ANALISIS RISIKO OPERASIONAL MENGGUNAKAN

PENDEKATAN DISTRIBUSI KERUGIAN

DENGAN METODE AGREGAT

YUSUFI ARBI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

2013

ABSTRAK

YUSUFI ARBI. Analisis Risiko Operasional Menggunakan Pendekatan Distribusi Kerugian

dengan Metode Agregat. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan I GUSTI PUTU

PURNABA.

Risiko operasional didefinisikan sebagai risiko kerugian yang disebabkan oleh kesalahan

proses internal atau eksternal. Asuransi sebagai institusi keuangan juga dihadapkan pada risiko ini.

Pencatatan kerugian operasional di perusahaan asuransi, masih belum terlaksana dengan baik

sehingga berdampak pada terbatasnya data kerugian operasional. Pada karya ilmiah ini data

kerugian operasional yang diamati diperoleh dari pembayaran klaim. Secara umum, banyaknya

klaim asuransi dapat dimodelkan dengan menggunakan sebaran Poisson, dengan nilai harapan dari

klaim sama dengan ragamnya dan sebaran binomial negatif, dengan nilai harapan lebih kecil dari

ragamnya.

Alat analisis yang digunakan dalam pengukuran potensi kerugian adalah pendekatan distribusi

kerugian dengan metode agregat di mana data kerugian dikelompokkan dalam distribusi frekuensi

dan severitas. Dengan melakukan simulasi sebanyak kali dihasilkan nilai total klaim yang

merupakan jumlah dari potensi kerugian klaim individu dari setiap simulasi yang dilakukan.

Kemudian, dari hasil tersebut ditetapkan nilai potensi kerugian (OpVar) pada tingkat kepercayaan

tertentu.

Kata kunci: risiko operasional, OpVaR, metode agregat

ABSTRACT

YUSUFI ARBI. Operational Risk Analysis Using Loss Distribution Approach with Aggregate

Method. Supervised by RETNO BUDIARTI and I GUSTI PUTU PURNABA.

Operational risk is defined as the risk of loss resulting from inadequate or failed internal

processes or external problems. Insurance companies as financial institution that also faced at risk.

Recording of operating losses in insurance companies, were not properly conducted so that the

impact on the limited data for operational losses. In this work, the data of operational loss

observed from the payment of the claim. In general, the number of insurance claims can be

modelled using the Poisson distribution, where the expected value of the claims is similar with

variance, while the negative binomial distribution, the expected value was bound to be less than

the variance.

Analysis tools are used in the measurement of the potential loss is the loss distribution

approach with the aggregate method. In the aggregate method, loss data grouped in a frequency

distribution and severity distribution. After doing 10.000 times simulation are resulted total loss of

claim value, which is total from individual claim every simulation. Then from the result was set

the value of potential loss (OpVar) at a certain level confidence.

Keywords: operasional risk, OpVaR, aggregate method

ANALISIS RISIKO OPERASIONAL MENGGUNAKAN

PENDEKATAN DISTRIBUSI KERUGIAN

DENGAN METODE AGREGAT

YUSUFI ARBI

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

2013

Judul Skripsi : Analisis Risiko Operasional Menggunakan Pendekatan

Distribusi Kerugian dengan Metode Agregat.

Nama : Yusufi Arbi

NIM : G54080011

Menyetujui

Tanggal Lulus:

Pembimbing I,

Ir. Retno Budiarti, MS.

NIP: 19610729 198903 2 001

Pembimbing II,

Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA.

NIP: 19651218 199002 1 001

Mengetahui:

Ketua Departemen,

Dr. Berlian Setiawaty, MS.

NIP: 19650505 198903 2 004

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah swt atas berkat, rahmat dan kasih sayang-Nya

sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini. Berbagai kendala dialami oleh penulis

sehingga banyak sekali orang yang membantu dan berkontribusi dalam pembuatan karya ilmiah

ini. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. keluarga tercinta: Apa dan Ama. Ama sebagai pemberi motivasi dan Apa sebagai sumber

inspirasi, adikku Novetra Subuhadi dan Islamia Fuada (terima kasih atas doa, dukungan,

kesabaran dan kasih sayangnya), Alm. Atuak Amat yang pasti selalu mendoakanku, Enek

Ina, Enek Marlianis, Pak Odang Aznil, Pak Odang Meh, Pak Ongah, Ante Wati, Ante Ina,

Ibu Yeni, Ni Pipi, Ciat dan Ira (terima kasih atas doa, semangat, motivasi dan

dukungannya), Sepupuku Tesi, Titik, Pian, Icha, dhani dan Andien (Terimakasih atas doa

dan keceriannya), Rahmadini Suryani (terima kasih atas kasih sayang, dan doanya),

2. Ir. Retno Budiarti, MS. selaku dosen pembimbing I yang telah meluangkan waktu dan

pikiran dalam membimbing, memberi motivasi, semangat dan doa,

3. Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA. selaku dosen pembimbing II yang telah memberikan

ilmu, kritik dan saran, motivasi serta doanya,

4. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. selaku dosen penguji yang telah memberikan ilmu, saran

dan doanya,

5. semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan,

6. staf Departemen Matematika: Bapak Yono, Ibu Susi, Ibu Ade, Alm. Bapak Bono, Bapak

Deni, Mas Hery, Ibu Yanti atas semangat dan doanya,

7. Bari, Fachri dan Hendra yang telah meluangkan waktu untuk menjadi pembahas pada

seminar karya ilmiah saya,

8. teman-teman satu bimbingan: Khafidz, Yunda, Fitriah dan Edi,

9. sahabatku Hardono, Dahen, Herlan, Irwan, Ridwan, Haryanto, Ari, Izzudin, Beni, Fuka,

Khafidz, Nova, Fenny, Achi, Gita, Rischa, Mega (terimakasih atas kebersamaannya),

10. teman-teman mahasiswa Matematika angkatan 45 (terimakasih atas doa, dukungan

semangatnya serta kebersamaannya selama 3 tahun),

11. kakak-kakak Matematika angkatan 43, dan 44 yang menjadi cermin untuk menjadi

pribadi yang lebih baik,

12. adik-adik Matematika angkatan 46 dan 47 yang terus mendukung agar berkembang,

13. Gumatika Ceria, Gumakusi dan IKMP yang menunjukkan sebuah hal yang baru,

14. semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya bidang

matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya.

Bogor, Januari 2013

Yusufi Arbi

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Tiakar Sumatera Barat, pada tanggal 30 Desember 1989 dari Bapak

H. Aldiwarman dan Ibu Nirmeli. Penulis merupakan putra Sulung dari tiga bersaudara.

Pada tahun 1996 penulis lulus dari TK Aisyiah Anding, tahun 2002 penulis lulus dari SD

Negeri 43 Tiakar, tahun 2005 penulis lulus dari SMP Negeri 1 Kecamatan Guguak, tahun 2008

penulis lulus dari SMA Negeri 1 Kecamatan Guguak. Penulis diterima sebagai mahasiswa Institut

Pertanian Bogor pada tahun 2008 melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI), Tingkat

Persiapan Bersama. Pada tahun 2009, penulis memilih mayor Matematika pada Departemen

Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Metode Statistika dan

Pemograman Linear (S1) pada tahun akademik 2010-2011. Tahun 2008-2009 penulis

mendapatkan beasiswa POM (Persatuan Orng tua Mahasiswa) dari Institut Pertanian Bogor dan

Beasiswa Bank Indonesia pada tahun 2011-2012.

Penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan di kampus, seperti organisasi himpunan profesi

Departemen Matematika yang dikenal dengan GUMATIKA (Gugus Mahasiswa Matematika)

sebagai Staf Divisi Sosial Komunikasi tahun 2009-2010 dan sebagai Ketua organisasi mahasiswa

daerah Payakumbuh yang dikenal dengan IKMP (Ikatan Kekeluargaan Mahasiswa Payakumbuh).

Penulis juga aktif dalam organisasi komunitas GEN BI (Generasi Baru Indonesia) yang dibentuk

oleh Bank Indonesia pada tahun 2011-2013.

Penulis pernah mendapatkan penghargaan yaitu juara favorit lomba perkusi SPIRIT 2011,

juara 1 bulutangkis G-5 League tahun 2010, 2011 dan 2012, juara 1 bulutangkis Olimpiade

Mahasiswa Minang tahun 2012, juara 1 bulutangkis Olimpiade IKMP dan juara 2 bulutangkis

KEJURDA UNPAD.

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ........................................................................................................................ ix

DAFTAR GAMBAR ................................................................................................................... ix

DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................................................ ix

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang .................................................................................................................. 1

1.2 Tujuan Penulisan .............................................................................................................. 1

II LANDASAN TEORI

2.1 Pengukuran Risiko Operasional ........................................................................................ 2

2.2 Percobaan Acak, Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang .................................................. 2

2.3 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ...................................................................................... 2

2.4 Nilai Harapan, Ragam dan Momen ................................................................................... 4

2.5 Proses Stokastik ................................................................................................................. 4

2.6 Metode Konvolusi ............................................................................................................. 5

III PEMBAHASAN

3.1 Distribusi Total Kerugian .................................................................................................. 7

3.2 Proses Compound Poisson ................................................................................................. 8

3.3 Sifat Sebaran Compound Poisson ..................................................................................... 11

3.3 Pendekatan Distribusi Total Klaim .................................................................................... 12

3.3 Pengukuran Risiko Operasional Klaim .............................................................................. 13

IV SIMPULAN ............................................................................................................................. 16

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................. 17

LAMPIRAN ........................................................................................................................... 18

viii

DAFTAR TABEL

Halaman

1 Nilai OpVaR pada tingkat kepercayaan 99% dan 95% (hasil dalam sepuluh ribuan) .......... 14

2 Statistik simulasi dengan 100 kali ulangan ........................................................................... 15

3 Simulasi ulangan ke-1 ........................................................................................................... 20

DAFTAR GAMBAR

Halaman

1 Nilai OpVaR pada tingkat kepercayaan 99% dan 95%. .................................................... 15

2 Grafik simulasi total kerugian pada ulangan pertama dengan n = 10.000

(hasil dalam sepuluh ribuan). .............................................................................................. 21

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

1 Sifat-sifat fungsi pembangkit momen ................................................................................. 19

2 Hasil simulasi dengan MATLAB ...................................................................................... 20

3 Grafik simulasi total kerugian pada ulangan pertama dengan n = 10.000

(hasil dalam sepuluh ribuan). ............................................................................................. 21

ix

1

I PENDAHULUAN

1.1 Latar belakang

Sektor jasa keuangan merupakan salah

satu sektor industri yang sering menghadapi

hambatan strategis. Industri keuangan

menghadapi perubahan peraturan seiring

dengan perkembangan teknologi. Asuransi

sebagai institusi keuangan yang sedang

berkembang saat ini dalam menjalankan

aktivitasnya juga dihadapkan pada risiko,

karena pada dasarnya risiko selalu melekat

pada seluruh aktivitas perusahaan. Besarnya

risiko dalam suatu perusahaan pada

hakikatnya menunjukkan besarnya potensi

masalah oleh perusahaan tersebut.

Salah satu risiko yang belum banyak

diketahui karakteristiknya dibandingkan

beberapa risiko lainnya adalah risiko

operasional. Risiko operasional adalah risiko

yang antara lain disebabkan oleh adanya

ketidakcukupan atau tidak berfungsi proses

internal, kesalahan manusia, kegagalan sistem,

atau adanya masalah eksternal yang

mempengaruhi operasional perusahaan.

Meskipun terlihat sederhana, jika tidak

dikelola dengan baik risiko ini akan

menimbulkan dampak yang besar. Menurut

BASEL II (peraturan perbankan internasional)

ukuran besarnya risiko operasional

(Operational Value at Risk) disingkat dengan

OpVaR.

BASEL II memberikan beberapa metode

pengukuran risiko operasional, di antaranya

Basic Indicator Approach (pendekatan

indikator dasar), Standardized Approach

(pendekatan standar) dan Advance

Measurement Approach (pendekatan

pengukuran lanjutan). Pada dua metode

pertama mensyaratkan sebaran normal,

padahal dalam kenyataannya kerugian

seringkali menyebar tidak normal (Situngkir

dan Surya 2006). Oleh karena itu, dalam

peraturan BASEL II ini diperbolehkan

menggunakan metode alternatif (pendekatan

pengukuran lanjutan). Salah satu teknik yang

digunakan yaitu Loss Distribution Approach

(pendekatan distribusi kerugian) yang

dipercaya sangat relevan dalam pengukuran

risiko operasional pada perusahaan asuransi.

Pencatatan kerugian operasional

khususnya di perusahaan asuransi, masih

belum terlaksana dengan baik sehingga

berdampak pada terbatasnya data untuk

kerugian dalam risiko operasional. Pada karya

ilmiah ini data kerugian operasional yang

diamati diperoleh dari pembayaran klaim.

Secara umum, klaim asuransi dapat

dimodelkan dengan menggunakan sebaran

yang memiliki sifat yang sama seperti sebaran

Poisson, di mana nilai harapan dari klaim

sama dengan ragamnya dan sebaran binomial

negatif, di mana nilai harapan lebih kecil dari

ragamnya.

1.2 Tujuan

Tujuan dari karya ilmiah ini yaitu:

1. Mempelajari karakteristik statistik risiko

operasional (OpVaR) pada perusahaan

asuransi.

2. Menentukan nilai risiko operasional

dengan metode agregat.

2

II LANDASAN TEORI

2.1 Pengukuran Risiko Operasional

Terdapat beberapa pendekatan untuk

mengukur risiko operasional sebagaimana

yang disarankan oleh lembaga keuangan

internasional (Bank for International

Settlement, BIS) yaitu:

a. Pendekatan indikator dasar.

b. Pendekatan standar.

c. Pendekatan pengukuran lanjutan.

Pada dua pendekatan pertama, lembaga

keuangan internasional (BIS) telah

menentukan standar baku perhitungan risiko

operasionalnya, sementara untuk pendekatan

pengukuran lanjutan, lembaga keuangan

internasional (BIS) menyerahkan pada

internal bank atau perusahaan untuk

perhitungannya, dengan syarat metode ini

memenuhi kriteria kelayakan perhitungan.

Salah satu teknik dari pendekatan

pengukuran lanjutan adalah pendekatan

distribusi kerugian. Pendekatan distribusi

kerugian didasarkan pada data kerugian

operasional internal. Data kerugian

operasional dikelompokkan dalam distribusi

frekuensi kejadian atau events dan distribusi

severitas (besarnya kerugian operasional).

Distribusi data frekuensi kejadian operasional

merupakan distribusi yang bersifat diskret dan

proses stokastik data umumnya mengikuti

distribusi Poisson. Sedangkan distribusi data

severitas kerugian operasional merupakan

distribusi yang bersifat kontinu. Distribusi

severitas kerugian operasional umumnya

mengikuti karakteristik distribusi eksponensial

(Muslich 2007).

Alat analisis yang digunakan dalam

pengukuran potensi kerugian adalah

pendekatan distribusi kerugian dengan metode

agregat. Dalam metode agregat, data kerugian

operasional didistribusikan dalam distribusi

frekuensi dan severitas. Dengan dua jenis

distribusi frekuensi dan severitas tersebut,

distribusi total kerugian operasional tinggal

menggabungkannya menjadi satu distribusi

total kerugian. Distribusi total kerugian ini

yang kemudian digunakan untuk

memproyeksikan potensi kerugian risiko

operasional.

2.2 Percobaan Acak, Ruang Contoh,

Kejadian, dan Peluang

Definisi 1 (Percobaan Acak)

Percobaan acak adalah percobaan yang

dapat dilakukan berulang-ulang dalam kondisi

yang sama. Semua kemungkinan hasil yang

akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada

percobaan berikutnya tidak dapat ditebak

dengan tepat.

(Hogg et al. 2005)

Definisi 2 (Ruang Contoh)

Ruang contoh adalah himpunan semua hasil

yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan

dinotasikan dengan Ω.

(Grimmet dan Stirzaker 1992)

Definisi 3 (Kejadian) Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari

ruang contoh Ω.

(Grimmet dan Stirzaker 1992)

Definisi 4 (Kejadian Saling Lepas)

Kejadian A dan B disebut saling lepas jika

irisan dari keduanya adalah himpunan kosong

( .

(Grimmet dan Stirzaker 1992)

Definisi 5 (Medan- )

Medan- adalah suatu himpunan yang

anggotanya terdiri atas himpunan bagian

ruang contoh , yang memenuhi syarat

berikut:

1. .

2. Jika , maka 3. Jika , maka ⋃

(Grimmet dan Stirzaker 1992)

Definisi 6 (Ukuran Peluang)

Ukuran peluang P pada ( merupakan

fungsi yang memenuhi:

1. ( ( 2. bersifat aditif tak hingga, yaitu jika

dengan

maka

( ∑ (

Pasangan ( disebut ruang peluang.

(Grimmet dan Stirzaker 1992)

2.3 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran

Definisi 7 (Peubah Acak)

Misalkan Ω adalah ruang contoh dari suatu

percobaan acak. Fungsi terdefinisi pada

yang memetakan setiap unsur ke satu

dan hanya satu bilangan real (

disebut peubah acak.

Ruang dari adalah himpunan bagian

bilangan real ( . (Hogg et al. 2005)

3

Catatan :

Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital,

misalnya sedangkan nilai peubah acak

dinotasikan dengan huruf kecil seperti

Definisi 8 (Fungsi Sebaran)

Misalkan adalah peubah acak dengan ruang

. Misalkan kejadian ( ,

maka peluang dari kejadian adalah

( ( Fungsi disebut fungsi sebaran dari peubah

acak (Hogg et al. 2005)

Definisi 9 (Peubah Acak Diskret)

Peubah acak dikatakan diskret jika nilainya

hanya berada pada himpunan bagian yang

terhitung dari .

(Grimmet dan Stirzaker 1992)

Catatan :

Suatu himpunan bilangan disebut terhitung

jika terdiri atas terhingga bilangan atau

dapat dikorespondensikan 1-1 dengan

bilangan bulat positif.

Definisi 10 (Peubah Acak Kontinu)

Peubah acak dikatakan kontinu jika fungsi

sebarannya dapat diekspresikan sebagai

( ∫ (

,

untuk suatu fungsi yang dapat

diintegralkan. Selanjutnya fungsi

disebut fungsi kepekatan peluang (probability

density function) bagi (Hogg et al. 2005)

Definisi 11 (Fungsi Massa Peluang)

Fungsi massa peluang dari peubah acak

diskret adalah fungsi yang

diberikan oleh : ( ( (Hogg et al. 2005)

Definisi 12 (Fungsi Kepekatan Peluang

Bersyarat)

Misalkan dan adalah peubah acak

kontinu, yang menyebar bersama dengan

fungsi kepekatan peluang bersama dan

fungsi kepekatan peluang marginal dari

adalah

( Fungsi kepekatan peluang

bersyarat dari dengan syarat adalah

( (

( .

(Grimmet dan Stirzaker 1992)

Definisi 13 (Kejadian Saling Bebas)

Misalkan kejadian tidak memengaruhi

kejadian dengan peluang (

sedemikian sehingga peluang bersyarat jika

diketahui adalah

( ( maka kejadian dan dikatakan saling

bebas. Kemudian dapat diperoleh peluang

bersamanya

( ( (

( ( dan untuk ( peluang bersyarat

jika diketahui adalah

( (

( (

(Grimmet dan Stirzaker 1992)

Definisi 14 (Peubah Acak Binomial Negatif)

Peubah acak dikatakan menyebar binomial

negatif dengan parameter ( dan jika memiliki fungsi

massa peluang

( (

) (

(Grimmet dan Stirzaker 1992)

Definisi 15 (Peubah Acak Poisson)

Peubah acak dikatakan menyebar Poisson

dengan parameter , jika memiliki fungsi

massa peluang

( (

dengan .

(Hogg et al. 2005)

Definisi 16 (Sebaran Multinomial)

Peubah acak diskret disebut

menyebar multinomial dengan parameter

dan adalah bilangan bulat

positif, untuk semua

dan jika fungsi massa

peluangnya

( =

,

(

(Hogg et al. 2005)

Definisi 17 (Peubah Acak Eksponensial)

Suatu peubah acak disebut peubah acak

eksponensial dengan parameter jika

nilainya terletak pada dan memiliki

fungsi kepekatan peluang

( (Grimmet dan Stirzaker 1992)

4

Definisi 18 (Peubah Acak Gamma)

Suatu peubah acak kontinu dikatakan

menyebar Gamma ( , jika fungsi

kepekatan peluangnya diberikan oleh

(

⁄

(

dengan dan ( , di mana

( ∫

(Hogg et al. 2005)

2.4 Nilai Harapan, Ragam dan Momen

Definisi 19 (Nilai Harapan)

i. Jika adalah peubah acak diskret dengan

fungsi massa peluang ( maka nilai

harapan , dinotasikan dengan ( adalah

( ∑ ( asalkan jumlah di atas konvergen mutlak.

ii. Jika adalah peubah acak kontinu

dengan fungsi kepekatan peluang ( maka nilai harapan dari , dinotasikan

dengan ( adalah

( ∫ (

asalkan integral di atas konvergen. Jika

integral di atas divergen, maka nilai

harapan dari tidak ada.

(Hogg et al. 2005)

Definisi 20 (Ragam)

Ragam dari peubah acak adalah nilai

harapan kuadrat selisih antara dengan nilai

harapannya. Secara matematis dapat

dituliskan sebagai

( ( (

jika nilai harapannya ada. Jika nilai

harapannya tidak ada, maka ragam dari

peubah acak tidak ada.

(Hogg et al. 2005)

Definisi 21 (Momen)

a) Jika adalah peubah acak diskret dengan

fungsi massa peluang ( maka

momen ke- atau dari ,

didefinisikan sebagai

(

∑

(

jika jumlah di atas konvergen. Jika

jumlah di atas divergen, momen ke- dari

peubah acak tidak ada.

b) Jika adalah peubah acak kontinu

dengan fungsi kepekatan peluang (

maka momen ke- dari didefinisikan

sebagai

( ∫

(

jika integral di atas konvergen. Jika

integral di atas divergen, maka momen

ke- dari peubah acak tidak ada.

(Grimmet dan Stirzaker 1992)

Definisi 22 (Fungsi Pembangkit Momen)

Fungsi pembangkit momen dari suatu peubah

acak didefinisikan sebagai

( ( untuk sehingga nilai harapan di atas

ada.

Fungsi pembangkit momen mempunyai sifat-

sifat sebagai berikut:

1. ( ( (

2. Jika mempunyai fungsi pembangkit

momen ( dan maka

mempunyai fungsi pembangkit momen

( ( 3. Jika dan peubah acak yang saling

bebas dengan fungsi pembangkit momen

dan maka mempunyai

fungsi pembangkit momen

( ( ( Bukti sifat 1, 2 dan 3 di lampiran 1.

(Grimmet dan Stirzaker 1992)

2.5 Proses Stokastik

Definisi 23 (Proses Stokastik)

Proses stokastik (stochastic process)

( adalah koleksi dari peubah acak.

Untuk setiap dalam indeks , (

merupakan peubah acak. Jika menyatakan

waktu , maka ( menyatakan kondisi proses

saat . Jika T merupakan himpunan indeks

terhitung maka, ( disebut proses

stokastik waktu diskret dan jika T kontinu,

maka ( disebut proses stokastik

waktu kontinu.

(Ross 1996)

Definisi 24 (Proses Pencacahan)

Suatu proses stokastik ( disebut

sebagai proses pencacahan (counting process)

jika ( menyatakan banyaknya kejadian

yang terjadi dalam selang waktu [0,t] dan

( harus memenuhi:

i. ( ii. ( bernilai bulat.

iii. Jika maka ( (

5

iv. Untuk ( ( menyatakan

banyaknya kejadian yang terjadi dalam

selang waktu ( . (Ross 1996)

Definisi 25 (Proses Poisson)

Suatu proses pencacahan ( disebut proses Poisson (Poisson process)

dengan laju , jika:

(i) ( (ii) Proses memiliki kenaikan bebas.

(iii) Banyaknya kejadian yang terjadi dalam

setiap selang waktu sepanjang

menyebar Poisson dengan nilai harapan

. Sehingga untuk semua

berlaku

( (

(

untuk

(Ross 1996)

Definisi 26 (Proses Poisson Majemuk)

Suatu proses stokastik ( disebut

sebagai proses Poisson majemuk (compound

Poisson process), jika dapat dinyatakan

sebagai

( ∑

(

dengan ( adalah proses Poisson

dengan laju , dan adalah suatu

barisan peubah acak independent and

identically distribution (i.i.d) dengan suau

fungsi sebaran , yang juga bebas terhadap

( (Ross 1996)

2.6 Metode Konvolusi

Metode Konvolusi Untuk Dua Peubah

Acak

Misalkan dan adalah dua peubah

acak yang saling bebas. Jumlah keduanya

didefinisikan sebagai :

Untuk mencari fungsi distribusi dari ,

yaitu , adalah sebagai berikut :

Ambil dan

Garis dan daerah di bawah garis

itu merupakan daerah ( ( ( .

Untuk dan yang diskret dan non

negatif maka menurut hukum peluang total :

( (

∑ ( (

∑ ( (

Karena dan saling bebas maka

( ∑ (

( (

sehingga fungsi peluang yang berkaitan

dengan fungsi distribusi ini adalah :

(

∑

( (

∑

( (

=∑ (

(

Pernyataan (2.6.1) tersebut merupakan

konvolusi dari dua peubah acak diskret.

Untuk dan peubah acak kontinu

dan non negatif maka fungsi distribusi dari

analog dengan peubah acak diskret, tetapi

tanda ∑ diganti dengan tanda ∫ , sehingga

didapat :

( ∫ (

(

( ∫ (

(

Pernyataan di atas merupakan konvolusi dua

peubah kontinu.

Notasi konvolusi untuk dua peubah acak

adalah : ( ( (

Metode Konvolusi Secara Umum

Dalam menentukan distribusi jumlah dari

peubah acak dapat digunakan proses

konvolusi secara rekursif atau berulang-ulang.

Misalkan peubah-peubah

acak yang saling bebas dan non negatif yang

menyatakan uang klaim dalam suatu polis

asuransi. Jumlah uang klaim dari polis

tersebut dilambangkan dengan :

merupakan peubah acak yang saling

bebas merupakan fungsi peluang dari

( merupakan fungsi distribusi dari

.

Untuk model ini berlaku : 𝑋

𝑋 𝑆 𝑋 𝑋

6

1. Dalam hal tepat dua peubah acak klaim,

jika salah satu uang klaim dinotasikan

dengan , maka kemungkinan bahwa

uang klaim bernilai adalah (

dengan demikian

( ( ( 2. Jika salah satu uang klaim mempunyai

nilai , maka kemungkinan total uang

dua klaim yang kurang dari atau sama

dengan adalah sama dengan

kemungkinan uang klaim lain yang

kurang dari atau sama dengan (

atau dengan kata lain

( (

Notasinya adalah ( (

3. Dengan demikian kemungkinan untuk

dua uang klaim adalah

( ( (

4. Untuk suatu nilai tertentu, bernilai

antara 0 dan maka

( ( ∑ ( ( (

5. Untuk tepat tiga peubah acak klaim, di

mana salah satu uang bernilai dan

besar untuk dua klaim yang lain bernilai

( maka

( ( ∑ ( ( (

6. Untuk tepat empat peubah acak klaim

( ( ∑ ( ( (

Sehingga untuk peubah acak klaim

( ( ∑ ( ( (

Untuk memudahkan, maka konvolusi

peubah acak dinotasikan sebagai berikut:

( ( (

jika ( mempunyai distribusi

yang sama, misal maka distribusi jumlahnya

dilambangkan .

Apabila diasumsikan bahwa banyaknya

peubah acak misalnya dan saling bebas

terhadap atau terhadap , dalam hal seperti

ini dapat dicari fungsi distribusi dari ( (

∑ (

(

∑ (

(

Karena dan saling bebas maka (

menjadi :

∑ ( ( (

(

Untuk ( yang

berdistribusi sama maka:

( ∑ (

dengan

∑ ( ( (

(Ester 1998)

2.7 Value at Risk (VaR)

Value at risk adalah pengukuran suatu risiko

yang dilakukan secara kuantitatif dengan

memperkirakan potensi maksimum kerugian

yang mungkin terjadi dengan suatu tingkat

keyakinan tertentu.

(Jorion 2001)

7

III PEMBAHASAN

Pada hakikatnya, risiko dalam sektor

keuangan dibagi menjadi tiga bagian yaitu

risiko pasar, risiko kredit dan risiko

operasional. Risiko operasional, tidak

sebagaimana dengan risiko pasar dan risiko

kredit, terjadi pada setiap orang yang ada

dalam perusahaan karena orang merupakan

salah satu sumber dari risiko operasional.

Risiko operasional mempunyai dimensi yang

luas dan kompleks dengan sumber risiko yang

merupakan gabungan dari berbagai sumber

yang ada dalam organisasi, proses dan

kebijakan, sistem dan teknologi, orang dan

faktor lainnya (Muslich 2007).

Pencatatan kerugian operasional,

khususnya di perusahaan asuransi masih

belum terlaksana dengan baik sehingga

berdampak pada terbatasnya data untuk

kerugian dalam risiko operasional. Oleh

karena itu pada karya ilmiah ini data kerugian

operasional yang diamati diperoleh dari

pembayaran klaim.

Metode pengukuran risiko operasional

yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah

metode alternatif (pendekatan pengukuran

lanjutan). Salah satu teknik yang digunakan

yaitu pendekatan distribusi kerugian dengan

metode agregat yang dipercaya sangat relevan

dalam pengukuran risiko operasional pada

perusahaan asuransi (McNeil et al. 2005).

Berikut ini adalah bentuk dari model risiko

pada pendekatan distribusi kerugian:

Misalkan :

banyaknya klaim yang dihasilkan dari

portofolio polis pada waktu tertentu.

= besarnya klaim ke- Sehingga model dari total kerugian risiko

operasional dapat dituliskan sebagai berikut

. (1) Model ini sering disebut juga model

risiko kolektif Secara umum model (1)

merepresentasikan klaim secara keseluruhan

dari portofolio pada waktu tertentu. Peubah

acak menyatakan banyaknya klaim dan erat

kaitan dengan frekuensi klaim. Peubah acak

menyatakan besarnya klaim ke- . Agar model lebih mudah diselesaikan maka

diperlukan asumsi berikut

(i) Peubah acak dan ( ) saling

bebas.

(ii) Peubah acak saling bebas.

(iii) Peubah acak memiliki

sebaran yang sama.

(Bowers et al. 1997)

3.1 Distribusi Total Kerugian

Distribusi total klaim dalam periode

waktu tertentu dapat diperoleh dari distribusi

banyaknya klaim dan distribusi besar klaim

individu .

Misalkan merupakan peubah acak yang

menyatakan besarnya klaim. Diketahui fungsi

distribusi adalah . Bila terjadi klaim

sebanyak maka besarnya total klaim adalah

dan distribusi dinyatakan

dengan ( .

Momen ke-k = . Fungsi pembangkit momen dari

( Fungsi pembangkit momen dari

( Fungsi pembangkit momen dari

( Untuk menentukan nilai harapan dan

ragam dari maka diperlukan dua teorema

berikut

Teorema 1

Misalkan ( adalah peubah acak dua

dimensi maka nilai harapan dari dapat

ditentukan lewat nilai harapan dengan

syarat sebagai berikut :

.

Bukti (Teorema 1)

Jika dan adalah peubah acak diskret,

maka

[ ] ∑ (

∑ ∑ ( (

∑ ∑ (

( (

∑ ∑ (

∑ ∑ (

∑ (

Jika dan adalah peubah acak kontinu,

maka

∫ (

∫ ∫ (

(

8

∫ ∫ (

(

(

∫ ∫

(

∫ ∫ (

∫ (

Jadi, terbukti .

Teorema 2

Misalkan ( adalah peubah acak dua

dimensi maka:

[ ]

Bukti (Teorema 2)

(

[ ] ( ]

( ( (

( ( (

( ( [ ]

[ ] Jadi terbukti

[ ] [ ]

Atas dasar Teorema 1 dan Teorema 2 dan

dalam kaitannya dengan ketiga asumsi yang

digunakan, maka diperoleh nilai harapan dari :

(2)

Bukti (2)

dan ragam :

(3)

Bukti (3)

[ ] [ ]

[ ]

di mana

Selanjutnya akan diperlihatkan rumus

fungsi pembangkit momen dari .

( ( ( ( (4)

Bukti (4)

(

[ ( ]

[ ]

karena saling bebas, maka

( [ ]

dan berdistribusi identik, diperoleh:

( (

( ( ( (

Selanjutnya untuk menentukan fungsi

distribusi dari dapat dilihat sebagai berikut:

( (

∑ (

(

∑ (

(

Menurut operasi konvolusi untuk risiko

kolektif dan sesuai dengan asumsi

berdistribusi sama ,

( ∑ (

(

Jika distribusi besarnya klaim individu

adalah diskret dengan fungsi probabilitas

( ( maka distribusi dari total

klaim juga diskret, sehingga fungsi

probabilitas dari dapat diperoleh sebagai

berikut :

(

∑ (

( ∑ ( (

(

3.2 Proses Compound Poisson

Pada umumnya, sebaran dari peubah acak

(banyaknya klaim) adalah sebaran Poisson

dengan fungsi massa peluang

(

(

dengan Nilai harapan dan ragam dari sebaran Poisson

berturut-turut adalah

Misalkan dan merupakan nilai harapan

dan momen ke-2 dari , dapat dinyatakan

dan Jika peubah acak (banyaknya klaim)

memiliki sebaran Poisson, maka peubah acak

pada persamaan (1) memiliki sebaran

9

compound Poisson. Sehingga, nilai harapan

dan ragam dari sebaran compound Poisson

adalah

(8)

dan

(9)

Bukti (8)

Diketahui S= + +…+ , dengan , ,…

menyebar i.i.d dan menyebar Poisson.

Akan dibuktikan .

(

(∑

∑ [∑

] (

∑ [∑

] (

∑ [∑ (

] (

∑ (

∑ (

(

Bukti (9)

Diketahui S= + +…+ , dengan , ,…

menyebar i.i.d dan menyebar Poisson.

Akan dibuktikan : .

(

((∑

∑ *(∑

)

+ (

∑ ∑ ( )

∑ ∑ (

(

(

∑ ( ) ( (

(

∑ (

( ∑( (

( (

(

( (

(

( (

( (

( (

( ( (

( ( (

( (

(

( ( (

( ( (

Fungsi pembangkit momen untuk sebaran

Poisson yaitu:

( (

Dengan mensubstitusikan fungsi

pembangkit momen Poisson diperoleh

persamaan berikut

(

(

( (10)

( (

Sehingga, fungsi pembangkit momen untuk

sebaran compound Poisson dapat dituliskan

sebagai berikut:

( (

( (

( ( ( (11)

Sebaran Poisson hanya dapat dipakai jika

nilai ragamnya sama dengan nilai harapannya.

Namun jika nilai ragam dari banyaknya

kerugian lebih besar dari nilai harapannya

maka sebaran yang digunakan untuk peubah

acak N (banyaknya klaim) adalah sebaran

binomial negatif dengan fungsi massa peluang

( (

)

(12)

dengan

.

Nilai harapan dan ragam dari sebaran

binomial negatif berturut-turut sebagai berikut

10

Misalkan dan berturut-turut merupakan

nilai harapan dan momen ke-2 dari , dapat

dinyatakan

Jika peubah acak (banyaknya klaim)

memiliki sebaran binomial negatif maka

peubah acak S pada persamaan (1) memiliki

sebaran compound binomial negatif.

Sehingga, diperoleh nilai harapan dan ragam

dari sebaran compound binomial negatif

sebagai berikut

(13)

dan

(14)

Bukti (13)

Diketahui: dengan

menyebar i.i.d dan menyebar

binomial negatif.

Akan dibuktikan :

.

(

(∑

∑ [∑

]

(

∑ [∑

] (

∑ [∑ (

]

(

∑

(

∑ (

Bukti (14)

Diketahui: dengan

menyebar i.i.d dan menyebar

binomial negatif

Akan dibuktikan:

(

((∑

)

| )

∑ *(∑

)

| +

(

∑

[ ∑ (

)

∑∑ ( ( )

]

(

∑[ ( ) ( (

]

(

∑ (

( ∑( (

(

(

(

(

(

(

(

(

( (

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

( ( (

(

( (

(

(

Fungsi pembangkit momen untuk sebaran

binomial negatif adalah :

11

( (

)

Dengan mensubstitusikan fungsi

pembangkit momen binomial negatif pada

persamaan (4) maka diperoleh fungsi

pembangkit momen untuk sebaran compound

binomial negatif adalah sebagai berikut:

( ( (

(

( )

( (

( (15)

3.3 Sifat Sebaran Compound Poisson

Sebaran compound Poisson memiliki dua

sifat, yaitu:

1. Jika setiap peubah acak menyebar

compound Poisson, maka jumlah dari

peubah acak tersebut juga menyebar

compound Poisson.

2. Jika peubah acak S dinyatakan

S= N1+ N2+…+ maka peubah acak S memiliki sebaran

compound Poisson

Berikut akan dijelaskan lebih lanjut sifat-

sifat dari sebaran compound Poisson.

1. Jika setiap peubah acak menyebar

compound Poisson, maka jumlah dari

peubah acak tersebut juga menyebar

compound Poisson

( ∏ (

∑ (

( ( ∑

( ) (

untuk lebih jelasnya maka sifat 1 dirangkum

dalam Teorema 3 berikut :

Teorema 3

Jika peubah acak saling bebas,

dan menyebar compound Poisson dengan

parameter dan fungsi kepekatan peluang

dari kerugian ( , maka

, menyebar compound

Poisson dengan

∑ (

( ∑

( (

Bukti (Teorema 3)

Diketahui :

( Berdasarkan persamaan (10), maka

( ( ( (

Akan dibuktikan

( maka

( ( ∑

( (

( ( (

(

( ( (

(

( (

∏ (

∏ ( ( (

∑ ( (

( ( [∑

( ( ]) (

Persamaan di atas merepresentasikan dua

peranan penting dalam memodelkan klaim.

Pertama, jika portofolio menyebar

compound Poisson dan saling bebas, maka

klaim majemuk dari portofolio yang

dikombinasikan juga menyebar compound

Poisson. Kedua, misal sebuah portofolio

tunggal dengan jangka waktu tahun.

Diasumsikan klaim agregat tahunan untuk

jangka waktu tahun dan klaim majemuk

tiap tahun saling bebas dan menyebar

compound Poisson. Sebaran tahunan untuk

klaim majemuk tidak harus selalu sama.

Menurut Teorema 3, total klaim untuk jangka

waktu tahun menyebar compound Poisson.

2. Jika peubah acak S dinyatakan

maka peubah acak S memiliki sebaran

compound Poisson.

Misalkan

merupakan peubah acak diskret

dari sejumlah kerugian (klaim).

( , ( merupakan peluang untuk

setiap . (20)

12

peubah acak yang menyatakan

banyaknya klaim.

Peubah acak dinyatakan sebagai

(21)

Menurut Teorema 4 berikut, peubah acak S

menyebar compound Poisson. Namun, untuk

dapat menggunakan Teorema 4 diperlukan

pemahaman dasar mengenai sebaran

multinomial.

Teorema 4

Jika peubah acak S seperti pada persamaan

(21) menyebar compound Poisson dengan

parameter dan fungsi peluang kerugian

(klaim) diskret seperti pada persamaan (20)

maka

saling bebas.

menyebar Poisson dengan parameter

Bukti (Teorema 4)

Diketahui :

∑

( ∑

Fungsi peluang dan pembangkit momen

untuk sebaran multinomial adalah

( (

[ (∑

)] (

Akan dibuktikan

( ( .

[ (∑

)] (∑

)

∑ [ (∑

) ]

(

∑(

( ∑(

( ∑( ∑

( ( ∑

( ∑ ( ∑

)

[ (∑

)] ∏ (

(22)

Fungsi pembangkit momen seperti

persamaaan (22) menunjukkan adanya

kebebasan untuk setiap Sehingga jika

dimisalkan maka fungsi pembangkit

momen pada persamaan (22) akan menjadi

( (

3.4 Pendekatan Distribusi Total Klaim

Terdapat dua pendekatan yang digunakan

untuk distribusi total klaim, yaitu pendekatan

normal dan pendekatan translasi Gamma.

Berikut akan dijelaskan lebih lanjut kedua

pendekatan tersebut.

Pendekatan Normal

Berdasarkan teorema limit pusat

perhatikan 2 hal berikut :

1. Jika memiliki distribusi Poisson

majemuk dengan parameter dan fungsi

distribusi yaitu ( maka peubah acak

√ , akan berdistribusi normal

baku bila . Dua parameter untuk

pendekatan normal ini adalah

dan

2. Jika mimiliki distribusi binomial

negatif mejemuk dengan parameter

dan fungsi distribusi yaitu ( maka

peubah acak (

√ (

) (

berdistribusi normal baku bila .

Dua parameter untuk pendekatan normal

ini adalah

dan

Pendekatan normal ini akan lebih baik

digunakan jika ekspektasi banyaknya klaim

yang terjadi besar atau dengan kata lain jika

besar untuk distribusi Poisson majemuk atau

jika besar untuk distribusi binomial

majemuk.

Karena distribusi normal adalah simetris

maka sebagai akibatnya sentral momen

ketiganya sama dengan nol atau dapat

dituliskan sebagai berikut ( . Bagaimanapun distribusi dari total klaim

seringkali tidak simetris atau miring, yang

berarti bahwa sentral momen ketiganya tidak

nol. Oleh karena itu diperlukan sebuah

pendekatan yang lebih umum untuk distribusi

total klaim tersebut. Untuk jenis pendekatan

13

yang kedua ini dilakukan pendekatan translasi

distribusi Gamma.

Pendekatan Translasi Gamma

Bila ( dinotasikan sebagai

fungsi distribusi Gamma dengan parameter

dan , maka

( ∫

(

Kemudian untuk suatu definisikan fungsi

distribusi baru dengan notasi ( ( yang merupakan translasi

distribusi Gamma ( terhadap .

Gambar di bawah menggambarkan tentang

( dengan dan ( dengan

dan di mana ( dan ( berturut-

turut menyatakan fungsi kepekatan peluang

dari ( dan ( Pada pendekatan translasi Gamma,

parameter dipilih dengan

menyamakan sentral momen pertama, sentral

momen kedua dan sentral momen ketiga dari

dengan sentral momen-sentral momen yang

berkaitan untuk translasi distribusi Gamma.

Oleh karena itu sentral momen dari translasi

distribusi Gamma standar maka :

(

Sehingga diperoleh :

(

(

(

(

(

Untuk distribusi Poisson majemuk, prosedur

di atas dengan ,

dan ( akan menghasilkan

parameter sebagai berikut :

(

)

(

)

(

)

3.5 Pengukuran Risiko Operasional Klaim

Pada dasarnya asuransi selalu berkaitan

dengan risiko. Klaim dari peserta asuransi

merupakan salah satu risiko yang harus

dikelola dengan baik. Agar perusahaan dapat

mengelola klaim dengan baik, diperlukan cara

untuk mengukur cadangan klaim tersebut.

Salah satu cara yang dapat digunakan untuk

mengukur cadangan klaim asuransi adalah

dengan menggunakan pendekatan pengukuran

lanjutan. Salah satu teknik yang digunakan

dalam pendekatan pengukuran lanjutan adalah

pendekatan distribusi kerugian dengan metode

agregat.

Pada awalnya pendekatan distribusi

kerugian merupakan bagian metodologi

pengukuran risiko operasional yang

dianjurkan pada industri keuangan. Pada

perkembangan selanjutnya, pendekatan

distribusi kerugian juga bisa diterapkan pada

industri asuransi.

Dalam metode agregat, data klaim

asuransi dibentuk dalam distribusi frekuensi

(banyaknya klaim) yang dapat memiliki

karakteristik distribusi Poisson, binomial,

binomial negatif atau geometrik; dan

distribusi severitas yang memiliki

karakteristik distribusi eksponensial, normal,

Pareto, Weibul dan beta.

Total klaim dari metode agregat ini

adalah pengabungan antara distribusi

frekuensi dan severitas. Distribusi total klaim

ini kemudian digunakan untuk

memproyeksikan potensi kerugian (risiko).

Kombinasi antara distribusi frekuensi klaim

dengan distribusi severitas (besarnya klaim)

dapat dihasilkan dengan menggunakan

simulasi.

Secara teoritis ada beberapa langkah yang

harus dilakukan dalam menghitung cadangan

klaim dengan pendekatan distribusi kerugian

dengan metode agregat. Langkah-langkah

tersebut adalah sebagai berikut

1. Pengumpulan data klaim asuransi.

2. Pengelompokan data klaim asuransi

berdasarkan distribusi dan severitas.

3. Menentukan jenis distribusi frekuensi dan

distribusi severitas.

4. Menentukan parameter dari distribusi

frekuensi dan distribusi severitas.

5. Simulasikan parameter frekuensi dan

parameter severitas dengan .

6. Hitung total kerugian dari pembayaran

klaim untuk setiap .

7. Mengurutkan severitas dari yang terbesar

sampai terkecil.

14

8. Menghitung unexpected loss (OpVaR

klaim asuransi).

9. Lakukan langkah 5, 6, 7 dan 8 sebanyak

100 kali untuk mendapatkan rata-rata dari

unexpected loss (potensi kerugian dari

klaim asuransi).

Tahap akhir adalah menghitung nilai

unexpected loss, dengan cara memilih tingkat

kepercayaan yang dikehendaki, misalnya 95%

atau 99%. Untuk 95% maka nilai unexpected

loss adalah 5%x10.000 (banyaknya simulasi)

=500, artinya data ke-500 adalah nilai

unexpected loss dengan tingkat kepercayaan

95%. Sedangkan tingkat kepercayaan 99%

dapat dilakukan hal yang sama yaitu data ke-

100 adalah nilai unexpected loss dengan

tingkat kepercayaan 99% atau dapat juga

dilakukan secara langsung dengan melihat

pada kolom aggregate quartile yang telah

diurutkan dari yang terbesar (99.99%) sampai

yang terkecil (0%).

Pada karya ilmiah ini data yang diperoleh

merupakan data hipotetik dari asuransi

kendaraan bermotor (frekuensi dan besarnya

klaim perhari). Oleh karena itu, langkah 1-4

pada perhitungan cadangan klaim tidak

dilakukan. Langkah berikutnya,

membangkitkan data dengan distribusi

frekuensi menyebar Poisson dengan

parameter 3,7 sebanyak n = 10.000 dan

membangkitkan data dengan distribusi

severitas menyebar eksponensial dengan

parameter 100,1 sebanyak data frekuensi yang

telah diperoleh untuk setiap n, di mana

. (Perhitungan langkah 5-8 ada di Lampiran 2),

(Grafik simulasi total kerugian ada di

lampiran 3).

Setelah langkah 5-8 dilakukan ulangan

sebanyak 100 kali, maka nilai OpVar (potensi

kerugian dari klaim asuransi) pada tingkat

kepercayaan 99% dan tingkat kepercayaan

95% dapat dirangkum dalam Tabel 1

sebagaimana berikut

Tabel 1 Nilai OpVaR pada tingkat kepercayaan 99% dan 95% (hasil dalam sepuluh ribuan)

No OpVaR

1%

OpVaR

5%

1 1179.57 884.5354

2 1168.349 879.2604

3 1213.011 901.2819

4 1237.793 894.3368

5 1192.684 875.2271

6 1179.725 890.2595

7 1188.218 882.4026

8 1226.822 890.0448

9 1195.007 883.7198

10 1214.221 882.5006

11 1189.816 880.665

12 1203.202 885.5937

13 1222.21 890.7483

14 1232.474 910.1382

15 1177.929 872.6123

16 1221.015 884.8501

17 1227.766 891.5545

18 1170.902 877.54

19 1224.003 894.2159

20 1177.923 880.8441

21 1180.832 883.5471

22 1204.792 880.52

No OpVaR

1%

OpVaR

5%

23 1221.216 899.9769

24 1207.817 899.5925

25 1204.295 896.8235

26 1183.913 886.8055

27 1191.17 889.5722

28 1228.467 896.3405

29 1187.943 880.6182

30 1205.715 899.7951

31 1201.839 895.5759

32 1199.738 891.8508

33 1221.709 886.914

34 1211.022 907.9345

35 1199.927 892.9434

36 1185.234 890.0127

37 1187.164 883.9179

38 1195.04 880.9543

39 1214.181 895.9373

40 1203.522 888.6066

41 1213.957 911.4763

42 1222.422 895.4111

43 1208.15 890.1353

44 1195.813 887.3214

No OpVaR

1%

OpVaR

5%

45 1215.03 891.581

46 1212.828 882.1126

47 1214.922 896.3549

48 1233.946 904.3978

49 1221.695 898.1123

50 1208.075 888.8549

51 1194.935 905.707

52 1210.044 885.6077

53 1201.926 899.5426

54 1202.596 912.2402

55 1196.574 868.687

56 1188.993 879.3129

57 1199.531 887.445

58 1176.336 878.6872

59 1213.119 904.6092

60 1220.926 897.3182

61 1225.44 892.5123

62 1185.417 885.3677

63 1199.336 888.9523

64 1204.964 901.0305

65 1199.361 896.374

66 1254.722 910.9214

15

No OpVaR

1%

OpVaR

5%

67 1243.561 889.6035

68 1202.311 875.0372

69 1165.936 866.7547

70 1217.812 891.7538

71 1212.552 879.9491

72 1213.443 890.924

73 1189.527 888.5262

74 1211.039 897.7229

75 1216.792 890.8233

76 1224.24 885.7001

77 1189.349 874.1484

78 1232.666 894.7878

No OpVaR

1%

OpVaR

5%

79 1217.254 881.723

80 1172.345 891.6238

81 1210.35 903.9724

82 1208.486 896.0464

83 1198.613 880.6819

84 1229.491 881.9569

85 1197.104 898.5799

86 1212.241 889.0343

87 1216.21 886.9924

88 1215.623 886.9123

89 1197.621 882.9609

90 1213.361 892.7376

No OpVaR

1%

OpVaR

5%

91 1205.714 884.3733

92 1205.714 884.3733

93 1226.738 896.0856

94 1197.84 883.3441

95 1213.06 878.8313

96 1221.839 906.2982

97 1183.92 887.4438

98 1182.508 884.1437

99 1182.483 890.1959

100 1213.982 885.7684

Gambar 1 Grafik Nilai OpVaR pada tingkat kepercayaan 99% dan 95%.

Dari Gambar 1 dan Tabel 2 dapat diperoleh

informasi berikut

Nilai unexpected loss klaim asuransi

kendaraan bermotor pada satu hari ke depan

dengan menggunakan pendekatan distribusi

kerugian dengan metode agregat pada

atau tingkat kepercayaan 99%

sebesar Rp 12.054.100,00. Artinya potensi

klaim asuransi kendaraan bermotor

maksimum dapat ditoleransi dengan tingkat

kepercayaan 99% pada satu hari mendatang

adalah sebesar Rp 12.054.100,00. Dengan

kata lain, besarnya cadangan klaim yang harus

disediakan perusahaan asuransi untuk

menutup klaim asuransi kendaraan bermotor

maksimal untuk 1 hari mendatang sebesar Rp

12.054.100,00.

Unexpected loss klaim asuransi

kendaraan bermotor dengan atau

tingkat kepercayaan 95% pada satu hari

kedepan sebesar Rp 8.898.045,00. Artinya

potensi klaim asuransi kendaraan bermotor

yang dapat ditolerir pada tingkat kepercayaan

95% pada satu hari ke depan adalah sebesar

Rp 8.898.045,00 sehingga perusahaan

asuransi harus menyediakan cadangan klaim

asuransi kendaraan bermotor pada satu hari ke

depan sebesar Rp 8.898.045,00.

Tabel 2 Statistik simulasi dengan 100 kali

ulangan

Nilai Statistik OpVaR

1%

OpVaR

5%

Mean 1205.41 889.8045

St dev 17.38954 9.297943

Max 1254.722 912.2402

Min 1165.936 866.7547

16

KESIMPULAN

1. Karakteristik statistik risiko operasional

pada perusahaan asuransi didasarkan pada

pemahaman tentang konsep risiko

kolektif sebagaimana berikut :

Distribusi total klaim dari sebuah polis

yang merupakan kejadian acak dapat

dicari dengan Teori Risiko dengan

terlebih dahulu menentukan bentuk

distribusi frekuensi (banyaknya klaim)

dan distribusi severitas (besarnya

klaim).

Distribusi total klaim dapat dihitung

dengan metode konvolusi, pendekatan

normal dan pendekatan translasi

Gamma.

Secara umum, banyaknya klaim

asuransi dapat dimodelkan dengan

menggunakan sebaran yang memiliki

sifat yang sama seperti sebaran

Poisson, di mana nilai harapan dari

klaim sama dengan ragamnya dan

sebaran binomial negatif, di mana

nilai harapan lebih kecil dari

ragamnya.

2. Berdasarkan asumsi bahwa data distribusi

frekuensi (banyaknya klaim) dan

distribusi severitas (besarnya klaim) yang

dibangkitkan secara berturut-turut

menyebar Poisson dengan parameter 3.7

dan eksponensial dengan parameter

100.1, maka diperoleh hasil perhitungan,

besarnya cadangan klaim (OpVaR) yang

harus disiapkan pada tingkat kepercayaan

99% dan 95% berturut-turut adalah Rp

12.054.100,00 dan Rp 8.898.045,00.

17

DAFTAR PUSTAKA

Bowers NL, Gerber HU, Hickman JC, Jones

DA, Nesbitt CJ. 1997. Actuarial

Mathematics. 2nd

Ed. The Society of

Actuaries. Schaumburg.

Ester D. 1998. Penentuan Distribusi Total

Klaim Dengan Menggunakan Teori

Resiko Kolektif [Skripsi]. Bogor:

Program Sarjana Institut Pertanian Bogor.

Grimmett GR, Stirzaker DR. 1992.

Probability and Random Processes. 2nd

Ed. Clarendon Press. Oxford.

Hogg RV, Craig AT, McKean JW. 2005.

Introduction to Mathematical Statistics.

6th

Ed. Prentice Hall, Englewood Clifft.

New Jersey.

Jorion P. 2001. Value at Risk: The New

Benchmark for Managing Financial Risk.

2nd

Ed. McGraw-Hill. California.

McNeil AJ, Frey R, Embrechts P. 2005.

Quantitative Risk Management. Princeton

University Press. New Jersey.

Muslich M. 2007. Manajemen Risiko

Operasional. Bumi Aksara. Jakarta.

Ross SM. 1996. Stochastic Processes. 2nd

Ed.

John Wiley & Sons. New York.

Situngkir H, Surya Y. 2006. Value at Risk

yang Memperhatikan Sifat Statistika

Distribusi Return. Working Paper

WPD2006 Bandung Fe Institute.

18

LAMPIRAN

19

Lampiran 1

Sifat-sifat fungsi pembangkit momen

1. ( (

(

Bukti :

* (

(

+

( (

(

(

(

( (

(

(

( (

( (

(

( (

( (

(

( (

.

.

(

( (

Jadi, sifat 1 terbukti

2. Jika mempunyai fungsi pembangkit momen ( dan maka mempunyai

fungsi pembangkit momen ( (

Bukti:

( (

(

(

( ( Jadi, sifat 2 terbukti

3. Jika dan peubah acak yang saling bebas dengan fungsi pembangkit momen dan

maka mempunyai fungsi pembangkit momen

( ( (

Bukti :

( (

(

(

( (

( ( ( Jadi, sifat 3 terbukti

20

Lampiran 2

Hasil simulasi dengan MATLAB A=poissrnd(3.7,10000,1)

for i=1:10000

t=exprnd(100.1,1,A(i,1));

end

Tabel 3 Simulasi Ulangan ke-1

.

.

.

.

.

.

No Frekuensi Kerugian 1 Kerugian 2 Kerugian 3 Kerugian 4 Kerugian 5 Kerugian 6 Kerugian 7 Kerugian 8 Kerugian 9 Kerugian 10 Kerugian 11 Kerugian 12 Kerugian 13 Kerugian Total Ordered Persen VaR

1 5 5.0457 8.0413 23.1193 93.4938 13.986 0 0 0 0 0 0 0 0 143.6861 1948.3899 99.99%

2 3 65.8565 203.4551 20.0091 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 289.3207 1921.2833 99.98%

3 2 19.3621 452.4478 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 471.8099 1920.2644 99.97%

4 4 47.8255 211.5232 154.9917 22.2161 0 0 0 0 0 0 0 0 0 436.5565 1770.7275 99.96%

5 4 14.7527 20.7861 31.1938 178.1929 0 0 0 0 0 0 0 0 0 244.9255 1711.3904 99.95%

6 3 3.1667 124.7104 14.2096 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 142.0867 1663.2138 99.94%

7 1 15.398 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15.398 1609.1271 99.93%

8 6 104.4604 153.8326 14.2267 341.1424 41.2291 44.636 0 0 0 0 0 0 0 699.5272 1587.8104 99.92%

97 4 55.7163 60.5005 10.6193 34.4785 0 0 0 0 0 0 0 0 0 161.3146 1181.9266 99.03%

98 4 179.0664 66.3966 477.6917 8.3538 0 0 0 0 0 0 0 0 0 731.5085 1180.7871 99.02%

99 5 198.3101 127.9621 43.8227 207.3776 59.2125 0 0 0 0 0 0 0 0 636.685 1179.8707 99.01%

100 3 128.2291 24.485 30.6656 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 183.3797 1179.5703 99.00%

101 5 65.4644 49.877 85.6666 65.0213 24.5484 0 0 0 0 0 0 0 0 290.5777 1178.7363 98.99%

102 6 491.2606 4.7118 53.2097 28.9946 26.1703 73.9797 0 0 0 0 0 0 0 678.3267 1177.5787 98.98%

497 4 147.5013 265.968 6.7058 164.8649 0 0 0 0 0 0 0 0 0 585.04 885.3075 95.03%

498 2 15.5431 9.412 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 24.9551 885.2725 95.02%

499 3 31.3395 71.6052 4.5724 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 107.5171 884.6715 95.01%

500 3 85.6542 271.2435 47.9712 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 404.8689 884.5354 95.00%

501 4 168.3572 26.9948 12.7358 2.6886 0 0 0 0 0 0 0 0 0 210.7764 884.128 94.99%

502 4 5.8258 36.1454 21.7016 32.4909 0 0 0 0 0 0 0 0 0 96.1637 882.9339 94.98%

9997 4 23.8452 9.8925 49.0538 10.3536 0 0 0 0 0 0 0 0 0 93.1451 0 0.03%

9998 1 151.8752 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 151.8752 0 0.02%

9999 4 89.1759 3.4962 162.5514 3.8562 0 0 0 0 0 0 0 0 0 259.0797 0 0.01%

10000 3 32.7752 220.3104 1.1139 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 254.1995 0 0.00%

21

Lampiran 3

Gambar 2 Grafik simulasi total kerugian pada ulangan pertama dengan n = 10.000 (hasil dalam sepuluh ribuan).

0

500

1000

1500

2000

2500

12

29

45

76

85

91

31

14

11

36

91

59

71

82

52

05

32

28

12

50

92

73

72

96

53

19

33

42

13

64

93

87

74

10

54

33

34

56

14

78

95

01

75

24

55

47

35

70

15

92

96

15

76

38

56

61

36

84

17

06

97

29

77

52

57

75

37

98

18

20

98

43

78

66

58

89

39

12

19

34

99

57

79

80

5

Kerugian Total