Upload
newton
View
98
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss 1998. gada rudenī. 2. daļa. Figūras. Figūru vienādojumi: Priekšvārds. Figūras analītiskajā ģeometrijā apraksta ar tajās ietilpstošo punktu koordinātēm. Punktu koordinātes var apmierināt kādu - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Analītiskā ģeometrijaDatorikas nodaļas 2. kurss
1998. gada rudenī
2. daļa. Figūras
Figūru vienādojumi: PriekšvārdsFigūras analītiskajā ģeometrijā apraksta ar tajās ietilpstošo punktu koordinātēm. Punktu koordinātes var apmierināt kādu vienādojumu F(x,y)=0, šis vienādojums var būt atrisināts pretx vai y, vai arī abas koordinātes var būt izteiktas ar parametriem.Ģeometrisko figūru īpašības un attiecības aizstāj figūru vienādojumi un to attiecības. Vienādojumus var būt ērti pētītar algebriskām metodēm, jo tad nav jārūpējas par katrastarprezultāta ģeometrisko jēgu. Pēc vienādojuma izskata izšķir 1. un 2. kārtas algebriskās līnijas un virsmas: taišņu un plakņu vienādojumiemir 1. kārta, bet, piemēram, elipses, parabolas un hiperbolas vienādojumiem ir 2. kārta. Šīs figūras jāpēta nevis tādēļ, ka tāsir “vajadzīgākās”, bet tādēļ, ka citas ar tik vienkāršām metodēm nevar izpētīt: Pazudušais naudasmaks jāmeklē tur, kur ir gaišāks.
Problēma: Aprakstīt taisni, kas iet caur punktu vektora virzienā.
Izvēlamies kādu citu punktu M’ uz taisnes. Vektors ir kolineārs , tātad kādam
MM 0atMM 0
Punkta rādiusvektoru apzīmējam ar Tad - taisnes parametriskais vienādojums.
Koordinātu formā:
z
y
x
tazz
tayy
taxx
0
0
0
a)( 00 rM
a
O
)( 0 ar tM
0MRt
a
arr t 0
M .r
Taisnes parametriskais v-ms
Izslēdzam parametru no taisnes parametriskā vienādojuma.Iegūstam:
zyx a
zz
a
yy
a
xx 000
Taisnes 3D kanoniskais vienādojums.
yx a
yy
a
xx 00
Taisnes 2D kanoniskais vienādojums.
Piezīme: Ja, piemēram, (taisne paralēla plaknei ), prasām, lai kanoniskajā vienādojumā . Analoģiski, ja vai .
t
0xa YOZ0xx
0za0ya
Taisnes kanoniskais v-ms
Problēma: Doti divi punkti un 2D vai 3D telpā; aprakstīt taisni kas iet caur tiem.
)( 00 rM
Reducējam problēmu uz parametrisko vienādojumu ar virziena vektoru
),,( 1111 zyxr)( 010 rrrr t
Kanoniskajā formā
kur ),,( 0000 zyxr un ).,,( 1111 zyxr
01
0
01
0
01
0
zz
zz
yy
yy
xx
xx
0M
0r 1r
1M
)( 11 rM
O
Taisne caur 2 punktiem
Kanoniskais vienādojums 2D taisnei, kas iet caur punktiem un :),( 000 yxM ),( 111 yxM
01
0
01
0
yy
yy
xx
xx
Izvairāmies no speciālgadījumiem vai :01 xx 01 yy
0))(())(( 010010 xxyyyyxxPārrakstām kā determinantu:
00101
00
yyxx
yyxx
2D taisne ar determinantu
Determinants0101
00
yyxx
yyxx
izsaka pseidoskalāro
reizinājumu , ),( 000 yxM ),( yxM ),( 111 yxMkur , , .
100 ^ MMMM
1M
0M
M
S 100 ^21
MMMMS
Trijstūra
MMM 10
laukums ir
(ar pretēju zīmi, jadoti pulksteņa rādītāju kustības virzienā).
MMM 10
Nav brīnums, ka atrodas uz taisnes tikai tad, ja determinants ir .
M0
Taisnes vienādojums un trijstūra laukums
Savelkot locekļus, kas satur un vienādojumā
00101
00
yyxx
yyxx
x y
, iegūstam
0)()()()( 0101001001 xxyyyxxxyyyx
01 yyA 10 xxB
)()( 010100 xxyyyxC Apzīmējam , ,
Taisnes virziena vektors ),( 0101 yyxx un vektors),(),( 1001 xxyyBA ir ortogonāli -
pārbaude ar skalāro reizinājumu,
2D Taisnes vispārīgais vienādojums
Problēma: Dots vektors un skaitlis ; aprakstīttaisni, kas perpendikulāra normāles vektoram un atrodas attālumā no koordinātu sākumpunkta
O
Izvēlamies punktu uz taisnes.Tā rādiusvektora r proekcija uz vektora ir .
Tātad - taisnes normālais vienādojums.Koordinātu formā: 0 dynxn yx
Mr
nd
M
dnr
dnr
0d
d
,1, nnn
n
2D taisnes normālais v-ms
Vispārīgais vienādojums atgādina normālo: ,tikai ir papildprasība:
Vispārīgo vienādojumu izdalot ar , t.i.vektora garumu, tas kļūst par normālo:
jeb , kur
Arī ir taisnes normāles vektors, tikai nav nonormēts.
0 CBxAx0 dynxn yx
.122 yx nnn22 BA
0222222
BA
Cy
BA
Bx
BA
A
dyx ),(n222222
,,BA
Cd
BA
B
BA
An
),( BA
),( BA
Taisnes vispārīgais un normālais v-mi
Problēma: Dota taisne, kas nav paralēla nevienai no koordinātuasīm, neiet caur sākumpunktu; atrast tās vispārīgovienādojumu pēc grafika vai grafiku pēc vispārīgāvienādojuma.
x
Ja taisne uz asīm un atšķeļnogriežņus un , tad tāsvienādojums ir:
(to apmierina punkti un ,tādeļ arī citi punkti uz taisnes)
Otrādi: taisne ar vienādojumu
atšķeļ uz asīm nogriežņus un
y
a
b
0 CBxAx
C
Aa
C
Bb
)0,(a ),0( b
yx
a b
1b
y
a
x
Taisnes v-ms asu nogriežņos
Problēma:
u
)( 0rMAprakstīt plakni, kas iet caur punktu un ir
.v
'M0M
vu
Izvēlamies kādu citu punktu 'M
šajā plaknē. Tad '0MM izsakās ar
u un v :
vu tsMM '0
Tādēļ 'M rādiusvektors
vurr 0 ts
Tas ir plaknes parametriskais vienādojums ar diviem
parametriem ., Rts
.
paralēla vektoriem un
Plaknes parametriskais v-ms
Problēma: Aprakstīt plakni, kas iet caur punktiem
0M
2M
1Mu
v
0r
O
Problēmu var pārrakstīt kā
parametrisko vienādojumu
virzienu vektoriem 01 rru un :02 rrv
).()( 02010 rrrrrr ts
)(),(),( 221100 rrr MMM
Plakne caur 3 punktiem
Lai punkts )(rM atrastos vienā plaknē ar
)(),(),( 221100 rrr MMM vajag lai vektori 2010 , MMMM
un MM 0būtu komplanāri, t.i. jauktais reizinājums
0
020202
010101
000
02010
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
MMMMMM
1M
M2M
0M Vispārīgā gadījumā šis deteminantsir seškārtīgs tetraedra MMMM 210
tilpums (ar + vai - zīmi atkarībā no vektoruorientācijas).
Plakne caur 3 punktiem ar determinantu
Savelkot determinanta 0
020202
010101
000
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
izteiksmē koeficientus pie zyx ,, iegūsim
0 DCzByAx plaknes vispārīgais vienādojums.
Vektors ),,( CBA ir perpindikulārs plaknes virziena vektoriem
),,( 010101 zzyyxx u un ),,( 020202 zzyyxx v , tādēļ
tas perpendikulārs pašai plaknei.
Plaknes vispārīgais vienādojums
Problēma: Aprakstīt plakni, kas perpendikulāra normāles vektoram un atrodas attālumā no koordinātu sākumpunkta.
n )1( n
Atliekam vektoru no koordinātu sākumpunkta , un patvaļīgam plaknes punktam , projicējam
uz . Projekcijas garums
ir
n
OMn n
dnr
nr
-plaknes normāles vienādojums.
d
OM
d
O
M
Plaknes normālais vienādojums
Vispārīgajā vienādojumā vektors
arī ir normāles vektors, tikai nav normēts. Pārrakstām vispārīgo vienādojumu:
, kur . Izdalām abas puses
ar Iegūstam
Tas ir normālais vienādojums,
ja apzīmē un .
:222 CBA a ar
a
a D dnr
a
Dd
a
an
),,( CBAa
0 DCzByAx
Dar ),,( zyxr
Plaknes vispārīgais un normālais v-mi
Problēma: Aprakstīt plakni, kas nav paralēla koordinātu asīm un neiet caur koordinātu sākumpunktu, ja dots tās grafiks. Otrādi: atrast grafiku no vispārīgā vienādojuma.
Ja plakne iet caur punktiem
tad tās vienādojums ir 1c
z
b
y
a
x
Otrādi: ja dots vispārīgais plaknes vienādojums: , to
pārraksta , kur1
zD
Cy
D
Bx
D
A
D
C
D
B
D
A ,, ir nogriežņi, ko plakne atšķeļ uz asīm.
),,0,0(),0,,0(),0,0,( cba
0 DCzByAx
x
c
ba
z
y
Plaknes v-ms asu nogriežņos
Ja un nav kolineāri, tad
abas plaknes ar šiem normāles vektoriem nav paralēlas, t. i. tās krustojas pa taisni.
Šīs taisnes vektors ir perpendikulārs gan , gan tādēļ var izvēlēties
Ja, piemēram, tad var atrisināt sistēmu
tādejādi atrodot punktu uz taisnes .
Gadījumi vai ir analoģiski.
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA ),,( 1111 CBAn),,( 2222 CBAn
2n1na
),,(
222
111
321
21 zyx aaa
CBA
CBA eee
nna
0xa
0
0
222
111
DzCyB
DzCyB
0r arr t 00
0ya 0za
1n
2n
a
Taisnes uzdošana ar divām plaknēm
D Elipse ir figūra, ko kādā ortonormētā koordinātu sistēmā apraksta vienādojums
12
2
2
2
b
y
a
x Elipses kanoniskais vienādojums
ba, sauc par elipses pusasīm; izvēlamies .ba
x
y
b
a
Ja ),( yx pieder elipsei, tad arī),( yx ),( yx ),( yx , un
pieder elipsei. Tādēļ elipse ir simetriska pret abām asīm un koordinātu sākumpunktu
Elipses jēdziens
Elipsei 12
2
2
2
b
y
a
xapzīmējam
22 bac
– fokusu pusattālums.
Punktus )0,(1 cF un )0,(2 cF sauc par elipses
fokusiem. Ja ba (elipse ir rinķis), abi fokusi sakrīt.
x
y
1F 2F
M T (Elipses fokālā īpašība)
Punkts ),( yxM piederelipsei tad un tikai tad, ja
.221 aMFMF
Elipses fokālā īpašība - I
Pierādīsim, ka elipses punktam ),( yxM izpildās
xa
caMF 1 un x
a
caMF 2 . Iegūstam
.)(2
)(22
)1()()(
2222
2
2222
222
2
2222
2
22222
1
xa
caax
a
caax
a
cx
a
c
bccxxa
bax
a
bbccxx
a
xbcxycxMF
Tā, kā elipses punktiem ax un ac , tad
xa
caMF 1 . Izteiksmi x
a
caMF 2 pierāda analoģiski.
Elipses fokālā īpašība - II
D Skaitlia
c sauc par elipses ekscentritāti.
Elipsei )1,0[ , riņķa līnijai 0
D Taisnesa
x
un sauc par elipses
12
2
2
2
b
y
a
x direktrisēm. Riņķa līnijai tās nav definētas.
x
y T (Elipses direktoriālā īpašība)Katram elipses punktamattālumu attiecība līdzfokusam un atbilstošajaidirektrisei vienāda ar .
1F 2Fa
a
.
a
x
MiF
id
Elipses direktoriālā īpašība - II
Aplūkosim fokusu un atbilstošo direktrisi)0,(1 cF
1d ar vienādojumu a
x
Kā redzējām iepriekš, patvaļīgam punktam ),( yxM.1 xax
a
caMF
uz elipses
Attālums no M līdz vertikālajai taisnei
ir1d .1 a
xMd Iegūstam .1
1
xa
xa
Md
MF
Otram fokusam un direktrisei pierādījums ir analoģisks.
Elipses direktoriālā īpašība - II
T Patvaļīgā elipses punktā vilkta pieskare veido vienādus leņķus ar nogriežņiem un kas to savieno ar elipses fokusiem.
1MF 2MF
Ja elipses iekšējā virsma atstaro gaismu
un vienā fokusā ir gaismas avots, tad visi
stari fokusējas otrā fokusā.
1F 2F
M
M
Elipses optiskā īpašība
Parabola ir figūra, ko kādā ortonormētā koordinātu sistēmā apraksta vienādojums:
pxy 22
D
(parabolas kanoniskais vienādojums)
0p sauc par parabolas parametru.
Ja ),( yx
),( yx pieder parabolai, tad arī
pieder parabolai.
abscisu asi.Tādēļ parabola ir simetriska pret
x
y
Parabolas kanoniskais v-ms
Parabolai punktu sauc par
fokusu, bet taisni par direktrisi.
pxy 22 D
2
px
(Parabolas direktoriālā īpašība).
xMKatram parabolas punktam tā
ir vienādi (t.i.,to attiecîba ir 1, ko var
attālumi līdz fokusam un direktrisei
0,2
pF
yd
F
T
uzskatît par parabolas ekscentritāti).
Parabolas direktoriālā īpašība - I
Pierādīsim, ka patvalīgam parabolās punktamizpildas
),( yxM.
2x
pMF
px
ppxxpx
pxy
pxMF 2
42
22
22
22
2
224
222 p
xp
xp
pxx
Tā kā visiem parabolas punkiem , tad Viegli redzēt, ka arī attālums no līdz vertikālai taisnei ir
0x 2
pxMF
),( yxM
2
px
2
px
Parabolas direktoriālā īpašība - II
y
T
F
Patvalīgā parabolas punktā vilkta pieskare veido vienādusleņķus ar nogriezni un parabolas simetrijas asi ( asi).Ja parabolas iekšējā virsma atstaro gaismu un tās fokusā ir gaismas avots, tad pēc atstarošanās visi stari ir paralēli parabolas asij.
x
A
M
MMF
Parabolas optiskā īpašība - I
Funkcijai punktā vilktajai pieskarei ir vienādojums Ja parabolas punkts atrodas virs ass, tad funkcijas vienādojums
un atvasinājumsTātad pieskares vienādojums ir jeb , jebjebPieskare krusto asi punktā . Attālums no turienes līdz fokusam ir t.i. tāds pat kā . Tātad ir vienādsānu trijstūris.
)(xfy ),( 000 yxM))((' 000 xxxfyy
),( 000 yxM
pxy 2
y
p
px
py
22
2
)( 00
0 xxy
pyy
)( 0200 xxpyyy )(2 000 xxppxyy
)( 00 xxpyy
0xx 02
xp
x
MFx
AMF
Parabolas optiskā īpašība - II
Ja pieder hiperbolai, tad arī
pieder hiperbolai.Tādeļ tā ir simetriska pret koordinātu asīm un koordinātu sākumpunktu
Hiperbola ir figūra, ko ko kādā ortonormētā koordinātu
sistēmā apraksta vienādojums
1x
2
2
2
2
b
y
a
),( yx),(),,(),,( yxyxyx
Hiperbolas kanoniskais vienādojums
D
ab
Hiperbolas kanoniskais v-ms
Hiperbolai apzīmējam b
y
a
x1
2
2
2
2
22 bac - fokusu pusattālums
Punktus 0 1 c,F 0 2 c,Fun sauc par hiperbolas fokusiem.
(Hiperbolas fokālā īpašība)
Punkts pieder hiperbolai tad un tikai tad, ja
aMFMF 221
Izteiksmei ir dažādas zīmes uz dažādiem hiperbolas zariem.
21 MFMF
1F 2F
MT
M
Hiperbolas fokālā īpašība - I
Pierādīsim, ka hiperbolas punktam ),( yxM attālums
x
a
caMF1
un
x
a
caMF2 ,
kur “+” zīme ir labajam hiperbolas zaram, bet “-” zīme - kreisajam.
.
22
1
2
222
222
2
222
2
22222
1
xa
caax
a
c
acxxa
cbx
a
bccxx
a
xbcxycxMF
Izteiksme modulī ir pozitīva labajam zaram un negtīva krejsajam.
2MF izteiksmi pierāda analoģiski.
Hiperbolas fokālā īpašība - II
Skaitli a
cε sauc par hiperbolas ekscentritāti.
Hiperbolai 1ε Taisnes
a
x
una
x sauc par
hiperbolas 12
2
2
2
b
y
a
xdirektrisēm.
(Hiperbolas direktoriālā īpašība)
Katram hiperbolas punktam attālumu attiecība līdz fokusam
un atbilstošajai direktrisei
vienāda ar . (Pierāda līdzīgi kā elipsei.)
iF id
ε1F 2F
1d 2d
x
y
D
T
D
M
Hiperbolas direktoriālā īpašība
T
Ja kāda hiperbolas zara iekšējā virsma atstaro gaismu un atbilstošajā fokusā ir gaismas avots, tad pēc atstarošanas izskatās, ka gaisma nāk no otra fokusa.
Patvaļīgā hiperbolas punktā M vilkta pieskare veido vienādus leņķus ar nogriežņiem, kas to savieno ar elipses fokusiem. (Bez pierādījuma.)
Hiperbolas optiskā īpašība
12
2
2
2
b
y
a
x
y
x
v
u
22
22
22
22
.22
1
2
2
2
2 222 a
yxyxyxuv
,2
2
u
av
Ja , tad hiperbolu
sauc par vienādsānu hiperbolu. No koordinātēm pārejam uz citām koordinātēm ar pagriezienu par :
Tad vienādojumu var pārrakstīt sekojoši:
Tātad t.i. hiperbola ir apgrieztās proporcionalitātes grafiks.
ba
),( yx),( vu
222 ayx
Vienādsānu hiperbola
4
sin
cos
y
x
2
2
2
1
1cos
1
2sin
t
t
t
t
.2
tgt
1
1
x
y
O
),( yxM
),[
Punktu M(x,y) uz vienības riņķa līnijas x2 + y2 = 1 var izteikt ar trigonometriskajām funkcijām no leņķa , ko OM veido ar x asi.
Apzīmējam: TadUniversālā trigometriskā substitūcija
Riņķa līnijas parametrizācija
2
2
2
1
2
1
1
t
ty
t
tx x
yt
1
2
tg
2
ttg 22
2 1x
L O
M ),( yxM
Šī parametrizācija neapraksta punktu L(-1,0), kas arī atrodas uz riņķa līnijas, jo tam
nav definēts.
Katram citam punktam M(x,y) uz vienības riņķa, parametrs t ir puse no KM, kur M ir taisnes LM un x = 1 krustpunkts.
, pie kamRt
K
Riņķa racionālā parametrizācija
Ir Pitagora trijnieks, ja ir vesaliskaitļi, un .
Punkts atrodas uz vienības riņķa līnijas
, jo
Punktam atbilst racionāla parametra vērtība, jo un un ir racionāli.
D ZYX ,, ZYX ,,222 ZYX
Z
Y
Z
XM ,
122 yx .12
2
2
2
Z
Y
Z
X
x
yt
1x y
Pitagora trijnieki - I
M t
Ja , kur un ir vesali skaitļi, tadq
pt p q
222
22
22
2
2
2
1
2
1
1
pq
qp
t
t
Z
Y
pq
pq
t
t
Z
X
Pitagora trijnieki - II
Tātad varam izvēlēties
22
22
2
pqZ
qpY
pqX
T Vienādojumam nav atrisinājumu veselos skaitļos, ja ir naturāls un (Bez pierādījuma).Vienādojumam toties ir bezgalīgi daudz atrisinājumu:
Piemēram, kad (t.i. un ),
iegūstam atrisinājumu (3,4,5).
Kad , iegūstam (5,12,13).
nnn ZYX n 2n
222 ZYX
.,2,,, 2222 pqqppqZYX
2
1t 2q 1p
3
2t
Fermā teorēma
yxM ,
Aplūkojam vienādsānu hiperbolu .Punkts atrodas uz hiperbolas.Apzīmējam laukumu, ko ierobežo ass, un hiperbolas zars ar .
122 yx yxM ,
xOM
T
sh
ch
y
x
2sh
2ch
ee
ee
1shch 22
Hiperboliskās funkcijas
RViegli pārliecināties, ka katram ir spēkā
Katram hiperbolas punktam ir spēkā sakarības:
O x
y
kur
(hiperboliskaiskosinuss)(hiperboliskaissinuss)
Aplūkojam funkciju un ieviešam parametru
. Tad
, kur
Šī sistēma apraksta visus punktus uz hiperbolas labā zara.
ch
shth
2tht
1
2sh
1
1ch
2
2
2
t
ty
t
tx
1,1-t
122 yx
Vienādsānu hiperbolas parametrizācija