Embed Size (px)
Citation preview
ANALISIS REGRESI LINEAR DAN KORELASI
.Analisis Regresi Linear Sederhana
Regresi adalah bentuk hubungan fungsional antara variabel respon dan prediktor.
Guna regresi adalah untuk prediksi. Dalam hal ini, regresi linear sederhana Y atas X.
Misalnya, apakah prestasi belajar (Y) dapat diprediksi dari motivasi (X)? Atau apakah
terdapat hubungan fungsional antara motivasi dan prestasi belajar? Konstelasi masalahnya
dapat digambarkan sebagai berikut.
Gambar 2.1. Hubungan antara Variabel Bebas dan Variabel Terikat
Variabel X = variabel prediktor (bebas, independen)
Variabel Y = variabel kriterium (respon, terikat, tergantung, dependen)
Persamaam regresi linear sederhana: Rumus: Ŷ = a + bX
Keterangan: a = konstanta (bilangan konstan)
b = koefisien arah regresi
Rumus:
1. Contoh analisis regresi sederhana
Tabel 2.1. Skor Motivasi (X) dan Skor Prestasi belajar (Y)
Responden X Y XY X2 Y2
1 34 32 1088 1156 10242 38 35 1368 1444 12963 34 31 1054 1156 9614 40 38 1520 160 14445 30 29 870 900 8416 40 35 1400 1600 12257 40 33 1320 1600 10898 34 30 1020 1156 9009 35 32 1120 1225 102410 39 36 1404 1521 129611 33 31 1023 1089 96112 32 31 992 1024 961
X Y
13 42 36 1512 1764 129614 40 37 1480 1600 136915 42 35 1470 1764 122516 42 38 1596 1764 144417 41 37 1517 1681 136918 32 30 960 1024 90019 34 30 1020 1156 90020 36 30 1080 1296 90021 37 33 1221 1369 108922 36 32 1152 1296 102423 37 34 1258 1369 115624 39 35 1365 1521 122525 40 36 1440 1600 129626 33 32 1056 1089 102427 34 32 1088 1156 102428 36 34 1224 1296 115629 37 32 1184 1369 102430 38 34 1292 1444 1156
Jumlah (Σ) 1105 1001 37094 41029 33599
2. Langkah-langkah Perhitungan
Diketahui:ΣX = 1105
ΣY = 1001
ΣXY = 37094
ΣX2 = 41029
ΣY2 = 33599
Dengan demikian, persamaan garis regresinya: Ŷ = 8,24 + 0,68X
Jika X=32, maka Ŷ = 8,24+0,68 * 32 = 28,64
Ŷ
-30,00...........Ŷ = 8,24 + 0,68X
-8,24
30 32 34 36 X
Gambar 2.2. Gambar Persamaan Garis Regresi
3. Uji Kelinearan dan Keberartian Regresi
Hipotesis yang diuji adalah sebagai berikut.
(1) H0: Regresi linear
H1: Regresi non linear
(2) H0: Harga F regresi non signifikan/tidak bermakna/tidak berarti
H1: Harga F regresi signifikan/bermakna/berarti
Langkah-langkahmengerjakan adalah sebagai berikut.
(1) Urutkan data X dari terkecil hingga data terbesar, diikuti oleh data YTabel 2.2. Pengelompokan data Skor Motivasi dan Prestasi Belajar
X Kelompok ni Y30 1 1 2932 2 2 3132 3033 3 2 3133 3234 4 5 3234 3134 3034 3034 3235 5 1 3236 6 3 3036 3236 3437 7 3 3337 3437 3238 8 2 3638 3439 9 2 3639 3540 10 5 3840 3540 3340 3740 3641 11 1 3742 12 3 3642 3542 38
Dengan demikian, terdapat 12 kelompok
(2) Hitung berturut-turut Jumlah Kuadrat (JK)= Sum Square (SS)dengan rumus berikut.
JK(T) = ∑Y2
JK(a) = (∑Y) 2 N
JK(b׀a) =
JK(S) = JK(T) JK(a) JK(b׀a)
JK(G) =
JK(TC) = JK(S) – JK(G)
Perhitungan:
JK(T) = ∑Y2 = 33599
JK(a) = (∑Y) 2 = (1001)2 : 30 = 33400,03 N
JK(b׀a) =
JK(S) = JK(T) JK(a) JK(b׀a) = 33599 33400,03 152,21 = 46,76
JK(G) =
JK (G) = 37,67
JK(TC) = JK(S) – JK(G) = 46,76 – 37,67 = 9,09
(3) Hitung derajat kebebasan (dk) sebagai berikut.
dk (a) = 1 dk = derajat kebebasan = degree of freedom (df)
dk (b|a) = 1 jumlah prediktor 1
dk sisa = n-2 = 30-2 = 28
dk tuna cocok = k-2 = 12-2 = 10 k= jumlah pengelompokan data X = 12
dk galat = n-k = 30-12 =18
(4) Hitung Rerata Jumlah Kuadrat (RJK) sebagai berikut.
RJK(T) = JK(T) : n = 33599 : 30 =1119,97
RJK(S) = JK(S) : dk(S) = n-2 = 46,76: 28 = 1,67
RJK(Reg) = JK(Reg) : dk(reg) = 152,21 : 1 = 152,21
RJK(TC) = JK(TC) : db(TC) = 9,09 : 10 = 0,91.
(5) Hitung harga F regresi dan F tuna cocok sebagai berikut.
F (Reg) = RJK(Reg) : RJK(Sisa) = 152,21 : 1,67 = 91,14
F(TC) = RJK(TC) : RJK(G) = 0,91 : 2,09 = 0,44
(5) Masukkan ke dalam tabel F (ANAVA) untuk Regresi Linear berikut
Tabel 2.3. Tabel Ringkasan Anava Untuk Menguji Keberartian dan Linearitas Regresi
Sumber Variasi JK (SS) dk (df) RJK (MS) F hitung F tabel
Total 33599 30 1119,97 - -
Koefisien (a)
Regresi (b׀a)
Sisa(residu)
33400,03
152,21
46,76
1
1
28
-
152,21
1,67
-
91,14*)
-
4,20
Tuna Cocok
Galat (error)
9,09
37,67
10
18
0,91
2,09
0,44ns 2,42
*) signifikan pada taraf signifikansi 5%ns = non signifikan
Keterangan:
JK (T) = Jumlah Kuadrat Total
JK(a) = Jumlah kuadrat (a) koefisien (a) = konstanta, X=0
JK(b׀a) = Jumlah kuadrat (b׀a) koefisien regresi
JK(S) = Jumlah Kuadrat Sisa (residu)
JK(G) = Jumlah kuadrat Galat (error)
JK(TC) = Jumlah Kuadrat Tuna Cocok (penyimpangan linearitas)
RJK = Rerata Jumlah Kuadrat = Sum Square (SS) = Rerata Jumlah Kudrat (RJK)
(6) Aturan keputusan (kesimpulan):
Jika F hitung (regresi) lebih besar dari harga F tabel pada taraf signifikansi 5% (α
0,05), maka harga F hitung (regresi) signifikan, yang berarti bahwa koefisien regresi adalah
berarti (bermakna). Dalam hal ini, F hitung (regresi) = 91,14, sedangkan F tabel untuk dk
1:28 (pembilang = 1; dan penyebut = 18) untuk taraf signifikansi 5% = 4,20. Ini berarti, harga
F regresi > dari harga F tabel, sehingga hipotesis nol ditolak dan hipotesis alternatif diterima,
sehingga harga F regresi adalah signifikan. Dengan demikian, terdapat hubungan fungsional
yang signifikan antara variabel motivasi dan prestasi belajar.
Jika harga F hitung (tuna cocok) lebih kecil dari harga F tabel, maka harga F hitung
(tuna cocok) non signifikan, yang berarti bahwa hipotesis nol diterima dan hipotesis altenatif
ditolak, sehingga regresi Y atas X adalah linear. Dalam hal ini, F hitung (tuna cocok) = 0,44,
sedangkan F tabel untuk taraf signifikansi 5% = 2,42, dengan demikian harga F tuna cocok <
dari harga F tabel. Ini berarti, H0 diterima sehingga harga F tuna cocok adalah non signifikan.
Dengan demikian, hubungan antara variabel motivasi dan prestasi belajar adalah linear.
Atas dasar analisis regresi, dapat dihitung kadar hubungan antara X dan Y atau kadar
kontribusi X terhadap Y. Koefisien korelasi (r) dapat dihitung dengan rumus berikut:
r2 = , dimana JK(TD) = jumlah kuadrat total dikoreksi.
JK(TD) = JK(T) – JK(a) = 33599 - 33400,03 = 198,97. Jadi r2 =
Koefisien korelasinya (r) = 0,875.
Dengan rumus korelasi produk moment, juga dapat dihitung koefisien korelasinya, yaitu
sebagai berikut:
Telah diketahui (telah dihitung di atas):
ΣX = 1105
ΣY = 1001
ΣXY = 37094
ΣX2 = 41029
ΣY2 = 33599
0,875
Untuk uji signifikansi koefisien korelasi, digunakan table nilai-nilai r Product
Moment untuk n = 30 pada taraf siginifikansi 5%. Nilai r table untuk n = 30 pada taraf
signifikansi 5% = 0,361; dan untuk taraf signifikansi 1% = 0,463. Dengan demikian, nilai r
hitung = 0,875 lebih besar dari nilai r table, baik pada taraf signifikansi 1% maupun 5%. Ini
berarti, bahwa nilai r hitung adalah signifikan pada taraf signifikansi 5% maupun 1%.
Kesimpulan: H0 ditolak, dan H1 diterima, yang berarti bahwa terdapat korelasi positif antara
motivasi dan prestasi belajar.
Catatan: Selain pengujian signifikansi menggunakan tabel r, dapat juga
menggunakan uji-t, dengan rumus berikut (jika tidak ada tabel nilai-nilai r product moment)
Selanjutnya, harga t hitung tersebut dibandingkan dengan harga t tabel. Untuk uji dua
pihak pada taraf signifikan 5%, dk = n-2 = 30-2 = 28, maka harga t tabel = 2,048. Ternyata
harga t hitung lebih besar dari harga t tabel, sehingga H0 ditolak, dan H1 diterima. Ini berarti,
harga t hitung adalah signifikan, sehingga disimpulkan bahwa terdapat korelasi positif dan
signifikan antara motivasi dan prestasi belajar. Untuk mengetahui kontribusi variabel
prediktor terhadap kriterium, nilai koefisien korelasinya dikuadratkan (r2). Koefisien
determinasi (r2) = (0,875)2 = 0,765 atau 76,5%; ini berarti sumbangan atau kontribusi
motivasi terhadap prestasi belajar adalah sebesar 76,5%, sedangkan residunya sebesar 23,5%
dijelaskan oleh variabel lain yang tidak diteliti.
B. Analisis Regresi Linear Ganda Dua Prediktor (Multiple Regression)
1. Konstelasi Masalah
X1
Y
X2
Gambar 2.3. Hubungan antara Variabel Prediktor dan Kriterium
Keterangan:
X1 = Kemampuan kerja karyawanX2 = Kepemimpinan direktifY = Produktivitas kerja
Rumus persamaan regresi: Ŷ = b0 + b1X1+ b2X2
Ŷ = prediksi atau ramalan kriteriumb0 = a = (konstan)b1 = beta prediktor X1
b2 = beta prediktor X2
2. Tabel Data
Tabel 2.4. Data Skor Kemampuan kerja, Kepemimpinan direktif, dan Produktivitas kerja
Respon-den X1 X2 Y X12 X2
2 X1 X2 X1Y X2Y Y2
1 10 7 23 100 49 70 230 161 529
2 2 3 7 4 9 6 14 21 49
3 4 2 15 16 4 8 60 30 225
4 6 4 17 36 16 24 102 68 289
5 8 6 23 64 36 48 184 38 529
6 7 5 22 49 25 35 154 110 484
7 4 3 10 16 9 12 40 30 100
8 6 3 14 36 9 18 84 42 196
9 7 4 20 49 16 28 140 80 400
10 6 3 19 36 9 18 114 57 361
∑ 60 40 170 406 182 267 1122 737 3162
Hasil perhitungan pada tabel di atas adalah:
∑X1 = 60
∑X2= 40
∑Y = 170
∑X12 = 406
∑X22 = 182
∑X1X2 = 267
∑X1Y = 1122
∑X2Y = 737
∑Y2 = 3162
3. Menghitung beta
Menghitung harga-harga : b0; b1, b2dengan menggunakan persamaan berikut, dengan
menggunakan skor angka kasar:
(1) ∑ Y = nb0 + b1∑X1 + b2∑X2
(2) ∑X1Y = b0∑X1 + b1∑X12 + b2∑X1X2
(3) ∑X2Y = b0∑X2 + b1∑X1X2+ b2∑X22
Masukkan harga-harga di atas dimasukkan ke dalam persamaan tersebut sehingga menjadi:
(1) 170 = 10 b0 + 60 b1 + 40 b2
(2) 1122 = 60 b0+ 406 b1+ 267 b2
(3) 737 = 40 b0 + 267 b1 + 182 b2
Untuk menyelesaikan persamaan tersebut untuk memperoleh koefisien b0, b1, dan b2,
dapat digunakan metode eliminasi berikut.
Persamaan (1) dikalikan 6, persamaan (2) dikalikan 1, kemudian dikurangkan sehingga
menjadi sebagai berikut.
1020 = 60 b0 + 360 b1 + 240 b2
1122 = 60 b0 + 406 b1 + 267 b2
______________________________________ -
- 102 = 0 + -46 b1 + -27 b2
(4) - 102 = -46 b1 - 27 b2
Persamaan (1) dikalikan dengan 4, persamaan (3) dikalikan dengan 1, hingga hasilnya
menjadi sebagai berikut:
680 = 40 b0 + 240 b1 + 160 b2
737 = 40 b0 + 267 b1 + 182 b2
________________________________
-57 = 0 + - 27 b1 + - 22 b2
(5) -57 = - 27 b1 - 22 b2
Persamaan (4) dikalikan dengan 27, persamaan (5) dikalikan dengan 46, sehingga hasilnya
menjadi:
-2754 = -1242 b1 - 729 b2
-2622 = -1242 b1 - 1012b2
_____________________________
-132 = 0 b1+ 283 b2
b2 = -132 : 283 = - 0,466
Harga b2 dimasukkan ke dalam salah satu persamaan (4) atau (5). Dalam hal ini, dimasukkan
ke dalam persamaan (4), sehingga menjadi:
-102 = -46b1 – 27 (-0,466)
-102 = -46b1 +12,582
46b1 = 114,582 b1 = 2,4909 = 2,491
Harga b1dan b2 dimasukkan dalam persamaan (1), sehingga menjadi:
170 = 10 b0 + 60 (2,4909) + 40 (-0,466)
170 = 10 b0+ 149,454 - 18,640
10 b0 = 170 – 149,454+ 18,640
b0 = 39,186 : 10 = 3,9186 =3,919
Jadi, persamaan regresi linear ganda untuk dua prediktor:
Ŷ = 3,919 + 2,491X1 - 0,466X2
Ini berarti produktivitas kerja pegawai akan naik, jika kemampuan pegawai
ditingkatkan, dan akan turun jika kepemimpinan direktif (otoriter) ditingkatkan. Jika
kemampuan pegawai ditingkatan menjadi 10, dan tingkat kepemimpinan direktif sampi 10,
maka produktivitas kerja pegawai menjadi:Ŷ = 3,9186 + 2,4909X1 - 0,466X2= 3,9186 +
(2,4909 x 10) – (0,466 x 10) = 24,1676 Jadi diprediksi produktivitas kerja pegawai
= 24,1676.
4. Menghitung beta dengan rumus deviasi
Cara perhitungan koefisien-koefisien b0, b1, danb2di atas sangat panjang dan rumit.
Untuk mengatasi hal tersebut, dapat digunakan cara lain yang lebih sederhana, yaitu hanya
dengan dua persamaan, tetapi harus diubah menjadi skor deviasi terlebih dahulu. Dengan
demikian, persamaannya menjadi:
ў = b0+b1x1 + b2x2
b1, b2 dapat dihitung dari persamaan berikut
Sedangkan b0 dapat dihitung menggunakan b1, danb2 serta rata-rata
5. Menghitung skor deviasi
Selanjutnya, koefisien regresi dapat dihitung menggunakan rumus berikut.
Untuk menghitung skor simpangan (deviasi), digunakan rumus-rumus berikut.
Skor rata-rata (lihat tabel di atas, rata-rata = ∑X dibagi n).
Telah diketahui (lihat tabel data di atas): N = 10
∑X1 = 60
∑X2= 40
∑Y = 170
∑X12 = 406
∑X22 = 182
∑X1X2 = 267
∑X1Y = 1122
∑X2Y = 737
∑Y2 = 3162
Selanjutnya dapat dihitung harga-harga skor deviasi (menggunakan lambang huruf
kecil)sebagai berikut.
= 3162 – (1702 : 10) = 272
= 406- (602 : 10) = 46
= 182 – (402 : 10) = 22
= 1122 – ((60x170) : 10) = 102
= 737 – ((40x170) : 10) = 57
= 267 – ((60x40) : 10) = 27
Dengan menggunakan rumus deviasi, dapat dihitung harga b1, danb2 sebagai berikut.
= 2,491
= -0,466
3,918
Dibandingkan dengan perhitungan menggunakan rumus panjang, tampak adanya
perbedaan hasil yang praktis dapat diabaikan (sangat kecil perbedaannya, karena adanya
pembulatan). Persamaan garis regesinya: Ŷ = 3,918 + 2,491X1 - 0,466X2
Cara menghitung beta dapat juga dilakukan dengan metode Selisih Produk Diagonal
(SPD) sebagai berikut.
Persamaan:
(1)
(2)
Masukkan skor deviasi ke dalam persamaan tersebut sehingga menjadi sebagai berikut.
(1) 102 = 46 b1 + 27 b2
(2) 57 = 27 b1 + 22 b2
---------------------------(3) 705 = 283 b1 b1 = 705/283 = 2,491
Cara menghitung:
(102*22) – (57*27) = 705
(46*22) – (27*27) = 283 b1
Masukkan b1 ke salah satu persamaan di atas, misalnya dimasukkan ke persamaan (2)
sehingga menjadi:
57 = 27 (2,491) + 22 b2
57 = 67,257 + 22 b2
= 57 – 67,257 = 22 b2
= - 10,257 = 22 b2 b2 = -10,257/22 = -,466
Hasilnya sama dengan cara penyelesaian pertama di atas.
Dibandingkan dengan perhitungan menggunakan rumus panjang, tampak adanya
perbedaan hasil yang praktis dapat diabaikan (sangat kecil perbedaannya, karena adanya
pembulatan). Persamaan garis regesinya: Ŷ = 3,918 + 2,491X1 - 0,466X2
6. Keberartian Regresi Ganda
Setelah diperoleh koefisien arah regresi, dilanjutkan dengan menghitung korelasi
ganda untuk 2 prediktor, dengan rumus berikut.
Ry (1,2) =
=
Koefisien determinasi (R2) = 0,832; ini artinya bahwa sebesar 83,20% produktivitas
kerja karyawan dapat dijelaskan oleh variabel kemampuan kerja dan kepemimpinan direktif.
7. Uji Keberartian Regresi
Untuk Uji signifikansi regresi, menggunakan uji F regresi: F =
JK(reg) =
= (2,491)(102)+(-0,466)(57)= 227,52
JK(T) = ∑y2 = 272
JK(sisa) = JK(T) =∑y2 – JK(reg) = 272 – 227,52 = 44,48
dk reg = k (prediktor = 2)
RJK (reg) = JK(reg)/dk reg = 227,52 : 2 = 113,76
dk (sisa) = n – k – 1 = 10-2-1 = 7
RJK(sisa) = JK(sisa)/dk sisa = 44,48 : 7 = 6,354
F reg = RJK(reg)/RJK(sisa) = 113,76 : 6,354 = 17,90
Tabel 2.5. Ringkasan Anava untuk Menguji Keberartian Regresi
Sumber Variasi
JK dk RJK F hitung F tabel
0,05 0,01
Regresi 227,52 2 113,76 17,90 4,74 9,55
Sisa 44,48 7 6,354 - - -
Total 272 9 - - - -
Harga F hitung selanjutnya dikonsultasikan dengan F tabel dengan derajat kebebasan
(dk) pembilang = 2 dan dk penyebut = 7 untuk taraf signifikansi 5%, diperoleh F tabel = 4,74
dan untuk taraf signifikansi 1% = 9,55. Dengan demikian, harga F hitung = 17,90 > dari
harga F tabel pada ts. 5% = 4,74; sehingga hipotesis nol ditolak dan hipotesis alternatif,
diterima. Ini berarti bahwa koefisien regresi ganda yang diperoleh adalah
bermakna/berarti/signifikan.
Setelah diketahui harga R bermakna, maka dapat disimpulkan bahwa sebesar 83,20%
variasi yang terjadi pada produktivitas kerja karyawan (Y) dapat
dijelaskan/dikontribusi/diprediksi oleh variabel kemampuan kerja (X1) dan kepemimpinan
direktif (X2) melalui persamaan regresi Ŷ = 3,918 + 2,491X1 - 0,466X2.
8. Uji Keberartian Koefisien Regresi Linear Ganda
Meskipun ternyata regresi ini berarti, untuk menilai ketepatan ramalan (prediksi),
perli dilihat galat baku taksiran (simpangan baku taksiran) yang diberi lambang s2y.12, dapat
dihitung dengan rumus berikut.
Dengan demikian galat baku taksiran, sy.12 = √6,354 = 2,521. Dengan galat baku
taksiran ini, dapat dihitung galat baku koefisien b1 dan b2yang diberi lambang sbi , dapat
dihitung dengan rumus:
Selanjutnya, uji keberatian koefisien regresi, digunakan statistik:
t = bi / sbi
dengan dk = (n-k-1) = 10-2-1 = 7
Dengan persamaan regresiŶ = 3,918 + 2,491X1 - 0,466X2,apakah koefisien-koefisien 2,4909
dan 0,466 bermakna atau tidak. Untuk itu, perlu dihitung galat baku b1 dan b2.
Selanjutnya, dihitung harga-harga:
Korelasi antara X1 dan X2 =
=
r2 = 0,721.
Dengan demikian, dapat dihitung varians galat baku berikut:
t = b1 / sb1 = 2,491/ 0,704 = 3,538 tt 0,05 =1,895; jadi t hitung lebih besar dari t tabel; ini
berarti bahwa koefisien arah yang berkaitan dengan X1 adalah berarti.
t = b2 / sb2 = - 0,466 / 1,017 = 0,458 t hitung lebih kecil dari t tabel sehingga koefisien arah
yang berkaitan dengan X2 tidak berarti.
Dari pengujian tersebut di atas dapat disimpulkan bahwa daya ramal prediktor
kemampuan kerja terhadap produktivitas kerja adalah berarti/bermakna; sedangkan daya
ramal prediktor kepemimpinan direktif terhadap produktivitas kerja, tidak bermakna.
C. Analisis Regresi Tiga Prediktor
1. Konstelasi Masalah:
X1
X2 Y
X3
Gambar:3.1. Hubungan antar Variabel Prediktor dan Kriterium
Keterangan:
X1 = Kemampuan kerjaX2 = Pemahaman TugasX3 = Motivasi kerjaY = Produktivitas kerja
2. Contoh data
Tabel 2.6.Tabel Data Skor Kemampuan kerja, Pemahaman kerja, Motivasi kerja, dan Produktivitas kerja
No
X1 X2 X3 Y X12 X2
2 X32 Y2 X1Y X2Y X3Y X1X2 X1X3 X2X3
1 60 59 67 56 3600 3481 4489 3136 3360 3304 3752 3540 4020 39532 31 33 41 36 961 1089 1681 1296 1116 1188 1476 1023 1271 13533 70 70 71 71 4900 4900 5041 5041 4970 4970 5041 4900 4970 49704 69 69 70 68 4761 4761 4900 4624 4692 4692 4760 4761 4830 48305 50 48 49 47 2500 2304 2401 2209 2350 2256 2303 2400 2450 23526 30 29 33 34 900 841 1089 1156 1020 986 1122 870 990 9577 40 48 51 50 1600 2304 2601 2500 2000 2400 2550 1920 2040 24488 55 54 60 60 3025 2916 3600 3600 3300 3240 3600 2970 3300 32409 58 61 59 61 3364 3721 3481 3721 3538 3721 3599 3538 3422 359910 26 34 31 29 676 1156 961 841 754 986 899 884 806 105411 78 76 75 77 6084 5776 5625 5929 6006 5852 5775 5928 5850 570012 45 43 43 46 2025 1849 1849 2116 2070 1978 1978 1935 1935 184913 47 56 46 50 2209 3136 2116 2500 2350 2800 2300 2632 2162 257614 34 42 43 39 1156 1764 1849 1521 1326 1638 1677 1428 1462 180615 57 58 56 56 3249 3364 3136 3136 3192 3248 3136 3306 3192 3248∑ 75
0780
795
780
41010
43362
44819
43326
42044
43259
43968
42036
42700
43935
Dari tabel tersebut diperoleh harga-harga berikut:
X1 = 750
X2 = 780
X3 = 795
Y = 780
X12 = 41010
X22 = 43362
X32 = 44819
Y2 = 43326
X1Y = 42044
X2Y = 43259
X3Y = 43968
X1X2 = 42035
X1X3 = 42700
X2X3 = 43935
3. Persamaan garis regresi
Persamaan regresi: Ŷ = b0 + b1X1+ b2X2 + b3X3
4. Menghitung koefisien regresi
Untuk menghitung koefisien regresi, digunakan skor deviasi berikut.
= 43326 – (7802 : 15) = 2766
= 41010- (7502 : 15) = 3410
= 43362 – (7802 : 15) = 2802
= 44819 – (7952 : 15) = 2684
= 42044 – ((750x780) : 15) = 3044
= 43259 – ((780x 780) : 15) = 2699
= 43968 – (795x780) : 15) = 2628
= 42035 – ((750x780) : 15) = 3035
= 42700 – ((750x795) : 15) = 2950
= 43935 – ((780x795) : 15) = 2595
Persamaan regresi untuk menghitung b0, b1, b2, danb3 digunakan persamaan sebagai
berikut.
Skor deviasi di atas dimasukkan ke dalam persamaan tersebut, menjadi:
(1) 3044 = 3410 b1 + 3035 b2 + 2950 b3
(2) 2699 = 3035 b1 + 2802 b2 + 2595 b3
(3) 2628 = 2950 b1 + 2595 b2 + 2684b3
Untuk menyelesaikan persamaan tersebut digunakan metode eliminasi dengan jalan:
persamaan (1) sama-sama dibagi 2950, persamaan (2) dibagi 2595, dan persamaan (3) dibagi
2684, supaya b menjadi habis.
(1a) 1,032 = 1,190 b1 + 1,029 b2 + b3 (pembulatan)
(2a) 1,040 = 1,170 b1 + 1,080 b2 + b3(pembulatan)
(3a) 0,979= 1,099 b1+ 0,967 b2 + b3 (pembulatan)
----------------------------------------------------------------
(4) 1a – 2a = -0,008 = 0,020 b1 + ( -0,051) b (dibagi -0,051)
(5) 2a – 3a = 0,061 = 0,071 b1 + 0,113 b2 (dibagi 0,113)
---------------------------------------------------------------
(4a) 0,157 = -0,392 b1 + b2
(5a) 0,540 = 0,628b1 + b2
--------------------------------------------------------------- -
(6) 4a – 5a = -0,383 = -1,020 b1
b1 = (-0,383) : (-1,020) = 0,375 (pembulatan)
(5a) 0,540 = (0,628) (0,375) + b2
0,540 = 0,236 + b2
b2 = 0,540 - 0,236 = 0,304
(3a) 0,979 = 1,099 b1 + 0,967 b2 + b3
0,979 = (1,099)(0,375) + (0,967)(0,304) + b3
0,979 = 0,412 + 0,294 + b3
0,979 = 0,706 + b3
b3 = 0,979 – 0,706 = 0,273
= 52 – (0,375) (50) - (0,304)(50) – (0,273(53) = 3,581Persamaan regresi =Ŷ = b0 + b1X1+ b2X2 + b3X3
Ŷ = 3,581 + 0,375X1+ 0,304X2 + 0,273X3
Di samping cara tersebut di atas, koefsien beta dapat juga dicari dengan metode
Selisih Produk Diagonal (SPD) sebagai berikut.
Persamaan:
(1) 3044 = 3410 b1 + 3035 b2 + 2950 b3
(2) 2699 = 3035 b1 + 2802 b2 + 2595 b3
(3) 2628 = 2950 b1 + 2595 b2 + 2684b3
Ambil persamaan (1) dan (2) :
(1) 3044 = 3410 b1 + 3035 b2 + 2950 b3
(2) 2699 = 3035 b1 + 2802 b2 + 2595 b3
---------------------------------------------------------- SPD(4) -62870 = -104300 b1 + (-390075) b2 + 0
Ambil persamaan (2) dan (3):
(3) 2699 = 3035 b1 + 2802 b2 + 2595 b3
(4) 2628 = 2950 b1 + 2595 b2 + 2684b3
-----------------------------------------------------------SPD
(5) 424456 = 490690 b1 + 786543 b2 + 0
Ambil persamaan (4) dan (5):
(4) -62870 = -104300 b1 + (-390075) b2
(5) 424456 = 490690 b1 + 786543 b2
--------------------------------------------------------SPD1,16119715811 = 2,73442336711 b1 + 0
b1 = 1,16119715811 / 2,73442336711 = 0,375
Masukkan ke persamaan (5):
424456 = (0,375)(490690) + 786543 b2
424456 = 184008,75 + 786543 b2
424456 – 184008,75 = 786543 b2
240447,25 = 786543 b2
b2 = 240447,25 / 786543 = 0,304
Masukkan ke persamaan (3)
(3) 2628 = 2950 b1 + 2595 b2 + 2684b3
2628 = 2950 (0,375) + 2595 (0,304) + 2684b3
2628 = 1106,25 + 788,88 + 2684b3
2628-1106,25 – 78888 = 2684b3
732,87 = 2684b3 b3 = 732,87 / 2684 = 0,273
Ternyata cara pertama dan ke dua menghasilkan loefisien beta yang sama.
5. Menghitung harga korelasi ganda (jamak), dengan rumus berikut.
Ry (1,2,3) =
= = 0,98423
Koefisien determinasi (R2) = 0,9687; ini artinya bahwa sebesar 96,87% produktivitas
kerja karyawan dapat dijelaskan/diprediksi oleh variabel kemampuan kerja, pemahaman
kerja, dan motivasi kerja.
6. Menguji Signifikansi Regresi
Untuk Uji signifikansi regresi, menggunakan uji F regresi: F =
JK(reg) =
= (0,375)(3044)+(0,304)(2699)+(0,273)(2628)= 2679,44
JK(T) = ∑y2 = 2766
JK(sisa) = JK(T) =∑y2 – JK(reg) = 2766 – 2679,44 = 86,56
dk reg = k (prediktor = 3)
RJK (reg) = JK(reg)/dk reg = 2679,44 : 3 = 893,147
dk (sisa) = n – k – 1 = 15-3-1 = 11
RJKK(sisa) = JK(sisa)/dk sisa = 86,56 : 11 = 7,869
F reg = RJK(reg)/RJK(sisa) = 893,147 : 7,869 = 113,500
Tabel 2.7. Ringkasan Anava untuk Menguji Keberartian Regresi
Sumber JK dk RJK F hitung F tabel
VariasiRegresi 2679,44 3 893,147 113,500*) 3,59
Sisa 86,56 11 7,869 -
Total 2766,00 14 - -
Harga F hitung selanjutnya dikonsultasikan dengan F tabel dengan derajat kebebasan
(dk) pembilang = 3 dan dk penyebut = 11 untuk taraf signifikansi 5%, diperoleh F tabel= 3,59
dan untuk taraf signifikansi 1% = 6,22. Dengan demikian, harga F hitung = 113,500 > dari
harga F tabel pada ts. 5% = 3,59; sehingga hipotesis nol ditolak dan hipotesis alternatif,
diterima. Ini berarti bahwa koefisien regresi ganda yang diperoleh adalah bermakna/berarti.
7. Uji Keberartian Koefisien Regresi Linear Ganda
Meskipun ternyata regresi ini berarti, untuk menilai ketepatan ramalan (prediksi),
perlu dilihat galat baku taksiran (simpangan baku taksiran) yang diberi lambang sy.123, dapat
dihitung dengan rumus berikut.
Dengan demikian galat baku taksiran, sy.123 = √7,8691 = 2,805. Dengan galat baku
taksiran ini, dapat dihitung galat baku koefisien b1, b2 dan b3yang diberi lambang sbi , dapat
dihitung dengan rumus:
Selanjutnya, uji keberatian koefisien regresi, digunakan statistik:
t = bi / sbi dengan dk = (n-k-1) = 15-3-1 = 11
Dengan persamaan regresi Ŷ = 3,581 + 0,375X1+ 0,304X2 + 0,273X3,apakah
koefisien-koefisien 0,375; 0,304 dan 0,273 bermakna atau tidak. Untuk itu, perlu dihitung
galat baku b1, b2 dan b3.
Selanjutnya, dihitung harga-harga:
Korelasi antara X1, X2 dan X3 =
Tabel 2.8. Matrik Korelasi Antar Variabel (dihitung dengan kalkulator)
X X1 X2 X3 Y
X1 1,00 0,968 0,961 0,977
X2 1,00 0,946 0,969
r12 =0,968 r2 = 0,937
r13 = 0,961 r2 = 0,924
r23 =0,946 r2 = 0,895
t = b1 / sb1 = 0,375/ 0,192 = 1,953 tt 0,05 = 1,80; jadi t hitung lebih besar dari t tabel; ini
berarti bahwa koefisien arah regresi yang berkaitan dengan X1 adalah berarti/bermakna.
t = b2 / sb2 = 0,304 / 0,1923 = 1,581 t hitung lebih kecil dari t tabel sehingga koefisien arah
yang berkaitan dengan X2 tidak berarti.
t = b3 / sb3 = 0,273 / 0,167 = 1,635 t hitung lebih kecil dari t tabel sehingga koefisien arah
yang berkaitan dengan X2 tidak berarti.
Dari pengujian tersebut di atas dapat disimpulkan bahwa daya ramal prediktor
kemampuan kerja terhadap produktivitas kerja adalah berarti/bermakna; sedangkan daya
ramal prediktor pemahaman tugas dan motivasi kerja terhadap produktivitas kerja, tidak
bermakna.
8. Menghitung sumbangan efektif masing-masing prediktor terhadap kriterium, dikerjakan dengan langkah berikut
(1) Efektivitas regresinya = JK(reg) berbanding JK(T) dikalikan 100%. Telah
diketahui, JK(reg) = 2679,44 ; JK(T) = 2766, maka efektivitas regresi = (2679,44 : 2766) x
100% =
96,87%. Ini sama dengan koefisien determinasinya.
(2) Hitung sumbangan relatif dalam persen (SR%) tiap prediktor (dihitung harga
mutlaknya):
JK(reg) =
= (0,375)(3044)+(0,304)(2699)+(0,273)(2628)
= 1141,5 + 820,496 + 717,444 = 2679,44
JK(reg) tersebut tersusun dari:
-------------------------------------------- +Total (JKreg) = 2679,44
Prdiktor X1 : SR% =
Prediktor X2: SR% =
Prediktor X2: SR% =
---------------------------------------------------------------
Total = 100%
(3) Menghitung Sumbangan Efektif dalam persen (SE%):
SE% X1 =
SE% X2 =
SE% X3 =
-------------------------------------------------------------------------------Total = 96,87%
Kesimpulan:
Prediktor X1 (kemampuan kerja) dapat memberikan kontribusi terhadap kriterium
(produktivitas kerja) sebesar 41,27%; prediktor X2 (pemahaman tugas) dapat memberikan
kontribusi terhadap produktivitas kerja sebesar 29,66%; dan prediktor X3(motivasi kerja)
dapat memberikan kontribusi terhadap produktivitas kerja sebesar 25,94%. Dengan perkataan
lain bahwa produktivitas kerja karyawan dapat diprediksi oleh kemampuan kerja sebesar
41,27%, pemahaman tugas sebesar 29,66%, dan motivasi kerja sebesar 25,94%.
D. Korelasi Parsial
Untuk menghitung korelasi parsial, terlebih dahulu harus dihitung korelasi sederhana
antara variabel prediktor dengan variabel kriterium. Korelasi parsial bertujuan untuk
mengetahui besaran koefisien korelasi antara variabel prediktor dengan variabel kriterium
dengan mengendalikan variabel prediktor yang lain.
Korelasi antar variabel setelah dihitung dengan kalkulator, diperoleh koefisien
korelasi sebagai matrik berikut.
Tabel 2.9. Matrik Korelasi Antar Variabel (dihitung dengan kalkulator)
X X1 X2 X3 Y
X1 1,00 0,968 0,961 0,977
X2 1,00 0,946 0,969
X3 1,00 0,964
Y 1,00
(1) Korelasi parsial dengan dua prediktor (X1dan X2) sebagai berikut:
(2) Korelasi parsial dengan tiga prediktor (X1, X2 dan X3) sebagai berikut
(3) Korelasi parsial 3 prediktor berdasarkan matrik korelasi di atas adalah sebagai berikut.
Telah diketahui (dihitung):korelasi jenjang nihil (sederhana): ry1 = 0,977;
r y2 = 0,969; r y3 = 0,964; r12 = 0,968; r13 = 0,961; dan r23 = 0,946.
(4) Korelasi parsial jenjang pertama untuk 3 prediktor:
(5) Korelasi parsial jenjang kedua(untuk 3 prediktor):
Telah dihitung di atas:
ry1 = 0,977;
r y2 = 0,969;
r y3 = 0,964;
r12 = 0,968;
r13 = 0,961;
r23 = 0,946.
Kesimpulan:
(1) Terdapat korelasi positif dan signifikan antara variabel kemampuan kerja dengan
variabel produktivitas kerja setelah dikendalikan dengan variabel pemahaman tugas
dan motivasi kerja (r1y-23 = 0,448; r2 = 0,2007 = 20,07%; ini berarti bahwa variabel
kemampuan kerja memberikan kontribusi terhadap variabel produktivitas kerja
sebesar 20,07%).
(2) Terdapat korelasi positif dan signifikan antara variabel pemahaman tugas dengan
variabel produktivitas kerja setelah dikendalikan dengan variabel kemampuan kerja
dan motivasi kerja (r2y-31 = 0,384; r2 = 0,1475 = 14,75%; ini berarti bahwa variabel
pemahaman tugas memberikan kontribusi terhadap variabel produktivitas kerja
sebesar 14,75%).
(3) Terdapat korelasi positif dan signifikan antara variabel motivasi kerja dengan
produktivitas kerja setelah dikendalikan dengan variabel kemampuan kerja dan
pemahaman tugas (r3y-12 = 0,373; r2 = 0,1391 = 13,91%; ini berarti bahwa variabel
kemampuan kerja memberikan kontribusi terhadap variabel produktivitas kerja
sebesar 13,91%).
Tugas Latihan
Seorang peneliti ingin mengetahui hubungan antara inteligensi, minat belajar, dan
konsep diri dengan prestasi belajar IPA di SMA. Untuk itu, dikumpulkan data pada 60 orang
siswa yang diambil secara random. Data yang diperoleh berbentuk angka puluhan (data fiktif
dibuat sendiri).
1. Buat konstelasi masalahnya
2. Rumuskan hipotesisnya
3. Hitung regresi sederhana masing-masing prediktor terhadap kriterium
4. Uji hipotesis itu dengan analisis regresi tiga prediktor
5. Hitung koefisien determinasinya secara bersama-sama
6. Hitung sumbangan efektif masing-masing prediktor terhadap kretirium
