Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Analiză matematică - curs 6Diferenţiabilitate ı̂n Rk

Facultatea de Mecanică

Universitatea Tehnică “Gh. Asachi”, Iaşi

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate şi diferenţiale de ordin superiorFormula lui TaylorAplicaţii

Definitii

Definiţia 1.1

Fie A ⊂ R, o mulţime deschisă.(i) Spunem că funcţia f : A→ R este derivabilă de două ori ı̂n punctul a ∈ A(respectiv pe A) dacă f este derivabilă ı̂ntr-o vecinătate a punctului a şi funcţia

derivată f ′ este derivabilă ı̂n a (respectiv pe A). În acest caz, derivata lui f ′ ı̂n a senumeşte derivata a doua a lui f ı̂n a şi se notează f ′′(a), sau f (2)(a).

(ii) Spunem că funcţia f : A→ R este diferenţiabilă de ordinul al doilea ı̂n punctula ∈ A, dacă f este derivabilă ı̂ntr-o vecinătate a punctului a şi funcţia derivată f ′ estediferenţiabilă ı̂n a. În acest caz, funcţia d2f (a) : R→ R dată prin

d2f (a) = f ′′(a)(dx)2 = f ′′(a)dx2

sau, echivalent, prind2f (a)(h) = f ′′(a) · h2, ∀h ∈ R

se numeşte diferenţiala a doua a lui f ı̂n a.

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate şi diferenţiale de ordin superiorFormula lui TaylorAplicaţii

Definitii

Definiţia 1.1

Fie A ⊂ R, o mulţime deschisă.(i) Spunem că funcţia f : A→ R este derivabilă de două ori ı̂n punctul a ∈ A(respectiv pe A) dacă f este derivabilă ı̂ntr-o vecinătate a punctului a şi funcţia

derivată f ′ este derivabilă ı̂n a (respectiv pe A). În acest caz, derivata lui f ′ ı̂n a senumeşte derivata a doua a lui f ı̂n a şi se notează f ′′(a), sau f (2)(a).(ii) Spunem că funcţia f : A→ R este diferenţiabilă de ordinul al doilea ı̂n punctula ∈ A, dacă f este derivabilă ı̂ntr-o vecinătate a punctului a şi funcţia derivată f ′ estediferenţiabilă ı̂n a. În acest caz, funcţia d2f (a) : R→ R dată prin

d2f (a) = f ′′(a)(dx)2 = f ′′(a)dx2

sau, echivalent, prind2f (a)(h) = f ′′(a) · h2, ∀h ∈ R

se numeşte diferenţiala a doua a lui f ı̂n a.

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate şi diferenţiale de ordin superiorFormula lui TaylorAplicaţii

Definiţii

Am arătat ı̂n cursul trecut că o funcţie este derivabilă ı̂ntr-un punct dacă şi numaidacă este diferenţiabilă ı̂n acel punct. Aplicând acest rezultat funcţiei f ′ rezultă că ofuncţie este de două ori derivabilă ı̂n punctul a (respectiv pe A) dacă şi numai dacăeste diferenţiabilă de ordinul al doilea ı̂n a (respectiv pe A).

Definiţia 1.2

Fie A ⊂ R, o mulţime deschisă, n ∈ N, n ≥ 2.(i) Spunem că f este de n ori derivabilă ı̂n a ∈ A (respectiv pe A) dacă f (n−1) este derivabilăı̂ntr-o vecinătate a punctului a şi funcţia derivată f (n−1) este derivabilă ı̂n a. În acest caz, derivata

lui f (n−1) ı̂n a se numeşte derivata de ordin n a lui f ı̂n a şi se notează f (n)(a).

(ii) Spunem că f este de n ori diferenţiabilă ı̂n a ∈ A (respectiv pe A) dacă f (n−1) este derivabilăı̂ntr-o vecinătate a punctului a şi funcţia derivată f (n−1) este diferenţiabilă ı̂n a (respectiv pe A).

În acest caz, funcţia dnf (a) : R→ R dată prin

dnf (a) = f (n)(a)(dx)n = f (n)(a)dxn

sau, echivalent, prin

dnf (a)(h) = f (n)(a) · hn, ∀h ∈ Rse numeşte diferenţiala de ordinul n a lui f ı̂n a.

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate şi diferenţiale de ordin superiorFormula lui TaylorAplicaţii

Definiţii

Am arătat ı̂n cursul trecut că o funcţie este derivabilă ı̂ntr-un punct dacă şi numaidacă este diferenţiabilă ı̂n acel punct. Aplicând acest rezultat funcţiei f ′ rezultă că ofuncţie este de două ori derivabilă ı̂n punctul a (respectiv pe A) dacă şi numai dacăeste diferenţiabilă de ordinul al doilea ı̂n a (respectiv pe A).

Definiţia 1.2

Fie A ⊂ R, o mulţime deschisă, n ∈ N, n ≥ 2.(i) Spunem că f este de n ori derivabilă ı̂n a ∈ A (respectiv pe A) dacă f (n−1) este derivabilăı̂ntr-o vecinătate a punctului a şi funcţia derivată f (n−1) este derivabilă ı̂n a. În acest caz, derivata

lui f (n−1) ı̂n a se numeşte derivata de ordin n a lui f ı̂n a şi se notează f (n)(a).

(ii) Spunem că f este de n ori diferenţiabilă ı̂n a ∈ A (respectiv pe A) dacă f (n−1) este derivabilăı̂ntr-o vecinătate a punctului a şi funcţia derivată f (n−1) este diferenţiabilă ı̂n a (respectiv pe A).

În acest caz, funcţia dnf (a) : R→ R dată prin

dnf (a) = f (n)(a)(dx)n = f (n)(a)dxn

sau, echivalent, prin

dnf (a)(h) = f (n)(a) · hn, ∀h ∈ Rse numeşte diferenţiala de ordinul n a lui f ı̂n a.

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate şi diferenţiale de ordin superiorFormula lui TaylorAplicaţii

Definiţii

Am arătat ı̂n cursul trecut că o funcţie este derivabilă ı̂ntr-un punct dacă şi numaidacă este diferenţiabilă ı̂n acel punct. Aplicând acest rezultat funcţiei f ′ rezultă că ofuncţie este de două ori derivabilă ı̂n punctul a (respectiv pe A) dacă şi numai dacăeste diferenţiabilă de ordinul al doilea ı̂n a (respectiv pe A).

Definiţia 1.2

Fie A ⊂ R, o mulţime deschisă, n ∈ N, n ≥ 2.(i) Spunem că f este de n ori derivabilă ı̂n a ∈ A (respectiv pe A) dacă f (n−1) este derivabilăı̂ntr-o vecinătate a punctului a şi funcţia derivată f (n−1) este derivabilă ı̂n a. În acest caz, derivata

lui f (n−1) ı̂n a se numeşte derivata de ordin n a lui f ı̂n a şi se notează f (n)(a).

(ii) Spunem că f este de n ori diferenţiabilă ı̂n a ∈ A (respectiv pe A) dacă f (n−1) este derivabilăı̂ntr-o vecinătate a punctului a şi funcţia derivată f (n−1) este diferenţiabilă ı̂n a (respectiv pe A).

În acest caz, funcţia dnf (a) : R→ R dată prin

dnf (a) = f (n)(a)(dx)n = f (n)(a)dxn

sau, echivalent, prin

dnf (a)(h) = f (n)(a) · hn, ∀h ∈ Rse numeşte diferenţiala de ordinul n a lui f ı̂n a.

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate şi diferenţiale de ordin superiorFormula lui TaylorAplicaţii

Definiţii

Definiţia 1.3

Fie D ⊂ R o mulţime deschisă şi f : D → R. Spunem că f este de clasă Cn pe D(n ∈ N∗) dacă f este de n ori derivabilă pe D, iar derivata de ordin n, f (n), estecontinuă pe D. Notăm

Cn(A) = {f : A→ R | f este de clasă Cn pe A}, n ∈ N∗

şi, prin conventie,C0(A) = {f : A→ R | f continuă pe A}.

De asemenea, vom nota prin convenţie f (0) = f .Spunem că f este de clasă C∞ pe D dacă f este derivabilă de orice ordin pe D. Vomnota

C∞(A) = {f : A→ R, f este de clasă C∞ pe A}.

Teorema 1.4 (Formula lui Leibniz)

Fie f , g : A→ R de n ori derivabile ı̂n a ∈ A. Atunci f · g este de n ori derivabilă ı̂n aşi are loc formula

(f · g)(n)(a) =n∑

i=0

C inf(i)(a)g (n−i)(a). (1)

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate şi diferenţiale de ordin superiorFormula lui TaylorAplicaţii

Definiţii

Definiţia 1.3

Fie D ⊂ R o mulţime deschisă şi f : D → R. Spunem că f este de clasă Cn pe D(n ∈ N∗) dacă f este de n ori derivabilă pe D, iar derivata de ordin n, f (n), estecontinuă pe D. Notăm

Cn(A) = {f : A→ R | f este de clasă Cn pe A}, n ∈ N∗

şi, prin conventie,C0(A) = {f : A→ R | f continuă pe A}.

De asemenea, vom nota prin convenţie f (0) = f .Spunem că f este de clasă C∞ pe D dacă f este derivabilă de orice ordin pe D. Vomnota

C∞(A) = {f : A→ R, f este de clasă C∞ pe A}.

Teorema 1.4 (Formula lui Leibniz)

Fie f , g : A→ R de n ori derivabile ı̂n a ∈ A. Atunci f · g este de n ori derivabilă ı̂n aşi are loc formula

(f · g)(n)(a) =n∑

i=0

C inf(i)(a)g (n−i)(a). (1)

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate şi diferenţiale de ordin superiorFormula lui TaylorAplicaţii

Formula lui Taylor

Polinomul lui TaylorFie

P(x) = a0 + a1x + ... + anxn

un polinom de grad n cu coeficienti reali (an 6= 0 şi ai ∈ R, i = 1, n). Dorim pentru ı̂nceput săarătăm că putem scrie polinomul de mai sus ı̂n mod unic ı̂n forma

P(x) = A0 + A1(x − a) + ... + An(x − a)n

pentru un a ∈ R fixat. Un mod de a arăta acest lucru este următorul. Este clar că termenul liberA0 este egal cu P(a). Mai departe, prin derivare, obţinem

P′(x) = A1 + 2A2(x − a) + ... + An(x − a)n−1,

de unde A1 = P′(a).̂In mod analog, derivând ı̂n continuare, obţinem

Ak =1

k!P(k)(a), pentru k = 1, n.

Asadar,

P(x) = P(a) +1

1!P′(a)(x − a) + ... +

1

n!P(n)(a)(x − a)n.

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate şi diferenţiale de ordin superiorFormula lui TaylorAplicaţii

Formula lui Taylor

Polinomul lui TaylorFie

P(x) = a0 + a1x + ... + anxn

un polinom de grad n cu coeficienti reali (an 6= 0 şi ai ∈ R, i = 1, n). Dorim pentru ı̂nceput săarătăm că putem scrie polinomul de mai sus ı̂n mod unic ı̂n forma

P(x) = A0 + A1(x − a) + ... + An(x − a)n

pentru un a ∈ R fixat. Un mod de a arăta acest lucru este următorul. Este clar că termenul liberA0 este egal cu P(a). Mai departe, prin derivare, obţinem

P′(x) = A1 + 2A2(x − a) + ... + An(x − a)n−1,

de unde A1 = P′(a).̂In mod analog, derivând ı̂n continuare, obţinem

Ak =1

k!P(k)(a), pentru k = 1, n.

Asadar,

P(x) = P(a) +1

1!P′(a)(x − a) + ... +

1

n!P(n)(a)(x − a)n.

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate şi diferenţiale de ordin superiorFormula lui TaylorAplicaţii

Formula lui Taylor

Polinomul lui TaylorFie

P(x) = a0 + a1x + ... + anxn

un polinom de grad n cu coeficienti reali (an 6= 0 şi ai ∈ R, i = 1, n). Dorim pentru ı̂nceput săarătăm că putem scrie polinomul de mai sus ı̂n mod unic ı̂n forma

P(x) = A0 + A1(x − a) + ... + An(x − a)n

pentru un a ∈ R fixat. Un mod de a arăta acest lucru este următorul. Este clar că termenul liberA0 este egal cu P(a). Mai departe, prin derivare, obţinem

P′(x) = A1 + 2A2(x − a) + ... + An(x − a)n−1,

de unde A1 = P′(a).

În mod analog, derivând ı̂n continuare, obţinem

Ak =1

k!P(k)(a), pentru k = 1, n.

Asadar,

P(x) = P(a) +1

1!P′(a)(x − a) + ... +

1

n!P(n)(a)(x − a)n.

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate şi diferenţiale de ordin superiorFormula lui TaylorAplicaţii

Formula lui Taylor

Polinomul lui TaylorFie

P(x) = a0 + a1x + ... + anxn

un polinom de grad n cu coeficienti reali (an 6= 0 şi ai ∈ R, i = 1, n). Dorim pentru ı̂nceput săarătăm că putem scrie polinomul de mai sus ı̂n mod unic ı̂n forma

P(x) = A0 + A1(x − a) + ... + An(x − a)n

pentru un a ∈ R fixat. Un mod de a arăta acest lucru este următorul. Este clar că termenul liberA0 este egal cu P(a). Mai departe, prin derivare, obţinem

P′(x) = A1 + 2A2(x − a) + ... + An(x − a)n−1,

de unde A1 = P′(a).̂In mod analog, derivând ı̂n continuare, obţinem

Ak =1

k!P(k)(a), pentru k = 1, n.

Asadar,

P(x) = P(a) +1

1!P′(a)(x − a) + ... +

1

n!P(n)(a)(x − a)n.

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate şi diferenţiale de ordin superiorFormula lui TaylorAplicaţii

Formula lui Taylor

Polinomul lui TaylorFie

P(x) = a0 + a1x + ... + anxn

un polinom de grad n cu coeficienti reali (an 6= 0 şi ai ∈ R, i = 1, n). Dorim pentru ı̂nceput săarătăm că putem scrie polinomul de mai sus ı̂n mod unic ı̂n forma

P(x) = A0 + A1(x − a) + ... + An(x − a)n

pentru un a ∈ R fixat. Un mod de a arăta acest lucru este următorul. Este clar că termenul liberA0 este egal cu P(a). Mai departe, prin derivare, obţinem

P′(x) = A1 + 2A2(x − a) + ... + An(x − a)n−1,

de unde A1 = P′(a).̂In mod analog, derivând ı̂n continuare, obţinem

Ak =1

k!P(k)(a), pentru k = 1, n.

Asadar,

P(x) = P(a) +1

1!P′(a)(x − a) + ... +

1

n!P(n)(a)(x − a)n.

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate şi diferenţiale de ordin superiorFormula lui TaylorAplicaţii

Polinomul lui Taylor

Dorim acum să extindem formula precedentă la situaţia mai generală când ı̂n loculpolinomului P avem o funcţie f : I → R, unde I ⊂ R este un interval deschis.

Vomnumi polinomul

Tn(x) = f (a) +f ′(a)

1!(x − a) +

f ′′(a)

2!(x − a)2 + . . .+

f (n)(a)

n!(x − a)n

polinomul Taylor de ordin n asociat funcţiei f ı̂n punctul a. Problema care se puneeste ı̂n ce măsură acest polinom aproximează funcţia f . Am văzut că ı̂n cazul ı̂n care feste un polinom de grad mai mic sau egal cu n, atunci Tn = f . Să notăm

Rn(x) = f (x)− Tn(x)

pentru orice x ∈ I . Tocmai comportarea lui Rn măsoara gradul de aproximare alfuncţiei f prin polinomul Taylor.

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate şi diferenţiale de ordin superiorFormula lui TaylorAplicaţii

Polinomul lui Taylor

Dorim acum să extindem formula precedentă la situaţia mai generală când ı̂n loculpolinomului P avem o funcţie f : I → R, unde I ⊂ R este un interval deschis. Vomnumi polinomul

Tn(x) = f (a) +f ′(a)

1!(x − a) +

f ′′(a)

2!(x − a)2 + . . .+

f (n)(a)

n!(x − a)n

polinomul Taylor de ordin n asociat funcţiei f ı̂n punctul a.

Problema care se puneeste ı̂n ce măsură acest polinom aproximează funcţia f . Am văzut că ı̂n cazul ı̂n care feste un polinom de grad mai mic sau egal cu n, atunci Tn = f . Să notăm

Rn(x) = f (x)− Tn(x)

pentru orice x ∈ I . Tocmai comportarea lui Rn măsoara gradul de aproximare alfuncţiei f prin polinomul Taylor.

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate şi diferenţiale de ordin superiorFormula lui TaylorAplicaţii

Polinomul lui Taylor

Dorim acum să extindem formula precedentă la situaţia mai generală când ı̂n loculpolinomului P avem o funcţie f : I → R, unde I ⊂ R este un interval deschis. Vomnumi polinomul

Tn(x) = f (a) +f ′(a)

1!(x − a) +

f ′′(a)

2!(x − a)2 + . . .+

f (n)(a)

n!(x − a)n

polinomul Taylor de ordin n asociat funcţiei f ı̂n punctul a. Problema care se puneeste ı̂n ce măsură acest polinom aproximează funcţia f . Am văzut că ı̂n cazul ı̂n care feste un polinom de grad mai mic sau egal cu n, atunci Tn = f . Să notăm

Rn(x) = f (x)− Tn(x)

pentru orice x ∈ I . Tocmai comportarea lui Rn măsoara gradul de aproximare alfuncţiei f prin polinomul Taylor.

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate şi diferenţiale de ordin superiorFormula lui TaylorAplicaţii

Polinomul lui Taylor

Dorim acum să extindem formula precedentă la situaţia mai generală când ı̂n loculpolinomului P avem o funcţie f : I → R, unde I ⊂ R este un interval deschis. Vomnumi polinomul

Tn(x) = f (a) +f ′(a)

1!(x − a) +

f ′′(a)

2!(x − a)2 + . . .+

f (n)(a)

n!(x − a)n

polinomul Taylor de ordin n asociat funcţiei f ı̂n punctul a. Problema care se puneeste ı̂n ce măsură acest polinom aproximează funcţia f . Am văzut că ı̂n cazul ı̂n care feste un polinom de grad mai mic sau egal cu n, atunci Tn = f . Să notăm

Rn(x) = f (x)− Tn(x)

pentru orice x ∈ I . Tocmai comportarea lui Rn măsoara gradul de aproximare alfuncţiei f prin polinomul Taylor.

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate şi diferenţiale de ordin superiorFormula lui TaylorAplicaţii

Polinomul lui Taylor

Teorema 1.5 (Formula lui Taylor cu restul lui Lagrange)

Fie I ⊂ R un interval deschis, a ∈ I şi n ∈ N. Dacă f : I → R este o funcţie de (n + 1)ori derivabilă pe I , atunci pentru orice x ∈ I , x 6= a există c ∈ (x , a) sau c ∈ (a, x)astfel ı̂ncât

f (x) = f (a) +f ′(a)

1!(x − a) +

f ′′(a)

2!(x − a)2 + ... +

f (n)(a)

n!(x − a)n +

f (n+1)(c)

(n + 1)!· (x − a)n+1.

Particularizând a = 0 se obtine formula lui MacLaurin.

Propoziţia 1.6 (Formula lui MacLaurin)

Fie I ⊂ R un interval deschis, 0 ∈ I şi n ∈ N. Dacă f : I → R este o funcţie de (n + 1)ori derivabilă pe I , atunci pentru orice x ∈ I , x 6= 0 există c ∈ (x , 0) sau c ∈ (0, x)astfel ı̂ncât

f (x) = f (0) +f ′(0)

1!x +

f ′′(0)

2!x2 + ...+

f (n)(0)

n!xn +

f (n+1)(c)

(n + 1)!· xn+1.

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate şi diferenţiale de ordin superiorFormula lui TaylorAplicaţii

Polinomul lui Taylor

Teorema 1.5 (Formula lui Taylor cu restul lui Lagrange)

Fie I ⊂ R un interval deschis, a ∈ I şi n ∈ N. Dacă f : I → R este o funcţie de (n + 1)ori derivabilă pe I , atunci pentru orice x ∈ I , x 6= a există c ∈ (x , a) sau c ∈ (a, x)astfel ı̂ncât

f (x) = f (a) +f ′(a)

1!(x − a) +

f ′′(a)

2!(x − a)2 + ... +

f (n)(a)

n!(x − a)n +

f (n+1)(c)

(n + 1)!· (x − a)n+1.

Particularizând a = 0 se obtine formula lui MacLaurin.

Propoziţia 1.6 (Formula lui MacLaurin)

Fie I ⊂ R un interval deschis, 0 ∈ I şi n ∈ N. Dacă f : I → R este o funcţie de (n + 1)ori derivabilă pe I , atunci pentru orice x ∈ I , x 6= 0 există c ∈ (x , 0) sau c ∈ (0, x)astfel ı̂ncât

f (x) = f (0) +f ′(0)

1!x +

f ′′(0)

2!x2 + ...+

f (n)(0)

n!xn +

f (n+1)(c)

(n + 1)!· xn+1.

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate şi diferenţiale de ordin superiorFormula lui TaylorAplicaţii

Polinomul lui Taylor

Teorema 1.5 (Formula lui Taylor cu restul lui Lagrange)

Fie I ⊂ R un interval deschis, a ∈ I şi n ∈ N. Dacă f : I → R este o funcţie de (n + 1)ori derivabilă pe I , atunci pentru orice x ∈ I , x 6= a există c ∈ (x , a) sau c ∈ (a, x)astfel ı̂ncât

f (x) = f (a) +f ′(a)

1!(x − a) +

f ′′(a)

2!(x − a)2 + ... +

f (n)(a)

n!(x − a)n +

f (n+1)(c)

(n + 1)!· (x − a)n+1.

Particularizând a = 0 se obtine formula lui MacLaurin.

Propoziţia 1.6 (Formula lui MacLaurin)

Fie I ⊂ R un interval deschis, 0 ∈ I şi n ∈ N. Dacă f : I → R este o funcţie de (n + 1)ori derivabilă pe I , atunci pentru orice x ∈ I , x 6= 0 există c ∈ (x , 0) sau c ∈ (0, x)astfel ı̂ncât

f (x) = f (0) +f ′(0)

1!x +

f ′′(0)

2!x2 + ...+

f (n)(0)

n!xn +

f (n+1)(c)

(n + 1)!· xn+1.

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate şi diferenţiale de ordin superiorFormula lui TaylorAplicaţii

Polinomul lui Taylor

Exemplul 1.7

În formula lui MacLaurin, cum c ∈ (x , 0) sau c ∈ (0, x) putem să luăm c de formac = θx unde θ ∈ (0, 1). Astfel se obţin dezvoltările de mai jos.

1. Fie f : R→ R, f (x) = ex .

ex = 1 +x

1!+

x2

2!+ ... +

xn

n!+

xn+1

(n + 1)!eθx .

2. Fie f : R→ R, f (x) = sin x.

sin x =x

1!−

x3

3!+ ... +

(−1)n−1x2n−1

(2n − 1)!+ (−1)n

x2n

(2n)!sin θx.

Analog, pentru f : R→ R, f (x) = cos x obţinem

cos x = 1−x2

2!+

x4

4!+ ... +

(−1)nx2n

(2n)!+ (−1)n+1

x2n+1

(2n + 1)!cos θx.

3. Fie f : (−1,∞)→ R, f (x) = ln(x + 1).

ln(x + 1) =x

1−

x2

2+

x3

3−

x4

4+ ... + (−1)n−1

xn

n+ (−1)n

xn+1

n + 1

1

(1 + θx)n+1

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate şi diferenţiale de ordin superiorFormula lui TaylorAplicaţii

Polinomul lui Taylor

Exemplul 1.7

În formula lui MacLaurin, cum c ∈ (x , 0) sau c ∈ (0, x) putem să luăm c de formac = θx unde θ ∈ (0, 1). Astfel se obţin dezvoltările de mai jos.1. Fie f : R→ R, f (x) = ex .

ex = 1 +x

1!+

x2

2!+ ... +

xn

n!+

xn+1

(n + 1)!eθx .

2. Fie f : R→ R, f (x) = sin x.

sin x =x

1!−

x3

3!+ ... +

(−1)n−1x2n−1

(2n − 1)!+ (−1)n

x2n

(2n)!sin θx.

Analog, pentru f : R→ R, f (x) = cos x obţinem

cos x = 1−x2

2!+

x4

4!+ ... +

(−1)nx2n

(2n)!+ (−1)n+1

x2n+1

(2n + 1)!cos θx.

3. Fie f : (−1,∞)→ R, f (x) = ln(x + 1).

ln(x + 1) =x

1−

x2

2+

x3

3−

x4

4+ ... + (−1)n−1

xn

n+ (−1)n

xn+1

n + 1

1

(1 + θx)n+1

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate şi diferenţiale de ordin superiorFormula lui TaylorAplicaţii

Polinomul lui Taylor

Exemplul 1.7

În formula lui MacLaurin, cum c ∈ (x , 0) sau c ∈ (0, x) putem să luăm c de formac = θx unde θ ∈ (0, 1). Astfel se obţin dezvoltările de mai jos.1. Fie f : R→ R, f (x) = ex .

ex = 1 +x

1!+

x2

2!+ ... +

xn

n!+

xn+1

(n + 1)!eθx .

2. Fie f : R→ R, f (x) = sin x.

sin x =x

1!−

x3

3!+ ... +

(−1)n−1x2n−1

(2n − 1)!+ (−1)n

x2n

(2n)!sin θx.

Analog, pentru f : R→ R, f (x) = cos x obţinem

cos x = 1−x2

2!+

x4

4!+ ... +

(−1)nx2n

(2n)!+ (−1)n+1

x2n+1

(2n + 1)!cos θx.

3. Fie f : (−1,∞)→ R, f (x) = ln(x + 1).

ln(x + 1) =x

1−

x2

2+

x3

3−

x4

4+ ... + (−1)n−1

xn

n+ (−1)n

xn+1

n + 1

1

(1 + θx)n+1

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate şi diferenţiale de ordin superiorFormula lui TaylorAplicaţii

Polinomul lui Taylor

Exemplul 1.7

În formula lui MacLaurin, cum c ∈ (x , 0) sau c ∈ (0, x) putem să luăm c de formac = θx unde θ ∈ (0, 1). Astfel se obţin dezvoltările de mai jos.1. Fie f : R→ R, f (x) = ex .

ex = 1 +x

1!+

x2

2!+ ... +

xn

n!+

xn+1

(n + 1)!eθx .

2. Fie f : R→ R, f (x) = sin x.

sin x =x

1!−

x3

3!+ ... +

(−1)n−1x2n−1

(2n − 1)!+ (−1)n

x2n

(2n)!sin θx.

Analog, pentru f : R→ R, f (x) = cos x obţinem

cos x = 1−x2

2!+

x4

4!+ ... +

(−1)nx2n

(2n)!+ (−1)n+1

x2n+1

(2n + 1)!cos θx.

3. Fie f : (−1,∞)→ R, f (x) = ln(x + 1).

ln(x + 1) =x

1−

x2

2+

x3

3−

x4

4+ ... + (−1)n−1

xn

n+ (−1)n

xn+1

n + 1

1

(1 + θx)n+1

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate şi diferenţiale de ordin superiorFormula lui TaylorAplicaţii

Polinomul lui Taylor

Exemplul 1.7

În formula lui MacLaurin, cum c ∈ (x , 0) sau c ∈ (0, x) putem să luăm c de formac = θx unde θ ∈ (0, 1). Astfel se obţin dezvoltările de mai jos.1. Fie f : R→ R, f (x) = ex .

ex = 1 +x

1!+

x2

2!+ ... +

xn

n!+

xn+1

(n + 1)!eθx .

2. Fie f : R→ R, f (x) = sin x.

sin x =x

1!−

x3

3!+ ... +

(−1)n−1x2n−1

(2n − 1)!+ (−1)n

x2n

(2n)!sin θx.

Analog, pentru f : R→ R, f (x) = cos x obţinem

cos x = 1−x2

2!+

x4

4!+ ... +

(−1)nx2n

(2n)!+ (−1)n+1

x2n+1

(2n + 1)!cos θx.

3. Fie f : (−1,∞)→ R, f (x) = ln(x + 1).

ln(x + 1) =x

1−

x2

2+

x3

3−

x4

4+ ... + (−1)n−1

xn

n+ (−1)n

xn+1

n + 1

1

(1 + θx)n+1

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate şi diferenţiale de ordin superiorFormula lui TaylorAplicaţii

Aplicaţii

Formulele de mai sus pot fi folosite pentru determinarea unor limite.

Exerciţiul 1.8

Pentru ce valori ale lui n ∈ N există, este finită şi nenulă limita

limx→0

6 sin x3 + x3(x6 − 6)xn

?

De asemenea, derivatele de ordin superior pot fi utile ı̂n determinarea punctelor de extrem.

Teorema 1.9 (Puncte de extrem)

Fie I ⊂ R un interval deschis, f : I → R o funcţie de n ori derivabilă ı̂n a ∈ I , (n ∈ N, n ≥ 2),astfel ı̂ncât

f ′(a) = 0, f ′′(a) = 0, ..., f (n−1)(a) = 0, f (n)(a) 6= 0. (2)(i) Dacă n este par, atunci a este punct de extrem, mai exact: punct de maxim local dacă

f (n)(a) < 0 şi punct de minim local dacă f (n)(a) > 0.(ii) Dacă n este impar, atunci a nu este punct de extrem.

Corolarul 1.10

Fie I ⊂ R un interval deschis, f : I → R o funcţie de 2 ori derivabilă ı̂n a ∈ I , astfel ı̂ncât

f ′(a) = 0, f ′′(a) 6= 0. (3)

Dacă f′′

(a) < 0, a este punct de maxim local, iar dacă f′′

(a) < 0, a este punct de minim local.

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate şi diferenţiale de ordin superiorFormula lui TaylorAplicaţii

Aplicaţii

Formulele de mai sus pot fi folosite pentru determinarea unor limite.

Exerciţiul 1.8

Pentru ce valori ale lui n ∈ N există, este finită şi nenulă limita

limx→0

6 sin x3 + x3(x6 − 6)xn

?

De asemenea, derivatele de ordin superior pot fi utile ı̂n determinarea punctelor de extrem.

Teorema 1.9 (Puncte de extrem)

Fie I ⊂ R un interval deschis, f : I → R o funcţie de n ori derivabilă ı̂n a ∈ I , (n ∈ N, n ≥ 2),astfel ı̂ncât

f ′(a) = 0, f ′′(a) = 0, ..., f (n−1)(a) = 0, f (n)(a) 6= 0. (2)(i) Dacă n este par, atunci a este punct de extrem, mai exact: punct de maxim local dacă

f (n)(a) < 0 şi punct de minim local dacă f (n)(a) > 0.(ii) Dacă n este impar, atunci a nu este punct de extrem.

Corolarul 1.10

Fie I ⊂ R un interval deschis, f : I → R o funcţie de 2 ori derivabilă ı̂n a ∈ I , astfel ı̂ncât

f ′(a) = 0, f ′′(a) 6= 0. (3)

Dacă f′′

(a) < 0, a este punct de maxim local, iar dacă f′′

(a) < 0, a este punct de minim local.

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivata după o direcţieDerivate parţiale pentru funcţii de mai multe variabile

Derivata după o direcţie

Fie f : D ⊂ Rk → R. Se observă că

φ(t) = f (x + tv), unde v ∈ Rk , ‖v‖ = 1, t ∈ R

este o funcţie reală, de o variabilă reală.

Definiţie

Fie f : D → R, unde D este un deschis din Rk .1 Numim derivată a lui f ı̂n a după versorul v

limt→0

1

t(f (a + tv)− f (a)) not=

df

dv(a)

ori de câte ori limita există.

2 Dacădf

dv(a) ∈ R vom spune că f este derivabilă ı̂n a după versorul v .

Observaţie

În loc de a spune că funcţia f este derivabilă după versorul v de multe ori se mai foloseşte expresiafuncţia f este derivabilă ı̂n direcţia v deoarece x = a + tv este ecuaţia dreptei care trece prinpunctul a şi are direcţia v .

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivata după o direcţieDerivate parţiale pentru funcţii de mai multe variabile

Derivata după o direcţie

Fie f : D ⊂ Rk → R. Se observă că

φ(t) = f (x + tv), unde v ∈ Rk , ‖v‖ = 1, t ∈ R

este o funcţie reală, de o variabilă reală.

Definiţie

Fie f : D → R, unde D este un deschis din Rk .1 Numim derivată a lui f ı̂n a după versorul v

limt→0

1

t(f (a + tv)− f (a)) not=

df

dv(a)

ori de câte ori limita există.

2 Dacădf

dv(a) ∈ R vom spune că f este derivabilă ı̂n a după versorul v .

Observaţie

În loc de a spune că funcţia f este derivabilă după versorul v de multe ori se mai foloseşte expresiafuncţia f este derivabilă ı̂n direcţia v deoarece x = a + tv este ecuaţia dreptei care trece prinpunctul a şi are direcţia v .

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivata după o direcţieDerivate parţiale pentru funcţii de mai multe variabile

Derivata după o direcţie

Fie f : D ⊂ Rk → R. Se observă că

φ(t) = f (x + tv), unde v ∈ Rk , ‖v‖ = 1, t ∈ R

este o funcţie reală, de o variabilă reală.

Definiţie

Fie f : D → R, unde D este un deschis din Rk .1 Numim derivată a lui f ı̂n a după versorul v

limt→0

1

t(f (a + tv)− f (a)) not=

df

dv(a)

ori de câte ori limita există.

2 Dacădf

dv(a) ∈ R vom spune că f este derivabilă ı̂n a după versorul v .

Observaţie

În loc de a spune că funcţia f este derivabilă după versorul v de multe ori se mai foloseşte expresiafuncţia f este derivabilă ı̂n direcţia v deoarece x = a + tv este ecuaţia dreptei care trece prinpunctul a şi are direcţia v .

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivata după o direcţieDerivate parţiale pentru funcţii de mai multe variabile

Derivata după o direcţie

Exemplu

Fie

f (x) =

{ xyx+y

, x + y 6= 00, x + y = 0

Această funcţie nu este continuă ı̂n origine. Fie v = (v1, v2) ∈ R2 un versor oarecare.Avem:

limt→0

1

t(f ((0, 0) + tv)− f (0, 0)) = lim

t→0

1

t·

tv1 · tv2tv1 + tv2

=v1v2

v1 + v2.

Astfel, deşi nu este continuă ı̂n (0,0), funcţia f este derivabilă ı̂n origine pe oricedirecţie v = (v1, v2) pentru care v1 + v2 6= 0. Mai mult, dacă v1 + v2 = 0, f (tv) = 0şi atunci f este derivabilă ı̂n (0,0) şi pe astfel de direcţii.

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivata după o direcţieDerivate parţiale pentru funcţii de mai multe variabile

Derivata după o direcţie

Exemplu

Fie

f (x) =

{ xyx+y

, x + y 6= 00, x + y = 0

Această funcţie nu este continuă ı̂n origine. Fie v = (v1, v2) ∈ R2 un versor oarecare.Avem:

limt→0

1

t(f ((0, 0) + tv)− f (0, 0)) = lim

t→0

1

t·

tv1 · tv2tv1 + tv2

=v1v2

v1 + v2.

Astfel, deşi nu este continuă ı̂n (0,0), funcţia f este derivabilă ı̂n origine pe oricedirecţie v = (v1, v2) pentru care v1 + v2 6= 0. Mai mult, dacă v1 + v2 = 0, f (tv) = 0şi atunci f este derivabilă ı̂n (0,0) şi pe astfel de direcţii.

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivata după o direcţieDerivate parţiale pentru funcţii de mai multe variabile

Derivata după o direcţie

Exemplu

Fie

f (x) =

{ xyx+y

, x + y 6= 00, x + y = 0

Această funcţie nu este continuă ı̂n origine. Fie v = (v1, v2) ∈ R2 un versor oarecare.Avem:

limt→0

1

t(f ((0, 0) + tv)− f (0, 0)) = lim

t→0

1

t·

tv1 · tv2tv1 + tv2

=v1v2

v1 + v2.

Astfel, deşi nu este continuă ı̂n (0,0), funcţia f este derivabilă ı̂n origine pe oricedirecţie v = (v1, v2) pentru care v1 + v2 6= 0. Mai mult, dacă v1 + v2 = 0, f (tv) = 0şi atunci f este derivabilă ı̂n (0,0) şi pe astfel de direcţii.

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivata după o direcţieDerivate parţiale pentru funcţii de mai multe variabile

Derivata după o direcţie

Exemplu

Fie

f (x) =

{ xyx+y

, x + y 6= 00, x + y = 0

Această funcţie nu este continuă ı̂n origine. Fie v = (v1, v2) ∈ R2 un versor oarecare.Avem:

limt→0

1

t(f ((0, 0) + tv)− f (0, 0)) = lim

t→0

1

t·

tv1 · tv2tv1 + tv2

=v1v2

v1 + v2.

Astfel, deşi nu este continuă ı̂n (0,0), funcţia f este derivabilă ı̂n origine pe oricedirecţie v = (v1, v2) pentru care v1 + v2 6= 0. Mai mult, dacă v1 + v2 = 0, f (tv) = 0şi atunci f este derivabilă ı̂n (0,0) şi pe astfel de direcţii.

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivata după o direcţieDerivate parţiale pentru funcţii de mai multe variabile

Derivate parţiale

Definiţie

Fie D ⊂ Rk o mulţime deschisă şi o funcţie f : D → R.1 Spunem că funcţia f are derivată parţială ı̂n raport cu variabila xi ı̂n punctul a

dacă există derivata funcţiei f după direcţia ei , ei = (0, ...0, 1, 0...0), 1 aflându-se

pe poziţia i. Aceasta se notează fie cu∂f

∂xi(a) sau f ′xi (a).

2 Spunem că funcţia f este derivabilă parţial ı̂n raport cu variabila xi ı̂n punctul a

dacă∂f

∂xi(a) ∈ R.

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivata după o direcţieDerivate parţiale pentru funcţii de mai multe variabile

Derivate parţiale

Definiţie

Fie D ⊂ Rk o mulţime deschisă şi o funcţie f : D → R.1 Spunem că funcţia f are derivată parţială ı̂n raport cu variabila xi ı̂n punctul a

dacă există derivata funcţiei f după direcţia ei , ei = (0, ...0, 1, 0...0), 1 aflându-se

pe poziţia i. Aceasta se notează fie cu∂f

∂xi(a) sau f ′xi (a).

2 Spunem că funcţia f este derivabilă parţial ı̂n raport cu variabila xi ı̂n punctul a

dacă∂f

∂xi(a) ∈ R.

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivata după o direcţieDerivate parţiale pentru funcţii de mai multe variabile

Derivate parţiale

Observaţie

∂f

∂xi(a) =

df

dei(a) = lim

t→0

f (a + tei )− f (a)t

=

= limt→0

f (a1, ..., ai + t, ...an)− f (a1, ..., an)t

adică a deriva parţial ı̂n raport cu o anumită variabilă revine la a deriva considerândtoate celelalte variabile ca fiind nişte constante.

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivata după o direcţieDerivate parţiale pentru funcţii de mai multe variabile

Derivate parţiale

Observaţie

∂f

∂xi(a) =

df

dei(a) = lim

t→0

f (a + tei )− f (a)t

=

= limt→0

f (a1, ..., ai + t, ...an)− f (a1, ..., an)t

adică a deriva parţial ı̂n raport cu o anumită variabilă revine la a deriva considerândtoate celelalte variabile ca fiind nişte constante.

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivata după o direcţieDerivate parţiale pentru funcţii de mai multe variabile

Derivate parţiale

Exemplu

Să se calculeze derivatele parţiale ale funcţiei f : D → R, dată prin

f (x , y) = x ln(xy), (x , y ∈ D = {(x , y); xy > 0})

Aplicând regulile uzuale de calcul cu derivate obţinem:

∂f

∂x(x , y) = ln(xy) + 1

∂f

∂x(x , y) =

x

y

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivata după o direcţieDerivate parţiale pentru funcţii de mai multe variabile

Derivate parţiale

Exemplu

Să se calculeze derivatele parţiale ale funcţiei f : D → R, dată prin

f (x , y) = x ln(xy), (x , y ∈ D = {(x , y); xy > 0})

Aplicând regulile uzuale de calcul cu derivate obţinem:

∂f

∂x(x , y) = ln(xy) + 1

∂f

∂x(x , y) =

x

y

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivata după o direcţieDerivate parţiale pentru funcţii de mai multe variabile

Derivate parţiale

Exemplu

Să se calculeze derivatele parţiale ale funcţiei f : D → R, dată prin

f (x , y) = x ln(xy), (x , y ∈ D = {(x , y); xy > 0})

Aplicând regulile uzuale de calcul cu derivate obţinem:

∂f

∂x(x , y) = ln(xy) + 1

∂f

∂x(x , y) =

x

y

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivata după o direcţieDerivate parţiale pentru funcţii de mai multe variabile

Derivate parţiale

Definiţie

Fie D ⊂ Rk o mulţime deschisă şi o funcţie f : D → R.1 Spunem că f este derivabilă parţial pe D dacă este derivabilă parţial ı̂n raport cu

fiecare variabilă, ı̂n orice punct al lui D.

2 Spunem că f este de clasă C 1 pe D dacă f este derivabilă parţial pe D şi toate

derivatele sale parţiale∂f

∂xi, i = 1..k sunt continue pe D. În acest caz vom nota

f ∈ C1(D).

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivata după o direcţieDerivate parţiale pentru funcţii de mai multe variabile

Derivate parţiale

Definiţie

Fie D ⊂ Rk o mulţime deschisă şi o funcţie f : D → R.1 Spunem că f este derivabilă parţial pe D dacă este derivabilă parţial ı̂n raport cu

fiecare variabilă, ı̂n orice punct al lui D.

2 Spunem că f este de clasă C 1 pe D dacă f este derivabilă parţial pe D şi toate

derivatele sale parţiale∂f

∂xi, i = 1..k sunt continue pe D. În acest caz vom nota

f ∈ C1(D).

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivata după o direcţieDerivate parţiale pentru funcţii de mai multe variabile

Derivate parţiale

Definiţie

Fie D un deschis din Rk (k ≥ 1) şi F : D → Rm (m ≥ 1), ı̂n care

F = (f1, f2, ..., fm) cu fi : D → R, i = 1..m.

i. Spunem că F este derivabilă parţial ı̂n a ∈ D dacă orice funcţie fi este derivabilăparţial ı̂n a ı̂n raport cu toate variabilele x1, ..., xk .

ii. Spunem că F este de clasă C 1 pe D dacă toate funcţiile fi sunt de clasă C1 pe D.

Notăm F ∈ C1(D).

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivata după o direcţieDerivate parţiale pentru funcţii de mai multe variabile

Derivate parţiale

Definiţie

Fie D un deschis din Rk (k ≥ 1) şi F : D → Rm (m ≥ 1), ı̂n care

F = (f1, f2, ..., fm) cu fi : D → R, i = 1..m.

i. Spunem că F este derivabilă parţial ı̂n a ∈ D dacă orice funcţie fi este derivabilăparţial ı̂n a ı̂n raport cu toate variabilele x1, ..., xk .

ii. Spunem că F este de clasă C 1 pe D dacă toate funcţiile fi sunt de clasă C1 pe D.

Notăm F ∈ C1(D).

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivata după o direcţieDerivate parţiale pentru funcţii de mai multe variabile

Derivate parţiale

Dacă o funcţie vectorială F = (f1, f2, ..., fm) cu fi : D → R, i = 1..m. este derivabilă parţial ı̂npunctul a ı̂n raport cu toate variabilele, definim matricea Jacobiană a lui F ı̂n punctul a

JF (a) =

∂f1∂x1

(a)∂f1∂x2

(a) ...∂f1∂xk

(a)∂f2∂x1

(a)∂f2∂x2

(a) ...∂f2∂xk

(a)

... ... ... ...∂fm∂x1

(a) ∂fm∂x2(a) ... ∂fm∂xk

(a)

Observaţie

Dacă avem k = m, matricea JF (a) este pătratică iar determinantul det JF (a) se numeştejacobianul sau determinantul funcţional al funcţiilor f1, ..., fn ı̂n punctul a şi se notează

det JF (a) =D(f1, ..., fk )

D(x1, ..., xk ).

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivata după o direcţieDerivate parţiale pentru funcţii de mai multe variabile

Derivate parţiale

Dacă o funcţie vectorială F = (f1, f2, ..., fm) cu fi : D → R, i = 1..m. este derivabilă parţial ı̂npunctul a ı̂n raport cu toate variabilele, definim matricea Jacobiană a lui F ı̂n punctul a

JF (a) =

∂f1∂x1

(a)∂f1∂x2

(a) ...∂f1∂xk

(a)∂f2∂x1

(a)∂f2∂x2

(a) ...∂f2∂xk

(a)

... ... ... ...∂fm∂x1

(a) ∂fm∂x2(a) ... ∂fm∂xk

(a)

Observaţie

Dacă avem k = m, matricea JF (a) este pătratică iar determinantul det JF (a) se numeştejacobianul sau determinantul funcţional al funcţiilor f1, ..., fn ı̂n punctul a şi se notează

det JF (a) =D(f1, ..., fk )

D(x1, ..., xk ).

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate parţiale de ordinul 2

Definiţie

Fie D un deschis din Rk şi f : D → R o funcţie derivabilă parţial pe D. Fie

∂f

∂xi: D → R, i = 1, 2, ..., k

cele k derivate parţiale ale lui f .

1. Dacă există derivata parţială ı̂n a ∈ D ı̂n raport cu xj a funcţiei ∂f∂xi , atunci aceasta se vanumi derivată parţială de ordinul 2 a funcţiei f ı̂n punctul a şi se va nota prin

∂2f

∂xj∂xisau f

′′xi xj, pentru i 6= j

şi∂2f

∂x2isau f

′′x2i

pentru i = j

(pentru i 6= j , ∂2 f∂xj∂xi se numesc derivate parţiale mixte).

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate parţiale de ordinul 2

(Definiţie - continuare)

2. Dacă derivatele de la punctul 1. sunt finite ı̂n orice punct din D, obţinem funcţiile

∂2f

∂xj∂xi: D → R pentru i 6= j resp.

∂2f

∂x2i: D → R pentru i = j ,

numite derivate parţiale de ordin 2.

3. Spunem că funcţia f este de clasă C 2 pe D dacă este derivabilă parţial de ordinuldoi pe D ı̂n raport cu toate variabilele şi acestea sunt continue.

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate parţiale de ordinul 2

(Definiţie - continuare)

2. Dacă derivatele de la punctul 1. sunt finite ı̂n orice punct din D, obţinem funcţiile

∂2f

∂xj∂xi: D → R pentru i 6= j resp.

∂2f

∂x2i: D → R pentru i = j ,

numite derivate parţiale de ordin 2.

3. Spunem că funcţia f este de clasă C 2 pe D dacă este derivabilă parţial de ordinuldoi pe D ı̂n raport cu toate variabilele şi acestea sunt continue.

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate parţiale de ordinul 2

Exemplu

Fie f : R2 → R, f (x1, x2) = x1 · sin x2. Derivatele parţiale de ordinul 1 sunt:

∂f

∂x1(x1, x2) =

sin x2∂f

∂x2(x1, x2) = x1 · cos x2.

Derivatele parţiale de ordinul 2 sunt:

∂2f

∂x21(x1, x2) =

∂

∂x1

(∂f

∂x1

)(x1, x2) = 0

∂2f

∂x1∂x2(x1, x2) =

∂

∂x1

(∂f

∂x2

)(x1, x2) = cos x2

∂2f

∂x2∂x1(x1, x2) =

∂

∂x2

(∂f

∂x1

)(x1, x2) = cos x2

∂2f

∂x22(x1, x2) =

∂

∂x2

(∂f

∂x2

)(x1, x2) = −x1 · sin x2

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate parţiale de ordinul 2

Exemplu

Fie f : R2 → R, f (x1, x2) = x1 · sin x2. Derivatele parţiale de ordinul 1 sunt:

∂f

∂x1(x1, x2) = sin x2

∂f

∂x2(x1, x2) =

x1 · cos x2.

Derivatele parţiale de ordinul 2 sunt:

∂2f

∂x21(x1, x2) =

∂

∂x1

(∂f

∂x1

)(x1, x2) = 0

∂2f

∂x1∂x2(x1, x2) =

∂

∂x1

(∂f

∂x2

)(x1, x2) = cos x2

∂2f

∂x2∂x1(x1, x2) =

∂

∂x2

(∂f

∂x1

)(x1, x2) = cos x2

∂2f

∂x22(x1, x2) =

∂

∂x2

(∂f

∂x2

)(x1, x2) = −x1 · sin x2

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate parţiale de ordinul 2

Exemplu

Fie f : R2 → R, f (x1, x2) = x1 · sin x2. Derivatele parţiale de ordinul 1 sunt:

∂f

∂x1(x1, x2) = sin x2

∂f

∂x2(x1, x2) = x1 · cos x2.

Derivatele parţiale de ordinul 2 sunt:

∂2f

∂x21(x1, x2) =

∂

∂x1

(∂f

∂x1

)(x1, x2) = 0

∂2f

∂x1∂x2(x1, x2) =

∂

∂x1

(∂f

∂x2

)(x1, x2) = cos x2

∂2f

∂x2∂x1(x1, x2) =

∂

∂x2

(∂f

∂x1

)(x1, x2) = cos x2

∂2f

∂x22(x1, x2) =

∂

∂x2

(∂f

∂x2

)(x1, x2) = −x1 · sin x2

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate parţiale de ordinul 2

Exemplu

Fie f : R2 → R, f (x1, x2) = x1 · sin x2. Derivatele parţiale de ordinul 1 sunt:

∂f

∂x1(x1, x2) = sin x2

∂f

∂x2(x1, x2) = x1 · cos x2.

Derivatele parţiale de ordinul 2 sunt:

∂2f

∂x21(x1, x2) =

∂

∂x1

(∂f

∂x1

)(x1, x2) = 0

∂2f

∂x1∂x2(x1, x2) =

∂

∂x1

(∂f

∂x2

)(x1, x2) = cos x2

∂2f

∂x2∂x1(x1, x2) =

∂

∂x2

(∂f

∂x1

)(x1, x2) = cos x2

∂2f

∂x22(x1, x2) =

∂

∂x2

(∂f

∂x2

)(x1, x2) = −x1 · sin x2

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate parţiale de ordinul 2

Exemplu

Fie f : R2 → R, f (x1, x2) = x1 · sin x2. Derivatele parţiale de ordinul 1 sunt:

∂f

∂x1(x1, x2) = sin x2

∂f

∂x2(x1, x2) = x1 · cos x2.

Derivatele parţiale de ordinul 2 sunt:

∂2f

∂x21(x1, x2) =

∂

∂x1

(∂f

∂x1

)(x1, x2) = 0

∂2f

∂x1∂x2(x1, x2) =

∂

∂x1

(∂f

∂x2

)(x1, x2) = cos x2

∂2f

∂x2∂x1(x1, x2) =

∂

∂x2

(∂f

∂x1

)(x1, x2) = cos x2

∂2f

∂x22(x1, x2) =

∂

∂x2

(∂f

∂x2

)(x1, x2) = −x1 · sin x2

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate parţiale de ordinul 2

Exemplu

Fie f : R2 → R, f (x1, x2) = x1 · sin x2. Derivatele parţiale de ordinul 1 sunt:

∂f

∂x1(x1, x2) = sin x2

∂f

∂x2(x1, x2) = x1 · cos x2.

Derivatele parţiale de ordinul 2 sunt:

∂2f

∂x21(x1, x2) =

∂

∂x1

(∂f

∂x1

)(x1, x2) = 0

∂2f

∂x1∂x2(x1, x2) =

∂

∂x1

(∂f

∂x2

)(x1, x2) = cos x2

∂2f

∂x2∂x1(x1, x2) =

∂

∂x2

(∂f

∂x1

)(x1, x2) = cos x2

∂2f

∂x22(x1, x2) =

∂

∂x2

(∂f

∂x2

)(x1, x2) = −x1 · sin x2

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate parţiale de ordinul 2

Exemplu

Fie f : R2 → R, f (x1, x2) = x1 · sin x2. Derivatele parţiale de ordinul 1 sunt:

∂f

∂x1(x1, x2) = sin x2

∂f

∂x2(x1, x2) = x1 · cos x2.

Derivatele parţiale de ordinul 2 sunt:

∂2f

∂x21(x1, x2) =

∂

∂x1

(∂f

∂x1

)(x1, x2) = 0

∂2f

∂x1∂x2(x1, x2) =

∂

∂x1

(∂f

∂x2

)(x1, x2) = cos x2

∂2f

∂x2∂x1(x1, x2) =

∂

∂x2

(∂f

∂x1

)(x1, x2) = cos x2

∂2f

∂x22(x1, x2) =

∂

∂x2

(∂f

∂x2

)(x1, x2) = −x1 · sin x2

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate parţiale de ordinul 2

Observaţie

1 În mod analog se pot defini derivatele parţiale de ordin q, q ≥ 2 şi funcţiile declasă C q q ≥ 2.

2 În exemplul de mai sus derivatele parţiale mixte ∂2f

∂x1∂x2şi ∂

2f∂x2∂x1

sunt egale.

Acest lucru nu este adevărat ı̂n general. A se analiza derivatele parţiale mixte deordinul 2 pentru funcţia

f (x , y) =

{xy x

2−y2x2+y2

, (x , y) 6= (0, 0)0, (x , y) = (0, 0)

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate parţiale de ordinul 2

Observaţie

1 În mod analog se pot defini derivatele parţiale de ordin q, q ≥ 2 şi funcţiile declasă C q q ≥ 2.

2 În exemplul de mai sus derivatele parţiale mixte ∂2f

∂x1∂x2şi ∂

2f∂x2∂x1

sunt egale.

Acest lucru nu este adevărat ı̂n general. A se analiza derivatele parţiale mixte deordinul 2 pentru funcţia

f (x , y) =

{xy x

2−y2x2+y2

, (x , y) 6= (0, 0)0, (x , y) = (0, 0)

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate parţiale de ordinul 2

Derivatele parţiale mixte sunt totuşi egale, ı̂n anumite condiţii:

(Teorema lui Schwartz)

Fie D un deschis din Rk şi f : D → R. Dacă f are derivatele parţiale mixte∂2f

∂xi∂xjşi

∂2f

∂xj∂xi(i 6= j) ı̂ntr-o vecinătate a unui punct a ∈ D şi dacă funcţiile

∂2f

∂xi∂xjşi

∂2f

∂xi∂xjsunt continue ı̂n a, atunci

∂2f

∂xi∂xj(a) =

∂2f

∂xj∂xi(a)

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate parţiale de ordinul 2

Derivatele parţiale mixte sunt totuşi egale, ı̂n anumite condiţii:

(Teorema lui Schwartz)

Fie D un deschis din Rk şi f : D → R. Dacă f are derivatele parţiale mixte∂2f

∂xi∂xjşi

∂2f

∂xj∂xi(i 6= j) ı̂ntr-o vecinătate a unui punct a ∈ D şi dacă funcţiile

∂2f

∂xi∂xjşi

∂2f

∂xi∂xjsunt continue ı̂n a, atunci

∂2f

∂xi∂xj(a) =

∂2f

∂xj∂xi(a)

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate parţiale de ordinul 2

Observaţie

Matricea care conţine toate derivatele parţiale de ordinul 2 ale unei funcţiif : D ⊂ Rk → R (̂ıntr-un punct a ∈ D)poartă numele de Hessiana funcţiei f (̂ınpunctul a):

Hf (a) =

∂2f∂x21

(a) ∂2f

∂x1∂x2(a) ... ∂

2f∂x1∂xk

(a)

∂2f∂x2∂x1

(a) ∂2f

∂x2

2(a) ... ∂

2f∂x2∂xk

(a)

... ... ... ...∂2f

∂xk∂x1(a) ∂

2f∂xk∂x2

(a) ... ∂2f

∂x2k

(a)

Pentru o funcţie care satisface condiţiile teoremei lui Schwartz Hf (a) este o matricesimetrică.

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate parţiale de ordinul 2

Observaţie

Matricea care conţine toate derivatele parţiale de ordinul 2 ale unei funcţiif : D ⊂ Rk → R (̂ıntr-un punct a ∈ D)poartă numele de Hessiana funcţiei f (̂ınpunctul a):

Hf (a) =

∂2f∂x21

(a) ∂2f

∂x1∂x2(a) ... ∂

2f∂x1∂xk

(a)

∂2f∂x2∂x1

(a) ∂2f

∂x2

2(a) ... ∂

2f∂x2∂xk

(a)

... ... ... ...∂2f

∂xk∂x1(a) ∂

2f∂xk∂x2

(a) ... ∂2f

∂x2k

(a)

Pentru o funcţie care satisface condiţiile teoremei lui Schwartz Hf (a) este o matricesimetrică.

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivarea funcţiilor de mai multe variabile

Derivate parţiale de ordin superior

Derivate parţiale de ordinul 2

Observaţie

Matricea care conţine toate derivatele parţiale de ordinul 2 ale unei funcţiif : D ⊂ Rk → R (̂ıntr-un punct a ∈ D)poartă numele de Hessiana funcţiei f (̂ınpunctul a):

Hf (a) =

∂2f∂x21

(a) ∂2f

∂x1∂x2(a) ... ∂

2f∂x1∂xk

(a)

∂2f∂x2∂x1

(a) ∂2f

∂x2

2(a) ... ∂

2f∂x2∂xk

(a)

... ... ... ...∂2f

∂xk∂x1(a) ∂

2f∂xk∂x2

(a) ... ∂2f

∂x2k

(a)

Pentru o funcţie care satisface condiţiile teoremei lui Schwartz Hf (a) este o matricesimetrică.

2013-2014, Facultatea de Mecanică Analiză matematică - curs 6

Derivate si diferentiale de ordin superior. Formula lui TaylorDerivate si diferentiale de ordin superiorFormula lui TaylorAplicatii

Derivarea functiilor de mai multe variabileDerivata dupa o directieDerivate partiale pentru functii de mai multe variabile

Derivate partiale de ordin superior