UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

ANALISIS NUMERICO

USO DE LOS METODOS NUMERICOS

EN LA SIMULACION NUMERICA DE YACIMIENTOS

PROFESOR: VICTOR PINILLA MORAN

ALUMNOS:

CORTÉS RAMOS JOSÉ LUIS

ESTANISLAO SÁNCHEZ RAMOS

FECHA DE ENTREGA: 19 DE ABRIL 2016

Simulación numérica para el flujo de gases reales o aceite y el uso de métodos numéricos para su solución. Introducción Yacimientos Los yacimientos son estructuras geológicas formadas a través del tiempo por

medio de sedimentación y que contienen algún fluido entrampado. Los yacimientos

se pueden clasificar de acuerdo al fluido que contienen o de acuerdo al tipo de roca.

Simulación La simulación de yacimientos como herramienta surge durante los años 60

con el auge de nuevas tecnologías y evoluciona conforme a estas mismas.

A medida que se obtienen más datos la simulación se vuelve más precisa,

existe una mejor representación y está mas calibrado.

Los simuladores utilizados en la ingeniería de perforación son utilizados para

llevar a cabo predicciones del comportamiento de un pozo o yacimiento de gas.

Los parámetros que se pueden obtener de esta simulación son: volumen de gas,

tasa de producción, comportamiento dinámico del pozo y la distribución de las

presiones.

El objetivo de los simuladores es la construcción de un modelo de simulación

numérica para el flujo de gases o aceite.

Los métodos iterativos son muy utilizados ya que tienen un mejor desempeño

en problemas donde el número de ecuaciones es muy grande.

El uso de los bloques de malla proporcionan una herramienta que permite

desarrollar una ecuación diferencial que considere la conservación de la masa.

El bloque de malla utilizado en la simulación tiene la estructura siguiente,

donde sus dimensiones están definidas por ∆𝑥, ∆𝑦𝑦ℎ.

Los bloques de malla se construyen considerándola geología del yacimiento, el

procesodeflujoaasimilar,recursoscomputacionales,eltiempodeproceso,entreotros.

Un ejemplo muy conocido es el complejo Cantarell, donde se tiene un sistema de

ecuaciones de 480,000 ecuaciones algebraicas no-lineales.

Uso de métodos numéricos Los modelos recientemente desarrollados para la simulación de yacimientos

consideran el flujo de múltiples componentes en un yacimiento que está dividido en

una gran cantidad de componentes tridimensionales conocidos como celdas de

cuadriculas. La ley de Darcy y la de conservación de la masa, además del equilibrio

termodinámico de componentes entre fases, son parte de las ecuaciones que

describen el flujo entrante y saliente de estas celdas.

La ley de Darcy está definida como:

𝑞 = −𝑘𝐴𝜇∆𝑝∆𝐿

Donde k es la permeabilidad, A es el área de sección de flujo, 𝜇 es la viscosidad del

fluido.

Luego, valuando la ley de Darcy para el flujo de masa en la malla en el tiempo:

Para este caso 𝜇 y 𝑝 son tomados como los promedios entre los dos bloques de

malla indicados en el término de flujo.

La forma matricial de la ecuación se puede describir como:

Los coeficientes de la matriz dependen de la presión(no lineal). Al resolver se

obtienen los valores de las presiones, esto mediante un proceso iterativo no lineal

llamado iteración de Newton-Raphson.

Se calcula una función residual que es una función de variables dependientes

en una posición(x0) y x0 mas un pequeño incremento. Esto permite calcular una

línea tangencial, que al extrapolarla, predice el valor que tomará cuando el residual

vaya a cero en x1. Este procedimiento se calcula de modo iterativo hasta cumplir

con la tolerancia dada en un principio.

Ejemplo Simulación en una dimensión Resolver el siguiente problema con las condiciones iníciales y de frontera con el

método de diferencias finitas.

K= 15 [md]

𝜇 = 20 [cp]

c= 35x10-6 [lb/pg2]-1

L= 1,000 [pies]

φ= 0.15

La condición inicial es 𝑝 𝑥, 0 = 1,800[ 45678

] Las condiciones de frontera son 𝑝 0, 𝑡 =

0[ 4567;] y 𝑝 400, 𝑡 = 1,800[ 45

67;]. Los parámetros del modelo son: ∆𝑥 =

100[𝑝𝑖𝑒𝑠](𝐼𝑀𝐴𝑋 = 11)y 𝑡 = 90[𝑑𝑖𝑎𝑠]

Solución. Este problema se puede solucionar escribiendo un programa en lenguaje

FORTRAN que permita el uso de las iteraciones. A continuación se escriben las

especificaciones del programa para resolver el problema y dar los resultados de las

presiones para cada paso de tiempo.

PROGRAM ejemplo2_1 !============================================================ ! Programa para resolver la ecuación de difusión fijando ! las presiones como fronteras DIMENSION a(105),b(105),c(105),d(105),p(105),pn(105) WRITE (*,*) ‘imax, delt’ READ(*,*) imax, delt pini = 1800. xlong= 1000. c1=0. c2=1800. delx = xlong /(imax-1) poro=0.15 perm=15. visc=20. comp=35.E-6 tiempo=90. alfa=(poro*visc*comp)/(0.00633*perm)*(delx**2/delt) ! CONDICION INICIAL DO 10 i=1,imax p(i)= pini pn(i)= pini 10 CONTINUE ! PUNTOS INTERNOS DO 20 i=2,imax-1 a(i)=-1 b(i)=2.+alfa c(i)=-1. 20CONTINUE! CONDICIONES DE FRONTERA b(1)=1. c(1)=0. d(1)=c1 a(imax)=0. b(imax)=1. d(imax)=c2 ! COMIENZAN LOS PASOS DE TIEMPO t=0 30 CONTINUE t=t+delt DO 40 i=2,imax-1 d(i)=alfa*pn(i) 40 CONTINUE CALL thomas(a,b,c,d,p,imax) WRITE(*,800)t,(p(i),i=1,imax) DO 50 i=1,imax pn(i)=p(i) 50 CONTINUE IF (t.LT.tiempo) GO TO 30 800 FORMAT(200F8.1) END PROGRAM !======================================================thomas SUBROUTINE thomas(a,b,c,d,p,n) ! Esta es la solución del sistema de ecuaciones tridiagonales ! a, b, c y d: son los coeficientes de la ecuación, ! a(i)*x(i-1)+b(i)*x(i)+c(i)*x(i+1)=d(i) ! p= vector solución ! n= numero de variables

DIMENSION a(*),b(*),c(*),d(*),p(*),w(101),g(101) w(1)=b(1) g(1)=d(1)/w(1) DO 1 i=2,n w(i)=b(i)-a(i)*c(i-1)/w(i-1) g(i)=(d(i)-a(i)*g(i-1))/w(i) 1 CONTINUE p(n)=g(n) DO 2 i=n-1,1,-1 p(i)=g(i)-c(i)*p(i+1)/w(i) 2 CONTINUE RETURN

De esta manera se obtiene que para un ∆𝑡 = 5[Dias] los valores de las presiones

son se muestran de la manera siguiente:

Graficando:

En el caso de tomar una profundidad especifica (en este caso x=200 pies) se puede

observar la perdida de presión con forme el paso del tiempo en el yacimiento.

Así se puede observar el comportamiento de las presiones a diferentes

profundidades de un yacimiento con respecto al tiempo.

Conclusiones Los métodos numéricos aplicados a la ingeniería son muy útiles ya que permiten

hacer uso de herramientas computacionales para obtener mejores resultados en la

práctica.

En el caso de este estudio, resultó muy útil el método de Newton-Raphson ya que

mediante la iteración se pudieron obtener los valores esperados para la estimación

de los valores necesarios en esta rama de la ingeniería.