauchy. Karena lengkap

barisan Cauchy * + mempunyai titik limit . Selanjutnya akan

dibuktikan bahwa adalah titik tetap .

( ) .

( )/

( )( )

Akan dibuktikan juga bahwa titik tetap adalah tunggal. Misalkan ada titik

tetap lain yaitu dengan . Karena dan adalah titik tetap maka

( ) dan ( ).

( ) . ( ) ( )/ ( )

Diperoleh bahwa ( ) ( ) , karena dan ( )

maka ( ) yang berarti bahwaa . Terjadi kontradiksi dengan

asumsi bahwa sehingga titik tetap adalah tunggal.


45

Berikut ini adalah Lemma 2.4.1 yang menyatakan hubungan antara

pemetaan kontraksi dengan kekontinuan dari suatu fungsi. Jika adalah

suatu pemetaan kontraksi pada ruang metrik maka kontinu. Kekontinuan

dari suatu fungsi pada ruang metrik ( ), juga mengakibatkan fungsi yang

akan memetakan ( ) kedirinya sendiri. Lemma 2.4.2 menunjukkan hal

tersebut. Pada definisi 2.4.2 telah didefinisikan suatu pemetaan kontraksi

pada ( ). Pada Lemma 2.4.3 menunjukkan pemetaan kontraksi pada

( ( ) ( )) sebagai akibat dari Lemma 2.4.1 dan Lemma 2.4.2.

Lemma 2.4.1 (Barnsley, 1988:80)

Misalkan adalah pemetaan kontraksi pada ruang metrik ( ).

Maka kontinu.

Bukti :

Diberikan misalkan adalah fraktor kontraksi . Terdapat

sedemikian sehingga ( ) Dipilih

maka diperoleh

( ( ) ( )) ( ) .


Misalkan adalah pemetaan kontinu pada ruang metrik ( ),

maka memetakan ( ) ke dirinya sendiri.

Bukti :

Misalkan adalah himpunan bagian tak kosong dari yang kompak. Maka

( ) * ( ) + tidak kosong. Akan ditunjukkan bahwa ( ) kompak.

Misalkan * ( )+ adalah barisan tak hingga di . Maka * + juga


46

barisan tak hingga di . Karena kompak maka tedapat subbarisan { }

yang konvergen ke titik Tetapi karena kontinu maka {

( )} adalah subbarisan * + yang konvergen ke ( ) ( ).

Sehingga ( ) kompak.


Misalkan adalah pemetaan kontraksi pada ruang metrik ( )

dengan faktor kontraksi . Maka ( ) ( ) yang didefinisikan

dengan ( ) * ( ) + ( ) adalah pemetaan kontraksi pada

( ( ) ( )) dengan faktor kontraksi .

Bukti :

Berdasarkan Lemma 2.4.1 kontinu dan berdasarkan Lema 2.4.2

memetakan ( ) ke dirinya sendiri. Misalkan ( ) maka.

( ( ) ( )) { { ( ( ) ( )) } }

* * ( ) + +

( )

Dengan cara yang sama diperoleh ( ( ) ( )) ( ) akibatnya

( ( ) ( )) . ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))/

( ( ) ( ))

( )


47


Sistem Fungsi Iterasi terdiri atas ruang metrik lengkap ( ) dengan

himpunan berhingga pemetaan kontraksi yang masing-masing

faktor kontraksinya adalah dengan . Sistem Fungsi Iterasi

atau disingkat SFI dinotasikan dengan * + dan faktor

kontraksinya * +.

Untuk mengkonstruksi bangun fraktal ada dua algoritma yang digunakan.

Kedua algoritma untuk mengkonstruksi bangun fraktal yaitu Random

Iteration Algorithm (Algoritma Random Iterasi) dan Deterministic Algorithm

(Algoritma Deterministik). Kedua algoritma ini tidak dibahas secara

mendalam karena penelitian ini bukan membentuk/mengkonstruksi bangun

fraktal, namun menganalisis bangun fraktal yang sudah ada. Untuk

menunjukkan perbedaan keduanya berikut ini disajikan gambar 2.3 sebagai

ilustrasi dari dua algoritma tersebut.

Gambar 2.3 (a) Ilustrasi algoritma

Deterministik untuk Segitiga Sierpinski

Gambar 2.3 (b) Ilustrasi algoritma

Random Iterasi untuk Segitiga

Sierpinski

(Sumber : Crownover, 1995) (Sumber : Crownover, 1995)


48

Contoh 2.4.2

Untuk mengkonstruksi bangun fraktal Segitiga Sierpinski seperti pada

gambar 2.3 dibutuhkan Sistem Fungsi Iterasi seperti berikut ini.

0 1 [

] 0 1

0 1 [

] 0 1 0

1

0 1 [

] 0 1 [

]

Sehingga, SFI untuk Segitiga Sierpinski gambar 2.3 adalah *

+ dengan fraktor kontraksi .

Contoh 2.4.3

Untuk mengkonstruksi bangun fraktal Kurva Koch seperti pada gambar 1.1

(b) dibutuhkan Sistem Fungsi Iterasi seperti berikut ini.

0 1 0

1 0 1

0 1 [

] 0 1 0

1

0 1 [

] 0 1 [

]

0 1 0

1 0 1 0

1

Sehingga, SFI untuk Kurva Koch pada gambar 1.1 (b) adalah *

+ dengan fraktor kontraksi .


49

BAB III

ANALISIS FRAKTAL

Analisis Fraktal dilakukan dengan menggunakan teori Regresi Linear dan

Dimensi Fraktal. Langkah awal dari analisis fraktal adalah menentukan dimensi

fraktal dari suatu bangun fraktal. Pada bab ini dibahas dua metode untuk

menentukan dimensi fraktal yaitu metode dimensi Hausdorff dan metode dimensi

Kotak. Persamaan garis regresi diperlukan untuk menentukan dimensi fraktal

dengan metode dimensi Kotak. Gradien dari persamaan garis regresi inilah yang

menjadi dimensi fraktalnya. Untuk membantu menentukan dimensi fraktal dari

citra digital, pada penelitian ini digunakan program yang dibuat dalam MATLAB.

A. Regresi Linear

Penelitian yang melibatkan data statistik ada kalanya membutuhkan untuk

diketahuinya hubungan antar variabel. Misalkan variabel dan variabel ,

akan diselidiki apakah variabel yang diperoleh dari penelitian mempunyai

hubungan dengan variabel . Hubungan yang dimaksud adalah seberapa besar

pengaruh variabel terhadap variabel . Pada kasus ini variabel disebut

sebagai variabel bebas, dan variabel adalah variabel terikat. Variabel hasil

penelitian yaitu dan jika direpresentasikan sebagai sebuah titik ( )

kemudian digambarkan dalam bidang kartesius akan membentuk suatu pola.

Pola titik-titik yang menyerupai garis lurus atau dengan kata lain mempunyai

hubungan linear, disebut dengan Regresi Linear. Regresi Linear membantu


50

mencari nilai prediksi bagi , sehingga dengan hanya mengetahui nilai akan

dapat diprediksi besar nilai .

Definisi 3.1.1 (Walpole, et. al., 2012:396)

Persamaan Garis Regresi ditentukan oleh :

dengan dan adalah koefisien regresi, dan ditentukan oleh

∑ (∑

)(∑

)

∑ (∑

)

∑ ( )( )

∑ ( )

∑ ∑

Dengan

: banyaknya pengamatan

: nilai variabel pengamatan ke-

: nilai variabel pengamatan ke-

: rata-rata

: rata-rata

Sebuah pengamatan tak lepas dari adanya nilai error atau galat. Nilai error

yang dibandingkan dengan data sampel disebut dengan nilai residual. Definisi

3.1.2 memberikan arti bagi nilai residual yang ditentukan oleh nilai

pengamatan dikurangi dengan nilai prediksi. Pada pembahasan berikutnya

terutama dalam menentukan dimensi dengan metode Dimensi Kotak


51

diperlukan sebuah data. Nilai residual memberikan arti seberapa akuratnya

prediksi suatu variabel terikat terhadap variabel bebas.

Definisi 3.1.2 (Walpole, et. al., 2012:395)

Diberikan himpunan data regresi *( ) + dan persamaan

garis regresi residual ke- didefinisikan dengan

dan .

Contoh 3.1.1

Misalkan diberikan data seperti pada tabel 3.1 berikut ini :

Tabel 3.1 Contoh data hasil penelitian

2 5

5 6

8 8

12 15

15 16

Berdasarkan penghitungan diperoleh bahwa persamaan garis regresi dari data

3.1 adalah . Nilai residual untuk prediksi nilai disajikan

pada tabel 3.2 berikut ini :

Tabel 3.2 Nilai residual dari contoh data hasil penelitian

2 5 3,9048 1,0952

5 6 6,7620 -0,7620

8 8 9,6192 -1,6192

12 15 13,4288 1,5712

15 16 16,2860 -0,2860


52

B. Dimensi Fraktal

Dimensi adalah suatu ukuran dari suatu objek. Bangun Fraktal adalah

bangun geometri yang memiliki dimensi tak harus bulat atau biasa dikatakan

dengan dimensi fraktal. Semakin besar dimensi fraktalnya menunjukkan

semakin besar pula tingkat kepadatannya. Sebaliknya, semakin kecil

dimensinya menunjukkan semakin kecil tingkat kepadatannya. Ada beberapa

cara untuk menentukan dimensi Fraktal dari bangun Fraktal. Pada pembahasan

ini akan dibahas dua metode yaitu Dimensi Hausdorff-Besicovitch dan

Dimensi Kotak.

a. Dimensi Hausdorf-Besicovitch

Dimensi Hausdorff-Besicovitch dari himpunan bagian terbatas dari

adalah bilangan real yang dapat digunakan untuk mengkarakteristikkan

komplektisitas geometri dari himpunan bagian terbatas di (Barnsley,

1988:200). Sebelum membahas tentang dimensi Hausdorff pada definisi

3.2.1 didefinisikan terlebih dahulu tentang selimut.

Definisi 3.2.1 (Falconer, 2003:27)

Misalkan ( ) adalah ruang metrik dengan adalah metrik Euclid

. Jika * + adalah koleksi berhingga dari himpunan-himpunan yang

menyelimuti yaitu ⋃ dengan | | untuk setiap

dengan | | *| | +, maka * + disebut selimut-

dari .


53


Misalkan adalah himpunan bagian dan . Untuk sebarang

didefinisikan

( ) {∑| |

* + adalah selimut dari }

Dari definisi 3.2.2 dengan mengambil limit ( ) untuk diperoleh

definisi 3.2.3 yaitu tentang ukuran Hausdorff.


Misalkan himpunan bagian dari dan ukuran Hausdorff dimensi-

s dari didefinisikan sebagai

( )

( )

Berikut ini pada teorema 3.2.1 menjelaskan hubungan antara pemetaan

kontraksi dengan ukuran Hausdorff.

Teorema 3.2.1 (Murwani, 2006:50)

Jika merupakan pemetaan kontraksi maka untuk ,

berlaku ( ( )) ( ).

Bukti :

Ambil sebarang , misalkan * + adalah selimut- dari dan * +

adalah selimut- dari ( ) diperoleh

| | *| | ( )+

*| ( ) ( )| +

* | | +


54

*| | +

| |

Diperoleh bahwa | | | | sehingga

∑| |

∑ | |

{∑| |

} {∑ | |

}

{∑| |

} {∑| |

}

( ( ))

( )

Dengan mengambil limit kedua ruas untuk diperoleh ( ( ))

( ).

Berikut ini pada definisi 3.2.4 didefinisikan dimensi Hausdorff.

Dimensi Hausdorff merupakan suatu konstanta real yang tak negatif. Suatu

bilangan real tak negatif disebut dimensi Hausdorff dari jika memenuhi

( ) * ( ) + * ( ) +.


Misalkan dimensi Hausdorff-Besicovitch dari yaitu ( )

didefinisikan sebagai

( ) 2

jika ( ) ika ( )


55

b. Dimensi Kotak

Dimensi Kotak merupakan salah satu metode dalam menentukan

dimensi Fraktal. Gagasan mendasar dari metode dimensi Kotak ini adalah

pengukuran pada skala . Objek yang akan dicari dimensinya dibagi-bagi

dalam kotak-kotak persegi (grid) berukuran sebagai selimut dari objek,

kemudian dihitung banyaknya kotak yang memuat objek tersebut.

Selanjutnya dilihat perilaku pengukuran untuk . Sebagai contoh,

misalkan adalah kurva pada bidang datar, maka ( ) adalah banyaknya

kotak yang menyelimuti . Dimensi ditentukan oleh power law yang

dipenuhi oleh ( ) untuk (Falconer, 2003:39). Jika

( )

Untuk konstantan dan , dikatakan mempunyai dimensi pembagi

dengan dianggap sebagai panjang dimensi-s dari . Dengan mengambil

logaritma diperoleh

( )

hal Ini berarti bahwa selisih antara kedua ruas mendekati dan berlaku

( )

karena maka diperoleh

( )

Berikut ini pada definisi 3.2.5 didefinisikan dimensi kotak atas yang

diperoleh dari nilai supremum dan dimensi kotak bawah yang diperoleh dari


56

nilai infimum. Jika nilai keduanya sama maka nilai itulah yang akan menjadi

dimensi fraktalnya.


Misalkan adalah himpunan terbatas dengan dan ( ) adalah

minimum banyaknya himpunan dengan diameter yang dapat menyelimuti

. Dimensi kotak bawah dan dimensi kotak atas dari didefinisikan sebagai

( )

( )

Jika maka nilai yang sama tersebut disebut sebagai

dimensi kotak

( )

Untuk melihat hubungan antara dimensi Hausdorff dan dimensi kotak,

berikut ini disajikan dua teorema yang menunjukkan hubungan keduanya.

Teorema 3.2.4 secara umum menunjukkan bahwa dimensi hausdorff kurang

dari atau sama dengan dimensi kotak bawah. Sedangkan, pada teorema 3.2.5

menunjukkan bahwa dalam kasus tertentu dimensi hausdorff akan sama

dengan dimensi kotak.


Untuk setiap , berlaku


57

Bukti :

Jika , maka jelas bahwa . Misalkan

akan ditunjukkan bahwa . Karena maka

berdasarkan definisi 3.2.4 ( ) ( ) . Jika dapat

diselimuti oleh ( ) dengan himpunan berdiameter , maka menurut

definisi 3.2.2 berlaku ( ) ( ) . Dengan diambil yang

cukup kecil maka ( ) diperoleh

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

dengan mengambil limit untuk diperoleh

( )

terbukti bahwa


Misalkan dengan adalah pemetaan

kontraksi dengan konstanta kontraksi . Jika adalah titik tetap dari

pemetaan , maka ( ) ( ) dengan memenuhi

∑

.


58

Bukti :

Ambil sedemikian sehingga ( ) ( ) ( )

( ) saling asing. Jika ( ) adalah jumlah minimum kotak-

kotak (grid) yang dapat memuat , maka ( ) ( ( ))

( ( )) ( ( )) ( ( )). Karena merupakan

pemetaan kontraksi dengan konstanta , maka

( )

( ( ))

( ( ))

( ( ))

(

)

Dari persamaan di atas, maka ( ) dan memenuhi ∑

.

Selanjutnyaakan dibuktikan bahwa ( ) . Misalkan adalah

selimut- dari dan adalah selimut- dari ( ). Dengan Teorema 3.2.1

( ( )) ( ) maka

∑ ( ( )) ∑ ( )

Karena ∑

, maka

∑ ( ( )) ∑ ( )

barisan * + merupakan selimut- dari ( ), maka

| |

| |

∑| |

∑


59

Infimum dari ( ( )) tidak akan melebihi anggotanya maka

( ( )) ∑| |

∑

dengan mengambil limit untuk maka

( ( ))

Sehingga diperoleh

( ) ∑ ( ( ))

Jadi, ( ) , dengan demikian ( ) ( ) .

c. Dimensi Fraktal dari Beberapa Bangun Fraktal

Berikut ini akan dibahas cara menentukan dimensi Fraktal dari

beberapa bangun Fraktal. Dimensi Fraktal secara khusus dicari dengan

metode Dimensi Kotak, hal ini karena metode dimensi kotak dinilai lebih

mudah diterapkan.

1. Himpunan Cantor

Himpunan Cantor merupakan himpunan dalam selang tertutup

, -, Himpunan Cantor dapat dilihat pada gambar 3.1 berikut ini :

𝐶

𝐶

𝐶

𝐶

𝐶

(Sumber : Edgar, 2008)

Gambar 3.1 Himpunan Cantor


60

Himpunan Cantor diperoleh dengan cara membagi garis dengan

panjang menjadi bagian kemudian menghilangkan

bagiannya.

Langkah ini diulangi secara terus-menerus dengan menghilangkan

bagian dari langkah sebelumnya sehingga dihasilkan seperti pada

gambar 3.1.

Himpunan Cantor ⋂ pada iterasi ke- diperoleh garis-

garis yang saling asing sebanyak dengan panjang

. Oleh karena

itu ( ) dengan

. Misalkan

maka

( ) sehingga

( )

( )

Diperoleh dim

Selanjutnya misalkan

maka ( ) sehingga

( )


61

( )

Diperoleh dim

Karena

dim

dim

maka dim

dim

, yang berarti bahwa dim

.

2. Segitiga Sierpinski

Segitiga Sierpinski diperoleh dengan cara melubangi suatu

segitiga dengan segitiga baru yang berukuran setengah dari masing-

masing sisinya. Langkah ini diulangi secara terus-menerus sampai

takhingga. Segitiga Sierpinski dapat dilihat pada gambar 3.2 berikut

ini :

Gambar 3.2 Segitiga Sierpinski

𝐸 𝐸 𝐸 𝐸 (Sumber : Falconer, 2003)


62

Pada gambar 3.2 segitiga dilubangi dengan segitiga baru yang titik

sudutnya adalah titik tengah masing-masing sisi segitiga sehingga

diperoleh segitiga . Cara yang sama dilakukan secara berulang-

ulang maka akan diperoleh segitiga .

Segitiga Sierpinski ⋂ , untuk iterasi ke- akan terdapat

segitiga sebanyak dengan panjang sisi

. Oleh karena itu ( )

dan

. Selanjutnya akan dicari dimensi Kotak bawah dan

dimensi Kotak atas dari . Misalkan

maka ( )

sehingga

( )

( )

Diperoleh dim


maka ( ) sehingga

( )


63

( )

Diperoleh dim

Karena

dim

dim

maka dim

dim


.

3. Kurva Von Koch

Kurva Von Koch atau dikenal juga dengan nama Snowflake Koch

adalah bangun Fraktal yang diperoleh dengan cara membagi suatu

garis menjadi tiga bagian sama panjang dan membentuk segitiga sama

sisi dibagian tengahnya. Kurva Von Koch dapat dilihat pada gambar

3.3 berikut ini.

𝐹

𝐹

𝐹

𝐹

𝐹

Gambar 3.3 Kurva Von Koch

(Sumber : Falconer, 2003)


64

Pada gambar 3.3 jika garis dibagi tiga sama panjang dan dibentuk

segitiga sama sisi ditengahnya akan terbentuk seperti pada .

Demikian juga dengan cara yang sama diperoleh dengan membagi

tiga sama panjang setiap sisinya dan membentuk segitiga sama sisi di

tengahnya. Jika langkah ini dilakukan secara terus-menerus akan

diperoleh seperti pada .

Pada iterasi pertama diperoleh ruas garis sebanyak dengan

panjang

. Iterasi ke- menghasilkan ruas garis sebanyak 16 dengan

panjang

. Secara umum untuk iterasi ke- akan diperoleh ruas garis

sebanyak dengan panjangnya adalah

. Oleh karena itu untuk

iterasi ke- diperoleh ( ) dengan

. Selanjutnya akan

dicari dimensi Kotak bawah dan dimensi Kotak atas dari . Misalkan

maka ( ) sehingga

( )

( )


65

Diperoleh dim


maka ( ) sehingga

( )

( )

Diperoleh dim

Karena

dim

dim

maka dim

dim


.

4. Karpet Sierpinski

Karpet Sierpinski tidak jauh berbeda dengan segitiga Sierpinski.

Pembangun dari karpet Sierpinski adalah persegi. Persegi berukuran

satu satuan dilubangi pada tengah-tengahnya dengan persegi yang

berukuran

. Dilanjutkan dengan melubangi persegi tersebut dengan

ukuran

seperti tampak pada gambar 3.4 berikut ini :


66

Karpet Sierpinski ⋂ pada iterasi ke- akan diperoleh

persegi sebanyak dengan panjang sisinya

. Oleh karena itu

( ) dan

. Selanjutnya akan dicari dimensi Kotak

bawah dan dimensi Kotak atas dari . Misalkan

maka

( ) sehingga

( )

( )

Diperoleh dim


maka ( ) sehingga

( )

Gambar 3.4 Karpet Sierpinski

(Sumber : http://mathworld.wolfram.com/SierpinskiCarpet.html)

𝑆 𝑆 𝑆 𝑆 𝑆


67

( )

Diperoleh dim

Karena

dim

dim

maka dim

dim

,

yang berarti bahwa dim

.

d. Dimensi Fraktal Citra Digital

Pada bagian ini akan dibahas mengenai dimensi Fraktal dari sebuah

Citra Digital. Pemprosesan citra digital dilakukan dengan program yang

dibuat menggunakan software MATLAB. Pada pembahasan sebelumnya

bangun Fraktal dapat dikenali melalui pola-pola yang jelas dan kemudian

ditentukan dimensinya, pada pembahasan kali ini input berupa citra digital

yang tidak dapat diketahui polanya dengan mudah. Dimensi Kotak

menjadi alternatif untuk mencari dimensi Fraktal suatu citra digital.

Dimensi dicari dari hasil deteksi tepi dari suatu citra dengan intensitas

RGB. Citra input berupa citra RGB (Red Green Blue) berukuran

piksel kemudian diubah ukurannnya menjadi berukuran piksel


68

untuk mempermudah penentuan selimut citra. Selanjutnya mengubah tipe

citra dari RGB menjadi citra grayscale untuk proses deteksi tepi. Deteksi

tepi pada pemprosesan digital ini digunakan deteksi tepi metode Canny

karena dikatakan bahwa deteksi tepi yang paling baik adalah metode

Canny (Wijaya dan Prijono, 2007:156). Hasil deteksi tepi menghasilkan

citra tipe biner (hitam putih) berukuran piksel. Penyusun citra

biner ini berupa matriks biner dengan ukuran yang elemen-

elemen penyusunnya adalah 0 dan 1 dimana 0 mewakili warna hitam dan 1

mewakili warna putih. Matriks biner inilah yang akan diproses selanjutnya

dengan membaginya menjadi submatriks-submatriks persegi berukuran

. Submatriks berukuran ini yang akan digunakan sebagai

selimut dari Citra yang akan dicari dimensinya. Untuk memperjelas

langkah-langkah dalam mencari dimensi Fraktal dari sebuah citra digital,

berikut ini akan disajikan contoh penghitungan dimensi Fraktal dari citra

Lena.

1. Penghitungan banyaknya Selimut

Seperti pada penjelasan sebelumnya, citra input diproses terlebih

dahulu untuk mempermudah penghitungan. Citra input dirubah

menjadi resolusi 1024 x 1024 piksel kemudian diproses hingga

mendapatkan citra biner seperti tampak pada gambar 3.5 (b).


69

Berikut ini adalah diagram alir penghitungan banyaknya submatriks

berukuran untuk beberapa nilai yang dapat memuat citra

(memuat paling sedikit satu elemen bilangan 1).

Gambar 3.5 (a) Citra Asli Lena

(Sumber : https://www.npmjs.com/package/lena)

Gambar 3.5 (b) Citra Biner

Lena dengan deteksi tepi Canny

Matriks Biner

𝑘 𝑘

𝑁𝛿(𝐴𝑖) Jika jumlahan

elemen-elemen

𝐴𝑖

𝑚 𝑘

Penentuan ukuran matriks

𝛿 𝛿, dengan 𝛿 𝑚

Mempartisi matriks dengan

membentuk matriks 𝐴𝑖 berukuran 𝛿 𝛿 dengan

𝑖 𝑘/𝛿

End

𝑁𝛿(𝐴)

Start

Tidak

Ya

𝑁𝛿(𝐴𝑖)

Gambar 3.6 Diagram alir pencacahan selimut


70

Berikut ini adalah list program MATLAB untuk penghitungan

banyaknya submatriks berukuran untuk beberapa nilai yang

dapat memuat citra (memuat paling sedikit satu elemen bilangan 1).

% Program penghitungan banyaknya matriks yang memuat

elemen 1 untuk setiap submatriks berukuran 2^n x 2^n % input : citra RGB Lena dengan format jpg % output : banyaknya submatriks yang memuat elemen 1 clear; P=imread('lena.jpg'); m=1024; P=imresize(P,[m,m]); Q=rgb2gray(P); B=edge(Q,'canny'); jumlah=0; C=zeros(1,log10(m)/log10(2)); D=zeros(1,log10(m)/log10(2)); for n=1:(log10(m)/log10(2)) jumlah=0; for i=1:2.^n:m for k=1:2.^n:m A=[B((i:i+(2.^n-1)),(k:k+(2.^n-1)))]; if sum(sum(A))>=1 jumlah=jumlah+1; end end end D(n)=jumlah C(n)=2.^n end;

2. Penghitungan Dimensi Fraktal

Hasil pada langkah (a) akan menghasilkan sejumlah sampel untuk

beberapa nilai . Berikut ini adalah hasil yang diperoleh untuk

pengolahan citra Lena.

Gambar 3.7 List program pencacahan selimut untuk citra Lena

gambar 3.5 (a)


71

Tabel 3.3 Perolehan jumlah selimut- untuk Citra Lena

(piksel)

2 39730 0,3010 4,5991

4 20589 0,6021 4,3136

8 7686 0,9031 3,8857

16 2411 1,2041 3,3822

32 759 1,5051 2,8802

64 221 1,8062 2,3444

128 63 2,1072 1,7993

256 16 2,4082 1,2041

512 4 2,7093 0,6021

1024 1 3,0103 0

Selanjutnya untuk menentukan dimensinya digunakan persamaan garis

regresi. Harga mutlak dari persamaan garis regresi dan

inilah yang akan menjadi dimensi Fraktalnya. Dengan menggunakan

Microsoft Excel diperoleh persamaan garis regresi seperti pada gambar

3.8 berikut ini.

Dengan demikian diperoleh dimensi Fraktal dari gambar Lena adalah

1,7327.

y = -1,7327x + 5,3699

R² = 0,9938

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

𝛿

𝑁𝛿

Gambar 3.8 Garis Regresi untuk dimensi citra Lena


72

3. Penghitungan Nilai Galat dari Sampel (Residual)

Sesuai dengan definisi 3.1.2 nilai Residual diperoleh dari hasil selisih

antara nilai prediksi dengan nilai berdasarkan

pencacahan sebelumnya. Berikut ini adalah tabel 3.4 yang menyatakan

nilai residual untuk setiap nilai .

Tabel 3.4 Nilai residual masing masing untuk Citra Lena

prediksi Residual

2 4,5991 4,8483 -0,2492

4 4,3136 4,3267 -0,0131

8 3,8857 3,8051 0,0806

16 3,3822 3,2835 0,0987

32 2,8802 2,7619 0,1183

64 2,3444 2,2403 0,1041

128 1,7993 1,7187 0,0806

256 1,2041 1,1971 0,0070

512 0,6021 0,6755 -0,0735

1024 0,0000 0,1540 -0,1540

jika ditampilkan dalam bentuk grafik diperoleh

-0,40

-0,20

0,00

0,20

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50

𝛿

Res

idu

al

𝑁𝛿

Gambar 3.9 Nilai residual 𝑁𝛿 untuk Citra Lena


73

BAB IV


Pada bab ini akan dibahas penggunaan konsep Geometri Fraktal untuk

mencari prediksi panjang garis pantai Yogyakarta. Garis pantai Yogyakarta

terlebih dahulu dicari dimensi fraktalnya. Metode yang digunakan adalah analisis

citra satelit, dalam hal ini penulis menggunakan bantuan Google Maps untuk

memetakan gambar garis pantai Yogyakarta. Langkah pengambilan citra dari

Google Maps adalah menyematkan terlebih dahulu peta dari Google Maps dengan

ukuran yang cukup besar dan disimpan dalam format html. Peta dalam format

html kemudian dirubah ke format jpg. Langkah ini akan memberikan citra digital

yang lebih baik dibandingkan dengan pengambilan citra secara screenshot.

Citra yang diperoleh kemudian dipotong-potong berdasarkan karakteristik

dan sifat keserupaan (similar) yang menjadi sifat utama dari bangun fraktal.

Langkah selanjutnya menentukan dimensi fraktal dari masing-masing bagian garis

pantai dengan metode Hitung Kotak. Untuk mencari dimensi fraktal dari masing-

masing bagian garis pantai ini penulis menggunakan bantuan MATLAB. Setelah

diperoleh dimensi fraktal dari masing-masing bagian garis pantai, langkah

selanjutnya adalah menentukan panjang garis pantai dari masing-masing bagian.

Jumlahan panjang garis pantai dari masing-masing bagian inilah yang menjadi

nilai pendekatan panjang garis pantai yang dicari.


74

A. Dimensi Fraktal Garis Pantai Yogyakarta

Dimensi Fraktal dihitung dengan menggunakan bantuan software

MATLAB. Algoritma yang dipakai sama seperti pada contoh dimensi citra

digital gambar Lena pada bab 3. Sebelum garis pantai Yogyakarta dihitung

dimensinya gambar input dipotong-potong terlebih dahulu. Pemotongan ini

disesuaikan dengan karakteristik pantai berdasarkan bentuk pantai. Guna

pemotongan ini adalah untuk mendapatkan gambar yang lebih detail sesuai

dengan bentuk garis pantai yang aslinya. Semakin banyak potongan akan

semakin detail hasilnya.

Terdapat tujuh bagian garis pantai, selanjutnya akan dicari dimensi fraktal

dari masing-masing bagian. Namun, sebelum dicari dimensinya citra input

untuk masing-masing bagian diproses terlebih dahulu. Langkah ini bertujuan

untuk menghapus keterangan-keterangan lokasi dan jalan pada citra sehingga

diperoleh citra RGB yang tersusun atas dua warna. Pada proses ini penulis

menggunakan bantuan software Photo Scape. Hasil dari proses editing citra

Gambar 4.1 (a) Garis pantai

Yogyakarta via google maps

Gambar 4.1 (b) Pemotongan

garis pantai menjadi 7 bagian


75

input ini akan mempermudah proses selanjutnya, yaitu proses deteksi tepi.

Berikut ini adalah pembahasan untuk masing-masing bagian garis pantai.

a. Garis Pantai I

Berikut ini adalah hasil pemrosesan setelah citra input untuk garis

pantai bagian I yang telah diproses menggunakan Photo Scape dan setelah

diproses dengan deteksi tepi Canny.

Hasil penghitungan banyaknya selimut untuk garis pantai bagian I

ditunjukkan pada tabel 4.1 berikut ini.

Tabel 4.1 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian I

(piksel)

2 639 0,3010 2,8021

4 354 0,6021 2,5502

8 182 0,9031 2,2648

16 94 1,2041 1,9731

32 47 1,5051 1,6721

64 24 1,8062 1,3802

128 12 2,1072 1,0792

256 6 2,4082 0,7782

512 3 2,7093 0,4771

1024 1 3,0103 0

Gambar 4.2 (a) Garis pantai I

setelah diproses dengan Photo Scape

Gambar 4.2 (b) Citra biner garis

pantai I dengan deteksi tepi Canny


76

Berikut ini adalah persamaan garis regresi untuk dimensi garis pantai bagian

I.

Dari gradien persamaan garis regresi pada gambar 4.3 di atas diperoleh

bahwa dimensi garis pantai bagian I adalah 1,0094.

b. Garis Pantai II


pantai bagian II yang telah diproses menggunakan Photo Scape dan setelah


y = -1,0094x + 3,169

R² = 0,9963

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

-0,20

0,00

0,20

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50

𝑁𝛿

𝛿

Gambar 4.3 Garis regresi untuk dimensi garis pantai bagian I

Res

idu

al

𝑁𝛿

𝛿

Gambar 4.4 Nilai residual 𝑁𝛿 untuk garis pantai bagian I


77

Hasil penghitungan banyaknya selimut untuk garis pantai bagian II


Tabel 4.2 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian II

(piksel)

2 600 0,3010 2,7782

4 324 0,6021 2,5105

8 168 0,9031 2,2253

16 86 1,2041 1,9345

32 44 1,5051 1,6435

64 22 1,8062 1,3424

128 12 2,1072 1,0414

256 5 2,4082 0,6990

512 3 2,7093 0,4771

1024 1 3,0103 0


II.

Gambar 4.5 (a) Garis pantai II

setelah diproses dengan Photo Scape Gambar 4.5 (b) Citra biner garis

pantai II dengan deteksi tepi Canny


78


bahwa dimensi garis pantai bagian II adalah 1,0036.

c. Garis Pantai III


pantai bagian III yang telah diproses menggunakan Photo Scape dan setelah


y = -1,0036x + 3,1268

R² = 0,9972

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

-0,20

-0,10

0,00

0,10

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50

𝑁𝛿

𝛿

Gambar 4.6 Garis regresi untuk dimensi garis pantai bagian II

Res

idu

al

𝑁𝛿

𝛿

Gambar 4.7 Nilai residual 𝑁𝛿 untuk garis pantai bagian II


79

Hasil penghitungan banyaknya selimut untuk garis pantai bagian III


Tabel 4.3 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian III

(piksel)

2 819 0,3010 2,9133

4 445 0,6021 2,6484

8 228 0,9031 2,3579

16 120 1,2041 2,0792

32 60 1,5051 1,7782

64 30 1,8062 1,4771

128 14 2,1072 1,1461

256 7 2,4082 0,8451

512 3 2,7093 0,4771

1024 1 3,0103 0


III.

Gambar 4.8 (a) Garis pantai III


pantai III dengan deteksi tepi Canny


80


bahwa dimensi garis pantai bagian III adalah 1,0486.

d. Garis Pantai IV


pantai bagian IV yang telah diproses menggunakan Photo Scape dan setelah


y = -1,0486x + 3,3083

R² = 0,9947

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

-0,20

-0,10

0,00

0,10

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50

𝑁𝛿

𝛿

Gambar 4.9 Garis regresi untuk dimensi garis pantai bagian III

Res

idu

al

𝑁𝛿

𝛿

Gambar 4.10 Nilai residual 𝑁𝛿 untuk garis pantai bagian III


81

Hasil penghitungan banyaknya selimut untuk garis pantai bagian IV


Tabel 4.4 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian IV

(piksel)

2 819 0,3010 2,9133

4 433 0,6021 2,6365

8 222 0,9031 2,3464

16 104 1,2041 2,0170

32 45 1,5051 1,6532

64 23 1,8062 1,3617

128 11 2,1072 1,0414

256 5 2,4082 0,6990

512 3 2,7093 0,4771

1024 1 3,0103 0


IV.

Gambar 4.11 (a) Garis pantai IV


pantai IV dengan deteksi tepi Canny


82

.


bahwa dimensi garis pantai bagian IV adalah 1,0628.

e. Garis Pantai V


pantai bagian V yang telah diproses menggunakan Photo Scape dan setelah


y = -1,0628x + 3,2742

R² = 0,9981

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

-0,10

0,00

0,10

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50

𝑁𝛿

Gambar 4.12 Garis regresi untuk dimensi garis pantai bagian IV

𝛿

Res

idu

al

𝑁𝛿

Gambar 4.13 Nilai residual 𝑁𝛿 untuk garis pantai bagian IV

𝛿


83

Hasil penghitungan banyaknya selimut untuk garis pantai bagian V


Tabel 4.5 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian V

(piksel)

2 767 0,3010 2,8848

4 410 0,6021 2,6128

8 212 0,9031 2,3263

16 99 1,2041 1,9956

32 46 1,5051 1,6628

64 25 1,8062 1,3979

128 13 2,1072 1,1139

256 5 2,4082 0,6990

512 3 2,7093 0,4771

1024 1 3,0103 0

Berikut ini adalah persamaan garis regresi untuk dimensi garis pantai

bagian V.

Gambar 4.14 (a) Garis pantai V


pantai V dengan deteksi tepi Canny


84


bahwa dimensi garis pantai bagian V adalah 1,0461.

f. Garis Pantai VI


pantai bagian VI yang telah diproses menggunakan Photo Scape dan setelah


y = -1,0461x + 3,249

R² = 0,997

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

-0,20

-0,10

0,00

0,10

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50

𝑁𝛿

𝛿

Gambar 4.15 Garis regresi untuk dimensi garis pantai bagian V

Res

idu

al

𝑁𝛿

𝛿

Gambar 4.16 Nilai residual 𝑁𝛿 untuk garis pantai bagian V


85

Hasil penghitungan banyaknya selimut untuk garis pantai bagian VI


Tabel 4.6 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian VI

(piksel)

2 767 0,3010 2,8848

4 410 0,6021 2,6128

8 212 0,9031 2,3263

16 99 1,2041 1,9956

32 46 1,5051 1,6628

64 25 1,8062 1,3979

128 13 2,1072 1,1139

256 5 2,4082 0,6990

512 3 2,7093 0,4771

1024 1 3,0103 0


VI.

Gambar 4.17 (a) Garis pantai VI

setelah diproses dengan Photo Scape

Gambar 4.17 (b) Citra biner garis

pantai VI dengan deteksi tepi Canny


86


bahwa dimensi garis pantai bagian VI adalah 1,0885.

g. Garis Pantai VII


pantai bagian VII yang telah diproses menggunakan Photo Scape dan

setelah diproses dengan deteksi tepi Canny.

y = -1,0885x + 3,3373

R² = 0,9981

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

-0,10

0,00

0,10

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50

𝑁𝛿

𝛿

Gambar 4.18 Garis Regresi untuk dimensi garis pantai bagian VI

Res

idu

al

𝑁𝛿

𝛿

Gambar 4.19 Nilai residual 𝑁𝛿 untuk garis pantai bagian VI


87

Hasil penghitungan banyaknya selimut untuk garis pantai bagian VII


Tabel 4.7 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian VII

(piksel)

2 843 0,3010 2,9258

4 454 0,6021 2,6571

8 231 0,9031 2,3636

16 116 1,2041 2,0645

32 57 1,5051 1,7559

64 23 1,8062 1,3617

128 10 2,1072 1

256 6 2,4082 0,7782

512 4 2,7093 0,6021

1024 1 3,0103 0

Berikut ini adalah persamaan garis regresi untuk dimensi garis pantai

bagian VII

Gambar 4.20 (a) Garis pantai VII


pantai VII dengan deteksi tepi Canny


88


bahwa dimensi garis pantai bagian VII adalah 1,0516.

B. Prediksi Panjang Garis Pantai Yogyakarta

Untuk memprediksikan panjang garis pantai Yogyakarta perlu dicari

panjang garis pantai untuk tiap-tiap bagian. Panjang garis pantai ( ) dapat

ditentukan oleh ( ) (Mojica et.al). Panjang dari garis pantai

Yogyakarta dipengaruhi juga dengan skala pada gambar. Oleh karena itu,

pengukuran diukur secara langsung dengan bantuan Geogebra dengan

memperhatikan skala yang terdapat pada citra dari Google Maps. Pada

y = -1,0516x + 3,292

R² = 0,9934

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

-0,20

0,00

0,20

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50

𝑁𝛿

𝛿

Gambar 4.21 Garis regresi untuk dimensi garis pantai bagian VII

Res

idu

al

𝑁𝛿

𝛿

Gambar 4.22 Nilai residual 𝑁𝛿 untuk garis pantai bagian VII


89

pengukuran ini diambil adalah ukuran kotak terkecil yang dapat memuat

gambar dengan . Berikut ini adalah tabel perolehan hasil prediksi

panjang garis pantai dengan menggunakan dimensi yang sudah dicari

sebelumnya.

Tabel 4.8 Prediksi panjang garis pantai tiap-tiap bagian

Garis Pantai (meter) Dimensi Panjang (meter)

I 21.059,9113 1,0094 23.125,8140

II 15.316,2991 1,0036 15.856,9769

III 8.028,9834 1,0486 12.428,7388

IV 11.426,8560 1,0628 20.547,7634

V 15.156,7543 1,0461 23.622,8427

VI 12.030,5390 1,0885 27.630,6000

VII 6.838,8655 1,0516 10.786,2192

Total Panjang 133.998,9550

Dengan demikian berdasarkan tabel 4.8 diperoleh prediksi panjang garis pantai

Yogyakarta adalah 133.998,9550 atau sekitar 134 .

Berdasarkan pengukuran langsung melalui google maps dengan fasilitas

Ukur Jarak yang dimiliki google maps hasil yang diperoleh adalah sebagai

berikut.

Tabel 4.9 Hasil pengukuran langsung pada google maps

Garis

Pantai

Banyak titik

pengukuran

Panjang

(meter)

I 74 23.91

II 43 16.39

III 84 11.90

IV 420 18.78

V 577 22.62

VI 426 22.60

VII 280 11.11

Total 1940 127.31


90

Dari tabel 4.8 tersebut menunjukkan bahwa prediksi panjang garis pantai

Yogyakarta adalah 133.998,9550 atau sekitar 134 . Berdasarkan

pengukuran langsung pada Google Maps pada tabel 4.9 menunjukkan panjang

garis pantai Yogyakarta adalah 127,31 atau sekitar 127 . Jika

diasumsikan panjang garis pantai yang sebenarnya adalah 127 maka

prediksi panjang garis pantai memiliki galat 5,51%. Galat tersebut berarti

bahwa prediksi panjang garis pantai dengan pendekatan fraktal lebih panjang

5,51% dari hasil pengukuran langsung pada Google Maps. Berdasarkan sumber

lain dari Badan Lingkungan Hidup (BLH) Daerah Istimewa Yogyakarta,

Yogyakarta memiliki panjang garis pantai sepanjang 113 Jika

dibandingkan dengan hasil prediksi, berarti bahwa nilai prediksi lebih panjang

dari panjang garis pantai menurut BLH dengan selisih 21 atau dengan nilai

galat 18,58%.


91

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Dimensi fraktal adalah suatu ukuran yang menggambarkan kepadatan dari

suatu bangun fraktal. Analisis fraktal garis pantai di Yogyakarta dilakukan

dengan memotong citra garis pantai Yogyakarta menjadi beberapa bagian.

Langkah selanjutnya adalah mencari dimensi fraktal untuk tiap-tiap bagian.

Dimensi fraktal dari citra digital garis pantai untuk tiap-tiap bagian dicari

dengan menggunakan bantuan Software MATLAB. Dimensi fraktal yang

diperoleh inilah yang digunakan untuk memprediksi panjang garis pantai

Yogyakarta. Berdasarkan hasil yang diperoleh dari pembahasan sebelumnya,

dapat disimpulkan bahwa :

a. Cara mencari dimensi fraktal dari garis pantai Yogyakarta adalah

sebagai berikut :

1. Citra digital yang diperoleh dari Google Maps diproses terlebih

dahulu dengan menggunakan editor foto untuk menghilangkan

objek-objek lain yang tampak pada citra digital seperti jalan dan

keterangan-keterangan tempat.

2. Potong citra digital dengan rasio 1 : 1 untuk mendapatkan citra

digital berbentuk persegi. Tujuan pemotongan ini adalah untuk

mempertahankan kesebangunan ketika citra digital dirubah

ukurannya menjadi ukuran yang lebih besar.


92

3. Setelah melalui tahap editing, langkah selanjutnya adalah

menentukan dimensi fraktal dengan bantuan MATLAB sesuai

dengan program yang telah dibuat.

b. Cara memprediksi panjang garis pantai Yogyakarta adalah dengan

menggunakan rumus ( ) dengan ( ) panjang prediksi

garis pantai, panjang selimut (ukuran grid), banyaknya selimut

atau kotak-kotak persegi (grid) yang dapat memuat garis pantai, dan

dimensi garis pantai.

c. Data atau pemetaan lokasi oleh Google Maps dari waktu ke waktu selalu

mengalami pembaharuan. Untuk dapat memprediksi panjang garis

pantai Yogyakarta dengan pendekatan fraktal tidak membutuhkan waktu

yang lama. Dua hal ini dapat dimanfaatkan untuk selalu memperbaharui

panjang garis pantai Yogyakarta dengan cepat. Oleh karena itu, hasil

penelitian bermanfaat untuk meningkatkan kesiagaan masyarakat yang

tinggal di daerah pesisir pantai untuk selalu waspada terhadap abrasi.

Mengingat bahwa, salah satu faktor yang mempengaruhi panjang garis

pantai adalah faktor abrasi.

B. Saran

Penelitian ini tak lepas dari adanya hambatan-hambatan yang ditemui

penulis selama penelitian. Oleh karena itu, saran-saran yang dapat penulis

berikan untuk penelitian selanjutnya yang berkaitan dengan analisis fraktal

citra digital adalah :


93

1. Penelitian ini didasarkan pada citra satelit yang diambil dari google

maps. Citra hasil pengambilan dari google maps bisa menghasilkan

beragam ukuran (resolusi). Besar kecilnya resolusi mempengaruhi

dimensi yang diperoleh, oleh karena itu sebaiknya download gambar

dari google maps menggunakan resolusi yang tinggi.

2. Untuk menghasilkan gambar input yang baik pada penelitian ini

diperlukan proses editing menggunakan Photo Scape. Jika

dimungkinkan adanya pemetaan web yang lebih baik atau editor foto

yang lebih baik, sebaiknya digunakan aplikasi tersebut untuk

memperoleh hasil yang lebih optimal.

3. Penelitian ini mengabaikan faktor-faktor yang dapat mempengaruhi

bentuk garis pantai. Penelitian selanjutnya dapat mengikutsertakan

faktor-faktor alam yang dapat mempengaruhi garis pantai seperti

struktur batuan dan abrasi. Faktor-faktor ini dapat digunakan untuk

melihat kecederungan besar dimensi fraktal terhadap faktor-faktor yang

mempengaruhi bentuk garis pantai.


94

DAFTAR PUSTAKA

Ardian, Arfi. 2016. 70 Destinasi Wisata Pantai di Wonosari, Gunung Kidul, Jogja.

Diakses tanggal 17 April 2017 dari http://www.noyvesto.net/2016/04/70-

tempat-wisata-pantai-di-Gunung-Kidul-Jogja-Wonosari.html.

Badan Informasi Geospasial. 2016. BIG Kembali Melakukan Pemotretan Garis

Pantai menggunakan LSU (LAPAN Surveilance UAV). Diakses tanggal

17 April 2017 dari http://www.bakosurtanal.go.id/berita-surta/show/big-

kembali-melakukan-pemotretan-garis-pantai-menggunakan-lsu-lapan

surveilance-uav-.

Badan Lingkungan Hidup Daerah Istimewa Yogyakarta. 2016. Laporan Status

Lingkungan Hidup Daerah SLDH DIY. Diakses tanggal 15 Mei 2017

dari http://www.blh.jogjaprov.go.id/detailpost/laporan-status-lingkungan-

hidup-daerah-slhd-diy.

Barnsley, M. 1988. Fractals Everywhere. Buston : Academic Press, Inc.

Burton, David M. 2007. The History of Mathematics an Introduction Seventh

Edition. New York : The McGraw-Hill Companies, Inc.

Crownover, Richard M. 1995. Introduction to Fractals and Chaos. Boston : Jones

and Bartlett Publishers.

Tanpa nama. 2016. Daftar Obyek Wisata di Kulon Progo Yogyakarta yang Indah

Terpopuler. Diakses tanggal 17 April 2017 dari http://www.yogyalagi

.com/2016/12/daftar-obyek-wisata-di-kulonprogo.html.

Tanpa nama. 2016. Daftar Wisata di Bantul Yogyakarta Terpopuler dan Paling

Asik Dikunjungi. Diakses tanggal 17 April 2017 dari

http://www.yogyalagi.com/ 2016/10/daftar-wisata-di-bantul-

yogyakarta.html.

Edgar, Gerald. 2008. Measure, Topology, and Fractal Geometry Second Edition.

New York : Springer.

Falconer, Kenneth. 2003. Fractal Geometry Mathematical Foundations and

Applications Second Edition. Chichester : John Wiley and Sons Ltd.

Hanzelman, Duane dan Bruce Littlefield. 2002. Matlab Bahasa Komputasi

Teknis, terj. Jozep Edyanto. Yogyakarta : Andi

Mandelbrot, Beniot B. 1983. The Fractal Geometry of Nature. New York : W. H.

Freeman and Company.

Mojica, Alexis et. al. 2011. Fractal Analysis of the Complexity of Panama City

Coastline, Central America dalam Revista Geografica 149 : 33-45.

Murwani, Titik. 2011. Dimensi Fraktal Himpunan Julia (skripsi). Yogyakarta :



http://www.noyvesto.net/2016/04/70-tempat-wisata-pantai-di-Gunung-Kidul-Jogja-Wonosari.html

http://www.noyvesto.net/2016/04/70-tempat-wisata-pantai-di-Gunung-Kidul-Jogja-Wonosari.html

http://www.bakosurtanal.go.id/berita-surta/show/big-kembali-melakukan-pemotretan-garis-pantai-menggunakan-lsu-lapan%20surveilance-uav-



http://www.blh.jogjaprov.go.id/detailpost/laporan-status-lingkungan-hidup-daerah-slhd-diy

http://www.blh.jogjaprov.go.id/detailpost/laporan-status-lingkungan-hidup-daerah-slhd-diy

http://www.yogyalagi.com/%202016/10/daftar-wisata-di-bantul-yogyakarta.html

http://www.yogyalagi.com/%202016/10/daftar-wisata-di-bantul-yogyakarta.html

95

Oliver, Dick. 1997. Memandang Realita dengan Fractalvision terj. P. Insap

Santosa. Yogyakarta : Andi.

Pramadhana, Wahyu Indra. 2014. MATLAB-Latihan GUI dan Interaksi dengan

Handles. Diakses tanggal 4 Juni 2017 dari https://www.youtube.com

/watch?v=Q6dRW6Fml3A.

Searcóid, Mícheál Ó. 2007. Metric Spaces. London : Springer.

Shirali, Satish dan Harkrishan L. Vasudeva. 2006. Metric Spaces. London :

Springer.

Wahyuono, Yakobus Dwi. 1998. Geometri Fraktal (skripsi). Yogyakarta :


Walpole, Ronald. E. et. al. 2012. Probability & Statistics for Engineers &

Scientists ninth edition. Boston : Pearson Education, Inc.

Wijaya, Marvin Ch dan Agus Prijono. 2007. Pengolahan Citra Digital

Menggunakan Matlab. Bandung : Informatika Bandung.


96

LAMPIRAN

A. LIST PROGRAM TAMPILAN GUI (GRAPHICAL USER INTERFACE)

MATLAB

% Program tampilan GUI penghitungan dimensi fraktal % input : citra RGB pantai 1-7 dengan format jpg % output : dimensi fraktal, garis regresi, residual, citra

asli, citra biner function varargout = dimensi_gp(varargin) gui_Singleton = 1; gui_State = struct('gui_Name', mfilename, ... 'gui_Singleton', gui_Singleton, ... 'gui_OpeningFcn',

@dimensi_gp_OpeningFcn, ... 'gui_OutputFcn',

@dimensi_gp_OutputFcn, ... 'gui_LayoutFcn', [] , ... 'gui_Callback', []); if nargin && ischar(varargin{1}) gui_State.gui_Callback = str2func(varargin{1}); end if nargout [varargout{1:nargout}] = gui_mainfcn(gui_State,

varargin{:}); else gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); end function dimensi_gp_OpeningFcn(hObject, eventdata,

handles, varargin) handles.output = hObject; guidata(hObject, handles); function varargout = dimensi_gp_OutputFcn(hObject,

eventdata, handles) varargout{1} = handles.output; % menampilkan untuk garis pantai bagian I function pushbutton1_Callback(hObject, eventdata, handles) p=imread('pantai1.jpg'); m=1024; p=imresize(p,[m,m]); q=rgb2gray(p); b=edge(q,'canny'); jumlah=0; C=zeros(1,log10(m)/log10(2)); D=zeros(1,log10(m)/log10(2)); for n=1:(log10(m)/log10(2)) jumlah=0; for i=1:2.^n:m for k=1:2.^n:m A=[b((i:i+(2.^n-1)),(k:k+(2.^n-1)))]; if sum(sum(A))>=1 jumlah=jumlah+1; end


97

end end D(n)=log10(jumlah); C(n)=log10(2.^n); end %menampilkan citra asli garis pantai I axes(handles.axes1); t=imread('pantai1.jpg'); imshow(t); title('Citra Input Garis Pantai I'); %menampilkan citra deteksi canny garis pantai I axes(handles.axes2); imshow(b); title('Deteksi Tepi canny'); %menampilkan garis regresi garis pantai I axes(handles.axes3); C2=C*C'; CD=C*D'; Sx=sum(C); Sy=sum(D); a=(C2*Sy-Sx*CD)/(n*C2-Sx^2); b=(n*CD-Sx*Sy)/(n*C2-Sx^2); xx=0:log10(2.^n)+1; yy=a+b*xx; plot(C,D,'o',xx,yy); title('Garis Regresi'); xlabel('2log(n)'); ylabel('log(N,n)'); %menampilkan dimensi garis pantai I dim=num2str(abs(b)); set(handles.text1,'string',dim); %menampilkan residual garis pantai I axes(handles.axes4); E=zeros(1,log10(m)/log10(2)); for w=1:(log10(m)/log10(2)) E(w)=D(w)-(a+b*C(w)); end plot(C,E,'O'); title('Nilai Residual'); xlabel('2log(n)'); ylabel('Residual log(N,n)'); % menampilkan untuk garis pantai bagian II function pushbutton2_Callback(hObject, eventdata, handles) p=imread('pantai2.jpg'); m=1024; p=imresize(p,[m,m]); q=rgb2gray(p); b=edge(q,'canny'); jumlah=0; C=zeros(1,log10(m)/log10(2)); D=zeros(1,log10(m)/log10(2)); for n=1:(log10(m)/log10(2)) jumlah=0; for i=1:2.^n:m for k=1:2.^n:m A=[b((i:i+(2.^n-1)),(k:k+(2.^n-1)))];


98

if sum(sum(A))>=1 jumlah=jumlah+1; end end end D(n)=log10(jumlah); C(n)=log10(2.^n); end %menampilkan citra asli garis pantai II axes(handles.axes1); t=imread('pantai2.jpg'); imshow(t); title('Citra Input Garis Pantai II'); %menampilkan citra deteksi canny garis pantai II axes(handles.axes2); imshow(b); title('Deteksi Tepi canny'); %menampilkan garis regresi garis pantai II axes(handles.axes3); C2=C*C'; CD=C*D'; Sx=sum(C); Sy=sum(D); a=(C2*Sy-Sx*CD)/(n*C2-Sx^2); b=(n*CD-Sx*Sy)/(n*C2-Sx^2); xx=0:log10(2.^n)+1; yy=a+b*xx; plot(C,D,'o',xx,yy); title('Garis Regresi'); xlabel('2log(n)'); ylabel('log(N,n)'); %menampilkan dimensi garis pantai II dim=num2str(abs(b)); set(handles.text1,'string',dim); %menampilkan residual garis pantai II axes(handles.axes4); E=zeros(1,log10(m)/log10(2)); for w=1:(log10(m)/log10(2)) E(w)=D(w)-(a+b*C(w)); end plot(C,E,'O'); title('Nilai Residual'); xlabel('2log(n)'); ylabel('Residual log(N,n)'); % menampilkan untuk garis pantai bagian III function pushbutton3_Callback(hObject, eventdata, handles) p=imread('pantai3.jpg'); m=1024; p=imresize(p,[m,m]); q=rgb2gray(p); b=edge(q,'canny'); jumlah=0; C=zeros(1,log10(m)/log10(2)); D=zeros(1,log10(m)/log10(2)); for n=1:(log10(m)/log10(2)) jumlah=0;


99

for i=1:2.^n:m for k=1:2.^n:m A=[b((i:i+(2.^n-1)),(k:k+(2.^n-1)))]; if sum(sum(A))>=1 jumlah=jumlah+1; end end end D(n)=log10(jumlah); C(n)=log10(2.^n); end %menampilkan citra asli garis pantai III axes(handles.axes1); t=imread('pantai3.jpg'); imshow(t); title('Citra Input Garis Pantai III'); %menampilkan citra deteksi canny garis pantai III axes(handles.axes2); imshow(b); title('Deteksi Tepi canny'); %menampilkan garis regresi garis pantai III axes(handles.axes3); C2=C*C'; CD=C*D'; Sx=sum(C); Sy=sum(D); a=(C2*Sy-Sx*CD)/(n*C2-Sx^2); b=(n*CD-Sx*Sy)/(n*C2-Sx^2); xx=0:log10(2.^n)+1; yy=a+b*xx; plot(C,D,'o',xx,yy); title('Garis Regresi'); xlabel('2log(n)'); ylabel('log(N,n)'); %menampilkan dimensi garis pantai III dim=num2str(abs(b)); set(handles.text1,'string',dim); %menampilkan residual garis pantai III axes(handles.axes4); E=zeros(1,log10(m)/log10(2)); for w=1:(log10(m)/log10(2)) E(w)=D(w)-(a+b*C(w)); end plot(C,E,'O'); title('Nilai Residual'); xlabel('2log(n)'); ylabel('Residual log(N,n)'); % menampilkan untuk garis pantai bagian IV function pushbutton4_Callback(hObject, eventdata, handles) p=imread('pantai4.jpg'); m=1024; p=imresize(p,[m,m]); q=rgb2gray(p); b=edge(q,'canny'); jumlah=0; C=zeros(1,log10(m)/log10(2));


100

D=zeros(1,log10(m)/log10(2)); for n=1:(log10(m)/log10(2)) jumlah=0; for i=1:2.^n:m for k=1:2.^n:m A=[b((i:i+(2.^n-1)),(k:k+(2.^n-1)))]; if sum(sum(A))>=1 jumlah=jumlah+1; end end end D(n)=log10(jumlah); C(n)=log10(2.^n); end %menampilkan citra asli garis pantai IV axes(handles.axes1); t=imread('pantai4.jpg'); imshow(t); title('Citra Input Garis Pantai IV'); %menampilkan citra deteksi canny garis pantai IV axes(handles.axes2); imshow(b); title('Deteksi Tepi canny'); %menampilkan garis regresi garis pantai IV axes(handles.axes3); C2=C*C'; CD=C*D'; Sx=sum(C); Sy=sum(D); a=(C2*Sy-Sx*CD)/(n*C2-Sx^2); b=(n*CD-Sx*Sy)/(n*C2-Sx^2); xx=0:log10(2.^n)+1; yy=a+b*xx; plot(C,D,'o',xx,yy); title('Garis Regresi'); xlabel('2log(n)'); ylabel('log(N,n)'); %menampilkan dimensi garis pantai IV dim=num2str(abs(b)); set(handles.text1,'string',dim); %menampilkan residual garis pantai IV axes(handles.axes4); E=zeros(1,log10(m)/log10(2)); for w=1:(log10(m)/log10(2)) E(w)=D(w)-(a+b*C(w)); end plot(C,E,'O'); title('Nilai Residual'); xlabel('2log(n)'); ylabel('Residual log(N,n)'); % menampilkan untuk garis pantai bagian V function pushbutton5_Callback(hObject, eventdata, handles) p=imread('pantai5.jpg'); m=1024; p=imresize(p,[m,m]); q=rgb2gray(p);


101

b=edge(q,'canny'); jumlah=0; C=zeros(1,log10(m)/log10(2)); D=zeros(1,log10(m)/log10(2)); for n=1:(log10(m)/log10(2)) jumlah=0; for i=1:2.^n:m for k=1:2.^n:m A=[b((i:i+(2.^n-1)),(k:k+(2.^n-1)))]; if sum(sum(A))>=1 jumlah=jumlah+1; end end end D(n)=log10(jumlah); C(n)=log10(2.^n); end %menampilkan citra asli garis pantai V axes(handles.axes1); t=imread('pantai5.jpg'); imshow(t); title('Citra Input Garis Pantai V'); %menampilkan citra deteksi canny garis pantai V axes(handles.axes2); imshow(b); title('Deteksi Tepi canny'); %menampilkan garis regresi garis pantai V axes(handles.axes3); C2=C*C'; CD=C*D'; Sx=sum(C); Sy=sum(D); a=(C2*Sy-Sx*CD)/(n*C2-Sx^2); b=(n*CD-Sx*Sy)/(n*C2-Sx^2); xx=0:log10(2.^n)+1; yy=a+b*xx; plot(C,D,'o',xx,yy); title('Garis Regresi'); xlabel('2log(n)'); ylabel('log(N,n)'); %menampilkan dimensi garis pantai V dim=num2str(abs(b)); set(handles.text1,'string',dim); %menampilkan residual garis pantai V axes(handles.axes4); E=zeros(1,log10(m)/log10(2)); for w=1:(log10(m)/log10(2)) E(w)=D(w)-(a+b*C(w)); end plot(C,E,'O'); title('Nilai Residual'); xlabel('2log(n)'); ylabel('Residual log(N,n)'); % menampilkan untuk garis pantai bagian VI function pushbutton6_Callback(hObject, eventdata, handles) p=imread('pantai6.jpg');


102

m=1024; p=imresize(p,[m,m]); q=rgb2gray(p); b=edge(q,'canny'); jumlah=0; C=zeros(1,log10(m)/log10(2)); D=zeros(1,log10(m)/log10(2)); for n=1:(log10(m)/log10(2)) jumlah=0; for i=1:2.^n:m for k=1:2.^n:m A=[b((i:i+(2.^n-1)),(k:k+(2.^n-1)))]; if sum(sum(A))>=1 jumlah=jumlah+1; end end end D(n)=log10(jumlah); C(n)=log10(2.^n); end %menampilkan citra asli garis pantai VI axes(handles.axes1); t=imread('pantai6.jpg'); imshow(t); title('Citra Input Garis Pantai VI'); %menampilkan citra deteksi canny garis pantai VI axes(handles.axes2); imshow(b); title('Deteksi Tepi canny'); %menampilkan garis regresi garis pantai VI axes(handles.axes3); C2=C*C'; CD=C*D'; Sx=sum(C); Sy=sum(D); a=(C2*Sy-Sx*CD)/(n*C2-Sx^2); b=(n*CD-Sx*Sy)/(n*C2-Sx^2); xx=0:log10(2.^n)+1; yy=a+b*xx; plot(C,D,'o',xx,yy); title('Garis Regresi'); xlabel('2log(n)'); ylabel('log(N,n)'); %menampilkan dimensi dim=num2str(abs(b)); set(handles.text1,'string',dim); %menampilkan residual garis pantai VI axes(handles.axes4); E=zeros(1,log10(m)/log10(2)); for w=1:(log10(m)/log10(2)) E(w)=D(w)-(a+b*C(w)); end plot(C,E,'O'); title('Nilai Residual'); xlabel('2log(n)'); ylabel('Residual log(N,n)');


103

% menampilkan untuk garis pantai bagian VII function pushbutton7_Callback(hObject, eventdata, handles) p=imread('pantai7.jpg'); m=1024; p=imresize(p,[m,m]); q=rgb2gray(p); b=edge(q,'canny'); jumlah=0; C=zeros(1,log10(m)/log10(2)); D=zeros(1,log10(m)/log10(2)); for n=1:(log10(m)/log10(2)) jumlah=0; for i=1:2.^n:m for k=1:2.^n:m A=[b((i:i+(2.^n-1)),(k:k+(2.^n-1)))]; if sum(sum(A))>=1 jumlah=jumlah+1; end end end D(n)=log10(jumlah); C(n)=log10(2.^n); end %menampilkan citra asli garis pantai VII axes(handles.axes1); t=imread('pantai7.jpg'); imshow(t); title('Citra Input Garis Pantai VII'); %menampilkan citra deteksi canny garis pantai VII axes(handles.axes2); imshow(b); title('Deteksi Tepi canny'); %menampilkan garis regresi garis pantai VII axes(handles.axes3); C2=C*C'; CD=C*D'; Sx=sum(C); Sy=sum(D); a=(C2*Sy-Sx*CD)/(n*C2-Sx^2); b=(n*CD-Sx*Sy)/(n*C2-Sx^2); xx=0:log10(2.^n)+1; yy=a+b*xx; plot(C,D,'o',xx,yy); title('Garis Regresi'); xlabel('2log(n)'); ylabel('log(N,n)'); %menampilkan dimensi garis pantai VII dim=num2str(abs(b)); set(handles.text1,'string',dim); %menampilkan residual garis pantai VII axes(handles.axes4); E=zeros(1,log10(m)/log10(2)); for w=1:(log10(m)/log10(2)) E(w)=D(w)-(a+b*C(w)); end plot(C,E,'O');


104

title('Nilai Residual'); xlabel('2log(n)'); ylabel('Residual log(N,n)'); % menampilkan menu exit function pushbutton8_Callback(hObject, eventdata, handles) close;

B. HASIL EKSEKUSI PROGRAM DENGAN TAMPILAN GUI

a. Tampilan Ketika Pushbutton Garis Pantai I Dijalankan

b. Tampilan Ketika Pushbutton Garis Pantai II Dijalankan


105

c. Tampilan Ketika Pushbutton Garis Pantai III Dijalankan

d. Tampilan Ketika Pushbutton Garis Pantai IV Dijalankan

e. Tampilan Ketika Pushbutton Garis Pantai V Dijalankan


106

f. Tampilan Ketika Pushbutton Garis Pantai VI Dijalankan

g. Tampilan Ketika Pushbutton Garis Pantai VI Dijalankan


Documents

ANALISIS FRAKTAL GARIS PANTAI DI YOGYAKARTA SKRIPSI · pendekatan fraktal ini memberikan arti bahwa panjang garis pantai Yogyakarta ... Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa