ANALISIS RUMUS TRIGONOMETRI

DALAM PENENTUAN ARAH KIBLAT

SKRIPSI

Diajukan untuk memenuhi tugas dan melengkapi syarat

guna memperoleh gelar Sarjana Pendidikan

dalam Ilmu Pendidikan Matematika

Oleh :

Susheri

083511028

FAKULTAS TARBIYAH

INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI WALISONGO

SEMARANG

2012

ii

PERNYATAAN KEASLIAN

Yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama : Susheri

NIM : 083511028

Jurusan/Program Studi : Tadris Matematika

menyatakan bahwa skripsi ini secara keseluruhan adalah hasil penelitian/karya

saya sendiri, kecuali bagian tertentu yang dirujuk sumbernya.

Semarang, 28 Mei 2012

Saya yang menyatakan,

Susheri

NIM: 083511028

iii

PENGESAHAN

Naskah skripsi dengan:

Judul : Analisis Rumus Trigonometri dalam Penentuan Arah Kiblat

Nama : Susheri

NIM : 083511028

Jurusan : Tadris Matematika

Telah diujikan dalam sidang munaqosah oleh Dewan Penguji Fakultas Tarbiyah

IAIN Walisongo dan dapat diterima sebagai salah satu syarat memperoleh gelar

sarjana dalam Ilmu Pendidikan Matematika.

Semarang, 27 Juni 2012

DEWAN PENGUJI

iv

v

vi

ABSTRAK

Judul : Analisis Rumus trigonometri dalam penentuan arah kiblat

Penulis : Susheri

NIM : 083511028

Penelitian ini dilaksanakan untuk mengetahui rumus-rumus trigonometri

yang dipakai dalam teori penentuan arah kiblat dan mengetahui penerapan rumus-

rumus trigonometri dalam teori penentuan arah kiblat. Adapun rumusan

masalahnya; pertama, rumus apa sajakah yang digunakan dalam teori penentuan

arah kiblat. Kedua, bagaimanakah aplikasi/penerapan rumus trigonometri dalam

teori penentuan arah kiblat.

Penelitian ini adalah penelitian kepustakaan (Library Research). Penelitian

ini menelaah konsep trigonometri dalam aplikasinya pada teori penentuan arah

kiblat, yaitu teori trigonometri bola (Spherical Trygonometri), geodesi dan

navigasi. Teknik penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah

dokumentasi dengan melakukan penelusuran dan penelaahan dengan cara

membaca buku-buku yang terkait dengan penelitian ini. Adapun dalam teknik

analisis menggunakan logika induksi untuk memperoleh kesimpulan yang dapat

menjawab permasalahan dalam permasalahan ini.

Penelitian ini menghasilkan kesimpulan; pertama, Teori penentuan arah

kiblat sampai saat ini yang sudah diketahui ada tiga, yaitu trigonometri bola

(Spherical Trigonometry), geodesi dan navigasi. Dalam teori trigonometri bola

(Spherical Trigonometry), aturan trigonometri yang dipakai adalah aturan

trigonometri pada bidang lengkung. Lebih tepatnya bidang bola, karena teori yang

digunakan adalah teori trigonometri bola. Sehingga rumus trigonometri yang ada

juga bervariasi, mulai dari aturan sinus, cosinus, rumus tangen, secan, cosecan dan

cotangen. Meskipun demikian, dalam praktik perhitungannya rumus yang

digunakan tidaklah semua, tetapi lebih menyesuaikan kebutuhan. Sedangkan pada

teori geodesi aturan trigonometri yang diterapkan lebih pada bidang lengkung,

namun cenderung mendekati bentuk bola yang sebenarnya, yaitu elips. Rumus

trigonometri yang digunakan dalam penentuan arah kiblat juga hampir sama, yaitu

rumus sinus, cosinus, tangen, secan, cosecan dan cotangen. Namun, dalam

perhitungannya rumus yang dipakai juga tidak semuanya, menyesuaikan. Berbeda

dengan teori navigasi, dalam teori ini aturan yang dipakai adalah aturan

trigonometri pada bidang datar. Sebab, acuannya memang berdasar peta bidang

datar. Meskipun demikian, rumus yang diterapkan dalam perhitungan arah kiblat

juga tak jauh beda, yakni tetap memuat rumus sinus, cosinus dan tangen.

Kedua, adapun aplikasi/penerapan rumus-rumus trigonometri tersebut,

baik dalam teori trigonometri bola (Spherical Trigonometry), geodesi dan navigasi

tidak terlepas dari alat bantu dalam perhitungan arah kiblat. Pada teori

trigonometri bola (Spherical Trigonometry), supaya mempermudah

perhitungan/penentuan arah kiblat maka bisa menggunakan alat bantu kalkulator.

Sedangkan dalam teori geodesi, dalam penentuan/perhitungan arah kiblat bisa

menggunakan metode vincenty. Adapun dalam teori navigasi, aplikasinya lebih

mengacu pada konsep peta bidang datar.

vii

Adapun saran dari penelitian ini bahwa pada dasarnya, kajian konsep

trigonometri terutama dalam aplikasinya pada ilmu falak tidak hanya terbatas

penentuan arah kiblat saja. Melainkan ada yang lainnya, seperti penentuan awal

tahun bulan komariyah, awal waktu sholat, dan kalender hijriyah. Oleh sebab itu,

hendaknya penelitian ini memotivasi untuk mengkaji lagi konsep trigonometri

tersebut. Penelitian seperti yang penulis lakukan ini masih jarang dijumpai pada

rak buku koleksi jurusan tadris matematika. Oleh karena itulah, harapannya

penelitian ini menjadi pelengkap koleksi buku jurusan tadris matematika. Di

samping demikian, tentunya penelitian ini juga diharapkan menjadi inspirasi

untuk menelaah konsep-konsep matematika lainnya.

Kata kunci: trigonometri, arah kiblat, geodesi, navigasi

viii

KATA PENGANTAR

Bismillahirrahmanirrahim

Alhamdulillah, puji syukur senantiasa penulis panjatkan kehadirat Rabb

al-Izzati, Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan nikmat kepada semua

hamba-Nya. Terlebih kepada penulis, sehingga penulis dapat menyelesaikan karya

tulis ini. Shalawat dan salam senantiasa tercurahkan kepada Nabi Muhammad

saw, Nabi akhir zaman dan pembawa rahmat bagi makhluk seluruh alam.

Tidak ada kata yang pantas penulis ungkapkan kepada pihak-pihak yang

membantu proses pembuatan skripsi ini, kecuali terima kasih yang sebesar-

besarnya kepada:

1. Dekan Fakultas Tarbiyah IAIN Walisongo Semarang, Dr. Suja’i, M.Ag.

2. Dosen pembimbing Minhayati Saleh M.Si, dan Dr. Hj. Sukasih, M.Pd, yang

telah memberikan bimbingan dan arahan selama proses penulisan skripsi.

3. Kajur Prodi Matematika, Bpk. Saminanto,M.Si yang selalu memberikan

motivasi untuk segera menyelesaikan skripsi ini.

4. Segenap dosen Fakultas Tarbiyah yang telah membekali banyak pengetahuan

kepada penulis dalam menempuh studi di Fakultas Tarbiyah.

5. Kedua orang tua (Bpk Kasmun, Alm dan ibu Sutini) dan saudara-saudaraku

(Mukhlisin dan Ahmad Ulil) yang tidak henti-hentinya memberikan dorongan

baik moril maupun materiil dan tidak pernah bosan mendoakan penulis dalam

menempuh studi dan mewujudkan cita-cita.

6. Keluarga besar bapak Dr. H. Ahmad Izzuddin, M.Ag, yang selalu mendidik

dan mengajar penulis dengan penuh kesabaran.

7. Keluarga bapak h. Ciptono hadi dan keluarga besar RT 10 RW 14 Perumnas

Beringin Lestari yang telah banyak memberikan pelajaran kepada penulis.

8. Sahabat-sahabat sejati seperjuangan (Mas Munif, S. H.I, Lutfi Adnan MZ dan

Agus Sopar) yang selalu memberikan motivasi kepada penulis.

9. Seluruh teman-teman satu angkatan yang selalu memberikan semangat.

10. Semua pihak baik secara langsung maupun tidak langsung yang telah

membantu, baik moral maupun materi dalam penyusunan skripsi ini.

ix

Penulis menyadari sepenuhnya bahwa skripsi ini masih jauh dari

sempurna, baik dari segi materi, metodologi dan analisisnya. Oleh karena itu

kritik dan saran yang membangun sangat penulis harapkan demi kesempurnaan

skripsi ini. Akhirnya hanya kepada Allah penulis berharap, semoga apa yang

tertulis dalam skripsi ini bisa bermanfaat khususnya bagi penulis dan bagi para

pembaca pada umumnya. Amin.

Semarang, 28 Mei 2012

Penulis

Susheri

Nim: 083511028

x

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ........................................................................................... i

PERNYATAAN KEASLIAN ............................................................................. ii

PENGESAHAN .................................................................................................. iii

NOTA PEMBIMBING I ................................................................................... iv

NOTA PEMBIMBING II .................................................................................. v

ABSTRAK ........................................................................................................ vi

KATA PENGANTAR ..................................................................................... viii

DAFTAR ISI ................................................................................................... x

BAB I : PENDAHULUAN

A. Latar Belakang ............................................................................. 1

B. Rumusan Masalah ........................................................................ 3

C. Tujuan dan Manfaat Penelitian .................................................... 3

D. Kajian Pustaka .............................................................................. 4

E. Metode Penelitian .......................................................................... 6

BAB II : TRIGONOMETRI DAN TEORI PENENTUAN ARAH KIBLAT

A. Trigonometri . ................................................................................ 9

1. Pengertian Trigonometri ........................................................... 9

2. Sejarah Trigometri .................................................................... 10

3. Konsep Dasar Trigonometri ...................................................... 14

B. Rumus-rumus Trigonometri . ....................................................... 19

1. Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut...... 25

2. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap dan Tengahan ................ 28

3. Rumus Perkalian Sinus dan Cosinus......................................... 30

4. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Cosinus ...... 31

C. Aturan Sinus dan Cosinus .............................................................. 31

1. Aturan Sinus.............................................................................. 31

2. Aturan Cosinus.......................................................................... 32

xi

D. Teori Penentuan Arah Kiblat ......................................................... 33

1. Teori Trigonometri Bola (Spherical Trigonometry) ................. 33

2. Teori Geodesi ............................................................................ 34

3. Teori Navigasi ........................................................................... 37

BAB III : PENERAPAN RUMUS TRIGONOMETRI DALAM TEORI

PENENTUAN ARAH KIBLAT

A. Pengertian Arah kiblat ................................................................... 39

B. Metode Penentuan Arah Kiblat ..................................................... 42

C. Rumus Trigonometri dalam Perhitungan Arah Kiblat .................. 53

D. Istilah-Istilah dalam Ilmu Falak ..................................................... 65

BAB IV : ANALISIS RUMUS TRIGONOMETRI DALAM

PENERAPANNYA PADA TEORI PENENTUAN ARAH KIBLAT

A. Analisis Rumus Trigonometri dalam Penerapannya pada Teori

Trigonometri Bola (Spherical Trigonometri) ............................... 67

B. Analisis Rumus Trigonometri Dalam Penerapannya Pada Teori

Geodesi ......................................................................................... 76

C. Analisis Rumus Trigonometri Dalam Penerapannya Pada Teori

Navigasi ......................................................................................... 82

BAB V : PENUTUP

A. Simpulan ....................................................................................... 84

B. Saran ............................................................................................. 85

C. Penutup ......................................................................................... 85

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN-LAMPIRAN

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Aplikasi ilmu matematika pada dasarnya sangatlah luas cakupannya.

Hampir di setiap disiplin ilmu pengetahuan menggunakan aplikasi ilmu

matematika. Dalam ilmu matematika sendiri juga banyak terdapat konsep dan

teori yang sangat membantu dan berguna dalam kehidupan umat manusia.

Sebagai contoh ialah konsep/rumus trigonometri yang sangat membantu dalam

teori penentuan arah kiblat.

Konsep trigonometri dalam sejarah perkembangan sains Islam sangat

berperan sekali pada aplikasi ilmu falak. Hal ini dapat diketahui dengan

banyaknya ilmuwan muslim yang turut mengembangkan ilmu falak, seperti Al-

Khawarizmi (305 H/917 M) dengan magnum opusnya dalam kitab al-

Mukhtashar fi Hisab al-Jabr wa al-Muqabalah. Selain Al-Khawarizmi, tokoh

Islam yang ikut membangun ilmu falak juga banyak sekali, diantaranya ialah,

Abu Ma’syar al-Falaky (wafat 272 H/885 M) dengan karyanya yang berjudul

Isbatul Ulum dan Haiatul Falak, Jabir Batany (wafat 319 H/931 M) dengan

karyanya Kitabu Ma’rifati Mathli’il Buruj Baina Arbail Falak, Abu Raihan al-

Biruni (wafat 363 H-440 H/973 M-1048 M) dengan karyanya al-Qonun al-

Mas’udi.1

Tokoh ilmwuan muslim yang berkontribusi dalam ilmu trigonometri ialah

Abul Wafa Muhammad Ibnu Muhammad Ibnu Yahya Ibnu Ismail al Buzjani

yang lahir pada tahun 940 M. Abul Wafa Muhammad Ibnu Muhammad Ibnu

Yahya Ibnu Ismail al Buzjani dikenal sebagai peletak dasar dari rumus-rumus

trigonometri2. Generasi berikutnya ialah ahli matematika bernama Abu Nasr

Mansur ibnu Ali ibnu Iraq atau akrab disapa Abu Nasr Mansur (960 M –

1Susiknan Azhari, Ilmu Falak Perjumpaan Khazanah Islam dan Sains Modern

(Yogyakarta: Suara Muhammadiyah, 2007 ), hlm. 7 2Republika.co.id, “Al Buzjani, Peletak Dasar Rumus Trigonometri” dalam

http://rumahislam.com/tokoh/3-ilmuwan-muslim/2-al-buzjani.html, diakses 28 September 2011.

2

1036M). Abu Nasr Mansur ibnu Ali ibnu Iraq atau akrab disapa Abu Nasr

Mansur dikenal sebagai penemu hukum sinus3.

Selanjutnya seiring dengan perkembangan ilmu matematika, rumus-rumus

trigonometri yang biasanya dipakai dalam ilmu matematika diantaranya ialah;

rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut, rumus trigonometri sudut

rangkap dan sudut tengahan, rumus perkalian sinus dan kosinus, rumus

penjumlahan dan pengurangan sinus dan kosinus, hukum/aturan sinus dan

hukum/aturan kosinus4

Rumus-rumus trigonometri tersebut pada dasarnya memang terlihat

sederhana, karena kebanyakan dipakai/telah dipelajari dalam jenjang

pendidikan seperti Sekolah Menengah Pertama (SMP)/sederajat dan Sekolah

Menengah Atas (SMA)/sederajat. Tetapi lebih dari itu, trigonometri punya

kelebihan tersendiri bukan hanya sekadar untuk pengetahuan saja.

Trigonometri punya sisi lain yang menarik untuk dikaji secara lebih lagi,

terutama terkait dalam aplikasinya pada teori penentuan arah kiblat.

Sampai saat ini teori penentuan arah kiblat yang sudah diketahui

diantaranya ialah;5 teori trigonometri bola (spherical trigonometry),teori

geodesi, dan teori Navigasi. Dari ketiga teori tersebut dua diantaranya (teori

trigonometri bola dan geodesi) mengacu pada tipologi makna arah sudut

tetap/tidak konstan (ortodrom) dengan jarak tempuh terdekat. Namun

keduanya memiliki perbedaan dalam hal perhitungannya. Masing-masing teori

tersebut memiliki kriteria sesuai dengan dasar-dasar teorinya6.

Kontribusi rumus trigonometri pada ilmu falak sangatlah besar, terlebih

pada teori penentuan arah kiblat. Mengingat trigonometri berbicara masalah

sudut, maka mustahil arah kiblat (ka’bah) suatu titik tertentu (tempat, kota,

3Admin, “Abu Nasr Mansur, Sang Penemu Hukum Sinus”, dalam

http://tanbihun.com/sejarah/profil-ulama/abu-nasr-mansur-sang-penemu-hukum-sinus/, diakses 28

September 2011. 4Sulistiyono, et.al., Matematika SMA untuk Kelas XI, (Jakarta: Gelora Aksara Pertama,

2006), hlm. 113-132. 5Ahmad Izzuddin, “Kajian Terhadap Metode-Metode Penentuan Arah Kiblat dan

Akurasinya”, Disertasi (Semarang : Program Doktor IAIN Walisongo, 2011), hlm. 170-210. 6Ahmad Izzuddin, “Abu Raihan Al-Biruni dan Teori Penentuan Arah Kiblat (Studi

Penelusuran Asal Teori Panentuan Arah Kiblat)”, Laporan Peneltian Individual (Semarang :

Fakultas Syari’ah IAIN Walisongo, 2011), hlm.35-51.

3

wilayah) dapat ditentukan tanpa mengetahui sudut tempat dan sudut kiblatnya.

Dari sinilah kemudian muncul korelasi mutualisme antara matematika

khususnya bidang trigonometri) dan ilmu falak khususnya teori penentuan arah

kiblat). Bangunan kerangka teoritis pada teori-teori penentuan arah kiblat

tersebut tidak lepas dari konsep trigonometri, baik itu teori trigonometri bola,

teori geodesi maupun teori navigasi.

Sepengetahuan penulis, sampai saat ini penulis belum menemukan

penelitian yang membahas spesifikasi rumus trigonometri matematika dalam

ilmu falak, yakni pada teknik penentuan arah kiblat. Baik itu mengacu pada

rumus apa saja yang dipakai/digunakan dalam teori penentuan arah kiblat

ataupun tentang bagaimana penerapan/aplikasi rumus trigonometri pada teori

penentuan arah kiblat.

Atas dasar alasan itulah penulis memberanikan diri untuk melakukan

penelitian dengan judul penelitian “Analisis Rumus Trigonometri Dalam

Penerapannya Pada Ilmu Falak (Telaah Atas Teori Penentuan Arah

Kiblat)” . Harapannya penelitian ini nantinya menjadi acuan untuk penelitian

berikutnya tentang kajian teori yang ada dalam ilmu matematika. Mengingat

masih sedikit ditemukan penelitian yang mengkaji konsep/rumus-rumus yang

ada dalam ilmu matematika.

B. Rumusan Masalah

Dari penjelasan latar belakang yang telah diuraikan di atas, rumusan

masalah dalam penelitian ini ialah sebagai berikut:

1) Rumus trigonometri matematika apa sajakah yang dipakai dalam teori

penentuan arah kiblat?

2) Bagaimana penerapan rumus trigonometri matematika dalam teori

penentuan arah kiblat?

C. Tujuan dan Manfaat Penelitian

Tujuan dan manfaat penelitian ini ialah sebagai berikut:

1) Tujuan

4

Adapun tujuan dilaksanakannya penelitian ini ialah sebagai berikut:

a) Untuk mengetahui rumus-rumus trigonometri yang dipakai dalam

teori penentuan arah kiblat

b) Untuk mengetahui penerapan rumus-rumus trigonometri dalam

teori penentuan arah kiblat

2) Manfaat

Selanjutnya, setelah dilaksanakannya penelitian, peneliti berharap

penelitian ini memiliki banyak manfaat. Baik bagi peneliti sendiri maupun

bagi orang lain yang membaca penelitian ini. Adapun manfaat dari penelitian

ini ialah sebagai berikut:

a) Memberikan pengetahuan tentang rumus-rumus trigonometri

yang dipakai dalam teori penentuan arah kiblat.

b) Memberikan pengetahuan tentang penerapan rumus-rumus

trigonometri dalam teori penentuan arah kiblat.

D. Kajian Pustaka

Seperti halnya pada penelitian-penelitian lainnya, dalam penelitian ini juga

harus mempertimbangkan kajian pustaka. Terutama kajian pustaka yang relevan

dengan penelitian ini. Kajian pustaka dalam sebuah penelitian berfungsi untuk

mendukung penelitian yang dilakukan oleh seseorang. Dalam kesempatan

penelitian ini terdapat beberapa buku, skripsi dan disertasi yang masih relevan

dengan penelitian ini sehingga dapat dijadikan sebagai rujukan dan acuan dalam

proses penulisan ide-ide peneliti.

Adapun buku, skripsi dan disertasi tersebut penjelasannya secara berturut-

turut ialah sebagai berikut:

1. Disinggung juga teori penentuan arah kiblat, yakni teori trigonometri bola

(spherical trigonometry) dalam bukunya Ahmad Izzuddin yang berjudul

Fiqih Hisab Rukyah Menyatukan NU dan Muhammadiyah dalam Penentuan

Awal Ramadhan, Idul Fitri dan Idul Adha.

2. Dalam penelitian individual yang dilakukan oleh Dr. H. Ahmad Izzuddin,

M.Ag dengan judul penelitian Abu Raihan Al-Biruni dan Teori Penentuan

5

Arah Kiblat (Studi Penelusuran Asal Teori Penentuan Arah Kiblat), 2011

juga dijelaskan teori-teori penentuan arah kiblat yaitu teori trigonometri bola

dan teori geodesi. Kedua teori tersebut dalam aplikasinya menggunakan

rumus trigonometri, tetapi penjelasan tentang rumus trigonometri apa saja

yang dipakai dan bagaimana penerapannya masih dibahas dalam garis

besarnya.

3. Disertasinya Dr. H. Ahmad Izzuddin dengan judul Kajian Terhadap Metode-

Metode Penentuan Arah Kiblat dan Akurasinya, 2011 juga membahas teori-

teori penentuan arah kiblat. Dalam disertasinya itu, teori-teori penentuan arah

kiblat dijelaskan secara detail. Namun pembahasannya masih belum

mengarah pada spesifikasi rumus trigonometri apa saja yang dipakai dan

bagaimana penerapannya. Dalam disertasi tersebut pembahasannya lebih

fokus pada tingkat akurasinya dari ketiga teori penentuan arah kiblat yang ada

yaitu teori trigonometri bola, teori geodesi dan teori navigasi.

4. Skripsi dengan judul “Konsep Trigonometri Pada Segitiga Bola Dan

Aplikasinya Dalam Menentukan Arah Kiblat” karya Anis Oktriawardani

dengan nomor induk mahasiswa (NIM) (01320108) Jurusan Pendidikan

Matematika dan Komputasi Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Muhammadiyah Malang tahun 2008. Dalam skripsi tersebut

dibahas tentang konsep trigonometri dalam teori segitiga bola dan aplikasinya

dalam penentuan arah kiblat. Hasil dari penelitian skripsi ini menunjukan

bahwa konsep segitiga bola dapat digunakan dalam perhitungan menentukan

arah kiblat.

5. E-book/ pdf, Algebra 2 and Trigonometry dan E-book/pdf, 103 Trigonometry

Problems yang menjelaskan tentang konsep trigonometri dan geometri.

Meskipun demikian, keterangan-keterangan dari beberapa referensi yang

relevan di atas menurut penulis sangat membantu sekali dalam penelitian yang

diangkat oleh penulis ini. Meskipun pembahasannya juga masih belum mengarah

pada spesifikasi rumus-rumus trigonometri apa saja yang dipakai dan bagaimana

penerapannya. Sehingga menurut penulis, hal ini layak diangkat sebagai

penelitian.

6

Adpun posisi atau kedudukan daripada penelitian ini adalah sebagai tindak

lanjut dari penelitian yang sudah ada. Lebih khusus, penelitian ini menindak

lanjuti peneletian tentang trigonometri dalam penentuan arah kiblat.

Harapannya nanti akan ditemukan korelasi antara matematika dan falak.

Lebih khusus lagi, akan ditemukan rumus trigomometri apa saja yang dipakai

dalam ilimu falak pada teori penentuan arah kiblat yaitu teori trigonometri bola

(spherical trigonometry), teori geodesi dan teori navigasi.

E. Metode Penelitian

1. Jenis Penelitian

Penelitian ini merupakan penelitian kepustakaan (library reseach),

sehingga penelitian ini berupaya melakukan pengkajian dan penelaahan

terhadap literatur yang terkait dengan tema yang penulis angkat, yakni

aplikasi rumus trigonometri dalam teori penentuan arah kiblat yang meliputi

teori trigonometri bola, geodesi dan navigasi.

2. Sumber penelitian

Sumber penelitian dalam penelitian ini ialah berdasar dari data primer

dan data sekunder. Data primer ialah data pokok dan utama meliputi

referensi pokok yang mengacu pada judul penelitian ini yakni rumus-rumus

trigonometri dan teori penentuan arah kiblat. Sumber primer yang dijadikan

acuan dalam penelitian ini diantaranya adalah; buku Geodesi Satelit

(Hasanudin Zainal Abidin : 2001) yang membahas tentang teori geodesi dan

Navigasi, E-book/ pdf, Algebra 2 and Trigonometry dan E-book/pdf, 103

Trigonometry Problems yang menjelaskan tentang konsep trigonometri,

disertasi DR. Ahmad Izzuddin yang berjudul Kajian Terhadap Metode

Penentuan Arah Kiblat dan Akurasinya yang membahas metode penentuan

arah kiblat, perhitungannya dan keakurasiannya. Sedangkan data sekunder

yaitu data pendukung yang melengkapi kajian-kajian dalam penelitian ini.

Baik data primer maupun data sekunder diperoleh dari dokumentasi dan

buku-buku yang berkaitan tentang penelitian ini.

7

Peneliti melakukan dokumentasi tentang sumber referensi yang

berkaitan dengan penelitian. Baik itu berasal dari buku-buku, kitab-kitab,

jurnal, artikel-artikel dan lain sebagainya.

3. Fokus Penelitian

Sesuai dengan judul penelitian ini yaitu “analisis rumus trigonometri

dalam penerapannya pada ilmu falak (telaah atas teori penentuan arah

kiblat) maka fokus penelitian ini ialah tentang rumus-rumus trigonometri

dan teori penentuan arah kiblat serta bagaimana aplikasinya/penerapannya

dalam teori tersebut.

4. Teknik Pengumpulan data

Dalam suatu penelitian terdapat banyak teknik pengumpulan data,

diantaranya ialah teknik pengumpulan data dengan cara observasi,

wawancara, kuesioner atau angket, dokumentasi dan lain sebagainya.

Namun dalam penelitian ini peneliti mengunakan teknik dokumentasi atau

dokumenter.

Teknik dokumenter ialah suatu metode atau cara mengumpulkan data

melalui peninggalan tertulis, seperti arsip, termasuk juga buku tentang teori,

pendapat, dalil atau hukum dan lain-lain yang berhubungan dengan

penelitian.7

5. Teknik Analisis Data

Pada umumnya, metode kualitatif berorientasi dalam hal eksplorasi,

pengungkapan dan logika induktif. Sedangkan pendekatan suatu evaluasi

yang dipakai ialah bersifat induktif. Hal ini dimaksudkan bahwa evaluator

(penganalisis) berupaya menyikapi dengan akal sehat suatu situasi tanpa

mengedapankan harapan yang sudah diduga sebelumnya mengenai suatu

program tertentu.8

Sedangkan dalam penelitian ini peneliti menggunakan teknik analisis

induktif. Analisis induktif artinya bahwa pola, tema, dan kategori analisis

7 Nurul Zuriah, Metode Penelitian Sosial dan Pendidikan, hlm. 191

8Michael Quinn Patton, Metode Evaluasi Kualitatif, penj. Budi Puspo Priyadi,

(Yogyakarta: Pustaka Pelajar, 2006), hlm. 15-16.

8

datang dari data (mereka muncul keluar dari data).9 Data yang diperoleh dari

proses dokumentasi dianalisis mengggunakan pola khusus ke umum.

Sehingga dapat diperoleh suatu kesimpulan yang dapat menjawab rumusan

masalah pada peneletian ini.

9Michael Quinn Patton, Metode Evaluasi Kualitatif, penj. Budi Puspo Priyadi, hlm. 261

9

BAB II

TRIGONOMETRI DAN TEORI PENENTUAN

ARAH KIBLAT

A. Trigonometri

1. Pengertian Trigonometri

Trigonometri berasal dari bahasa Yunani yaitu trigonon yang artinya

tiga sudut dan metro artinya mengukur. Oleh karena itu trigonometri adalah

sebuah cabang dari ilmu matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga

dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Sedangkan

definisi dari trigonometri menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI)

adalah ilmu ukur mengenai sudut dan sempadan dengan segitiga (digunakan

dalam astronomi).10

Istilah trigonometri11

juga sering kali diartikan sebagai ilmu ukur yang

berhubungan dengan segitiga. Tetapi masih belum jelas yang dimaksudkan

apakah itu segitiga sama kaki (siku-siku), segitiga sama sisi, atau segitiga

sembarang. Namun, biasanya yang dipakai dalam perbandingan trigonometri

adalah menggunakan segitiga sama kaki atau siku-siku. Dikatakan

berhubungan dengan segitiga karena sebenarnya trigonometri juga masih

berkaitan dengan geometri.12

Baik itu geometri bidang maupun geometri

ruang.

Trigonometri sebagai suatu metode dalam perhitungan untuk

menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan perbandingan-perbandingan

pada bangun geometri, khususnya dalam bangun yang berbentuk segitiga.

Pada prinsipnya trigonometri merupakan salah satu ilmu yang berhubungan

10

KBBI, (Jakarta: PT Gramedia, 2008), hlm. 1487. 11

Definisi trigonometri dari bahasa Inggris trigonometry, (lihat Kamus Inggris-Indonesia,

John M. echols dan Hassan Shadily, Jakarta: PT Gramedia, 2003), hlm. 603. 12

Geometri disini adalah cabang dari ilmu matematika yang mempelajari tentang bidang

atau disebut juga ilmu ukur bidang, Hamid, Farida, Kamus Ilmiyah Populer Lengkap, (Surabaya:

Apollo, t.th), hlm. 172.

10

dengan besar sudut, dimana bermanfaat untuk menghitung ketinggian suatu

tempat tanpa mengukur secara langsung sehingga bersifat lebih praktis dan

efisien.

Kesimpulan dari beberapa definisi di atas bahwa trigonometri adalah

cabang dari ilmu matematika yang mengkaji masalah sudut, terutama sudut

segitiga yang masih ada hubungannya dengan geometri. Sedangkan dalam

aplikasinya, trigonometri dapat diaplikasikan dalam bidang astronomi. Dalam

hal ini adalah ilmu falak, yaitu dalam praktik perhitungan arah kiblat.

2. Sejarah Trigonometri

Sejarah awal trigonometri dapat dilacak dari zaman Mesir Kuno,

Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu.

Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang

digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha

adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan

geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya

Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah

India.

Pelacakan lain tentang awal mula munculnya trigonometri adalah

bersamaan dengan kemunculan tokoh matematikawan yang handal pada masa

itu. Diantaranya matematikawan Yunani Hipparchus sekitar tahun 150 SM

dengan tabel trigonometrinya untuk menyelesaikan segi tiga. Matematikawan

Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan

trigonometri lebih lanjut. Disamping itu pula matematikawan Silesia

Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang

trigonometri pada tahun 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa

Inggris dan Perancis.

Seiring dengan perkembangan ilmu pengetahuan, ada banyak aplikasi

trigonometri. Terutama adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam

astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam

11

geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi

satelit.

Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi

(dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik,

optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi,

pencitraan medis/medical imaging (CAT scan dan ultrasound), farmasi,

kimia, teori angka (dan termasuk kriptologi), seismologi, meteorologi,

oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dan geodesi,

arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, teknik sipil,

grafik komputer, kartografi, kristalografi.13

Selanjutnya, penemuan-penemuan tentang rumus dasar trigonometri

oleh para tokoh ilmuwan muslim adalah sebagai berikut :

a. Al Buzjani

Abul Wafa Muhammad Ibn Muhammad Ibn Yahya Ibn Ismail al Buzjani,

merupakan satu di antara sekian banyak ilmuwan Muslim yang turut mewarnai

khazanah pengetahuan masa lalu. Dia tercatat sebagai seorang ahli di bidang

ilmu matematika dan astronomi. Kota kecil bernama Buzjan, Nishapur, adalah

tempat kelahiran ilmuwan besar ini, tepatnya tahun 940 M. Sejak masih kecil,

kecerdasannya sudah mulai nampak dan hal tersebut ditunjang dengan

minatnya yang besar di bidang ilmu alam. Masa sekolahnya dihabiskan di kota

kelahirannya itu.

Konstruksi bangunan trigonometri versi Abul Wafa hingga kini diakui

sangat besar kemanfaatannya. Dia adalah yang pertama menunjukkan adanya

teori relatif segitiga parabola. Tak hanya itu, dia juga mengembangkan metode

baru tentang konstruksi segi empat serta perbaikan nilai sinus 30 dengan

memakai delapan desimal. Abul Wafa pun mengembangkan hubungan sinus

dan formula 2 sin2 (a/2) = 1 - cos a dan juga sin a = 2 sin (a/2) cos (a/2)14

.

13

Wikipedia ensiklopesi bebas, “Trigonometri”, dalam www.wikipedia.com , diakses 16

Oktober 2011. 14

Republika.co.id, “Al Buzjani, Peletak Dasar Rumus Trigonometri”, diakses 28

September 2011.

12

b. Abu Nasr Mansur

Nama lengkap dari Abu Nasr Mansur adalah Abu Nasr Mansur ibnu Ali

ibnu Iraq atau akrab disapa Abu Nasr Mansur (960 M – 1036 M). Abu Nasr

Mansur terlahir di kawasan Gilan, Persia pada tahun 960 M. Hal itu tercatat

dalam The Regions of the World, sebuah buku geografi Persia bertarikh 982M.

Pada karya trigonometrinya, Abu Nasr Mansur menemukan hukum sinus

sebagai berikut:

𝑎/𝑠𝑖𝑛 𝐴 = 𝑏/𝑠𝑖𝑛 𝐵 = 𝑐/𝑠𝑖𝑛 𝐶.15

Selanjutnya seiring dengan perkembangan ilmu matematika, rumus-

rumus trigonometri yang biasa dipakai dalam ilmu matematika adalah sebagai

berikut: 16

a) Rumus kosinus jumlah dan selisih dua sudut

b) Rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut

c) Rumus tangen jumlah dan selisih dua sudut

d) Rumus sinus sudut rangkap

e) Rumus kosinus sudut rangkap

15

Admin, “Abu Nasr Mansur, Sang Penemu Hukum Sinus”. 16

Noormandiri, Matematika SMA Jilid 2A, (Jakarta: Erlangga, 2004), hlm. 161-180, lihat

juga (Sartono Wirodikromo, Matematika 2000, 2003) dan beberapa buku matematika SMA

lainnya.

cos(A + B) = cos A cos B – sin A sin B

cos(A – B) = cos A cos B + sin A sin B

sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B

sin(A – B) = sin A cos B – cos A sin B

tan(A + B) = BA

BA

tantan1

tantan

tan(A – B) = BA

BA

tantan1

tantan

sin 2A = 2 sin A cos A

sin 3A = 3 sin A – 4 sin3A

cos 2A = cos2A – sin

2A = 1 – 2 sin

2A = 2

cos2A – 1

cos 3A = 4 cos3A – 3 cos A

13

f) Rumus tangen sudut rangkap

g) Rumus sudut tengahan

h) Rumus perkalian kosinus dan kosinus

i) rumus perkalian sinus dan sinus

j) rumus perkalian kosinus dan sinus

k) Aturan/hukum sinus

l) Aturan/hukum kosinus

tan 2A = A

A2tan1

tan2

tan 3A = A

AA2

3

tan31

tantan3

2 cos A cos B = cos(A + B) + cos(A – B)

2 sin A sin B = - cos(A + B) + cos(A – B)

2 cos A sin B = sin(A + B) – sin(A – B)

2 cos A cos B = cos(A + B) + cos(A – B)

sin 2

1A =

2

cos1 A

cos2

cos1

2

1 AA

tanA

AA

cos1

cos1

2

1

=

A

A

cos1

sin

A

A

sin

cos1

a

sin A=

b

sin B=

c

sin C

a2 = b2 + c2 − 2bc cos A

b2 = a2 + c2 − 2ac cos B

c2 = a2 + b2 − 2ab cos C

14

m) rumus penjumlahan dan pengurangan sinus dan kosinus

Rumus-rumus trigonometri yang tersebut di atas adalah rumus hasil

kombinasi dan relasi antara rumus trigonometri yang satu dengan rumus

trigonometri yang lainnya. Dalam beberapa buku referensi yang berbeda

namun masih pada bahasan yang sama yaitu trigonometri, ditemukan beberapa

metode yang berbeda untuk mendapatkan rumus-rumus tersebut. Hal demikian

sah-sah saja, karena masing-masing ahli matematika punya asumsi-asumsi

yang berbeda dalam menafsirkan rumus itu. Namun demikian, tentunya mereka

masih menggunakan kaidah-kaidah yang sama, yaitu aturan geometri, relasi

dan kombinasi dalam menafsirkan rumus-rumus trigonometri.

Namun, dalam kaitannya dengan penelitian ini peneliti hanya menyoroti

relasi antara trigonometri dengan bidang astronomi atau ilmu falak.

Diantaranya adalah dalam teori penentuan arah kiblatnya yaitu teori

trigonometri bola (spherical trigonometry), teori geodesi dan teori navigasi.

Adapun pembuktian dari rumus-rumus tersebut di atas adalah pada sub bab

selanjutnya.

3. Konsep Dasar Trigonometri

Pada dasarnya, segitiga merupakan bentuk dasar dalam matematika

terutama trigonometri. Sebab, kata trigonometri sendiri mengandung arti

ukuran tentang segitiga. Dimana pengetahuan tentang bumi, matahari dan

benda-benda langit lainnya sebenarnya juga diawali dari pemahaman konsep

tentang rasio (ratios) pada segitiga. Sebagaimana contoh pada zaman dahulu

(sebelum istilah trigonometri populer) keliling bumi sudah bisa ditentukan

dengan menggunakan konsep segitiga siku-siku, meskipun hanya sebatas masih

sin A + sin B = 2 sin 2

1(A + B) cos

2

1(A – B )

sin A – sin B = 2 cos 2

1(A + B) sin

2

1(A – B)

cos A + cos B = 2 cos 2

1(A + B) cos

2

1(A – B)

cos A – cos B = -2 sin 2

1(A + B) sin

2

1(A – B)

15

dalam perkiraan saja. Waktu itu keliling bumi diperkirakan mencapai 25.000

mil, sedangkan bila menggunakan metode modern keliling bumi adalah 24.902

mil.17

Meskipun dalam sejarah matematika aplikasi trigonometri berdasar pada

konsep segitiga siku-siku, tetapi sebenarnya cakupan bidangnya sangatlah luas.

Dan sekarang, trigonometri juga sudah mulai merambah pada bidang

komputer, satelit komunikasi dan juga astronomi.18

Konsep dasar trigonometri tidak lepas dari bangun datar yang bernama

segitiga siku-siku. Segitiga siku-siku didefinisikan sebagai segitiga yang

memiliki satu sudut siku-siku19

dan dua sudut lancip20

pelengkap. Selanjutnya

sisi dihadapan sudut siku-siku merupakan sisi terpanjang yang disebut dengan

sisi miringnya (hypotenuse), sedangkan sisi-sisi dihadapan sudut lancip disebut

kaki (leg) segitiga itu.21

Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut ini:

Keterangan:

Hypotenuse: sisi miring

Leg: sisi kaki segitiga

Gambar 1. Segitiga siku-siku, dengan C

sebagai sudut penyiku.

Pada gambar di atas terlihat jelas bahwa ∆𝐴𝐵𝐶 merupakan segitiga siku-

siku dengan 𝐶 sebagai sudut siku-sikunya, dan 𝐴𝐵 merupakan sisi miringnya

(hypotenuse). Sedangkan kaki-kakinya adalah 𝐵𝐶 yang posisinya di hadapan

∠𝐴, dan 𝐴𝐶 di hadapan ∠𝐵.

17

E-book/ pdf, Algebra 2 and Trigonometry, dalam www.amscopub.com, hlm. 353.

Diakses pada 09-02-2011. 18

E-book/ pdf, Algebra 2 and Trigonometry, dalam www.amscopub.com, hlm. 353 19

Sudut siku-siku adalah sudut yang besarnya 90°. 20

Sudut lancip adalah sudut yang besarnya kurang dari 90° (< 90°). 21

E-book/ pdf, Algebra 2 and Trigonometry, hlm. 354.

16

Selanjutnya dapat dituliskan perbandingan (ratios) sebagai berikut:

sin𝐴 =𝐵𝐶

𝐴𝐵, cos𝐴 =

𝐴𝐶

𝐴𝐵, 𝑑𝑎𝑛 tan𝐴 =

𝐵𝐶

𝐴𝐶

Versi lain untuk mendapatkan perbandingan fungsi trigonometri seperti

𝑠𝑖𝑛, 𝑐𝑜𝑠, 𝑡𝑎𝑛, 𝑐𝑠𝑐, 𝑠𝑒𝑐 dan 𝑐𝑜𝑡 adalah sebagai berikut:22

Gambar 2

Pada gambar 2 di atas, 𝑂𝐴 dan 𝑂𝐵 membentuk sudut 𝜃, 𝑃 terletak pada

𝑂𝐴,𝑄 tegak lurus dengan 𝑃 di 𝑂𝐵. Dari gambar tersebut, maka fungsi

sin, cos, tan, csc, sec dan 𝑐𝑜𝑡 dapat didefinisikan sebagai berikut, dengan

ketentuan 𝑃𝑄 menunjukan panjang garis 𝑃𝑄.

sin𝜃 = 𝑃𝑄

𝑂𝑃 , cos𝜃 =

𝑂𝑄

𝑂𝑃 , tan𝜃 =

𝑃𝑄

𝑂𝑄

csc𝜃 = 𝑂𝑃

𝑃𝑄 , sec𝜃 =

𝑂𝑃

𝑂𝑄 , ctn𝜃 =

𝑂𝑄

𝑃𝑄

Di samping demikian, perlu juga ditunjukan bahwa fungsi tersebut telah

didefinisikan oleh sudut 𝜃, bukan titik 𝑃. Dari gambar 2 di atas 𝑃1 juga

merupakan titik di garis 𝑂𝐴, dan 𝑄1 tegak lurus 𝑃1 di garis 𝑂𝐵, sehingga jelas

∆𝑂𝑃𝑄 dan ∆𝑂𝑃1𝑄1 sebangun karena itu juga diperoleh hubungan seperti 𝑃𝑄

𝑂𝑃

dan 𝑃𝑄1

𝑂𝑃1 . Oleh karena itulah, maka semua fungsi trigonometri telah

didefinisikan.

22

E-book/pdf, 103 Trigonometry Problems, dalam www.birkhauser.com , hlm. 1-3.

Diakses pada 11-02-2011.

𝑂

𝐴

𝐵 𝜃

𝑃

𝑄

𝑃1

𝑄1

17

Dari penjelasan tersebut, dapat diketahui bahwa sin𝜃, cos𝜃, dan tan𝜃

merupakan perbandingan terbalik dengan csc𝜃, sec𝜃, dan cot𝜃 secara beturut-

turut. Oleh sebab itu, dalam beberapa hal cukup mempertimbangkan sin𝜃,

cos𝜃, dan tan𝜃 saja. Dari hubungan tersebut, maka dapat diketahui pula:

sin 𝜃

cos 𝜃 = tan𝜃 dan

cos 𝜃

sin 𝜃 = cot𝜃

Dengan menggunakan kaidah pada ∆𝐴𝐵𝐶 dengan 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 adalah

panjang sisi-sisi 𝐵𝐶,𝐶𝐴, dan 𝐴𝐵, ∠𝐴, ∠𝐵, dan ∠C secara berturut-turut adalah

∠𝐶𝐴𝐵, ∠𝐴𝐵𝐶, dan ∠𝐵𝐶𝐴. Sedangkan ∆𝐴𝐵𝐶 adalah segitiga siku-siku dengan

sudut sikunya di 𝐶.

Perhatikanlah gambar berikut:

Gambar 3

Gambar di atas dapat memberikan penjelasan tentang perbandingan

trigonometri sebagai berikut:

sin𝐴 =𝑎

𝑐, cos𝐴 =

𝑏

𝑐, tan𝐴 =

𝑎

𝑏

sin𝐵 =𝑏

𝑐, cos𝐵 =

𝑎

𝑐, tan𝐵 =

𝑏

𝑎

Dari rumus tersebut diperoleh:

𝑎 = 𝑐 sin𝐴, 𝑎 = 𝑐 cos𝐵 𝑎 = 𝑏 tan𝐴

𝑏 = 𝑐 sin𝐵, 𝑏 = 𝑐 cos𝐴 𝑏 = 𝑎 tan𝐵

𝑐 = 𝑎 csc𝐴 𝑐 = 𝑎 sec𝐵 𝑐 = 𝑏 csc𝐵 𝑐 = 𝑏 sec𝐴

𝐴

𝐵 𝐶 𝑎

𝑐 𝑏

18

Dari beberapa definisi di atas, dapat disimpulkan bahwa konsep

trigonometri pada dasarnya memang mengacu pada perbandingan segitiga siku-

siku. Dari perbandingan tersebut maka diperoleh fungsi trigonometri seperti:

sinus (𝑠𝑖𝑛), 𝑐𝑜𝑠𝑖𝑛𝑢𝑠 (𝑐𝑜𝑠), 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛 (𝑡𝑎𝑛), 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛 (𝑐𝑠𝑐), 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛 (𝑠𝑒𝑐) dan

𝑘𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛 (𝑐𝑜𝑡). Namun, karena fungsi 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛 (𝑐𝑠𝑐), 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛 (𝑠𝑒𝑐) dan

𝑘𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛 (𝑐𝑜𝑡) merupakan perbandingan terbalik (reciprocal) dari fungsi

𝑠𝑖𝑛𝑢𝑠 (𝑠𝑖𝑛), 𝑐𝑜𝑠𝑖𝑛𝑢𝑠 (𝑐𝑜𝑠), 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛 (𝑡𝑎𝑛) maka yang sering digunakan adalah

fungsi 𝑠𝑖𝑛𝑢𝑠 𝑠𝑖𝑛 , 𝑐𝑜𝑠𝑖𝑛𝑢𝑠 𝑐𝑜𝑠 ,𝑑𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛 (𝑡𝑎𝑛).

Supaya lebih jelas dalam memahami konsep trigonometri tersebut maka

diberikan contoh sebagai berikut:

1) Dalam ∆PQR dengan 𝑅 sebagai sudut siku-sikunya, 𝑃𝑄 = 25 satuan,

𝑄𝑅 = 24 satuan, dan 𝑃𝑅 = 7 satuan, tentukan!

𝑎) sin𝑃, 𝑏) cos𝑃, 𝑐) tan𝑃

𝑑) sin𝑄, 𝑒) cos𝑄, 𝑒) tan𝑄

Jawab:

Hipotenusa adalah 𝑃𝑄 karena merupakan sisi terpanjang yaitu 25

Gambarnya sebagai berikut:

𝑎) sin𝑃 = 𝑅𝑄

𝑃𝑄 =

24

25 satuan

𝑏) cos𝑃 = 𝑃𝑅

𝑃𝑄 =

7

25 satuan

𝑐) tan𝑃 = 𝑄𝑅

𝑃𝑅 =

24

7 satuan

𝑑) sin𝑄 = 𝑃𝑅

𝑃𝑄 =

7

25 satuan

𝑒) cos𝑄 = 𝑃𝑅

𝑃𝑄 =

24

25 satuan

P

R Q 24

25

7

s

a

t

u

a

n

19

𝑓) tan𝑄 = 𝑃𝑅

𝑄𝑅 =

7

24 satuan

B. Rumus-Rumus Trigonometri

Secara umum rumus-rumus trigonometri diperoleh dari hubungan atau

relasi antara rumus yang satu dengan yang lainnya. Dalam hal ini maka dapat

juga dikatakan rumus trigonometri diperoleh dari derivasi rumus yang lain.

Misalnya sinus, cosinus, tangen, secan, cosecan dan cotangen antara yang

satu dengan yang lain sebenarnya masih ada hubungannya.

Dalam beberapa referensi yang penulis peroleh dari beberapa buku

terutama yang menggunakan bahasa Indonesia rumus-rumus trigonometri

dibedakan menjadi beberapa kategori. Diantaranya adalah sebagai berikut:23

1. Rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut dan selisih dua sudut

2. Rumus trigonometri sudut rangkap dan tengahan

3. Rumus perkalian sinus dan kosinus

4. Rumus penjumlahan dan pengurangan sinus dan kosinus

Penjelasan dari beberapa rumus di atas akan dibahas secara berurutan,

namun sebelum itu akan dijelaskan tentang sudut (angel) rotasi, koordinat

titik pada lingkaran dengan pusat 0 dan jari-jari 𝑟, lingkaran satuan dan hasil-

hasil dari trigonometri itu sendiri sebagai pengantar. Penjelasannya adalah

sebagai berikut:

a) Sudut (angle) dan rotasi

Pembahasan sudut dan rotasi yang dimaksudkan di sini adalah dalam

ruang lingkup suatu lingkaran sebagai permisalan. Artinya, sudut di sini

adalah sudut yang terbentuk karena suatu rotasi pada lingkaran tersebut.

Misalnya rotasi dari titik 𝐴 ke titik 𝐵, baik itu rotasi berlawanan arah jarum

jam (counterclockwise) ataupun searah dengan arah jarum jam (clockwise

direction). Dalam hal ini jika rotasinya searah dengan jarum jam maka sudut

23

Noormandiri, Matematika SMA Jilid 2A, hlm. 161-180, lihat juga (Sartono

Wirodikromo, Matematika 2000, 2003) dan beberapa buku matematika SMA lainnya.

20

yang terbentuk adalah negatif, tetapi bila berlawanan dengan arah jarum jam

maka sudut yang terbentuk adalah sudut positif.24

Ilustrasinya adalah pada gambar berikut:

Gambar 4 dan Gambar 5. Ilustrasi perputaran sudut searah dan

berlawanan jarum jam

Pada gambar 4 mengilustrasikan bahwa sudut yang dibentuk oleh

∠𝐴𝑂𝐵 adalah positif karena rotasinya berlawanan dengan jarum jam, yaitu

dari titik 𝐴 menuju titik 𝐵. Sedangkan pada gambar 5 mengilustrasikan

bahwa sudut yang dibentuk oleh ∠𝐴𝑂𝐵 adalah negatif karena rotasinya

searah dengan jarum jam.

Selanjutnya klasifikasi sudut berdasarkan letak kuadrannya dibedakan

menjadi empat bagian, yaitu sudut yang terletak di kuadran I, kuadran II,

kuadran III dan kuadran IV, untuk lebih jelasnya perhatikan penjelasan

gambar berikut:25

1) Bila 0 < 𝜃 < 90°, maka sudut 𝜃 terletak pada kuadran I.

Gambar 6

24

E-book/ pdf, Algebra 2 and Trigonometry, hlm. 358 25

E-book/ pdf, Algebra 2 and Trigonometry, 358.

A

B

O O

B

A

𝑦

𝑥 𝜃

21

2) Bila 90° < 𝜃 < 180°, maka sudut 𝜃 terletak pada kuadran II.

Gambar 7

3) Bila 180° < 𝜃 < 270°, maka sudut 𝜃 terletak pada kuadran III.

Gambar 8

4) Bila 270° < 𝜃 < 360°, maka sudut 𝜃 terletak pada kuadran IV.

Gambar 9

𝑦

𝑥 𝜃

𝑦

𝑥 𝜃

𝑦

𝑥 𝜃

22

Selain sudut-sudut kuadran tersebut, terdapat juga sudut-sudut kelipatan

dari 90°, yaitu 180° , 270°, dan 360°. Gambarnya adalah sebagai berikut:

Gambar 10 Gambar 11

gambar 12 Gambar 13

b) Koordinat titik pada lingkaran dengan pusat 𝟎 dan jari-jari 𝒓

Perhatikan gambar berikut:

Gambar 14

𝑦

𝑥 𝑂

90°

𝑦

𝑥 𝑂

180°

𝑦

𝑥 𝑂

270°

𝑦

𝑥 𝑂

360°

𝛽

𝐴

𝐵

0 𝑟

𝑟

−𝑟

−𝑟 𝛼

𝑋+

𝑌

23

Pada gambar 14 di atas, titik A dan B terletak pada lingkaran. Misalkan

∠𝑋+0𝐴 = 𝛼 dan ∠𝑋+0𝐵 = 𝛽, 𝛼 dan 𝛽 diukur berlawanan dengan perputaran

arah jarum jam, maka diperoleh:

𝐴 = 𝑟 cos𝛼 , 𝑟 sin𝛼

𝐵 = 𝑟 cos𝛽 , 𝑟 sin𝛽

Dari sini maka dapat disimpulkan bahwa koordinat sembarang titik 𝑃

pada lingkaran dengan sudut ∠𝑋+0𝑃 = 𝜃 adalah 𝑟 cos𝜃 , 𝑟 sin𝜃 . 26

c) Lingkaran satuan

Lingkaran satuan adalah lingkaran yang berpusat di 0 dengan jari-jari

𝑟 = 1. Kemudian, misalkan koordinat sembarang titik 𝑃 pada lingkaran

satuan sehingga ∠𝑋+0𝑃 = 𝜃 adalah 𝑟 cos𝜃 , 𝑟 sin𝜃 = cos𝜃 , sin𝜃 .

Panjang busur 𝐴𝐵 =𝛼

2𝜋. 2𝜋𝑟 = 𝛼𝑟 = 𝛼 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 . Sedangkan panjang busur

𝐴𝐶 =𝛽

2𝜋. 2𝜋𝑟 = 𝛽𝑟 = 𝛽 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛. Maka diperoleh panjang busur 𝐵𝐶 =

𝛽 − 𝛼 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛. Ilustrasi gambarnya adalah sebagai berikut:

Gambar 15

Sehingga dapat disimpulkan bahwa apabila terdapat panjang sembarang

busur, misalkan 𝑃𝑄 sehingga ∠𝑃0𝑄 = 𝜃, maka panjang busar 𝑃𝑄 adalah

𝜃 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛.

26

Sulistiyono, et.al., Matematika SMA untuk Kelas XI, hlm. 112.

𝐴

𝐵

1

1

−1

−1 𝛼

𝑋+

𝐶

𝛽

24

d) Hasil-hasil dari trigonometri27

sin2 𝜃 + cos2 𝜃 = 1

sin𝜃 = cos 90° − 𝜃

cos𝜃 = sin 90° − 𝜃

sin𝜃 = sin 180° − 𝜃 = − sin 180° + 𝜃 = − sin 360° − 𝜃 = − sin−𝜃

cos𝜃 = −cos 180° − 𝜃 = − cos 180° + 𝜃 = cos 360° − 𝜃 = cos−𝜃

tan𝜃 = −tan 180° − 𝜃 = tan 180° + 𝜃 = − tan 360° − 𝜃

Sudut-sudut istimewa:

0° 30° 45° 60° 90°

𝑆𝑖𝑛 0 1

2

1

2 2

1

2 3

1

𝐶𝑜𝑠 1 1

2 3

1

2 2

1

2

0

𝑡𝑎𝑛 0 1

3 3

1 3 ~

Tanda fungsi trigonometri dalam berbagai kuadran:

Kuadran I II III IV

Tanda positif Semua Sin Tan Cos

Selanjutnya penjelasan tentang rumus-rumus trigonometri adalah

sebagai berikut:

27 Sulistiyono, et.al., Matematika SMA untuk Kelas XI, hlm. 112.

25

1. Rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut dan selisih dua sudut

a) Rumus untuk cos(𝛼 ± 𝛽) 28

Gambar 16

Pada gambar 16 di atas diperlihatkan sebuah lingkaran satuan, sehingga

koordinat titik 𝐴 adalah (1,0). Misalkan ∠𝐴𝑂𝐵 = 𝛼, dan ∠𝐵𝑂𝐶 = 𝛽, maka

∠𝐴𝑂𝐶 = ∠𝐴𝑂𝐵 + ∠𝐵𝑂𝐶 = 𝛼 + 𝛽. Dengan mengambil sudut pertolongan

∠𝐴𝑂𝐷 = −𝛽, maka ∆𝐴𝑂𝐶 kongruen dengan ∆𝐵𝑂𝐷, akibatnya 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷

atau 𝐴𝐶2 = 𝐵𝐷2.

Kita ingat bahwa koordinat kartesius sebuah titik dapat dinyatakan

sebagai (𝑟 cos𝛼 , 𝑟 sin𝛼), sehingga koordinat titik 𝐵 adalah (cos𝛼 , sin𝛼),

titik 𝐶 adalah cos 𝛼 + 𝛽 , sin 𝛼 + 𝛽 , dan titik 𝐷(cos𝛼 ,−sin𝛽).

Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik diperoleh:

Jarak titik A(0,1) dan 𝐶(cos 𝛼 + 𝛽 , sin(𝛼 + 𝛽)) adalah

𝐴𝐶2 = cos 𝛼 + 𝛽 − 1 2 + {sin(𝛼 + 𝛽) − 0}2

= cos2 𝛼 + 𝛽 − 2 cos(𝛼 + 𝛽) + 1 + sin2(𝛼 + 𝛽)

= cos2 𝛼 + 𝛽 + sin2(𝛼 + 𝛽) + 1 − 2 cos(𝛼 + 𝛽)

=1

𝐴𝐶2 = 2 − 2 cos(𝛼 + 𝛽)

Jarak titik 𝐵(cos𝛼 , sin𝛼) dan 𝐷(cos𝛽,− sin𝛽) adalah :

28

Sartono Wirodikromo, Matematika untuk SMA Kelas XI, (Jakarta: Penerbit Erlangga,

2001), hlm. 82-83.

𝐴(1,0)

𝐵(cos𝛼 , sin𝛼)

1

𝑌

−1

−1 𝛼 𝑋+

𝐶(cos 𝛼 + 𝛽 , sin(𝛼 + 𝛽))

𝛽

−𝛽

𝐷(cos𝛽 ,−sin𝛽)

0

26

𝐵𝐷2 = cos𝛽 − cos𝛼 2 + − sin𝛽 − sin𝛼 2

= 𝑐𝑜𝑠2𝛽 − 2 cos𝛼 cos𝛽 + cos2 𝛼 + 𝑠𝑖𝑛2𝛽 + 2 sin𝛼 sin𝛽 + sin2 𝛼

= 𝑐𝑜𝑠2𝛽 + 𝑠𝑖𝑛2𝛽 + (cos2 𝛼 + sin2 𝛼) − 2 cos𝛼 cos𝛽 +

2 sin𝛼 sin𝛽

𝐵𝐷2 = 2 − 2 𝑐𝑜𝑠𝛼 cos𝛽 + 2 sin𝛼 sin𝛽

Karena 𝐴𝐶2 = 𝐵𝐷2, maka diperoleh hubungan

2 − 2 cos(𝛼 + 𝛽) = 2 − 2 𝑐𝑜𝑠 𝛼 cos𝛽 + 2 sin𝛼 sin𝛽

cos(𝛼 + 𝛽) = cos𝛼 cos𝛽 − sin𝛼 sin𝛽

Jadi rumus untuk cos(𝛼 + 𝛽) adalah:

cos(𝛼 + 𝛽) = cos𝛼 cos𝛽 − sin𝛼 sin𝛽

Sedangkan rumus untuk cos(𝛼 − 𝛽) dapat diperoleh dari rumus

cos(𝛼 + 𝛽) dengan cara mengganti sudut 𝛽 menjadi – 𝛽.29

cos(𝛼 − 𝛽) = cos(𝛼 + (−𝛽))

= cos𝛼 cos(−𝛽) − sin𝛼 sin(−𝛽)

= cos𝛼 cos𝛽 − sin𝛼 (−sin𝛽)

= cos𝛼 cos𝛽 + sin𝛼 sin𝛽

Sehingga rumus untuk cos(𝛼 − 𝛽) adalah:

cos(𝛼 − 𝛽) = cos𝛼 cos𝛽 + sin𝛼 sin𝛽

Dari kedua rumus di atas, maka dapat disederhanakan menjadi:

cos(𝛼 ± 𝛽) = cos𝛼 cos𝛽 ± sin𝛼 sin𝛽

b) Rumus untuk 𝐬𝐢𝐧(𝜶 ± 𝜷) 30

Rumus sinus jumlah dua sudut dapat dicari dengan menggunakan

rumus kosinus selisih dua sudut, yaitu sebagai berikut:

sin(𝛼 + 𝛽) = cos 𝜋

2− (𝛼 + 𝛽)

= cos (𝜋

2− 𝛼) − 𝛽

29

Sartono Wirodikromo, Matematika untuk SMA Kelas XI, hlm. 82-83. 30

Sulistiyono, et.al., Matematika SMA untuk Kelas XI, hlm. 113-114.

27

= cos 𝜋

2− 𝛼 cos𝛽 + sin

𝜋

2− 𝛼 sin𝛽

= sin𝛼 cos𝛽 + cos𝛼 sin𝛽

Jadi,

sin(𝛼 + 𝛽) = sin𝛼 cos𝛽 + cos𝛼 sin𝛽

Selanjutnya, untuk mencari rumus sin(𝛼 − 𝛽) dapat dicari dengan

mengubah sin(𝛼 − 𝛽) menjadi sin(𝛼 + (−𝛽)). Dengan cara yang sama

seperti di atas pada rumus sin(𝛼 + 𝛽) akan diperoleh;

sin(𝛼 − 𝛽) = sin𝛼 cos𝛽 − cos𝛼 sin𝛽

Sehingga rumus untuk sin(𝛼 ± 𝛽) adalah:

sin(𝛼 ± 𝛽) = sin𝛼 cos𝛽 ± cos𝛼 sin𝛽

c) Rumus untuk 𝐭𝐚𝐧(𝜶 ± 𝜷) 31

Rumus tangen jumlah dan selisih dua sudut dapat diturunkan dari

rumus jumlah dan selisih dua sudut sinus dan kosinus. Penjelasannya

adalah sebagai berikut:

tan 𝛼 + 𝛽 = sin (𝛼+𝛽)

cos (𝛼+𝛽)

= sin 𝛼 cos 𝛽+cos 𝛼 sin 𝛽

cos 𝛼 cos 𝛽−sin 𝛼 sin 𝛽

=

sin 𝛼 cos 𝛽

cos 𝛼 cos 𝛽+

cos 𝛼 sin 𝛽

cos 𝛼 cos 𝛽

cos 𝛼 cos 𝛽

cos 𝛼 cos 𝛽−

sin 𝛼 sin 𝛽

cos 𝛼 cos 𝛽

=

sin 𝛼

cos 𝛼+

sin 𝛽

cos 𝛽

1−sin 𝛼 sin 𝛽

cos 𝛼 cos 𝛽

=tan 𝛼+tan 𝛽

1−tan 𝛼 tan 𝛽

Dengan menggunakan cara yang sama, diperoleh:

tan 𝛼 − 𝛽 = tan 𝛼+tan 𝛽

1−tan 𝛼 tan 𝛽

31

Sulistiyono, et.al., Matematika SMA untuk Kelas XI, hlm. 116.

Bagi pembilang dan

penyebut dengan

cos𝛼 cos𝛽

28

2. Rumus trigonometri sudut rangkap dan tengahan32

a) Sinus sudut rangkap

Sinus sudut rangkap dinyatakan dengan sin 2𝛼. Rumus ini diperoleh

dari rumus sinus jumlah dua sudut. Penjelasannya sebagai berikut:

sin 2𝛼 = sin 𝛼 + 𝛼

= sin𝛼 cos𝛼 + cos𝛼 sin𝛼

= 2 sin𝛼 cos𝛼

b) Kosinus sudut rangkap

Seperti pada sin 2𝛼, rumus cos 2𝛼 dapat diperoleh dari rumus kosinus

jumlah dua sudut. Penjelasannya sebagai berikut:

cos 2𝛼 = cos 𝛼 + 𝛼

= cos𝛼 cos𝛼 − sin𝛼 sin𝛼

= 𝑐𝑜𝑠2𝛼 − sin2 𝛼

Dengan menggunakan identitas 𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑠𝑖𝑛2𝛼 = 1, maka akan

diperoleh bentuk lain dari cos 2𝛼.

cos 2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠2𝛼− sin2 𝛼

= 𝑐𝑜𝑠2𝛼 − (1 − cos2 𝛼)

= 2𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 1

Selain itu cos 2𝛼 juga dapat dinyatakan dalam bentuk:

cos 2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠2𝛼− sin2 𝛼

= (1 − 𝑠𝑖𝑛2𝛼) − sin2 𝛼

= 1 − 2sin2 𝛼

Dari beberapa rumus di atas, maka diperoleh:

cos 2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠2𝛼− sin2 𝛼

= 2𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 1

= 1 − 2sin2 𝛼

32

Sulistiyono, et.al., Matematika SMA untuk Kelas XI, hlm. 120.

29

c) Tangen sudut rangkap33

Rumus tan 2𝛼 dapat diperoleh dari rumus tan 𝛼 + 𝛽 dengan

mensubtitusikan 𝛽 = 𝛼, sehingga diperoleh:

tan 2𝛼 = tan 𝛼 + 𝛼

= tan 𝛼+tan 𝛼

1−tan 𝛼 tan 𝛼

= 2 tan 𝛼

1−𝑡𝑎𝑛 2𝛼

d) Trigonometri sudut tengahan34

Rumus trigonometri sudut tengahan dapat diturunkan dari rumus

trigonometri sudut rangkap. Penjelasannya adalah sebagai berikut;

cos 2𝛼 = 2 𝑐𝑜𝑠2𝛼− 1 → 𝑐𝑜𝑠2𝛼 =1 + cos 2𝛼

2……… . . (1)

cos 2𝛼 = 1 − 2 𝑠𝑖𝑛2𝛼 → 𝑠𝑖𝑛2𝛼 =1 − cos 2𝛼

2……… . . (2)

Dengan menggunakan identitas tersebut dapat diturunkan tiga identitas

yang baru. Misalkan 2𝛼 = 𝜃, maka 𝛼 =𝜃

2. Sehingga jika

disubtitusikan 𝛼 =𝜃

2 ke persamaan (1) dan (2) akan diperoleh:

𝑐𝑜𝑠2 𝜃

2=

1+cos 𝜃

2

𝑠𝑖𝑛2 𝜃

2=

1−cos 𝜃

2

atau

𝑐𝑜𝑠𝜃

2= ±

1+cos 𝜃

2

𝑠𝑖𝑛𝜃

2= ±

1−cos 𝜃

2

33

Sartono Wirodikromo, Matematika untuk SMA Kelas XI, hlm. 91. 34

Sulistiyono, et.al., Matematika SMA untuk Kelas XI, hlm. 123.

30

Sedangkan untuk 𝑡𝑎𝑛 𝜃

2 diperoleh dengan menggunakan hubungan:

𝑡𝑎𝑛 𝜃

2=

𝑠𝑖𝑛𝜃

2

𝑐𝑜𝑠𝜃

2

= ± 1+cos 𝜃

1−cos 𝜃

3. Rumus perkalian sinus dan kosinus35

Rumus yang digunakan untuk mencari rumus perkalian sinus dan kosinus

adalah rumus jumlah dan selisih dua sudut. Penjelasannya adalah sebagai

berikut:

a) Perkalian kosinus dan kosinus

cos(𝛼 + 𝛽) = cos𝛼 cos𝛽 − sin𝛼 sin𝛽

cos 𝛼 − 𝛽 = cos𝛼 cos𝛽 + sin𝛼 sin𝛽

cos 𝛼 + 𝛽 + cos 𝛼 − 𝛽 = cos𝛼 cos𝛽 + cos𝛼 cos𝛽

cos 𝛼 + 𝛽 + cos 𝛼 − 𝛽 = 2 cos𝛼 cos𝛽

Jadi,

2 cos𝛼 cos𝛽 = cos 𝛼 + 𝛽 + cos 𝛼 − 𝛽 atau

cos𝛼 cos𝛽 =1

2cos 𝛼 + 𝛽 +

1

2cos 𝛼 − 𝛽

b) Perkalian sinus dan sinus

cos(𝛼 + 𝛽) = cos𝛼 cos𝛽 − sin𝛼 sin𝛽

cos 𝛼 − 𝛽 = cos𝛼 cos𝛽 + sin𝛼 sin𝛽

cos 𝛼 + 𝛽 − cos 𝛼 − 𝛽 = − sin𝛼 sin𝛽 − sin𝛼 sin𝛽

cos 𝛼 + 𝛽 − cos 𝛼 − 𝛽 = −2 sin𝛼 sin𝛽

Jadi,

−2 sin𝛼 sin𝛽 = cos 𝛼 + 𝛽 − cos 𝛼 − 𝛽 atau

𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝛽 =1

2cos 𝛼 − 𝛽 −

1

2cos 𝛼 + 𝛽

35

Sulistiyono, et.al., Matematika SMA untuk Kelas XI, hlm. 126.

+

-

31

4. Rumus penjumlahan dan pengurangan sinus dan kosinus36

Rumus penjumlahan dan pengurangan sinus dan kosinus dapat

diperoleh dari rumus perkalian sinus dan kosinus. Penjelasannya adalah

sebagai berikut;

Seperti diketahui, rumus perkalian sinus dan kosinus adalah:

2 cos𝛼 cos𝛽 = cos(𝛼 + 𝛽) + cos(𝛼 − 𝛽)

2 sin𝛼 sin𝛽 = cos(𝛼 − 𝛽) − cos(𝛼 + 𝛽) = −(cos 𝛼 + 𝛽 − cos(𝛼 − 𝛽))

2 sin𝛼 cos𝛽 = sin(𝛼 + 𝛽) + sin(𝛼 − 𝛽)

2 cos𝛼 sin𝛽 = sin(𝛼 + 𝛽) − sin(𝛼 − 𝛽)

Misalkan A = 𝛼 + 𝛽 dan B = 𝛼 − 𝛽 maka:

A + B = (𝛼 + 𝛽) + (𝛼 − 𝛽) = 2 𝛼 → 𝛼 = 𝐴+𝐵

2

A - B = (𝛼 + 𝛽) - (𝛼 − 𝛽) = 2 𝛽 → 𝛽 = 𝐴−𝐵

2

Bila permisalan di atas disubtitusikan pada rumus perkalian sinus

dan kosinus maka akan diperoleh rumus penjumlahan dan pengurangan

sinus dan kosinus sebagai berikut:

cos𝐴 + cos𝐵 = 2 cos 𝐴+𝐵

2 cos

𝐴−𝐵

2

cos𝐴 − cos𝐵 = −2 sin 𝐴+𝐵

2 sin

𝐴−𝐵

2

sin𝐴 + sin𝐵 = 2 sin 𝐴+𝐵

2 cos

𝐴−𝐵

2

sin𝐴 − sin𝐵 = 2 cos 𝐴+𝐵

2 sin

𝐴−𝐵

2

C. Aturan Sinus dan Kosinus

1. Aturan Sinus37

Misalkan ada sebuah segitiga, katakanlah ABC, maka akan dapat

dibuktikan bahwa [ABC] = 𝑎𝑏 sin 𝐶

2 yang secara simetri juga dapat diperoleh

rumus sebgai berikut:

[ABC] = 𝑎𝑏 sin 𝐶

2 =

𝑏𝑐 sin 𝐴

2 =

𝑎𝑐 𝑠𝑖𝑛 𝐵

2

36

Sulistiyono, et.al., Matematika SMA untuk Kelas XI, hlm. 129. 37

E-book/pdf, 103 Trigonometry Problems, hlm. 18

32

Jika rumus tersebut dibagi denga pembagi 𝑎𝑏𝑐

2, maka akan menghasilkan

rumus sebagai berikut:

sin 𝐴

𝑎 =

sin 𝐵

𝑏 =

sin 𝐶

𝑐 atau

𝑎

sin 𝐴 =

𝑏

sin 𝐵 =

𝑐

sin 𝐶

Rumus itulah yang kemudian dinamakan aturan atau hokum sinus.

2. Aturan Kosinus38

Ketika kita tahu dua ukuran sisi dan juga sudut suatu segitiga, maka

ukuran dan bentuk segitiga tersebut dapat ditentukan. Oleh sebab itu, ketiga

sisinya juga dapat ditentukan. Untuk lebih mudahnya maka segitiga tersebut

diletakkan pada suatu bidang koordinat sebagai berikut;

Gambar 17

Pada gambar 17 di atas adalah ∆AABC dengan AB = c, BC = a, dan

CA= b, koordinat A(0,0), B(c,0) dan C(b cos A, b sin A). Bila b, c dan sudut

A diketahui ukurannya, lalu koordinat dari tiap-tiap vertex (ujung) juga

38

E-book/ pdf, Algebra 2 and Trigonometry, 552-553

33

diketahui, maka dapat pula ditentukan a, dan panjang ketiga sisi segitiga

tersebut dengan menggunakan rumus jarak.

Rumus jarak antara dua titik, misalkan P(𝑥1,𝑦1) dan Q(𝑥2 ,𝑦2) adalah:

𝑃𝑄2 = 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 − 𝑦1

2

Misalkan P(𝑥1,𝑦1) = B(c,0) dan Q(𝑥2 ,𝑦2) = C(b cos A, b sin A), dengan

menggunakan rumus jarak tersebut akan diperoleh:

𝐵𝐶2 = 𝑏 cos𝐴 − 𝑐 2 + 𝑏 sin𝐴 − 0 2

= 𝑏2𝑐𝑜𝑠2𝐴 − 2 𝑏𝑐 cos𝐴 + 𝑐2 + 𝑏2𝑠𝑖𝑛2𝐴

= 𝑏2𝑐𝑜𝑠2𝐴 + 𝑏2𝑠𝑖𝑛2𝐴 + 𝑐2 − 2 𝑏𝑐 cos𝐴

= 𝑏2(𝑐𝑜𝑠2𝐴 + 𝑠𝑖𝑛2𝐴) + 𝑐2 − 2 𝑏𝑐 cos𝐴

= 𝑏2(1) + 𝑐2 − 2 𝑏𝑐 cos𝐴

= 𝑏2 − 2 𝑏𝑐 cos𝐴

Karena BC = a, maka:

𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐 𝒃𝒄 𝐜𝐨𝐬𝑨

rumus itulah yang kemudian dinamakan aturan kosinus. Dengan cara

yang sama akan diperoleh pula rumus:

𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐 𝒂𝒄 𝐜𝐨𝐬𝑩

𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝟐 𝒂𝒃 𝐜𝐨𝐬𝑪

D. Teori Penentuan Arah Kiblat

1. Teori Trigonometri Bola (Spherical Trigonometry)

Teori trigonometri bola dapat digunakan untuk menentukan arah kiblat

dengan menggunakan rumus segitiga bola untuk menentukan sudut yang

dibentuk dari dua titik yang berada di atas bumi. Keberadaan bumi yang

mendekati bentuk bola memudahkan penentuan perhitungan arah atau jarak

sudut suatu tempat dihitung dari tempat lain. Oleh karena itu, teori

trigonometri bola dapat digunakan dalam penentuan arah kiblat.

Teori trigonometri bola berbeda dengan trigonometri bidang datar.

Dalam trigonometri bola membahas sudut-sudut segitiga yang diaplikasikan

pada bidang bola. Sedangkan trigonometri bidang datar membahas sudut-

sudut segitiga yang diaplikasikan pada bidang datar. Trigonometri bidang

34

datar hanya terbatas pada perhitungan segitiga siku-siku bidang datar.

Sedangkan trigonometri bola lebih komplek karena banyak berkaitan dengan

posisi bumi, matahari, bulan dan sebagainya.

Saat ini teori trigonometri bola berkembang sangat pesat. Teori ini

banyak digunakan untuk perhitungan arah kiblat, waktu sholat, awal bulan

qamariyah dan lain-lain. Teori ini juga sangat bermanfaat sekali terkait

dengan aplikasi dalam perhitungan ilmu falak dan astronomi.

Rumus-rumus yang digunakan dalam penentuan arah kiblat dengan

trigonometri bola adalah ssebagai berikut:

a) 𝐜𝐨𝐭 𝐗 = 𝐜𝐨𝐭 𝐛 𝐬𝐢𝐧 𝐚 ÷ 𝐬𝐢𝐧 𝐂 − 𝐜𝐨𝐬 𝐚 𝐜𝐨𝐭 𝐂39 yang dapat disederhanakan

menjadi:

𝐜𝐨𝐭 𝐗 = 𝐭𝐚𝐧𝛗𝐦 𝐜𝐨𝐬𝛗𝐱 ÷ 𝐬𝐢𝐧𝐂 − 𝐬𝐢𝐧𝛗𝐱 ÷ 𝐭𝐚𝐧 𝐂

Keterangan :

𝜑𝑚 = lintang Makkah

𝜑𝑥 = lintang tempat yang akan diukur

b) 𝐜𝐨𝐭𝑩 = 𝐜𝐨𝐭 𝒄 𝐬𝐢𝐧 𝒂 − 𝒑 ÷ 𝐬𝐢𝐧 𝒑 𝐭𝐚𝐧𝒑 = 𝐭𝐚𝐧𝒃 𝐜𝐨𝐬 𝒄 40

c) 𝐜𝐨𝐭𝑩 = 𝐜𝐨𝐬 𝝋𝑩 𝐭𝐚𝐧 𝝋𝑨 −𝐬𝐢𝐧 𝝋𝑩 𝐜𝐨𝐬(𝑩−𝑨)41

𝐬𝐢𝐧(𝑩−𝑨)

d) 𝐭𝐚𝐧(𝑨+𝑩)

𝟐=

𝐜𝐨𝐬(𝒂−𝒃)

𝟐

𝐜𝐨𝐬(𝒂+𝒃)

𝟐

𝐜𝐨𝐭𝒄

𝟐 dan 𝐭𝐚𝐧

(𝑨−𝑩)

𝟐=

𝐬𝐢𝐧(𝒂−𝒃)

𝟐

𝐬𝐢𝐧(𝒂+𝒃)

𝟐

𝐜𝐨𝐭𝒄

𝟐 42

2. Teori Geodesi

Disamping teori trigonometri bola (sperical trigonometry), teori geodesi

juga sangat membantu dalam hal penentuan arah kiblat. Konsep dari teori

geodesi juga mengacu pada bentuk bumi. Kalau pada teori trigonometri bola

bentuk bumi diasumsikan bulat seperti bola, sedangkan dalam teori geodesi

39

Ahmad Izzuddin, “Abu Raihan Al-Biruni dan Teori Penentuan Arah Kiblat (Studi

Penelusuran Asal Teori Panentuan Arah Kiblat)”, hlm. 43. 40

A. Jamil, Ilmu Falak (teori dan Aplikasi), (Jakarta: Amzah, 2009), hlm. 111. 41

A. Jamil, Ilmu Falak (teori dan Aplikasi), hlm. 111. 42

A. Jamil, Ilmu Falak (teori dan Aplikasi), hlm. 111.

35

bentuk bola diasumsikan tidak bulat seperti bola namun memakai pendekatan

ellipsoida.43

Menurut kamus besar bahasa Indonesia (KBBI), definisi geodesi adalah44

cabang dari geologi yang menyelidiki tentang ukuran dan bangun bumi.

Geodesi juga didefinisikan sebagai ilmu mengukur tanah. Sedangkan definisi

geodesi berdasarkan definisi klasik dan modern adalah sebagai berikut:45

a) Definisi klasik:

Menurut helmert (1880), geodesi adalah ilmu tentang pengukuran dan

pemetaan permukaan bumi.

Torge (1980) mendefinisikan, bahwa geodesi tak hanya mencakup

permukaan bumi saja, tetapi juga mencakup permukaan dasar laut.

Meskipun teori klasik tersebut sampai batas tertentu masih berlaku, tetapi

ia tidak dapat menampung perkembangan ilmu geodesi yang terus

berkembang dari waktu ke waktu.

b) Definisi modern:

Definisi geodesi menurut OSU (2001), geodesi adalah bidang ilmu

inter-disipliner yang menggunakan pengukuran-pengukuran permukaan

bumi serta dari wahana pesawat dan wahana angkasa untuk

mempelajari bentuk dan ukuran bumi, planet-planet dan satelitnya, serta

perubahan-perubahannya, menentukan secara teliti posisi serta

kecepatan dari titik-titik ataupun objek-objek dari permukaan bumi atau

yang mengorbit bumi dari planet-planet dalam suatu sistem referensi

tertentu; serta mengaplikasikan pengetahuan tersebut untuk berbagai

aplikasi ilmiah dan rekayasa dengan menggunakan matematika, fisika,

astronomi, dan ilmu komputer.

Menurut rinner (1997), geodesi adalah disiplin ilmu yang mempelajari

tentang pengukuran dan perepresentasian dari bumi dan benda-benda

langit lainnya, termasuk medan gaya beratnya masing-masing, dalam

ruang tiga dimensi yang berubah dengan waktu.

43

Ahmad Izzuddin, Abu Raihan Al-Biruni, hlm. 48. 44

KBBI, hlm. 142. 45

Hasanuddin Z. Abidin, geodesi satelit, (Jakarta: PT Pradnya Paramita, 2001), hlm. 1.

36

Sedangkan vanisek dan Krakiwsky (1986) mengklarifikasikan tiga

bidang kajian utama dari ilmu geodesi yaitu; penentuan posisi,

penentuan medan gaya berat dan variasi temporal dan posisi medan

gaya berat dimana domain spasialnya adalah bumi beserta benda-benda

langit lainnya. Pada dasarnya setiap bidang kajian di atas mempunyai

spektrum yang sangat luas, dari teoritis sampai praktis, dari bumi

sampai benda-benda langit lainnya, dan juga mencakup matra darat,

laut, udara, dan juga luar angkasa.

Kesimpulan yang dapat diambil dari beberapa definisi di atas adalah

bahwa pada dasarnya geodesi merupakan ilmu ukur tanah atau bumi. Namun

pada perkembangan selanjutnya geodesi tidak hanya terbatas pada permukaan

bumi saja melainkan permukaan laut juga, bahkan planet-planet dan

satelitnya. Di samping itu, geodesi juga dapat menentukan secara teliti posisi

serta kecepatan dari titik-titik ataupun obyek-obyek dari permukaan bumi

atau yang mengorbit bumi dari planet-planet dalam suatu sistem referensi

tertentu serta mengaplikasikan pengetahuan tersebut untuk berbagai aplikasi

ilmiah dan rekayasa dengan menggunakan matematika, fisika, astronomi, dan

ilmu komputer.

Perhitungan yang digunakan untuk menentukan arah kiblat dengan teori

geodesi adalah metode vincenty yaitu perhitungan jarak yang menggunakan

bentuk matematis bola berjari-jari irisan normal dan berazimuth.46

Sedangkan

rumus yang digunakan adalah sebagai berikut:

𝐜𝐨𝐭𝑩 =𝐜𝐨𝐭 𝒃 𝐬𝐢𝐧 𝒂 − 𝐜𝐨𝐬 𝒂 𝐜𝐨𝐬 𝑪

𝐬𝐢𝐧𝑪

46 Ahmad Izzuddin, “Kajian Terhadap Metode-Metode Penentuan Arah Kiblat dan

Akurasinya”, Disertasi , hlm. 156.

37

3. Teori Navigasi

Navigasi merupakan seni dan ilmu perjalanan secara aman dan efesien

dari suatu tempat ke tempat lain. Navigasi (navigation) berasal dari kata navis

yang artinya kapal dan agire yang berarti pemandu. Sehingga menurut orang

dahulu navigasi diartikan sebagai seni dan ilmu menuntun kapal laut dalam

berlayar.47

Sedangkan definisi navigasi berdasarkan kamus besar bahasa Indonesia

adalah:48

n 1. Pengetahuan (tentang posisi, jarak, dsb) untuk menjalankan

kapal laut, pesawat dsb dari suatu tempat ke tempat yang lain. n 2. Tindakan

menempatkan haluan kapal atau arah terbang. n 3. Pelayaran, penerbangan,

navigasi kutub: himpunan teknik navigasi, khusus disesuaikan untuk daerah

kutub yang berbeda dengan daerah lain sehingga memerlukan modivikasi

dalam prinsip navigasi.

Teori navigasi yang terkait dengan penentuan arah kiblat pada dasarnya

difokuskan pada konsep peta yang ada dalam navigasi. Ini bisa diketahui dari

peta khusus buatan Islam untuk mencari sudut kiblat. Ditemukan dalam

salinan yang unik dari sebuah risalah pada astronomi rakyat oleh Siraj al-

Dunya al-Din, yang disusun pada tahun 607 H. Dalam hal ini

menghubungkan lokalitas seseorang ke Makkah dan ukuran kecenderungan

untuk meredian lokal seseorang. Meskipun masih sederhana, sistem kerja ini

masih cukup baik untuk daerah seperti Mesir dan Iran. Namun arah peta di

sekitar Horizon terlihat kasar karena terkait dengan terbit surya. Peta tersebut

merupakan contoh unik kombinasi antara kartografi, matematika dan

astronomi.

Teori navigasi pada aplikasinya juga merupakan teori yang digunakan

untuk perjalanan menuju suatu tempat. Beberepa istilah yang erat dengan

teori ini yakni tentang navigasi loxodromoc (mercartor navigation) yang

memiliki arti jalur serong yang mengikuti arah tetap (misalnya merujuk pada

47

Muhammad Yunus hutasuhut, Mengenal Dunia Penerbangan, (Jakarta: PT Gramedia

Widiasarana, 2005), hlm. 112. 48

KBBI, hlm, 955.

38

utara sebenarnya) sehingga di peta mercator (peta datar) tampak jalurnya

lurus, meskipun jalur sebenarnya dipermukaan bumi itu melengkung.

Istilah lainnya adalah navigasi orthodromic yang memiliki arti jalur lurus

yang mengikuti arah lurus dipermukaan bumi, walau sudut arahnya (relatif

terhadap garis bujur, selalu berubah). Dalam trigonometri bola, jalur tersebut

mengikuti lingkaran besar (lingkaran yang titik pusatnya di pusat bola,

bumi).49

49

Ahmad Izzuddin, “Kajian Terhadap metode-Metode Penentuan Arah Kiblat dan

Akurasinya”, Disertasi, hlm. 166-167

39

BAB III

PENERAPAN RUMUS TRIGONOMETRI DALAM TEORI PENENTUAN

ARAH KIBLAT

A. Pengertian Arah Kiblat

Kata al-Qiblah terulang sebanyak 4 kali di dalam al-Qur’an. Dari segi

bahasa, kata tersebut terambil dari akar kata qobala-yaqbulu yang berarti

menghadap. Dalam kamus besar bahasa Indonesia, kiblat diartikan arah ke

Ka’bah di Makkah (pada waktu sholat) dan di dalam kamus al-Munawwir

diartikan sebagai Ka’bah. Sementara itu, dalam ensiklopedi hukum Islam

kiblat diartikan sebagai bangunan Ka’bah atau arah yang dituju kaum

muslimin dalam melaksanakan sebagian ibadah.50

Masalah kiblat tiada lain adalah masalah arah, yakni arah Ka’bah di

Makkah. Arah Ka’bah ini dapat ditentukan dari setiap titik atau tempat

dipermukaan bumi dengan melakukan perhitungan dan pengukuran. Oleh

sebab itu, perhitungan arah kiblat pada dasarnya adalah perhitungan untuk

mengetahui guna menetapkan ke arah mana Ka’bah di Makkah itu dilihat dari

suatu tempat di permukaan bumi ini. Sehingga semua gerakan orang yang

sedang melaksanakan ibadah sholat, baik ketika berdiri, ruku’, maupun sujud

selalu berimpit dengan arah yang menuju Ka’bah.51

Arah kiblat setiap tempat itu berbeda-beda, tergantung pada letak

tempat tersebut. Apakah tempat tersebut terletak di sebelah timur, selatan,

barat, ataukah utara bangunan Ka’bah yang terletak di kota Makkah. Bila

suatu tempat itu terletak di sebelah barat Ka’bah maka arah kiblatnya adalah

mengahadap ke timur, bila terletak di sebelah timur Ka’bah maka arah

kiblatnya adalah menghadap ke barat. Begitu juga dengan tempat yang

terletak di sebelah utara dan selatan Ka’bah maka arah kiblatnya menghadap

50

Susiknan Azhari, Ilmu Falak (Perjumpaan Khazanah Islam dan Sains Modern),

hlm.39. 51

Muhyidin Khazin, Ilmu Falak dalam Teori dan Praktik, (Yokyakarta: Buana Pustaka,

2004), hlm. 47.

40

ke selatan dan utara. Hal demikian didasarkan pada peta atau gambar bumi

yang ada.

Akan tetapi sebenarnya tidak mesti demikian. Salah satu contohnya

adalah arah kiblat kota Sanfransisco (∅ = +37°45′ LU dan 𝜆 = −122°30"

BB) sebesar 18°45′38.11" (U-T), artinya orang-orang di Sanfransisco ketika

melaksanakan sholat menghadap ke arah utara serong ke timur sebesar

18°45′11". Padahal kota Sanfransisco berada di sebelah barat kota Makkah.

Hal demikian dapat terjadi karena bentuk bumi yang tidak datar seperti di

peta.52

Sementara yang dimaksud dengan arah kiblat adalah arah atau jarak

terdekat sepanjang lingkaran besar yang melewati kota Makkah (Ka’bah)

dengan tempat kota yang bersangkutan. Dengan demikian tidak dibenarkan

misalkan orang-orang Jakarta melakukan sholat menghadap ke arah timur

serong ke selatan sekalipun bila diteruskan juga akan sampai kota Makkah.

Sebab jarak terdekat ke Makkah bagi orang yang di Jakarta adalah arah barat

serong ke utara sebesar 24°12′39" (B-U).53

Persoalan arah kiblat erat kaitanya dengan letak geografis suatu tempat,

berapa derajat jarak suatu tempat dari khatulistiwa yang lebih dikenal dengan

istilah lintang (𝜑) dan berapa derajat letak suatu tempat dari garis bujur (λ).

Lintang tempat (𝜑) diukur dari garis khatulistiwa ke arah kutub bumi (dari

khatulistiwa sampai ke suatu tempat), lintang yang berada di sebelah utara

khatulistiwa disebut lintang utara diberi tanda (+) yang berarti positif,

Sedangkan yang berada di sebelah selatan khatulistiwa disebut lintang selatan

dan diberi tanda (-) yang berarti negatif. Sementara garis khatulistiwa adalah

0°.54

Bujur tempat (λ) biasanya diukur dari meridian Greenwich di Inggris

sebagai titik pusat garis bujur. Garis bujur dari kota Greenwich ke arah barat

di sebut dengan bujur barat dan bertanda positif (+) dari 0° sampai dengan

52

Muhyidin Khazin, Ilmu Falak dalam Teori dan Praktik, hlm. 48. 53

Muhyidin Khazin, Ilmu Falak dalam Teori dan Praktik, hlm. 48. 54

A. Jamil, Ilmu Falak (Teori dan aplikasi), (Jakarta: Amzah, 2009), hlm. 109.

41

180°. Sebaliknya, garis bujur dari kota Greenwich ke arah timur di sebut

bujur timur yang bertanda (-). Jadi garis bujur diukur dari 0° sampai dengan

1800, baik ke arah barat maupun ke arah timur. Hal ini berarti bujur timur

dan bujur barat yang diukur dari 0° berlawanan arah bertemu pada meridian

180° sebagai batas penanggalan (date line) internasional.55

Adapun beberapa dalil syar’i yang terkait dengan arah kiblat adalah

sebagai berikut:56

Artinya: “Dan dari mana saja kamu keluar (datang), Maka Palingkanlah wajahmu ke arah

Masjidil haram, Sesungguhnya ketentuan itu benar-benar sesuatu yang hak dari Tuhanmu.

dan Allah sekali-kali tidak lengah dari apa yang kamu kerjakan”. (Al-Baqarah : 149)

Artinya : “Dan dari mana saja kamu (keluar), Maka Palingkanlah wajahmu ke arah Masjidil

Haram. dan dimana saja kamu (sekalian) berada, Maka Palingkanlah wajahmu ke arahnya,

agar tidak ada hujjah bagi manusia atas kamu, kecuali orang-orang yang zalim diantara

mereka. Maka janganlah kamu takut kepada mereka dan takutlah kepada-Ku (saja). dan

agar Ku-sempurnakan nikmat-Ku atasmu, dan supaya kamu mendapat petunjuk”.(Al-

Baqarah : 150)

Kesimpulan yang dapat diterik dari uraian di atas adalah bahwa definisi

arah kiblat pada dasarnya adalah arah menghadap sebuah bangunan yang

bernama Ka’bah yang berada di kota Makkah. Bagi orang muslim, ketika

mereka sedang melaksanakan sholat maka wajib hukumnya menghadap

kiblat. Sedangkan untuk menentukan arah kiblat tidak hanya sekadar

ditentukan berdasarkan arah pada peta saja. Namun, perlu adanya perhitungan

55

A. Jamil, Ilmu Falak (Teori dan aplikasi), hlm. 109. 56

Muhyidin Khazin, Ilmu Falak dalam Teori dan Praktik, hlm. 49.

42

dan prosedur untuk menentukan arah kiblat tersebut. Teori untuk perhitungan

arah kiblat yang sudah ada adalah trigonometri bola, geodesi dan navigasi.

B. Metode Penentuan Arah Kiblat

Metode untuk menentukan arah kiblat ada yang secara alami dan ada

pula yang menggunakan alat bantu. Secara alami biasanya adalah

menggunakan cahaya matahari atau bintang. Sedangkan yang menggunakan

alat bantu diantaranya adalah dengan menggunakan alat seperti kompas,

theodolit, global positioning system (GPS), segitiga kiblat dan lain-lain.

Metode penentuan arah kiblat juga mengalami perkembangan seiring

dengan perkembangan zaman dan kecanggihan teknologi. Aplikasi modern

yang digunakan sebagai metode untuk menentukan arah kiblat diantaranya

adalah aplikasi google earth, qibla locator, mizwala dan lain sebagainya.

1. Metode melihat benda-benda langit

Menggunakan benda langit sebagai pedoman penentuan arah kiblat

sebenarnya sudah tampak pada masa nabi dan para sahabatnya. Pada zaman

itu, ketika nabi berada di Madinah, nabi melaksanakan ibadah sholat dengan

berijtihad menghadap ke arah selatan. Hal ini dikarenakan posisi atau letak

kota Madinah yang berada di sebelah utara kota Makkah, sehingga arah

kiblatnya menghadap ke selatan. Kemudian nabi mengatakan dalam salah

satu haditsnya bahwa “antara timur dan barat terletak kiblat (Ka’bah)”.

Acuan menghadap arah selatan inilah yang dijadikan patokan arah kiblat oleh

kaum muslimin di berbagai wilayah.

Tidak hanya di Andalusia, di Syiria dan Palestina, patokan arah selatan

menjadi acuan utama arah kiblat, tapi juga Masjidil Aqsha (berdiri 715 M)

yang dibangun hampir tepat menghadap selatan. Masjid ini bertahap selama

beberapa abad. Bahkan melalui penelitian dan perhitungan praktisi falak

43

dengan sumbangsih data geografi, terbukti bahwa arah kiblat di Quds

(Palestina) terletak sekitar 45 derajat bujut timur menuju barat.57

Adapula masjid Amru bin Ash, masjid yang pertama berdiri di Mesir

dan terletak di Fushthath berpedoman pada arah terbitnya matahari pada

solstice (titik balik matahari) musim dingin. Patokan ini berkembang dan

bertahan selama kurun abad pertengahan. Masjid al-Khalifah al-Hakim dan

masjid al-Azhar terhitung sebagai masjid pertama yang dibangun pada masa

dinasti Fatimiyah yang ternyata melenceng 10 derajat. Kemudian ada seorang

ahli falak Mesir yaitu Ibnu Yunus yang menemukan bahwa kiblat sebenarnya

berada pada 37 derajat lintang selatan menuju timur berdasarkan hitungan

matematika astronomi.58

Sedangkan di Iraq, masjid-masjid dibangun tepat menghadap arah

terbenamnya matahari pada solstice musim dingin dengan menjadikannya

searah dengan arah tembok utara-timur tiang Ka’bah dimana jika seseorang

berdiri menghadap tiang tersebut, maka secara persis akan menghadap arah

terbenamnya matahari di musim tersebut.

Pada abad pertengahan, penentuan arah kiblat pada umumnya memakai

empat pola pergerakan angin. Di samping itu juga menggunakan petunjuk

arah munculnya bintang Canopus (najm suhayl) yang kebanyakan terbit di

belahan bumi bagian selatan. Sedangkan di tempat lain, arah kiblat ditentukan

melalui arah terbitnya matahari pada solstice musim panas.59

Pada zaman para sahabat, kedudukan bintang-bintang dan matahari

dimanfaatkan sebagai petunjuk arah untuk menentukan arah kiblat. Di tanah

Arab, bintang utama yang dijadikan rujukan dalam penentuan arah adalah

bintang Qutbi/Polaris (bintang utara), yaitu satu-satunya bintang yang

menunjuk tepat ke arah utara bumi. Dengan bantuan bintang ini dan beberapa

bintang lain, arah kiblat dapat ditentukan dengan mudah.

57

Ahmad Izzuddin, “Abu Raihan Al-Biruni dan Teori Penentuan Arah Kiblat (Studi

Penelusuran Asal Teori Panentuan Arah Kiblat)”, Laporan Penelitian Individual, hlm.52. 58

Ahmad Izzuddin, “Abu Raihan Al-Biruni dan Teori Penentuan Arah Kiblat (Studi

Penelusuran Asal Teori Panentuan Arah Kiblat)”, Laporan Penelitian Individual, hlm.53. 59

Ahmad Izzuddin, “Abu Raihan Al-Biruni dan Teori Penentuan Arah Kiblat (Studi

Penelusuran Asal Teori Panentuan Arah Kiblat)”, Laporan Penelitian Individual, hlm.55.

44

Rasi bintang yang lain yang dapat digunakan untuk menentukan arah

kiblat adalah rasi bintang orion. Pada rasi ini terdapat tiga bintang yaitu,

mintaka alnilam alnitak. Arah kiblat dapat ditentukan dengan memanjangkan

arah tiga bintang berderet ke arah barat. Rasi bintang orion ini akan berada di

langit Indonesia ketika waktu subuh pada bulan Juli dan kemudian akan

kelihatan lebih awal pada bulan Desember.60

Adapun bintang yang paling dekat dengan bumi adalah matahari.

Bayangan dari bintang matahari ini dapat digunakan untuk penentuan titik

koordinat (lintang dan bujur) suatu tempat yang berada di permukaan bumi

ini. Di samping itu, bintang matahari juga digunakan untuk menentukan arah

kiblat pada beberapa waktu yang diperhitungkan dengan metode rashdul

kiblat61

dan penentuan posisi azimuth62

matahari untuk mengetahui arah

kiblat dengan menggunakan berbagai alat bantu.

2. Metode dengan alat bantu

Penentuan arah kiblat selain menggunakan metode melihat benda-benda

langit juga dapat menggunakan metode dengan alat bantu. Setelah

mengetahui azimuth kiblat, maka untuk aplikasi penentuan arah kiblat dapat

digunakan alat bantu seperti kompas, astrolabe, rubu’ mujayyab, busur

derajat, theodolit.

a. Kompas

Kompas adalah alat penunjuk arah mata angin oleh jarum yang ada

padanya. Jarum kompas ini terbuat dari logam magnetis yang dipasang

sedemikian rupa sehingga dengan mudah bergerak menujukkan arah utara.

Hanya saja arah utara yang ditunjukan olehnya bukan arah utara sejati (titik

60

Ahmad Izzuddin, “Abu Raihan Al-Biruni dan Teori Penentuan Arah Kiblat (Studi

Penelusuran Asal Teori Panentuan Arah Kiblat)”, Laporan Penelitian Individual, hlm.57. 61

Rashdul kiblat adalah posisi matahari persis atau mendekati persis pada titik zenith

Ka’bah, lihat Ahmad Izzuddin, “Abu Raihan Al-Biruni dan Teori Penentuan Arah Kiblat (Studi

Penelusuran Asal Teori Panentuan Arah Kiblat)”, Laporan Penelitian Individual, hlm.96. 62

Azimuth sebuah benda langit adalah jarak dari titik utara ke lingkaran vertical yang

dilalui oleh benda lagit tersebut, diukur sepanjang lingkaran horizon searah perputaran jarum jam;

melalui titik timur, selatan sampai ke titik barat, lihat A. Jamil, Ilmu Falak (Teori dan aplikasi),

hlm. 17.

45

kutub utara), sehingga untuk mendapatkan arah utara sejati perlu adanya

koreksi deklinasi kompas terhadap arah jarum kompas.

Deklinasi kompas sendiri juga selalu berubah-ubah tergantung pada

posisi tempat dan waktu. Oleh karenanya, pengukuran arah kiblat dengan

kompas seperti ini memerlukan ekstra hati-hati dan penuh kecermatan.

Mengingat jarum kompas itu kecil dan peka terhadap daya magnet. Untuk

mendapatkan informasi tentang deklinasi kompas dapat menghubungi BMG

(Badan Metereologi dan Geofisika). 63

Kompas sebagai alat bantu untuk menentukan arah kiblat macamnya

juga ada beberapa jenis. Di antaranya adalah kompas transparan, kompas

magnet dan kompas kiblat.

1) Kompas transparan

Langkah untuk menentukan arah kiblat dengan menggunakan

kompas transparan adalah sebagai berikut:

Kompas diletakan pada bidang datar yang telah ditentukan titik

utara dan titik selatan.

Titik pusat kompas berada di titik pusat perpotongan garis utara

selatan dan timur barat, jarum kompas tepat mengarah utara, lalu

kompas diputar sebesar sudut yang dicari atau yang dikehendaki.

Setelah kompas diputar dan jarum jam kompas telah tepat pada

derajat sudut yang dicari, diberi tanda atau titik katakanlah titik Q,

dan itulah arah kiblat yang dicari.

Dari titik Q, tarik garis ke titik pusat perpotongan garis utara

selatan dan timur barat, itulah arah kiblat yang dicari. Selanjutnya

dari titik utara, tarik garis lengkung ke titik Q maka akan

membentuk sudut arah kiblat dan itulah arah kiblat.

63

Muhyidin Khazin, Ilmu Falak dalam Teori dan Praktik, hlm. 59.

46

2) Kompas magnet

Langkah untuk menentukan arah kiblat dengan menggunakan

kompas transparan adalah sebagai berikut:

Kompas diletakan pada bidang datar yang telah ditentukan titik

utara dan titik selatan.

Titik pusat kompas berada di titik pusat perpotongan garis utara

selatan dan timur barat, jarum kompas tepat mengarah utara, lalu

kompas diputar sebesar sudut yang dicari atau yang dikehendaki.

Setelah kompas diputar dan jarum jam kompas telah tepat pada

derajat sudut yang dicari, diberi tanda atau titik katakanlah titik P,

dan itulah arah kiblat yang dicari.

Dari titik P, tarik garis ke titik pusat perpotongan garis utara

selatan dan timur barat, itulah arah kiblat yang dicari. Selanjutnya

dari titik utara, tarik garis lengkung ke titik P maka akan

membentuk sudut arah kiblat dan itulah arah kiblat.

3) Kompas kiblat

Kompas kiblat merupakan alat yang sangat mudah digunakan untuk

menentukan arah kiblat suatu tempat, sebab dengan meletakan kompas

tersebut pada suatu tempat, maka jarumnya akan secara otomatis

mengarah atau menunjukan arah kiblat yang dicari.

Teknisnya sama dengan kompas transparan dan kompas magnetic.

Bedanya hanya jika pada kompas kiblat tidak diputar dan caranya

dimulai dari 10 tidak 0.64

Meskipun demikian, hasil yang diperoleh tetap merupakan perkiraan

sebab pengaruh dari gravitasi dan gaya magnet sangat besar sehingga

menyebabkan adanya penyimpangan yang relatif besar.

Gambar berikut adalah ilustrasi dari penggunaan alat bantu kompas

kiblat untuk menentukan arah kiblat:

64

A. Jamil, Ilmu Falak (Teori dan aplikasi), hlm. 122.

47

Gambar 18

Gambar di atas O adalah suatu tempat yang dicari arah kiblatnya. O-

U1 merupakan arah utara dari lokasi. O-U2 adalah arah kiblat yang dicari.

Sedangkan U1-U2 adalah besar sudut arah kiblat yang dicari, yaitu

64°43".

Contoh dari beberapa gambar kompas di antaranya adalah sebagai

berikut:

Gambar 19. Gambar kompas

U1

U2

B T

S

64°43"

0

48

b. Astrolabe

Astrolabe merupakan alat perhitungan yang penting pada abad

pertengahan bertepatan dengan awal-awal renaisains. Asteolabe merupakan

peralatan yang digunakan untuk mengukur kedudukan benda langit pada bola

langit. Alat ini diciptakan oleh orang Arab dan pada umumnya terdiri dari

satu buah lubang pengintai dan dua buah piringan dengan skala derajat yang

diletakan sedemikian rupa untuk menyatakan ketinggian dan azimuth suatu

benda langit.

Astrolabe berfungsi seperti computer analog, untuk memecahkan banyak

masalah astronomi dan persoalan penentuan waktu. Selain untuk menentukan

waktu sholat dan arah Makkah, astrolabe pada abad pertengahan dengan

piringan yang dapat diganti-ganti, yang disesuaikan untuk penggunaan pada

lokasi geografi yang berbeda, dapat dimanipulasi untuk memberikan berbagai

bentuk data penentu waktu dan perputaran tahunan benda-benda langit,

pengukuran di atas bumi, dan informasi astrologi.

Adapun contoh gambar dari astrolabe di antaranya adalah sebagai

berikut:

Gambar 20. Gambar astrolabe.

c. Rubu’ Mujayyab (Kuadrant)

Rubu’ mujayyab dibuat oleh seorang ahli falak Syiria bernama Ibnu Asy-

Syatir pada abad ke 14. Melihat alat ini perputaran harian yang terlihat pada

ruang angkasa dapat disimulasikan dengan gerakan benang yang terletak di

pusat alat ini. Sebuah bandul yang bergerak pada benang ke posisi yang

49

berhubungan dengan matahari atau bintang tertentu dapat dibaca pada tanda-

tanda dalam kuadrant. Alat ini jauh lebih mudah digunakan untuk

memecahkan masalah-masalah standar pada astronomi ruang untuk garis

lintang tertentu.

Rubu’ mujayyab pada dasarnya digunakan untuk menentukan arah kiblat

setelah diketahui arah utara dengan mengaplikasikan sudut kiblat yang sudah

diperhitungkan. Alat ini mulai dikembangkan oleh kaum muslimin di mesir

pada abad ke 11 dan 12. Sedangkan pada abad 16 alat ini telah menggantikan

astrolabe di dunia muslim kecuali di Persia dan India.65

Contah gambar rubu’ mujayyab di antaranya adalah sebagai berikut:

Gambar 21. Gambar rubu’ mujayyab

d. Busur Derajat

Busur derajat atau yang sering dikenal dengan nama busur merupakan

alat pengukur sudut yang berbentuk setengah lingkaran (sebesar 180°). Busur

juga bisa berbentuk lingkaran (sebesar 360°). Cara penggunaan busur hampir

sama dengan rubu’ mujayyab, yaitu cukup dengan meletakkan pusat busur

pada titik perpotongan garis utara-selatan dan barat-timur. Kemudian tandai

berapa derajat sudut kiblat tempat yang dicari. Tarik garis dari titik pusat

menuju tanda dan itulah arah kiblat.

65 Ahmad Izzuddin, “Abu Raihan Al-Biruni dan Teori Penentuan Arah Kiblat (Studi

Penelusuran Asal Teori Panentuan Arah Kiblat)”, Laporan Penelitian Individual, hlm.72.

50

e. Theodolit

Teodolit merupakan instrument optik survei yang digunakan untuk

mengukur sudut dan arah yang dipasang pada tripod. Sampai saat ini

theodolit dianggap sebagai alat yang paling akurat di antara metode-metode

yang sudah ada dalam penentuan arah kiblat. Dengan bantuan pergerakan

benda langit yaitu matahari, theodolit dapat menunjukan sudut hingga satuan

detik busur. Dengan mengetahui posisi matahari yaitu memperhitungkan

azimuth matahari, maka utara sejati ataupun azimuth kiblat dari suatu tempat

akan dapat ditentukan secara akurat.

Theodolit dilengkapi dengan teropong yang mempunyai pembesaran

lensa yang bervariasi, juga ada yang sudah menggunakan laser untuk

mempermudah dalam penunjukan garis kiblat. Oleh karena itu penentuan

arah kiblat dengan menggunakan alat ini akan menghasilkan data yang akurat.

Langkah-langkah pengukuran arah kiblat dengan menggunakan alat

bantu theodolit adalah sebagai berikut:

1) Persiapan:

Menentukan kota yang akan diukur arah kiblatnya.

Menyiapkan data lintang tempat (𝜑) dan bujur tempat (λ).

Melakukan perhitungan arah kiblat untuk tempat yang

bersangkutan. Data arah kiblat hendaklah diukur dari arah titik

utara ke barat.66

Menyiapkan data astronomis, Ephimeris hisab rukyat pada hari

atau tanggal pengukuran.

Membawa jam penunjuk waktu yang akurat.

Menyiapkan theodolit.

2) Pelaksanaan

Pasang theodolit pada penyanggganya.

Periksa waterpass yang ada padanya supaya theodolit benar-benar

datar.

66

Muhyidin Khazin, Ilmu Falak dalam Teori dan Praktik, hlm. 60.

51

Beri tanda atau titik pada tempat berdirinya theodolit. Misalkan

titik T.

Bidiklah matahari dengan theodolit.

Kuncilah theodolitnya agar tidak bergerak-gerak.

Tekan tombol “0-Set” pada theodolit, agar angka pada layar (HA;

horizontal angel) menunjukan 0 (nol).

Mencatat waktu kapan membidik matahari (W).

Mengkonversi waktu yang dipakai GMT, misalnya WIB dikurangi

7 jam.

Melacak nilai deklinasi matahari (𝛿0) pada waktu hasil konversi

tersebut (GMT) dan nilai equation of time (e) pada saat matahari

berkulminasi (misalnya pada jam 5 GMT) dari ephimeris.

Menghitung waktu meridian pass (MP) pada hari itu dengan rumus:

MP = ( 𝟏𝟎𝟓 − 𝝀 : 𝟏𝟓) + 12 - e)67

𝜆 = bujur tempat Ka’bah

𝑒 = equation of time

Menghitung sudut waktu (t0) dengan menggunakan rumus;

t0 = (MP - W) x 1568

Mengitung azimuth matahari (A0) dengan rumus:

𝒄𝒐𝒕 𝑨𝟎 = 𝒄𝒐𝒔 𝝋𝒕𝒂𝒏 𝜹𝟎 : 𝒔𝒊𝒏 𝒕𝟎 − (𝒔𝒊𝒏 𝝋: 𝒕𝒂𝒏 𝒕𝟎) 69

Arah kiblat (AK) dengan theodolit adalah:

i. Jika deklinasi matahari (𝜹𝟎) positif dan pembidikan dilakukan

sebelum matahari berkulminasi maka; AK = 3600 – A0 – Q.

Sedangkan jika matahari sudah berkulminasi maka; AK = 3600 –

A0 – Q.

ii. Jika deklinasi matahari (𝜹𝟎) negative dan pembidikan dilakukan

sebelum matahari berkulminasi maka; AK = 3600 – (180

0-A0 ) –

67

Muhyidin Khazin, Ilmu Falak dalam Teori dan Praktik, hlm. 61. 68

Muhyidin Khazin, Ilmu Falak dalam Teori dan Praktik, hlm. 62. 69

Muhyidin Khazin, Ilmu Falak dalam Teori dan Praktik, hlm. 62.

52

Q. Sedangkan jika matahari sudah berkulminasi maka; AK =

1800 – A0 – Q.

Bukalah kunci horizontal tadi (kendurkan skrup horizontal clamp).

Putar theodolit sedemikian rupa hingga layar theodolit

menampilkan angka senilai perhitungan AK tersebut. Apabila

theodolit diputar ke kanan (searah jarum jam) maka angkanya

semakin membesar atau bertambah. Sebaliknya jika theodolit

diputar ke kiri (berlawanan arah jarum jam) maka angkanya akan

semakin mengecil atau berkurang.

Turunkan sasaran theodolit sampai menyentuh tanah pada jarak

sekitar 5 meter dari theodolit. Lalu berilah tanda atau titik tepat

pada sasaran itu, misalnya titik Q.

Hubungkan antara titik sasaran (Q) tersebut dengan tempat

berdirinya theodolit (T) dengan garis lurus atau benang.

Garis lurus itulah arah kiblat untuk tempat tersebut.

Adapun contoh dari gambar theodolit di antaranya adalah sebagai

berikut:

Gambar 22. Gambar theodolit

53

C. Rumus Trigonometri dalam Perhitungan Arah Kiblat

1. Rumus Trigonometri dalam Teori Trigonometri Bola

Selama ini teori yang digunakan untuk menghitung sudut kiblat

adalah teori trigonometri bola. Teori ini banyak digunakan untuk menghitung

persoalan-persoalan yang terkait dengan ilmu falak seperti penentuan awal

bulan qamariyah, waktu sholat, gerhana matahari dan bulan, arah kiblat dan

lain sebagainya.

Trigonometri bola merupakan ilmu ukur sudut bidang datar yang bisa

diaplikasikan pada permukaan yang berbentuk bola seperti bumi. Sebab

antara keduanya sama-sama berkaitan dengan polygon (khususnya bentuk

segitiga) pada bola dan terdapat hubungan antara sisi dan sudut.70

Geometri bola menunjukan bentuk geometri pada permukaan sebuah

bola, yaitu sebuah geometri dua dimensi. Geometri sebuah bola terdiri dari

lingkaran besar (great circle), lingkaran kecil (small circle), dan busur di

permukaan. Jarak sepanjang lingkaran utama umumnya dinyatakan sebagai

derajat di mana radius bola sering dianggap sama dengan satu.

Lingkaran besar (great circle) adalah lingkaran yang berpusat di titik

pusat bola dan didefinisikan sebagai sebuah titik dengan jarak yang sama ke

seluruh permukaan. Sedangkan lingkaran yang titik tengahnya bukan titik

pusat bola atau tidak melalui titik pusat bola disebut sebagai lingkaran kecil

(small circle). Sebuah lingkaran yang memotong tegak lurus lingkaran besar

disebut kutub lingkaran besar.71

Suatu tempat yang berada di permukaan bumi dapat digambarkan

dengan titik-titik. Titik tersebut didefinisikan oleh dua koordinat, yaitu bujur

dan lintang. Bujur (λ) menggambarkan lokasi sebuah tempat yang berada di

sebelah timur dan barat bumi dari sebuah garis utara selatan yang disebut

meridian utama (Greenwich). Nilai bujur dihitung berdasarkan pengukuran

70

Ahmad Izzuddin, “Abu Raihan Al-Biruni dan Teori Penentuan Arah Kiblat (Studi

Penelusuran Asal Teori Panentuan Arah Kiblat)”, Laporan Penelitian Individual, hlm.36. 71

Ahmad Izzuddin, “Abu Raihan Al-Biruni dan Teori Penentuan Arah Kiblat (Studi

Penelusuran Asal Teori Panentuan Arah Kiblat)”, Laporan Penelitian Individual, hlm.37.

54

sudut yang berkisar antara 00 di Greenwich sampai +180

0 arah timur dan -

1800 arah barat. Bujur di sebelah barat Greenwich disebut bujur barat (BB),

dan bujur di sebelah timur Greenwich disebut bujur timur (BT). Sedangkan

lintang (𝜑) merupakan garis khayal yang menggambarkan lokasi sebuah

tempat di bumi terhadap garis khatulistiwa (utara atau selatan). Nilai lintang

dihitung berdasarkan perhitungan sudut dari 00 di khatulistiwa sampai ke

+1900

di kutub utara dan -1900

di kutub selatan. Lintang yang terletak di

sebelah utara khatulistiwa dinamakan lintang utara (LU), dan lintang yang

terletaj di sebelah selatan khatulistiwa disebut lintang selatan (LS).72

Penentuan arah kiblat pada dasarnya adalah menghitung sudut yang

dibentuk dari titik daerah yang diukur arah kiblatnya dari titik Ka’bah.

Sehingga dalam penentuan arah kiblat ini ada beberapa titik yang digunakan

yaitu titik utara sejati, titik koordianat Ka’bah (21025’21,17” LU dan

39049’34,56” BT

73), dan titik koordinat tempat yang akan diukur. Setiap

tempat mempunyai arah kiblat yang berbeda tergantung pada posisinya.

Gambar berikut mengilustrasikan sudut kiblat suatu tempat atau

daerah tertentu terhadap titik Ka’bah yang berada di kota Makkah:

Gambar 23. Gambar sudut kiblat suatu tempat

Gambar 23 di atas menunjukan arah kiblat kota X, di mana X

adalah kota yang diukur arah kiblatnya. Sedangkan M adalah kota Makkah

(posisi Ka’bah berada). Arah kiblat kota X ditunjukan oleh garis XM .

72 Ahmad Izzuddin, “Abu Raihan Al-Biruni dan Teori Penentuan Arah Kiblat (Studi

Penelusuran Asal Teori Panentuan Arah Kiblat)”, Laporan Penelitian Individual, hlm.39. 73

Ahmad Izzuddin, “Abu Raihan Al-Biruni dan Teori Penentuan Arah Kiblat (Studi

Penelusuran Asal Teori Panentuan Arah Kiblat)”, Laporan Penelitian Individual, hlm.41.

S

M

X

U

900 - 𝜑 X

900 - 𝜑 M

55

Garis itu merupakan busur lingkaran besar yang melalui kedua tempat

tersebut. Dari situ juga dapat diketahui sebuah segitiga bola XMU. Jika

posisi kota X dinyatakan dengan (𝜑 X, λ

X) dan untuk kota Makkah

dinyatakan dengan (𝜑 M, λ

M), maka sisi MU = 90

0 - 𝜑 M

dan sisi XU = 900

- 𝜑 X . Selain itu juga sudut U juga dapat diketahui yaitu (λ

X - λ

M). dalam

hal ini sudut U biasa juga disebut dengan sudut C.74

Rumus penentuan arah kiblat dengan trigonometri bola tersebut

adalah sebagai berikut:

𝐜𝐨𝐭 𝐗 = 𝐭𝐚𝐧𝜑𝐌 𝐜𝐨𝐬 ∅𝐗 : 𝐬𝐢𝐧 𝐂 − 𝐬𝐢𝐧𝜑𝐗 : 𝐭𝐚𝐧 𝐂 75

Persamaan atau rumus tersebut biasanya digunakan untuk

mengetahui sudut kiblat kota X dihitung dari utara ke barat. Dari

persamaan ini dapat diketahui bahwa sudut X akan bernilai positif bila (λX

- λM

) positif, yaitu untuk tempat-tempat yang berada di sebelah barat kota

Makkah. Sebaliknya, sudut X bernilai negatif manakala (λX - λ

M) bernilai

negatif, yaitu untuk wilayah atau kota yang terletak di sebelah timur kota

Makkah.

Rumus trigonometri yang digunakan dalam perhitungan (hisab)

arah kiblat selain rumus tersebut di atas masih ada rumus lain seperti

rumus : 𝐜𝐨𝐭 𝐁 = 𝐜𝐨𝐭 𝐛 𝐬𝐢𝐧 𝐚 ÷ 𝐬𝐢𝐧 𝐜 – 𝐜𝐨𝐬 𝐚 𝐜𝐨𝐭 𝐜 76

. Adapun contoh

perhitungan arah kiblat dengan menggunakan rumus tersebut adalah

sebagai berikut:

a. Persiapan

1) Tentukan kota atau tempat yang akan dicari arah kiblatnya.

2) Siapkan data geografis yang diperlukan.

3) Ambil data yang diperlukan.

4) Tentukan rumus yang akan digunakan.

5) Mencari nilai sisi a, b, dan c.

74

Ahmad Izzuddin, “Abu Raihan Al-Biruni dan Teori Penentuan Arah Kiblat (Studi

Penelusuran Asal Teori Panentuan Arah Kiblat)”, Laporan Penelitian Individual, hlm.42. 75

Ahmad Izzuddin, “Abu Raihan Al-Biruni dan Teori Penentuan Arah Kiblat (Studi

Penelusuran Asal Teori Panentuan Arah Kiblat)”, Laporan Penelitian Individual, hlm.42. 76

A. Jamil, Ilmu Falak (Teori dan aplikasi), (Jakarta: Amzah, 2009), hlm. 111.

56

6) Mencari arah kiblatnya (cotan B).

b. Pelaksanaan (hisab arah kiblat kota Bantul, Yogyakarta)77

1) Data yang diperlukan:

𝜑B = -07056’

𝜑A = 21025’

λB = 110020’ timur

λA = 39050’ timur

2) Rumus yang digunakan

𝐜𝐨𝐭 𝐁 = 𝐜𝐨𝐭 𝐛 𝐬𝐢𝐧 𝐚 ÷ 𝐬𝐢𝐧 𝐜 – 𝐜𝐨𝐬 𝐚 𝐜𝐨𝐭 𝐜

3) Mencari nilai sisi a, b, dan sudut c

a = 900 - 𝜑B = 90

0 – (- 07

056’) = 97

056’

b = 900 - 𝜑A = 90

0 – (21

025’) = 68

035’

c = (λB - λA) = 110020’ – 39

051’ = 70

030’

4) Mencari arah kiblat Bantul dengan rumus :

𝐜𝐨𝐭 𝐁 = 𝐜𝐨𝐭 𝐛 𝐬𝐢𝐧 𝐚 ∶ 𝐬𝐢𝐧 𝐜 − (𝐜𝐨𝐬 𝐚 𝐜𝐨𝐭 𝐜)

cot 68°35′ = 0, 39922 ×

sin 97°56′ = 0, 9904 ÷

sin 70°30′ = 0, 9426 =

𝐜𝐨𝐭 𝐛 𝐬𝐢𝐧 𝐚 ÷ 𝐬𝐢𝐧 𝐜 = 𝟎, 𝟒𝟏𝟐𝟏

cos 97°56′ = −0, 1380 ×

cot 70°30′ = 0, 3541 =

𝐜𝐨𝐬 𝐚 𝐜𝐨𝐭 𝐜 = −𝟎, 𝟎𝟒𝟖𝟗 –

𝐜𝐨𝐭 𝐁 = 𝟎. 𝟒𝟔𝟏𝟎

𝐁 = 𝟔𝟓°𝟏𝟓′(𝐔 − 𝐁)

Dengan demikian, arah kiblat kota Bantul daerah istimewa

yogyakarta sebesar ;65°15′ dari utara ke barat atau 24°45′ dari

barat ke utara.

77

A. Jamil, Ilmu Falak (Teori dan aplikasi), (Jakarta: Amzah, 2009), hlm. 113.

57

2. Rumus Trigonometri dalam Teori Geodesi

Pada dasarnya ada tiga macam system referensi koordinat yang banyak

digunakan dalam bidang geodesi satelit yaitu:78

CIS (Conventional Inertial System)

CTS (Conventional Terrestrial System)

Sistem Ellipsoid

Sistem CIS umumnya digunakan untuk mendefinisikan posisi dan

pergerakan satelit. Sedangkan sistem-sistem CTS dan sistem Ellipsoid dipakai

untuk mendefinisikan posisi dan pergerakan titik di permukaan bumi.

Permukaan bumi dapat didekati secara baik dengan suatu ellipsoid

putaran, yaitu ellips meridian yang diputar mengelilingi sumbu pendeknya.

Oleh sebab itu secara geometrik, koordinat titik-titik di permukaan bumi juga

dapat dinyatakan koordinatnya dalam sistem referensi ellipsoid. Seperti

halnya dengan sistem CTS, sistem referensi ellipsoid ini berotasi dengan

bumi dan juga berevolusi bersama dengan bumi mengelilingi matahari.

Karakteristik dari sistem referensi ellipsoid adalah sebagai berikut:

Titik nol sistem koordinat adalah pusat ellipsoid.

Sumbu X berada dalam bidang meridian nol dan terletak pada

bidang ekuator ellipsoid.

Sumbu Z berimpit dengan sumbu pendek ellipsoid.

Sumbu Y tegak lurus dengan sumbu-usmbu X dan Z, dan

membentuk sistem koordinat tangan-tangan (right-handed system).

Dalam sistem referensi ellipsoid koordinat suatu titik umumnya

dinyatakan sebagai (φ, λ, h) dimana φ adalah lintang geodetik, λ adalah bujur

geodetik, dan h adalah tinggi ellipsoid. Dalam hal ini koordinat juga dapat

dinyatakan dengan besaran-besaran jarak (X, Y, Z). kedua koordinat ini dapat

saling ditranformasikan satu dengan yang lainnya dengan menggunakan

formulasi matematis. Illustrasinya dapat dilihat pada gambar berikut:79

78

Hasanuddin Z. Abidin, Geodesi Satelit, (Jakarta : PT Pradnya paramita, 2001), hlm. 31. 79

Hasanuddin Z. Abidin, Geodesi Satelit, (Jakarta : PT Pradnya paramita, 2001), hlm. 36.

58

Gambar 24. Sistem koordinat referensi ellipsoid

Formulasi matematis yang dapat diperoleh dari gambar tersebut adalah

sebagai berikut:80

𝑋𝑌𝑍 =

(𝑅𝑛 + ℎ). cos φ . cos 𝜆(𝑅𝑛 + ℎ). cos φ . sin 𝜆

1 − 𝑒2 𝑅𝑛 + φ . sin ∅ ……………. (1)

Rumus di atas, di mana 𝑅𝑛 dan e adalah jari-jari kelengkungan vertikal

dan eksentrisitas ellipsoid referensi yang keduanya juga dapat dihitung

sebagai berikut:

𝑅𝑛 =𝑎

1−𝑒2𝑠𝑖𝑛 2φ , 𝑒2 =

𝑎2−𝑏2

𝑎2 ………. (2)

Dimana a dan b adalah setengah sumbu panjang dan setengah sumbu

pendek dari ellipsoid referensi yang digunakan. Dari rumus tersebut terlihat

jelas bahwa transformasi dari (X, Y, Z) ke (φ, λ, h) tidak dapat dilakukan

secara langsung. Demikian pula sebaliknya, transformasi dari (φ, λ, h) ke (X,

Y, Z) juga tidak bisa dilakukan secara langsung, karena kedua persamaan

tersebut tidak linear.81

80

Hasanuddin Z. Abidin, Geodesi Satelit, (Jakarta : PT Pradnya paramita, 2001), hlm. 36. 81

Hasanuddin Z. Abidin, Geodesi Satelit, hlm. 36.

Sumbu Z

Sumbu X

Sumbu Y

Garis normal

Meridian nol

Pusat ellipsoid

Permukaan bumi

h

λ

φ

Bidang ekuator ellipsoid

P

59

Adapun perhitungan arah kiblat dengan teori geodesi rumus yang

digunakan adalah bentuk matematis ellipsoid metode vincenty. Rumus yang

digunakan adalah sebagai berikut:82

α1 = arc. tan2(cos U2 . sin λ , cos U1. sin U2 − sin U1. cos U2. cos λ)

α2 = arc. tan2(cos U1 . sin λ , − sin U1. cos U2 + cos U1. sin U2. cos λ)

Penentuan arah kiblat dalam teori geodesi tidak lain berbicara

tentang penentuan azimuth dua titik yang diketahui titik koordinatnya.

Berikut merupakan contoh perhitungan penentuan azimuth dengan

menggunakan metode inverse geodetise geodetic problem vincenty untuk

menentukan azimuth satu titik ke titik lain dalam wilayah yang lebih

luas. Contoh perhitungan menggunakan metode Vincenty adalah sebagai

berikut: 83

C

CaabtB

sin

coscossincocot

.......................................................... (1.1)

Ellipsoid referensi : WGS 1984

a = 6 378 137 m

b = 6 356 752,3142 m84

L = λB- λA = BL – BK = 110⁰ 26’ 15,2” - 39⁰ 49’ 34,05” =

70,6114305555556 derajat.

L = 1,23240195273777 radian

U1 = Atan((1−f ).tan φA) = 0,372752906463265 radian

…………………..(1.2)

82

Guna Putri Widyati, Perbandingan Penentuan Arah Kiblat antara Bentuk Matematis

Bola dengan Bentuk Matematis Ellipsod, dalam majalah Zenit edisi V/tahun III/ Desember 2010,

(Semarang: Fakultas Syari’ah IAIN Walisongo, 2010), hlm.25 83

Ahmad Izzuddin, “Kajian Terhadap Metode-Metode Penentuan Arah Kiblat dan

Akurasinya”, Disertasi (Semarang : Program Doktor IAIN Walisongo, 2011), hlm. 160. 84

Parameter ellipsoida tersebut diperoleh dari (www.latlong-vicenty.com)

60

U2 = Atan((1−f ).tan φB) = -0,122731525362272 radian

………………….. (1.3)

λ = Lamda = 1,23636882231941 radian, hasil ini diperoleh dari proses

iterasi. Penjabaran rumus dapat dilihat pada lampiran

sinσ = Sin_Sigma

= √[ (cosU2.sinλ)² + (cosU1.sinU2 − sinU1.cosU2.cosλ)² ]

= 0,965929665703138 radian …………(1.4)

cosσ = Cos_Sigma

= sinU1.sinU2 + cosU1.cosU2.cosλ

= 0,258804715788999 radian ……………………………..(1.5)

σ = Sigma = atan2(sinσ, cosσ) = 1,30901177376323radian

……..………..(1.6)

sinα = Sin_Alpha = cosU1.cosU2.sinλ / sinσ

= 0,903910349918506 radian ………….……….....………... (1.7)

cos²α = CosKuadrat_Alpha = 1 − sin²α

= 0,182946079310204 radian….………………..……… (1.8)

cos2σm = Cos2Sigma_m = cosσ − 2.sinU1.sinU2/cos²α

= 0,746208687025363 radian ……..………….. (1.9)

C = C_Vin = f/16.cos²α.[4+f.(4−3.cos²α)]

= 0,000153789486625063 radian ……………..… (1.10)

λ′ = Lamda Aksen

= L + (1−C).f.sinα.{σ+C.sinσ.[cos2σm+C.cosσ.(−1+2.cos²2σm)]}

=1,23636882231902 radian, hasil ini diperoleh dari proses iterasi.

(1.11)

u²= u_VinKuadrat = cos²α.(a²−b²)/b²

= 0,00123296450814141 radian ……………....………… (1.12)

A = A_Vin = 1+u²/16384.{4096+u².[−768+u².(320−175.u²)]}

=1,00030816990417 radian ...…………...(1.13)

61

B = B_Vin = u²/1024.{256+u².[−128+u².(74−47.u²)]}

= 0,000308051237195886 radian …………............... (1.14)

Δσ = Delta_Sigma

= B.sinσ.{cos2σm+B/4.[cosσ.(−1+2.cos²2σm) –

B/6.cos2σm.(−3+4.sin²σ).(−3+4.cos²2σm)]}

= 0,000222039418695096 rad …………………..…............... (1.15)

α1 = AZ1 = atan2(cosU2.sinλ, cosU1.sinU2 − sinU1.cosU2.cosλ)

= 103,93718718721 derajat = 103⁰ 56’ 13,8738739569214” ..............

(1.16)

α2 = AZ2 = atan2(cosU1.sinλ, −sinU1.cosU2 + cosU1.sinU2.cosλ)

= 114,389249806233 derajat = 114⁰ 23’ 21,2993024” ............ (1.17)

Arah Kiblat = α2 + 180⁰ = 294⁰ 23’ 21,2993024”

3. Rumus Trigonometri dalam Teori Navigasi

a) Sistem Navigasi GPS

GPS adalah sistem radio navigasi dan penentuan posisi dengan

menggunakan satelit navigasi yang dimiliki dan dikelola oleh Departemen

Pertahanan Amerika Serikat. Nama formalnya adalah NAVSTAR GPS

(Navigation Satellite Timing and Ranging Global Positioning System).

Sistem ini digunakan untuk memberikan informasi mengenai posisi, waktu

dan kecepatan kepada siapa saja secara global tanpa ada batasan waktu dan

cuaca. Satelit GPS pertama diluncurkan pada tahun1978 dan secara resmi

sistem GPS dinyatakan operasional pada tahun 1994.

62

b) Segmen Penyusun Sistem GPS

Sistem GPS tediri atas tiga segmen utama, yaitu segmen angkasa

(space segment), segmen sistem kontrol (control system segment), dan

segmen pengguna (user segment).85

1. Segmen Angkasa

Segmen angkasa terdiri dari 24 buah satelit GPS yang secara kontinyu

memancarkan sinyal – sinyal yang membawa data kode dan pesan

navigasi yang berguna untuk penentuan posisi, kecepatan dan waktu.

Satelit-satelit tersebut ditempatkan pada enam bidang orbit dengan

periode orbit 12 jam dan ketinggian orbit 20.200 km di atas permukaan

bumi. Keenam orbit tersebut memiliki jarak spasi yang sama dan

berinklinasi 55o terhadap ekuator dengan masing-masing orbit

ditempati oleh empat buah satelit dengan jarak antar satelit yang tidak

sama.

2. Segmen Sistem Kontrol

Segmen sistem kontrol terdiri dari Master Control Station (MCS),

Ground Station, dan beberapa Monitor Station (MS) yang berfungsi

untuk mengontrol dan memonitor pergerakan satelit.

3. Segmen Pengguna

Segmen pengguna terdiri dari para pengguna satelit GPS baik yang ada

di darat, laut maupun udara Dalam hal ini receiver GPS dibutuhkan

untuk menerima dan memproses sinyal-sinyal dari GPS untuk

digunakan dalam penentuan posisi, kecepatan, dan waktu. 9

85

Hasanuddin Z. Abidin, Geodesi Satelit, hlm. 171.

63

c) Sinyal GPS

Sinyal GPS yang dipancarkan oleh satelit-satelit GPS menggunakan

band frekuensi L pada spektrum gelombang elektromagnetik. Setiap satelit

GPS memancarkan dua (2) gelombang pembawa yaitu L1 dan L2 yang

berisi data kode dan pesan navigasi. Pada dasarnya sinyal GPS terdiri dari

tiga komponen, yaitu: penginformasi jarak (kode), penginformasi posisi

satelit (navigation message) dan gelombang pembawanya (carrier wave).

d) Penginformasi Jarak

Penginformasi jarak yang dikirimkan oleh satelit GPS terdiri dari dua

buah kode PRN (Pseudo Random Noise) yaitu kode-C/A (Coarse

Acquisition/Clear Access) yang dimodulasikan pada gelombang pembawa

L1 dan kode-P(Y) (Private) yang dimodulasikan baik pada gelombang

pembawa L1 maupun L2. Kedua kode tersebut disusun oleh rangkaian

kombinasi bilangan-bilangan biner (0 dan 1). Setiap satelit GPS

mempunyai struktur kode yang unik dan berbeda antara satu satelit dengan

satelit lainnya yang memungkinkan receiver GPS untuk membedakan

sinyal-sinyal yang datang dari satelit-satelit GPS yang berbeda. Sinyal-

sinyal tersebut dapat dibedakan oleh receiver dengan menggunakan teknik

yang dinamakan CDMA (Code Division Multiple Accsess).

e) Penginformasi Posisi

Pesan navigasi yang dibawa oleh sinyal GPS terdiri dari informasi

ephemeris (orbit) satelit yang biasa disebut broadcast ephemeris yang

terdiri dari parameter waktu, parameter orbit satelit dan parameter

perturbasi dari orbit satelit. Parameter – parameter tersebut digunakan

untuk menentukan koordinat dari satelit. Disamping broadcast ephemeris ,

pesan navigasi juga berisi almanac satelit yang memberikan informasi

tentang orbit nominal satelit yang berguna bagi receiver dalam proses

akuisasi awal data satelit maupun bagi para pengguna dalam perencanaan

waktu pengamatan yang optimal. Informasi lain yang dibawa oleh pesan

navigasi adalah koefisien koreksi jam satelit, parameter koreksi ionosfer,

status konstelasi satelit dan informasi kesehatan satelit.

64

f) Gelombang Pembawa

Kode dan pesan navigasi agar dapat mencapai pengamat harus

dimodulasikan terlebih dahulu pada gelombang pembawa. Gelombang

pembawa yang digunakan terdiri atas dua gelombang , yaitu gelombang

L1 dan L2. Gelombang L1 (1575.42 Mhz) membawa kode-P(Y) dan

kode-C/A sedangkan gelombang L2 (1227.60 Mhz) hanya membawa

kode-P(Y) saja. Teknik modulasi yang digunakan dalam sinyal GPS

adalah BPSK (Binary Phase Shift Keying) yang menggunakan

modulasi.

g) Penentuan Posisi Absolut dengan GPS

Penentuan posisi dengan GPS adalah penentuan posisi tiga dimensi

yang dinyatakan dalam sistem koordinat kartesian (X,Y,Z) dalam datum

WGS (World Geodetic System) 1984. Untuk keperluan tertentu,

koordinat kartesian tersebut dapat dikonversi ke dalam koordinat

geodetik (φ,λ,h). Titik yang akan ditentukan posisinya dapat diam

(static positioning) maupun bergerak (kinematic positioning).

Penentuan posisi absolut merupakan metode penentuan posisi yang

paling mendasar dan paling banyak digunakan untuk aplikasi-aplikasi

yang idak memerlukan tingkat ketelitian posisi yang tinggi dan tersedia

secara instant real-time) seperti pada aplikasi navigasi wahana bergerak

(darat, laut dan udara).

h) Prinsip Penentuan Posisi Absolut dengan GPS.

Prinsip dasar penentuan posisi absolut dengan GPS adalah dengan

reseksi jarak ke beberapa satelit GPS sekaligus yang koordinatnya telah

diketahui. Pada penentuan posisi absolut dengan data pseudorange,

jarak pengamat (receiver) ke satelit GPS ditentukan dengan mengukur

besarnya waktu tempuh sinyal GPS dari satelit ke receiver pengamat.

Waktu tempuh ditentukan dengan menggunakan teknik korelasi kode

(code correlation technique) dimana sinyal GPS yang datang

dikorelasikan dengan sinyal replika yang diformulasikan dalam

receiver. Jarak dari receiver ke pengamat kemudian dapat ditentukan

65

dengan mengalikan waktu tempuh dengan kecepatan cahaya. Karena

ada perbedaan waktu pada jam satelit dan jam receiver maka data jarak

yang diperoleh bukan merupakan jarak yang sebenarnya melainkan

jarak pseudorange.

D. Istilah-istilah dalam Ilmu Falak

1) Meridian

Meridian adalah lingkaran vertikal yang menghubungkan titik utara,

selatan, zenith, nadir melalui kutub utara dan kutub selatan.86

2) Lintang

Lintang (𝜑) adalah jarak dari khatulistiwa ke kutub, diukur melalui

lingkaran kutub ke arah utara disebut lintang utara diberi tanda pofitif (+)

dan ke arah selatan yang diberi tanda negatif (-).87

3) Bujur

Bujur adalah jarak suatu tempat dari kota Greenwich di Inggris yang

diukur melalui lingkaran meridian. Ke arah timur di sebut dengan bujur

timur dan bertanda negatif (-), dan ke arah barat yang disebut dengan

bujur barat dan diberi tanda positif (+). Baik bujur timur ataupun bujur

barat diukur melalui lingkaran meridian dari kota Greenwich di Inggris,

yaitu pada bujur (00) sampai dengan bujur (180

0).

88

4) Horizon

Horizon adalah lingkaran pada bola langit yang menghubungkan titik

utara, titik timur, titik selatan dan titik barat samapi ke titik utara. Horizon

merupakan batas pemisah antara belahan langit yang tampak dan tidak

tampak.89

86

A. Jamil, Ilmu Falak (Teori dan aplikasi), (Jakarta: Amzah, 2009), hlm. 8 87

A. Jamil, Ilmu Falak (Teori dan aplikasi), (Jakarta: Amzah, 2009), hlm. 9 88

A. Jamil, Ilmu Falak (Teori dan aplikasi), (Jakarta: Amzah, 2009), hlm. 10 89

A. Jamil, Ilmu Falak (Teori dan aplikasi), (Jakarta: Amzah, 2009), hlm. 11

66

5) Deklinasi

Deklinasi matahari atau Maylus Syams adalah sepanjang lingkaran

deklinasi dihitung dihitung dari equator sampai matahari. Dalam

astronomi dilambangkan dengan (𝛿0).90

6) Azimuth

Azimuth atau as-Samtu adalah arah, yaitu harga suatu sudut untuk

matahari atau bulan dihitung sepanjang horizon atau ufuk. Biasanya

diukur dari titik utara ke timur (searah dengan jarum jam) sampai titik

perpotongan antara lingkaran vertical yang melewati matahari atau bulan

itu dengan lingkaran horizon.91

90

Muhyidin Khazin, Ilmu Falak dalam Teori dan Praktik, hlm. 65. 91

Muhyidin Khazin, Ilmu Falak dalam Teori dan Praktik, hlm. 135.

67

BAB IV

ANALISIS RUMUS TRIGONOMETRI DALAM PENERAPANNYA PADA

TEORI PENENTUAN ARAH KIBLAT

A. ANALISIS RUMUS TRIGONOMETRI DALAM PENERAPANNYA

PADA TEORI TRIGONOMETRI BOLA (SPHERICAL

TRIGONOMETRY).

Trigonometri bola (Spherical Trigonometry) sebagaimana yang telah

dipaparkan pada bab II dan bab III adalah ilmu ukur sudut bidang datar yang bisa

diaplikasikan pada permukaan yang berbentuk bola seperti bumi. Dalam hal ini

maka berbeda pula antara segitiga pada bidang datar dan segitiga bidang bola.

Sisi-sisi pada segitiga bidang datar berupa garis-garis lurus, Sedangkan sisi-sisi

segitiga pada bidang bola berupa garis-garis yang melengkung.

Praktik perhitungan arah kiblat sebenarnya juga bisa menggunakan segitiga

pada bidang datar, yaitu pada metode segitiga kiblat dan metode segitiga siku-siku

dari bayangan matahari setiap saat. Pada metode-metode tersebut rumus yang

digunakan dalam perhitungannya tidak lain adalah menggunakan konsep

trigonometri pada bidang datar. Penjelasannya adalah sebagai berikut:

1. Segitiga kiblat

Segitiga kiblat digunakan setelah pengguna mengetahui azaimuth kiblat atau

sudut kiblat. Cara ini digunakan untuk memudahkan penerapan sudut kiblat di

lapangan. Dasar yang digunakan dalam segitiga kiblat ini adalah perbandingan

rumus trigonometri pada bidang datar. Artinya ketika diketahui panjang salah satu

sisi segitiga, misalkan sisi a, maka sisi b dihitung sebesar sudut kiblat (U-B),

kemudian ujung kedua sisi ditarik membentuk garis kiblat.

Contohnya misalkan sudah diketahui sudut kiblat di suatu tempat, misalnya

Semarang yaitu sebesar 65029’28,07” dari utara ke barat (U-B). Kemudian dibuat

garis utara selatan (U-S) atau sisi a sepanjang 100 cm. Dengan menggunakan

konsep trigonometri bidang datar maka garis UB atau sisi b dapat ditentukan

68

dengan rumus tangen. Garis UB atau sisi b dapat diperoleh dengan perhitungan

100 cm x tan 65029’28,07”, sehingga diperoleh sisi b sebesar 219,3 cm. Secara

lebih rinci perhitungannya adalah sebagai berikut:

Diketahui : sudut kiblat kota Semarang dilambangkan dengan 𝜃 sebesar

65029’28,07”, garis bantu utara selatan (U-S) dilambangkan dengan sisi a.

Ditanyakan : garis utara barat (U-B) dilambangkan dengan sisi b

Penyelesaian :

Untuk lebih jelasnya maka dibuat gambar terlebih dahulu,

Gambar 25. Segitiga kiblat

Dengan menggunakan konsep trigonometri pada bidang datar diperoleh

rumus tangen, yaitu:

𝑡𝑎𝑛 𝜃 =𝑏

𝑎, karena yang dicari adalah b maka,

𝑏 = tan θ × a

𝑏 = tan 65°29’28,07” × 100 cm

𝑏 = 219,3 cm

Metode perhitungan arah kiblat dengan menggunakan metode segitiga

kiblat syarat yang diperlukan adalah sudut kiblat suatu tempat, sisi bantu utara

selatan (U-S) atau sisi utara barat (U-B). Bila salah satu sisi bantu sudah

diketahui, maka sisi yang lain juga dapat dihitung atau ditentukan dengan bantuan

konsep trigonometri pada bidang datar. Biasanya rumus yang dipakai pada konsep

perbandingan trigonometri dalam bidang datar adalah rumus sin, cos, dan tangen.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa dalam metode segitiga kiblat rumus yang

digunakan adalah rumus 𝐬𝐢𝐧, 𝐜𝐨𝐬, dan 𝐭𝐚𝐧𝐠𝐞𝐧.

𝑏… ?

𝜃

𝑎

𝑆

𝑈 𝐵

Arah Kiblat

Keterangan:

U : titik utara sejati

B : letak kiblat

S : letak kota Semarang

69

Maksudnya adalah jika pada perhitungan arah kiblat kota Semarang tersebut

menggunakan rumus 𝑡𝑎𝑛 𝜃 =𝑏

𝑎 , maka dapat pula diperoleh rumus 𝑠𝑖𝑛 𝜃 =

𝑏

𝐵−𝑆 dan rumus 𝑐𝑜𝑠 𝜃 =

𝑎

𝐵−𝑆. Namun dalam masalah ini rumus yang dipakai

adalah 𝑡𝑎𝑛 𝜃 =𝑏

𝑎.

Metode segitiga kiblat pada dasarnya memang harus menentukan atau

mengetahui sudut kiblat terlebih dahulu. Namun arah kiblatnya belum

diketahui. Sehingga dengan metode segitiga kiblat arahnya dapat diketahui,

yaitu dengan konsep trigonometri pada bidang datar.

2. Segitiga siku-siku dari bayangan matahari

Metode segitiga siku-siku dari bayangan matahari ini pada dasarnya

menggunakan bayangan matahari. Secara garis besar langkah-langkah dalam

penentuan arah kiblat dengan metode segitiga kiblat yang menggunakan

bantuan dari bayangan matahari adalah sebagai berikut:

a) Menghitung arah kiblat dan azimuth kiblat. Arah kiblat dihitung dengan

rumus 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝐵 = tan 𝜑𝑘 . cos 𝜑𝑘 ÷ sin 𝐶 − sin 𝜑𝑘 ÷ tan 𝐶.92

Menghitung

azimuth kiblat dengan rumus B = UT (+), maka azimuth kiblat = B. Jika B =

ST (-), maka azimuth kiblat 1800 + B. Jika B = SB (-), maka azimuth kiblat

= 1800 – B. Jika B = UB (+), maka azimuth kiblat = 360

0 – B.

b) Menghitung sudut waktu matahari, arah matahari dan azimuth matahari

dengan rumus t = (LMT + e-(BT

L-BT

X)/15-12)x15. Menghitung sudut waktu

matahari dengan rumus 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝐴 = tan 𝛿𝑚 . cos 𝜑𝑥 ÷ sin 𝑡 − sin 𝜑𝑥 ÷

tan 𝑡. Dan menghitung azimuth matahari dengan rumus A = UT (+) maka

azimuth matahari = A. jika A = ST (-), maka azimuth matahari 1800 + A.

Jika A = SB (-), maka azimuth matahari = 1800 – A. Sedangkan jika A = UB

(+), maka azimuth matahari = 3600-A.

93

92

Ahmad Izzuddin, “Abu Raihan Al-Biruni dan Teori Penentuan Arah Kiblat (Studi

Penelusuran Asal Teori Panentuan Arah Kiblat)”, hlm. 91. 93

Ahmad Izzuddin, “Abu Raihan Al-Biruni dan Teori Penentuan Arah Kiblat (Studi

Penelusuran Asal Teori Panentuan Arah Kiblat)”, hlm. 92.

70

c) Menghitung sudut kiblat dari bayangan matahari misalkan dilambangkan

dengan titik Q, sehingga rumus untuk Q = azimuth kiblat – azimuth

matahari. Dengan catatan jika nilai Q positif (+) maka kiblat berada di

sebelah kanan bayangan matahari, dan jika negatif (-) maka arah kiblat di

sebelah kiri bayangan matahari.

d) Membuat segitiga segitiga siku-siku dari bayangan matahari. Ada dua

tawaran yaitu dengan menggunakan satu segitiga siku-siku atau dengan dua

segitiga siku-siku.

Rumus yang digunakan pada metode segitiga siku-siku dengan bantuan

bayangan matahari adalah rumus cotangen. Dimana dalam rumus tersebut juga

memuat rumus sinus, cosinus dan tangen. Adapun rumusnya adalah 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝐵 =

tan 𝜑𝑘 . cos 𝜑𝑘 ÷ sin 𝐶 − sin 𝜑𝑘 ÷ tan 𝐶 dan 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝐴 = tan 𝛿𝑚 . cos 𝜑𝑥 ÷

sin 𝑡 − sin 𝜑𝑥 ÷ tan 𝑡.

Konsep perbandingan trigonometri pada bidang datar khususnya segitiga

siku-siku sebagaimana yang telah dibahas pada bab sebelumnya yaitu bab II

diperoleh rumus perbandingan sinus, cosinus, tangen, secan, cosecant dan

cotangen. Dalam aplikasi perhitungan arah kiblat seperti pada metode segitiga

kiblat dan segitiga siku-siku dengan bantuan matahari pada prinsipnya juga

memakai konsep tersebut. Baik rumus sinus, cosinus, tangen, secan, cosecant dan

cotangen terlibat di dalam perhitungannya. Untuk mempermudah perhitungannya

biasanya menggunakan alat bantu kalkulator.

Adapun rumus-rumus dasar segitiga baik pada bidang datar maupun bidang

lengkung atau permukaan bola yang sering digunakan dalam penentuan arah

kiblat terutama dalam teori trigonometri bola (spherical trigonometry) adalah

sebagai berikut:

71

1) Segitiga pada bidang datar

Gambar di samping ini adalah gambar segitiga

ABC dengan sudut B sebagai sudut siku-siku.

Sisi a (sisi di depan sudut A) sebagai sisi siku-

siku. Sisi b (sisi di depan sudut B) sebagai sisi

miring. Sisi c (sisi di depan sudut C) sebagai sisi

alas atau sisi siku-siku pengapit.

Gambar segitiga siku-siku di samping

menghasilkan perbandingan rumus trigonometri

sebagai berikut:

a : b = sin A c : b = sin C

c : b = cos A a : b = cos C

a : c = tan A c : a = tan C

c : a = cotan A a : c = cotan C

a : sin A = b c : sin C = b

c : cos A = b a : cos A = b

a : tan A = c c : tan C = a

c : cotan A = a a : cotan C = c

b x sin A = a b x sin C = c

b x cos A = c b x cos C = a

c x tan A = a a x tan C = c

a x cotan A = c c x cotan C = a

2) Segitiga pada permukaan bola

Segitiga pada permukaan bola yang dikenal dengan segitiga bola

adalah tidak datar, melainkan cembung sesuai dengan permukaan bola,

dimana sisi-sisinya terdiri dari busur yang melewati lingkaran-lingkaran

besar pada bola itu.94

Segitiga bola ini ada dua macam, yaitu segitiga siku-siku (tegak)

dan segitiga serong. Segitiga bola siku-siku adalah segitiga bola yang

94

Muhyidin Khazin, Ilmu Falak dalam Teori dan Praktik, hlm. 15.

A B

C

a b

c

┘

Gambar 26. Segitiga siku-siku

72

salah satu sisinya terdiri dari busur yang melewati kedua kutub lingkaran

besar pada bola itu. Sedangkan segitiga bola serong adalah segitiga bola

yang sisinya tidak melewati kedua kutub limgkaran besar pada bola itu.95

Dengan bantuan gambar segitiga ABC di atas yang kemudian

dipindah ke permukaan bola, sehingga menjadi segitiga bola ABC di

permukaan bola. Gambar ilustrasinya adalah sebagai berikut:

Gambar 27. Gambar segitiga pada permukaan bola

Gambar di atas adalah gambar segitiga pada permukaan bola. Dari

gambar tersebut dapat diperoleh perbandingan rumus trigonometri sebagai

berikut:96

sin b x sin A = sin a sin c x tan A = tan a

sin b x sin C = sin c sin a x tan C = tan c

sin a x sin C = cos a cotan C x cotan A = sin b

cos c x sin A = cos C cos A : sin C = cos a

cos b x tan C = cotan A cos C : sin A = cos c

tan b x cos C = tan a cos b : cos c = cos a

tan b x cos A = tan c cos b : cos a = cos c

Dalil sinus

sin a

sin A=

sin b

sin B=

sin c

sin C

95

Muhyidin Khazin, Ilmu Falak dalam Teori dan Praktik, hlm. 15. 96

Muhyidin Khazin, Ilmu Falak dalam Teori dan Praktik, hlm. 16.

73

Dalil cosinus

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

cos b = cos a cos c + sin a sin b cos B

cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C

Konsep trigonometri dalam segitiga bola mempersoalkan hubungan-

hubungan di antara unsur-unsur dalam segitiga bola tersebut. Namun, hukum

yang terpenting yang biasa dipakai adalah hukum sinus dan kosinus, 97

rumus

yang biasa digunakan adalah:

rumus kosinus

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

rumus sinus

sin a

sin A=

sin b

sin B=

sin c

sin C

Adapun ilustrasi dari kedua rumus tersebut adalah sebagai berikut:

Rumus kosinus

O titik pusat sebuah bola, dan ABC segitiga bola pada permukaan bola

itu, untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:

Gambar 28. Ilustrasi segitiga ABC pada permukaan bola yang dibagi

empat

97

A. Jamil, Ilmu Falak (teori dan Aplikasi), hlm. 56.

74

Dari titik sembarang P pada OB dibuat garis tegak lurus pada bidang

OCA yang jatuh pada titik Q. Dari Q dibuat garis tegak lurus pada OC dan

OA, yaitu garis QR dan QS. Sudut ACO yang besarnya adalah b dibagi dua

oleh garis OQ menjadi dua bagian, masing-masing besarnya adalah d dan (b-

d)2.

Dalam segitiga siku-siku OQS:

Cos d = QS/OQ atau OQ = QS/cos d……. (i)

Dalam segitiga siku-siku ORQ:

Cos (b-d) = OR/OQ atau OQ = OR/cos (b-d)…… (ii)

Dari (i) dan (ii) diperoleh :

OS/cos d = OR/cos (b-d) atau OS cos (b-d) = OR cos d

Dalam segitiga OPS : OS = OP cos c

Dalam segitiga OPR : OR = OP cos a

Persamaan (iii) dapat ditulis sebagai berikut :

OP cos c cos (b-d) = OP cos a cos d atau

Cos c cos (b-d) = cos a cos d

Cos c (cos b + sin b sin d) = cos a cos d atau

Cos a cos d = cos c cos b cos d + cos c sin b sin d

Cos a = cos c cos b + cos c sin b tan d

Dalam segitiga OQS/tan d = QS/OS = PS cos A/OP cos c

OP sin c cos A/OP cos c = sin c cos A/cos c = tan c cos A

Jika persamaan (iii) disubtitusikan dalam persamaan (iv) diperoleh:

Cos a = cos b cos c + sin b cos c tan c cos A

Cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

Rumus sinus

Rumus sinus diturunkan dari rumus kosinus

Cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

Cos A = cos a – cos b cos c/ sin b sin c

Jika kedua bagian dikuadratkan maka diperoleh;

75

cos2A =(cos a−cos b cos c)2

sin 2b sin 2c

1 − sin2A =(cos a−cos b cos c)2

sin 2b sin 2c

sin2A = 1 −(cos a−cos b cos c)2

sin 2b sin 2c

=sin 2b sin 2c−(cos a−cos b cos c)2

sin 2b sin 2c

=(1−cos 2b) 1−cos 2c −(cos a−cos b cos c)2

sin 2b sin 2c

=1−cos 2a−cos 2b−cos 2c+2 cos a cos b cos c

sin 2b sin 2c

Dan

sin 2A

sin 2a=

1−cos 2a−cos 2b−cos 2c+2 cos a cos b cos c

sin 2a sin 2b sin 2c

Bagian kedua persamaan ini bentuknya bersifat simetris , karena a, b, dan

c timbul dalam keadaan serupa, sehingga :

sin 2A

sin 2a=

sin 2B

sin 2b=

sin 2C

sin 2c

Oleh karena sudut dan sisi-sisi sebuah segitiga bola selalu kurang dari

1800 maka nilai sin a, sin b, sin c, sin A, sin B, dan sin C bernilai positif,

sehingga dapat dituliskan .98

sin A

sin a=

sin B

sin b=

sin C

sin c

Paparan di atas baik dari metode segitiga kiblat, segitiga siku-siku

dengan bantuan bayangan matahari, konsep segitiga pada bidang datar dan

konsep segitiga pada bidang bola pada dasarnya tidak lepas dari konsep

trigonometri bidang datar dan bidang bola. Hampir semua rumus terlibat di

dalamnya yaitu aturan sinus, kosinus, tangen, kosekan, kotangen dan secan.

Namun tidak semua rumus digunakan atau dipakai dalam penentuan arah

kiblat terutama pada teori trigonometri bola.

Literatur yang terkait dengan teori itu juga menjelaskan demikian.

Bahwa rumus yang digunakan tidaklah semuanya. Dalam bukunya Ahmad

98

A. Jamil, Ilmu Falak (teori dan Aplikasi), hlm. 58.

76

Izzuddin, rumus yang dipakai adalah 𝐜𝐨𝐭 𝐗 = 𝐜𝐨𝐭 𝐛 𝐬𝐢𝐧 𝐚 ÷ 𝐬𝐢𝐧 𝐂 −

𝐜𝐨𝐬 𝐚 𝐜𝐨𝐭 𝐂 yang kemudian disederhanakan menjadi

𝐜𝐨𝐭 𝐗 = 𝐭𝐚𝐧𝛗𝐦 𝐜𝐨𝐬𝛗𝐱 ÷ 𝐬𝐢𝐧 𝐂 − 𝐬𝐢𝐧𝛗𝐱 ÷ 𝐭𝐚𝐧𝐂 dengan menyesuaikan

keadaan lintang dan bujur masing-masing daerah yang akan ditentukan arah

kiblatnya.

Berbeda dengan bukunya A. Jamil, rumus yang dipakai/digunakan dalam

menentukan arah kiblat ditawarkan ada beberapa rumus sebagaimana yang

dibahas dalam bab II dan bab III. Namun pada dasarnya adalah sama yaitu

mengacu pada konsep trigonometri. Baik pada bidang datar ataupun bidang

bola.

B. ANALISIS RUMUS TRIGONOMETRI DALAM PENERAPANNYA

PADA TEORI GEODESI.

Konsep trigonometri atau rumus trigonometri juga dipakai dalam teori

geodesi. Terutama dalam hal penentuan arah kiblat. Sebagaimana yang telah

dipaparkan dalam bab II dan bab III, bahwa pada dasarnya antara konsep

trigonometri bola hampir sama dengan teori geodesi. Terutama dalam hal

perhitungan arah kiblat. Kalau pada teori trigonometri bola, bumi diasumsikan

bulat seperti bentuk bola pada umumnya. Namun pada teori geodesi lebih pada

bentuk bumi yang sebenarnya. Dimana bentuk bumi itu tidak rata karena

banyak terdapat gunung-gunung, lereng, jurang dan tebing.

Istilah yang digunakan dalam teori geodesi yang terkait dengan bentuk

bumi yang sebenarnya adalah ellipsoid. Artinya bumi itu tidak bulat seperti

bola pada umumnya, namun lebih pepat di kedua kutubnya.

Adapun rumus trigonometri yang dipakai dalam perhitungan arah kiblat

dalam teori geodesi adalah sebagai berikut:

α1 = arc. tan2(cos U2 . sin λ , cos U1. sin U2 − sin U1. cos U2. cos λ)

α2 = arc. tan2(cos U1 . sin λ , − sin U1. cos U2 + cos U1. sin U2. cos λ)

Rumus tersebut memperhatikan beberapa hal sebagai berikut; lintang

ka’bah (𝜑𝐴) sebesar 21°25′05" LU, bujur ka’bah (𝜆𝐴) sebesar

39°49′34,05"BT, lintang lokasi (𝜑𝐵), bujur lokasi (𝜆𝐵). Di samping demikian

77

parameter ellipsoid juga diperhatikan, yaitu dengan menggunakan parameter

ellipsoid referensi WGS 1984. Di mana a sebagai ellipsoida sumbu panjang

sebesar 6378137 m dan b ellipsoida sumbu pendek sebesar 6356752.3142 m.99

1. Sistem Koordinat

Posisi suatu titik dapat dinyatakan secara kuantitattif maupun secara

kualitatif. Secara kuantitatif posisi suatu titik dinyatakan dengan koordinat,

baik dalam ruang satu, dua, tiga, maupun empat dimensi (1D, 2D, 3D, maupun

4D). Perlu diketahui bahwa koordinat tidak hanya memberikan deskripsi

kuantitatif tentang posisi, tetapi juga pergerakan suatu titik seandainya titik

yang bersangkutan bergerak.

Oleh karena itu untuk menjamin adanya konsistensi dan standarisasi perlu

adanya suatu sistem dalam menyatakan koordinat. Sistem ini disebut dengan

sistem referensi koordinat, atau secara singkat sistem koordinat dan secara

umum untuk realisasinya dinamakan kerangka referensi koordinat.

Sistem referensi koordinat adalah sistem (termasuk teori, konsep, deskripsi

fisis dan geometris, serta standar dan parameter) yang digunakan dalam

pendefinisian koordinat dari suatu atau beberapa titik dalam ruang. Sedangkan

kerangka referensi koordinat dimaksudkan sebagai realisasi praktis dari sistem

referensi, sehingga sistem tersebut dapat digunakan untuk pendeskripsian

secara kuantitatif posisi dan pergerakan titik-titik, baik di permukaan bumi

(kerangka terestris) ataupun di luar bumi (kerangka selestia atau ekstra-

terestris).100

Kerangka referensi biasanya direalisasikan dengan melakukan

pengamatan-pengamatan geodetik dan umumnya direpresentasikan dengan

menggunakan suatu set koordinat dari sekumpulan titik maupun objek (seperti

bintang dan benda langit lainnya). Sistem referensi koordinat dapat dikatakan

99

Guna Putri Widyati, Perbandingan Penentuan Arah Kiblat antara Bentuk Matematis

Bola dengan Bentuk Matematis Ellipsod, dalam majalah Zenit edisi V/tahun III/ Desember 2010,

(Semarang: Fakultas Syari’ah IAIN Walisongo, 2010), hlm.25 100

Hasanuddin Z. Abidin, Geodesi Satelit, hlm. 15.

78

sebagai suatu idealisasi dari sistem koordinat dan kerangka referensi koordinat

merupakan realisasi sistem koordinat.

Dalam bidang geodesi satelit, untuk pendefinisian sistem referensi

koordinat dan perealisasian kerangka referensi koordinat yang optimal bagi

titik-titik di permukaan bumi maupun di luar bumi (seperti satelit), pemahaman

tentang bentuk dan dinamika bumi sangatlah diperlukan.

Secara tiga dimensi bentuk bumi secara matematis mendekati ellipsoid

biaksial yaitu penampang ekuatorialnya berupa lingkaran dan penampang

merediannya berupa ellips. Dalam hal ini bumi diwakili oleh geoid global,

dimana geoid sendiri adalah bidang ekuipotensial gaya berat bumi yang

mendekati muka laut rata-rata secara global.

Berkaitan dengan ukuran ellipsoid yang digunakan untuk

merepresentasikan bumi, sesuai dengan perkembangan ilmu pengetahuan dan

teknologi dari pengamatan bumi, telah dikenal beberapa ellipsoid referensi.

Adapun ellipsoid referensi tersebut adalah sebagai berikut:101

Tahun Nama a (m) b (m) 1/f

1830

1830

1841

1856

1866

1880

1907

1909

1927

1948

1960

1960

1966

Airy

Everest

Bessel

Clarke

Clarke

Clarke

Helmert

Hayford

NAD-27

Krassovsky

Hough

Fischer

WGS-66

6377563

6377276

6377397

6378294

6378206

6378249

6378200

6378388

6378206,4

6378245

6378270

6378155

6378145

6356257

6356075

6356079

6356618

6356584

6356515

6356818

6356912

6356912

6356863

6356794

6356773

6356760

299,325

300,802

299,153

294,261

294,978

293,466

298,300

297,000

294,9786982

298,300

297

298,3

298,35

101

Hasanuddin Z. Abidin, Geodesi Satelit, hlm. 17.

79

Tahun Nama a (m) b (m) 1/f

1967

1969

1972

1973

1980

1980

1981

1984

1990

1992

IUAG

S. American

WGS-72

Smithsonia

International

GRS-80

GEM-10B

WGS-84

PZ-90

GEM-T3

6378160

6378160

6378135

6378140

6378137

6378137.0

6378138

6378137

6378136

6378137

6356775

6356774

6356751

6356755

6356752

6356752

6356753

6356752

6356751

6356752

298,247

298,25

298,26

298,256

298,257

298,257222101

298,257

298,257223563

298,257839303

298,257

Pada tabel di atas, a adalah sumbu panjang ellipsoid dan b adalah sumbu

pendek ellipsoid, sedangkan f adalah penggepengan dari ellipsoid yang

dihitung dari a dan b dengan rumus 𝑓 =𝑎−𝑏

𝑎 . Dari tabel tersebut juga terlihat

bahwa secara umum untuk ellipsoid referensi yang merepresentasikan bumi

adalah, a = 6378 km, b = 6357 km dan f = 1/298.

Adapun bentuk secara umum dari deviasi ellipsoid geosentrik permukaan

geoid (MSL= Mean Sea Level) lebih kecil dari 100 m. Sedangkan deviasi

permukaan geoid sendiri dengan permukaan bumi lebih kecil dari 10 km.

adapun tabelnya adalah sebagai berikut:102

Deviasi maksimum

(m)

Rasio terhadap sumbu

Panjang bumi (a = 6378 km)

Permukaan bumi-

geoid (MSL)

10000 1.6.10-3

Geoid-ellipsoid

(geosentrik)

100 1.6.10-5

Ellipsoid-bola 10000 1.6.10-3

102

Hasanuddin Z. Abidin, Geodesi Satelit, hlm. 18.

80

(geosentrik)

2. World Geodetic System 1984 (WGS 84)

WGS 84 pada prinsipnya adalah sistem koordinat CTS (Conventional

Terrestrial System) yang didefinisikan, direalisasikan dan dipantau oleh NIMA

(National Imagery And Mapping) Amerika Serikat (AS). WGA 84 adalah

sistem yang saat ini digunakan oleh sistem satelit navigasi GPS (Global

Positioning System). Adapun karakteristik dari WGS 84 adalah seperti CTS,

dengan karakteristik spesifik lainnya sebagai berikut:103

Sistem geosentrik, dimana pusat massanya didefinisikan untuk seluruh

bumi, termasuk lautan dan atmosfer.

Skalanya adalah kerangka lokal bumi, dalam konteks teori relativitas

gravitasi.

Evolusi waktu dari orientasi sistem koordinat tidak menyebabkan

adanya residual dari rotasi global terhadap kerak bumi.

Kerangka referensi WGS 84 direalisasikan pertama kalinya pada 1987

dengan sekumpulan titik koordinatnya diamatai dengan sistem satelit navigasi

TRANSIT (Doppler). Pada waktu itu kerangka direalisasikan dengan

memodifikasi kerangka referensi yang digunakan oleh sistem satelit Doppler

(NSWC 9Z-2), yaitu parameter titik pusat (titik nol) sistem koordinat dan

skalanya, serta merotasikannya sehingga merediannya berimpit dengan

meridian nol yang didefinisikan oleh BIH (Bureau International De I’Heure).

Dalam hal ini nilai tranformasi dari datum NSWC 9Z-2 ke WGS 84 adalah

translasi dalam arah sumbu Z sebesar ∆Z = 4,5 m, rotasi dalam bujur ∆λ =

0,814”, dan perubahan faktor skala ∆S = -0,6 x 10-6

.104

Sejak Januari 1987,

Defense Mapping Agency (DMA) Amerika Serikat mulai menggunakan WGS

84 dalam menghitung orbit teliti (Precise Ephemeris) untuk satelit TRANSIT

(Doppler). Orbit teliti selanjutnya bersama-sama dengan pengamatan Doppler

digunakan untuk menentukan posisi dari 12 stasiun penjejak GPS milik DoD.

103

Hasanuddin Z. Abidin, Geodesi Satelit, hlm. 45. 104

Hasanuddin Z. Abidin, Geodesi Satelit, hlm. 46.

81

Keduabelas stasiun ini selanjutnya digunakan untuk menjejak satelit GPS

dalam rangka menentukan parameter orbit (Broadcast Ephemeris) dari satelit

Dalam rangka menyelaraskan sistem koordinat WGS 84 dengan sistem

ITRF yang lebih teliti serta banyak digunakan untuk aplikasi-applikasi geodetic

pada saat ini, DoD telah menentukan kembali koordinat dari 12 stasiun

penjejak tersebut pada epok 1994.0. Penentuan kembali koordinat dikakukan

dengan menggunakan data GPS yang diamati di sepuluh stasiun tersebut serta

di beberapa stasiun penjejak IGS (Internation GPS Service for Geodynamics),

yang dalam perhitungan ini koordinatnya dalam system ITRF 91 dianggap

tetap. Selanjutnya kerangka koordinat WGS 84 yang telah ditingkatkan

kualitasnya dinamakan WGS 84 (G730). Namun pada tahun 1996, diganti lagi

dengan nama WGS 84 (G873).105

Pada sistem koordinat WGS 84 yang merupakan sistem koordinat

kartesian tangan kanan, ellipsoid yang digunakan adalah ellipsoid geosentrik

WGS 84 yang didefinisikan oleh empat parameter utama. Adapun parameter

tersebut adalah sebagai berikut:106

Parameter Notasi Nilai

Sumbu panjang a 6378137,0 m

Penggepengan 1/f 298,257223563

Kecepatan sudut bumi 𝜔 7292115,0 x 10-11

rad s-1

Konstanta gravitasi bumi

(termasuk massa atmosfer)

GM 3986004,418 x 108 m

3 s

-1

Itulah sekilas paparan tentang sistem koordinat referensi dan WGS 1984

yang digunakan dalam teori geodesi. Adapun aplikasi yang digunakan untuk

perhitungan arah kiblat adalah metode Vincenty sebagaimana yang dibahas

pada bab III. Dari perhitungan arah kiblat tersebut, dapat diketahui bahwa

rumus yang digunakan juga tidak lepas dari aturan trigometri.

Meskipun dalam perhitungannya metode Vincenty sudah menggunakan

program tertentu, namun pada prinsipnya rumus dasar yang dipakai adalah

105

Hasanuddin Z. Abidin, Geodesi Satelit, hlm. 47. 106

Hasanuddin Z. Abidin, Geodesi Satelit, hlm. 47.

82

rumus trigonometri. Di antaranya adalah rumus cotan, tangen, sin dan cos.

Akan tetapi atuaran trigonometri yang diterapkan dalam teori geodesi adalah

aturan trigonometri pada bidang lengkung. Lebih tepatnya, aturan trigonometri

berdasarkan pada bentuk bumi yang sebenarnya, yaitu ellipsoid. Adapun

perhitungannya menggunakan metode vincenty dengan sistem koordinat WGS

84.

C. ANALISIS RUMUS TRIGONOMETRI DALAM PENERAPANNYA

PADA TEORI NAVIGASI.

Prinsip navigasi pada dasarnya adalah menggambarkan lokasi suatu tempat

di bidang datar. Dalam hal ini dapat dikatakan semacam peta bidang datar.

Sistem navigasi yang terkenal saat ini adalah sistem navigasi GPS. Adapun

penjelasan sistem navigasi GPS adalah sebagaimana yang dibahas pada bab III.

Dengan kecanggihan teknologi, sistem navigasi GPS telah membantu

mempermudah menentukan lokasi suatu tempat di permukaan bumi ini.

Termasuk lokasi ka’bah di kota Makkah yang notabennya sebagai pusat arah

mengahadap ketika orang muslim di seluruh dunia menjalankan ibadah sholat.

Di sini, dalam teori navigasi ini, perhitungan/penentuan arah kiblat bisa

dilakukan dengan menggunakan konsep peta pada bidang datar. Misalkan saja

ingin menentukan arah kiblat kota Semarang, maka tinggal dicari saja letak

kota Semarang pada peta kemudian ditarik benang menuju kota Makkah letak

ka’bah. Supaya lebih mudah, maka dibuatkan illustrasi gambar berikut ini:

U

S

K

S

83

Gambar 29. Ilustrasi arah kiblat kota Semarang pada peta bidang datar.

Teori navigasi dalam perhitungan arah kiblat pada prinsipnya

menggunakan konsep trigonometri pada bidang datar. Hal ini sama halnya

dengan penentuan arah kiblat dengan metode segitiga kiblat sebagaimana yang

dibahas pada subbab sebelumnya. Diantara syarat yang diperlukan adalah sudut

kiblat, kemudian garis bantu utara-selatan (U-S) atau utara-barat (U-B) atau

mungkin menyesuaikan lokasinya. Rumus yang digunakan tentunya juga tidak

jauh beda yaitu, sinus, kosinus, tangen, cosecant, secan dan kotangen. Karena

memang aturan yang digunakan adalah sama yaitu trigonometri pada bidang

datar.

Teori navigasi pada aplikasinya lebih cenderung pada penetuan letak

posisi lokasi saja. Bila sudah diketahui masing-masing titik lokasi, maka

tinggal dihubungkan kedua titik tersebut dengan alat bantu benang ataupun

sejenisnya. Adapun sudut kiblat masing-masing lokasi sudah diketahui terlebih

dahulu. Sehingga memudahkan untuk perhitungannya.

Akan tetapi bila ditinjau dari rumus trigonometri yang digunakan, maka

mayoritas hampir sama dengan teori lainnya yaitu trigonometri bola dan

geodesi. Yang sedikit membedakan hanyalah aplikasinya pada bidang datar

dan lengkung.

84

BAB V

PENUTUP

A. Simpulan

Penjelasan dan pembahasan yang telah diuraikan dapat disimpulkan

sebagai berikut :

1. Teori penentuan arah kiblat sampai saat ini yang sudah diketahui ada tiga,

yaitu trigonometri bola (Spherical Trigonometry), geodesi dan navigasi.

Dalam teori trigonometri bola (Spherical Trigonometry), aturan

trigonometri yang dipakai adalah aturan trigonometri pada bidang lengkung.

Lebih tepatnya bidang bola, karena teori yang digunakan adalah teori

trigonometri bola. Sehingga rumus trigonometri yang ada juga bervariasi,

mulai dari aturan sinus, kosinus, rumus tangent, secan, kosecan dan

kotangen. Meskipun demikian, dalam praktik perhitungannya rumus yang

digunakan tidaklah semua, tetapi lebih menyesuaikan kebutuhan. Sedangkan

pada teori geodesi aturan trigonometri yang diterapkan lebih pada bidang

lengkung, namun cenderung mendekati bentuk bola yang sebenarnya, yaitu

elips. Rumus trigonometri yang digunakan dalam penentuan arah kiblat juga

hampir sama, yaitu rumus sinus, cosinus, tangen, secan, cosecan dan

cotangen. Namun, dalam perhitungannya rumus yang dipakai juga tidak

semuanya, menyesuaikan. Berbeda dengan teori navigasi, dalam teori ini

aturan yang dipakai adalah aturan trigonometri pada bidang datar. Sebab,

acuannya memang berdasar peta bidang datar. Meskipun demikian, rumus

yang diterapkan dalam perhitungan arah kiblat juga tak jauh beda, yakni

tetap memuat rumus sinus, cosinus dan tangen.

85

2. Rumusnya adalah:

Trigonometri bola : 𝐜𝐨𝐭 𝑩 = 𝐜𝐨𝐭 𝒄 𝐬𝐢𝐧 𝒂 − 𝒑 ÷ 𝐬𝐢𝐧𝒑 𝐭𝐚𝐧𝒑 =

𝐭𝐚𝐧𝒃 𝐜𝐨𝐬 𝒄, 𝐜𝐨𝐭 𝑩 = 𝐜𝐨𝐬 𝝋𝑩 𝐭𝐚𝐧 𝝋𝑨 −𝐬𝐢𝐧 𝝋𝑩 𝐜𝐨𝐬(𝑩−𝑨)

𝐬𝐢𝐧(𝑩−𝑨) dan

𝐭𝐚𝐧(𝑨+𝑩)

𝟐=

𝐜𝐨𝐬(𝒂−𝒃)

𝟐

𝐜𝐨𝐬(𝒂+𝒃)

𝟐

𝐜𝐨𝐭𝒄

𝟐 dan 𝐭𝐚𝐧

(𝑨−𝑩)

𝟐=

𝐬𝐢𝐧(𝒂−𝒃)

𝟐

𝐬𝐢𝐧(𝒂+𝒃)

𝟐

𝐜𝐨𝐭𝒄

𝟐

Geodesi : 𝐜𝐨𝐭 𝑩 =𝐜𝐨𝐭 𝒃 𝐬𝐢𝐧𝒂−𝐜𝐨𝐬𝒂 𝐜𝐨𝐬 𝑪

𝐬𝐢𝐧𝑪

3. Adapun aplikasi/penerapan rumus-rumus trigonometri tersebut, baik dalam

teori trigonometri bola (Spherical Trigonometry), geodesi dan navigasi tidak

terlepas dari alat bantu dalam perhitungan arah kiblat. Pada teori

trigonometri bola (Spherical Trigonometry), supaya mempermudah

perhitungan/penentuan arah kiblat maka bisa menggunakan alat bantu

kalkulator. Sedangkan dalam teori geodesi, dalam penentuan/perhitungan

arah kiblat bisa menggunakan metode vincenty. Adapun dalam teori

navigasi, aplikasinya lebih mengacu pada konsep peta bidang datar.

B. Saran

1. Pada dasarnya, kajian konsep trigonometri terutama dalam aplikasinya pada

ilmu falak tidak hanya terbatas pada teori penentuan arah kiblat saja.

Melainkan ada yang lainnya, seperti penentuan awal tahun bulan komariyah,

awal waktu sholat, dan kalender hijriyah. Oleh sebab itu, hendaknya

penelitian ini memotivasi untuk mengkaji lagi konsep trigonometri tersebut.

2. Penelitian seperti yang penulis lakukan ini masih jarang dijumpai pada rak

buku koleksi jurusan tadris matematika. Oleh karena itulah, harapannya

penelitian ini menjadi pelengkap koleksi buku jurusan tadris matematika. Di

samping demikian, tentunya penelitian ini juga diharapkan menjadi inspirasi

untuk menelaah konsep-konsep matematika lainnya.

86

C. Penutup

Alhamdulillah wa syukurillah ‘ala ni’amillah, puji syukur atas segala

nikmat Allah SWT. Sebab karena nikmat Allah SWT itulah penulis dapat

menyelesaikan skripsi ini dengan mudah dan lancar. Penulis juga ucapkan

banyak terimakasih kepada semua pihak yang telah memberikan dukungan dan

motivasi kepada penulis untuk menyelesaikan skripsi ini.

Akan tetapi penulis juga tidak lupa bahwa manusia adalah tempatnya

salah. Demikian pula dengan penulis, pasti dalam penulisan skripsi ini masih

banyak terdapat kekurangan. Oleh karena itu penulis terbuka sekali untuk

menerima masukan dan kritikan demi kebaikan skripsi ini.

Akhirnya, dengan memohon ridlo Allah SWT penulis sangat berharap

skripsi ini dapat memberikan banyak manfaat, baik bagi penulis maupun orang

lain.

Daftar Pustaka

Ali, Muhammad, Strategi Penelitian Pendidikan, Bandung: Angkasa, 1993.

Azhari, Susiknan, Ilmu Falak (Perjumpaan Khazanah Islam dan Sains Modern),

Yogyakarta: Suara Muhammadiyah, 2007.

______, Ensiklopedi Hisab Rukyat, Yogyakarta: Pustaka Pelajar, 2008.

Best, John W, research in Education 4th

edition, the United State of America:

Library of Congress in Publication Data, 1959.

Chotim, Moch, Kalkulus 2 (Hand Out Jurusan Matematika FMIPA Universitas

Negeri Semarang), Semarang: Universitas Negeri Semarang (UNNES),

2005.

Dedy Mulyana, Metode Penelitian Kualitatif Paradigma Baru Ilmu Komunikasi

dan Ilmu Sosial Lainnya, Bandung: PT Remaja Rosdakarya, 2010.

E-book, Algebra 2 and Trigonometry, dalam www.amscopub.com. Diakses pada

09-02-2011.

E-book/pdf, 103 Trigonometry Problems, dalam www.birkhauser.com , hlm. 1-3.

Diakses pada 11-02-2011.

Furchan, Arief, Pengantar Penelitian Dalam Pendidikan (Karya Donald Ary,

Luchy Cheser Jacobs, Asghar Razavieh, Cetakan Ketiga ), Yogyakarta:

Pustaka Pelajar , 2007.

H.G. Den Hollander, Ilmu Falak untuk Sekolah Menengah di Indonesia, terj.

Imade Sugita, Jakarta: J. B Wolters, 1951.

Hutasuhut, Muhammad Yunus, Mengenal Dunia Penerbangan, Jakarta: PT

Gramedia Widiasarana Indonesia, 2005.

Hutahaean, Lethold, Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik, edisi Kelima, Jilid 1(alih

bahasa: Drs. E. Hutahaean, Departemen Matematika Institut Teknologi

Bandung ), Bandung: Penertbit Erlangga, 1986.

Izzuddin, H. Ahmad, Menentukan Arah Kiblat Praktis, Semarang: Walisongo

Press, 2010.

______________, “Materi Hisab Praktis Arah Kiblat”, dalam Pelatihan Hisab

Rukya, Semarang: Lembaga Hisab Rukyat Independent “Al-Miiqaat”, 16

Februari 2011.

_____________, “Kajian Terhadap Metode-Metode Penentuan Arah Kiblat dan

Akurasinya”, Disertasi (Semarang : Program Doktor IAIN Walisongo,

2011).

______________, “Abu Raihan Al-Biruni dan Teori Penentuan Arah Kiblat

(Studi Penelusuran Asal Teori Panentuan Arah Kiblat)”, Laporan

Peneltian Individual (Semarang : Fakultas Syari’ah IAIN Walisongo,

2011).

______________, et. All, Studi Komparatif Aplikasi Penentuan Arah Kiblat di

Indonesia dan Singapura, Penelitian mendapat bantuan dari Dipa

(Semarang : Fakultas Syari’ah IAIN Walisongo, 2011).

Jaelani, Ahmad, et. All. Hisab Rukyat Menghadap Kiblat (Fiqh, Aplikasi Praktis,

Fatwa dan Software), (Semarang : Fakultas Syari’ah IAIN Walisongo,

2011).

Jamil, Ahmad, Ilmu Falak (Teori dan Aplikasi)Arah Kiblat, Awal Waktu, dan

Awal Tahun (Hisab Kontemporer), Jakarta: Amzah, 2009.

John M. echols dan Hassan Shadily, Kamus Inggris-Indonesia, Jakarta: PT

Gramedia, 2003.

Julia Brannen, Memadu Metode Penelitian Kualitatif dan Kuantitatif ,

Yogyakarta: Fakultas Tarbiyah IAIN Antasari Samarinda, 2002.

KBBI, Jakarta: PT Gramedia, 2008

Khazin, Muhyidin, Ilmu Falak dalam Teori dan Praktik Perhitungan Arah Kiblat,

Waktu Salat, Awal Bulan dan Gerhana, Yogyakarta: Buana Pustaka,

2004

Kusni, Geometri Dasar, Semarang : Fakultas Matematika dan Pengetahuan Alam

Unnes, 2008

Margono, S, Metodologi Penelitian Pendidikan (cetakan kelima), Jakarta: PT

Rineka Cipta, 2005.

Quinn Patton, Michael, Metode Evaluasi Kualitatif, penj. Budi Puspo Priyadi,

Yogyakarta: Pustaka Pelajar, 2006.

Romadiastri, Yulia, Kalkulus 1 (Hand Out Jurusan Tadris Matematika IAIN

Walisongo Semarang), Semarang: Tadris Matematika Fakultas Tarbiyah

IAIN Walisongo, 2007.

Sulistiyono, dkk, Matematika SMA untuk Kelas XI Program Ilmu Alam, Jakarta:

Gelora Aksara Pertama, 2006.

William Wiersma, Research Methodes in Education an Introduction, Amerika:

Library of Congress Cataloging, 6th

ed. 1995.

Zuriah, Nurul Metodologi Penelitian Sosial dan Pendidikan (Teori-Aplikasi).

Jakarta: PT Bumi Aksara2006. 2006.

Majalah Zenit, edisi V/tahun III/Desember 2010.

Republika.co.id, “Al Buzjani, Peletak Dasar Rumus Trigonometri” dalam

http://rumahislam.com/tokoh/3-ilmuwan-muslim/2-al-buzjani.html, diakses 28

September 2011.

Stefan Titscher, et. all, Methods of Text and Discourse Analysis, terj. Ghozali, et.

all. Metode Analisis Text dan Wacana, Yogyakarta : Pustaka Pelajar,

2009.

Sugiyono, Metode Penelitian Pendidikan Pendekatan Kuantitatif, Kualitatif, dan

R&D, Bandung: Alfabeta, 2007.

Zainal Abidin, Hasnuddin, Geodesi Satelit, Jakarta: PT Pradnya Paramita, 2001.

DAFTAR RIWAYAT HIDUP

Nama : Susheri

TTL : Kudus, O6 Oktober 1987

Alamat asal : Kandangmas, Rt 01, Rw 06, Kec. Dawe, Kab. Kudus

Pendidikan Formal

1. TK Kandangmas 03 lulus th 1994

2. SD Kandangmas 03 lulus th 2000

3. MTs. Wachid Hasyim Salafiyah Jekulo Kudus lulus th 2005

4. SMAN 1 Bae Kudus lulus th 2008

5. IAIN Walisongo Semarang angkatan th 2008

Pendidikan Non Formal

1. TPQ (Dusun Sintru Desa Kandangmas, Dawe, Kudus)

2. Madrasah Diniyyah Matholi’ul Falah

3. Ponpes Sirojul Hannan Kudus (3th)

4. Ponpes Daarun Najaah jerakah, Semarang

Pengalaman Organisasi

1. Pramuka

2. Pengurus Ikatan Remaja

3. PMII Tarbiyah

4. Pengurus Ponpes Daarun Najaah

Semarang, 29 Juni 2012

Susheri

083511028