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0.1
Análisis Lineal de
Estructuras de Mampostería
Dr. Juan José Pérez Gavilán E Instituto de Ingeniería de la UNAM
Séptimo Simposio Nacional sobre Estructural en la Vivienda
Cuernavaca Morelos
Octubre del 2011
0.2
Contenido
ANÁLISIS LINEAL DE ....................................................................................................................... 1
ESTRUCTURAS DE MAMPOSTERÍA ................................................................................................ 1
1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................... 4 2 CRITERIO GENERAL .............................................................................................................................. 6
5.2.1 Hipótesis para el análisis de muros .......................................................................................... 6 5.2.2 Materiales ................................................................................................................................. 7 5.2.3 Ejemplo sección agrietada ........................................................................................................ 8
3 MÉTODO SIMPLIFICADO ...................................................................................................................... 10 5.3.1 Fundamentos teóricos. ............................................................................................................. 10 5.3.2 Condiciones de aplicación. ....................................................................................................... 12
4 COLUMNA ANCHA .............................................................................................................................. 13 5.4.1 Introducción ............................................................................................................................. 13 5.4.2 Propiedades de la sección transversal ...................................................................................... 15 5.4.3 Modelación ............................................................................................................................... 17 5.4.4 Efecto de dividir un muro para el análisis. ............................................................................... 18 5.4.5 Muros en ‘T’ o ‘L’ ...................................................................................................................... 19 5.4.6 Murete en esquina ................................................................................................................... 20 5.4.7 Muros a eje y secciones completas .......................................................................................... 20 5.4.8 Variabilidad de los resultados ................................................................................................. 20 5.4.9 Modelos sin castillos ................................................................................................................ 21
5 ELEMENTO FINITO ............................................................................................................................. 22 5.5.1 Tipos de elementos ................................................................................................................... 22 5.5.2 Recuperación de resultados ..................................................................................................... 23 5.5.3 Variación de los resultados con elementos finitos ................................................................... 23
6 DIAFRAGMA ...................................................................................................................................... 24 7 MUROS DIAFRAGMA ........................................................................................................................... 24
5.7.1 Comportamiento ...................................................................................................................... 25 5.7.2 Modelo de análisis .................................................................................................................... 25
8 SOBRE LA OBTENCIÓN DE LAS FUERZAS SÍSMICAS ................................................................................. 27 5.8.1 Ecuación de movimiento ......................................................................................................... 27 5.8.2 Análisis modal ......................................................................................................................... 28 5.8.3 Respuesta máxima probable ................................................................................................... 29 5.8.4 El método estático de las NTCS ............................................................................................... 31 5.8.5 Respuesta inelástica ................................................................................................................. 32 5.8.6 Corrección por irregularidad .................................................................................................... 33
9 ANÁLISIS POR TORSIÓN ...................................................................................................................... 34 5.9.1 Rigidez a torsión ..................................................................................................................... 34 5.9.2 Distribución del cortante por torsión entre los elementos resistentes. ................................... 35
0.3
5.9.3 Factor de amplificación por torsión ........................................................................................ 36 5.9.4 Excentricidad de piso............................................................................................................... 36 5.9.5 Excentricidad de entrepiso ...................................................................................................... 37 5.9.6 Procedimiento Simplificado de Diseño por torsión, PSD ........................................................ 37
10 EJEMPLO DE ANÁLISIS DE EDIFICIO DE INTERÉS SOCIAL ......................................................................... 38 5.10.1 Propiedades de los materiales ............................................................................................. 38 5.10.2 Análisis de Carga ................................................................................................................ 38 5.10.3 Requisitos para usar el MS .................................................................................................. 39 5.10.4 Torsión sísmica ................................................................................................................... 44
11 EJEMPLO 2 DE TORSIÓN SÍSMICA ......................................................................................................... 45 12 NOTA SOBRE UN CASO TÍPICO ............................................................................................................. 46 13 REFERENCIAS ..................................................................................................................................... 46
0.4
1 Introducción
Aunque son bien conocidas las limitacio-
nes de un análisis elástico lineal, sigue siendo el método aceptado para calcular,
los elementos mecánicos en los elementos resistentes y desplazamientos de una es-tructura, dadas una serie de acciones, de-bidas, entre otras causas, al peso propio, al
uso de la estructura, al movimiento del te-
rreno debido a un sismo o la acción del viento, por mencionar solo las más comu-
nes. Las razones son, esencialmente, que el análisis elástico lineal es sencillo de in-terpretar, ya sea un análisis estático o dinámico, si se compara con un análisis no
lineal, y a que existen herramientas comer-ciales maduras para realizar dichos cálcu-los.
En los métodos aproximados contemplados en las normas del Distrito Federal (NTCM, 2004),(NTCS, 2004) se conceptualiza el
análisis en dos partes, una en la que se de-terminan las fuerzas laterales por sismo y la otra en la que se distribuyen dichas fuer-
zas en los elementos resistentes y se apli-can las cargas que no dependen del
tiempo. En las Normas Técnicas Comple-mentarias de Mampostería (NTCM) se de-
fine el método simplificado para especificar cómo distribuir las fuerzas cortantes en los muros de la estructura sin tomar en cuenta
efectos por torsión o momentos de volteo. En las NTC para diseño por sismo (NTCS,
2004) el método simplificado se refiere a cómo obtener las fuerzas sísmicas hacien-do para ello una serie de hipótesis y simpli-
ficaciones. El hecho de tener dos métodos simplificados genera cierta confusión debi-do a que en las NTCS se establece que cuando ese método es aplicable solo se re-
quiere de una revisión de la resistencia global de la estructura, mientas que en las NTCM se establece la forma de calcular las fuerzas muro por muro. Se estudiaránam-
bas.
El método estático de las NTCS se refiere,
nuevamente, al procedimiento para obte-ner las fuerzas laterales debidas a sismo, que se conocen como las fuerzas directas.
Este método a diferencia del método sim-plificado, permite hacer una aproximación
del periodo de la estructura para poder tomar la ordenada espectral correspon-
diente que resulta, en estructuras de mam-postería, en una reducción de las fuerzas laterales. Adicionalmente establece que debe tomarse en cuenta la excentricidad
estática y la excentricidad accidental para estimar fuerzas de torsión en la estructura, aunque no establece un procedimiento pa-
ra hacerlo. Ambas fuerzas, la directa y la debida a torsión se supone que se aplican
en forma “estática” a la estructura y que por medio de algún método de análisis se reparten en los elementos resistentes. El
método estático al requerir un análisis por torsión es menos restrictivo en cuanto a su aplicación.
Se estudiará aquí un método en el que los
efectos debidos a las fuerzas directas se amplifican por un factor para tomar en
cuenta la torsión.
El método para repartir las fuerzas en los muros puede ser el que mencionan las NTCM, si se cumplen los requisitos necesa-
rios, o se puede utilizar un análisis elástico con la ayuda de algún programa de cómpu-to.
Las NTCS, finalmente, permiten el uso de
un análisis modal espectral para cualquier
0.5
tipo de estructura, en ese caso, la obten-ción de las fuerzas laterales y su repartición en la estructura son parte de un solo proce-so que toma en cuenta las excentricidades
estáticas de la estructura, pero que no con-sidera las excentricidades accidentales. El método que se estudia aquí para calcular
las fuerzas por torsión puede particulari-zarse para tomar en cuenta las excentrici-
dades accidentales solamente de modo de hacerlo aplicable para este caso.
La exposición de los métodos inciará con el método simplificado de análisis de las
NTCM, que puede considerarse un caso muy particular de un análisis elástico. Este método en aras de simplicidad, hace hipó-tesis muy severas que lo hacen aplicable a
un número muy limitado de estructuras y algunos ingenieros insisten que a ninguna estructura real. El método sin embargo,
tiene el gran mérito de permitir al ingenie-ro un control de varios aspectos clave del
análisis: las cargas y, en forma aproximada, de las rigideces. Introduce el concepto de rigidez relativa que permite entender que
la distribución de fuerzas cortantes en los muros no depende directamente de la rigi-dez lateral de los elementos, sino de la ri-gidez relativa o rigidez con respecto a la
rigidez lateral total. Aunque esta noción es aproximada es de gran utilidad en la
práctica. El método es muy sencillo de
aplicar y le da al ingeniero una idea aproximada de las fuerzas cortantes a las que estarán sometidos los muros; esta in-formación es esencial.
Posteriormente se hará referencia al uso del análisis elástico lineal propiamente,
suponiendo que se llevará a cabo con la ayuda de algún programa de computadora. La teoría elástica y los métodos de análisis
por rigideces o flexibilidades, no son la ma-teria de este capítulo, esta se puede consul-tar en (Hibbeler, 2011). Aquí se estudiará, esencialmente, cómo modelar la estructu-
ra, y en particular, cómo modelar los mu-ros para hacer el análisis.
Uno de los métodos de modelación más utilizados es el de la columna ancha. Se presentarán las recomendaciones que pro-
ponen las NTCM y se complementarán con algunas otras obtenidas recientemente
(Taveras, 2008). Se mostrarán con ejem-plos los casos más comunes de aberturas
en muros por ventanas y el ensamble de muros en tres dimensiones.
La intención es sensibilizar al lector con relación a qué tan variable puede ser un
resultado utilizando un modelo u otro; responder algunas preguntas básicas de
modelación, como el determinar cuándo es posible segmentar un muro para efectos de cálculo y cuál es el error que se comete.
Se darán recomendaciones de modelación
cuando se utilizan elementos finitos, de cómo modelar los castillos y del nivel de
refinamiento de malla recomendado. Se
revisará la variabilidad de los resultados con el uso de distintos modelos.
Se presenta el método de la diagonal equi-
valente para el caso especial de muros dia-fragma. Estos muros de mampostería están
ligados a un marco de concreto o de acero
y su comportamiento es distinto que el de la mampostería confinada con castillos.
Estudiaremos las aproximaciones para el
cálculo de las fuerzas laterales y las hipóte-
sis involucradas.
0.6
Finalmente se hará un ejemplo detallado donde se utilizarán la gran mayoría de las ideas revisadas en el capítulo.
2 Criterio general
Las NTC establecen el criterio general para llevar a cobo el análisis de las estructuras de mampostería (sec 3.2.1) es como sigue:
La determinación de las fuerzas y momentos
internos en los muros se hará, en general, por
medio de un análisis elástico de primer orden.
En la determinación de las propiedades elásti-
cas de los muros deberá considerarse que la
mampostería no resiste tensiones en direc-
ción normal a las juntas y emplear, por tanto,
las propiedades de las secciones agrietadas y
transformadas cuando dichas tensiones apa-
rezcan
y se complementa con el criterio básico para el análisis por cargas laterales (sec 3.2.3.1)
Para determinar las fuerzas y momentos in-
ternos que actúan en los muros, las estructu-
ras de mampostería se podrán analizar
mediante métodos dinámicos o estáticos
(sección 3.2.3.2), o bien empleando el méto-
do simplificado de análisis descrito en la sec-
ción 3.2.3.3. Se deberá considerar el efecto de
aberturas en la rigidez y resistencia laterales.
....(sec 3.2.3.2)
La determinación de los efectos de las cargas
laterales inducidas por sismo se hará con base
en las rigideces relativas de los distintos mu-
ros y segmentos de muro. Estas se determi-
narán tomando en cuenta las deformaciones
por cortante y por flexión. Para la revisión del
estado límite de falla y para evaluar las de-
formaciones por cortante, será válido consi-
derar la sección transversal agrietada en
aquellos muros o segmentos más demanda-
dos. Para evaluar las deformaciones por
flexión se considerará la sección transversal
agrietada del muro o segmento cuando la re-
lación de carga vertical a momento flexionan-
te es tal que se presentan tensiones
verticales.
Aunque en apariencia, los criterios son su-ficientemente simples, implican serias complicaciones en su aplicación. Inicial-
mente se proponen secciones transversales sin agrietar, con los elementos mecánicos se revisa si el muro presenta tensiones y en caso afirmativo deben alterarse sus propie-
dades para incluir las correspondientes a una sección agrietada. En zonas de alta
sismicidad la aparición de tensiones es
común, por lo que vale la pena tener una idea rápida de cuándo se puede esperar
que dichas tensiones aparezcan.
5.2.1 Hipótesis para el análisis de muros
Para determinar la sección agrietada es ne-
cesario contar con hipótesis acerca de la cinemática de la sección y las curvas es-
fuerzo deformación a compresión de los materiales: concreto de los castillos, mam-
postería y acero de refuerzo. Las NTCM
dan la pauta en su sección 3.1.6 que habla de las hipótesis para la obtención de resis-
tencias de diseño a flexión.
a) La mampostería se comporta como un
material homogéneo.
b) La distribución de deformaciones unita-
rias longitudinales en la sección transver-
sal de un elemento es plana.
c) Los esfuerzos de tensión son resistidos
por el acero de refuerzo únicamente.
d) Existe adherencia perfecta entre el acero
de refuerzo vertical y el concreto o mor-
tero de relleno que lo rodea.
e) La sección falla cuando se alcanza, en la
mampostería, la deformación unitaria
máxima a compresión que se tomará
igual a 0.003
0.7
f) A menos que ensayes en pilas permitan
obtener una mejor determinación de la
curva esfuerzo–deformación de la mam-
postería, ésta se supondrá lineal hasta la
falla.
Estas hipótesis, con excepción del inciso f) son idénticas a las utilizadas en una sec-ción de concreto (NTC Concreto 2.1), per-
miten hacer el equilibrio de las fuerzas internas que se desarrollan en la sección. Las fuerzas pueden calcularse con el dia-grama de deformaciones unitarias.
5.2.2 Materiales
El módulo de elasticidad (kg/cm2), de la mamposte-ría lo establece la NTCM 2.7.5.2,
para cargas de corta duración como
�� = 800 ��∗ Para tabiques y blo-ques de concreto �� = 600 ��∗ Para tabiques de barro y otras piezas
donde ��∗ (kg/cm2), es la resistencia de di-seño a compresión de la mampostería.
El módulo de elasticidad del concreto se tomará de acuerdo a la sección 1.4.1.4 de la
NTC de concreto � = 8,000�� (kg/cm2),
considerando un concreto clase II con re-sistencia no menor a 200 kg/cm2 y peso
volumétrico en estado fresco entre 1.9 y 2.2 t/m3.
El problema aparente del módulo de elastici-
dad de la mampostería y del concreto
Los valores anteriores de los módulos de
elasticidad del concreto y de la mampos-tería no son consistentes con las hipótesis en 5.2.1 donde la deformación a la falla de
la mampostería y del concreto deben ser 0.003. Supóngase, por ejemplo, una mam-
postería de piezas de barro. El módulo de
elasticidad, considerando cargas de corta duración será de �� = 600 ��∗ y por lo tan-to la deformación a la falla será de �� = ��∗ /�� = 0.0016 < 0.003. El caso del
concreto es similar, considere un � = 200 kg/cm2, el módulo de elasticidad es � = 8,000�� y por lo tanto � = �∗ �⁄ =0.00176 < 0.003. Para el cálculo de la re-
sistencia, en ambos casos, debe calcularse el módulo de elasticidad secante � = �/0.003, en cambio deben utilizarse los módulos de elasticidad propuestos para el análisis estructural ya que son valores
más adecuados para el rango elástico.
De lo anterior es evidente que para efectos de un análisis de comportamiento del mu-ro, no puede tomarse la curva esfuerzo de-formación lineal hasta la falla, y quizá lo
más simple sea utilizar una aproximación bilineal como, las indicadas en la Figura 0.1.
Figura 0.1 Curvas esfuerzo deformación que podrían usarse para el análisis y para la determinación de la resistencia de muros de mampostería: a) mampos-tería, b) concreto.
Módulo de cortante G
Este valor tiene especial relevancia en el cálculo de las rigideces de los muros, como
veremos más adelante. El valor nominal que propone la NTCM es � = 0.4 �
0.003
��
��∗0.6��∗
0.003
�
�∗0.6�∗
a) b)
0.8
Este valor implica que el módulo de Pois-son supuesto en la mampostería es de � = 0.25 dado que, según la teoría elástica
� = �2(1 + �)
En la versión anterior de las NTCM, este valor se especificaba como � = 0.3 �, que se consideraba una mejor aproximación.
Sin embargo, según la teoría elástica dicho valor es imposible dado que implica un va-lor de � = 0.66. Esta inconsistencia gene-
raba problemas para utilizar � = 0.3� en programas de análisis, que, típicamente,
limitan el módulo de Poisson, al rango teó-rico, 0 ≤ � ≤ 0.5.
Efectivamente en pruebas recientes (Cruz, 2011), se confirma que los valores de � me-
didos con muretes a compresión diagonal están entre 0.1 y 0.3 �, confirmando que la
mampostería no es un material isótropo.
El efecto de esta discrepancia en los valores
de � experimentales y los utilizados en el análisis no podrá comprenderse sino hasta
que se conozcan las rigideces laterales y las rigideces laterales relativas de los muros en las siguientes secciones. Baste adelantar
aquí que el efecto de usar en el análisis va-lores de � mas grandes que los reales resul-ta en cortantes mayores en los muros más largos y consecuentemente cortantes me-
nores en los muros cortos.
Acero
La curva esfuerzo-deformación del acero
puede considerarse como elastoplástica teniendo como parámetros el esfuerzo de
fluencia �� y el módulo de elasticidad del
acero de refuerzo � = 2.03 × 10! kg/cm2.
5.2.3 Ejemplo sección agrietada
En la Figura 0.2 se muestra el caso de un muro con castillos. Se ha idealizado, para el cálculo que sigue, que el área de acero en
los castillos está concentrada en el centroi-de del castillo, igualmente se considera
concentrada el área de los castillos.
El problema puede abordarse de distintas formas considerando en cada caso distintas incógnitas:
a) Pueden tomarse como datos el momen-
to " y la fuerza axial # sobre el muro y de-terminar la profundidad del eje neutro y la deformación de la fibra extrema a compre-
sión. Si el eje neutro resulta dentro del mu-ro, la sección esta agrietada (como aparece
en la Figura 0.2). Si por otro lado $ > & to-da la sección está a compresión y no hay agrietamiento por flexión. El eje neutro
podría ser negativo, en ese caso toda la sección esta en tensión, en cuyo caso,
Figura 0.2 Sección transversal de un muro, diagrama de deformación suponiendo sección plana.
0.9
la resistencia está dada por el acero de re-fuerzo en los castillos. Esta manera de ver el problema es conveniente para hacer la revisión del agrietamiento para una deter-
minada combinación de carga. El cálculo requiere de un procedimiento iterativo, estimando en cada iteración el valor de las
incógnitas, calculando el valor de la carga axial y momento que se comparan con los
actuantes hasta lograr que sean iguales con la precisión deseada.
b) Otra forma de abordar el problema es tomar como dato la profundidad del eje
neutro y la deformación de la fibra extrema a compresión y calcular la fuerza axial P y el momento de flexión actuantes M. Este puede considerarse como uno de los pasos
necesarios en el procedimiento anterior. Esta manera de proceder la utilizamos para producir las curvas de la Figura 0.3.
Los cálculos se resumen a continuación:
' < ($ − */2& − * + longitud efectiva de la mam-postería en compresión , = - × * área del castillo $. = &/2 Centroide plástico. Es el pun-to donde se debe aplicar la carga axial para no generar momento. Solo en el caso de una sección simétrica es igual a &/2 / = �/$ pendiente del diagrama de deformaciones �0 = � − / × & ��0 = � − /(' + */2) ��1 = � − /(*/2)
Con la cuerva esfuerzo-deformación de la mampostería se puede determinar la parte de la sección que ya falló a compresión: $�; y corregir la longitud efectiva a compresión
de la mampostería '.
Si ��1 > ��∗ ��⁄ → 3$� = ��1 − ��∗ ��⁄��1 = ��∗ ��⁄' = ' − $�+
Este ajuste es necesario solo si la deforma-ción a la falla de la mampostería es menor a la deformación a la falla del concreto. De otra forma fallará primero el castillo antes de que esto pueda suceder.
En estos cálculos al utilizar ��∗ ��⁄ como deformación a la falla, esta será < 0.003 como ya se mencionó.
Ahora las fuerzas. Obsérvese que se está considerando que la carga axial siempre es de compresión #� = �� ∙ (��0 + ��1)/2 ∙ -', #50 = 6789(�0) ∙min(|�0|�5, ��) ∙ ,5 #0 = 6789(�0) ∙min(|�0|�, � ) ∙ , #51 =min(��5, ��) ∙ ,5 � > 0 #1 =min(�� , � ) ∙ , � > 0
Los brazos de palanca de la fuerzas respec-
to al centroide plástico se requieren para calcular el momento resistente. El centroi-
de del bloque efectivo de compresión me-dido desde la fibra extrema a compresión
de la mampostería es
;� = <=>?∙@ABC=DC(<=BE<=>)∙AB∙@AFC=D<=>?C(<=BE<=>)∙AB ,
los brazos de palanca son entonces G� = $. − (;� + */2), G0 = $. − &, G1 = $. − */2,
Finalmente, las fuerzas resistentes son # = #50 + #0 + #� + #51 + #1, " = (#50 + #0) ∙ G0 + #� ∙ G� +(#51 + #1) ∙ G1.
Calculando de esta forma para una serie de valores de $ y �, pueden hacerse graficas
con curvas de igual valor de #/#� y de igual valor de "/(#&), donde #� es la car-
ga axial nominal máxima. Superponiendo
dichas gráficas se obtiene la que se presen-ta en la Figura 0.3
0.10
Si $/& < 1 significa que se tienen tensiones dentro del muro. De la gráfica se puede concluir que hay tensiones cuando la ex-centricidad " (#&)⁄ > 0.5. Esta es una re-
gla fácil de recordar.
Figura 0.3 Profundidad del eje neutro (c/d) dados la excentricidad (e/d=M/Pd, rojo) y la carga axial (P/Pm, azul) nominales. Donde Pm es la carga axial nominal máxima.
Las curvas que se muestran en la Figura 0.3 fueron construidas utilizando los módulos de elasticidad del concreto y la mampos-
tería para el análisis, de modo que las de-formaciones a la falla resultan menores a 0.003, sin embargo la parte crítica de las curvas en el rango elástico, digase para
épsilon <0.0016 son muy similares a las que se hubieran obtenido tomado el módulo de
elasticidad tangente.
3 Método simplificado
En el método simplificado de análisis de las NTCM se establece que la fuerza cortante que toma cada muro o segmento de muro de un edificio es proporcional a su área
transversal. Se verá en la siguientes seccion bajo qué condiciones eso es posible.
5.3.1 Fundamentos teóricos.
Si la estructura es simétrica con respecto a un eje que es paralelo a la dirección de aná-lisis, la carga esta uniformemente distri-
buida y los muros están unidos por una losa muy rígida en su plano, entonces el
desplazamiento de todos los puntos de la losa de un nivel determinado debido a una carga de inercia en dicha dirección de aná-
lisis será el mismo (u).
Figura 0.4 Estructura simétrica, masa uniforme y losa rígida, u es el desplazamiento del piso, V es el cortante total, V_i el cortante que toma cada muro, k_T la rigidez total del entrepiso y k_i la rigidez late-ral de cada muro.
En ese caso hipotético, la fuerza cortante que tomará cada uno de los muros será proporcional a su rigidez lateral relativa.
De la Figura 0.4, se tiene que H = IJK HL = ILK HLH = ILIJ HL = H ILIJ = HIL∑ ILNLO0
Si no hubiera losa rígida este resultado no tendría sentido. Si por otro lado, no hubie-
ra simetría en rigideces o masas, se produ-ciría un momento torsional, que sería
resistido mediante un cortante adicional en los muros.
Ahora es necesario mostrar que la rigidez es proporcional al área de la sección de los
muros. La rigidez lateral de un muro es
0.11
IP = 12 �Q(4 − 3R)ST IU = �,S 0.1 I� = IPIUIP + IU
Donde IP es la rigidez a flexión del muro, IU la rigidez a cortante, S la altura libre del muro, � e Q son el módulo de elasticidad y la inercia de la sección respectivamente, �
es el módulo de cortante y , el área de
cortante. El coeficiente 0 < R < 1 indica, si es cero, que el muro esta en voladizo y si es
igual a uno que el muro tiene totalmente restringido el giro. Los valores intermedios indican que el muro está parcialmente res-tringido. Es claro que en el método simpli-
ficado se asume que para el cálculo de la rigidez lateral de un muro solo interviene la deformación por cortante, ya que sólo en
ese caso la rigidez es proporcional al área de los elementos.
Calculando las deformaciones por cortante
y flexión se verá que tan plausible es esa hipótesis. Con las hipótesis del método puede escribirse que,
K = HIP + HIU → 1 = I�IP + I�IU
I�/IP representa la proporción del despla-
zamiento del muro debido a flexión y I�/IU la proporción del desplazamiento
debido a cortante. En la Figura 0.5 se muestra cómo varían estas cantidades en
función de la relación de aspecto S/'.
Se observa que la participación de la
flexión es despreciable sólo si el muro es bastante largo, que es cuando S/' es pe-
queño, por ejemplo, S/' < 0.4; en ese caso el desplazamiento por flexión es menor
Figura 0.5 Proporción de desplazamiento debido a cortante y a flexión en función del la relación de aspecto de un muro en voladizo, β=0 y G=0.4E. Se muestra también la corrección hecha por las NTC del DF. La línea vertical indica H/L=1.33
al 20% (línea roja en la Figura 0.5). Para dar
un ejemplo, supóngase S = 2.5 m, en ese caso ' = 6.25 m. Este hecho es importante
porque en los muros más largos la rigidez
que supone el método simplificado es co-rrecta, mientas que para los muros más
esbeltos la rigidez es mayor que la teórica, esto es, se desprecia el desplazamiento por flexión. Esta rigidez a cortante en exceso de los muros cortos es la razón de la existen-
cia del factor VWX (ver la definición en la Figura 0.6) o factor de área efectiva. Este factor reduce el área del muro cuando es
corto para reducir parcialmente su rigidez lateral. Aún con esta corrección, el efecto
resultante es que los muros mas esbeltos tienden a sobre diseñarse usando este método (si se cumplen las hipótesis) y vi-
ceversa. Esto puede verse claramente con un ejemplo. Tomando la estructura de la
Figura 0.4 en la Tabla 0-1 se presentan las proporciones del cortante que toma cada
muro. Se calculan las rigideces teóricas y las rigideces según el método simplificado usando el factor de área efectiva. La pro-
porción del cortante
0.12
Tabla 0-1 Comparación del cortante que toman
los muros de la Fig 5.4 con L_1=L_4=1.5,
L_2=L_5=3, L_3=5, G=0.4 E y A_c=5/6 A.
k_m/k_T es el cortante que toman los muros
Teórico MDF
m L I�/IJ I�/IJ RDF/Teórico
1 1.5 0.04 0.08 1.81
2 3 0.21 0.23 1.10
3 5 0.49 0.38 0.77
que toma cada muro se calcula como el cociente de la rigidez de cada muro entre la rigidez total. Los valores no dependen
del módulo de elasticidad �, puede tomar-se como unitario en los cálculos interme-dios de las rigideces y lo mismo sucede con el espesor de los muros, que se supuso uni-
forme.
Como se había anticipado, en los muros
cortos el cortante predicho por el método simplificado esta sobrestimado en 81%, y lo contrario sucede con los muros más largos
donde el método simplificado subestima el cortante en 23%.
La carga axial en los muros no debe variar
significativamente ante el sismo para usar este método ya que el método simplificado no especifica cómo calcular la fuerza axial
en los elementos debida a sismo, simple-mente las fuerzas laterales se combinan con las cargas verticales para obtener una condición de diseño.
5.3.2 Condiciones de aplicación.
Las condiciones que impone el reglamento para que el método simplificado pueda ser
utilizado están encaminadas a que las hipótesis del método se cumplan:
a) En cada planta, al menos 75 por ciento de las
cargas verticales están soportadas por muros
ligados entre sí mediante losas monolíticas u
otros sistemas de piso suficientemente resis-
tentes y rígidos al corte.
Este requisito es para asegurar que los ele-
mentos resistentes sean predominante-mente muros cuya rigidez lateral está
dominada por deformaciones por cortante y que el movimiento de los muros está de-bidamente acoplado. Además,
b) Dichos muros tendrán distribución sensible-
mente simétrica con respecto a dos ejes orto-
gonales. Para ello, la excentricidad torsional
calculada estáticamente, Y5, no excederá del
diez por ciento de la dimensión en planta del
entrepiso medida paralelamente a dicha ex-
centricidad, Z
(ver la
Figura 0.6 para el cálculo de las excentrici-dades.) La condición limita la asimetría que, como ya se mencionó, produce efectos
adicionales por torsión que no toma en cuenta el método.
c) La relación entre longitud y ancho de la planta
del edificio no excede de 2.
Cuando la planta es alargada, aunque sea
maciza, se pueden tener efectos importan-tes debido a la flexibilidad del diafragma,
especialmente en los muros centrales para-lelos a la dirección corta. Esos efectos no se toman en cuenta en el método simplifica-
do y por tanto deben evitarse.
0.13
VWX = 1, S '⁄ ≤ 1.33 VWX = [1.33 'S\1, S '⁄ > 1.33
Figura 0.6 Requisito de simetría; H es la altura libre del muro y L la longitud efectiva del muro.
d) La relación entre la altura y la dimensión
mínima de la base del edificio no excede de
1.5 y la altura del edificio no es mayor de 13
m.
La restricción limita la altura del edificio para evitar tener momentos de volteo muy
grandes que nos llevan a cargas axiales im-portantes en los muros.
Es importante notar que el método simpli-ficado no toma en cuenta las restricciones
al giro de los muros, ya que no considera la rigidez a flexión en absoluto. La restricción
al giro en un muro está dada por otros mu-ros, que estén ligados a éste, en la direc-ción perpendicular y por vigas o muros
bajo ventanas en el mismo plano del muro. Esta restricción al giro afecta la rigidez la-teral debida a flexión del muro. Los muros de fachadas en los que aparecen aberturas
para ventanas crean elementos de acopla-
miento que dan una significativa restric-ción al giro. Los muros interiores que están ligados por dalas y losas tienen un menor efecto en este sentido.
Debemos insistir en que el área efectiva debe interpretarse como una rigidez y no
debe usarse para calcular la resistencia de los muros. Más aún, el cálculo del área efectiva, parece innecesario ya que puede
calcularse la rigidez lateral teórica de los muros, incluyendo rigidez a corte y flexión,
sin que esto represente un esfuerzo de cómputo que se deba optimizar, toda vez
que las operaciones se hacen con medios electrónicos.
El cálculo de las fuerzas laterales se hace de acuerdo al método estático de las NTCS.
(ver la sec 5.8.4). Para efectos de calcular las fuerzas sísmicas puede usarse el coefi-
ciente sísmico calculado con otro código, por ejemplo, el Manual de Diseño por Sis-mo de la Comisión Federal de Electricidad
(CFE)
4 Columna Ancha
5.4.1 Introducción
El método de la columna ancha, es un método de modelación muy utilizado en la
práctica profesional por varias razones: si es bien aplicado, pueden esperarse buenos resultados, es muy sencillo de aplicar y se obtienen elementos mecánicos que pueden
utilizarse directamente en el diseño. Sin embargo, la modelación con columna an-cha presenta, en muchas ocasiones, varias
posibilidades, que desafortunadamente dan resultados muy distintos. Se estu-
diarán algunos casos típicos y la dispersión de los resultados. Esta información, más que cuantitativa, es de valor cualitativo,
0.14
permite al ingeniero tomar decisiones más racionales sobre todo cuando se trata de incluir un mayor refinamiento en los mo-
delos, que, como se verá, no suele ser efec-
tivo. El método consiste, simplemente, en modelar los muros por medio de elementos
prismáticos (barras) cuya sección transver-sal es la sección transformada y agrietada de los muros.
El uso de la columna ancha lo contemplan
las NTC en su sección 3.2.3.2. En la aplica-ción del método pueden hacerse las si-
guientes precisiones:
1) Los muros o segmentos de muro se mo-delarán con elementos tipo barra que in-cluyan deformaciones por cortante.
2) La sección transversal del elemento será la sección transversal del muro incluyendo
las secciones transformadas de los castillos. Los castillos que sean aledaños a dos o más segmentos de muro que se modelen en forma separada, deberán incluirse en uno
solo de ellos. Ver el ejemplo más sencillo en la Figura 0.9.
3) Las propiedades de la sección deben ser siempre las centroidales, aun cuando haya
diferencias entre el eje centroidal y la posi-ción del eje del muro.
4) Es suficiente localizar el elemento al centro del muro. Esta posición, en general será, diferente al centroide de la sección en
aquellos elementos que incluyan un casti-
llo en uno de sus bordes pero no en el bor-de opuesto. (ver Figura 0.7). Aun si se trata
de un muro aislado pero con castillos de distinta longitud puede ponerse el eje al centro geométrico, pero cuidando que Y < 0.1'.
5) Para modelar el ancho del muro de mo-do que otros elementos puedan conectarse
al borde del mismo, deben utilizarse ele-mentos rígidos que salen perpendiculares al eje del muro hasta llegar al borde.
Este artificio reproduce la hipótesis de sec-
ción plana antes y después de deformación y a la vez, permite que elementos que no
conectan en el eje del muro, generen los momentos que corresponde. Para hacer esta modelación, en muchos programas
comerciales es posible aplicar una restric-ción cinemática a un grupo de nudos. La restricción consiste en establecer que el grupo de nudos, en este caso, el nudo sobre
el eje de la columna ancha y el nudo en el borde del muro se comporten como si es-tuvieran unidos por un cuerpo rígido en el
plano del elemento que coincide con el del
e
Figura 0.7 El castillo central se incluye en la sección de uno solo de los segmentos. Al incluir solo un castillo en el segmento del lado izquierdo, se genera una excentricidad ‘e’ entre el centroide y la po-sición media donde se recomienda localizar el eje del elementoprismático.
'0 '1
'0/2 '0/2 '1/2 '1/2
, , � ,� , ��
Q = Q� + 9Q + 9,&1 9 = �/��
0.15
muro. Se muestra en la Figura 0.8 un caso general (normalmente ]� = 0�, en el que
los desplazamientos del nudo del borde (*)
están determinados por los desplazamien-
tos del nudo en el eje del muro (/�.
Normalmente las restricciones se imponen en forma implícita al seleccionar una op-
ción, tal como viga rígida o similar y el nu-do “maestro” / es seleccionado automáti-camente por el programa.
Los programas, aplican las restricciones reduciendo el número de grados de liber-
tad conservando solo los del nudo maestro.
K^_ � K�_ ) ]_`� K^� � K�� � ]�`�
Figura 0.8 Restricción cinemática. a, nudo maestro, b, nudo esclavo. Dado un desplazamiento y un giro del nudo maestro se calculan los desplazamientos del esclavo.
6) La alternativa, cuando el programa que se usa no permite imponer condiciones
cinemáticas, es incluir una barra con pro-
piedades tales que simulen una barra rígi-da; dicha simulación, normalmente, puede
lograrse asignando al elemento un material con un módulo de elasticidad muy grande, 100 o 1000 veces mayor que la mampostería normal. Este método para imponer las
condiciones cinemáticas es aproximado
pero confiable aunque potencialmente puede ocasionar problemas numéricos cuando se exagera el valor del módulo de elasticidad.
En el caso típico en que se usan elementos rígidos al nivel de losa para conectar con
otros elementos, la sección transversal
Columna: , � ,� � 29, , Q � Q� � 29�Q � ,&� Elemento rígido, Impone la condición de sección plana antes y después de la de-formación
Figura 0.9 Muro modelado con columna ancha, donde cd es el área del castillo, ea la inercia de la sección de mampostería, ed la inercia del castillo y f es la relación modular f � gd/ga, siendo gd el módulo de elasticidad del concreto y ga el módulo de elasticidad de la mampostería.
puede ser rectangular con peralte igual a la altura de entrepiso y de ancho, el espesor del muro. La selección de dicha sección es
arbitraria, pero funciona bien, en combina-
ción con el material mencionado anterior-mente, para lograr el efecto de elemento
rígido.
5.4.2 Propiedades de la sección transversal
En la Figura 0.9 se muestra un muro aisla-
do modelado con columna ancha. Los ele-mentos rígidos son necesarios solo si algún otro elemento conecta en alguno de los
extremos del muro. En dicha figura se indi-ca el cálculo del área transversal y la iner-
`�
K�_
K��
/
]_
K^_
K^�
]� `h *
0.16
cia. En un análisis tridimensional, los pro-gramas requieren, adicionalmente, de las áreas de cortante en ambas direcciones pa-ralelas a los lados de la sección, la inercia
respecto a un eje en el plano del muro y la constante de torsión de Saint Venant.
Área de cortante
El área de cortante de una sección, hecha de un solo material, suele expresarse en términos de un factor de forma: ,U = ,/i
donde , es el área transversal de la sección. El factor de forma como su nombre lo indi-
ca, es una propiedad geométrica y su valor depende sólo de la forma de la sección, siendo 1.2 (6/5) para secciones transversa-
les rectangulares. El factor de forma se de-fine de modo que el esfuerzo uniforme obtenido como j = H/,U produzca la mis-ma energía de deformación que la distribu-
ción parabólica teórica del esfuerzo1; eso permite usar j en el cálculo de la energía
potencial y, por tanto, en el teorema de
Castigliano para determinar las deforma-ciones en la teoría de vigas (Hibbeler, 2011).
Así mismo, las rigideces o flexibilidad de vigas se expresan en términos de ,U, cuan-do se consideran las deformaciones por cortante.
En nuestro caso el área de cortante debe tomar en cuenta que los castillos son de
otro material, distinto a la mampostería. El área de cortante es mayor a la que se obtendría si todo el muro fuera de mam-
postería. La diferencia depende de la longi-tud de los castillos de concreto y la relación modular: mientras más grandes los casti-
1 i = WkB l mB^ &;W
llos y la relación modular, será mayor el área de cortante.
Haciendo el cálculo exacto del área de cor-tante para varios casos se obtuvo la si-
guiente recomendación para el valor de I (Taveras, 2008),
i = 65 + 65 n(9 − 1)2 + 2n 0 < n < 0.2 1 < 9 < 6
donde n = ∑ *LL '⁄ donde (∑ *LL ) es la
suma de las longitudes de los castillos y ' es la longitud total del muro; 9 = �/�� es la relación modular. La expresión cubre bien los casos límite: si no hay castillos n = 0 o bien 9 = 1 la expresión arroja el valor de i = 6/5 de una sección rectangu-
lar.
El factor i debe dividir al área transforma-
da. Esta expresión debe utilizarse para todo el muro y si éste está dividido en segmen-
tos para el análisis, a cada columna ancha se le debe asignar la parte proporcional a su longitud. Si el muro es en T, puede usar-
se la misma expresión, ya sea para el patín o para el alma e incluso para muros con
castillos de distinto tamaño. La aproxima-ción es válida si los castillos no son muy grandes.
Área de cortante en el sentido transversal
En el sentido transversal el área de cortan-
te puede tomarse i = 1.2 sobre el área trasformada.
Inercia fuera del plano
Con relación a la inercia en el sentido transversal (respecto a un eje paralelo a la longitud del muro), las NTCM mencionan
que la mampostería no debe tomar flexión fuera de su plano, por lo que la inercia de-
be reducirse a la inercia de los castillos.
0.17
Constante de torsión de Saint Venant (J)
La forma aproximada para calcular esta propiedad es suponer que se trata de una sección abierta de pared delgada, esto es o = *'T/3 donde * es el espesor del muro y ' su lon-
gitud. Estrictamente para incluir el hecho de que los castillos son de otro material puede escribirse
o = p 9q*'qT/3rqO0
donde 9q = �q/��, s es el número de seg-
mentos con distinto material (s = 3 para un muro con dos castillos), 'q es la longi-
tud de cada segmento: de los castillos y de la zona de mampostería. Todo esto supo-niendo que el material de la columna an-cha es el de la mampostería.
5.4.3 Modelación
Se presentan a continuación recomenda-ciones de modelación de algunos casos
típicos.
Anchos efectivos de vigas
Cuando el acoplamiento de dos muros es a
nivel de la losa, ésta debe modelarse po-niendo un elemento cuya sección tiene el espesor de la losa y su ancho es tres veces
dicho espesor, o bien si existe una dala esta debe modelarse con un elemento de sec-ción ‘T’ donde el patín, tiene un ancho efectivo igual a 8 ∙ - + * donde - es el espe-
sor de la losa y * el ancho de la dala, ver la Figura 0.10.a.
Cambio de posición del eje del muro
En la Figura 0.10.b se muestra el caso, muy común, en que los muros interiores, tienen aberturas para puertas, que dan lugar a
cambios en la posición del eje del muro.
a)
b)
c)
Figura 0.10 a) Modelo de columna ancha b) con el eje del muro desalineado, c) Muros bajos
0.18
Esta variación de la posición del eje debe reflejarse en el modelo.
Muros bajo ventanas (pretiles)
En la Figura 0.10.c, se muestra la modela-ción de los muros bajo las ventanas. En el primer nivel, debe modelarse con una co-lumna ancha y elementos rígidos, pero es-
tos últimos deben estar articulados en sus extremos. En los niveles superiores, debe usarse la recomendación de las NTC en la
que la sección del muro bajo la ventana debe incluirse en la sección de la trabe. Di-cha trabe es continua.
Muros sobre trabes
El muro puede modelarse como anterior-mente como una columna ancha y elemen-tos rígidos para modelar el ancho del
muro. Este modelo es útil para el análisis global de la estructura, pero no proporcio-na información para diseñar la trabe de
apoyo. En la literatura este problema suele concentrarse en el diseño de dinteles, en
ventanas o puertas, consúltese, por ejem-plo, el código canadiense (S304.1-04 (R2010), 2010).
5.4.4 Efecto de dividir un muro para el
análisis.
Es común que en los despachos de cálculo
se dividan los muros largos en segmentos y que estos se modelen con columnas an-chas. Sin embargo, al ver las fórmulas de la rigidez lateral de los muros (pag 11), es evi-
dente que al dividir un muro la rigidez la-teral se verá afectada.
El caso más simple es el de dividir el muro en voladizo en dos segmentos. En ese caso
las rigideces laterales usando un solo seg-mento y dos segmentos son:
La rigidez lateral del muro modelado con una y dos barras, considerando deforma-ción por cortante, es:
Figura 0.11 Muro modelado con a) una sola barra y b) dos barras.
I0^ = 5�n-tT20n + 6t1 − 15nR
I1^ = 5�n-tT35n + 6t1 − 15nR
donde t = '/S, � = n� y R = 0, 1 indica que el extremo del muro esta en voladizo o
tiene el giro de su extremo superior res-tringido, respectivamente.
La comparación de ambas rigideces puede
hacerse considerando el error que se come-te al dividir un muro
Y = 1 − I1^I0^ = 15n35n + 6t1 − 15nR
En la Figura 0.12 se presentan los errores en función de la relación de aspecto, conside-rando dos condiciones de frontera: en vo-
ladizo y restringido el giro en el extremo y para dos casos del valor del módulo de cor-tante � = 0.2 � y 0.4 �.
Aceptando como máximo error por la mo-
delación del 20%, las relaciones de aspecto mínimas a partir de las cuales es aceptable
dividir el muro se muestran en la Tabla 0-2.
0.19
Figura 0.12 Error por modelar a un muro en dos segmentos. Línea negra, muro en voladizo, línea roja muro con el giro en el extremo restringido; líneas punteadas usando u = v. wg.
Tabla 0-2 Relación de aspecto L/H mínima requerida
al dividir un muro para efectos de modelación, y
tener un error menor de 20% en la rigidez lateral.
G=0.4 E G=0.2 E
En voladizo 1.632 1.155
Giro restringido 1.915 1.354
Normalmente los muros tendrán una cierta restricción al giro debida principalmente a otros muros en el sentido perpendicular
y/o a vigas en el plano del muro. Haciendo esta consideración, la recomendación de
modelado puede resumirse así: cuando el analista requiera dividir los muros, porque la carga axial varíe sustancialmente o
cuando la división permita un diseño más racional, el analista podrá hacerlo sin co-
meter un error significativo si '/S > 1.7 y use el valor reglamentario de � = 0.4�.
Normalmente no es posible usar en los programas comerciales un valor de � = 0.2 �. En la expresión de la rigidez lateral utili-
zando dos barras se puede escribir también como:
I1^ = 12�ST (2Q + ,&1/2)(7 + 4Ω) , Ω = 12�Q�,S1
de donde se puede identificar que la rigi-dez debida al acoplamiento de las barras:
es el término que involucra a ,&1/2, donde , es al área del segmento. Esta rigidez de-
bida al acoplamiento representa aproxima-damente el 75% de la rigidez lateral. Para
que este término pueda “activarse” es nece-sario que el acoplamiento entre los dos
segmentos sea mediante un elemento rígi-do. El acoplamiento se pierde rápidamente a medida que la barra que une a los seg-
mentos es más flexible, hasta el punto en que la barra de acoplamiento esta biarticu-
lada. En ese caso la rigidez lateral solo de-pende de las inercias de los segmentos y el término de acoplamiento es cero.
5.4.5 Muros en ‘T’ o ‘L’
Cuando los análisis eran predominante-mente realizados utilizando marcos planos,
era necesario tomar en cuenta elementos perpendiculares a la dirección de análisis para estimar la rigidez lateral de muros. Las NTCM establecen anchos efectivos de
dichos elementos perpendiculares, que de-ben incluirse en la sección del muro. Ver Figura 0.13. Cuando el modelo es tridimen-
sional, los elementos en el sentido perpen-dicular a la dirección de análisis influyen
en la rigidez lateral de los muros en el sen-tido del análisis, por lo que no es necesario
tomar en cuenta anchos efectivos. Un ejemplo de un modelo tridimensional se
muestra en la Figura 0.14. En los modelos
en 3D debe tenerse cuidado de no incluir los castillos en más de una sección trans-
versal.
0.20
Figura 0.13 Anchos efectivos de elementos perpendi-culares a la dirección de análisis. (Fig 3.5 de las NTC)
Figura 0.14 Modelo de columna ancha en un modelo tridimensional
Figura 0.15 Ventana en esquina. Debe sujetarse en la esquina el elemento rígido del murete con el muro en el sentido perpendicular.
Este modelo sin embargo, no es el ideal, ya que, no funciona bien en ambas direccio-nes de análisis. En la dirección de análisis paralela al alma, el efecto de poner elemen-
tos rígidos que unen a los segmentos del patín con el alma, equivale a incluir toda el área del patín en la sección del muro del
alma; contrario a lo que proponen la NTCM, y puede verificarse numéricamente
con modelos de elemento finitos, que solo se tome en cuenta en ancho efectivo.
5.4.6 Murete en esquina
En la Figura 0.15 se muestra el caso de un muro bajo ventana en esquina. El murete
no puede dejarse sin ligar al muro perpen-dicular, de lo contrario esos elementos sue-len generar problemas en el análisis
dinámico.
5.4.7 Muros a eje y secciones completas
Los muros se modelan a eje, pero para
efectos de las secciones transversales de los muros deben considerarse las longitudes
totales. Esto implica que hay regiones du-plicadas donde se interceptan los muros. Esto no tiene un efecto de consideración,
solo debe asegurarse que no se incluya dos veces un castillo. Por ejemplo: en la Figura 0.14 la sección del alma debe incluir la di-mensión total sin deducir la parte del muro
que intercepta con los patines; sin embar-go, los castillos en las intercepciones solo
debe incluirse en la sección del alma o del
patín pero no en ambos.
5.4.8 Variabilidad de los resultados
Con el objeto de presentar una idea de la
variabilidad en los resultados usando uno u otro modelo de columna ancha, se presen-tan los resultados de distintos modelos de un marco intermedio típico de una vivien-
0.21
da de mampostería sometido a una carga lateral en cada nivel que crece linealmente con la altura. Se calculó el marco de la Fi-gura 0.16 con varios modelos de columna
ancha.
Figura 0.16 Modelo de prueba
FR1 FR2
FR3 FR4
Figura 0.17 Distintos modelos con columna ancha
Los distintos modelos se muestran en la Figura 0.17. Los resultados se compararon
con los obtenidos con un modelo de ele-
mento finito refinado lo suficiente para garantizar que los resultados corresponden a los valores de convergencia; ver la Tabla 0-3
Tabla 0-3 Errores relativos de fuerza cortante con
distintos modelos de columna ancha
FR1 FR2 FR3 FR4
(%) (%) (%) (%)
S1 -3.9 -8.3 10 13.4
S2 5.2 11 -13.3 -17.8
S3-N1 -10.7 -5.7 -26 -25.5
S3-N2 -17.6 -15.4 -22.6 1.1
S3-N3 -5.3 -6.1 -12.4 5.4
S4-N1 27.8 35 4.9 -6.8
S4-N2 31.9 35.5 21.6 42.1
S4-N3 12.3 9.8 16.3 28.4
Los cuatro modelos producen resultados
aceptables para las secciones S1 y S2, sin embargo en las secciones contiguas a los
huecos de las ventanas, los errores, empie-
zan a ser considerables en algunos mode-los.
5.4.9 Modelos sin castillos
¿Cuál es el efecto de no modelar los casti-llos?. Esta es una pregunta válida ya que
modelarlos debidamente toma tiempo. De experimentos numéricos realizados con un número limitado de estructuras, se pudo confirmar que el no modelar los castillos
da como resultado una estructura más
flexible y por lo tanto el periodo dominan-te calculado es mayor al que podría espe-
rarse y los desplazamientos son considerablemente mayores. Sin embargo considerando que los castillos se distribu-yen en los muros de manera más o menos
uniforme, las rigideces relativas de los mu-ros no se alteran considerablemente. Lo anterior implica que el cortante se distri-
buye en forma similar con y sin castillos. Por otro lado al aumentar el periodo de la
0.22
estructura las fuerzas sísmicas serán mayo-res dado que, en general, una estructura de mampostería de pocos niveles se encuentra en la parte ascendente del espectro. Todo
esto puede resumirse en que el modelo será conservador. No se tiene información disponible suficiente como para establecer,
que tanto más conservador.
Se presenta en la Figura 0.28, el modelado
con columna ancha de un edificio típico de mampostería, cuya planta se presenta en la
Figura 0.27
5 Elemento Finito
El método de análisis con elementos finitos (EF) da, en general, muy buenos resulta-
dos, cuando tanto castillos como la mam-postería se modelan con EF. El método no
impone hipótesis adicionales a las de un modelo elástico lineal como es el caso de la hipótesis de sección plana en el método de columna ancha. No es necesario calcular
propiedades geométricas de las secciones y no es necesario tomar decisiones con rela-ción a la segmentación de los muros. El
método solo exige que la relación de aspec-to de los elementos sea similar a la unidad
y en ningún caso sea mayor que 2, y que los ángulos internos de un elemento cuadrilá-
tero sean cercanos a 90o, menos de 135o y más de 45o. Dos elementos contiguos de-ben compartir los nudos. (ver Figura 0.18).
Modelar en 3D, sin embargo, demanda al ingeniero un tiempo considerable. La re-
cuperación de resultados, aun con los pro-gramas de computadora modernos, requiere también de un esfuerzo importan-
te.
5.5.1 Tipos de elementos
Los tipos de elementos finitos más comu-nes son los elementos diafragma, que solo toman fuerzas en su plano y que siempre
son planos, y los elementos tipo cascarón que pueden tomar fuerzas y momentos y
pueden adoptar las forma de superficies curvas en el espacio. Ambos elementos pueden utilizarse para modelar los muros.
En caso de utilizar el elemento membrana es necesario asegurarse que el programa de
cómputo que se esté utilizando, implemen-te dicho elemento con una formulación
reciente de modos incompatibles, que se ha demostrado puede representar adecua-damente problemas de flexión.
Para respetar el no resistir momento fuera
del plano del muro, algunos programas permiten definir un espesor de muro dis-
tinto a flexión que para las fuerzas de membrana, esto puede aprovecharse para reducir el espesor a flexión para evitar di-
chos momentos.
Para lograr la relación de aspecto en los castillos se requieren elementos de dimen-
siones máximas cercanas a la longitud del
castillo y por consiguiente los elementos para modelar el muro tendrán dimensiones
similares. El resultado es un gran número de elementos, que en general, hacen in-práctico el modelado toda la estructura con EF.
0.23
Figura 0.18 Elementos finitos a) relación de aspecto v. y < ] < 2.0, b) ángulos internos zy < ` < 135, c) Los nudos en elementos contiguos deben coincidir.
Para evitar el tamaño pequeño de los ele-mentos en los castillos se ha propuesto modelar los castillos con elementos barra y
solo el interior de los muros con EF. Un modelo típico se muestra en la Figura 0.19. Experimentos numéricos demostraron que
la discretización mas adecuada, utilizando este modelo, es aquella que ocupa el menor
número de elementos finitos por panel, pero cumpliendo los requisitos de la Figura 0.18. Un panel en este contexto es un muro
de mampostería limitado por castillos y dalas.
Las barras y los elementos solo son compa-
tibles en desplazamientos en los nudos, pero no a lo largo de los elementos. Esta
limitante tiene un efecto en la exactitud de los resultados. Por ejemplo, se ha observa-do que si se subdividen, progresivamente,
los elementos barra y los elementos finitos, la solución eventualmente converge, pero a
una solución errónea, aproximadamente en un 10%.
5.5.2 Recuperación de resultados
Una de las principales razones que retras-
aron el uso de los EF para el análisis fue que los programas arrojaban esfuerzos cor-
tantes en los elementos, y no fuerzas y si se tenía que calcular el cortante total en un
muro, su fuerza axial y el momento flexio-nante, se tenían que integrar dichos es-fuerzos para obtener las resultantes deseadas para hacer el diseño. Esa limita-
ción ya ha sido resuelta, ya que los pro-gramas comerciales pueden producir las resultas. Sin embargo, todavía es necesario
especificar los nudos y elementos de las secciones donde se requiere la resultante,
para que el programa pueda realizar la in-tegración. Si bien dicha información es
fácil de ingresar en los programas esto puede resultar engorroso.
5.5.3 Variación de los resultados con ele-
mentos finitos
Como en el caso de columna ancha se uti-lizaron varios modelos con elementos fini-
tos para calcular el marco que se presenta en la . Los distintos modelos se muestran
en la Figura 0.16
Figura 0.19 Distintos modelos con elemento finito d del marco de la Figura 0.16.
Tabla 0-4 Errores relativos de fuerza cortante con
distintos modelos de elemento finito
EF1 EF2 EF3 EF4
0.24
(%) (%) (%) (%)
S1 4.5 0.2 2.9 3.2
S2 -6 -0.2 -3.8 -4.2
S3-N1 -7.3 -3.4 -7.8 -8.6
S3-N2 -2.3 -1.4 -5 -5.6
S3-N3 2.4 3.3 -2.1 -2.7
S4-N1 -4.1 4.2 1.9 2.1
S4-N2 -0.6 4.8 5.9 6.2
S4-N3 -11.5 -5.7 5.7 6.8
Los errores relativos encontrados para
fuerza cortante se muestran en la Tabla 0-4. Los resultados para fuerzas cortantes
son buenos con todos los modelos.
6 Diafragma
Normalmente, se desea modelar la condi-ción de que el diafragma es rígido en su
plano. Como en el caso de los elementos rígidos, el diafragma se implanta impo-niendo una restricción cinemática al con-
junto de nudos que conforman la losa.
Cuando la planta es alargada Z ≥ 2S, es necesario modelar la flexibilidad de la losa.
Esto puede hacer usando elementos finitos.
El resultado de incluir la flexibilidad de lo
losa es que las fuerza cortantes en los mu-ros extremos se reducen, especialmente si los efectos de torsión son considerables y
las fuerzas en los muros centrales aumen-tan.
7 Muros diafragma
En edificios construidos a base de marcos de concreto o de acero, es común el uso de muros de mampostería para aislar áreas de
habitación, dividir los espacios o para ce-rrar marcos perimetrales en las colindan-
cias del predio. Cuando estos muros rellenan totalmente el espacio de una cruj-ía dentro de los elementos del marco (co-
lumnas y trabes) y están en contacto con
los mismos, aportarán una restricción muy importante contra los desplazamientos la-terales y de esta forma modificarán la res-puesta ante solicitaciones sísmicas.
A este tipo de muros se le conoce como muro diafragma, y se considera como tal
cuando los elementos del marco que lo ro-dea son lo suficientemente robustos. Si es-tos muros, dentro de marcos robustos de
concreto o de acero, están reforzados con castillos y dalas o cadenas (mampostería
confinada) estos últimos deben considerar-se como parte del muro diafragma de
mampostería.
La experiencia de la evaluación en eventos sísmicos sugiere que dichos elementos, aunque no hayan tenido un diseño formal,
a menudo proporcionan la mayor parte de la resistencia lateral y han evitado el colap-
so de estructuras de marcos relativamente débiles ante efectos laterales. Sin embargo, la naturaleza de los materiales de estos
muros les confiere un comportamiento re-lativamente frágil una vez que se ha alcan-zado su resistencia, lo que puede llevar a irregularidades en resistencia y rigidez de
la estructura que conduzca a comporta-mientos desfavorables como la formación
de un entrepiso flexible o torsiones de
planta. Más aun, cuando estos muros no son incluidos en el análisis estructural, la
contribución de rigidez y resistencia que proporcionan pueden invalidar el análisis
así como el diseño y detallado de los mar-cos.
Para evitar que estos muros influyan en el comportamiento del edificio deberán estar desligados de la estructura, pero evitando otro tipo de fallas como el volteo fuera de
su plano. En caso contrario se deben in-
0.25
cluir al realizar el modelado, diseño y deta-llado del sistema estructural
5.7.1 Comportamiento
Ante bajas demandas laterales, el muro y el marco trabajan como una sola unidad, co-mo una columna ancha (sección I) en la que las columnas (patines) proporcionan
casi toda la rigidez a la flexión, mientras que el muro (alma) toma la fuerza cortan-te.
Figura 0.20 Deformación de marco y muro diafragma y modelo con diagonal equivalente
Sin embargo, bastan desplazamientos late-
rales relativamente pequeños para que el muro se separe del marco en esquinas opuestas debido a la diferente deformabili-dad de ambos sistemas, en cuyo caso el
marco se apoyará contra el muro según se esquematiza en la Figura 0.20.
En el muro aparecen esfuerzos de compre-sión apreciables en las esquinas en contac-to con el marco; la compresión sobre la diagonal que une dichas esquinas genera
esfuerzos de tensión en dirección de la di-agonal hacia las esquinas que se separan,
produciéndose el agrietamiento. La distri-
bución de esfuerzos en columnas y trabes, debido a la cercanía a los nudos no produ-
cen momentos flexionantes de importan-cia; sin embargo, las concentraciones de
fuerzas cortantes sí son de consideración (Bazán y Meli, 1998).
Dependiendo de las características de los materiales, de la geometría del muro, así como las secciones y armado de vigas y co-lumnas se podrán presentar uno de los tres
modos de falla principales (después de la separación de las esquinas):
1) Por tensión diagonal. Se presenta con agrietamientos inclinados, ya sea que atra-viesen las piezas y juntas o con grietas que
siguen las juntas siguiendo una trayectoria como escalera.
2) Por aplastamiento de la mampostería. Generalmente se da en las esquinas a com-presión del panel, pero puede ocurrir tam-
bién en la parte central del muro.
3) Por deslizamiento a lo largo de las juntas
horizontales. Generalmente se presenta en muros largos (la longitud horizontal exce-de la altura).
4) Una combinación de las anteriores, que
puede iniciar, por ejemplo, con el agrieta-miento por tensión diagonal o por desli-
zamiento, pero donde finalmente pierde resistencia al aplastarse partes de la mam-postería en las esquinas de apoyo o a lo
largo de las grietas.
5.7.2 Modelo de análisis
Bazán estudió el problema de la rigidez
lateral de muros diafragma con elementos finitos no lineales y para tal efecto consi-deró que, dado que el sistema muro-marco se comporta esencialmente como una viga Q, en la cual las columnas constituyen los patines, resistiendo el momento de volteo mediante cargas axiales, y el muro es el al-
ma, trabajando a cortante, se debe usar como parámetro principal el cociente | = �,h}/��,�
0.26
que contiene a las propiedades físicas y ge-ométricas más relevantes. Donde ,h} es el área de la columna de concreto, � su módulo de elasticidad y ,� y �� son el
área de la sección del muro de mamposter-ía y su módulo de elasticidad respectiva-mente.
En su estudio consideró dos condiciones: 1) cuando no hay grietas y 2) cuando existe
agrietamiento entre muro y marco con o sin grieta diagonal. En el segundo caso la
rigidez que se calcula es una rigidez secan-te. Para ser consistentes con el criterio ge-
neral del análisis podría utilizarse inicialmente una rigidez sin agrietar de acuerdo al caso 1) y si se detecta que los esfuerzos cortantes son mayores a 0.7 los
esfuerzos normales o estos últimos son de tensión que se asuma la rigidez secante dado por el caso 2). Esta última condición
fue la utilizada en l estudio mencionado.
Para modelar el muro diafragma, Bazán
también considera dos casos, a) con co-lumna ancha y b) con una diagonal equiva-lente. Ambos métodos tienen sus ventajas y desventajas.
Columna ancha
La rigidez lateral calculada con el modelo de columna ancha se hace con la expresión
0.1 con R = 1 y donde � = � y � = ��, la inercia está dada solamente por las colum-
nas (ver Figura 0.21 donde se definen los
símbolos de esta sección) Q = ,h}'1/2
y el área de cortante ,$ = 9(,� + 2,h})~
con ,� = '�-. Usando un programa de análisis, no es posible, normalmente, utili-
zar dos materiales para definir una sección
transversal, de modo que si se selecciona el concreto como el material del elemento el área de cortante debe multiplicarse por 9 = ��/� como aparece en la ecuación
arriba. El factor ~ en el área de cortante depende de que el muro no tienga agrie-tamiento o que lo tenga, respectivamente
~ = 0.37 − 0.12 'ℎ + 0.023|
~ = 0.2 − 0.05 'ℎ + 0.019|
La ventaja de este método es que no de-
pende de la dirección de la fuerza sísmica, como es el caso del método de diagonal
equivalente que veremos más adelante, por lo que se puede utilizarse en un análisis modal sin problemas. Las NTCM sec 4.2
especifican como diseñar la mampostería y las columnas dada la fuerza cortante en el tablero. En este método, la fuerza cortante en el tablero está dada por la fuerza cortan-
te en la columna ancha. Cuando se tienen varios tableros contiguos.
es que los elementos mecánicos en las co-lumnas y trabes que limitan al muro de mampostería no se obtienen directamente del análisis deben obtenerse posteriormen-
te
Como anteriormente para modelar el an-
cho del muro se utilizan elementos hori-zontales rígidos.
Diagonal equivalente
El método de la diagonal equivalente se basa en el comportamiento observado de
los muros diafragma en que el muro queda apoyado únicamente en dos esquinas opuestas transmitiendo la fuerza lateral a
lo largo de la diagonal del muro así defini-da.
0.27
Esta diagonal se considera articulada en sus extremos para proporcionar únicamen-te rigidez axial.
En la Figura 0.21 se muestran las caracterís-
ticas geométricas que se toman para el modelado del muro diafragma como di-
agonal equivalente. Los muros sólo partici-parán en su diagonal a compresión debido a que en la otra diagonal se generan es-
fuerzos de tensión que se considera que no pueden desarrollarse en la mampostería.
Cuando se consideren las fuerzas en la otra dirección se propondrá otra diagonal de
compresión y dejará de ser efectiva la pri-mera.
El módulo de elasticidad axial de la diago-nal se toma como el de la mampostería, a
pesar de que éste generalmente se obtiene para deformaciones de compresión normal
a las juntas, mientras que aquí el eje de la
Figura 0.21 Geometría considerada para el modelo de diagonal equivalente
diagonal está inclinado con respecto a las
mismas.
El área de la diagonal se calcula mediante el producto del espesor del muro, -, y una
anchura equivalente t.
Cuando el muro aun no está agrietado y cuando ya se agrietó, el ancho de la diago-nal equivalente es respectivamente t = (0.35 + 0.22|)ℎ t = [0.19 – 0.03 Lh + (0.0035
+ 0.005 Lh) λ\ ℎ
El efecto de la relación de aspecto no es explícita para el caso en que el muro no
esta agrietado, pero indirectamente si hay un efecto ya que el ángulo de la diagonal
cambia y con él la rigidez lateral.
Un aspecto que no se consideró en forma explícita en el estudio de Bazán es la res-tricción al giro que pudiera tener el muro.
En el caso del modelo de la columna ancha implicaría considerar distintos valores de R o bien utilizar '/ℎ� donde ℎ� = "/H' en vez de '/ℎ. Este ajuste podría hacerse tam-
bién en el caso de la diagonal equivalente.
8 Sobre la obtención de las fuerzas
sísmicas
Nuestro objetivo en esta sección es rela-cionar la teoría básica de la dinámica es-
tructural con los procedimientos aceptados por los códigos en especial las NTCS, para comprender las hipótesis que se hacen en
la determinación de las fuerzas y la aproximación del periodo.
5.8.1 Ecuación de movimiento
Para determinar las fuerzas sísmicas en la estructura suele aceptase un modelo en el que las masas están concentradas en cada nivel y están unidas en el sentido vertical
por un elemento que describe la rigidez lateral del entrepiso en dos direcciones or-togonales y la rigidez a torsión. El modelo
se genera al suponer un diafragma rígido
0.28
en su plano, ya que en ese caso los despla-zamientos de cada punto del diafragma pueden obtenerse en términos de los des-plazamientos y la rotación de un solo pun-
to, este punto es conocido como nudo maestro. Las fuerzas en los distintos nudos, pueden a su vez, transportarse a dicho nu-
do maestro. El resultado es un modelo de masas y resortes con tres grados de libertad
por planta. Este modelo es sometido a la acción de un sismo aplicando una acelera-
ción en la base de la estructura, en cierta dirección de análisis. La ecuación diferen-cial que describe el movimiento es ��� + ��� + �� = −��K�� (0.2)
Donde � es la matriz de masas (diagonal) de la estructura, � la matriz de amortigua-
miento, � la matriz de rigideces, �, �� y �� son los desplazamientos las velocidades y aceleraciones relativas a la base respecti-
vamente. K�� es la aceleración en la base y �
es un vector que tiene 1 en los grados de libertad que corresponden a la dirección de análisis. Una definición más general de �
puede verse en (Chopra, 2007), pg 372.
5.8.2 Análisis modal
La solución a esta ecuación se realiza me-
diante un análisis modal que consiste en desacoplar el sistema de ecuaciones dife-renciales (0.2), representando a la respues-
ta del sistema como una combinación lineal de las formas modales
�(-) = p �}�}r
}O0 (-) = p �}r
}O0 (-) (0.3)
donde �} es una forma modal indepen-diente del tiempo, que se interpreta como
una de las s formas en que la estructura puede estar en vibración libre, �}(-) son las
nuevas incógnitas del problema, conocidas
como las coordenadas modales y s es el número de grados de libertad en la estruc-tura. Las formas modales se obtienen de la solución del problema homogéneo de la
ecuación (0.2) sin amortiguamiento, que resulta en el problema de valores carac-terísticos ��� = ��1��� (0.4)
donde �� es la frecuencia natural de vibra-ción del modo 9. Sustituyendo (0.3) en
(0.2) y premultiplicando por ��J se obtiene "���� + ����� + ���� = −'�K�� (0.5)
con "� = ��J���, �� = ��J���, �� = ��J���
y
� = '�"� '� = ��J�� (0.6)
dado que, por la ortogonalidad de las for-mas modales, se tiene que �}J��� = 0 � ≠ 9 �}J��� = 0 � ≠ 9 �}J��� = 0 � ≠ 9
La ortogonalidad de las formas modales
respecto a la matriz de amortiguamiento solo es válida si ésta es diagonal o bien,
puede estimarse como una combinación
lineal de la matriz de masas y de rigideces.
Dividiendo la ecuación (0.5) entre "� se obtiene ��� + 2������� + ��1�� = −Γ�K�� (0.7)
donde �� es la fracción del amortiguamien-to crítico del modo 9, y
� = '�"� , �� = ���"� , �� = ��2��"�
0.29
La ecuación es la de un sistema de un gra-do de libertad con una aceleración en la base excepto por el factor Γ�. La ecuación estándar es �� � + 2������� + ��1�� = −K�� (0.8)
De modo que �� = Γ���. La utilidad de usar esta representación es que quedan claros los parámetros que determinan la
respuesta modal: ��, ��, Γ�. Usando esta definición el desplazamiento modal en la
ec. (0.3), puede escribirse como:
�� = ���� = ����� = ���1 ��,� (0.9)
donde ,� = ��1��
es conocida como la pseudo-aceleración
asociada al modo 9.
La ecuaciones 0.8 se pueden resolver
numéricamente de donde se puede obtener ��(-) y sustituirse en la ec. (0.3) para obte-
ner la respuesta del sistema. Una vez obte-nidos los desplazamientos pueden calcularse los elementos mecánicos en los elementos, o cualquier otra respuesta ]
como el cortante basal o el momento de volteo. O bien obtener la respuesta por modo ]� en función de los desplazamientos
modales y superponerlas para obtener la
respuesta de la estructura ] = ∑ ]�r�O0 . En
un sistema lineal puede hacerse en forma indistinta. Esto no es así cuando se calcu-
lan respuestas máximas como veremos más adelante. En ese caso deben calcularse las respuestas por modo y después hacer la
superposición usando reglas de superposi-ción modal.
Una característica importante de los edifi-
cios y de las estructuras en general, es que
solo un número pequeño de formas moda-
les contribuye significativamente a la res-puesta en (0.3), típicamente los de menor frecuencia, aunque en estructuras irregula-res pueden “excitarse” modos de alta fre-
cuencia. La dirección de la excitación también juega un papel determinante para establecer la participación de los modos en
la respuesta. Por esta razón existen méto-dos capaces de extraer los modos en orden
ascendente de frecuencia (Golub & Van Loan, 1996), (Klaus-Jürgen Bathe, 1976), y
otros, más recientes, que toman en cuenta la forma y dirección de la excitación para discriminar las formas modales que parti-
cipan en la respuesta (Leger, Wilson, & Clough, 1986). Esta característica reduce en
forma notable el esfuerzo de cómputo para obtener una solución con una buena aproximación.
En edificios simétricos en planta en cuanto
a rigideces y masas, pesos por nivel y rigi-deces de entrepiso, sensiblemente iguales,
la respuesta de la estructura puede aproximarse con un solo modo, conocido como el modo fundamental de vibración
en la dirección de la excitación.
5.8.3 Respuesta máxima probable
La solución planteada hasta ahora, es una
respuesta en el tiempo dado un acelero-grama específico. Para efectos de diseño, lo que necesitamos son respuestas máximas, no debidas a una excitación en particular
sino a una serie de excitaciones probables en el sitio donde se desplanta la estructura.
La respuesta máxima probable para una estructura de un grado de libertad (0.8) en
función del periodo � = 2�/�, y para un amortiguamiento específico, se le conoce
como espectro de diseño. La cantidad que
suele utilizarse por los códigos para descri-
0.30
bir la respuesta máxima de la estructura es la pseudo acelaración normalizada respec-to a la aceleración de la gravedad. En los desarrollos más adelante se aprecia que
esta selección es muy conveniente.
Las NTCS definen espectros de diseño para
distintos sitios en el D.F., la forma de di-chos espectros es
� = �� + ($ − ��) ��� � < �� � = $ �� ≤ � ≤ � � = [�� \ $ � > �
donde � es ,/8 y los distintos parámetros se especifican en la Tabla 3.1 de las NTCS
para las distintas zonas en del D.F.. En la Figura 0.22 se muestra el espectro para la
zona III¢. Con dicho espectro es posible obtener la respuesta modal máxima, ]�(��, ��) que se desee.
La respuesta de la estructura en estudio ya
no puede calcularse como la combinación lineal de las respuestas modales como en
Figura 0.22 Espectro de pseudo-aceleraciones divi-dias entre la aceleración de la gravedad; c£ = c/¤ =¥
la ec. (0.3) dado que las respuestas modales máximas no ocurren simultáneamente.
Usando la teoría de las probabilidades se han obtenido distintas reglas para la suma
de las respuestas máximas modales. Entre
ellas la más conocida es debida a Rosen-blueth (1951)
] = ¦p ]�1r
�O0 (0.10)
Como habíamos adelantado arriba, no es correcto calcular, por ejemplo, los elemen-
tos mecánicos con los desplazamientos máximos de la estructura calculados con (0.10), ya que los desplazamientos máximos
han perdido el signo y no ocurren simultá-neamente en todos los grados de libertad.
Es necesario calcular los elementos mecá-nicos por modo y estos superponerlos con (0.10).
Por ejemplo las fuerzas elásticas en los pi-
sos por modo son
§� = ��� = ��� Γ���1 ,�(��, ��)
y usando la ec 0.4 §� = ���Γ�,�(��, ��) (0.11)
donde ,� se toma directamente del espec-tro de diseño. Para obtener el cortante ba-sal es necesario sumar las fuerzas en los
pisos en la dirección de análisis, esto equi-vale a
H � = §�J� = '�1"� ,� = "�∗,� = � ,�8 (0.12)
El cortante de la estructura es entonces
H = ¦p(H �)1r�O0
Si, como hemos visto, para cada modo te-nemos un sistema de un grado de libertad, "�∗ sería la masa de dicho sistema para el
modo 9, con la propiedad
0.31
¨ = p �r
LO0
Esto es la suma de los pesos o masas moda-les debe ser el peso o masa total y por lo
tanto �/¨ es una medida de la participa-ción del modo en la respuesta total. En las
NTCS cuando se hace un análisis dinámico
formal, se especifica que deben incluirse los modos que sean necesarios para asegu-
rar que la suma de la masas modales sea al menos el 90% del peso total de la estructu-ra. (sec 9.1)
5.8.4 El método estático de las NTCS
Motivados por la solución modal, se puede proponer que �(-) = ©G(-)
donde © es un vector de forma, indepen-diente del tiempo y G(-) una coordenada
escalar que puede interpretarse como el desplazamiento de azotea. El desplaza-miento del nivel ª es Kq = ©qG(-). La ecua-
ción de movimiento sin considerar
amortiguamiento es entonces, "G� + �G = −'K��
donde " = ©J�©, � = ©J�©, ' = ©J"ℓ
Si nuestro modelo de masa resorte lo su-ponemos de cortante (esto es los grados de libertad son solo los desplazamientos late-rales) en el plano, la matriz de rigideces es
tridiagonal
� =
I0 + I1 −I1 −I1 I1 + IT −IT −IT IT + I¬ … ⋮ ⋱ −Ir −Ir Ir
donde IL es la rigidez del entrepiso 7; la matriz de masas concentradas es diagonal
� = °/0 ⋱ /r±
En ese caso
" = ©J�© = p /q©q1r
qO0 , � = p Iq²©q − ©qE0³1r
qO0 , ' = p /q©qr
qO0
Con ©� = 0. La frecuencia natural de vi-
bración es
�1 = �" = ∑ Iq²©q − ©qE0³1rqO0∑ /q©q1rqO0 (0.13)
El cortante de entrepiso es Hq = Iq(Kq −KqE0), esto es Hq = G²©q − ©qE0³, de modo
que multiplicando y dividiendo la ec. (0.13)
por G1 se tiene que
�1 = ∑ Hq²Kq − KqE0³rqO0∑ /qKq1rqO0
Expresando el cortante como la suma de
fuerzas hasta el nivel ª
�1 = ∑ ²∑ �LqLOr ³²Kq − KqE0³rqO0 ∑ /qKq1rqO0
Si se expande la sumatoria interior es fácil llegar a la conclusión de que
�1 = ∑ �qKqrqO0∑ /qKq1rqO0
y considerando que /q = tq/8, donde 8 es
la aceleración de la gravedad y � = 2�/�, el periodo de la estructura puede escribirse como
0.32
� = 2�� ∑ tqKq1rqO08 ∑ �qKqrqO0
Que es la fórmula utilizada por las NTCS
para aproximar el periodo de la estructura, que, en general, da muy buenos resultados.
A primera vista, la fórmula parece contra-
dictoria porque tanto las fuerzas como los desplazamientos dependen de la ordenada espectral que depende del periodo, sin em-bargo ambas cantidades pueden expresarse
como �L = $(�)�µL y KL = $(�)K¶L donde $(�) es un valor constante que depende de la
ordenada espectral, consecuentemente esta dependencia se anula. Esto es, la formula puede calcularse suponiendo la ordenada
espectral igual a $ para el cálculo de �L y KL sin que esto afecte el resultado.
El vector © puede asumir varias formas,
por ejemplo puede suponerse linealmente creciente con la altura esto es ©q = ℎq/ℎr
(ahora s es el número de niveles y coincide con el número de grados de libertad en es-
te desarrollo) donde ℎq es la altura del nivel ª desde la base y ℎr es la altura de azotea. Con este vector y la ec. (0.13) puede esti-marse también el periodo de la estructura,
estimando las rigideces de entrepiso.
El desplazamiento de azotea se puede cal-
cular con la expresión (0.9) que con la de-finición de © resulta en
G = Γω1 ©r, = ℎr ∑ /LℎLrLO0�1 ∑ /LℎL1rLO0 ,
Con G se pueden calcular los desplazamien-tos por nivel Kq = G©q y los cortantes de
entrepiso Hq = Iq(Kq − KqE0) con K� = 0 y
finalmete las fuerzas �q = Hq − HqC0 con HrC0 = 0. Es fácil verificar que las fuerzas así calculadas son iguales a las que se ob-
tendrían con § = ��.
Alternativamente pueden calcularse las fuerzas directamente usando la ec (0.11), que, multiplicando y dividiendo por ', puede reescribirse en este contexto como
§ = ©�Γ,(�, �) = ©/' '1" ,
De la ecuación 0.12 podemos ver que "∗ = '1/" y ¨ = "∗/8 son la masa y el peso modal, que en este caso se suponen
como la masa y peso total de la estructura. Sustituyendo nuestra definición de © en la
ecuación anterior así como en el valor ' y particularizando para un nivel específico 7, tenemos la expresión que proponen las
NTCS para calcular las fuerzas
�L = /LℎL∑ /LℎLrqO0 H
donde el cortante basal H es, de acuerdo a
la ec. (0.12) H = §J� = ¨,µ(�, �)
donde ,µ = ,/8. El momento de volteo es interesante
"^ = p �LℎLr
LO0 = ∑ /LℎL1rLO0∑ /LℎLrLO0 H = ℎ∗H
donde ℎ∗ es una altura característica de la estructura.
5.8.5 Respuesta inelástica
Las fuerzas y cortante basal, calculados en
la sección anterior, serían respuestas elásti-cas aproximadas del sistema. Estas fuerzas
pueden ser adecuadas si se asume que la estructura no debe sufrir daño alguno, co-mo es razonable especificar ante un sismo
de baja intensidad. Sin embargo son mayo-res a las que podrían esperarse si se admite que ante la acción de un sismo intenso la estructura sufrirá ciertos daños. Las NTCS
0.33
toman en cuenta este último caso redu-ciendo el espectro de diseño dividiendo las ordenadas espectrales por el factor ¸ = ¸ � ≥ �� ¸ = 1 + ��� (¸ − 1) � < ��
,µ/¸′; donde �� es un periodo característico del espectro. El factor de comportamiento
sísmico ¸, conocido en anteriores versio-nes del código como el factor de ductili-dad, es una medida de la capacidad de la
estructura para disipar energía, que tiene que ver con el comportamiento inelástico de la misma.
Figura 0.23 Relación entre fuerzas y desplazamientos elásticos e inelásticos. ºg es el cortante basal que se obtendría si la estructura se mantuviera elástica; se concluye que » = ¼ + (½e − ½g)/½g.
En la Figura 0.23 se ilustra la relación su-puesta entre los desplazamientos y fuerza
cortante elásticos e inelásticos.
Las NTCS establecen el valor admisible del
factor de comportamiento sísmico que el diseñador podría asumir dependiendo del
tipo de estructuración y materiales utiliza-dos, en el entendido de que el diseño de la
estructura debe ser consistente para permi-
tir que dicha ductilidad puedan desarro-llarse en la estructura.
En la Figura 0.25 se muestra el espectro de
la zona II de las NTCS reducido suponien-do ¸ = 2.
Para estructuras de mampostería las NTCS en sus secciones 5.3 y 5.4 establecen el va-lor de ¸ que puede utilizarse dependiendo del tipo de piezas: si son piezas macizas,
puede usarse ¸ = 2 y ¸ = 1.5 en caso de piezas huecas. El factor de comportamien-to sísmico es un factor que aplica a toda la
estructura, esto significa que el mismo es-pectro de diseño reducido debe aplicarse
para calcular las fuerzas en toda la estruc-tura. No es admisible diseñar con distinto
valor de ¸ o ¸’ distintas partes de la estruc-tura.
5.8.6 Corrección por irregularidad
Para tomar en cuenta las irregularidades en la estructura, el comité que elaboró las NTCS optó por corregir el factor de reduc-
ción de las fuerzas sísmicas. La corrección reduce el valor de ¸’ aumentando así las
fuerzas de diseño.
De acuerdo la sección 6.4 de las NTCS, ¸′ no se altera si la estructura es regular y se multiplica por 0.9, 0.8 y 0.7 de acuerdo a
niveles crecientes de irregularidad. Los 11 requisitos para considerar a una estructura
regular se describen en la sec. 6.1 de las
NTCS. Si solo uno de dichos requisitos no se cumple deberá multiplicarse a ¸′ por
0.9, por 0.8 si dos o más requisitos no se cumplen y se usará 0.7 para una estructura que pueda clasificarse como fuertemente irregular de acuerdo a la sec. 6.3 NTCS.
Las condiciones de regularidad establecen, en general, requisitos de tipo geométrico como las relaciones de aspecto en planta y elevación, variaciones de área en niveles
consecutivos, y las propiedades dinámicas de la estructura, rigideces y masas por ni-
vel, etc., por falta de espacio no se trans-
criben aquí.
¿k ¿X
Hk = HX/¸
HX
0.34
9 Análisis por torsión
Al igual que otros reglamentos de diseño
por torsión, el RCDF permite llevar a cabo un análisis estático de las estructuras de
edificios, considerando que se producen
momentos de torsión debidos a la diferen-cia entre el centro de masa y el centro de
rigideces. A esta diferencia se le conoce como excentricidad estática (eÁ). Se consi-
dera que las fuerzas sísmicas actúan en el centro de masas de cada uno de sus pisos y
que el centro de rigideces es el punto teóri-
co, en cada planta, donde es posible aplicar una fuerza sin producir rotaciones. Si el
centro de cortante o de masas no coincide con el de rigideces se producen momentos de torsión que se distribuyen entre los elementos resistentes. Sin embargo, las so-
licitaciones que se obtienen de este análisis son diferentes a las que resultan de un aná-lisis dinámico tridimensional. Para tomar
en cuenta este aspecto se utiliza un factor de amplificación de la excentricidad estáti-
ca, que la corrige dentro de ciertos límites.
Por otro lado, los momentos de torsión en edificios reales difieren de los obtenidos en un análisis dinámico debido a factores no
considerados explícitamente (Rosenblueth, 1951). Por una parte se pueden atribuir a las torsiones inducidas por el componente ro-tacional del terreno y a la diferencia en la
llegada de las ondas sísmicas a los apoyos de las estructuras. Por la otra, a la diferen-cia entre las propiedades reales y las calcu-
ladas de las mismas. Por esto último, debido a las incertidumbres inherentes en
las propiedades estructurales, aun las es-tructuras nominalmente simétricas pueden ser afectadas por torsión (Pekau &
Guimond, 1988), (De la Llera & Chopra, 1994), (Escobar & Ayala, 1998). En la actua-
lidad, resulta prácticamente imposible es-timar con precisión esta torsión denomi-nada accidental. La manera usual de considerarla en el diseño sísmico de estruc-
turas es incluyendo un momento de tor-sión adicional, que se obtiene de suponer que la fuerza cortante que actúa en el en-
trepiso se desplaza de su posición original. A este desplazamiento de la fuerza cortan-
te se le denomina excentricidad accidental y se expresa como un porcentaje de la di-
mensión máxima de la planta de la estruc-tura que es perpendicular a la dirección del sismo.
Sintetizando, la excentricidad de diseño es una de dos posibilidades
YÂ = ÃnY5 + R*¿Y5 − R*+ (0.14)
la que genere los mayores efectos en el
elemento resistente particular; donde n y ¿ son factores de amplificación dinámica, Y5
es la excentricidad estructural o excentrici-dad estática, R es el factor de excentricidad accidental y estática y * es la dimensión
máxima en planta de la estructura, per-pendicular a la dirección de análisis. De acuerdo con las NTCS n = 1.5, ¿ = 1.0 y R = 0.1.
En la siguientes secciones se presenta el Procedimiento Simplificado de Diseño,
PSD (Escobar y otros, 2002, 2004a, 2004b, 2008), aplicado a estructuras de mampos-tería.
5.9.1 Rigidez a torsión
La rigidez a torsión de un entrepiso puede
calcularse, suponiendo un diafragma rígido y que este gira una cierta cantidad `, en la
Fig xx se muestra un elemento resistente antes y después de la deformación visto en planta. Suponiendo desplazamientos pe-
0.35
queños se pueden tomar momentos usan-do las posiciones de los elementos resisten-tes antes de la deformación
"J + p I_LΔ_L;L + I�LΔ�LÅL + IÆ` = 0
donde la sumatoria es sobre todo los ele-mentos resistentes del entrepiso y donde
Figura 0.24 Rigidez torsional de entrepiso. Se mues-tra un elemento resistente antes y después de que la planta sufre un giro de magnitud Ç Δ_ = ]cos(φ + θ) − ]cos(φ) Δ� = ]sin(φ + θ) − ]sin(φ) Å = ]cos φ ; = ]sin φ "J = �Æ`
Usando las identidades trigonométricas de la suma del ángulo, suponiendo que cos` ≈ 1 y sin` ≈ `, se puede concluir que
�Æ = p²I_;1 + I�Å1 + IƳLr=LO0
donde la rigidez a torsión de los elementos IÆL, suele ignorarse cuando se trata de mu-
ros de mampostería, al igual que la rigidez lateral perpendicular al plano del muro.
Haciendo estas consideraciones los térmi-
nos que incluyen a I_ dentro de la sumato-ria son debidos a los muros paralelos a
dicha dirección y correspondientemente en la dirección Ð, esto es
�Æ = p I_L;L1r=ÑLO0 + p I�LÅL1
r=ÒLO0
5.9.2 Distribución del cortante por torsión
entre los elementos resistentes.
El cortante total H-Ó-L en el 7-ésimo ele-mento resistente del ª-ésimo entrepiso del
edificio será la suma algebraica del cortan-
te directo H&L, y el cortante por torsión H-L, esto es H-Ó-L = H&L ± H-L (0.15)
El cortante directo los podemos calcular proporcional a la rigidez lateral de cada elemento.
H&L = IL∑IL Hq (0.16)
en esta ecuación Hq es el cortante en el j-
ésimo entrepiso El cortante adicional por torsión en cada muro puede, similarmente, calcularse en forma proporcional a la rigi-dez torsional relativa del elemento resis-
tente con respecto del total de la rigidez a torsión del entrepiso, para el caso de un muro paralelo a Õ
"L � HL;L � I_L;L1�Æ "q esto es,
H-L � "q�Æ IL;L � IL;L�Æ HqYÂq (0.17)
donde "q es el momento torsional de en-
trepiso calculado como el producto del cortante de entrepiso y la excentricidad de
diseño YÂ. En edificios de varios pisos, el momento por torsión se puede calcular utilizando dos definiciones de excentrici-
dad estática (Cheung V & Tso, 1986), (Tso, 1990), como se discute más adelante.
0.36
5.9.3 Factor de amplificación por torsión
Una manera conveniente de expresar el efecto por torsión es H-Ó-L = V,�L × H&L donde V,�L es un factor que amplificación del cortante directo, esto es V,�L = H-Ó-L/H&L (0.18)
Usando las definiciones correspondientes
es fácil ver que
V,�L = 1 + ÅL ∑ IL�Æ Y (0.19)
donde ÅL es la distancia perpendicular a la dirección de análisis al elemento resistente 7 paralelo a la dirección de análisis. Si usa-
mos una posición normalizada �L = ÅL/*q,
siendo *q la dimensión en planta perpendi-
cular a la dirección de análisis, y si defini-mos el radio de giro normalizado como
Öq = 1*q ��Æq∑IL entonces la ec. 0.19 se puede escribir como
V,�L = 1 + �LÖq1 YÂq
donde YÂq = YÂ/*q, es la excentricidad de
diseño normalizada que de acuerdo a la ec.
0.14 y utilizando los factores de amplifica-ción propuestos por la NTCS queda
YÂq = Ã1.5Yq + 0.1Yq − 0.1 + la más desfavorable para cada elemento, donde Yq = Y5q/*q. Mas adelante se presen-
ta el procedimiento de cálculo que resulta conveniente para hacer uso de estas expre-
siones.
5.9.4 Excentricidad de piso.
Es la distancia entre el centro de masas, �", y el centro de torsión, �� correspon-diente para cada una de las direcciones X y
Y de la estructura, esto es (Escobar y otros, 2004a): Y5 = Å×Ø − Å×J; Y5 = ;×Ø − ;×J (0.20)
Las coordenadas Å×Ø, ;×Ø del �" del j-
ésimo piso se calculan como:
Å×Ø = ∑#L;L∑#L ; ;×Ø = ∑#LÅL∑#L (0.21)
donde iP son las cargas verticales en el pi-
so debidas a carga vertical, y xi, yi sus coor-denadas respecto a un punto de referencia.
Para calcular las coordenadas Å×J, ;×J del �� del piso, se pueden utilizar los cortantes
directos. Estos pueden obtenerse al aplicar las fuerzas sísmicas laterales VÅq y V;q, cal-
culadas con un análisis estático, en los �" correspondientes, permitiendo únicamente
la traslación pura de los pisos. Así, las co-ordenadas del �� se calculan con las ecua-
ciones siguientes:
Å×J = ∑²HÂ� L,q − HÂ� L,qE0³ÅLV;q
;×J = ∑²HÂ_ L,q − HÂ_ L,qE0³;LVÅq
(0.22)
Donde HÂ_ L,q y HÂ� L,q son los cortantes di-
rectos del i-ésimo elemento resistente; y ÅL, ;L son sus coordenadas respecto a un pun-
to de referencia en las direcciones X y Y en el entrepiso ª, respectivamente.
Por lo que el momento de torsión del ª-
ésimo piso para cada una de las direcciones X y Y de la estructura será: �q = VÅqY5; �q = V;qY5 (0.23)
El momento de torsión de entrepiso se ob-
tiene sumando los momentos torsionantes
0.37
de todos los pisos que se encuentran sobre éste. Así, el momento torsionante del ª-ésimo entrepiso, para cada una de las di-recciones X y Y está dado por:
"q = p ���
�Oq (0.24)
donde 9 es el número de entrepisos.
5.9.5 Excentricidad de entrepiso
Es la distancia entre el centro de cortantes, ��, y el centro de rigideces, �Ú, de cada
una de las direcciones X y Y de los entrepi-sos. Esto es: Y5 = Å×× − Å×Û; Y5 = ;×× − ;×Û (0.25)
Las coordenadas Å×× y ;×× del �� del ª-
ésimo entrepiso se calculan como:
Å×× = ∑V;LÅ×ØH;q ; ;×× � ∑VÅq;×ØHÅq (0.26)
donde VÅq y V;q son las fuerzas sísmicas
laterales aplicadas en �"; HÅq y H;q son los
cortantes del entrepiso ª en las direcciones X y Y, respectivamente.
Las coordenadas Å ×Û, ;×Û del �Ú se pueden calcular utilizando los cortantes directos como sigue:
Å×Û � ∑²HÂ� LÅL³H;q ; Ð×Û � ∑HÂ_ L;LHÅq (0.27)
o mediante las rigideces de los elementos resistentes como:
Å×Û � ∑�ILÅL�IL ; Ð×Û � ∑IL;LIL (0.28)
Con esta definición, el momento de torsión
de entrepiso se obtiene directamente como el producto de la fuerza cortante y la ex-
centricidad de entrepiso. Así, el momento torsionante del ª-ésimo entrepiso para cada
una de las direcciones ortogonales X y Y será:
"q � HqY5 (0.29)
5.9.6 Procedimiento Simplificado de Dise-
ño por torsión, PSD
El Procedimiento Simplificado de Diseño por torsión sísmica estática, PSD, utilizan-
do factores de amplificación por torsión es
una nueva opción para llevar a cabo el di-seño por torsión sísmica. Consta de los si-
guientes pasos (Escobar y otros, 2004a):
1. A partir de un análisis sísmico estático, calcular las fuerzas cortantes de entrepiso
considerando un sistema de fuerzas equi-
valentes obtenidas de un espectro de dise-ño sísmico.
2. Calcular las fuerzas en los elementos
estructurales (momentos flexionantes, fuerzas axiales, cortantes, etc.) producidas por los cortantes directos aplicando estáti-
camente las fuerzas calculadas en el paso anterior, en algún punto de cada uno de los
pisos de un modelo tridimensional de la estructura e impidiendo su giro alrededor de un eje vertical.
3. Calcular las coordenadas de los �� y �Ú
de cada uno de los entrepisos con los cor-tantes directos, utilizando las ecuaciones (0.26) y (0.27), respectivamente.
4. Con las coordenadas del �� y del �Ú de
cada uno de los entrepisos, con la ecuación 0.25 calcular la excentricidad estructural, Y5. Con estos datos, clasificar a los elemen-tos resistentes como flexibles si se encuen-tran del mismo lado del �� con respecto al �Ú, y como rígidos en caso contrario.
5. Calcular los Factores de Amplificación por Torsión, FAT, de los elementos resis-
tentes flexibles y rígidos, respectivamente,
0.38
con las ecuaciones siguientes, que para el caso del RCDF serán:
V,��L = 1 + �LÖ1 (0.1 + 1.5 Y)
V,�]L = 1 + �LÖ1 (0.1 − Y) Y < 0.1
V,�]L = 1 Y ≥ 0.1
6. En estas ecuaciones Y = |Y5|/*; �L = ÅL/*; ÅL es la distancia del 7-ésimo
elemento estructural al �Ú; b es la dimen-sión máxima de la estructura perpendicular a la dirección de aplicación del sismo. El radio de giro normalizado ρ se puede de-
terminar con los cortantes directos y los desplazamientos de entrepiso obtenidos
del análisis estructural realizado en el pa-
so 2. Así, el radio de giro normalizado, Ö_q
y Ö�q, para cada uno de los ejes ortogona-
les, X y Y, del ª-ésimo entrepiso de la es-
tructura se puede obtener como:
Ö_q = 1*�q �∑HÂ� LÅL1 &;qÜ � ∑HÂ_ L;L1 &ÅqÜ∑HÂ_ L &Åq⁄
(0.30)
Ö�q � 1*_q �∑HÂ� LÅL1 &;qÜ � ∑HÂ_ L;L1 &ÅqÜ∑HÂ� L &;q⁄
donde *_q y *�q son las dimensiones máxi-
mas en planta del entrepiso, perpendicula-res a la dirección de la excitación sísmica; y HÂ_ L, HÂ� L y &_q, &�q son los cortantes di-
rectos del 7-ésimo elemento resistente y los
desplazamiento relativos de entrepiso co-rrespondientes, obtenidos del análisis es-tructural realizado en el paso 2.
7. Calcular las fuerzas de diseño en los
elementos estructurales. Para esto, las fuerzas en los elementos estructurales
(momentos flexionantes, fuerzas axiales, cortantes, etc.) producidas por los cortan-
tes directos calculados en el paso 2, se mul-
tiplican por los correspondientes FAT cal-culados en el paso 5. Esto es:
HL � V,��L�HÂL�; HL � V,�]q�HÂL�
10 Ejemplo de análisis de edificio
de interés social
Se trata de una estructura para vivienda 15.94m de largo por 6.84m de ancho y cin-
co niveles de S �2.5m de altura. Para efec-tos del análisis sísmico, está desplantada en la Zona II del Distrito Federal. Su estructu-
ración es a base de muros de mampostería con piezas multiperforadas de barro de
15cm de espesor pegadas con mortero tipo I de acuerdo a las NTCM. La planta tipo de la estructura se muestra en la Figura 0.27.
Las propiedades de las materiales a utilizar
son las siguientes
5.10.1 Propiedades de los materiales
Material y propiedad Kg/cm2
Piezas Resistencia a la compresión (��∗ ) 60
Resistencia al cortante (Ý∗) 5
Mortero tipo I (�′) 150 Modulo de elasticidad de la mampostería, para sismo �� � 600��∗ 36000
Concreto clase 2 para castillos (�′) 200 Modulo de elasticidad del concreto � = 8000�� 113137
5.10.2 Análisis de Carga
Para el análisis de carga se considera que
las losas serán macizas de concreto con recubrimientos de piso y techo típicos. En el peso de los muros se incluye el peso de los castillos y de la dala que lo soporta. El
peso de los castillos se calcula en forma aproximada con la densidad de castillos. Para calcular los pesos muertos de las losas
y las cargas vivas, las áreas a considerar son, estrictamente, las áreas de las plantas
descontando el área de los muros.
0.39
Losa de piso
Concepto Carga
Kg/m²
Losa maciza de peralte total h = 10 cm. 240
Aplanado de yeso de 2 cm. de espesor. 30
Recubrimiento de Piso con Loseta de Barro 30
Carga Muerta Adicional 40
Total 340
Losa de azotea
Concepto Carga
Kg/m²
Losa maciza de peralte total h = 10 cm. 240 Aplanado de yeso de 2 cm. de espesor. 30
Impermeabilizante. 15 Enladrillado y entortado. 50
Relleno de tezontle de 8 cm. De espesor. 120 Loseta de barro. 30
Carga adicional 40
Total 525
Escaleras
Concepto Carga
Kg/m
2
Rampa y descanso h = 12 cm. 288
Aplanado de yeso de 2 cm. de espesor. 30 Recubrimiento de Piso con Loseta de Barro 30 Escalones (forjados) 216 Carga Muerta Adicional RCDF-2004 40
Total 604
Muros
Concepto Carga
Kg/m
Mamposteria, motero, aplanado 587 Castillos 77 Dinteles y trabes 39
703
Peso volumétrico 1803 Kg/m3
Cargas vivas
Uso
Máxima (CVm) Kg/m
2
Accidental (CVa) Kg/m
2
Entrepiso 170 90
Azotea pendiente < 5% 100 70
Escaleras 350 150
5.10.3 Requisitos para usar el MS
Revisemos los requisitos para aplicar el método simplificado. La relación entre longitud y ancho de la planta del edificio:
Longitud en planta (ZÞ)= 15.94 m Ancho en planta (Zß) = 6.84 m ZÞZß ≤ 2 2.33 > 2 NP
+
+NP indica que No Pasa el requerimiento
La relación entre la altura y la dimensión mínima de la base del edificio
Altura total S� = 12.5 < 13 m S�/* <= 1.5 1.83 > 1.5 NP
Cálculo de excentricidades
La excentricidad puede calcularse directa-
mente con la fórmula (3.2.3.3.a) de las NTCM. Se requiere determinar, primera-
mente, el centro de cortante o centro de masas para poder calcular las distancias a
los centroides de los muros con respecto a
dicho centro. El resultado de la expresión de las normas es también conocido como
el centro de rigideces que cuando se usa un sistema de referencia con origen en el cen-tro de masa, sus coordenadas coinciden con las excentricidades. Tradicionalmente,
se define un sistema de referencia de la es-tructura, que no coincide con el centroide de la planta y se establecen las distancias
de los muros referidas a dicho sistema de referencia. Se calculan los centros de masa
y rigideces y la excentricidad se calcula como la diferencia entre las coordenadas de ambos.
Centro de masas
El centro de masas en cada planta debe calcularse tomando en cuenta los muros,
considerando medio entrepiso arriba y de-bajo de la planta, para calcular su peso, el
peso del piso, considerando la carga viva
0.40
accidental y en nuestro caso el peso de las escaleras con su propia carga viva acciden-tal,
MURO Wm Xi Yi Wm*Xi Wm*Yi
No. T cm Cm T·m T·m
1 4.62 0.00 3.35 0.0 15.5 2 1.59 2.85 5.595 4.5 8.9 3 1.59 2.85 0.425 4.5 0.7 4 3.17 4.20 5.66 13.3 17.9 5 3.17 6.60 5.66 20.9 17.9 6 2.36 7.90 1.675 18.6 4.0 7 3.17 9.20 5.66 29.2 17.9 8 3.17 11.60 5.66 36.8 17.9 9 1.59 12.95 5.595 20.6 8.9
10 1.59 12.95 0.425 20.6 0.7 11 4.62 15.80 3.35 73.1 15.5 12 1.74 2.17 6.7 3.8 11.6 13 2.02 1.43 3.35 2.9 6.8 14 2.29 2.58 0 5.9 0.0 15 1.11 5.97 3.35 6.6 3.7 16 1.85 7.90 0 14.6 0.0 17 1.11 9.83 3.35 10.9 3.7 18 1.74 13.63 6.7 23.7 11.6 19 2.02 14.38 3.35 29.1 6.8 20 2.29 13.23 0 30.3 0.0
Piso 43.32 7.90 3.445 342.3 149.2 Esc 1 2.71 7.90 4.445 21.4 12.1 Esc 2 5.70 7.90 6.22 45.0 35.5 Esc 3 1.14 7.90 7.4 9.0 8.4
99.69 787.5 375.3 (xcm,ycm)= 7.90 3.76
Se consideraron los pesos distintos en los
descansos y en las rampas de la escalera. Para calcular el centro de rigideces se utili-zan las áreas efectivas, no es necesario in-
cluir el módulo de cortante en las rigideces porque aparece en el numerador y deno-
minador en el centro de rigideces.
Centro de rigideces Dir X
MURO L Yi H/L FAE AXE Yi AYE
No. m cm
cm2 cm
2 m
12 2.57 6.70 0.97 1.00 3855 25829
13 2.99 3.35 0.84 1.00 4485 15025 14 3.39 0.00 0.74 1.00 5085 0
15 1.64 3.35 1.52 0.76 1873 6273 16 2.74 0.00 0.91 1.00 4110 0
17 1.64 3.35 1.52 0.76 1873 6273 18 2.57 6.70 0.97 1.00 3855 25829
19 2.99 3.35 0.84 1.00 4485 15025
20 3.39 0.00 0.74 1.00 5085 0
23.92 ∑= ∑= 34705 94253
YCR= 2.72 m
Centro de rigideces Dir Y
MURO L Xi H/L FAE AYE Xi AXE
No. m cm cm2 cm2 m
1 6.84 0.00 0.37 1.00 10260 0 2 2.35 2.85 1.06 1.00 3525 10046 3 2.35 2.85 1.06 1.00 3525 10046
4 4.69 4.20 0.53 1.00 7035 29547 5 4.69 6.60 0.53 1.00 7035 46431 6 3.49 7.90 0.72 1.00 5235 41357 7 4.69 9.20 0.53 1.00 7035 64722
8 4.69 11.60 0.53 1.00 7035 81606 9 2.35 12.95 1.06 1.00 3525 45649
10 2.35 12.95 1.06 1.00 3525 45649 11 6.84 15.80 0.37 1.00 10260 162108
45.33 ∑= 67995 537161 XCR= 7.90 m
Las excentricidades de la planta tipo son
esx= XCR -XCM= 0.00 m esx=0.10BX= 1.59 m Ok
esy= YCR -YCM 1.05 m esy=0.10BY= 0.80 m NP
La conclusión es que el método simplifica-
do no debe usarse para el análisis de esta estructura. Los requisitos deben cumplirse en todos los niveles, sin embargo, si no hay cambios en rigideces y en la distribución
de masas significativos en los demás pisos, la revisión del primer nivel suele ser sufi-
ciente.
Fuerzas Sísmicas
Para determinar las fuerzas sísmicas es ne-
cesario establecer el coeficiente sísmico
dependiendo del tipo de pieza, la altura de la construcción y posición geográfica de acuerdo a las zonas definidas en las NTCS. Suponiendo que el edificio pudiera calcu-
larse mediante el método simplificado, el coeficiente sísmico se obtendría de la Tabla
7.1 de las NTCS. Esta tabla ya toma en
cuenta el comportamiento sísmico, en fun-ción del tipo de piezas y el periodo natural
de vibración en función de la altura del
0.41
edificio. En nuestro ejemplo: Zona II, entre 7 y 13m de altura con muros de piezas ma-cizas se obtiene $ = 0.19. Suponiendo que las piezas pueden considerarse como maci-
zas de acuerdo a la sec. 2.1 de las NTCM. Dicha sección establece que el área neta de las piezas debe ser, al menos, el 75% del
área bruta y los espesores exteriores deben ser, al menos, de 20 mm. Este último re-
quisito es de gran importancia, por lo que el proyectista debe dejar asentado debida-
mente este requisito en los planos para que el constructor pueda verificar su cumpli-miento. Ya con el coeficiente sísmico redu-
cido, las fuerzas se obtienen de igual forma que con el método estático (NTCS sec 8 y
deducción en sec 5.8.4).
Revisión global
El método simplificado de la NTCS indica
que basta con una revisión global de la es-tructura para garantizar la estabilidad de la misma (siempre que se cumplan los requi-
sitos del método). La revisión global se presenta en la Tabla 0-5, considerando el coeficiente sísmico reducido también de la tabla del MS.
Tabla 0-5 Revisión global de acuerdo al método sim-
plificado de las NTCS (c=0.19)
Descripción Esfuerzo cortante de diseño de la mampos-
tería Ý∗ = 5.0 kg/cm
2
Área total de los muros en la dirección X ,JÞ = ∑,_ �
35880 cm
2
Área total de los muros en la dirección Y ,Jß � ∑,ß �
67995 cm
2
Peso total de la estructura con �H�, Incluye ½ muros de PB ¨ �
533 Ton
Esfuerzo promedio a compresión de los
muros à � áWâãCWâä
14.8 kg/cm
2
Factor de resistencia VÛ � 0.70
Esfuerzo cortante resistente jÛ� � VÛ�0.5Ý∗ + 0.3à) ≤ VÛ1.5Ý∗ = 4.87 kg/cm
2
Cortante resistente H _ = 174.6 kg
Cortante resistente H � = 330.9 kg
Factor de carga V× = 1.10
Coeficiente sísmico reducido para la zona II, piezas macizas, altura de edificación entre 7 y 13 m $åÛ =
0.19
Carga total para análisis sísmico å = 504
Cortante sísmico en la base en ambas di-recciones Hæ = V× $åÛ 5 =
105.38 Ton
Revisión
VmR Vu VmR / Vu
Ton
Ton
174.6 > 105.4 1.6 Ok
330.9 > 105.4 3.1 Ok
La estructura de nuestro ejemplo pasa fácilmente por cortante en ambas direccio-nes. La revisión global debe hacerse por
entrepiso. Aunque el edificio sea regular en planta y elevación, la variación de la carga
axial o bien el hecho de que, por ejemplo, a partir de cierto nivel las piezas cambien de espesor, pueden afectar el resultado de la revisión.
Aunque esta revisión sería suficiente bajo las hipótesis del MS de las NTCS, no nos
dice cómo hacer el diseño de los muros en forma individual. Esto puede dar lugar a
serios problemas en muros particulares, por esta razón se recomienda, en todos los casos, hacer una revisión muro por muro.
Método estático para la determinación de
fuerzas sísmicas
Como en nuestro ejemplo no es posible
usar el método simplificado para la deter-minación de las fuerzas sísmicas, veamos si
podemos utilizar el método estático.
El método estático (ME) de las NTCS, sus-tituye los requisitos del método simplifica-dos por los de regularidad. Comparemos
algunos requisitos
0.42
Tabla 0-6 Comparación de requisitos del método
estático y simplificado de las NTCS
Mét. Simplificado Método Estático
“…75% de las cargas ver-ticales están suportadas por muros mediante losas monolíticas… los muros deberán tener una distri-bución sensiblemente simétrica Y5 < 0.1 *…”
Las estructuras no tie-nen que ser a base de muros.
“Su planta es sensible-mente simétrica con res-pecto a dos ejes ortogonales por lo que toca a masas…” en inciso 6),“En cada nivel tiene un sistema de techo o piso rígido y resistente…”. en inciso 11) “…en ningún
entrepiso…, Y5, excede del diez por ciento de la dimensión en planta…”
“La relación entre longi-tud y ancho de la planta del edificio no excederá de 2.0…”
“La relación de largo a ancho de la base no exce-de de 2.5.”
“La relación entre la altu-ra y la dimensión mínima de la base del edificio no excederá de 1.5 y la altura del edificio no será mayor de 13 m...”
“La relación de su altura a la dimensión menor de su base no pasa de 2.5”. En sec 2.2 “...para analizar estructuras regulares… altura no mayor de 30 m, y estructuras irregulares de no más de 20 m. Para edificios ubicados en la zona I, los límites anterio-res se amplían a 40 m y 30 m, respectivamente.”
Los incisos 7 a 10 no tie-nen correspondencia con el MS (ver NTCS 6.1)
En el método estático la simetría no es de-terminante para la aplicación del método
ya que el ME permite ciertas irregularida-des. Por otro lado el ME es mucho más permisivo en cuanto a la altura de la edifi-
cación que puede analizarse con dicho método.
En nuestro ejemplo, de acuerdo a las NTCS
6, no se trata de una estructura fuertemen-te irregular, por lo que si puede calcularse
con el ME. En este método el coeficiente sísmico se obtiene de la Tabla 3.1 de la NTCS, en nuestro caso
Zona $ �h ��0 �0 r II 0.32 .08 0.2 1.35 1.33
Las fuerzas sísmicas en cada nivel se obtie-nen con la expresión (ver sec 5.8.4)
VL = $ ∑ L¸′ LℎL∑ LℎL En la expresión anterior $ es el coeficiente sísmico, L el peso de cada nivel, que debe
incluir el peso propio y la carga viva acci-dental y ¸′ el factor de reducción de la
fuerza sísmica que se calcula en función del factor de comportamiento sísmico ¸, el periodo fundamental de la estructura y de su regularidad (sec 5.8.5). Siendo consis-
tentes con las hipótesis que hemos hecho para nuestro ejemplo, usaremos ¸ = 2.
Una vez obtenido ¸′ debe corregirse por regularidad de la estructura. En el caso de nuestro ejemplo después de verificar los
distintos requisitos de regularidad vemos que dos o más requisitos no se satisfacen,
pero no se trata de una estructura fuerte-mente irregular, por lo que utilizaremos un
factor de 0.8 para corregir el valor de ¸′ (NTCS 6.4). Los requisitos no cumplidos son: el inciso 1) (sec 6.1 NTCS) ya que la
estructura no es sensiblemente simétrica respecto al eje horizontal; el inciso 6) que indica que las aberturas en el sistema de piso no deben ser mayores al 20% de la
dimensión en planta medida en la direc-ción de la abertura. Este requisito tampoco
se cumple ya que el cubo de escaleras re-
presenta una abertura con una extensión mayor al 20% (es de 31%) de la dimensión
paralela a Y de la estructura.
0.43
El factor de reducción de las fuerzas sísmi-cas queda entonces ¸ = 2 × 0.8 = 1.6, su-poniendo que no se conoce el periodo de la estructura (NTCS 4.1). El coeficiente sísmi-
co reducido $/¸′=0.32/1.6=0.2, solo esca-samente mayor al 0.19 del que se propone con el método simplificado. Sin embargo el
método estático permite utilizar la ordena-
da espectral ,µ(�, �), utilizando una
aproximación del periodo como veremos mas adelante.
Estimación del periodo
El método estático permite utilizar en vez del coeficiente sísmico, la ordenada espec-
tral ‘�’ del espectro de pseudo-aceleraciones que obtuvimos arriba para la
zona II, que corresponde al periodo fun-damental de la estructura (ver sec 5.8.3.). Para tal efecto, las mismas NTCS proponen
una aproximación al periodo fundamental de la estructura. La expresión que propo-
nen las NTCS para la estimación del perio-do es
� = 2��∑ LÅL18∑VLÅL donde ÅL es el desplazamiento del nivel 7 relativo a la base de la estructura; 8 es la
aceleración de la gravedad, L y VL son el peso y la fuerza sísmica calculada como se
vio anteriormente. Según las NTCS 8.2, el valor de VL debe calcularse en forma
distinta si � > � pero este no suele ser el caso de los edificios de mampostería, de modo que no se contempla ese caso aquí.
Rigideces de entrepiso
Para calcular los desplazamientos deben calcularse las rigideces de entrepiso, que en
forma congruente con el método simplificado pueden calcularse como
Iq � �∑,XLSq
donde G es el módulo de cortante de la
mampostería, ,XL son las áreas efectivas de
los muros del nivel ª en la dirección de
análisis y SL es la altura del nivel 7. Alterna-
tivamente puede utilizarse la expresión teórica de la rigidez lateral de los muros
utilizando la ec 0.1. Los desplazamientos
relativos de entrepiso se pueden calcular simplemente como
ÅÛL � HLIL Åq � p ÅÛLqLO0
Y acumulando los desplazamientos relati-vos se obtienen los desplazamientos res-pecto a la base.
Primero requerimos las fuerzas, calculadas
con la ordenada espectral ,��, �� � $, el cálculo se muestra en la Tabla 0-7
Tabla 0-7 Determinación de fuerzas sísmicas y cor-
tante por nivel (c=0.2)
n CM+CVa hi Wi*hi Fi Vi
Ton m Ton·m Ton Ton
5 88.6 12.5 1107.7 30.1 30.1
4 103.9 10.0 1039.0 28.3 58.4
3 103.9 7.5 779.3 21.2 79.6
2 103.9 5.0 519.5 14.1 93.8
1 103.9 2.5 259.8 7.1 100.8
504.2 3705.3
Como ya se había mencionado, no tiene
efecto en el cálculo del period0, la ordena-da espectral que se ocupe para calcular las
fuerzas. En nuestro ejemplo las rigideces de entrepiso son todas iguales, con � � 14400 kg/cm2 y S = 2.5 m, las rigide-ces en ambas direcciones son
I_q = �∑,_XLSq � 14400 × 34705250 = 199902 kg/cm
I�q = �∑,_XLSq � 14400 × 67995250 = 3916512 kg/cm
El periodo en ambas direcciones resultan
0.44
�_ = 0.16 �� = 0.115
Las ordenadas espectrales ya reducidas y corregidas por irregularidad son entonces ,µ_(�_) = 0.17 ,µ�²��³ = 0.19
La reducción es del 15% en dirección X (0.2/0.17=0.85) y del 5% en Y
(0.2/0.19=0.95) (ver Figura 0.25)
Figura 0.25 Espectro reducido por ductilidad mos-trando las ordenadas espectrales correspondientes a los periodos fundamentales en ambas direcciones.
Revisión muro por muro
El cálculo muro por muro se realiza utili-
zando las áreas tributarias para el cálculo de las fuerzas axiales. El cortante se calcula utilizando las ordenadas espectrales calcu-
ladas y se reparte en cada muro en forma proporcional a su área efectiva como pro-pone el método simplificado de las NTCM. Como en el caso del método simplificado,
no te toma en cuenta el momento de vol-teo. Para el caso del primer entrepiso se
muestra en las siguientes tablas
Dirección X H _ = ¨,µ(�_, �) = 504 × 0.17 = 85.7
M ATRI P Am Ae Vi Vri V/Vr
No. m2 cm cm
2 cm
2 Ton Ton
12 2.1 9.7 3855 3855 10.5 8.8 0.84
13 4.8 22.4 4485 4485 12.2 12.5 1.03
14 4.4 20.9 5085 5085 13.8 13.3 0.96
15 5.0 23.5 2460 1873 5.1 8.6 1.69
16 5.4 25.3 4110 4110 11.2 12.5 1.12
17 5.0 23.5 2460 1873 5.1 8.6 1.69
18 2.1 9.7 3855 3855 10.5 8.8 0.84
19 4.8 22.4 4485 4485 12.2 12.5 1.03
20 4.4 20.9 5085 5085 13.8 13.3 0.96
45.0 198.4 35880 34705 110.9 103.8
Algunos muros están ligeramente escasos,
hecho que no es apreciable en la revisión global.
Dirección Y H � = ¨,µ(�_, �) = 504 × 0.19 = 95.8
M A trib P Am AE Vi Vri V/Vr
No. m2 Ton cm2 cm2 Kg Kg
1 5.20 37.8 10260 10260 15.9 23.1 1.5 2 3.91 28.4 3525 3525 5.5 10.0 1.8 3 4.90 35.6 3525 3525 5.5 11.0 2.0 4 7.83 56.9 7035 7035 10.9 20.0 1.8 5 9.42 68.5 7035 7035 10.9 21.6 2.0 6 6.82 49.6 5235 5235 8.1 15.9 2.0 7 9.42 68.5 7035 7035 10.9 21.6 2.0 8 7.83 56.9 7035 7035 10.9 20.0 1.8 9 3.91 28.4 3525 3525 5.5 10.0 1.8
10 4.90 35.6 3525 3525 5.5 11.0 2.0 11 5.20 37.8 10260 10260 15.9 23.1 1.5
504.0 67995 67995 100.8 216.8
En la dirección Y la situación es mucho más holgada, por la abundancia de muros
largos en dicha dirección.
5.10.4 Torsión sísmica
El método estático, especifica que debe
tomarse en cuenta la excentricidad estática o estructural y la excentricidad accidental. En el método estudiado en la sección 9 las
excentricidades se toman en cuenta multi-plicando a los efectos debidos a las fuerzas
directas por sismo por un factor de ampli-ficación por torsión que se ha denominado como FAT, que varía de muro a muro y de nivel a nivel. En nuestro ejemplo el edificio
es simétrico respecto a un eje paralelo a Ð,
por lo que la excentricidad estática es cero consecuentemente cuando la dirección de
análisis es paralela a Ð, solo debe conside-
0.45
rarse la excentricidad accidental y la clasi-ficación de los muros es irrelevante ya que en ese caso V,�� = V,�].
En la Tabla 0-8 se presentan los cálculos
para estimar los efectos por torsión de nuestro ejemplo en el primer nivel. Los
parámetros utilizados fueron
Altura de entrepiso, dimensiones en planta y desplazamientos
S = 2.5 / *Å = 15.94 / *; = 6.84 / &Å = 0.053 $/ &; = 0.027 $/
Excentricidad estática y centro de rigideces
excentricidades estáticas y normalizadas
Õ×× = 7.9 / Ð×× = 3.78 / Õ×Û = 7.9 / Ð×Û = 2.72 / Õ×× − Õ×Û = 0.0 / Ð×× − Ð×Û = 1.06 / Y_ = 0.0 Y� = 0.16
Radios de giro normalizados según la ec 0.30, (las sumatorias requeridas fueron to-
madas de la Tabla Error! Reference source not found.).
p HÂ_L;L1&Åq = 118.81 p HÂ�LÅL1/&;q = 1058.92
p HÂ_L/&Åq = 17.71 p HÂ�L/&;q = 38.78 Ö_q = 1.192 Ö�q = 0.346
11 Ejemplo 2 de torsión sísmica
Con el objetivo de evaluar la influencia de la excentricidad estática en el fenómeno de la torsión sísmica se analizó el modelo
simplificado de la Figura 0.4. Para ello, la posición del muro m3 se desplazó hacia la derecha produciéndose una variación en la posición del CR y, en consecuencia, de la
excentricidad dentro del intervalo 0 ≤ e ≤ 0.2. Con esto, se cubren los valores permi-sibles del RCDF para e ≤ 0.1 para el método
simplificado y el de e ≤ 0.2 de estructuras con ¸ ≥ 3 para el método estático.
En la Figura 0.26 se presenta la variación del valor del FAT debido a diferentes valo-res de la excentricidad normalizada e para los distintos muros.
Figura 0.26 Variación del FAT para diferentes valores de excentricidad normalizada.
Para los elementos flexibles (los más desfa-vorables ante los efectos de la torsión ya que son los que están más alejados del CR),
se puede observar que el valor del FAT es 1.85 para e = 0.1 y llega hasta 2.14 para e =
0.17.
En los elementos rígidos el mayor valor del FAT es 1.34 para e = 0 y, al aumentar e hasta 0.1, el FAT disminuye hasta 1 tal y como se
establece en el paso 5 del PSD, el FAT nun-ca debe ser menor que la unidad. Esto sig-nifica que los efectos del cortante de diseño, H-Ó-L; nunca serán menores que los
del cortante directo, H&L El método simplificado se basa en la hipó-
tesis de asignar una fuerza cortante a cada elemento muro proporcional a su área transversal e ignorar la torsión sísmica para
estructuras con Y ≤ 0.1. Sin embargo, en el caso que se estudia, los valores del FAT mayores que la unidad para ese intervalo de excentricidad, muestran que este proce-
der puede conducir a decisiones que podr-ían poner en riesgo la estabilidad de
construcciones diseñadas únicamente con este método.
0.46
12 Nota sobre un caso típico
Con el objeto de lograr espacio suficiente
en planta baja para el estacionamiento de vehículos, algunos proyectistas han pro-
puesto hacer un primer nivel a base de co-
lumnas y muros de concreto que soportan una losa reticular aligerada soportada en
trabes de concreto de modo que el resto del edificio se desplante sobre dicha losa,
evitando que los muros bajen a la cimenta-ción, liberando el espacio requerido. Se
podría comentar que tal solución puede
tener problemas por cambios abruptos de rigideces, entrepiso blando etc., pero lo
que aquí se desea comentar es que se ha detectado que dichas estructuras llegan a analizarse, de manera incongruente con los principios de la dinámica estructural, apli-
cando el método simplificado o estático para el edificio de mampostería y luego utilizando el cortante basal de dicha es-
tructura para diseñar el primer nivel de concreto, en ocasiones utilizando distintos
valores del factor de comportamiento sísmico en ambas partes. Ese tipo de es-tructuras debe estudiarse detenidamente
en conjunto y no admiten un análisis sim-plificado. Si se usa el análisis estático, de-
ben considerarse las irregularidades en elevación de rigideces y de masas. Pero en
este tipo de estructuras lo más recomenda-ble es hacer un análisis modal.
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0.47
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Figura 0.27 Ejemplo 1, Planta simétrica respecto a un eje vertical. Se indican las longitudes de los muros, su nume-ración dentro de un círculo y sus áreas tributarias. Esta forma de distribuir las áreas es adecuada para el análisis simplificado, ya que directamente asigna la carga a los muros y no a cerramientos y trabes.
0.48
Tabla 0-8 Cálculo de los efectos por torsión, de la planta baja de la estructura de la Figura 0.27. La última columna muestra los cortantes
en cada muro, ya incluyendo el efecto por torsión
Coordenadas Distancia al CR
Clasificación Cálculo de Ö Factores de Aplificación
MU
RO
Dir X/Y Vdi xo yo xi yi dir X dir Y V
dxi
yi2
/ d
xj
Vd
yi x
i2/
dyj
Vd
xi /
dxj
Vd
yi /
dyj
ςix=
dxC
R /
b
ςiy=
dyC
R /
b
FAT (y) FAT (x) V=V
di F
AT
No. ton m m m m ton-m ton-m ton/m ton/m Ton
1 Y 15.9 0.00 -7.9 s/c 365.2 5.9 0.496 1.41 22.5
2 Y 5.5 2.85 -5.1 s/c 51.3 2.0 0.317 1.27 6.9
3 Y 5.5 2.85 -5.1 s/c 51.3 2.0 0.317 1.27 6.9
4 Y 10.9 4.20 -3.7 s/c 54.9 4.0 0.232 1.19 13.0
5 Y 10.9 6.60 -1.3 s/c 6.8 4.0 0.082 1.07 11.6
6 Y 8.1 7.90 0.0 s/c 0.0 3.0 0.000 1.00 8.1
7 Y 10.9 9.20 1.3 s/c 6.8 4.0 0.082 1.07 11.6
8 Y 10.9 11.60 3.7 s/c 54.9 4.0 0.232 1.19 13.0
9 Y 5.5 12.95 5.1 s/c 51.3 2.0 0.317 1.27 6.9
10 Y 5.5 12.95 5.05 s/c 51.3 2.0 0.317 1.27 6.9
11 Y 15.9 15.8 7.9 s/c 365.2 5.9 0.496 1.41 22.5
12 X 10.5 6.7 4.0 F 31.2 2.0 0.582 1.14 11.9
13 X 12.2 3.35 0.6 F 0.9 2.3 0.093 1.02 12.4
14 X 13.8 0 -2.7 R 19.1 2.6 0.397 1.00 13.8
15 X 5.1 3.35 0.6 F 0.4 1.0 0.093 1.02 5.2
16 X 11.2 0 -2.7 R 15.5 2.1 0.397 1.00 11.2
17 X 5.1 3.35 0.6 F 0.4 1.0 0.093 1.02 5.2
18 X 10.5 6.7 4.0 F 31.2 2.0 0.582 1.14 11.9
19 X 12.2 3.35 0.6 F 0.9 2.3 0.093 1.02 12.4
20 X 13.8 0 -2.7 R 19.1 2.6 0.397 1.00 13.8
118.8 1059 17.71 38.78
0.49
Figura 0.28 Ejemplo 1, Modelación con columna ancha
0.50
