Upload
vothuy
View
390
Download
13
Embed Size (px)
Citation preview
ANALISIS STATISTIK
tentang
PENGERTIAN STATISTIK, PENGERTIAN STATISTIKA,
MACAM-MACAM DATA, DISTRIBUSI FREKUENSI DAN GRAFIKNYA,
UKURAN PEMUSATAN, UKURAN PENYEBARAN (FRAKTIL) DAN
UKURAN DISPERSI
DISUSUN OLEH :
1. Trilius Septaliana KR (20102512011)
2. Aisyah (20102512023)
DOSEN PENGASUH :
Dr. Ratu Ilma I.P.,M.Si
PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS SRIWIJAYA PALEMBANG
TAHUN AJARAN 2011/2012
BAB 1
PENGERTIAN STATISTIK, STATISTIKA DAN
MACAM-MACAM DATA
1.1. Pengertian Statistik dan Statistika
Statistik adalah kumpulan data, bilangan maupun non-bilangan yang disusun
dalam tabel dan atau diagram yang melukiskan suatu persoalan
Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara
pengumpulan data, pengolahan atau penganalisaannya dan penarikan kesimpulan
berdasarkan kumpulan data dan penganalisaan yang dilakukan.
1.2. Pembagian Statistik Berdasarkan Cara Pengolahan Datanya
Didasarkan atas cara pengolahan datanya, statistik dapat dibagi dua, yaitu
statistik deskriptif dan statistik inferensi.
a. Statistika deskriptif adalah metode yang berkaitan dengan pengumpulan dan
penyajian suatu gugus data sehingga memberikan informasi yang berguna.
b. Statistika inferensia adalah metode yang berhubungan dengan analisis sebagian
data untuk kemudian sampai pada peramalan atau penarikan kesimpulan tentang
seluruh gugus data induknya.
1.3. Pembagian Statistik Berdasarkan Ruang Lingkup Penggunaannya
a. Statistik sosial
adalah statistik yang diterapkan atau digunakan dalam ilmu-ilmu sosial.
b. Statistik pendidikan
adalah statistik yang diterapkan atau digunakan dalam ilmu dan bidang
pendidikan.
c. Statistik ekonomi
adalah statistik yang diterapkan atau digunakan dalam ilmu-ilmu ekonomi.
d. Statistik perusahaan
adalah statistik yang diterapkan atau digunakan dalam bidang perusahaan.
e. Statistik pertanian
adalah statistik yang diterapkan atau digunakan dalam ilmu-ilmu pertanian.
f. Statistik kesehatan
adalah statistik yang diterapkan atau digunakan dalam bidang kesehatan.
1.4. Pembagian Statistik Berdasarkan Bentuk Parameternya
a. Statistik parametrik
adalah bagian statistik yang parameter dari populasinya mengikuti suatu
distribusi tertentu, seperti distribusi normal dan memiliki varians yang homogen.
b. Statistik nonparametrik
adalah bagian statistik yang parameter dari populasinya tidak mengikuti suatu
distribusi tertentu atau memiliki distribusi yang bebas dari persyaratan, dan variansnya
tidak perlu homogen.
1.5. Data Statistik
Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia data adalah keterangan yang benar dan
nyata. Data adalah bentuk jamak dari datum. Datum adalah keterangan atau ilustrasi itu
mengenai sesuatu hal yang bisa berbentuk kategori (misalnya rusak, baik, senang, cerah,
berhasil, gagal dan sebagainya) atau bilangan. Jadi, data dapat diartikan sebagai sesuatu
yang diketahui atau yang dianggap atau anggapan.
1.6. Pembagian Data
A. Jenis Data Menurut Cara Memperolehnya
1. Data Primer, adalah secara langsung diambil dari objek, atau objek penelitian oleh
peneliti perorangan maupun organisasi. Data primer disebut juga data asli atau data
baru. Contoh: Mewawancarai langsung penonton bioskop 21 untuk meneliti
preferensi konsumen bioskop.
2. Data Sekunder, adalah data yang didapat tidak secara langsung dari objek
penelitian. Peneliti mendapatkan data yang sudah jadi yang dikumpulkan oleh pihak
lain dengan berbagai cara atau metode baik secara komersial maupun non komersial.
Data sekunder disebut juga data tersedia. Contohnya adalah pada peneliti yang
menggunakan data statistik hasil riset dari surat kabar atau majalah.
B. Macam-Macam Data Berdasarkan Sumber Data
1. Data Internal, adalah data yang menggambarkan situasi dan kondisi pada suatu
organisasi secara internal. Misal : data keuangan, data pegawai, data produksi, dsb.
2. Data Eksternal, adalah data yang menggambarkan situasi serta kondisi yang ada di
luar organisasi. Contohnya adalah data jumlah penggunaan suatu produk pada
konsumen, tingkat preferensi pelanggan, persebaran penduduk, dan lain sebagainya.
C. Klasifikasi Data Berdasarkan Jenis Datanya
1. Data Kuantitatif, adalah data yang dipaparkan dalam bentuk angka-angka. Misalnya
adalah jumlah pembeli saat hari raya idul adha, tinggi badan siswa kelas 3 ips 2, dan
lain-lain.
2. Data Kualitatif, adalah data yang disajikan dalam bentuk kata-kata yang
mengandung makna. Contohnya seperti persepsi konsumen terhadap botol air
minum dalam kemasan, anggapan para ahli terhadap psikopat dan lain-lain.
D. Pembagian Jenis Data Berdasarkan Sifat Data
1. Data Diskrit, adalah data yang nilainya adalah bilangan asli. Contohnya adalah berat
badan ibu-ibu pkk sumber ayu, nilai rupiah dari waktu ke waktu, dan lain-
sebagainya.
2. Data Kontinu, adalah data yang nilainya ada pada suatu interval tertentu atau berada
pada nilai yang satu ke nilai yang lainnya. Contohnya penggunaan kata sekitar,
kurang lebih, kira-kira, dan sebagainya.
E. Jenis-jenis Data Menurut Waktu Pengumpulannya
1. Data Cross Section, adalah data yang menunjukkan titik waktu tertentu. Contohnya
laporan keuangan per 31 desember 2006, data pelanggan PT. angin ribut bulan mei
2004, dan lain sebagainya.
2. Data Time Series/ Berkala, adalah data yang datanya menggambarkan sesuatu dari
waktu ke waktu atau periode secara historis. Contoh data time series adalah data
perkembangan nilai tukar dollar amerika terhadap euro eropa dari tahun 2004
sampai 2006, jumlah pengikut jamaah nurdin m. top dan doktor azahari dari bulan
ke bulan, dll.
1.7. Penyajian Data
Fungsi penyajian data yaitu :
1. Menunjukkan perkembangan suatu keadaan,
2. Mengadakan perbandingan pada suatu waktu.
Secara garis besar penyajian data dapat dilakukan melalui tabel dan grafik.
a. Tabel
Tabel adalah penyajian data dalam bentuk kumpulan angka yang disusun
menurut kategori-kategori tertentu, dalam suatu daftar. Dalam tabel, disusun dengan
cara alfabetis, geografis, menurut besarnya angka, historis, atau menurut kelas-kelas
yang lazim.
Berdasarkan pengaturan datanya, tabel dibedakan atas beberapa jenis, yaitu :
1. Tabel frekuensi, adalah tabel yang menunjukkan atau memuat banyaknya kejadian
atau frekuensi dari suatu kejadian. Contoh :
TABEL HASIL UJIAN STATISTIK
Nilai Jumlah Mahasiswa
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
70 – 74
75 – 79
80 – 84
85 – 89
3
5
6
8
12
15
11
7
5
Jumlah 70
2. Tabel klasifikasi,
Tabel klasifikasi adalah tabel yang menunjukkan atau memuat pengelompokkan
data. Tabel klasifikasi dapat berupa tabel klasifikasi tunggal dan ganda.
Contoh tabel klasifikasi tunggal
TABEL JUMLAH MURID XII IPA SMA X PALEMBANG YANG LULUS
UJIAN MATEMATIKA TAHUN 2009
Jenis Jumlah
Laki-laki
Perempuan
81
88
Jumlah 169
Contoh : tabel klasifikasi ganda
TABEL JUMLAH MURID XII IPA SMA X PALEMBANG YANG LULUS
UJIAN MATEMATIKA TAHUN 2009
Jenis
Kelamin
Jumlah
Murid
Kelas
XII IPA 1 XII IPA 2 XII IPA 3 XII IPA 4
Laki-laki
Perempuan
81
88
17
22
20
23
25
18
19
25
Jumlah 169 39 43 43 44
3. Tabel kontingensi,
Tabel kontingensi adalah tabel yang menunjukkan atau memuat data sesuai
dengan rinciannya. Apabila bagian baris tabel berisikan m baris dan bagian kolom tabel
berisikan n kolom maka didapatkan tabel kontingensi berukuran m x n.
Contoh :
TABEL BANYAK MURID MENYUKAI BELAJAR MATEMATIKA DI SEKOLAH
DAERAH T MENURUT TINGKAT KELAS DAN JENIS KELAMIN TAHUN 2009
Jenis Kelamin Tingkat Kelas
Jumlah X XI XII
Laki-laki 115 103 201 419
Perempuan 234 212 195 641
Jumlah 349 315 396 1.060
4. Tabel korelasi
Tabel korelasi adalah tabel yang menunjukkan atau memuat adanya korelasi
(hubungan) antara data yang disajikan.
Contoh :
TABEL HASIL UJIAN STATISTIK DAN AKUNTANSI 100 MAHASISWA DI
SUATU AKADEMI
Nilai
Akuntansi
Nilai Statistik
40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99
90-99
80-89
70-79
60-69
50-59
40-49
1
3
3
4
6
5
1
5
9
6
4
2
4
10
5
2
4
6
8
2
4
5
1
b. Diagram Data
Diagram data disebut juga grafik data, adalah penyajian data dalam bentuk
gambar-gambar. Grafik data biasanya berasal dari tabel dan grafik biasanya dibuat
bersama-sama, yaitu tabel dilengkapi dengan grafik. Grafik data sebenarnya merupakan
penyajian data secara visual dari data bersangkutan. Grafik data dibedakan atas
beberapa jenis, yaitu :
1. Piktogram
Piktogram adalah grafik data yang menggunakan gambar atau lambang dari data
itu sendiri dengan skala tertentu.
Contoh
Penduduk dunia pada akhir abad ke-20 diperkirakan :
1) Afrika : 350 juta jiwa
2) Amerika : 500 juta jiwa
3) Asia : 2.000 juta jiwa
4) Eropa : 600 juta jiwa
5) Jerman : 50 juta jiwa
6) Uni Soviet : 250 juta jiwa
2. Diagram batang atau balok
Diagram batang atau balok adalah diagram data berbentuk persegi panjang yang
lebarnya sama dan dilengkapi dengan skala atau ukuran sesuai dengan data yang
bersangkutan. Setiap batang tidak boleh saling menempel atau melekat antara satu
dengan lainnya dan jarak antara setiap batang yang berdekatan harus sama.
Contoh :
Peringkat Mata Pelajaran yang Disukai Siswa di Sekolah T Tahun 2010
Jenis Mata Pelajaran Banyaknya Siswa
Kesenian Bahasa Indonesia
Ekonomi Bahasa Inggris
Matematika
65 34 13 10 9
02040
6080
Kesenian Bahasa Indonesia
Ekonomi Bahasa Inggris Matematika
Peringkat Mata Pelajaran yang Disukai Siswa di Sekolah T Tahun 2010
Banyaknya Siswa
3. Diagram garis
Diagram Garis adalah diagram berupa garis, diperoleh dari beberapa ruas garis
yang menghubungkan titik-titik pada bidang bilangan. Pada diagram garis digunakan
dua garis yang saling berpotongan. Pada garis horizontal (sumbu-X) ditempatkan
bilangan-bilangan yang sifatnya tetap, seperti tahun dan ukuran-ukuran. Pada garis
tegak (sumbu-Y) ditempatkan bilangan-bilangan yang sifatnya berubah-ubah, seperti
harga, biaya jumlah, dan jumlah.
4. Diagram lingkaran
Diagram lingkaran adalah diagram data berupa lingkaran yang telah dibagi
menjadi juring-juring sesuai dengan data tersebut. Bagian-bagian dari keseluruhan data
tersebut dinyatakan dalam persen.
Contoh: Peringkat Mata Pelajaran yang Disukai Siswa di Sekolah T Tahun 2010
Jenis Mata Pelajaran Banyaknya Siswa
Kesenian
Bahasa Indonesia
Ekonomi
Bahasa Inggris
Matematika
65
34
12
10
9
65
34
13 10 90
10203040506070
Peringkat Mata Pelajaran yang Disukai Siswa di Sekolah T Tahun 2010
Banyaknya Siswa
Untuk mencari besar sudut tiap-tiap juring atau %, caranya sebagai beikut.
1. sudut untuk pelajaran kesenian
00 18036013065
= %50%10013065
2. sudut untuk pelajaran bahasa indonesia
00 154,9436013034
= %154,26%10013034
3. sudut untuk pelajaran ekonomi
00 231,3336013012
= %231,9%10013012
4. sudut untuk pelajaran bahasa inggris
00 692,2736013010
= %692,7%10013010
5. sudut untuk pelajaran matematika
00 923,24360130
9
= %923,6%100130
9
50%
26%
9%8% 7%
Peringkat Mata Pelajaran yang Disukai Siswa di Sekolah T tahun 2010
Kesenian
Bahasa Indonesia
Ekonomi
Bahasa Inggris
Matematika
5. Kartogram
Kartogram atau peta statistik adalah diagram data berupa peta yang
menunjukkan kepadatan penduduk, curah hujan, hasil pertanian, hasil pertambangan
dsb. Contoh :
TABEL PEMASARAN TELEVISI PERUSAHAAN “X”, SEMESTER I, 1990 Daerah Pemasaran Jumlah
Semarang Yogyakarta Purwokerto
Tegal Pati
Surakarta
500.000 400.000 300.000 300.000 200.000 350.000
Dalam bentuk kartogram peta statistik tersebut digambarkan sebagai berikut.
PETA PEMASARAN TELEVISI PERUSAHAAN “X”, SEMESTER I, 1990
6. Diagram Pencar
Diagram pencar untuk kumpulan data yang terdiri atas dua variable dengan nilai
kuantitatif, diagramnya dapat dibuat dalam system sumbu koordinat dan gambarnya
akan merupakan kumpulan titik-titik yang terpencar.
0
20
40
60
80
0 1 2 3 4 5 6
Peringkat Mata Pelajaran yang Disukai Siswa di Sekolah T Tahun 2010
Banyaknya Siswa
BAB 2
DISTRIBUSI FREKUENSI DAN GRAFIKNYA
1. Pengertian Distribusi Frekuensi
Distribusi Frekuensi adalah susunan data menurut kelas-kelas interval tertentu
atau menurut kategori tertentu dalam sebuah daftar. Jadi, distribusi frekuensi dapat
diartikan pengelompokan data ke dalam beberapa kategori/ kelas yang menunjukkan
banyaknya data dalam setiap kategori/ kelas, dan setiap data tidak dapat dimasukkan ke
dalam dua atau lebih kategori/ kelas.
Tujuan pengelompokan data ke dalam distribusi frekuensi adalah :
1. untuk memudahkan dalam penyajian data, mudah dipahami dan dibaca sebagai
bahan informasi,
2. memudahkan dalam menganalisa/menghitung data, membuat tabel, dan grafik.
2. Langkah-langkah Distribusi Frekuensi:
a. Mengumpulkan data,
b. Mengurutkan data dari terkecil ke terbesar atau sebaliknya,
c. Membuat kategori kelas
Jumlah kelas k = 1 + 3,3 log n, k bulat
di mana 2k > n; di mana k = jumlah kelas; n = jumlah data,
d. Membuat interval kelas,
Interval kelas = (nilai tertinggi – nilai terendah)/ jumlah kelas
e. Melakukan penghitungan atau penturuskan setiap kelasnya.
Contoh:
Dari hasil nilai ujian matematika 40 siswa, diperoleh data sebagai berikut.
78 72 74 79 74 71 75 74 72 68
72 73 72 74 75 74 73 74 65 72
66 75 80 69 82 73 74 72 79 71
70 75 71 70 70 70 75 76 77 67
Penyelesaian:
a. Urutan data
65 66 67 68 69 70 70 70 70 71
71 71 72 72 72 72 72 72 73 73
73 74 74 74 74 74 74 74 75 75
75 75 75 76 77 78 79 79 80 82
b. Membuat kategori kelas (k) adalah
푘 = 1 + 3,3 log 40 = 1 + 5,3 = 6,3 = 6
c. Membuat interval kelas
퐼푛푡푒푟푣푎푙 푘푒푙푎푠 (푖) =푛푖푙푎푖 푡푒푟푡푖푛푔푔푖 − 푛푖푙푎푖 푡푒푟푒푛푑푎ℎ
푗푢푚푙푎ℎ 푘푒푙푎푠 =82 − 65
6
= = 2,8 = 3
d. Tabelnya
Nilai Turus Frekuensi
65 – 67
68 – 70
71 – 73
74 – 76
77 – 79
80 – 82
III
IIII I
IIII IIII II
IIII IIII III
IIII
II
3
6
12
13
4
2
Jumlah 40
3. Histogram, Poligon Frekuensi dan Kurva
3.1. Histogram dan Poligon Frekuensi
Histogram dan poligon frekuensi adalah dua grafik yang sering digunakan untuk
menggambarkan distribusi frekuensi. Histogram merupakan grafik batang dari distribusi
frekuensi dan poligon frekuensi merupakan grafik garisnya.
Contoh:
Distribusi Frekuensi Hasil Pengukuran Tinggi Badan 50 Siswa
Interval Kelas
(Tinggi (cm))
Frekuensi
(Banyak Murid) Tepi Interval Kelas Titik Tengah
140 – 144
145 – 149
150 – 154
155 – 159
160 – 164
165 – 169
170 - 174
3
6
12
15
12
7
5
139,5 – 144,5
144,5 – 149,5
149,5 – 154,5
154,5 – 159,5
159,5 – 164,5
164,5 – 169,5
169,5 – 174,5
142
147
152
157
162
167
172
Σ푓 = 60
a. Histogram
b. Poligon Frekuensi
0
5
10
15
139,5 144,5 149,5 154,5 159,5 164,5 169,5
bany
ak si
swa
(frek
uens
i)
tinggi badan
Histogram tinggi badan 60 siswa
02468
10121416
137 142 147 152 157 162 167 172 177
frek
uens
i
tinggi badan
Frekuensi
3.2. Kurva Frekuensi
Kurva distribusi frekuensi, disingkat kurva frekuensi yang telah dihaluskan
mempunyai berbagai bentuk dengan ciri-ciri tertentu. Bentuk-bentuk kurva frekuensi
adalah sebagai berikut.
1. Simetris atau berbentuk lonceng, ciri-cirinya adalah nilai variabel di sampingkiri
dan kanan yang berjarak sama terhadap titik tengah (yang frekuensinya terbesar)
mempunyai frekuensi yang sama. Bentuk kurva simetris sering dijumpai dalam
distribusi bermacam-macam variabel, karena itu dinamakan distribusi normal.
2. Tidak simetris atau condong, ciri-cirinya ialah ekor kurva yang satu lebih panjang
daripada ekor kurva lainnya. Jika ekor kurva lebih panjang berada di sebelah kanan,
kurva disebut kurva condong ke kanan (mempunyai condong positif), sebaliknya
disebut kurva condong ke kiri (mempunyai condong negatif).
3. Bentuk J atau J terbalik, ciri-cirinya ialah salah satu nilai ujung kurva memiliki
frekuensi maksimum.
4. Bentuk U, dengan ciri kedua ujung kurva memiliki frekuensi maksimum.
5. Bimodal, dengan ciri mempunyai dua maksimal.
6. Multimodal, dengan ciri mempunyai lebih dari dua maksimal.
7. Uniform, terjadi bila nilai-nilai variabel dalam suatu interval mempunyai frekuensi
yang sama.
4. Jenis-Jenis Distribusi Frekuensi
Distribusi frekuensi dapat dibedakan atas tiga jenis, yaitu distribusi frekuensi
biasa, distribusi frekuensi relatif, dan distribusi frekuensi kumulatif.
a. Distribusi Frekuensi Biasa, adalah distribusi frekuensi yang hanya berisikan jumlah
frekuensi dari setiap kelompok data atau kelas.
b. Distribusi Frekuensi Relatif, adalah distribusi frekuensi yang berisikan nilai-nilai
hasil bagi antara frekuensi kelas dan jumlah pengamatan yang terkandung dalam
kumpulan data yang berdistribusi tertentu. Rumusnya:
풇풓풆풍풂풕풊풇 =풇풊횺풇 × ퟏퟎퟎ, 풊 = ퟏ,ퟐ,ퟑ, …
Misalkan distribusi frekuensi memiliki k buah interval kelas dengan frekuensi
masing-masing: 푓 , 푓 , … , 푓 maka distribusi yang terbentuk adalah sebagai berikut.
Interval Kelas Frekuensi Frekuensi Relatif
Interval kelas ke-1
Interval kelas ke-2
Interval kelas ke-k
f1
f2
fk
푓푛
푓푛
푓푛
Jumlah Σ푓 = 푛 Σ푓푛 = 1
Frekuensi relatif kadang-kadang dinyatakan dalam bentuk perbandingan,
desimal atatupun persen.
c. Distribusi Frekuensi Kumulatif
Distribusi frekuensi kumulatif adalah distribusi yang berisikan frekuensi
kumulatif. Frekuensi kumulatif adalah frekuensi yang dijumlahkan. Distribusi frekuensi
komulatif memiliki grafik atau kurva yang disebut ogif.
Ada dua macam distribusi frekuensi kumulatif, yaitu distribusi frekuensi
kumulatif kurang dari dan lebih dari.
a. Distribusi Frekuensi Kumulatif kurang dari, adalah distribusi frekuensi yang
memuat jumlah frekuensi yang memiliki nilai kurang dari nilai batas kelas suatu
interval tertentu.
b. Distribusi Frekuensi Kumulatif lebih dari, adalah distribusi frekuensi yang
memuat jumlah frekuensi yang memiliki nilai lebih dari nilai batas kelas suatu
interval tertentu.
Contoh:
Berikut ini adalah data 50 mahasiswa dalam perolehan nilai statistik pada
Pendidikan Matematika Universitas “T” semester II tahun 2010!
70 91 93 82 78 70 71 92 38 56
79 49 48 74 81 95 87 80 80 84
35 83 73 74 43 86 68 92 93 76
81 70 74 97 95 80 53 71 77 63
74 73 68 72 85 57 65 93 83 86
a. berapa orang yang mendapat nilai antara 44 – 52 dan 80 – 88 ?
b. berapa % orang yang mendapat nilai antara 53 – 61 dan 89 – 97 ?
c. berapa banyak orang yang nilainya kurang dari 44 ?
d. berapa banyak orang yang nilainya lebih dari 71 ?
Penyelesaian:
Untuk menjawab pernyataan a diperlukan distribusi frekuensi, untuk menjawab
pertanyaan b diperlukan distribusi relatif, untuk menjawab pertanyaan c diperlukan
distribusi kumulatif kurang dari, dan untuk pertanyaan d diperlukan distribusi
kumulatif lebih dari.
a. Tabel Distribusi Frekuensinya adalah sebagai berikut.
Nilai Statistik 50 Mahasiswa pada Pendidikan Matematika Universitas “T”
Semester II tahun 2010
Nilai Frekuensi (f)
35 – 43
44 – 52
53 – 61
62 – 70
71 – 79
80 – 88
89 - 97
3
2
3
7
13
13
9
Jumlah 50
b. Tabel distribusi frekuensi relatinya adalah:
Nilai Frekuensi (f) Frekuensi Relatif
Perbandingan Desimal Persen
35 – 43
44 – 52
53 – 61
62 – 70
71 – 79
80 – 88
89 - 97
3
2
3
7
13
13
9
350
250
350
750
1350
1350
950
0,06
0,04
0,06
0,14
0,26
0,26
0,18
6
4
6
14
26
26
18
Jumlah 50 1 1 100
Jadi, mahasiswa yang mendapat nilai antara 53 – 61 adalah 6% dan yang
mendapat nilai antara 89 – 97 adalah 18%, cara mencarinya:
푛푖푙푎푖 푎푛푡푎푟푎 53− 61 = × 100% = 6%.
푛푖푙푎푖 푎푛푡푎푟푎 89− 97 = × 100% = 18%.
c. Tabel data frekuensi kumulatif untuk data tersebut adalah
Tabel distribusi frekuensi kumulatif Kurang Dari
Nilai Frekuensi (f) Frekuensi Kumulatif (fkumulatif)
Nilai fk Kurang Dari
35 – 43
44 – 52
53 – 61
62 – 70
71 – 79
80 – 88
89 - 97
3
2
3
7
13
13
9
< 35
< 44
< 53
< 62
< 71
< 80
< 89
< 98
0
3
5
8
15
28
41
50
Jadi, banyaknya mahasiswa yang nilainya kurang dari 44 adalah 3 orang.
d. Tabel data frekuensi kumulatif untuk data tersebut adalah
Tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari
Nilai Frekuensi (f) Frekuensi Kumulatif (fkumulatif)
Nilai fk Lebih Dari
35 – 43
44 – 52
53 – 61
62 – 70
71 – 79
80 – 88
89 - 97
3
2
3
7
13
13
9
> 35
> 44
> 53
> 62
> 71
> 80
> 89
> 98
50
47
44
42
33
20
9
0
Jadi, banyaknya mahasiswa yang nilainya lebih dari 71 adalah 33 orang.
e. Ogifnya adalah
Nilai Frekuensi
(f)
Frekuensi Kumulatif (fkumulatif)
Nilai fk Kurang Dari Nilai fk Lebih Dari
35 – 43
44 – 52
53 – 61
62 – 70
71 – 79
80 – 88
89 - 97
3
2
3
7
13
13
9
< 35
< 44
< 53
< 62
< 71
< 80
< 89
< 98
0
3
5
8
15
28
41
50
> 35
> 44
> 53
> 62
> 71
> 80
> 89
> 98
50
47
44
42
33
20
9
0
0
10
20
30
40
50
60
0 20 40 60 80 100 120
fk Kurang Dari
fk Lebih Dari
BAB 3
UKURAN PEMUSATAN
A. Pengertian Nilai Pusat
Ukuran pemusatan atau nilai pusat adalah ukuran yang dapat mewakili data
secara keseluruhan.
B. Jenis-Jenis Ukuran Nilai Pusat
1. Rata-Rata Hitung (Mean)
Mean adalah nilai rata-rata dari data-data yang ada. Rata-rata hitung dari
populasi diberi simbol µ dan rata-rata hitung dari sampel diberi simbol 푋. Mencari rata-
rata hitung secara umum dapat ditentukan dengan rumus :
a. Untuk data tunggal
Cara menghitung mean untuk data tunggal ialah sebagai berikut.
1. Jika X1, X2, ..., Xn merupakan n buah nilai dari variabel X, maka rata-rata
hitungnya sebagai berikut.
nXXX
nX
X n ...21
X = rata-rata hitung (mean)
X = wakil data
n = jumlah data
Contoh :
Hitunglah rata-rata hitung dari nilai-nilai 7, 6, 3, 4, 8, 8?
Penyelesaian :
X = 7,6,3,4,8,8; n = 6; ΣX = 7 + 6 + 3 + 4 + 8 + 8 = 36
Sehingga mean adalah : 66
36X
2. Jika nilai X1, X2, ..., Xn masing-masing memiliki frekuensi f1, f2, ..., fn maka mean
adalah, n
nn
fffXfXfXf
ffX
X
......
21
2211
Contoh soal :
Hitunglah rata-rata hitung dari nilai-nilai 3, 4, 3, 2, 5, 1, 4, 5, 1, 2, 6, 4, 3, 6, 1?
Penyelesaian :
X1 = 3 maka f1 = 3; X2 = 4 maka f2 = 3
X3 = 2 maka f3 = 2; X4 = 5 maka f4 = 2
X5 = 1 maka f5 = 3; X6 = 6 maka f6 = 2
ΣfX = (3 x 3) + (4 x 3) + (2 x 2) + (5 x 2) + (1 x 3) + (6 x 2) = 50
Σf = 3 + 3 + 2 + 2 + 3 + 2 = 15
Sehingga mean adalah : 3,31550
X
3. Jika f1 nilai yang memiliki mean m1, f2 nilai yang memiliki mean m2, ... dan fk nilai
yang memiliki mean mk. Maka mean dapat dihitung sebagai berikut.
k
kk
fffmfmfmf
ffm
x
......
21
2211
b. Untuk data berkelompok
Untuk data berkelompok, mean dihitung dengan menggunakan 3 metode yaitu
metode biasa, metode simpangan rata-rata dan metode coding.
1. Metode Biasa
ffX
X
f = frekuensi
X = titik tengah
2. Metode simpangan rata-rata
ffd
MX
M = Rata-rata hitung sementara (titik tengah frekuensi terbesar)
f = frekuensi
d = X - M
X = titik tengah
3. Metode coding
ffu
CMX
M = Rata-rata hitung sementara (titik tengah frekuensi terbesar)
C = Lebar kelas
u = 0, +1, +2, ….
= , 푑푒푛푔푎푛 푑 = 푋 − 푀
Contoh :
Tentukan rata-rata hitung dari tabel dibawah ini Nilai Ujian Statistik dari 80
mahasiswa universitas Borobudur Tahun 1997
Metode
Biasa
Metode Simpangan
Rata-Rata
Metode
Coding
Nilai Ujian
Frekuensi
(f)
Titik Tengah
(X) fX d = X - M fd u = d/C fu
31 - 40 1 35.5 35.5 -40 -40 -4 -4
41 - 50 2 45.5 91 -30 -60 -3 -6
51 - 60 5 55.5 277.5 -20 -100 -2 -10
61 - 70 15 65.5 982.5 -10 -150 -1 -15
71 - 80 25 75.5 1887.5 0 0 0 0
81 - 90 20 85.5 1710 10 200 1 20
91 - 100 12 95.5 1146 20 240 2 24
80 6130 90 9
a. Mean dengan metode biasa
625,7680
6130
ffX
X
b. Metode Simpangan Rata-Rata
M = 75,5
625,7680905,75
ffd
MX
c. Metode Coding
M = 75,5; C = 10
625,76809105,75
x
ffu
xCMX
2. MEDIAN
Median adalah nilai tengah dari data yang ada setelah data diurutkan. Median
disimbolkan dengan Me atau Md. Untuk Mencari Median dibedakan data tunggal dan
data kelompok.
a. Untuk data tunggal
- Jika n ganjil maka,
21 nXMe
- Jika n genap maka,
22
22
nn XXMe
Contoh :
Tentukan Median dari data berikut :
a. 4, 3, 2, 6, 7, 5, 8
Jawab :
Urutan data : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
n = 7 (ganjil) maka 542
17 XXMe
b. 11, 5, 7, 4, 8, 14, 9, 15
Urutkan data : 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14
n = 8 (genap) maka 5,82
9822
54228
28
XX
XXMe
b. Untuk data berkelompok
f
FnpbMe 2
1
Me = Median
b = batas bawah kelas median, ialah kelas dimana median akan terletak.
p = panjang interval kelas
n = banyak data
F = Jumlah frekuensi sebelum kelas-kelas median
f = frekuensi kelas median
Contoh :
Tentukan median dari Tabel Nilai Ujian Statistik dari 80 mahasiswa universitas
Borobudur Tahun 1997
Nilai Ujian
Frekuensi
(f)
Titik Tengah
(X)
31 - 40 1 35.5
41 - 50 2 45.5
51 - 60 5 55.5
61 - 70 15 65.5
71 - 80 25 75.5
81 - 90 20 85.5
91 - 100 12 95.5
80
Penyelesaian :
n = 80 maka 40)80(21
21
n berarti terletak di kelas ke-5
b = 70,5; F = 1 + 2 + 5 + 15 = 23; f = 25
sehingga median dari data diatas adalah 3,7725
23)80(21
105,70
Me
3. MODUS
Modus adalah nilai yang paling sering muncul. Modus sering disimbolkan
dengan Mo. Sejumlah data bisa tidak mempunyai modus, mempunyai satu modus
(unimodal), mempunyai dua modus (bimodal), atau mempunyai lebih dari dua modus
(multimodal). Untuk Mencari modus dibedakan data tunggal dan data kelompok.
a. Untuk data tunggal
Modus dari data tunggal adalah data yang frekuensi terbanyak.
b. Untuk data berkelompok
21
1
bbbpbMo
Dimana :
Mo = modus
b = tepi bawah kelas modus
b1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
b2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
p = panjang interval kelas
Contoh :
Tentukan modus dari Tabel Nilai Ujian Statistik dari 80 mahasiswa universitas
Borobudur Tahun 1997
Nilai Ujian Frekuensi (f) Titik Tengah (X)
31 - 40 1 35.5
41 - 50 2 45.5
51 - 60 5 55.5
61 - 70 15 65.5
71 - 80 25 75.5
81 - 90 20 85.5
91 - 100 12 95.5
80
Penyelesaian :
Dari tabel diketahui bahwa kelas modus adalah kelas ke-5
b = 70,5; P = 10; b1 = 25-15 = 10; b2 = 25-20 = 5
sehingga, 17,77510
10105,7021
1
bb
bpbMo
C. RATA-RATA UKUR (RATA-RATA GEOMETRIS)
Jika perbandingan setiap dua data berurut adalah tetap atau hampir tetap maka
rata-rata ukur lebih baik digunakan daripada rata-rata hitung. Rata-rata ukur ada 2 yaitu
untuk data tunggal dan data kelompok.
a. Untuk data tunggal
Jika seperangkat data adalah X1, X2, X3, ..., Xn maka rata-rata ukurnya dirumuskan.
nnXXXXG ...... 321
atau
nXXXXn
G log...logloglog1log 321
Contoh :
Tentukan rata-rata ukur dari 2, 4, 8, 16, 32
Penyelesaian :
n = 5
8327683216842 55 xxxxG Atau
8903,0log
32log16log8log4log2log51log
GG
G
b. Untuk data berkelompok
Untuk data berkelompok maka rata-rata ukur dapat dihitung dengan :
f
XfG
log.log
Contoh :
Tentukan rata-rata ukur dari Tabel Nilai Ujian Statistik dari 80 mahasiswa
universitas Borobudur Tahun 1997
Nilai Ujian Frekuensi (f) Titik Tengah (X) Log X f.Log X
31 - 40 1 35.5 1.5502 1.5502
41 - 50 2 45.5 1.6580 3.3160
51 - 60 5 55.5 1.7443 8.7215
61 - 70 15 65.5 1.8162 27.2436
71 - 80 25 75.5 1.8779 46.9487
81 - 90 20 85.5 1.9320 38.6393
91 - 100 12 95.5 1.9800 23.7600
80 150.1794
37,75
8772,1801794,150log.
log
Gf
XfG
Sehingga rata-rata ukur adalah 75,37
c. Rata-rata ukur untuk gejala pertumbuhan atau kenaikan
Rata-rata ukur untuk gejala pertumbuhan atau kenaikan dengan syarat-syarat
tertentu, seperti pertumbuhan bakteri, pertumbuhan penduduk, kenaikan bunga dapat
dihitung dengan rumus : t
otXPP
1001
Keterangan :
Pt = keadaan akhir pertumbuhan
Po = keadaan awal atau permulaan pertumbuhan
X = Rata-rata pertumbuhan setiap waktu
t = satuan waktu yang digunakan
Contoh Soal :
Tentukan laju pertumbuhan rata-rata penduduk Indonesia jika pada akhir tahun
1946 dan akhir tahun 1956 jumlah penduduk masing-masing 60 juta dan 78 juta ?
Penyelesaian :
Pt = 78 Juta
Po = 60 Juta
t = 10 tahun
66,2
0266,1100
1
3,1100
1
3,1100
1
10016078
1001
101
10
10
X
X
X
X
X
XPPt
ot
D. RATA-RATA HARMONIS
a. Rata-rata harmonis untuk data tunggal
Rata-rata harmonis dari seperangkat data X1, X2, X3, ..., Xn dirumuskan :
nXXXX
n
X
nRH1...1111
321
Contoh soal :
Si B berepgian pergi-pulang ke kampus dengan kendaraan mobil. Waktu pergi ia
menggunakan waktu 40 km/jam, sedang waktu kembali menggunakan waktu 30
km/jam. Berapa kecepatan rata-rata pergi pulang si B?
Penyelesaian :
jamkmRH /3,32
301
401
2
b. Rata-rata harmonis untuk data berkelompok
Untuk data berkelompok, rata-rata harmonis dapat dihitung dengan rumus :
Xff
RH
Antara ketiga rata-rata dalam ukuran nilai pusat, yaitu rata-rata hitung, rata-rata
ukur dan rata-rata harmonis terdapat hubungan : XGRH
Contoh :
Tentukan rata-rata harmonis dari Tabel Nilai Ujian Statistik dari 80 mahasiswa
universitas Borobudur!
Nilai Ujian
Frekuensi
(f)
Titik Tengah
(X) 푓푋
31 - 40 1 35.5 0.0282
41 - 50 2 45.5 0.0440
51 - 60 5 55.5 0.0901
61 - 70 15 65.5 0.2290
71 - 80 25 75.5 0.3311
81 - 90 20 85.5 0.2339
91 - 100 12 95.5 0.1257
80 1.0819
Penyelesaian :
94,730819,180
Xff
RH
BAB 4
UKURAN PENYEBARAN (FRAKTIL)
1. Pengertian Fraktil
Fraktil adalah nilai-nilai yang membagi seperangkat data yang telah terurut
menjadi beberapa bagian yang sama. Fraktil dapat berupa kuartil, desil dan persentil.
a. Kuartil
Kuartil adalah nilai-nilai yang membagi seperangkat data yang telah terurut
menjadi empat bagian yang sama. Ada 3 kuartil yaitu kuartil bawah (Q1), kuartil tengah
(Q2), dan kuartil atas (Q3).
a. Untuk data tunggal
Q = nilai yang kei(n + 1)
4, i = 1, 2, 3
Contoh :
Tentukan kuartil dari data : 2, 6, 8, 5, 4, 9, 12
Penyelesaian :
Data diurutkan : 2, 4, 5, 6, 8, 9, 12
n = 7
4,24
1711 yaituQ
6,4
4172
2 yaituQ
9,64
1733 yaituQ
b. Untuk data berkelompok
푄 = 퐵 +푖푛4 − (Σ푓 )표
푓 ∙ C
Keterangan:
Bi = tepi bawah kelas kuartil n = jumlah semua frekuensi
i = 1, 2, 3 푓 = frekuensi kelas kuartil
(Σ푓 )표 = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil
C = panjang interval kelas
Contoh :
Tentukan kuartil ke-3 dari Tabel Nilai Ujian Statistik dari 80 mahasiswa
Universitas T Tahun 2010
Nilai Ujian
Frekuensi
(f)
Titik Tengah
(X)
31 - 40 1 35.5
41 - 50 2 45.5
51 - 60 5 55.5
61 - 70 15 65.5
71 - 80 25 75.5
81 - 90 20 85.5
91 - 100 12 95.5
Penyelesaian :
n = 80; i = 3, maka 604803
4
in terletak di kelas ke-6
Bi = 80,5; C = 10; 푓 = 20; (Σ푓 )표 = 1+2+5+15+25 = 48
푄 = 퐵 +푖푛4 − (Σ푓 )표
푓 ∙ C
푄 = 퐵 +푖푛4 − (Σ푓 )표
푓 ∙ C = 80,5 +60 − 48
20 ∙ 10 = 80,5 + 6 = 86,5
b. DESIL
Desil adalah nilai-nilai yang membagi seperangkat data yang telah terurut
menjadi sepuluh bagian yang sama.
1. Untuk data tunggal
9,...,3,2,1;10
1
iniDi
2. Untuk data berkelompok
퐷 = 퐵 +푖푛10− (Σ푓 )표
푓 ∙ C
Contoh:
Tentukan desil ke-4 (D4) dan desil ke-8 (D8) dari distribusi frekuensi berikut.
Nilai Matematika 40 Mahasiswa Universitas T Tahun 2010
Nilai Frekuensi (f)
30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 – 69
70 – 79
80 – 89
90 – 99
5
3
6
7
8
7
4
Jumlah 40
Penyelesaian:
Untuk desil ke-4 (D4)
n = 40; i = 4, maka 1610404
10
in terletak di kelas ke-4
B4 = 59,5; C = 10; 푓 = 7; (Σ푓 )표 = 5 + 3 + 6 = 14
퐷 = 퐵 +푖푛10 − (Σ푓 )표
푓 ∙ C = 59,5 +16− 14
7 ∙ 10 = 59,5 + 2,86 = 62,36
Untuk desil ke-8 (D8)
n = 40; i = 8, maka 3210408
10
in terletak di kelas ke-6
B8 = 79,5; C = 10; 푓 = 7; (Σ푓 )표 = 5 + 3 + 6 + 7 + 8 = 29
퐷 = 퐵 +푖푛10 − (Σ푓 )표
푓 ∙ C = 79,5 +32− 29
7 ∙ 10 = 79,5 + 4,29 = 83,79
c. PERSENTIL
Persentil adalah nilai-nilai yang membagi seperangkat data yang telah terurut
menjadi seratus bagian yang sama.
1. Untuk data tunggal
99,...,3,2,1;100
1
iniPi
2. Untuk data berkelompok
푃 = 퐵 +푖푛
100− (Σ푓 )표푓 ∙ C
Contoh:
Dari distribusi frekuensi di bawah ini, tentukan P88!
Tinggi 100 Mahasiswa Universitas Borobudur
Tinggi (cm) Frekuensi (f)
150 – 154
155 – 159
160 – 164
165 – 169
170 – 174
175 - 179
4
8
14
35
27
12
Jumlah 100
Penyelesaian:
n = 100; i = 88, maka 8810010088
100
in terletak di kelas ke-5
B88 = 169,5; C = 5; 푓 = 27; (Σ푓 )표 = 4 + 8 + 14 + 35 = 61
푃 = 퐵 +푖푛
100− (Σ푓 )표푓 ∙ C = 169,5 +
88− 6127 ∙ 5 = 169,5 + 5 = 174,5
BAB 5 UKURAN DISPERSI
A. PENGERTIAN DISPERSI
Ukuran dispersi atau ukuran variasi atau ukuran penyimpangan adalah ukuran
yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai-nilai pusatnya
atau ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang berbeda dengan
nilai-nilai pusatnya.
B. JENIS-JENIS UKURAN DISPERSI
1. Jangkauan (Range, R)
Jangkauan atau ukuran jarak adalah selisih nilai terbesar data dengan nilai
terkecil data. Cara mencari jangkauan dibedakan antara data tunggal dan data
berkelompok.
a. Jangkauan Data Tunggal
Bila ada sekumpulan data tunggal, X1, X2, ....., Xn maka jangkauannya adalah:
Jangkauan = Xn – X1
Contoh:
Tentukan jangkauan data: 2, 6, 8, 5, 4, 12, 9
Penyelesaian:
Data diurutkan: 2, 4, 5, 6, 8, 9, 12
X7 = 12 dan X1 = 2
Jangkauan = X7 – X1 = 12 – 2 = 10
b. Jangkauan Data Berkelompok
Dapat ditentukan dengan dua cara:
1) Jangkauan adalah selisih titik tengah kelas tertinggi dengan titik tengah kelas
terendah.
2) Jangkauan adalah selisih tepi atas kelas tertinggi dengan tepi kelas terendah.
Contoh:
Tentukan jangkauan dari distribusi frekuensi berikut!
Tabel Nilai Matematika 50 Siswa
Nilai Frekuensi
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
70 – 74
75 – 79
80 – 84
2
4
10
14
12
5
3
Jumlah 50
Penyelesaian:
Titik tengah kelas terendah = 52
Titik tengah kelas tertinggi = 82
Tepi bawah kelas terendah = 49,5
Tepi atas kelas tertinggi = 84,5
1. Jangkauan = 82 – 52 = 30
2. Jangkauan = 84,5 – 49,5 = 35
2. Jangkauan Antarkuartil dan Jangkauan Semi Interkuartil
Jangkauan antarkuartil adalah selisih antar kuartil atas (Q3) dan kuatil bawah
(Q1). Dirumuskan: JK = Q3 – Q1
Jangkauan semi interkuartil adalah setengah dari selisih kuartil atas (Q3) dan
kuatil bawah (Q1). Dirumuskan: 푸풅 = ퟏퟐ
(푸ퟑ − 푸ퟏ)
Rumus-rumus di atas berlaku untuk data tunggal dan data berkelompok.
Contoh Soal:
1. Tentukan jangkauan antarkuartil dan jangkauan semi interkuartil dari data berikut!
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14
Penyelesaian:
Q1 = 4 dan Q3 = 12, JK = Q3 – Q1 = 12 – 4 = 8 푄푑 = (푄 − 푄 ) = (8) = 4
2. Tentukan jangkauan antarkuartil dan jangkauan semi interkuatil distribusi frekuensi
berikut. NILAI UJIAN STATISTIK 80 MAHASISWA
Nilai Ujian Frekuensi (f)
30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99
2 3 5
14 24 20 12
Jumlah 80
Penyelesaian:
JK = 85,5 – 66,64 = 18,86 dan 43,964,665,8521
Qd .
Jangkauan antarkuartil (JK) dapat digunakan untuk menemukan data pencilan,
yaitu data yang dianggap salah atau salah ukur atau berasal dari kasus yang
menyimpang, karena itu perlu diteliti ulang. Data pencilan adalah data yang kurang dari
pagar luar.
L = 1,5 x JK
PD = Q1 – L
PL = Q3 + L
Keterangan:
L = satu langkah
PD = pagar dalam
PL = pagar luar
CfQ
fn
BQ
1
1
11
)(4
1014
104
80
5,591
Q
64,6614,75,591 Q
CfQ
fn
BQ
3
3
33
)(4
3
1020
484
)80(3
5,793
Q
5,8565,793 Q
Contoh soal:
Selidikilah apakah terdapat data pencilan dari data dibawah ini!
15, 33, 42, 50, 51, 51, 53, 55, 62, 64, 65, 68, 79, 85, 97.
Penyelesaian:
Q1 = 50 dan Q3 = 68
JK = 68 – 50 = 18
L = 1,5 x 18 = 27
PD = 50 – 27 = 23
PL = 68 + 27 = 95
Pada data di atas terdapat nilai 15 dan 97 yang berarti kurang dari pagar dalam
(23) atau lebih dari pagar luar (95). Dengan demikian, nilai 15 dan 97 termasuk data
pencilan, karena itu perlu diteliti ulang. Adanya nilai 15 dan 97 mungkin disebabkan
salah dalam mencatat, salah dalam mengukur, atau data dari kasus menyimpang.
3. Deviasi Rata-Rata (Simpangan Rata-Rata)
Deviasi rata-rata adalah nilai rata-rata hitung dari harga mutlak simpangan-
simpangannya.
a. Deviasi rata-rata data tunggal
Contoh soal : Tentukan deviasi rata-rata data 2, 3, 6, 8, 11!
Penyelesaian:
Rata-rata hitung = 65
118632
X
1461168666362 XX i
8,25
14
n
XXDR
i
b. Deviasi rata-rata untuk data berkelompok
n
XXfXXf
nDR
1
n
XXXX
nDR
1
4. Varians
Varians adalah nilai tengah kuadrat simpangan dari nilai simpangan rata-rata
kuadrat. Varians sampel disimbolkan dengan s2. Varians populasi disimbolkan dengan
σ2(sigma).
a. Varians data tunggal
Dapat digunakan dengan dua metode, yaitu metode biasa dan metode angka
kasar.
1. Metode Biasa
a. Untuk sampel besar (n > 30) :
b. Untuk sampel kecil (n )30 :
2. Metode Angka Kasar
a. Untuk sampel besar (n > 30) :
b. Untuk sampel kecil (n )30 :
Contoh Soal:
Tentukan varians dari data 2, 3, 6, 8, 11 ?
Penyelesaian:
n = 5
n
2s 2
1
2s 2
n
22s 2
nX
nX
)1(
2
1
2s 2
nnnX
65
118632
X
X XX 2XX X2
2 3 6 8
11
-4 -3 0 2 5
16 9 0 4 25
4 9
36 64 121
30 54 234
b. Varians data berkelompok
Untuk data berkelompok, dapat digunakan dengan tiga metode, yaitu :
1) Metode biasa,
a. Untuk sampel besar (n > 30) :
b. Untuk sampel kecil (n )30 :
2) Metode angka kasar, dan
a. Untuk sampel besar (n > 30) :
b. Untuk sampel kecil (n )30 :
3) Metode coding.
a. Untuk sampel besar (n > 30) : 22
22
nfu
nfu
Cs
b. Untuk sampel kecil (n )30 :
n
f
2s 2
1
2s 2
nf
222s
nfX
nfX
1
222s
nnfX
nfX
5,13
1554
1
2s 2
n
5,13155
23015
234)1(
2
1
2s 2
nnn
11
2222
nnfu
nfu
Cs
Keterangan:
C = panjang interval kelas
u = C
MXCd
M = rata-rata hitung sementara
Contoh:
Tentukan varians dari data diistribusi frekuensi berikut!
Tabel Nilai Matematika 40 Siswa di Sekolah T
Nilai Frekuensi
65 – 67
68 – 70
71 – 73
74 – 76
77 – 79
80 - 82
2
5
13
14
4
2
Jumlah 40 Penyelesaian:
Nilai X f 푋 − 푋 (푋 − 푋) 푓(푋 − 푋) 65 – 67 66 2 -7,425 55,130625 110,26125 68 – 70 69 5 -4,425 19,580625 97,903125 71 – 73 72 13 -1,425 2,030625 26,398125 74 – 76 75 14 1,575 2,480625 34,72875 77 – 79 78 4 4,575 20,930625 83,7225 80 - 82 81 2 7,575 57,380625 114,76125 Jumlah 40 467,775
푋 =(66 × 2) + (69 × 5) + (72 × 13) + (75 × 14) + (78 × 4) + (81 × 2)
40
= = 73,425
푠 =Σ푓(푋 − 푋)
푛 =467,775
40 = 11,694375
5. Simpangan Baku (Standar Deviasi)
Simpangan baku adalah akar dari tengah kuadrat. Simpangan Baku sampel
disimbolkan dengan s. Simpangan Baku populasi disimbolkan dengan σ.
Menentukan simpangan baku : ianss var
a. Simpangan Baku Data Tunggal
1. Metode biasa
a. Untuk sampel besar (n > 30) :
b. Untuk sampel kecil (n )30 :
3. Metode angka kasar
a. Untuk sampel besar (n > 30) : 22
nX
nX
s
b. Untuk sampel kecil (n )30 :
11
22
nnX
nX
s
Contoh Soal:
1. Tentukan simpangan baku (standar deviasi) dari data 2, 3, 6, 8, 11 ?
Penyelesaian:
Dari perhitungan sebelumnya, diperoleh s2 = 13,5
Simpangan bakunya adalah:
67,35,13var ianss .
2. Berikut ini adalah sampel nilai mid test statistik I dari sekelompok mahasisiwa di
sebuah universitas.
30 35 42 50 58 66 74 82 90 98
Tentukan simpangan bakunya!
Penyelesaian:
n = 10
n
2s
1
2s
n
X XX 2XX X2
30
35
42
50
58
66
74
82
90
98
-32,5
-27,5
-20,5
-12,5
-4,5
3,5
11,5
19,5
27,5
35,5
1056,25
756,25
420,25
156,25
20,25
12,25
132,25
380,25
756,25
1260,25
900
1225
1764
2500
3364
4356
5476
6724
8100
9604
625 5,62X 4950,5 44013
45,2328,434033,4890
11010625
11044013
11
222
nn
Xn
Xs
b. Simpangan baku Data Berkelompok
1. Metode biasa
a. Untuk sampel besar (n > 30) :
b. Untuk sampel kecil (n )30 :
2. Metode angka kasar
a. Untuk sampel besar (n > 30) :
n
f
2s
1
2s
nf
22s
nfX
nfX
45,23056,550
1105,4905
1
2s
n
b. Untuk sampel kecil (n )30 :
3. Metode coding
a. Untuk sampel besar (n > 30) : 22
nfu
nfu
Cs
b. Untuk sampel kecil (n )30 :
11
22
nnfu
nfu
Cs
Contoh:
Tentukan simpangan baku dari distribusi frekuensi berikut (gunakan ketiga rumuusnya)!
Penyelesaian:
Berat Badan 100 Mahasiswa Universitas T tahun 2010
Berat Badan (kg) Frekuensi (f)
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
70 - 74
8
12
19
31
20
6
4
Jumlah 100
Penyelesaian:
a. Dengan metode Biasa
Nilai X f fX 푋 − 푋 (푋 − 푋) 푓(푋 − 푋) 40 – 44 42 8 336 -13,85 191,8225 1534,58
1
2
1
2s
nnfX
nfX
45 – 49 47 12 564 -8,85 78,3225 939,87 50 – 54 52 19 988 -3,85 14,8225 281,6275 55 – 59 57 31 1767 1,15 1,3225 40,9975 60 – 64 62 20 1240 6,15 37,8225 756,45 65 – 69 67 6 402 11,15 124,3225 745,935 70 - 74 72 4 288 16,15 260,8225 1043,29 Jumlah 100 5585 5342,75
푋 =Σ푓푋Σ푓 =
5585100 = 55,85
푠 =Σ푓(푋 − 푋)
푛=
5342,75100
= 7,31
b. Metode Angka Kasar
Nilai X f fX X2 fX2 40 – 44 42 8 336 1.764 14.112 45 – 49 47 12 564 2.209 26.508 50 – 54 52 19 988 2.704 51.376 55 – 59 57 31 1.767 3.249 100.719 60 – 64 62 20 1.240 3.844 76.880 65 – 69 67 6 402 4.489 26.934 70 - 74 72 4 288 5.184 20.736 Jumlah 100 5.585 317.265
푠 =Σ푓푋푛
−Σ푓푋푛
=317.265
100−
5.585100
= 7,31
c. Metode Coding
Nilai X f u u2 fu fu2 40 – 44 42 8 -3 9 -24 72 45 – 49 47 12 -2 4 -24 48
50 – 54 52 19 -1 1 -19 19 55 – 59 57 31 0 0 0 0 60 – 64 62 20 1 1 20 20 65 – 69 67 6 2 4 12 24 70 - 74 72 4 3 9 12 36 Jumlah 100 -23 219
c = 5;
푠 = c ∙Σ푓푢푛
−Σ푓푢푛
= 5 ∙219100
−−23100
= 7,31
C. KOEFISIEN VARIASI
Koefisien dispersi atau variasi yang telah dibahas sebelumnya merupakan
dispersi absolut, seperti jangkauan, simpangan rata-rata, simpangan kuartil dan
simpangan baku. Untuk membandingkan dispersi atau variasi dari beberapa kumpulan
data, digunakan istilah dispersi relatif, yaitu perbandingan antara dispersi absolut dan
rata-ratanya.
Dispersi relatif digunakan untuk membandingkan tingkat variabilitas nilai-nilai
observasi suatu data dengan tingkat variabilitas nilai-nilai observasi data lainnya.
Koefisien variasi adalah contoh dispersi relatif.
Ada empat macam dispersi relatif, yaitu :
1. Koefisien Variasi (KV)
Jika dispersi absolut digantikan dengan simpangan bakunya maka dispersi
relatifnya disebut koefisien variasi (KV).
%100XsKV
Keterangan:
KV = koefisien variasi
s = simpangan baku
X = rata-rata
Contoh Soal:
Dari hasil penelitian 2 sekolah, diketahui jumlah siswa yang menyukai belajar
matematika, datanya sebagai berikut.
Sekolah A = 980AX anak, 15As
Sekolah B = 785BX anak, 5Bs
Tentukan Koefisien variasi masing-masing!
Penyelesaian:
%53,1%10098015%100
A
AA X
sKV
%636,0%1007855%100
B
BB X
sKV
2. Variasi Jangkauan (VR)
Variasi jangkauan adalah dispersi relatif yang dispersi absolutnya digantikan
dengan jangkauan.
%100XRVR
3. Variasi Simpangan Rata-Rata (VSR)
Variasi Simpangan Rata-Rata adalah dispersi relatif yang dispersi absolutnya
digantikan dengan simpangan rata-rata.
%100XSRVR
4. Variasi Kuartil (VQ)
Variasi Kuartil adalah dispersi relatif yang dispersi absolutnya digantikan
dengan kuartil.
%100
%100
13
13
QQQQ
VQ
MeQdVQ
DISPERSI ABSOLUT digunakan untuk mengetahui tingkat variabilitas nilai-
nilai observasi pada suatu data, sedangkan DISPERSI RELATIF digunakan untuk
membandingkan tingkat variabilitas nilai-nilai observasi suatu data dengan tingkat
variabilitas nilai-nilai observasi data lainnya.
DAFTAR PUSTAKA
Hasan, Iqbal. 2006. Analisis Data Penelitian dengan Statistik. Jakarta: Bumi Aksara.
Irianto, Agus. 2008. Statistik Konsep Dasar dan Aplikasinya. Jakarta: Kencana.
Pusat Pembina dan Pengembangan Bahasa. 1998. Kamus Besar Bahasa Indonesia Edisi
ke 2. Jakarta: Balai Pustaka.
Sudjana. 2002. Metoda Statistika edisi ke 6. Bandung: Tarsito.