Análisis Vectorial

1

VECTORES

MAGNITUD VECTORIALEs aquella magnitud que aparte de conocer su valor numérico y su unidad respectiva, es necesa-rio conocer también la dirección y sentido para que así dicha magnitud logre estar perfectamente determinada.

Veamos un ejemplo sencillo:

Si una persona desea disparar una flecha al blan-co, ella debe conocer la fuerza (módulo) mínima que debe aplicar a la flecha para que ésta se in-cruste en el tablero; pero supongamos que a di-cha persona después de conocer la distancia de ella al blanco, le tapan los ojos. ¿Sabrá a dónde apuntar?, la respuesta es no, pues conocerá cuan-to debe tirar de la cuerda pero no sabrá hacia dónde. ¿Qué falta? le falta la ubicación del blanco (dirección y sentido). Queda demostrado entonces que la fuerza es una magnitud vectorial, pues aparte del valor y unidad respectiva, se necesita la dirección y sentido.

VECTOREs un segmento de línea recta orientada que sirve para representar a las magnitudes vectoriales.

ELEMENTOS DE UN VECTOR

a) Punto de aplicación: Está dado por el origen del vector.

b) Intensidad, módulo o magnitud: Es el valor del vector, y generalmente, está dado en escala.

Por ejemplo, 5 unidades de longitud equivalen a 5 N (si se tratase de fuerza).

c) Sentido: Es la orientación del vector.

d) Dirección: Está dada por la línea de acción del vector o por todas las líneas rectas paralelas a él.

ALGUNOS TIPOS DE VECTORES

a) Vectores colineales: Son aquellos vectores que están contenidos en una misma línea de ac-ción.

b) Vectores concurrentes: Son aquellos vectores cuyas líneas de acción, se cortan en un solo punto.

c) Vectores coplanares: Son aquellos vectores que están contenidos en un mismo plano.

d) Vectores iguales: Son aquellos vectores que tienen la misma intensidad, dirección y senti-do.

1.

e) Vector opuesto (−A): Se llama vector opuesto

(−A) de un vector A cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección, pero sentido con-trario.

Marlon Vásquez Vélez – Física (3° de secundaria)

2

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTORCuando un vector se multiplica por un escalar, resulta otro vector en la misma dirección y de módulo igual a tantas veces el escalar por el mó-dulo del vector dado.Ejemplos:

OPERACIONES VECTORIALES

ADICIÓN DE VECTORESSumar dos o más vectores, es representarlos por uno sólo llamado resultante. Este vector resul-tante produce los mismos efectos que todos jun-tos. Hay que tener en cuenta que la suma vecto-rial no es lo mismo que la suma aritmética.

ADICIÓN DE VECTORES MÉTODO GRÁFICO

a) Método del paralelogramo: Este método es válido sólo para dos vectores coplanares y concurrentes, para hallar la resultante se une a los vectores por el origen (deslizándolos) para luego formar un paralelogramo, el vector resul-tante se encontrará en una de las diagonales, y su punto de aplicación coincidirá con el origen común de los dos vectores.

b) Método del triángulo: Válido sólo para dos vec-tores concurrentes y coplanares. El método es el siguiente. Se unen los dos vectores uno a continuación del otro para luego formar un triángulo, el vector resultante se encontrará en

la línea que forma el triángulo y su punto de aplicación coincidirá con el origen del primer vector.

c) Método del polígono: Válido sólo para dos o más vectores concurrentes y coplanares. El método es el siguiente. Se unen los dos vecto-res uno a continuación del otro para luego formar un polígono, el vector resultante se encontrará en la línea que forma el polígono y su punto de aplicación coincidirá con el origen del primer vector.

En el caso de que el origen del primer vector coin-cida con el extremo del último, el vector resultan-te es nulo; y al sistema se le llama “polígono ce-rrado”.

ADICIÓN DE VECTORES MÉTODO ANALÍTICO

a) Suma de vectores colineales: En este caso la resultante se determina mediante la suma algebraica de los módulos de los vectores,


3

teniendo en cuenta la siguiente regla de sig-nos.

b) Suma de vectores concurrentes y coplanares: En este caso el módulo de la resultante se halla mediante la siguiente fórmula.

La dirección del vector resultante se halla median-te la ley de los cosenos.

CASO PARTICULAR:Si = 0°

Teorema de Pitágoras

RESULTANTE MÁXIMA Y MÍNIMA DE DOS VECTORES

a) Resultante máxima: Dos vectores tendrán una resultante máxima cuando éstos se encuentren en la misma dirección y sentido (θ = 0°).

b) Resultante mínima: Dos vectores tendrán una resultante mínima cuando éstos se encuentren en la misma dirección; pero en sentidos contra-rios (θ = 180°).

SUSTRACCIÓN DE VECTORESa) Método del triángulo: En este caso se unen los

dos vectores por sus orígenes y luego se unen sus extremos, el vector “D” será el vector diferencia.

b) Método del paralelogramo: En este caso se invierte el sentido del vector que está acompa-ñado del signo negativo; y luego se sigue el mismo procedimiento para adición de vectores por el método del paralelogramo.

COMPONENTES DE UN VECTORSe denominan componentes de un vector a todos aquellos vectores que sumados por el método del polígono, dan como resultado un determinado vector. Hay que tomar en cuenta que un vector puede tener infinitas componentes.


4

COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VEC-TORSon aquellos vectores componentes de un vector que forman entre sí un ángulo de 90°.

VECTOR UNITARIOEs un vector cuyo módulo es la unidad y tiene por misión indicar la dirección y sentido de un deter-minado vector. A dicho vector se le llama también versor.

VERSORES RECTANGULARESSon aquellos vectores unitarios que se encuentran en los ejes coordenados rectangulares.

Ejemplo de aplicación:En el sistema mostrado en la figura, expresar el vector “A” en términos de los vectores unitarios

rectangulares, sabiendo que su módulo es de 30 unidades.

SUMA DE VECTORES POR EL MÉTODO DE COMPONENTES RECTANGULARESPara hallar la resultante por este método, se sigue los siguientes pasos:1. Se descomponen los vectores en sus compo-

nentes rectangulares.2. Se halla la resultante en el eje “x” e “y” (Rx,

Ry), por el método de vectores colineales.3. El módulo del vector resultante se halla apli-

cando el teorema de Pitágoras.

Ejemplo de aplicación:En el sistema de vectores mostrado en la figura. Hallar el vector resultante y su módulo.

Solución: Por motivos didácticos trabajaremos con números.


a c

d

b

a

c

b

ac

b

d e

f

a

c

b

d

a

c

b

d e

a

c

d

b

a c

d

b

ac

d

b

5

EJERCICIOS DE APLICACIÓNEn los siguientes casos hallar el vector resultante.

1.a) 2db) a c) 2ad) 2be) c

2.a) bb) 2cc) 3cd) 2ae) 3a

3.a) 2ab) 3cc) 3dd) 3fe) 2b

4.a) 2cb) 2bc) Cerod) de) 2d

5.a) 2bb) 3cc) 3ed) Ceroe) 2a

6.a) 2cb) 2b

c) cd) 2(b + c)e) b + c

7.a) cb) dc) c + dd) 2c + de) 2(c + d)

8.a) 3ub) 2uc) 4ud) 5ue) 6u

9.a) 2b) Ceroc) 5d) 3e) 4

10. a) 2cmb) 3cmc) 5cmd) 4cme) 8cm

11.a) 2cmb) 3cmc) 6cmd) 4cme) 10cm

12. a) 2cmb) 5cmc) 7cmd) 8cme) 10cm



2

2

3 cm5 cm

4 cm

6 cm

5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm

4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm

a

c

b

a

c

b

f

e

d

a

c

b

fe

d g

a

c

b

f

ed

g

ab

ec

d

f

A

B

F

E

D

C

G

ab

e

g h

c

id

f

6


15.a) ab) cc) 2bd) 2ce) 2a

16.a) Cerob) dc) -dd) ae) -a

17.a) ab) cc) ed) 2ee) 2f

18.a) cb) 2cc) 3cd) 4ce) 5c

19.a) 2fb) 3ac) 3cd) 3fe) 2d

20.

a) 2Ab) 3Cc) -3Cd) 3Fe) 3G

21.a) Cero b) ac) -ad) be) f

22.a) 6ub) 10uc) 11ud) 14ue) 12u


24.a) 2ub) 3uc) 4ud) 5ue) 6u



27.a) 3()


6 cm3 cm

7 cm

8 cm4 cm

11111111

4 cm

6 cm

2 cm2 cm

4 cm3 cm

2 cm5 cm

34

60º

334 3

34

60º60º

534

22

22

4

15º

7

b) 3()c) 6()d) 5()e) 5()

28.a) 3ub) 9uc) 1ud) 5ue) 7u

29.a) 2ub) 3uc) 5ud) 7ue) 9u

30.a) 2ub) 3uc) 4ud) 5ue) 6u

31.a) 1ub) 2uc) 3ud) 4ue) 5u

32. Si la Rmáx de 2 vectores es 17 y la resultante mínima 7. Hallar el módulo de dichos vecto-res.a) 2 y 5 b) 10 y 7 c) 5 y 12d) 8 y 9 e) 13 y 4

33. Del problema anterior hallar el módulo de la resultante si los vectores son perpendicula-res.a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

34. Hallar el módulo del vector resultante. Cos 60°=1/2; cos 120°=-1/2a) 10b) 11c) 12d) 13e) 14

35.

a) 8b) 2c) 7d) 15e) 14

36.a) √13b) √31c) √46d) 11e) √93

37.a) √65b) √71c) √83d) √79e) √76

38.a) 2b) 4c) 4√3d) 8e) 3

39.a) 10b) 12c) 5√3d) 4√3e) 8

40.a) 17b) 13c) 4√3d) 12e) 14

41.a) 2b) 4c) 4√3d) 2√3e) 2√2


C = 4

B = 2A = 3

B = 3

E = 1

F = 7D = 4

C = 6

A = 2

C = 2

B = 3

A = 5

D = 3

C =

6B = 5

A = 9

6

10120º

20º

3

5

80º

74

60º

73

120

60º

4

4

60º

33

33

8

42.a) 12b) 4c) 24d) 16e) 4√3

43.a) 5b) 7c) 1d) 13e) 8

44.a) 31b) 17c) 26d) 25e) 30

45.a) 4b) 10c) 5d) 6e) 8

46.a) 2b) 3c) 4d) 5e) 7

47. Si: Rmáx = 14 y el Rmín = 2 para 2 vectores. Halle el módulo de cada vector.a) 3 y 11 b) 8 y 6 c) 10 y 4d) 12 y 2 e) 5 y 9

48. Del problema anterior halle el módulo del vector resultante cuando sean perpendicula-res.a) 6 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

49.a) 3√2

b) 3√5c) 7d) 3e) 4√5

50.a) 2b) 5c) 6d) 7e) 8

51.a) 2√3b) 3√3c) 6√3d) 9e) 12

52. a) 4b) 4√3c) 2√3d) 8e) 8√3

53. a) 5√3b) 5√2c) 6√2d) 4√3e) 6√3

54.a) 2b) 7c) 6d) 5e) 8

55. a) 2√3b) 4√3c) 3√3d) 6e) 4


60º

60º

8

8 4

4

3

7

24

7

3

46

2

1

2

5

2

37º

4

2

4

4

60º

5

5

3

4

60º

4

2

2

60º

2

35

235

135º

8

23

23

A

B

3

5

A

B

7

3

A

B

A

y

V

30º O x

y

37º

x

y

45º

50 m

m220

9

56.a) 15b) 5c) 5√3d) 4√3e) 2√3

57.a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

58. En la figura hallar el módulo del vector resul-tante, si la figura mostrada es un trapecioa) 2b) 4c) 6d) 8e) 10

59. Los lados del rectángulo miden 3 y 7. Hallar el módulo del vector resultante.a) 2b) 4c) 7d) 9e) 14

60. Las bases del trapecio son 2 y 6. Hallar el módulo del vector resultante.a) 2b) 4c) 6d) 8e) 10

61. Hallar las componentes del vector A , sobre el eje x, cuyo módulo es 100N.a) 50N

b) 60c) 70d) 80e) 90

62. Del ejercicio anterior hallar la componente sobre el eje vertical.a) 50N b) 60 c) 70d) 80 e) 90

63. El módulo del vector V es 100N. Hallar el módulo de su componente en el eje de las ordenadas.a) 50Nb) 50√3c) 60d) 80e) 90

64. Del problema anterior. Hallar el módulo de la componente en el eje de las abcisas.a) 50N b) 60N c) 50√3d) 80 e) 90

65. Hallar la magnitud de la resultante.a) 40cmb) 50c) 55d) 60e) 75

66. Hallar la magnitud de la resultante.a) 10√6b) 10√19c) 10√13d) 10√29e) 50

67. Hallar la magnitud de la resultante.a) 1b) 2


y

x

37º

80 cm

28 cm

53º

7

5

10y

x

x

y

13

53º

45º

10

25

A B4 m

3 m

A

B

7m

3m

10

c) √2d) 2√2e) 3

68. Hallar la magnitud de la resultante.a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

69. Hallar la magnitud de la resultante.a) 4cmb) 5c) 4√2d) 8e) 3√2

70. Hallar la magnitud de la resultante.a) 10Nb) 11c) 12d) 13e) 14

71. Descomponer al vector Asobre los ejes indi-cados.a) Ax = 6N Ay = 10Nb) Ax = 8N Ay = 6Nc) Ax = 6N Ay = 8Nd) Ax = 5N Ay = 5Ne) Ax = 3N Ay = 7N

72. Descomponer al vector Bsobre los ejes per-pendiculares de la figura:a) Bx = 4N By = 5Nb) Bx = 3N By = 4Nc) Bx = 4N By = 3Nd) Bx = 5N By = 3Ne) Bx = 3N By = 5N

73. Hallar la magnitud de la resultante.a) 2mb) 3c) 4d) 5e) 7

74. Hallar la magnitud de la resultante.a) 4mb) 5c) 1d) 2e) 10

75. Hallar la magnitud de la resultante.a) 30Nb) 30√2c) 30√3d) 20e) 20√3

76. Del ejercicio anterior hallar la componente del vector sobre las ordenadasa) 30N b) 30√2 c)

30√3d) 20 e) 20√3

77. Determine el módulo de la resultante si M y N son puntos medios, además MN = 7 cm.a) 7cmb) 10c) 12


3 cm

5 cm

7 cm1

cm

y

x

3N

6N

37º

10N

y

x

37º

A = 10N

xY

B = 5N

53º

xY

30º

A = 60N

x

y

N

M

x

y10m

15m

53º

45º

210

x

y

5 cm

5 cm 53º

45º cm23

53º10

13

45º

xy22

x

y

45º 53º

1026

11

d) 14e) 16


79. Hallar la magnitud de la resultante.a) √2Nb) 1c) √3d) 2e) √5

80. Hallar la magnitud de la resultante.a) 2cmb) √2c) 2√2d) 3e) 4


82. Hallar la magnitud de la resultante.a) 1

b) 2c) 3d) 4e) 5






12N

3N 4N

12N

y

x

7

24

50

16º

y

x

2

25

1216º

y

x

20

40

25

37º53º

y

x

5N

37º4N

y

x

12



37º

30N

16º

37º40N

yx

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Análisis Vectorial