1

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

BEBERAPA FORMULA

PENTING DALAM

solusi PROGRAM

LINEAR

2

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

Bentuk Standar Masalah PL

Maksimasi :

dengan pembatas linear

(1)

dan pembatas tanda

nnxcxcxcz 2211

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

njx j ,,2,1,0

3

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

Apabila diketahui solusi layak optimal untuk masalah

PL di atas telah diperoleh, dengan BVj menyatakan

BV untuk baris ke-j dari tabel optimalnya.

BV = {BV1, BV2,…, BVm} menyatakan

himpunan BV dari tabel optimal dan didef:

NBV menyatakan himpunan NBV dari tabel

optimal

xNBV menyatakan vektor berorde ((n – m) x 1)

dimana elemen-elemennya merupakan NBV

TBVBVBVBV mxxxx

21

4

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

cBV merupakan vektor baris berorde (1 x m)

dinyatakan cBV = [cBV1 cBV2 … cBVm]

cNBV merupakan vektor baris berorde (1 x (n – m))

dimana elemen-elemennya merupakan koefisien

fungsi tujuan dari NBV

Matriks B berorde (m x m) merupakan matriks

dimana kolom-kolomnya diisi dengan kolom-kolom

BV

aj merupakan kolom (dalam pembatas linear

bentuk standar) untuk peubah xj dalam persamaan

(1) .

5

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

Matriks N berorde (m x (n – m)) merupakan

matriks dimana kolom-kolomnya diisi dengan

kolom-kolom NBV.

b adalah vektor kolom berorde (m x 1) merupakan

ruas kanan dari pembatas linear dalam persamaan

(1).

6

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

Permasalahan PL dalam persamaan (1) dapat

dinyatakan sbb:

Maksimasi

dengan pembatas linear & pembatas tanda

(2)

Selanjutnya kalikan pers. (2) dengan B-1, diperoleh

B-1BxBV + B-1NxNBV = B-1b

xBV + B-1NxNBV = B-1b (3)

NBVNBVBVBV xcxcz

bXNxB NBVBV

0, NBVBV xx

7

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

Berdasarkan (3) diperoleh:

o Kolom untuk xj pada tabel optimal adalah B-1aj

o Ruas kanan pada tabel optimal adalah B-1b

8

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

Selanjutnya apabila pers. (3) dikalikan dengan cBV,

diperoleh:

cBVxBV + cBVB-1NxNBV = cBVB-1b (4)

Fungsi tujuan awal adalah

z = cBVxBV + cNBVxNBV

z – cBVxBV – cNBVxNBV = 0 (5)

Selanjutnya penjumlahan dari (4) dan (5) diperoleh:

z + (cBVB-1N – cNBV)xNBV = cBVB-1b (6)

Menentukan baris 0/baris z pada tabel

optimal berdasar masalah awal PL

9

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

Berdasarkan pers. (6), maka:

o Koefisien dari xj pada baris 0/baris z dinotasikan

dengan cj(baru), dan ditentukan dengan:

cj(baru) = cBVB-1aj – cj

o Ruas kanan pada baris 0/baris z dalam tabel

optimal adalah cBVB-1b

o Koefisien slack variable si pada baris 0 ditentukan

dengan: elemen ke-i dari cBVB-1

o Koefisien surplus variable ei pada baris 0

ditentukan dengan: -(elemen ke-i dari cBVB-1)

10

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

o Koefisien artificial variable ai pada baris 0

ditentukan dengan:

(elemen ke-i dari cBVB-1) + M (Max)

(elemen ke-i dari cBVB-1) – M (Min)

11

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

Untuk masalah PL berikut diperoleh solusi optimal

dengan BV = {x1, x2}. Tentukan tabel optimalnya.

Maksimasi: z = 3x1 + x2

dengan pembatas linear dan pembatas tanda

2x1 - x2 ≤ 2

- x1 + x2 ≤ 4 x1,x2 ≥ 0

Contoh SOAL

12

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

Penyelesaian:

Bentuk standar:

Maksimasi: z = 3x1 + x2

dengan pembatas linear dan pembatas tanda

2x1 - x2 +1s1 + 0s2 = 2

-x1 + x2 +0s1 + 1s2 = 4 x1,x2,s1,s2 ≥ 0

Diketahui BV adalah x1 dan x2 maka diperoleh bahwa

matriks B adalah

11

12B

13

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

diperoleh

Menentukan kolom s1 pada tabel optimal:

Menentukan kolom s2 pada tabel optimal:

Menentukan ruas kanan tabel optimal

1

1

0

1

21

111

1

saB

21

111B

2

1

1

0

21

112

1

saB

10

6

4

2

21

111bB

14

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

Bagian tabel optimal tanpa baris z/baris 0, yaitu

10210

6110

2121

2121

ssxx

ssxx

15

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

Menentukan baris 0/baris z pada tabel optimal

Diketahui cBV = [3 1], sehingga

Menentukan koefisien s1 pada baris 0/baris z tabel

optimal adalah elemen pertama dari yaitu 4

Menentukan koefisien s1 dalam baris 0 tabel

optimal adalah elemen pertama dari yaitu 5

Menentukan ruas kanan dalam baris 0 tabel

optimal:

5421

11131

BcBV

1BcBV

1BcBV

284

2541

bBcBV

16

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

Tabel Optimal untuk masalah PL di atas adalah

102110

61101

285400

2121

2121

2121

ssxx

ssxx

ssxxz

17

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

ANALISIS

SENSITIVITAS

(ANALISIS PASCA-

OPTIMAL)

18

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

Inti dari analisis pasca-optimal ada dalam penelitian

terhadap tabel simpleks umum yang diberikan dalam

bentuk matriks. Diketahui masalah PL berikut dalam

bentuk standar:

Maksimasi / Minimasi

dengan pembatas linear dan pembatas tanda

NBVNBVBVBV XCXCz

bXNXB NBVBV 0, III XX

19

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

Analisis sensitivitas akan mempelajari mengenai

pengaruh perubahan koefisien fungsi tujuan CBV

dan CNBV dan/atau jumlah sumber daya yang

tersedia b. Perubahan dalam CBV, CNBV, dan b

tidak memiliki pengaruh apapun terhadap B atau

B-1.

Hal pertama yang dilakukan dalam analisis

sensitivitas adalah menguji apakah sebuah

perubahan tertentu dari (CBV, CNBV) ke (DBV, DNBV)

dan/atau perubahan dari b ke d akan membuat

basis saat ini B optimal dan layak.

20

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

Asumsi tidak ada perubahan pada B, untuk

menyelesaikannya maka kita akan mengganti CBV

dengan DBV dan b dengan d, kemudian menghitung

ulang baris tujuan (gunakan DBVB-1) dan ruas kanan

dihitung dengan B-1d.

Apabila tidak ada satu pun koefisien baris tujuan

yang baru tersebut melanggar optimalitas dan

koefisien ruas kanan yang baru menjadi negatif,

maka B tetap optimal dan layak di nilai yang baru

B-1d.

21

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

Analisis sensitivitas dapat dimasukkan ke dalam

salah satu dari ketiga kategori berikut:

1. Perubahan dalam koefisien tujuan (CBV, CNBV)

hanya dapat mempengaruhi optimalitas

2. Perubahan dalam ruas kanan b hanya dapat

mempengaruhi kelayakan

3. Perubahan simultan dalam (CBV, CNBV) dan b

dapat mempengaruhi baik optimalitas maupun

kelayakan.

22

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

Perubahan yang mempengaruhi

optimalitas

Optimalitas dari solusi simpleks dipengaruhi oleh

hanya satu dari tiga cara ini:

1. Koefisien tujuan (CBV, CNBV) diubah

2. Penggunaan sumber daya dari sebuah kegiatan

nondasar (vektor kolom NBV dalam A) diubah.

3. Sebuah kegiatan baru ditambahkan ke dalam

model

23

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

Perubahan yang mempengaruhi

kelayakan

Kelayakan dari solusi simpleks dipengaruhi oleh

hanya satu dari dua cara ini:

1. Vektor ruas kanan b diubah

2. Sebuah pembatas linear ditambahkan ke dalam

model

24

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

Perubahan yang mempengaruhi

optimalitas dan kelayakan

Optimalitas dari solusi simpleks dipengaruhi oleh:

1. Koefisien tujuan (CBV, CNBV) dan vektor ruas

kanan b diubah

25

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

1. Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk NBV

2. Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk BV

3. Perubahan ruas kanan dari pembatas linear

4. Perubahan pada kolom NBV

5. Penambahan peubah baru/aktivitas baru

6. Penambahan pembatas linear

26

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

Contoh Kasus

Maksimasi: z = 60x1 + 30x2 + 20x3

dengan pembatas linear dan pembatas tanda

8x1 + 6 x2 + x3 ≤ 48

4x1 + 2 x2 + 1,5x3 ≤ 20 x1,x2,x3 ≥ 0

2x1 + 1,5x2 + 0,5x3 ≤ 8

27

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

Tabel optimalnya adalah:

BV z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solusi

Z 1 0 5 0 0 10 0 280

X4 0 0 -2 0 1 2 -8 24

X3 0 0 -2 1 0 2 -4 8

X1 0 1 1,25 0 0 -0,5 1,5 2

Berdasarkan tabel di atas diperoleh informasi:

BV adalah x4, x3, x1 dan NBV adalah x2, x5, x6

28

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk NBV

Perubahan ini terjadi karena adanya perubahan baik

pada kontribusi keuntungan maupun kontribusi

ongkos dari kegiatan yang diwakili oleh NBV.

Pada contoh di atas satu-satunya peubah keputusan

nonbasis adalah x2. Misalkan koefisien tujuan dari x2

berubah dari menjadi .

Nilai BV akan tetap optimal jika ,dan menjadi

tidak optimal jika

302c 302c

0ˆ2 c

0ˆ2c

29

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

Nilai koefisien fungsi tujuan baru setelah terjadinya

perubahan dapat ditentukan dengan menggunakan

rumus:

Berdasarkan tabel optimal diperoleh informasi:

sehingga diperoleh nilai :

jjBVj caBcc 1ˆ

TBV xxSx 131 60200BVc

5,15,00

420

8211B

2c

530

5,1

2

6

5,15,00

420

821

60200ˆ2c

30

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

Agar solusi tetap optimal maka oleh karena itu0ˆ2c

505 atau

KLIK

31

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk BV

Perubahan ini terjadi karena adanya perubahan baik

pada kontribusi keuntungan maupun kontribusi

ongkos dari kegiatan yang diwakili oleh BV.

Mengubah koefisien fungsi tujuan BV artinya

mengubah cBV sehingga koefisien pada baris z dari

tabel optimal akan berubah.

Misalkan koefisien tujuan dari x1 berubah

dari menjadi

Oleh karena itu cBV akan menjadi

601c 601c

60200BVc

32

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

Berdasarkan tabel optimal diperoleh informasi:

sehingga diperoleh nilai koefisien NBV:

TBV xxSx 131 60200BVc

5,15,00

420

8211B

NBVNBVBVNBV caBcc 1ˆ

2

310

5

11001Bc BV

2

310

2

110

4

55ˆ

NBVc

33

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

Agar solusi tetap optimal maka oleh karena itu0ˆ NBVc

204

KLIK

34

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

Perubahan ruas kanan dari pembatas linear

Misalkan ruas kanan dari pembatas linear ke-2

berubah dari menjadi

Oleh karena itu b akan menjadi

Ruas kanan dari pembatas linear dari tabel

optimalnya menjadi:

202b 202b

8

20

48

b

5,02

28

224

8

20

48

5,15,00

420

8211bB

35

FITRIANI AGUSTINA,

MATH, UPI

Agar solusi tetap layak maka oleh karena itu0ˆ b

44

KLIK