47
ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA HOLLING-TANNER TIPE II INTAN SELVYA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016

ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

  • Upload
    lamdieu

  • View
    222

  • Download
    4

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA

HOLLING-TANNER TIPE II

INTAN SELVYA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2016

Page 2: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model
Page 3: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Analisis Kestabilan

Model Mangsa-Pemangsa Holling-Tanner Tipe II adalah benar karya saya dengan

arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada

perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya

yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam

teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.

Bogor, Agustus 2016

Intan Selvya

NIM G54120011

Page 4: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

ABSTRAK

INTAN SELVYA. Analisis Kestabilan Model Mangsa-Pemangsa Holling-Tanner

Tipe II. Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan PAIAN SIANTURI.

Dalam karya ilmiah ini dipelajari model mangsa-pemangsa Holling-Tanner

tipe II dan analisa mengenai karakteristik serta kestabilan titik tetapnya. Dari

model tersebut dilakukan transformasi sehingga diperoleh dua model yang disebut

model 1 dan model 2. Model 1 menghasilkan dua titik tetap dan model 2

menghasilkan empat titik tetap. Analisis kestabilan dilakukan dengan cara

mencari nilai eigen untuk setiap titik tetap dari masing-masing model. Pada model

1 terjadi perubahan kestabilan titik tetap dari spiral stabil menjadi spiral tak stabil.

Perubahan kestabilan tersebut merupakan sifat dari bifurkasi Hopf. Pada model 1

terdapat limit cycle pada titik tetap kedua. Pada model 2 tidak terjadi perubahan

kestabilan dari spiral stabil menjadi spiral tak stabil dan tidak terjadi kemunculan

limit cycle.

Kata kunci: bifurkasi Hopf, Holling-Tanner tipe II, kestabilan, limit cycle.

ABSTRACT

INTAN SELVYA. Stability Analysis of Predator-Prey Model of Holling-Tanner

Type II. Supervised by ALI KUSNANTO and PAIAN SIANTURI.

In this manuscript, we studied the predator-prey model of Holling-Tanner

type II and analysis about characteristics and stability of the fixed point. From

transformation of the model it is obtained two new models, called model 1 and

model 2. Model 1 has two fixed points and model 2 has four fixed points. Stability

analysis is performed by identifying eigenvalues for any fixed point of each model.

In model 1, the stability of a fixed point changes from stable spiral to unstable

spiral. The changes of stability is the characteristic of the Hopf bifurcation. In

model 1, there is a limit cycle at the second fixed point. In model 2, there is no

changes in the stability from stable spiral to unstable spiral and there is no

appearance of limit cycle.

Keywords: Holling-Tanner type II, Hopf bifurcation, limit cycle, stability.

Page 5: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA

HOLLING-TANNER TIPE II

INTAN SELVYA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2016

Page 6: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model
Page 7: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model
Page 8: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model
Page 9: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah subhanahu wa ta’ala atas

segala nikmat, rahmat, karunia, dan pertolongan yang telah diberikan sehingga

karya ilmiah yang berjudul Analisis Kestabilan Model Mangsa-Pemangsa

Holling-Tanner Tipe II dapat diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini tidak

lepas dari bantuan beberapa pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan

terimakasih kepada:

1 Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya,

2 Nabi besar Muhammad SAW sebagai nabi akhir zaman,

3 keluarga tercinta: Ibunda Marliah dan Ayahanda Suarta yang selalu menyebut

nama penulis dalam setiap doanya. Fahmi Junaedi dan Linda Safira yang selalu

menjadi kesayangan,

4 keluarga besar Bapak Icin (alm) dan Bapak Narmin (alm),

5 Bapak Drs. Ali Kusnanto, MSi dan Dr. Paian Sianturi selaku dosen

pembimbing atas segala kesabaran, ilmu, saran dan motivasinya selama

membimbing penulis, serta Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS selaku dosen penguji,

6 staf tata usaha dan perpustakaan Departemen Matematika IPB,

7 guru SMA kebanggaan yang paling berjasa: Bu Pipit dan Pak Ade,

8 sahabat-sahabat: BSW (Menik, Bella, Kokom, Andre, Valen, Dani), Lala, Tia,

Suhe, dan Teh Lia yang telah memberikan motivasi, bantuan, keceriaan, dan

waktu yang berkesan bagi penulis,

9 teman-teman satu bimbingan: Aul dan Vivi yang selalu saling mengingatkan,

membantu dan memberikan motivasi dalam penyusunan karya ilmiah ini,

10 teman-teman mahasiswa Matematika 49, PB Gumatika, Biro Kewirausahaan

Gumatika (Zorro dan Garputala) atas doa, semangat, serta kebersamaan, dan

kerjasamanya selama ini,

11 semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini.

Bogor, Agustus 2016

Intan Selvya

Page 10: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL vi

DAFTAR GAMBAR vi

DAFTAR LAMPIRAN vi

PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Tujuan 1

LANDASAN TEORI 2

PEMODELAN 4

PEMBAHASAN 6

Model 1 6

Penentuan Titik Tetap 6

Analisis Kestabilan Titik Tetap 7

Analisis Kestabilan di Sekitar T 7

Analisis Kestabilan di Sekitar T 7

Analisis Kestabilan di Sekitar T 7

Model 2 8

Penentuan Titik Tetap 8

Analisis Kestabilan Titik Tetap 8

Analisis Kestabilan di Sekitar T 8

Analisis Kestabilan di Sekitar T 9

Analisis Kestabilan di Sekitar T 9

Analisis Kestabilan di Sekitar T 9

SIMULASI NUMERIK 10

SIMPULAN 21

DAFTAR PUSTAKA 22

LAMPIRAN 23

RIWAYAT HIDUP 35

Page 11: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

DAFTAR TABEL

1 Ringkasan analisis kestabilan Model 1 dan Model 2 10

2 Pemilihan nilai parameter untuk Model 1 11

3 Pemilihan nilai parameter untuk Model 2 11

4 Kestabilan hasil simulasi Model 1 dan Model 2 21

DAFTAR GAMBAR

1 Bidang fase populasi mangsa terhadap populasi pemangsa 12

2 Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu 12

3 Bidang fase populasi mangsa terhadap populasi pemangsa 13

4 Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu 13

5 Bidang fase populasi mangsa terhadap populasi pemangsa 14

6 Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu 14

7 Bidang fase yang menunjukkan jenis kestabilan spiral tak stabil 15

8 Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu 15

9 Bidang fase yang menunjukkan terjadi limit cycle 16

10 Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu 16

11 Bidang fase populasi mangsa terhadap populasi pemangsa 17

12 Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu 17

13 Bidang fase populasi mangsa terhadap populasi pemangsa 18

14 Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu 18

15 Bidang fase populasi mangsa terhadap populasi pemangsa 19

16 Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu 19

17 Bidang fase populasi mangsa terhadap populasi pemangsa 20

18 Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu 20

DAFTAR LAMPIRAN

1 Penondimensionalan Model 23

2 Penentuan titik tetap Model 1 24

3 Penentuan titik tetap Model 2 25

4 Penentuan matriks Jacobi Model 1 26

5 Penentuan nilai eigen Model 1 27

6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28

7 Penentuan nilai eigen Model 2 29

8 Program plot bidang fase Kasus 1 Model 1 (Gambar 1) 30

9 Program plot bidang solusi Kasus 1 Model 1 (Gambar 2) 30

10 Program plot bidang fase Kasus 2 Model 1 (Gambar 3) 31

11 Program plot bidang solusi Kasus 2 Model 1 (Gambar 4) 31

12 Program plot bidang fase Kasus 3 Model 1 (Gambar 5) 31

13 Program plot bidang solusi Kasus 3 Model 1 (Gambar 6) 31

14 Program plot bidang fase Kasus 4 Model 1 (Gambar 7) 32

15 Program plot bidang solusi Kasus 4 Model 1 (Gambar 8) 32

16 Program plot bidang fase Kasus 4 Model 1 (Gambar 9) 32

Page 12: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

17 Program plot bidang solusi Kasus 4 Model 1 (Gambar 10) 32

18 Program plot bidang fase Kasus 1 Model 2 (Gambar 11) 33

19 Program plot bidang solusi Kasus 1 Model 2 (Gambar 12) 33

20 Program plot bidang fase Kasus 2 Model 2 (Gambar 13) 33

21 Program plot bidang solusi Kasus 2 Model 2 (Gambar 14) 33

22 Program plot bidang fase Kasus 3 Model 2 (Gambar 15) 33

23 Program plot bidang solusi Kasus 3 Model 2 (Gambar 16) 34

24 Program plot bidang fase Kasus 4 Model 2 (Gambar 17) 34

25 Program plot bidang solusi Kasus 4 Model 2 (Gambar 18) 34

Page 13: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Suatu ekosistem terdiri dari berbagai populasi makhluk hidup. Makhluk

hidup terdiri atas berbagai spesies yang saling berinteraksi dan saling bergantung

satu sama lain. Salah satu interaksi antara makhluk hidup dengan makhluk hidup

lainnya adalah dalam hal mencari sumber makanan untuk kelangsungan hidup.

Hubungan antara pemangsa (predator) dan mangsanya (prey), di mana pemangsa

akan bersaing dengan pemangsa lain untuk memperoleh mangsa sebagai sumber

makanan merupakan peristiwa yang disebut predasi (Curio 1976). Predasi

bertujuan untuk memahami tentang kebiasaan dan struktur hewan. Pemangsa

(predator) sendiri merupakan suatu organisme yang memakan atau memangsa

organisme lain. Sedangkan mangsa (prey) merupakan organisme yang dimakan

oleh pemangsa.

Alfred Lotka pada tahun 1925 dan Vito Volterra pada tahun 1927

mengembangkan persamaan diferensial yang menggambarkan fenomena mangsa-

pemangsa yang dikenal dengan model Lotka-Volterra (Bacaer 2011). Kekurangan

dari model Lotka-Volterra adalah asumsi bahwa populasi mangsa dapat tumbuh

tanpa batas saat tidak adanya pemangsa. Selanjutnya, berkembang beberapa

model modifikasi dari model Lotka-Volterra. Tahun 1959, Holling

memperkenalkan fungsi respons yang terbagi atas tiga macam. Fungsi respons

tipe I terjadi pada pemangsa yang memunyai karakteristik pasif atau menunggu

mangsanya (Garrott et al. 2009). Fungsi respons tipe II terjadi pada pemangsa

yang memiliki karakteristik aktif dalam mencari mangsa (Skalski dan Gilliam

2001). Fungsi respons tipe III terjadi pada saat pemangsa mencari populasi

mangsa lain ketika populasi mangsa yang dimakannya mulai berkurang.

Dalam penulisan karya ilmiah ini, akan dikonstruksi kembali model

mangsa-pemangsa Holling-Tanner tipe II yang disusun oleh Kuang dan Li (2007).

Dari model tersebut dianalisis kestabilan, karakteristik dan dinamika populasi

mangsa-pemangsa terhadap waktu.

Tujuan

Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk:

1 Merekonstruksi model mangsa-pemangsa Holling-Tanner tipe II yang

disusun oleh Kuang dan Li (2007)

2 Menganalisis karakteristik dan kestabilan titik tetap model mangsa-

pemangsa Holling-Tanner tipe II.

Page 14: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

2

LANDASAN TEORI

Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial sebagai berikut: = . Fungsi merupakan fungsi bernilai real dari waktu . Fungsi adalah

fungsi bernilai real dari (Verhulst 1990).

Misalkan diketahui sistem persamaan diferensial dua dimensi,

= , , = , . (1)

Andaikan ∗, ∗ adalah titik tetap dari persamaan (1) sehingga ∗, ∗ =

dan ∗, ∗ = .

Selanjutnya dilakukan transformasi dengan pusat koordinat ∗, ∗ , = − ∗, = − ∗. Maka didapatkan: = = ∗ + , ∗ + . Dengan menggunakan ekspansi Taylor diperoleh = ∗, ∗ + �� + �� + , , . Karena ∗, ∗ = sehingga, = �� + �� + , , . Dengan , , memiliki nilai bilangan yang kecil.

Dengan cara yang sama dapat diperoleh: = = �� + �� + , , . Oleh karena itu , dapat dituliskan dalam bentuk matriks menjadi:

( ) = ( �� ���� �� )

+ , , . Dengan matriks

= ||�� ���� �� ||. Matriks disebut matriks Jacobi dengan titik tetap ∗, ∗ . Karena , , yang dekat titik tetap bernilai kecil, sehingga menurut Strogatz

(1994) diperoleh sistem pelinearan: ( ) = .

Page 15: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

3

Menurut Tu (1994), jika matriks berordo × , maka vektor taknol di

adalah vektor eigen dari . Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial dua

dimensi sebagai berikut: = + , = + . Sistem ini dapat ditulis menjadi: = , dengan = [ ] , = [ ]. Untuk mencari nilai eigen dapat dilakukan dengan menggunakan,

− = . (2)

Vektor adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen dan

adalah matriks identitas. Persamaan (2) akan memiliki penyelesaian tak nol jika

dan hanya jika:

det − = | − | = . (3)

Persamaan (3) dapat ditulis menjadi: det − � − � = , sedemikian sehingga diperoleh persamaan: � − �� + Δ = , dengan � = trace = + = � + � , Δ = det = − = � � . Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari matriks sebagai berikut: � , = � ± √� − Δ.

Menurut Strogatz (1994) untuk menentukan kestabilan dari suatu sistem

dapat dilihat dari nilai ∆ dan �. Ada tiga kasus untuk nilai Δ, yaitu:

1 Jika Δ < , maka kedua nilai eigen bernilai real dan berbeda tanda maka

titik tetap bersifat sadel.

2 Jika Δ > ,

2.1 Jika � − Δ > dan jika � > maka kedua nilai eigen bernilai real

positif, sehingga titik tetap bersifat simpul tak stabil. Jika � < dan

kedua nilai eigen bernilai real negatif, maka titik tetap bersifat simpul

stabil.

2.2 Jika � − Δ < , dan jika � > maka kedua nilai eigen adalah

bilangan kompleks ± � , sehingga titik tetap bersifat spiral tak

stabil. Jika � < dan kedua nilai eigen adalah bilangan kompleks ± � , maka titik tetap bersifat spiral stabil. Jika � = dan kedua

nilai eigen adalah bilangan kompleks ± � , maka titik tetap bersifat

center.

2.3 Jika � − Δ = , parabola � − Δ = adalah garis batas antara

simpul dan spiral. Star nodes atau degenerate nodes terletak pada

Page 16: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

4

parabola ini. Kestabilan titik atau spiral ditentukan oleh nilai �. Jika � < , kedua nilai eigen bernilai negatif maka titik tetap bersifat simpul

stabil. Jika � > maka titik tetap bersifat spiral tak stabil.

3 Jika Δ = , maka salah satu nilai eigen bernilai nol, sehingga titik asal

bersifat titik tetap tak terisolasi.

Menurut Strogatz (1994), perubahan pada parameter sistem dapat merubah

struktur kualitatif pada suatu sistem yang disebut bifurkasi. Bifurkasi merupakan

perubahan jumlah atau kestabilan titik tetap (titik kestabilan) dalam suatu sistem

dinamik. Nilai parameter saat terjadi bifurkasi disebut titik bifurkasi. Beberapa

jenis bifurkasi, salah satunya adalah bifurkasi Hopf. Kemunculan limit cycle

merupakan sifat dari bifurkasi Hopf. Limit cycle merupakan orbit tertutup yang

terisolasi yang berarti orbit di sekelilingnya menuju atau menjauhi siklus limit.

Ketika terjadi perubahan kestabilan yang melalui sepasang nilai eigen imajiner

murni, maka saat itu terjadi kemunculan limit cycle.

PEMODELAN

Karya ilmiah ini membahas mengenai model mangsa-pemangsa Holling-

Tanner tipe II yang menunjukkan persaingan antara suatu spesies pemangsa

dengan suatu spesies mangsa. Model dapat dilihat pada sistem persamaan berikut: = − − + , (4) = ( + − ),

di mana , ≥ , dan , , , , > , dengan:

: banyaknya populasi mangsa,

: banyaknya populasi pemangsa,

: koefisien interaksi yang mempengaruhi laju penangkapan pemangsa,

: laju kematian pemangsa,

m : tingkat kejenuhan pemangsaan,

: koefisien interaksi yang mempengaruhi laju pertumbuhan pemangsa,

: laju pertumbuhan intrinsik mangsa,

: daya dukung lingkungan.

Pada sistem persamaan (4) terdapat = + merupakan respons

fungsional yang menunjukkan ketersediaan mangsa sebagai sumber makanan

serta laju penangkapan pemangsa terhadap mangsa. Selanjutnya, dilakukan

penondimensionalan model terhadap persamaan (4), sehingga persamaan

memiliki bentuk yang lebih sederhana. Skala parameter yang dipakai: → , → , → .

Page 17: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

5

Persamaan (4) menjadi: = − − + , (5) = − + �+ ,

dengan = , = , � = . (Bukti Lampiran 1)

Persamaan (5) disebut Model 1.

Parameter menyatakan tingkat pertumbuhan mangsa, parameter

menyatakan tingkat kematian pemangsa, dan parameter � menyatakan tingkat

interaksi antara mangsa dengan pemangsa. Menurut Tang dan Zhang (2005),

dengan mengubah variabel bebas → + . Persamaan (5) berpadanan dengan sistem persamaan, = − + − ,

(6) = − + + � . Berdasarkan Tang dan Zhang (2005) juga dapat dilakukan transformasi Briot-

Bouquet pada persamaan (6), dengan mengubah parameter → , → , → , untuk memperoleh persamaan: = [ − − − − ],

(7) = − [ � − − + + − − + ]. Kuang dan Li (2007) kemudian mengganti variabel pada persamaan (7)

dengan variabel → ,

sehingga persamaan menjadi: = [ − − − − ], (8) = − [ � − − + + − − + ].

Persamaan (8) dapat dibuat lebih sederhana dengan menggunakan

parameter dan = � − − sehingga persamaan dapat ditulis kembali

sebagai berikut: = − − + − , (9) = + + − + − + .

Page 18: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

6

Kuang & Li (2007) memandang − dan − + sebagai

gangguan dari sistem pada persamaan (9), sehingga persamaan yang digunakan

menjadi: = − − , (10) = + + − .

Persamaan (10) disebut Model 2. Dalam tulisan ini akan dibandingkan Model 1

dan Model 2 untuk mencari perilaku solusi modelnya.

PEMBAHASAN

Model 1

Penentuan Titik Tetap

Penentuan titik tetap Model 1 diperoleh dari � = dan � = pada

persamaan (5), sehingga persamaan menjadi: − − + = , (11) − + �+ = .

Persamaan (11) diselesaikan sehingga diperoleh 2 titik tetap yaitu ,

dan −�+� +� , �− −�+� +� dan tidak terdefinisi pada titik (0,0) .

Walaupun begitu analisis kestabilan di sekitar titik , tetap dilakukan.

(Bukti Lampiran 2)

Analisis Kestabilan Titik Tetap

Dengan melakukan pelinearan pada Model 1 sehingga diperoleh matriks

Jacobi sebagai berikut: = + − + + − − + + +− �+ + �+ − �+ + �+ − . (12)

Kestabilan di sekitar titik tetap dapat diperiksa dengan melihat nilai eigen yang

diperoleh dari matriks Jacobi persamaan (12) yang dievaluasi pada titik tetap.

(Bukti Lampiran 4)

Page 19: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

7

Analisis Kestabilan di Sekitar � ,

Substitusi , pada matriks Jacobi persamaan (12), sehingga diperoleh

matriks Jacobi � = ( − ). Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik | � − | = , diperoleh nilai

eigen sebagai berikut:

= , = − . Diasumsikan parameter tidak bernilai negatif, sehingga > dan < .

Karena kedua nilai eigen bernilai real dan berbeda tanda, sehingga kestabilan

bersifat sadel (Strogatz 1994).

Analisis Kestabilan di Sekitar � ,

Substitusi , pada matriks Jacobi persamaan (12), sehingga

diperoleh matriks Jacobi � = (− −� − ). Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik | � − | = , diperoleh nilai

eigen sebagai berikut:

= − , = � − . Karena diasumsikan parameter tidak bernilai negatif, sehingga < dan

bergantung pada nilai � dan yang ditentukan. Jika > � maka kestabilan

bersifat simpul stabil. Jika < � maka kestabilan bersifat sadel (Strogatz 1994).

Analisis Kestabilan di Sekitar � −�+� +� , �− −�+� +�

Substitusi titik tetap −�+� +� , �− −�+� +� pada matriks Jacobi

persamaan (12),

Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik | � − | = , diperoleh nilai

eigen sebagai berikut:

= δ − √ − , = δ + √ − ,

dengan = δ − δ − δ − + δ , = − δ −δ + δ + δ − δ − . Diasumsikan parameter tidak bernilai negatif, sehingga kestabilan titik tetap

ditentukan dari nilai eigen yang bergantung pada nilai parameter dan . Jika

nilai > dan < √ − maka kestabilan bersifat simpul stabil. Jika nilai < dan < √ − maka kestabilan bersifat sadel. Jika nilai < dan

Page 20: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

8 < maka kestabilan bersifat spiral stabil. Jika nilai < dan > maka

kestabilan bersifat spiral tak stabil (Strogatz 1994).

Terjadi perubahan kestabilan titik tetap −δ+δ +δ , δ− −δ+δ +δ

dari kondisi kestabilan spiral stabil menjadi spiral tak stabil dengan mengubah

nilai parameter sistem.

(Bukti lampiran 5)

Model 2

Penentuan Titik Tetap

Penentuan titik tetap Model 2 diperoleh dari � = dan � = pada

persamaan (10), sehingga persamaan menjadi: − − = , (13) + + − = .

Dilakukan penyelesaian pada sistem persamaan (13) sehingga diperoleh 4 titik

tetap, yaitu , , , , , − , dan −− , − .

(Bukti Lampiran 3)

Perbedaan Model 1 dan Model 2 adalah dari jumlah dan nilai titik tetap yang

diperoleh.

Analisis Kestabilan Titik Tetap

Dengan melakukan pelinearan pada Model 2 sehingga diperoleh matriks

Jacobi sebagai berikut:

= − − + −+ − − −− . (14)

(Bukti lampiran 6)

Kestabilan di sekitar titik tetap dapat diperiksa dengan melihat nilai eigen yang

diperoleh dari matriks Jacobi persamaan (14) yang dievaluasi pada titik tetap.

Analisis Kestabilan di Sekitar � ,

Substitusikan , pada matriks Jacobi persamaan (14), sehingga

diperoleh matriks Jacobi

� = ( − −− ). Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik | � − | = , diperoleh nilai

eigen sebagai berikut:

= , = +− .

Page 21: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

9

Karena diasumsikan parameter tidak bernilai negatif, sehingga > dan

bergantung pada nilai yang ditentukan. Jika < maka kestabilan bersifat

simpul tak stabil. Jika > maka kestabilan bersifat sadel (Strogatz 1994).

Analisis Kestabilan di Sekitar � ,

Titik tetap , disubstitusikan pada matriks Jacobi persamaan (14),

sehingga diperoleh matriks Jacobi

� = (− −− −− ). Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik | � − | = , diperoleh nilai

eigen sebagai berikut:

= − , = − . Karena diasumsikan parameter tidak bernilai negatif, sehingga < dan

bergantung pada nilai yang ditentukan. Jika < maka kestabilan bersifat

sadel. Jika > maka kestabilan bersifat simpul stabil (Strogatz 1994).

Analisis Kestabilan di Sekitar � , −

Substitusikan titik tetap , − pada matriks Jacobi persamaan (14),

sehingga diperoleh matriks Jacobi:

� = ( +− +−− + − −− − −− + )

. Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik | � − | = , diperoleh nilai

eigen sebagai berikut:

= −− , = − − +− . Karena diasumsikan parameter tidak bernilai negatif, sehingga dan

bergantung pada nilai yang ditentukan. Jika < maka kestabilan bersifat

sadel. Jika > maka kestabilan bersifat simpul tak stabil.

Analisis Kestabilan di Sekitar � −− , −

Substitusikan titik tetap −− , − pada matriks Jacobi persamaan

(2), sehingga diperoleh matriks Jacobi:

= ( −− + + − + + −− + −− ++ − + − − + − −− − −− + + − ( + − + − − + )) .

Page 22: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

10

Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik | � − | = , diperoleh nilai

eigen sebagai berikut:

= − √− +√ − + , = √− +√ − + . Kestabilan di sekitar titik tetap belum dapat ditentukan dari nilai eigen yang

diperoleh. Sehingga, kestabilan di sekitar titik tetap ditentukan dari hasil

simulasi yang akan dilakukan.

(Bukti lampiran 7)

Tabel 1 Ringkasan analisis kestabilan Model 1 dan Model 2

Ket.

Model

1

S SS SS > � ; > , < √ −

S S < � ; < , < √ − SPS < , <

SPTS < , >

Model

2

STS S S < S SS STS >

Keterangan:

(S=Sadel; SS=Simpul Stabil; STS=Simpul Tak Stabil; SPS=Spiral Stabil;

SPTS=Spiral Tak Stabil).

SIMULASI NUMERIK

Dalam karya ilmiah ini akan dilakukan simulasi terhadap dua model

persamaan yaitu Model 1 dan Model 2. Pada simulasi untuk Model 1 tingkat

interaksi antara mangsa dengan pemangsa (�) mempengaruhi kestabilan di titik

tetap . Sehingga dalam simulasi untuk Model 1 akan dilakukan perubahan

pada nilai parameter � untuk melihat perubahan kestabilannya.

Selanjutnya, dilakukan simulasi untuk Model 2. Diasumsikan bahwa setiap

parameter bernilai taknegatif. Saat penondimensionalan model diketahui bahwa = � dan = . Nilai sebanding dengan tingkat pertumbuhan mangsa

tanpa pengaruh adanya pemangsa. Sedangkan nilai sebanding dengan tingkat

kematian pemangsa. Model 2 hanya dilakukan simulasi pada nilai < untuk

melihat jenis kestabilannya. Nilai setiap parameter untuk masing-masing

persamaan diasumsikan sebagai berikut dalam Tabel 2 dan Tabel 3.

Page 23: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

11

Tabel 2 Pemilihan nilai parameter untuk Model 1

Kas. � Nilai eigen dan kestabilan titik tetap

Ket.

1 0.41 0.5 0.490

= 0.41

= -0.5

S

= -0.41

= -0,01

SS

= − .

= .

S

> �

2 0.41 0.5 0.600

= 0.41

= -0.5

S

= -0.41

= 0.1

S

= − .

= − ,

SS

< �

3 0.41 0.5 0.750

= 0.41

= -0.5

S

= -0.41

= 0.25

S

= . − . −. �

= . − . +. �

SPS

< �

4 0.41 0.5 0.784

= 0.41

= -0.5

S

= -0.41

= .

S

= . . −. �

= . . −. �

SPTS

< �

Keterangan:

(S=Sadel; SS=Simpul Stabil; STS=Simpul Tak Stabil; SPS=Spiral Stabil;

SPTS=Spiral Tak Stabil).

Tabel 3 Pemilihan nilai parameter untuk Model 2

Kas. � Nilai eigen dan kestabilan titik tetap

Ket.

1 0.41 0.50 0.490 = .

= 1.23

STS

= − .

= 0.137

S

= − .

= − .

SS

<

2 0.41 0.50 0.600

= .

= 1.23

STS

= − .

= 0.137

S

= − .

= − .

SS

<

3 0.41 0.50 0.750

= .

= 1.23

STS

= − .

= 0.137

S

= − .

= − .

SS

<

4 0.41 0.50 0.784

= .

= 1.23

STS

= − .

= 0.137

S

= − .

= − .

SS

<

Keterangan:

(S=Sadel; SS=Simpul Stabil; STS=Simpul Tak Stabil; SPS=Spiral Stabil;

SPTS=Spiral Tak Stabil).

Page 24: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

12

Simulasi 1

Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Model 1 Kasus 1

Nilai parameter yang digunakan adalah δ = . , dengan nilai awal = . dan = . . Pada Kasus 1 diperoleh nilai titik tetap , , , , . , − . . Nilai eigen yang didapatkan pada Kasus 1 adalah

= − . dan = . .

Gambar 1 menunjukkan bahwa ilustrasi bidang fase di sekitar titik tetap di

mana kedua populasi stabil menuju titik tetap . Pada Gambar 1 diperlihatkan

bahwa kestabilan titik tetapnya adalah stabil.

Gambar 2 menunjukkan bahwa pada waktu awal populasi mangsa

mengalami penurunan yang mengakibatkan populasi pemangsa ikut mengalami

penurunan. Hal tersebut terjadi akibat tingkat interaksi antara mangsa pemangsa

cukup rendah. Selanjutnya, pada nilai tertentu populasi mangsa naik tetapi

populasi pemangsa tetap menurun menuju kepunahan. Hingga pada suatu nilai

kedua populasi mengalami kestabilan.

Mangsa (x)

Pemangsa (y)

Gambar 1 Bidang fase populasi mangsa x terhadap populasi pemangsa y

Gambar 2 Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu

Page 25: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

13

Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Model 1 Kasus 2

Nilai parameter yang digunakan adalah δ = . , dengan nilai awal = . dan = . . Pada Kasus 2 diperoleh nilai titik tetap , , , , . , . . Nilai eigen yang didapatkan pada Kasus 2 adalah

= − . dan = − . , sehingga kestabilan di titik tetap adalah

simpul stabil.

Gambar 3 menunjukkan bahwa ilustrasi bidang fase di sekitar titik tetap di

mana kedua populasi stabil menuju titik tetap . Kestabilan di sekitar titik tetap

bersifat sadel. Pada Gambar 3 diperlihatkan bahwa kestabilan titik tetapnya

adalah stabil.

Gambar 4 menunjukkan bahwa pada waktu awal populasi mangsa

mengalami penurunan yang mengakibatkan populasi pemangsa ikut mengalami

penurunan. Selanjutnya, pada nilai tertentu populasi mangsa mengalami kenaikan

jumlah populasi. Hingga pada suatu nilai kedua populasi mengalami kestabilan

jumlah populasi.

Mangsa (x)

Pemangsa (y)

Gambar 3 Bidang fase populasi mangsa x terhadap populasi pemangsa y

Gambar 4 Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu

Page 26: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

14

Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Model 1 Kasus 3

Nilai parameter yang digunakan adalah δ = . , dengan nilai awal = . dan = . . Pada Kasus 3 diperoleh nilai titik tetap , , , , . , . . Nilai eigen yang didapatkan pada Kasus 3

adalah = . − . − . � dan = . − . +. � , sehingga kestabilan di titik tetap adalah spiral stabil.

Gambar 5 merupakan ilustrasi bidang fase di sekitar titik tetap. Kedua

populasi stabil menuju titik tetap . Jenis kestabilan yang terjadi pada Kasus 2

adalah stabil.

Gambar 6 menunjukkan bahwa pada waktu awal terjadi penurunan

terhadap kedua populasi. Ketika mulai terjadi kenaikan jumlah populasi mangsa,

diikuti dengan kenaikan jumlah populasi pemangsa dikarenakan ketersediaan

makanan yang mencukupi. Kondisi sebaliknya, ketika terjadi penurunan pada

jumlah populasi mangsa kemudian diikuti dengan penurunan jumlah populasi

pemangsa. Gambar 6 menunjukkan terjadi osilasi dengan simpangan yang

semakin mengecil dan pada suatu nilai tertentu kedua populasi mengalami

kestabilan.

Mangsa (x)

Pemangsa (y)

Gambar 5 Bidang fase populasi mangsa x terhadap populasi pemangsa y

Gambar 6 Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu

Page 27: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

15

Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Model 1 Kasus 4

Nilai parameter yang digunakan adalah δ = . , dengan nilai awal = . dan = . . Pada Kasus 4 diperoleh nilai titik tetap , , , , . , . . Nilai eigen yang didapatkan pada Kasus 4

adalah = . . − . � dan = . . − . � ,

sehingga kestabilan di titik tetap adalah spiral tak stabil.

Mangsa (x)

Pemangsa (y)

Gambar 7 Bidang fase yang menunjukkan jenis kestabilan spiral tak stabil

Gambar 8 Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu

Page 28: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

16

Gambar 7 merupakan ilustrasi bidang fase di sekitar titik tetap di mana

kedua populasi tak stabil menjauhi titik tetap . Kestabilan di sekitar titik tetap

bersifat spiral tak stabil.

Gambar 8 merupakan gambaran pada interaksi antara mangsa dengan

pemangsa dengan nilai awal yang berbeda. Terjadi penurunan jumlah kedua

populasi pada waktu awal. Pada suatu waktu terjadi kenaikan jumlah populasi

mangsa. Selanjutnya, diikuti dengan kenaikan pada jumlah populasi pemangsa

dan kejadian tersebut terus berulang. Terjadi osilasi dengan nilai simpangan yang

semakin membesar, sehingga mengakibatkan kedua populasi tidak stabil menuju

ke suatu nilai tertentu.

Gambar 9 merupakan bidang fase kemunculan limit cycle. Perubahan

kestabilan yang melalui sepasang nilai eigen imajiner murni mengakibatkan

munculnya keberadaan limit cycle merupakan sifat dari bifurkasi Hopf.

Gambar 10 merupakan gambaran pada interaksi antara mangsa dengan

pemangsa yang di waktu awal terjadi interaksi yang ekstrim. Dibutuhkan waktu

yang singkat bagi pemangsa untuk mencari mangsa. Terjadi osilasi dengan nilai

simpangan yang tetap, sehingga mengakibatkan kedua populasi tidak stabil

menuju ke suatu nilai tertentu.

Mangsa (x)

Pemangsa (y)

Gambar 9 Bidang fase yang menunjukkan terjadi limit cycle

Gambar 10 Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu

Page 29: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

17

Simulasi 2

Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Model 2 Kasus 1

Nilai parameter yang digunakan adalah = . , = . , � = .

dengan nilai awal = . dan = 0.3. Pada Kasus 1 diperoleh nilai titik

tetap , , . , , , . .

Pada Kasus 1 kestabilan di titik tetap adalah simpul stabil. Gambar 11

merupakan ilustrasi bidang fase di sekitar titik tetap. Kedua populasi stabil

menuju titik tetap . Jenis kestabilan yang terjadi pada Kasus 1 pada Model 2

adalah stabil.

Gambar 12 menunjukkan bahwa pada waktu awal terjadi kenaikan

terhadap jumlah populasi mangsa, tetapi terjadi penurunan terhadap jumlah

populasi pemangsa. Hal tersebut dikarenakan tingkat kematian populasi pemangsa

lebih tinggi dari tingkat interaksi antara mangsa dengan pemangsa. Hingga

populasi pemangsa hampir mengalami kepunahan.

Mangsa (x)

Pemangsa (y)

Gambar 11 Bidang fase populasi mangsa x terhadap populasi pemangsa y

Gambar 12 Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu

Page 30: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

18

Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Model 2 Kasus 2

Nilai parameter yang digunakan adalah = . , = . , � = .

dengan nilai awal = . dan = 0.19. Pada Kasus 2 diperoleh nilai

titik tetap , , . , , , . .

Pada Kasus 2 kestabilan di titik tetap adalah spiral stabil. Gambar 13

merupakan ilustrasi bidang fase di sekitar titik tetap. Kedua populasi stabil

menuju titik tetap . Jenis kestabilan yang terjadi pada Kasus 2 pada Model 2

adalah stabil.

Gambar 14 menunjukkan bahwa pada waktu awal terjadi kenaikan

terhadap jumlah populasi pemangsa, tetapi terjadi penurunan terhadap jumlah

populasi mangsa. Jumlah populasi mangsa di awal waktu hampir mengalami

kepunahan. Akibatnya, terjadi penurunan jumlah populasi pemangsa dikarenakan

ketersediaan mangsa sebagai sumber makanan yang tidak memenuhi. Pada suatu

nilai, terjadi peningkatan terhadap jumlah populasi mangsa. Selanjutnya, terjadi

peningkatan jumlah populasi pemangsa. Hingga pada suatu nilai keduanya

mengalami kestabilan.

Mangsa

Pemangsa

Gambar 13 Bidang fase populasi mangsa x terhadap populasi pemangsa y

Gambar 14 Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu

Page 31: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

19

Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Model 2 Kasus 3

Nilai parameter yang digunakan adalah = . , = . , � = .

dengan nilai awal = . dan = 0.01. Pada Kasus 3 diperoleh nilai

titik tetap , , . , , , . .

Gambar 15 merupakan ilustrasi bidang fase di sekitar titik tetap. Jenis

kestabilan yang terjadi pada Kasus 3 pada Model 2 adalah stabil.

Gambar 16 menunjukkan bahwa pada waktu awal terjadi kenaikan

terhadap jumlah populasi mangsa, tetapi terjadi penurunan terhadap jumlah

populasi pemangsa. Jumlah populasi pemangsa di awal waktu hampir mengalami

kepunahan. Pada suatu nilai, terjadi peningkatan terhadap jumlah populasi

pemangsa dan penurunan pada jumlah populasi mangsa. Populasi pemangsa

meningkat tanpa batas, sementara populasi mangsa menuju kepunahan. Hal

tersebut tidak mungkin terjadi, karena jika populasi mangsa menuju kepunahan

artinya ketersediaan mangsa sebagai sumber makanan bagi pemangsa tidak

mencukupi dan populasi pemangsa tidak mungkin mengalami peningkatan tanpa

batas.

Mangsa

Pemangsa

Gambar 15 Bidang fase populasi mangsa x terhadap populasi pemangsa y

Gambar 16 Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu

Page 32: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

20

Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Model 2 Kasus 4

Nilai parameter yang digunakan adalah = . , = . , � = .

dengan nilai awal = . dan = 0.01. Pada Kasus 4 diperoleh nilai

titik tetap , , . , , , . .

Gambar 17 merupakan ilustrasi bidang fase di sekitar titik tetap. Kedua

populasi stabil menuju titik tetap . Jenis kestabilan yang terjadi pada Kasus 4

pada Model 2 adalah stabil.

Gambar 18 merupakan ilustrasi bidang solusi populasi mangsa dan

populasi pemangsa terhadap waktu. Ilustrasi bidang solusi pada kasus 4 model 2

menunjukan hasil yang serupa dengan ilustrasi bidang solusi kasus 3 model 2.

Mangsa

Pemangsa

Gambar 17 Bidang fase populasi mangsa x terhadap populasi pemangsa y

Gambar 18 Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu

Page 33: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

21

Tabel 4 Kestabilan hasil simulasi Model 1 dan Model 2

Model 1

Kasus 1 S SS - -

Kasus 2 S S SS -

Kasus 3 S S SPS -

Kasus 4 S S SPTS -

Model 2

Kasus 1 STS SS S -

Kasus 2 STS S S SPS

Kasus 3 STS S S -

Kasus 4 STS S S -

Keterangan:

(S=Sadel; SS=Simpul Stabil; STS=Simpul Tak Stabil; SPS=Spiral Stabil;

SPTS=Spiral Tak Stabil).

SIMPULAN

Model mangsa-pemangsa Holling-Tanner tipe II diperoleh dua model

persamaan yaitu Model 1 dan Model 2. Model 1 diperoleh dua titik tetap dan

Model 2 diperoleh empat titik tetap.

Hasil analisis pada Model 1 diperoleh dua titik tetap yaitu dan

serta dilakukan analisis di sekitar titik (0,0) yang disebut . Kestabilan di sekitar

titik tetap selalu bersifat sadel. Saat tingkat kematian pemangsa lebih rendah

dari tingkat interaksi antara mangsa dengan pemangsa, kestabilan di sekitar titik

tetap bersifat sadel. Saat tingkat kematian pemangsa lebih tinggi dari tingkat

interaksi antara mangsa dengan pemangsa, kestabilan di sekitar titik tetap

bersifat simpul stabil. Kestabilan di sekitar titik tetap bergantung pada nilai

dan . Terjadi kemunculan limit cycle yang merupakan sifat dari bifurkasi Hopf

akibat terjadinya perubahan kestabilan dari spiral stabil menjadi spiral tak stabil.

Hasil analisis pada Model 2 diperoleh empat titik tetap yaitu , , , dan

. Kestabilan di sekitar titik tetap , dan bergantung pada nilai

parameter tingkat kematian pemangsa. Jenis kestabilan untuk kasus 1 model 2

yaitu stabil menuju titik tetap .

Penentuan jenis kestabilan di sekitar titik tetap hanya ditentukan

berdasarkan hasil simulasi. Dari hasil simulasi, pada kasus 2 model 2 jenis

kestabilan titik tetap adalah spiral stabil. Pada kasus 3 dan 4 model 2 terjadi

pertumbuhan yang tidak terbatas terhadap jumlah populasi pemangsa. Sementara

populasi mangsa menuju kepunahan. Hal tersebut tidak mungkin terjadi dalam

kondisi sesungguhnya, karena jika populasi mangsa menuju kepunahan artinya

ketersediaan mangsa sebagai sumber makanan bagi pemangsa tidak mencukupi

dan populasi pemangsa tidak mungkin mengalami peningkatan tanpa batas.

Page 34: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

22

DAFTAR PUSTAKA

Bacaer N. 2011. A Short History of Mathematical Population Dynamics. New

York (US): Springer-Verlag.

Curio E. 1976. The Ethology of Predation. New York (US): Springer-Verlag.

Garrott RA, White PJ, Watson FGR. 2009. The Ecology of Large Mammals in

Central Yellowstone Sixteen Years of Integrated Field Studies. San Diego

(US): Elsevier.

Kuang Y, Li B. 2007. Heteroclinic bifurcation in the Michaelis-Menten-type ratio-

dependent predator-prey system. Society for Industrial and Applied

Mathematics. 67(5):1453-1464. DOI. 10.1137/060662460.

Skalski GT, Gilliam JF. 2001. Functional Response with Predator Interference:

Viable Alternatives to the Holling Type II Model. Ecology. 82:3083-3092.

doi:10.2307/2679836.

Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and Chaos, with Application to Physics,

Biology, Chemistry, and Engineering. Massachusetts (US): Addison-Wesley

Publishing Company.

Tang Y, Zhang W. 2005. Heteroclinic bifurcation in a ratio-dependent predator-

prey system. J. Math. Biol. 50, 699-712. DOI. 10.1007/s00285-004-0307-1.

Tu PNV. 1994. Dynamical System An Introduction with Application in Economics

and Biology. Heidelberg (DE): Springer-Verlag.

Verhulst F. 1990. Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems.

Heidelberg (DE): Springer-Verlag.

Page 35: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

23

Lampiran 1 Penondimensionalan Model

Model persamaan : = − − + , = ( + − ). Untuk memperoleh sistem persamaan yang lebih sederhana dilakukan

penondimensionalan model dengan skala parameter yang digunakan, yaitu : → , → , → . � = ( − ) − �+ �

= − − �+ = − − + = − − +

� � = + � −

� = ( + − )

= ( + − ) = ( + − ) = + − . Misalkan : = , = , δ = .

Substitusikan , , ke persamaan dan , sehingga sistem

persamaan menjadi: = − − + , = δ+ − .

Page 36: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

24

Lampiran 2 Penentuan titik tetap Model 1

Penentuan titik tetap Model 1 ditentukan dengan cara membuat persamaan

menjadi � = dan � = seperti persamaan (11) berikut: − − + = , δ+ − = . Dari persamaan (11) didapat : − − + = − − + =

diperoleh: = dan − = + . Selanjutnya, δ+ − = ( δ+ − ) =

diperoleh: = dan = δ+ . Substitusikan = pada persamaan

δ+ − = , sehingga diperoleh: � → δ+ − = − = =

diperoleh titik tetap , .

Dari persamaan = dan persamaan − = + , diperoleh: − = − = =

diperoleh titik tetap , .

Dari persamaan − = + dan persamaan = δ+ , diperoleh: − = + − = δ�− �+δ�− � − = δ−δ

− = δ−+ δ− − = δ−δ

− = δ−+δ− = δ−δ+δ .

Page 37: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

25

Selanjutnya substitusikan nilai yang diperoleh ke persamaan = δ+ ,

sehingga didapatkan: = δ+ + = δ + = δ = δ − = δ− = δ−δ+δ δ−

= δ−δ+ δ−δ

diperoleh titik tetap �−�+� , �−�+ �−� .

Lampiran 3 Penentuan titik tetap Model 2

Penentuan titik tetap Model 2 ditentukan dengan cara membuat persamaan

menjadi � = dan � = seperti persamaan (13) berikut: − − = , + + − = . Dari persamaan (13) didapat : − − =

diperoleh: = dan = + . Selanjutnya, + + − =

diperoleh: = dan + = − − . Dari persamaan = dan =

diperoleh titik tetap , . Dari persamaan = dan persamaan = + , diperoleh: = + =

diperoleh titik tetap , . Dari persamaan = dan persamaan + = − − , diperoleh: + = − − = − − = − − . Karena nilai = − −− , sehingga: = − −−− − = −

diperoleh titik tetap , − .

Page 38: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

26

Dari persamaan = + dan persamaan + = − − , diperoleh: + = − − + − = − − = − + + − = �+ = − −− + = − .

Selanjutnya, = − = - − = −−

diperoleh titik tetap −− , − .

Lampiran 4 Penentuan matriks Jacobi Model 1

Misalkan Model 1 ditulis sebagai berikut: , = = − − + , , = = �+ − . Dilakukan pelinearan sehingga diperoleh matriks Jacobi:

= (

)

dengan: = ( − − + ) = ( − − + ) = − − + + + = + − +

= ( δ+ − ) = ( δ+ − ) = δ+ − δ+ = δ+ − δ+ −

= ( + − + + − − + + +− δ+ + δ+ − δ+ + δ+ − ) .

Page 39: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

27

Lampiran 5 Penentuan nilai eigen Model 1

Pelinearan titik tetap ,

Substitusikan titik tatap terhadap matriks Jacobi Model 1 � = ( − ). Selanjutnya, dengan menyelesaikan persamaan karakteristik ( � − ) =

untuk memperoleh nilai eigen. | � − | = | − − − | = − − − =

= , = − . Pelinearan titik tetap ,

Substitusikan titik tetap terhadap matriks Jacobi Model 1 � = (− −δ − ). Selanjutnya, dengan menyelesaikan persamaan karakteristik det( � − ) =

untuk memperoleh nilai eigen. | � − | = |− − −δ − − | = − − δ − − =

= − , = δ − .

Pelinearan titik tetap −δ+δ +δ , δ− −δ+δ +δ

Substitusikan titik tetap terhadap matriks Jacobi Model 1

� =

dengan

= − −�+� +� + ( − −�+� +� + �− −�+� +� −�+� +� + �− −�+� +� − �− −�+� +� −�+� +� + �− −�+� +� ), = δ− −δ+δ +δ −δ+δ +δ + δ− −δ+δ +δ − −δ+δ +δ −δ+δ +δ + δ− −δ+δ +δ , = − δ− −δ+δ +δ −δ+δ +δ + δ− −δ+δ +δ + δ− −δ+δ +−δ+δ +δ + δ− −δ+δ +δ , = − − δ− −δ+δ +δ −δ+δ +δ + δ− −δ+δ +δ + −δ+δ +−δ+δ +δ + δ− −δ+δ +δ .

Page 40: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

28

Selanjutnya, dengan menyelesaikan persamaan karakteristik det( � − ) = untuk memperoleh nilai eigen. | � − | = | | = .

Sehingga diperoleh nilai eigen sebagai berikut:

= � − √− +

= � + √− +

dengan = � − � − � − + � , = − � −� + � + � − � − .

Lampiran 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2

Misalkan Model 2 ditulis sebagai berikut: , = = − − , , = = + + − . Dilakukan pelinearan sehingga diperoleh matriks Jacobi:

= (

)

dengan: = ( − − ) = ( − − ) = − − = −

= ( + + − ) = ( + + − ) = = + − − −−

= − − + −+ − − −− .

Page 41: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

29

Lampiran 7 Penentuan nilai eigen Model 2

Pelinearan titik tetap ,

Substitusikan titik tetap terhadap matriks Jacobi Model 2

� = ( − −− ). Selanjutnya, dengan menyelesaikan persamaan karakteristik det( � − ) =

untuk memperoleh nilai eigen. | � − | = | − − −− − | =

− − −− − =

= , = − −− . Pelinearan titik tetap ,

Substitusikan titik tetap terhadap matriks Jacobi Model 2

� = (− −− −− ). Selanjutnya, dengan menyelesaikan persamaan karakteristik det( � − ) =

untuk memperoleh nilai eigen. | � − | = |− − −− −− − | =

− − − −− − =

= − , = − −− . Pelinearan titik tetap , −

Substitusikan titik tetap terhadap matriks Jacobi Model 2

� = ( + − +−− + − −− − −− + )

.

Page 42: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

30

Selanjutnya, dengan menyelesaikan persamaan karakteristik det( � − ) = untuk memperoleh nilai eigen. | � − | =

|| + − + − −− + − −− − −− + − || =

( + − + − ) − −− − −− + − =

= − − , = − −− − . Pelinearan titik tetap

−− , −

Substitusikan titik tetap terhadap matriks Jacobi Model 2

= ( −− + + − + + −− + −− ++ − + − − + − −− − −− + + − + − + − − + ) .

Selanjutnya, dengan menyelesaikan persamaan karakteristik det( � − ) = untuk memperoleh nilai eigen. | � − | =

||−− + +− + + −− + − −− ++− + −− + − −− − −− + + − ( + − + − − + ) −

|| =

= − √− +√ − + , = √− +√ − + .

Lampiran 8 Program plot bidang fase kasus 1 Model 1 (Gambar 1)

: � ℎ � : � ℎ : � ℎ : ≔ [ = . . ( − ) − � . �� + � , = − . +�. � . �� + � ] ≔ . : ≔ . : � ≔ . : ℎ � , [ , , = . . , [[ = . , =. ] ], � = . , � = , =

Lampiran 9 Program plot bidang solusi kasus 1 Model 1 (Gambar 2)

: � ℎ � : � ℎ : � ℎ : ≔ [ = . . ( − ) − � . �� + � , = − . +�. � . �� + � ] ≔ . : ≔ . : � ≔ . :

Page 43: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

31

� ℎ � , [ , , = . . , [[ = . , =. ] ], � = . , = [ , ], =[^′ ^′ , ^′ �^′ ], � =, ℎ � , [ , , = . . , [[ = . , =. ] ], = , � = . , = [ , ], =[^′ ^′ , ^′ �^′ ], � = . Lampiran 10 Program plot bidang fase kasus 2 Model 1 (Gambar 3)

: � ℎ � : � ℎ : � ℎ : ≔ [ = . . ( − ) − � . �� + � , = − . +�. � . �� + � ] ≔ . : ≔ . : � ≔ . : ℎ � , [ , , = . . , [[ = . , =. ] ], � = . , � = , =

Lampiran 11 Program plot bidang solusi kasus 2 Model 1 (Gambar 4)

: � ℎ � : � ℎ : � ℎ : ≔ [ = . . ( − ) − � . �� + � , = − . +�. � . �� + � ] ≔ . : ≔ . : � ≔ . : � ℎ � , [ , , = . . , [[ = . , =. ] ], � = . , = [ , ], =[^′ ^′ , ^′ �^′ ], � =, ℎ � , [ , , = . . , [[ = . , =. ] ], = , � = . , = [ , ], =[^′ ^′ , ^′ �^′ ], � = .

Lampiran 12 Program plot bidang fase kasus 3 Model 1 (Gambar 5)

: � ℎ � : � ℎ : � ℎ : ≔ [ = . . ( − ) − � . �� + � , = − . +�. � . �� + � ] ≔ . : ≔ . : � ≔ . : ℎ � , [ , , = . . , [[ = . , =. ] ], � = . , � = , =

Lampiran 13 Program plot bidang solusi kasus 3 Model 1 (Gambar 6)

: � ℎ � : � ℎ : � ℎ : ≔ [ = . . ( − ) − � . �� + � , = − . +�. � . �� + � ] ≔ . : ≔ . : � ≔ . :

Page 44: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

32

� ℎ � , [ , , = . . , [[ = . , =. ] ], � = . , = [ , ], =[^′ ^′ , ^′ �^′ ], � =, ℎ � , [ , , = . . , [[ = . , =. ] ], = , � = . , = [ , ], =[^′ ^′ , ^′ �^′ ], � = . Lampiran 14 Program plot bidang fase kasus 4 Model 1 (Gambar 7)

: � ℎ � : � ℎ : � ℎ : ≔ [ = . . ( − ) − � . �� + � , = − . +�. � . �� + � ] ≔ . : ≔ . : � ≔ . : ℎ � , [ , , = . . , [[ = . , =. ] ], � = . , � = , =

Lampiran 15 Program plot bidang solusi kasus 4 Model 1 (Gambar 8)

: � ℎ � : � ℎ : � ℎ : ≔ [ = . . ( − ) − � . �� + � , = − . +�. � . �� + � ] ≔ . : ≔ . : � ≔ . : � ℎ � , [ , , = . . , [[ = . , =. ] ], � = . , = [ , ], =[^′ ^′ , ^′ �^′ ], � =, ℎ � , [ , , = . . , [[ = . , =. ] ], = , � = . , = [ , ], =[^′ ^′ , ^′ �^′ ], � = .

Lampiran 16 Program plot bidang fase kasus 4 Model 1 (Gambar 9)

: � ℎ � : � ℎ : � ℎ : ≔ [ = . . ( − ) − � . �� + � , = − . +�. � . �� + � ] ≔ . : ≔ . : � ≔ . : ℎ � , [ , , = . . , [[ = . , =. ] ], � = . , � = , =

Lampiran 17 Program plot bidang solusi kasus 4 Model 1 (Gambar 10)

: � ℎ � : � ℎ : � ℎ : ≔ [ = . . ( − ) − � . �� + � , = − . +�. � . �� + � ] ≔ . : ≔ . : � ≔ . :

Page 45: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

33

� ℎ � , [ , , = . . , [[ = . , =. ] ], � = . , = [ , ], =[^′ ^′ , ^′ �^′ ], � =, ℎ � , [ , , = . . , [[ = . , =. ] ], = , � = . , = [ , ], =[^′ ^′ , ^′ �^′ ], � = . Lampiran 18 Program plot bidang fase kasus 1 Model 2 (Gambar 11)

: � ℎ � : � ℎ : � ℎ : ≔ [ = ( . − − ), = . + + − . ] ≔ . : ≔ . : � ≔ . : ℎ � , [ , , = . . , [[ = . , =. ] ], � = . , � = , =

Lampiran 19 Program plot bidang solusi kasus 1 Model 2 (Gambar 12)

: � ℎ � : � ℎ : � ℎ : ≔ [ = ( . − − ), = . + + − . ] ≔ . : ≔ . : � ≔ . : � ℎ � , [ , , = . . , [[ = . , =. ] ], � = . , = [ , ], =[^′ ^′ , ^′ �^′ ], � =, ℎ � , [ , , = . . , [[ = . , =. ] ], = , � = . , = [ , ], =[^′ ^′ , ^′ �^′ ], � = .

Lampiran 20 Program plot bidang fase kasus 2 Model 2 (Gambar 13)

: � ℎ � : � ℎ : � ℎ : ≔ [ = ( . − − ), = . + + − . ] ≔ . : ≔ . : � ≔ . : ℎ � , [ , , = . . , [[ = . , =. ] ], � = . , � = , =

Lampiran 21 Program plot bidang solusi kasus 2 Model 2 (Gambar 14)

: � ℎ � : � ℎ : � ℎ : ≔ [ = ( . − − ), = . + + − . ] ≔ . : ≔ . : � ≔ . : � ℎ � , [ , , = . . , [[ = . , =. ] ], � = . , = [ , ], =[^′ ^′ , ^′ �^′ ], � =, ℎ � , [ , , = . . , [[ = . , =. ] ], = , � = . , = [ , ], =[^′ ^′ , ^′ �^′ ], � = .

Lampiran 22 Program plot bidang fase kasus 3 Model 2 (Gambar 15)

: � ℎ � : � ℎ : � ℎ : ≔ [ = ( . − − ), = . + + − . ]

Page 46: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

34

≔ . : ≔ . : � ≔ . : ℎ � , [ , , = . . , [[ = . , =. ] ], � = . , � = , =

Lampiran 23 Program plot bidang solusi kasus 3 Model 2 (Gambar 16)

: � ℎ � : � ℎ : � ℎ : ≔ [ = ( . − − ), = . + + − . ] ≔ . : ≔ . : � ≔ . : � ℎ � , [ , , = . . , [[ = . , =. ] ], � = . , = [ , ], =[^′ ^′ , ^′ �^′ ], � =, ℎ � , [ , , = . . , [[ = . , =. ] ], = , � = . , = [ , ], =[^′ ^′ , ^′ �^′ ], � = .

Lampiran 24 Program plot bidang fase kasus 4 Model 2 (Gambar 17)

: � ℎ � : � ℎ : � ℎ : ≔ [ = ( . − − ), = . + + − . ] ≔ . : ≔ . : � ≔ . : ℎ � , [ , , = . . , [[ = . , =. ] ], � = . , � = , =

Lampiran 25 Program plot bidang solusi kasus 4 Model 2 (Gambar 18)

: � ℎ � : � ℎ : � ℎ : ≔ [ = ( . − − ), = . + + − . ] ≔ . : ≔ . : � ≔ . : � ℎ � , [ , , = . . , [[ = . , =. ] ], � = . , = [ , ], =[^′ ^′ , ^′ �^′ ], � =, ℎ � , [ , , = . . , [[ = . , =. ] ], = , � = . , = [ , ], =[^′ ^′ , ^′ �^′ ], � = .

Page 47: ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA …repository.ipb.ac.id/jspui/bitstream/123456789/85884/1/G16ise.pdf · 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 28 7 Penentuan nilai eigen Model

35

RIWAYAT HIDUP

Penulis bernama lengkap Intan Selvya, lahir pada tanggal 28 Juli 1994 di

Bogor, Jawa Barat. Penulis merupakan anak pertama dari tiga bersaudara dan lahir

dari pasangan suami istri Bapak Suarta dan Ibu Marliah. Pendidikan yang telah

ditempuh oleh penulis yaitu SD Negeri Bojongrangkas 04 Kabupaten Bogor lulus

tahun 2006, SMP Negeri 1 Cibungbulang Kabupaten Bogor lulus tahun 2009, dan

SMA Negeri 1 Cibungbulang Kabupaten Bogor lulus tahun 2012. Sejak tahun

2012 sampai dengan penulisan skripsi ini, penulis masih terdaftar sebagai

mahasiswa Program S-1 Departemen Matematika, Fakultas MIPA di Institut

Pertanian Bogor (IPB).

Selama menjadi mahasiswa IPB, penulis aktif dalam berbagai kegiatan

yang ada di kampus IPB yaitu mengikuti PB Gumatika 2013 sampai 2016, dan

menjadi anggota pengurus Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) pada Biro

Kewirausahaan tahun 2013/2014. Serta menjadi ketua Biro Kewirausahaan Gugus

Mahasiswa Matematika (Gumatika) tahun 2014/2015. Selain itu, penulis juga

aktif dalam mengikuti lomba yang diadakan oleh Departemen Matematika,

Fakultas MIPA, dan Bidikmisi IPB. Adapun penghargaan yang telah penulis raih,

antara lain Juara 3 Perkusi SEMARAK BIDIK MISI tahun 2013, Juara 2 Aerobik

SPIRIT tahun 2014, Juara 3 Bulutangkis SPIRIT tahun 2015, serta Juara 2

Bulutangkis SPIRIT tahun 2016.