Análisis Matemático II.pdf

Universidad Nacional Autonoma de HondurasCarrera de Matematica

Lecturas de Analisis Matematico II

M.Sc. Luis Berlioz

Febrero-Mayo, 2012

Integral de Riemann∫ b

a

f dx f funcion acotada, [a, b] intervalo acotado, dx diferencial

Definicion

Una particion de [a, b] es un conjunto P ⊂ [a, b] finito

P = x0 , x1 , . . . , xn a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b

Definimos ∆xi

= xi+1− x

i∨ ∆x

i= x

i− x

i−1∆xi ≥ 0 (i = 1, 2, . . . , n)

Definimos Mi = sup[xi−1 ,xi ]

f(x) ∧ mi = inf[xi−1 ,xi ]

f(x) i = 1, 2, . . . , n

Definimos L(P, f) =∑xi∈P

mi∆x

i∧ U(P, f) =

∑xi∈P

Mi∆x

i

∫a

¯

b

f dx = supP de [a,b]

L(P, f) (1)

∫a

b

f dx = infP de [a,b]

U(P, f) (2)

Definicion

f es Riemann integrable si y solo si∫a

¯

b

f dx =

∫a

b

f dx f ∈ R

=

∫ b

a

f dx

Integral de Riemann-Stieltjes

Sea α estrictamente creciente en [a, b] α(a) < α(b) acotada∫ b

a

f dα

∆xi

= xi− x

i−1≥ 0 Mi = sup f(x) x ∈ [x

i−1, x

i]

∆αi

= α (xi)− α

(xi−1

)m

i= inf f(x)

L(P, f, α) =∑

mi∆α

i

sup=⇒

∫a

¯

b

f dα U(P, f, α) =∑

Mi∆αiinf

=⇒∫a

b

f dα

1

Analisis Matematico II 2 M.Sc. Luis Berlioz

Si

∫¯

=

∫=⇒ f ∈ R(α) en [a, b]∫

f dx es un caso particular de

∫f dα α(x) = x

Refinamiento de una Particion

Definicion

P∗

es un refinamiento de P si y si solo si P∗ ⊃ P

Hay particiones que no se pueden comparar. P 6⊃ P ′ , P 6⊃ P ′

Teorema

Sea [a, b] ⊂ R. Sea P, P∗

particiones de [a, b]. P∗

refinamiento de PSea α : [a, b] −→ R creciente, y sea f : [a, b] −→ R acotadaSi P

∗ ⊃ P entonces

L(P, f, α) ≤ L(P∗, f, α)

U(P, f, α) ≥ U(P∗, f, α)

Demostracion

Sea P = x0 , x1 , . . . , xn−1 , xn y P∗

= x0 , x1 , . . . , x∗, . . . , xn−1 , xn

Sea P = 0, 1, 2, . . . , 10 =⇒ P∗

= 0, 1, 2, 2.5, . . . , 10P.D. L(P, f, α) ≤ L(P

∗, f, α)∑

mi∆α

i?∑

m∗

i∆α

i

mi∆α

i?∑

m∗

i−1∆α

i−1+m

∗

i∆α

i

Comparamos

mi≤ m

∗

i−1

mi≤ m

∗

i

mi∆α

i= m

i(∆α

i−1+ ∆α

i)

≤ m∗

i−1∆α

i−1+m

∗

i∆α

i=⇒

∑xi∈P

mi∆α

i≤∑xi∈P

∗

mi∆α

i

L(P, f, α) ≤ L(P∗, f, α)

U(P∗, f, α) ≤ U(P, f, α)

Donde P∗

es un refinamiento de P

Teorema

Si P, P ′ son particiones cualquiera, entonces L(P, f, α) ≤ U(P ′, f, α)

Demostracion

L(P, f, α) ≤ L(P ′, f, α) ≤ U(P ′, f, α)∑m

i∆x

i≤∑

Mi∆xi

Teorema

Sea f : [a, b] −→ R (acotada) es R(α) entonces

∫ b

a

f dα existe si y solo si

∀ ε > 0 ∃P : U(P ; f, α)− L(P, f, α) < ε

Editado por Mauricio Zelaya Aguilar


Demostracion

(=⇒) ∫ b

a

f dα existe⇐⇒∫a

b

f dα =

∫a

¯

b

f dα

⇐⇒ supL = infU

∀ ε2> 0 :U(P1 , f, α)−

∫ b

a

f dα <ε

2∫ b

a

f dα− L(P2 , f, α) <ε

2

∴ U(P, f, α)− L(P, f, α) < ε P = P1 ∪ P2

(⇐=) P.D. Si ∀ ε > 0 ∃ δ : U(P )− L(P ) < ε =⇒ sup(L) = inf(U)∀ ε > δ ∃ δ : U(P ) ≥ inf(U) ≥ sup(L) ≥ L(P ) =⇒ inf(U)− sup(L) < ε∴ inf(U)− sup(L) = 0

Teorema

Si f es continua en [a, b] entonces f ∈ R(α)

Demostracion

Primero, sea η > 0 tal que

[α(b)− α(a)] =⇒ ∃ δ > 0/∀x, t ∈ [a, b] : |x− t| < δ

=⇒ |f(x)− f(t)| < η

A |f(x)− f(t)| < η se le llama continuidad uniformeTomamos una P tal que ∆x

i< δ ∀ i = 1, n entonces Mi −mi

≤ η

∀ ε > 0 ∃P : U(P )− L(P ) =∑

(Mi −mi)∆x

i

≤∑

η∆αi

η∑

∆αi

= η[α(b)− α(a)]

< ε

Teorema

Si f es creciente en [a, b]. α es continua en [a, b] (siempre es creciente) entonces f ∈ R(α) o∫ b

a

f dα

Demostracion

Sea P una particion tal que ∆αi<α(b)− α(a)

n

Es necesario que α sea continua para garantizar ∆αi<α(b)− α(a)

n

P = x0 , x1 , x2 ∆αi

= α(xi)− α(x

i−1) ∆x

i= x

i− x

i−1

Entonces como f es creciente

Mi = f(xi) m

i= f(x

i−1)



Vemos que L(P ) =∑

mi∆α

i∧ U(P ) =

∑Mi∆αi , tomando

P = x0 , x1 , x2 :∑

(Mi −mi) = [f(x1)− f(x0)] + [f(x2)− f(x1)]

= f(x2)− f(x1)

U(P )− L(P ) =∑

(Mi −mi)∆α

i

≤ α(b)− α(a)

n

∑(Mi −mi

)

=α(b)− α(a)

n[f(b)− f(a)]

∀ ε > 0 ∃n ≤ N =⇒ α(b)− α(a)

n[f(b)− f(a)] < ε

Observacion

limx→b−

f(x) = f(b) f, α : [a, b] −→ R

α(x) =

0 x < 1

2

1 x ≥ 12

α(b)− α(a)

n=

1

2n = 2

Teorema

Supongamos que f es continua en [a, b] excepto en un numero finito de puntos y acotada. α escontinua en toda discontinuidad de f , entonces f ∈ R(α)

Demostracion

Definimos M = sup |f(x)| x ∈ [a, b]

E = x f es discontinua enx #E = m

Los intervalos [ci, d

i] son tales que

∑di− c

i< ε para un ε > 0

f es continua en el compacto [a, b]∪]ci, d

i[

f sigue siendo continua en un compacto =⇒ ∃δ > 0 : |f(x)− f(t)| < ε para cualquier pareja x, ytal que |x− t| < δTomamos una particion que incluya cada c

i, d

ital que∑

(Mi −mi)∆α

i=∑

(Mi −mi)∆α

i︸︷︷︸/∈E

+∑

(Mi −mi)(d

i− c

i)︸︷︷︸

∈E

Truco util: Mi −mi≤ 2M en cada [c

i, d

i]. Si P es tal que ∆x

i< δ∑

(Mi −mi)∆α

i+ 2Mε ≤

∑ε∆α

i+ 2Mε

≤ ε[α(b)− α(a)] + 2ME

≤ [α(b)− α(a)] + 2ME

Ejercicio

Sean

β1(x) =

0 x < 0

0 x = 0

1 x > 0

β2(x) =

0 x < 0

1 x = 0

1 x > 0

β3(x) =

0 x < 01

2x = 0

1 x > 0

1. Probar que f ∈ R(β1) si y solo si f(0+

) = f(0) o sea limx→0+

f(x) = f(0)

Las funciones continuas no son un dominio integral



Cuando f ∈ R(β1) digamos en [−1, 1] notemos que [xi−1, x

i] 63 0

δβi = 1− 1 = 0 ∨ 0· 0 = 0

U(P, f, β1) = M0· 1 M0 = max f(x) en el intervalo que contiene a cero

= M0

L(P, f, β1) = m0· 1 m0 = min f(x)

= m0

I0 es el intervalo de la particion P que contiene a cero

U(P ) = maxI0

f(x) L(P ) = minI0

f(x)

= M0 = m0

Si 0 ∈ P [0, x], si limx→0+

f(x) = f(0)

limx→0+

M0 = limx→0+

[max[0,x]

f(x)

]limx→0+

m0 = limx→0+

[min[0,x]

f(x)

]= f(0) = f(0)

U(P )− L(P ) = M0 −m0 porque f ∈ R(β1)

< ε

max[0,x]

[f(x)]−min[0,x]

[f(x)] < ε ∀ ε > 0∃ δ : si

|f(x)− f(0)| ≤ M0 −m0

< ε

∴ limx→0+

f(x) = f(0) por definicion

2. De y pruebe una proposicion analoga para β2

f ∈ R(β2) si y solo si limx→0−

f(x) = f(0)

U(P, f, β2) =∑

f(xi)∆β

i∆β1 = β(x1)− β(x0) ∆β2 = β(0)− β

(−1

2

)= M0∆β0 = β

(−1

2

)− β(−1) = 1

= M0· 1 = 0

∆β3 = β

(1

3

)− β(0) ∆β4 = 0 ∆β5 = 0

= 0

Teorema

Sea f ∈ R(α) en [a, b] m ≤ f(x) ≤M φ : [m,M ] −→ R (funcion continua)Si h(x) = φ[f(x)] ∀x ∈ [a, b] entonces h ∈ R(α) en [a, b]

Demostracion

Podemos decir que φ es uniformemente continua (φ es continua en un compacto) en [m,M ]

∀ ε > 0∃ δ > 0 ∧ δ < ε : |s− t| < δ =⇒ |φ(s)− φ(t)| < ε

Ademas como f ∈ R(α) existe P tal que U(P, f, α)− L(P, f, α) < δ2

Denotamos para P lo siguiente:

Mi = sup f(x) en [xi−1, x

i] M

∗

i = sup h(x)

mi

= inf f(x) en [xi−1, x

i] m

∗

i = inf h(x)



Caso A Mi −mi< δ

Si x, y ∈ [xi−1, x

i] =⇒ | f(x)︸︷︷︸

s

− f(y)︸︷︷︸t

| ≤ Mi −miM∗i −m

∗i ≤ δ

Caso B Mi −mi≥ δ ∑

i∈B

δ∆αi≤∑i∈B

(Mi −mi) ∆α

i

< δ2∑

i∈B

δ∆αi< δ

2

=⇒∑i∈B

∆αi< δ

U(P, h, α)− L(P, h, α) =∑

CasoA

(M∗

i −m∗

i

)∆α

i+∑

CasoB

(M∗

i −m∗

i

)∆α

i

≤ ε∑

∆αi+ 2Zδ

= ε[α(b)− α(a)] + 2Zδ dondeZ = sup |h| en [a, b]

∴ h ∈ R(α)φ : R(α) −→ R(α) φ(f) ∈ R(α)

Propiedades de la Integral

Si f, g ∈ R(α) y c ∈ R entonces

1. f + g ∈ R(α)

2. cf ∈ R(α), ademas ∫ b

a

(f + g)dα =

∫ b

a

f dα +

∫ b

a

g dα∫ b

a

cf dα = c

∫ b

a

f dα

3. Si f, g ∈ R(α) y ∀x ∈ [a, b] , f(x) ≤ g(x) entonces

∫ b

a

f dα ≤∫ b

a

g dα

4. Si f ∈ R(α) entonces

∣∣∣∣∫ b

a

f dα

∣∣∣∣ ≤ M [α(b)− α(a)] f = sup[a,b]

|f |

5. Si f ∈ R(α1) y f ∈ R(α2) entonces f ∈ R(α1 + α2) por lo tanto∫ b

a

f d(α1 + α2) =

∫ b

a

f dα1 +

∫ b

a

f dα2

Demostracion

1. Notemos que en [xi−1, x

i]

max f + g ≤ max f+ max g L(P, f, α) + L(P, g, α) ≤ L(P, f + g, α)

min f + g ≥ min f+ min g ≤ U(P, f + g, α)

≤ U(P, f, α)U(P, g, α)

Se puede hacer U(P1 , f, α)− L(P1 , f, α) <ε

2Si P es el refinamiento comun de P1 , P2 . De manera identica para g tenemos

U(P2 , g, α)− L(P2 , g, α) <ε

2



2. Vamos a usar para toda particion P∫ b

a

f dα = sup L(P, f, α)

= inf U(P, f, α)

Si c > 0

L(P, cf, α) =∑

cmi∆α

i

= c∑

mi∆α

i

Si c < 0 ∑cMi

Si c > 0

L(P, cf, α) = c L(P, f, α)

Si c < 0

L(P, cf, α) = c U(P, f, α)

Si c > 0

sup L(P, cf, α) = sup c L(P, f, α)= c sup L

Si c < 0

sup L(P, cf, α) = sup c L(P, f, α)= c inf U

c supL =

∫ b

a

f dα

3. ∫ b

a

f dα = sup L(P, f, α)∫ b

a

g dα = sup L(P, g, α)

Para cualquier P : L(P, f, α) ≤ L(P, g, α) entonces

∫ b

a

f dα ≤∫ b

a

g dα

4. ∣∣∣∣∫ b

a

f dα

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a

|f | dα f ≤ |f | ∧ −f ≤ |f |∫ b

a

f dα ≤∫ b

a

|f | dα

−∫ b

a

f dα ≤∫ b

a

|f | dα |f | ≤M∫ b

a

|f | dα ≤∫ b

a

M dα

= M [α(b)− α(a)]



5. El hecho de que existan f ∈ R(α1) y f ∈ R(α2) implica que se puede encontrar una particionP tal que

U(P, f, α1)− L(P, f, α1) <ε

2

∑(M ′

i −m′i)∆α′i<

ε

2+∑

(M2

i −m2

i)∆α

2

i

U(P, f, α2)− L(P, f, α2) <ε

2<

ε

2

=∑

(Mi −mi)(

∆α′i+ ∆α

2

i

)< ε

En [xi−1, x

i] lo que necesitamos [α1(x

i) + α2(x

i)]− [α1(x

i−1) + α2(x

i−1)]

Pero tenemos ∆α′i+ ∆α

2

i

(a)

∫ b

a

f d(α1 + α2) existe

(b)

∫ b

a

f d(α1 + α2) =

∫ b

a

f dα1 +

∫ b

a

f dα2)

¿Sera cierto el reciproco?Si f ∈ R(α1 + α2) =⇒ f ∈ R(α1) ∧ f ∈ R(α2) no es cierto∫ b

a

f(dα + c dβ) =

∫ b

a

f dα + c

∫ b

a

f dβ

Como α tiene que ser creciente tenemos que pedir c ≥ 0

Teorema

Si c ≥ 0

∫ b

a

f dα existe ( f ∈ R(α) ) entonces

∫ b

a

f f [cα] = c

∫ b

a

f dα

Demostracion

Para toda particion P : U(P, f, cα) =∑

Mi∆(cα)i

∆(cα)i

= cα(xi)− cα(x

i−1)

∑Mi∆(cα)

i= c

∑Mi∆αi

= c∆αi

= cU(P, f, α)

Teorema

Si f, g ∈ R(α) entonces f · g ∈ R(α)

Demostracion

Como f, g ∈ R(α) entonces

f + g ∧ f − g ∈ R(α) =⇒ (f + g)2 ∧ (f + g)

2 ∈ R(α)

=⇒ f · g =1

4

(f + g)

2 − (f − g)2∈ R(α)

c = x2

c(f + g)

Definicion

Sea Ix =

1 x > 0

0 x ≤ 0



Teorema

Sea S ∈]a, b[. f acotada en [a, b] y continua en S

α(x) ≡ I(x− s) entonces

∫ b

a

f dα = f(s)

Demostracion

Sea U(P, f, α) = Mf · 1 donde Mf = sup(s−δ,s+δ)

f

Analogamente L(P, f, α) = mf

donde mf

= inf(s−δ,s+δ)

f

Por continuidad ∀ ε ∃ δ : |x− s| < 2δ =⇒ |f(x)− f(s)| < ε

2De ahi que Mf −mf

≤ ε

2< ε

Teorema

cn es convergente.+∞∑n=1

cn < +∞ (cn ≥ 0). sn ⊂]a, b[ (creciente)

α(x) =+∞∑n=1

cnI(x− sn)

Teorema

Si f es continua en [a, b] entonces

∫f dα =

+∞∑n=1

cnf(sn)

Demostracion

α(x) converge ∀x ∈ R si:

1. x < a α(x) = 0

2. x ∈]a, b[ sucesion convergente

3. x > b α(x) =∑

cn

α tambien es creciente

x < x′ α(x) =∑

cnI(x− sn) + . . .+ cn−1I(x′ − sn) + . . .︸︷︷︸≥0

α(x) ≤ α(x′)

Primero la suma finita

∫ b

a

f dα =N∑n=1

f(sn)cn ++∞∑n=N

f(sn)cn

Si f es acotada en [a, b] y continua en s, t α(x) = I(x− s) entonces∫ b

a

f dα = f(s)

∫ b

a

f dα = f(s) + f(t)

α(x) = I(x− s) + I(x− t) α(x) = c1I(x− s1) + . . .+ cnI(x− sn)∫ b

a

f dα = c1f(s1) + . . .+ cnf(sn)



∀ ε > 0 ∃N :+∞∑

n=N+1

cn < ε

Se parte en dos a α : α1 =N∑n=1

cnI(x− sn) y α : α2 =N∑

n=N+1

cnI(x− sn)

∫ b

a

f dα1 =N∑n=1

cnf(sn)N∑n=1

cnI(x− sn)−N∑n=1

cnI(x− sn) = α2(x)

α(x)− α1(x) < ε < ε∣∣∣∣∫ b

a

f dα2

∣∣∣∣ ≤ Mα2(b)︸︷︷︸<ε

−α2(a)︸︷︷︸=0

∣∣∣∣∣∫ b

a

f dα−N∑n=1

cnf(sn)

∣∣∣∣∣ < εM

< εM

∣∣∣∣∣A−N∑n=1

cnf(sn)

∣∣∣∣∣ < εM

Observacion

]a, b[=]0, 1[ cn =

1− 1

n

para n = 2, 3, . . . y

∑sn no converge

N∑n=2

(1− 1

n

)= N −

N∑n=2

1

nα

(3

4

)=

1

2· 1 +

1

4· 0 +

1

8· 0 +

1

16· 0

cn =

1

2n

α(1) =

1

2· 1 +

1

4· 1 +

1

8· 1 + . . .

α(x) =+∞∑n=1

1

2nI(x− sn+1) = 1

Teorema

1. α es creciente

2. α′ ∈ R en [a, b]

3. f es acotada en [a, b] entonces f ∈ R(α)⇐⇒ fα′ ∈ R

Demostracion

Como α′ ∈ R entonces ∀ ε > 0 ∃P : U(P, α′, x)− L(P, α′, x) < ε (∗)Por el teorema del valor medio

∆αi

= α′(ti)∆x

idonde t

i∈ [x

i−1, x

i]

= α(xi)− α(x

i−1)

Como f es acotada entonces M = sup |f | en [a, b]Por otro lado

∑f(s

i)∆α

i=∑

f(si)α′

i(ti)∆x

isi

es cualquier valor en [xi−1, x

i] De (∗) tenemos

que∑|α′

i(ti)− α′

i(s

i)|∆x

i< ε∑

f(si)α′

i(ti)∆x

i︸︷︷︸?

−∑

f(si)α′

i(s

i)∆x

i︸︷︷︸†

=∑

f(si)[α′i(ti)− α′

i(s

i)]

∆xi

< εM

? :∑

f(si)∆α

i−→

∫ b

a

f dα † :∑

f ·α′(si)∆x

i−→

∫ b

a

f ·α′ dx



Ejemplo

Sea f(x) = x2, encontrar

∫ 5/2

0

f dα

Recordando α(x) =∑

cnI(x− sn)∫f dα =

∑cnf(sn)

∫ 5/2

0

f dα =

∫ 1

0

x2

ex

dx+

∫ 5/2

1

x2

dx

Teorema

Sea φ creciente y continua. φ : [A,B] −→ [a, b]. α es creciente y f ∈ R(α) en [a, b]Definimos β(y) = α(φ(y)) ∧ g(y) = f(φ(y)) entonces g ∈ R(β) y ademas∫ B

A

g dβ =

∫ b

a

f dα∫ B

A

f(φ(y))dα(φ) =

∫ b

a

f dα∫ b

a

f ′(g)g′ dx =

∫ g(b)

g(a)

f ′ dx

Cambio de Variable

1. Suponga φ : [A,B] −→ [a, b]. α es estrictamente creciente y sobre (parametrizacion)

2. α es creciente en [a, b]. f ∈ R(α) en [a, b]

β(y) = α(φ(y)) g(y) = f(φ(y)) g ∈ R(α) entonces

∫ b

a

g dβ =

∫ b

a

f dα

Si α(x) = x ,

∫ b

a

f(x) dx

Demostracion

Sea P = x0 , . . . , xn particion de [a, b] y Q = y0 , . . . , yn particion de [A,B] tal que

U(P, f, α) = U(Q, g, β)

L(P, f, α) = L(Q, g, β)

Ejemplo

1. ∫ 1

0

√1− x2dx =

∫ π/2

0

cos y[cos u du] x = sin y dx = cos y dy

=

∫ π/2

0

f(φ(y))dφ(y)

2. Considere la distribucion de probabilidad x ∈ [0, 1]

Pr(x = 1) =1

2Pr(0 ≤ x < 1) =

1

2Funcion de probabilidad acumulada

F (x) =

∫ x

0

f dx f ≡ 1 α(x) = x cuando x ∈ [0, 1[ α(x) = 32

cuando x ≥ 1

∫ 1/2

0

1 dx =1

4

∫ 0.999

0

1 dx ≈ 1

2

∫ 1

0

1 dx = 1

∫ 100

0

1 dx = 1

α = cI(x)

∫ 1

−1

f dα = f(0)· c



3. Sea f(x) = x2

α =

ex

x ∈ [0, 1]

3 x ∈]1, 2]

4 x ∈]2, 3]∫ 5/2

0

f dα =

∫ 1

0

f dα +

∫ 5/2

1

f dα

=

∫ 1

0

x2

dx

= e− 2 + (1)2

(3− e) + (2)2· 1

= 5

Recordando que

∫f dα = f(sn)cn y α =

∑cnI(x− sn)

ex

I(x− 0) + I(x− 1) + I(x− 2)

4. ∫ b

a

xf(x)f ′(x) dx =x

2f

2

(x)

∣∣∣∣ba

−∫ b

a

1

2f

2

(x)dx u = x du = dx

= 0− 1

2dv = f(x)f ′(x)dx v =

1

2f

2

(x)

= −1

2

5. Sea α una funcion creciente fija sobre [a, b]. Si u ∈ R(α) se define

‖u‖2 =

∫ b

a

|u|2dα1/2

Si f, g, h ∈ R(α) demuestrese ‖f − h‖2 ≤ ‖f − g‖2 + ‖g − h‖2

Usando la desigualdad de Holder

∫ b

a

|uv| dα ≤(∫ b

a

|u|pdα)1/p(∫ b

a

|v|qdα)1/q

|uv| ≥ 0 y si tomamos p = q = 2 tenemos que∫ b

a

|uv| dα ≤(∫ b

a

|u|2dα)1/2(∫ b

a

|v|2dα)1/2

∫ b

a

|u+ v|2 dα =

∫ b

a

|u|2dα + 2

∫ b

a

uv dα +

∫ b

a

|v|2dα

≤∫ b

a

|u|2dα + 2

(∫ b

a

|u|2dα)1/2(∫ b

a

|v|2dα)1/2

+

∫ b

a

|v|2dα

=

[(∫ b

a

|u|2dα)1/2

+

(∫ b

a

|v|2dα)1/2

]2

|u+ v|2 =

(∫ b

a

|u+ v|2dα)1/2

≤

[(∫ b

a

|u|2dα)1/2

+

(∫ b

a

|v|2dα)1/2

]2

1/2

=

(∫ b

a

|u|2dα)1/2

+

(∫ b

a

|v|2dα)1/2

= |u|2 + |v|2



Si cambiamos u = f − g y v = g − h nos queda finalmente

|f − h|2 ≤ |f − g|2 + |g − h|2

≤

[(∫ b

a

|u|2dα)1/2

+

(∫ b

a

|v|2dα)1/2

]2

1/2



Teoremas Fundamentales del Calculo

1.

∫ x

a

f(t)dt = F (x)

2.

∫ b

a

F (t)dt = F (b)− F (a)

Teorema

Sea f tal que F (x) =

∫ x

a

f(t)dt (la integral existe en [a, b]) entonces

1. F es continua en [a, b]

2. f es continua en x0 entonces F es diferenciable y F ′(x0) = f(x0)

Demostracion

1. Sea M = sup |f(x)| ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : |x− x0| < δ =⇒ |F (x)− F (x0)| < ε

Aseveramos que δ =ε

Mpuesto que

∣∣∣∣∫ x

a

f(t)dt−∫ x0

a

f(t)dt

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∫ x

x0

f(t)dt

∣∣∣∣∣ ∨∣∣∣∣∫ x0

x

f(t)dt

∣∣∣∣≤ M |x− x0|

< ε ⇐⇒ |x− x0 | <ε

M= δ

P.D.

∣∣∣∣F (x)− F (x0)

x− x0

− f(x0)

∣∣∣∣ −→ 0 cuando x→ x0

Sabemos que F (x)− F (x0 =

∫ x

x0

f(t)dt

f(x0) =

∫ x

x0

f(x0)

x− x0

dt

∣∣∣∣∣∫ x

x0

f(t)− f(x0)

x− x0

dt

∣∣∣∣∣ ≤ ε

x− x0

|x− x0|

= f(x0)x− x0

x− x0

= ε

= F (x0)

Usaremos la continuidad de f en x0 la cual nos dice

limx→x0

f(x) = f(x0)⇐⇒ ∀ ε > 0∃ δ > 0 : |x− x0| < δ

=⇒ |f(x)− f(x0)| < ε

Como

x ∈ [x0 , x] : |t− x0| < δ =⇒ |f(x)− f(x0)| < ε

∴ F (α) =

∫ x

a

f(t) dα

2. Tenemos un teorema que dice que

∫ b

a

f(t) dt existe si y solo si ∃P : |U(P, f, α)−L(P, f, α)| <ε

P.D.

∣∣∣∣F (b)− F (a)−∫ b

a

f(t) dα

∣∣∣∣ < ε



Por el teorema del valor medio, si P = x0 , x1 , . . . , xi−1, x

i, . . . , xn

F (xi)− F (x

i−1) = F ′(z

i)(x

i− x

i−1)

= f(zi)∆α

i

L(P, f, α) ≤ F (x1)− F (x0) + F (x2)− F (x1) + . . .+ F (xn)− F (xn−1)

= F (xn)− F (x0)

= F (b)− F (a)

≤ U(P, f, α)

L(P, f, α) ≤∑

f(zi)∆α

i

≤ U(P, f, α)

L(P, f, α) ≤∫ b

a

f(t) dα

≤ U(P, f, α)

Ejemplos Especiales

1.d

dx

∫ x

0

ext

dt = e2x

2.d

dx

∫ x

0

f(t) dt = f(x)

3.d

dx

∫ x→x1

0

e

x︸︷︷︸x2

t

dt = 2ex2

− 1

x2 ex2

− 1

H(x1 , x2) =

∫ x1

0

ex2t

dt dH = ex1x2 dx1 +

∫ x1

0

t ex2t

dt dx2

dH(x, x)

dx= e

x2

+

∫ x

0

t ext

dt

∫ x

0

t ext

dt =t

xext

∣∣∣∣x0

− 1

x

∫ x

0

ext

dt

= 2 ex2

− 1

x2 ex2

− 1 = ext − 1

x2 ex2

− 1

Se logro haciendo a = t da = dt db = ext

b =1

xext

Formas Vectoriales o Parametricas

Definicion

Una funcion parametrica es una funcion f : R −→ Rn

f : A ⊂ R −→ Rn

: f(t) 7−→ [f1(t), f2(t), . . . , fn(t)]

Definicion

Sea

f : R −→ Rn

: f(t) 7−→ [f1(t), . . . , fn(t)]

fi

es acotada (i = 1, 2, . . . , n), α creciente en [a, b]. Se define∫ b

a

f dα =

(∫ b

a

f1 dα ,

∫ b

a

f2 dα , . . . ,

∫ b

a

fn dα

)



Teorema

Sea f : R −→ Rnentonces∫ b

a

f(t) dt = F (b)− F (a)

= [F1(b)− F1(a), F2(b)− F2(a), . . . , Fn(b)− Fn(a)]

Donded

dtFi = f

i

Teorema

Sea f : R −→ Rnentonces

∣∣∣∣∫ b

a

f dα

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a

|f | dα

Demostracion

Sea

∣∣∣∣∫ b

a

f dα

∣∣∣∣ = |y| yi

=

∫ b

a

fidα

|y|2 =∑

y2

i

=∑

yi

∫ b

a

fidα

=

∫ b

a

∑yifidα

=

∫ b

a

〈y | f〉dα

≤∫ b

a

|y| |f | dα por el teorema de Cauchy-Schwarz

∴

|y|2 ≤ |y|∫ b

a

f dα =⇒ |y| ≤∫ b

a

|f | dα |y| 6= 0

=⇒∣∣∣∣∫ b

a

f dα

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a

|f | dα

Curvas Rectificables

Sea f una funcion acotada en [a, b]. f : R −→ RSea P una particion de [a, b]. P = x0 , x1 , . . . , xn

n∑i=1

∣∣f(xi)− f(x

i−1)∣∣

Ejemplo

1. f es creciente:n∑i=1

∣∣f(xi)− f(x

i−1)∣∣ = f(xn)− f(x0)

f es decreciente:

n∑i=1

∣∣f(xi)− f(x

i−1)∣∣ = −f(x1) + f(x0)− f(x2) + f(x1) + . . .− f(xn) + f(xn−1)

= −f(xn) + f(x0)



2. [−1, 1] −→∑ ∣∣f(x

i)− f(x

i−1)∣∣

P = −1, 0, 1 −→∑

= 0

P =

−1,−1

2,1

2, 1

−→

∣∣∣∣f (−1

2

)− f(−1)

∣∣∣∣+

∣∣∣∣f (1

2

)− f

(−1

2

)∣∣∣∣+

∣∣∣∣f(1)− f(

1

2

)∣∣∣∣ =3

2

P =

−1,−

√1

3,

√1

3, 1

−→

∑= 1.54

Definicion

Recorrido de f : supP de [a,b]

∑ ∣∣f(xi)− f(x

i−1)∣∣

Curva rectificable: una funcion f con recorrido finito

Ejemplo

1. Curva acotada y rectificable. f(x) =

sin(πx

)x 6= 0

0 x = 0La curva del topologo no es rectificable

P1 = 0, 1 P2 =

0,

2

5, 1

P3 =

0,

2

5,2

7, 1

P4 =

0,

2

5,2

7,2

9, 1

lim

Pn→+∞

∑ ∣∣f(xi)− f(x

i−1)∣∣ ≤ sup

P de [a,b]

∑ ∣∣f(xi)− f(x

i−1)∣∣ (recorrido de f)

2. Probar f(x) = x cos(πx

), f(0) = 0, es continua pero no es rectificable

limx→0

x cos

(1

x

)= 0

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 (ε = δ) : si |x− 0| < δ =⇒ |f(x)− f(0)| < ε

|x| < ε, sabemos que

∣∣∣∣x cos

(1

x

)∣∣∣∣ ≤ |x| < ε x 6= 0

Cuando x = 0 es obvio que 0 < ε

P1 = 0, 1 −→ | cos π − cos 0| = 1

P2 =

0,

1

2, 1

−→

∣∣∣∣12 cos 2π − 0

∣∣∣∣+

∣∣∣∣cos π − 1

2cos 2π

∣∣∣∣ = 2

P3 =

0,

1

3,1

2, 1

−→

∣∣∣∣13 cos 3π − 0

∣∣∣∣+

∣∣∣∣12 cos 2π − 1

3cos 3π

∣∣∣∣+

∣∣∣∣cos π − 1

2cos 2π

∣∣∣∣ =8

3

3. Probar que γ1 y γ2 son rectificables, pero no γ3

γ1(t) = eıt

γ2(t) = e2ıt

γ3(t) = e2πıt sin(1/t)

= cos t+ ı sin t = cos 2t+ ı sin 2t = cos 2πt sin

(1

t

)+ ı sin

[2πıt sin

(1

t

)]∣∣cos 2πt sin

(1t

)∣∣ ≤ ∣∣∣e2ıt sin(1/t)∣∣∣ se prueba solo la parte real

Si γ es una curva parametrica y P una particion, entonces

Λ(P, γ) =n∑i=1

∣∣γ(xi)− γ(x

i−1)∣∣



supP de [a,b]

Λ(P, γ) = Λ(γ) deberia de ser la longitud de arco

S =

∫ b

a

(x′

2

+ y′2)1/2

dt γ(t) =)x(t), y(t))

=

∫ b

a

|γ′|dt

Teorema

Si γ′ es continua en [a, b] entonces γ es rectificable en [a, b]

Λ(γ) =

∫ b

a

|γ′|dt ds = |γ′|dt

Demostracion

Trabajamos en un intervalo cualquiera [xi−1, x

i]

∣∣γ(xi)− γ(x

i−1)∣∣ =

∣∣∣∣∣∫ xi

xi−1

γ′(t)dt

∣∣∣∣∣≤∫ xi

xi−1

|γ′(t)|dt

Sumando

Λ(P, γ) ≤∫ b

a

|γ′(t)|dt

Entonces

Λ(γ) ≤∫ b

a

|γ′(t)|dt

P.D.

∫ b

a

|γ(t)|dt < Λ(γ) + ε

γ es uniformemente continua en [a, b]∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : |t− s| < δ =⇒ |γ′(t)− γ′(s)| < εLa particion P tal que ∆x

i< δ. Si [x

i−1, x

i] es un pedazo de P y x

i−1≤ t ≤ x

i

|γ′(t)− γ′(xi)| < ε

|γ′(t)| − |γ′(xi)| ≤ |γ′(t)− γ′(x

i)|

< ε

|γ′(t)| < ε+ |γ′(xi)|∫ xi

xi−1

|γ′(t)| dt <∫ xi

xi−1

ε+ |γ′(xi)|dt

≤ ε∆xi+ |γ′(x

i)|∆x

i

|γ′(xi)|∆x

i=

∫ xi

xi−1

γ′(xi) dt

=

∣∣∣∣∣∫ xi

xi−1

[γ′(t)− γ′(xi)− γ′(t)] dt

∣∣∣∣∣≤

∣∣∣∣∣∫ xi

xi−1

γ′(t) dt

∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∫ xi

xi−1

γ′(xi)− γ′(t) dt

∣∣∣∣∣≤∣∣γ(x

i)− γ(x

i−1)∣∣+ ε∆x

i



Nos queda ∫ xi

xi−1

|γ′(t)| dt ≤ 2ε∆xi+∣∣γ(x

i)− γ(x

i−1)∣∣

Simplemente nos queda∫ b

a

|γ′(t)| dt ≤ 2ε(b− a) + Λ(P, γ)

≤ 2ε(b− a) + Λ(γ)

Entonces

Λ(γ) ≤∫ b

a

|γ′(t)| dt

≤ 2ε(b− a) + Λ(γ)

∴ Λ(γ) =

∫ b

a

|γ′(t)| dt

Sucesiones y Convergencia de Funciones

Definicion

fn : n ∈ N es un conjunto de funciones en E. fn : E −→ RDefinimos lim

n→+∞fn = f = fn converge (puntualmente) a f si y solo si lim

n→+∞fn = f(x) ∀x ∈ E

1.d

dxlim

n→+∞fn = lim

n→+∞

d

dxfn

2. limx→a

limn→+∞

fn = limn→+∞

limx→a

fn(x)

Ejemplo

1. fn(x) =nx

x+ 1limx→1

[lim

n→+∞

nx

x+ 1

]= 1 lim

n→+∞

[limx→1

nx

x+ 1

]= 1

2. fn(x) = xn

x ∈ [0, 1] Pn(x) = x− 1

6x

3

+ . . .+(−1)

2n

(2n+ 1)!x

2n+1

Pn(x) −→ sin(x)

3. Contraejemplo

fn(x) =n

n+1

x

x 6= 0 fn(0) = 1 limx→0

limn→+∞

n

n+1

x

= 1 limn→+∞

limx→0

n

n+1

x

= 0

fn son funciones continuas, fn −→ f y f no es continua

Convergencia Uniforme

Definicion

Sea fn una sucesion de funciones, fn : E −→ RDecimos que fn converge uniformemente a f. (fn

u−→ f) si y solo si

∀ ε > 0 ∃N : ∀x ∈ E ∧ ∀n ≥ N : |fn(x)− f(x)| < ε

Convergencia puntual: ∀ ε > 0 ∧ ∀x ∈ E ∃N : n ≥ N =⇒ |fn(x)− f(x)| < ε



Ejemplo

1. fn −→ f pero no fnu−→ f

fn(x) =n+ 1

nxE =]0, 1[

∀x ∈ E : limn→+∞

fn(x) =1

x≡ f(x)

2. x2 − 2 = 0 xn+1 = xn −

x2

n− 2

2xnx1 = 1 xn −→

√2

x1 = 1 x2 = 1−(−1

2

)x3 =

3

2−

(3

2

)2

− 2

3

=3

2=

13

12

Espacio Completo: espacio metrico donde todas las sucesiones de Cauchy convergen dentro delespacio

Sucesiones de Cauchy y Convergencia

Definicion

fn es una sucesion (de funciones) de Cauchy si y solo si para todo ε > 0 existe N tal queparan,m ≥ N y para todo x en el dominio de las fn tenemos que |fn(x)− fm(x)| < εfn

u−→ f si y solo si fn es una sucesion de Cauchy. fn : E −→ R

Demostracion

Si

fnu−→ f =⇒ ∀ ε > 0∃N :∀n ≥ N ∧ ∀x ∈ E =⇒ |fn(x)− f(x)| < ε

2

∀m ≥ N ∧ ∀x ∈ E =⇒ |fm(x)− f(x)| < ε

2=⇒ |fn(x)− fm(x)| ≤ |fn(x)− f(x)| − |fm(x)− f(x)|

< ε

Metiendo a f(x) de colado y la desigualdad triangular∴ fn es una sucesion de CauchyAhora sea fn una sucesion de Cauchy∀x ∈ E fn(x) converge a f(x) y ∀ ε > 0∃ N comun a todos x ∈ tal que

n ≥ N ∧ x ∈ E =⇒ |f(x)− fn(x)| < ε

∴ fnu−→ f

Ejemplo

Dar una sucesion convergente pero no uniformemente convergente

fn(x) =n+ 1

nx]0, 1[ fn(x) −→ f(x) =

1

xpero fn

u

6−→ f ε = 0, 1∣∣∣∣10

9x− 1

x

∣∣∣∣ = |fn(x)− f(x)|

=1

x

∣∣∣∣19∣∣∣∣



El problema es que si x =1

90

11

90

∣∣∣∣ 1

90

∣∣∣∣ = 10 > 0.1

∀ ε > 0 ∧ ∀N ∃x ∈ E : |fn(x)− f(x)| > ε (ε = 1)P.D. Siempre existe x ∈]0, 1[: |fn(x)− f(x)| > 1∣∣∣∣n+ 1

nx− 1

x

∣∣∣∣ =1

n

1

x

=1

n

1(1

n+ 1

)=

n+ 1

n> 1

Teorema

Suponga que limn→+∞

fn(x) = f(x) ∀x ∈ EDefinimos Mn = sup

x∈E|f(x)− fn(x)|

fnu−→ f si y solo si lim

n→+∞Mn = 0

Demostracion

1. P.D. limn→+∞

Mn = 0 =⇒ fnu−→ f

Sea

ε > 0 =⇒ ∃N : n ≥ N

=⇒ Mn < ε

Tambien

∀x : |f(x)− fn(x)| ≤ Mn

< ε

∴ fnu−→ f

2. fnu−→ f =⇒ lim

n→+∞Mn = 0

∀ ε2> 0∃N/n ≥ N ∧ ∀x ∈ W : |fn(x)− f(x)| < ε

2=⇒ sup

x∈E|fn(x)− f(x)| = Mn

≤ ε

2

∴ limn→+∞

Mn = 0

Teorema de Weierstrass

Sea fn : E −→ R tal que |fn(x)| ≤Mn ∀x ∈ ESi∑Mn converge, entonces

∑fn(x) converge uniformemente



Demostracion

P.D. Sk =+∞∑n=1

fn(x) es de Cauchy

Es decir, |Sp − Sp+1| = |fp+1(x)| es tan pequeno como queramosSi∑Mn converge entonces Mn −→ 0, esto quiere decir que

∀ ε > 0 ∃N : ∀n ≥ N , |Mn| < ε =⇒ |Sn − Sn+1| < ε

=⇒ Sk es de Cauchy

Ejemplo

ex

= 1 + x+x

2

2+ . . .+

xn

n!+ . . . hay convergencia uniforme. Tomamos

fn(x) =

∣∣∣∣xnn!

∣∣∣∣≤ Nn

n!= Mn

Si |x− a| < R tomamos sup|x−a|<R

|x| = M

∑Mn = e

Mpor lo tanto

∑ xn

n!converge uniformemente en |x− a| < R

Continuidad y Convergencia Uniforme

Supongamos fnu−→ f en E (espacio metrico). Sea x punto limite de E

Si limt→x

fn(t) = An (n = 1, 2, . . .) entonces An y limt→x

f(t) = limn→+∞

An

limt→x

[lim

n→+∞fn(t)

]= lim

n→+∞

[limt→x

fn(t)]

Recordatorio

x es punto limite de E si y solo si para todo vecindario de x (Vx) entonces E ∩ [Vx − x] 6= ∅

Demostracion

Sea ε > 0 entonces existe N ≥ 0 tal que si n,m ≥ N . Para todo t |fn(t)− fm(t)| < ε

Individualmente fn(t)t→x−→ An o simplemente lim

t→xfn(t) = An

Tenemos entonces que cuando t→ x , |An − Am| < εNos queda que An es de Cauchy entonces convergeP.D. lim An = lim

t→xf(t) An −→ A

|f(t)− A| ≤ |f(t)− fn(t)|+ |fn(t)− An|+ |An − A|

≤ ε

3+ε

3+ε

3< ε

∃N : |f(t)− A| < εEsto es cierto para todo t ∈ E incluido x ∈ E



Ejemplo

limx→0

ex

= limx→0

[+∞∑n=0

xn

n!

]

=+∞∑n=0

[limx→0

xn

n!

]= 1

Teorema

Si fnu−→ f. fn es continua en E (n = 1, 2, . . .) entonces f es continua en E

1. Garantizar convergencia uniforme

2. Cn es continua

Demostracion

P.D. limx→t

f(t) = f(x) ∀x ∈ E

limx→t

[lim

n→+∞fn(t)

]= lim

n→+∞

[limx→t

fn(t)]

por convergencia uniforme

= limn→+∞

fn(x)

= f(x)

Teorema

Sea K un compacto en un espacio normado si

1. fn funciones continuas en K

2. fn converge puntualmente a una funcion continua f

3. fn(x) ≥ fn+1(x) ∀x ∈ K entonces fnu−→ f en K

Teorema

fnu−→ f y fn son continuas entonces f es continua en E

Demostracion

Astucia: gn = fn − fVamos a demostrar que si ε > 0. Kn = x : gn(x) ≥ ε =⇒ ∃N : n ≥ N.Kn = ∅Primero Kn es compacto. Kn es cerrado dentro de un compacto entonces es compactoSegundo Kn ⊃ Kn+1

Si ningun Kn = ∅ (n = 1, 2, . . .) entonces ∩Kn 6= ∅Como fn(x) −→ f(x)∗ ∀x ∈ K podemos encontrar N ≤ p : fp(x)− f(x) < ε. Si suponemos que

∩Kn 6= ∅ =⇒ ∃ x : Kn (n = 1, 2, . . .) junto con ∗=⇒ fp(x)− f(x) < ε ≥ ε −→←−

∴

∩Kn = ∅ =⇒ ∃N : n ≥ N , Kn = ∅=⇒ ∀ x : fn(x)− f(x) < ε



Integracion y Convergencia

Teorema

Sea α creciente. Sea fn ∈ R(α) en [a, b] (n = 1, 2, . . .) y fnu−→ f entonces fn ∈ R(α) en [a, b] y∫ b

a

f dα = limn→+∞

∫ b

a

fn dα

Demostracion

εn = sup[a,b]

|fn(x)− f(x)|∫ b

a

(fn(x)− εn) dx ≤∫a

¯

b

f dα

εn ≥ |fn(x)− f(x)| ≤∫ b

a

f dα

fn(x)− εn ≤ f(x) ≤∫ b

a

(fn(x)− εn) dα

≤ fn(x) + εn

Cuando εn → 0

∫ b

a

f dα existe (por convergencia uniforme)

Cuando n→ +∞ : ∫ b

a

f dα = limn→+∞

∫ b

a

fn(x) dα

=

∫ b

a

limn→+∞

fn(x) dα

Truco

1

1 + x= 1− x+ x

2 − x3

+ . . .+ (−1)n

xn

+ . . .∫1

1 + x= ln(1 + x)∫ [

1− x+ x2 − x3

+ . . .+ (−1)n

xn

+ . . .]

= x− x2

2+x

3

3− x

4

4+x

5

5+ . . .+ (−1)

n+1 1

nxn

+ . . .

ln(2) =+∞∑n=1

(−1)n+1 1

n

Series y Convergencia Uniforme

1. Series de potencia y series de Taylor

2. Series de Fourier1

2π

∑an sin

(nl

2πx

)+ bn cos

(nl

2πx

)3. Series de funciones ortogonales (polinomios de Lebesgue, Laguerre

fn para trabajar con series tomamos fn =n∑i=0

aixi

Si fnu−→ f entonces:

1. limt→x

[lim

n→+∞fn(t)

]= lim

n→+∞

[limt→x

fn(t)]

Sea n ≤ m : |fn(x)− fm(x)| =∣∣∣an+1x

n+1+ . . .+ amx

m∣∣∣ donde |fn(x)− fm(x)| es la sucesion

de Cauchy

2. Si fn es continua, f es continua (especificamente para series de potencia si aixi

es continua)

3. limn→+∞∫ bafn(t) dt =

∫ ba

limn→+∞ fn(t) dt



Ejemplo

e = limx→1

ex

= limn→+∞

[limx→1

+∞∑k=0

xk

k!

]

= limn→+∞

+∞∑k=0

1

k!

Observacion

La convergencia no uniforme implique limn→+∞

∫ b

a

fn(t) dt 6=∫ b

a

limn→+∞

fn(t) dt

Ejemplo

limn→+∞

n∑m=0

1

m+ 1= lim

n→+∞

n∑m=0

1

1 +1

m

· 1

m

=

∫ 1

0

1

x+ 1dx

1

m−→ dx

= ln(x+ 1)

∣∣∣∣10

= ln(2)

Diferenciacion y Convergencia Uniforme

Teorema

Sea fnu−→ f. fn (∀n) y f ′ son C ′ entonces lim

x→x0

df

dx(x) = lim

n→+∞

[limx→x0

dfndx

(x)

]Ejemplo

2x

= ex ln(2)

limx→0

d

dx2x

= limn→+∞

[limx→0

ex ln(2)

ln(2)]

= ey

= limn→+∞

ln(2)

= 1 + y +y

2

2+ . . .+

yn

n!+ . . . = ln(2)

φ(x) = x cuando x ∈ [−1, 1]φ(x+ 2) = φ(x) (periodica con p = 2)

Proposicion φ

1. 0 ≤ φ(x) ≤ 1 ∀x ∈ R

2. |φ(s)− φ(t)| ≤ |s− t|

3. φ es continua

Si |s− t| < δ tomamos ε = δ entonces |φ(s)− φ(t)| < ε



Definicion

f(x) =+∞∑n=0

(3

4

)nφ(4n

x) +∞∑

n=0

(3

4

)n=

1

1− 3

4= 4

4nω :frecuencia

Si fk(x) =

k∑n=0

(3

4

)nφ(4n

x)

fk u−→ f

Ocupamos una cota para ∣∣∣∣(3

4

)nφ(4n

x)∣∣∣∣ ≤ (3

4

)n= Mn

Si fn(x) =+∞∑n=0

φn(x) y |φn(x)| ≤M donde∑Mn converge, entonces fn

u−→ f

f es continua en R. Para probar que nunca es diferenciable

f(x+ δ)− f(x)

δ=

+∞∑n=0

(3

4

)n [φ(4n

(x+ δ))− φ

(4n

x)]

δ

Para n, x arbitrario φ′ =φ(4n(x+ δ)

)− φ

(4nx)

δδ′ = 0 δ

2= 1 δm = 4

−m (12

)φ(4(x+ δn)) = φ

(4n

x+1

2

)Encuentra φ′ cuando n < m , φ′ = 0Ahora cuando n ≤ m nunca es cero

φ(4n(x+ δ)

)− φ

(4nx)

δ≤ 4

n(x+ δ)− 4

nx

4−m(

1

2

)≤ 1

φ′ > 1

Series de Potencias (Funciones Analıticas)

Sea f(x) =+∞∑n=0

cnxn

cn ∈ R (n = 1, 2, . . .)

Teorema

Si f(x) =+∞∑n=0

cnxn ∀ |x| < R entonces

+∞∑n=0

cnxn

u−→ f(x) en [−R+ε, R−ε] compacto (∀ ε > 0).

Ademas f es diferenciable y f ′(x) =+∞∑n=1

n cnxn−1

Demostracion

P.D.∑

cnxn

converge uniformementeSea [−R + ε, R− ε]⇐⇒ |x| ≤ R− ε ∣∣cnxn∣∣ ≤ ∣∣cn(R− ε)n

∣∣= Mn



Notemos que∑

Mn converge∑Mn existe =⇒

n∑k=0

ckxk

u−→ f(k) lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h←− dx

n

dx= nx

n−1

P.D. Las sumas parciales convergenn∑k=0

k ckxk−1

converge con el mismo radio de convergencia

Ejemplo

+∞∑k=0

xn

=1

1− x|x| < 1

Criterio de la Razon

limk→+∞

∣∣∣∣∣(k + 1)ck+1xk

k ckxk+1

∣∣∣∣∣ = limk→+∞

k + 1

k

∣∣∣∣ck+1

ck

∣∣∣∣ |x|= lim

k→+∞

∣∣∣∣ck+1

ck

∣∣∣∣ |x|Que es exactamente el limite de f(x)

f ′(x) =+∞∑n=0

n cnxn−1

cn ∈ R (n = 0, 1, 2, . . .)

Teorema de Abel

Suponga f(x) =+∞∑n=0

cnxn

(−1 < x < 1) entonces limx→1

f(x) =+∞∑n=0

cn (continuidad tanto cualita-

tiva como cuantitativamente)



Teorıa de la Medida

Definicion

R es un anillo o algebra de conjuntos si y solo si R es una familia tal que si a,B ∈ R entoncesA ∪B ∈ R ∧ A−B ∈ R

R es un anillo o σ-algebra si y solo si R es un anillo de conjuntos y si An ∈ R entonces+∞⋃n=1

An ∈ R

Ejemplo

R es un anillo de R , R = ∅,R

Observacion

1. Si R es un anillo entonces R tambien es cerrado para la interseccionSi A,B ∈ R entonces A−B ∈ R

A ∪B = A− (A−B) ∈ R ∪R tiene que existir

A−B = A ∩B

A− (A ∩B)

= A ∩[A ∩B

]= A ∩

[A

∪B]

(A ∩ A

)∪ (A ∩B) = A ∩B

2. Si R es un σ-algebra+∞⋂n=1

An

∪R =

(+∞⋃n=1

An

)

= ∪R

[+∞⋂n=1

A

n

]

=+∞⋂n=1

A

n

Ejemplo

Algebra pero no σ-algebra en RR = r ⊂ R ∧ |r| = n

Simplemente K donde K ∈ N+∞⋃k=1

K = N /∈ R

Observacion

La diferencia entre algebra y σ-algebra

Algebra Si Ai : i ∈ N ⊂ R A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An ⊂ R

σ-algebra A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An ⊂ R

Funcion de Conjuntos

Definicion

Es una funcion φ : 2Ω −→ R. En general φ : R −→ R donde R es σ-algebra

Eventos ←→ R un algebra



Ejemplo

1. Un dado con Pr(x = 1 ∨ 2) =1

3x = 1 ∨ 2 no es un numero, es un eventoPara nosotros va a ser un subconjunto de Ω. 1, 2 ⊂ Ω

2. Lanzamiento de dados. Pr(x = 1 ∨ 2) = Pr(x = 1) + Pr(x = 2)En general Pr(A ∪B) = Pr(A) + Pr(B)− Pr(A ∩B)

Funcion Aditiva

Definicion

Es una funcion de conjuntos φ : R −→ R (R es algebra) tal que si A,B ∈ R y A∩B = ∅ entoncesφ(A ∪B) = φ(A) + φ(B)

Funcion Contablemente Aditiva

Definicion

Es una funcion aditiva definida en un σ-algebra tal que φ

(⋃i∈N

Ai

)=∑i∈N

φ(Ai)

Ejemplo

Funcion aditiva

R : A ∈ R ⇐⇒ A ⊂ R ∧ #A = n

=⇒ φ(A) = #A

No es contablemente aditiva ya que R no es σ-algebra

Propiedades

Si φ es una funcion aditiva sobre R entonces

1. φ(∅) = 0 φ ∩ A = ∅ donde A ∈ R

φ(∅ ∪ A) = φ(∅) + φ(A)

= φ(A) =⇒ φ(∅) = 0

2. Si Ai ∩ Aj = 0 entonces φ (A1 ∪ . . . ∪ An) = φ(A1) + . . .+ φ(An)H0 : A1 ∩ A2 = ∅ =⇒ φ (A1 ∪ A2) = φ (A1) + φ (A2)Hn: funciona para n− 1

φ(A1 ∪ . . . ∪ An−1

)= φ (A1) + . . .+ φ

(An−1

)P.D. Hn implica Hn+1(A1 ∪ . . . ∪ An−1

)∩ An = ∅ y esto implica la conclusion

3. φ (A1 ∪ A2) + φ (A1 ∩ A2) = φ (A1) + φ (A2)

(A1 − A2) ∪ (A2 − A1) ∪ A1 ∩ A2 = A1 ∪ A2

φ (A1 ∪ A2) = φ (A1 − A2) + φ (A1 − A2) + φ (A1 ∩ A2) + φ (A1 ∩ A2)

− φ (A1 ∩ A2)

= φ (A1) + φ (A2)− φ (A1 ∩ A2)

Nos queda

φ (A1 ∪ A2) + φ (A1 ∩ A2) = φ (A1) + φ (A2)

(a) Si φ(A) ≥ 0 ∧ A1 ⊂ A2 =⇒ φ (A1) ≤ φ (A2) monotonia

(b) Si φ(A−B) = φ(A)− φ(B) donde B ⊂ A y |φ(B)| < +∞



Recordatorio

f es continua si y solo si ∀ xn −→ x entonces f(xn) −→ f(x)

Teorema

Sea φ una funcion contablemente aditiva definida en un σ-algebraSea A1 ⊂ A2 ⊂ . . . ⊂ An ⊂ . . . y A = ∪An entonces φ(An) −→ φ(A)

Demostracion

Como φ es aditiva contable entonces

φ(A) = φ(∪An)

=+∞∑n=1

φ(An)

Definimos la sucesion de conjuntos Bn

B1 = A1 B2 = A2 − A1 B3 = A3 − A2 − A1 Bn = An −

n−1⋃k=1

Ak

= An − An−1

∀ i 6= j : Ai ∩ Aj = ∅. Sin perdida de generalidad i < j , j ≤ i− 1 entonces Ai − Ai−1∩ A

i−1= ∅

An = B1 ∪B2 ∪ . . . ∪Bn φ(An) = φ(B1) + . . .+ φ(Bn)

= A1 ∪ A2 − A1 ∪ A3 − A2 ∪ . . . ∪ An − An−1 =n∑k=1

φ(Bk)

Esto quiere decir n→ +∞ , φ(An) −→ φ(A)

Definicion

Intervalo o caja [a1 , b1 ]×]a2 , b2 [×[an , bn ]

Medida de una caja m(I) =n∏i=1

(bi− a

i)

Conjunto elemental] Es la union finita de cajas

E : familia de todos los conjuntos elementales de Rn

Si A ⊂ E y A = I1 ∪ I2 ∪ . . . ∪ In (disjuntos o pares) y ∀ i 6= j : Ii ∩ Ij = ∅

m(A) = m(I1) +m(I2) + . . .+m(In)

Ejemplo

En R E esEn R2 E es

Observacion

1. E es un algebra pero no un σ-algebra

An =

[n.n+

1

2

]∪ An /∈ E

2. Si A ∈ E entonces se puede escribir (poner) como la union finita de cajas disjuntas



3. Si A ∈ E la m(A) esta bien definida

4. m es aditiva en E

A ∩ C = ∅. Como A ∈ E podemos decir que A = A1 ∪ . . . ∪ AnI1 ∩ I2 = [a1 , b1 ]× [a2 , b2 ] B1 = A1 B2 = A2 − ∪A2 ∩ A1

H0 : A1 es la union de cajas disjuntasHipotesis de induccion, asumimos Hn (n son union de cajas disjuntas)P.D. Hn+1

A = B1 ∪B2 ∪ . . . ∪Bn B1 = [a1 , b1 ]× . . .× [am , bm ]

An+1 = [a′1, b′

1]× . . .× [a′

m, b′

m]

Tomamos

min b1 , b′1 = d1 max a1 , a

′1 = c1

Aa

n+1= [b1 , b

′1]× . . . A

b

n+1= [a′

1, b′

1]× . . .

Cada interseccion de Bi con An+1 se puede escribir como la union de cajas disjuntas∴ Hn+1 es cierto

Ejemplo

1. Vamos la medida alternativa de E (conjunto elemental de R)Sea α : R −→ R una funcion estrictamente creciente (α no necesariamente continua)

µ]a, b] = α(b

+)−(a

+)

µ[a, b] = α(b

+)−(a−)

µ]a, b[ = α(b−)−(a

+)

µ[a, b[ = α(b−)−(a−)

Por el contrario m[a, b[= b− a donde α(b

+)

= limx→b+

α(x) ∧ α(b−)

= limx→b−

α(x)

2. Sea α =

0 x < 0

x+ 1 0 ≤ x ≤ 2

ex

+ 1 2 < x < +∞µ]0, 2] = e

2 − 1 µ[0, 2] = e2

µ[0, 2[= 3 µ]0, 2[= 2

Con esta misma idea se puede medir cualquier E en Rn

R2

µ(]0, 2[×[1, 2[) = µ]0, 2[·µ[1, 2[

m(]0, 2[×[1, 2[) = (2− 0)× (2− 1)

= m]0, 2[·m[1, 2[

La idea es crear m∗ = supE∈E ∧E⊂A

m(E)

Definicion

Sea φ : E −→ R donde φ es:

1. No negativa

2. Aditiva

Decimos que φ es regular si y solo si ∀A ∈ E y ∀ ε > 0 ∃F,G ∈ E donde F es cerrado, G es abierto.Donde F ⊂ A ⊂ G y

φ(G)− ε ≤ φ(A) ≤ φ(F ) + ε φ(F ) ≤ φ(A) ≤ φ(G)

Para todo ε > 0 se puede encontrar F,G tal que φ(G)− ε ≤ φ(A) ≤ φ(F ) + εAseveracion m(]a, b]) = b− a es una funcion regular



Ejemplo

Sea A = [1, 2[ ε = 0.01. Encuentre F y G

F = [1, 2− ε[ m(G)− 0.01︸︷︷︸1

≤ m(A)︸︷︷︸1

≤ m(F ) + 0.01︸︷︷︸1

G = ]1− ε, 2[

Teorema

m]a, b] = b− a es una funcion regular

Demostracion

Por induccion para n = 1

Para todo ε > 0 si A = [a, b] entonces tomamos F =[a+

ε

2, b− ε

2

]∧ G =

]a− ε

2, b+

ε

2

[Notemos que mF = b− a− ε ∧ mG = b− a+ εTomamos el caso para n como cierto. Demostramos que implica n+ 1

A = [a1 , b1 ]× . . .× [an , bn ]× [an+1 , bn+1 ]

Por hipotesis de induccion para A−1 existen mG−1 − εn/n+1 ≤ mA−1 ≤ mF−1 + ε

n/n+1

Notemos que mA = mA−1

(bn+1 − an+1

). Tomamos

G = G−1 ×]an+1 − ε

1/n+1

, bn+1 + ε1/n+1

[F = F−1 ×

[an+1 + ε

1/n+1

, bn+1 − ε1/n+1

]mG = mF−1

(bn+1 − an+1 + ε

2/n+1)

Definicion

Sea Ai un cubrimiento de conjuntos elementales de un conjunto EAi : i = 1, . . . , n. Recordando Bi : i = 1, . . . , n Bi ⊂ E

m∗(E) = supn⋃i=1

Bi

m∗ es aditiva (medida exterior). Se define µ∗

(medida exterior) como

µ∗(E) = inf

+∞∑i=1

µ(Ai) −→ µ(]a, b]) = b− a

Ejemplo

Sea E = [0, 1]+∞∑n=0

1

2n= 2 medida deseable

No se puede medir con conjuntos elementales, pero con familias numerables

An = [n, n+ 1] : n = 0, 1, . . .+∞∑n=0

µAn = +∞ µ∗(E) < +∞

Simplemente tomamos A =

[0, 1], n+[2n, 2

n+1]

: n = 0, 1, . . .

al sumar n se traslada al intervalo

µ∗(E) =

∑Ai∈A

µ(Ai)

= 2



Conjunto de Cantor

C0

C1

C2

C3

C∞Medida de lo que se quita:

+∞∑n=0

2n

3n+1 =1

3

+∞∑n=0

(2

3

)n

=1

3

1

1− 2

3

= 1

Medida de lo que queda

1−+∞∑n=0

2n

3n+1 = 0

Medida exterior A = A1 , . . . , An Ai ∈ E son numerables

∀A : µ∗

= infA

+∞∑i=1

µ(Ai)

C∞ es a la vez totalmente desconexo, no numerable µ∗(C∞) = 0

Tenemos definido Ci donde C0 = [0, 1] ∧ C1 = [0, 13], [2

3, 1]

µ∗(B) ≥ 0

Los Ci siempre cubren C∞

0 ≤ µ∗(C∞)

≤ µ∗(Cn) para cualquiern

= 0

∴ µ∗(C∞) = 0

Observacion

Intervalo medida cero # [a, a] = 1

C∞ =⋃

a∈C∞

[a, a] no se puede reducir mas

Si x, y ∈ C∞ tiene que existir n tal que y − x > 3−n

=⇒ y = x + 3−n

que es lo que se quito delconjunto de CantorRecordemos que µ : E −→ R donde µ es:

1. No negativa

2. Regular

3. Aditiva

4. Finita

µ∗(A) = inf

A

∑µ∗(En) donde A = En : n = 1, 2, . . .. A ⊂ ∪A



Teorema

1. Si A ∈ E entonces µ∗(A) = µ(A)

2. Si E =+∞⋃n=1

En entonces µ∗(E) =

+∞∑n=1

µ∗(En) subaditividad

Demostracion

1. P.D. Como µ es regular entonces existe F ⊂ A ⊂ G (F cerrado, G abierto, F,G ∈ E) tal quepara todo ε > 0

µ(G)− ε < µ(A) < µ(F ) + ε

µ(G) < µ(A) + ε

Por definicion

µ∗(A) ≤ µ(A)

Por definicion de µ∗(A) existe

A = En :+∞∑n=1

µ(En) ≤ µ∗(A) + ε

N∑n=1

1

2n≥ 1− ε

Recordemos que F es un conjunto elemental (union finita de cajas). F compactoComo ∪A ⊃ A.A es un cubrimiento abierto de F entonces existen

E1 ∪ . . . ∪ En ⊃ F : µ∗(A) ≤ µ(F ) + ε

≤ µ(E1 ∪ . . . ∪ EN) + ε

≤N∑i=1

µ(Ei) + ε por aditividad

≤ µ∗(A) + 2ε

(a) µ∗(A) ≤ µ(A)

(b) µ(A) ≤ µ∗(A) + 2ε ∀ ε > 0

∴ µ(A) = µ∗(A)

2. P.D. ∀ ε > 0 ∧ En ∃ Ank k = 1, 2, . . . tal que+∞∑n=1

µ(Ank) ≤ µ∗(En) + 2

−nε ∗

Recordando que∑

µ(En) ≤ µ∗(A) + ε de la parte anterior

µ∗(E) ≤

+∞∑n=1

+∞∑k=1

µ(Ank)

≤+∞∑n=1

µ∗(En) + ε

+∞∑n=1

2−n

︸︷︷︸ε

Por ∗ En ⊂+∞⋃n=1

Ank



Medida y Topologıa

R: ¿Habra algun abierto con medida cero?Si A ⊂ R es abierto (topologıa habitual) A 6= ∅x ∈ A =⇒ ∃ ]a, b[ vecindario de x. Sea x ∈]a, b[⊂ A

µ∗]a, b[ ≤ µ

∗(A)

0 < (b− a) ≤ µ∗(A)

¿Compacto con medida cero? 1 , 1, 2

Teorema

Compacto con medida cero es finitoSi K es compacto+medida cero (en R) entonces K es finito

Demostracion

Asumamos que K es compacto e infinitoSi K es compacto =⇒ K es acotado

B =

1

n: n ∈ N

∪ 0 es compacto

Cubrimos cada+∞∑n=1

ε

2n= ε

µ∗(B) = 0

Todo conjunto numerable es de medida cero, pues para cada x ∈ B tomamos un vecindario de

medida ceroε

2n

µ∗(B) ≤

+∞∑n=1

ε

2n

= ε

Observacion

No hay ninguna relacion con los conjuntos cerrados y la medidaφ es regular si y solo si ∀A∃F,G : φ(G)− ε ≤ φ(A) ≤ φ(F ) + ε

Teorema

Si A es abierto y denso. µ∗A ≥ µ

∗K para todo conjunto medible

Definicion

Diferencia simetrica Si A,B ⊂ Rnentonces:

S(A,B) = (A−B) ∪ (B − A)

S(A,B) = S(B,A)

Distancia entre conjuntos d(A,B) = µ∗(S(A,B))

Convergencia An −→ A⇐⇒ d(An, A) −→ 0Metrica d : E −→ R

1. d(a, b) = 0 si y solo si a = b

d(A,A) = µ∗(S(A,A))

= µ∗((A− A) ∪ (A− A))

= 0



2. d(a, b) = d(b, a) queda por la diferencia simetrica

3.

d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b)

d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B)

µ∗(S(A,B)) ≤ ?

d(Cantor, ∅) = 0

µ-medible (M(µ))

Definicion

Sea E los conjuntos elementales de Rpentonces:

A es infinitamente µ-medible (A ∈MF

(µ)) si y solo si ∃ An ⊂ E : An −→ AE es µ-medible (E ∈M(µ)) si y solo si E es la union numerable de conjuntos Fmµ-medible ⇐⇒ ∃An ⊂M

F(µ)/E = ∪An

Cubren a CantorA0 = C0

A1 = C1

An = Cnd(Cn, C) −→ 0 d(Cn, C)︸︷︷︸

=0

≤ d(Cn, I)︸︷︷︸=0

+ d(C, I)︸︷︷︸=0

Observacion

Cn, C singular

d(A,B) = det(A·B)

≤ d(I, Cn)︸︷︷︸0

+ d(I, C)︸︷︷︸0

= 0

Recordatorio

µ∗A = inf

E

∑µAn donde A ⊂ ∪An

Teorema

1. M es un σ-algebra

2. µ∗

es contablemente aditiva en M(µ)

Demostracion

P.D. Los conjuntos finitamente medibles son un σ-algebra (MF

(µ))

1. La union de dos conjuntos finitamente medibles es medible

2. La diferencia de dos conjuntos finitamente medibles es medible

Supongamos A,B ∈MF

(µ)⇐⇒ ∃An ∧ Bn ∈ E : An −→ A ∧ Bn −→ BEn general

An ∪Bn −→ A ∪BAn −Bn −→ A−B

An −→ A ⇐⇒ d(An, A) −→ 0m

∀ ε∃N : n ≤ N

µ : M(µ) −→ R ∧ µ∗A = µA



Medida de Lebesgue

Definicion

La extension a M(µ) donde µ = m.m]a, b[= b− a

Resultados

1. Sea A un abierto, entonces A ∈M(µ)Notemos que B ⊂ E donde B = todas las cajas abiertasb ∈ B si y solo si b =]− [× . . .×]− [B es una base de la topologıa habitual de Rn

A es la union contable de elementos de B, o sea de E∴ A ∈M(µ)

2. µ (extension) es regular si y solo si para todo A ∈ M(µ) y ε > 0 existen F (cerrado) y G(abierto) donde F ⊂ A ⊂ G tal que µG− ε ≤ µ(A) ≤ µF + εSea g

i: i ∈ N un cubrimiento de A por abiertos tal que µg

i≤ 2

−ıε

Cubrimos a A con una familia numerable de abiertosPor otro lado A ∈M(µ) existe tal que An ∈MF

(µ) y A = ∪An

(a) Entonces existe G tal que A ⊂ G.G abierto y µ(G− A) < εRecordemos que

µA = µ∗A

= inf+∞∑n=0

µAn

Entonces para ε existe un cubrimiento abierto y elemental En tal que

+∞∑n=0

µEn − µ∗A < ε G = ∪En µG ≤

∑µEn

Podemos ver que A ⊂ G

0 ≤ µG− µA

≤∑

µEn − µA

< ε

Tenemos que µG− µA < ε =⇒ µ(G− A) < ε , [(G− A) ∩ A = ∅]

µ(G− A) ≥ µG− µAµ(G− A) + µA ≥ µG

µ(G− A) + µA = µG

µ(G− A) = µG− µA

(b) Entonces existe F tal que F ⊂ A.F cerrado y µ(A− F ) < ε.A ⊂ F

Notemos que quiere decir F ⊂ A. Sabemos que µ(F

− A)< ε

P.D. µ(A− F ) < ε

F − A

= F ∩ A µ(A− F ) = µ

(F

− A)

= A ∩ F < ε

= A− F



Conjuntos de Borel

B(R) = BEs la σ-algebra mas pequena que contiene a todos los intercvalos abiertosEquivalentemente son todos los conjuntos generados por las intersecciones y uniones de abiertos ycerrados

B ∈ B ⇐⇒ B = ∪Kn ∨ ∩An

Teorema

Para toda µ los conjuntos de medida cero forman un σ-algebra

Espacio Medible

Un conjunto X es medible si y solo si existe un σ-algebra de subconjuntos de X (M) y una funcionµ

1. No negativa

2. Contable

3. Aditiva

Ejemplo

N = 0, 1, . . . son un conjunto medible. M = 2N

µ(n) =λn

eλn!distribucion de Poisson

Buscar Pr(n ∈ N)

Pr(n ∈ N) =+∞∑n=1

µ(n)

=1

eλ∑ λ

n

n!

=eλ

eλ

= 1

Funcion Medible

Definicion

Sea f : X −→ R (X medible). f es medible si y solo si para todo a ∈ R entonces x : f(x) > aes medible

Ejemplo

Si f : R −→ R y f es continua entonces f es medibleSabemos que todo abieto es medible. Notemos que f(R) ⊃ f(x) : f(x) > a Y = f(X) Y ⊂ RLos conjuntos del tipo A = f(x) > a : x ∈ R. A ⊂ Y son abiertos en Y

f−1

(A) = x ∈ R : f(x) > a

Como A es abierto y f es continua: x ∈ R : f(x) > a es abierto∴ Es medible



Teorema

1. x : f(x) > a es medible

2. x : f(x) < a es medible

3. x : f(x) ≥ a es medible

4. x : f(x) ≤ a es medible

Demostracion

1 =⇒ 2 Si todo x : f(x) > a es mediblePor definicion f es medible entonces x : f(x) < a tambien es medible∴ Es medible

2 =⇒ 4 Notemos que+∞⋂n=1

x : f(x) < a+

1

n

= x : f(x) ≤ a

∀ a ∈ R x : f(x) ≤ a

4 =⇒ 3 Es identico a 1 =⇒ 2

4 =⇒ 1 Es evidente


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