43
Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss 1998. gada rudenī 2. daļa. Figūras

Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss 1998. gada rudenī

  • Upload
    newton

  • View
    98

  • Download
    0

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss 1998. gada rudenī. 2. daļa. Figūras. Figūru vienādojumi: Priekšvārds. Figūras analītiskajā ģeometrijā apraksta ar tajās ietilpstošo punktu koordinātēm. Punktu koordinātes var apmierināt kādu - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Page 1: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Analītiskā ģeometrijaDatorikas nodaļas 2. kurss

1998. gada rudenī

2. daļa. Figūras

Page 2: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Figūru vienādojumi: PriekšvārdsFigūras analītiskajā ģeometrijā apraksta ar tajās ietilpstošo punktu koordinātēm. Punktu koordinātes var apmierināt kādu vienādojumu F(x,y)=0, šis vienādojums var būt atrisināts pretx vai y, vai arī abas koordinātes var būt izteiktas ar parametriem.Ģeometrisko figūru īpašības un attiecības aizstāj figūru vienādojumi un to attiecības. Vienādojumus var būt ērti pētītar algebriskām metodēm, jo tad nav jārūpējas par katrastarprezultāta ģeometrisko jēgu. Pēc vienādojuma izskata izšķir 1. un 2. kārtas algebriskās līnijas un virsmas: taišņu un plakņu vienādojumiemir 1. kārta, bet, piemēram, elipses, parabolas un hiperbolas vienādojumiem ir 2. kārta. Šīs figūras jāpēta nevis tādēļ, ka tāsir “vajadzīgākās”, bet tādēļ, ka citas ar tik vienkāršām metodēm nevar izpētīt: Pazudušais naudasmaks jāmeklē tur, kur ir gaišāks.

Page 3: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Problēma: Aprakstīt taisni, kas iet caur punktu vektora virzienā.

Izvēlamies kādu citu punktu M’ uz taisnes. Vektors ir kolineārs , tātad kādam

MM 0atMM 0

Punkta rādiusvektoru apzīmējam ar Tad - taisnes parametriskais vienādojums.

Koordinātu formā:

z

y

x

tazz

tayy

taxx

0

0

0

a)( 00 rM

a

O

)( 0 ar tM

0MRt

a

arr t 0

M .r

Taisnes parametriskais v-ms

Page 4: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Izslēdzam parametru no taisnes parametriskā vienādojuma.Iegūstam:

zyx a

zz

a

yy

a

xx 000

Taisnes 3D kanoniskais vienādojums.

yx a

yy

a

xx 00

Taisnes 2D kanoniskais vienādojums.

Piezīme: Ja, piemēram, (taisne paralēla plaknei ), prasām, lai kanoniskajā vienādojumā . Analoģiski, ja vai .

t

0xa YOZ0xx

0za0ya

Taisnes kanoniskais v-ms

Page 5: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Problēma: Doti divi punkti un 2D vai 3D telpā; aprakstīt taisni kas iet caur tiem.

)( 00 rM

Reducējam problēmu uz parametrisko vienādojumu ar virziena vektoru

),,( 1111 zyxr)( 010 rrrr t

Kanoniskajā formā

kur ),,( 0000 zyxr un ).,,( 1111 zyxr

01

0

01

0

01

0

zz

zz

yy

yy

xx

xx

0M

0r 1r

1M

)( 11 rM

O

Taisne caur 2 punktiem

Page 6: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Kanoniskais vienādojums 2D taisnei, kas iet caur punktiem un :),( 000 yxM ),( 111 yxM

01

0

01

0

yy

yy

xx

xx

Izvairāmies no speciālgadījumiem vai :01 xx 01 yy

0))(())(( 010010 xxyyyyxxPārrakstām kā determinantu:

00101

00

yyxx

yyxx

2D taisne ar determinantu

Page 7: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Determinants0101

00

yyxx

yyxx

izsaka pseidoskalāro

reizinājumu , ),( 000 yxM ),( yxM ),( 111 yxMkur , , .

100 ^ MMMM

1M

0M

M

S 100 ^21

MMMMS

Trijstūra

MMM 10

laukums ir

(ar pretēju zīmi, jadoti pulksteņa rādītāju kustības virzienā).

MMM 10

Nav brīnums, ka atrodas uz taisnes tikai tad, ja determinants ir .

M0

Taisnes vienādojums un trijstūra laukums

Page 8: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Savelkot locekļus, kas satur un vienādojumā

00101

00

yyxx

yyxx

x y

, iegūstam

0)()()()( 0101001001 xxyyyxxxyyyx

01 yyA 10 xxB

)()( 010100 xxyyyxC Apzīmējam , ,

Taisnes virziena vektors ),( 0101 yyxx un vektors),(),( 1001 xxyyBA ir ortogonāli -

pārbaude ar skalāro reizinājumu,

2D Taisnes vispārīgais vienādojums

Page 9: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Problēma: Dots vektors un skaitlis ; aprakstīttaisni, kas perpendikulāra normāles vektoram un atrodas attālumā no koordinātu sākumpunkta

O

Izvēlamies punktu uz taisnes.Tā rādiusvektora r proekcija uz vektora ir .

Tātad - taisnes normālais vienādojums.Koordinātu formā: 0 dynxn yx

Mr

nd

M

dnr

dnr

0d

d

,1, nnn

n

2D taisnes normālais v-ms

Page 10: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Vispārīgais vienādojums atgādina normālo: ,tikai ir papildprasība:

Vispārīgo vienādojumu izdalot ar , t.i.vektora garumu, tas kļūst par normālo:

jeb , kur

Arī ir taisnes normāles vektors, tikai nav nonormēts.

0 CBxAx0 dynxn yx

.122 yx nnn22 BA

0222222

BA

Cy

BA

Bx

BA

A

dyx ),(n222222

,,BA

Cd

BA

B

BA

An

),( BA

),( BA

Taisnes vispārīgais un normālais v-mi

Page 11: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Problēma: Dota taisne, kas nav paralēla nevienai no koordinātuasīm, neiet caur sākumpunktu; atrast tās vispārīgovienādojumu pēc grafika vai grafiku pēc vispārīgāvienādojuma.

x

Ja taisne uz asīm un atšķeļnogriežņus un , tad tāsvienādojums ir:

(to apmierina punkti un ,tādeļ arī citi punkti uz taisnes)

Otrādi: taisne ar vienādojumu

atšķeļ uz asīm nogriežņus un

y

a

b

0 CBxAx

C

Aa

C

Bb

)0,(a ),0( b

yx

a b

1b

y

a

x

Taisnes v-ms asu nogriežņos

Page 12: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Problēma:

u

)( 0rMAprakstīt plakni, kas iet caur punktu un ir

.v

'M0M

vu

Izvēlamies kādu citu punktu 'M

šajā plaknē. Tad '0MM izsakās ar

u un v :

vu tsMM '0

Tādēļ 'M rādiusvektors

vurr 0 ts

Tas ir plaknes parametriskais vienādojums ar diviem

parametriem ., Rts

.

paralēla vektoriem un

Plaknes parametriskais v-ms

Page 13: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Problēma: Aprakstīt plakni, kas iet caur punktiem

0M

2M

1Mu

v

0r

O

Problēmu var pārrakstīt kā

parametrisko vienādojumu

virzienu vektoriem 01 rru un :02 rrv

).()( 02010 rrrrrr ts

)(),(),( 221100 rrr MMM

Plakne caur 3 punktiem

Page 14: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Lai punkts )(rM atrastos vienā plaknē ar

)(),(),( 221100 rrr MMM vajag lai vektori 2010 , MMMM

un MM 0būtu komplanāri, t.i. jauktais reizinājums

0

020202

010101

000

02010

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

MMMMMM

1M

M2M

0M Vispārīgā gadījumā šis deteminantsir seškārtīgs tetraedra MMMM 210

tilpums (ar + vai - zīmi atkarībā no vektoruorientācijas).

Plakne caur 3 punktiem ar determinantu

Page 15: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Savelkot determinanta 0

020202

010101

000

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

izteiksmē koeficientus pie zyx ,, iegūsim

0 DCzByAx plaknes vispārīgais vienādojums.

Vektors ),,( CBA ir perpindikulārs plaknes virziena vektoriem

),,( 010101 zzyyxx u un ),,( 020202 zzyyxx v , tādēļ

tas perpendikulārs pašai plaknei.

Plaknes vispārīgais vienādojums

Page 16: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Problēma: Aprakstīt plakni, kas perpendikulāra normāles vektoram un atrodas attālumā no koordinātu sākumpunkta.

n )1( n

Atliekam vektoru no koordinātu sākumpunkta , un patvaļīgam plaknes punktam , projicējam

uz . Projekcijas garums

ir

n

OMn n

dnr

nr

-plaknes normāles vienādojums.

d

OM

d

O

M

Plaknes normālais vienādojums

Page 17: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Vispārīgajā vienādojumā vektors

arī ir normāles vektors, tikai nav normēts. Pārrakstām vispārīgo vienādojumu:

, kur . Izdalām abas puses

ar Iegūstam

Tas ir normālais vienādojums,

ja apzīmē un .

:222 CBA a ar

a

a D dnr

a

Dd

a

an

),,( CBAa

0 DCzByAx

Dar ),,( zyxr

Plaknes vispārīgais un normālais v-mi

Page 18: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Problēma: Aprakstīt plakni, kas nav paralēla koordinātu asīm un neiet caur koordinātu sākumpunktu, ja dots tās grafiks. Otrādi: atrast grafiku no vispārīgā vienādojuma.

Ja plakne iet caur punktiem

tad tās vienādojums ir 1c

z

b

y

a

x

Otrādi: ja dots vispārīgais plaknes vienādojums: , to

pārraksta , kur1

zD

Cy

D

Bx

D

A

D

C

D

B

D

A ,, ir nogriežņi, ko plakne atšķeļ uz asīm.

),,0,0(),0,,0(),0,0,( cba

0 DCzByAx

x

c

ba

z

y

Plaknes v-ms asu nogriežņos

Page 19: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Ja un nav kolineāri, tad

abas plaknes ar šiem normāles vektoriem nav paralēlas, t. i. tās krustojas pa taisni.

Šīs taisnes vektors ir perpendikulārs gan , gan tādēļ var izvēlēties

Ja, piemēram, tad var atrisināt sistēmu

tādejādi atrodot punktu uz taisnes .

Gadījumi vai ir analoģiski.

0

0

2222

1111

DzCyBxA

DzCyBxA ),,( 1111 CBAn),,( 2222 CBAn

2n1na

),,(

222

111

321

21 zyx aaa

CBA

CBA eee

nna

0xa

0

0

222

111

DzCyB

DzCyB

0r arr t 00

0ya 0za

1n

2n

a

Taisnes uzdošana ar divām plaknēm

Page 20: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

D Elipse ir figūra, ko kādā ortonormētā koordinātu sistēmā apraksta vienādojums

12

2

2

2

b

y

a

x Elipses kanoniskais vienādojums

ba, sauc par elipses pusasīm; izvēlamies .ba

x

y

b

a

Ja ),( yx pieder elipsei, tad arī),( yx ),( yx ),( yx , un

pieder elipsei. Tādēļ elipse ir simetriska pret abām asīm un koordinātu sākumpunktu

Elipses jēdziens

Page 21: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Elipsei 12

2

2

2

b

y

a

xapzīmējam

22 bac

– fokusu pusattālums.

Punktus )0,(1 cF un )0,(2 cF sauc par elipses

fokusiem. Ja ba (elipse ir rinķis), abi fokusi sakrīt.

x

y

1F 2F

M T (Elipses fokālā īpašība)

Punkts ),( yxM piederelipsei tad un tikai tad, ja

.221 aMFMF

Elipses fokālā īpašība - I

Page 22: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Pierādīsim, ka elipses punktam ),( yxM izpildās

xa

caMF 1 un x

a

caMF 2 . Iegūstam

.)(2

)(22

)1()()(

2222

2

2222

222

2

2222

2

22222

1

xa

caax

a

caax

a

cx

a

c

bccxxa

bax

a

bbccxx

a

xbcxycxMF

Tā, kā elipses punktiem ax un ac , tad

xa

caMF 1 . Izteiksmi x

a

caMF 2 pierāda analoģiski.

Elipses fokālā īpašība - II

Page 23: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

D Skaitlia

c sauc par elipses ekscentritāti.

Elipsei )1,0[ , riņķa līnijai 0

D Taisnesa

x

un sauc par elipses

12

2

2

2

b

y

a

x direktrisēm. Riņķa līnijai tās nav definētas.

x

y T (Elipses direktoriālā īpašība)Katram elipses punktamattālumu attiecība līdzfokusam un atbilstošajaidirektrisei vienāda ar .

1F 2Fa

a

.

a

x

MiF

id

Elipses direktoriālā īpašība - II

Page 24: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Aplūkosim fokusu un atbilstošo direktrisi)0,(1 cF

1d ar vienādojumu a

x

Kā redzējām iepriekš, patvaļīgam punktam ),( yxM.1 xax

a

caMF

uz elipses

Attālums no M līdz vertikālajai taisnei

ir1d .1 a

xMd Iegūstam .1

1

xa

xa

Md

MF

Otram fokusam un direktrisei pierādījums ir analoģisks.

Elipses direktoriālā īpašība - II

Page 25: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

T Patvaļīgā elipses punktā vilkta pieskare veido vienādus leņķus ar nogriežņiem un kas to savieno ar elipses fokusiem.

1MF 2MF

Ja elipses iekšējā virsma atstaro gaismu

un vienā fokusā ir gaismas avots, tad visi

stari fokusējas otrā fokusā.

1F 2F

M

M

Elipses optiskā īpašība

Page 26: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Parabola ir figūra, ko kādā ortonormētā koordinātu sistēmā apraksta vienādojums:

pxy 22

D

(parabolas kanoniskais vienādojums)

0p sauc par parabolas parametru.

Ja ),( yx

),( yx pieder parabolai, tad arī

pieder parabolai.

abscisu asi.Tādēļ parabola ir simetriska pret

x

y

Parabolas kanoniskais v-ms

Page 27: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Parabolai punktu sauc par

fokusu, bet taisni par direktrisi.

pxy 22 D

2

px

(Parabolas direktoriālā īpašība).

xMKatram parabolas punktam tā

ir vienādi (t.i.,to attiecîba ir 1, ko var

attālumi līdz fokusam un direktrisei

0,2

pF

yd

F

T

uzskatît par parabolas ekscentritāti).

Parabolas direktoriālā īpašība - I

Page 28: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Pierādīsim, ka patvalīgam parabolās punktamizpildas

),( yxM.

2x

pMF

px

ppxxpx

pxy

pxMF 2

42

22

22

22

2

224

222 p

xp

xp

pxx

Tā kā visiem parabolas punkiem , tad Viegli redzēt, ka arī attālums no līdz vertikālai taisnei ir

0x 2

pxMF

),( yxM

2

px

2

px

Parabolas direktoriālā īpašība - II

Page 29: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

y

T

F

Patvalīgā parabolas punktā vilkta pieskare veido vienādusleņķus ar nogriezni un parabolas simetrijas asi ( asi).Ja parabolas iekšējā virsma atstaro gaismu un tās fokusā ir gaismas avots, tad pēc atstarošanās visi stari ir paralēli parabolas asij.

x

A

M

MMF

Parabolas optiskā īpašība - I

Page 30: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Funkcijai punktā vilktajai pieskarei ir vienādojums Ja parabolas punkts atrodas virs ass, tad funkcijas vienādojums

un atvasinājumsTātad pieskares vienādojums ir jeb , jebjebPieskare krusto asi punktā . Attālums no turienes līdz fokusam ir t.i. tāds pat kā . Tātad ir vienādsānu trijstūris.

)(xfy ),( 000 yxM))((' 000 xxxfyy

),( 000 yxM

pxy 2

y

p

px

py

22

2

)( 00

0 xxy

pyy

)( 0200 xxpyyy )(2 000 xxppxyy

)( 00 xxpyy

0xx 02

xp

x

MFx

AMF

Parabolas optiskā īpašība - II

Page 31: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Ja pieder hiperbolai, tad arī

pieder hiperbolai.Tādeļ tā ir simetriska pret koordinātu asīm un koordinātu sākumpunktu

Hiperbola ir figūra, ko ko kādā ortonormētā koordinātu

sistēmā apraksta vienādojums

1x

2

2

2

2

b

y

a

),( yx),(),,(),,( yxyxyx

Hiperbolas kanoniskais vienādojums

D

ab

Hiperbolas kanoniskais v-ms

Page 32: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Hiperbolai apzīmējam b

y

a

x1

2

2

2

2

22 bac - fokusu pusattālums

Punktus 0 1 c,F 0 2 c,Fun sauc par hiperbolas fokusiem.

(Hiperbolas fokālā īpašība)

Punkts pieder hiperbolai tad un tikai tad, ja

aMFMF 221

Izteiksmei ir dažādas zīmes uz dažādiem hiperbolas zariem.

21 MFMF

1F 2F

MT

M

Hiperbolas fokālā īpašība - I

Page 33: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Pierādīsim, ka hiperbolas punktam ),( yxM attālums

x

a

caMF1

un

x

a

caMF2 ,

kur “+” zīme ir labajam hiperbolas zaram, bet “-” zīme - kreisajam.

.

22

1

2

222

222

2

222

2

22222

1

xa

caax

a

c

acxxa

cbx

a

bccxx

a

xbcxycxMF

Izteiksme modulī ir pozitīva labajam zaram un negtīva krejsajam.

2MF izteiksmi pierāda analoģiski.

Hiperbolas fokālā īpašība - II

Page 34: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Skaitli a

cε sauc par hiperbolas ekscentritāti.

Hiperbolai 1ε Taisnes

a

x

una

x sauc par

hiperbolas 12

2

2

2

b

y

a

xdirektrisēm.

(Hiperbolas direktoriālā īpašība)

Katram hiperbolas punktam attālumu attiecība līdz fokusam

un atbilstošajai direktrisei

vienāda ar . (Pierāda līdzīgi kā elipsei.)

iF id

ε1F 2F

1d 2d

x

y

D

T

D

M

Hiperbolas direktoriālā īpašība

Page 35: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

T

Ja kāda hiperbolas zara iekšējā virsma atstaro gaismu un atbilstošajā fokusā ir gaismas avots, tad pēc atstarošanas izskatās, ka gaisma nāk no otra fokusa.

Patvaļīgā hiperbolas punktā M vilkta pieskare veido vienādus leņķus ar nogriežņiem, kas to savieno ar elipses fokusiem. (Bez pierādījuma.)

Hiperbolas optiskā īpašība

Page 36: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

12

2

2

2

b

y

a

x

y

x

v

u

22

22

22

22

.22

1

2

2

2

2 222 a

yxyxyxuv

,2

2

u

av

Ja , tad hiperbolu

sauc par vienādsānu hiperbolu. No koordinātēm pārejam uz citām koordinātēm ar pagriezienu par :

Tad vienādojumu var pārrakstīt sekojoši:

Tātad t.i. hiperbola ir apgrieztās proporcionalitātes grafiks.

ba

),( yx),( vu

222 ayx

Vienādsānu hiperbola

4

Page 37: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

sin

cos

y

x

2

2

2

1

1cos

1

2sin

t

t

t

t

.2

tgt

1

1

x

y

O

),( yxM

),[

Punktu M(x,y) uz vienības riņķa līnijas x2 + y2 = 1 var izteikt ar trigonometriskajām funkcijām no leņķa , ko OM veido ar x asi.

Apzīmējam: TadUniversālā trigometriskā substitūcija

Riņķa līnijas parametrizācija

Page 38: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

2

2

2

1

2

1

1

t

ty

t

tx x

yt

1

2

tg

2

ttg 22

2 1x

L O

M ),( yxM

Šī parametrizācija neapraksta punktu L(-1,0), kas arī atrodas uz riņķa līnijas, jo tam

nav definēts.

Katram citam punktam M(x,y) uz vienības riņķa, parametrs t ir puse no KM, kur M ir taisnes LM un x = 1 krustpunkts.

, pie kamRt

K

Riņķa racionālā parametrizācija

Page 39: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Ir Pitagora trijnieks, ja ir vesaliskaitļi, un .

Punkts atrodas uz vienības riņķa līnijas

, jo

Punktam atbilst racionāla parametra vērtība, jo un un ir racionāli.

D ZYX ,, ZYX ,,222 ZYX

Z

Y

Z

XM ,

122 yx .12

2

2

2

Z

Y

Z

X

x

yt

1x y

Pitagora trijnieki - I

M t

Page 40: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Ja , kur un ir vesali skaitļi, tadq

pt p q

222

22

22

2

2

2

1

2

1

1

pq

qp

t

t

Z

Y

pq

pq

t

t

Z

X

Pitagora trijnieki - II

Tātad varam izvēlēties

22

22

2

pqZ

qpY

pqX

Page 41: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

T Vienādojumam nav atrisinājumu veselos skaitļos, ja ir naturāls un (Bez pierādījuma).Vienādojumam toties ir bezgalīgi daudz atrisinājumu:

Piemēram, kad (t.i. un ),

iegūstam atrisinājumu (3,4,5).

Kad , iegūstam (5,12,13).

nnn ZYX n 2n

222 ZYX

.,2,,, 2222 pqqppqZYX

2

1t 2q 1p

3

2t

Fermā teorēma

Page 42: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

yxM ,

Aplūkojam vienādsānu hiperbolu .Punkts atrodas uz hiperbolas.Apzīmējam laukumu, ko ierobežo ass, un hiperbolas zars ar .

122 yx yxM ,

xOM

T

sh

ch

y

x

2sh

2ch

ee

ee

1shch 22

Hiperboliskās funkcijas

RViegli pārliecināties, ka katram ir spēkā

Katram hiperbolas punktam ir spēkā sakarības:

O x

y

kur

(hiperboliskaiskosinuss)(hiperboliskaissinuss)

Page 43: Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss  1998. gada rudenī

Aplūkojam funkciju un ieviešam parametru

. Tad

, kur

Šī sistēma apraksta visus punktus uz hiperbolas labā zara.

ch

shth

2tht

1

2sh

1

1ch

2

2

2

t

ty

t

tx

1,1-t

122 yx

Vienādsānu hiperbolas parametrizācija