Formule za izračunavanje koeficijenata prijelaza topline I. Boras, S. Švaić 16/71

S VE UČ I L I Š T E U ZAGRE B U FAKUL T E T S T RO J AR S T V A I B RO DO GRA DNJ E

L a b o r a t o r i j z a t o p l i n u i t o p l i n s k e u ređa j e I . L u č i ć a 5 , 1 0 0 0 0 Z a g r e b T e l . : ( 0 1 ) 6 1 6 8 2 2 2 , F a x . : ( 0 1 ) 6 1 5 6 9 4 0

1.5.0 PRISILNA KONVEKCIJA UNUTAR CILINDRIČNIH CIJEVI I KANALA Budući da brzina varira po poprečnom presjeku struje, za unutrašnja je strujanja nužno raditi sa srednjom vrijednošću brzine wm. Ova je brzina definirana tako da kada se pomnoži sa gustoćom tekućine i površinom poprečnog presjeka cijevi daje vrijednost masenog protoka tekućine kroz cijev:

cmm Awq ⋅⋅= ρ Za stacionarno, nekompresibilno strujanje u cijevi jednolikog poprečnog presjeka, qm i wm su konstante neovisne o x. Reynoldsov broj za cijev kružnog poprečnog presjeka ima oblik:

ηπ ⋅⋅⋅

=Dq

Re mD

4

Ako se protočna masa izrazi preko integrala masenog toka (ρ w), preko poprečnog presjeka:

( ) cA

m dAxrwqc

∫ ⋅= ,ρ

slijedi da za nekompresibilno strujanje u cijevi kružnog poprečnog presjeka vrijedi:

( )( ) ( ) drrxrw

rdrrxrw

rA

dAxrw

woo

c

r

o

r

oc

Ac

m ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅

⋅

= ∫∫∫

02

02 ,2,2

,

πρρπ

ρ

ρ

Gornji se izraz može upotrijebiti za određivanje wm na bilo kojoj lokaciji x, poznavanjem profila brzina w(r) na toj poziciji. Laminarno strujanje Analitički izrazi za prijelaz topline za prisilnu laminarnu konvekciju u cijevi su prilično kompleksni, usljed brojnih efekata zaletne staze (temperaturne i hidrodinamičke) te temperaturne ovisnosti svojstava tekućine. Nusselt je pokazao da za potpuno razvijeno laminarno strujanje s konstantnom temperaturom površine vrijedi :

66.3=⋅

=λ

α dNu D (50)

Za cijevi koje su toliko dugačke da se zaletna staza može zanemariti za prosječni se Nusseltov broj preko duljine cijevi može uzeti 3.66 sa svojstvima tekućine odabranim za srednju temperaturu između temperatura ulaza i izlaza struje tekućine.

Formule za iI. Boras, S. Š

S VE UČ I L I Š T E U ZAGRE B U FAKUL T E T S T RO J AR S T V A I B RO DO GRA DNJ E

L a b o r a t o r i j z a t o p l i n u i t o p l i n s k e u ređa j e I . L u č i ć a 5 , 1 0 0 0 0 Z a g r e b T e l . : ( 0 1 ) 6 1 6 8 2 2 2 , F a x . : ( 0 1 ) 6 1 5 6 9 4 0

Hausen je razvio poluempirijsku relaciju za toplinski potpuno razvijeno strujanje :

( )

( )[ ] 3/2/4.01/0668.0

66.3PrReLD

PrReLDNu

D

DD

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅+= (51)

pri čemu je obuhvaćen efekt duljine cijevi. Ova jednadžba daje prosječnu vrijednost α preko duljine cijevi, a svojstva se biraju za srednju temperaturu tekućine između temperature na ulazu i temperature na izlazu. Međutim, jednadžba pretpostavlja da je strujanje potpuno hidrodinamički razvijeno prije ulaza u cijev, te stoga općenito nije primjenjiva. Preporučuje se korelacija koju su razvili Sieger i Tate, a koja uključuje i toplinsku i hidrodinamičku zaletnu stazu:

14.0

86.1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

sDD PrRe

LDNu

ηη

(52)

Ova jednadOgraničenjene može upoje to slučaj s Turbulentn Za potpuno sa svojstvimvrijednost bl

pri čemu je: f = 0.316⋅Ref = 0.184⋅Re Kako je rela

0.48 < Pr <16700 (D/L)⋅ReD⋅Pr > 10 svojstva tekućine birati za srednju temperaturu glavnine tekućineηs za temperaturu ϑs

zračunavanje koeficijenata prijelaza topline vaić 17/71

žba daje prosječnu vrijednost α, koji se može primjeniti na cijev duljine L. (D/L)⋅ReD⋅Pr > 10 ustanovljuje što se misli pod pojmom kratka cijev. Jednadžba se trijebiti za ekstremno dugačke cijevi jer ne daje točnu asimptotsku vrijednost, kako jednadžbom Hausena.

o strujanje

razvijeno turbulentno strujanje u cijevima može se koristiti von Karmanova relacija a procijenjenim za temperaturu glavnine fluida, sve dotle dok Pr značajka ima izu jedinice (1).

( )

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++−⋅⋅+

⋅⋅=

1651ln18/51

8/

PrPrf

PrRefNu D

D (53)

104/1−D

4 < ReD < 5⋅104

3⋅105/1−D

4 < ReD < 106

cija prilično zamršena za uporabu Colburn je predložio nešto jednostavnije:

103/175.00395.0 PrReNu DD ⋅⋅= 4 < ReD < 5⋅104 (54)

Formule za iI. Boras, S. Š

S VE UČ I L I Š T E U ZAGRE B U FAKUL T E T S T RO J AR S T V A I B RO DO GRA DNJ E

L a b o r a t o r i j z a t o p l i n u i t o p l i n s k e u ređa j e I . L u č i ć a 5 , 1 0 0 0 0 Z a g r e b T e l . : ( 0 1 ) 6 1 6 8 2 2 2 , F a x . : ( 0 1 ) 6 1 5 6 9 4 0

3⋅10PrReNu DD ⋅⋅= 8.0023.0 4 < ReD < 106 (55)

Varijanta goprimjenjiva Za slučaj kaveće od gore

Prethodne jeMeđutim, onkoja se dobr

pri čemu je:

0.7 < Pr < 160 Re > 10000 L/D > 60 glatke cijevi kratke cijevi, radi ublažavanja temperaturnih razlika svojstva tekućine birati za srednju temperaturu glavnine tekućine

rnje jednadžbe koja po dijelovima računa s promjenjivim svojstvima fluida je široko Dittus-Boelter jednadžba:

(56) nDD PrReNu ⋅⋅= 8.0023.0

n = 0.4 za ϑs > ϑb

n = 0.3 za ϑs< ϑb0.7 < Pr < 160 104 < ReD < 106

⎢ ϑs − ϑb ⎢ < 6oC za kapljevine ⎢ ϑs − ϑb ⎢ < 60oC za plinove svojstva tekućine za temperaturu ϑbpodručje primjene kao u prethodnoj jednadžbi

da su razlike između temperatura stijenke (ϑs) i temperature glavnine tekućine (ϑb) navedenih, preporučuje se jednadžba Siedera i Tate:

14.03/18.0027.0 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅=

sDD PrReNu

ηη

(57)

0.7 < Pr < 16700 104 < ReD < 106

glatke cijevi svojstva tekućine birati za temperaturu ϑb

ηs za temperaturu ϑs

zračunavanje koeficijenata prijelaza topline vaić 18/71

dnadžbe nude siguran i jednostavan proračun uz uvjet da je poznata temperatura ϑs. a može uključivati i greške do 20%. Petukhov je predložio puno točniju jednadžbu

o slaže s rezultatima brojnih autora:

( )( ) ( )

n

s

DD Prf

PrRefNu ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅⋅+

⋅⋅=

ηη

18/7.1207.18/

3/2 (58)

Formule za iI. Boras, S. Š

S VE UČ I L I Š T E U ZAGRE B U FAKUL T E T S T RO J AR S T V A I B RO DO GRA DNJ E

L a b o r a t o r i j z a t o p l i n u i t o p l i n s k e u ređa j e I . L u č i ć a 5 , 1 0 0 0 0 Z a g r e b T e l . : ( 0 1 ) 6 1 6 8 2 2 2 , F a x . : ( 0 1 ) 6 1 5 6 9 4 0

f = (1.82 ⋅ log10ReD − 1.64)-2

n = 0.11 za kapljevine, ϑs >ϑb

n = 0.25 za kapljevine, ϑs < ϑbn = 0 za jednolik toplinski tok na stijenci ili za plinove

U ovoj se jediz MoodyjevJednadžbe (zaletne stazjednadžbe dKako se temduljinu cijevizmeđu tempZa kraće citurbulentnu kraća nego z Temeljem epribližno pro

Notter i Slkorištenjem hidrodinami

0.5 < Pr < 200 za 6 % točnost 200 < Pr < 2000 za 10 % točnost 104 < ReD < 5⋅106

0 < η/ηs < 40 svojstva tekućine birati za temperaturu ϑb izuzev µs za temperaturu ϑs

nadžbi preporuka za izbor f odnosi na glatke cijevi. Za hrapave cijevi f treba pronaći a dijagrama. *) i (**) pretpostavljaju da je strujanje potpuno razvijeno, odnosno da je utjecaj e zanemariv. Njih zato treba primjenjivati samo uz uvjet da je L/D ≥ 60. Ove aju lokalnu vrijednost α ukoliko se temelje na lokalnoj temperaturi struje tekućine. peratura tekućine mijenja strujanjem kroz cijev, za prosječnu vrijednost α za zadanu i općenito je prikladnije gornje relacije temeljiti na srednjoj temperaturi tekućine erature tekućine na ulazu u cijev i temperature tekućine na izlazu.

jevi u račun je nužno uvesti utjecaj zaletne staze. Kako je ranije naglašeno, za zaletnu stazu ne postoji puno informacija, osim općeg mišljenja da je obično puno a slučaj laminarnog strujanja.

ksperimentalnih podataka za L/D Nusselt zaključuje da je α u ovom području porcionalan (D/L)1/8 te za kratke cijevi preporučuje sljedeći izraz:

181

3/18.0036.0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅=

LDPrReuN DD (59)

10 < L/D < 400 L je duljina mjerena od početka područja izmjene toplinesvojstva za temperaturu ϑb

zračunavanje koeficijenata prijelaza topline vaić 19/71

eicher su Nusseltov broj odredili teorijski iz rješenja energijske jednedžbe, prikladnog profila brzina za turbulentno područje. Rezultirajući Nusseltov broj za čki i toplinski potpuno razvijeno strujanje je:

(60) ba PrReNu ⋅⋅+= 016,05

Formule za iI. Boras, S. Š

S VE UČ I L I Š T E U ZAGRE B U FAKUL T E T S T RO J AR S T V A I B RO DO GRA DNJ E

L a b o r a t o r i j z a t o p l i n u i t o p l i n s k e u ređa j e I . L u č i ć a 5 , 1 0 0 0 0 Z a g r e b T e l . : ( 0 1 ) 6 1 6 8 2 2 2 , F a x . : ( 0 1 ) 6 1 5 6 9 4 0

Pr

a+

−=4

24,088,0 (61)

(62) Preb ⋅−⋅+= 6,05,033,0 Ova jednadžPrandtlova b

0.1 < Pr < 104

104 < Re < 106

L/D > 25 svojstva tekućine birati za temperaturu ϑb

zračunavanje koeficijenata prijelaza topline vaić 20/71

ba pokazuje dobro slaganje s rezultatima pokusa, te daje točnu raspodjelu utjecaja roja. Zato ima prednost pred prethodno navedenom jednadžbom.