ANALISIS SISTEM KENDALI

Dalam prakteknya, sinyal masukan sistem kendali tidak dapat diketahui sebelumnya, tetapi mempunyai sifat acak, sehingga masukan sesaat tidak dapat dinyatakan secara analitis.

Untuk analisis dan perancangan sistem kendali, harus dipunyai dasar perbandingan kinerja berbagai sistem kendali. Dasar ini disusun untuk melakukan pembandingan tanggapan berbagai sistem, yaitu dengan memberikan masukan uji. Masukan uji yang biasa digunakan adalah fungsi undak, fungsi lereng, fungsi akselerasi, fungsi impuls, fungsi sinusoida dan sebagainya.

Dengan sinyal uji ini dapat dilakukan analisis matematika dan eksperimen secara mudah, karena sinyal-sinyal ini merupakan fungsi waktu yang sederhana.

4.1 Sistem Orde Satu

C( s )R( s )

= 1Ts+1

Masukan undak satuan (unit step)

r(t) = u(t) R( s )=1

s

C (s )=1Ts+1

R( s )=1Ts+1

1s

=1s−T

Ts+1

c ( t )=L−1 [C (s ) ]=1−e−t

T (t ³0 ) t = T (konstanta waktu), maka

c (T )=1−e−1=0 ,632Konstanta waktu T yang lebih kecil mempercepat tanggapan sistem. Karakteristik kurva

tanggapan eksponensial adalah kemiringan garis singgung pada t = 0 adalah

1T , karena

dcdt

=1T

e−t

T|t=0=1T

54

Masukan lereng (unit ramp)

r ( t )=tu( t )→R( s )=1

s2

C (s )=1Ts+1

⋅1

s2

=1s2

−Ts

+T 2

Ts+1

c ( t )=L−1 [C (s ) ]=t−T+Te−t

T ( t ³0) Sinyal galat :

e ( t )=r ( t )−c ( t )

=T (1−e−t

T )

t →¥ ⇒ e(¥ )=T

Masukan impuls satuan

r ( t )=d ( t )⇒R (s )=1

C (s )= 1Ts+1

c ( t )=1T

e−t

T ( t ³0)

4.2 Sistem Orde Dua

Persamaan karakteristiknya berorde 2.Bentuk umum :

a2s2+a1s+a0=0Pada kawasan frekuensi, orde dari sistem = pangkat variabel (s) yang tertinggi untuk sistem fungsi alih lup tertutup (closed loop transfer function = CLTF).Pada kawasan waktu, orde dari sistem = orde diferensial yang tertinggi dari keluaran sistem tersebut.

55

Contoh :

Elemen arah maju (fordward) terdiri dari amplifier dan motor + beban.

G=AKm

s( stm+1 ) ; H=1 (sistem umpan balik satuan )

TF:CR

= G1±GH

= G1+G

=

AKm

tm

s2+stm

+AKm

tm ............................. (4-1)Persamaan karakteristiknya : (1+GH = 0)

s2+ 1tm

s+AKm

tm

=0............................. (4-2)

Bentuk standar orde 2 : s2+2ζωn s+ωn

2=0 ............................ (4-3)z = rasio redaman (damping ratio )wn = frekuensi natural (natural frequency )maka

wn=√AKm

tm

; z= 12wn tm

= 1

2√AKm

tm ............................ (4-4)Akar-akar persamaan karakteristik

s2+2 s zwn s+wn2=0

kemungkinannya adalah1. kedua akar persamaan riel dan tidak sama ( > 1)2. kedua akar persamaan riel dan sama ( = 1)3. kedua akar persamaan kompleks sekawan (0<<1)

4.2.1 Tanggapan Waktu

Untuk melihat tanggapan waktunya, diambil masukan undak satuan (unit step),

r ( t )=u( t )→R (s )=1s

dan kondisi mula = 0.

R( s )=1s→C (s )=

ωn2

s( s2+2 ζωns+ωn2 )

Untuk > 1 C(s) dapat diuraikan menjadi :

56

C (s )=

K1

s+

K2

s+s1

+K 3

s+s2

s1 dan s2 pole dari sistem s3 = 0 pole dari masukan dan

K1=1

K2=1

2( z2−z √ z2−1−1)

K3=1

2( z2+z √z2−1−1 ) maka didapat :

c ( t )=1+K 2e−( z−√ z2−1)wn t

+K3 e−( z+√z2−1 )wn t

................................ (4-5)

Untuk = 1

maka C(s) menjadi : C (s )=

wn2

s( s+wn )2

C (s )=K 1

(s+wn )2+

K2

(s+wn )+

K3

s

K1 =- wn ; K2 =-1 ; K3 =1, maka

c ( t )=1−wn te−wn t

−e−wn t

............................... (4-6)

Untuk 0 < < 1

C (s )=

K1

s+

K2

s+s1

+K 3

s+s2

57

dengan :K1=1

K2=e-j α

2jsin α

K3=e+jα

2jsin α , maka

c ( t ) = 1+e−zwn t

√1- z2sin(wnt √1- z2−α )

.............................. (4-7)

Kesimpulan dari tanggapan waktu adalah : kecepatan untuk 0 < < 1 lebih cepat, adanya osilasi overshoot tidak boleh terlalu besar.Jadi bentuk standar tanggapan waktu untuk peralihan keadaan kurang diredam (0<<1).

4.2.1.1 Karakteristik Tanggapan Peralihan (Transient)Karakteristik kinerja suatu sistem kendali biasanya menggunakan masukan sinyal

undak satuan, karena jika tanggapan masukan undak satuan diketahui maka secara matematis dapat dihitung tanggapan untuk sembarang masukan. Dalam prakteknya, tanggapan peralihan suatu sistem kendali selalu menunjukkan osilasi teredam sebelum mencapai keadaan tunaknya. Dengan demikian tanggapan peralihan merupakan hal yang penting dari tanggapan sistem kendali. Dalam tanggapan peralihan ada beberapa hal yang akan ditentukan besarannya, antara lain adalah

Maksimum (peak) overshoot, Mp

waktu puncak (time overshoot), tp

settling time, ts

waktu tunda (delay time), td

waktu naik (rise time), tr

= penyimpangan keluaran yang masih diizinkan, biasanya d=2% atau d=5 %.

58

Waktu naik (rise time), tr adalah waktu yang dibutuhkan tanggapan waktu untuk naik dari 10% menuju 90% dari harga keadaan tunak (steady state).

Waktu puncak (time overshoot), tp adalah waktu yang diperlukan tanggapan untuk mencapai puncak tertinggi (puncak pertama).

Waktu tunda (delay time), td adalah waktu yang dibutuhkan tanggapan untuk mencapai setengah nilai akhir waktu puncak pertama.

Settling time, ts adalah waktu yang dibutuhkan oleh tanggapan peralihan (sebelum memasuki tanggapan keadaan tunak).

Overshoot maksimum (peak overshoot), Mp adalah adalah nilai puncak kurva tanggapan diukur dari satuan. Apabila nilai akhir tanggapan keadaan tunaknya jauh dari satu, biasanya digunakan prosentasi maksimum overshoot, yang didefinikan sebagai

Maksimum overshoot =

c ( tp )−c (¥ )

c (¥ )´ 100 %

Besarnya prosentasi maksimum overshoot menunjukkan kestabilan relatif dari sistem.

Mp, tp, ts, dan tr dapat ditentukan oleh parameter sistemnya.

Menghitung Mp, tp, ts, dan tr dapat dilakukan dengan rumus-rumus berikut.

M p=e−−zp

√1- z2

t p=p

wn√1−z2

t s »4zwn

untuk d=± 2%

t s »3zwn

untuk d=± 5%.......................... (4-8)

4.2.1.2 Karakteristik Tanggapan Keadaan TunakAda dua hal yang penting dalam tanggapan keadaan keadaan tunak, yaitu :

adanya galat keadaan tunak (steady state error), besarnya galat keadaan tunak.

Untuk sistem standar dengan umpan balik satuan (H(s) = 1).

59

E( s )=R( s )1+G( s )

e ( t )ss=limt→¥

e( t )

=lims→0

sE( s )

e ( t )ss=lims→0

sR( s )

1+G( s ) ........................... (4-9)e(t)ss (galat keadaan tunak) dipengaruhi oleh :

macam masukan (R(s)), tipe sistem.

Macam masukan1. Fungsi undak (step function/position function).

r ( t )=Ku( t )

R( s )=Ks

Undak satuan : K = 1.

2. Fungsi lereng (ramp function/velocity function)

r ( t )=Ktu( t )

R( s )=K

s2

Satuan lereng : K = 1.

3. Fungsi parabolik (parabolic function/acceleration function)

r ( t )=Kt2u( t )

R( s )=2K

s3

Satuan parabolik : K=1

2

60

Tipe sistemDinyatakan oleh jumlah pole dari G(s)H(s) yang terletak di pusat koordinat bidang

s. Bila sistemnya mempunyai umpan balik satuan, maka

G( s )H ( s )=G( s )=K (s+ z1 )( s+z2 )⋅¿⋅¿⋅( s+zm )

sl(s+ p1 )(s+ p2 )⋅¿⋅¿⋅( s+ pk ) ............................ (4-10)Ketentuan : 1. k + l > m

2. z1, z2, ...,zm adalah zero dari G(s) 03. p1, p2, …, pk adalah pole dari G(s) 0

maka :l = 0 sistem tipe 0l = 1 sistem tipe 1l = 2 sistem tipe 2

...l = n sistem tipe n

Masukan undak satuan : R( s )=1

s

e ( t )ss=lims→0

s

1s

1+G( s )= lim

s→0

11+G( s )

=1

1+ lims→0

G( s )

Bila : K p= lim

s→0G( s )

, maka e ( t )ss=

11+K p

Untuk tipe 0 :

K p=

Kz1 z2⋅¿⋅zm

p1 p2⋅¿⋅¿ pk

⇒ e( t )ss=1

1+ K p ............................ (4-11) Untuk tipe 1 :

K p =¥⇒ e( t )ss=0

Untuk tipe 2 :

K p =¥⇒ e( t )ss=0

Masukan satuan lereng : R( s )= 1

s2

e ( t )ss=lims→0

s

1

s2

1+G( s )= lim

s→0

1sG(s )

= 1lims→ 0

sG( s )

Bila K v=lim

s→0sG( s )

, maka e ( t )ss=

1K v ........................... (4-12)

Untuk tipe 0 :

K v=0⇒ e( t )ss =¥

Untuk tipe 1 :

K v=K p

i=1

m

zi

pj=1

k

pj

⇒ e( t )ss=1

Kv

Untuk tipe 2 :

K v=¥ ⇒e ( t )ss=0

61

Masukan satuan parabolik : R( s )= 1

s3

e ( t )ss=lims→ 0

s

1

s3

1+G( s )= lim

s→0

1s2 G( s )

= 1lims→ 0

s2 G( s )

Bila Ka=lim

s→0s2 G (s )

, maka e ( t )ss=

1K a ............................ (4-13)

Untuk tipe 0 : Ka=0⇒ e( t )ss =¥

Untuk tipe 1 : Ka=0⇒ e( t )ss =¥

Untuk tipe 2 :

Ka=K p

i=1

m

zi

pj=1

k

pj

⇒ e( t )ss=1

Ka

Tabel 4.1 Galat keadaan tunak e(t)ss

4.3 Analisis Kepekaan Sistem (Sensitivity)Yang dimaksud dengan kepekaan sistem adalah ketergantungan sistem keseluruhan

terhadap perubahan elemen/subsistemnya. Untuk itu didefinisikan suatu ukuran kepekaan sistem. Sistem diwakili oleh fungsi alih sistem keseluruhan T dan subsistem oleh fungsi alih subsistem tersebut Gi.

Kepekaan didefinisikan sebagai perbandingan antara perubahan relatif dari T dan

perubahan relatif dari Gi, ditulis SGiT

.

SGiT =

DTT

D GiGi

Atau bila diambil limitnya, bentuk di atas menjadi bentuk diferensial :

SGiT =

dTT

dGiGi

=GiT

⋅dTdGi

........................................... (4-14)Untuk memberikan ilustrasi tentang kepekaan ini, kita lihat sebuah sistem kendali yang dinyatakan oleh diagram blok berikut.

T (s )=C (s )R (s )

=G1(s )G( s )

1+G(s ) H (s )

62

Akan dilihat kepekaan sistem terhadap perubahan G1, G, dan H.

a. Terhadap perubahan G1(s)

SG1

T =G1

T¿dT

dG1

=G1

T¿G1+GH

=G1

G1 G

1+GH

⋅G1+GH

=1

Perubahan relatif dari T akan sama dengan perubahan relatif dari G1.

b. Terhadap perubahan H(s)

SHT =

HT

⋅dTdH

; dTdH

=-G1G2

(1+GH )2

=-HT

⋅G1 G2

(1+GH )2

=-HG1 G

1+GH

⋅G1G2

(1+GH )2=-

GH1+GH

Bila GH >>> 1, maka SHT -1 atau perubahan relatif T sama dengan perubahan relatif H

(dalam arah berlawanan).

c. Terhadap perubahan G(s)

SGT =G

T⋅dTdG

;dTdG

=G1 (1+GH )−HG1 G

(1+GH )2=

G1

(1+GH )2

SGT =G

T⋅G1

(1+GH )2=

GG 1G

1+GH⋅G1

(1+GH )2=1

1+GH

Bila GH >>> 1 maka SGT << 1 atau perubahan relatif T sangat kecil dibandingkan dengan

perubahan relatif G.Hasil-hasil di atas cukup menarik, yaitu dalam merancangan sistem kendali seperti

di atas, subsistem G1 dan H harus cukup kritis, karena perubahan relatif padanya akan mengakibatkan perubahan relatif yang sama besar pada sistem keseluruhan. Oleh karena itu, G1 dan H harus merupakan peralatan-peralatan yang baik, teliti, dan stabil terhadap perubahan-perubahan dari luar, seperti temperatur, waktu, dan sebagainya. Sedangkan elemen arah maju G ternyata tidak perlu terlalu baik, karena ketergantungan padanya cukup kecil. Tentu saja asal GH cukup besar.

4.4 Kestabilan

Sistem disebut stabil bila masukan r(t) terbatas, keluaran c(t) akan terbatas (bounded input bounded output) yang merupakan asumsi dasar.

Contoh : fungsi terbatas : f(t) = A sin t untuk setiap harga maksimum f(t) A. fungsi undak satuan (unit step)

63

Diagram blok sistem :

TF:CR

= G1+GH

Fungsi alih dapat diuraikan menjadi :C( s )R( s )

=A0

s−s1

+A1

s−s2

+L+An

s−sn

dengan : s1, s2, ..., sn = akar-akar karakteristik A1, A2, ..., An = konstanta

Bila masukannya undak satuan, maka tanggapan waktunya :

c ( t )=1+ A0 es0 t

+ A1 es1 t

+L+ Anesn t

.......................... (4-15)Bentuk umum akar persamaan karakteristik :sk=sk+ jw k ; k= 0, 1, 2 L

Bila :

1. Semua k negatif

Dari persamaan (4-15) didapat :

|c( t )|=1+|A0||es0 t

|+L+|An||esn t

|

|ejwn t

|=1→ semua |esk t

|<¥ , karena sk negatif ß terbatas (bounded )Menurut definisi, suatu sistem yang akar-akar persamaan karakteristiknya terletak di sebelah kiri sumbu khayal pada bidang s adalah stabil.

2. Bila salah satu k positif

maka :

|c( t )|=1+|A0||es0 t

|+L+|An||esn t

|

64

untuk setiap

t=|esk t

|<¥ kecuali |es z t|=1 untuk t=0

=¥ untuk t=¥

maka : |c( t )|=¥ untuk t = ¥Jadi c(t) tidak terbatas (non bounded).

Menurut definisi, sistem tidak stabil, bila akar persamaan karakteristik terletak di sebelah kanan sumbu khayal pada bidang s.Kesimpulan :

Definisi yaitu sistem stabil bila akar-akar persamaan karakteristik terletak di sebelah kiri sumbu khayal, dari bidang s.Tanggapan waktu c(t) dapat dihitung bila akar-akar persamaan karakteristik diketahui dan diberikan masukan fungsi undak satuan.c(t) akan bila ada salah satu akar yang bagian nyatanya () > 0 sistem tidak stabil. Bila semua akar terletak di sebelah kiri sumbu khayal (semua bagian nyatanya < 0) sistem stabil, karena c(t) terbatas.Keluaran c(t) (tanggapan) terdiri dari 2 bagian : bagian keadaan tunak sebanding dengan masukannya, sehingga bila masukan

terbatas bagian keadaan tunaknya juga terbatas; bagian peralihan tergantung dari karakteristik sistem.Jadi bila masukan terbatas, kestabilan dari sistem tergantung dari karakteristik sistemnya.

4.5 Pengendali Otomatis di Industri

Pengendali otomatis membandingkan nilai sebenarnya dari keluaran sistem keseluruhan dengan masukannya, menentukan penyimpangan dan menghasilkan sinyal kendali yang akan mengurangi penyimpangan sehingga menjadi nol atau sekecil mungkin. Proses di mana pengendali otomatis menghasilkan sinyal kendali disebut aksi kendali.

Pengendali analog di industri dapat diklasifikasikan sesuai dengan aksi pengendaliannya. Antara lain adalah Pengendali posisi ON-OFF Pengendali proporsional (P) Pengendali integral (I) Pengendali proporsional plus integral (PI) Pengendali proposional plus derivatif (PD) Pengendali proporsional plus integral plus derivatif (PID)

Hampir semua pengendali di industri menggunakan listrik atau fluida tekan (misalnya minyak atau udara ) sebagai sumber daya.

Pengendali otomatis juga dapat diklasifikasikan sesuai dengan jenis daya yang digunakan dalam operasi, seperti pengendali pneumatik, pengendali hidrolik atau pengendali elektronik. Jenis yang harus digunakan diputuskan berdasarkan sifat kendalian dan kondisi kerja, yang antara lain mencakup :

keamanan, biaya, ketersediaan, keandalan, ketelitian, berat, dan ukuran.

65

Gambar 4.1 Diagram blok sistem kendali di industri.

4.5.1 Aksi Kendali Posisi ON-OFFDalam sistem ini, elemen pembangkitnya hanya mempunyai dua posisi, yaitu ON

dan OFF. Pengendali posisi ON-OFF relatif sederhana dan tidak mahal, serta banyak digunakan dalam kendali di industri.

4.5.2 Aksi Kendali Proporsional (P)Untuk pengendali proporsional, hubungan antara masukan pengendali u(t) dengan

sinyal galat aktuasi e(t) adalah u( t )=K p e ( t )

Fungsi alih dari pengendali proporsional adalah U (s )E(s )

=K p

dengan Kp adalah penguatan proporsional.

4.5.3 Aksi Kendali Integral (I)Pada pengendali integral, nilai masukan pengendali u(t) diubah pada laju

proporsional dari sinyal galat aktuasi e(t), sehinggadu ( t )dt

=K i e( t )

atau

u( t )=K i∫0

t

e( t )dt

dengan Ki adalah konstanta yang dapat diubah.Fungsi alih dari pengendali integral adalah

U (s )E(s )

=K i

sJika nilai e(t) ada dua (ganda), maka nilai u(t) bervariasi dua kali lebih cepat.Untuk pembangkit galat nol, nilai u(t) konstan.Aksi kendali integral biasa disebut kendali riset.

4.5.4 Aksi Kendali Proporsional Plus Integral (PI)Bentuk persamaannya adalah

u( t )=K pe ( t )+ K p

T i∫0

t

e ( t )dt

Fungsi alih pengendali proporsional integral adalahU (s )E(s )

=K p(1+ 1T i s

)

66

dengan Ti adalah waktu integral.Kp dan Ti dapat ditentukan besarnya. Waktu integral mengatur aksi kendali integral,

sedangkan perubahan nilai Kp berakibat pada logika aksi kendali proporsional maupun integralnya. Kebalikan waktu integral Ti disebut laju reset. Laju reset adalah bilangan yang menunjukkan berapa kali tiap menit bagian proporsional dari aksi kendali diduplikasi.

4.5.5 Aksi Kendali Proporsional Plus Derivatif (PD) Bentuk persamaannya adalah

u( t )=K p e ( t )+Kd

de( t )dt

Fungsi alih pengendali proporsional plus derivatif adalah U (s )E(s )

=K p(1+T d s )

dengan Td adalah waktu derivatif.

Kp dan Td keduanya dapat ditentukan besarnya. Aksi kendali derivatif kadang-kadang disebut laju kendali, dengan besaran keluaran pengendali sebanding dengan laju perubahan sinyal galat aktuasi. Waktu derivatif adalah waktu integral dengan laju aksi memberikan pengaruh pada aksi kendali proporsional.

4.5.6 Aksi Kendali Proporsional Plus Integral Plus Derivatif (PID)Bentuk persamaannya adalah

u( t )=K pe ( t )+ K p

T i∫0

t

e ( t )dt+K pT d

de( t )dt

Fungsi alih pengendali PID adalahU (s )E(s )

=K p(1+ 1T i s

+Td s )

67

4.5.7 Pengaruh Sensor pada Kinerja SistemSensor mempunyai peranan yang penting dalam menentukan kinerja sistem secara

keseluruhan, karena karakteristik fisik sensor (dinamik dan statik) memberikan petunjuk nilai yang sebenarnya dari variabel keluaran.

Sensor biasanya menentukan fungsi alih dalam lintasan umpan balik. Jika konstanta waktu dari sensor cukup kecil dibandingkan dengan konstanta waktu sistem yang lain, maka dapat diabaikan dan fungsi alih sensor menjadi konstan.

Gambar 4.2 Pengendali otomatis dengan sensor orde pertama.

Gambar 4.3 Pengendali otomatis dengan sensor tak teredam orde kedua.

1>>0

Gambar 4.4 Pengendali otomatis dengan sensor teredam orde kedua

4.5.8 Diagram Blok Sistem Kendali OtomatisDiagram blok sistem kendali otomatis sederhana diperoleh dengan menghubungkan

kendalian ke pengendali otomatis, seperti terlihat pada gambar berikut.

Gambar 4.5 Diagram blok sistem kendali otomatis.

68

C(s) adalah variabel keluaran, R(s) adalah variabel masukan referensi dan N(s) adalah variabel gangguan, dihubungkan dengan bentuk persamaan :

C (s )=G1 (s )G2( s )

1+G1( s )G2(s ) H ( s )R(s )+

G3 (s )1+G1( s )G2 (s ) H ( s )

N (s )

4.5.9 Pengaruh Aksi Kendali Integral dan Derivatif pada Kinerja Sistem

4.5.9.1 Aksi Kendali Integral

Aksi kendali integral dapat menyebabkan dua hal, yaitu :a. menghilangkan offset atau galat keadaan tunak,b. ada kemungkinan menimbulkan tanggapan yang berosilasi dengan amplituda yang

mengecil secara perlahan atau bahkan amplituda yang membesar,biasanya hal ini tidak diinginkan.

4.5.9.1.1 Kendali Integral Pada Sistem Pengendalian Tinggi Permukaan CairanGambar diagram blok dari suatu sistem pengendalian tinggi permukaan cairan

adalah seperti berikut (dianggap pengendaliannya adalah jenis integral).

Dari gambar di atas, fungsi alih antara H(s) dan X(s) adalah H ( s )X ( s )

=KRRCs2+s+KR

E( s )X ( s )

=X (s )−H (s )X (s )

E( s )X ( s )

=RCs2+sRCs2+s+KR

Karena sistem stabil, maka kesalahan keadaan tunak untuk tanggapan undak satuan diperoleh dengan menggunakan teorema nilai akhir sebagai berikut.

e ( t )ss=lims→0

sE(s )

=lims→0

s( RCs2+s )RCs2+s+KR

⋅1s

=0Jadi kendali integral pada sistem tinggi permukaan cairan meniadakan galat keadaan tunak pada tanggapan terhadap masukan undak. Ini merupakan perbaikan yang penting dari kendali proporsional yang menimbulkan offset.

4.5.9.1.2 Tanggapan Terhadap Gangguan Torsi

a. Kendali Proposional Gambar diagram bloknya adalah

Diasumsikan R(s) = 0, maka fungsi alih :

69

C (s )N ( s )

=1Js2+ fs+K p

E( s )N ( s )

=-C( s )N (s )

=-1Js2+fs+K p

Galat keadaan tunak yang disebabkan oleh torsi gangguan undak dengan besar Tn diberikan oleh :

e ( t )ss=lims→0

sE(s )

=lims→0

−sJs2+ fs+K p

⋅T n

s

=-Tn

K p

Pada keadaan tunak, pengendali proporsional memberikan torsi - Tn, yang sama besar tetapi berlawanan tanda dengan torsi gangguan Tn. Keluaran keadaan tunak yang disebabkan oleh torsi gangguan undak adalah

c ( t )ss =- e( t )ss=Tn

K p

Galat keadaan tunak dapat diperkecil dengan memperbesar harga Kp, tetapi pembesaran Kp

akan menimbulkan tanggapan sistem lebih berosilasi.

Gambar 4.6 Kurva tanggapan terhadap torsi gangguan undak.

b. Kendali proporsional plus integralDigunakan untuk menghilangkan offset akibat adanya gangguan torsi pada kendali

proporsional. Gambar diagram blok kendali proporsional plus integral pada elemen beban yang terdiri dari momen inersia dan gesekan viskos adalah

Dari gambar di atas

E( s )=-1

Js3+ fs2+K p s+K p

T i

N ( s )

Jika sistem kendali ini stabil, maka : Js3+ fs2+K p s+

K p

T i

=0, mempunyai bagian nyata

negatif, maka galat keadaan tunak dari tanggapan terhadap torsi gangguan undak dengan besar Tn, diperoleh dengan menggunakan teorema nilai akhir :

70

e ( t )ss=lims→0

sE(s )

= lims→0

−s

Js3+fs2+K ps+K p

T i

⋅T n

s

=0

Jadi galat keadaan tunak akibat gangguan torsi dihilangkan jika pengendalinya adalah jenis proporsional plus integral.Kesimpulan : Aksi kendali proporsional cenderung menstabilkan sistem. Aksi kendali integral cenderung menghilangkan atau memperkecil keadaan tunak dari

tanggapan terhadap berbagai masukan.

4.5.9.2 Aksi Kendali DerivatifKendali derivatif selalu digunakan bersama-sama dengan aksi proporsional atau

proporsional plus integral. Aksi kendali derivatif mendahului kesalahan penggerak, mengawali aksi koreksi dini, dan cenderung memperbesar kestabilan sistem.

4.5.9.2.1 Kendali Proporsional Pada Sistem Dengan Beban InersiaDiagram bloknya adalah

Fungsi alihnya :C( s )R( s )

=K p

Js2+K p

Persamaan karakteristiknya : Js2 + Kp = 0 mempunyai akar-akar khayal, maka tanggapan terhadap masukan undak satuan akan terus berosilasi, seperti gambar berikut.

4.5.9.2.2 Kendali Proporsional Plus Derivatif Pada Sistem Dengan Beban InersiaGambar diagram bloknya adalah

Fungsi alihnya :C( s )R( s )

=K p (1+T d s )

Js2+K p Td s+K p

Persamaan karakteristiknya : Js2 + KpTd s + Kp = 0 mempunyai dua akar dengan bagian nyata negatif untuk harga-harga positif J, Kp dan Td.Jadi kendali derivatif memberi pengaruh redaman. Gambar kurva khas dari tanggapan sistem c(t) terhadap masukan undak satuan adalah seperti berikut.

71

Kurva tanggapan menunjukkan perbaikan yang cukup besar dari kurva tanggapan asal pada gambar kurva di atas.

4.6 Contoh- Contoh Soal

1. Suatu sistem umpan balik satuan mempunyai spesifikasi prosentasi overshoot 5% dan peak time (tp) = 1 detik, untuk masukan undak satuan. Tentukan fungsi alih lup terbukanya.

Jawab :

Prosentasi overshoot = e

− zp

√1−z2

=5%

e

− zp

√1−z2

=0 ,05−zp

√1−z2=ln 0 ,05 =-2 ,996

bila p=3 ,1416 , maka

z2

1−z2=(−2 , 996

p )2

=0 , 909456

z2

1−z2=0 , 91

0 ,91−0 ,91 z2=z2

0 ,91=z2+0 ,91 z2

0 ,91=1 , 91V 2

z=√0 , 911 , 91

=0 ,69

t p=1 detik=p

wn √1−z2

wn=p

√1−V 2=p

√1−0 , 692=4 , 34

Persamaan karakteristik : 1 + G(s) = 0Fungsi alih lup terbuka = G(s)1+ G(s) = 0

s2+2 zwn s+wn2=0→ s2+5,99s+18,84=0

G( s )=s2+5 ,99 s+17 , 84

72

2. Tentukan galat keadaan tunak (steady state error) untuk sistem berikut, bila diketahui masukannyaa. undak satuan (unit step),b. satuan lereng (unit ramp),c. satuan parabolik (unit parabolik).

Jawab :H(s) = 1

G( s )H ( s )=(10 )(0,2s+1)(15)( 0,6)( 0,5s+1)( s2+3s+4 )

=90 (0,2 s+1 )(0,5s+1 )(s2+3s+4 )

=18 (s+5)(0,5s+1 )(s2+3s+4 )

a. Masukan undak satuan : R( s )=1

s

E( s )=11+G( s )H ( s )

⋅R( s )

=1

1+18( s+5 )(0,5s+1 )(s2+3s+4 )

⋅1s

=s3+5s2+10s+8s( s3+5s2+46 s+188 )

e ( t )ss=lims→ 0

sE(s )=lims→ 0

ss3+5s2+10s+8

s (s3+5s2+46 s+188)

=8188

=0 ,0426

Jadi galat keadaan tunak untuk masukan undak satuan = 0,0426

b. Masukan satuan lereng : R( s )= 1

s2

E( s )=s3+5s2+10s+8s2 (s3+5s2+46 s+18 8)

e ( t )ss=lims→0

sE(s )=lims→0

ss3+5s2+10s+8

s2( s3+5s2+46 s+18 8 ) =¥

c. Masukan satuan parabolik : R( s )= 1

s3

E( s )=s3+5s2+10s+8s3 (s3+5s2+46 s+18 8)

e ( t )ss=lims→0

sE(s )=lims→0

ss3+5s2+10s+8

s3( s3+5s2+46 s+18 8 ) =¥

73

3. Diketahui : G( s )= K

s (s+2) ; H (s )= s+1

s+3Tentukan :a. Tipe sistemb. Kepekaan fungsi alih terhadap Kc. c(t)ss, e(t)ss bila masukannya undak satuan (unit step)d. Kp, Kv, dan Ka untuk K = 10.Jawab :

G( s )=Ks ( s+2 )

; H (s )=s+1s+3

G( s )H ( s )=K ( s+1 )s( s+2 )(s+3)

a. Sistem tipe 1

b . TF=G( s )

1+G( s )H ( s )=

Ks (s+2)

1+ Ks ( s+2 )

⋅s+1s+3

=K ( s+3 )

s (s+2)( s+3 )+ K (s+1)=T (s )

Kepekaan TF terhadap K :

SKT =

KT

⋅dTdK

=KT

⋅dTdG

⋅dGdK

=KG( s )1+G( s )H ( s )

⋅(1

(1+G( s )H ( s ))2)(

1s ( s+2 )

)

=KKs( s+2 )

(1+K ( s+1 )s( s+2 )(s+3)

⋅1s (s+2 )

=1

1+K ( s+1 )s( s+2 )(s+3 )

=s3+5s2+6s

s3+5s2+6s+Ks+ K

SKT =s3+5 s2+6

s3+5s2+(6+ K )s+K

c . c (t )ss=lims→0

sC( s )= lims→0

sG( s )1+G( s )H ( s )

R (s )=lims→0

sG( s )1+G( s )H ( s )

⋅1s

= lims→0

K ( s+3 )s( s+2 )(s+3 )+K (s+1)

=3KK

=3

e ( t )ss=lims→ 0

sE(s )=lims→ 0

s⋅11+G( s )H ( s )

⋅R( s )

= lims→0

s⋅11+G( s )H (s )

⋅1s

= lims→0

1

1+K ( s+1 )s( s+2 )(s+3 )

=1

1+K0

=0

74

d . K p= lims→0

G (s ) H (s )=lims→0

K (s+1)s (s+2)( s+3 )

=K0

=¥

Kv=lims →0

sG( s )H ( s )= lims→0

sK (s+1)s( s+2)(s+3 )

=K6

=106

Ka=lims→0

s2 G( s )H (s )=lims→0

s2 K (s+1)s (s+2)( s+3 )

=0

75