ANALITIČKA GEOMETRIJA REPETITORIJ Prva tri reda su sadržaj tablica formula na maturi (i to je sve o pravcu)

PRAVAC: Jednadžba pravca ... y – y1 = k(x – x1), k =

Kut između dvaju pravaca ...

Udaljenost točke T(x1,y1) i pravca p ... Ax + By + C = 0

MOJE: Dobro nauči nacrtati pravac u koordinatnom sustavu.Ax + By + C = 0 – implicitni oblik jednadžbe pravca Nauči prijelazy = kx + l – eksplicitni '' '' '' iz jednog oblika

= 1 – segmentni '' '' '' u drugi

Iz Ax + By + C = 0, k = – A/B koeficijent smjera (k = tg) l = – C/B odsječak na osi yx = x1, y = y1 pravci paralelni s koordinatnim osimax = 0, y = 0 koordinatne osiJednadžbe pravca y – y1 = k(x – x1) kroz jednu točku sa zadanim kooficijentom smjera

kroz dvije točke uz uvjet x1 x2

Točka pripada pravcu akko zadovoljava jednadžbu pravca ( ili akko njene ...)Kut dvaju pravaca je manji od dva kuta što ga oni zatvaraju, a računa se po

formuli ili sl. 1.

Ako je nazivnik jednak nuli tg = = 90o = /2Uvjet paralelnosti i okomitosti k1 = k2 k1 k2 = –1 k2 = –1/k1

A1B2 = A2B1 A1A2 + B1B2 = 0

Sjecište dvaju pravaca određujemo grafički ili računski ...

Udaljenost točke T(x1,y1) od pravca dana je formulom

ili

Udaljenost paralelnih pravaca određujemo tako da odaberemo bilo koju točku na jednom pa odredimo njezinu udaljenost od drugog ili korištenjem formule

sl. 2.

Simetrala kuta = pazi dvije su sl. 3.

KRUŽNICA središte S(p,q) polumjer r

Jednadžba (x – p)2 + (y – q)2 = r2

Tangenta u točki krivulje (x1,y1) ... (x1 – p)(x – p) + (y1 – q)(y – q) = r2

Uvjet dodira pravca y = kx + l i kružnice ... r 2 (1 + k 2 ) = (kp – q + l ) 2

MOJE: Dobro ju nauči skicirati u koordinatnom sustavu

Kružnica (x – p)2 + (y – q)2 = r2 sa središtem u točki S(p,q) polum. r sl. 1.

x2 + y2 = r2 centralna kružnica sl. 2.x2 + y2 + ax + by + c = 0; opća jednadžba kružnicex2 + y2 – 2px – 2qy + c = 0, r2 = p2 + q2 – c '' '' ''

Koncentrične kružnice su .... sl.3.

Presjek pravca i kružnice određujemo rješavanjem sustava koji se sastoji od jednadžbe pravca i jedn. kružnice (sustav linearne i kvadratne jedn.), a rješava se tako da se iz linearne izrazi jedna nepoznania pomoću druge pa se uvrsti u kvadratnu koja postaje kvadratna s jednom nepoznanicom ... sl. 4.

Uvjet dodira: r2(1 + k2) = (kp – q + l)2 ili r2(1 + k2) = l2

Uvjet sječenja: r2(1 + k2) > (kp – q + l)2

Tangenta i normala u točki D(x1,y1) na kružnici t ... (x1 – p)(x – p) + (y1 – q)(y – q) = r2 jednadžba tangente

n ... jednadžba normale sl. 5.

Jednadžbe tangenti iz točke T(xo,yo) izvan kružnice nalazimo tako da riješimo sustav yo = kxo + l i r2(1 + k2) = (kp – q + l)2 po nepoznanicma k i lt1 ... y = k1x + l 1 t2 ... y = k2x + l 2

Kut pod kojim se iz neke točke vidi kružnica je kut između tangenata iz te točke na kružnicu. sl. 6.

Kut između pravca i kružnice je kut između pravca i tangente kojoj je diralište točka sjecišta pravca i kružnice. sl. 7.

ELIPSA:Fokusi F1,2( e, 0)

Jednadžba , e2 = a2 – b2

Jednadžba tangente u točki (x1,y1) elipse

Uvjet dodira pravca y = kx + l i elipse a 2 k 2 + b 2 = l 2

MOJE: Dobro ju nauči skicirati u koordinatnom sustavu

segmentni oblik jednadžbe elipse

b2x2 + a2y2 = a2b2 kanonski (opći) oblik jedn. elipse e2 = a2 – b2 linearni ekscentricitet za a > b e2 = b2 – a2 linearni ekscentricitet za a < b

numerički ekscentricitet, uvijek je < 1

fokusni poluparametar sl. 1.

Uvjet dodira pravca y = kx + l i elipse b2x2 + a2y2 = a2b2 je a2k2 + b2 = l 2

Diralište

Uvjet sječenja a2k2 + b2 > l 2

Tangenta i normala u točki D(x1,y1) na elipsi

t ... n ... y – y1 = sl. 2.

Jednadžbe tangenti iz točke T(xo,yo) izvan elipse nalazimo rješavajući sustav (vidi kružnica) yo = kxo + l i a2k2 + b2 = l 2 po nepoznanicama k i l.

Kut pod kojim se iz neke točke vidi elipsa je kut između tangenata iz te točke na elipsu. sl. 3.

Zajedničke tangente kružnice i elipse nalazimo rješavajući sustavr2(1 + k2) = (kp – q + l)2 i a2k2 + b2 = l 2 po nepoznanicama k i l

Kut između pravca i elipse je kut između pravca i tangente kojoj je diralište točka sjecišta pravca i elipse. sl. 4.

Kut između kružnice i elipse u njihovu sjecištu je kut pod kojim se sijeku njihove tangente u toj točki. sl. 5.

Ako se kružnica i elipsa dodiruju kut između njih iznosi 0o sl. 6.Tj. ako se dvije krivulje dodiruju kut između njih iznosi 00

HIPERBOLA:Fokusi F1,2( e, 0)

Jednadžba , e2= a2 + b2 Asimptote

Jednadžba tangente u točki (x1,y1) hiperbole

Uvjet dodira pravca y = kx + l i hiperbole a 2 k 2 – b 2 = l 2

MOJE: Dobro ju nauči je skicirati u koordinatnom sustavu

segmentni oblik jednadžbe hiperbole

b2x2 – a2y2 = a2b2 kanonski (opći) oblik jedn. hiperb. e2 = a2 + b2 linearni ekscentricitet

numerički ekscentricitet, uvijek je > 1

fokusni poluparametar sl. 1.

Uvjet dodira pravca y = kx + l i hiper. b2x2 – a2y2 = a2b2 je a2k2 – b2 = l 2

Diralište

Uvjet sječenja a2k2 – b2 > l 2

Tangenta i normala u točki D(x1,y1) na hiperboli

t ... , n ... y – y1 = sl. 2.

Jednadžbe tangenti iz točke T(xo,yo) izvan hiperbole nalazimo rješavajući sus. (vidi kružnica) yo = kxo + l i a2k2 – b2 = l 2 po nepoznanicama k i l.

Kut pod kojim se iz neke točke vidi hiperbola je kut između tangenata iz te točke na hiperbolu. sl. 3.

Zajedničke tangente I. kružnice i hiperbole nalazimo rješavajući sustavr2(1 + k2) = (kp – q + l)2 i a2k2 – b2 = l 2 po nepoznanicama k i l.

II. elipse i hierbole nalazimo rješavajući sustava2k2 + b2 = l 2 i a2k2 – b2 = l 2 po k i l. sl. 4.

Kut između pravca i hiperbole je kut između pravca i tangente kojoj je diralište točka sjecišta pravca i hiperbole. sl. 5.

Kut između kružnice i hiperbole u njihovu sjecištu je kut pod kojim se sijeku njihove tangente u toj točki. sl. 6.Parabola Fokus F(p/2, 0)Jednadžba y2 = 2px

Tangenta u točki (x1,y1) parabole y1y = p(x + x1)Uvjet dodira pravca y = kx + l i parabole p = 2kl MOJE : Dobro ju nauči skicirati u koordinatnom sustavuJednadžba y2 = 2px ; fokus f(p/2,0) sl. 1.Jednadžba y2 = – 2px ; fokus f(– p/2,0) sl. 2.Uvjet dodira pravca y = kx + l i parabole y2 = 2px je p = 2kl

Diralište

Uvjet sječenja p > 2k l

Tangenta i normala u točki D(x1,y1) na paraboli

t ... y1y = p(x + x1) , n ... y – y1 = sl. 3.

Jednadžbe tangenti iz točke T(xo,yo) izvan parabole nalazimo rješavajući sustav (vidi kržunica) yo = kxo + l i p = 2k l po neponanicama k i l.

Kut pod kojim se iz neke točke vidi parabola je kut između tangenata iz te točke na parabolu. sl. 4.

Zajedničke tangente I. kružnice i parabole nalazimo rješavajući sustavr2(1 + k2) = (kp – q + l)2 i p = 2k l po nepoznanicama k i l.

II. elipse i parabole nalazimo rješavajući sustava2k2 + b2 = l 2 i p = 2k l po nepoznanicama k i l.

III. hiperbole i parabole nalazimo rješavajući sustava2k2 – b2 = l 2 i p = 2k l po nepoznanicama k i l.

Kut između pravca i parabole je kut između pravca i tangente kojoj je diralište točka sjecišta pravca i parabole. sl. 5.

Kut između kružnice i parabole u njihovu sjecištu je kut pod kojim se sijeku njihove tangente u toj točki. sl. 6.

Kut između elipse i parabole u njihovu sjecištu je kut pod kojim se sijeku njihove tangente u toj točki. sl. 7.

Kut između hiperbole i parabole u njihovu sjecištu kut je pod kojim se ...