Embed Size (px)
Citation preview
2 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
AnalisisAnalisisAnalisisAnalisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikRangkaian ListrikRangkaian Listrik
Di Kawasan s
Sudaryatno Sudirham
7-1
BAB 7
Sistem Dan Persamaan Ruang Status
Persamaan ruang status (state space equations) atau representasi
ruang keadaan (state space reprentation) merupakan satu alternatif
untuk menyatakan sistem dalam bentuk persamaan diferensial.
Persamaan ini dapat diturunkan dari diagram blok integrator.
7.1. Blok Integrator dan Blok Statis
Kita lihat lebih dulu blok integrator X(s)→ 1
s→Y(s) yang
menunjukkan hubungan )(1
)( ss
s XY = . Hubungan ini di kawasan t
adalah
∫= )()( txty yang dapat kita tuliskan sebagai )()( tytx &=
Hubungan terakhir di kawasan t ini dapat kita baca sebagai : sinyal
masukan adalah turunan dari sinyal keluaran.
Sekarang blok 1
s
kita pandang sebagai integrator dan bukan
sebagai gambaran dari fungsi alih 1/s. Dengan pandangan ini maka
jika keluaran integrator adalah q(t) masukannya adalah )(tq& . Kita
dapat menggambarkan hubungan keluaran dan masukan di kawasan
t dari integrator sebagai
)(tq& → 1
s→ )(tq
Perhatikan: Secara teknis penggambaran di atas tidak benar.
Akan tetapi kita harus mengartikan gambar tersebut sebagai
diagram sub-sistem yang mempunyai sinyal masukan )(tq& dan
sinyal keluarannya q(t) dan bukan q(t) sama dengan (1/s) kali
)(tq& .
7-2 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
Berbeda dengan blok integrator, blok statis X(s)→ a →Y(s)
memberikan hubungan )()( sas XY = yang di kawasan t
memberikan hubungan
)()( taxty =
Jadi kita dapat menggambarkan hubungan )()( taxty = dengan
menggunakan blok statis, yaitu
x(t)→ a →y(t).
7.2. Diagram Blok Integrator, Sinyal Sebagai Fungsi t
Berikut ini kita akan melihat contoh suatu diagram blok integrator
yang sinyal masukan dan keluaran dari setiap integrator dinyatakan
sebagai fungsi t.
CO&TOH-7.1: Dalam diagram blok di bawah ini nyatakanlah
sinyal masukan dan keluaran pada setiap blok integrator
sebagai fungsi t.
Penyelesaian :
Dalam diagram blok ini terdapat dua blok integrator. Jika sinyal
masukan setiap blok integrator adalah )(tqi& dan sinyal
keluarannya adalah qi(t) maka diagram blok di atas dapat kita
gambarkan seperti di bawah ini, di mana masukan dua blok
integrator adalah
)(1 tq& dan )(2 tq&
sedangkan keluarannya adalah
q1(t) dan q2(t).
Y(s)
−−−− +
−−−−
a
s
1
s
1
b
c X(s)
d
+
7-3
Dengan diagram ini keluaran sistem adalah
)()()( 2 tdxtqty += .
7.3. Membangun Persamaan Ruang Status
Dari diagram blok di atas, kita dapat memperoleh satu set persamaan
di kawasan t yang akan memberikan hubungan antara sinyal
masukan dan sinyal keluaran sistem, yaitu x(t) dan y(t). Dengan
perkataan lain kita dapat memperoleh persamaan sistem di kawasan
t. Set persamaan tersebut kita peroleh dengan memperhatikan
masukan blok-blok integrator, dan keluaran sistem. Dalam contoh
ini set persamaan tersebut adalah :
)()()(
)()()(
)()()(
2
212
21
tdxtqty
taqtqtq
tcxtbqtq
+=
−=
+−=
&
&
(7.1)
Dengan cara ini set persamaan yang kita peroleh, yaitu persamaan
(7.1), akan terdiri dari dua kelompok. Kelompok pertama adalah
persamaan yang ruas kirinya berisi )(tq& , yang merupakan masukan
blok integrator, dan kelompok kedua adalah yang ruas kirinya berisi
y(t), yaitu keluaran sistem. Kelompok pertama dapat kita tuliskan
dalam bentuk matriks
)(0
1
)(
)(
1
0
)(
)(
2
1
2
1tx
tq
tq
a
b
tq
tq
+
−
−=
&
& (7.2)
)()()( 2 tdxtqty +=
)(1 tq& )(1 tq
−−−− +
−−−−
a
s
1
s
1
)(2 tq& )(2 tq
+ +
b
c )(tx
d
+ +
)(ty
7-4 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
Dengan mendefinisikan vektor
=
)(
)(
2
1
tq
tqq
&
&&r dan
=
)(
)(
2
1
tq
tqqr
maka
(7.2) dapat kita tuliskan
[ ] [ ] )(0
1)(
1
0)( txtq
a
btq
+
−
−=
r&r (7.3)
Kelompok kedua dari (7.1) adalah )()()( 2 tdxtqty += dan dengan
definisi untuk vektor q(t) maka ia dapat kita tuliskan dalam bentuk
matriks
[ ][ ] [ ] )()( 10)( txdtqty +=r
(7.4)
Dengan demikian maka set persamaan (7.1) dapat kita tuliskan
sebagai
[ ] [ ]
[ ][ ] [ ] )()( 10)(
)(0
1)(
1
0)(
txdtqty
txtqa
btq
+=
+
−
−=
r
r&r
(7.5)
Secara umum bentuk persamaan (7.5) dapat kita tulis sebagai
[ ] [ ][ ] [ ][ ][ ] [ ] )()( )(
)()( )(
txDtqCty
txBtqAtq
+=
+=r
r&r
(7.6)
Set persamaan (7.6) ini disebut representasi ruang status dari sistem.
Sebutan lain dari representasi ini adalah model ruang status atau juga
persamaan peubah status atau persamaan ruang status.
CO&TOH-7.2: Carilah representasi ruang status dari sistem berikut.
2q&2q
1q&
−−−−
3q3q&1q
+
−−−−
c3 s
1
s
1
)(ty
+
+ a1
)(tx
b
+ +
ω2
a2 +
s
1
c2
d
7-5
Penyelesaian:
Dari diagram blok di atas, masukan blok-blok integrator dan
keluaran sistem memberi kita persamaan berikut.
)()(
)(
)(
2233
13
222
32
11
tdxqcqcty
bqtxaq
qtxaq
++=
=
−=
ω−=
&
&
&
Persamaan ini kita tuliskan dalam bentuk matriks, menjadi
[ ] [ ] )(
)(
)(
)(
0)(
)(
0)(
)(
)(
001
00
00
)(
)(
)(
)(
3
2
1
32
2
1
3
2
12
3
2
1
txd
tq
tq
tq
ccty
txa
a
tq
tq
tq
b
tq
tq
tq
tq
+
=
+
−
ω−
=
=&
&
&
&r
Inilah representasi ruang status dari sistem yang kita cari
7.4. Membangun Diagram Blok dari Persamaan Ruang Status
Melalui contoh berikut ini kita akan melihat bagaimana diagram blok
dari suatu sistem dapat dibangun jika persamaan ruang statusnya
diketahui.
CO&TOH 7.3: Bangunlah diagram blok sistem yang persamaan
ruang statusnya adalah sebagai berikut.
[ ] )( )(
1
0
0
)(
)(
)(
100
010
)(
321
3
2
1
321
tqbbbty
x(t)
tq
tq
tq
aaa
tq
r
&r
=
+
−−−
=
Penyelesaian :
7-6 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
Langkah pertama adalah melakukan pengembangan dari
persamaan yang diketahui sehingga diperoleh set persamaan
berikut.
)()()()(
)()()()()(
)()(
)()(
332211
3322113
32
21
tqbtqbtqbty
txtqatqatqatq
tqtq
tqtq
++=
+−−−=
=
=
&
&
&
Langkah berikutnya adalah menggambarkan blok-blok
integrator dengan masukan dan keluaran masing-masing.
Langkah ini memberikan diagram blok integrator sebagai
berikut
Langkah berikutnya adalah melakukan penghubungan blok-blok
ini sesuai dengan persamaan yang diketahui, yaitu
persamaan )()( 21 tqtq =& berarti bahwa masukan blok
integrator nomer-1 adalah keluaran dari blok
integrator nomer-2.
persamaan )()( 32 tqtq =& berarti masukan blok
integrator nomer-2 adalah keluaran blok integratir
nomer-3. Kita mendapatkan hubungan:
Selanjutnya kita membuat pencabangan-pencabangan dan
penjumlahan dengan blok-blok statis, sesuai dengan persamaan
yang diketahui, yaitu
)()()()()( 3322113 txtqatqatqatq +−−−=&
Hasil yang kita peroleh adalah:
3q& 2q 1q& 1q
s
1
2q&
s
1
3q
s
1
2q2q&
s
1
3q3q&
s
1
1q& 1q
s
1
7-7
Satu persamaan lagi yang harus kita penuhi, yaitu persamaan
keluaran
)()()()( 332211 tqbtqbtqbty ++=
Dengan pencabangan dan penjumlahan persamaan ini kita
penuhi.
−−−−
a2
)(tx
a3
3q& 2q 1q& 1q
s
1
2q&
s
1
3q
s
1
a1
−−−− −−−−
+
−−−−
a2
)(tx
a3
3q& 2q 1q& 1q
s
1
2q&
s
1
3q
s
1
a1
−−−− −−−−
+ b1
b2
b3
+
+ +
)(ty
7-8 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
Soal-Soal
1. Carilah persamaan ruang status dari sistem-sistem dengan diagram
blok di bawah ini.
a).
b).
c).
d).
10 1
s
X (s) Y(s) +
−−−−
k
+
+
1
s
1
s
+ X(s) Y(s)
ω2
+
X(s)
Y(s)
2 +s
−−−−
1
1 +s
1
s
1
s
+ X(s) Y(s)
3
−−−−
4
1
s
+
+ −−−−
+
7-9
e).
f).
2. Gambarkan diagram blok dari sistem dengan persamaan status
berikut ini.
a).
[ ] )(10)( 009)(
)(5
3)(
460
537
012
)(
txtqty
txtqtq
+=
+
=
r
r&r
b).
[ ] )(5)( 005)(
)(
0
1
0
)(
002
104
200
)(
txtqty
txtqtq
+=
+
−=
r
r&r
1
s
+ X(s) Y(s)
3
−−−−
+
+ −−−−
+
1
s
+
4
−−−−
X(s)
1 s
+
Y(s)
4
−−−−
1
s
+
+ −−−−
+
+
−−−−
5
1
s
1
s
7-10 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
c).
[ ] )( 11)(
)(1
1)()(
tqty
txtqtq
r
r&r
=
+
σ−ω−
ωσ−=
d).
[ ] )( 01)(
)(1
0)(
2
10)( 2
tqty
txtqtq
r
r&r
=
+
ζω−ω−
=
e).
[ ] )( 10)(
)(1
0)(
2
10)( 2
tqty
txtqtq
r
r&r
=
+
ζω−ω−
=
7-11
