Análisis Matemático I – CIBEX · teórico-práctica: tendremos tres sesiones semanales de trabajo en comisiones, sumadas a las horas de ... El sistema les pide una "contraseña

Análisis Matemático I – CIBEX

Facultad de Ciencias ExactasUniversidad Nacional de La Plata

Unidad 1: Funciones

Curso 2015

Dr. Gerardo Rossini, Dra. Ana AlonsoEquipo Coordinador

Presentación

Comencemos por dar la bienvenida a todos los alumnos y docentes que trabajaremos juntos estesemestre para enseñar y aprender Análisis Matemático I.

En el marco del Ciclo Básico de Ciencias Exactas (CIBEX), esta asignatura se dicta con modalidadteórico-práctica: tendremos tres sesiones semanales de trabajo en comisiones, sumadas a las horas detrabajo que le dedicaremos a la preparación del material de estudio antes de las clases y a la resoluciónde problemas y actividades entre clases.

Usaremos habitualmente computadoras personales en el aula, como herramienta para gra�car yanalizar todos los temas del curso. Contamos para esto con las notebooks que muchos alumnos hanrecibido mediante el plan Conectar Igualdad, así como notebooks y tablets que docentes y alumnospudieran disponer. Además, la Facultad y el Departamento de Matemática nos proporcionan salas dePC para utilizar fuera del horario de clases.

Introducción a los temas del curso

En este curso trabajaremos con funciones: el lenguaje matemático para expresar relaciones entredistintas magnitudes que hacen a la descripción de una situación en Ciencias. Leamos la informaciónque nos proporciona este grá�co:

Antes de observar la curva dibujada, notemos que las magnitudes involucradas se indican en cadaeje: vemos que se habla de una distancia, simbolizada por la letra d, que varía de acuerdo al valorde una medida de tiempo, simbolizada por la letra t. Vemos también las unidades utilizadas parainterpretar puntos en los ejes: los números en el eje t se entienden en segundos y los números del eje dse entienden en metros. Ya podemos imaginar que el grá�co describe el movimiento de un objeto, cuyadistancia a cierto punto de referencia va en aumento con el transcurso del tiempo. Tomemos papel ylápiz para hacer un esquema de la situación detrás del grá�co: el objeto, el recorrido, la posición endistintos momentos, etc.

Ahora sí, mirando la curva, podemos leer información precisa sobre los valores de la distancia entreel objeto y el punto de referencia, para algunos valores de tiempo transcurrido:

t [s] d [m]

0 01 0.32 1.33 3

En esta tabla usamos una notación especial: t [s] signi�ca que los valores de tiempo, escritos másabajo sin unidades, se entienden en segundos; d [m] signi�ca que los valores de distancia en la segunda

i

INTRODUCCIÓN A LOS TEMAS DEL CURSO ii

columna se entienden en metros. Esta notación es estándar en textos cientí�cos, y nos alivia de repetirlas unidades cada vez que expresamos un valor. También se usa para marcar los ejes de un grá�co, yno repetir las unidades junto a cada valor:

Además de los valores marcados con puntos, el grá�co permite leer valores intermedios. Por ejemplo,cuando t = 1, 5 s, la distancia parece ser d = 0, 8m, aproximadamente. En realidad, podemos investigartantos valores de tiempo como queramos, y sus correspondientes distancias. Entonces, ¾cuántos puntoscontiene el grá�co?

Una suposición implícita en el grá�co, y en la mayoría de los modelos matemáticos utilizados aldescribir una situación en Ciencias, es que las variables involucradas toman valores en un continuo,con incrementos tan �nos como uno quiera considerar. Dicho de otra manera, en nuestro ejemplo, eltiempo y la distancia se describen con números reales. Por eso comenzaremos nuestro curso repasandoel conjunto R de números reales.

Otra suposición implícita en los modelos matemáticos con que describimos la Naturaleza es queexistan fórmulas para relacionar las variables involucradas haciendo una cuenta. En nuestro grá�co, lafórmula detrás de escena podría ser

d(t) =1

3

m

s2t2,

como podemos comprobar evaluando la distancia d(t) propuesta para varios valores de tiempo t. Enesta expresión también usamos una notación especial, estándar en textos cientí�cos: d(t) indica que lavariable d depende de la variable t, es decir que a cada valor de tiempo le corresponde una y sólo unadeterminada distancia entre el objeto y el punto de referencia.

Siguiendo con el ejemplo, podemos interpretar a partir de la forma de la curva información útilsobre la situación descrita. Por ejemplo,

el grá�co describe el movimiento solamente a partir de cierto tiempo indicado como t = 0 s, yquizás hasta t = 4 s, ni antes ni después.las distancias toman valores entre d = 0m y digamos d = 4m, ni más ni menos.el objeto se aleja sostenidamente del punto de referencia, ya que la distancia va en aumentodurante todo el tiempo informado.el ritmo con que la distancia aumenta al transcurrir el tiempo, usualmente llamado velocidad,se lee por la inclinación del grá�co y va en aumento con el transcurso del tiempo.etc.

Todas estas características corresponden a nociones que estudiaremos en este curso, y que son comunesa la descripción de cualquier situación en que una magnitud de interés dependa de otra magnitud. Enverdad, estas nociones ocupan más de la mitad de nuestro programa. Otros aspectos, relacionados conacumular o sumar la información contenida en una función, hacen a la segunda parte y creemos quemerecen una presentación más adelante.

Podemos decir a esta altura que el estudio de funciones es un entrenamiento de las habilidadesque necesitamos para apreciar la información contenida en un grá�co o en una fórmula, así como paraconstruir grá�cos que describan la situación que estemos estudiando o investigando. Es probable queen partes del curso nos parezca que sólo vemos letras, números y fórmulas: no olvidemos nunca queestamos entrenando el lenguaje para describir situaciones y modelos de la Naturaleza, para expresarlasy para comprenderlas. Y que el lenguaje grá�co sintetiza la información importante. De otra manera,

RECURSOS iii

sería como aprender un idioma memorizando palabras aisladas; cuando podamos mirar la fórmula deuna función, visualizar su grá�ca y entender lo que expresa, será como manejar un idioma para expresarideas.

Recursos

El material de estudio de la cátedra se articula sobre una guía impresa, un sitio web y librosrecomendados.

Guía impresa. La guía impresa presenta los contenidos mínimos, sistemáticamente pautados porclase, y debe servir como referencia para seguir el programa. Estará disponible en el local de apuntesde la Facultad y en nuestro sitio web.

Sitio web. El sitio web de nuestra materia está alojado en la plataforma de Cátedras Virtualesde la Facultad de Ciencias Exactas (http://educacion.quimica.unlp.edu.ar). Los alumnos que ingresenpor primeravez deben registrarse en la plataforma anotando como nombre de usuario su número dedocumento. Este registro les servirá para varios cursos de sus carreras.

Para matricularse en este curso deben buscarlo como Análisis Matemático I - CIBEX - 1ercuatrimestre. El sistema les pide una "contraseña de acceso", actualmente usen analisis-1-2015.

Además de información organizativa y la versión electrónica de la guía impresa, el sitio servirápara comunicarnos mediante distintos foros y estará dedicado a alojar material de estudio y discusióncomplementario al material impreso:

Ejercitación complementaria.Resultados de algunos ejercicios de la guía impresa.Indicaciones y ejemplos para el uso de software libre, en particular de GeoGebra.Grá�cos de diversas funciones y situaciones presentadas en el curso, interpretados y explicadosmediante las técnicas de Análisis Matemático del programa.Aspectos formales rigurosos: de�niciones, demostraciones, etc.Explicaciones alternativas.Aplicación de métodos de Análisis Matemático a problemas de interés en las distintas carrerasde la Facultad.Links a otros sitios de interés pedagógico.

Bibliografía. La bibliografía disponible en la Biblioteca de la Facultad incluye variados libros deAnálisis Matemático. Y tenemos varios ejemplares disponibles en las aulas (pueden pedirlos a losdocentes, se guardan en el aula NC).

El nivel adecuado al curso lo encuentran, por ejemplo, en:

Larson R., Hostetler R., Edwards B., Cálculo I.Thomas G., Cálculo in�nitesimal y geometría analítica.Stewart J., Cálculo de una variable: Conceptos y contextos.Stewart J., Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas.

Citaremos estos libros en nuestra Guía como [Larson], [Thomas], [Stewart-CC] y [Stewart-TT]

Software. El objetivo principal del uso de software como herramienta de enseñanza-aprendizaje esgenerar el hábito de analizar mediante grá�cos cualquier trabajo hecho en forma analítica; mucho másallá de gra�car funciones, se busca la visualización grá�ca de conceptos.

Se utilizará GeoGebra como programa de cabecera. GeoGebra es un software libre de matemáticapara educación en todos sus niveles, disponible en múltiples plataformas. Reúne dinámicamente, aritmé-tica, geometría, álgebra y cálculo en un conjunto sencillo a nivel operativo, a la vez que potente. Ofrecerepresentaciones diversas de los objetos desde cada una de sus posibles perspectivas: vistas grá�cas,algebraica y simbólica, organización en tablas y planillas y hojas de datos. Está recomendado por el Mi-nisterio de Educación de la Nación desde el nivel secundario, por lo cual está instalado en las notebooksConectar Igualdad. Se descarga libremente, en español, desde http://www.geogebra.org/cms/es/.

AGRADECIMIENTOS iv

Reglamento de cursada y promoción

Este curso de Análisis Matemático I se rige por los reglamentos de la Facultad para CIBEX. Sedebe cumplir con la asistencia al 80% de las clases.

Se tomarán dos exámenes parciales teórico-prácticos, que llamaremos Primer Parcial y SegundoParcial, el primero a mediados del curso y el segundo al �nal del curso. Cada examen se tomará en dosfechas, que llamaremos primera y segunda fecha de cada Parcial, más una fecha extra que llamaremos�otante. En la fecha �otante podrán presentarse los alumnos que hayan aprobado al menos uno de losdos Parciales.

Se pedirá la entrega de un trabajo para cada Unidad, con fechas límite. Estas entregas se puedenhacer en grupos de hasta cuatro alumnos, y serán corregidas y comentadas en clase.

Para obtener la materia por promoción se debe cumplir con las entregas de trabajos, yobtener un promedio de 6 puntos o más, con al menos 5 puntos en cada Parcial. La nota�nal será el promedio del resultado obtenido en cada Parcial.

Para obtener la cursada se deben aprobar los dos Parciales con al menos 4 puntos cada uno. Enese caso, si no obtuvieron la promoción, para completar la materia deben rendir un examen Final enlas fechas del calendario que �ja la Facultad. La cursada será válida por siete semestres a partir delcierre del curso.

Agradecimientos

El material de estas Guías fue preparado durante los cursos del año 2014, y sigue en revisión. Alo largo de las clases, recibimos numerosos y acertados comentarios, críticas y sugerencias de nuestrosdocentes; esperamos haberlos implementado en esta versión. Deseamos expresar nuestro agradecimientoa todos ellos, y alentarlos a seguir trabajando por la calidad de la enseñanza en nuestra Facultad.

UNIDAD 1

Funciones Numéricas

Contenidos de la Unidad 1: Números reales, intervalos, distancia, desigualdades. Fun-ciones numéricas, dominio, codominio e imagen. Funciones elementales y sus grá�cas.Operaciones entre funciones (suma, producto, cociente, composición). Funciones tri-gonométricas, grá�cos y propiedades. Funciones exponenciales y logarítmos,grá�cos ypropiedades.

Clase 1.1. Números reales

Contenidos de la Clase: Números reales. Representación grá�ca de números reales. In-cremento, valor absoluto, distancia. Desigualdades, intervalos, entornos.

1.1.1. Números Reales

En algún momento del colegio aprendimos que los números naturales son

N = {0, 1, 2, 3, 4, · · · },

que los números enteros contienen a los naturales y sus opuestos,

Z = {· · · ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, · · · }

y que los números racionales se de�nen como fracciones con numerador y denominador enteros,

Q = {p/q : p ∈ Z, q ∈ Z y q 6= 0}.

También aprendimos a representar (o gra�car) números como puntos de una recta.La construcción de los números enteros y racionales es algebraica, basada en sumas, restas, pro-

ductos y cocientes. Tomando denominadores q arbitrariamente grandes podemos encontrar númerosracionales arbitrariamente cercanos entre sí, por lo que decimos que Q es un conjunto denso en la rectanumérica.

Sin embargo, nos han mostrado también que algunos problemas sencillos tienen resultados queno son números racionales (por ejemplo, medir exactamente la hipotenusa de un triángulo rectángulocon catetos de longitud 1 cm, o medir el perímetro de una circunferencia de radio 1m; ¾recuerdan losresultados?). A partir de esos ejemplos aceptamos que existen los números irracionales. La de�niciónprecisa de números irracionales escapa a los programas del colegio, y también a nuestro curso. Nosconformamos con reconocer que los números irracionales están asociados a los puntos de la rectanumérica que no se representan como ningún número racional.

Definición 1.1.1. (informal) Los números irracionales se corresponden uno a uno con puntos dela recta numérica que no se pueden representar como números racionales.

Finalmente podemos reconocer los números reales como la unión de los números racionales y losnúmeros irracionales. Grá�camente, lo que hacemos es asociar cada punto de la recta con un y sólo unnúmero real.

Definición 1.1.2. (informal) Los números reales se corresponden uno a uno con los puntos dela recta numérica. El conjunto de números reales se anota R.

1

CLASE 1.1. NÚMEROS REALES 2

Actividad 1.1.3. Les proponemos gra�car los siguientes números:

5, −2, 1.7, −2

5, 4× 10−2, −0.003, −102,

√3, −π/3, e2, etc.

Podemos aprovechar este primer ejercicio para gra�car en la computadora.

Uso de GeoGebra 1.1.4. Para hacerlo con GeoGebra, escribimos en la línea de "Entrada" lainstrucción:

(x,y)

que de�ne y muestra en el plano un punto de coordenadas (x, y). Noten que aparece una letramayúscula como nombre del punto. Para elegir el nombre, puede escribir en la entrada:

P=(x,y)

Para gra�car puntos de la recta real escriban la segunda coordenada y = 0.

A partir de esta presentación, aceptamos que no es fácil de�nir R (más allá de una noción grá�ca).Debemos reconocer que existe un trabajo enorme de la comunidad de matemáticos que ha dado formarigurosa a la noción de números reales y a sus propiedades, incluyendo las operaciones de suma, resta,producto, cociente, potencias, raíces, etc.1 Aprovecharemos que ese trabajo está hecho para repasarvarias características de los números reales, útiles para nuestro estudio de funciones.

1.1.2. Ecuaciones

Las ecuaciones aparecen naturalmente al plantear relaciones entre una cantidad desconocida yciertos datos. Las encontramos al intentar resolver un problema, a veces como ejercicio propuesto y aveces para intentar contestar una pregunta que nos surge al estudiar.

Para ser precisos, llamamos ecuación en una incógnita x a una igualdad entre expresionesmatemáticas que contienen a esa incógnita. Por ejemplo,

2x2 − 6x = 20.

Y llamamos solución de la ecuación al conjunto S de valores de x que satisfacen la ecuación (esdecir, al ser reemplazados en la ecuación veri�can la igualdad). En este caso la solución es S = {−2, 5}y contiene dos elementos. También se suele decir que la ecuación tiene dos soluciones, x = −2 y x = 5.

Para seguir este curso, necesitamos asegurarnos de poder resolver con seguridad ecuaciones, almenos las lineales y las cuadráticas.

Actividad 1.1.5. Hallen la(s) solución(es) de las siguientes ecuaciones:

2x− 10 = 5−x+ 1 = 6x+ 2(5x+ 1) (2x− 3) (1 + 2x) = 0 (sugerencia: ¾qué posibilidades hay para que un producto décero?)x− 2

x+ 1= 5

Si encuentran di�cultades, busquen más ejercicios en nuestro sitio web y consulten en clase.

1Para seguir este curso los alumnos deben operar correctamente con números reales. En el sitio web de la cátedra

tenemos un módulo de Pre-Cálculo con tests de diagnóstico, explicaciones y ejercitación de repaso que pueden ser útiles

para alcanzar el nivel de los ejercicios propuestos en esta guía.


1.1.3. Desplazamientos en la recta real

Dado un número real a, que ubicamos en la recta, y otro número real b, el resultado de la sumaa+ b es un número desplazado a partir de a en una cantidad b.

Actividad 1.1.6. Les proponemos gra�car un número a y distintos desplazamientos b a partirde él:

a = 2, b = 2, 0.5, −1, −3.2a = −1.5, b = 2, 0.5, −1, −3.2

Es importante reconocer que sumar un número positivo produce un desplazamiento hacia la dere-cha, y que sumar un número negativo produce un desplazamiento hacia la izquierda.

Dados dos números c y d, siempre podemos escribir

d = c+ (d− c).

Es decir, d se obtiene desplazando c en una cantidad d− c.

Notación: cuando se trabaja con una variable x sobre el eje real, se suele llamar incremento aldesplazamiento que lleva de un punto a otro, y se lo anota como ∆x (se lee "Delta x" y se trata comoun sólo símbolo, no confundir con el producto de dos cantidades).

Afirmación 1.1.7. Recordemos que el incremento para ir desde c hasta d se calcula

∆x = d− cEn un grá�co se dibuja

Actividad 1.1.8. Les proponemos calcular el desplazamiento o incremento entre los siguientespares de números:

5 respecto de 33 respecto de 53 respecto de −2π respecto de e

En todos los casos, gra�quen los puntos y midan los desplazamientos sobre el dibujo. Sugerimosgra�car con GeoGebra; incluso se puede construir un vector desde un punto hasta el otro y leer suvalor en la vista algebraica.

1.1.4. Escaleos en la recta real

Para hacer un zoom en la posición de números en la recta, basta multiplicarlos por una constantepositiva dada, que llamaremos factor de escala.

Dado un conjunto de números {x1, x2, · · · } y un factor de escala c > 1, el conjunto de números{cx1, cx2, · · · } se verá dilatado respecto del original. Si el factor de escala es d < 1, el conjunto denúmeros {dx1, dx2, · · · } se verá contraído respecto del original.

Actividad 1.1.9. Propongan un conjunto de números positivos y negativos. Gra�quen con uncolor el conjunto, con otro color el doble de esos números, y con otro color la mitad de esos números.


Uso de GeoGebra 1.1.10. Para hacerlo con GeoGebra, pueden de�nir un conjunto de puntosescribiéndolos entre llaves. Por ejemplo,

A={(1,0),(2,0),(3,0)}

Para verlos gra�cados, deberán clickear el ítem que aparece en el panel "Vista Algebraica". Paracambiar el color de los puntos, pueden desplegar el menú contextual haciendo click con el botónderecho del mouse y elegir "Propiedades de Objeto"; pueden hacerlo desde la vista grá�ca o desdela vista algebraica.

Pueden escalearlos construyendo, por ejemplo,

B=2A

1.1.5. Re�exión respecto del origen

Observemos la relación grá�ca entre un número x y su opuesto, de�nido como −x:

El cambio de signo se visualiza como una re�exión respecto del origen

Actividad 1.1.11. En la tabla que sigue, calcular los opuestos y gra�car:

x −x3−40

1.5

¾Hay algún caso en que −x sea positivo? ¾Cómo es x en ese caso?Si no nos dan el signo de x, ¾se puede a�rmar que −x es negativo?

1.1.6. Relación de orden

En N,Z,Q ó R, tiene sentido ordenar los números, es decir preguntarnos quién es menor entre dosnúmeros dados. Grá�camente, a es menor que b si a se representa a la izquierda de b en la rectanumérica. A esta relación la anotamos en lenguaje matemático como a < b. También podemos describirla misma situación diciendo que b es mayor que a, y lo anotamos con b > a. Entre dos números a yb distintos siempre hay un orden estricto.

Actividad 1.1.12. Les proponemos reconocer el orden de los números gra�cados en la actividad1.1.3

La relación de orden puede ser amplia, en el sentido de permitir que dos números sean iguales: seanota a ≤ b, y se lee a es menor o igual que b, para expresar que a no es mayor que b. Es decir, cabela posibilidad de que a < b o bien que a = b.

Signo de un número. Un número real dado puede ser positivo, negativo o nulo. Esto se re�eresimplemente a compararlo con el número 0. Decimos que

x es positivo si x > 0x es negativo si x < 0x es nulo si x = 0. El número 0 no tiene signo.


Propiedades de la relación de orden entre números reales. Dados tres números reales, a, b, c ∈ R,reconozcamos las siguientes propiedades elementales:

a ≤ a. Esta es la propiedad re�exiva.Si a ≤ b y b ≤ a , entonces a = b. Esta es la propiedad antisimétrica.Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c. Esta es la propiedad transitiva.

Las relaciones que veri�can estas tres propiedades se llaman en general relaciones de orden, y se lasencuentra en otros conjuntos, además de los números reales.

Actividad 1.1.13. Les proponemos ilustrar estas propiedades con números genéricos sobre larecta real. El objetivo es manipular números sin dar valores explícitos; si les resulta necesario, puedenprimero dar valores, gra�car, y luego describir qué pasaría si aumentan o disminuyen esos valores.

Las propiedades que listamos ahora son útiles para operar correctamente con desigualdades entrenúmeros reales:

Supongamos a ≤ b. Entonces,� para todo c ∈ R, a+ c ≤ b+ c� Si c ≤ d, entonces a+ c ≤ b+ d� Si c > 0, entonces ac ≤ bc� Si c < 0, entonces ac ≥ bc

Actividad 1.1.14. Les proponemos nuevamente ilustrar estas propiedades con números gené-ricos sobre la recta real.

Cadenas de desigualdades. Se pueden usar desigualdades encadenadas, como

a < b < c

Esta es una forma abreviada de indicar dos desigualdades que se veri�can simultáneamente; signi�caque a < b y que b < c. Así, por ejemplo, 2 < x < 4 indica que x > 2 y que x < 4; es decir x seencuentra entre 2 y 4.

1.1.7. Intervalos

Se emplea una notación especí�ca para anotar conjuntos de números reales que van desde un puntoa otro, llamada notación de intervalos. Debemos reconocer las siguientes notaciones:

Intervalo cerrado (incluye los extremos): [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}

Intervalo abierto (no incluye los extremos): (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}

Intervalos semiabiertos -o semicerrados- (incluyen un solo extremo):(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b},[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}

En general se usa un paréntesis para indicar un extremo abierto, cuando el punto extremo no seincluye en el intervalo, y un corchete para indicar un extremo cerrado, cuando el punto extremo sí seincluye en el intervalo.

También se introducen los intervalos in�nitos, no acotados, cuyas notaciones son:

Semirrectas a la derecha: [a,+∞) = {x ∈ R : a ≤ x}, (a,+∞) = {x ∈ R : a < x}


Semirrectas a la izquierda: (−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}, (−∞, b) = {x ∈ R : x < b}

Estos intervalos tienen sólo un extremo real. El símbolo +∞ se lee "más in�nito" y no es un númeroreal, se usa para indicar que el intervalo contiene números reales mayores que cualquier tope dado; dela misma manera, el símbolo −∞ se lee "menos in�nito" y se usa para indicar que el intervalo contienenúmeros reales menores que cualquier tope dado.

Actividad 1.1.15. Les proponemos gra�car en la recta real los intervalos

(−1, 3)[2, 5][−3/2, 0)(−∞, 6)[2,+∞)(−∞,+∞)

Expresar los intervalos como desigualdades, y decidir si −1, 0, 3, 5, 6 pertenecen a los intervalosdados.

Actividad 1.1.16. ¾A qué intervalos corresponden los siguientes grá�cos?

1.1.8. Inecuaciones (desigualdades)

Un tipo de problema asociado a las desigualdades es encontrar una región del eje real que cumplacon ciertas restricciones. Por ejemplo, se busca ubicar los valores de una variable x tales que ciertaexpresión que involucra x se mantenga menor que otra expresión que depende de x.

Para ser precisos, llamamos inecuación en una incógnita x a una desigualdad entre dos expresionesmatemáticas que dependen de x. Por ejemplo,

2x+ 3 < 7x− 5.

Y llamamos solución de la inecuación al conjunto S de valores de x que satisfacen la desigualdad.Típicamente el conjunto solución estará dado por uno o más intervalos.

Veamos cómo encontrar los números x que veri�quen la desigualdad 2x + 3 < 7x − 5. Para la re-solución proponemos utilizar varias de las propiedades listadas antes, como sumar una misma cantidado multiplicar por una constante a ambos miembros de la desigualdad. En la primera columna hacemosuso explícito de las distintas propiedades enunciadas, y en la segunda columna expresamos lo mismousando reglas de "pasaje" de términos y factores:

2x+ 3 < 7x− 52x− 7x+ 3− 3 < 7x− 7x− 5− 3

−5x < −8(−1

5

)(−5x) >

(−1

5

)(−8)

2x+ 3 < 7x− 52x− 7x < −5− 3−5x < −8x > 8/5

Observemos especialmente que al multiplicar ambos miembros por el número negativo −1/5, (o alpasar −5 dividiendo) la desigualdad cambia de sentido.


Signo de una expresión.

Cuando querramos averiguar el signo de una expresión que depende de x, tendremos que escribiruna inecuación comparando la expresión con cero. Es un caso importante de inecuaciones que aparececon frecuencia en el resto del curso.

Actividad 1.1.17. Averigüen en qué intervalos las siguientes expresiones son positivas, y en quéintervalos son negativas:

−5x+ 3x2 − 1x2 + 1

(sugerencia: factoricen y analicen el signo de cada factor)

Lectura recomendada 1.1.18. En el Apéndice A del libro de Stewart se tratan los temasde intervalos y desigualdades.

Distancia y valor absoluto

Distancia.

La distancia entre dos puntos a y b del eje real es una noción muy importante en Análisis Mate-mático. La podemos calcular a partir del desplazamiento relativo entre dichos puntos.

Ya hemos visto que el desplazamiento entre un punto a y otro punto b se expresa como la restab − a, y notamos que el desplazamiento puede ser positivo (cuando b > a) o negativo (cuando b < a)o incluso nulo (cuando b = a).

La distancia entre dos puntos a y b se calcula como el desplazamiento, pero siempre con signopositivo. Es decir, calculamos la resta b− a y nos �jamos: si el resultado es positivo (o nulo), esa es ladistancia; pero si el resultado es negativo, lo cambiamos por su opuesto −(b− a) = a− b, para que ladistancia sea positiva.

Definición 1.1.19. La distancia entre dos puntos a y b del eje real, que anotaremos dist(a, b),se de�ne como

dist(a, b) =

{b− a si b ≥ aa− b si b < a

Observación 1.1.20. Noten que esta de�nición da un solo resultado, aunque haya dos expre-siones; se dan dos expresiones para elegir cuál hay que usar, según la condición que acompaña cadarenglón.

Actividad 1.1.21. Calculen, gra�quen y midan sobre el grá�co la distancia entre los puntos

2 y 4; 4 y 2; −3 y −5; −2 y 3; 5 y 0; −5 y 0

Propiedades de la distancia.

La distancia tiene propiedades características:Dados tres números reales, a, b, c ∈ R,

dist(a, b) ≥ 0, y dist(a, b) = 0 sólo cuando a = b. Esta es la propiedad de positividad.dist(a, b) = dist(b, a). Esta es la propiedad simétrica.dist(a, c) ≤ dist(a, b) + dist(b, c). Esta es la desigualdad triangular.


Las asignaciones que veri�can estas tres propiedades se llaman en general distancia y se las encuentraen otros conjuntos, además de los números reales. En particular, valen para la distancia entre puntosdel plano y del espacio.

Valor absoluto.

La operación de tomar un número real y generar otro que sea "igual pero con signo más" va aaparecer con frecuencia en nuestro curso. Para indicar esta operación en forma general, se de�ne elvalor absoluto de un número: si el número es positivo (o nulo), se lo deja como está, y si es negativo sele cambia el signo:

Definición 1.1.22. El valor absoluto de a ∈ R, que denotaremos |a|, se de�ne como

|a| =

{a, si a ≥ 0 (o sea, cuando no es negativo se deja el número)

−a, si a < 0 (o sea, cuando es negativo se pone el opuesto)

Observación 1.1.23. Noten nuevamente que esta de�nición da un solo resultado, aunque hayados expresiones; se dan dos expresiones para elegir cuál hay que usar, según la condición que acompañacada renglón.

Por ejemplo, |2| = 2, | − 3| = 3, |0| = 0. Si comparamos con la de�nición 1.1.19 (haciendo b = 0)podemos comprobar que el mecanismo del cálculo es el mismo. Entonces podemos usar la notación devalor absoluto para calcular distancias, y viceversa.

Conviene recordar las siguientes propiedades:

Propiedad 1.1.24. El valor absoluto de un número real representa su distancia al origen,

|a| = dist(a, 0)

Por ejemplo, |5| = dist(5, 0) = 5. También | − 5| = dist(−5, 0) = 5

Propiedad 1.1.25. El valor absoluto de un desplazamiento b− a representa la distancia entre ay b,

|b− a| = dist(a, b)

Por ejemplo, dist(2, 3) = |3−2| = |1| = 1. Por supuesto, tenemos que también dist(3, 2) = |2−3| =| − 1| = 1, ya que la distancia siempre es positiva,.

Propiedades del valor absoluto.

Presentamos las principales propiedades del valor absoluto (se pueden demostrar revisando lasposibilidades de signo de a y de b en cada caso).

|ab| = |a||b|∣∣ab

∣∣ = |a||b| , si b 6= 0

|an| = |a|n, si n ∈ N|a+ b| ≤ |a|+ |b|.Esta propiedad se llama desigualdad triangular. Si a, b tienen el mismo signo (ambos positivoso ambos negativos), entonces vale el igual, |a+ b| = |a|+ |b||a+ b| ≥ | |a| − |b| |

Conjuntos de puntos caracterizados por distancias

Las soluciones de inecuaciones representan, en general, conjuntos de puntos en el eje real. Es muyútil manejar inecuaciones que involucren distancias: quedan escritas como desigualdades en las queinterviene el valor absoluto.


Ejemplo 1.1.26. Ya que el valor absoluto de un número representa su distancia al 0, podemosescribir fácilmente el conjunto de puntos cuya distancia al 0 sea menor (o mayor) que una distanciapre�jada. Así,{x : dist(x, 0) < 3} = {x : |x| < 3} = (−3, 3)

{x : dist(x, 0) > 3} = {x : |x| > 3} = (−∞,−3) ∪ (3,+∞).

Para resolver estos conjuntos no hemos realizado un "despeje". Más bien interpretamos las expre-siones como distancias.

Ejemplo 1.1.27. De la misma manera el valor absoluto nos permite expresar la distancia entredos números reales. Podemos describir un conjunto de puntos que estén a una distancia dada de algúnpunto �jo, o que estén más cerca que cierta distancia, o que estén más lejos que cierta distancia.

Sea A = {x : dist(x, 1) ≤ 3} .A partir del punto 1 nos podríamos mover hasta 3 unidades a la derecha (llegando al punto

1 + 3 = 4, inclusive), o bien hasta 3 unidades a la izquierda (llegando al punto 1 − 3 = −2,inclusive). Es decir

Ahora, hagámoslo como inecuaciones, a partir de la de�nición de valor absoluto:

|x− 1| ≤ 3−3 ≤ x− 1 ≤ 3

1− 3 ≤ x ≤ 1 + 3−2 ≤ x ≤ 4

(notar que la primer desigualdad impone dos restricciones a x− 1)

Observemos que−2 y 4 pertenecen a A, ya que se pide que la distancia sea menor o igual. Ennotación de intervalo, el conjunto solución es [−2, 4].

Siempre que sea posible, convendrá trabajar las desigualdades que incluyan valores absolutos ra-zonando con distancias.

Ejemplo 1.1.28. Resolvamos la inecuación

| − 5x+ 2| > 1

Podemos usar un poco de álgebra y propiedades del valor absoluto para reescribir

| − 5x+ 2| = | − 5 (x− 2/5) | = | − 5||x− 2/5| = 5|x− 2/5|El problema original queda escrito como

5|x− 2/5| > 1

que es equivalente a|x− 2/5| > 1/5

La solución está dada por los puntos que distan del punto 2/5 en más de 1/5. Es decir, la uniónde intervalos (−∞, 1/5) ∪ (3/5,+∞).


Entornos.

Los intervalos abiertos de números centrados en un punto dado se conocen como entornos.

Definición 1.1.29. Al conjunto de puntos cuya distancia a un punto �jo a es menor a r unidadesse lo denomina entorno con centro a y radio r, y se lo anota como E(a, r).

E(a, r) = {x : dist(x, a) < r}

En notación de intervalos, E(a, r) es un intervalo abierto de la forma E(a, r) = (a − r, a + r). Enel ejemplo 1.1.26 hemos dibujado E(0, 3) = (−3, 3).

Más adelante esta notación será muy útil para indicar puntos cercanos a a : cuanto más pequeñosea el radio r, los puntos del intervalo estarán cada vez más cercanos al centro a.

Actividad 1.1.30. Gra�car E(−1, r) para los valores de r = 1, 1/2, 1/4, 10−3.

Es importante recordar que estar en un entorno con centro a y radio pequeño signi�ca mantenersecerca del punto a.

1.1.9. Ejercicios

Además de las actividades que encontraron intercaladas con las explicaciones y ejemplos, les pro-ponemos los siguientes ejercicios.

Ejercicio 1.1.1. Resuelvan las siguientes ecuaciones:

1. 5x− 3 = 4x+ 22. 3x2 + 7x− 8 = 03. x2−4

x−2 = 2x+ 1

4.√

5x = 15. x2 = 4

No se olviden de veri�car cada solución en la ecuación original.

Ejercicio 1.1.2. Comprueben que la ecuación x2−4x−2 = 4 no tiene solución.

Ejercicio 1.1.3. Encuentren valores de A y B tales que

A

x− 1+

B

x+ 2=

1

(x− 1)(x+ 2)

Ejercicio 1.1.4. Resuelvan las siguientes desigualdades, escribiendo el conjunto solución en nota-ción de intervalo. .

1. 2x− 5 ≥ 42. −1 ≤ x+ 7 < 63. 0 < 5− x < 14. (2x− 3)(x+ 4) ≥ 0 (sugerencia: analizar el signo de un producto)5. x2 − 9 < 0 (sugerencia: primero factorear, y luego analizar el signo del producto)

6.x+ 1

x− 2≤ 0

7. 1x < 4

Ejercicio 1.1.5. La relación entre las escalas de temperatura Celsius C (medida en grados Celsius)y Fahrenheit F (medida en grados Fahrenheit) está dada por C = 5

9(F − 32).¾Qué intervalo en la escala Celsius corresponde al rango de temperatura 50 < F < 95?¾Qué intervalo en la escala Fahrenheit corresponde al rango de temperatura 20 ≤ C ≤ 30?


Ejercicio 1.1.6.

1. Calcular |2− 5|; |2| − |5|; |2|+ | − 5|; |2|+ |5|. ¾Hay alguna relación entre estos resultados?2. Calcular |2 + 5|; |2|+ |5|. ¾Hay alguna relación entre estos resultados?

Del ejercicio anterior podemos concluir que no es cierto en general que |a + b| = |a| + |b|. Estaigualdad es cierta solamente cuando a y b tienen el mismo signo (o alguno es cero).

Ejercicio 1.1.7. Encuentren los valores de x que cumplen las siguientes ecuaciones o inecuaciones.

1. |2x| = 32. |3x+ 5| = 13. |2x| < 34. |3x− 5| ≥ 15. 0 < |x− 3| < 0.001. ¾Qué diferencia tiene este conjunto con |x− 3| < 0.001?

En el ítem 3, describan la solución como un entorno.

Ejercicio 1.1.8.

1. Consideren el intervalo (−2, 5). ¾Cuál es el mayor número que encuentran dentro del intervalo?¾Existe realmente un número en el intervalo que sea mayor que todos los demás?

2. Consideren el intervalo (−2, 5]. ¾Cuál es el mayor número que encuentran dentro del intervalo?¾Existe en este caso un número en el intervalo que sea mayor que todos los demás?

3. Consideren el intervalo (0, 5). ¾Cuántos números contiene? ¾Y el intervalo (0, 0.00000001)?

Ejercicio 1.1.9.

1. Consideren el intervalo (−2,+∞). ¾Cuál es el mayor número que encuentran dentro del inter-valo? ¾Existe un número en el intervalo que sea mayor que todos los demás?

2. Consideren el intervalo (−∞, 5]. ¾Cuál es el menor número que encuentran dentro del intervalo?¾Existe un número en el intervalo que sea menor que todos los demás?

3. Consideren el intervalo(−∞, 5]. ¾Cuál es el mayor número que encuentran dentro del intervalo?¾Existe un número en el intervalo que sea mayor que todos los demás?

Lo que hemos discutido parece su�ciente para refrescar las ideas de números reales que usaremosen nuestro curso.

Si encontraron di�cultades, pidan consejo a los docentes para trabajar con el material de Pre-Cálculo que encuentran en el sitio web de la cátedra.

Por otro lado, quien quiera hilar más �no, podría considerar el siguiente:

Desafío (para pensar más) 1.1.10.

1. Supongamos que |x1− 2| < 0.01 y que |x2− 3| < 0.04. Demuestren que dist(x1 +x2,5) < 0.05.2. Demuestren que si a < b, entonces a < a+b

2 < b. (Observ que a+b2 es el punto medio entre a y b.

Este ejercicio es un modo de demostrar que entre dos números reales siempre hay otro númeroreal).

3. Si la respuesta es correcta, demuestren la a�rmación. Si es falsa, den un contraejemplo.a) La suma de dos números racionales, ¾es siempre racional?b) La suma de dos números irracionales, ¾será siempre irracional?c) El producto de dos números irracionales, ¾será siempre irracional?

CLASE 1.2. FUNCIONES 12

Clase 1.2. Funciones

Contenidos de la Clase: Funciones numéricas: dominio, codominio, imagen. Grá�cas.Funciones elementales.

1.2.1. Funciones numéricas

Muchas situaciones de la vida real se pueden describir mediante una relación entre dos variables.Hay magnitudes que naturalmente se consideran variables independientes, por ejemplo el transcursodel tiempo. En cambio hay magnitudes que dependen del valor de otra variable (o de varias otras); porejemplo

la temperatura (depende del lugar, de la hora en la que se la mide);el área de un rectángulo (depende de las longitudes de su base y su altura);el perímetro de un cuadrado (depende de la longitud de un lado);etc.

Hay relaciones que no dejan lugar a dudas sobre el valor de la variable dependiente; por ejemplo laedad de cada persona, mientras que hay otras que no tienen esa propiedad, como por ejemplo la edaddel hermano de cada uno. Estamos interesados en aquellas relaciones que, dependiendo de un solovalor, nos dan una única respuesta. Esto es lo que llamamos una función.

Vamos a formalizar este concepto con una de�nición:

Definición 1.2.1. Dados dos conjuntos A y B, una función f : A → B es una relación queasigna a cada elemento x ∈ A un y sólo un elemento y ∈ B. Para todo x ∈ A, esta asignación seanota como y = f(x).

Esto signi�ca que en una función no puede existir elemento de A sin un correspondiente en B, yque no puede ocurrir que a un elemento de A le corresponda más de un elemento de B como resultado.

Por ejemplo,

a cada persona se le asigna su nombre: es una función, ya que todos tenemos un nombre(aunque coincida con el nombre de otro)a cada persona se le asigna el nombre de su hijo: no es función, ya que hay personas que notienen hijos, y otras que tienen más de unoel número de bacterias de un cultivo especí�co en función del tiempo: es funciónel perímetro de un cuadrado según la longitud de un lado: es función; es más, si llamamos l a lalongitud del lado, y p(l) al perímetro, podemos con geometría elemental escribir una fórmulap(l) = 4 l.

En este curso trabajaremos con funciones numéricas: el dominio será un conjunto de números realesy el codominio será siempre el conjunto de los números reales. En nuestra guía, como en los libros deAnálisis Matemático, encontraremos en general los números sin unidades. Como en el ejemplo de laIntroducción, en las aplicaciones estos números tienen unidades y representan valores de magnitudesde interés.

Dominio, codominio, regla de asignación, dominio natural.

Es importante que aclaremos algunos nombres.

Definición 1.2.2. Dada una función f : A→ B, el conjunto A se llama dominio y todo elementox ∈ A se llama variable independiente. El conjunto B se llama codominio de la función y loselementos y ∈ B se llaman variable dependiente.

Al dominio se lo suele anotar Dom fLa relación entre la variable independiente x y la variable dependiente y se puede dar de distintas

maneras, siempre que resulte claro y preciso qué valor de y corresponde a cada valor de x. En generalla podemos llamar regla de asignación y se simboliza por y = f(x) (se lee �f de x� y signi�ca �fevaluada en x� o �el valor de f en x�).


Las funciones se representan por letras. En la práctica las letras más usadas son f, g y h, así comolas letras más usadas para inidcar la variable independiente son x o t , pero cualquiera otra es tambiénbuena.

Las maneras más usuales de expresar una regla de asignación y = f(x) son:

Un grá�co, donde se puedan ubicar los valores de x y se puedan leer los correspondientes valoresde y:

Una tabla de valores, a dos columnas, donde se puedan ubicar los valores de x y se puedan leerlos correspondientes valores de y:

x y

-1 -10 -21 -12 2

Una fórmula matemática, donde se puedan introducir los valores de x y producir, mediante uncálculo algebraico, los correspondientes valores de y:

f(x) = x2 − 2

Un mecanismo (por ejemplo un programa de computadora), que tomando un valor de x pro-duzca un valor de y:

for x in [-1,0,1,2]:

print x*x-2

En un esquema de conjuntos, sencillo y general, podemos reconocer todos los ingredientes de unafunción:

Cuando podemos expresar una función de variable real con una fórmula, tenemos la informaciónmás completa y precisa: podemos elegir cualquier valor de x en el dominio, con tantos decimales comoqueramos, y calcular exactamente el valor y = f(x).

Cuando podemos expresar la función mediante un grá�co, tenemos la información fácil de inter-pretar y recordar.

Sin embargo, el grá�co siempre se restringe a un segmento del dominio y no brinda precisiónnumérica. Por otro lado, una tabla de valores contiene sólo algunos pocos pares de valores (x, y).


En nuestro curso, como en los textos de Análisis Matemático, nos enfocaremos en funciones numé-ricas dadas por fórmulas, y en sus grá�cos. El dominio y codominio suelen no estar escritos explícita-mente; recordemos la siguiente convención:

Definición 1.2.3. Dada una función f mediante su fórmula matemática y = f(x), llamamosdominio natural de f al mayor conjunto de números reales tales que la fórmula se pueda calcular.Si el codominio no está indicado, asumimos que es R.

Ejemplo 1.2.4. El dominio natural de f(x) = x2 − 2 es R, ya que no hay obstáculos paracalcular x2 − 2. Algunos de sus valores son: f(0) = −2, f(2) = 22 − 2 = 2, f(−2) = (−2)2 − 2 =2, f(t) = t2 − 2 (si t es un número real cualquiera), f(2x) = 4x2 − 2, etc.

El dominio natural de g(x) =√x es el intervalo [0,+∞) porque no se puede calcular la raíz

cuadrada de números negativos. Algunos de sus valores son: g(0) = 0, g(4) =√

4 = 2, g(t) =√t (si

t es un número real positivo o nulo), g(4x) = 2√x (si x es un número real positivo o nulo), etc.

Igualdad de funciones.

Diremos que dos funciones f y g son iguales cuando

1. tienen el mismo dominio,2. para cada x del dominio, la regla de asignación da el mismo resultado: f(x) = g(x)

Ejemplo 1.2.5. La función dada por f(x) = x2−4x+2 tiene dominio natural Dom f = (−∞,−2)∪

(−2,∞) porque no está de�nida en x = −2.Operando algebraicamente,

x2 − 4

x+ 2=

(x+ 2)(x− 2)

x+ 2= x− 2

siempre que x 6= 2.Por otro lado, la función dada por g(x) = x− 2 tiene dominio natural Dom g = R.Observen que aunque las fórmulas de f y g dan los mismos resultados casi en todos lados, las

funciones no son iguales porque sus dominios son diferentes.

Imagen (o rango).

La variable dependiente de una función no siempre alcanza todos los valores del codominio. Porejemplo, la función f(x) = x2 nunca toma valores negativos. Hay un nombre especial para el conjuntode valores alcanzados por la función:

Definición 1.2.6. Dada una función f : A → B, se llama imagen (o rango) de f al conjuntode elementos de B que están relacionados por f con algún elemento de A.

En palabras, la imagen de f es el conjunto de todos los valores de f(x) cuando x recorre todo eldominio A. Lo anotaremos Im f o f(A).

En notación de conjuntos, Im f = {f(x) : x ∈ A}. Por ejemplo, para f(x) = x2 tenemos queIm f = [0,+∞).

1.2.2. Grá�ca de una función

Vamos a precisar los elementos con que dibujamos la grá�ca de una función numérica. Necesitamosindicar el conjunto dominio, sobre un eje real, y el codominio sobre otro eje real. Para eso utilizamosel plano coordenado R2: ubicamos la variable independiente, es decir el dominio de la función, en eleje horizontal, y la variable dependiente en el eje vertical. El eje horizontal se llama eje de abscisas,o coloquialmente eje x, y el eje vertical eje de ordenadas, o eje y.

Para cada x1 ∈ Dom f , el correspondiente valor f(x1) se indica con un punto de abcisa x1 yordenada y1 = f(x1). Podemos visualizar el punto (x1, y1) junto con la �echa que va de x1 a f(x1):


Ahora indicamos de la misma manera varios valores de x y sus correspondientes imágenes y = f(x):

En general el Dom f es un intervalo, donde los valores de x forman un continuo; imaginemos querepetimos lo anterior con los in�nitos puntos intermedios. Vemos que los puntos de la grá�ca de fforman una curva en el plano. Eso es lo que indicamos cuando trazamos una grá�ca, simplementecomo

Definición 1.2.7. La grá�ca de una función es el conjunto de todos los puntos del plano concoordenadas (x, f(x)), con x ∈ Dom f .

En notación de conjuntos,

grá�co de f = {(x, y) : x ∈ Dom f e y = f(x)}o bien

grá�co de f = {(x, f(x)) : x ∈ Dom f}

Por ejemplo, (0, 3) pertenece a la grá�ca de f(x) = 2x + 3, ya que f(0) = 3. En cambio (1, 2) noperenece a la grá�ca de dicha función porque f(1) = 5 6= 2.


Actividad 1.2.8. Construir la grá�ca de f(x) = (x+ 1)2 − 4, con ayuda de la computadora.Veri�car en forma grá�ca y en forma analítica que (2, 5) y (0,−3) pertenecen a la grá�ca, pero que(−1, 1) no pertenece a la misma.¾Cuánto debería valer b para que (−1, b) pertenezca a la grá�ca?

Uso de GeoGebra 1.2.9. Para gra�car una función basta escribirla en la línea de entrada:

f(x)=(x+1)^2-4

El programa elige una "ventana" del grá�co, es decir un rango de valores de x y un rangode valores de y. Esta ventana se puede modi�car con el mouse. Intenten desplazar, la ventana,ampliarla o ver en detalle una parte del grá�co. Encontrarán herramientas adecuadas en la barrade herramientas.

Podemos hacer mucho más que gra�car:

Es muy interesante colocar puntos sobre la grá�ca de la función. Se hace con la herramienta"Nuevo Punto" en la barra de herramientas.GeoGebra entiende que el punto pertenece a la grá�ca, y ajusta su posición con precisión:verán en el panel de vista algebraica las coordenadas (x, y) del punto. Como ya saben, estosvalores de x e y se pueden leer como un renglón en la tabla de valores de lafunción.Se puede desplazar un punto sobre la grá�ca de una función usando el mouse. Para estousaremos la herramienta "Elige y Mueve". GeoGebra entiende que si cambiamos el valor dex, debe cambiar el valor de y según la fórmula de la función. En el panel de vista algebraica,podemos ver cambiar las coordenadas como si recorriéramos una gran tabla devalores.

Funciones y relaciones.

Nos podemos encontrar situaciones donde hay una relación entre una variable x y una variabley, pero dicha relación no constituye una función. El caso que nos interesa es el de ecuaciones en dosvariables .

Por ejemplo, la ecuación cartesiana de una circunferencia de radio 1 es x2 + y2 = 1. Esta ecuaciónestablece una relación entre valores de x y valores de y: los valores relacionados son el conjunto depares ordenados de puntos que dibujan la circunferencia,

S = {(x, y) : x2 + y2 = 1}

que se gra�can en el plano R2 como

Recordemos que en una función f(x), para cada x ∈ Dom f , existe un y sólo un valor f(x). Luego,en la grá�ca de la función f debe haber un y sólo un par ordenado cuya primera coordenada sea x. Enparticular, no puede haber dos puntos con el mismo x y distintas alturas. Entonces, el ejemplo de lacircunferencia no de�ne a y como función de x.


Esta discusión nos permite enunciar un criterio para decidir, a partir de la grá�ca, si una relaciónes o no una función: para tener una función, cualquier recta vertical que atraviese el dominio debecortar a la grá�ca a lo sumo una vez (de lo contrario, a un valor de x le corresponderían dos o másvalores de y). Además, el dominio observado de la función estará formado por los valores de x talesque una recta vertical que pasa por (x, 0) corte a la grá�ca.

Actividad 1.2.10. Decidir cuáles de las siguientes grá�cas corresponden a las de una funcióny cuáles no. Justi�car la respuesta.

Algunas funciones básicas

Necesitamos que recuerden bien algunas funciones que ya habrán visto en el colegio y también enel ingreso. Intentemos asociar cada tipo de fórmula con su grá�ca, será muy útil recordarlas en el restodel curso.

1.2.3. Función constante

Una función constante toma siempre el mismo valor. Su fórmula tiene la forma

f(x) = c

donde c es un número dado. El valor de f(x) en este caso no depende de x; es decir, para distintos xla función devuelve siempre el mismo resultado c.

Actividad 1.2.11. Proponemos gra�car algunas funciones constantes, con distintos valores dec = 1, 2.5, −3, etc.

¾Cuál es el dominio natural de una función constante?¾Cuál es la imagen de una función constante?

Se debe recordar que la grá�ca de y = c es una recta horizontal, de altura c.


1.2.4. Función lineal

Dados dos números reales m y b, con m 6= 0, una función lineal tiene la fórmula general

l(x) = mx+ b

Su grá�ca siempre es una recta. Por ejemplo, l(x) = 0.5x+ 2:

El dominio natural está formado por todo R.

Actividad 1.2.12. ¾Cuál es la imagen de una función lineal?

Los coe�cientes m y b caracterizan la grá�ca de la función lineal. Conociendo el valor de m y de bpodemos reconocer y gra�car la recta descripta por la función lineal l(x) = mx + b, sin necesidadde una tabla de valores. La siguiente actividad sirve para repasar el signi�cado de m y de b.

Actividad 1.2.13. Dada la función y = l(x) = 3x + 5, completar la tabla de valores de dospuntos

x y = l(x)

01

Gra�car los dos puntos, y la recta que pasa por ellos (notar que, siendo una recta, dos puntosson su�ciente).¾Dónde corta la recta al eje y (eje de ordenadas)? (deben proponer x = 0)¾Cuánto se desplaza el valor de y cuando x cambia de 0 a 1? (deben comparar l(1) con l(0))¾Cuánto vale la tangente del ángulo que la recta forma con el eje x? (deben dibujar untriángulo rectángulo usando los puntos de la tabla como dos de los vértices)

Este trabajo se puede repetir con cualquier función lineal y = l(x) = mx + b. Encontrarán que(0, b) y (1, b+m) son dos puntos de la recta que gra�ca a la función.

Que la recta pase por (0, b) indica que corta al eje de ordenadas con altura b. Por eso b se llamaordenada al origen.Que también pase por (1, b + m) indica que, cuando x se incrementa en una unidad, y seincrementa m. Por eso m se llama pendiente de la recta.

Si la pendiente m es positiva, la recta está inclinada hacia arriba; y cuanto mayor sea m, mayor essu inclinación. En cambio, si la pendiente m es negativa, la recta está inclinada hacia abajo; y cuantomayor sea el valor absoluto |m|, mayor es su inclinación.

Usando trigonometría, el triángulo rectángulo de vértices (0, b), (1, b) y (1, b+m) permite decirque la recta forma un ángulo con el eje horizontal cuya tangente es m. Si llamamos φ a eseángulo, recuerden que m = tanφ.


Si encontramos m = 0, queda l(x) = b. No es una función lineal, sino constante. Su grá�ca es una rectahorizontal, se dice que es una recta de pendiente cero.

Actividad 1.2.14. Gra�car las siguientes funciones, lineales o constantes:

l(x) = −x+ 1l(x) = xl(x) = −2l(x) =

√2x−

√2

Recomendamos hacerlo de tres maneras: primero interpretando los coe�cientes, luego con una tablade valores de dos puntos y por último veri�carlo con GeoGebra.

Ecuación de la recta.

Las grá�cas de funciones lineales y constantes, como vimos, son rectas. Conviene mencionar que, enGeometría, se describen las rectas usando ecuaciones en dos incógnitas x e y. Y no debemos confundirfunciones con ecuaciones.

La ecuación general de una recta tiene la forma

Ax+By + C = 0

Si B 6= 0,2 se puede despejar y. Se obtiene una ecuación explícita que siempre tiene la forma

y = mx+ b

(es decir, llamamos m y b a los números que aparezcan en los respectivos lugares).Esta forma explícita y = mx+ b se puede entender como una función, que a cada x le asigna un y.

Obviamente la grá�ca de la ecuación y = mx+b (en Geometría) y la grá�ca de la función l(x) = mx+b(en Análisis Matemático) son el mismo objeto: una recta en el plano. Vamos a aprovechar las técnicasde Geometría para reconocer las grá�cas de funciones lineales y constantes.

Para construir la ecuación de una recta (no vertical) a partir de información geométrica, bastaproponer la forma y = mx+b y encontrar los valores apropiados de m y b. Según los datos disponibles,conviene distinguir dos casos:

si se conoce que la recta pasa por un punto (x0, y0) y se conoce su pendiente m, se calcula b apartir de y0 = mx0 + b. Reemplazando b = y0 − x0 y sacando m de factor común , resulta

y = m(x− x0) + y0

Conviene recordar esta forma para reemplazar directamente (x0, y0) y m.

si se conocen dos puntos (x0, y0) y (x1, y1) que pertenezcan a la recta, con x0 6= x1, se calculanm y b a partir del sistema de ecuaciones{

y0 = mx0+ b

y1 = mx1+ b

Despejando m =(y1−y0x1−x0

)y b, y reemplazando, resulta

y − y0 =

(y1 − y0x1 − x0

)(x− x0)

Conviene recordar esta forma para reemplazar directamente los datos (x0, y0) y (x1, y1).

2Cuando B = 0, se puede despejar x = −C/A. En ese caso la recta es vertical.


Pendiente de la recta y razón de cambio. La característica distintiva de la función linealy = l(x) = mx + b es que el valor de y varía en forma proporcional al incremento de la variable x.Dados dos valores x1, x2 distintos, podemos escribir el desplazamiento en x como ∆x = x2 − x1 (verClase 1.1.3) y el desplazamiento en y como ∆y = l(x2)− l(x1). La razón entre estos desplazamientos,es decir el cociente, se puede calcular como

∆y

∆x=l(x2)− l(x1)x2 − x1

=mx2 + b−mx1 − b

x2 − x1= m

y resulta igual a la pendiente m, para cualesquiera valores de x1, x2 elegidos. Geométricamente, estosigni�ca que la grá�ca es una recta: la pendiente entre cualquier par de puntos es siempre la misma.

Actividad 1.2.15. Consideren la función y = 0.2x+ 0.5, y completen la siguiente tabla

x1 x2 ∆x y1 y2 ∆y ∆y/∆x

1 20 510 −102 6

Gra�quen los desplazamientos ∆x y ∆y entre cada par de puntos dados.

Para cualquier función, este cociente se llama razón de cambio promedio. Las funciones lineales queestamos considerando son las únicas funciones cuya razón de cambio promedio es constante.

Observación 1.2.16. Las rectas verticales son aquellas que tienen constante su primera coorde-nada; por lo tanto su ecuación es del tipo x = a. No son funciones.

Observación 1.2.17. Las rectas horizontales son de la forma y = c, donde c es un número real �jo;su ecuación es y = c. Su pendiente es 0 y la razón de cambio promedio también es 0. No son funcioneslineales, en realidad son funciones constantes.

1.2.5. Función cuadrática

Llamamos función cuadrática a cualquiera dada por la fórmula

f(x) = ax2 + bx+ c

con a, b y c números reales y a 6= 0. El dominio es R y la grá�ca es siempre una parábola de ejevertical3.

Comencemos analizando el caso particular y = ax2:

Actividad 1.2.18. Gra�car en un mismo plano, con ayuda de computadora:

f(x) = x2

f(x) = −x2f(x) = 1

2x2

3Verán en Algebra la de�nición geométrica de parábola, su ecuación canónica, sus elementos y simetrías.


f(x) = −3x2

Indicar en cada caso la imagen de la función.Señalar el vértice de las parábolas.Describir la in�uencia del valor del coe�ciente a en el grá�co. Llamaremos a a apertura de laparábola.

En Geometría, como han visto en el Curso de Ingreso, se trabaja la ecuación cuadrática de la formay = ax2+bx+c. Recordarán que esta forma siempre representa parábolas de eje vertical. Esta ecuaciónque da en forma explícita el valor de y se puede entender como una regla de asignación: podemos leerque y es función de x, y = f(x) = ax2 + bx + c. La grá�ca de la ecuación y = ax2 + bx + c es lomismo que la grá�ca de la función f(x) = ax2 + bx+ c, y por supuesto podemos aprovechar técnicasde Geometría para reconocer la grá�ca de una función cuadrática.

También repasaron en el Curso de Ingreso el caso general f(x) = ax2 + bx+ c, que se puede tratar"completando" cuadrados. Con un poco de manipulación algebraica podrán ver que

ax2 + bx+ c = a

(x+

b

2a

)2

+ (c− b2

4a)

Luego la función f(x) = ax2 + bx+ c siempre se puede re-escribir con la forma

f(x) = a (x− x0)2 + y0

que permite construir la grá�ca como una parábola de apertura a, desplazada en el plano, con el vérticeen el punto (x0, y0).

1.2.6. Algunas características de grá�cas de funciones

Al mirar la grá�ca de una función se pueden reconocer algunas características importantes. Vamosa describir algunas de ellas, que se estudiarán con más profundidad en este curso.

Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos.

Cuando analizamos la grá�ca de una función, resulta intuitivo recorrerla de izquierda a derecha.Es decir, como si la variable independiente x fuera creciendo. En ese recorrido, interesa mirar elcomportamiento del valor de la función y = f(x).

Decimos que una función y = f(x) es creciente en un intervalo si la variable dependiente yaumenta al recorrer el eje horizontal x de izquierda a derecha.Decimos que una función y = f(x) es decreciente en un intervalo si la variable dependiente ydisminuye al recorrer el eje horizontal x de izquierda a derecha.

Por ejemplo, miremos una grá�ca de la función seno4, y = sen(x), preparada con GeoGebra:

4Seguramente han visto esta función en el colegio y en el curso de nivelación. Repasaremos las funciones trigonomé-

tricas en la Clase 1.5.


Vemos que la función y = sen(x) es creciente entre 0 y π/2 ≈ 1.57, decreciente entre π/2 y 3π/2, ynuevamente creciente desde 3π/2 en adelante (recuerden que en una grá�ca vemos sólo una porción deldominio; afortunadamente hay herramientas más poderosas para analizar crecimiento y decrecimiento,que veremos en la Unidad 3).

Cuando una función alcanza en un punto x0 un valor más alto que en algún entorno de x0, decimosque presenta un máximo local. Cuando presenta en x0 un valor más bajo que enalgún entorno de x0,decimos que presenta un mínimo local. A los máximos y mínimos se los llama genéricamente extremos.

Por ejemplo, la función sen(x) presenta un máximo local en x = π/2, con valor y = 1; presenta unmínimo local en x = 3π/2, con valor y = −1.

Actividad 1.2.19. Dibujen un grá�co que corresponda a una función creciente, indicando do-minio e imagen.

Paridad y simetría.

A la hora de gra�car una función f de�nida por una fórmula y = f(x), resulta práctico buscarsimetrías. Es decir, si una parte de la grá�ca se relaciona en forma evidente con otra parte de la grá�ca.

Mencionamos dos casos importantes de simetría, basados en comparar el dibujo en el semiplanoderecho (x > 0) con el del semiplano izquierdo (x < 0). Si están relacionados, bastaría hacer concuidado la mitad de la grá�ca y luego copiar la otra parte. En la práctica, se trata de ver si el dominioes simétrico ante re�exión (al cambiar cada x por su opuesto −x) y de comparar el valor de la funciónen un punto x del dominio con el valor en el punto opuesto −x.

Vamos a precisar estas ideas:

se dice que un conjunto A de números reales es simétrico ante re�exión si para cada númerox ∈ A se veri�ca que su opuesto−x ∈ A.

Por ejemplo, el intervalo (−5, 5) es simétrico ante re�exión pero el intervalo (−5, 6) no lo es.

si el dominio de f(x) es simétrico ante re�exión y para cada x se veri�ca que f(−x) = f(x),se dice que la función es par. Grá�camente, la altura del grá�co en cada x y en su opuesto−xes la misma: la grá�ca es simétrica por re�exión en el eje vertical.

si el dominio de f(x) es simétrico ante re�exión y para cada x se veri�ca que f(−x) = −f(x),se dice que la función es impar. Grá�camente, la altura del grá�co en cada x y en su opuesto−x es la misma pero cambiada de signo. La grá�ca es simétrica bajo dos re�exiones sucesivas,una en el eje vertical y otra en el horizontal. La parte del semieje negativo se puede obtenerrotando 1800 la parte del semieje positivo.


Ejemplo 1.2.20.

Consideremos la función f(x) = x2. Su dominio es todo el eje real, que es es simétrico antere�exión. Para comparar f(x) con f(−x) tomamos un x genérico, calculamos

f(−x) = (−x)2 = x2

y concluimos que f(−x) = f(x). Luego, la función es par. Dibujen su grá�ca para observargeométricamente esta simetría.Veamos ahora la función f(x) = 2x. Su dominio es todo el eje real, que es es simétrico antere�exión. Para comparar f(x) con f(−x) calculamos

f(−x) = 2(−x) = −2x = −(2x)

y concluimos que f(−x) = −f(x). Luego, la función es impar. Dibujen su grá�ca paraobservar geométricamente esta simetría.Por último, analicemos f(x) = 2x+ 3. Su dominio es nuevamente todo el eje real. Si calcu-lamos

f(−x) = 2(−x) + 3 = −2x+ 3

encontramos que f(−x) no coincide con f(x) ni con f(−x). Esta función no es par ni impar.Ga�quen para comprobar que no se observan simetrías de re�exión.

1.2.7. Potencias naturales

Consideremos funciones de la forma f(x) = xn , donde n ∈ N es un exponente natural. Cualitati-vamente las grá�cas son de dos formas diferentes, dependiendo de la paridad del exponente n.

si n es impar, Imf = Rsi n es par, Imf = [0,+∞).

Por ejemplo, encontramos con Geogebra


1.2.8. Ejercicios

Ejercicio 1.2.1. Observar las siguientes relaciones de�nidas mediante un diagrama de �echasentre conjuntos �nitos (descriptos con diagramas de Venn). Decidir cuáles diagramas corresponden auna función y cuáles no. Justi�car la respuesta.

AB

f ?

AB

f ?

AB

f ?

AB

f ?

Ejercicio 1.2.2.

Dada la función f(x) = 3x− 1, indicar su dominio y calcular f(3), f(−1), f(3x), f(1 + t)

Repetir el inciso anterior para f(x) = 5− x2 , f(x) =3

xy para f(x) =

√x .

Ejercicio 1.2.3.

Analizar si el punto (−1, 0) pertenece a la grá�ca de alguna de las siguientes funciones:f(x) = x2 − 1, g(x) = (x + 1)3, h(x) = 2x. (ayuda: deben basarse en la de�nición 1.2.7).Gra�car para comprobar la respuesta.Dada una función f : A→ B, ¾qué condiciones se deben controlar para saber si un punto (a, b)dado pertenece a la grá�ca de la función?

Ejercicio 1.2.4. Construir una función lineal cuya grá�ca:

pase por (−2, 3) y por (7, 5)pase por (0, 3) y forme un ángulo de 30o con el eje xtenga pendiente m = −1/3 y pase por (1, 5)

Ejercicio 1.2.5. Gra�car las siguientes funciones, lineales o constantes:

l(x) = −3x+ 2l(x) = −xl(x) = 6l(x) = 5− 3x

Recomendamos hacerlo de tres maneras: primero interpretando los coe�cientes, luego con una tabla devalores de dos puntos y por último veri�carlo con GeoGebra.

Ejercicio 1.2.6. Gra�car las siguientes funciones cuadráticas, completando cuadrados para ubicarel vértice:

f(x) = 12x

2 − 3x+ 2

f(x) = −2x2 + x


f(x) = 2x2 − 3

Comprobar con GeoGebra.

Ejercicio 1.2.7. Gra�car y = xn para varios valores naturales del exponente, en el mismo plano(Pueden utilizar GeoGebra, por ejemplo).

Indicar dominio e imagen de cada caso.Encontrar los puntos comunes de las grá�cas.Indicar regiones de crecimiento y decrecimientoAnalizar simetrías

Desafío (para pensar más) 1.2.8. Consideren y = f(x) = x3.

Discutan una condición para que f(x) > 1000.¾Pueden hallar una condición para que f(x) > 106?Dado un número cualquiera M > 0, ¾pueden hallar una condición para que f(x) > M?

OTRAS FUNCIONES BÁSICAS 26

Clase 1.3. Operaciones con funciones

Contenidos de la Clase: Otras funciones básicas. Suma, resta, producto y cociente defunciones. Composición de funciones.

En esta clase vamos a discutir algunas funciones básicas más. Luego vamos a aprovechar lo aprendidosobre funciones básicas para reconocer funciones más elaboradas. El objetivo es reconocer la grá�cay las principales características de una función, dada por una fórmula, a partir de expresiones mássencillas que se encuentren en la fórmula completa.

En primer lugar trabajaremos con operaciones algebraicas entre funciones: suma, resta, productoy cociente. En segundo lugar, veremos la composición de funciones. Finalmente, trabajaremos concomposiciones que tienen interpretación grá�ca directa.

Otras funciones básicas

En primer lugar, comencemos con recordar otras funciones numéricas básicas, asociando su fórmulacon su grá�ca. Más adelante, las funciones que estudiemos serán construidas a partir de estas funcionesbásicas.

1.3.1. Función recíproca

Veamos la función dada por la fórmula f(x) =1

x. Una diferencia con las funciones que vimos

hasta ahora es que no está de�nida para todo real, ya que si x = 0, la operación de división no puederealizarse. Luego, Dom f = R−{0}. Una porción signi�cativa de su grá�ca, generada con GeoGebra,es

La curva geométrica correspondiente a esta grá�ca es una hipérbola5.

Actividad 1.3.1. Para analizar el comportamiento de esta función, les proponemos los siguientespasos:

Supongamos primero x > 0.

1. Comprobar que f(x) > 0.

5Verán en Algebra la de�nición geométrica de hipérbola, su ecuación canónica, sus elementos y simetrías.


2. Completar la tabla de valores:x f(x) = 1/x

0.10.21/31/21235

Volcar estos puntos sobre la grá�ca.

3. ¾Es cierto que a medida que x se acerca a 0, 1/x se hace más y más grande?4. ¾Qué ocurre con 1/x cuando x se hace muy grande?5. Como f(−x) = 1

−x = − 1x = −f(x), concluimos que f(x) es una función impar. Podemos ob-

tener la grá�ca correspondiente a los números negativos mediante dos re�exiones, o rotando1800, la obtenida para los números positivos.

6. ¾Es posible que f(x) = 0?7. ¾Se puede concluir que Imf = R− {0}?

1.3.2. Raíz cuadrada

Consideremos la ecuación en dos variables x = y2. Podemos gra�carla como una parábola en elplano (x, y) si interpretamos a y como variable independiente, y a x como función de y, digamosx = g(y) = y2.

Actividad 1.3.2. Gra�quen la función x = g(y) = y2 en el plano (x, y) usual. Es decir, usen aleje y (vertical) como lugar de la variable independiente, y al eje x como lugar de la función. Quizásles resulte cómodo girar la hoja 90o para esta tarea.

Nos preguntamos esta ecuación x = y2 de�ne a y como función de x. Lo podemos pensar de dosmaneras (equivalentes):

1. Dibujando rectas verticales x = a (con a > 0) vemos que la recta corta al grá�co en dos puntos.2. Algebraicamente, despejando el cuadrado como raíz cuadrada: y = ±

√x. Tenemos dos resul-

tados si x > 0, o un resultado si x = 0, o ningún resultado real si x < 0.

O sea, no tenemos una regla de asignación clara que a cada x le asigne un y sólo un y: la ecuaciónx = y2 no de�ne a y como función de x.

Actividad 1.3.3. Calculen las raíces cuadradas√

4,√

9,√

2. Ubiquen en la grá�ca de x =g(y) = y2 las distintas soluciones.


Sin embargo es muy útil trabajar con la raíz cuadrada como si fuera una función. Para eso necesi-tamos hacer restricciones.

En nuestro caso, mirando el grá�co, podemos restringir x ∈ [0,+∞) y y ∈ [0,+∞) de forma talque para cada x ≥ 0 permitimos un solo valor de y ≥ 0 tal que y2 = x (es decir, por convencióneliminamos el valor negativo de y). A este valor convenido lo podemos anotar

y = +√x

Con esta regla y resulta función de x. Se dice que hemos construido la función inversa de una rama dela parábola.

En la literatura cientí�ca se acepta y se usa una convención: la expresión√x hace referencia al

valor positivo6 de la raíz cuadrada y de�ne una función

√: [0,+∞) → [0,+∞)

que asigna

x→ y = +√x

Observen que para cada x en el dominio se puede calcular la raíz cuadrada, y que el codominio especi�caque el resultado debe ser positivo (o nulo).

En la práctica, digamos de nuevo, se puede evaluar la función√x solamente cuando x ≥ 0 y se

debe descartar la raíz negativa. Es importante notar que las calculadoras incorporan esta convención;por ejemplo, calculen con calculadora

√16, ¾cuántas respuestas obtienen?

Actividad 1.3.4. Gra�quen la función f(x) =√x, indicando dominio e imagen.

La misma convención nos permite de�nir otra función:

g(x) = −√x

Actividad 1.3.5. Gra�quen la función g(x) = −√x, indicando su dominio e imagen.

Si gra�camos en el mismo plano las funciones y =√x e y = −

√x, podemos comprobar que cada

una de las funciones se corresponde con una de las ramas de la parábola de eje x dada por x = y2.

Observación 1.3.6. En el resto del curso, cuando anotemos√x nos referimos, por convención,

a la rama positiva de la raíz cuadrada. Esto no es contradictorio con que la raíz cuadrada tenga dosresultados. Llamaremos

√x al resultado positivo y −

√x al otro resultado.

Observación 1.3.7. Analicemos qué ocurre si queremos calcular con esta convención√x2. Por

ejemplo,√

(−2)2 =√

4 = 2. Luego, en general no es cierto que√x2 = x (salvo que sepamos que x > 0),

ya que por convención esta raíz cuadrada siempre da valores positivos. Para expresar correctamenteeste resultado para cualquier x, es decir, que siempre obtenemos valores positivos, recurrimos al valorabsoluto. Corresponde usar:

√x2 = |x|

6En rigor, se debe decir "no negativo" porque se incluye x = 0.


1.3.3. Raíces de índice n

Recordemos las raíces n-ésimas. Dado un número n natural, se dice que

y = n√x si y sólo si yn = x

En palabras, la raíz n-ésima es la operación inversa a la potencia de exponente n.

El caso n = 2 es la raíz cuadrada que ya discutimos. Hemos tenido que restringir los valores de xy de y para poder tratarla como función. Lo mismo pasa con los valores pares de n.

Actividad 1.3.8. De�nir la función y = 4√x, con el dominio más amplio posible (sugerencia:

repetir la discusión de la raíz cuadrada).

Por otro lado, a partir del grá�co de x = y3 pueden discutir y observar que y = 3√x es una función

bien de�nida, sin restricciones: para cada x del eje real, 3√x tiene un y sólo un resultado real.

Habrán visto alguna vez que las raíces n-ésimas se pueden anotar como potencias de exponentefraccionario:

x1/n = n√x

Esta notación es muy conveniente para operar, porque los exponentes fraccionarios cumplen las mismaspropiedades que los exponentes naturales. Sin embargo, si se olvidaran de cuidar si n es par o impar,pueden cometer errores cuando x < 0. Les recomendamos usar la notación de exponente fraccionariosolamente para base positiva. Y ser muy cuidadosos con las cantidades negativas cuando trabajen lasraíces de índice par.

1.3.4. Funciones de�nidas a trozos

En muchas ocasiones, la forma de una función tiene distinto aspecto en diferentes regiones deldominio. En esos casos hay que usar una fórmula distinta en cada región.

Ejemplo 1.3.9. La presión hidrostática en un �uido en reposo depende de la profundidad,medida desde la super�cie. En el caso de un recipiente con líquidos no miscibles, como aceite yagua, se forman capas con cada �uido. La presión aumenta en forma proporcional a la profundidadmientras se desciende por un �uido, pero aumenta con distinto ritmo al penetrar el otro �uido.

Consideremos un recipiente con una capa de 10 cm de aceite, �otando sobre 20 cm de agua.

La profundidad se denota con h (medida en cm); usemos una regla tal que h vale 0 en lasuper�cie, 0 < h < 10 en la capa de aceite y 10 < h < 30 en la capa de agua. La presión p (medidaen pascales) que siente un sensor sumergido a una profundidad h se describe con una función conp(h).


La fórmula que asigna el valor de presión a cada profundidad es

mientras se mida en aceite, es decir 0 ≤ h ≤ 10, p(h) = 0.08h

pero

mientras se mida en agua, es decir 10 < h ≤ 30, p(h) = 0.8 + 0.15(h− 10)

Como las dos fórmulas son lineales, con distinta pendiente, la grá�ca de la presión en función dela profundidad se compone de dos tramos rectos. Sigue una recta mientras h está entre 0 y 10 cm,pero sigue otra recta cuando h está entre 10 cm y 30 cm:

Queremos destacar que estamos describiendo una sola función p(h), que se calcula con distintafórmula según el intervalo en que se considere h.

El dominio de esta función es el intervalo [0, 30] por el contexto: no tiene sentido considerarvalores de profundidad negativos, encima del líquido, ni más allá del fondo del recipiente.

En casos como el ejemplo anterior, se dice que la función está de�nida a trozos. La forma usualde anotar estas funciones es

p(h) =

{0.08h si 0 ≤ h ≤ 10

0.8 + 0.15(h− 10) si 10 < h ≤ 30

Queremos insistir en que la función tiene un solo resultado para cada h en el dominio. Dado unvalor de la variable, la forma correcta de evaluar estas funciones es:

1. primero determinar en qué región del dominio cae el valor de la variable, y elegir el renglónapropiado,

2. evaluar la fórmula de dicho renglón.

Por ejemplo,

dado h = 5 se debe usar el primer renglón y evaluar p(5) = (0.08)5 = 0.4dado h = 10 se debe usar el primer renglón y evaluar p(10) = (0.08)10 = 0.8dado h = 20 se debe usar el segundo renglón y evaluar p(20) = 0.8 + 0.15(20− 10) = 2.3

Ejemplo 1.3.10. Tratemos de entender la función la función dada por la expresión

f(x) =

{x− 1 si x ≤ 1

2− x2 si x > 1

Para calcular la función en un punto x, habrá que ver, en cada caso, si x ≤ 1 o si x > 1. Segúnel caso, se utilizará la fórmula del primer renglón o del segundo renglón.

Por ejemplo, si x = −1 corresponde usar el primer renglón: f(−1) = −1− 1 = −2.De la misma manera, f(0) = 0− 1 = −1 y f(1) = 1− 1 = 0.En cambio, si x = 2 corresponde usar el segundo renglón: f(2) = 2− 22 = −2.De la misma manera, f(1.1) = 2− (1.1)2 = 0.79, etc.

El dominio de la función f(x) es R, ya que las regiones indicadas (x ≤ 1 y x > 1) cubren todo eleje. Su grá�ca tiene un aspecto para x ≤ 1 pero tiene un aspecto distinto para x > 1: a la izquierdade x = 1 la fórmula es lineal y el grá�co sigue una recta, y a la derecha de x = 1 la fórmula escuadrática y el grá�co sigue una parábola.

OPERACIONES ENTRE FUNCIONES 31

Notemos que la fórmula del primer renglón llega hasta x = 1 inclusive, y la del segundo renglónno se usa en x = 1. Para indicar que el extremo del tramo recto pertenece a la grá�ca y que elextremo del trazo parabólico no pertenece a la grá�ca, aunque hay puntos de la misma tan cerca deél como se quiera, se suele indicar con un punto lleno (•) extremo que pertenece a la grá�ca, y conun punto vacío (#) al extremo que no pertenece a la misma.

Uso de GeoGebra 1.3.11. Podemos usar GeoGebra para gra�car funciones de�nidas a trozos.Para eso se usan condiciones. La forma de escribirlo es

Si[condición , acción si se cumple , acción si no se cumple ]

El ejemplo anterior se construye escribiendo en la entrada

f(x)=Si[x<=1, x-1, 2-x^2]

Noten que el programa no marca los extremos de cada tramo para indicar si pertenencen o noa la grá�ca.

Función valor absoluto

Un ejemplo importante de función de�nida a trozos es la función valor absoluto, que a cada x realle asigna su valor absoluto (es decir, su distancia al origen). Es tan importante en las aplicaciones quetiene nombre propio y notación propia. Está de�nida como

abs : R→ Rdada por

abs(x) =

{x si x ≥ 0

−x si x < 0

Es usual anotar a la operación valor absoluto como |x|. La notación abs(x) se usa en los programasde computación; en el papel, puede ayudar a reconocerla como función.

Actividad 1.3.12. Gra�car la función valor absoluto. Indicar su dominio natural y su imagen.

Operaciones entre funciones

1.3.5. Operaciones algebraicas entre funciones

A partir de funciones conocidas, digamos f y g, vamos a construir nuevas funciones, combinándolasde acuerdo a las operaciones algebraicas entre números reales: la suma, la resta, la multiplicación y elcociente.

Dadas dos funciones f(x) y g(x), tiene sentido sumar, restar o multiplicar sus resultados para losvalores de x donde ambas están de�nidas.


Definición 1.3.13. Dadas dos funciones f : A → R y g : B → R, de�nimos las siguientesoperaciones entre funciones:

suma: es la función (f + g) : A ∩B → R, dada por (f + g)(x) = f(x) + g(x)resta: es la función (f − g) : A ∩B → R, dada por (f − g)(x) = f(x)− g(x)multiplicación: es la función (fg): A ∩B → R, dada por (fg)(x) = f(x)g(x)

Observen que llamamos f + g a una función nueva con un dominio nuevo que es la intersecciónDom f ∩Dom g; la regla de asignación de f + g asigna a cada x la suma f(x) + g(x). Lo mismo pasacon la resta y la multiplicación.

Ejemplo 1.3.14. Si f(x) = x2 + 1 y g(x) = x2 − 4, de�nidas en R, obtenemos

(f + g) (x) = (x2 + 1) + (x2 − 4) = 2x2 − 3 Dom(f + g) = R, ya que R ∩ R = R.(fg)(x) = (x2 + 1)(x2 − 4) = x4 − 3x2 − 4 Dom(fg) = R

El cociente de dos funciones se puede hacer solamente cuando ambas están de�nidas y el denomi-nador es distinto de cero (en caso contrario, no se podría dividir).

Definición 1.3.15. Dadas dos funciones f : A → R y g : B → R, llamemos C = A ∩ B − {x :g(x) = 0}; de�nimos

cociente: es la función

(f

g

): C → R, dada por

(f

g

)(x) =

f(x)

g(x)

Noten que el dominio C es la intersección Dom f ∩Dom g menos los valores de x que hacen ceroel denominador.

Ejemplo 1.3.16. Si f(x) = x2 + 1 y g(x) = x2 − 4, de�nidas en R, obtenemos(f

g

)(x) =

x2 + 1

x2 − 4Dom

(f

g

)= {x ∈ R : x 6= ±2}, ya que R ∩ R = R pero

g(x) = x2 − 4 = 0 cuando x = 2 y cuando x = −2 .7(g

f

)(x) =

x2 − 4

x2 + 1Dom

(g

f

)= R, ya que R∪∩R = R y f(x) = x2 + 1 6= 0 para todo

x real.

Interpretación grá�ca de la suma de funciones.

Recordemos que la suma de dos números a+ b se interpreta en la recta numérica como el desplaza-miento de a en b unidades (o bien el desplazamiento de b en a unidades, porque la suma es conmutativa).Cuando sumamos dos funciones y = f(x) y y = g(x), estamos haciendo un desplazamiento en el eje yde la grá�ca de una función, en la cantidad indicada por la otra; este desplazamiento varía según laposición de x. En el grá�co, construido con GeoGebra, podemos ver que la grá�ca en trazo continuoes la suma de las dos funciones en trazo punteado:


Actividad 1.3.17. Proponemos gra�car la suma de las siguientes funciones, cuyas grá�cas yason conocidas:

f(x) = x2, g(x) = 2f(x) = x2, g(x) = −3f(x) = 2x+ 1, g(x) = 1

¾Pueden describir grá�camente el efecto de sumar una función constante? ¾Pueden describir el efectode sumar una función constante negativa?

1.3.6. Composición de funciones

Muchas situaciones pueden modelarse como una relación directa entre dos magnitudes, como porejemplo el número de bacterias presentes en un ensayo a lo largo del tiempo, y hemos expresado estarelación por medio de una función que relaciona ambas variables.

Otras veces, la relación entre dos magnitudes es indirecta.

Ejemplo 1.3.18. Se conoce que la población de ranas R, calculada en miles en una determinadaregión, depende de la población de insectos I en millones. La población de insectos I a su vez varíacon la cantidad de lluvia mensual c dada en centímetros. Si la población de ranas esR(I) = 65+

√I/8

y la población de insectos es I(c) = 43c+ 7.5,

Expresen la población de ranas como una función de la lluvia mensual.Estimen la población de ranas después de un mes en que la lluvia caída fue de 1.5 centímetros.

Este es un ejemplo de una operación importante entre funciones, llamada composición.Para entenderla, conviene pensar a las funciones como un mecanismo que toman un número de

entrada (la variable independiente) y producen un número de salida (la variable dependiente). Lacomposición es la aplicación sucesiva de este mecanismo: dadas dos funciones f y g, tomamos unnúmero x y aplicando f generamos un primer resultado; luego a este resultado le aplicamos g ygeneramos el resultado �nal y.

En un esquema,


La composición de f con g es una nueva función que expresa la relación resultante entre x e y.Para explicar la composición de f con g como un mecanismo que dado un valor x produce un

resultado y, necesitamos introducir una variable intermedia que hemos llamado u. Siempre que ana-licemos una composición será importante elegir una notación adecuada para no confundir el rol decada variable; en nuestro esquema, u funciona como variable dependiente de la función f ,

u = f(x)

y como variable independiente de la función g,

y = g(u).

Para anotar la relación compuesta entre x e y, como se hizo en el ejemplo, se usa la notación

y = g(f(x)),

donde se entiende que el resultado f(x) es la variable de entrada de la función g. Además, para queel cálculo g(f(x)) tenga sentido, debe veri�carse que x pertenezca al dominio de f , y que además elresultado f(x) pertenezca al dominio de g.

Todo lo anterior se formaliza en la siguiente de�nición:

Definición 1.3.19. Sean f : A → R y g : B → R dos funciones. Se llama composición de f con g,que se anota g ◦ f y se lee "f compuesta con g" , a la función

g ◦ f : D → Rcon dominio D = {x : x ∈ A y f(x) ∈ B}, y regla de asignación

(g ◦ f) (x) = g (f(x)) .

La función g ◦f se muestra en el esquema grá�co como la �echa que va directamente desde x hastay = g(f(x)):

Observación 1.3.20. Volvemos a insistir en que no es esencial la letra que se use para nombrarlas variables, sino su rol. Una función

f : A→ B

con regla de asignacióny = f(x)

se puede usar con una variable independiente que no se llame x.Por ejemplo, si f(x) = x2 + 1, podemos usarla para evaluar

f(2) = 22 + 1 = 5, si 2 está en el dominio A.f(u) = u2 + 1, si u está en el dominio A.f(5x) = (5x)2 + 1 = 25x2 + 1, si 5x está en el dominio A.f(g(x)) = (g(x))2 + 1, si g(x) está en el dominio A.

o coloquialmente

f(álgo´) = (álgo´)2 + 1, si álgo´ está en el dominio A.

En este contexto se suele llamar argumento de f a la expresión funcional que toma el rol de variableindependiente de f . Por ejemplo al calcular f(5x) se dice que el argumento de f es 5x. Informalmente,al calcular f(g(x)) tambié se suele decir que g es la "función de adentro" y que f es la "función deafuera".


Ilustremos la composición de funciones con algunos ejemplos.

Ejemplo 1.3.21. Sean f(x) = x2 + 1, g(x) = x + 2, h(x) =√x, w(x) = 1/x, cada una con

su dominio natural.

Calculemos h ◦ f y su dominio:(h ◦ f) (x) = h (f(x)) =√x2 + 1. Como Dom f = R,

Domh = [0,+∞) y x2 + 1 > 0 siempre, resulta Dom (h ◦ f) = R.Calculemos h ◦ g y su dominio:(h ◦ g) (x) = h (g(x)) =

√x+ 2. Como Dom g = R pero

x+ 2 ≥ 0 para x ≥ −2, resulta Dom (h ◦ g) = {x : x ≥ −2}.Calculemos g ◦h y su dominio:(g ◦ h) (x) = g (h(x)) =

√x+ 2. Como Domh = {x : x ≥ 0}

y g no tiene restricción alguna, resulta Dom (h ◦ f) = {x : x ≥ 0}.Calculemos w ◦h y su dominio:(w ◦ h) (x) = w (h(x)) = 1/

√x. Como Domh = {x : x ≥ 0}

y√x 6= 0 para x 6= 0, resulta Dom (h ◦ f) = {x : x > 0}.

Calculemos f ◦ h y su dominio:(f ◦ h) (x) = f (h(x)) = (√x)

2+ 1 = x+ 1. Como Domh =

{x : x ≥ 0} y f no tiene restricción alguna, resulta Dom (f ◦ h) = {x : x ≥ 0}.

Observación 1.3.22. Notemos en el último ejemplo algo importante. Si sólo miramos la expresión�nal, diríamos que el dominio natural de la función son los reales. Sin embargo, el dominio correcto dela función compuesta es Dom (f ◦ h) = [0,+∞), ya que la primer función que aplicamos fue la raízcuadrada, que no puede calcularse para números negativos.

También podemos ver, a partir del ejemplo anterior, que en general f ◦ g 6= g ◦ f , es decir lacomposición no es conmutativa.

1.3.7. Una aplicación de la composición: re�exiones respecto de los ejes

Dada una función conocida y = f(x), podemos reconocer las grá�cas de las funciones compuestasy = f(−x) e y = −f(x). La primera compone una re�exión de la variable x con la función originalf ,y la segunda compone f con una re�exión del resultado.

Para reconocer la función y = f(−x), notemos que a cada valor de x se le calcula el opuesto−x, luego se evalúa f en ese punto y se le asigna el resultado al x original. Grá�camente vemosque la grá�ca se copia, como por un espejo, re�ejada con respecto al eje y. Por esta razón, sela llama una re�exión con respecto al eje y.

Para reconocer la función y = −f(x), notemos que para cada valor de x se calcula f(x),luego calcula el opuesto del valor de f(x), y �nalmente se asigna este resultado al x original.Grá�camente vemos que la grá�ca se copia, como por un espejo, re�ejada con respecto al ejex. Por esta razón, se la llama una re�exión con respecto al eje x.


1.3.8. Ejercicios

Ejercicio 1.3.1. Indiquen si la función f(x) =√x:

es creciente o decrecientetiene máximos o mínimos localestoma valores arbitrariamente grandes

¾Para qué valores de x se veri�ca que√x ≥ 3?

Ejercicio 1.3.2. Muestren grá�camente que y = 3√x es una función bien de�nida, con dominio

R. Indiquen su imagen.

Ejercicio 1.3.3. Calculen f + g, fg, f/g, f ◦ g y g ◦ f para las funciones siguientes, indicando encada caso su dominio natural:

f(x) = x4 + 1/x; g(x) = x3 − xf(x) =

√x+ 1; g(x) =

√x− 3

Ejercicio 1.3.4.

Escriban como producto las funciones dadas por las expresiones� f(x) = 2x2 + 4x+ 2� g(x) = x2 + x2 − 2� h(x) = x2 − 9

(Sugerencia: factorizar las expresiones)

Escriban como un solo cociente las funciones dadas por las expresiones� i(x) = x−1

x+2 −3xx−1

� j(x) = 2x2−2xx2+x−2 −

1−2xx+2

Indiquen en cada caso el dominio de la función resultante. ¾Qué sucede con x = 1 en lafunción j(x)?Aprovechen el trabajo hecho para determinar los valores de x donde cada función:� es positiva� es negativa� corta al eje x� no está de�nida

Ejercicio 1.3.5. Dadas las siguientes funciones, les proponemos completar la siguiente tabla conla fórmula que describe la función pedida y el dominio correspondiente.


fórmula dominio

f x2

g 1/ (x+ 2)

h√x− 4

f ◦ gh ◦ f

h ◦ (f ◦ g)(h ◦ f) ◦ g

Ejercicio 1.3.6. La siguiente es una tabla a la que le falta información. Les proponemos que lacompleten, indicando además el dominio de la composición.

f g g ◦ f dominio de g ◦ fx− 1 1/(x− 1)

4√x 4

√x2 − 1

x− 1

x+ 2x+

1

x

Ejercicio 1.3.7. Observen las siguientes funciones, y propongan alguna forma de escribirlas comocomposición de funciones más sencillas:

y =√x3 + 3

y = 1/√x

y = |1− x2|y =

√|1− x2|

Ejercicio 1.3.8.

Dada la función f(x) = x2, les proponemos ubicar en un mismo sistema coordenado las grá�casde la función original y las correspondientes a g(x) = x2+2;h(x) = x2−4;v(x) = (x+2)2;w(x) =(x− 2)2 − 4. ¾Cuál es la diferencia entre f(x) + 2 y f(x+ 2) en este caso?La misma propuesta para f(x) = x y las funciones g(x) = x + 2; h(x) = x − 3. ¾Hay algunadiferencia entre f(x) + 2 y f(x + 2)? Intenten explicar con sus palabras por qué en este casolas grá�cas son iguales. ¾Habrá otra función con este comportamiento?

Observen que las grá�cas obtenidas tienen el mismo aspecto que la de f(x), sólo que se encuentrantrasladadas (hacia arriba o hacia abajo, hacia la derecha o la izquierda). Por esta razón a estas trans-formaciones se las llama traslaciones.

Dada la función f(x) = x2, les proponemos ubicar en un mismo sistema coordenado las grá�casde la función original y las correspondientes a g(x) = 2x2; h(x) = (1/3)x2; v(x) = 5x2.La misma propuesta para f(x) = x3 y las funciones g(x) = 2x3; h(x) = (1/2)x3.

Observen que las grá�cas obtenidas tienen el mismo aspecto que la de f(x), sólo que se han alargado(o comprimido). A estas transformaciones se las llama escaleos. En el sitio web encontrarán másinformación sobre este tema.

Ejercicio 1.3.9. Les proponemos gra�car la función f(x) = abs((x− 2)2 − 4

)interpretándola

como composición de la función w(x) del ejercicio 1.3.8 con la función valor absoluto.

CLASE 1.4. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN 38

Clase 1.4. Actividades de integración

Contenidos de la Clase: Reconocimiento y grá�ca de funciones. Funciones de�nidas atrozos. Función valor absoluto. Magnitudes y unidades.

Sobre las clases de integración

Una clase por semana estará orientada a aplicar los contenidos presentados en clases anteriores.Las actividades planteadas podrán contener ejercitación básica, problemas de aplicación, discusiónde situaciones, e incluso contenidos especí�cos importantes que se construyen a partir de contenidosanteriores.

Aprovechamos para insistir en que es conveniente interpretar grá�camente todos los ejercicios.La cuestión misma de qué gra�car en cada caso y qué características del grá�co observar hace ala comprensión del tema ejercitado. El programa GeoGebra es muy adecuado para nuestro curso yesperamos que tengan a mano una computadora mostrando grá�cos.

Ejercicio 1.4.1. Observar las grá�cas de las funciones f y g:

Armar una tabla de valores de f . Armar una tabla de valores de g.Indicar el dominio y la imagen de f y de g.¾Para qué valores de x resulta f(x) = g(x)?Estimar el/los valores de x tales que f(x) = 1.Determinar la región del dominio en que g es creciente.Estimar el valor de x tal que el valor de f(x) es máximo.

Ejercicio 1.4.2. Relacionar cada grá�ca con las funciones propuestas. Justi�car según las carac-terísticas observadas.

y = x² , y = x5 , y = x8

y = 3x, y = 13x, y = x³, y = x

13


Ejercicio 1.4.3. Una grá�ca permite leer información útil de la función a la que representa.Veámoslo en el este ejercicio.

El siguiente grá�co fue proporcionado por el servicio meteorológico de la ciudad de Salto y corres-ponde a la variación de la temperatura en dicha ciudad durante octubre de 2010:

A partir del grá�co, aunque no conocemos la expresión de la función, responder las siguientespreguntas:

¾la temperatura se mantuvo constante durante algún período de tiempo?¾cuál fue la mayor temperatura? (y la menor?)¾aproximadamente cuándo se produjo la mayor temperatura? (y la menor?)¾en algún momento hizo 20oC? ¾y temperaturas bajo cero?¾se sabe cuál fue la temperatura el 15 de septiembre?

Formular ( y responder) algunas otras preguntas que se puedan responder a partir del grá�co.

Ejercicio 1.4.4. A partir del dominio de funciones conocidas, hallar el dominio de las siguientesfunciones:

1. f(x) =x− 6

x+ 6; 2. g(x) = x+

x2√2x− 1

; 3. f(u) = 3√u2 − u; 4. f(x) = 4

√x2 − x

Ejercicio 1.4.5. Hallar una expresión para la función y = f(x) cuya grá�ca es:

la recta que pasa por los puntos (1,−3) con (5, 7).la mitad superior de la parábola x+ (y − 1)2 = 0. ¾Cuál es su dominio?la mitad inferior de la misma parábola.la mitad superior de la circunferencia x2 + y2 = 1. ¾Cuál es su dominio?


Ejercicio 1.4.6. Decidir si en los siguientes casos se puede expresar y en función de x, o bien xen función de y

1. 3x− 5y = 15; 2. x2 + 9y2 = 36; 3. 2y2 + 5x = 1; 4. x2y=x2 + 4y = 0

Ejercicio 1.4.7. Hallar para qué valor de k la grá�ca de f(x) = kx3 pasa por el punto indicado

1. (1, 4) 2. (=2, 1) 3. (0, 0) 4. (=1,=1)

Ejercicio 1.4.8. Sea f(x) =

1, x < −1

x− 1, −1 ≤ x < 0

x2, 0 ≤ x ≤ 2

2 + x, x > 2

.

Evaluar f(−1); f(0); f(2). Gra�car la función.A partir de la grá�ca, determinar para qué valores del dominio la función se mantiene constante¾Existe x tal que f(x) = 1? ¾Y f(x) = −1

2?

Ejercicio 1.4.9. Dar la expresión de las siguientes funciones de�nidas a trozos:

Ejercicio 1.4.10. Dada f(x) =

{2x− 1 x ≤ 2

x2 + a x ≥ 2, averiguar el valor de a para que f(x) sea una

función.(presten atención a x = 2)

Ejercicio 1.4.11. Gra�car sin usar computadora

f(x) =

3, x ≤ −1

|x|, −1 < x < 2

4− x, x ≥ 2

(deben reconocer la grá�ca de cada tramo).Evaluar f(−1); f(2).

Ejercicio 1.4.12. Determinar si las siguientes funciones son pares o impares:

f(x) = 2x3 − x; f(x) = 5 + x4; f(x) = 2x− x4Comprobar las respuestas gra�cando las mismas en computadora.

Ejercicio 1.4.13. Completar la grá�ca de cada función


sabiendo que

f(x) es parf(x) es impar

Ejercicio 1.4.14. Dar la grá�ca de una función f(x) que veri�que las siguientes condiciones:

Dom f = [−5, 5]f(x) es parf(−2) = 3; f(0) = 5; f(5) = 5.

Ejercicio 1.4.15. Dadas las siguientes tablas de valores, realizar varias grá�cas de posibles fun-ciones que respeten dicha tabla

x f(x)

−1 00 21 4

x g(x)

−1 10 01 1

Notemos que una tabla de valores solamente no es su�ciente para decidir cuál es su grá�ca.

Ejercicio 1.4.16. Dar alguna expresión funcional (es decir, fórmula y = f(x)) que pueda corres-ponder a las tablas de valores del ejercicio anterior.

Ejercicio 1.4.17. ¾Para qué valores de A, B y C la ecuación implícita de la recta Ax+By+C = 0se corresponde con la grá�ca de una función lineal?

Ejercicio 1.4.18. Los biólogos han notado que la cantidad de chirridos que emiten los grillos decierta especie está relacionada con la temperatura, y que la correspondencia parece ser casi lineal. Ungrillo produce 113 chirridos por minuto a 70ºF y 173 chirridos por minuto a 80◦F.

Encontrar una expresión lineal que modele la temperatura como una función del número N dechirridos por minuto.¾Cuál es la pendiente de la grá�ca? ¾Qué representa?Si los grillos están chirriando a 150 chirridos por minuto, estimar la temperatura.

Ejercicio 1.4.19. Gra�car las siguientes funciones:

f : R→ R dada por f(x) = −x2f : N→ R dada por f(x) = −x2f : [−1, 3]→ R dada por f(x) = −x2.¾Las funciones son iguales?

Ejercicio 1.4.20. Considerar las funciones de la forma y = xr, donde r puede ser natural ofraccionario., restringidas al dominio [0,+∞).

Completar la tabla de valores para los mismos valores de la variable independiente y diferentesfunciones potencias (enteras o fraccionarias).

x x4 x³ x² x√x 3√x 4√x

0.10.250.50.75

23510


Luego gra�carlas en un mismo sistema de coordenadas. Veri�car que todas pasan por (0, 0) y por(1, 1).

Comparar el crecimiento de las funciones en los intervalos (0, 1) y (1,+∞).

Ejercicio 1.4.21. Encontrar la expresión funcional que corresponde a cada situación y el dominioadecuado.

dado un rectángulo tiene un perímetro de 20m, expresar su área en función de la longitud deuno de sus ladosexpresar la longitud de un lado de un cuadrado en función de su diagonal d.el área de un cuadrado en función de su diagonal dSi un punto P = (x, y) del primer cuadrante pertenece a la grá�ca de la función f(x) =

√x,

expresar las coordenadas del punto en función de la pendiente de la recta que une P con elorigen de coordenadas.

Ejercicio 1.4.22. Una planta tiene capacidad para producir de 0 a 100 heladeras diarias. Losgastos generales �jos de la planta son $2200 diarios y el costo directo (material y mano de obra) paraproducir una heladera es de $151. Si T (x) representa el costo total de producir x heladeras en un díay u(x) representa el costo unitario diario por heladera, encontrar las expresiones funcionales de T (x)y u(x) y gra�carlas. ¾Hay diferencia entre ambos dominios?

Ejercicio 1.4.23. Determinen si las siguientes a�rmaciones son verdaderas o falsas:Dada una función f : R→ R,

Si f(x) es una función impar, entonces f(0) = 0.Si f(x) es una función par, entonces f(0) = 0.

Justi�quen las respuestas: si una a�rmación es verdadera deben explicar por qué, y si es falsa debendar un ejemplo donde falle (es decir, un contraejemplo).

Desafío (para pensar más) 1.4.24. Mostrar que para cualquier función f(x),la función h(x) =f(x) + f(−x) es una función par. ¾Cómo se podría construir una función impar a partir de la funciónf(x)?

Modelos, magnitudes y unidades

Las funciones utilizadas para modelar situaciones realistas relacionan magnitudes. Las magnitudesexpresan cantidades medibles, como la masa, la presión, la temperatura, el tiempo, la corriente eléctrica,etc. Para cada magnitud se han de�nido unidades apropiadas, incluso distintas unidades para unamisma magnitud. Por ejemplo, la masa de una sustancia se puede expresar en gramos, kilogramos,libras, onzas, etc. El Sistema Internacional de Unidades (abreviado SI) es el nombre que recibe elsistema de unidades que se usa en casi todos los países. Los alumnos de ciencias necesitan estarfamiliarizados con el uso y los cambios de unidades en cada tema que incorporen.

En expresiones matemáticas, las unidades se manejan como letras en una expresión algebraica: sesacan de factor común, se multiplican y dividen, se simpli�can, etc.

Ejemplo 1.4.1. La distancia (d) recorrida por un objeto en movimiento se puede medir enmetros (m), y el tiempo (t) en segundos (s). Digamos que el objeto recorrió d = 5m en t = 20 s.

La velocidad media se calcula como el cociente vmedia = d/t. Entonces,

vmedia =5m

20 s= 0.25

m

s

La fórmula para calcular velocidad media determina sus unidades: m/s. Se dice que la velocidadtiene unidades derivadas de las unidades de longitud y de tiempo.


En muchos casos las unidades derivadas de otras más básicas tienen nombre propio. Por ejemplo,las unidades de fuerza (F ) se obtienen de una relación con la forma F = Ma. Si se mide la masa Men kilogramos (kg) y la aceleración a en metros sobre segundo al cuadrado (m/s2), la fuerza se mideen kgm/s2 y se de�ne la unidad Newton (N) como

1N =kgm

s2

Más aún, hay unidades derivadas del Newton. Por ejemplo, la presión se calcula con relaciones de laforma fuerza sobre área y sus unidades pueden ser N/m2. El SI de�ne la unidad Pascal (Pa) como

1Pa =N

m²

El manejo de unidades es muy importante. Un dato de longitud puede estar dado en cm o en m, ylas ecuaciones que aprendamos no van a ser distintas en cada caso. Simplemente usaremos el dato, consus unidades, y veremos qué sale. O usaremos equivalencias como reemplazar 1m = 100 cm, y veremosqué sale.

Los cursos de Análisis Matemático suelen evitar el tecnicismo del manejo de unidades, y presentansus ejemplos con variables adimensionales. Un recurso típico es enunciar, por ejemplo,

La presión en un �uido depende de la profundidad según la relación

p(h) = 14h+ 2

donde la profundidad h se mide en centímetros y la presión p se obtiene en Pascales.

Se dice que la relación se ha adimensionalizado. Resulta más sencilla, pero hay que recordar que nosobliga a poner el dato h en centímetros antes de hacer la cuenta. Esta fórmula corresponde ciertamentea una relación con unidades, que en forma completa se escribe

p(h) = 14Pa

cmh+ 2Pa

Vemos que si se reemplaza h en centímetros la presión se obtiene en Pa. En la forma completa unopuede poner una profundidad en metros, o milímetros, y manipular equivalencias de unidades paracompatibilizar sus datos con la fórmula.

Puede pasar que por usar mucho las funciones adimensionalizadas tengamos luego alguna di�cultadpara aplicar las herramientas aprendidas en otros contextos. Intentaremos mantener presente estacuestión cada vez que discutamos modelos de aplicación.

Notaciones informales.

En los modelos aplicados conviene usar letras que permitan leer fácilmente las distintas magnitudes.Más arriba hemos usado x para la coordenada de la posición de un objeto sobre un eje (como haríamosen geometría), p para la presión y t para el tiempo. También usamos h para la profundidad, o para

alturas; esta costumbre proviene de height en inglés o de Ho�he en alemán (en español altura no seescribe con h!)

Una vez que las letras se asocian a las magnitudes, no conviene introducir nuevas letras para indicarlas funciones: cuando p depende de h no escribimos p = f(h) sino que directamente escribimos "lafunción p(h)".

Siguiendo esta costumbre, cuando y es función de x podemos escribir "la función y(x)" o inclusohablar de "la función y".

Estas notaciones informales agilizan la aplicación de los conceptos de Análisis Matemático comoherramientas. Aunque a veces, cuando uno se empieza a complicar, verán que hay que tomarse unmomento para escribir todo completo y pensar con calma.

Ejercicio 1.4.25. El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado describe la posición x de unobjeto en un eje recto en función del tiempo mediante la función x(t) = x0 + v0t+ 1

2at2, donde x0, v0

y a son constantes.


En un caso en que x0 = 100 cm, v0 = 5 km/h y a = 2m/s2, elaboren una fórmula adimensionalizadaque dé el valor numérico de la posición en metros cuando se introduce el valor numérico del tiempomedido en segundos.

CLASE 1.5. FUNCIONES ESPECIALES (PRIMERA PARTE): FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 45

Clase 1.5. Funciones especiales (primera parte): funciones trigonométricas

Contenidos de la Clase: Medida de ángulos en radianes. Circunferencia trigonométrica.Funciones seno, coseno y tangente.

En las siguientes clases trabajaremos con algunas funciones especiales, cuya regla de asignaciónno consiste en cálculos algebraicos. Hemos elegido las que aparecen con mayor frecuencia en modelosmatemáticos de Ciencias y que usarán pronto en las materias del CIBEX. Como testimonio de suimportancia las van a encontrar en el teclado de sus calculadoras con un tamaño de tecla apenasmenor que el "+" o el "x".

Las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.) aparecen naturalmente en varias situa-ciones prácticas, principalmente en modelos que involucren ángulos y en la descripción de fenómenososcilatorios (péndulos, resortes, ondas).

La primera particularidad es que tienen una regla de asignación geométrica: dada una variablex, en vez de hacer una cuenta se hace un determinado dibujo se mide la longitud de determinadostrazos del dibujo, se hace determinada cuenta con esas longitudes y �nalmente se obtiene el resultadoy = f(x). Como ya sabemos, para de�nir bien a una función basta que a cada x le corresponda un ysólo un resultado y.

En la práctica, obviamente uno no hace este trabajo geométrico. Años atrás se usaban libros detablas para buscar los valores de las funciones trigonométricas con 6 decimales de precisión. Hoy en díacon�amos en las calculadoras o computadoras, que tienen programado algún mecanismo para darnosel resultado con cierta cantidad de decimales.

Sin embargo, necesitamos conocer la construcción geométrica para interpretar las propiedades yaplicaciones de las funciones trigonométricas.

1.5.1. Medida de ángulos en radianes

En esta sección usaremos letras griegas (α, β, · · · ) para anotar ángulos. Como han visto en el Cursode Ingreso, un ángulo α se puede medir de la siguiente manera:

se lo dibujase traza una circunferencia de radio R con centro en el vértice del ángulose mide la longitud S del arco de circunferencia encerrado por el ángulose calcula el cociente de longitudes S/R

Definición 1.5.1. Se llama medida de un ángulo α en radianes al cociente S/R en la construcciónde la �gura. Se anota

α =S

R

Propiedad 1.5.2.

La medida de un ángulo en radianes no depende del radio elegido, por razones de semejanza.


La medida de un ángulo en radianes no tiene unidades (se dice que es adimensional). Porejemplo, si medimos S y R en centímetros, al hacer el cociente se simpli�can los cm y noquedan unidades.Los ángulos en el plano se pueden orientar, eligiendo un lado como inicial y el otro como�nal. Se dice que un ángulo es positivo si el arco entre el lado inicial y el lado �nal se recorreen sentido anti-horario , y es negativo si el arco se recorre en sentido horario �.

Ejemplo 1.5.3. Para empezar, podemos calcular la medida en radianes de un ángulo recto.Como la longitud de la circunferencia completa de radio R vale 2πR, y un ángulo recto encierra

exactamente un cuarto de cicunferencia, el ángulo recto en radianes mide

α =2πR/4

R=π

2Recordemos que π es un número, que vale aproximadamente π ≈ 3.1416. Por lo tanto α ≈ 1.5708.Preferimos dejar el resultado expresado como α = π/2 por dos razones:

el resultado expresado como π/2 es exacto. Lo podremos aproximar con tantos decimalescomo querramos al �nal del cálculo que estemos haciendo. Incluso podemos tener la suertede que se simpli�que con otro factor π antes de terminar el cálculo.con un poco de práctica, es más fácil visualizar un ángulo que mide π/2 que un ángulo quemide 1.5708.

Relación entre medidas en radianes y en grados.

Las medidas de ángulos en distintos sistemas se relacionan por regla de tres simple. Como referencia,podemos recordar que un ángulo llano de 180o mide π radianes.

Si anotamos αG a la medida de un ángulo en grados y αR a la medida del mismo ángulo en radianes,la regla de tres nos dice que

αG −→ 180o

αR −→ π

Encontramos que

αR =π

180oαG

1.5.2. Seno y coseno de un ángulo en radianes

Vamos a trabajar con funciones numéricas. La variable independiente será un número real α (quese entiende como la medida de un ángulo en radianes). Dado un número α, el procedimiento geométricopara asignarle el valor del seno y el coseno es el siguiente:

se traza una circunferencia de radio R (arbitrario) con centro en el origen del plano cartesianoa partir del punto (R, 0) se recorre un arco de circunferencia de longitud |α|R, en sentidoanti-horario si α > 0 u horario � siα < 0queda determinado un punto de coordenadas (xα, yα) sobre la circunferencia; el ángulo convértice en el origen, el lado inicial sobre el semieje x positivo y el lado �nal que corta lacircunferencia en el punto (xα, yα) tiene medida α en radianes


Definición 1.5.4. Con las coordenadas del punto (xα, yα) se de�nen

Función seno: sen : R→ R dada por

sen (α) = yα/R

Función coseno: cos : R→ R dada por

cos (α) = xα/R

Observación 1.5.5.

Si usamos R = 1, en cierta escala, esta construcción se llama circunferencia trigonométrica.La ventaja es que la división por 1 es trivial: podemos visualizar sen(α) directamente como lacoordenada yα y cos(α) directamente como xα.Las coordenadas xα e yα tienen signo + o −. En consecuencia cos(α) y sen(α) tienen signo +o − según el cuadrante en que se ubique el lado �nal del ángulo α.Notación: las funciones seno y coseno tienen nombre propio. En vez de inventar una letra parallamarlas f(x), g(x), etc., se usa sen(α) y cos(α). Más aún, tanto se las reconoce como funcionesque es usual no usar los paréntesis y escribir directamente senα o cos α.8

Actividad 1.5.6. Intenten hacer con GeoGebra la construcción descripta, eligiendo R = 1. Silo hacen bien, el punto P = (xα, yα) se podrá mover con el mouse; el seno y coseno estarán a lavista y sus valores se leerán en el panel algebraico.

A continuación tienen instrucciones. También pueden encontrar un archivo modelo en el sitioweb.

Uso de GeoGebra 1.5.7. Pueden crear la circunferencia con la entradax^2+y^2=1

El punto P sobre la circunferencia y el origen se pueden crear con el mouse.La semirrecta desde el origen, que pasa por el punto, se puede crear con la herramienta "Semi-

rrecta que pasa por dos puntos".Las rectas que pasan por el punto P y son perpendiculares a los ejes se pueden crear con la

herramienta "Recta Perpendicular".Los puntos xα e yα sobre los ejes se pueden crear con la herramienta "Intersección entre Dos

Objetos".Con este esquema, los objetos creados están asociados al punto P . Al mover el punto, lo acom-

pañan todos los objetos asociados.

8Quizás les resulte conveniente agregar los paréntesis para acostumbrarse a manejar sen(α) y cos(α) en pie de

igualdad con cualquier otra función.


Para limpiar y destacar el grá�co, se pueden editar las propiedades de cada objeto: renombrar,mostrar/ocultar, color, estilo de trazo, etc.

Podría verse similar a la �gura

En general no hay manera de calcular algebraicamente el resultado de las funciones seno y cosenode un número dado. Por eso es muy importante recordar sus grá�cos:

En adelante, cada vez que tengan que evaluar un seno o un coseno les recomendamos que hagan almargen un esquema de estos grá�cos (½antes de recurrir a la calculadora!) .

Actividad 1.5.8. Proponemos que relacionen los grá�cos de las funciones seno y coseno con sude�nición geométrica.

Por ejemplo:

elegir un valor de α en el eje horizontal, dibujar el ángulo en la circunferencia trigonométrica,leer el valor de xα e yα y con�rmar los valores de seno y coseno en los grá�cos de funciones.Es conveniente probar con valores de α positivos y negativos en distintos cuadrantes.


elegir un valor de α y observar en la circunferencia trigonométrica si la función seno escreciente, decreciente o presenta un mínimo o un máximo. Lo mismo con el coseno. Veri�carsobre el grá�co de las funciones.observar qué sucede (en la circunferencia y en el grá�co) cuando un dado valor de α seincrementa en 2π, 4π, 6π, etc (un número entero de vueltas). Deben reconocer que lasfunciones seno y coseno son periódicas con período 2π.observar qué sucede cuando un dado valor de α se incrementa en π (media vuelta).observar qué sucede cuando un dado valor de α se cambia por −α.identi�car (en la circunferencia y en el grá�co) la imagen de las funciones seno y coseno.identi�car (en la circunferencia y en el grá�co) los ceros de las funciones seno y coseno, esdecir los valores de α donde las funciones seno y coseno dan 0.

En casos especiales, llamados ángulos notables, se pueden usar relaciones geométricas de trián-gulos para calcular exactamente las longitudes involucradas y completar el cálculo de las funcionestrigonométricas. Lo dejamos como ejercicio.

1.5.3. Otras funciones trigonométricas

A partir del seno y el coseno se de�nen las demás funciones trigonométricas como cocientes. Ob-viamente, no están bien de�nidas cuando el divisor vale 0.

Definición 1.5.9. Dado un número α real, se de�nen las funciones:

tangente, dada por

tan(α) =sen(α)

cos(α)( si cos(α) 6= 0 )

cotangente, dada por

cot(α) =cos(α)

sen(α)( si sen(α) 6= 0 )

secante, dada por

sec(α) =1

cos(α)( si cos(α) 6= 0 )

cosecante, dada por

cosec(α) =1

sen(α)( si sen(α) 6= 0 )

Recomendamos siempre trabajar estas funciones reemplazándolas por su expresión en términos desenos y cosenos. Cuando ganen con�anza, pueden recordar reglas prácticas para trabajar directamentecon ellas. Y siempre que no estén seguros, vuelvan a ecribirlas en términos de senos y cosenos.

Uso de GeoGebra 1.5.10. Las funciones trigonométricas están prede�nidas en GeoGebra. Losnombres que reconoce el programa son

sin(x), cos(x), tan(x),

cot(x), sec(x), cosec(x)

1.5.4. Identidades trigonométricas

Las funciones trigonométricas tienen numerosas relaciones entre sí, conocidas como identidadestrigonométricas. Siempre puede alguien sorprendernos con un truco como, por ejemplo, cambiar lacomplicada expresión (1− (tan(α/2))2)/(1 + (tan(α/2))2) por la expresión más simple cos(α) y asegu-rarnos que eso es válido para todo valor de α.


Actividad 1.5.11. Pueden gra�car con computadora la función f(α) = (1− (tan(α/2))2)/(1 +

(tan(α/2))2) para veri�car que da los mismos valores que cos(α). Sin embargo α = π no pertenecea Dom f y sí pertenece a Dom cos.

Obviamente, el uso de propiedades adecuadas puede simpli�car nuestro trabajo. Sin embargo, nopodríamos recordar todas.

Recomendamos recordar bien unas pocas relaciones básicas. Como sucede en general enciencias, es mejor saber bien lo esencial que saber super�cialmente un poco de todo. Con estas relacionesbásicas y un poco de práctica podrán ustedes mismos generar muchas más relaciones útiles:

Propiedad 1.5.12.

para cualquier número α,

(sen(α))2 + (cos(α))2 = 1.

Esta identidad se conoce como "relación pitagórica"; se demuestra aplicando el teorema dePitágoras al triángulo rectángulo que se dibuja en la circunferencia trigonométrica.para cualesquiera dos números α y β,

sen (α+ β) = sen (α) cos (β) + cos (α) sen (β, )

cos (α+ β) = cos (α) cos (β)− sen (α) sen (β) .

Estas identidades se demuestran a partir de la suma de ángulos dibujados en la circunferenciatrigonométrica. Noten que valen para β negativo, es decir que también permiten calcular senoy coseno de una resta.la función seno es impar: para cualquier número α,

sen(−α) = − sen(α)

la función coseno es par: para cualquier número α,

cos(−α) = cos(α)

Observación 1.5.13. Notación: van a encontrar una notación especial para las potencias de fun-ciones trigonométricas, anotando el exponente junto a los símbolos sen o cos. Por ejemplo,

sen2 x ≡ (sen(x))2

(el símbolo ≡ se usa como el = pero se lee "es equivalente a").

Observación 1.5.14. Antes de terminar esta sección, recordemos que no es esencial el nombre deuna variable sino el rol que desempeña. Las funciones trigonométricas van a aparecer junto con otrasfunciones, escritas por ejemplo como y = f(x) = senx. Sin importar qué letra se use, el argumento delas funciones trigonométricas debe ser interpretado como la medida de un ángulo en radianes.

No se debe confundir el uso de x e y como variables con el uso de x e y como coordenadas en lacircunferencia trigonométrica.

1.5.5. Ejercicios

Ejercicio 1.5.1. Dibujen arcos que midan una fracción sencilla de una circunferencia. Por ejemplo:media vuelta, una cuarto de vuelta, un tercio de un cuarto de vuelta, etc.

Usando que la longitud de la circunferencia completa de radio R vale 2πR, calculen la medida enradianes de los ángulos dibujados.

¾Encuentran alguna relación entre la medida de cada ángulo y la fracción de vuelta con que loconstruyeron?


Ejercicio 1.5.2. Dibujen ángulos de 0o, 90o, 180o, 270o. Indiquen la medida en radianes.

Ejercicio 1.5.3. Calculen en radianes la medida de los ángulos notables de 30o, 45o y 60o.Sugerimos que los gra�quen en la circunferencia y que visualicen las medidas en radianes como

fracciones del ángulo llano.Pueden completar el análisis con los ángulos de 120o, 135o y 150o.

Ejercicio 1.5.4. Intenten calcular exactamente el seno y el coseno de los ángulos de 0o,30o, 45o,60o

y 90o. Conviene recordar los resultados con alguna regla ayuda-memoria.

Ejercicio 1.5.5. Indiquen el signo del seno y el coseno de los ángulos según el cuadrante al quepertenecen.

Ejercicio 1.5.6. Encontrar todos los ángulos que veri�quen: cosx = 1, senx = 1/2, cosx = 0.

Ejercicio 1.5.7. A partir del seno y coseno de una suma, prueben que

cos(2α) = cos2 α− sen2 α

sen(2α) = 2 senα cosα

Usando ahora la identidad pitagórica, demuestren que

cos2 α =1 + cos(2α)

2

sen ² α =1− cos(2α)

2Para la resta de dos ángulos, prueben que

sen (α− β) = sen (α) cos (β)− cos (α) sen (β)

cos (α− β) = cos (α) cos (β) + sen (α) sen (β)

Estas identidades son de uso frecuente y es útil recordarlas. Sin embargo siempre pueden volver aobtenerlas recordando simplemente la identidad pitagórica, el seno y coseno de una suma y la paridadde seno y coseno.

CLASE 1.6. FUNCIONES ESPECIALES (SEGUNDA PARTE): FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 52

Clase 1.6. Funciones especiales (segunda parte): Funciones exponenciales ylogarítmicas

Contenidos de la Clase: Exponencial natural. Logaritmo natural. Exponenciales y loga-ritmos en diferentes bases. Funciones hiperbólicas.

Hablamos de expresiones exponenciales cuando aparece un exponente:

Actividad 1.6.1. Digamos que a = 4. Según lo que hayan estudiado anteriormente,

¾qué signi�ca 42?¾qué signi�ca 4−2?¾qué signi�ca 41/2?

¾qué signi�ca 4√2?

Darle sentido preciso a la expresión ax, cuando x es irracional y a > 0, es una tarea muy delicada.En realidad, la podrán apreciar después de haber hecho este curso completo. Van a encontrar másinformación a lo largo del curso.

Sin embargo, las funciones exponenciales son de uso cotidiano en ciencias. Las vamos a trabajardesde ahora, en forma de recetas, dejando la de�nición formal para el �nal del curso.

1.6.1. Función exponencial natural (ex)

La función exponencial más fundamental es la de base e. Probablemente hasta ahora no hayantrabajado mucho con e, pero es muy importante en al Análisis Matemático.

e es un número irracional, e ≈ 2.71828182846.... En el artículo "Número e" de la Wikipedia puedenencontrar:

"La constante matemática e es uno de los más importantes números reales. Se relacionacon muchos interesantes resultados... El número e, conocido a veces como número deEuler o constante de Napier, fue reconocido y utilizado por primera vez por el matemá-tico escocés John Napier (1618)... Es considerado el número por excelencia del cálculo,así como π lo es de la geometría y el número i del análisis complejo.

... la función exponencial ex se encuentra frecuentemente ... describe el comporta-miento de acontecimientos físicos ... como pueden ser la velocidad de vaciado de undepósito de agua, ... el movimiento del sistema de amortiguación de un automóvil ...De la misma manera, aparece en muchos otros campos de la ciencia y la técnica, descri-biendo fenómenos ... biológicos (crecimiento de células, etc.), químicos (concentraciónde iones, periodos de semidesintegración, etc.), y muchos más."

Con semejante propaganda, vamos a presentar la función exponencial de base e, distinguida deotras con el nombre de función exponencial natural.


Definición 1.6.2. (grá�ca): existe la función

exp : R→ Rcon la regla de asignación que se lee del grá�co

Esta función, al igual que las trigonométricas, tiene nombre propio. Hace años (no tantos!) sebuscaba su valor en libros de tablas. Ahora se la encuentra en las calculadoras y en los lenguajes decomputación.

Actividad 1.6.3. A partir del grá�co de y = exp(x), analicen las siguientes cuestiones:

¾Cuál es la imagen de la función exponencial? (para ver cómo la grá�ca se acerca al eje x,deberían hacer el grá�co con GeoGebra, y observarlo en detalle para valores de x cada vezmás negativos).¾Hay regiones donde la función sea creciente? ¾Hay regiones donde la función sea decreciente?¾Hay máximos o mínimos locales?¾Dónde es mayor el ritmo de crecimiento?

La función exp(x) está íntimamente relacionada con las de potencias de base e. Las relaciones conlas potencias las dan las siguientes propiedades:

Propiedad 1.6.4. La función exponencial natural veri�ca:

exp(0) = e0 = 1exp(1) = e1 = esi n ∈ N, entonces exp(n) = en = e.e. · · · .e︸︷︷︸ multiplicado n veces

exp(−1) = e−1 = 1/esi m ∈ N, entonces exp(−m) = e−m = 1/(e.e. · · · .e︸︷︷︸) multiplicado m veces

si p, q ∈ N, con q 6= 0, entonces exp(p/q) = ep/q = q√ep

En palabras, la función exponencial natural exp(x) coincide con las potencias ex siempre que x searacional.

Observen que la función exp(x) tiene de�nido un resultado para cualquier x real. Las potenciasde exponente x irracional no están de�nidas, mientras que la función exponencial sí está de�nida.Observamos en el grá�co que los valores de ex, para x irracional, completan una curva suave junto conlas potencias racionales de e.

Por estas propiedades se anota, incluso cuando x no es racional:

exp(x) ≡ ex


La de�nición de exp(x), para todo x real, permite operar con exp(x) como si fuera una potencia.Se veri�can las siguientes propiedades:

Propiedad 1.6.5. Para todo argumento real, la función exponencial natural veri�ca:

exp(a) exp(b) = exp(a+ b) que conviene recordar como eaeb = ea+b

exp(−a) = 1/ exp(a) que conviene recordar como e−a = 1/ea

exp(a)/ exp(b) = exp(a− b) que conviene recordar como ea/eb = ea−b

(exp(a))b = exp(ab) que conviene recordar como (ea)b = eab

Estas propiedades son fáciles de recordar si ya estamos acostumbrados a usarlas con las potenciasracionales. Su validez para exponentes irracionales es un hecho no trivial que podremos demostrardespués de completar este curso.

1.6.2. Función logaritmo natural

La función logaritmo natural se de�ne como la inversa de la exponencial natural.Para ser precisos, observemos que la función exponencial no repite valores todo en R (se dice que

es inyectiva) y que su imagen es el intervalo (0,+∞). Tenemos que

exp : R→ (0,+∞)

es una relación uno a uno (se dice biyectiva) y en consecuencia admite función inversa.

Definición 1.6.6. La función logaritmo natural

ln : (0,+∞)→ Rse de�ne como inversa de la exponencial natural, con regla de asignación

y = ln(x) siempre que x = ey

Como función inversa, la grá�ca del logaritmo natural se dibuja mirando la grá�ca de la exponencial(intercambiando el rol de x e y) y resulta:

Cuando tengan que evaluar la función logaritmo natural, lo primero que deberían hacer es recordary dibujar este grá�co. Los valore precisos, cuando sean necesarios, se obtienen con la calculadora.

Actividad 1.6.7. A partir del grá�co de y = ln(x), analicen las siguientes cuestiones:

¾Hay regiones donde la función sea creciente? ¾Hay regiones donde la función sea decreciente?¾Hay máximos o mínimos locales?


¾Qué pasa cuando la variable x se acerca a cero? (para ver cómo la grá�ca se acerca al ejey deberían hacer el grá�co con GeoGebra y observarlo en detalle para valores de x cada vezmás cercanos a cero).¾Dónde es mayor el ritmo de crecimiento?¾Qué pasa cuando la variable x se hace cada vez más grande?

Observación 1.6.8. Al igual que las funciones trigonométricas y la exponencial, el logaritmonatural tiene nombre propio: ln. La notación log se usa para logaritmos con otras bases, como ellogaritmo decimal. Encontrarán en las calculadoras teclas distintas para cada uno.

Como la notación ya indica una función conocida, se acostumbra anotar la variable sin paréntesis.Por ejemplo,

lnx ≡ ln(x)

ln2 x ≡ (ln(x))2

En el caso de una función compuesta son necesarios los paréntesis. Por ejemplo,

ln(x2)

La función logaritmo tiene propiedades de cálculo muy útiles. Aunque no tenemos una fórmula paracalcular directamente un logaritmo, podemos manipular expresiones mediante algunas propiedades.

Propiedad 1.6.9. La función logaritmo natural veri�ca:

ln(ab) = ln a+ ln b siempre que a y b sean positivos.ln(a/b) = ln a− ln b siempre que a y b sean positivos.ln(ab) = b ln a siempre que a sea positivo, para todo b real.9

ln(ex) = x para todo x real.elnx = x siempre que x sea positivo

Ejemplo 1.6.10. Estas propiedades se pueden demostrar con lo que ya hemos visto. Por ejemplo,probemos que si a y b son dos números positivos, entoncesln(ab) = ln a+ ln b:

Por de�nición del logaritmo, x = ln(ab) signi�ca que ab = ex. De la misma manera, si escribimosy = ln(a) y z = ln(b) tenemos que a = ey, b = ez.

Entonces ab = ex = eyez = ey+z (por las propiedades de la exponencial, ver Propiedad1.6.4, en estecaso es � la exponencial de una suma es igual al producto de las exponenciales�). Por lo tanto, ab = ey+z,y por la de�nción de logaritmo obtenemos que y+ z = ln(ab). Finalmente, recordando las de�nicionesde y y de z completamos la demostración.

.

1.6.3. Función exponencial en base b

Volvamos al problema que comentamos al incio de esta clase. ¾Qué signi�ca 4√2?

Dado un número b positivo, que se usa como "base", se puede calcular la exponencial bx en términosde la exponencial natural y el logaritmo natural. Una forma de recordar qué signi�ca bx es la siguiente:

1. Dado que la exponencial y el logaritmo natural son funciones inversas entre sí, se escribeb = eln b.

2. Luego bx =(eln b

)x.

3. Usando la propiedad de "potencia de potencia", bx = e(ln b)x.

De acuerdo a este mecanismo podemos calcular entonces 4√2 = eln 4

√2

En rigor, hacemos un poco de trampa al usar la propiedad de "potencia de potencia" cuandolos exponentes no son números naturales. El orden lógico para formalizar todo esto es de�nir laexponencial de base b > 0 en términos de la exponencial natural y el logaritmo natural que ya seconsideran conocidas.


Definición 1.6.11. Dado un número real b > 0, llamado base, y un número real x cualquiera, sede�ne

bx = e(ln b)x

A partir de esta de�nición, y de las propiedades de la exponencial natural y el logaritmo natural,se pueden probar las distintas propiedades de bx:

Propiedad 1.6.12. Para todo argumento real, la función exponencial natural veri�ca:

bxby = bx+y

b−x = 1/bx

bx/by = bx−y

(bx)y = bxy

La función exponencial de base b se de�ne como

Definición 1.6.13. Dado un número real b > 0, se llama función exponencial de base b a

expb : R→ (0,+∞)

con regla de asignación

expb(x) = bx = e(ln b)x

La función expb(x) tiene dominio R e imagen (0,+∞), para cualquier valor de b.Las grá�cas de y = expb(x) se pueden obtener a partir de la grá�ca de la exponencial natural. Para

algunos valores de b, se ven como sigue. Comparen las grá�cas, de acuerdo al valor de la base.

1.6.4. Función logaritmo de base b

Dado un número b positivo, que se usa como "base", la función logaritmo de base b se de�ne comola inversa de la exponencial de base b.

Esto es posible porque la función exponencial de base b no repite valores todo en R (se dice que esinyectiva) y que su imagen es el intervalo (0,+∞). Tenemos que

expb : R→ (0,+∞)

es una relación uno a uno (se dice biyectiva) y en consecuencia admite función inversa.

Definición 1.6.14. La función logaritmo de base b > 0

ln : (0,+∞)→ Rse de�ne como inversa de la exponencial de base b, con regla de asignación

y = logb(x) siempre que x = by


Con lo visto, se puede demostrar que

logb x =1

ln blnx

En consecuencia, la grá�ca de y = logb(x) se obtiene modi�cando la grá�ca del logaritmo natural comoun escaleo de la grá�ca de y = lnx (seguido de una re�exión respecto del eje x cuando ln b < 0). Lasgrá�cas de y = logb(x), para algunos valores de b, se ven así:

Propiedad 1.6.15. Se pueden probar, a partir de propiedades de la exponencial de base b, algunaspropiedades básicas de los logaritmos de base b:

logb(u.v) = logb u+ logb vlogb(u/v) = logb u− logb vlogb(u

r) = r. logb u

Observación 1.6.16. La exponencial y el logaritmo natural son funciones fundamentales. Debenrecordarlas a lo largo del curso.

En referencia a las exponenciales y logaritmos de base b, quizás lo más importante para nuestrocurso sea recordar cómo escribirlas en términos de la exponencial y el logaritmo natural:

bx = eb lnx

Una vez "traducidas", podrán trabajar con funciones más conocidas.

1.6.5. Funciones hiperbólicas

Se llama funciones hiperbólicas (o trigonométricas hiperbólicas) a ciertas combinaciones de funcio-nes exponenciales naturales.

Las funciones hiperbólicas se pueden de�nir geométricamente a partir de las coordenadas de puntossobre una hipérbola en forma análoga a la construcción de la circunferencia trigonométrica (pueden verpor ejemplo la página "Función Hiperbólica" de la Wikipedia). Afortunadamente se las puede calcularcon operaciones algebraicas sencillas entre funciones exponenciales. En la práctica conviene de�nirlascomo:

Definición 1.6.17. Se llama seno hiperbólico a la función

senh : R→ R con regla de asignación senhx =ex − e−x

2Se llama coseno hiperbólico a la función

cosh : R→ R con regla de asignación coshx =ex + e−x

2Se llama tangente hiperbólica a la función

tanh : R→ R con regla de asignación tanh(x) =senhx

coshx=ex − e−x

ex + e−x


Actividad 1.6.18. Usando la computadora, gra�quen las funciones hiperbólicas y describan suscaracterísticas (imagen, regiones de crecimiento, máximos y mínimos, valores de x donde las funcionesvalen cero, comportamiento para |x| grande, etc.).

1.6.6. Ejercicios

Ejercicio 1.6.1. A partir de la de�nición de y = ln(x), calculen ln 1, ln e, ln(e2), ln(1/e).

Ejercicio 1.6.2. Encuentren los valores de x que resuelven las siguientes ecuaciones

3ex = 52 ln (3x)− ln

(x3)

= e2

Ejercicio 1.6.3. Usando propiedades de la exponencial y el logaritmo natural, comprueben quepara x = n natural, la de�nición de bn coincide con la potencia natural n. Como ejemplo, compruebenque b3 = e3 ln b = b.b.b

Ejercicio 1.6.4. Si 4x = 420, ¾pueden despejar que x = 20? Justi�quen que no hay más de unasolución.

Ejercicio 1.6.5. Encuentren el valor exacto de

log10 1000, log4 2, log9(1/3)

Ejercicio 1.6.6. Calculen cosh2 x− sinh2 x, usando propiedades de la exponencial.Si llamamos f(x) = cosh2 x y g(x) = sinh2 x, ¾cómo se relacionan sus grá�cas?Veri�quen gra�cando con computadora.Como conclusión, recuerden que se cumple la identidad

cosh2 x− sinh2 x = 1


Clase 1.7. Actividades de Integración

Contenidos de la Clase: Funciones trigonométricas y exponenciales..

Ejercicio 1.7.1. Dibujen sobre una circunferencia de radio R = 1 el arco y el ángulo cuya medidaen radianes es:a) π, b) π/8, c) −3

4π, d) 5π, e) 54π, f) 1231.5π, g) 1, h) 45, i) π/100

Indiquen en cada caso en qué cuadrante o semieje cae el lado �nal.

Ejercicio 1.7.2.

Dibujen un ángulo α en el primer cuadrante y dibujar α+π/2. ¾Qué relaciones observan entresus senos y cosenos?Dibujen un ángulo α en el segundo cuadrante y dibujar π − α. ¾Qué relaciones observan entresus senos y cosenos?Dibujen un ángulo α en el tercer cuadrante y dibujar α − π. ¾Qué relaciones observan entresus senos y cosenos?Dibujen un ángulo α en el cuarto cuadrante y dibujar 2π − α. ¾Qué relaciones observan entresus senos y cosenos?

Las relaciones observadas se conocen como "fórmulas de reducción al primer cuadrante". Permitenrelacionar las funciones trigonométricas de cualquier ángulo con la trigonometría de un triángulo rec-tángulo.

Ejercicio 1.7.3. Calculen exactamente el seno y el coseno de los ángulos de 120o, 135o, 150o y180o.

Ejercicio 1.7.4. A partir de la grá�ca de sen x, obtengan las grá�cas de:a) 2 senx; b) − senx; c) sen(4x); d) sen(x) + 1; e) sen(x+ π/2)(observen que hemos usado paréntesis sólo cuando son estrictamente necesarios; en caso de multi-

plicar un número por una función es recomendable escribir el número delante de la función).

Ejercicio 1.7.5.

Hallen dos ángulos distintos α, β en el intervalo [0, 2π) tales que sen α = sen β.Hallen dos ángulos distintos α, β en el intervalo [0, 2π) tales que cosα = cosβ.

Interpreten lo hallado en las grá�cas de sen x y cosx y en la circunferencia trigonométrica.

Ejercicio 1.7.6. Gra�quen la función y = tan(x). Indiquen su dominio natural y su imagen.

Ejercicio 1.7.7.

A partir de la grá�ca de y = cosx, construyan a mano alzada un grá�co de y = cos2 x. Prestenatención a los puntos en que cosx vale 0, 1 y −1.Con�rmen el grá�co de y = cos2 x con la computadora.Busquen grá�camente las soluciones de la ecuación cos2 x = 0.5. Pueden trazar en GeoGebra larecta y = 0.5 y usar la herramienta "Intersección de Dos Objetos" para ubicar los puntos condos decimales de precisión (incluso pueden aumentar la precisión). ¾Cuántas soluciones hay?Encuentren las soluciones exactas.¾Podrían hallar soluciones grá�cas de cos2 x = 0.6? ¾Y soluciones exactas?

Ejercicio 1.7.8. Comprueben, usando la de�nición de bx, que b−2 = 1/(b.b).

Ejercicio 1.7.9. Usando propiedades de la exponencial y logaritmo naturales, prueben alguna delas siguientes: para b > 0 y cualquier x, y reales se veri�ca:


bx.by = bx+y

bx/by = bx−y

b−x = 1/bx

Ejercicio 1.7.10. Prueben, a partir de propiedades de la exponencial de base b, algunas de laspropiedades básicas de los logaritmos:

logb(u.v) = logb u+ logb vlogb(u/v) = logb u− logb vlogb(u

r) = r. logb u

Ejercicio 1.7.11. Usando el logaritmo natural, resuelvan

2x = 8102x = 108

Ajuste de modelos exponenciales.

Muchos modelos en ciencias tienen un comportamiento exponencial. Por alguna ley empírica o porresolver una situación a partir de leyes fundamentales, uno puede anticipar que una variable y dependede otra variable x siguiendo una expresión con la forma

y = Aekx

donde A > 0 y k son números reales �jos. Se dice en estos casos que el modelo sigue una ley exponencial,y, para aplicarlo a un problema, será necesario averiguar el valor de A y el valor de k que se ajusten alos datos del problema.

El objetivo de los ejercicios siguientes es que descubran los cálculos necesarios para ajustar modelosexponenciales. Verán que es necesario trabajar con logaritmos y con sistemas de ecuaciones.

Ejercicio 1.7.12. Dado el modelo funcional f(x) = Aekx, donde A > 0 y k son números reales�jos,

hallen A y k para que la función ajuste f(0) = 10 y f(5) = 2hallen A y k para que la función ajuste f(10) = 10 y f(2) = 2

En ambos casos gra�quen la función ajustada y los datos dados.

Ejercicio 1.7.13. La grá�ca de una función exponencial y = Aekx pasa por los puntos (−1, 2) y(2, 1). Encuentren explícitamente dicha función.

Ejercicio 1.7.14. La población de bacterias crecidas en un medio nutriente homogéneo se describemediante una función p(t), donde p es la cantidad de bacterias y t es el tiempo transcurrido desde quese introdujo la población inicial. Se sabe que la función p(t) sigue una ley exponencial.

Se estima al microscopio que hay 2000 bacterias a los 60 minutos, y el doble a los 120 minutos.

Calculen la población inicial de bacterias.Estimen cuántas bacterias habrá al cabo de 12 horas.

Ejercicio 1.7.15.

A partir de la grá�ca de una función f(x) de�nida para x > 0, ¾cómo sería la de y = f(|x|)?Dibujen diferentes situaciones.Lo mismo si ahora la función estaba de�nida originalmente para x < 0.

Ejercicio 1.7.16. De acuerdo al ejercicio anterior, indiquen el dominio y gra�quen las funcionesf(x) =

√|x|, g(x) = ln |x|


Ejercicio 1.7.17. ¾Cómo se relaciona la grá�ca de y = |f(x)| con la de f(x)? Dibujen diferentessituaciones.

Ejercicio 1.7.18. De acuerdo al ejercicio anterior, indiquen el dominio y gra�quen las funcionesf(x) = | cosx|, g(x) = | lnx|, h(x) = | senhx|.

Documents

Análisis Matemático I – CIBEX · teórico-práctica: tendremos tres sesiones semanales de trabajo en comisiones, sumadas a las horas de ... El sistema les pide una "contraseña