Embed Size (px)
Citation preview
Analiticka geometrija - vezbe
Milica Zigic
September 18, 2019
1 Pravougli koordinatni sistem i rastojanje izmedu tacaka
1. Na brojnoj osi ucrtati tacke A(−3), B(83) i C(0).
2. (a) Na brojnoj osi ucrtati tacke A(−2) i B(8). Zatim, odrediti koordinate tacke koja se nalazina polovini duzi AB.
(b) Na brojnoj osi su date dve tacke A(x1) i B(x2). Odretiti koordinate tacke X(x) koja senalazi na sredini duzi AB.
(c) Naci koordinate tacaka X(x) koja se nalaze dva puta blize tacki A(−8) nego tacki B(1).
3. (a) Odrediti tacke X(x) na brojnoj osi za koje vazi a) |x−3| = 5; b) |x+4| = 4; c) d(X,A) < 3,gde je A(2); d) |x− 3| > 2 i e) |x+ 1|+ |x+ 2| = 1.
(b) Na brojnoj osi je data tacka X(x). Odrediti tacke A(a) i B(b) koje se nalaze na rastojanjur od tacke X.
4. Za tacku u ravni P (x, y)
(a) odrediti u kom kvadrantu se nalazi, ako se zna da joj je apscisa negativna;
(b) odrediti znak koordinata x i y, ako se zna da lezi u cetvrtom kvadrantu;
(c) odrediti koordinate, ako se zna da se nalazi na x−osi;
(d) odrediti koordinate, ako se zna da se nalazi na y−osi.
5. U ravni su date tacke A(x1, y1) i B(x2, y2). Odrediti koordinate tacke S(x, y) koja polovi duzAB.
6. (a) U ravni su date tacke A(4, 1), B(3, 5), C(−1, 4) i D(0, 0). Ucrtati ih.
(b) Kolika je duzina stranica dobijenog cetvorougla ABCD?
(c) Pokazati da je dobijeni cetvorougao kvadrat.Napomena: Odrediti duzinu dijagonala.
(d) Odrediti povrsinu kvadrata ABCD.
7. Pokazati da su tacke A(3,−6), B(−2, 4) i C(1,−2) kolinearne (leze na istoj pravoj).Napomena: Pokazati da je duzina jedne od stranica trougla ABC jednaka zbiru druge dve.
8. Pokazati da je u paralelogramu zbir kvadrata duzina stranica jednak zbiru kvadrata duzinadijagonala.Napomena: Postaviti paralelogram tako da mu je jedno teme u koordinatnom pocetku, a jednastranica na pozitivnom delu x−ose.
9. Neka je ABCD pravougaonik. Pokazati da za proizvoljnu tacku M u ravni vazi
d2(A,M) + d2(C,M) = d2(B,M) + d2(D,M).
1
10. (a) Napisati jednacinu kruznice sa centrom u C(−2, 3) poluprecnika 5. Da li dobijena kruznicaprolazi kroz tacku (2,−1)?
(b) Pokazati da je jednacinom x2 + 2x + y2 = 0 definisana kruznica u ravni. Koja tacka jecentar dobijene kruznice i koliki je poluprecnik kruznice?
11. Posmatrajmo u ravni parabolu kao skup tacaka P = {(x, y) ∈ R2 | y = 3x2}.
(a) Koje od tacaka O(0, 0), A(1, 3), B(1,−3), C(−1, 3), D(−1,−3), E(3, 1) i F (3,−1) pri-padaju paraboli P?
(b) Odrediti polozaj tacke Q(x, y) u ravni za cije koordinate vazi y < 3x2.
(c) Odrediti polozaj tacke Q(x, y) u ravni za cije koordinate vazi x >√
y3 , y > 0.
(d) Odrediti tacke sa parabole P koje istovremeno pripadaju i pravoj koju cini skup tacakaL = {(x, y) ∈ R2 | y = 3x+ 6}.
12. Neka je dat trougao ABC. Odrediti koordinate centra opisane kruznice oko trougla ABC. Odre-diti i poluprecnik opisanog kruga.Napomena: Neka je tacka A u koordinatnom pocetku, a stranica AB na pozitivnom delux−ose.
13. Neka su u ravni date tacke A i B. Odrediti geometrijsko mesto tacaka u ravni, M, koje se nalazena k−puta vecem rastojanju od tacke A nego od tacke B.
14. Odrediti koordinate temena jedinicne kocke u prostoru, ako se zna da joj je jedno teme u koordi-natnom pocetku a tri ivice koje polaze iz tog temena leze na pozitivnim delovima koordinatnihosa. Opisati koordinate tacaka koje leze na ivicama dobijene kocke. Opisati koordinate tacakakoje leze na stranicama dobijene kocke. Odrediti koordinate tacaka koje leze unutar kocke.
15. Odrediti skupove u prostoru odredene jednacinama: a) z2 = 1; b) y2+z2 = 1 i c) x2+y2+z2 = 1.
16. Odrediti koordinate tacaka koje zadovoljavaju sistem jednacina x2 + y2 + z2 = 4 i z = 1. Kojaje geometrijska interpretacija ovog problema?
17. Da li je sistemima jednacina: a) x2 + y2 + z2 = 4 i z = 1 i b) x2 + y2 + z2 = 4 i x2 + y2 = 3definisana ista kriva u prostoru?
18. Definisati u prostoru simetralu ugla xOy (odnosno, simetralu prvog kvadranta xy−ravni aliposmatranu u prostoru.)
2
2 Jednacine prave i medusobni odnos pravih u ravni
19. (a) Dati jednacinu prave paralelne sa y−osom (vertikalna prava).
(b) Dati jednacinu prave paralelne sa x−osom (horizontalna prava).
(c) Odrediti vertikalnu i horizontalnu pravu koja prolazi kroz tacku (√
2,−1.3), zatim istoodrediti i za tacku (−π, 0).
(d) Dati jednacinu prave koja prolazi kroz koordinatni pocetak.
20. Za pravu 3x+√
3y − 1 = 0 reci:
(a) u kojoj tacki sece x−osu;
(b) u kojoj tacki sece y−osu;
(c) da li prolazi kroz tacku A(1, 2√
3);
(d) koji joj je koeficijent pravca i koji ugao gradi sa pozitivnim delom x−ose posmatrano usmeru suprotnom od kazaljke na satu.
21. Odrediti jednacinu prave i nacrtati je u koordinatnom sistemu, ako se zna:
(a) da prolazi kroz tacku A(2, 3) i da joj je koeficijent pravca −32 ;
(b) da prolazi kroz tacke sa koordinatama (−2,−1) i (3, 4);
(c) da joj je koeficijent pravca 2 a da y−osu sece u −5;
(d) da sece x−osu u 4 a y−osu u −1.
Zatim odrediti u kojoj se tacki seku prave koje su dobijene u zadacima pod (b) i (c).
22. Odrediti pravu koja prolazi kroz tacku (1, 2) i kroz tacku preseka pravih x+2y = 3 i 2x−3y = −1.
23. Odrediti koordinate tacke na pravoj y = 3x+ 1 koja je jednako udaljena od tacke (0, 0) kao i odtacke (−3, 4).
24. Oznacimo sa F temperaturu izrazenu u stepenima Farenhajta a sa C u stepenima Celzijusa.Odrediti linearnu jednacinu oblika F = kC +n, koja povezuje Celzijusovu i Farenhajtovu skalu,ako se zna da se voda ledi na 32◦F odnosno 0◦C, a da kljuca na 212◦F odnosno 100◦C. Nacrtatidobijenu pravu i odrediti koliko je stepeni Farenfajta 37◦C, kao i koliko je stepeni Celzijusa 96◦F.Pokazati da li postoji temperatura koja ce na Farenhajtovom i Celzujusovom termometru datiistu numericku vrednost?
25. Pritisak p koji deluje na ronioca ispod vode na dubini d dat je jednacinom p = kd + n. Napovrsini vode pritisak je 1 atmosfera, a na dubini od 100 metara pritisak je 10.94 atmosfera.Odrediti koliki pritisak deluje na ronioca na dubini od 50 metara.
26. Pramen pravih sa centrom S(x0, y0) je skup svih pravih koje prolaze kroz tacku S, te je datjednacinama y − y0 = k(x− x0), k ∈ R i dodatno prava x = x0. Odrediti sve prave iz pramenasa centrom u S(2, 5) koje odsecaju jednake odsecke na koordinatnim osama.
27. (a) Odrediti jednacinu prave koja je paralelna pravoj 2x+ 5y = 15 i prolazi kroz tacku (5,−1).
(b) Odrediti jednacinu prave koja je ortogonalna na pravu 8x− 13y = 13 i prolazi kroz tacku(0, 1).
(c) Odrediti u kom su medusobnom odnosu prave ax+ by = c1 i bx− ay = c2, a, b 6= 0.
(d) Odrediti u kom su medusobnom odnosu prave ax+ by = c1 i ax+ by = c2, a, b 6= 0.
3
28. Neka su date tacke A(a, 0) i B(0, b), a, b > 0. Odrediti koeficijent pravca prave koja prolazi krozkoordinatni pocetak O i kroz sredinu duzi AB oznacenu sa P . Pod kojim uslovima su pravep(A,B) i p(O,P ) medusobno normalne.
29. Zrak svetlosti dolazi duz prave x+ y = 1 (iz drugog kvadranta) i odbija se (reflektuje) o x−osu.Zna se da je upadni ugao jednak odbojnom uglu. Odrediti jednacinu prave po kojoj se prostirereflektovani zrak svetlosti.
30. Proveriti da li tacke A(6, 4), B(4,−3) i C(−2, 3) obrazuju jednakokraki pravougli trougao.
31. Pokazati da su tacke A(2,−1), B(1, 3) i C(−3, 2) temena nekog kvadrata i odrediti cetvrto temetog kvadrata.
32. (a) Odrediti udaljenost tacke P (2, 1) od prave y = x+ 2.
(b) Odrediti udaljenost tacke P (4, 6) od prave 4x+ 3y = 12.
(c) Odrediti udaljenost tacke P (a, b) od prave x = −1.
(d) Odrediti algoritam po kom se racuna udaljenost tacke P (x0, y0) od prave ax+ by = c.
33. Data su temena trougla A(1, 4), B(4, 1) i C(3, 7).
(a) Odrediti duzine stranica trougla ABC.
(b) Odrediti koordinate ortocentra trougla ABC (presek visina trougla).
(c) Odrediti koordinate tezista trougla ABC (presek pravih koje spajaju teme sa sredinomnaspramne stranice trougla).
(d) Odrediti povrsinu trougla ABC.
(e) Odrediti koordinate centra opisane kruznice oko trougla ABC (presek simetrala stranicatrougla).
34. Odrediti jednacinu simetrale ugla izmedu pravih a1x+ b1y = c1 i a2x+ b2y = c2.
35. Odrediti koordinate centra upisane kruznice u trougao sa temenima A(3, 4), B(0, 8) i C(0, 0)(presek simetrala uglova trougla).
4
3 Konusni preseci
3.1 Kruznica
36. Odrediti poluprecnik i centar kruznice 2x2 + 2y2 − 28x+ 12y + 114 = 0 i nacrtati je.
37. Odrediti poluprecnik i centar kruznice koja prolazi kroz tacke (1, 0), (0, 1) i (2, 2) i nacrtati je.
38. Odrediti oblast u ravni u kojoj je x2 − 6x+ y2 − 2y ≥ −9.
39. Odrediti jednacinu kruznice ciji je centar (−2, 1) a prolazi kroz tacku (1, 3). Da li se tacka(1.1, 2.8) nalazi u unutrasnjosti, spoljasnjosti ili na kruznici.
40. Dokazati da se precnik kruznice vidi iz proizvoljne njene tacke pod pravim uglom. Drugimrecima, pokazati da je svaki periferni ugao nad precnikom kruznice prav.
41. Neka je data prava l jednacinom ax+by+c = 0 i kruznica k jednacinom (x−p)2 +(y−q)2 = r2.Racunajuci rastojanje centra kruznice k od prave l, odrediti polozaj prave l u odnosu na kruznicuk.
42. Neka je data prava y = kx+n i kruznica x2+y2 = r2. Odrediti koje uslove treba da zadovoljavajuparametri k, n, r ∈ R tako da se prava i kruznica: a) seku u dve tacke; b) seku u jednoj tacki ic) nemaju zajednickih tacaka.
43. (a) Odrediti jednacinu tangente y = kx+n na kruznicu x2 + y2 = r2 kroz tacku P (x0, y0) kojase nalazi: 1) na kruznici i 2) u njenoj spoljasnjosti.
(b) Odrediti jednacinu tangente na kruznicu x2 + y2 = 25 u tacki (5, 0) i u tacki (3, 4).
(c) Odrediti jednacinu tangente na kruznicu (x−p)2+(y−q)2 = r2 u tacki sa kruznice P (x0, y0).
(d) Odrediti jednacine tangenti iz tacke (8, 8) na kruznicu x2 + y2 = 32, zatim odrediti i ugaoizmedu dobijenih tangenti.
(e) Odrediti jednacine tangenti na kruznicu x2 + y2 − 14y + 32 = 0 iz tacke (5, 4).
44. (Opticko svojstvo kruznice) Zrak koji izvire iz centra kruznice, posle odbijanja o nju ce se ponovovratiti u centar.Napomena: Pokazati da je tangenta normalna na precnik kruznice u tacki dodira.
45. Odrediti jednacinu kruznice sa centrom u (4, 7) kojoj je prava 3x− 4y + 1 = 0 tangenta.
46. Odrediti jednacine tangenti kruznice x2+y2+5x = 0 koje su normalne na pravu 4x−3y+7 = 0.
47. Odrediti jednacine tangenti na kruznicu (x − 2)2 + (y − 1)2 = 5 u tackama u kojima kruznicapreseca koordinatne ose.
48. Neka je na x−osi data tacka A i na y−osi tacka B i neka je njihovo medusobno rastojanje a.Pustimo da se tacka A slobodno krece po x−osi a da se tacka B krece tako da rastojanje izmedutacaka A i B ostane nepromenjeno. Odrediti koju krivu u ravni odreduju sredine duzi AB.
49. Neka su t1 i t2 tangente kruznice x2 + y2 = r2 koje je dodiruju u tackama T1 i T2. Pokazati daako je T0(x0, y0) tacka preseka pravih t1 i t2 onda je xx0 + yy0 = r2 jednacina prave koja prolazikroz tacke T1 i T2.Napomena: Tacka T0(x0, y0) i prava xx0 + yy0 = r2 su medusobno pol i polara, redom, uodnosu na kruznicu x2 + y2 = r2.
5
3.2 Parabola
50. Nacrtati date parabole i odrediti im fokus, direktrisu i teme, ako je: a) x2 = 6y i b) x = −3y2.
51. Parabolu y2 = 8x translirati za dve jedinice na dole i jednu na desno. Odrediti jednacinu, fokus,direktrisu, osu simetrije i teme novodobijene parabole i nacrtati je.
52. Nacrtati parabolu 3x2 − 12x+ y + 11 = 0 i odrediti joj fokus, direktrisu, osu simetrije i teme.
53. Odrediti oblast u ravni u kojoj je x− 2y2 ≥ 0.
54. Pokazati da je 4p sirina parabole x2 = 4py, p > 0 u fokusu, odnosno da je udaljenost tacakakoje se nalaze u preseku prave y = p i parabole jednaka 4p.
55. Neka je data prava y = kx+ n i parabola y2 = 4px. Odrediti koje uslove treba da zadovoljavajuparametri k, n, p ∈ R tako da se prava i parabola: a) seku u dve tacke; b) seku u jednoj tacki ic) nemaju zajednickih tacaka.
56. (a) Odrediti jednacinu tangente y = kx+ n na parabolu y2 = 4px kroz tacku P (x0, y0) koja senalazi: 1) na paraboli i 2) u njenoj spoljasnjosti.
(b) Odrediti jednacine tangenti parabole y2 = 16x koje su od koordinatnog pocetka udaljeneza√
8.
(c) Odrediti jednacinu tangente na parabolu (y− b)2 = 4p(x−a) u tacki sa parabole P (x0, y0).
57. Neka su fiksirane dve tangente t1 i t2 parabole y2 = 4px. Posmatrajmo dalje proizvoljnu tangentut date parabole. Neka je S presek tangenti t1 i t, a R presek tangenti t2 i t. Pokazati da duzinaprojekcije duzi SR na direktrisu parabole ne zavisi od izbora tangente t.
58. (Opticko svojstvo parabole) Zrak koji ide paralelno osi simetrije parabole, nakon refleksije oparabolu ulazi u fokus parabole.Neka je data parabola y2 = 4px i na njoj tacka P (x0, y0). Oznacimo sa F fokus date parabole isa t tangentu date parabole u tacki P . Pokazati da se zrak koji ide paralelno x−osi duz pravey = y0 reflektuje o parabolu i nastavlja pravom p(F, P ).Napomena: Pokazati da je ugao (tacnije, tangens ugla) izmedu tangente i prave y = y0 jednakuglu izmedu tangente i prave p(F, P ).
59. Pokazati da je direktrisa parabole geometrijsko mesto tacaka iz kojih se parabola vidi pod pravimuglom.Napomena: Pokazati da su svake dve tangente na parabolu iz tacke na direktrisi medusobnonormalne.
60. Pokazati da normala na tangentu parabole povucena iz tacke preseka te tangente i tangenteparalelne direktrisi, prolazi kroz fokus parabole.
61. Parabola y2 = 4px i kruznica kojoj je centar na y−osi dodiruju pravu y = x + 3 u istoj tacki.Odrediti jednacine parabole i kruznice.
62. (Dijametar ili precnik parabole) Odrediti geometrijsko mesto tacaka koje su sredine paralelnihtetiva parabole.
63. Neka je t tangenta parabole y2 = 4px u tacki P koja se nalazi na paraboli. Oznacimo sa A tackupreseka tangente t i x−ose, a sa B projekciju tacke P na x−osu. Pokazati da su tacke A i Bjednako udaljene od koordinatnog pocetka.
6
3.3 Elipsa
64. Nacrtati date elipse i odrediti im fokuse i temena, ako je: a) 16x2+25y2 = 400 i b) 3x2+2y2 = 6.
65. Odrediti jednacinu elipse i nacrtati je, ako se zna da su joj: a) fokusi (±√
2, 0) a temena (±2, 0)i b) fokusi (0,±4) a temena (0,±5).
66. Elipsux2
16+y2
9= 1 translirati cetiri jedinice na desno i tri na gore. Odrediti jednacinu, fokuse,
centar, temena i veliku poluosu novodobijene elipse i nacrtati je.
67. Nacrtati elipsu 25x2 + 150x + 9y2 + 36y + 36 = 0 i odrediti joj fokuse, centar, temene i velikupoluosu.
68. Odrediti oblast u ravni u kojoj je x2 + y2 ≥ 1 i 4x2 + y2 ≤ 4.
69. Neka je data elipsa, neka je njen centar O i neka su M1 i M2 takve njene tacke da je p(O,M1) ⊥p(O,M2). Pokazati da odstojanje ove prave od centra elipse ne zavisi od izbora tacaka M1 i M2.
70. Neka je data prava y = kx+n i elipsax2
a2+y2
b2= 1. Odrediti koje uslove treba da zadovoljavaju
parametri k, n, a, b ∈ R tako da se prava i elipsa: a) seku u dve tacke; b) seku u jednoj tacki i c)nemaju zajednickih tacaka.
71. (a) Odrediti jednacinu tangente y = kx+n na elipsux2
a2+y2
b2= 1 kroz tacku P (x0, y0) koja se
nalazi: 1) na elipsi i 2) u njenoj spoljasnjosti.
(b) Odrediti jednacine tangenti iz tacke P (14, 1) na elipsu x2 + 4y2 = 100.
(c) Odrediti jednacinu tangente na elipsu(x− p)2
a2+
(y − q)2
b2= 1 u tacki sa elipse P (x0, y0).
72. (Opticko svojstvo elipse) Zrak koji izvire iz jednog od fokusa elipse, nakon refleksije o elipsuulazi u drugi fokus elipse.
Neka je data elipsax2
a2+y2
b2= 1 i na njoj tacka P (x0, y0). Oznacimo sa F1 i F2 fokuse date elipse
i sa t tangentu date elipse u tacki P . Pokazati da se zrak koji izvire iz fokusa F1 i ide prematacki P reflektuje o elipsu i nastavlja pravom p(P, F2) prama fokusu F2.Napomena: Pokazati da je ugao (tacnije, tangens ugla) izmedu tangente t i prave p(P, F1)jednak uglu izmedu tangente t i prave p(P, F2).
73. Data je elipsa svojom jednacinom x2
a2+ y2
b2= 1. Neka su t1 i t2 njene tangente u tackama (a, 0)
i (−a, 0), a t3 njena tangenta u tacki (0, b). Neka t3 sece t1 i t2 u tackama M1 i M2, redom.Dokazati da se duz M1M2 iz fokusa elipse vidi pod pravim uglom.
74. U proizvoljnoj tacki elipse x2
a2+ y2
b2= 1 povucena je tangenta t i tangente u tackama A1(a, 0) i
A2(−a, 0). Tangenta t sece druge dve tangente u tackama T1 i T2. Dokazati da kruznica konstru-isana nad duzi T1T2 kao precnikom prolazi kroz oba fokusa elipse.
75. Odrediti geometrijsko mesto tacaka u ravni iz kojih se elipsa vidi pod pravim uglom.Napomena: Moze se koristiti da za resenja x1 i x2 kvadratne jednacine ax2 + bx + c = 0 vazi
Vijetova formula x1 · x2 =c
a.
76. (Dijametar ili precnik elipse) Odrediti geometrijsko mesto tacaka koje su sredine paralelnihtetiva elipse.
7
77. Neka je tacka T sredina tetive elipse x2 + 4y2 = 25, gde je: a) T (32 , 1); b) T (−12 ,
74). Odrediti
duzinu te tetive.
78. Data je elipsax2
25+y2
9= 1. Oznacimo njene fokuse sa F1 i F2. Iz tacke P (0, 5) povucene su
tangente na datu elipsu i neka je dodiruju u tackama T1 i T2. Dokazati da su uglovi ]T1PF1 i]T2PF2 jednaki.
3.4 Hiperbola
79. Nacrtati date hiperbole i odrediti im fokuse, temena i asimptote, ako je: a) 9x2 − 16y2 = 144 ib) 8y2 − 2x2 = 16.
80. Odrediti jednacinu hiperbole i nacrtati je, ako se zna da su joj: a) fokusi (±2, 0) a asimptotey = ± 1√
3x i b) temena (0,±2) a asimptote y = ±1
2x.
81. Hiperbolu x2
16 −y2
9 = 1 translirati dve jedinice na desno. Odrediti jednacinu, fokuse, centar,temena i asimptote novodobijene hiperbole.
82. Nacrtati hiperbolu 5y2 + 20y − 4x2 = 0 i odrediti joj fokuse, centar, temena i asimptote.
83. Odrediti oblast u ravni u kojoj je 4y2 − x2 ≥ 4 i 4x2 + y2 ≤ 4.
84. Neka je data prava y = kx+n i hiperbolax2
a2−y
2
b2= 1.Odrediti koje uslove treba da zadovoljavaju
parametri k, n, a, b ∈ R tako da se prava i hiperbola: a) seku u dve tacke; b) seku u jednoj tackii c) nemaju zajednickih tacaka.
85. (a) Odrediti jednacinu tangente y = kx + n na hiperbolux2
a2− y2
b2= 1 kroz tacku P (x0, y0)
koja se nalazi: 1) na hiperboli i 2) u njenoj spoljasnjosti.
(b) U tackama preseka prave x + y = 2 i hiperbole 2x2 − y2 = 8 su povucene tangente nahiperbolu. Odrediti ugao izmedu tih tangenti.
(c) Odrediti jednacinu tangente na hiperbolu(x− p)2
a2− (y − q)2
b2= 1 u tacki sa hiperbole
P (x0, y0).
86. (Opticko svojstvo hiperbole) Zrak koji izvire iz jednog od fokusa hiperbole, nakon refleksije ohiperbolu izgleda kao da izvire iz drugog fokusa.
Neka je data hiperbolax2
a2− y2
b2= 1 i na njoj tacka P (x0, y0). Oznacimo sa F1 i F2 fokuse date
hiperbole i sa t tangentu date elipse u tacki P . Pokazati da se zrak koji izvire iz fokusa F1 iide prema tacki P, koja se nalazi na onoj grani hiperbole koja odgovara fokusu F1, reflektuje ohiperbolu i nastavlja pravom p(P, F2) ali udaljavajuci se od fokusa F2.Napomena: Pokazati da je ugao (tacnije, tangens ugla) izmedu tangente t i prave p(P, F1)jednak uglu izmedu tangente t i prave p(P, F2).
87. Data je hiperbola svojom jednacinom x2
a2− y2
b2= 1. Neka je t njena tangenta koja je dodiruje
u tacki T. Neka t sece asimptote hiperbole u tackama M1 i M2. Dokazati da je T srediste duziM1M2.
88. Neka proizvoljna tangenta hiperbole date jednacinom x2
a2− y2
b2= 1 sece njene tangente koje su
paralelne sa y−osom u tackama M1 i M2. Dokazati da se duz M1M2 vidi iz fokusa pod pravimuglom.
8
89. Neka je P tacka sa hiperbole. Dokazati da tangenta na hiperbolu u tacki P formira jednakeuglove sa pravama p(P, F1) i p(P, F2), gde su F1 i F2 fokusi date hiperbole.
90. Odrediti geometrijsko mesto tacaka u ravni koje su (osno) simetricne jednom od fokusa hiperboleu odnosu na sve tangente te hiperbole.
91. (Dijametar ili precnik hiperbole) Odrediti geometrijsko mesto tacaka koje su sredine paralelnihtetiva hiperbole.
92. Neka je data centrirana hiperbola svojom kanonickom jednacinomx2
a2− y2
b2= 1, a, b > 0.
(a) U zavisnosti od parametara a i b, odrediti u koje hiperbole se moze upisati kvadrat.
(b) Zatim, za odgovarajucu hiperbolu, odrediti duzinu stranice upisanog kvadrata.
93. (a) Odrediti asimptotu hiperbole x2 − y2 = 1 koja prolazi kroz tacku (1, 1).
(b) Odrediti jednacinu kruznice ciji se centar nalazi na pravoj x + 2y = 4 i koja dodirujeasimptotu hiperbole x2 − y2 = 1 u tacki (1, 1).
94. Neka je data hiperbolax2
a2− y2
b2= 1, a > b i neka je P (x0, y0) tacka na datoj hiperboli. Uocimo
asimptotu q te hiperbole i povucemo pravu t kroz tacku P paralelnu pravoj q. Neka t secedirektrisu hiperbole u tacki K. Ako je sa F oznacen odgovarajuci fokus hiperbole, dokazati daje PK = FP .
3.5 Konusni preseci i ekscentricitet
95. Neka je u ravni data prava x = d i tacka F (c, 0), c, d > 0. Neka je D projekcija tacke P (x, y) napravu x = d. Odrediti geometrijsko mesto tacaka P (x, y) u ravni tako da je PF = ePD, ako je:a) e ∈ (0, 1) i b) e > 1.
96. Odrediti ekscentricitet i nacrtati fokuse i direktrise elipse ako je:a) 6x2 + 9y2 = 54 i b) 2x2 + y2 = 2.
97. Odrediti ekscentricitet i nacrtati fokuse i direktrise hiperbole ako je:a) x2 − y2 = 1 i b) 8y2 − 2x2 = 16.
98. Odrediti kanonsku jednacinu centrirane elipse ako su joj:a) fokusi F (±8, 0) i ekscentricitet e = 0.2 i b) temena T (0,±70) i ekscentricitet e = 0.1.
99. Odrediti kanonsku jednacinu centrirane hiperbole ako su joj:a) fokusi F (0,±5) i ekscentricitet e = 1.25 i b) temena T (±2, 0) i ekscentricitet e = 2.
100. Odrediti ekscentricitet i kanonsku jednacinu centrirane elipse ako joj je fokus (−√
2, 0) a direk-trisa x = −2
√2.
101. Odrediti ekscentricitet i kanonsku jednacinu centrirane hiperbole ako joj je fokus (−6, 0) a di-rektrisa x = −2.
102. Odrediti fokus i direktrisu parabole y = ax2 + bx+ c.
103. Nacrtati oblik orbite Plutona ako se zna da mu je ekscentricitet e = 0.25.
104. Krajnje tacke male i velike ose elipse su (1, 1), (3, 4), (1, 7) i (−1, 4). Nacrtati elipsu, odreditijoj kanonsku jednacinu, zatim odrediti fokuse, direktrise i ekscentricitet date elipse.
9
105. Odrediti kanonsku jednacinu elipse eksecntriciteta 23 tako da joj je prava x = 9 direktrisa a tacka
(4, 0) odgovarajuci fokus.
106. Ekscentricitet hiperbole je 32 , a jedan od fokusa je tacka (1,−3) i njemu odgovarajuca direktrisa
je prava y = 2. Odrediti kanonsku jednacinu date hiperbole.
107. Odrediti konstante a, b i c tako da je jednacinom
4x2 + y2 + ax+ by + c = 0
data elipsa kojoj je x−osa tangenta u koordinatnom pocetku i koja prolazi kroz tacku (−1, 2).Odrediti i ekscentricitet dobijene elipse.
108. Odrediti geometrijsko mesto tacaka u ravni kod kojih je odnos udaljenosti od tacke A(1, 0) i odprave x = 9 jednak 1
3 .
3.6 Konusni preseci kao kvadratne krive
109. Odrediti kom konusnom preseku odgovaraju sledece kvadratne jednacine:
(a) 2x2 − y2 + 4xy − 2x+ 3y = 6;
(b) x2 − 3xy + 3y2 + 6y = 7;
(c) 3x2 + 12xy + 12y2 + 435x− 9y + 72 = 0.
110. Rotirati koordinatne ose (x i y) tako da u novodobijenim koodrinatama (x′ i y′) nestane mesoviticlan (B′x′y′) date kvadratne jednacine. Zatim nacrtati dobijene konusne preseke u novom koor-dinatnom sistemu.
(a) x2 + xy + y2 = 1;
(b) 3x2 − 2√
3xy + y2 = 1;
(c) xy − y − x+ 1 = 0.
Napomena: Nakon rotacije koordinatnog sistema xy za ugao α u novodobijenom koordinatnomsistemu x′y′ ce vaziti x = x′ cosα−y′ sinα i y = x′ sinα+y′ cosα; dodatno, da bi nestao mesoviticlan treba da vazi tg2α = B
A−C ili ctg2α = A−CB .
111. Pokazati da je: B2 − 4AC = B′2 − 4A′C ′; A+ C = A′ + C ′ i D2 + E2 = D′2 + E′2.
112. Neka je data jednacina x2 + 4xy+ 4y2 + 6x+ 12y+ 9 = 0. Odrediti da li data jednacina opisujeelipsu, parabolu ili hiperbolu. Pokazati da je zapravo tom jednacinom data prava 2y = −x− 3.
113. Odrediti ekscentricitet, fokuse i direktrise hiperbole xy = 2.
114. Odrediti ekscentricitet, fokuse, temena i direktrise konusnog preseka: 5x2 + 6xy + 5y2 − 32 = 0.
115. Odrediti ekscentricitet, fokuse i direktrise konusnog preseka:
(a) 2x2 + xy + 2y2 − 15 = 0;
(b) 13x2 + 6√
3xy + 7y2 = 144.
116. Pokazati da je 2xy−√
2y+2 = 0 hiperbola. Odrediti joj centar, temena, fokuse, ose i asimptote.
117. Proveriti da li postoji nedegenerisani konusni presek Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+Ey+F = 0 takoda zadovoljava sve navedene osobine:
10
1. simetrican je u odnosu na koordinatni pocetak,
2. prolazi kroz tacku (1, 0) i
3. prava y = 1 mu je tangenta u tacki (−2, 1).
118. Data je elipsa5x2 − 2
√3xy + 7y2 + 12
√3x− 20y + 24 = 0. (1)
(a) Odrediti horizontalne i vertikalne tangente elipse (1).
(b) Pokazati da jednacina5x2 − 2
√3xy + 7y2 = 4,
predstavlja elipsu koja se dobija translacijom elipse (1) tako da joj se centar poklopi skoordinatnim pocetkom.Napomena: Centar elipse (1) poklapa se s centrom pravougaonika koji formiraju cetiriprave odredene pod (a).
(c) Odrediti duzinu velike i male poluose elipse (1) kao i ugao koji velika poluosa zaklapa sax-osom.
11
4 Parametrizacija krivih u ravni
119. Odrediti parametrizacije sledecih krivih u ravni (p, q, k, a, b, r su dati parametri):
(a) y = q + k(x− p);(b) (x− p)2 + (y − q)2 = r2;
(c) b2(x− p)2 + a2(y − q)2 = a2b2;
(d) b2(x− p)2 − a2(y − q)2 = a2b2;
(e) y = q + (x− p)2.
120. Nacrtati u ravni krive date svojim parametrizacijama:
(a) x = cos(π − t), y = sin(π − t), t ∈ [0, π];
(b) x = 4 sin t, y = 2 cos t, t ∈ [0, π];
(c) x = t, y =√t, t ≥ 0;
(d) x =1
cos2 t− 1, y = tg t, t ∈ (−π
2,π
2);
(e) x = − 1
cos t, y = tg t, t ∈ (−π
2,π
2);
(f) x = 2t− 5, y = 4t− 7, t ∈ R;
(g) x = 1− t, y = 1 + t, t ∈ R;
(h) x = t, y =√
4− t2, t ∈ [0, 2];
(i) x =√t+ 1, y =
√t, t ≥ 0.
121. Odrediti tacku na paraboli x = t, y = t2, t ∈ R koja je najbliza tacki (2, 12).
122. Odrediti tacku na elipsi x = 2 cos t, y = sin t, t ∈ [0, 2π] koja je najdalja od tacke (34 , 0).
123. (Kriva vestice Anjezi) Neka je data kruznica poluprecnika 1 sa centrom u (0, 1). Proizvoljnutacku A na pravoj y = 2 povezemo sa koordinatnim pocetkom O i sa B obelezimo presek datekruznice i duzi OA. Tacka P se dobija kao presek vertikalne prave kroz tacku A i horizontalnekroz tacku B. Odrediti jednacinu krive koja opisuje polozaj tacke P u ravni dok tacka A ide duzprave y = 2.Napomena: Ime krive je nastalo kao greska pri prevodu sa latinskog, pravilan prevod bi bio”uze koje vraca jedro”.Mogu se koristiti sledece cinjenice: u pravouglom trouglu OAQ vazi d(A,B)·d(O,A) = d2(A,Q),gde je Q(0, 2); zatim za tacku P (x, y) vazi x = d(A,Q), y = 2− d(A,B) sin t, gde je t ugao kojiduz OA gradi s pozitivnim delom x−ose.
124. Data je kruznica x2 +(y − a
2
)2=a2
4, a > 0 i prava y = a. Neka je N proizvoljna tacka na
pravoj y = a i neka je M tacka u preseku date kruznice i prave p(O,N), gde je sa O oznacenkoordinatni pocetak. Konacno, tacku P biramo na duzi ON tako da je d(O,P ) = d(M,N).Odrediti prametarsku jednacinu krive odredene tackama P, dok N prolazi pravom y = a, ufunkciji od ugla t koji gradi prava p(O,N) u odnosu na pozitivni deo y−ose.Napomena: U pravouglom trouglu ABC, sa pravim uglom kod temena B, obelezimo sa B′
podnozje visine iz temena B. Tada vazi d(A,C) · d(A,B′) = d2(A,B).
12
125. (Involuta kruznice) Ako zicu namotanu oko kalema (kruznice) pustimo da se odmota, njen kraj ceprilikom odmotavanja opisati involutu kruznice u ravni (ovde se zanemaruje debljina zice). Nekaje kalem kruznica x2 + y2 = 1, a kraj zice neka je tacka P (x, y) koja je u pocetnom momentu,dok je jos zica namotana (1, 0). Pri odmotavanju zica je uvek tangentna na kruznicu u tackizice Q koja poslednja jos uvek dodiruje kruznicu. Neka je sa t obelezen ugao koji gradi duzOQ sa pozitivnim delom x−ose. Odrediti parametarske jednacine involute kruznice izrazavajucikoordinate tacke P (x, y) u zavisnosti od t, t ≥ 0.
126. (Trohoida) Tocak poluprecnika a se kotrlja duz horizontalne prave linije bez proklizavanja.Odrediti parametarske jednacine krive koja opisuje kretanje tacke P koja se nalazi u ravnirotacije tocka, na udaljenosti b od centra tocka. Kao parametar koristiti ugao t kroz koji setocak okrece oko svog centra. Dobijena kriva se naziva trohoida.Napomena: Dobijena kriva se za a = b naziva i cikloida, za a > b skracena cikloida ili hipotro-hoida i za a < b produzena cikloida ili epitrohoida.
127. (Hipocikloida) Neka se kruznica kotrlja unutar date vece kruznice. Proizvoljna tacka P nakruznici koja se kotrlja opisuje hipocikloidu unutar velike kruznice. Neka je velika fiksiranakruznica data sa x2 + y2 = a2 i neka je poluprecnik male kruznice koja se kotrlja b i neka jenjen centar obelezen sa C. Neka je u pocetnom momentu pozicija posmatrane tacke P (x, y) uA(a, 0). Odrediti parametarsku jednacinu hipocikloide koristeci kao parametar ugao θ koji gradiduz OC sa pozitivnim delom x−ose.
128. (Asteroid) Ako se u zadatku 127 uzme da je a = 4 i b = 1, dobijena hipocikloida se nazivaasteroid. Odrediti parametrarsku jednacinu asteroida.Napomena: Mogu se koristiti sledece trigonometrijske jednakosti:
cos(3θ) = cos3 θ − 3 sin2 θ cos θ
sin(3θ) = − sin3 θ + 3 cos2 θ sin θ.
129. (Epicikloida) Neka se jedna kruznica kotrlja oko druge fiksirane kruznice. Proizvoljna tacka Pna kruznici koja se kotrlja tokom svog kretanja opisuje epicikloidu. Neka je fiksna kruznicadata jednacinom x2 + y2 = 4. Neka je poluprecnik kruznice koja se kotrlja 1, a njen centar Cu pocetnom polozaju na mestu (3, 0). Neka su koordinate tacke P u pocetnom polozaju (2, 0).Odrediti parametarsku jednacinu epicikloide koristeci kao parametar ugao θ koji gradi duz OCsa pozitivnim delom x−ose (sa O je obelezen koordinatni pocetak).
13
5 Polarne koordinate
130. Ucrtati tacke date svojim polarnim koordinatama, a zatim odrediti i njihove pravougle koordi-nate: a) (2, 0); b) (2, π); c) (2, π/2); d) (2,−π/2); e) (2, π/4) i f) (2,−π/3).
131. Nacrtati date skupove opisane polarnim koordinatama (r, θ): a) r = 2; b) r ≥ 1; c) 1 ≤ r ≤ 2;d) θ = π/6, 1 ≤ r ≤ 2; e) π/6 ≤ θ ≤ 2π/3, r ≥ 2 i f) 0 ≤ θ ≤ π, r = 1.
132. Za date jednacine u polarnim koordinatama (r, θ) odrediti njihove ekvivalente u pravouglimkoordinatam (x, y) i nacrtati odgovarajuce grafike: a) r cos θ + r sin θ = 1; b) r2 = 1; c) r2 =4r sin θ; d) r2 sin(2θ) = 2; e) r sin θ = ln r + ln(cos θ); f) r = 3 cos θ; g) r = 2 cos θ − sin θ i h)r sin(θ + π/6) = 2.
133. Za date jednacine u pravouglim koordinatam (x, y) odrediti njihove ekvivalente u polarnim
koordinatama (r, θ) i nacrtati odgovarajuce grafike: a) x2+y2 = 4; b) x2−y2 = 1; c) x2
9 + y2
4 = 1i d) y2 = 4x.
134. (Lemniskata) Nacrtati sledece krive u ravni date jednacinama u polarnim koordinatama: a)r2 = cos(2θ); b) r2 = − cos(2θ); c) r2 = 4 sin(2θ) i d) r2 = cos(3θ), θ ∈ [0, 2π], (tacnije za one θza koje je jednakost definisana.)
135. Inverzija u odnosu na kruznicu r = 1, θ ∈ [0, 2π] je preslikavanje koje tacki u polarnim koordi-natama (r, θ) dodeljuje tacku (1/r, θ). Pokazati da se inverzijom jedinicna ravnostrana hiperbola(a = b = 1) slika u lemniskatu.
136. (Limacon) Nacrtati cetiri osnovna oblika limason krive: a) r = 1/2 + cos θ (ovde koristiti da jer ∈ R); b) r = 1− cos θ; c) r = 3/2 + cos θ i d) r = 2 + cos θ.Napomena: Limacon je rec francuskog porekla i oznacava organ cula sluha - kohlea ili puzsmesten u unutrasnjem uvu. Opsti oblik limason krive je r = a± b cos θ ili r = a± b sin θ.
137. Nacrtati sledece oblasti u ravni date nejednakostima u polarnim koordinatama: a) 0 ≤ r ≤2− 2 cos θ i b) 0 ≤ r2 ≤ cos θ.
138. Nacrtati sledece krive u ravni: a) r = cos(θ/2), θ ∈ [−π, π]; b) r = 1 + cos(θ/2), θ ∈ [0, 2π]; c)r = 1 + cos(θ/2), θ ∈ [0, 4π] i d) r2 = | sin θ|, θ ∈ [0, 2π].
139. (Spirale) Nacrtati: a) spiralu: r = θ, θ ≥ 0; b) logaritamsku spiralu: r = eθ, θ ∈ R i c)hiperbolicnu spiralu: r = 1
θ , θ > 0.
140. (Jednacina elipse, parabole i hiperbole u polarnim koordinatama)
(a) Neka se tacka F nalazi u koordinatnom pocetku i neka je data prava d : x = k, k > 0.Pokazati da je jednacinom
r =ek
1 + e cos θ, k > 0,
data: za e ∈ (0, 1) elipsa; za e = 1 parabola; za e > 1 hiperbola ciji je fokus tacka F,odgovarajuca direktrisa je prava d i ekscentricitet je e.
(b) Zadatak pod (a) uraditi za k < 0.
(c) Zadatak pod (a) uraditi ako je direktrisa y = k.
(d) Pokazati da se jednacina elipse, iz zadatka pod (a), moze zapisati i u obliku r = a(1−e2)1+e cos θ ,
jer je k = a(1e − e). Primetiti da se, kada je e = 0, dobija kruznicu r = a sa centrom ukoordinatnom pocetku poluprecnika a.
14
141. Odrediti polarne jednacine konusnih preseka sa jednim fokusom u koordinatnom pocetku, datihekscentricitetom i direktrisom: a) e = 1, x = 2; b) e = 5, y = −6 i c) e = 1
4 , x = −2.
142. Odrediti polarnu jednacinu parabole sa fokusom u (0, 0) i direktrisom r cos(θ − π/2) = 2.
143. Pokazati da je jednacinom r =21
2− cos θdata elipsa u polarnim koordinatama. Odrediti njen
ekscentricitet, polozaj centra i fokusa, kao i polarne jednacine direktrisa.
144. (a) Napisati jednacinu parabole u polarnim koordinatama, ako znamo da joj je, posmatranou pravouglom koordinatnom sistemu, fokus u koordinatnom pocetku a direktrisa oblikax = a.
(b) Inverzija u odnosu na kruznicu r = 1 je preslikavanje koje tacki u polarnim koordinatama(r, θ) dodeljije tacku (1/r, θ). Pokazati da se inverzijom kardioid r = cos2 θ2 slika u parabolu.
(c) Nacrtati dobijene krive.
145. Nacrtati krivu u ravni datu jednacinom u polarnim koordinatama: rm = am cos(mθ), a > 0, iobjasniti crtez, ako jea) m = 1; b) m = −1; c) m = 2; d) m = −2.
146. (a) Neka je data elipsa velike ose a i ekscenticiteta e. Neka je fiksiran jedan od njenih fokusa F.Pokazati da je najmanje rastojanje tacke sa elipse od fokusa F jednako a(1− e) a najvecea(1 + e).
(b) Halejeva kometa se krece oko Sunca po elipticnoj putanji, gde je a = 36.18 astronomskihjedinica i e = 0.97, tako da se Sunce nalazi u jednom od fokusa elipticne putanje. Odreditikoja je najmanja a koja najveca udaljenost Halejeve komete od Sunca.
147. Tri temena pravougaonika imaju koordinate (1, 1), (3, 4) i (1, 7).
(a) Odrediti jednacinu elipse opisane oko tog pravougaonika.
(b) Za jednacinu krive iz primera (a) odrediti njen ekvivalent u polarnim koordinatama.
148. U ravni je data kriva jednacinom u polarnim koordinatama r = a cos θ + b sin θ, θ ∈ [0, 2π),a, b ∈ R \ {0}.
(a) Odrediti koji konusni presek je definisan datom jednacinom i naci njegov ekscentricitet.
(b) Naci jednacine tangenti na datu krivu, za a = 1 i b = 3, koje zaklapaju ugao od 45◦ sapozitivnim delom x−ose.
149. (Kardioid) Neka je data fiksirana kruznica K sa centrom u A(−a, 0) poluprecnika a. Oko njese kotrlja kruznica K′ istog poluprecnika kojoj je u pocetnom momentu centar B u tacki (a, 0).Na kruznici je fiksirana tacka P koja je u pocetnom momentu u koordinatnom pocetku O(0, 0).Odrediti parametarsku jednacinu krive koja opisuje kretanje tacke P u ravni prilikom kotrljanjakruznice K′ oko K. Dobijena kriva je specijalni slucaj epicikloide i naziva se kardioid.Napomena: Ako se koristi parametrizacija r = r(θ), gde su (r, θ) polarne koordinate ravni,posmatrati trapez AOPB i pokazati da je jednakokraki.
150. Neka je data kruznica x2 + y2 = ax, a > 0. Prava p prolazi kroz koordinatni pocetak O i secekruznicu u O i u tacki B. Iz tacke B spustena je normala BC na x-osu, a potom je iz tacke Cpovucena normala CM na p(O,B). Odrediti jednacinu krive (u polarnim koordinatama) kojuopisuje tacka M dok prava p rotira oko koordinatnog pocetka.
15
151. Data je kruznica x2 + y2 = 2ax, a > 0. Prava p prolazi kroz koordinatni pocetak O i secekruznicu u O i u tacki B. Na pravoj p, sa raznih strana tacke B odredene su tacke M i N takoda su duzine BM i BN fiksne duzine b > 0. Odrediti jednacinu krive u polarnim koordinatamakoju opisuju tacke M i N prilikom rotacije prave p oko koordinatnog pocetka.
152. Jednacina
x3 + y3 − 3axy = 0, a > 0, (2)
predstavlja krivu koja se zove Dekartov list (videti sliku).
(a) Naci parametarske jednacine x = f(t) i y = g(t), t ∈X ⊆ R date krive, ako za parametar t vazi t =
y
x, i
odrediti skup X.
(b) Nacrtati Dekartov list tako da deo kojem odgovaraju vrednosti parametra t ∈ (−∞,−1)bude nacrtan isprekidanom, deo t ∈ (−1, 0) punom, a deo t ∈ (0,+∞) podebljanom linijom.
(c) Reparametrizovati Dekartov list (2) parametrom θ ∈ Y ⊆ [0, 2π) koji predstavlja ugao kojivektor polozaja tacke (x, y) zaklapa s pozitivnim delom x-ose, i odrediti skup Y .
(d) Osenciti sektore u koordinatnoj ravni u kojima nema tacaka Dekartovog lista (2).
Napomena: Sektor (ugao) u ravni je skup tacaka (r, θ) takvih da θ ∈ (θ1, θ2), gde su r i θpolarne koordinate.
153. Data je elipsa x = a cos t, y = b sin t, t ∈ [0, 2π), a, b > 0.
(a) Odrediti polarne koordinate r0 i θ0 date tacke A(x0, y0) sa posmatrane elipse, kojoj odgovaravrednost parametra t0 ∈ [0, 2π);Napomena: Podsetimo se, za polarne koordinate r i θ vazi: r ≥ 0 i θ ∈ [0, 2π).
(b) Za koje vrednosti parametra t, ako je a 6= b, vazi t = θ? Koje tacke na elipsi odgovarajudobijenim vrednostima parametra t?
(c) Koja kriva se dobija za a = b? Za koje tacke sa te krive, odnosno vrednosti parametrat ∈ [0, 2π), vazi t = θ?
154. Posmatrajmo parabolu sa fokusom u koordinatnom pocetku i sa temenom u tacki sa polarnim
koordinatama (4,π
4).
(a) Odrediti jednacinu posmatrane parabole u polarnim koordinatama.
(b) Odrediti jednacinu posmatrane parabole u pravouglim koordinatama.
(c) Odrediti jednacinu direktrise i ose simetrije posmatrane parabole.
Napomena: Nakon rotacije koordinatnog sistema xy za ugao α u dobijenom koordinatnomsistemu x′y′ ce vaziti x = x′ cosα − y′ sinα i y = x′ sinα + y′ cosα; dodatno, da bi nestao
mesoviti clan treba da vazi ctg2α =A− CB
. Vazi: sinπ
4= cos
π
4=
√2
2.
16
6 Vektorska algebra
6.1 Vektori u ravni, zbir vektora, mnozenje vektora skalarom
155. Neka su a, b i c proizvoljni vektori i α, β ∈ R. Pokazati:
(a) a+ (b+ c) = (a+ b) + c;
(b) a+ 0 = 0 + a = a;
(c) a+ (−a) = (−a) + a = 0;
(d) a+ b = b+ a;
(e) α(a+ b) = αa+ αb;
(f) α(βa) = (αβ)a;
(g) (α+ β)a = αa+ βa;
(h) 1a = a.
Napomena: Algebarska struktura, odnosno skup nad kojim je definisana operacija sabiranjakao i operacija mnozenja skalarom, a koja zadovoljava gore navedene uslove, se naziva vektorskiprostor.
156. Neka su u ravni date tacke A, B i C koje formiraju trougao. Neka je u = AB i v = AC i nekaje tacka P sredina stranice BC. Izraziti vektor a = AP preko vektora u i v.
157. Izraziti vektor P3P4 ako je tacka P3(1, 3), a tacka P4 je sredina duzi P1P2, gde je P1(2,−1) iP2(−4, 3).
158. Odrediti zbir vektora AB i CD ako je A(1,−1), B(2, 0), C(−1, 3) i D(−2, 2). Nacrtati i odrgo-varajucu sliku u pravouglom koordinatnom sistemu.
159. (a) Za dati vektor AB = 3ı− , ako je tacka A(2, 9), odrediti koordinate tacke B.
(b) Za dati vektor PQ = −6ı− 4, ako je tacka Q(3, 3), odrediti koordinate tacke P.
160. Odrediti jedinicne vektore u ravni koji su kolinearni i jedinicne vektore koji su normalni vektoruu = −ı+ 3.
161. Neka su u ravni dati vektori u = ı− 2, v = 2ı+ 3 i w = ı+ . Izraziti vektor u = v1 +w1, gdeje vektor v1 kolinearan vektoru v a w1 vektoru w.
162. Ptica polece iz svog gnezda i leti 5 km pod uglom od 60◦ severno od pravca istoka, i tu seodmori na drvetu. Zatim leti 10 km u pravcu jugoistoka i sleti na vrh telefonskog stuba. Odreditikoordinate polozaja drveta na kom se ptica odmarala, kao i koordinate polozaja telefonskog stubana kojem se ptica zaustavila ako se gnezdo nalazi u koordinatnom pocetku (jedna koordinatnajedinica odgovara 1 km).
163. Neka su u ravni date tacke P (x1, y1) i Q(x2, y2). Upotrebom vektora odrediti koordinate sredineduzi PQ.
164. Upotrebom vektora pokazati da je srednja linija trougla paralelna odgovarajucoj stranici trouglai da je duplo manje duzine.
165. U trouglu ABC dati su vektori koji odgovaraju tezisnim duzima AD, BE i CF . Naci AD +BE + CF .
17
166. Dokazati upotrebom vektora da su sredista P,Q,R, S stranica AB,BC,CD,DA proizvoljnogcetvorougla ABCD temena paralelograma.
167. Dokazati vektorski da je srednja linija trapeza paralelna njegovim osnovicama, te i da je duzinasrednje linije trapeza jednaka polovini zbira duzina osnovica trapeza.
168. Neka je ABCDEF konveksan sestougao takav da je AB ‖ DE i neka su K i L sredista duziodredenih sredistima preostalih parova naspramnih stranica. Dokazati da je K ≡ L ako i samoako je AB = ED.
169. Dokazati koriscenjem vektora da se dijagonale paralelograma polove.
170. Tacke P i Q su sredista stranica BC i CD, redom, paralelograma ABCD. Prikazati vektore BCi CD pomocu vektora AP i AQ.
171. Neka su tacke S i T sredista dijagonala AC i BD cetvorougla ABCD. Dokazati da je 2ST =AB + CD = AD + CB.
172. Dat je pravilni sestougao ABCDEF . Neka je M sredina duzi BC, N sredina duzi DE, a Psredina duzi AN . Izraziti vektor PM preko vektora a = AB i b = AF .
173. U ravni postoje dva linearno nezavisna (nekolinearna) vektora. Dokazati.
6.2 Vektori u prostoru, zbir vektora, mnozenje vektora skalarom
174. Izraziti vektor u = 9ı− 2+ 6k kao proizvod njegovog intenziteta i vektora pravca.
175. Odrediti vektor intenziteta 7 u pravcu vektora a = 12ı− 5k.
176. Odrediti vektor duzine 5 u smeru suprotnom od vektora b = 2ı− 3+ 6k.
177. Neka su u prostoru date tacke P (x1, y1, z1) iQ(x2, y2, z2). Upotrebom vektora odrediti koordinatesredine duzi PQ.
178. Neka su date tacke P1(1, 4, 5) i P2(4,−2, 7). Odrediti vektor P1P2, udaljenost tacaka P1 i P2 ikoordinate sredista duzi P1P2.
179. Neka je AB = ı+ 4− 2k. Odrediti koordinate tacke A, ako je B(5, 1, 3).
180. Odrediti udaljenost tacke P (x, y, z) od y−ose i od yz−ravni.
181. Odrediti vektor polozaja tezista trougla sa temenima A(1,−1, 2), B(2, 1, 3) i C(−1, 2,−1).
182. Pokazati da su vektori (1, 0, 1), (1, 1, 0) i (1, 0, 0) linearno nezavisni (dakle, mogu zameniti bazuı, i k), zatim izraziti vektor (2, 3, 4) preko datih vektora.
183. Neka su A,B,C,D cetiri proizvoljne tacke u prostoru i neka je α ∈ R. Ako je M tacka na pravojp(A,C) takva da je AM = αAC, a N tacka na pravoj p(B,D) takva da je BN = αBD, dokazatida je MN = αCD + (1− α)AB.
18
6.3 Skalarni proizvod vektora
184. Neka su dati vektori a = 2ı− 4+√
5k i b = −2ı+ 4−√
5k. Odrediti a · b, |a|, |b| i ugao izmeduvektora a i b. Zatim odrediti i projab kao i skalarnu komponentu projekcije vektora b na vektora.
185. Napisati vektor b = 3+ 4k kao sumu vektora paralelnog sa a = ı+ i normalnog na a.
186. Ako je a · b = 5, |b| = 2 i x vektor kolinearan sa a + b takav da je x · b = 18, odrediti cemu jejednak vektor x?
187. Dati su vektori a = (2, 1, 1), b = (1, 1,−2) i c = (−2, 2,−5). Naci vektor x, ako je x · a = 3,x · c = −1 i x ⊥ b.
188. Dati su vektori v = (1, 2, 3), u = (t, 1,−1) i w = (−1, 0, 1). Naci parametar t ∈ R tako da vektoriv + tu i w budu ortogonalni.
189. Dokazati nejednakost trougla: |u+ v| ≤ |u|+ |v|.
190. Dokazati Kosi-Svarcovu nejednakost: |u · v| ≤ |u||v|. Zatim, ispitati pod kojim uslovima vazijednakost.
191. Dokazati zakon paralelograma: |u+ v|2 + |u− v|2 = 2|u|2 + 2|v|2.
192. Osenciti u ravni oblast kojoj pripadaju tacke (x, y) tako da je (xı+ y) · v ≤ 0, za dati vektor vu ravni.
193. Da li za skalarni proizvod vazi zakon skracivanja, tj. da li iz a · b1 = a · b2 i a 6= 0 sledi b1 = b2?
194. Neka su u1 i u2 medusobno normalni vektori. Ako je v = au1 + bu2, odrediti a, b ∈ R.
195. Dati su vektori u = (4, 5) i v = (5,−4).
(a) Da li su u i v ortogonalni vektori?
(b) Ako je w = au+ bv odrediti a i b.
196. Koriscenjem vektora i skalarnog proizvoda vektora dokazati kosinusnu teoremu: c2 = a2 + b2 −2ab cos θ, gde su a, b i c stranice trougla, a θ ugao izmedu stranica a i b.
197. Pokazati pomocu vektora da su dijagonale paralelograma normalne ako i samo ako je taj par-alelogram romb.
198. Koriscenjem vektora pokazati da dijagonale paralelograma polove njegove unutrasnje uglove akoi samo ako je taj paralelogram romb.
199. Odrediti vektor koji polovi ugao izmedu vektora a i b.
200. Pokazati da se visine trougla seku u jednoj tacki.
201. Neka su A,B,C i D proizvoljne tacke u prostoru. Pokazati da je tada AB · CD + AC ·DB +AD ·BC = 0.
202. (Uglovi pravca) Uglovi pravca α, β i γ vektora v = aı + b + ck se definisu kao uglovi izmeduvektora v i pozitivnog dela x−, y− i z−ose, redom (α, β, γ ∈ [0, π]). Pokazati da je
cosα =a
|v|, cosβ =
b
|v|, cos γ =
c
|v|,
kao i da ako je v jedinicni vektor onda je v = cosαı+ cosβ+ cos γk.
19
203. Odrediti koliki se rad izvrsi da bi se telo pomerilo iz koordinatnog pocetka do tacke (1, 1, 1), akoga pomera sila F = 5k.
204. Koliki rad izvrsimo (izraziti u J = mN) dok vucemo sanduk 20 metara duz pristanista, ako gavucemo silom od 200 N pod uglom od 30◦ od pravca kretanja sanduka.
205. (a) Pokazati da je vektor v = aı+ b normalan na pravu ax+ by = c.
(b) Pokazati da je vektor v = aı+ b paralelan sa pravom bx− ay = c.
Napomena: Koristiti koeficijente pravaca vektora i prave.
206. (a) Odrediti pravu normalnu vektoru v = ı + 2, koja prolazi kroz tacku P (2, 1). Nacrtatiodgovarajuci crtez.
(b) Odrediti pravu paralelnu vektoru v = ı − , koja prolazi kroz tacku P (−2, 1). Nacrtatiodgovarajuci crtez.
207. Odrediti ostar ugao koji grade prave 3x+ y = 5 i 2x− y = 4.
208. Odrediti parametar p ∈ R tako da vektor a = (2p, 1, 1 − p) gradi jednake uglove sa vektorimab = (−1, 3, 0) i c = (5,−1, 8).
209. Odrediti ugao koji obrazuju dijagonale paralelograma konstruisanog nad vektorima a = 2ı+−ki b = ı− 3+ k.
210. Odrediti ugao izmedu vektora a i b, ako se zna da je vektor a+ 3b normalan na vektor 7a− 5b,a vektor a− 4b normalan na vektor 7a− 2b.
211. Neka su dati vektori a i b.
(a) Odrediti |a+ b| i |a− b| ako je |a| =√
3, zatim |b| = 1 i ](a, b) = π6 .
(b) Odrediti kakav je ugao izmedu vektora a i b, ako se zna da je:1) |a+ b| = |a− b|; 2) |a+ b| > |a− b|; 3) |a+ b| < |a− b|,i obrazloziti odgovor.
Napomena: Moze se koristiti Kosinusna teorema: u trouglu u kom su stranice obelezenesa x, y i z vazi |z|2 = |x|2 + |y|2 − 2|x||y| cos](x, y).
212. Dati su vektori x i y takvi da je |x+ y| = 5 a |x− y| = 3. Izracunati x · y.
213. Dati su vektori a = m+ 3n, b = 7m− 5n, c = m− 4n i d = 7m− 2n, pri cemu su m i n jedinicnivektori, a ⊥ b i c ⊥ d. Odrediti ugao izmedu vektora m i n.
6.4 Vektorski i mesoviti proizvod vektora
214. Odrediti a× b i b× a, ako je a) a = 2ı− 2− k i b = ı− k; b) a = ı+ − k i b = 0; c) a = ı× ib = × k.
215. Nacrtati u koordinatnom sistemu i odrediti a × b i b × a, ako je a) a = 2ı − i b = ı + 2; b)a = ı− k i b = .
216. Odrediti povrsinu trougla cija su temena P,Q i R, kao i jedinicnu normalu na ravan r(P,Q,R),ako je P (−2, 2, 0), Q(0, 1,−1) i R(−1, 2,−2).
217. Odrediti formulu za racunanje povrsine trougla sa temenima u xy−ravni datih sa (0, 0), (a1, a2)i (b1, b2).
20
218. Odrediti povrsinu paralelograma smestenog u xy−ravni cija su temena (−1, 2), (2, 0), (7, 1) i(4, 3).
219. Neka je a = 5ı − + k, b = − 5k i c = −15ı + 3 − 3k. Da li su neki od navedenih vektoramedusobno paralelni ili normalni?
220. Neka su vektori e1 i e2 medusobno nekolinearni i neka je a = 3e1 + 2e2 i b = e1 − e2. Odreditivektor a × b pomocu vektora e1 i e2. Odrediti zatim i |a × b| ako je |e1| = 3, |e2| = 2 i ugaoizmedu vektora e1 i e2 je π
6 .
221. Da li za vektorski proizvod vazi zakon skracivanja, tj. da li iz a × b1 = a × b2 i a 6= 0 sledib1 = b2?
222. Da li iz a · b1 = a · b2 i a× b1 = a× b2 za a 6= 0 sledi b1 = b2?
223. Da li iz a1 × c = b1 i a2 × c = b2 sledi a1 · b2 + a2 · b1 = 0?
224. Odrediti vektor x u prostoru, ako se zna da je normalan na vektore a = (4,−2,−3) i b = (0, 1, 3),ako je |x| = 26 i ako sa pozitivnim delom y−ose gradi ostar ugao.
225. Odrediti moment sile M, kao i njen intenzitet, koji nastaje dejstvom sile F, jacine |F | = 120N,koja deluje pod uglom od 135◦ u odnosu na polugu duzine |r| = 20cm.
226. Odrediti mesoviti proizvod (a×b)·c, kao i zapreminu paralelepipeda odredenog datim vektorima,ako je a = ı+ − 2k, b = −ı− k i c = 2ı+ 4− 2k.
227. Izracunati mesoviti proizvod vektora a, b i c, ako je vektor c normalan na vektore a i b i vazi daje |a| = 6, |b| = 3, |c| = 3 i ](a, b) = π
6 .
228. Koristeci se samo skalarnim i vektorskim proizvodom od datih vektora a, b i c konstruisati: a)vektor normalan na vektore a× b i a× c; b) vektor normalan na vektore a+ b i a− b; c) vektorduzine |a| u pravcu vektora b i d) povrsinu paralelograma odredenog vektorima a i c.
229. Dokazati da vazi: (a× b)× (b× c) = ((a× b) · c)b.
230. Pokazati za vazi: (x× y)× z = (x · z)y − (y · z)x.
231. Dokazati Jakobijev identitet: (x× y)× z + (y × z)× x+ (z × x)× y = 0.
232. Dokazati Lagranzov identitet: (x× y) · (z × t) = (x · z)(y · t)− (y · z)(x · t).
21
7 Jednacine prave i ravni u prostoru
233. Odrediti prametarsku jednacinu prave koja prolazi:
(a) kroz tacku P (3,−4,−1) i paralelna je vektoru v = ı+ + k;
(b) kroz tacke P (1, 2,−1) i Q(−1, 0, 1);
(c) kroz koordinatni pocetak i paralelna je vektoru v = 2+ k;
(d) kroz tacku P (3,−2, 1) i paralelna je pravoj x = 1 + 2t, y = 2− t, z = 3t;
(e) kroz tacku P (2, 4, 5) i normalna je na ravan 3x+ 7y − 5y = 21;
(f) kroz tacku P (2, 3, 0) i normalna je na vektore u = ı+ 2+ 3k i v = 3ı+ 4+ 5k;
(g) z−osom.
234. Odrediti parametrizaciju duzi koja spaja tacke P (0, 2, 0) i Q(3, 0, 0).
235. Odrediti jednacinu ravni koja:
(a) prolazi kroz tacku P (0, 2,−1) i normalna je na vektor n = 3ı− 2− k;
(b) prolazi kroz tacku P (1,−1, 3) i paralelna je ravni 2x+ y + z = 7;
(c) prolazi kroz tacke P (1, 1,−1), Q(2, 0, 2) i R(0,−2, 1);
(d) prolazi kroz tacku P (2, 4, 5) i normalna je na pravu x = 5 + t, y = 1 + 3t, z = 4t;
(e) koja je odredena pravama x = 2t+1, y = 3t+2, z = 4t+3 i x = s+2, y = 2s+4, z = −4s−1i odrediti tacku preseka datih pravih;
(f) kroz tacku P (2, 1,−1) i normalna je na pravu u preseku ravi 2x+y−z = 3 i x+2y+z = 2;
(g) prolazi kroz tacke P (1, 2, 3) i Q(3, 2, 1) i normalna je na ravan 4x− y + 2z = 7;
(h) koja sadrzi pravu x−25 = y−3
1 = z+12 i normalna je na ravan x+ 4y − 3z = 0.
236. Da li je prava x = 1−2t, y = 2+5t, z = −3t paralelna ravni 2x+y−z = 8? Objasniti odgovor.
237. Odrediti udaljenost tacke P (2, 1,−1) od prave x = 2t, y = 1 + 2t, z = 2t.
238. Odrediti udaljenost tacke P (2, 2, 3) od ravni 2x+ y + 2z = 4.
239. Odrediti udaljenost izmedu ravni x+ 2y + 6z = 1 i x+ 2y + 6z = 10.
240. Odrediti udaljenost izmedu prave x = 2 + t, y = 1 + t, z = −12 −
12 t i ravni x+ 2y + 6z = 10.
241. Odrediti ugao izmedu ravni x+ y = 1 i 2x+ y − 2z = 2.
242. Odrediti tacku preseka prave x = 1− t, y = 3t, z = 1 + t i ravni 2x− y + 3z = 6.
243. Odrediti jednacinu prave u preseku ravni 3x− 6y − 2z = 3 i 2x+ y − 2z = 2.
244. Odrediti presek prave x = 1 + 2t, y = −1− t, z = 3t sa koordinatnim ravnima.
245. Neka su date tri prave x = 3+2t, y = −1+4t, z = 2−t, zatim x = 1+4s, y = 1+2s, z = −3+4si x = 3 + 2r, y = 2 + r, z = −2 + 2r. Odrediti koje dve od njih su paralelna, koje normalne akoje mimoilazne.
246. Odrediti jednacinu simetralne ravni duzi AB gde je A(a1, a2, a3) i B(b1, b2, b3).
247. Odrediti simetralnu ravan duzi AB, gde je A(5, 2,−7) i B(−9, 8, 15).
22
248. Odrediti tacku B simetricnu tacki A(a1, a2, a3) u odnosu na ravan Ax+By + Cz +D = 0.
249. Odrediti tacku A′ simetricnu tacki A(2, 7, 1) u odnosu na ravan x− 4y + z + 7 = 0.
250. Odrediti jednacinu prave kroz tacku A(1, 2, 3) koja sece i normalna je na pravu x−23 = y
−4 = z+12 .
251. Odrediti tacku koja je simetricna tacki P (−1,−2, 1) u odnosu na pravu l :x
−2=y − 3
4=z − 4
1kao i projekciju tacke P na pravu l.
252. Data je prava x−6a = y−b
−1 = z−10 i ravan x+y−2z = 2. Odrediti parametre a, b ∈ R tako da data
prava pripada datoj ravni.
253. Neka je data prava p kao presek ravni x− 2y + z − 1 = 0 i 2x+ y − z − 3 = 0 i prava q data sax−42 = y−3
1 = z−2m . Odrediti parametar m tako da se prave p i q seku.
254. Date su prave p :x− 1
3=y − 2
m=
z
−1i q :
x+ 3
1=y + 1
3=z − 3
−2. Naci vrednost parametra
m tako da prave p i q pripadaju istoj ravni α.
255. Neka je prava p presek ravni x+ y − z = 6 i 2x− y + 3z = 5. Neka je prava q data jednacinom2x− 3
4=
2 + 3y
3=z − 2
2. Odrediti u kom medjusobnom polozaju se nalaze prave p i q.
256. Odrediti jednacinu prave koja sece prave x−12 = y+3
4 = z−53 i x5 = y−2
−1 = z+12 i prolazi kroz tacku
(4, 0,−1).
257. Odrediti jednacinu prave koja sece pravu p : x = 2, y = t, z = 2t + 6, t ∈ R i pravu
q :x− 8
2=y + 1
3=z − 8
1i sadrzi tacku A(1, 2, 3).
258. Neka je prava p data kao presek ravni x+ z+ 2 = 0 i 2x− y+ 1 = 0; a prava q kao preseku ravni5x+ 4z + 3 = 0 i 2x+ y + 3z = 0.
(a) Pokazati da se prave p i q seku i odrediti tacku S u njihovom preseku.
(b) Odrediti jednacinu ravni koju odreduju prave p i q.
259. Neka je prava p data sax+ 1
1=y
1=z − 1
2; a prava q sa
x
1=y + 1
3=z − 2
4.
(a) Pokazati da su prave p i q mimoilazne.
(b) Odrediti rastojanje izmedu pravih p i q.
Napomena: Ako je P proizvoljna tacka sa prave p, a Q sa prave q, onda je rastojanje izmedupravih p i q, u oznaci d(p, q) = |proj nPQ|, gde je n zajednicka normala pravih p i q.
260. Date su prave p :x+ 2
3=y − 1
−2=z − 2
1i q :
x
−2=y + 2
4=z + 1
3.
(a) Ispitati uzajamni odnos pravih p i q;
(b) Napisati jednacinu ravni α koja sadrzi pravu p i paralelna je pravoj q.
261. Data je ravan α : 2x+ 3y − z = 1 i prava p : x−31 = y−3
2 = z1 . Odrediti projekciju p′ prave p na
ravan α. Zatim odrediti tacku prave p′ koja je najbliza koordinatnom pocetku.
262. Odrediti jednacinu normalne projekcije prave u preseku ravni x−4y+2z−5 = 0 i 3x+y−z+2 = 0na ravan 2x+ 3y + z − 6 = 0.
23
263. Neka su date ravan α : 5x − y + 2z = 3 i prava p :x− 1
2=
y
−2=z + 1
1. Odrediti jednacinu
prave q koja sadrzi koordinatni pocetak i presecnu tacku T prave p i ravni α.
264. Odrediti parametar a ∈ R tako da prava p :x− 1
2=y − 1
3=z − 3
abude paralelna ravni α :
x− 2y + z − 5 = 0 i naci njihovo rastojanje.
265. Data je ravan α : 5x− y + 2z − 3 = 0 i prava p :x− 1
2=
y
−2=z + 1
1.
(a) Odrediti jednacinu prave q koja sadrzi koordinatni pocetak i presecnu tacku T prave p iravni α.
(b) Odrediti jednacinu ravni β koja sadrzi pravu p i normalna je na ravan α.
266. Data je ravan α : 2x− y + 3z + 1 = 0 i prava p :x− 2
3=y
2=z − 1
−2. Odrediti jednacinu ravni
β koja sadrzi pravu p i normalna je na ravan α.
267. U prostoru su date tacke A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) i D(0, 0, 4). Ravan α sadrzi tacke A,B,C,a ravan β tacke A,B,D.
(a) Odrediti ugao izmedu ravni α i β.
(b) Odrediti zapreminu tetraedra ABCO.
268. Neka je data ravan α koja je normalna na jedinicni vektor n i sadrzi tacku A. Neka je sa rAobelezen vektor polozaja tacke A; odnosno rA = OA, gde je O koordinatni pocetak. U zavisnostiod vektora n i rA izraziti vektore polozaja rB, rC i rD temena B,C i D kvadrata ABCD kojipripada ravni α ako se zna da je teme C tacka ravni α najbliza koordinatnom pocetku.
269. Neka je data ravan α koja je normalna na jedinicni vektor n, sadrzi tacku Q i nije normalna naz−osu. Neka je sa rQ obelezen vektor polozaja tacke Q; odnosno rQ = OQ, gde je O koordinatnipocetak. Neka je data i tacka A sa svojim vektorom polozaja rA, koja ne pripada ravni α. Uzavisnosti od vektora n, rQ i rA izraziti vektore polozaja rB, rC i rD temena B,C i D kvadrataABCD koji je takav da je AB ⊥ α, B ∈ α i stranica BC je paralelna sa xy−ravni.
270. Odrediti temena A,B i C kvadrata OABC, gde je sa O obelezen koordinatni pocetak, ako sezna da temena A i B pripadaju pravoj p : x = −9 + 8t, y = −9 + t, z = 4t, zatim rA ⊥ p iAB · (8, 1, 4) > 0. Napomenimo da je sa rA obelezen vektor polozaja tacke A, odnosno rA = OA.
24
8 Cilindri i kvadratne povrsi
271. Nacrtati sledece cilindre: a) x2 + z2 = 4; b) z = y2 − 1; c) 4x2 + y2 = 36 i d) yz = 1.
272. Nacrtati sledece kvadratne povrsi:
(a) elipsoide 9x2 + 4y2 + 36z2 = 36 i 4x2 + 4y2 + z2 = 16;
(b) paraboloide z = 18− x2 − 9y2 i z = x2 + 9y2;
(c) konuse y2 + z2 = x2 i 9x2 + 4y2 = 36z2;
(d) hiperboloide 9y2 + 4z2 − 9x2 = 36 i y2 − x2 − 4z2 = 4;
(e) hiperbolicne paraboloide y2 − x2 = z i x2 − y2 = z.
273. Nacrtati sledece povrsi:
(a) x2 + y2 + z2 = 4;
(b) z = 1 + y2 − x2;(c) y2 − z2 = 4;
(d) y = −(x2 + z2);
(e) z2 − 4x2 − 4y2 = 4;
(f) z = x2 − y2 − 1;
(g) 9x2 + 16y2 = 4z2.
274. Posmatrajmo bure koje je postavljeno uspravno (duz z−ose) u pravouglom koordinatnom sis-temu. Bure je oblika elipsoida i to tako da su linije nivoa paralelne xy−ravni kruznice. Najvecakruznica je poluprecnika R i koordinatni pocetak je smesten u centar te kruznice (dakle, nalazise u ravni z = 0). Baze bureta (dno i poklopac) su takode kruznice poluprecnika r < R i nalazese u ravnima z = h i z = −h. Odrediti jednacinu povrsi koja odreduje zid datog bureta. Stadobijamo ako je r = R?
275. Presek hiperbolicnog paraboloida y2
b2− x2
a2= z
c i ravni y = y1 je parabola. Odrediti joj teme ifokus.
276. (a) Proveriti da li svaki put kada presecemo kvadratne povrsi ravnima paralelnim koordinatnimravnima dobijamo kvadratne krive (konusne preseke).
(b) Proveriti sta se dobija kada presecemo kvadratnu povrs proizvoljnom ravni u prostoru.
277. (Stereografska projekcija) Neka je data centrirana jedinicna sfera i neka je sa N obelezen njenseverni pol N(0, 0, 1). Odrediti projekcije tacaka sfere (izuzev tacke N) iz severnog pola N naxy−ravan.
278. Dokazati da kroz svaku tacku jednodelnog hiperboloida x2
a2+ y2
b2− z2
c2= 1 prolaze dve prave koje
citave pripadaju tom hiperboloidu.
25
9 Cilindricne i sferne koordinate
279. Date jednacine i nejednacine u pravouglim koordinatama prebaciti u cilindricne i sferne koordi-nate i odrediti koje povrsi su njima odredene:
(a) z = −2;
(b) x2 + y2 = 5;
(c) z =√x2 + y2, z ≤ 1;
(d) x2 + y2 + (z − 12)2 = 1
4 ;
(e) x2 + y2 + (z − 1)2 = 1, z ≤ 1.
280. Date jednacine i nejednacine u cilindricnim koordinatama prebaciti u pravougle i sferne koordi-nate i odrediti koje povrsi su njima odredene:
(a) r = 0;
(b) z = 0;
(c) r2 + z2 = 4, z ≤ −√
2;
(d) z = 4− 4r2, 0 ≤ r ≤ 1;
(e) z = 4− r, 0 ≤ r ≤ 4;
(f) z + r2 cos(2θ) = 0;
(g) z2 − r2 = 1.
281. Date jednacine i nejednacine u sfernim koordinatama prebaciti u pravougle i cilindricne koordi-nate i odrediti koje povrsi su njima odredene:
(a) ρ sinφ cos θ = 0;
(b) tg2φ = 1;
(c) ρ = 3, π3 ≤ φ ≤
2π3 ;
(d) φ = π2 , 0 ≤ ρ ≤
√7.
282. Odrediti pravougle koordinate centra sfere date:
(a) cilindricnim koordinatama r2 + z2 = 4r cos θ + 6r sin θ + 2z;
(b) sfernim koordinatama ρ = 2 sinφ(cos θ − 2 sin θ).
283. Odrediti skup u prostoru koji zadovoljava sledece jednacine u cilindricnim koordinatama:a) r = −2 sin θ i b) r = 1− cos θ.
284. Odrediti skup u prostoru koji zadovoljava sledece jednacine u sfernim koordinatama:a) ρ = 1− cosφ i b) ρ = 1 + cosφ.
285. (Ravan u cilindricnim i sfernim koordinatama)
(a) Pokazati da ravan cija je jednacina z = c, c 6= 0 data u pravouglim i cilindricnim koordi-natama, u sfernim koordinatama ima jednacinu ρ = c
cosφ .
(b) Odrediti jednacinu xy−ravni u sfernim koordinatama.
(c) Pokazati da ravni normalne na x−osu u cilindricnim koordinatama zadovoljavaju jednacinur = a
cos θ .
26
(d) Pokazati da ravni normalne na y−osu u cilindricnim koordinatama zadovoljavaju jednacinur = b
sin θ .
(e) Odrediti jednacinu oblika r = f(θ) u cilindricnim koordinatama za ravan ax+by = c, c 6= 0.
286. Naci jednacinu oblika ρ = f(φ) u sfernim koordinatama koja opisuje cilindar x2 + y2 = a2.
287. (Simetrije)
(a) Koju simetriju nosi povrs data jednacinom r = f(z) u cilindricnim koordinatama?
(b) Koju simetriju nosi povrs data jednacinom ρ = f(φ) u sfernim koordinatama?
288. (Torus) Torus je povrs koja nastaje rotacijom kruznice date u yz−ravni, poluprecnika b, sacentrom u tacki (0, a, 0), a > b > 0, oko z−ose. Odrediti jednacninu torusa koristeci redom:pravougle, cilindricne. te sferne koordinate.
289. Odrediti jednacinu torusa u pravouglim koordinatama koji nastaje rotacijom kruznice u yz−ravni, sa centrom u (0, 2, 0) poluprecnika 1, oko z−ose.
290. U prostoru je data povrs jednacinom u cilindricnim koordinatama:1) r − z = 5, 5 ≥ z ≥ 0; i 2) r = 4 cos θ, z ≥ 0.
(a) Odrediti jednacinu date povrsi u pravouglim koordinatama.
(b) Nacrtati datu povrs.
(c) Odrediti jednacinu date povrsi u sfernim koordinatama.
291. U prostoru je data povrs jednacinom u sfernim koordinatama ρ = cosφ (isti zadatak uraditi iza ρ = 1− cosφ.)
(a) Datu povrs izraziti u pravouglim koordinatama.
(b) Datu povrs izraziti u cilindricnim koordinatama.
(c) Nacrtati datu povrs.
292. U yz−ravni je data kriva y = z2 + 1. Rotacijom ove krive oko z−ose dobija se povrs u prostoru.
(a) Odrediti jednacinu dobijene povrsi u pravouglim koordinatama.
(b) Odrediti jednacinu dobijene povrsi u cilindricnim i sfernim koordinatama.
293. (a) Datu jednacinu z2 − 3x2 − 3y2 = 0 u pravouglim koordinatama prebaciti u cilindricne isferne koordinate i odrediti koja povrs je odredjena tom jednacinom.
(b) Datu jednacinu z2+r2 cos 2θ = 1 u cilindricnim koordinatama prebaciti u pravougle i sfernekoordinate i odrediti koja povrs je odredjena tom jednacinom.
294. U prostoru je data povrs jednacinom u sfernim koordinatama ρ sinφ = 2.
(a) Napisati jednacinu date povrsi u pravouglim i cilindricnim koordinatama.
(b) Odrediti presek date povrsi sa yz−ravni.
295. U prostoru je data povrs jednacinom u sfernim koordinatama: ρ cosφ+ ρ2 sin2 φ = 1.
(a) Odrediti jednacinu date povrsi u pravouglim koordinatama.
(b) Nacrtati datu povrs.
(c) Odrediti jednacinu date povrsi u cilindricnim koordinatama.
27
