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Universidad San Pedro Facultad de Ingeniería E. A. P. de Ingeniería Civil “OBTENCIÓN DE LA CURVA DE CAPACIDAD PARA UN MARCO PLANO DE CONCRETO ARMADO MEDIANTE UN ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL EN EL DISTRITO DE NUEVO CHIMBOTE “. TESINA PARA OPTAR EL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL TESISTAS: CARPIO SALDARRIAGA JORGE DIVAN ZAVALA DE LA CRUZ JOSÉ MANUEL ASESOR: ING. GUMERCINDO FLORES REYES CHIMBOTE – PERÚ AÑO 2012

Analisis No Lineal-momento Curvatura

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Page 1: Analisis No Lineal-momento Curvatura

Universidad San PedroFacultad de Ingeniería

E. A. P. de Ingeniería Civil

“OBTENCIÓN DE LA CURVA DE CAPACIDAD PARA UNMARCO PLANO DE CONCRETO ARMADO MEDIANTEUN ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL EN EL DISTRITO

DE NUEVO CHIMBOTE “.

TESINA PARA OPTAR EL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL

TESISTAS: CARPIO SALDARRIAGA JORGE DIVAN ZAVALA DE LA CRUZ JOSÉ MANUEL

ASESOR: ING. GUMERCINDO FLORES REYES

CHIMBOTE – PERÚAÑO 2012

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RESUMEN

El motivo principal de la tesis es obtener la curva de capacidad mediante el Análisis Estático NoLineal (Pushover) que nos presenta FEMA-356, utilizando el programa de computoSAP2000_V.15.

Para lograr este propósito se toma como ejemplo un edificio de tres pisos, destinada adepartamentos. En la obtención de la curva de capacidad en este trabajo corresponde almarco plano central longitudinal de la edificación pórtico central.

Los resultados del diseño indican que para controlar la deriva se hacen necesarias columnas de45cmX45cm con refuerzo 8Ø3/4”. Las vigas de 30cmx55cm se armaron con cuantías cercanasal 50% de la balanceada.

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SUMMARY

The main reason of the thesis is to not obtain the curve of capacity by means of the StaticAnalysis Lineal (Pushover) that FEMA-356 presents us, using the program of I computeSAP2000_V.15.

To achieve this purpose he/she takes as example a building of three floors, dedicated todepartments. In the obtaining of the curve of capacity in this work corresponds to thelongitudinal central plane mark of the construction central piazza.

The results of the design indicate that to control the drift they become necessary columns of45cmX45cm with reinforcement 8Ø3/4". The beams of 30cmx55cm armed with nearquantities to 50% of the one balanced.

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AGRADECIMIENTOS

A nuestra Alma Mater: Universidad San Pedro fuente de cultura y tecnología en la Región ydocentes que dieron lo mejor de si, para inculcar en nosotros el conocimiento científico y unaformación Ética- Profesional.

A nuestro Asesor: Ing. GUMERCINDO FLORES REYES, Tuvimos el privilegio y la buena fortunade elaborar la presente tesina bajo la supervisión y asesoramiento, nuestros más sincerosagradecimiento a su persona.

Nuestros agradecimientos a los profesores de la Facultad de Ingeniería E.A.P. de IngenieríaCivil, quienes con esmero y mucha dedicación nos dieron lo mejor de sí.

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DEDICATORIA

(JOSÉ M. ZAVALA DE LA CRUZ)

En primer lugar y en forma especial a DIOS Nuestro Padre Celestial quien me da la oportunidadde cumplir mi meta de ser profesional y esta presente en todas las decisiones que tomo en mivida.

Dedico esta tesis:

A mis padres:

Pablo Leonardo Zavala Tapia y Melva Esperanza de la Cruz Alva, como reconocimiento a susgrandes esfuerzos y a sus valiosos consejos. Gracias padres por todo lo que hicieron y aúnsiguen haciendo por mí.

A mis hermanos:

Julio, Edwin y Kenyi por su comprensión y toda la valiosa ayuda que me dieron en todo eltiempo que duró la elaboración de este trabajo. Gracias.

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DEDICATORIA

(JORGE D. CARPIO SALDARRIAGA)

En primer lugar y en forma especial a DIOS Nuestro Padre Celestial quien me da la oportunidadde cumplir mi meta de ser profesional y está presente en todas las decisiones que tomo en mivida.

Dedico esta tesis:

A mis padres:

Jorge Carpio Balladares y Virginia Saldarriaga Nolasco, por brindarme todo su apoyoincondicional para realizar mis estudios profesionales y sus buenos consejos. Gracias padrespor siempre querer lo mejor para mí.

A mis tíos:

Jesús Alanya Bravo y Pilar Carpio Balladares, por acogerme en su casa como un hijo más.Gracias por todo su cariño y apoyo que siempre me brindan.

A mis hermanos y primos:

Pilar, Alfredo, yecson, Silvia y mis primos Alexis y Marco por su comprensión y apoyo durantetodos mis estudios universitarios y el tiempo que duro la elaboración de este trabajo. Gracias.

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ÍNDICE

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 10

1.1. Planteamiento del problema 11

1.2. Hipótesis 12

1.3. Objetivos 12

1.4. Justificación 12

CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 15

2.1. Conceptos Básicos de Sismología 15

2.2. Conceptos Básicos de Dinámica Estructural. 23

2.2.1. Grados de Libertad 23

2.2.2. Descripción y Ecuación de Equilibrio Dinámico 24

2.2.3. Vibración Libre 27

2.2.4. Respuestas a Movimiento Del Terreno 29

2.2.5. Respuesta Estructural 29

2.2.6. Amortiguamiento y Ductilidad 29

CAPÍTULO 3. MATERIALES DE CONSTRUCCIÓN 32

3.1. Concreto Simple. 32

3.1.1. Curva Esfuerzo-Deformación 32

3.1.2. Modelos Del Concreto. 36

3.2. Acero De Refuerzo. 37

3.2.1. Modelo Del Acero 37

3.3. Comportamiento Estructural Del Concreto Reforzado 37

CAPÍTULO 4. MÉTODOS DE ANÁLISIS SÍSMICO 40

4.1. Análisis Estático Lineal Equivalente o (ELF) 40

4.2. Análisis Dinámico Lineal. 41

4.3. Análisis Dinámico No Lineal 41

CAPÍTULO 5. DISEÑO ESTRUCTURAL 43

5.1. Diseño por Resistencia 43

5.2. Diseño Por Esfuerzos Admisibles 43

5.3. Conceptos Básicos de Diseño por Desempeño. 43

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CAPÍTULO 6. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL. 46

6.1. Limitaciones Del Análisis Lineal 46

6.2. Importancia De La Relación Momento Curvatura M - ϕ. 48

6.2.1. Puntos Notables Del Diagrama De Momento Curvatura 49

6.2.2. Ecuaciones Empíricas Para El Cálculo Del Diagrama Momento-Curvatura. 49

6.3. Rótulas Plásticas 52

6.3.1. Estimación De La Longitud De La Rótula Plástica 53

6.3.2. Zonas Potenciales de Aparición de Rótulas Plásticas. 54

6.4. Aplicaciones De La Relación Momento-Curvatura 57

6.4.1. Ductilidad Por Curvatura Local 57

6.4.2. Reserva De Ductilidad Por Curvatura 58

6.4.3. Redistribución De Momentos. 58

6.4.4. Inercias Agrietadas 59

6.5. Descripción general del proceso de análisis sísmico inelástico. 60

CAPÍTULO 7. TÉCNICA DEL PUSHOVER 61

7.1. Curva de Capacidad 61

7.2. Distribución De Carga Lateral. 62

7.2.1. Criterio 1: Modo Fundamental. 63

7.2.2. Criterio 2: Modos Superiores 63

7.3. Desplazamiento Tope (target displacement) 64

7.4. Curva de Deformación Plástica. 65

7.5. Descripción General del Proceso de Cálculo 66

7.6. Análisis Estático No Lineal Pushover En SAP2000_V.15 68

CAPÍTULO 8. EVALUACIÓN DE UNA EDIFICACIÓN DE CONCRETO ARMADO DE 3 PISOS EN LACIUDAD DE NUEVO CHIMBOTE 69

8.1. La Edificación Estudiada 69

8.2. Análisis Elástico para Propósitos de Diseño 69

8.2.1. Análisis por Cargas de Gravedad 70

8.2.2. Análisis Sísmico 71

8.3. Diseño 69

8.3.1. Filosofía General de Diseño 74

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8.3.2. Combinaciones para el Diseño 74

8.3.3. Diseño de Vigas 75

8.3.4. Diseño de Columnas 77

8.4. Procedimiento para encontrar curva de Capacidad del marco por medio delprograma SAP 2000_V.15 77

8.4.1. Creación de la Grilla 78

8.4.2. Definición de Materiales 80

8.4.3. Definición de Secciones 82

8.4.4. Creación del Modelo con tipo de Sección y tipo de Apoyo 87

8.4.5. Definir y Asignar de los Carga 87

8.4.6. Definir de Casos de Carga 90

8.4.7. Asignación de las Rótulas Plásticas 95

8.4.8. Definición de las Masas 99

8.4.9. Resultados 100

CAPÍTULO 9. CONCLUSIONES 101

9.1. Conclusiones 101

9.2. Recomendaciones 101

9.3. Trabajos Futuros 102

Referencias 103

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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

A través de la historia los ingenieros han tratado de entender el comportamiento de laestructuras ante los efectos sísmicos. En Perú en el año de 1970 después del sismo de laciudad de Perú que la sociedad entera fijó su atención en la ingeniería sísmica, debido a lagran cantidad de edificios que colapsaron y que tuvo como consecuencia la pérdida demiles de vidas.

En un principio sólo se estudió el comportamiento de los materiales de la construcción enel rango elástico de acuerdo a la ley de Hooke 1635. Entonces las estructuras únicamentese diseñaban para obedecer esta ley sin tomar en cuenta el comportamiento más allá deella, posteriormente se empezó a estudiar las curvas de esfuerzo-deformación y seobservó que en materiales como el concreto los esfuerzo más importantes se encontrabanen la parte que está fuera del dominio de la ley de Hooke, a esta parte en la cual losesfuerzos no son directamente proporcionales a las deformaciones se le dio el nombre deestado no-lineal o estado plástico del material, hoy, inclusive con este conocimiento sesiguen analizando estructuras de concreto basadas en un comportamiento lineal.

Hoy en día las estructuras se diseñan para soportar estados límites de falla y de servicioademás de ser económicas, seguras y aprovechar al máximo las propiedades de losmateriales de construcción. Es por esto que es de suma importancia realizar análisis ydiseños en base al estado inelástico de los materiales ya que esta es la mejor manera deaprovechar los materiales ante estas solicitaciones.

Existen diversos métodos para conocer el comportamiento inelástico de una estructuracomo: el análisis no lineal dinámico el cual es muy complejo para su aplicación, locorrecto sería utilizar el análisis no lineal dinámico pero en vez de éste se utiliza el AnálisisEstático No-Lineal (AENL) el cual es un paso intermedio entre el análisis lineal elástico y elanálisis no lineal dinámico (Aguíar 2003).

Dentro del Análisis Estático No-Lineal (AENL) el más utilizado es el “Pushover”, el cualpermite determinar la capacidad de resistencia de la estructura (diseñada previamente porcualquier código de construcción) y compararla con la demanda posible ante un eventonatural. La demanda depende de diversos factores como la zona sísmica en la cual serádesplantado la estructura, el tipo de suelo, el tamaño e importancia de la estructura. El(AENL) consiste primeramente en hacer actuar las cargas gravitacionales en la estructuraque producen deformaciones en ésta, posteriormente se hacen actuar las cargas laterales;éstas se incrementan de forma gradual hasta que se forma la primera rótula plástica y sepresenta una redistribución de rigidez de la estructura, esta metodología simula de mejorforma lo que acontece en una estructura real, así se procede hasta que la estructurallegue a la falla, es decir que se forme un mecanismo de colapso. Con esto se obtiene unagráfica que muestra dónde y en qué orden se forman las rótulas plásticas en la estructura yla curva que muestra la relación entre el cortante basal contra el desplazamiento en elnivel superior.

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La realización del análisis Pushover es un método iterativo por lo cual resulta convenientela utilización de un software capaz de arrojar resultados de forma rápida y eficiente.Además de que el manejo de la información obtenida será más fácil. En la ingenieríaestructural existen diversos programas capaces de realizar el análisis “Pushover”, (DrainX,Staad Pro, Ruaumoko) uno de los más famosos es el SAP2000 (Stress Analysis Program).Así éste trabajo servirá para los interesados en profundizar sus conocimientos de dichoprograma de cómputo.

1.1. Planteamiento del problema

Los sismos se definen como sacudidas o movimientos bruscos del terrenoproducidos en la corteza terrestre como consecuencia de la liberación repentinade energía en el interior de la Tierra o a la tectónica de placas. Esta energía setransmite a la superficie en forma de ondas sísmicas que se propagan en todas lasdirecciones. Este es un fenómeno natural que el hombre se ha preocupado porestudiar debido a que a lo largo de los años ha causado innumerables pérdidas tantohumanas como económicas, es sin duda estos dos factores por los cuales losingenieros tratan de obtener la mayor información acerca de los sismos.

Es por ello que se han desarrollado ciencias como la sismología que estudia las causasque producen los terremotos, el mecanismo por el cual se producen y propagan lasondas sísmicas, y la predicción del fenómeno sísmico, pero, para los ingenierosestructurales, es de mayor importancia definir y calcular las acciones que elmovimiento sísmico aporta a la estructura.

Una estructura debe cumplir la función para la que está destinada con un gradorazonable de seguridad y de manera que tenga un comportamiento adecuado en lascondiciones normales de servicio (Gonzáles O. 2005). Además debe ser capaz desoportar efectos sísmicos con el objetivo primordial que es salvar vidas ante sismosseveros

Los ingenieros dedicados al análisis y diseño estructural se enfrentan a retosimportantes debido a que en la ingeniería estructural muchas veces más de unasolución es la correcta y lo importante es decidir cuál solución es la que se apega alproblema que se tiene. Idealmente el objetivo del diseño de un sistema es laoptimización del sistema, es decir la obtención de la mejor de todas las solucionesposibles.

Por otra parte los métodos de análisis sísmico prescrito por los reglamentos dediseño y empleados en la práctica son generalmente muy simplificados y recurren aidealizaciones de la acción sísmica mediante sistemas de fuerzas estáticamenteequivalentes (Marcial 2008).

En los últimos años se ha observado que aunque las estructuras llegan acumplir satisfactoriamente su cometido de resistir los efectos sísmicos severos,tienden a sufrir daños por sismos de menor magnitud para los cuales fueron

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diseñados, sufriendo daños tanto estructurales como no estructurales, los cualesnecesitan ser reparados o rehabilitados y por lo tanto hacen que sus propietariospierdan grandes cantidades de dinero durante el tiempo en que la estructura nopodrá ser ocupada.

Además que se han registrado sismos como el del 6 de abrí de 2009 en Italia en laciudad de L’Aquila donde un gran número de estructuras colapsaron y se puso enevidencia a los códigos de construcción actuales. Debido a estas experiencias es queen los últimos años la tendencia en el análisis y diseño sísmico se están basando en elcomportamiento esperado o desempeño que las construcciones tienen ante losdiferentes sismos a los cuales son sometidos en su vida útil.

1.2. Hipótesis

Aplicando un análisis estático no-lineal “Pushover” a un marco de concreto reforzadodiseñado por la Norma Técnica de Edificación E.030, que forma parte de unaestructura tipo “C” en la ciudad de Nuevo Chimbote, la estructura tendrá unarespuesta global aceptable.

1.3. Objetivos

Obtener la respuesta global de un marco de concreto reforzado diseñado porla Norma Técnica de Edificación E.030.

Utilizar el programa de computo SAP2000_V.15 en la realización de esteproyecto.

Obtener los niveles de daños en el marco según la reglamentación del FEMA 356

Difundir la importancia del Análisis Estático no lineal, como un método confiableen el análisis y diseño sismo resistente.

1.4. Justificación

A lo largo de los años en el departamento de Ancash se han presentado una grancantidad de sismos figura 1.2, Como lo denota el mapas sísmicos que ha sidoelaborado por el Centro Nacional de Datos Geofísicos (CNDG – IGP) entre 1964 –2008. Estos trabajos no pretenden alarmar a la población por el contrario tratan deconcientizar a los ingenieros civiles sobre la constante actividad sísmica en nuestraentidad a lo largo de la historia.

Debido a la importancia tanto económica como turística que tiene el departamentode Ancash, es importante conocer la confiabilidad ante efectos sísmicos en lasestructuras, que están en funcionamiento y en las que están próximas a construirse.

Por eso es necesaria la introducción de las nuevas filosofías de diseño sísmico ennuestra entidad de las cuales se tiene poca información hasta el momento, y elanálisis estático no lineal, es el soporte de varias metodologías que se han propuesto

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para encontrar la respuesta sísmica de una edificación y dentro de este análisis ladeterminación de la curva de capacidad resistente, es la base del análisis (Aguíar2003)

Figura 1.1: Mapa Sísmico del Perú

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Figura 1.2: Mapa Sísmico del Departamento de Ancash

Mapa de sismicidad ocurrida en el Perú entre 1964 – 2008 elaborado por el CentroNacional de Datos Geofísicos (CNDG – IGP). El tamaño de los círculos es proporcionalal volumen esférico de energía liberada por el sismo. Los círculos representan asismos con foco superficial, cuadrados a sismos con foco intermedio y triángulos asismos con foco profundo.

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CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO

2.1. Conceptos Básicos de Sismología

Es importante definir algunos de los términos que se estarán manejando dentro deeste documento, por lo tanto comenzaremos por definir algunos conceptos básicosacerca del análisis y diseño sísmico.

La Sismología es la ciencia que estudia las causas que producen los terremotos, elmecanismo por el cual se producen y propagan las ondas sísmicas, y la predicción delfenómeno sísmico.

El conocimiento actual acerca del interior de la Tierra es resultado de numerososestudios científicos, en su mayoría basados en la propagación de las ondas sísmicas através del propio material terrestre. De esta manera ha sido posible determinar sucomposición y dividirla en varias capas concéntricas; del exterior al interior, son:

Núcleo, con un radio de 3470 Km., constituido por núcleo interior y núcleoexterior, formado por hierro fundido, mezclado con pequeñas cantidades deníquel, sulfuros y silicio.

Manto, con un espesor de 2900 Km, y está dividido en manto inferior, mantosuperior, y zona de transición.

Corteza o Litosfera, es la capa exterior de la Tierra, es de elevada rigidez (roca) yanisotropía, sabemos que es de espesor variable, que en algunos casos puedeser de 60 Km., en los continentes las formaciones son graníticas, y basálticas enlos fondos oceánicos

Figura 2.1: Estructura Interna de la Tierra

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Los sismos se producen debido al calor interno de la tierra, que provoca elmovimiento de las placas tectónicas en la superficie.

En el año de 1912 se planteó que las doce grandes zonas de la corteza terrestredenominadas placas tectónicas (secciones rígidas de la litosfera que se mueven comouna unidad sobre el material de la astenósfera la capa más plástica que está debajo)están en continua modificación, y que los continentes se han formado a partir de unoúnico llamado Pangaea.

Los movimientos de deriva continental son los que han dado lugar a la formación delos actuales continentes a partir de la Pangaea (Marcial 2008)

Subdución: ocurre cerca de las islas, donde dos placas de similar espesor entranen contacto entre sí.

Deslizamiento: se produce cuando entran en contacto dos placas oceánicas, obien una continental y una oceánica

Extrusión: este fenómeno ocurre cuando se juntan dos placas tectónicasdelgadas que se desplazan en direcciones opuestas, es el caso del contacto dedos placas del fondo del océano.

Acrecencia: tiene lugar cuando hay un impacto leve entre una placa oceánica yuna continental

Figura 2.2: Interacción entre Placas Tectónicas

Las principales zonas sísmicas del mundo coinciden con los contornos de las placastectónicas y con la posición de los volcanes activos de la Tierra, tal como puede verseen la figura 2.3. Esto se debe al hecho de que la causa de los terremotos y de laserupciones volcánicas está fuertemente relacionada con el proceso tectónico delPlaneta.

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Figura 2.3: Cinturón de Fuego

Figura 2.4: Placas Tectónicas

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Los terremotos pueden definirse como movimientos caóticos de la corteza terrestre,caracterizados por una dependencia en el tiempo de amplitudes y frecuencias. Unterremoto se produce debido a un choque producido a una cierta profundidad bajola superficie terrestre en un determinado punto llamado foco o hipocentro (figura2.5). A la proyección del foco sobre la superficie terrestre se le denomina epicentro.En la figura 2.5 se señalan algunas distancias relacionadas con el fenómeno sísmico,tales como la distancia epicentral D1 o D2, la distancia focal R y la profundidad focalH.

Figura 2.5: Características de un Sismo

El fenómeno tectónico origina tres tipos de ondas (figura 2.7): de compresión olongitudinales, corte o transversales y superficiales. Las primeras viajan a grandesvelocidades (5 800 m/s. en granito) y alcanzan la superficie antes que las demás.También se denominan ondas "P" (primary waves, P-waves).

Las ondas P son de dilatación contracción, su propagación implica cambios devolumen en el medio, y se propagan tanto a través de sólidos como de fluidos.

Las ondas de corte no viajan tan rápido como las anteriores (3 000 m/s. en granito) através de la corteza terrestre y alcanzan la superficie después que las ondas decompresión. Son conocidas también como ondas "S" (secondary waves, S-waves). Lasondas "S" no afectan al material que se encuentra en su trayectoria, desplazan almismo en ángulos rectos a su pendiente. Aunque su velocidad es menor que la de lasondas "P", la energía que transmiten es mayor y causan mayor daño a lasestructuras.

Las ondas S son de cortante y solamente se propagan a través de sólidos sinvariaciones de volumen.

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Figura 2.6: Elementos de un Sismo.

El tercer tipo de ondas puede o no formarse durante el fenómeno sísmico; son lasondas superficiales (Raleigh waves, R-waves; love waves, L- waves). Su velocidad detransmisión en granito es de 2 700 m/s. y su llegada ocurre siempre después de la delos dos primeros tipos de onda.

Figura 2.7: Tipos de Ondas Generadas por un Sismo

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Figura 2.8: Tipos de Ondas Generadas por un Sismo

La fuerza de un sismo es un término que generalmente abarca la percepción humanade la intensidad y magnitud del fenómeno sísmico. Intensidad es la medidacualitativa de la severidad del movimiento sísmico del suelo en un sitio específico.Los valores de la intensidad se derivan de factores subjetivos tales como lapercepción humana, daños en edificios, etc. Escalas como la Rossi-Forel, MSK y la deMercali Modificada (usada con mayor frecuencia) proveen valores para cuantificaresta característica. La última de estas escalas es una escala cualitativa arbitrariaasociada al poder destructivo del terremoto. Esta escala tiene doce grados (Tabla 2.1)y la mayoría de los sismos ocurren entre el grado VI y VIII. Gracias a la escala anteriorpueden generarse mapas donde se refleja la intensidad del fenómeno en una regióndeterminada. Estos mapas son denominados mapas isosísmicos y en ellos se dibujanlas curvas que unen locaciones con la misma intensidad registrada del fenómeno.

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Intensidad Efectos Observados Durante el Terremoto

INo percibido excepto por muy pocas personas bajo circunstancias muyfavorables.

IISentido por muy pocas personas en descanso, especialmente poraquellas en los pisos superiores de los edificio. Objetos suspendidosdelicadamente pueden moverse.

III

Percibido sin alarma por personas en interiores, especialmente en pisossuperiores de edificios. Muchas personas no logran identificarel fenómeno como un sismo ya que es parecido a las vibracionescausadas por el paso de camiones pesados. Los vehículos estacionadospueden mecerse un poco.

IV

Durante el día es percibido en interiores por todos y en exteriores porsólo unos cuantos. En la noche algunas personas son despertadas.Platos, ventanas, puertas dañadas; las paredes pueden crujir. Se tienela sensación de que un vehículo pesado se impactó en el edificio. Losvehículos estacionados se mecen apreciablemente.

VSentido por casi todos; muchas personas pueden despertarse. Algunosplatos y ventanas rotas, los objetos inestables se caen y los péndulosde los relojes pueden detenerse.

VISentido por todos, genera pánico. Algunos muebles pesados semueven. Produce daños ligeros como la caída de yeso, tirol orecubrimientos.

VII

Daño mínimo en edificios de buen diseño y construcción; daño ligero amoderado en estructuras ordinarias bien construidas; dañoconsiderable en estructuras pobremente construidas. Algunachimeneas se rompen.

VIII

Daño ligero en estructuras especialmente diseñadas; dañoconsiderable en edificios ordinarios, con derrumbes parciales; dañoextremo en estructuras pobremente construidas. Caída de chimeneas,muebles pesados, monumentos, muros, columnas.

IXDaño considerable en estructuras especialmente diseñadas;estructuras bien diseñadas pierden plomeo. Gran daño en edificios ycolapso parcial de los mismos. Edificios separados de su cimentación.

XSon destruidas algunas estructuras de madera bien construidas; lamayoría de estructuras de mampostería y estructuras formadaspor marcos y sus cimentaciones, destruidas. Rieles doblados.

XIPocas, quizá ninguna, estructuras de mampostería permanecen en pie.Puentes destruidos y rieles deformados considerablemente.

XIIDaño total, líneas de nivel distorsionadas. Los objetos son arrojados alaire.

Tabla 2.1: Escala de Mercalli

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La magnitud de un sismo es la medida cuantitativa del tamaño del sismo asociadaindirectamente a la energía liberada lo cual la hace independiente del lugar deobservación. Es calculada a partir de la medición de la amplitud de la onda deaceleración en acelerogramas (es una representación de las aceleraciones registradasen el terreno en función del tiempo) y es en una escala logarítmica expresada ennúmeros ordinales con decimales. En 1935, Charles F. Richter desarrolló la escala quelleva su nombre y en la cual se determina la magnitud del sismo en base al logaritmode la amplitud de onda registrada en el sismógrafo. Aunque esta escala no tiene unlímite superior, los sismos de mayor magnitud hasta ahora registrados han sido de8.7 y 8.9 grados en esta escala.

La magnitud en esta escala (M) es calculada utilizando la siguiente ecuación:

2.1.....log0

10

AAM

Dónde:

A = Amplitud máxima registrada por el sismógrafo.

A0 = Amplitud de sismo estándar (de calibración), típicamente 0.001

La ecuación anterior asume que hay una separación de 100 km. entre el epicentro yel sitio donde se localiza el sismógrafo. Para otras distancias, el nomograma de lafigura 2.9 debe de utilizarse como se describe a continuación:

Determinar el tiempo de arribo entre las ondas "P" y "S".

Determinar la máxima amplitud de oscilación.

Unir con una recta en el monograma los dos valores obtenidos anteriormente.

Leer la magnitud de Richter en la columna central del nomograma y la distancia quesepara el epicentro del sismógrafo en la columna izquierda.

Figura 2.9: Nomograma para determinar la escala de Richter

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Richter (magnitud)Mercalli Modificada

(intensidad)

1 ---

2 I, II

3 III

4 IV, V

5 VI, VII

6 VIII

7 IX, X

8 XI

Tabla 2.2: Comparación entre la magnitud en intensidad de un sismo

2.2. Conceptos Básicos de Dinámica Estructural.

2.2.1. Grados de Libertad

Desde el punto de vista dinámico, interesan los grados de libertad en los quese generan fuerzas generalizadas de inercia significativas; es decir, fuerzasiguales a masa por aceleración o momento de inercia por aceleraciónangular. Por ejemplo en la figura 2.10, se muestra un marco que tiene 12grados de libertad estáticos. Sin embargo, si las fuerzas de inerciaimportantes son solamente las que generan las masas m1 y m2 al moverselateralmente y las deformaciones de los pisos en su plano son despreciables,tenemos un sistema de dos grados de libertad dinámicos, que sonprecisamente los desplazamientos laterales 1 y 2 en la figura aludida.

Figura 2.10: Grados de libertad Estáticos y Dinámicos

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2.2.2. Descripción y Ecuación de Equilibrio Dinámico

Considérese el sistema mostrado en la figura 2.11, el cual representa solo ungrado de libertad, el sistema simple está constituido por una masa, unresorte y un amortiguador.

Figura 2.11: Sistema simple con amortiguamiento viscoso

Cuando el sistema está sujeto a un movimiento de su base, definido por unahistoria de desplazamientos, U0, o de aceleraciones del suelo U 0, masaentrará en oscilación y se generarán sobre ella tres tipos de fuerzas:

a) La fuerza de inercia que, de acuerdo con el principio de D’Alambert esproporcional a la masa y a la aceleración total que ésta sufre üT; estaúltima es igual a la suma de aceleraciones del terreno u0, más la de lamasa relativa al terreno, ü.

.....2.2üFI Tm

b) La fuerza que se genera en la columna por su rigidez lateral al tratar deser desplazada con respecto al terreno. Suponiendo que la respuesta dela columna se mantiene dentro de un intervalo lineal, dicha fuerza seráigual al producto del desplazamiento relativo de la masa con respecto alsuelo, por la rigidez lateral de la columna

.....2.3FR uk

c) La fuerza de amortiguamiento que trata de restablecer el equilibrio de laestructura en vibración. Esta fuerza puede considerarse proporcional a lavelocidad de la masa con relación al suelo; al factor de proporcionalidadse le llama coeficiente de amortiguamiento

.....2.3FA uc

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La ecuación de equilibrio dinámico se escribe como:

.....2.4FFF RAI 0

Sustituyendo

.....2.50ukucum T

El punto sobre una cantidad significa derivación con respecto al tiempo.Considerando que

.....2.6υυυ 0Τ

Donde

ü0 = aceleración del terreno.

ü = aceleración relativa del terreno.

.....2.7u-mukucum 0T

Dividiendo entre m

.....2.8u-mmkuu 0

u

mc

Las dos constantes c /m y k /m, representan conceptos relacionados con lavibración libre del sistema (la que corresponde al caso ü0 =0 ). De ellas,

.....2.92mk

ó .....2.10mk /

En donde ω es la frecuencia circular del sistema no amortiguado, o seaaquella con la que oscila éste cuando se le impone un desplazamiento y se lesuelta. Cuando el amortiguamiento es nulo el sistema describe unmovimiento armónico simple, con la frecuencia mencionada y con período(figura 2.12) igual a:

.....2.11mkT /22

Page 26: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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Des

plaz

amie

nto

0

-µo

µo

Tiempo

Figura 2.12: Movimiento Armónico Simple

El amortiguamiento representa la disipación de energía que la estructurarealiza principalmente debido a fricción interna de los materiales y arozamiento entre los componentes de la construcción; este amortiguamientoreduce las oscilaciones. En vibración libre se define como amortiguamientocrítico aquel para el cual el sistema, después de desplazado, volvería a suposición de reposo sin oscilar. Esté equivale a:

.....2.12mkCcr 2

Por lo tanto, la constante de amortiguamiento puede expresarse como unafracción del crítico en la forma;

.....2.13mk

cCccr 2

.....2.14mmkmmk 2

.....2.15

m22

Por otra parte

.....2.16 2mc

La ecuación diferencial (2.7) se puede escribir como:

.....2.17022 u-uuu

Page 27: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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ω se denomina frecuencia circular natural del sistema, Ccr se conoce comoamortiguamiento crítico, que usualmente se expresa como porcentaje. De lasdefiniciones de ω y Ccr deducimos que Ccr =2mω, lo cual muestra que elamortiguamiento crítico está relacionado con la frecuencia fundamental devibración.

2.2.3. Vibración Libre

El sistema descrito anteriormente vibra libremente cuando la masa semueve, pero el terreno permanece inmóvil y no actúan fuerzas exteriores, eneste caso el segundo miembro de la ecuación (2.17.) se anula:

.....2.1802 2 uuu

Y su solución es:

.....2.19)(cos)( tAetu at

Dónde:

.....2.2021 a

ωa = frecuencia amortiguada del sistema

A y ϒ son constantes que dependen de las condiciones iniciales, es decir, deldesplazamiento y la velocidad cuando t=0

Cuando no existe amortiguamiento (ɛ = 0) se dice que la masa tiene unmovimiento armónico, la ecuación (2.18) queda como:

.....2.2102 uu

Y la solución es:

.....2.22)(cos)( tAtu

El tiempo t que dura un ciclo de oscilación completo, se llama periodo devibración natural del sistema y es igual a

.....2.232

Por otro lado si el amortiguamiento es igual al crítico (ɛ = 0) encontramosque (ωa = 0), por lo tanto:

.....2.24tAetu )(

Indicando que la masa se mueve sin oscilar y vuelve a su posición deequilibrio estático, u = 0 luego de un tiempo infinito.

Page 28: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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En el análisis de edificios es de mayor interés el caso de amortiguamientosmenores que el crítico para el cual, si el desplazamiento y la velocidad de lamasa en el instante t = 0, valen respectivamente u0 y ύ0 , obtenemos:

.....2.25)(u0 tutsenuAetu aa

at cos)( 00

Esta ecuación describe movimiento oscilante de la masa con frecuencia ωa ycon amplitud exponencialmente decreciente como se ilustra en la figura 2.13

Figura 2.13: Movimiento oscilante amortiguado

El período amortiguadoa

aT2

, es el tiempo que tarda un ciclo

completo de oscilación, y es una propiedad de la estructura independiente decómo se la excite.

Normalmente, el amortiguamiento de estructuras de edificios no excededel 10 % del crítico, o sea que típicamente ɛ es menor que 0.1. Aun paraeste límite relativamente alto, la ecuación (2.25) da ωa = 0.995ω; de aquí sedetermina que en casos prácticos la influencia del amortiguamiento en lafrecuencia de vibración es pequeña, siendo su efecto más importantedisminuir la amplitud de dicha vibración conforme avanza el tiempo, según loexpresa el término exponencial de la ecuación (2.25) y se ilustra en la figura2.13.

Page 29: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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2.2.4. Respuestas a Movimiento Del Terreno

El segundo término de la ecuación (2.17) describe como varia la aceleracióndel terreno con el tiempo y se conoce como acelerograma. En textos dedinámica estructural se muestra que, cuando tal término no es nulo, lasolución de la ecuación aludida es:

.....2.26

dtsenttS

tuaa )()}(exp{)(

1)(

Esta expresión hace ver que, como en el caso de vibraciones libres, las dospropiedades de un sistema de un grado de libertad que determinan surespuesta ante un movimiento prescrito del terreno son su frecuencia naturaly su fracción de amortiguamiento crítico. La velocidad y la aceleración de lamasa se calculan derivando sucesivamente u(t) con respecto al tiempo, yotras respuestas de interés, como la fuerza en el resorte, se pueden obteneren términos del desplazamiento y sus derivadas. Para fines de diseño,interesan normalmente sólo los valores máximos absolutos de talesrespuestas.

2.2.5. Respuesta Estructural

En el caso del análisis sísmico, el método preferido para obtener el diseño deuna estructura es mediante el espectro de respuesta porque esta funciónrepresenta todos los movimientos telúricos que pueden presentarse en laregión en donde se construirá la estructura dentro de un periodo de retornorazonable.

El espectro de respuesta se define como una gráfica de la máxima respuestade un oscilador a la aceleración del suelo, graficada en función de lafrecuencia natural y el amortiguamiento del oscilador, por lo que el espectrode respuesta de diseño es una envolvente de la máxima aceleración con sucorrespondiente frecuencia que puede ocurrir en una región determinada.

2.2.6. Amortiguamiento y Ductilidad

Se dice que un sistema estructural es dúctil si es capaz de sufrirdeformaciones considerables bajo carga aproximadamente constante, sinpadecer daños excesivos o pérdidas de resistencia por aplicacionessubsecuentes de carga (Rosenblueth E. 1992). Esta definición relaciona laductilidad con el amortiguamiento ya que éste es naturalmente dependientedel nivel de deformación o esfuerzo en una estructura. Según lo expuesto enel punto 2.1.2 de este documento el amortiguamiento crítico solo pude variaren un 10% contrario a esta afirmación en la tabla 2.3 siguiente se exponenalgunos valores recomendados para el amortiguamiento crítico propuestospor (Rosenblueth E. 1992)

Page 30: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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Nivel de esfuerzos Tipo y condición de la estructura Porcentaje deamortiguamiento

crítico

Esfuerzo detrabajo, no más deaproximadamente0.5 del esfuerzo defluencia

a) Tubería o equipo muyimportante

1 a 2

b) Acero soldado, concretopresforzado, concretoadecuadamente reforzado(solo con grietas ligeras)

2 a 3

c) Concreto reforzadoagrietado considerablemente

3 a 5

d) Acero remachado oatornillado, estructuras demadera con juntas clavadas oatornilladas

5 a 7

En o justamentepor debajo del

esfuerzo defluencia

a) Tubería o equipo muyimportante

2 a 3

b) Acero soldado, concretopresforzado (sin pérdidacompleta del presfuerzo)

5 a 7

c) Concreto presforzado cuandose ha perdido totalmenteel presfuerzo

7 a 10

d) Concreto reforzado 7 a 10e) Acero remachado o atornillado,

estructuras de madera juntasatornilladas

10 a 15

f) Estructuras de madera conjuntas clavadas

15 a 20

Tabla 2.3.-Valores recomendados para el amortiguamiento

El comportamiento dúctil significa la habilidad de soportar grandesdeformaciones inelásticas, mientras la resistencia se mantiene esencialmenteconstante.

Page 31: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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Figura 2.14: Desplazamientos contra resistencia

A = Punto real de fluencia

B = Nivel efectivo de fluencia

C = Límite elástico efectivo

D = Resistencia real.

.....2.27ym UU

Durante la respuesta de un sistema a un sismo intenso, el máximodesplazamiento relativo D excederá de la deformación de fluencia Uy,mientras que la máxima fuerza lateral permanecerá con el valor de lafluencia, si se desprecian los efectos P-∆. Se dice que ocurre la falla si lademanda de ductilidad D/Uy es mayor que la ductilidad disponible µ.

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CAPÍTULO 3. MATERIALES DE CONSTRUCCIÓN

En la rama de la construcción se emplean una amplia gama de materiales. En elanálisis y diseño estructural los más utilizados son: el acero, el concreto, lamampostería y la madera. Aunque en años recientes éste último material a caído endesuso debido a las políticas ambientales que pretenden conservar los bosques y a sucapacidad como comburente lo cual pone en peligro las estructuras construidas coneste material.

Para los ingenieros estructurales es de vital importancia conocer las características decada uno de los materiales de construcción, determinar los esfuerzos máximos asícomo su comportamiento ante diferentes niveles de carga, estas características sepueden determinar por medio de la gráficas de esfuerzo deformación, parafinalmente determinar si los materiales con los cuales están construidos loselementos estructurales son capaces de resistir los esfuerzos a los que estaránsometidos.

3.1. Concreto Simple.

El concreto es un material pétreo, artificial, obtenido de la mezcla, en proporcionesdeterminadas, de cemento, agregados y agua. El agua y el cemento forman una pastaque rodea a los agregados, constituyendo un material heterogéneo. También sepueden añadir aditivos que mejoran o modifican las propiedades del concreto.

El valor del peso volumétrico es una característica que debe tomarse en cuenta. Suvalor oscila entre 1.9 y 2.5 ton/m³, en el Reglamento Nacional de Edificación el pesovolumétrico es de 2.4 ton/m³.

El concreto simple, sin refuerzo, es resistente a la compresión, pero es débil entensión, lo que limita su aplicabilidad como material estructural. Para resistirtensiones se emplea refuerzo de acero. El acero restringe el desarrollo degrietas originadas por la poca resistencia a la tensión del concreto. También el aceroes utilizado en zonas de compresión para aumentar la resistencia del elementoreforzado. Es decir proporcionar mejor confinamiento al concreto. (Gonzales O.2005)

3.1.1. Curva Esfuerzo-Deformación

Las curvas esfuerzo-deformación se obtienen del ensaye de prismas sujetos acarga axial repartida uniformemente en la sección transversal mediante unaplaca rígida. Los valores del esfuerzo resultan de dividir la carga totalaplicada, P, entre el área de la sección transversal del prisma, A, yrepresentan valores promedio obtenidos bajo la hipótesis de que ladistribución de deformaciones es uniforme y de que las característicasesfuerzo-deformación del concreto son constantes en toda la masa. El valorde la deformación unitaria, %, es la relación entre el acortamiento total, a, yla longitud de medición, l figura 3.1 (González O. 2005).

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Figura 3.1: Curva esfuerzo-deformación para un espécimen sujeto a carga decorta duración

Además de la gráfica de esfuerzo deformación existen otras graficas querelacionan al concreto con los siguientes fenómenos: efecto de la edad delespécimen figura 3.2, la velocidad de aplicación de la carga 3.3, efectos de laresistencia figura 3.4 efectos de la velocidad de deformación figura 3.5,efecto de esbeltez figura 3.6 (González O. 2005)

Por otro lado existen pruebas como la prueba triaxial, en la cual se puedeobservar que la resistencia del concreto aumenta considerablemente alaplicar un esfuerzo de confinamiento al concreto.

Y la prueba a la resistencia a la tensión y la prueba brasileña que son pococomunes debido a la poca resistencia que el concreto presenta ante éstefenómeno.

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Figura 3.2: Efecto de la Edad

Figura 3.3: Efecto de la Velocidad de Carga

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Figura 3.4: Efecto de la Resistencia

Figura 3.5: Velocidad de Deformación.

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Figura 3.6: Efecto de Esbeltez

3.1.2. Modelos Del Concreto.

De las diferentes curvas esfuerzo deformación que se han obtenido algunosinvestigadores han propuesto modelos simplificados de estas curvas.

En la figura 3.7 (Aguíar 2003), se presentan tres modelos para el concreto noconfinado, el de la izquierda es el Modelo de Whitney, el centro es el modelode Hognestad y el de la derecha es el Modelo del CEB (Parábola –Rectángulo)

El primero se utiliza para el diseño por ser un modelo conservador y sencillopara encontrar la resultante de la fuerza a compresión: el valor de β1=0.85para concretos con una resistencia a la compresión menor a 35MPa en elmodelo de Whitney

Figura 3.7: Modelos del concreto no confinado.

Page 37: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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3.2. Acero De Refuerzo.

El acero para reforzar concreto se utiliza en distintas formas. La más común es labarra o varilla que se fabrica tanto de acero laminado en caliente como de acerotrabajado en frío. En las figuras se muestran curvas de ambos tipos de acero.

El acero de refuerzo tiene una curva de esfuerzo – deformación caracterizada por uncomportamiento lineal prolongado con un módulo de elasticidad de 2 x 106 kg/cm².El esfuerzo de fluencia (fy) y la capacidad de deformación dependen de lacomposición química del acero (contenido de carbono) y del proceso químico al queéste haya sido sometido. Para lograr obtener una representación mas sencilla de laspropiedades inelásticas del acero, las curvas ƒs vs. εs se simplifican usando alguno delos modelos.

3.2.1. Modelo Del Acero

En la figura 3.8 (Aguíar 2003), se indican tres modelos para definir elcomportamiento del acero, el de la izquierda es el elasto-plasto muy utilizadoen el diseño por su sencillez, el de la mitad es el modelo trilineal quecontempla incrementos de esfuerzos en la zona post-fluencia mediante unavariación lineal y el de la derecha es la curva completa que considera unaecuación de segundo grado para la zona de endurecimiento.

Figura 3.8: Modelos del Acero

3.3. Comportamiento Estructural Del Concreto Reforzado

Debido a que el sismo introduce en la estructura varios ciclos de solicitaciones endiversas direcciones, interesa el comportamiento ante repeticiones de cargaalternadas. (Meli y Bazán 1988) Este se presenta mediante las curvas de carga-deformación obtenidas de ensayes ante cargas alternadas; estas curvas tienen laforma de lazos de histéresis (Meli y Bazán 1988). Para un buen comportamientosísmico, las estructuras deben mantener su capacidad de carga para deformacionessuperiores a la de cedéncia ya que la zona de comportamiento inelástico esimportante para disipar la energía inducida por el sismo, éste efecto de disipación deenergía producido por el comportamiento histerético de la estructura de un edificio

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debe evaluarse con precisión, partiendo de un análisis inelástico. Parte de esaenergía introducida por el sismo es absorbida de forma elástica, mientras que la otraes disipada gracias a la ductilidad (Moreno R. 2006)

La ductilidad perfecta corresponde al modelo ideal de (Paulay T .y Priestley M.J.N1992). En zonas sísmicas conviene que las estructuras desarrollen lazos dehistéresis con gran disipación de energía como se muestra en la figura 3.9.a, esdecir que la curva obtenga un área grande y que el nivel de carga se mantengadespués de varios ciclos. Si la rigidez en el rango elástico se deteriora, se reducenotablemente la capacidad de disipación de la energía figura 3.9.b. Además, si laresistencia se deteriora con el número de ciclos, se produce un daño excesivo quecompromete el estado límite de no colapso 3.9.c, (Meli y Bazán 1999)

Figura 3.9: Lazos de histéresis típicos de diferentes modalidades de concretoestructural. (Moreno R. 2006)

El diseño sísmico se orienta a satisfacer los requerimientos de ductilidad quepermiten alcanzar deformaciones más grandes que la de cedencia, sin un deterioroimportante en la resistencia o rigidez. Así la estructura incursiona en el rango nolineal y es capaz de disipar energía. En otras palabras, una estructura tiene ductilidadcuando es capaz de responder inelásticamente sin degradación significativa derigidez durante un sismo severo.

Las curvas de esfuerzo-deformación del concreto no confinado ponen de manifiestoun comportamiento frágil, éste se puede reducir o eliminar por medio delconfinamiento. El efecto de confinamiento es incrementar la resistencia acompresión y la deformación última del concreto como se muestra en la figura3.10, donde la deformación a compresión se denota por Ɛc y el esfuerzo acompresión por fc, f’c es la resistencia a compresión del concreto, f’cc es laresistencia a la compresión del concreto confinado, f’t es la resistencia a traccióndel concreto, Ɛcu es la deformación última a compresión, Ɛcc es la deformación acompresión del concreto confinado en la tensión máxima.

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Figura 3.10: Modelo tensión-deformación para carga monótonamente creciente

El acero tiene curvas de tensión deformación, con una sección de comportamientoelástico lineal con módulo de elasticidad ES aproximadamente a 200GPa, una mesetade cedéncia, una región de endurecimiento por deformación, que los acerosestructurales presentan en menor o mayor grado, y una región donde el esfuerzodecae hasta que ocurre la fractura. A falta de datos experimentales, se puedeadoptar el diagrama característico para armaduras pasivas (EHE-99, 1999) que semuestra en la figura 3.11 tomada de (Moreno R. 2006). En esta figura el límiteelástico característico del acero fyk , produce una deformación remanente, Ɛy , de0.002 ƐS es la deformación del acero a tracción Ɛmax es la deformación máxima delacero, que corresponde a fmax.

Figura 3.11: Diagrama tensión deformación para el acero de refuerzo

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CAPÍTULO 4. MÉTODOS DE ANÁLISIS SÍSMICO

La mayoría de los códigos sísmicos actuales y el diseño sísmorresistente estánbasados en el análisis elástico de las estructuras. Estos procedimientos incluyenanálisis estático y dinámico, los cuales son utilizados en los análisis de la fuerza lateralequivalente, el análisis del espectro de respuesta, en el análisis modal y en elanálisis elástico de historia en el tiempo. Para tener en cuenta la incursión de laestructura en el rango no lineal, los códigos sísmicos incluyen un factor de reduccióno de comportamiento para reducir el espectro elástico equivalente, el cualdepende del tipo de estructura. Estos métodos están bien documentados en laliteratura de la ingeniería sísmica y son extensamente usados. Cuando la respuestainelástica o no lineal es importante, el análisis elástico debe usarse con precaución.

En un análisis lineal, las propiedades estructurales, tales como la rigidez y elamortiguamiento, son constantes, no varían con el tiempo. Todos losdesplazamientos, esfuerzos, reacciones, son directamente proporcionales a lamagnitud de las cargas aplicadas. En un análisis no lineal las propiedadesestructurales pueden variar con el tiempo, la deformación y la carga. La respuestasuele no ser proporcional a las cargas, ya que las propiedades estructuralessuelen variar. En el análisis no lineal no es aplicable el principio de superposición,por lo tanto, sólo es posible realizar análisis estáticos paso a paso o de historia en eltiempo. (Moreno R. 2006)

4.1. Análisis Estático Lineal Equivalente o (ELF)

Este análisis es conocido en la literatura como ELF (Equivalent lateral force) o análisisestático equivalente. Este método de evaluación provee estimados aproximados dela deformación de la estructura hasta la aparición de la inelasticidad significativaesto, sin embargo ignora importantes características tales como la redistribución demomentos, efectos histeréticos, degradación de fuerzas, rigidez y otros.

La aplicación de este método consta esencialmente de los siguientes pasos:

Se representa la acción del sismo por fuerzas horizontales que actúan en loscentros de masas de los pisos, en dos direcciones ortogonales.

Estas fuerzas se distribuyen en los sistemas resistentes a carga lateral que tieneel edificio (muros y/o marcos).

Se efectúa el análisis estructural de cada sistema resistente ante cargaslaterales que le correspondan.

La estructura es modelada como un sistema equivalente de uno o varios grados delibertad con una rigidez elástica lineal donde la fuerza es directamente proporcional alos desplazamientos, y un amortiguamiento viscoso equivalente. La acción sísmica esmodelada por una fuerza lateral equivalente, con el objetivo de producir losmismos esfuerzos y deformaciones que el sismo en la estructura. Basados en el

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primer modo de vibración (modo predominante), la fuerza lateral es distribuida en laaltura del edificio y las correspondientes fuerzas y desplazamientos internos soncalculados usando el análisis elástico lineal.

4.2. Análisis Dinámico Lineal.

En este análisis la estructura es modelada como un sistema de varios grados delibertad, con una matriz de rigidez elástica lineal y una matriz de amortiguamientoviscoso equivalente. La acción sísmica de entrada es modelada usando un análisismodal o un análisis de historias en el tiempo (time-history). Este análisis toma encuenta los movimientos del suelo durante el sismo y los modos de vibrar de laestructura, el análisis modal supone que la respuesta dinámica de un edificio puedeser estimada a partir de la respuesta independiente de cada modo natural devibración usando el espectro de respuesta elástico lineal. Solamente se consideranlos modos que contribuyen de forma significativa a la respuesta de la estructura. Lamayoría de los códigos sísmicos requieren que se incluyan suficientes modos devibración como para movilizar un 90% de la masa efectiva. El análisis de historias enel tiempo implica una evaluación paso a paso de la respuesta del edificio, usandoregistros reales o acelerogramas artificiales como movimientos de entrada. Enambos casos, tanto las correspondientes fuerzas como los desplazamientos internosse calculan usando un análisis lineal elástico. (Moreno R. 2006).

4.3. Análisis Dinámico No Lineal

Con este método la estructura es modelada de manera similar al análisis dinámicolineal, pero incorporando directamente la respuesta inelástica del material. Laprincipal diferencia es que el sismo de entrada, solo puede ser modelado usando unafunción de historias en el tiempo, el cual implica una evaluación paso a paso de larespuesta del edificio, por lo tanto mientras un problema estático tiene una únicasolución independiente del tiempo, la solución dinámica requiere la descripción delsistema en todos los instantes dentro del periodo de estudio (Mora VillalbaMaldonado 2006) Es la técnica de análisis más sofisticada disponible. Es posibleincluir en el análisis la interacción suelo-estructura.

Esta técnica requiere de poderosos programas en 2D y 3D de análisis no lineal, por lotanto resulta muy costoso para predecir las fuerzas y desplazamientos bajo unmovimiento sísmico. El principal valor del análisis dinámico no lineal, es queconstituye una potente herramienta de investigación, que permite simular elcomportamiento de una estructura en detalle, es decir, para describir losdesplazamientos esperados así como la distribución y propagación del daño, ladistribución de esfuerzos verticales y de cortante y la forma de la curva histerética(Elnashai-Di Sarno 2008).

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Figura 4.1: Métodos de Análisis Sísmico

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CAPÍTULO 5. DISEÑO ESTRUCTURAL

La característica particular más importante de cualquier elemento estructural es suresistencia real, la cual debe ser lo suficientemente elevada para resistir, con algúnmargen de reserva, todas las cargas previsibles que puedan actuar sobre aqueldurante la vida de la estructura, sin que se presente falla o cualquier otroinconveniente.

5.1. Diseño por Resistencia

Para dimensionar los elementos estructurales, es decir seleccionar las dimensionesdel concreto y la cantidad de refuerzo, de manera que sus resistencias seanadecuadas para soportar las fuerzas resultantes de ciertos estados hipotéticos desobrecarga, se utilizan cargas considerablemente mayores que las cargas que seesperan que actúen en la realidad durante el servicio. A esta metodología se leconoce como diseño por resistencia.

Para estructuras de concreto reforzado, cercanas a la falla, uno de los dos materialesya sea el concreto o el acero se encuentran inevitablemente en su rango inelástico nolineal. Es por esto que la resistencia nominal del concreto debe calcularse con base alcomportamiento inelástico de los materiales que lo conforman (Nilson 1999).

5.2. Diseño Por Esfuerzos Admisibles

Es el método más antiguo de diseño para cargas de servicio, todos los tipos de cargase tratan de la misma manera sin importar que tan diferentes sean su variabilidadindividual y su incertidumbre. Así mismo, los esfuerzos se calculan con base enmétodos elásticos, cuando en la realidad la resistencia de un elemento depende delcomportamiento esfuerzo - deformación en el rango inelástico cercano y en la falla.

Por esta razón el método de diseño por cargas de servicio no permite una evaluaciónexplicita del margen de seguridad. En contraste, en el método de diseño porresistencia, más moderno que el anterior, se pueden ajustar factores individuales decarga para representar grados diferentes de incertidumbre para los diversos tipos decarga (Nilson 1999).

5.3. Conceptos Básicos de Diseño por Desempeño.

Un objetivo de desempeño determina, el nivel de comportamiento deseado de unedificio para una o varias demandas símicas. El comportamiento sísmico es descritopor el máximo estado de daño permitido, (expresado en la deformación de la rótula),para un nivel de demanda sísmica. Un objetivo de desempeño puede incluir variosniveles de comportamiento del edificio para varios niveles de demanda sísmica yentonces es denominado un objetivo de desempeño dual o múltiple. (Delgadillo2005).

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Los niveles de desempeño estructural - Ocupación Inmediata (IO), Seguridad de Vida(LS) y prevención del colapso (CP) - son estados de daño y pueden ser usadosdirectamente en procedimientos de evaluación y reforzamiento. Existen otrasdesignacionesde desempeño estructural intermedios a los anteriormentemencionados - Control de daño, Seguridad Limitada y No considerado- sonimportantes designaciones para permitir directa referencia a la amplia variedad deniveles de desempeño del edificio que puede ser deseado para su evaluación oreforzamiento.

Ocupación Inmediata (IO), SP-1: Es el estado en que ocurre un limitado dañoestructural. El sistema básico de resistencia a fuerzas laterales del edificioconserva casi toda sus características y capacidades iniciales. El riesgo deamenaza a la vida por falla estructural es insignificante y el edificio es seguropara su ocupación.

Control de Daño, SP-2: Este término no es en realidad un nivel específicopero es un rango de daño que varía desde SP-1 (Ocupación Inmediata) a SP-3 (Seguridad de Vida). Ejemplo de control de daño incluye protección de laarquitectura de edificios históricos de contenido valioso.

Seguridad de Vida (LS), SP-3: Es el estado en el que pudiera haber ocurrido dañosignificante a la estructura pero donde permanece algún margen contra elcolapso total o parcial. El nivel de daño es menor que aquel para el nivel deEstabilidad Estructural. Las componentes estructurales principales no fallan.Mientras que pudiera ocurrir daños durante el terremoto, el riesgo de amenaza ala vida por el daño estructural es muy bajo. Se espera probablemente quegrandes reparaciones estructurales sean necesarias antes de la reocupación deledificio, aunque en algunas ocasiones pueda que el daño no seaeconómicamente reparable. Este nivel de comportamiento estructural estáproyectado a ser el nivel de comportamiento esperado de todos los códigos paranuevos edificios.

Seguridad Limitada, SP-4: Este término no es realmente un nivel específico dedesempeño, pero es un rango de estado de daño que es por lo menos como SP-3(Seguridad de Vida) pero no más que SP-5 (Estabilidad Estructural). Provee unadefinición para las situaciones donde el reforzamiento puede no satisfacer todoslos requerimientos estructurales del nivel de Seguridad de Vida.

Prevención del colapso (CP), SP-5: Este nivel es el límite de estado de dañoestructural en que el sistema estructural del edificio está al borde deexperimentar colapso parcial o total. Un daño sustancial a la estructura haocurrido, también significante degradación en la rigidez y resistencia del sistemaresistente a fuerza lateral. Sin embargo, todos los componentes de su sistemaresistente a cargas de gravedad continúan para soportar sus demandas degravedad. Aunque el edificio permanece totalmente estable, existe riesgosignificante debido a falla que puede existir dentro y fuera del edificio. Se espera

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que una reparación significante de la estructura principal sea necesario antes dela reocupación. En antiguos edificios de concreto es muy probable que el daño nosea técnicamente o económicamente reparable.

No Considerado, SP-6: Este no es un nivel de desempeño, pero provee unadescripción para situaciones donde se ejecuta una evaluación sísmica oreforzamiento. La explícita inclusión de un Nivel de comportamiento EstructuralNo Considerado es una herramienta útil de comunicación entre el diseñador y elpropietario.

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CAPÍTULO 6. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL.

6.1. Limitaciones Del Análisis Lineal

Aunque la mayoría de las estructuras en condiciones de servicio, tienen uncomportamiento en concordancia con el análisis lineal, es en la fase de pre-ruptura yruptura que su comportamiento difiere de forma notable con respecto al análisislineal. Es por ello que para los sismos para los cuales las condiciones de servicio sonsuperadas es necesario realizar otro tipo de análisis.

Ahora veremos algunas de las principales fuentes de error de los métodos de cálculolineal. Basándose el desarrollo del método de cálculo en que la relación momentos-curvaturas viene dada por la ecuación.

.....6.1IE

M

En la figura 6.1 se representaesquemáticamente la relación momentos curvaturapara una sección de concreto armado sometida a flexión pura. El comportamientodista mucho de ser lineal, e incluso en los dos tramos OA y AB que pueden aceptarsecomo aproximadamente lineales, los ángulos α y β no sólo dependen de laresistencia del concreto sino de muchas de sus otras cualidades y las de suscomponentes. Influencia esencial tiene en el diagrama el carácter breve o duraderodel proceso de las cargas y, finalmente, el máximo valor de ϕ viene fuertementeinfluido por la armadura transversal (estribos), a través del confinamiento que éstaejerce en la cabeza comprimida.

Figura 6.1: Diagrama Momento-Curvatura

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En la ecuación 6.1 como podemos observar el valor de E (módulo de elasticidad) estárelacionado con el valor de ϕ y aunque se considera que este valor es constantedebido a que el elemento estructural es construido con el mismo material, en estecaso concreto, como vemos en la figura 6.2

Figura 6.2: Diagrama Esfuerzo-Deformación real.

La curva esfuerzo deformación no es lineal y por lo tanto la relación que define

eE no es completamente cierto, además que después del límite de fluencia del

material esto llega a estar totalmente fuera de la realidad.

Esto hace en definitiva que el valor de E no sea constante en todos los puntos de laestructura, como de manera simplificada lo supone el método lineal. Por otro lado elvalor de I también contiene un grado de incertidumbre, debido a que en las zonasdonde se presentan los máximos momentos en los elementos estructurales, elconcreto estará fisurado. En las fisuras, el esfuerzo de tensión necesario paraequilibrar el momento, evidentemente ha de ser proporcionado integralmente por elacero de refuerzo longitudinal, y los esfuerzo de tensión en el acero son máximas. Alalejarse el acero de las fisuras, se mejora paulatinamente su anclaje en elconcreto, tanto más deprisa cuanto más pequeño sea el diámetro y más eficiente elcorrugado de las barras y, como consecuencia de ello, el armado reduce sustensiones y transfiere parte del esfuerzo de tensión al concreto. Correlativamente alo anterior, los esfuerzos de tensión en el concreto son nulos en las fisuras yaumentan gradualmente entre dos fisuras consecutivas. Es por esto que el valor de Ivaría a lo largo de la luz.

Un segundo aspecto que varía el valor de I es la existencia de columnas figura 6.3Como vemos puede que exista la incertidumbre sobre el valor de ht conforme seacerca hacia la columna ya que ésta puede cambiar al valor de h, esto supone unefecto de acartelamiento (Aumento gradual de la altura de una viga de concretoarmando, por el ensanchamiento análogo de los elementos de apoyo) enormemente

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- 48 -

importante. Su trascendencia ha sido evaluada aproximadamente por Winter,Urquhart, O’rourque y Nilson (Calavera 1999).

Figura 6.3: Efecto de acartelamiento

6.2. Importancia De La Relación Momento Curvatura M - ϕ.

Cuando se determina un diseño estructural, es muy importante conocer larelación momento curvatura M - Ø, de las secciones de sus elementos, con elobjeto de conocer cuál es la capacidad de ductilidad por curvatura µØ , la máximacapacidad a flexión del elemento MU y comparar estas cantidades con las demandasque se tienen en el diseño.

Si un elemento tiene muy poca capacidad de ductilidad por curvatura va a presentaruna falla frágil cuando la estructura ingrese al rango no lineal. Ya que es importanteobtener una buena ductilidad para disipar la mayor energía y así dar paso a ladistribución de momentos.

En el análisis no lineal, es fundamental conocer la relación M - ϕ, para encontrar larigidez de cada una de las ramas del diagrama histerético que se utiliza para definir lano linealidad del material. La relación M - ϕ, es la base del análisis no lineal dinámicoy del análisis no lineal estático (Aguíar 2003).

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6.2.1. Puntos Notables Del Diagrama De Momento Curvatura

En un diagrama de curvatura existen puntos que representan las fronteras delos acontecimientos significativos desde que el elemento estructural seencuentra descargado, hasta que se llega al esfuerzo último del elemento.Estos puntos son los siguientes:

El punto A, se alcanza cuando el hormigón llega a su máximo esfuerzo ala tracción. La capacidad a flexión del punto A es muy baja por estemotivo muchas veces se lo ignora, pero estrictamente es el comienzo delrango elástico

El punto Y, se determina cuando el acero a tracción alcanza el punto defluencia, definido por un esfuerzo fy, y una deformación Ɛy, En variosestudios se considera el rango elástico a la recta que une el origen decoordenadas con el punto Y.

El punto S, se obtiene cuando el acero a tracción se encuentra al inicio de lazona de endurecimiento, es decir al final de la plataforma de fluencia, en elmodelo trilineal del acero indicado en la Figura 3.8 se tendría este punto enla deformación Ɛsh.

6.2.2. Ecuaciones Empíricas Para El Cálculo Del Diagrama Momento-Curvatura.

Si se quiere calcular el diagrama de Momento curvatura completo, esconveniente contar con un programa capaz de realizar dicha tarea, unejemplo puede ser el programa CEINCI4 propuesto por Aguíar, el cual tomaen consideración los efectos de corte. Pero si no se cuenta con algúnprograma existen una serie de formulaciones generales propuestas porY.Park (1985) que tienen un respaldo teórico y experimental de 400 ensayos.Las cuales son generales tanto para vigas como para columnas.

Punto A

.....6.2APf

CIM ct

tA

0

.....6.3hbA

.....6.4IE

M AA

Page 50: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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Dónde:

MA = momento en el punto A

Ct = distancia del centro de gravedad a la fibra mas tensionada.

fct = 0.1f’c = Esfuerzo máximo a tracción del concreto

I = momento de inercia de la sección

P0 = fuerza axial

E = Módulo de elasticidad del concreto

ϕA = Curvatura en el punto A

Punto Y

.....6.5ppbdfM TCCTCCY ]')2()2()1[('5.0 02

.....6.8.....6.7.....6.6dd Y

YC

yC

00175.0'

.....6.11.....6.10.....6.9 UYycys

tys

t dcfdb

fAp

cfdbfA

p

'

''

'

.....6.121)1( cY

ccc

.....6.13dk

C Yy )1(03.0

)05.1(05.1 02

.....6.14y

tty

tcty

tt ppppppk

2

1)'(1)'(41)'( 2

2

.....6.15)84.0(

45.012tp

C

Dónde:

d’ = recubrimiento en la zona de compresión

Ɛu = deformación máxima útil del concreto, sin considerarcontribución del acero transversal.

Ɛy = deformación a la cual el acero alcanza su esfuerzo de fluencia,que en este documento se considera igual a 0.0021

Page 51: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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Ɛ0 = deformación del concreto asociada a la máxima resistencia eneste documento se tomará igual a 0.002.

Punto U

.....6.16ytu MpM )5.015.024.1( 0

.....6.17yu

.....6.182.15-0.218pw

0

p

)38.0654.0exp( pw

Donde pw es la cuantía de confinamiento del refuerzo transversal enporcentaje. Si pw > 2% se considera pw = 2. Por otra parte la ductilidad porcurvatura µϕ será igual a 1 si el valor que resulta al aplicar la respectivaecuación es menor a la 1.

.....6.19225.05.0 sbbp

.....6.20yb CCC

3.0)( 0121

0'9.11

0'05.14.2

1

1

tpParapCtpParaC

t

.....6.21)'284.0(

45.012tt pp

C

52540518501

50

0020

45255270150

0020

4550

0020

.dL...yu

.pw)(u.

.dL

dL. y u)](u-.[

.dL

dL o u

.dL

s

s

s

Donde θs es la rotación por corte, τb es el esfuerzo promedio de adherencia yL es la longitud del elemento.

Page 52: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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6.3. Rótulas Plásticas

La ecuación 6.1 le corresponde en la figura 6.4 (tomada de Calavera) la curva 1 decoeficiente angular EI. Este diagrama corresponde a una idealización bastante radicaldel comportamiento de una pieza de concreto armado y supone que, alcanzado elpunto A, en el cual la tensión del acero iguala el valor de su límite elástico, la pieza seagota. Este agotamiento encierra un doble significado, pues por una parte suponeque la máxima capacidad resultante de la pieza es el valor MA del momento; esto esbastante aproximado. También supone que la curvatura ϕA es la máxima alcanzablepor la pieza, y esto es muy inexacto.

Sin embargo debido a varios fenómenos como la fisuración, la retracción y lafluencia, el comportamiento de la estructura no es lineal y presenta aspectos máscomplejos.

Figura 6.4: Diagrama Momento-Curvatura

Un comportamiento bastante frecuente de una sección de concreto armandosometida a flexión en un proceso de carga monótonamente creciente viene dadopor la curva 2 de la figura 6.4. En él, se aprecia claramente que la ley lineal sóloresulta aceptable en un campo de deformaciones relativamente restringido. El puntoB correspondiente a la fisuración y, a partir de él, aunque el diagrama sigueaproximándose aceptablemente a una ley lineal, lo hace con un coeficiente angularmenor, ya que, en el producto EI, el valor de ܫ se verá reducido a causa de lafisuración del concreto. A partir del punto C donde se alcanza el limite elásticodel acero, el diagrama cambia bruscamente, pasa por un máximo del momento yalcanza finalmente el punto E de agotamiento. La diferencia en el valor máximo deM alcanzado entre las curvas 1 y 2 es pequeña, sin embargo, la diferencia endeformaciones es muy importante y la curvatura ϕE puede ser muchas veces superiora ϕA.

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Una curva típica como la 2 en la figura 6.2 puede ser representada en una como la dela figura 6.4 (tomada de calavera) en lo que se conoce como un modelo bilineal.

Figura 6.5: Modelo Bilineal

De acuerdo con este diagrama, al crecer en una sección determinada de la pieza elmomento flector M aplicado, la curvatura crecerá proporcionalmente al momento.Alcanzando en la sección el valor de MA, la curvatura crece ya, sin incremento delmomento aplicado, constituyendo lo que se denominó como rótula plástica (Calavera1999).Entonces si un elemento estructural tiene suficiente ductilidad y es capaz dealcanzar su momento máximo y después de esto, seguir incrementado susdeformaciones, será capaz de redistribuir momentos (ver inciso 6.4.3 de estedocumento), (si el elemento estructural forma parte de un sistema hiperestático)entonces en los puntos donde se localicen esos momentos máximos será dondeaparezcan las llamadas rótulas plásticas, y al tiempo que las rótulas plásticas supereel grado de hiperestaticidad de la estructura, se puede decir que se la estructura seconvierte en una estructura inestable y llega a un mecanismo de falla y la estructuracolapsará.

6.3.1. Estimación De La Longitud De La Rótula Plástica

Una vez definido el diagrama de momento-curvatura, sólo falta conocerla longitud de la rótula plástica, ya que al multiplicar ésta por la curvatura encada uno de los puntos del diagrama de curvatura se obtiene el diagramaMomento-rotación el cual nos permite conocer la capacidad de rotación de larótula plástica.

Algunos factores que pueden afectar la longitud de la rótula plástica son: lascaracterísticas del acero de refuerzo, las características del concreto, el tipode carga, el cambio de curvatura a lo largo de la viga en el diagrama demomentos, y el tipo de sección transversal (Penelis Kappos 1997) en los añossesenta del siglo XX se propusieron varias relaciones empíricas para conocerel valor de lp (longitud de la rótula plástica).

Page 54: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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Dentro de estas relaciones podemos encontrar las propuestas por Baker,Corley, Sawyer y Mattock, éste último propone formulacionessimplificadas en base en los estudios de Corley.

.....6.23zdl p 05.05.0

Dónde:

d = peralte efectivo del elemento estructural

Z = distancia de la sección crítica al punto de inflexión

Existen otras formulaciones como las de Park y Priestley 1992, las cualesinvolucran el diámetro del refuerzo longitudinal, y está basada, al efecto depenetración del esfuerzo de tensión. Para vigas típicas lp puede tomar unvalor lp = 0.5h en donde h es la profundidad de la viga.

Se debe notar que lp es la longitud de la articulación plástica equivalenteen un lado de la sección crítica. En consecuencia, una articulación plásticadentro del claro de una viga cargada simétricamente tendrá una longitudequivalente total de 2 lp (Park y Paulay 1991).

6.3.2. Zonas Potenciales de Aparición de Rótulas Plásticas.

Las rótulas plásticas en vigas de marcos dúctiles, diseñados cuando la acciónde las fuerzas sísmicas es dominante, comúnmente se desarrollan al lado delas columnas, como se muestra en la figura 6.6 (tomada de Park y Priestley1992).

Figura 6.6: Patrones de Rótulas en vigas

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Cuando el momento positivo en un vano se vuelve grande a causa deldominio del momento debido a las cargas gravitacionales, particularmenteen vigas de vanos grandes, es muy difícil que las rótulas plásticas se formenen la cara de la columna. El diseñador tiene que decidir entonces a quédistancia de la cara de la columna se tiene que desarrollar la rótula, unejemplo típico es mostrado en el vano largo en la figura 6.6, (a), donde lafuerza sísmica es mostrada como se muestra, el momento positivo de larótula plástica en la viga superior de la figura 6.6, (a), se desarrollará cercadel interior de la columna, en la localización del momento máximo. Si larótula plástica se formó en la cara de la columna, la rotación de la rótula seríaθ, como la mostrada en el vano corto. Sin embargo, con la rótula positivaformando una distancia l1* medida de la columna derecha. La rotación de larótula plástica tendrá un incremento de:

.....6.24

*

1

'll

Es evidente según la figura 6.6, (a) que conforme más lejos se encuentre larótula de la columna de la izquierda, mas grande será la rotación de ésta,En la parte inferior de la viga con vano largo, la presencia de un punto decarga en la mitad indica que este punto podría ser la localización del máximomomento positivo dentro de la acción de las cargas gravitacionales ysísmicas. Si la rótula plástica es localizada ahí, la rotación plástica seincrementaría en:

.....6.25

*

2

"ll

La ductilidad por curvatura deseada en las rótulas plásticas es alcanzadaprincipalmente por un gran esfuerzo de tensión inelástico. Por tanto latensión media en la profundidad de la viga y a lo largo de la longitud de larótula plástica estará en tensión, resultando en un alargamiento en esa partede la viga. Debido a que la profundidad del eje neutro varía a lo largo delvano, las deformaciones también ocurren después del agrietamiento en laparte elástica de la viga, sin embargo éstas son insignificantes encomparación con los desarrollados por encima de la rótula plástica. Si lasacciones de las fuerzas sísmicas son importantes, resultan dos rótulasplásticas en la viga como lo muestra la figura 6.6.c, causando que las vigassean más largas l + ∆l. La magnitud de la longitud del vano se incrementará ∆ly esto afecta la profundidad efectiva de la viga, la rotación de la rótula θ ó θ’,y por tanto por la localización de la rótula figuras 6.6.a y d.

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Algunas condiciones para la presencia de rótulas plásticas son:

Cuando la sección critica de la rótula plástica se encuentra en la cara de lacolumna o muro, esta longitud es medida de la sección crítica hacia elvano. Un ejemplo se muestra en la figura 6.7 (tomada de Park y Priestley1992) en la cual el momento MA o MB son el resistente.

Cuando la sección critica de la rótula plástica no es la cara de la columnafigura 6.8 (tomada de Park y Priestley 1992) y es localizada a una distanciano menor que la profundidad de la viga o 500 mm, fuera de la cara de lacolumna, la longitud debe asumirse entre la cara de la columna y la seccióncrítica, por lo menos 0.5h o 250 mm desde la sección crítica y extenderse almenos 1.5h pasada la sección crítica hacia la mitad del vano. ejemplo verfigura 6.9

Para una rótula plástica positiva donde la fuerza cortante vale cero en lasección crítica, como en el punto C de la figura 6.7, la longitud debeextenderse una distancia h en ambas direcciones de la sección critica.

Figura 6.7: Localización De Potenciales Rótulas Plásticas

Figura 6.8: Vigas Con Relocalización De Rótulas

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Figura 6.9: Detalle De Rótulas Ubicadas Fuera De La Cara De La Columna.

6.4. Aplicaciones De La Relación Momento-Curvatura

6.4.1. Ductilidad Por Curvatura Local

La ductilidad por curvatura µϕ que relaciona la curvatura última Uϕ, con larelación a la curvatura de fluencia ϕy, que se denomina también como lacapacidad de ductilidad por curvatura de una sección. Ver figura 6.10.

.....6.26y

u

Figura 6.10: Modelo Trilineal

Es muy importante que el valor de µϕ sea lo más alto posible para que laestructura sea capaz de disipar la mayor energía ante un sismo muy severo(Aguíar 2003).

Page 58: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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6.4.2. Reserva De Ductilidad Por Curvatura

Se define la demanda de ductilidad por curvatura µd, con la siguienterelación:

.....6.27y

dd

Por otra parte, se define la reserva de ductilidad por curvatura μr, como ladiferencia entre la capacidad de ductilidad y la demanda de ductilidad, porcurvatura.

.....6.28-y

d

y

ur

Mientras más alta sea la reserva de ductilidad por curvatura de los diferenteselementos que conforman una estructura, mejor será el comportamientosísmico que se espera de la edificación, toda vez que se permitirá laredistribución de momentos, se obligará a que otros elementos adyacentes alos que están sobrecargados absorban parte de las cargas, aliviando de estamanera las zonas recargadas (Aguíar 2003).

6.4.3. Redistribución De Momentos.

Para que se dé la redistribución de momentos, es necesario que loselementos tengan suficiente reserva de ductilidad por curvatura (ecuación6.28), en las secciones críticas que son los extremos de los elementos.

Un principio fundamental para la redistribución de momentos, es que lasuma de los momentos de las vigas, antes de la redistribución, es igual a lasuma de momentos en las vigas, después de la redistribución. Laredistribución se puede realizar de la siguiente manera:

Redistribución de momentos a través de un nudo. En este caso, si elmomento negativo de un nudo se reduce en un determinado porcentaje,en el mismo porcentaje debe aumentarse el momento positivo del nudoen análisis. Por lo tanto, el momento total introducido al nudopermanece inalterado; en consecuencia, los momentos y cortantes de lacolumna que concurre al nudo, no cambian, Paulay y Priestley (1992).

Redistribución de momentos en vigas que involucra redistribución deacciones entre las columnas. Se cambian los momentos en vigas,considerando el principio fundamental de la redistribución indicadoanteriormente y luego, se debe buscar el equilibrio del nudo para la cualse modifica los momentos en las columnas y esto conduce a deducirnuevos cortantes que actúan sobre la columna.

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Se puede únicamente cambiar los momentos en los extremos de lasvigas, dejando constante el momento en el centro del tramo. Para lograrel equilibrio, ante cargas verticales, se considera que la viga se encuentrasimplemente apoyada. Por lo tanto, los momentos se consideransuperpuestos sobre la base de una línea recta que une los momentos delos extremos de las vigas.

Las secciones de las vigas, cuyos momentos se han reducido debido a laredistribución, ingresaran al rango no lineal, en forma anticipada pero tienensuficiente reserva de ductilidad por curvatura y esto implica que tienensuficiente reserva de ductilidad por rotación, lo que permite que el concretotrabaje a grandes deformaciones y la sección rote inelásticamentetransmitiendo las acciones a otros elementos (Aguíar 2003).

6.4.4. Inercias de Agrietadas

Una vez que se tiene la relación momento curvatura de una sección, definidapor un modelo numérico de cálculo similar al indicado en la figura 6.10, sepuede encontrar la rigidez a flexión EI, para diferentes condiciones a lascuales puede estar sujeto el elemento.

Si la sección no experimenta daño, significa que estrictamente el modeloactuante es menor que MA, en este caso se tiene.

.....6.29EIMEIA

A

Donde I es la inercia no agrietada de la sección transversal del elementoy E es el módulo de elasticidad del material.

Si en la figura 6.10, se une el punto Y, con el origen se determina la rigidez aflexión agrietada EIcr.

.....6.30y

ycr

MEI

Es importante destacar que cuando se trabaja con inercias en agrietamientotodos los elementos de la estructura se ven reducidos en su rigidez pero estono es cierto ya que no todos los elementos van a ingresar al rango no linealdurante un sismo muy severo. Esto es una debilidad de trabajar con Icr

(Aguíar 2003).

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6.5. Descripción general del proceso de análisis sísmico inelástico.

El modelo estructural para el análisis inelástico es similar al modelo lineal elástico endonde el ingeniero desarrolla un modelo del edificio o estructura.

La principal diferencia es que las propiedades de algunos o todos los componentesdel modelo incluyen fuerzas y deformaciones post-elásticas, además de lascaracterísticas iniciales elásticas. Estos se basan normalmente en las aproximacionesderivados de los resultados de pruebas sobre los componentes individuales o deanálisis teóricos (prueba del comportamiento histerético fuerza-deformación), estainformación se encuentra registrada en el ATC-40 (Applied Technology Council) y elFEMA 356 (Federal Emergency Management Agency).

Un modelo estructural detallado a menudo se puede simplificar en un modelo devarios grados de libertad equivalentes. (MDOF, multi-degree of freedom), y enalgunos casos, con modelos (SDOF, simple-degree of freedom), modelos de oscilador,éste último modelo es el que se utiliza en el análisis estático no lineal. Una de lasrazones por la cual se realizan estas simplificaciones es, reducir la gestión de datos ylos esfuerzos computacionales. Pero el aspecto negativo de realizar estassimplificaciones es que se introducen mayores incertidumbres en el proceso deanálisis.

Se puede simplificar los movimientos del suelo debidos al sismo en la frecuenciadominante, con el espectro de respuesta que muestra la máxima respuesta deespectro elástico de un (SDOF) oscilando en función del periodo. Otra simplificaciónimportante a los modelos estructurales detallados es lo que se conoce como“Pushover” o “curva de capacidad”.

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CAPÍTULO 7. TÉCNICA DEL PUSHOVER

La técnica del “Pushover” o también conocida con el nombre de análisisincremental del colapso es la más utilizada dentro de un análisis estático no lineal. Elobjetivo de esta técnica es encontrar la “curva de capacidad resistente” figura 6.1 deun marco, ante acciones sísmicas, dicha curva relaciona el cortante basal V(ordenada), con el desplazamiento lateral máximo de la estructura D (abscisa), estacurva es la base del análisis sísmico por desempeño o (PBE).

La técnica del Pushover se puede llevar a cabo aplicando un patrón de cargaslaterales a la estructura, que representen las fuerzas sísmicas, patrón que se vaincrementando monótonamente hasta alcanzar la capacidad última de la estructurao el colapso (Moreno R 2006), con cada incremento de carga la estructura vaperdiendo rigidez. Las curvas Pushover muestran la respuesta global del sistema(desplazamientos laterales, cortante basal, y drift o derivas)

La técnica del Pushover se realiza con pequeños incrementos de carga alrededorde 0.1 T. esto para cuando se utiliza un programa de ordenador. Para resolvermanualmente se pueden plantear incrementos de carga de 2 T como lo recomiendaAguíar, la carga con la que se resuelve es muy alta pero se tendrán menosoperaciones y será factible mostrar la secuencia de cálculo (Aguíar 2003)

El vector de cargas que será el que se incrementara monótonamente es usualmenteuna representación de la aceleración relativa asociado con el primer modo devibrar de la estructura, ésta se podría considerar una limitante para edificios quecuenten con un nivel de excentricidad considerable, debido a que las fuerzas sedeben aplicar en los dos sentidos, y ortogonalmente.

El Pushover es capaz de mostrar deficiencias de diseño que el análisis elástico nopuede detectar (Elnashai-Di Sarno 2008)

Una de las limitaciones más importantes de este método es: que no es aplicable aedificios altos y a edificios con periodos fundamentales de vibración muy largos.

En los últimos años se han desarrollado algunas variaciones del método de Pushoveroriginal, que puedan obtener resultados más próximos a los obtenidos en el análisisdinámico no lineal, incluyendo el Pushover Modal, este método requiere de tantospasos que se está perdiendo el atractivo principal del Pushover clásico, como lo haseñalado Madison (2005)

7.1. Curva de Capacidad

Como se describió en el inciso anterior, aplicando la técnica de Pushoverobtendremos la respuesta no lineal de una estructura, la cual podemos representaren la “curva de capacidad”

Page 62: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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El análisis tiene como base dos conceptos primordiales: la capacidad y la demanda.La primera. La podemos entender como una característica propia de la edificaciónque depende de factores como la geometría de los elementos, la cantidad derefuerzo, las propiedades de los materiales como rigidez, ductilidad entre otras. Lademanda depende de un sismo en particular, representado mediante unacelerograma o un espectro de diseño, y hace referencia a las fuerzas ydeformaciones impuestas por este, de manera que la demanda, a diferencia de lacapacidad, no es en teoría un valor constante, pues depende del conjunto de fuerzasexternas o aceleraciones a las que se someterá la edificación (Mora, Villálba yMaldonado 2006)

Desplazamiento ( )

Cor

tant

e B

asal

(V)

Figura 7.1.-Curva De Capacidad

7.2. Distribución De Carga Lateral.

Existen diversas distribuciones de fuerzas laterales que se pueden aplicar a laestructura para obtener la curva de capacidad, (triangular, parabólica, uniforme), laelección de cada una de ellas afecta los resultados que se obtienen en la curva decapacidad.

No existe un único patrón de fuerzas que sea universalmente aceptado (MorenoGonzales 2006), una solución práctica es usar al menos 2 dos distribucionesdiferentes y definir la curva de capacidad mediante la envolvente de los resultadosobtenidos (Fajfar, 2000)

Es posible utilizar las fuerzas obtenidas del análisis sísmico estático o ELF

El profesor Aguíar propone algunos criterios para obtener las fuerzas laterales. Elprimero de ellos, sólo trabaja con el modo fundamental, éste criterio es válido paraestructuras regulares en planta y elevación, y el segundo criterio considera losmodos superiores para el efecto se debe encontrar el modo fundamental

Page 63: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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equivalente, este criterio es para estructuras en las cuales los modos superiorestienen un papel importante en la respuesta estructural.

La curva de capacidad sísmica resistente de una estructura es función de ladistribución de fuerzas laterales que se aplican en cada uno de los pisos. Por estemotivo es importante tener presente los principios de la dinámica de estructuraspara aplicar las fuerzas laterales en cada uno de los pisos, con los cuales se va aplicarla técnica del “Pushover”.

7.2.1. Criterio 1: Modo Fundamental.

Si se tiene una estructura muy regular en planta y elevación ésta va a trabajarbásicamente en el primer modo de vibración. En consecuencia las fuerzaslaterales a aplicarse en cada uno de los pisos se determinan con la siguienteecuación.

.....7.1Vm

mF N

j jj

iii

Donde

mi = La masa en el piso i

φi = La forma del primer modo en el piso i

V = Cortante basal.

N = Número de pisos.

Fi = La fuerza correspondiente al piso i

7.2.2. Criterio 2: Modos Superiores

Cuando se tiene una estructura en la cual se conoce que la influencia de losmodos superiores es importante en la respuesta sísmica, se debe encontrarlas fuerzas laterales aplicando el presente criterio que está basado en elModo fundamental equivalente φ’i propuesto por Valles (1996).

El modo fundamental equivalente φ’i se determina empleando el criterio delMáximo Valor Probable en la combinación de los modos de vibración,utilizando la siguiente ecuación:

.....7.3

.....7.2

m

mN

k kjk

N

k kjkj

N

jjiji

12

1

1)('

Page 64: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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Finalmente las fuerzas laterales en cada piso se obtienen aplicando lasiguiente expresión:

.....7.4m

mF N

j jj

iii

''

7.3. Desplazamiento Tope (target displacement)

El análisis estático no lineal debe continuar su incremento de cargas hasta que ladeflexión del punto de control exceda el ciento cincuenta por ciento deldesplazamiento tope (NEHRPA5.2)

El desplazamiento tope se puede calcular como sigue:

.....7.5gTSCCCC eat 2

2

3210 4

Donde

C0 = Factor de modificación debido a la simplificación del sistema de un grado delibertad a uno de varios grados de libertad. Otra opción es la tabla 3-2FEMA 356

C1 = factor de modificación que relaciona el máximo desplazamiento inelásticoesperado, con los desplazamientos calculados por la respuesta lineal:

.....7.6TTparaRT

TR

TTpara

See

S

Se

)1(1

0.1

Pero C1 no puede ser menor que 1

También se pueden utilizar las fórmulas empíricas del punto 3.3.1.3 del FEMA356

Te = periodo fundamental de la estructura

TS = respuesta característica del espectro de respuesta.

R = Proporción de la demanda de la fuerza elástica para calcular coeficiente deresistencia a la fluencia

C2 = facto de modificación para representar la escasa forma del la curva dehistéresis, la degradación de rigidez y el deterioro de la fuerza en el máximodesplazamiento.

C3 = factor de modificación que representa el incremento del desplazamiento acausa de los efectos P-∆

Sa = aceleración espectral. Para el periodo fundamental (1.6.2.1 FEMA 356)

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- 65 -

7.4. Curva de Deformación Plástica.

Como se puede observar en el inciso 5.2 el diagrama de Momento- curvatura mide lacapacidad de ductilidad de la viga y posteriormente la compara con las demandasque tiene el diseño, según los criterios de FEMA 356, de igual forma la demanda sepuede calcular comparando cualquier deformación contra fuerza, así para cadaelemento mecánico, se puede definir una curva que representa la capacidad que laestructura tiene para soportar la demanda que ésta exige. En elementos como vigas ycolumnas la respuesta típica para esta curva se observa en la figura 7.2

El significado de cada uno de los puntos es el siguiente:

Figura 7.2: Generalización de la relación fuerza-deformación para una viga deconcreto donde domina la flexión. Tomada del FEMA 356

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- 66 -

A es siempre el origen

B representa la fluencia, ninguna deformación se produce en la rótula antes delpunto B hablamos de un comportamiento Elástico, independientemente delvalor de deformación especificada para el punto B. El desplazamiento (rotación)en el punto B puede ser determinado por la deformación en el punto C, D, y E.sólo la deformación plástica más allá del punto B será mostrada en la rótula.

Punto C representa la capacidad última para el análisis Pushover. Sin embargo, sepuede especificar una pendiente positiva de C a D para otros propósitos

Punto E representa la falla total. Más allá del punto E la rótula podrá bajar lacarga al punto F (el cual no se muestra en la gráfica) directamente debajo delpunto E en el eje horizontal. Si no se pretende que la rótula falle en esta forma,es importante especificar un valor considerable para la deformación en el puntoE.

Es posible adicionar el valor de deformación para los puntos que determinan losniveles de desempeño según el FEMA 356

Para el cálculo de la distancia a, b y c de la Figura 7.2.a, es posible utilizar las tablasque se encuentran en el FEMA 356 tabla 6-7 y 6-8 para vigas y columnas.

7.5. Descripción General del Proceso de Cálculo

En el cálculo manual de la técnica del Pushover se toman en cuenta algunashipótesis importantes: consideramos a la estructura sólo con 2 grados de libertad,uno debido a giro en los nudos y otro debido al desplazamiento horizontal de todo elnivel, esta hipótesis parte del hecho de considerar que la viga es infinitamente rígida

La carga horizontal aplicada se concentra en un nudo del piso. Con cada incrementode carga se determina las nuevas características obtenidas en base a las relacionesmomento curvatura. Para el caso de las columnas (la viga no porque se consideratotalmente rígida), se determina las nuevas rigideces de los elementos, lasdeformaciones, los momentos que genera cada incremento de carga.

Es necesario encontrar en la relación momento curvatura los puntos en los cuales seproduce el cambio de pendiente, estos puntos son: A, Y U.

Figura 6.10. En donde el punto A representa que el concreto ha llegado a su máximacapacidad de tracción, el punto Y cuando el acero alcanza la fluencia y por último enpunto U, el cual nos indica que el concreto llega a la máxima deformación útil.

Page 67: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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La técnica del Pushover se realiza con pequeños incrementos de carga de alrededorde 0.1Ton. Esto para cuando se utiliza un programa de cómputo. Para resolvermanualmente Aguíar recomienda incrementos de carga de 2Ton, la carga con laque se resuelve el problema es muy alta pero se tendrán menos operaciones y serámás factible mostrar la secuencia del cálculo.

Para encontrar la curva de capacidad resistente de una estructura se procede de lasiguiente, manera:

Se determina la relación momento de curvatura en vigas y columnas, la relaciónmomento curvatura en columnas depende de la carga axial para iniciar el cálculose considera una carga axial nula

Se calcula la matriz de rigideces condesada de la estructura.

Para iniciar el cálculo se aplica una carga horizontal

Se obtiene el vector de desplazamientos debido a la carga horizontal aplicada enla estructura.

Finalmente se obtienen los momentos actuantes en la estructura.

Se procede a comparar los momentos resultantes con los momentos deagrietamientos calculados en el primer paso

Si los momentos encontrados superan a los momentos de agrietamiento sedetermina la carga lateral exacta que se debe aplicar para llegar al momento deagrietamiento, esto se hace con una regla de tres.

Una vez encontrada la fuerza se debe repetir el proceso y desde un punto devista riguroso con otras rigideces en función de la carga axial que gravita sobrecada columna

Esta fuerza provoca reacciones en las columnas y con esta carga axial sedetermina nuevamente la relación momento curvatura y por consiguiente lanueva matriz de rigidez en cada uno de los elementos de la estructura

De igual forma se realizan los incrementos sucesivos hasta llegar al punto Y, yde la misma forma cuando pasen ese punto cada una de las columnas setrabajará con la nueva rigidez que para la última rama será la rigidez ultima de laestructura.

Page 68: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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7.6. Análisis Estático No Lineal Pushover En SAP2000_V.15

Como se observó en el punto anterior el proceso de cálculo de un análisis estático nolineal Pushover puede llegar a ser tedioso y poco práctico de realizar de formatradicional. Es por eso que para la realización de este trabajo se propone la utilizaciónde un programa de cómputo SAP2000_V.15 el autor de este trabajo a tomado ladecisión de realizar el análisis estático no lineal en dicho programa de computo.

Cabe resaltar que el objetivo de este trabajo no es dar a conocer todas lasherramientas con las que cuenta dicho programa de cómputo, sólo las necesariaspara poder realizar el análisis estático no lineal.

SAP2000 provee las siguientes herramientas que son necesarias para realizar unanálisis de Pushover

Podemos definir la no-linealidad del material incluyendo las articulacionesplásticas, las cuales podemos crear con las características que consideremosconvenientes o, utilizar el criterio del FEMA 356

El análisis estático no lineal permite tener un control en los desplazamientos

Es capaz de mostrar las curvas de capacidad

Es capaz de mostrar el estado de las rótulas plásticas en cada uno de los pasosdel análisis Pushover

Page 69: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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CAPÍTULO 8. EVALUACIÓN DE UNA EDIFICACIÓN DE CONCRETO ARMADO DE 3 PISOS EN LACIUDAD DE NUEVO CHIMBOTE

8.1. La Edificación Estudiada

La edificación estudiada se ubica en el A.H. Los Ángeles de la Ciudad de NuevoChimbote, sobre suelos flexibles y tiene 3 Pisos. La altura de entrepisos para todoslos niveles es de 3.00 m.

La planta tiene 4 paños de 6.00 m (total 24.00 m) en la dirección longitudinal X y 2paños de 5.00 m (total 10.00 m) en la dirección transversal Y. esto hace un total de240.00 m² por planta figura 8.1.

6.00 6.00 6.00 6.001 2 3 4 5

5.00

5.00

A

B

C

Figura 8.1: Planta de la Edificación.

La estructura de la edificación está conformado por pórticos de concreto armado def’c = 210 kg/cm², y acero de fy = 4200 kg/cm². Cada entrepiso cuenta con losasaligeradas de 20 cm de espesor que descansan en vigas de 30cm x 55cm. Lascolumnas en su totalidad son cuadradas y del mismo peralte de 45cm x 45cm. Elvalor del peralte corresponde a la dimensión mínima necesaria para satisfacer ellímite de deriva lateral indicado en la Norma Técnica E.030 de DiseñoSismorresistente (Δ/he = 0.007).

8.2. Análisis Elástico para Propósitos de Diseño

Para el análisis elástico se desarrolló un modelo considerando elementosunidimensionales con deformaciones por flexión, cortante y axial. Además en cadanivel se consideró un diafragma con 3 grados de libertad.

Utilizando este modelo se desarrolló el análisis por solicitaciones de gravedad ysismo. La figura 8.2 muestra el modelo desarrollado con el programa SAP 2000.

Page 70: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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Figura 8.2: Modelo estructural en el programa SAP2000

8.2.1. Análisis por Cargas de Gravedad

En el análisis por cargas de gravedad se realizó considerando para las cargasmuertas además del peso de los elementos estructurales como vigas ycolumnas, (calculados internamente por el programa SAP2000), el peso delas losas, el piso terminado y la tabiquería con los valores mostrados en latabla 8.1.

CARGASMUERTAS

Piso Típico(ton/m²)

Azotea(ton/m²)

P. Losa Aligerada 0.30 0.30P. Piso terminado 0.10 0.10

P. Tabiquería 0.10 0.00Σ 0.50 0.40

Tabla 8.1: Cargas muertas por metro cuadrado

En el análisis de la cargas vivas se consideró una sobrecarga de 200 kg/m² enlos pisos típicos y 100 kg/m² en la azotea [Norma técnica E.020]. Estassobrecargas se asignaron directamente a las vigas también usando el criteriode área tributaria.

Page 71: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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8.2.2. Análisis Sísmico

Se realizaron dos tipos de análisis sísmico: estático y dinámico. Del análisisestático sólo se calculó la fuerza cortante basal del edificio para poderestablecer el límite inferior de la fuerza cortante de diseño que se obtuvo delanálisis dinámico.

Análisis Estático

Utilizamos este método para hallar la fuerza cortante basal con el finde escalar los resultados del análisis dinámico siguiendo lasindicaciones de la Norma NTE-030. [SENCICO 2003]

La fuerza cortante basal se halló con la siguiente expresión según laNorma Técnica E.030 de Diseño Sismorresistente:

PR

ZUCSV

Dónde:

Z = 0.4, dado que se encuentra ubicado en la ciudad deNvo. Chimbote (zona 3)

U = 1, dado que es una edificación común (categoría C)

S = 1.4 y Tp = 0.9, dado que el suelo de cimentación califica comoTipo 3.

El factor de amplificación sísmica (C) se calculó con la siguienteexpresión:

5.2;5.2

C

TT

C p

El periodo fundamental de la estructura de cada dirección se tomó delanálisis modal. Se obtuvieron los siguientes valores:

Características Dirección X-X Dirección Y-YPeriodo Fundamental (T) 0.3803 0.3788Coeficiente de amplificación sísmica (C) 2.5 2.5

Tabla 8.2: Periodos y coeficientes de amplificación sísmica

R = 8, dado que se trata de pórticos de concreto armado.

Finalmente se obtuvieron para la dirección longitudinal (X-X) ytransversal (Y-Y) las fuerzas cortantes basales de 94.81 toneladasrespectivamente.

Page 72: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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Análisis Dinámico

En el análisis dinámico se consideran tres grados de libertad en cadapiso.

Este análisis se repitió para diferentes peraltes de columnas hastaencontrar el menor valor que satisface la deriva permitida por laNorma Técnica E.030 de Diseño Sismorresistente (Δ/he = 0.007)[SENCICO 2003]. Se encontró que las columnas debían ser de 45cm x45cm. Las vigas no se cambiaron del peralte asumido inicialmentecomo se mencionó anteriormente.

Propiedades Inerciales

Las propiedades inerciales de los pisos se representaron por mediode dos masas traslacionales (para las direcciones longitudinal ytransversal); y una inercia rotacional respecto al eje vertical.

La inercia traslacional (masa) de cada diafragma se calculó comom= peso/g

La inercia rotacional de cada diafragma se halló con la siguienteexpresión:

AreaIIMasa

I yxrot

)(

Los valores empleados en el análisis se muestran en la tabla 8.3.

Piso típico AzoteaÁrea (m²) 240 240

Inercia CM en X (m4) 2000 2000

Inercia CM en Y (m4) 11520 11520Peso (ton) 194 153Masa (ton.seg²/m) 20 16Inercia Rotacional (ton.seg²/m) 1114 879

Tabla 8.3: Propiedades inerciales

Espectro de análisis

Siguiendo las indicaciones de la Norma Técnica E.030 de DiseñoSismorresistente [SENCICO, 2003] se empleó el siguiente espectro:

gR

ZUCSSa

Page 73: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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Este espectro se expresó en dos factores: una función espectral yun factor de escala, según se indica a continuación:

49108819140

45

..xx.gR

ZUscalaFactorde e

).a.. (Figur CS .pectralFunción es

Figura 8.3: Función de respuesta espectral

Resultados de desplazamientos del análisis dinámico

Para la dimensión mínima de columna encontrada que cumplencon los requisitos de deriva (45cmx45cm) se hallaron los siguientesresultados de desplazamientos.

R.N.E. (E-30)Δ total Δ Relativo hei Δi Inelástico Δi / hei Δi / hei

en techo (cm) entrepiso (cm) (m) (cm) (00/00) (00/00)1 0.27 0.27 3.00 1.59 5.30 7.00 OK2 0.60 0.33 3.00 2.00 6.67 7.00 OK3 0.81 0.21 3.00 1.26 4.20 7.00 OK

R.N.E. (E-30)Δ total Δ Relativo hei Δi Inelástico Δi / hei Δi / hei

en techo (cm) entrepiso (cm) (m) (cm) (00/00) (00/00)1 0.26 0.26 3.00 1.58 5.27 7.00 OK2 0.59 0.33 3.00 1.99 6.63 7.00 OK3 0.80 0.21 3.00 1.25 4.17 7.00 OK

Direccion Longitudinal X-XObs.

Nivel

Direccion Transversa Y-YObs.

Nivel

Tabla 8.4: Resultados del análisis espectral

En la tabla anterior se aprecia que la máxima deriva del edificio esprácticamente igual al límite tolerable y se alcanza en el segundonivel para la dirección transversal,

Page 74: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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Los desplazamientos laterales se calcularon multiplicando por0,75R los resultados obtenidos del análisis lineal y elástico con lassolicitaciones sísmicas reducidas como lo indica de la NormaTécnica E.030

Fuerzas internas para diseño

La tabla 8.5 presenta las fuerzas cortantes basales provenientes delos análisis estático y dinámico.

Dirección X-X Dirección Y-YCortante estático (Ton) 94.81 94.81Cortante dinámico (Ton) 81.94 81.9580% del Cortante estático (Ton) 75.85 75.85

Tabla 8.5: Fuerzas cortantes obtenidas de los análisis

Como se aprecia los valores del cortante dinámico resultaronmayores al 80% de los correspondientes valores del métodoestático, por tanto se usó como cortante de diseño el cortantedinámico y no fue necesario escalar los resultados de fuerzasinternas para el diseño como lo indica las Norma Técnica E.030.

8.3. Diseño

8.3.1. Filosofía General de Diseño

El diseño se hizo usando el “diseño por resistencia”. Según este método, laresistencia de una sección, elemento o estructura, debe ser igual o mayorque las solicitaciones internas combinadas por factores de amplificación. Lasiguiente ecuación resume este método:

)( FACTORESxINTERNASCARGASARESISTENCI

8.3.2. Combinaciones para el diseño

Las cinco combinaciones que se utilizaron para el diseño fueron:

1.4CM + 1.7CV

1.25(CM + CV ) ± Sx

1.25(CM + CV ) ± Sy

0.9CM ± Sx

0.9CM ± Sy

Page 75: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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8.3.3. Diseño de vigas

Las vigas se diseñaron con la curva envolvente de las combinaciones dediseño. Una de las cosas importantes a destacar fue que en aquellas vigasdonde se colocó menor cantidad de acero negativo que el requerido por elanálisis elástico; la redistribución de momentos se mantuvo por debajo del20 %.

Para el diseño por cortante se siguieron las recomendaciones de la Normatécnica de Edificación E.060 (Figura 8.4) respecto a la capacidad relativa decorte y flexión dada por la siguiente ecuación:

2.Lw

LMM

Vr derizq

Figura 8.4: Verificación de capacidad cortante

El diseño de los estribos estuvo gobernado por criterios de confinamientopara solicitaciones sísmicas y no por criterios de capacidad a corte. Se utilizóestribos de 3/8”Ø con la siguiente distribución.

1@ 5cm, 9@ 10cm y resto @ 25cm.

Page 76: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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1.40 1.401.40 1.401.40.45 5.55 .45 5.55 .45

1.40 1.401.40 1.401.40

1.40 1.401.40 1.401.40

PRIMER NIVEL

SEGUNDO NIVEL

TERCER NIVEL

6.00 6.00

A B C

2 2 2

Figura 8.5: Diseño de la viga interior transversal

Page 77: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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8.3.4. Diseño de columnas

El diseño se desarrolló proponiendo primero una distribución de acero yluego verificando que la resistencia de la columna sea mayor que lassolicitaciones combinadas. Se elaboraron diagramas de interacción en loscuales se ubicaron las combinaciones respectivas.

Según la Norma técnica de Edificación E.060 Concreto Armado, la cuantía deacero longitudinal mínimo es del 1% y el máximo es del 6%, sin embargo, lacuantía que se empleó por razones de cálculo es del 1.12% que está dentrode los parámetros establecidos.

A continuación mostraremos la verificación de la columna con mayor cargaaxial de acuerdo a las combinaciones.

NIVELCOLUMNA

ACEROCOLOCADO

.45

.45ESQUINERA LATERAL INTERNA

C1 (ton) C2 (ton) C3 (ton)

1ro Nivel 35.32 62.51 106.46 8 Ø 3/4"

2do Nivel 22.89 40.15 67.53 8 Ø 3/4"

3ro Nivel 10.21 17.79 29.24 8 Ø 3/4"

Tabla 8.6: Cuadro de columnas

El diseño mostrado en la tabla 8.6 satisfacen las solicitaciones últimas dediseño en todas las ubicaciones en planta y elevación.

Verificación del desplazamiento lateral.

También se permite suponer como arriostrado (sin desplazamiento lateral) aun entrepiso en la estructura si el índice de estabilidad del entrepiso, Q:

heVusPuQ

0)(

es menor o igual a 0.06. En la ecuación.

Donde:

∑Pu : Suma de las cargas amplificadas, muertas y vivas, acumuladasdesde el extremo superior del edificio hasta el entrepisoconsiderado. Para el caso de solicitaciones sísmicas ∑Pu debebasarse en la misma fracción de la sobrecarga utilizada para elcálculo de las fuerzas sísmicas laterales.

Page 78: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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Δo : Deformación relativa entre el nivel superior y el inferior delentrepiso considerado, debido a las fuerzas laterales amplificadasy calculada de acuerdo a un análisis elástico de Primer Orden.

Para el caso de fuerzas laterales de sismo, Δo deberá multiplicarsepor 0,75 veces el factor de reducción (R) considerado en ladeterminación de estas fuerzas tal como se estipula en la NTEE.030 Diseño Sismorresistente.

Vus : Fuerza cortante amplificada en el entrepiso, debida a las cargaslaterales.

He : Altura del entrepiso medida piso a piso.

∑Pu Δ Relativo Δo = 0.75xRxΔ he Vus

(ton) entrepiso (cm) (cm) (cm) (ton)1 106.46 0.27 1.59 3000 17.67 0.0032 0.06 Sin Desplazamiento

2 67.53 0.33 2.00 3000 35.34 0.0013 0.06 Sin Desplazamiento

3 29.24 0.21 1.26 3000 41.83 0.0003 0.06 Sin Desplazamiento

Obs.Nivel R.N.E.(E-060)heVus

PuQ

0)(

8.4. Procedimiento para encontrar curva de Capacidad del marco por medio delprograma SAP2000_V.15

Se mostraran cada uno de los pasos a seguir para obtener la curva de capacidad delmarco que se está analizando, se recomienda al lector tener conocimientos previosacerca del programa SAP2000_V.15 o versiones anteriores.

Para aquellos que no estén familiarizados con el programa, al final de este trabajo serecomiendan algunos manuales.

Page 79: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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8.4.1. Creación de la Grilla

File >> New Model // Grid Only

Figura 8.6: Creación de un nuevo modelo

Figura 8.7: Plantillas para un nuevo modelo

Page 80: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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En los casilleros siguientes escribimos las cantidades que se muestran acontinuación, pero las unidades tienen que estar configuradas en metros,longitud de tramos 6.00m y altura de niveles 3.00m.

Figura 8.8: Cuadriculas de Líneas Rápidas

Figura 8.9: Modelo de Grillas

Page 81: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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8.4.2. Definición de Materiales

Tenemos que definir dos clases de materiales, concreto y acero

Descripción Concreto AceroResistencia del concreto 210 kg/cm² -Esfuerzo de Fluencia del Acero - 4200 kg/cm²Peso especifico 2400 kg/m³ 7800 kg/m³Módulo de Elasticidad 15000 cf ' kg/cm² 2000000 kg/cm²

Tabla 8.7: Propiedades de los Materiales

Define >> Materials… // Add New Material

Figura 8.10: Definición de Materiales

Figura 8.11: Agregando un Nuevo Materiales

Page 82: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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Figura 8.12: Datos de Propiedades del material del Concreto

Figura 8.13: Datos de Propiedades del material del Acero

Page 83: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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8.4.3. Definición de Secciones

Para la definición de secciones, definimos para Vigas y columnas con susaceros incluidos.

Define >> Section Properties >> Frame Sections… // Add New Property //Frame Section Property Type (Concrete) // Click to Add a Concrete Section(rectangular).

Figura 8.14: Definición Propiedades de Sección

Figura 8.15: Agregando Nueva Propiedades de Sección

Figura 8.16: Agregando Propiedades de Sección Barra

Page 84: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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El diseño de las columnas se muestra en la tabla 8.6, todas las columnas sonde sección 45cmx45cm, recubrimiento 4cm, acero longitudinal 8Ø3/4”, acerotransversal estribos 3/8”@10cm y el refuerzo tiene que ser a chequear.

Figura 8.17: Sección de todas las Columnas Rectangulares

Figura 8.18: Configuración del Refuerzo de la Columna

Page 85: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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El diseño de las vigas se muestra en la figura 8.5, todas las vigas del primernivel son de sección 30cmx55cm, recubrimiento 5cm, con acero superiorizquierda y derecha 5Ø3/4” (14.20 cm²) y acero inferior izquierda y derecha2Ø3/4”+1Ø1/2” (6.97 cm²).

Figura 8.19: Sección de la Viga Rectangulares del Primer Nivel

Figura 8.20: Configuración del Refuerzo de las Vigas del Primer Nivel

Page 86: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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El diseño de las vigas se muestra en la figura 8.5, todas las vigas del segundonivel son de sección 30cmx55cm, recubrimiento 5cm, con acero superiorizquierda y derecha 4Ø3/4”+1Ø1/2” (12.65 cm²) y acero inferior izquierda yderecha 2Ø3/4”+1Ø1/2” (6.97 cm²).

Figura 8.21: Sección de la Viga Rectangulares del Segundo Nivel

Figura 8.22: Configuración del Refuerzo de las Vigas del Segundo Nivel

Page 87: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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El diseño de las vigas se muestra en la figura 8.5, todas las vigas del tercernivel son de sección 30cmx55cm, recubrimiento 5cm, con acero superiorizquierda y derecha 2Ø3/4”+2Ø1/2” (8.26 cm²) y acero inferior izquierda yderecha 2Ø5/8+1Ø1/2” (5.29 cm²).

Figura 8.23: Sección de la Viga Rectangulares del Tercer Nivel

Figura 8.24: Configuración del Refuerzo de las Vigas del Tercer Nivel

Page 88: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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8.4.4. Creación del Modelo con tipo de Sección y tipo de Apoyo

Este paso se omite y se presenta el modelo que se creó a base de elementosbarras, definiéndose tanto las propiedades de los materiales como lageometría de cada sección que conforma el marco.

Figura 8.25: Modelo del marco en SAP2000_V.15

8.4.5. Definir y Asignar de los Carga

Define >> Load Patterns… // Add New Load Pattern

Figura 8.26: Definición de los Patrones de Carga

Page 89: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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El Análisis de la carga muerta se muestra en la siguiente tabla, teniendo unancho tributario 5.00 m.

CARGASMUERTAS

Piso Típico(ton/m)

Azotea(ton/m)

P. Losa Aligerada(E=20cm) 1.50 1.50P. Piso terminado 0.50 0.50P. Tabiquería 0.50 0.00

Σ 2.50 2.00

Tabla 8.8: Cargas muertas por metro lineal para el pórtico central

Figura 8.27: Asignación de la Carga Muerta Distribuida

En el análisis de la cargas vivas se consideró una sobrecarga de 200 kg/m² enlos pisos típicos y 100 kg/m² en la azotea [Norma técnica E.020], teniendo unancho tributario 5.00 m.

CARGASVIVA

Piso Típico(ton/m)

Azotea(ton/m)

Vivienda 1.00 0.50Σ 1.00 0.50

Tabla 8.9: Cargas Viva por metro lineal para el pórtico central

En el análisis de la cargas vivas se consideró una sobrecarga de 200 kg/m² enlos pisos típicos y 100 kg/m² en la azotea [Norma técnica E.020], teniendo unancho tributario 5.00 m.

Page 90: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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Figura 8.28: Asignación de la Carga Viva Distribuida

Esta carga responde a la forma como se generan las fuerzas de piso en cadanivel es decir, podemos obtener del corte de piso, las fuerzas de cada piso yen base a ese patrón se establece un patrón de cargas precisamente que sigauna distribución triangular que representa a las fuerzas obtenidas del primermodo de vibración, el periodo fundamental. Se pone una carga pequeña paraque el programa Sap2000 incremente monotomicamente las fuerzas hastaque logre pasarse del rango elástico al rango inelástico.

Nivel Pi (tn) hi (m) Pihi Pihi/(ΣPihi) Fi (tn) CargaLateral (tn)

3 153.33 9.00 1379.973 0.4410 41.83 2.372 194.34 6.00 1166.017 0.3726 35.34 2.001 194.34 3.00 583.008 0.1863 17.67 1.00

542.00 3128.998 94.84

Tabla 8.10: Distribución de la carga Lateral por Niveles

Page 91: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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Figura 8.0 Distribución de la Carga Lateral Triangular

8.4.6. Definir de Casos de Carga

Define >> Load Cases… // Add New Load Case…

Figura 8.29: Definición de los Casos de Carga

Page 92: Analisis No Lineal-momento Curvatura

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Carga Gravitacional No lineal (CGNL): En esta ventana tenemos los casos decarga que se utilizaron en el análisis elástico lineal. Estos serán de utilidadpara transformarlos en casos no lineales.

Escogemos la opción Add New Load Case si se despliega la siguiente pantalla.

Figura 8.30: Datos del Caso de Carga por Gravedad

Primero creamos el caso de carga gravitacional no líneas (CGNL) son lascargas de gravedad. En la parte superior derecha, tipos de casos de carga(Load Case Type), seleccionamos estático (Static), y en el tipo de análisis(Analysis Type) escogemos no lineal (Nonlinear).

En la parte izquierda del menú, en condiciones iniciales (initial conditions)seleccionamos condicione iniciales que parten de cero (zero initialsconditions), ya que esta será la primera carga que afectará a la estructura.

En aplicación de cargas (Load Applied), seleccionamos carga muerta (dead)con un factor de escala de 1.1 y para carga viva (live) con un factor de escala0.25, las demás opciones se dejan tal cual, aparecen por defecto (default).

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Análisis Estático No lineal (AENL): En esta ventana tenemos el caso de cargaque se utilizó en el análisis estático no líneas.

Escogemos la opción Add New Load Case y configuramos la ventana como semuestra en la siguiente pantalla.

Figura 8.31: Datos del Caso de Carga por Pushover

Primero creamos el caso de carga Análisis Estático no Lineal (AENL). En laparte superior derecha, tipos de casos de carga (Load Case Type),seleccionamos estático (Static), y en el tipo de análisis (Analysis Type)escogemos no lineal (Nonlinear).

En la parte izquierda del menú, en condiciones iniciales (initial conditions)seleccionamos que continua del caso de carga gravitacional no lineal(Continue from State at End of Nonlinear Case), y desplegamos en “CGNL”.

En aplicación de cargas (Load Applied), seleccionamos el nombre de la cargaPUSHOVER con factor escala 1 y en las demás opciones lo configuramoscomo se muestra en las siguientes pantallas dando click en Modify/Show...

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Figura 8.32: Control de la Aplicación de carga no lineal

En la ventana configuramos tal como se muestra en la figura anterior,seleccionamos en control de aplicación de cargas (Load Application Control)la opción Control por desplazamiento (Displacement Control), y usamos elmonitoreo por desplazamiento (Use Monitored Displacement) y en Load to aMonitored Displacement Magnitude of tipiamos 0.25 m, es decir cuandoalcance los 0.25 m se detenga y será en el grado de libertad U1 en ladirección X en el nudo 20, es decir cuando el nudo 20 alcance los 0.25 m dedesplazamiento se detenga el análisis, entonces el patrón de cargastriangular que hemos establecido debe incrementarse proporcionalmente asus forma hasta alcanzar los 0.25 m siempre y cuando sean factibles.

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Figura 8.33: Guardar resultados

Seleccionamos la opción múltiples pasos (Multiple States), para guardar cadauno de los resultados obtenidos para cada incremento de carga, que nosmuestre las diferentes etapas.

Figura 8.34: Parámetros del caso no lineal

En la opción método de descarga de las rotulas (Hinge Unloading Method)seleccionamos reiniciar la rigidez secante (Restart Using Secant Stiffness) quees el método más preciso para este tipo de análisis.

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8.4.7. Asignación de las Rótulas Plásticas

Para la asignación de las rotulas plásticas, seleccionamos por separado lasvigas y columnas.

Assign >> Frame >> Hinges… // Add.

Figura 8.35: Asignación de Rotulas Plásticas

Figura 8.36: Asignación de Rotulas Plásticas a la Barra de vigas.

En la ventana anterior asignamos las rotulas plásticas en las vigas a unadistancia relativa de la barra al 5% y al 95%.

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Figura 8.37: Datos de Asignación de Rotulas Plásticas de Vigas.

En la ventana anterior seleccionamos la opción en tipo de rotula (Auto HingeType) la tabla dado por FEMA 356 (From Tables In FEMA 356), yseleccionamos la tabla 6-7 para vigas (Concrete Beams - Flexure), que defineel diagrama de momento – rotación del elemento.

En tipo de componente (Component Type) el elemento es primario (primary),en grados de libertad (Degree of Freedom) seleccionamos M3 momento enX, el valor de la cortante (V Value From) seleccionamos (Case/Combo) que lotomara del caso de carga CGNL y las demás opciones lo dejamos como semuestra en la ventana.

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Figura 8.38: Asignación de Rotulas Plásticas a la Barra de Columna.

En la ventana anterior asignamos las rotulas plásticas en las columnas a unadistancia relativa de la barra al 5% y al 95%.

Figura 8.39: Datos de Asignación de Rotulas Plásticas de Columnas.

En la ventana anterior seleccionamos la opción en tipo de rotula (Auto HingeType) la tabla dado por FEMA 356 (From Tables In FEMA 356), y

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seleccionamos la tabla 6-8 para columnas (Concrete Columns - Flexure), quedefine el diagrama de momento – rotación del elemento.

En tipo de componente (Component Type) el elemento es primario (primary),en grados de libertad (Degree of Freedom) seleccionamos P-M3, carga axial ymomento en X, el valor de la carga axial y el cortante (P and V Values From)seleccionamos (Case/Combo) que lo tomara del caso de carga AENL y lasdemás opciones lo dejamos como se muestra en la ventana.

Figura 8.40: Ubicación de las Rotulas Plásticas en el Marco

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8.4.8. Definición de las Masas

En la definición de las masas de acuerdo a la Norma Técnica de EdificaciónE.030 para carga muerta 100% y carga Viva 25% por ser categoría “C”.

Define >> Mass Source… // From Loads.

Figura 8.41: Definición de Masas

Figura 8.42: Definición de Masas por Carga

Una vez definido, asignado todos los elementos estamos en posición decorrer el análisis.

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8.4.9. Resultados

Para observar la curva de capacidad vamos al menú Display >> Show StaticPushover Curve… y se despliega la siguiente ventana:

Figura 8.43: Curva de Capacidad

Para observar la Aparición de las rótulas plásticas en el análisis incrementalen el menú Display >> Show Hinge Results, se observa una ventana,seleccionamos el caso no lineal de incremento monótono para este caso(AENL) y vemos cada uno de los pasos y como en cada paso se observa elestado de daño de las rótulas según lo marca el inciso 6.3 de estedocumento.

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CAPÍTULO 9. CONCLUSIONES

9.1. Conclusiones

Se realizó un análisis estático no lineal “Pushover” a un marco plano de concretoreforzado de tres niveles (figura 8.25) para dicho plano se realizó un pre-diseñode los elementos estructurales (columnas y vigas). Con esta información semodelaron las rótulas plásticas como se puede ver en el Anexo II basándose en lasrecomendaciones del FEMA 356, se aplicó un patrón de cargas con la forma delmétodo sísmico estático figura 8.0 como lo recomienda Chopra y Goel (2001), enbase a esto se obtuvo la curva de capacidad de la figura 8.43.

Para un cortante basal de 47.42 Ton y un desplazamiento en el último nivel de1.60 cm (figura 8.43) el cual ocurre para el patrón de cargas calculado con elmétodo sísmico estático, la estructura no ingresa al rango no lineal ya que sequeda en la primera parte de la curva entonces para un sismo de menormagnitud la estructura también se comportará de forma elástica por lo tanto secumple lo establecido en el diseño por resistencia, en el cual para un sismomoderado la estructura se comporta de manera lineal.

Ahora como se mencionó anteriormente para un sismo de gran magnitud laestructura no ingresa al rango no lineal, en este caso aunque la estructura seráde igual manera segura ante efectos sísmicos, se está desaprovechando laspropiedades no lineales de los materias por lo tanto podríamos decir que laestructura se encuentra sobre diseñada. Y se podrían reducir las secciones o lascantidades de acero en los elementos estructurales, así rediseñar las rótulasplásticas y aprovechar las propiedades no lineales y la redistribución demomentos pero sin sobrepasar los niveles marcados por el FEMA 356.

Con respecto a los resultados de la rotulas (Anexo III), Los criterios de aceptaciónse usan para indicar el estado de las rotulas asignadas, cuando se muestran losresultados del análisis, estos criterios no afectan el comportamiento de laestructura. Estos valores de aceptación se refieren a deformaciones, rotaciones ydesplazamientos. IO, La estructura puede ser ocupada inmediatamente. LS, Vidashumanas en Riesgo. CP, Prevención de Colapso.

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9.2. Recomendaciones

En este trabajo el diseño de los elementos estructurales se realizó para el caso másdesfavorable y sólo se redujo el número de barras de acero en las vigas y paracolumnas se realizó sólo un diseño.

El autor recomienda realizar un análisis para cada uno de los elementosestructurales (vigas y columnas).

Se propone realizar un diseño para cada una de las rótulas plásticas que seesperan se formen durante el incremento de cargas.

Se recomienda obtener al menos 2 curvas de capacidad para dos diferentespatrones de carga. Como lo recomienda Fajfar (2000).

9.3. Trabajos Futuros

Como trabajos futuros se recomienda introducir un espectro de diseño basado en unacelerograma capturado de un sismo registrado en el departamento de Ancash. Cabedestacan que el Instituto Geográfico del Perú (IGP) cuenta con un amplio registro deacelerogramas.

Dicho espectro de diseño se puede transformar a un espectro de demanda, y la curvade capacidad se puede transformar a un espectro de capacidad, estas dos curvasestarán en función de aceleraciones y desplazamientos espectrales. Con estainformación y siguiendo la metodología del método del espectro capacidad descritoen el ATC-40, con este método finalmente se puede definir el punto de desempeñode la estructura, el cual representa el máximo desplazamiento estructural esperadopara el terremoto de demanda.

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ANEXO I: Tabla de Recomendaciones según FEMA 356

TABLA 6-7 (FEMA 356): PARA VIGAS DE CONCRETO

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TABLA 6-8 (FEMA 356): PARA COLUMNAS DE CONCRETO

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ANEXO II: Puntos Importantes en Diagrama Momento- Giro

Diagrama de Momento – Giro (Vigas del Primer Nivel)

Diagrama de Momento – Giro (Vigas del Segundo Nivel)

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Diagrama de Momento – Giro (Vigas del Tercer Nivel)

Diagrama de Momento – Giro (Columnas)

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ANEXO III: Mecanismo de Progresión de Rotulas y Colapso Un elemento Cuya Respuesta este entre B y IO indica que la estructura puede ser ocupada de

inmediato luego del sismo. Entre IO y LS Criterio usado para establecer la seguridad de las vidas de los ocupantes. En CP será necesario prevenir el colapso por medio de rehabilitación al elemento en cuestión.

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