Upload
dangdan
View
241
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
i
ANALISIS NUMERIK MODEL EPIDEMIK SIR (SUSCEPTIBLE,
INFECTIOUS, RECOVERED) PADA PENYEBARAN PENYAKIT
TUBERCULOSIS DI YOGYAKARTA
SKRIPSI
Diajukan Kepada Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Yogyakarta
Sebagai Salah Satu Persyaratan Guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Halaman judul
Oleh
Okky Rositarini
NIM. 13304131028
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
2017
ii
iii
v
MOTTO
Dan Tuhanmu berfirman, “Berdo’alah kepada-Ku, niscaya akan Kuperkenankan
bagimu”.
(QS. Al Mu’min:60)
Barang siapa keluar untuk mencari ilmu maka dia berada di jalan Allah
(HR. Turmudzi)
Bila kau tak tahan lelahnya belajar, maka kau harus tahan perihnya menanggung
kebodohan.
(Imam Ayafi’i)
Banyak kegagalan dalam hidup ini dikarenakan orang-orang tidak menyadari
betapa dekatnya mereka dengan keberhasilan saat mereka menyerah.
(Thomas Alva Edison)
vi
PERSEMBAHAN
Karya sederhana ini saya persembahkan untuk :
Kedua orang tua saya, Bapak Rosadi dan Ibu Darini yang senantiasa memberikan
doa dan kasih sayang serta dukungannya yang tiada henti.
Adikku Phiesca Verdian Rizki yang tersayang yang menambah kebahagiaan
dalam keluarga.
Semua guru, dosen, dan pendidik, terimakasih sudah memberikan ilmunya
kepada saya .
Sahabat-sahabat terbaikku terkhusus Noni Cahayani Azazmi yang selalu
menemaniku dalam susah maupun senang.
Teman-teman Matematika B 2013 dan teman-teman yang lain yang tidak bisa
saya sebutkan satu per satu, terimakasih atas kebersamaannya selama ini.
vii
ANALISIS NUMERIK MODEL EPIDEMIK SIR (SUSCEPTIBLE,
INFECTIOUS, RECOVERED) PADA PENYEBARAN PENYAKIT
TUBERCULOSIS DI YOGYAKARTA
Oleh:
Okky Rositarini
NIM. 13305141028
ABSTRAK
Penyakit Tuberculosis adalah salah satu penyakit menular yang disebabkan
oleh bakteri Mycobacterium Tuberculosis. Penelitian ini bertujuan untuk
mengetahui model matematika penyebaran penyakit Tuberculosis, mengetahui
titik ekuilibrium, bilangan reproduksi, kestabilan titik ekuilibrium, dan hasil
simulasi numerik penyebaran penyakit Tuberculosis khususnya di Kota
Yogyakarta pada tahun 2014.
Tahapan yang dilakukan untuk menganalisis model penyebaran penyakit
Tuberculosis adalah dengan membentuk model matematika SIR (Susceptible,
Infectious, Recovered), kemudian menentukan titik ekuilibrium, menentukan
bilangan reproduksi dasar, dan menganalisa kestabilan disekitar titik ekuilibrium,
serta menganalisis numerik dengan melakukan simulasi menggunakan Software
Maple 15.
Model SIR pada penyebaran penyakit Tuberclosis merupakan model yang
berbentuk sistem persamaan diferensial nonlinear. Hasil analisis dari model SIR
tersebut diperoleh dua titik ekuilibrium, yaitu titik ekuilibrium bebas penyakit dan
endemik. Titik ekuilibrium bebas penyakit stabil asimtotik loka jika bilangan
reproduksi dasar kurang dari satu dan sebaliknya titik ekilibrium bebas penyakit
tidak stabil jika bilangan reproduksi dasar lebih dari satu. Selanjutnya,
berdasarkan simulasi yang dibentuk dari model SIR dengan nilai awal dan
parameter yang diberikan diperoleh penyakit Tuberculosis semakin besar laju
kontak atau laju penularan maka penyakit akan semakin menyebar dan semakin
kecil laju kesembuhan maka penyakit juga akan semakin menyebar.
Kata kunci : model SIR, Tuberculosis, kestabilan, titik ekuilibrium, Maple 15
viii
KATA PENGANTAR
Asslamu’alaikum wr wb,
Alhamdulillah, puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang
telah memberikan rahmat, hidayah, serta nikmat karunia, dan ridha-Nya sehingga
penulis dapat menyelesaikan penulisa Skripsi yang berjudul“Analisis Numerik
Model Epidemik SIR (Susceptible, Infectious, Recovered) pada Penyebaran
Penyakit Tuberculosis di Yogyakarta”.
Tugas akhir ini dibuat sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains (S.Si). Penulis menyadari bahwa tanpa bantuan dari berbagai pihak
penulisan tugas akhir ini tidak dapat terselesaikan dengan baik. Pada kesempatan
ini, penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu
dan memberikan dukungan kepada penulis, yaitu:
1. Bapak Dr. Hartono selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta
2. Bapak Dr. Ali Mahmudi, M.Pd selaku Ketua Jurusan Pendidikan
Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta yang telah
memberikan kelancaran dalam akademik.
3. Bapak Dr. Agus Maman Abadi, M.Si selaku Ketua Program Studi
Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta
4. Ibu Dwi Lestari, M.Sc dan Ibu Husna ‘Arifah, M.Sc selaku dosen
pembimbing skripsi yang telah memberikan pengarahan, saran,
ix
bimbingan, dan masukkan sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas
akhir ini.
5. Ibu Nikenasih Binatari, M.Si selaku dosen pembimbing akademik yang
telah memberikan bimbingan selama perkuliahan.
6. Bapak dan ibu dosen Jurusan Pendidikan Matematika yang telah
memberikan ilmu kepada penulis secara langsung maupun tidak langsung.
7. Bapak, ibu, dan keluarga yang tidak pernah lelah memberikan dukungan,
nasihat, bimbingan, serta doa kepada penulis.
8. Teman-teman, sahabat-sahabat, serta semua pihak yang tidak dapat saya
sebutkan satu per satu yang telah memberikan dukungan dan membantu
secara langsung maupun tidak langsung dalam kelancaran penulisan tugas
akhir ini.
Penulis menyadari bahwa penyusunan tugas akhir ini masih jauh dari
sempurna sehingga masih banyak kekurangan. Oleh karena itu, kritik dan saran
sangat diharapkan untuk membangun tugas akhir ini supaya menjadi lebih baik.
Akhir kata, semoga tugas akhir ini dapat bermanfaat tidak hanya bagi
penulis tetapi juga bagi pembaca.
Wassalamu’alaikum wr wb.
Yogyakarta, 8 April 2017
Penulis
Okky Rositarini
NIM. 13305141028
x
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i
LEMBAR PERSETUJUAN.................................................................................... ii
PERNYATAAN ...................................................................................................... ii
PENGESAHAN ..................................................................................................... iv
MOTTO .................................................................................................................. v
PERSEMBAHAN .................................................................................................. vi
ABSTRAK ............................................................................................................ vii
KATA PENGANTAR ......................................................................................... viii
DAFTAR ISI ........................................................................................................... x
DAFTAR TABEL ................................................................................................. xii
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xiii
DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................................ xiv
DAFTAR SIMBOL ............................................................................................... xv
BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1
A.Latar Belakang ................................................................................................. 1
B.Identifikasi Masalah ......................................................................................... 4
C.Pembatasan Masalah ........................................................................................ 4
D.Rumusan Masalah ........................................................................................... 4
E.Tujuan Penelitian ............................................................................................. 5
F.Manfaat Penelitian ........................................................................................... 6
BAB II LANDASAN TEORI ................................................................................. 7
A.Model Matematika ........................................................................................... 7
B.Persamaan Diferensial ..................................................................................... 9
C.Sistem Persaman Diferensial ......................................................................... 12
1.Sistem Persamaan Diferensian Linear ........................................................ 13
2.Sistem Persamaan Diferensial Nonlinear ................................................... 14
D.Titik Ekuilibrium ........................................................................................... 17
E.Linearisasi ...................................................................................................... 19
F.Bilangan Reproduksi Dasar 0R .................................................................. 23
G.Nilai Eigen ..................................................................................................... 26
H.Kestabilan Titik Ekuilibrium ......................................................................... 28
I.Kriteria Routh-Hurwitz ................................................................................... 37
xi
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN............................................................... 39
A.Permasalahan Nyata Penyebaran Penyakit Tuberculosis .............................. 39
B.Model Matematika Penyebaran Penyakit Tuberculosis................................. 40
C.Analisis Model Penyebaran Penyakit Tuberculosis ...................................... 44
1.Titik Ekuilibrium ........................................................................................ 44
2.Bilangan Reproduksi Dasar 0R ............................................................... 48
3.Analisis Kestabilan ..................................................................................... 50
D.Analisis Numerik Model SIR pada Penyebaran Penyakit Tuberculosis ....... 57
1.Simulai 0 1R ............................................................................................. 58
2.Simulasi 0 1R ........................................................................................... 59
BAB IV PENUTUP .............................................................................................. 64
A.Kesimpulan .................................................................................................... 64
B. Saran ............................................................................................................. 65
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 67
LAMPIRAN .......................................................................................................... 68
xii
DAFTAR TABEL
Tabel 3.1. Variabel dan parameter yang digunakan dalam model ........................... 40
xiii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1. Proses Pemodelan Matematika ................................................................ 8
Gambar 2.2. Simulasi Kestabilan Titik Ekuilibrium ................................................. 29
Gambar 3.1. Diagram Alir Model Matematika Tuberculosis.................................. 42
Gambar 3.2. Grafik Simulasi untuk 0 0,005018788208R .................................... 59
Gambar 3.3. Grafik Simulasi untuk 0 3,023980394R ............................................ 60
Gambar 3.4. Grafik Simulasi untuk 0 24.94004448R ........................................... 61
Gambar 3.5. Grafik Simulasi untuk 0 3,193213002R ........................................... 62
xiv
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1. Program maple untuk gambar proyeksi potret fase solusi-solusi S,I,R
terhadap t dengan 0 0,005018788208R ........................................ 68
Lampiran 2. Program maple untuk gambar proyeksi potret fase solusi-solusi S,I,R
terhadap t dengan 0 3,023980394R .............................................. 68
Lampiran 3. Program maple untuk gambar proyeksi potret fase solusi-solusi S,I,R
terhadap t dengan 0 24.94004448R .............................................. 70
Lampiran 4. Program maple untuk gambar proyeksi potret fase solusi-solusi S,I,R
terhadap t dengan 0 3,193213002R .............................................. 71
xv
DAFTAR SIMBOL
Simbol Definisi
N t Jumlah populasi pada suatu daerah pada saat t.
( )S t Banyaknya individu yang sehat dan rentan tehadap penyakit
Tuberculosis pada saat t. (Susceptible)
( )I t Banyaknya individu yang terinfeksi dan dapat menularkan
Tuberculosis kepada individu lain. (Infectious)
( )R t Banyaknya individu yang sembuh setelah terinfeksi
Tuberculosis. (Recovered)
Laju kelahiran populasi.
Laju kematian alami.
t Laju kematian yang disebabkan oleh penyakit Tuberculosis.
b Laju penularan penyakit Tuberculosis.
c Laju individu sembuh setelah terinfeksi Tuberculosis.
Nilai eigen
I Matriks identitas
x Turunan x terhadap t
0R Bilangan reproduksi dasar
x̂ Titik ekuilibrium
n Himpunan bilangan real dimensi n
( )ie Bagian real nilai eigen ke-i
L Himpunan terbuka
xvi
0x Kondisi awal
0Df x Turunan f di 0x
0Jf x Matriks jacobian di 0x
Himpunan bagian atau sama dengan
Elemen/anggota
0E Titik ekuilibrium bebas penyakit
1E Titik ekuilibrium endemik
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Kesehatan adalah suatu hal yang sangat penting dalam kehidupan karena
jika seseorang mengalami masalah kesehatan maka aktivitas seseorang tersebut
akan terganggu. Masalah kesehatan yang sering menjadi perhatian masyarakat
adalah penyakit menular karena masyarakat harus waspada terhadap penyakit
tersebut.
Penyakit yang menular secara terus menerus melalui individu yang
terinfeksi ke individu yang sehat merupakan suatu masalah yang sangat
diperhatikan oleh negara maupun dunia. Penularan penyakit bisa terjadi melalui
interaksi di dalam rantai infeksi baik secara langsung maupun tidak langsung.
Salah satu contoh penyakit menular adalah penyakit Tuberculosis.
Penyakit Tuberculosis (TB) adalah salah satu penyakit menular yang
disebabkan oleh bakteri Mycobacterium Tuberculosis. Sebagian besar bakteri
tersebut menyerang paru-paru, akan tetapi dapat juga menyerang organ tubuh
lainnya. Penyakit ini tergolong sebagai salah satu penyakit yang menyebabkan
kematian. Menurut Kementrian Kesehatan Republik Indonesia tahun 2011,
sepertiga dari populasi dunia sudah tertular dengan TB dimana sebagian besar
penderita TB adalah usia produktif (15-55 tahun).
Penularan penyakit Tuberculosis paling banyak dan paling mudah melalui
udara, oleh karena itu organ yang pertama kali diserang adalah organ pernapasan.
Penyakit ini menyebabkan proses difusi oksigen menjadi terganggu karena adanya
2
bintik-bintik kecil pada dinding alveolus. Adapun gelaja penderita Tuberculosis
diantaranya batuk-batuk, sakit dada, nafas pendek, hilang nafsu makan, demam,
kedinginan, berat badan turun, dan kelelahan. (Slamet Suyono, 2001).
Salah satu pendekatan untuk menjelaskan solusi pada penyebaran penyakit
Tuberculosis yaitu dengan cara pembuatan model matematika. Langkah pertama
yang digunakan dalam pembuatan model matematika adalah dengan menyatakan
masalah dunia nyata ke dalam pengertian matematika. Model matematika yang
dibuat kemudian akan disimulasika yang nantinya diharapkan dapat membantu
untuk mencari solusi bagaimana mengatasi penyebaran penyakit Tuberculosis.
(Widowati dan Sutimin, 2007).
Model matematika yang digunakan untuk memodelkan penyebaran
penyakit Tuberculosis terdapat beberapa model, salah satunya adalah model SIR
(Susceptible, Infectious, Recovered). Pada model ini, populasi dibagi menjadi 3
bagian, yaitu individu yang sehat tetapi rentan terhadap penyakit Tuberculosis
yang disebut Susceptible, individu yang terinfeksi dan dapat menularkan penyakit
Tuberculosis disebut Infectious, individu yang telah sembuh terhadap penyakit
Tuberculosis. Secara garis besar, model epidemik SIR menggambarkan alur
penyebaran penyakit dari kelompok individu Susceptible menjadi Infectious
melalui kontak langsung ataupun melalui perantara. Kemudian kelompok individu
Infectious yang mampu bertahan terhadap penyakit akan sembuh dan menjadi
individu Recovered. (Ilmiyati dan Hengki, 2014).
Fredlina, K. Queena Fredlina, dkk (2012) membuat sebuah artikel yang
berjudul “Analisa Numerik Model SIR (Susceptible, Infectious, Recovered) pada
3
Penyebaran Penyakit Tuberculosis” yang mengalisis model matematika meliputi
titik kestabilan, nilai eigen, dan bilangan reproduksi dasar 0R yang kemudian
dilakukan simulasi analisis numeriknya untuk menguji parameter-parameter yang
telah dibuat yang bertujuan untuk mengetahui kapan penyakit akan menjadi
endemik. Sedangkan M. Rifki Taufik, dkk (2015) membahas menggunakan
model VEIT (Vaccinated, Exposed, Infected, Threated). Penelitian tersebut
membahas penyakit Tuberculosis.
Pada penulisan skripsi ini akan membahas tentang model matematika SIR
untuk penyebaran penyakit Tuberculosis. Pada penulisan Fredlina, K. Queena
Fredlina, dkk (2012) data yang dipakai hanya diasumsikan saja dan metode
Runge-Kutta orde 4. Dalam penulisan ini model SIR untuk penyebaran penyakit
Tuberculosis akan digunakan untuk simulasi analisis numerik pada penderita
Tuberculosis di wilayah Yogyakarta dan menganalisis kestabilan menggunakan
kriteria Routh-Hurwitz serta mensimulasikan dengan menggunakan Software
Maple 15.
Simulasi analisis numerik pada penulisan ini berfokus di wilayah Daerah
Istimewa Yogyakarta (DIY) karena pada wilayah tersebut masih banyak individu
yang terserang penyakit Tuberculosis. Pada tahun 2014, menurut profil kesehatan
tahun 2015 di kota Yogyakarta terdapat penemuan kasus penderita Tuberculosis
sebanyak 491 jiwa. Jumlah penduduk kota Yogyakarta pada saat itu sebanyak
413.936 jiwa dengan 202.296 jiwa penduduk laki-laki dan 211.640 jiwa penduduk
perempuan. Sehingga persentase penderita penyakit Tuberculosis di Yogyakarta
pada tahun 2014 adalah 0,1184%. Simulasi analisis numerik tersebut yang
4
kemudian akan ditunjukkan grafik simulasinya dengan menggunakan Software
Maple. Menggunakan hasil analisis numerik tersebut diharapkan dapat diketahui
cara mengatasi penyakit Tuberculosis. .
B. Identifikasi Masalah
1. Penyakit Tuberculosis masih banyak ditemukan terutama di wilayah
Yogyakarta.
2. Upaya keberhasilan pengobatan penyakit Tuberculosis di Kota Yogyakarta
masih dibawah target nasional.
3. Masih terdapat kematian akibat penyakit Tuberculosis.
4. Penyakit Tuberculosis bersifat endemik pada populasi.
5. Belum maksimalnya peran matematika dalam membantu penyelesaian
penyebaran penyakit Tuberculosis di Yogyakarta.
C. Pembatasan Masalah
Skripsi ini membahas tentang penyebaran penyakit Tuberculosis
menggunakan model SIR (Susceptible, Infectious, Recovered). Selanjutnya, model
tersebut akan disimulasikan analisis numeriknya berdasarkan data jumlah
penderita Tuberculosis di wilayah Daerah Istimewa Yogyakarta (DIY) dengan
menggunakan Software Maple 15 .
D. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tersebut maka permasalahan dalam penelitian
ini dirumuskan sebagai berikut :
1. Bagaimana model matematika untuk penyebaran penyakit Tuberculosis dengan
model SIR (Susceptible, Infectious, Recovered)?
5
2. Bagaimana analisis titik ekuilibrium model SIR pada penyebaran penyakit
Tuberculosis?
3. Bagaimana analisis bilangan reproduksi dasar 0R model SIR pada
penyebaran penyakit Tuberculosis?
4. Bagaimana analisis kestabilan model SIR pada penyebaran penyakit
Tuberculosis?
5. Bagaimana simulasi numerik pada penyebaran penyakit Tuberculosis di
wilayah Daerah Istimewa Yogyakarta (DIY)?
E. Tujuan Penelitian
Berdasarkan permasalahan tersebut, maka tujuan dari penulisan ini adalah
sebagai berikut :
1. Mengetahui model matematika untuk penyebaran penyakit Tuberculosis
dengan model SIR (Susceptible, Infectious, Recovered).
2. Mengetahui analisis titik ekuilibrium model SIR pada penyebaran penyakit
Tuberculosis.
3. Mengetahui analisis bilangan reproduksi dasar 0R model SIR pada
penyebaran penyakit Tuberculosis.
4. Mengetahui analisis kestabilan model SIR pada penyebaran penyakit
Tuberculosis.
5. Mengetahui simulasi numerik pada penyebaran penyakit Tuberculosis di
wilayah Daerah Istimewa Yogyakarta (DIY).
6
F. Manfaat Penelitian
Manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan ini adalah :
1. Menambah pengetahuan tentang model matematika penyebaran penyakit
Tuberculosis dengan model SIR (Susceptible, Infectious, Recovered).
2. Dapat menjadi referensi baru dalam pengembangan ilmu matematika di bidang
pemodelan penyakit menular.
3. Memberikan informasi mengenai penularan penyakit Tuberculosis secara
numerik.
7
BAB II
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan diuraikan beberapa teori-teori yang digunakan sebagai
landasan teori dalam pembahasan tugas akhir skripsi ini. Teori-teori yang
digunakan berupa definisi-definisi serta teorema-teorema yaitu sebagai berikut:
A. Model Matematika
Model matematika adalah representasi dan penjelasan mengenai
permasalahan dalam dunia nyata ke dalam pernyataan matematik supaya
didapatkan suatu solusi. Beberapa jenis-jenis model matematika adalah sebagai
berikut : (Widowati & Sutimin, 2007)
a. Model Empiris
Model empiris diperoleh dari hasil pengamatan. Gagasan utama pada
pendekatan model empiris adalah menjelaskan persamaan matematika yang dapat
menghasilkan grafik untuk mencocokkan data.
b. Model Simulasi
Pada pendekatan model simulasi, program komputer dapat digunakan
dalam simulasi suatu model matematika seperti menggunakan Software Maple,
Matlab, dll.
c. Model Deterministik dan Stokastik
Dalam model deterministik, variabel random diabaikan. Model
deterministik meliputi penggunaan persamaan atau himpunan persamaan untuk
menjelaskan hubungan antara berbagai variabel suatu sistem. Sedangkan model
stokastik adalah model matematika dimana gejala-gejala dapat diukur dengan
8
kepastian yang tidak stabil (nilainya tidak pasti). Pada model stokastik
mengandung distribusi peluang.
Proses pemodelan matematika dapat dinyatakan dalam diagram alur
Gambar 2.1. berikut : (Widowati & Sutimin, 2007)
Gambar 2.1. Proses Pemodelan Matematika
Pemodelan matematika dimulai dari adanya permasalahan pada dunia
nyata. Permasalahan pada dunia nyata diharapkan langsung mendapatkan solusi
pada dunia nyata itu sendiri, namun jika masih kesulitan maka permasalahan
tersebut dibawa ke permasalahan matematika untuk kemudian dibuat beberapa
asumsi meliputi identifikasi variabel-variabel yang selanjutnya digunakan dalam
Dunia Nyata Dunia Matematika
Problem Dunia
Nyata
Solusi Dunia
Nyata
Membuat
Asumsi
Problem
Matematika
Interpretasi
Solusi
Bandingkan
Data
Formulasi
Persamaan/
Pertidaksamaan
Penyelesaian
Persamaan/
Pertidaksamaan
9
memformulasikan persamaan/pertidakasamaan. Asumsi yang digunakan dalam
pembatasan masalah ini digunakan untuk mempelajari masalah tersebut secara
sederhana. (Cahyono, Edi, 2013).
Ketika model diformulasikan maka langkah berikutnya adalah
menyelesaikan persamaan/pertidaksamaan. Selanjutnya interpretasi solusi, yaitu
tahap setelah menyelesaiakan persamaan/pertidaksamaan yang bisa dilihat
hasilnya menggunakan tabel, grafik, dan lain-lain. Hasil interpretasi solusi
kemudian bisa langsung dibawa ke solusi permasalahan nyata, selain itu juga
masih bisa dengan membandingkan data. Misalnya, pada waktu membandingkan,
mungkin terdapat perbedaan hasil dan model dapat diperbaiki lagi dengan
membangun model dari awal.
B. Persamaan Diferensial
Definisi 2.1. (Ross, 1984)
Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan turunan dari variabel-
variabel tak bebas dan terhadap variabel-variabel bebas.
Berdasarkan banyaknya variabel bebas yang dilibatkan, persamaan
diferensial terbagi menjadi dua, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan
diferensial parsial.
Definisi 2.2. (Ross, 1984)
Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan diferensial yang melibatkan
turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas.
10
Definisi 2.3. (Ross, 1984)
Persamaan diferensial parsial adalah suatu persamaan diferensial yang
melibatkan turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap dua atau
lebih variabel bebas
Contoh 2.1
Contoh persamaan diferensial biasa
22
20
d y dyxy
dx dx
(persamaan diferensial orde 2)
4 2
4 25 3 sin
d y d yx t
dt dt (persamaan diferensial orde 4).
Contoh 2.2
Contoh persamaan diferensial parsial
r rr
s t
2 2 2
2 2 20.
u u u
x y z
Contoh 2.3
Contoh persamaan diferensial dan solusinya
2dy
xdx
maka solusinya adalah
2 dy x dx
11
2 dy x dx
2 .y x c
Berdasarkan contoh dari persamaan diferensial, maka dapat diketahui bahwa
solusi persamaan diferensial adalah berupa fungsi yang memenuhi persamaan
diferensial, yaitu jika fungsi tersebut disubstitusikan pada persamaan diferensial
maka akan menghasilkan suatu pernyataan yang benar atau terpenuhi.
Persamaan Diferensial Linear Orde n
Definisi 2.4. (Ross, 1984)
Persamaan diferensial linear orde n dengan variabel tak bebas y dan variabel
bebas x dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut:
1
0 1 11...
n n
n nn n
d y d y dya x a x a x a x y b x
dx dx dx
dengan 0 0a dan ( )ia x merupakan fungsi atas x untuk setiap 0,1,2,..., .i n
Contoh 2.4
Persamaan diferensial orde n
1. 2 2 3dx
xdt (orde 1)
2. 3
35 9
d x dxx
dt dt (orde 3)
3. 4 2
4 25 3 13 1
d x d xx
dt dt (orde 4).
12
C. Sistem Persaman Diferensial
Sistem persamaan diferensial merupakan gabungan dari dua atau lebih
persamaan diferensial. Diketahui vektor x n , dengan 1 2 3x , , ,...,T
nx x x x
dan 1 2 3, , ,..., .nx x x x Jika notasi dx
xdt
untuk menyatakan turunan x terhadap
t, maka:
31 2x , , ,..., .
T
ndx dxdx dx
dt dt dt dt
sehingga
1
1 1 2 32
2 1 2 3
3 1 2 33
1 2 3
, , ,...,
, , ,...,
, , ,...,
, , ,...,
n
n
n
n n
n
dx
dtf x x x xdx
f x x x xdt
f x x x xdx
dt
f x x x x
dx
dt
(2.1)
Pada Persamaan (2.1) jika secara eksplisit memuat variabel t maka sistem
tersebut disebut sebagai sistem non autonomous dan sebaliknya jika tidak secara
eksplisit memuat variabel t maka disebut sebagai sistem autonomous. Sistem
autonomous dapat dinyatakan dalam bentuk:
x ( ), .nf x x
13
Sistem persamaan diferensial dibagi menjadi 2, yaitu:
1. Sistem Persamaan Diferensial Linear
Sistem persamaan diferensial linear orde satu dengan variabel tak bebas
1 2 3, , ,..., nx x x x dan variabel bebas t dinyatakan sebagai berikut:
111 1 12 2 13 3 1 1
221 1 22 2 23 3 2 2
331 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
.
n n
n n
n n
nn n n nn n n
dxa x a x a x a x H t
dt
dxa x a x a x a x H t
dt
dxa x a x a x a x H t
dt
dxa x a x a x a x H t
dt
(2.2)
Jika iH t dengan 1,2,3,...,i n bernilai nol, maka Sistem (2.2) disebut
sistem persamaan diferensial linear homogen, sedangkan jika ada iH t benilai
taknol, maka Sistem (2.2) disebut sistem persamaan diferensial nonhomogen.
Sistem Persamaan (2.2) dapat dinyatakan dalam suatu bentuk persamaan
sebagai berikut:
x Ax H t (2.3)
dengan A adalah suatu matriks n x n yang merupakan suatu matriks koefisien dari
variabel tak bebas ,nx dengan , 1,2,3,..., ,ija i n 1,2,3,...,j n dan
14
H t adalah matriks ukuran n x 1 yang merupakan fungsi dari t. Berikut
Persamaan (2.2) yang dituliskan dalam bentuk matriks:
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2 3
.
n
n
n n n nn n n
a a a x H t
a a a x H tdy
dt
a a a a x H t
(2.4)
Contoh 2.5
Diberikan sistem persamaan diferensial linear sebagai berikut:
2
3 6
dxx y
dt
dyx y
dt
(2.5)
Sistem Persamaan (2.5) merupakan persamaan diferensial linear homogen.
2. Sistem Persamaan Diferensial Nonlinear
Definisi 2.5. (Ross, 1984)
Persamaan diferensial nonlinear adalah persamaan diferensial biasa yang tidak
linear.
Persamaan diferensial dapat dikatakan sebagai persamaan diferensial
nonlinear apabila memenuhi setidaknya satu dari kriteria berikut (Ross, 1984),
i. Memuat variabel tak bebas dan turunan-turunannya berpangkat selain satu.
ii. Terdapat perkalian dari variabel tak bebas dan/atau turunan-turunannya.
iii. Terdapat fungsi transedental dari variabel tak bebas dan turunan-turunannya.
15
Contoh 2.6
Diberikan sistem persamaan diferensial nonlinear sebagai berikut:
11 2
22
1
dxx x
dt
dxx
dt
(2.6)
Penyelesaian:
22
dxx
dt
2
2
1dx dt
x
Integralkan kedua ruas, diperoleh
2
2
1dx dt
x
2 1 2ln x c t c
2ln x t c
2
t cx e
2 .tx ke
11 2(1 )
dxx x
dt
1 2
1
1(1 )dx x dt
x
16
1
1
1(1 )tdx ke dt
x
Integralkan kedua ruas, diperoleh
1
1
1(1 )tdx ke dt
x
1 3 4ln tx c t ke c
1 5ln tx t ke c
5
1
tt ke cx e
1 1
tt kex k e e
misalkan 1 2k k k maka
1 2
tt kex k ke e
2
1 2 2 .xx k x e
Sehingga diperoleh penyelesaiannya adalah
2
tx ke
2
1 2 2
xx k x e
Sistem Persamaan (2.6) merupakan sistem persamaan diferensial nonlinear
dengan variabel bebas t dan variabel tak bebas 1x dan 2x . Sistem tersebut
dikatakan sistem persamaan nonlinear karena terdapat perkalian antara variabel
tak bebasnya pada persamaan yang pertama, kemudian pada persamaan yang
kedua terdapat kuadrat dari variabel tak bebasnya.
17
Contoh 2.7
Persamaan diferensial yang memuat variabel tak bebas dan turunan-turunannya
berpangkat selain satu:
33 4.dy
xdt
Contoh 2.8
Persamaan diferensial yang memuat perkalian dari variabel tak bebas dan/atau
turunan-turunannya:
11 2 13 .
dxx x x
dt
Contoh 2.9
Persamaan diferensial yang memuat fungsi transedental daari variabel tak bebas
dan turunan-turunannya:
23 4.xdye
dt
D. Titik Ekuilibrium
Definisi 2.6. (Perko, 2001)
Titik x̂ disebut titik ekuilibrium dari x f x jika ˆ 0.f x
18
Contoh 2.10
Akan ditentukan titik ekuilibrium dari Sistem Persamaan (2.6). Misalkan Sistem
(2.6) dapat dituliskan dalam bentuk x f x dengan 1 2 2
2
1 2
.x x x
f xx x
Titik
ekuilibrium 1 2ˆ ˆ ˆ,x x x dari Sistem (2.6) dapat diperoleh jika x̂ 0f ,
sehingga sistem tersebut menjadi
1 2 2ˆ ˆ ˆ 0x x x
2 1ˆ ˆ 1 0x x
2 1ˆ ˆ0 dan 1.x x
Untuk 2ˆ 0x , maka
2
1 2ˆ ˆ 0x x
1̂ 0x
sehingga diperoleh titik ekuilibrium 0,0T
.
Untuk 1̂ 1x , maka
2
1 2ˆ ˆ 0x x
2
2ˆ1 0x
2
2ˆ 1x
2ˆ 1x
sehingga diperoleh titik ekuilibrium 1,1T
.
19
Jadi Sistem (2.6) mempunyai titik ekuilibrium 0,0T
dan 1,1T
.
E. Linearisasi
Linearisasi merupakan suatu proses untuk mengubah sistem persamaan
nonlinear menjadi sistem persamaan linear. Linearisasi dilakukan pada sistem
persamaan nolinear yang bertujuan untuk mengetahui perilaku sistem disekitar
titik ekuilibriumnya. Adapun syarat linearisari adalah bagian real akar
karakteristiknya tidak nol.
Diberikan sistem persamaan nonlinear sebagai berikut:
x=f x (2.7)
dengan , : ,n nx L f L fungsi nonlinear dan kontinu.
Lineariasi dapat menggunakan matriks Jacobian. Berikut adalah penjelasan
mengenai matriks Jacobian:
Teorema 2.1. (Perko, 2001)
Jika : n nf terdiferensial di 0x maka diferensial parsial , , 1,2,..., ,i
j
fi j n
x
di 0x ada untuk semua nx dan 0 0
1
.n
j
j j
fDf x x x x
x
20
Bukti:
11 100 1 0 2
1 2
22 200 1 0 2
1 20
1
0 1 0 2 0
1 2
n
n
nn
nj
j j
n n nn
n
ff fx xx x x x
xx x
ff fx xx x x xf
xx xx xx
f f fx x x x x x
x x x
1 1 10 0 0
1 2
1
2 2 20 0 0 2
1 2
0 0 0
1 2
n
n
n
n n n
n
f f fx x x
x x xx
f f fx x x x
x x x
xf f f
x x xx x x
0 .Df x x
dengan 0Df x disebut sebagai matriks Jacobian dari fungsi : n nf yang
terdiferensial pada nx dan 0Df x dapat dinotasikan 0Jf x .
Kemudian akan ditunjukkan proses linearisasi dari suatu sistem persamaan
diferensial. Misalkan 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ, ,...,
T
nx x x x adalah titik ekuilibrium Sistem (2.7)
maka pendekatan linear untuk Sistem (2.7) diperoleh dengan menggunakan
ekspansi Taylor disekitar titik ekuilibrium tersebut, sebagai berikut
1
1 11 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2
1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,..., , ,..., , ,..., , ,...,T T T T
n n n n n n f
n
f ff x x x f x x x x x x x x x x x x x R
x x
2
2 22 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2
1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,..., , ,..., , ,..., , ,...,T T T T
n n n n n n f
n
f ff x x x f x x x x x x x x x x x x x R
x x
21
(2.8)
1 2 1 2 1 2 1 1 1 2
1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,..., , ,..., , ,..., , ,...,n
T T T Tn nn n n n n n n n f
n
f ff x x x f x x x x x x x x x x x x x R
x x
selanjutnya dengan pendekatan linear untuk Sistem (2.8) adalah
1
1 1 11 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2
1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,..., , ,..., , ,...,T T T
n n n n n f
n
f f fx x x x x x x x x x x x x x x x R
x x x
2
2 2 22 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2
1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,..., , ,..., , ,...,T T T
n n n n n f
n
f f fx x x x x x x x x x x x x x x x R
x x x
(2.9)
1 2 1 1 1 2 2 2 1 2
1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,..., , ,..., , ,...,n
T T Tn n nn n n n n n f
n
f f fx x x x x x x x x x x x x x x x R
x x x
dengan 1 2, ,...,
nf f fR R R disebut sebagai bagian nonlinear yang selanjutnya dapat
diabaikan karena nilainya mendekati nol, sehingga Sistem (2.9) dapat ditulis
dalam bentuk matriks berikut
1 1 11 2 1 2 1 2
1 2
1
2 1 21 2 1 2 1 22
1 2
1 2 1 2
1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,..., , ,..., , ,...,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,..., , ,..., , ,...,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,..., , ,...,
T T
n n n
n
T T
n n n
n
nTn n
n
f f fx x x x x x x x x
x x xx
f f fx x x x x x x x xx
x x x
xf f
x x x x xx x
1 1
2 2
1 2
ˆ
ˆ.
ˆ
ˆ ˆ ˆ, ,...,n n
Tnn n
n
x x
x x
x xf
x x x xx
(2.10)
Misalkan ˆ , 1,2,...,s s sy x x s n maka dari Sistem (2.10) diperoleh:
22
1 1 11 2 1 2 1 2
1 2
1
2 1 21 2 1 2 1 22
1 2
1 2 1 2
1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,..., , ,..., , ,...,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,..., , ,..., , ,...,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,..., , ,...,
T T
n n n
n
T T
n n n
n
nTn n
n
f f fx x x x x x x x x
x x xx
f f fx x x x x x x x xx
x x x
xf f
x x x x xx x
1
2
1 2
.
ˆ ˆ ˆ, ,...,n
Tnn n
n
y
y
yf
x x x xx
(2.11)
Sistem (2.11) merupakan linearisasi Sistem (2.18), sehingga diperoleh matriks
Jacobian dari Sistem (2.7), yaitu:
1 1 11 2 1 2 1 2
1 2
2 1 21 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,..., , ,..., , ,...,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,..., , ,..., , ,...,ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,..., , ,..., , ,.
T T
n n n
n
T T
n n n
n
Tn n nn n
n
f f fx x x x x x x x x
x x x
f f fx x x x x x x x x
x x xJf x
f f fx x x x x x x x
x x x
.
ˆ..,T
nx
Contoh 2.11
Diberikan 1 2 2
2
1 2
x x xf x
x x
pada titik 0 1,1
Tx . Akan dicari matriks Jacobian
dari fungsi f x sebagai berikut:
1 1
1 2 2 2
22 2
1 2
1
1 2
f f
x x x xDf
xf f
x x
maka
23
1 0
1,1 .1 2
TDf
Jadi, matrik Jacobian dari sistem tersebut adalah 1 0
1,1 .1 2
TDf
F. Bilangan Reproduksi Dasar 0R
Adapun definisi mengenai bilangan reproduksi dasar adalah sebagai
berikut:
Definisi 2.7. (Diekmann & Heesterbeek, 2000)
Bilangan reproduksi dasar 0R merupakan jumlah rata-rata kasus individu
terinfeksi yang disebabkan oleh satu individu terinfeksi selama masa terinfeksinya
dalam keseluruhan populasi rentan.
Jika 0 1R maka penyakit hanya menginfeksi kurang dari satu individu
rentan sehingga kemungkinan penyakit akan hilang dari populasi. Jika 0 1R
maka individu yang terinfeksi akan menginfeksi lebih dari satu individu yang
rentan, sehingga individu yang terinfeksi dalam suatu populasi akan menularkan
penyakit tersebut dan penyakit akan menyebar dalam populasi dan jika 0 1R
maka individu yang terinfeksi akan menularkan tepat kepada satu individu.
Misalkan ada n kelas terinfeksi dan m kelas yang tidak terinfeksi (rentan)
serta nx dan my adalah subpopulasi dari masing-masing kelas dan untuk
,n m , sehingga:
x , ,i ix y x y , dengan 1,2,...,i n
24
y ,j x y , dengan 1,2,...,j m
dengan i adalah laju individu baru yang terinfeksi yang menambah pada kelas
terinfeksi, sedangkan i adalah laju perkembangan penyakit kematian, dan atau
kesembuhan yang mengurangi populasi dari suatu kelas.
Perhitungan bilangan reproduksi dasar 0R berdasarkan linierisasi dari
sistem persamaan diferensial yang didekati pada titik ekuilibrium bebas penyakit.
Persamaan kompartemen terinfeksi yang telah dilinearisasi dapat dituliskan
sebagai berikut:
x xF V
dengan F dan V adalah matriks berukuran n x n, dan 00,i
j
F yu
dan
00,i
j
V yu
.
Selanjutnya didefinisikan matriks K sebagai berikut:
1K FV
dengan K disebut sebagai next generation matrix. Nilai harapan dari infeksi
sekunder pada populasi rentan adalah eigen terbesar dari matriks K (Driessche &
Watmough, 2002) sehingga
1
0 .R K FV
25
Contoh 2.12
Diberikan sistem persamaan diferensial berikut:
dSSI S
dt
dISI I I
dt
dRI R
dt
(2.12)
dengan S menyatakan populasi individu sehat dan rentan pasa saat t, I menyatakan
populasi terinfeksi pada saat t, dan R menyatakan yang sembuh pada saat t.
Sistem (2.12) mempunyai titik ekuilibrium bebas penyakit 0 1,0,0E .
Pada Sistem (2.12) kelas terinfeksi adalah I , sehingga diperoleh Next
generation matrix dapat diperoleh dari kelas I, maka dapat dituliskan sebagai
berikut:
, , , ,I S R I S R I
dengan SI dan ,I I maka hasil linearisasi dari dan
masing-masing adalah F S dan V . Sehingga diperoleh Next
generation matrix berikut:
1 1.
SK FV S
(2.13)
26
Kemudian substitusikan nilai titik ekuilibrium bebas penyakit 0 1,0,0E
ke Persamaan (2.13) diperoleh:
K
maka diperoleh nilai 0R dari sistem (2.12) adalah
0 .R
G. Nilai Eigen
Nilai eigen dalam suatu matriks akan digunakan dalam menentukan
kestabilan dari suatu titik kritis. Nilai eigen suatu matriks dapat didefinisikan
dalam Definisi 2.9.
Definisi 2.8. (Anton, 1987)
Jika A adalah matriks n x n, maka vektor taknol x di dalam n dinamakan vektor
eigen (eigenvector)dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu:
Ax x (2.14)
untuk suatu skalar . Skalar dinamakan nilai eigen (eigenvalue) dari A dan x
dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan .
Dari Persamaan (2.14) diperoleh:
Ax x
Ax Ix
0I A x (2.15)
27
dengan I adalah matriks identitas. Supaya menjadi nilai eigen, maka harus ada
pemecahan taknol dari Persamaan (2.15). Persamaan (2.15) akan memiliki
pemecahan taknol jika dan hanya jika:
det( ) 0.I A (2.16)
Persamaan (2.16) dinamakan persamaan karakteristik A dan skalar yang
memenuhi Persamaan (2.16) adalah nilai eigen dari A.
Jika A adalah matriks n x n, maka polinomial karakteristik A mempunyai
bentuk:
1
1det( ) ...n n
nI A c c
Contoh 2.13
Diketahui matriks 3 2
.1 0
B
Tentukan nilai-nilai eigen dari matriks B!
Jawab:
Persamaan karakteristik dari B adalah
det 0I B
3 2
01
2 3 2 0
28
2 1 0
sehingga diperoleh nilai eigen 2 dan 1.
H. Kestabilan Titik Ekuilibrium
Kestabilan titik ekuilibrium dari suatu sistem persamaan diferensial baik
linear maupun nonlinear diberikan dalam definisi berikut.
Definisi 2.9. (Olsder & Woude, 2004)
Diberikan sistem persamaan diferensial orde satu x f x dengan nx dan
0,x t x adalah solusi persamaan tersebut pada saat t dengan kondisi awal
00x x .
(i) Vektor x̂ yang memenuhi ˆ 0f x dikatakan sebagai titik ekuilibrium.
(ii) Titik ekuilibrium x̂ dikatakan stabil jika diberikan untuk setiap 0 ada
0 sedemikian sehingga jika 0ˆx x dan 0
ˆ,x t x x untuk
setiap 0t .
(iii) Titik ekuilbrium x̂ dikatakan stabil asimtotik jika titik ekuilibriumnya stabil
dan terdapat 1 0 sedemikian sehingga 0ˆlim , 0
tx t x x
, bila
0 1ˆx x .
(iv) Titik ekuilibrium x̂ dikatakan tidak stabil jika tidak memenuhi (ii).
Berikut adalah simulasi titik ekuilibrium stabil dan titik ekuilibrium stabil
asimtotik.
29
Stabil Stabil asimtotik Tidak stabil
Gambar 2.2. Simulasi Kestabilan Titik Ekuilibrium
Matriks jacobian dapat dapat digunakan dalam mengidentifikasi sifat
kestabilan sistem nonlinear disekitar titik ekuilbrium apabila sistem tersebut
memiliki titik ekuilibrium hiperbolik. Selanjutnya diberikan teorema mengenai
sifat kestabilan suatu sistem nonlinear yang ditinjau dari nilai eigen matriks
jacobian ˆJf x .
Definisi 2.10. (Wiggins, 1990)
Sebuah titik ekuilibrium dikatakan hiperbolik jika bagian real nilai eigen dari
matriks jacobian adalah tidak nol. Jika bagian manapun nilai eigen dari matriks
jacobian adalah nol, maka titik ekuilibrium disebut nonhiperbolik.
Teorema 2.2. (Olsder & Woude, 2004)
Diberikan sistem persamaan diferensial x Ax , dengan A adalah matriks
berukuran n x n, mempunyai k nilai eigen yang berbeda 1 2 3, , ,..., n dengan
k n .
30
(i) Titik ekuilibrium ˆ 0x dikatakan stabil asimtotik jika dan hanya jika
0 1,2,...,ie i k .
(ii) Titik ekuilibrium ˆ 0x dikatakan stabil jika dan hanya jika
0 1,2,...,ie i k dan jika setiap nilai eigen , imajiner dengan
0ie , maka multiplisitas aljabar dan geometri untuk nilai eigen harus
sama.
(iii) Titik ekuilibrium ˆ 0x dikatakan tidak stabil jika dan hanya jika terdapat
paling sedikit satu 1 0e untuk 1,2,...,i k .
Bukti:
(i) Bukti dari kiri ke kanan
Akan ditunjukkan jika titik ekuilibrium ˆ 0x stabil asimtotik maka
0 1,2,...,ie i k .
Berdasarkan Definisi 2.9. titik ekuilibrium ˆ 0x dikatakan stabil asimtotik
jika 0ˆlim , 0
tx t x x
. Hal ini berarti bahwa untuk 0, ,t x t x akan
menuju ˆ 0x . Karena 0,x t x merupakan penyelesaian dari sistem
persamaan diferensial, sehingga 0,x t x memuat ie t
e
. Oleh karena itu,
supaya ie t
e
menuju ˆ 0x , maka harus bernilai negatif.
Bukti dari kanan ke kiri
Akan ditunjukkan jika 0 1,2,...,ie i k maka titik ekuilibrium ˆ 0x
stabil asimtotik.
31
0,x t x merupakan penyelesaian dari sistem persamaan diferensial,
sehingga 0,x t x selalu memuat ie t
e
. Jika 0ie , maka untuk
0, ,t x t x akan menuju ˆ 0x . Sehingga berdasarkan Definisi 2.9. titik
ekuilibrium ˆ 0x stabil asimtotik.
(ii) Bukti dari kiri ke kanan
Akan ditunjukkan bahwa jika titik ekuilibrium ˆ 0x stabil, maka
0 1,2,...,ie i k .
Andaikan 0ie , maka penyelesaian persamaan diferensial
0,x t x yang selalu memuat ie t
e
akan menuju atau menjauhi titik
ekuilibrium ˆ 0x untuk t , sehingga sistem tidak stabil. Hal tersebut
bertentangan dengan yang diketahui. Jadi terbukti bahwa jika titik
ekuilibrium ˆ 0x stabil, maka 0 1,2,...,ie i k . Bukti lain, jika
0ie maka saat t , berakibat 0, 0x t x sehingga titik
ekuilibrium ˆ 0x stabil.
Bukti dari kanan ke kiri
Akan ditunjukkan bahwa jika 0 1,2,...,ie i k maka titik
ekuilibrium ˆ 0x dikatakan stabil dan jika setiap nilai eigen , imajiner
dengan 0ie , maka multiplisitas aljabar dan geometri untuk nilai eigen
harus sama.
Penyelesaian 0,x t x merupakan penyelesaian dari sistem
persamaan diferensial, maka 0,x t x selau memuat ie t
e
. Jika 0ie ,
32
maka titik ekuilibrium ˆ 0x stabil asimtotik (pasti stabil). Jika 0ie
maka berupa nilai eigen berupa bilangan kompleks murni. Multiplisitas
aljabar berhubungan dengan nilai eigen sedangkan geometri berhubungan
dengan vektor eigen. Oleh karena itu, akan dibuktikan bahwa banyak nilai
eigen dan vektor eigen adalah sama.
Tanpa mengurangi pembuktian secara umum, diambil sembarang
sistem pada 2 yang mempunyai nilai eigen bilangan kompleks murni.
1 1
2 2
0, 0, 0.
0
x xpp q
x xq
(2.17)
Nilai eigen dari Sistem (2.17) ditentukan dengan mensubstitusikan matriks
0
0
pA
q
ke dalam persamaan det( ) 0A I sehingga diperoleh:
0p
q
.
Persamaan karakteristik dari matriks A adalah
2 0pq
2 pq
i pq
1 i pq dan .i pq
33
Berdasarkan definisi, 1 2,T
x x x adalah vektor eigen dari A yang
bersesuaian dengan jika dan hanya jika x adalah penyelesaian nontrivial
dari 0A I x , yaitu dari
1
2
0.xp
xq
(2.18)
Jika 1 i pq , maka Persamaan (2.18) menjadi
1
2
0.i pq p x
xq i pq
Matriks augmentasi dari sistem di atas, yaitu
0
.0
pi pq
q i pq
Baris pertama matriks dikalikan i pq
pq sehingga diperoleh
1 0
.
0
i pq
q
q i pq
Kemudian baris kedua matriks 1
q sehingga diperoleh
1 0
.1 0
i pq
q
i pq
q
34
Selanjutnya baris kedua dikurangi dengan baris pertama sehingga diperoleh
matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi
1 0
.
0 0 0
i pq
q
Berdasarkan matriks eselon baris tereduksi tersebut diperoleh penyelesaian
1 2 0i pq
x xq
1 2
i pqx x
q
misalkan 2x t , maka 1
i pqx t
q , dapat ditulis sebagai berikut:
1
2
.
1
i pqx
tqx
Jadi, vektor yang bersesuaian dengan 1 i pq yaitu 1
2
.1
x i pq
x
Jika 1 i pq , maka Persamaan (2.18) menjadi
1
2
0.i pq p x
xq i pq
Matriks augmentasi dari sistem di atas, yaitu
0
.0
pi pq
q i pq
35
Baris pertama matriks dikalikan i pq
pq sehingga diperoleh
1 0
.
0
i pq
q
q i pq
Kemudian baris kedua matriks 1
q sehingga diperoleh
1 0
.1 0
i pq
q
i pq
q
Selanjutnya baris kedua dikurangi dengan baris pertama sehingga diperoleh
matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi
1 0
.
0 0 0
i pq
q
Berdasarkan matriks eselon baris tereduksi tersebut diperoleh penyelesaian
1 2 0i pq
x xq
1 2
i pqx x
q
misalkan 2x t , maka 1
i pqx t
q , dapat ditulis sebagai berikut:
1
2
.
1
i pqx
tqx
36
Jadi, vektor yang bersesuaian dengan 1 i pq yaitu 1
2
.1
x i pq
x
Sehingga terbukti bahwa banyaknya nilai eigen sama dengan vektor eigen.
(iii) Bukti dari kiri ke kanan
Akan dibuktikan jika titik ekuilibrium ˆ 0x tidak stabil, maka 0i
e
untuk setiap 1,2,...,k.i
Titik ekuilibrium ˆ 0x dikatakan tidak stabil jika t , maka
0,x t x akan menuju . Karena 0,x t x merpakan penyelesaian dari
sistem persamaan diferensial, maka 0,x t x memuat
.ie te
Hal ini dapat
dipenuhi bahwa 0ie .
Bukti dari kanan ke kiri
Akan dibuktikan jika 0ie untuk setiap 1,2,..., ki , maka titik
ekuilibrium ˆ 0x tidak stabil.
Jika 0ie , maka saat nilai t , berakibat 0,x t x
sehingga titik ekilibrium tidak stabil.
Contoh 2.14
Diberikan matriks
1 3
1 2A
Nilai eigen dari matriks A adalah
37
1 3 1 0 1 2
det( ) det 01 2 0 1 2 2
A I
1 2 4 0
2 6 0
2 3 0
1 2 dan 2 3 .
Jadi nilai eigen dari matriks A adalah 1 2 dan 2 3 .
I. Kriteria Routh-Hurwitz
Menentukan kestabilan diperlukan perhitungan untuk menentukan nilai
eigen dari matriks jacobian, adapun salah satu cara untuk menentukan nilai eigen
tersebut yaitu menggunakan kriteria Routh-Hurwitz .
Definisi 2.12. (Olsder & Woude, 2004)
Kriteria Routh-Hurwitz:
Semua akar-akar dari polinomial (2.30) memiliki bagian real negatif jika dan
hanya jika tabel Routh-Hurwitz terdiri dari n+1 baris dan semua elemen kolom
pertama pada tabel memiliki tanda yang sama (semua elemen bertanda positif
atau negatif).
Diberikan suatu persamaan karakteristik dari akar-akar persamaan matiks
nxnA sebagai berikut:
1 2
0 1 2 1...n n n
n nA I a a a a a
(2.19)
38
dengan , 0,1,2,...,ia i n dan 0 0a merupakan koefisien dari persamaan
karakteristik matrik A. Akar-akar dari Persamaan (2.30) dapat diketahui dengan
menyusun tabel Routh sebagai berikut:
0 2 4
1 3 5
1 2 3
1 2 3
a a a
a a a
b b b
c c c
dengan , , i 1,2,..., ni ib c didefinisikan sebagai berikut:
1 2 0 3 1 4 0 5 1 2 0 2 11 2
1 1 1
1 3 1 2 1 5 1 3 1 2 1 1 11 2
1 1 1
, , ,
, , , .
n nn
n nn
a a a a a a a a a a a ab b b
a a a
b a a b b a a b b a a bc c c
b b b
(2.20)
Perhitungan dalam membentuk tabel Routh terus dilakukan sampai mendapatkan
kolom pertama bernilai nol.
39
BAB III
HASIL DAN PEMBAHASAN
A. Permasalahan Nyata Penyebaran Penyakit Tuberculosis
Tuberculosis merupakan salah satu penyakit menular yang disebabkan
oleh bakteri Mycobacterium Tuberculosis. Penularan penyakit Tuberculosis paling
banyak dan paling mudah melalui udara, oleh karena itu organ yang pertama kali
diserang adalah organ pernapasan. Selain menular penyakit tersebut juga bisa
menyebabkan kematian.
Individu baru dapat masuk ke dalam populasi karena adanya kelahiran dan
individu dapat dikatakan keluar dari populasi karena kematian. Jumlah populasi
adalah semua individu yang sehat atau rentan terhadap penyakit Tuberculosis,
individu yang terinfeksi Tuberculosis, dan individu yang telah sembuh setelah
terinfeksi Tuberculosis. Individu yang rentan akan mengalami 2 kemungkinan,
yaitu akan meninggal ataupun akan terinfeksi Tuberculosis. Kemudian individu
yang terinfeksi juga mengalami 2 kemungkinan, yaitu individu akan sembuh atau
individu akan meninggal.
Model matematika pada penyebaran penyakit Tuberculosis, populasi
manusia terbagi menjadi 3 subpopulasi, yaitu individu yang rentan (Susceptible),
individu yang terinfeksi Tuberculosis (Infectious), dan individu yang sembuh dari
penyakit Tuberculosis (Recovered). Individu yang masuk ke dalam subpopulasi
Susceptible adalah semua individu yang belum pernah menderita penyakit
Tuberculosis. Individu yang termasuk dalam subpopulasi Infectious adalah semua
individu yang menderita Tuberculosis. Sedangkan individu yang termasuk dalam
40
subpopulasi Recovered ialah semua individu yang benar-benar sudah sembuh dari
penyakit Tuberculosis.
B. Model Matematika Penyebaran Penyakit Tuberculosis
Dalam menyederhanakan model matematika penyebaran penyakit
Tuberculosis, diberikan asumsi-asumsi sebagai berikut :
1. Populasi penduduk bersifat tertutup yang artinya pertambahan atau
pengurangan penduduk hanya dikarenakan oleh kelahiran dan kematian,
sedangkan pertambahan dan pengurangan yang disebabkan oleh faktor lain
diabaikan.
2. Populasi bersifat homogen yang artinya setiap individu mempunyai
kemungkinan yang sama untuk dapat terjangkit penyakit Tuberculosis.
3. Kematian yang disebabkan oleh faktor lain selain terinfeksi Tuberculosis
dianggap sebagai kematian alami.
4. Individu yang belum terserang penyakit termasuk ke dalam kelas susceptible.
5. Individu pada kelas recovered tidak akan kembali lagi menjadi individu pada
kelas infectious.
6. Terjadi kematian akibat terinfeksi Tuberculosis.
Tabel 3.1. Variabel dan parameter yang digunakan dalam model
Simbol Definisi Syarat
N t Jumlah populasi pada suatu daerah pada saat t. 0N
( )S t Banyaknya individu yang sehat dan rentan
tehadap penyakit Tuberculosis pada saat t.
( ) 0S t
41
(Susceptible)
( )I t Banyaknya individu yang terinfeksi dan dapat
menularkan Tuberculosis kepada individu lain.
(Infectious)
( ) 0I t
( )R t Banyaknya individu yang sembuh setelah
terinfeksi Tuberculosis. (Recovered)
( ) 0R t
Laju kelahiran populasi. 0
Laju kematian alami. 0
t Laju kematian yang disebabkan oleh penyakit
Tuberculosis.
0t
b Laju penularan penyakit Tuberculosis. 0b
c Laju individu sembuh setelah terinfeksi
Tuberculosis.
0c
Berdasarkan masalah-masalah yang diasumsikan dan parameter yang
digunakan maka dapat dibuat skema pada penyebaran penyakit Tuberculosis
seperti berikut :
42
Gambar 3.1. Diagram Alir Model Matematika Tuberculosis
Berdasarkan diagram alir pada Gambar 3.1. akan dibentuk model SIR
untuk penyebaran penyakit Tuberculosis adalah :
a. Perubahan banyaknya individu susceptible terhadap waktu
Pada populasi kelas susceptible S terjadi pertambahan dan pengurangan
jumlah individu. Pertambahan banyaknya individu pada kelas ini terjadi karena
kelahiran individu , sedangkan pengurangan banyaknya individu terjadi
karena kematian alami individu per satuan waktu . Oleh karena itu diperoleh
persamaan diferensial sebagai berikut :
.dS I
b S Sdt N
(3.1)
b. Perubahan banyaknya individu yang terinfeksi (infectious) terhadap waktu
Perubahan banyaknya individu kelas infectious dipengaruhi oleh
bertambahnya individu yang terlular penyakit Tuberculosis dan berkurangnya
individu karena kematian yang disebabkan oleh faktor lain per satuan waktu
serta kematian individu karena penyakit Tuberculosis per satuan waktu t .
43
Selain itu, berkurangnya individu pada kelas infectious juga dipengaruhi oleh
individu yang sembuh setelah terjangkit penyakit Tuberculosis dengan laju c .
Sehingga didapatkan persamaan diferensial sebagai berikut :
= ( ) .
t
t
dI Ib S I I cI
dt N
Ib S c I
N
(3.2)
c. Perubahan banyaknya individu yang sembuh (recovered) terhadap waktu
Individu pada kelas infectious yang telah sembuh dari penyakit
Tuberculosis selanjutnya akan masuk ke dalam kelas recovered dengan laju
kesembuhan c . Oleh karena itu, diperoleh persamaan diferensial sebagai berikut :
.dR
cI Rdt
(3.3)
Berdasarkan deskripsi dari Persamaan (3.1), (3.2), dan (3.3) maka
diperoleh sistem persamaan diferensial sebagai berikut :
= ( )t
dS Ib S S
dt N
dI Ib S c I
dt N
dRcI R
dt
(3.4)
dengan .N S I R
44
C. Analisis Model Penyebaran Penyakit Tuberculosis
1. Titik Ekuilibrium
Pada model matematika penyebaran penyakit Tuberculosis selanjutnya
akan dicari titik ekuilibrium dengan cara membuat sistem tersebut dalam kondisi
konstan terhadap waktu, yaitu kondisi dimana 0,dS
dt 0,
dI
dt dan 0.
dR
dt
Sehingga dari sistem Persamaan (3.4) diperoleh titik ekuilibrium yang disajikan
dalam Teorema 3.1. sebagai berikut :
Teorema 3.1. (Eksistensi Titik Ekuilibrium)
a. Jika 0I , maka Sistem Persamaan (1.4) memiliki titik ekuilibrium bebas
penyakit 0 ( , , ) ,0,0E S I R
.
b. Jika 0I , maka Sistem Persamaan (1,4) memiliki titik ekuilibrium endemik :
1
b b( ), , , ,
t t
t t t t t
c c ccE S I R
b c b c b
dengan syarat .tb c
Bukti :
Sistem Persamaan (3.4) akan mencapai titik ekuilibrium apabila 0,dS
dt 0,
dI
dt
dan 0.dR
dt Sehingga Sistem (3.4) dapat ditulis :
0I
b S SN
(3.5)
45
( ) 0t
Ib S c I
N (3.6)
0.cI R (3.7)
Berdasarkan Persamaan (3.6), diperoleh :
( ) 0t
Ib S c I
N
( ) 0t
bSI c
N
0.I (3.8)
Dan jika 0I
( )t
bSc
N
( )t c
S Nb
( )( )t c S I R
Sb
( ) ( )( )t tc S c I R
Sb b
b ( )( )t tc c I R
Sb b
( )( )
.b
t
t
c I RS
c
(3.9)
a. Dari Persamaan (3.8) dan Persamaan (3.7) diperoleh :
0cI R
46
0R
0.R (3.10)
Dari Persamaan (3.5), (3.8) dan (3.10) diperoleh:
0I
b S SN
0S
.S
(3.11)
Oleh karena itu, diperoleh titik ekuilibrium 0 ( , , ) ,0,0E S I R
sehingga terbukti sistem Persamaan (1.4) memiliki titik ekuilibrium bebas
penyakit 0 ( , , ) ,0,0E S I R
.
b. Untuk setiap 0I artinya 0I maka pada Persamaan (3.7) diperoleh :
.R
Ic
(3.12)
Substitusikan Persamaan (3.12) pada Persamaan (3.9) diperoleh :
( ).
b
t
t
R c cS
c c
(3.13)
Substitusikan Persamaan (3.13) pada Persamaan (3.5) diperoleh :
( )0
b
tt
t
R c ccRb N
cN b c c
47
1b
t
t
c cR
c c
b
t t
t
c bR
c c
b.
t
t t
c cR
c b
(3.14)
Substitusikan Persamaan (3.14) pada Persamaan (3.12) diperoleh :
b t
t t
c cI
c c b
b, 0.
t
t t
cI I
c b
(3.15)
Supaya 0I maka diperoleh :
b0
t
t t
c
c b
b0
t
t
c
b
b
0t
t
c
b
1 0t
c
b
1t
c
b
tb c
48
.tb c
Substitusikan Persamaan (3.14) pada Persamaan (3.13) diperoleh :
b ( )
b
t t
t t t
c c c cS
c b c c
( )
.t
cS
b
(3.16)
Berdasarkan Persamaan (3.14), (3.15), dan (3.16) diperoleh titik ekuilibrium
sebagai berikut :
1
b b( ), , , ,
t t
t t t t t
c c ccE S I R
b c b c b
dengan syarat tb c .
Jadi terbukti jika 0I , maka Sistem Persamaan (3,4) memiliki titik ekuilibrium
endemik :
1
b b( ), , , , .
t t
t t t t t
c c ccE S I R
b c b c b
2. Bilangan Reproduksi Dasar 0R
Bilangan reproduksi dasar 0R adalah jumlah rata-rata dari kasus
sekunder yang disebabkan oleh individu yang terinfeksi selama masa
terinfeksinya dalam suatu populasi individu rentan. Jika 0 1R penyakit tidak
49
menyerang populasi atau terbebas dari infeksi, namun jika 0 1R maka setiap
penderita sangat mungkin untuk menyebarkan penyakit kepada lebih dari 1
penderita baru, sehingga dapat menyebabkan endemik.
Bilangan reproduksi dasar 0R dapat ditentukan menggunakan metode
next generation matrix dari Sistem Persamaan (3.4). Pada model matematika
tersebut, kelas terinfeksi adalah Infectious (I) sehingga persamaan diferensial yang
digunakan sebagai berikut:
= ( )t
dI Ib S c I
dt N (3.17)
maka diperoleh:
dan = .t
Ib S c I
N
Selanjutnya dan dilinearisasi, diperoleh hasil linierisasi sebagai berikut:
2 dan t
bS bSIF V c
N N
Kemudian akan dicari 1V diperoleh:
1 1
t
Vc
Next generation matrix diperoleh dari hasil perkalian F dan 1V sebagai berikut:
50
2
1
2
1.
t t
bS bSIbS bSI N NK FVN N c c
(3.18)
Pada awal kemunculan penyakit pada populasi, hampir semua individu rentan
terhadap penyakit, sehingga S pada Persamaan (3.18) dapat didekati dengan
menggunakan titik ekuilibrium bebas penyakit. Sehingga langkah selanjutnya,
yaitu mensubstitusi 0 ( , , ) ,0,0E S I R
pada Persamaan (3.18), diperoleh:
t
bK
c
. (3.19)
Dari Persamaan (3.19) diperoleh nilai eigen, yaitu t
b
c . Sehingga bilangan
reproduksi dasar 0R dari Sistem Persamaan (3.4) sebagai berikut:
0
t
bR
c
. (3.20)
3. Analisis Kestabilan
Nilai eigen berfungsi untuk mencari kestabilan dari titik ekuilibrium pada
sistem. Nilai eigen dapat ditentukan menggunakan matriks Jacobian MJ untuk
setiap titik ekuilbrium.
Kestabilan titik ekuilibrium dari Sistem Persamaan (3.4) disajikan dalam
Teorema 3.2. dan Teorema 3.3. sebagai berikut :
51
Teorema 3.2.
a. Jika 0 1R maka titik ekuilibrium bebas penyakit 0 ( , , ) ,0,0E S I R
stabil asimtotik lokal
b. Jika 0 1R maka titik ekuilibrium bebas penyakit 0 ( , , ) ,0,0E S I R
tidak stabil
Bukti:
Hasil linearisasi Sistem (3.4) akan diperoleh matriks Jacobian:
2 2 2
2 2 2
0
t
f f f bI bSI bs bSI bSI
S I R N N N N N
g g g bI bSI bs bSI bSIMJ c
S I R N N N N N
h h h c
S I R
(3.21)
Substitusikan 0E pada Persamaan (3.21) diperoleh:
1,0,0
0
0 0
0
t
b
MJ MJ b c
c
Selanjutnya akan dicari persamaan karakteristiknya untuk , yaitu:
1det( ) 0MJ I
0
0 0 0
0
t
b
b c
c
52
0tb c
Sehingga nilai eigen untuk titik ekuilibrium 0E adalah:
1 2 3, , tb c (3.22)
a. Akan ditunjukkan jika 0 1R maka titik ekuilibrium bebas penyakit
0 ( , , ) ,0,0E S I R
stabil asimtotik lokal.
Jika 0 1R maka :
1t
b
c
tb c
0tb c
Oleh karena itu, Persamaan (3.22) semuanya bernilai negatif. Sehingga terbukti
jika 0 1R maka titik ekuilibrium bebas penyakit 0 ( , , ) ,0,0E S I R
stabil.
b. Akan ditunjukkan jika 0 1R maka titik ekuilibrium bebas penyakit
0 ( , , ) ,0,0E S I R
tidak stabil.
Jika 0 1R maka :
0tb c
53
Jadi jika 0 1R membuat Persamaan (3.22) tidak semuanya bernilai negatif
karena nilai 3 0 . Sehingga terbukti jika 0 1R maka titik ekuilibrium bebas
penyakit 0 ( , , ) ,0,0E S I R
tidak stabil.
Teorema 3.3.
a. Jika 0 1R maka titik ekuilibrium
1
b b( ), , , ,
t t
t t t t t
c c ccE S I R
b c b c b
tidak stabil
b. Jika 0 1R maka titik ekuilibrium
1
b b( ), , , ,
t t
t t t t t
c c ccE S I R
b c b c b
stabil
asimtotik lokal.
Bukti:
Substitusikan 1E pada Persamaan (3.21) diperoleh:
2 b b( ), ,
t t
t t t t t
c c cc
b c b c b
MJ MJ
2
2
2 ,
0
L A MA L M L M
A A A
L L M L MMJ
A A A
c
54
dengan ,J c ,tK b ,tL b c tM c , dan
.A b c
Selanjutnya akan dicari persamaan karakteristiknya untuk , yaitu:
2det 0MJ I
2
2
0
0
L A A MA L M L M
A A A
L L M A L M
A A A
c
.
Sehingga nilai eigen untuk titik ekuilibrium 1E adalah :
2L A L M A L M
A A A
2
0L MA L M L M
A A A
2L A L M A L Mc
2 0L MA L M L Mc
23 2 2 3 2L M AL L Mc AL M
22 2A AL Mc L MA
3 2 3 2 0L M L Mc
2 22 2AL AL M A
55
2 0AL Mc L MA
2 2 0.A L L M A L Mc L M
Selanjutnya diperoleh:
0
1 (3.23)
dan
2 2 0L L M A L Mc L M
2 2 2 2 0L L M L M A A L Mc L M
2 2 2 2 0A L L M A L M L Mc L M
2 0A L L M A L M L c
2 0A L b bJ L M L K L
2 0A b L J L MK
2 0tA b b L MK (3.24)
Persamaan (3.24) dapat ditulis menjadi
2
0 1 2 0a a a (3.25)
dengan
0a A
1 ta b b
2 .a L MK
56
Menurut kriteria Routh Hurwitz, semua nilai eigen Persamaan (3.25) bagian
realnya bernilai negatif sehingga 0 0,a 1 0,a dan 2 0a . Berdasarkan
Persamaan (3.25), nilai 0a A sudah pasti bernilai positif karena
0 0.a A b c
Selanjutnya akan diselidiki 1a dan 2a harus bernilai positif, yaitu:
1 0a
0tb b
tb (3.26)
dan
2 0a
0L MK
0t t tb c c b
0t tb c b
sehingga diperoleh
dan .t tb b c (3.27)
Bukti:
a. Akan dibuktikan bahwa Jika 0 1R maka titik ekuilibrium
1
b b( ), , , ,
t t
t t t t t
c c ccE S I R
b c b c b
tidak
stabil
57
Berdasarkan Persamaan 2.20, untuk 0 1R diperoleh
1t
b
c
.tb c (3.28)
Pada Persamaan (3.28) terlihat bahwa persamaan tersebut berlawanan dengan
Persamaan (3.27), sehingga terbukti untuk 0 1R maka titik ekuilibrium 1E tidak
stabil.
b. Akan ditunjukkan bahwa titik ekuilibrium 1E akan stabil asimtotik lokal jika
0 1R
Berdasarkan Persamaan 3.20, untuk 0 1R diperoleh
1t
b
c
.tb c (3.29)
Persamaan (3.29) sama dengan Persamaan (3.27) sehingga terbukti jika 0 1R
maka titik ekuilibrium 1E stabil asimtotik lokal.
D. Analisis Numerik Model SIR pada Penyebaran Penyakit Tuberculosis
Analisis numerik menggambarkan lebih jelas mengenai model penyebaran
penyakit Tuberculosis dengan menggunakan parameter-parameter dan nilai awal
tertentu. Pada subbab ini akan membahas mengenai analisis numerik jika 0 1R
dan 0 1R dengan nilai awal dan parameter tertentu.
58
Pada tahun 2014, menurut profil kesehatan tahun 2015 di kota Yogyakarta
terdapat penemuan kasus penderita Tuberculosis sebanyak 491 jiwa. Jumlah
penduduk kota Yogyakarta pada saat itu sebanyak 413.936 jiwa dengan 202.296
jiwa penduduk laki-laki dan 211.640 jiwa penduduk perempuan. Berdasarkan
permasalahan nyata yang terjadi di kota Yogyakarta diperoleh nilai awal untuk
0 413205,S 0 491,I dan 0 240R . Selain itu juga diperoleh
banyaknya kelahiran sebesar 4369 4369 . Banyaknya kematian yang
disebabkan oleh penyakit Tuberculosis adalah 10 orang dalam 1 tahun, sehingga
310 51,697216565x10
491x12 2946t
. Selanjutnya diasumsikan bahwa rata-
rata usia hidup seseorang adalah 70 tahun atau 840 bulan, sehingga diperoleh
311,19047619x10
840 .
1. Simulai 0 1R
Untuk 0 1R , diberikan nilai-nilai parameter supaya memenuhi syarat
0 1R , yaitu 0,00015b dan 0,027c (Fredlina, K. Queen, dkk, 2012). Jika
nilai-nilai parameter disubstitusikan pada Persamaan (3.20) maka diperoleh nilai
0 0,005018788208 1R . Dari nilai awal dan parameter-parameter tersebut,
dengan demikian diperoleh simulasi 0 1R yang ditunjukkan pada Gambar 3.2.
sebagai berikut:
59
Gambar 3.2. Grafik Simulasi untuk 0 0,005018788208R
Pada Gambar 3.2. terlihat perubahan populasi S, I, dan R terhadap waktu.
Populasi I dan R mendekati nilai nol atau bahkan bisa menuju nol, sedangkan
populasi S mengalami peningkatan. Hal ini menunjukkan bahwa perilaku solusi
semakin lama akan menuju titik 0E atau dapat dikatakan bahwa pada saat 0 1R
maka semakin lama penyakit Tuberculosis akan hilang dari populasi. Nilai
numerik untuk 0E adalah 3669960,001 366 61* 99S ; * 0I ; dan * 0R .
2. Simulasi 0 1R
Untuk 0 1R , diberikan nilai-nilai parameter supaya memenuhi syarat
0 1R , yaitu 0,0097b dan 0,00032c (K. Queena Fredlina, dkk, 2012). Jika
60
nilai-nilai parameter disubstitusikan pada Persamaan (3.20) maka diperoleh nilai
0 3,023980394 1R . Nilai-nilai parameter tersebut memberikan simulasi untuk
0 1R sebagai berikut:
Gambar 3.3. Grafik Simulasi untuk 0 3,023980394R
Berdasarkan Gambar 3.3. menunjukkan bahwa populasi susceptible
semakin menurun sedangkan populasi infectious semakin meningkat dan melebihi
populasi susceptible kurang lebih setelah 1500t . Walaupun populasi recovered
semakin meningkat, namun populasi infectious mengalami peningkatan yang
cukup cepat karena tingkat kesembuhan penyakit Tuberculosis yang masih
rendah. Hal ini menunjukkan bahwa jika parameter yang terbentuk memenuhi
syarat 0 1R maka penyakit Tuberculosis akan menjadi endemik. Nilai numerik
61
untuk 1E yang dihasilkan dari parameter-parameter yang memenuhi syarat 0 1R
adalah * 692682,3 692683954S ; * 1104961,844 1104962I ; dan
* 297013,7437 297014R .
Selanjutnya diberikan simulasi dengan nilai awal dan parameter yang
sama, namun dengan nilai 0,08b dan 0,00032c . Jika nilai parameter
disubstitusikan pada Persamaan (3.20) maka diperoleh nilai 0 24.94004448R .
Gambar 3.4. Grafik Simulasi untuk 0 24.94004448R
Pada Gambar 3.4. terlihat bahwa populasi susceptible semakin menurun
kurang lebih setelah 50t dan populasi infectious meningkat melebihi populasi
susceptible ketika kurang lebih 100t . Pada Gambar 3.4. populasi recovered
juga terlihat meningkat, namun hal tersebut tidak mempengaruhi populasi
62
susceptible karena populasi infectious meningkatnya sangat cepat sehingga
peenyakit Tuberculosis akan menjadi endemik. Nilai numerik yang dihasilkan
adalah * 70794,25477 70795S ; * 1335764,193 1335765I ; dan
359053,4153 0* 359 54R .
Pada Gambar 3.5. menunjukkan grafik simulasi dengan nilai awal dan
parameter yang sama, namun dengan nilai 0,0097b dan 0,00015c sehingga
diperoleh 0 3,193213002R .
Gambar 3.5. Grafik Simulasi untuk 0 3,193213002R
Berdasarkan Gambar 3.5. populasi susceptible akan semakin menurun setelah
mencapai puncaknya, yaitu kurang lebih 600t dan populasi infectious akan
63
semakin meningkat bahkan akan melebihi populasi susceptible pada kurang lebih
setelah 1400t . Populasi recovered tidak tampak begitu jelas peningkatannya,
sehingga penyakit Tuberculosis dapat dikatakan menjadi endemik. Nilai numerik
yang dihasilkan adalah * 614722,8699 614723S ; * 1197351,856 1197352I ;
dan 150866,3340 8* 150 67R .
64
BAB IV
PENUTUP
A. Kesimpulan
Pada skripsi ini telah dibahas mengenai model SIR (Suscetible, Infectious,
Recovered) untuk penyebaran penyakit Tuberculosis. Berikut adalah kesimpulan
yang dapat diambil dari pembahasan model tersebut, yaitu:
1. Model matematika untuk penyebaran penyakit Tuberculosis berupa sistem
persamaan diferensial orde satu. Model yang diperoleh sebagai berikut:
= ( )t
dS Ib S S
dt N
dI Ib S c I
dt N
dRcI R
dt
dengan .N S I R
2. Analisis titik ekuilibrium model penyebaran penyakit Tuberculosis diperoleh
dua titik ekuilibrium, yaitu titik ekuilibrium bebas penyakit
0 ( , , ) ,0,0E S I R
dan titik ekuilibrium endemik
1
b b( ), , , , .
t t
t t t t t
c c c ccE S I R
b c b c b
3. Model penyebaran penyakit Tuberculosis memiliki bilangan reproduksi dasar
0R sebagai berikut:
0
t
bR
c
.
65
0R merupakan suatu indikator penyebaran penyakit. Jika 0 1R penyakit tidak
menyerang populasi atau terbebas dari infeksi, namun jika 0 1R maka setiap
penderita sangat mungkin untuk menyebarkan penyakit kepada lebih dari 1
penderita baru, sehingga dapat menyebabkan endemik.
4. Pada analisa kestabilan model penyebaran penyakit Tuberculosis diperoleh:
a. Pada kondisi 0 1R titik ekuilibrium bebas penyakit stabil asimtotik lokal.
Hal ini menunjukkan bahwa untuk jangka waktu lama, populasi penderita
Tuberculosis akan semakin berkurang atau bahkan penyakit Tuberculosis akan
menghilang.
b. Sementara pada saat 0 1R titik ekuilibrium bebas penyakit tidak stabil.
Hal ini menunjukkan bahwa untuk jangka waktu tertentu, populasi penderita
Tuberculosis akan tetap ada.
5. Berdasarkan hasil simulasi analisis numerik pada penderita Tuberculosis di
Kota Yogyakarta, dengan nilai awal dan parameter yang telah diberikan,
diperoleh bahwa:
a. Semakin besar laju kontak atau laju penularan dengan laju kesembuhan
yang sama maka penyakit akan semakin menyebar.
b. Semakin kecil laju kesembuhan dengan laju kontak yang sama maka
penyakit juga akan semakin menyebar.
B. Saran
1. Pada skripsi ini simulasi analisis numerik pada model penyebaran penyakit
Tuberculosis hanya terbatas di wilayah Kota Yogyakarta tahun 2014. Oleh
karena itu, untuk penelitian selajutnya bisa dilakukan pengambilan data pada
66
wilayah lainnya supaya dapat mengetahui penyebaran penyakit Tuberculosis di
wilayah lainnya.
2. Analisis kestabilan global dapat dilakukan untuk penelitian selanjutnya.
3. Pada model matematika yang terbentuk dapat ditambahkan kompartemen baru
atau melibatkan jenis perawatan penderita Tuberculosis.
67
DAFTAR PUSTAKA
. 2015. Profil Kesehatan Tahun 2015 Kota Yogyakarta (Data Tahun
2014). Yogyakarta: Dinas Kesehatan Kota Yogyakarta.
Cahyono, Edi. 2013. Pemodelan Matematika. Yogyakarta; Graha Ilmu.
Diekmann, O dan Heesterbeek. 2000. Mathematical Epidemilogy of Infectious
Diseases. New York: John Wiley and Son.
Driessche and Watmough. 2002. Reproduction Number and Sub-Threshold
Endemic Equilibria for Compartemental Models of Disease Transmission.
Mathematical Biosciences. 180. Hlm. 29-48.
Fredlina, K. Queena, dkk. 2012. Model SIR (Susceptible, Infectious, Recovered)
untuk Penyebaran Penyakit Tuberculosis. E-jurnal Matematika 1(I). Hlm
52-58.
M. Rifki Taufik, dkk. 2015. Mathematical Model for Vaccinated Tuberculosis
Disease with VEIT Model. International Journal of Modeling and
Optimization 5(3). Hlm.192-197.
Olsder, G. J & Woude J.W. van der. 2004. Mathematical Systems Theory.
Netherland: VVSD.
Perko, Lawrence. 2001. Differential Equations and Dynamical Systems. 3rd.New
York: Springer.
Ross, L. 1984. Differential Equations. 3rd. New York: Springer.
Sari, Ilmiyati & Tasman, Hengki. 2014. Model Epidemik SIR untuk Penyakit yang
Menular Secara Horizontal dan Vertikal. Prosiding Konferensi Nasional
Matematika XVII. Surabaya : ITS. Hlm 758.
Suyono, Slamet. 2011. Buku ajar ilmu penyakit dalam jilid II. Perhimpunan
Dokter Spesialis Penyakit Dalam. Jakarta: Balai Penerbit FKUI.
Widowati & Sutimin. 2007. Pemodelan Matematika. Semarang : Universitas
Diponegoro.
Wiggins, Stephen. 1990. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems
and Chaos. New York: Springer.
68
LAMPIRAN
Lampiran 1. Program maple untuk gambar proyeksi potret fase solusi-solusi
S,I,R terhadap t dengan 0 0,005018788208R
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
69
Lampiran 2. Program maple untuk gambar proyeksi potret fase solusi-solusi S,I,R
terhadap t dengan 0 3,023980394R
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
70
Lampiran 3. Program maple untuk gambar proyeksi potret fase solusi-solusi
S,I,R terhadap t dengan 0 24.94004448R
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
71
Lampiran 4. Program maple untuk gambar proyeksi potret fase solusi-solusi
S,I,R terhadap t dengan 0 3,193213002R
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>