Analiza DINAMICĂ LINIARĂ - vladac-uvab...A.E.F. (SW) - suport laborator nr.6 – sem.II 1 Analiza DINAMICĂ LINIARĂ În acest laborator sunt atinse următoarele aspecte: generalități

A.E.F. (SW) - suport laborator nr.6 – sem.II

1

Analiza DINAMICĂ LINIARĂ

În acest laborator sunt atinse următoarele aspecte:

✓ generalități privind dinamica liniară; ✓ tipuri de analiză dinamică liniară, ✓ realizarea unei analize dinamice liniare pentru două tipuri de repere diferite, ✓ interpretarea rezultatelor analizei.

⚫ Generalități privind analiza dinamică

În cazul analizei statice se presupune că solicitările sunt constante sau sunt aplicate

foarte lent până ajung la valoarea lor maximă. Din cauza acestei convenții, viteza și

accelerația sunt nule. Așadar, în acest caz, nu sunt luate în considerare forțele de

inerție și cele de amortizare.

În multe situații reale, solicitările fie nu sunt aplicate lent, fie își schimbă valoarea în

timp. Pentru aceste situații se utilizează analiza dinamică. În general, dacă frecvența

unei sarcini depășește 1/3 din ce mai scăzută frecvență (frecvență fundamentală),

atunci, se recomandă utilizarea unei analize dinamice.

Analizele dinamice liniare se bazează pe studiul frecvențelor. Sistemul calculează

răspunsul unui model prin acumularea modurilor de influențare asupra mediului de

solicitare. De cele mai multe ori, prima modalitate de răspuns influențează semnificativ

comportamentul modelului analizat. Modul de influențare depinde de frecvența de

solicitare, amplitudine, durată, direcție și poziționare.

• Obiectivele analizei dinamice

1) proiectarea structurilor și sistemelor mecanice pentru a îndeplini cu succes sarcinile

în medii înconjurătoare dinamice;

2) schimbarea caracteristicilor sistemelor – geometrie, mecanism de amortizare,

proprietățile materialului, etc. – pentru a reduce efectele cauzate de vibrații.

• Amortizarea

Dacă se aplică o solicitare inițială unui sistem dinamic, acesta vibrează cu amplitudine

din ce în ce mai mică până în momentul de echilibru. Acest fenomen este denumit

amortizare. Amortizarea este un fenomen complex prin care se disipă energie prin

mai multe mecanisme precum: fricțiune internă sau externă, efecte termice ale

deformațiilor elastice ciclice la nivel microscopic, rezistența la frecarea cu aerul.

Din punct de vedere matematic este destul de dificilă descrierea mecanismelor de

disipare a energiei. Efectele amortizării sunt reprezentate, de obicei, prin modele

matematice idealizate. În multe cazuri, efectele amortizării sunt descrise, destul de

precis, prin amortizarea vâscoasă echivalentă (ex. amortizoarele).


2

Un amortizor este un dispozitiv mecanic, care rezistă mișcării prin frecare vâscoasă.

Forța rezultată este proporțională cu viteza, dar acționează în sens invers, încetinind

mișcarea și absorbind energia. Se folosește frecvent în combinație cu un arc.

În analiza cu elemente finite sunt mai multe tipuri de modele idealizate, precum:

- amortizarea modală;

- amortizarea Reyleigh;

- amortizarea modală compusă;

- amortizoare concentrate (definite între două puncte de sprijin).

În continuare vor fi prezentate modelele de amortizate utilizate în analiza dinamică

liniară, urmând ca celelalte forme de amortizare să fie prezentate în cazul analizei

dinamice neliniare.

• Amortizarea modală

Indicele de amortizare modală este definit ca raport între amortizarea efectivă 𝐶 și cea

critică 𝐶𝑐 pentru fiecare mod în parte. Amortizarea critică este cea mai mică valoare a

amortizării care determină sistemul să revină la starea de echilibru fără oscilații.

Indicele de amortizarea modală poate fi determinat cu precizie prin intermediul

experimentelor. Din experiența tehnică și inginerească, indicele de amortizare modală

variază între 0.01 la sistemele slab amortizate, spre 0.15 sau mai mult pentru sisteme

puternic amortizate.

Atunci când datele experimentale nu sunt disponibile, se pot utiliza indicii sistemelor

asemănătoare pentru a determina proprietățile de amortizare. Indicii inferiori sunt ceva

mai conservatori, în timp ce indicii superiori reduc amplitudinea vibrațiilor. În general,

neglijarea acestui indice conduce la estimări nepotrivite ale răspunsului sistemului

analizat.

În termeni matematici, indicele de amortizare modală este dat de expresia:

𝝇 =𝑪

𝑪𝒄, 𝜍 =

𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎𝑟𝑒 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣ă

𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎𝑟𝑒 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐ă

unde, în acest caz, 𝐶𝑐 = 2𝑚𝜔𝑛.

Indicele de amortizare modală pentru diferite sisteme mecanice și materiale este:

Sistem Amortizarea vâscoasă echivalentă (raportul 𝝇)

Materiale metalice <0.01 Structuri metalice continue 0.02 – 0.04 Structuri metalice articulate 0.03 – 0.07 Linii de transmisie din OL / AL ≈ 0.04 Sisteme de țevi cu diametru redus 0.01 – 0.02 Sisteme de țevi cu diametru mare 0.02 – 0.03 Amortizoare auto ≈ 0.3 Cauciuc 0.05 Clădiri mari la cutremure 0.01 – 0.05


3

Structuri din beton precomprimat 0.02 – 0.05 Structuri din beton armat 0.04 – 0.07

Sistem Amortizarea vâscoasă echivalentă (≈20°)

Aluminiu ≈ 0.5 ∙ 10-4

Plumb ≈ 10-2 Fontă 1...3 ∙ 10-4 Cupru (policristalin) 10-3 Magneziu ≈ 0.5 ∙ 10-4 Alamă < 0.5 ∙ 10-3 Nichel < 0.5 ∙ 10-3 Argint < 1.5 ∙ 10-3 Bismut ≈ 4 ∙ 10-4 Zinc ≈ 1.5 ∙ 10-4 Staniu ≈ 10 ∙ 10-4

• Amortizarea modală compusă

Acest tip de amortizare permite definirea acestei proprietăți ca o caracteristică de

material. Indicele de amortizare a materialului este definit în caseta de dialog Material,

în pagina Properties. SW Simulation utilizează această proprietate pentru a calcula

indicele de amortizare vâscoasă echivalentă pentru fiecare mod în parte.

Amortizarea modală compusă este definită pe baza expresiei:

𝜷𝒋 = {𝝋}𝒋𝑻[�̅�]{𝝋}𝒋

unde:

- 𝛽𝑗 este indicele de amortizare vâscoasă echivalentă pentru modul 𝑗,

- {𝜑}𝑗𝑇 este vectorul propriu modal normalizat 𝑗,

- [�̅�] este matricea de masă globală modificată construită prin produsul dintre

coeficientul de amortizare elementar și matricea de masă

Utilizarea amortizării modale sau a amortizării modale compuse se realizează în

funcție de mai mulți factori, precum: structura materialului, proprietăți mecanice,

sistemul de amortizare utilizat.

Amortizarea modală compusă utilizează indicele de amortizare specificat în

proprietățile materialului atribuit. Astfel, se reduce necesitatea pentru definirea

explicită a valorii de amortizare pentru fiecare componentă a ansamblului analizat.

⚫ Tipuri de analiză dinamică liniară

În SW Simulation se pot realiza patru tipuri de analize dinamice: analiză modal-

temporală, analiză armonică, analiza vibrațiilor aleatorii, analiza spectrului de răspuns.

Se recomandă, ca înainte de realizarea diferitelor tipuri de analize dinamice, să se

înțeleagă conceptul de amortizare (prezentat anterior).

• Analiza modal-temporală


4

Acest tip de analiză se utilizează când variația solicitărilor în raport cu timpul este

cunoscută explicit și se urmărește un răspuns în funcție de timp.

Solicitările comune analizei modal-temporale includ:

- șocuri sau impulsuri;

- solicitări generale ce variază în timp (periodice sau aleatorii);

- mișcări uniforme ale bazelor (deplasare, viteză, accelerație aplicate tuturor

reazemelor);

- mișcări ale suporturilor (deplasare, viteză, accelerație aplicate neuniform

anumitor reazeme);

- condiții inițiale (deplasare finită, viteză sau accelerație aplicate unei

componente sau întregului model la momentul 𝑡 = 0).

În cadrul acestui tip de analiză, toate cele patru tipuri de modele idealizate de

amortizare – modală, Reyleigh, modală compusă și concentrată – sunt acceptate, iar

precizia rezultatelor analizei se poate crește prin utilizarea unui increment de timp mai

redus

• Analiza armonică

Acest tip de analiză se utilizează când se urmărește calcularea răspunsului în starea

de echilibru maximă în urma solicitărilor armonice sau excitarea reazemelor.

O solicitare armonică este exprimată ca fiind expresia:

𝑷 = 𝑨 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕 + 𝝋)

unde 𝐴 – amplitudinea, 𝜔 – frecvența, 𝑡 – timpul și 𝜑 – unghiul fazei. O solicitare

armonică cu diferite frecvențe (𝜔) în raport cu timpul poate fi și cea din fig.6.1.

Fig.6.1 Grafic pentru analiza dinamică liniară

Deși se poate crea o analiză modal-temporală unde se pot defini solicitări în funcție

de timp, ar putea să nu fie de interes calcularea variației tranzitorii în timp. În

asemenea cazuri, se câștigă timp și resurse la calcularea răspunsului în starea de

echilibru maximă la frecvența operațională dorită utilizând analiza armonică.


5

De exemplu, un motor fixat pe o masă de teste, transferă sarcini armonice în sistemul

de prindere prin intermediul șuruburilor. Se poate modela sistemul de prindere și se

poate defini o analiză armonică pentru calcularea tensiunilor și deplasărilor în starea

de echilibru maxim pentru gama de frecvențe operaționale corespunzătoare motorului.

Motorul se poate aproxima prin utilizarea unei mase distribuite.

După rularea analizei se obțin tensiunile, deplasările, accelerațiile, vitezele și

unghiurile fazelor în starea de echilibru maxim ca răspuns la o gamă de frecvențe

operaționale.

În cadrul acestui tip de analiză, doar trei modele idealizate de amortizare – modală,

Reyleigh, modală compusă – sunt acceptate.

• Analiza vibrațiilor aleatorii

Acest tip de analiză se utilizează când se urmărește calcularea răspunsului în urma

solicitărilor nedeterministe. Exemple de solicitări nedeterministe sunt următoarele:

- solicitări generate asupra unei roți de mașină care circulă pe un drum

accidentat;

- accelerații generate de cutremure;

- presiunea generată de turbulențele de aer;

- presiunea generată fie de valuri, fie de vântul puternic.

Într-o astfel de analiză, solicitările sunt descrise statistic prin funcții ale spectrului de

putere al unei perioade de timp. Unitatea de măsură a unui spectru de putere pentru

o perioadă de timp este raportul dintre pătratul sarcinii și frecvența (ex. 𝑃𝑎2/𝐻𝑧).

După rularea analizei se obțin grafice ale mediei rădăcinii pătrate, valorile spectrului

de putere, tensiunile, deplasările sau vitezele în funcție de o anumită frecvență.

Soluțiile acestor analize sunt prezentate în domeniul frecvențelor.

• Analiza spectrului de răspuns

Într-o astfel de analiză, rezultatele unei analize modale sunt utilizate în termenii unui

spectru cunoscut pentru calcularea tensiunilor și deplasărilor din model. Pentru fiecare

mod, răspunsul este redat în baza unui spectru de frecvențe modale, respectiv indicele

de amortizare dat. Toate răspunsurile modale sunt combinate apoi pentru a obține o

estimare generală asupra comportamentului structurii analizate.

Se poate utiliza analiza spectrului de răspuns în dauna analizei modal-temporale

pentru a estima răspunsul unei structuri la o solicitare aleatorie sau dependentă de

timp cum ar fi: cutremure, vânt, valuri, tracțiunea motorului cu reacție, vibrația

motoarelor, etc.


6

⚫ Analiza modal-temporală

Conform informațiilor anterioare, analiza modal-temporală se realizează când se

cunoaște explicit variația solicitărilor în timp. Se cunoaște faptul că timpul este într-o

relație invers proporțională cu frecvența. Așadar, se poate defini modificarea

solicitărilor în timp sau în funcție de frecvență.

Se presupune că există un șurub montat pe o chiulasă (componenta motorului care

se montează deasupra cilindrului cu scopul de a crea un spațiu închis între partea

superioară a pistonului și pereții interiori ai cilindrului). Se cunoaște faptul că motorul

are o vibrație neregulată la momentul pornirii. Așadar solicitarea exercitată asupra

șurubului variază în timp. Se cere aflarea valorilor tensiunilor induse în șurub.

Parametrii necesari analizei modal-temporale sunt prezentați în fig.6.2

Parametri curbei sinus Amplitudine 1 Frecvență (Hz) 5 Fază (°) 30 Parametri curbei cosinus Amplitudine 10 Frecvență (Hz) 10 Fază (°) 0 Coeficient exponențial 1

Fig.6.2 Parametri necesari analizei modal-temporale

1) Începerea analizei modal-temporale

• Se modelează sau se deschide componenta asupra căreia se face analiza;

• Click pe butonul SW Simulation din pagina Solidworks Add-Ins, care se află

în banda de comenzi;

• Click pe săgeata de sub butonul Study Advisor pentru a selecta opțiunea

New Study, după care sistemul va afișa lista cu toate tipurile de analiză care

se pot realiza pe acest reper;

• Click pe butonul Linear Dynamic , după care se selectează opțiunea Modal

Time History , apoi click pe butonul OK .

2) Atribuirea materialului

• Click dreapta pe denumirea modelului analizat din pagina Analysis Manager;


7

• Click pe opțiunea Edit/Apply Material din meniul contextual, după care se

alege materialul Alloy Steel (oțel aliat) din lista de oțeluri. Având în vedere că

𝜎𝑐 = 620.4 (𝑀𝑃𝑎), se deduce faptul că 𝜎𝑎 = 496.3(𝑀𝑃𝑎);

• Click pe butonul Apply pentru atribuirea materialului selectat, după care click

pe butonul Close pentru închiderea casetei de dialog;

3) Configurarea condițiilor limită

o Aplicarea constrângerilor

• Click dreapta pe elementul Fixtures , după care se selectează opțiunea

Fixed Geometry din meniul contextual afișat de sistem;

• Click pe suprafața corespunzătoare zonei filetate a șurubului, moment în care

în zona Faces, Edges, Vertices for Fixture, sistemul afișează eticheta Face<1>

(fig.6.3);

• Click pe butonul OK din pagina Property Manager pentru a accepta

constrângerea aplicată.

Fig.6.3 Aplicarea constrângeri pe suprafața filetată a șurubului

o Aplicarea solicitărilor armonice

• Click dreapta pe elementul External Loads , după care se selectează

opțiunea Force din meniul contextual afișat de sistem;

• Se selectează suprafața plană a gulerului șurubului (fig.6.4), după care click pe

caseta editabilă Force Value din pagina Property Manager, unde se înscrie

valoarea 50 N;

• Se marchează opțiunea Curve din zona Variation with Time, după care click

pe butonul Edit, moment în care sistemul afișează caseta de dialog Time

Curve;

• Se selectează opțiunea Harmonic Loading din lista desfășurabilă Shape,

după care se selectează opțiunea Hz din lista desfășurabilă Frequency;

• Se completează parametri de analiză conform fig.6.5, specificându-se

începerea analizei în momentul 0, iar sfârșitul acesteia în momentul 1;


8

• Click pe butonul OK din caseta de dialog Time Curve pentru aplicarea curbei

armonice;

• Click pe butonul OK din pagina Property Manager pentru aplicarea

solicitării armonice asupra reperului.

Fig.6.4 Suprafața selectată pentru aplicarea solicitării armonice

Fig.6.5 Caseta de dialog Time Curve și curba caracteristică solicitării armonice

4) Discretizarea modelului

• Click dreapta pe elementul Mesh din pagina Analysis Properties, pentru a

se selecta opțiunea Create Mesh din meniul contextual;

• În pagina Mesh, se marchează opțiunea Mesh Parameters, după care se

selectează opțiunea Blended curvature-based mesh;

• Se deplasează cursorul din zona Mesh Density către dreapta, spre zona

Fine, până când dimensiunea maximă a elementelor tetraedrale este în jurul

valorii de 4 mm (fig.6.6);

• Pentru aplicarea discretizării configurate, click pe butonuk OK din pagina

Mesh.


9

Fig.6.6 Discretizarea modelului analizat

5) Rularea analizei și interpretarea rezultatelor

Click pe butonul Run This Study aflat în bara de comenzi. După rularea analizei,

sistemul va afișa rezultatul grafic (fig.6.7). Pentru afișarea frecvențelor în care reperul

este în stare de rezonanță, click pe săgeata de sub comanda Results Advisor și

se selectează opțiunea List Resonant Frequences , moment în care sistemul

listează toate frecvențele în care reperul atinge frecvența proprie (fig.6.8).

Fig.6.7 Rezultatul grafic al analizei privind tensiunile înregistrate

Fig.6.8 Lista frecvențelor proprii pentru fiecare mod de deformare în parte


10

Din rezultatele obținute se observă efectul pe care îl au vibrațiile asupra șurubului la

pornirea motorului. Tensiunile echivalente von Mises sunt mult sub limita de curgere

admisibilă 𝜎𝑎 , cunoscându-se faptul că un motor termic nu ajunge niciodată la

frecvența proprie a șurubului.

Însă, parcursul șurubului nu se termină aici. Acum, acesta trebuie să suporte o

solicitare armonică continuă, cauzată de vibrațiile motorului din timpul funcționării.

⚫ Analiza armonică

1) Începerea analizei armonice

• Click pe săgeata de sub butonul Study Advisor pentru a selecta opțiunea

New Study, după care sistemul va afișa lista cu toate tipurile de analiză care

se pot realiza pe acest reper;

• Click pe butonul Linear Dynamic , după care se selectează opțiunea

Harmonic , apoi click pe butonul OK .

2) Atribuirea materialului

• Click dreapta pe denumirea modelului analizat din pagina Analysis Manager;

• Click pe opțiunea Edit/Apply Material din meniul contextual, după care se

alege materialul Alloy Steel (oțel aliat) din lista de oțeluri. Având în vedere că

𝜎𝑐 = 620.4 (𝑀𝑃𝑎), se deduce faptul că 𝜎𝑎 = 496.3(𝑀𝑃𝑎);

• Click pe butonul Apply pentru atribuirea materialului selectat, după care click

pe butonul Close pentru închiderea casetei de dialog;

3) Configurarea condițiilor limită

o Aplicarea constrângerilor

• Click dreapta pe elementul Fixtures , după care se selectează opțiunea

Fixed Geometry din meniul contextual afișat de sistem;

• Click pe suprafața corespunzătoare zonei filetate a șurubului, moment în care

în zona Faces, Edges, Vertices for Fixture, sistemul afișează eticheta Face<1>

(fig.6.9);

• Click pe butonul OK din pagina Property Manager pentru a accepta

constrângerea aplicată.

o Aplicarea solicitărilor

• Click dreapta pe elementul External Loads , după care se selectează

opțiunea Force din meniul contextual afișat de sistem;

• Se selectează suprafața plană a gulerului șurubului (fig.6.10), după care click

pe caseta editabilă Force Value din pagina Property Manager, unde se înscrie

valoarea 50 N;

• Click pe caseta editabilă Phase Angle pentru înscrierea valorii 2;


11

• Click pe butonul OK din pagina Property Manager pentru aplicarea

solicitării armonice asupra reperului.

Fig.6.9 Aplicarea constrângeri pe suprafața filetată a șurubului

Fig.6.10 Suprafața selectată pentru aplicarea solicitării armonice

o Configurarea gamei de frecvențe

• Click dreapta pe denumirea analizei din pagina Analysis Manager pentru a se

selecta opțiunea Properties din meniul contextual;

• În caseta de dialog Harmonic (fig.6.11), se specifică numărul de frecvențe la

care reperul să fie testat, în caseta editabilă Number of Frequencies, aflată în

zona Options. În acest caz, se specifică 10 frecvențe;

• Se marchează opțiunea Automatic Solver Selection, din zona Solver;

• Click pe eticheta Harmonic options, unde se specifică limita superioară de

5000 Hz în caseta editabilă Upper limit (fig.6.12);

• Click pe butonul OK din pagina Harmonic pentru aplicarea configurărilor

privind gama de frecvențe.


12

Fig.6.11 Pagina Frequency Options din caseta

de dialog Hermonic

Fig.6.12 Specificarea limitei superioare a

frecvențelor utilizate în analiză

4) Discretizarea modelului și stabilirea indicelui de amortizare

• Click dreapta pe elementul Mesh din pagina Analysis Properties, pentru a

se selecta opțiunea Create Mesh din meniul contextual;

• În pagina Mesh, se marchează opțiunea Mesh Parameters, după care se

selectează opțiunea Blended curvature-based mesh;

• Se deplasează cursorul din zona Mesh Density către dreapta, spre zona

Fine, până când dimensiunea maximă a elementelor tetraedrale este în jurul

valorii de 4 mm (fig.6.13);

• Pentru aplicarea discretizării configurate, click pe butonuk OK din pagina

Mesh.

Fig.6.13 Discretizarea modelului analizat

• Click dreapta pe elementul Damping din pagina Analysis Manager, pentru

a selecta opțiunea Edit/Define din meniul contextual afișat de sistem;

• În caseta editabilă Damping Ratios se specifică indicele de amortizare

caracteristic materialelor metalice și anume 0.01, după care click pe OK


13

Fig.6.14 Specificarea indicelui de amortizare

5) Rularea analizei și interpretarea rezultatelor

Click pe butonul Run This Study aflat în bara de comenzi. După rularea analizei,

sistemul va afișa rezultatul grafic (fig.6.15).

Din rezultatele obținute se observă efectul pe care îl au vibrațiile asupra șurubului în

funcționarea continua a motorului. Tensiunile echivalente von Mises sunt mult sub

tensiunile obținute la pornirea motorului și de asemenea sub limita de curgere

admisibilă 𝜎𝑎.

Fig.6.15 Rezultatul grafic al analizei armonice

BIBLIOGRAFIE

o V.ZICHIL, V.A. CIUBOTARIU, Rezolvarea de probleme utilizând metoda

elementelor finite cu Siemens NX Nastran – note de curs & suport de laborator,

Ed. Alma Mater, Bacău, RO, ISBN 978-606-527-620-8, 2018

o Dassault Systemes SolidWorks Corporation, SolidWorks Simulation Technical

Support Manual, DSSC Publication, USA, PMT1640-ENG, 2018

o M.WEBER, G.VERMA, SolidWorks Simulation Black Book, Ed.

CADCAMCAEWORKS, USA, ISBN 978-1-523-39374-9, 2016

o SolidWorks Online Help - Simulation

Documents

Analiza DINAMICĂ LINIARĂ - vladac-uvab...A.E.F. (SW) - suport laborator nr.6 – sem.II 1 Analiza DINAMICĂ LINIARĂ În acest laborator sunt atinse următoarele aspecte: generalități