Embed Size (px)
Citation preview
2 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
AnalisisAnalisisAnalisisAnalisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikRangkaian ListrikRangkaian Listrik
Menggunakan
Transformasi Fourier
Sudaryatno Sudirham
1-1
BAB 1
Transformasi Fourier
Kita telah mempelajari tanggapan frekuensi dari suatu rangkaian.
Analisis dengan menggunakan transformasi Fourier yang akan kita
pelajari berikut ini akan memperluas pemahaman kita mengenai
tanggapan frekuensi, baik mengenai perilaku sinyal itu sendiri
maupuan rangkaiannya. Selain dari pada itu, pada rangkaian-
rangkaian tertentu dijumpai keadaan dimana model sinyal dan piranti
tidak dapat dinyatakan melalui transformasi Laplace akan tetapi
dapat dilakukan melalui transformasi Fourier. Topik-topik yang akan
kita bahas meliputi: deret Fourier, transformasi Fourier, sifat-sifat
transformasi Fourier, dan analisis rangkaian menggunakan
transformasi Fourier. Dalam bab ini kita mempelajari tiga hal yang
pertama, sedangkan hal yang terakhir akan kita pelajari di bab
berikutnya.
Dengan mempelajari deret dan transformasi Fourier kita akan
• memahami deret Fourier.
• mampu menguraikan bentuk gelombang periodik
menjadi deret Fourier.
• mampu menentukan spektrum bentuk gelombang
periodik.
• memahami transformasi Fourier.
• mampu mencari transformasi Fourier dari suatu
fungsi t.
• mampu mencari transformasi balik dari suatu
transformasi Fourier.
1.1. Deret Fourier
1.1.1. Koefisien Fourier
Kita telah melihat bahwa sinyal periodik dapat diuraikan menjadi
spektrum sinyal. Penguraian suatu sinyal periodik menjadi suatu
spektrum sinyal tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik
kedalam deret Fourier. Jika f(t) adalah fungsi periodik yang
memenuhi persyaratan Dirichlet, maka f(t) dapat dinyatakan sebagai
deret Fourier :
1-2 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (4)
[ ]∑∞
=
ω+ω+=1
000 )sin()cos()(
nnn tnbtnaatf (1.1)
yang dapat kita tuliskan sebagai (lihat sub-bab 3.2)
( )∑∞
=
θ−ω++=1
022
0 )cos()(
nnnn tnbaatf (1.2)
Koefisien Fourier a0, an, dan bn ditentukan dengan hubungan berikut.
∫
∫
∫
−
−
−
>ω=
>ω=
=
2/
2/0
0
2/
2/0
0
2/
2/00
0
0
0
0
0
0
0 ; )sin()(2
0 ; )cos()(2
)(1
T
Tn
T
Tn
T
T
ndttntfT
b
ndttntfT
a
dttfT
a
(1.3)
Hubungan (1.3) dapat diperoleh dari (1.1). Misalkan kita mencari an:
kita kalikan (1.1) dengan cos(kωot) kemudian kita integrasikan antara
−To/2 sampai To/2 dan kita akan memperoleh
∑∫
∫
∫∫
∞
=−
−
−−
ωω+
ωω
+
ω=ω
12/
2/o0
2/
2/o0
2/
2/o0
2/
2/o
o
o
o
o
o
o
o
o
)cos()sin(
)cos()cos(
)cos()cos()(
nT
Tn
T
Tn
T
T
T
T
dttktnb
dttktna
dttkadttktf
Dengan menggunakan kesamaan tigonometri
)sin(2
1)sin(
2
1sincos
)cos(2
1)cos(
2
1coscos
β+α+β−α=βα
β+α+β−α=βα
maka persamaan di atas menjadi
1-3
( )
( )∑
∫
∫
∫∫
∞
=−
−
−−
ω++ω−+
ω++ω−
+
ω=ω
12/
2/o0
2/
2/o0
2/
2/o0
2/
2/o
o
o
o
o
o
o
o
o
))sin(())sin((2
))cos(())cos((2
)cos()cos()(
nT
T
n
T
T
n
T
T
T
T
dtdttkntknb
dttkntkna
dttkadttktf
Karena integral untuk satu perioda dari fungsi sinus adalah nol, maka
semua integral di ruas kanan persamaan ini bernilai nol kecuali satu
yaitu
( ) kna
dttkna n
T
T
n ==ω−∫− jika terjadiyang 2
))cos((2
2/
2/0
o
o
oleh karena itu ∫− ω=2/
2/0
o
o
o
)cos()(2 T
Tn dttntf
Ta
Pada bentuk-bentuk gelombang yang sering kita temui, banyak
diantara koefisien-koefisien Fourier yang bernilai nol. Keadaan ini
ditentukan oleh kesimetrisan fungsi f(t) yang pernah kita pelajari di
Bab-3; kita akan melihatnya sekali lagi dalam urain berikut ini.
1.1.2. Kesimetrisan Fungsi
Simetri Genap. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri genap
jika f(t) = f(−t). Salah satu contoh fungsi yang memiliki simetri
genap adalah fungsi cosinus, cos(ωt) = cos(−ωt). Untuk fungsi
semacam ini, dari (1.1) kita dapatkan
[ ]
[ ]∑
∑∞
=
∞
=
ω−ω+=−
ω+ω+=
1
000
1
000
)sin()cos()(
dan )sin()cos()(
n
nn
n
nn
tnbtnaatf
tnbtnaatf
Kalau kedua fungsi ini harus sama, maka haruslah bn = 0, dan f(t)
menjadi
[ ]∑∞
=
ω+=1
0o )cos()(
n
n tnaatf (1.4)
1-4 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (4)
CO�TOH-1.1: Tentukan deret
Fourier dari bentuk
gelombang deretan pulsa
berikut ini.
Penyelesaian :
Bentuk gelombang ini memiliki simetri genap, amplitudo A,
perioda To , lebar pulsa T.
π
π=
π
π=
ωω
=ω=
====
−−
−−
∫
∫
oo
2/
2/ooo
2/
2/o
o
o
2/
2o
2/
2/oo
sin2
sin2
sin2
)cos(2
; 0 ; 1
T
Tn
n
A
T
Tn
n
A
tnnT
AdttnA
Ta
bT
AT
T
AtAdt
Ta
T
T
T
Tn
n
T
T/
T
T
Untuk n = 2, 4, 6, …. (genap), an = 0; an hanya mempunyai
nilai untuk n = 1, 3, 5, …. (ganjil).
( ) )cos(12
)cos(sin2
)(
o
,1
2/)1(
o
o
,1 oo
tnn
A
T
AT
tnT
Tn
n
A
T
ATtf
ganjiln
n
ganjiln
ω−π
+=
ω
π
π+=
∑
∑∞
=
−
∞
=
Pemahaman :
Pada bentuk gelombang yang memiliki simetri genap, bn = 0.
Oleh karena itu sudut fasa harmonisa tanθn = bn/an = 0 yang
berarti θn = 0o.
Simetri Ganjil. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri ganjil
jika f(t) = −f(−t). Contoh fungsi yang memiliki simetri ganjil adalah
fungsi sinus, sin(ωt) = −sin(−ωt). Untuk fungsi semacam ini, dari
(1.1) kita dapatkan
[ ]∑∞
=
ω+ω−+−=−−1
000 )sin()cos()(
n
nn tnbtnaatf
−T/2 0 T/2
v(t)
A
T
To
1-5
Kalau fungsi ini harus sama dengan
[ ]∑∞
=
ω+ω+=1
000 )sin()cos()(
n
nn tnbtnaatf
maka haruslah
[ ] )sin()( 0dan 0
1
00 ∑∞
=
ω=⇒==n
nn tnbtfaa (1.5)
CO�TOH-1.2: Carilah deret Fourier
dari bentuk gelombang persegi
di samping ini.
Penyelesaian:
Bentuk gelombang ini memiliki
simetri ganjil, amplitudo A, perioda To = T.
; 0 ; 0o == naa
( ))cos(2)(cos1
)cos()cos(2
)sin()sin( 2
2
2/o2/
0oo
2/o
2/
0o
π−π+π
=
ω+ω−
ω=
ω−+ω= ∫∫
nnn
A
tntnTn
A
dttnAdttnAT
b
T
T
T
T
T
T
n
Untuk n ganjil cos(nπ) = −1 sedangkan untuk n genap cos(nπ) = 1. Dengan demikian maka
( )
( ) genap untuk 0211
ganjil untuk 4
211
nn
Ab
nn
A
n
Ab
n
n
=−+π
=
π=++
π=
∑∞
=
ωπ
=⇒ganjiln
tnn
Atv
,1
o )sin(4
)(
Pemahaman:
Pada bentuk gelombang dengan semetri ganjil, an = 0. Oleh
karena itu sudut fasa harmonisa tanθn = bn/an = ∞ atau θn = 90o.
v(t)
t
T
A
−A
1-6 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (4)
Simetri Setengah Gelombang. Suatu fungsi dikatakan mempunyai
simetri setengah gelombang jika f(t) = −f(t−To/2). Fungsi dengan
sifat ini tidak berubah bentuk dan nilainya jika diinversi kemudian
digeser setengah perioda. Fungsi sinus(ωt) misalnya, jika kita kita
inversikan kemudian kita geser sebesar π akan kembali menjadi
sinus(ωt). Demikain pula halnya dengan fungsi-fungsi cosinus,
gelombang persegi, dan gelombang segitiga.
[ ]
[ ]∑
∑∞
=
∞
=
ω−−ω−−+−=
π−ω−π−ω−+−=−−
1
000
1
000o
)sin()1()cos()1(
))(sin())(cos()2/(
n
nn
nn
n
nn
tnbtnaa
tnbtnaaTtf
Kalau fungsi ini harus sama dengan
[ ]∑∞
=
ω+ω+=1
000 )sin()cos()(
n
nn tnbtnaatf
maka haruslah ao = 0 dan n harus ganjil. Hal ini berarti bahwa
fungsi ini hanya mempunyai harmonisa ganjil saja.
1.1.3. Deret Fourier Bentuk Eksponensial
Deret Fourier dalam bentuk seperti (1.1) sering disebut sebagai
bentuk sinus-cosinus. Bentuk ini dapat kita ubah kedalam cosinus
(bentuk sinyal standar) seperti (1.2). Sekarang bentuk (1.2) akan kita
ubah ke dalam bentuk eksponensial dengan menggunakan hubungan
2cos
α−α +=α
jjee
.
Dengan menggunakan relasi ini maka (1.2) akan menjadi
1-7
( )
∑∑
∑
∑
∞
=
θ−ω−∞
=
θ−ω
∞
=
θ−ω−θ−ω
∞
=
++
++=
+++=
θ−ω++=
1
)(22
1
)(22
0
1
)()(22
0
1
022
0
00
00
22
2
)cos()(
n
tnjnn
n
tnjnn
n
tnjtnj
nn
n
nnn
nn
nn
eba
eba
a
eebaa
tnbaatf
(1.6)
Suku ketiga (1.6) adalah penjumlahan dari n = 1 sampai n =∞. Jika penjumlahan ini kita ubah mulai dari n = −1 sampai n = −∞, dengan penyesuaian an menjadi a−n , bn menjadi b−n , dan θn menjadi θ−n,
maka menurut (1.3) perubahan ini berakibat
tan
)sin()(2
)sin()(2
)cos()(2
)cos()(2
2/
2/0
0
2/
2/0
0
2/
2/0
0
2/
2/0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
nnn
n
n
nn
T
T
T
Tn
n
T
T
T
Tn
a
b
a
b
bdttntfT
dttntfT
b
adttntfT
dttntfT
a
θ−=θ⇒−
==θ
−=ω−=ω−=
=ω=ω−=
−−
−−
−−−
−−−
∫∫
∫∫
(1.7)
Dengan (1.7) ini maka (1.6) menjadi
∑∑∞−
−=
θ−ω∞
=
θ−ω
++
+=
1
)(22
0
)(22
00
22)(
n
tnjnn
n
tnjnnnn e
bae
batf
(1.8)
Suku pertama dari (1.8) merupakan penjumlahan yang kita mulai
dari n = 0 untuk memasukkan a0 sebagai salah satu suku
penjumlahan ini. Dengan cara ini maka (1.8) dapat ditulis menjadi
∑∑∞+
−∞=
ω∞+
−∞=
ωθ− =
+=
n
tnj
n
tnjjnnecee
batf n )(
n)(
22
00 2
)( (1.9)
Inilah bentuk eksponensial deret Fourier, dengan cn adalah koefisien
Fourier yang mungkin berupa besaran kompleks.
1-8 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (4)
22
22nnjnn
n
jbae
bac
−=
+= θ−
(1.10)
0 jika tan ;0 jika tan
dengan dan 2
1n
1n
22
>
=θ<
−=θ
θ=∠+
=
−−n
n
nn
n
n
nnnn
n
aa
ba
a
b
cba
c (1.11)
Jika an dan bn pada (1.3) kita masukkan ke (1.10) akan kita dapatkan
∫−ω−=
−=
2/
2/0
0
0
)(1
2
T
T
tjnnnn dtetf
T
jbac n (1.12)
dan dengan (1.12) ini maka (1.9) menjadi
∑ ∫∑+∞
−∞=
ω
−
ω−+∞
−∞=
ω
==
n
tnjT
T
tjn
n
tnjedtetf
Tectf
)(2/
2/0
)(n
00
0
o0 )(1
)( (1.13)
Persamaan (1.11) menunjukkan bahwa 2|cn| adalah amplitudo dari
harmonisa ke-n dan sudut fasa harmonisa ke-n ini adalah ∠cn.
Persamaan (1.10) ataupun (1.12) dapat kita pandang sebagai
pengubahan sinyal periodik f(t) menjadi suatu spektrum yang terdiri
dari spektrum amplitudo dan spektrum sudut fasa seperti telah kita
kenal di Bab-1. Persamaan (1.9) ataupun (1.13) memberikan f(t)
apabila komposisi harmonisanya cn diketahui. Persamaan (1.12)
menjadi cikal bakal transformasi Fourier, sedangkan persamaan
(1.13) adalah transformasi baliknya.
CO�TOH-1.3: Carilah koefisien Fourier cn dari fungsi pada contoh-
1.1.
Penyelesaian :
( )2/sin2
1
ooo
2/2/
oo
2/
2/oo
2/
2/o
oo
o
o
TnTn
A
j
ee
Tn
A
jn
e
T
AdteA
Tc
TjnTjn
T
T
tjnT
T
tjnn
ωω
=
−
ω=
ω−==
ω−ω
−
ω−
−
ω−∫
1-9
1.2. Transformasi Fourier
1.2.1. Spektrum Kontinyu
Deret Fourier, yang koefisiennya diberikan oleh (1.12) hanya berlaku
untuk sinyal periodik. Sinyal-sinyal aperiodik seperti sinyal
eksponensial dan sinyal anak tangga tidak dapat direpresentasikan
dengan deret Fourier. Untuk menangani sinyal-sinyal demikian ini
kita memerlukan transformasi Fourier dan konsep spektrum
kontinyu. Sinyal aperiodik dipandang sebagai sinyal periodik dengan
perioda tak-hingga.
Jika diingat bahwa ω0 = 2π/T0 , maka (1.13) menjadi
∑ ∫
∑ ∫∞
−∞=
ω
−
ω−
∞
−∞=
ω
−
ω−
ω
π=
=
n
tjnT
T
tjn
n
tjnT
T
tjn
edtetf
edtetfT
tf
00
0
0
00
0
0
)(2
1
)(1
)(
0
2/
2/
2/
2/0 (1.14)
Kita lihat sekarang apa yang terjadi jika perioda T0 diperbesar.
Karena ω0 = 2π/T0 maka jika T0 makin besar, ω0 akan makin kecil.
Beda frekuensi antara dua harmonisa yang berturutan, yaitu
0000
2)1(
Tnn
π=ω=ω−ω+=ω∆
juga akan makin kecil yang berarti untuk suatu selang frekuensi
tertentu jumlah harmonisa semakin banyak. Oleh karena itu jika
perioda sinyal T0 diperbesar menuju ∞ maka spektrum sinyal
menjadi spektrum kontinyu, ∆ω menjadi dω (pertambahan frekuensi
infinitisimal), dan nω0 menjadi peubah kontinyu ω. Penjumlahan
pada (1.14) menjadi integral. Jadi dengan membuat T0 → ∞ maka
(1.14) menjadi
∫∫ ∫∞
∞−
ω∞
∞−
ω∞
∞−
ω− ωωπ
=ω
π= deFdedtetftf
tjtjtj )(
2
1 )(
2
1)(
(1.15)
dengan F(ω) merupakan sebuah fungsi frekuensi yang baru,
sedemikian rupa sehingga
1-10 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (4)
∫∞
∞−
ω−=ω dtetftj
)()( F (1.16)
dan F(ω) inilah transformasi Fourier dari f(t), yang ditulis dengan
notasi
[ ] )()( ω= FtfF
Proses transformasi balik dapat kita lakukan melalui persamaan
(1.15).
)()( 1 ω= −Ftf
CO�TOH-1.4: Carilah transformasi
Fourier dari bentuk gelombang pulsa
di samping ini.
Penyelesaian :
Bentuk gelombang ini adalah
aperiodik yang hanya mempunyai nilai antara −T/2 dan +T/2,
sedangkan untuk t yang lain nilainya nol. Oleh karena itu
integrasi yang diminta oleh (1.16) cukup dilakukan antara −T/2
dan +T/2 saja.
2/
)2/sin(
22/ )(
2/2/2/
2/
2/
2/
T
TAT
j
eeAe
j
AdteA
TjTjT
T
tjT
T
tj
ω
ω=
−
ω=
ω−==ω
ω−ω
−
ω−
−
ω−∫F
Kita bandingkan transformasi Fourier (1.16)
∫∞
∞−
ω−=ω dtetftj
)()( F
dengan koefisien Fourier
∫−ω−=
−=
2/
2/0
0
0
)(1
2
T
T
tjnnnn dtetf
T
jbac n
(1.17)
Koefisien Fourier cn merupakan spektrum sinyal periodik dengan
perioda T0 yang terdiri dari spektrum amplitudo |cn| dan spektrum
−T/2 0 T/2
v(t)
A
1-11
sudut fasa ∠cn, dan keduanya merupakan spektrum garis (tidak
kontinyu, memiliki nilai pada frekuensi-frekuensi tertentu yang
diskrit). Sementara itu transformasi Fourier F(ω) diperoleh dengan mengembangkan perioda sinyal menjadi tak-hingga guna mencakup
sinyal aperiodik yang kita anggap sebagai sinyal periodik yang
periodenya tak-hingga. Faktor 1/T0 pada cn dikeluarkan untuk
memperoleh F(ω) yang merupakan spektrum kontinyu, baik
spektrum amplitudo |F(jω)| maupun spektrum sudut fasa ∠ F(ω).
CO�TOH-1.5: Gambarkan spektrum amplitudo dari sinyal pada
contoh 1.4.
Penyelesaian :
Spektrum amplitudo
sinyal aperiodik ini
merupakan spektrum
kontinyu |F(jω)|.
2/
)2/sin()(
T
TAT
ω
ω=ωF
Pemahaman:
Sinyal ini mempunyai simetri genap. Sudut fasa harmonisa
adalah nol sehingga spektrum sudut fasa tidak digambarkan.
Perhatikan pula bahwa |F(ω)| mempunyai spektrum di dua sisi,
ω positif maupun negatif; nilai nol terjadi jika sin(ωT/2)=0 yaitu
pada ω = ±2kπ/T (k = 1,2,3,…); nilai maksimum terjadi pada ω
= 0, yaitu pada waktu nilai sin(ωT/2)/(ωT/2) = 1.
CO�TOH-1.6: Carilah transformasi Fourier dari f(t) = [A e−αt ] u(t)
dan gambarkan spektrum amplitudo dan fasanya.
Penyelesaian :
-50
|F(ω)|
T
π−2
T
π−4
T
π−6
T
π2
T
π4
T
π60 ω
1-12 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (4)
0untuk
)()(
0
)(
0
)(
>αω+α
=ω+α
−=
==ω
∞ω+α−
∞ ω+α−∞
∞−
ω−α− ∫∫
j
A
j
eA
dtAedtetuAe
tj
tjtjtF
αω
−=ω∠=ωθ⇒
ω+α=ω⇒
−1
22
tan)()(
||)(
jF
AF
Pemahaman:
Untuk α < 0, tidak ada transformasi Fourier-nya karena
integrasi menjadi tidak konvergen.
1.3. Transformasi Balik
Pada transformasi Fourier transformasi balik sering dilakukan
dengan mengaplikasikan relasi formalnya yaitu persamaan (1.15).
Hal ini dapat dimengerti karena aplikasi formula tersebut relatif
mudah dilakukan
CO�TOH-1.7: Carilah f(t) dari
)(2)( ωπδ=ωF
Penyelesaian :
1 )1)((
)(22
1 )(2
2
1)(
0
0
=ωωδ=
ωωπδπ
=ωωπδπ
=
∫
∫∫+
−
+
−
α
α
ω∞
∞−
ω
d
dedetf tjtj
+90o
−90o
θ(ω) 90
|F(ω)|
ω
A/α 25
1-13
Pemahaman :
Fungsi 2πδ(ω) adalah fungsi di kawasan frekuensi yang hanya
mempunyai nilai di ω=0 sebesar 2π. Oleh karena itu e jωt juga
hanya mempunyai nilai di ω=0 sebesar e j0t =1. Karena fungsi
hanya mempunyai nilai di ω=0 maka integral dari −∞ sampai
+∞ cukup dilakukan dari 0− sampai 0+, yaitu sedikit di bawah
dan di atas ω=0. Contoh ini menunjukkan bahwa transformasi
Fourier dari sinyal searah beramplitudo 1 adalah 2πδ(ω).
CO�TOH-1.8: Carilah f(t) dari
)(2)( α−ωπδ=ωjF
Penyelesaian :
tjtj
tjtj
ede
dedetf
αα
α
α
α
α
ω∞
∞−
ω
=ωα−ωδ=
ωα−ωπδπ
=ωα−ωπδπ
=
∫
∫∫+
−
+
−
)(
)(22
1 )(2
2
1)(
Pemahaman :
Fungsi 2πδ(ω−α) adalah fungsi di kawasan frekuensi yang
hanya mempunyai nilai di ω=α sebesar 2π. Oleh karena itu e jωt
juga hanya mempunyai nilai di ω=α sebesar ejαt. Karena fungsi
hanya mempunyai nilai di ω=α maka integral dari −∞ sampai
+∞ cukup dilakukan dari α− sampai α+, yaitu sedikit di bawah
dan di atas ω=α.
CO�TOH-1.9: Carilah f(t) dari
[ ])()()( α−ω−α+ωαπ
=ω uuA
F
Penyelesaian :
1-14 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (4)
[ ]
[ ]
t
tA
j
ee
t
A
jt
eeA
jt
eAde
A
deuuA
tf
tjtjtjtj
tjtj
tj
α
α=
−
α=
−
α=
α=ω
α
π
π=
ωα−ω−α+ωαπ
π=
α−αα−α
α
α−
ω∞
∞−
ω
∞
∞−
ω
∫
∫
)sin(
22
2 1
2
1
)()(2
1)(
Pemahaman:
Dalam soal ini F(ω) mempunyai nilai pada selang −α<ω<+α
oleh karena itu e jωt juga mempunyai nilai pada selang frekuensi
ini juga; dengan demikian integrasi cukup dilakukan antara −α dan +α.
Hasil transformasi balik f(t) dinyatakan dalam bentuk sin(x)/x
yang bernilai 1 jika x→0 dan bernilai 0 jika x→∞. Jadi f(t)
mencapai nilai maksimum pada t = 0 dan menuju nol jika t
menuju ∞ baik ke arah positif maupun negatif. Kurva F(ω) dan f(t) digambarkan di bawah ini.
1.2.3. Dari Transformasi Laplace ke Transformasi Fourier
Untuk beberapa sinyal, terdapat hubungan sederhana antara
transformasi Fourier dan transformasi Laplace. Sebagaimana kita
ketahui, transformasi Laplace didefinisikan melalui (8.1) sebagai
∫∞ −=0
)()( dtetfs stF (1.18)
F(ω)
ω +β −β 0
f(t)
A
t
1-15
dengan s = σ + jω adalah peubah frekuensi kompleks. Batas bawah
integrasi adalah nol, artinya fungsi f(t) haruslah kausal. Jika f(t)
memenuhi persyaratan Dirichlet maka integrasi tersebut di atas akan
tetap konvergen jika σ = 0, dan formulasi transformasi Laplace ini
menjadi
∫∞ ω−=0
)()( dtetfs tjF (1.19)
Sementara itu untuk sinyal kausal integrasi transformasi Fourier
cukup dilakukan dari nol, sehingga transformasi Fourier untuk sinyal
kausal menjadi
∫∞ ω−=ω0
)()( dtetf tjF (1.20)
Bentuk (1.20) sama benar dengan (1.19), sehingga kita dapat
simpulkan bahwa
0)()(
berlaku integrasi-didapat dan kausal )( sinyaluntuk
=σ=ω s
tf
FF (1.21)
Persyaratan “dapat di-integrasi” pada hubungan (1.21) dapat
dipenuhi jika f(t) mempunyai durasi yang terbatas atau cepat
menurun menuju nol sehingga integrasi |f(t)| dari t=0 ke t=∞ konvergen. Ini berarti bahwa pole-pole dari F(s) harus berada di
sebelah kiri sumbu imajiner. Jika persyaratan-persyaratan tersebut di
atas dipenuhi, pencarian transformasi balik dari F(ω) dapat pula dilakukan dengan metoda transformasi balik Laplace.
CO�TOH-1.10: Dengan menggunakan metoda transformasi
Laplace carilah transformasi Fourier dari fungsi-fungsi berikut
(anggap α, β > 0).
[ ] )( sin)( c)
)()( b).
)( )( a).
3
2
1
tuteAtf
ttf
tueAtf
t
t
β=
δ=
=
α−
α−
Penyelesaian:
1-16 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (4)
α+ω=ω→
α−=→α+
=→
→= α−
j
ps
AsF
tuAetf t
1)(
imag)sumbu kiri (di pole)(
integrasi-didapat dan kausal fungsi)()( a).
1
1
F
1)(1)(
integrasi-didapat dan kausal fungsi)()( b). 2
=ω→=→
→δ=
FsF
ttf
[ ]
αω+ω−β+α=
β+α+ω=ω→
β±α−=→β+α+
=→
→β= α−
2)()(
im)sumbu kiri (di pole )(
)(
integrasi-didapat kausal, fungsi)( sin)( c).
22222
22
3
j
a
j
A
jps
As
tuteAtft
F
F
CO�TOH-1.11: Carilah f(t) dari )4)(3(
10)(
+ω+ω=ω
jjF
Penyelesaian :
Jika kita ganti jω dengan s kita dapatkan
)4)(3(
10)(
++=
sssF
Pole dari fungsi ini adalah p1 = −3 dan p2 = −4, keduanya di sebelah kiri sumbu imajiner.
4
10
3
10)(
103
10 ; 10
4
10
43)4)(3(
10)(
42
31
21
+−
+=⇒
−=+
==+
=→
++
+=
++=
−=−=
sss
sk
sk
s
k
s
k
sss
ss
F
F
Transformasi balik dari F(ω) adalah :
[ ] )( 10 10)( 43 tueetf tt −− −=
1-17
1.4. Sifat-Sifat Transformasi Fourier
1.4.1. Kelinieran
Seperti halnya transformasi Laplace, sifat utama transformasi Fourier
adalah kelinieran.
[ ] [ ][ ] )()( )(2)(1: maka
)()(dan )()( : Jika
21
21
ω+ω=+
ω=ω=
FF
FF
BAtBftAf
tftf
F
FF21
(1.22)
CO�TOH-1.12: Carilah transformasi Fourier dari v(t) = cosβt.
Penyelesaian:
Fungsi ini adalah non-kausal; oleh karena itu metoda
transformasi Laplace tidak dapat di terapkan. Fungsi cosinus ini
kita tuliskan dalam bentuk eksponensial.
[ ] [ ] [ ]tjtjtjtj
eeee β−β
β−β+=
+=β FFFF tcos
2
1
2
1
2
Dari contoh 1.8. kita ketahui bahwa )(2 β−ωπδ=
ωtjeF
Jadi [ ] )()( β+ωπδ+β−ωπδ=βtcosF
1.4.2. Diferensiasi
Sifat ini dinyatakan sebagai berikut
)()(
ωω=
Fj
dt
tdfF (1.23)
Persamaan (1.15) menyatakan
( )
)()(
)(2
1
)(2
1 )(
2
1)(
)(2
1)(
ωω=
→
ωωωπ
=
ωω
π=
ωω
π=→
ωωπ
=
∫
∫∫
∫
∞
∞−
ω
∞
∞−
ω∞
∞−
ω
∞
∞−
ω
Fjdt
tdf
deFj
deFdt
ddeF
dt
d
dt
tdf
deFtf
tj
tjtj
tj
F
1-18 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (4)
1.4.3. Integrasi
Sifat ini dinyatakan sebagai berikut.
)()0()(
)( ωδπ+ω
ω=
∫ ∞− F
F
jdxxf
tF (1.24)
Suku kedua ruas kanan (1.24) merupakan komponen searah jika
sekiranya ada. Faktor F(0) terkait dengan f(t); jika ω diganti dengan nol akan kita dapatkan
∫∞
∞−= dttf )()0(F
CO�TOH-1.13: Carilah transformasi Fourier dari f(t) = Au(t).
Penyelesaian:
Metoda transformasi Laplace tidak dapat diterapkan untuk
fungsi anak tangga. Dari contoh (1.10.b) kita dapatkan bahwa
[ ] 1)( =δ tF . Karena fungsi anak tangga adalah integral dari
fungsi impuls, kita dapat menerapkan hbungan (1.24) tersebut di
atas.
[ ] )(1
)()( ωπδ+ω
=δ= ∫ ∞− jdxxtu
tFF
1.4.4. Pembalikan
Pembalikan suatu fungsi f(t) adalah mengganti t dengan −t. Jika kita
membalikkan suatu fungsi, maka urutan kejadian dalam fungsi yang
baru berlawanan dengan urutan kejadian pada fungsi semula.
Transformsi Fourier dari fungsi yang dibalikkan sama dengan
kebalikan dari transformasi Fourier fungsi semula. Secara formal hal
ini dapat dituliskan sebagai
[ ] [ ] )()( maka )()( Jika ω−=−ω= FF tftf FF (1.25)
Menurut (1.16)
1-19
[ ]
[ ] [ ]
)( )(
)()()(
Misalkan ; )()(
ω−=ττ=
ττ−=τ=−→
τ=−−=−
∫
∫
∫
∞
∞−
ωτ−
∞−
∞
ωτ
∞
∞−
ω−
Fdef
defftf
tdtetftf
j
j
tj
FF
F
Sifat pembalikan ini dapat kita manfaatkan untuk mencari
transformasi Fourier dari fungsi signum dan fungsi eksponensial dua
sisi.
CO�TOH-1.14: Carilah transformasi Fourier dari fungsi signum
dan eksponensial dua sisi breikut ini.
Penyelesaian :
Contoh 1.13. memberikan [ ] )(1
)( ωπδ+ω
=j
tuF maka
[ ] [ ]ω
=−−=j
tutut2
)()()sgn( FF
Contoh 1.10.a memberikan [ ]ω+α
=α−
jtue
t 1)(F maka
[ ] [ ]22
)(||
2
)(
11
)()(
ω+α
α=
ω−+α+
ω+α=
−+= −α−α−α−
jj
tuetueettt
FF
1.4.5. Komponen �yata dan Imajiner dari F(ωωωω)
Pada umumnya transformasi Fourier dari f(t), F(ω), berupa fungsi kompleks yang dapat kita tuliskan sebagai
t 0
v(t)
1
−1−u(−t)
u(t)
signum : sgn(t) = u(t) − u(−t)
0 t 0 eksponensial dua sisi :
e−α| t | = e−αt u(t) + e−α(−t) u(−t)
e−αt
u(t)
v(t)
1 e−α(−t)
1-20 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (4)
ωθ
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
ω−
ω=ω+ω=
ω−ω==ω ∫∫∫j
tj
ejBA
dttstfjdttctfdtetf
)()()(
in )( os )( )()(
F
F
dengan
∫∫∞
∞−
∞
∞−ω−=ωω=ω dtttfBdtttfA sin)()( ; cos)()( (1.26)
ω
ω=ωθω+ω=ω −
)(
)(tan)( ; )()()( 122
A
BBAF (1.27)
Jika f(t) fungsi nyata, maka dari (1.26) dan (1.27) dapat kita
simpulkan bahwa
1. Komponen riil dari F(ω) merupakan fungsi genap, karena
A(−ω) = A(ω).
2. Komponen imajiner F(ω) merupakan fungsi ganjil, karena
B(−ω) =− B(ω).
3. |F(ω)| merupakan fungsi genap, karena |F(−ω)| = |F(ω)|.
4. Sudut fasa θ(ω) merupakan fungsi ganjil, karena θ(−ω) =− θ(ω).
5. Kesimpulan (1) dan (2) mengakibatkan : kebalikan F(ω) adalah konjugat-nya, F(−ω) = A(ω) − jB(ω) = F*
(ω) .
6. Kesimpulan (5) mengakibatkan : F(ω) × F(−ω) = F(ω) × F
*(ω) = |F(ω)|2.
7. Jika f(t) fungsi genap, maka B(ω) = 0, yang berarti F(ω) riil.
8. Jika f(t) fungsi ganjil, maka A(ω) = 0, yang berarti F(ω) imajiner.
1.4.6. Kesimetrisan
Sifat ini dinyatakan secara umum sebagai berikut.
[ ] [ ] )( 2)( maka )()( Jika ω−π=ω= ftFtf FF F (1.28)
Sifat ini dapat diturunkan dari formulasi transformasi balik.
1-21
∫
∫∫∞
∞−
ω−
∞
∞−
ω−∞
∞−
ω
ω=ω−πω
ωω=−π→ωω=π
detft
detfdetf
tj
tjtj
)()( 2 : makakan dipertukar dan Jika
)()( 2 )()( 2
F
FF
1.4.7. Pergeseran Waktu
Sifat ini dinyatakan sebagai berikut.
[ ] [ ] )()( maka )()( Jika ω=−ω= ω− FF TjeTtftf FF (1.29)
Sifat ini mudah diturunkan dari definisinya.
1.4.8. Pergeseran Frekuensi
Sifat ini dinyatakan sebagai berikut.
[ ] [ ] )()(1 maka )()(1 Jika tfetf tjβ=β−ω−=ω− FF FF (1.30)
Sifat ini juga mudah diturunkan dari definisinya.
1.4.9. Penskalaan
Sifat ini dinyatakan sebagai berikut.
[ ] [ ]
ω=ω=
aaatftf FF
||
1)( maka )()( Jika FF (1.31)
1.5. Ringkasan
Tabel-1.1 berikut ini memuat pasangan transformasi Fourier
sedangkan sifat-sifat transformasi Fourier termuat dalam Tabel-1.2.
1-22 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (4)
Tabel 1.1. Pasangan transformasi Fourier.
Sinyal f(t) F(ω)
Impuls δ(t) 1
Sinyal searah (konstan) 1 2π δ(ω)
Fungsi anak tangga u(t) )(1
ωπδ+ωj
Signum sgn(t) ωj
2
Exponensial (kausal) ( ) )( tue tα− ω+α j
1
Eksponensial (dua sisi) || te α− 22
2
ω+α
α
Eksponensial kompleks tje β )( 2 β−ωδπ
Kosinus cosβt [ ])()( β+ωδ+β−ωδπ
Sinus sinβt [ ])()( β+ωδ−β−ωδπ− j
Tabel 1.2. Sifat-sifat transformasi Fourier.
Sifat Kawasan Waktu Kawasan Frekuensi
Sinyal f(t) F(ω)
Kelinieran A f1(t) + B f2(t) AF1(ω) + BF2(ω)
Diferensiasi
dt
tdf )(
jωF(ω)
Integrasi ∫ ∞−t
dxxf )( )( )0( )(
ωδπ+ω
ωF
F
j
Kebalikan f (−t) F(−ω)
Simetri F (t) 2π f (−ω)
Pergeseran waktu f (t − T) )(ωω−F
Tje
Pergeseran frekuensi e j β t
f (t) F(ω − β)
Penskalaan |a| f (at)
ω
aF
1-23
Soal-Soal
Deret Fourier Bentuk Sinus-Cosinus.
1. Tentukan deret Fourier dari gelombang segitiga berikut ini.
a).
b).
c).
d).
e).
2. Siklus pertama dari deretan pulsa dinyatakan sebagai
)3()2()1(2)(2)( −−−+−−= tututututv
Gambarkan siklus pertama tersebut dan carilah koefisien Fourier-
nya serta gambarkan spektrum amplitudo dan sudut fasanya.
v1ms
t
10V
−5V
v
t
20ms
150V
v
t
20ms
150V
t
v 10V
1ms
t
v
5V
−5V
1ms
1-24 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (4)
3. Suatu gelombang komposit dibentuk dengan menjumlahkan
tegangan searah 10V dengan gelombang persegi yang amplitudo
puncak ke puncak-nya 10 V. Carilah deret Fouriernya dan
gambarkan spektrum amplitudonya.
Deret Fourier Bentuk Eksponensial.
4. Carilah koefisien kompleks deret Fourier bentuk gelombang
berikut.
a).
b).
c).
d).
e).
v1ms
t
10V
−5V
v
20ms
t
150V
v
10V
−5V
1ms
2ms
t
t
v 10V
1ms
t
v
5V
−5V
1ms
1-25
Transformasi Fourier
5. Carilah transformasi Fourier dari bentuk-bentuk gelombang
berikut:
a). [ ])()()( TtutuT
Attv −−= ;
b).
−−
+
π=
44
2cos)(
Ttu
Ttu
T
tAtv
c).
−−
+
π+=
22
2cos1
2)(
Ttu
Ttu
T
tAtv
d). )(22)( tutv += ;
e). )(6)sgn(2)( tuttv +−=
f). [ ] )2( )sgn(2)(2)( 2 +δ+= − tttuetv t
g). )2(2)2(2)( )2(2)2(2 ++−= +−−− tuetuetv tt
6. Tentukan transformasi balik dari fungsi-fungsi berikut:
a). || )( ωα−
α
π=ω eF ;
b). [ ])()()( β−ω−β+ωβ
π=ω uu
AF
c). )50( )20(
1000)(
+ω+ω=ω
jjF ;
d). )50( )20(
)(+ω+ω
ω=ω
jj
jF
e). )50( )20(
)(2
+ω+ω
ω−=ω
jjF ;
f). )50( )20(
1000)(
+ω+ωω=ω
jjjF
1-26 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (4)
g). )50( )50(
500)(
+ω+ω−
ω=ω
jj
jF ;
h). )50( )50(
5)(
+ω+ω
ω=ω
jj
jF
i). )50( )50(
5000)(
+ω+ω−ω=ω
jjjF ;
j). 2500200
)(5000)(
2 +ω+ω−
ωδ=ω
jF
k). ω−+ωδπ=ω 2)( 4)( eF ;
l). ω
−ωδπ=ω
ω−
j
e j2)4( 4)(F
m). )2(
)1(4)( 4)(
ω+ω
+ω+ωδπ=ω
jj
jF ;
n). ω−+ωδπ=ω 2)( 4)( eF
o). )2( 4)2( 4)( 4)( +ωδπ+−ωδπ+ωδπ=ωF
1-27
