Analiza Instrumentów Dłużnych - Teoria

SONIA KOŁACZ [email protected] | EKONOMIA III ROK, SPEC. INWESTYCJE KAPITAŁOWE

Analiza

Instrumentów

Dłużnych OPRACOWANIE NA PODSTAWIE PREZENTACJI DRA

PIETRASZEWSKIEGO

Analiza Instrumentów Dłużnych

SONIA KOŁACZ | [email protected] 1

SPIS TREŚCI

Rodzaje instrumentów dłużnych .................................................................................................................................. 3

Obligacje ...................................................................................................................................................................... 3

Cechy obligacji ....................................................................................................................................................... 3

Ryzyko ........................................................................................................................................................................ 4

Innowacje finansowe ............................................................................................................................................. 5

Papiery Skarbowe ....................................................................................................................................................... 5

Instrumenty emitowane przez przedsiębiorstwa ................................................................................................... 6

Instrumenty hipoteczne.............................................................................................................................................. 6

Wycena obligacji ............................................................................................................................................................ 7

Wartość pieniądza w czasie ..................................................................................................................................... 7

Wartość przyszła ...................................................................................................................................................... 7

Renta kapitałowa (annuity) .................................................................................................................................. 7

Wartość Obecna ..................................................................................................................................................... 8

Cena obligacji ............................................................................................................................................................. 8

Model wyceny obligacji ........................................................................................................................................ 8

Półroczne płatności kuponowe ........................................................................................................................... 9

Obligacje zerokuponowe ...................................................................................................................................... 9

Kwotowanie cen obligacji ........................................................................................................................................ 9

Kwotowanie „ex dividend” i „cum div” ............................................................................................................10

Stopa zwrotu z inwestycji w obligacje ......................................................................................................................10

Wewnętrzna stopa zwrotu (Internal rate of return – IRR) ...................................................................................10

Przekształcanie okresowych stóp zwrotu do postaci rocznych ...................................................................10

Przekształcanie rocznych stóp zwrotu do stóp okresowych .........................................................................11

Bieżąca stopa zwrotu – current yield ....................................................................................................................11

Wady ........................................................................................................................................................................11

Stopa zwrotu w terminie do wykupu (YTM) ..........................................................................................................11

Stopa zwrotu w terminie do wykupu dla obligacji zerokuponowych .........................................................12

Stopa zwrotu w terminie do wcześniejszego wykupu (yield to call) ...............................................................12

Stopa zwrotu z portfela obligacji ...............................................................................................................................12

Źródła dochodu ........................................................................................................................................................12

Odsetki od kuponu ................................................................................................................................................12

Całkowita stopa zwrotu .......................................................................................................................................13



Wrażliwość cen obligacji .........................................................................................................................................13

Związek między ceną a stopami procentowymi ............................................................................................13

Wpływ okresu pozostającego do wykupu obligacji na wrażliwość cenową ...........................................13

Reakcja na kierunek zmiany YTM .......................................................................................................................13

Wpływ kuponu obligacji na wrażliwość cenową ...........................................................................................13

Zmienność cen obligacji .............................................................................................................................................14

Czynniki i pomiar zmienności ..................................................................................................................................14

Stopa zmiany ceny ...............................................................................................................................................15

Czas trwania (duration) ........................................................................................................................................15

Wypukłość obligacji .....................................................................................................................................................17

Właściwości wypukłości ...........................................................................................................................................18

Struktura czasowa stóp procentowych ....................................................................................................................19

Krzywe dochodowości .............................................................................................................................................19

Krzywa rosnąca ......................................................................................................................................................19

Krzywa Płaska .........................................................................................................................................................20

Krzywa odwrócona ...............................................................................................................................................20

Krzywa w kształcie garbu .....................................................................................................................................21

Wpływ rządu na kształt krzywej dochodowości .................................................................................................22

Wady i zalety krzywej Dochodowości ...................................................................................................................22

Obliczanie terminowych stóp procentowych w oparciu o krzywe dochodowości....................................22

Normalna krzywa dochodowości oraz terminowe stopy procentowe (przykłady) ................................23

Teoria struktury czasowych stóp procentowych .................................................................................................24

Czysta Teoria Oczekiwań (ang. Pure Expectations Hypothesis, PEH) .........................................................24

Teoria Płynności (ang. Liquidity Preference Theory, LPT) ...............................................................................26

Teoria segmentacji rynku (ang. Segmented markets hypothesis) ..............................................................27

Teoria Preferencji (ang. Preferred Habitat Theory) .........................................................................................27

Immunizacja portfela obligacji ..................................................................................................................................28

Jednorazowa płatność zobowiązań.....................................................................................................................28

Zależności ................................................................................................................................................................29

Korygowanie składu portfela immunizacji ...........................................................................................................30

Ryzyko immunizacji ...................................................................................................................................................31

Immunizacja za pomocą obligacji zerokuponowych .......................................................................................31

Immunizacja wielookresowa ...................................................................................................................................31



WSTĘP Do lat 80-tych XX wieku, rynek instrumentów dłużnych złożony był z bardzo prostych instrumentów –

przede wszystkim OBLIGACJI ZWYKŁYCH. W ciągu ostatnich 20 lat zaobserwowano dynamiczny rozwój

tego rynku, co przejawia się wzrostem ilości dostępnych instrumentów oraz stopniem ich złożoności (np. z

dodatkowymi opcjami). Kolejną charakterystyczną cechą jest znacząca wielkość wolumenu obrotu. Jak

twierdzi The Bond Market Association – w IV kwartale 2005 roku wartość nowych emisji na światowym

rynku instrumentów dłużnych szacowana była na ponad 5 517,3 trylionów $.

Największymi rynkami instrumentów dłużnych są aktualnie:

Amerykański

Japoński

Rynek euroobligacji

Do analizy instrumentów dłużnych używane są coraz bardziej rozbudowane modele wyceny i bez

obszernej znajomości mechanizmów rynkowych oraz metod ilościowych, służących jako narzędzia

analityczne, można napotkać znaczne trudności w zrozumieniu skomplikowanych, wysoce złożonych

instrumentów tego rynku.

RODZAJE INSTRUMENTÓW DŁUŻNYCH

OBLIGACJE

Obligacja (ang. Bond) – jest instrumentem dłużnym, którego emitent (dłużnik) zobowiązuje się wobec

inwestora (wierzyciela) do zwrócenia pożyczonej kwoty wraz z odsetkami w ściśle określonym terminie).

W Stanach Zjednoczonych najprostszy rodzaj obligacji nazywany jest plain vanilla bond.

CECHY OBLIGACJI

Typowa obligacja określa:

1. Datę wymagalności pożyczonej kwoty

Termin wymagalności nominału obligacji nazywany jest inaczej datą wykupu, okresem wykupu

lub terminem do wykupu (ang. maturity date)

2. Ustaloną w umowie wysokość odsetek (płatnych z reguły co 6 miesięcy)

Oznacza to, iż przyszłe przepływy gotówkowe (ich częstotliwość oraz wysokość odsetek) znane są

z góry.

Podstawowe cechy obligacji

1. Rodzaj emitenta

a. Rządy

b. Władze samorządowe



c. przedsiębiorstwa

2. Okres do wykupu

a. 1 – 5 lat – obligacje krótkoterminowe

b. 5 – 12 lat – obligacje średnioterminowe

c. >12 lat – obligacje długoterminowe

Obligacje mogę mieć okres do wykupu wynoszący nawet 30 lat

Okres do wykupu jest bardzo ważnym parametrem obligacji – określa on, jak długo nabywca obligacji

będzie otrzymywał kupony odsetkowe. Długość okresu do wykupu bezpośrednio determinuje cenę

obligacji oraz ma wpływ na jej rynkową zmienność.

3. Wartość nominalna i oprocentowanie

WARTOŚĆ NOMINALNA (ang. face value) – jest sumą, jaką emitent zobowiązuje się wypłacić

posiadaczowi obligacji w dniu wykupu.

STOPA KUPONOWA (ang. coupon rate, nominal rate) – jest stopą procentową, według której emitent

nalicza odsetki od obligacji.

Przykład Stopa kuponowa = 8%

Wartość nominalna obligacji = 1000$

Roczny dochód odsetkowy = 80$

4. Opcje dodatkowe

a. Prawo do przedterminowego wykupu na żądanie emitenta lub na żądanie nabywcy

b. Prawo do konwersji obligacji na akcje

c. inne

RYZYKO

Rodzaje ryzyka związane z inwestowaniem w obligacje:

1. Ryzyko stopy procentowej

Ceny obligacji zmieniają się wraz ze zmianami stóp procentowych. Różne rodzaje obligacji oraz

ich różne emisje mogą mieć inną wrażliwość na zmienność stóp procentowych.

2. Ryzyko reinwestycji

Stopy zwrotu z obligacji zwykle obliczane są przy założeniu, że odsetki podlegają reinwestowaniu.

Fluktuacje rynkowych stóp procentowych powodować mogą zmianę stóp reinwestycji.

3. Ryzyko przedterminowego wykupu

Przedterminowy wykup obligacji przez emitenta odbywa się zwykle, gdy rynkowe stopy

procentowe spadną poniżej oprocentowania obligacji. Oznacza to zwykle reinwestycję dochodu

z obligacji przy niższych stopach procentowych.



4. Ryzyko niedotrzymania zobowiązań (ryzyko kredytowe)

Ryzyko, że emitent nie będzie terminowo wywiązywał się z płatności odsetkowych oraz ze spłaty

nominału. Jest ono tym większe, im niższa ocena ratingowa danego instrumentu.

5. Ryzyko inflacji

Zmiana realnej wartości przyszłych przepływów gotówkowych z danego instrumentu. Nie dotyczy

to jedynie obligacji indeksowanych.

6. Ryzyko walutowe

Przepływy gotówkowe z obligacji denominowanych w walutach obcych podlegają ryzku zmiany

kursu waluty w momencie dokonywania płatności.

7. Ryzyko płynności

Określa łatwość z jaką można sprzedać posiadane obligacje bez utraty wartości w stosunku do

bieżącej ceny rynkowej. Nie dotyczy to sytuacji, gdy inwestor trzyma obligację do daty wykupu.

8. Ryzyko zmienności

Dotyczy obligacji z dodatkowymi opcjami, gdzie cena zależy np. od poziomu oraz zakresu

zmienności stóp procentowych.

9. Ryzyko ryzyka

Nieznajomość ryzyka związanego z danym instrumentem finansowym.

INNOWACJE FINANSOWE

Wraz z rozwojem rynku instrumentów dłużnych, wprowadzane są przeróżne innowacje finansowe, do

których wliczamy:

Nowe produkty finansowe (zabezpieczenie przed wahaniami np. stóp procentowych)

Nowe strategie inwestycyjne

PAPIERY SKARBOWE

Skarbowe papiery wartościowe to aktywa finansowe, których emitentem jest Skarb Państwa. Stanowią

zobowiązanie rządu do zwrotu w określonym momencie w przyszłości pożyczonej od inwestorów kwoty,

wraz z odpowiednimi odsetkami.

Do skarbowych papierów wartościowych należą bony (weksle) skarbowe i obligacje skarbowe (inaczej

rządowe). Są one emitowane w momencie, gdy rząd pożycza pieniądze, aby sfinansować deficyt

budżetowy, czyli nadwyżkę wydatków nad dochodami budżetowymi. Skarbowe papiery wartościowe

stanowią część – zazwyczaj przeważającą – długu publicznego.



Bony skarbowe są INSTRUMENTAMI FINANSOWYMI KRÓTKOTERMINOWYMI: są emitowane na okresy do

jednego roku. W Polsce najpopularniejsze są bony 52-tygodniowe; emitowane są także bony na okresy

krótsze. Obligacje skarbowe emitowane są na okresy dłuższe od jednego roku. Najpopularniejsze w

Polsce są obligacje 2-letnie i 5-letnie, emitowane są także obligacje 10-letnie i 20-letnie. Obligacje

skarbowe są emitowane nie tylko w złotych, ale także - na rynkach zagranicznych - w walutach

rezerwowych.

Im ocena wiarogodności państwa jest wyższa, im stabilniejsza jest gospodarka, tym dłuższe są okresy na

które może ono zaciągać dług i tym niższe są stopy procentowe, które musi od niego płacić, gdyż ryzyko

niespłacenia długu bądź utraty przez niego wartości jest niższe. Teoretycznie krajowe skarbowe papiery

wartościowe są najbezpieczniejszymi lokatami dla inwestorów, gdyż ryzyko bankructwa państwa jest

znikome.

Bony i obligacje skarbowe na ogół mają duże nominały z wyjątkiem obligacji specjalnie przygotowanych

dla drobnych inwestorów indywidualnych (obligacje detaliczne), dlatego nabywają je instytucje

finansowe albo przedsiębiorstwa za pośrednictwem tych instytucji. Emisje odbywają się zazwyczaj za

pomocą aukcji, a potem papiery są codziennie przedmiotem handlu na rynku wtórnym; ich ceny można

znaleźć w prasie. Możliwe są także tzw. emisje prywatne, czyli adresowane do wybranych inwestorów,

ale te z reguły dotyczą obligacji wypuszczanych na rynkach zagranicznych.

INSTRUMENTY EMITOWANE PRZEZ PRZEDSIĘBIORSTWA

W ostatnich latach zainteresowanie obligacjami korporacyjnymi bardzo wzrosło. Są to obligacje

emitowane przez przedsiębiorstwa co wiąże się z dużo większym ryzykiem niewypłacalności niż w

przypadku obligacji skarbowych, gdyż pieniądze pożyczamy firmom a nie państwu. Za większym ryzykiem

kryje się jednak potencjalny większy zarobek, oprocentowanie tego typu obligacji to przedział od kilku

do kilkunastu procent. Oprocentowanie może być stałe bądź zmienne.

Obligacje korporacyjne notowane są na rynku Catalyst.

INSTRUMENTY HIPOTECZNE

Obligacje hipoteczne

Rodzaj obligacji, które są emitowane pod dany zastaw hipoteczny. Ich zaletą jest to, że mają one

pełne pokrycie w określonych nieruchomościach, gdyż w razie bankructwa danej firmy wartość

takich obligacji może wykazywać nawet dość znaczny wzrost cenowy. Pierwsze obligacje

hipoteczne zostały wyemitowane w roku 1983. Podstawową zasadą tworzenia obligacji

hipotecznych jest redystrybucja przepływów gotówkowych (oprocentowania i płatności

kapitałowych) do różnych transz emisji.

Noty hipoteczne

Pożyczki hipoteczne

Hipoteczne listy zastawne



WYCENA OBLIGACJI

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE

WARTOŚĆ PRZYSZŁA

𝐹𝑉 = 𝐶𝑜 ∙ (1 + 𝑟)𝑛

FV – wartość przyszła (w n-tym okresie)

C0 – kwota początkowa

R – stopa procentowa (roczna)

N – liczba okresów (lat)

WARTOŚĆ PRZYSZŁA DLA OKRESÓW KRÓTSZYCH NIŻ 1 ROK

Dla okresów kwartalnych:

𝐹𝑉 = 𝐶0 ∙ (1 +𝑟

4)

4∙𝑛

Dla okresów miesięcznych:

𝐹𝑉 = 𝐶0 ∙ (1 +𝑟

12)

12∙𝑛

Dla okresów dziennych:

𝐹𝑉 = 𝐶0 ∙ (1 +𝑟

365)

365∙𝑛

WARTOŚĆ PRZYSZŁA A ZMIENNE STOPY PROCENTOWE

𝐹𝑉 = 𝐶0 ∙ (1 + 𝑟1) ∙ (1 + 𝑟2) ∙ (1 + 𝑟3) ∙ … ∙ (1 + 𝑟𝑛)

r1, r2, r3, rn – oznaczają stopę procentową na dany rok

RENTA KAPITAŁOWA (ANNUITY)

Regularna inwestycja tej samej kwoty pieniędzy.

WARTOŚĆ PRZYSZŁA RENTY ZWYKŁEJ

𝑃𝑛 = 𝐴 ∙ [(1 + 𝑟)𝑛 − 1

𝑟]

A – wysokość renty1

1 Wyrażenie w nawiasie oznacza wartość przyszłą renty kapitałowej na koniec n-tego okreseu (dla 1

jednostki pieniężnej, np. 1$)



WARTOŚĆ OBECNA

𝑃𝑉 = 𝐶𝑛

(1 + 𝑟)𝑛

PV – wartość obecna

Cn – wartość inwestycji po n okresach (latach)

r – stopa procentowa (roczna)

n – liczba okresów (lat)

CENA OBLIGACJI

Cena obligacji wyznaczana jest przez wartość oczekiwanych przepływów gotówkowych, wynikających

z:

Płatności kuponowych (odsetkowych)

Wartości nominalnej wypłacanej w momencie wykupu obligacji

ZAŁOŻENIA:

1) Odsetki (kupon) płatne są 2 razy do roku

2) Następna płatność kuponowa ma miejsce dokładnie za 6 miesięcy

3) Stopa kuponowa jest stała w okresie wykupu obligacji

WAŻNE! CENA OBLIGACJI ZMIENIA SIE PRZECIWNIE DO ZMIAN WYMAGANEJ STOPY ZWROTU! JEŻELI

ZMIENIAJĄ SIĘ RYNKOWE STOPY ZWROTU (STOPY PROCENTOWE), WÓWCZAS CENA OBLIGACJI

JEST JEDYNĄ ZMIENNĄ, KTÓRA MOŻE TO ZREKOMPENSOWAĆ INWESTOROWI .

Stopa

Kuponowa

< = > Wymagana

Stopa Zwrotu

Cena < = > Wartość

nominalna

Sprzedaż z

dyskontem

Sprzedaż po

wart. Nom.

Sprzedaż z

premią

MODEL WYCENY OBLIGACJI

𝑃 = 𝐶

1 + 𝑟+

𝐶

(1 + 𝑟)2+

𝐶

(1 + 𝑟)3+ ⋯ +

𝐶

(1 + 𝑟)𝑛+

𝑀

(1 + 𝑟)𝑛

P – cena obligacji

n – liczba okresów (zwykle: liczba lat *2)

C – PÓŁROCZNA płatność kuponowa

r - okresowa stopa procentowa (wymagana roczna stopa zwrotu podzielona przez 2)

M – wartość nominalna obligacji



𝑃 = ∑𝐶

(1 + 𝑟)𝑡

𝑛

𝑡=1

+𝑀

(1 + 𝑟)𝑛

t – okres, w którym ma nastąpić płatność

PÓŁROCZNE PŁATNOŚCI KUPONOWE

Seria półrocznych płatności kuponowych jest odpowiednikiem, renty zwykłej, a więc do określenia ich

wartości można wykorzystać wzór:

𝐶 ∙ [1 −

1(1 + 𝑟)𝑛

𝑟]

OBLIGACJE ZEROKUPONOWE

Jeżeli wymagana stopa zwrotu jest tożsama wartości oprocentowania obligacji, to cena obligacji będzie

równa jej wartości nominalnej.

Gdy C = 0

𝑃 = 𝑀

(1 + 𝑟)𝑛

M – nominał obligacji

KWOTOWANIE CEN OBLIGACJI

Cena czysta (ang. clean price) – cena, która nie uwzględnia odsetek, nazywana również ceną

netto

Cena brudna (ang. disty price) – cena z uwzględnieniem narosłych odsetek, nazywana również

ceną brutto lub ceną pełną (full price)

Cena „brudna” = Cena „czysta” + odsetki narosłe od ostatniej płatności

Cena „czysta” = Cena „brudna” - odsetki narosłe od ostatniej płatności

Cena „czysta” = Cena „brudna” tylko w momencie zaraz po płatności odsetek

Zwykle: Cena „czysta” < Cena „brudna”

Giełdowe ceny obligacji niemal zawsze podawane są jako ceny „czyste”. Powoduje to konieczność

obliczenia skumulowanych odsetek.

Zwykle zakłada się, że odsetki narastają w sposób liniowy, wg wzoru:

𝑛𝑑

𝑛𝑚



nd – liczba dni od ostatniej płatności odsetek

nm – liczba dni pomiędzy dwoma płatnościami odsetek

Dla kuponów płatnych co pół roku: 365/2 = 182,5

KWOTOWANIE „EX DIVIDEND” I „CUM DIV”

Gdy obligacja kwotowana jest „ex dividend” („xd”) - wówczas kupon należy się poprzedniemu

właścicielowi (sprzedawcy obligacji).

Zwykle kwotowane ceny są cenami „cum div”, o ile nie ma oznaczenia „xd”.

W przypadku zakupu obligacji kwotowanej „cum div” należy dodać narosłe odsetki do

kwotowanej ceny.

W przypadku zakupu obligacji kwotowanej „xd” należy odjąć narosłe odsetki od kwotowanej

ceny.

STOPA ZWROTU Z INWESTYCJI W OBLIGACJE

Stopę zwrotu z inwestycji można obliczyć na dwa sposoby, poprzez:

Bieżącą stopa zwrotu (current yield, running yield)

Stopę zwrotu w terminie do wykupu (yield to maturity – YTM)

WEWNĘTRZNA STOPA ZWROTU (INTERNAL RATE OF RETURN – IRR)

Dla każdej inwestycji jest to stopa procentowa, przy której wartość obecna przepływów gotówkowych z

inwestycji jest równa nakładom inwestycyjnym.

𝑃 =𝐶𝐹1

1 + 𝑟+

𝐶𝐹2

(1 + 𝑟)2+

𝐶𝐹2

(1 + 𝑟)2+ ⋯ +

𝐶𝐹𝑇

(1 + 𝑟)𝑇

𝑃 = ∑𝐶𝐹𝑡

(1 + 𝑟)𝑡

𝑇

𝑡=1

Obliczeń można dokonywać metodą prób i błędów albo rozwiązując analitycznie równanie n-tego

stopnia.

Przypadek gdy inwestycja generuje tylko jeden przepływ gotówkowy w okresie t:

𝑃 =𝐶𝐹𝑡

(1 + 𝑟)𝑡

Wówczas należy rozwiązać równanie ze względu na r:

𝑟 = [𝐶𝐹𝑡

𝑃]

1𝑡

− 1

PRZEKSZTAŁCANIE OKRESOWYCH STÓP ZWROTU DO POSTACI ROCZNYCH

Jeśli mamy stopy procentowe dla okresów krótszych niż 1 rok, wówczas proste przemnożenie ich wartości

przez liczbę okresów w roku jest tylko pewnym prostym przybliżeniem, prawidłowy wzór:



[𝐸𝑓𝑒𝑘𝑟𝑦𝑤𝑛𝑎 𝑟𝑜𝑐𝑧𝑛𝑎 𝑠𝑡𝑜𝑝𝑎 𝑧𝑤𝑟𝑜𝑡𝑢] = [1 + (𝑂𝑘𝑟𝑒𝑠𝑜𝑤𝑎 𝑠𝑡𝑜𝑝𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡𝑜𝑤𝑎)]𝑚 − 1

m – liczba płatności w roku

PRZEKSZTAŁCANIE ROCZNYCH STÓP ZWROTU DO STÓP OKRESOWYCH

[𝑂𝑘𝑟𝑒𝑠𝑜𝑤𝑎 𝑟𝑜𝑐𝑧𝑛𝑎 𝑠𝑡𝑜𝑝𝑎 𝑧𝑤𝑟𝑜𝑡𝑢] = [1 + (𝐸𝑓𝑒𝑘𝑡𝑦𝑤𝑛𝑎 𝑠𝑡𝑜𝑝𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡𝑜𝑤𝑎)]1𝑚 − 1

BIEŻĄCA STOPA ZWROTU – CURRENT YIELD

𝐵𝑖𝑒żą𝑐𝑎 𝑠𝑡𝑜𝑝𝑎 𝑧𝑤𝑟𝑜𝑡𝑢 = 𝑊𝑎𝑟𝑡𝑜ść 𝑟𝑜𝑐𝑧𝑛𝑒𝑗 𝑝ł𝑎𝑡𝑛𝑜ś𝑐𝑖 𝑘𝑢𝑝𝑜𝑛𝑜𝑤𝑒𝑗

𝐶𝑒𝑛𝑎 𝑏𝑖𝑒żą𝑐𝑎

Mimo iż stopa kuponowa jest stała, bieżąca stopa zwrotu będzie się zmieniać wraz ze zmianą ceny.

Bieżąca stopa zwrotu jest równa stopie kuponowej tylko wtedy, gdy cena bieżąca jest równa wartości

nominalnej obligacji.

Bieżąca stopa zwrotu jest odwrotnie proporcjonalna do bieżącej wartości obligacji:

Cena obligacji Bieżąca stopa zwrotu

Rośnie Spada

Spada Rośnie

Bieżące stopy zwrotu obliczane są dla „czystych” cen obligacji.

WADY

1. Bieżąca stopa zwrotu nie jest miarą całkowitego zysku związanego z inwestycją w obligację, lecz

raczej miarą, mówiącą o zmianie rentowności inwestycji z dnia na dzień. Ignoruje ona możliwe

zyski lub straty, gdyby inwestor trzymał obligację do wykupu.

2. Bieżąca stopa zwrotu nie uwzględnia wartości pieniądza w czasie. Zakłada, że wartość kuponów

wypłacanych z obligacji w różnych okresach ma dla inwestorów takąsamą wartość.

STOPA ZWROTU W TERMINIE DO WYKUPU (YTM)

Yield to maturity to odpowiednik wewnętrznej stopy zwrotu dla inwestycji w obligacje. Do obliczania YTM

używamy przepływów gotówkowych (excel – formuła =IRR()). Za przepływy gotówkowe uznaje się

wszystkie płatności, jakie otrzyma inwestor, gdy będzie trzymał obligacje do czasu wykupu.

YTM obliczana jest z równania wyznaczającego cenę obligacji:

𝑃 =𝐶

1 + 𝑟+

𝐶

(1 + 𝑟)2+ ⋯ +

𝐶

(1 + 𝑟)𝑛+

𝑀

(1 + 𝑟)𝑛

P – cena obligacji

n – liczba okresów (zwykle: liczba lat x2)

C – półroczna płatność kuponowa

r – okresowa stopa procentowa (wymagana roczna stopa zwrotu podzielona przez 2)



M – wartość nominalna obligacji

STOPA ZWROTU W TERMINIE DO WYKUPU DLA OBLIGACJI ZEROKUPONOWYCH

𝑟 = [𝑀

𝑃]

1𝑡

− 1

Przepływy gotówkowe w okresie t równe są wartości nominalnej M.

STOPA ZWROTU W TERMINIE DO WCZEŚNIEJSZEGO WYKUPU (YIELD TO CALL)

𝑃 =𝐶

1 + 𝑟+

𝐶

(1 + 𝑟)2+ ⋯ +

𝐶

(1 + 𝑟)𝑛∗ +𝑀∗

(1 + 𝑟)𝑛∗

n* – liczba okresów do pierwszej daty wcześniejszego wykupu (liczba lat x2)

M* – cena w przypadku wcześniejszego wykupu

W tym przypadku należy dokonać symulacji zakładając:

Datę wcześniejszego wykupu

Cenę wykupu

Symulacje takie często wykonuje się dla różnych wariantów (różnych dat i różnych cen), otrzymując

spektrum wyników, które dopiero stanowią podstawę dalszych analiz.

STOPA ZWROTU Z PORTFELA OBLIGACJI

Stopa zwrotu dla portfela obligacji NIE jest średnią stopą zwrotu w terminie do wykupu (prostą lub

ważoną) obliczoną dla poszczególnych obligacji w portfelu. Jej ustalenie wymaga wyznaczenia:

łącznych przepływów gotówkowych ze wszystkich obligacji dla każdego okresu

wartości obecnej całego portfela

ŹRÓDŁA DOCHODU

Okresowe płatności kuponowe

Zysk kapitałowy (lub strata) przy wykupie obligacji, jej wcześniejszej spłacie lub sprzedaży na rynku

wtórnym

Dochód z reinwestycji płatności kuponowych (tzw. Odsetki od kuponu)

ODSETKI OD KUPONU

Niekiedy mogą stanowić znaczącą część dochodu z obligacji. Płatności kuponowe + odsetki od

kuponów można obliczyć ze wzoru na wartość przyszłą renty:

𝐶 ∗ [(1 + 𝑟)𝑛 − 1

𝑟]



Suma płatności kuponowych = n*C

PRZYCHÓD Z REINWESTYCJI ODSETEK

𝐶 ∗ [(1 + 𝑟)𝑛 − 1

𝑟] − 𝑛 ∗ 𝐶

Należy pamiętać jednak o ryzyku reinwestycji przychodu z płatności kuponowych. W obliczeniach YTM

przyjmuje się, że reinwestycja będzie dokonywana według stopy YTM, co zwykle nie będzie możliwe w

całym okresie.

CAŁKOWITA STOPA ZWROTU

Zamiast przyjmować, że płatności kuponowe będą reinwestowane według stałej wartości stopy w

terminie do wykupu, należy założyć pewną wartość stopy reinwestycji, która będzie zgodna z

oczekiwaniami inwestora.

WRAŻLIWOŚĆ CEN OBLIGACJI

Istnieją 4 czynniki wpływające na wrażliwość cen obligacji. Związki między czynnikami a ceną obligacji

wynikają z modelu wyceny obligacji i zostały zaprezentowane w: Burton G. Malkiel, “Expectations, Bond

Prices and the Term Structure of Interest Rates”, Quarterly Journal of Economics, 1962 (p. 197-218)

ZWIĄZEK MIĘDZY CENĄ A STOPAMI PROCENTOWYMI

Ceny obligacji zmieniają się przeciwnie do zmian stóp procentowych.

WPŁYW OKRESU POZOSTAJĄCEGO DO WYKUPU OBLIGACJI NA WRAŻLIWOŚĆ CENOWĄ

Im dłuższy czas do wykupu obligacji, tym bardziej wrażliwa jest cena obligacji na zmianę stóp

procentowych.

REAKCJA NA KIERUNEK ZMIANY YTM

Zmiany ceny obligacji wynikające z takich samych bezwzględnych zmian YTM nie są symetryczne. Wpływ

kuponu obligacji na wrażliwość cenową.

Dla danego, ustalonego okresu do wykupu obligacji, x% spadek YTM powoduje większy wzrost ceny

obligacji, niż odpowiedni spadek ceny wynikający z x% wzrostu YTM.

WPŁYW KUPONU OBLIGACJI NA WRAŻLIWOŚĆ CENOWĄ

Im mniejszy kupon obligacji, tym bardziej wrażliwa jest jej cena na zmiany stóp procentowych. Najbardziej

wrażliwe na zmianę stóp procentowych są obligacje zerokuponowe.

Wnioski

1. Ceny obligacji zmieniają się przeciwnie do zmian stóp procentowych



2. Im dłuższy okres do wykupu obligacji, tym bardziej wrażliwa jest cena na zmianę stóp

procentowych

3. Zmiany cen wynikające z takich samych bezwzględnych zmian YTM nie są symetryczne

4. Im mniejszy kupon obligacji, tym bardziej wrażliwa jest jej cena na zmiany stóp procentowych

ZMIENNOŚĆ CEN OBLIGACJI

Cena obligacji zmienia się przeciwnie do zmian wymaganej stopy zwrotu. Wynika to stąd, że cena równa

jest wartości obecnej przepływów gotówkowych z obligacji.

Najważniejsze agencje ratingowe to:

1. Standard & Poor’s

2. Fitch

3. Moody’s

MOODY’S Explanation S&P’s Explanation

Aaa Best quality AAA Highest grade

Aa High quality AA High grade

A Higher medium grade A Upper medium grade

Baa Medium grade BBB Medium grade

Ba Possess speculative element BB Lower medium grade

B Generally lack characteristics of desirable

investment

B Speculative

Caa Poor standing, may be in default CCC-CC Outright speculation

Ca Speculative in a high degree, often in

default

C Reserved for income bonds

C Lowest grade DDD-DD In default, with rating indicating

Czynniki wpływające na cenę obligacji

Zmiany w postrzeganej zdolności kredytowej emitenta

Zbliżanie się daty wykupu obligacji sprzedawanej z dyskontem lub premią

Zmiana rynkowych stóp procentowych

CZYNNIKI I POMIAR ZM IENNOŚCI

Czynniki wpływające na poziom zmienności obligacji:

1. Oprocentowanie obligacji: Im niższy kupon, tym większa zmienność ceny obligacji.

2. Okres do wykupu: Im dłuższy instrument, tym większa zmienność cenowa.

Do pomiaru zmienności ceny obligacji wykorzystuje się:



Wartość cenową punktu bazowego (ang. Price value of a basis point) – miara, która informuje o

ile zmieni się cena obligacji przy zmianie stopy zwrotu o jeden punkt bazowy.

zmiana stopy procentowej o 0.01% = 1 bps


zmiana stopy procentowej o 1% = 100 bps


Stopę zmiany ceny

Czas trwania

STOPA ZMIANY CENY

Miara ta wskazuje jaka jest wielkość zmiany stopy zwrotu przy zmianie ceny o określoną wartość. Wskaźnik

ten szacuje się poprzez obliczenie stopy zwrotu w terminie do wykupu, gdy cena obligacji spadnie o X

jednostek (np. X dolarów).

Stopa zmiany ceny jest więc różnicą pomiędzy początkową oraz nową stopą zwrotu.

CZAS TRWANIA (DURATION)

Miara, która pozwala określić zmianę ceny przy małej zmianie stopy zwrotu. Czas trwania oblicza się

zawsze przy użyciu danych półrocznych. Aby uzyskać wartość roczną, należy uzyskany wynik podzielić

przez 2. Otrzymuje się ją poprzez różniczkowanie równania na cenę obligacji:

𝜕𝑃

𝜕𝑟= (−

−1

1 + 𝑟) ∙ (

𝐶

1 + 𝑟+

2 ∙ 𝐶

(1 + 𝑟)2+

3 ∙ 𝐶

(1 + 𝑟)3+ ⋯ +

𝑛 ∙ 𝐶

(1 + 𝑟)𝑛+

𝑛 ∙ 𝑀

(1 + 𝑟)𝑛)

Wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest średnią ważoną okresów występowania przepływów

gotówkowych, gdzie wagami są ich wartości obecne. Równanie to opisuje przybliżoną zmianę ceny

obligacji, jeśli wymagana stopa zwrotu zmieni się o niewielką wartość.

Po podzieleniu obu stron przez P, otrzymamy przybliżoną zmianę w procentach (Macaulay’s duration):

𝜕𝑃

𝜕𝑟∙

1

𝑃= (−

1

1 + 𝑟) ∙ (

𝐶

1 + 𝑟+

2 ∙ 𝐶

(1 + 𝑟)2+

3 ∙ 𝐶

(1 + 𝑟)3+ ⋯ +

𝑛 ∙ 𝐶

(1 + 𝑟)𝑛+

𝑛 ∙ 𝑀

(1 + 𝑟)𝑛) ∙

1

𝑃

Definicja Macaulay’a: „a weighted average term to maturity where all cash flows are in

terms of their present value”.

ZMODYFIKOWANY CZAS TRWANIA (MODIFIED DURATION)

𝐷∗ =𝐷

1 + 𝑦

Zmodyfikowany czas trwania można traktować jako mnożnik. Np. obligacja o zmodyfikowanym czasie

trwania równym 1,36 będzie miała zmianę ceny ok. 1.36% w odpowiedzi na 1% zmianę stóp

procentowych.



Obligacje o wyższej wartości zmodyfikowanego czasu trwania (Modified Duration) będą bardziej

wrażliwe na zmiany rynkowych stóp procentowych.

Obligacja o niższej wartości zmodyfikowanego czasu trwania jest mniej wrażliwa na zmianę stóp

procentowych, gdyż jej mnożnik jest mniejszy.

WŁASNOŚCI CZASU TRWANIA

Czas trwania, jako pierwsza pochodna funkcji ceny obligacji, zależy od następujących czynników:

CZAS DO WYKUPU OBLIGACJI

Im dłuższy okres do wykupu, tym wyższa wartość czasu trwania (ceteris paribus).

Zależność ta nie jest jednak liniowa. Dla wszystkich obligacji kuponowych czas trwania jest krótszy, niż

okres pozostający do wykupu.

Dla obligacji zerokuponowych czas trwania jest identyczny z okresem do wykupu.

PŁATNOŚCI KUPONOWE ORAZ CZĘSTOTLIWOŚĆ TYCH PŁATNOŚCI W SKALI ROKU

Czas trwania jest odwrotnie proporcjonalny do kuponu. Im wyższy kupon oraz większe płatności

kuponowe, tym krótszy czas trwania obligacji.

Gdy stopa kuponowa wzrasta, czas trwania obligacji zmniejsza się (ceteris paribus).

Wynika to stąd, że przepływy gotówkowe związane z płatnościami kuponowymi stanowią większą część

wartości obecnej obligacji.

STOPA ZWROTU W OKRESIE DO WYKUPU (YTM)

Stopa zwrotu w terminie do wykupu (YTM) jest odwrotnie proporcjonalna do czasu trwania obligacji. Im

wyższa YTM, tym krótszy okres do wykupu i tym krótszy czas trwania (ceteris paribus).

Dla obligacji zerokuponowych zależność między YTM oraz czasem trwania jest stała.

SZACOWANIE ZMIAN CEN OBLIGACJI PRZY POMOCY CZASU TRWANIA

Czas trwania jest używany jako miara wrażliwości ceny obligacji na zmiany stóp procentowych:

𝑃𝑟𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡𝑜𝑤𝑎 𝑧𝑚𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑐𝑒𝑛𝑦 = −1 ∙ 𝐶𝑧𝑎𝑠 𝑡𝑟𝑤𝑎𝑛𝑖𝑎 ∗ 𝑍𝑚𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑠𝑡𝑜𝑝𝑦 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡𝑜𝑤𝑒𝑗

1 + 𝑌𝑇𝑀

Uproszczenie przy użyciu D*:

𝑃𝑟𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡𝑜𝑤𝑎 𝑧𝑚𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑐𝑒𝑛𝑦 = 1 ∙ 𝑍𝑚𝑜𝑑𝑦𝑓𝑖𝑘𝑜𝑤𝑎𝑛𝑦 𝑐𝑧𝑎𝑠 𝑡𝑟𝑤𝑎𝑛𝑖𝑎 ∗ 𝑍𝑚𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑠𝑡𝑜𝑝𝑦 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡𝑜𝑤𝑒𝑗

Załóżmy, że procentowa zmiana ceny pewnej obligacji wyniosła 2,72% z powodu spadku stóp

procentowych o 1 %. Możemy to zdarzenie zinterpretować na podstawie punktów bazowych:





zmiana stopy procentowej o 1% = 100 bps


Gdy stopy procentowy spadły o 100 bps (1%), wartość rynkowa obligacji wzrosła o 272 bps (2,72%).

WADY CZASU TRWANIA JAKO MIARY

Chociaż czas trwania Macaulaya jest powszechnie stosowaną miarą ryzyka dla obligacji, posiada ona

następujące ograniczenia:

1. Gdy zmienia się YTM obligacji, wówczas zmienia się także czas trwania.

2. Czas trwania pozwala zmierzyć zmianę ceny (nie zmianę stopy zwrotu) w reakcji na zmianę stóp

procentowych.

3. Czas trwania zakłada, że zmiany stóp procentowych dotyczą w takim samym stopniu

instrumentów krótko- i długoterminowych (nie zawsze tak musi być).

4. Czas trwania wiąże zmiany cen obligacji ze zmianami YTM danego instrumentu, a nie ze zmianami

stóp procentowych na rynku.

Zmodyfikowany czas trwania jest właściwą miarą tylko w przypadku małych zmian w YTM. Dla dużych

zmian YTM, zmodyfikowany czas trwania musi zostać skorygowany o wypukłość obligacji.

WYPUKŁOŚĆ OBLIGACJI

Czas trwania (ang. duration) jako miara zmienności ceny obligacji dobrze opisuje tylko niewielkie zmiany

stóp zwrotu lub ceny. Nie oddaje jednak wpływu wypukłości (ang. convexity), gdy stopa zwrotu podlega

dużym wahaniom.

Czas trwania jest na wykresie przedstawiany jako styczna i aproksymuje zależność nieliniową, przyjmującą

kształt krzywej.

Aby bardziej precyzyjnie określić cenę obligacji odpowiadającą danej zmianie stóp procentowych,

należy wykorzystać dwa pierwsze wyrazy szeregu Taylora:

𝜕𝑃 =𝜕𝑃

𝜕𝑟𝜕𝑟 +

1 ∙ 𝜕2𝑃

2 ∙ 𝜕𝑟2(𝜕𝑟)2 + (𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟)

Po podzieleniu obydwóch stron równania przez P otrzymamy procentową zmianę ceny:

𝜕𝑃

𝑃=

1 ∙ 𝜕𝑃

𝑃 ∙ 𝜕𝑟𝜕𝑟 +

1 ∙ 1 ∙ 𝜕2𝑃

2 ∙ 𝑃 ∙ 𝜕𝑟2(𝜕𝑟)2 +

(𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟)

𝑃

Pierwszy składnik w obydwu równaniach oznacza przybliżoną zmianę ceny obliczoną na podstawie

odpowiednio, nominalnego czasu trwania i zmodyfikowanego czasu trwania.

Drugi składnik zawiera drugą pochodną funkcji ceny, która uwzględnia wypukłość cechującą zależność

między ceną i stopą zwrotu.



Jest ona określana „wypukłością” lub „convexity”.

WYPUKŁOŚĆ NOMINALNA:

1 ∙ 𝜕2𝑃

2 ∙ 𝜕𝑟2∙ (𝜕𝑟)2

Zmiana ceny obligacji wynikająca z wypukłości jest połową iloczynu wypukłości nominalnej i kwadratu

zmiany wymaganej stopy zwrotu:

1 ∙ 𝜕2𝑃

2 ∙ 𝜕𝑟2∙ (𝜕𝑟)2

Druga pochodna podzielona przez cenę P mierzy procentową zmianę ceny obligacji wynikającą z jej

wypukłości i nazywa się „wypukłością” („convexity”):

𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑖𝑡𝑦 = 𝐶 =1 ∙ 𝜕2𝑃

𝑃 ∙ 𝜕𝑟2

Procentowa zmiana ceny wynikająca z wypukłości równa jest:

1

2∙ (𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑖𝑡𝑦) ∙ (𝜕𝑟)2

Wypukłość (ostateczny wzór)

𝐶 =1 ∙ 𝜕2𝑃

𝑃 ∙ 𝜕𝑟2=

1

(1 + 𝑟)2∑

𝑡(𝑡 + 1)𝐶

(1 + 𝑟)𝑡+

𝑛(𝑛 + 1)𝑀

(1 + 𝑟)𝑛∙

1

𝑃

𝑛

𝑡=1

Gdy odsetki są płacone m razy w roku, to wypukłość wyrażoną w latach do kwadratu oblicza się dzieląc

wypukłość wyrażoną w okresach otrzymywania odsetek (podniesionych do kwadratu), przez kwadrat

liczby okresów odsetkowych w ciągu roku.

WŁAŚCIWOŚCI WYPUKŁOŚCI

Istnieją cztery właściwości wypukłości obligacji

1. Wypukłość dodatnia (positive convexity) – przy danym oprocentowaniu i okresie do wykupu, im

wyższa wymagana stopa zwrotu, tym niższa wypukłość obligacji.

2. Przy danej stopie zwrotu i okresie do wykupu, im wyższe oprocentowanie, tym niższa wypukłość

obligacji.

3. Przy danej stopie zwrotu i oprocentowaniu, im dłuższy termin do wykupu, tym wyższa jest

wypukłość obligacji.

4. Przy danej stopie zwrotu i oprocentowaniu, im dłuższy termin do wykupu, tym wyższa jest

wypukłość obligacji.



STRUKTURA CZASOWA STÓP PROCENTOWYCH

Krzywa dochodowości (krzywa stóp procentowych) (ang. yield curve) obrazuje zależność między stopą

zwrotu z obligacji o tej samej charakterystyce (jakości kredytowej) oraz terminem do wykupu.

Kształt krzywej dochodowości jest ważny z praktycznego punktu widzenia. Krzywe dochodowości zależą

od bieżących oraz przyszłych stóp procentowych.

KRZYWE DOCHODOWOŚCI

Na rynkach finansowych na świecie zidentyfikowano 4 rodzaje krzywej dochodowości:

1. Krzywa rosnąca/normalna (ang. upward sloping yield curve)

2. Krzywa płaska (ang. flat yield curve)

3. Krzywa odwrócona/malejąca (ang. inverted yield curve)

4. Krzywa w kształcie garbu (ang. humped yield curve)

KRZYWA ROSNĄCA

Krzywa to nazywana jest często krzywą normalną. Jej kształt wskazuje, że stopy procentowe będą

wzrastać w przyszłości.

W tym przypadku YTM obligacji o takiej samej charakterystyce ryzyka wzrasta wraz ze wzrostem okresu do

wykupu.

Inwestorzy, którzy oczekują wzrostu stóp procentowych, będą również oczekiwali spadku ceny obligacji

długoterminowych oraz w związku z tym będą:

sprzedawać posiadane obligacje długoterminowe

reinwestować kapitał w obligacje krótkoterminowe

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

0 2 4 6 8 10

YTM

Year



KRZYWA PŁASKA

Kształt tej krzywej implikuje, że stopy procentowe pozostaną niezmienione w przyszłości.

W tym przypadku obligacje o takiej samej charakterystyce ryzyka mają taką samą stopę YTM bez względu

na okres do wykupu. Roczna stopa YTM dla obligacji krótkoterminowych równa jest rocznej stopie zwrotu

YTM dla obligacji długookresowych.

Stopa zwrotu z inwestycji w 5-letnią obligację zerokuponową równa jest stopie zwrotu z inwestycji w 1-

roczną obligację zerokuponową przez 5 lat („rolowanie” obligacji 1-rocznej przez 4 kolejne lata).

Krzywa płaska implikuje również, że NIE WYSTĘPUJE RYZYKO REINWESTYCJI.

KRZYWA ODWRÓCONA

W tym przypadku stopa YTM dla obligacji o takiej samej charakterystyce ryzyka zmniejsza się wraz ze

wzrostem okresu do wykupu.

Kształt krzywej odwróconej wskazuje, że stopy procentowe będą spadać w przyszłości.

Inwestorzy, którzy oczekują spadku stóp procentowych, będą również oczekiwali wzrostu ceny obligacji

długoterminowych oraz w związku z tym będą

sprzedawać posiadane obligacje krótkoterminowe

reinwestować kapitał w obligacje długoterminowe

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

0 2 4 6 8 10

YTM

Year



KRZYWA W KSZTAŁCIE GARBU

Krzywa ta jest połączeniem krzywej normalnej oraz odwróconej.

W tym przypadku stopa YTM dla obligacji z podobną charakterystyką ryzyka wzrasta dla określonych

okresów do wykupu a następnie spada. Efekt ten jest wynikiem szczególnej interakcji popytu i podaży

obligacji.

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

0 2 4 6 8 10

YTM

Year

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

0 5 10 15 20 25

YTM

Year



WPŁYW RZĄDU NA KSZTAŁT KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI

Rząd często musi pożyczać kapitał z rynku (na krótki lub na długi okres). W ten sposób rząd kreuje podaż

instrumentów dłużnych na rynku.

Aby móc pożyczać duże kwoty, rząd musi zaoferować atrakcyjną stopę zwrotu (wyższą stopę

procentową). Wyższe stopy procentowe zwiększają stopy zwrotu z innych obligacji o tym samym okresie

do wykupu.

Związek między stopami procentowymi a kursem walutowym - rząd może podnieść stopy procentowe w

celu utrzymania kursu własnej waluty wobec walut obcych.

Na kształt krzywej dochodowości mogą wpływać także podatki.

Jeśli np. płatności kuponowe są opodatkowane, wówczas inwestorzy będący w wysokim progu

podatkowym będą preferowali dochód w postaci różnic kursowych niż dochód wynikający z płatności

kuponowych.

Podatki zwiększają więc popyt na obligacje o niskiej stopie kuponowej. Wyższy popyt na obligacje o niskiej

stopie kuponowej zwiększy ich cenę względem cen innych obligacji. Kształt krzywej dochodowości zmieni

się i odwzoruje tę tendencję.

WADY I ZALETY KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI

Wady:

1. Stopy zwrotu z obligacji zmieniają się z okresu na okres w zależności od bieżących i przyszłych stóp

procentowych. Stopa YTM jest średnią stopą dyskontową, która nie uwzględnia tej zmienności.

2. Założenie, że płatności kuponowe są reinwestowane przy stopie YTM niekoniecznie musi być

spełnione.

Zalety:

1. Z krzywych dochodowości można obliczać terminowe stopy procentowe (ang. forward interest

rates) i szacować przyszłe stopy natychmiastowe (ang. future spot rates).

OBLICZANIE TERMINOWYCH STÓP PROCENTOWYCH W OPARCIU O KRZYWE DOCHODOWOŚCI

KONTRAKT TERMINOWY: zobowiązanie podjęte w dniu transakcji, ale dostawa instrumentu ma miejsce w

określonym czasie w przyszłości.

TERMINOWA STOPA PROCENTOWA (ang. forward interest rate) = stopa procentowa ustalona dzisiaj,

która będzie obowiązywać w określonym czasie w przyszłości.

RYNEK NATYCHMIASTOWY (ang. spot market) = transakcje odbywają się na bieżąco.

STOPA NATYCHMIASTOWA (ang. spot interest rate) = stopa procentowa, która obowiązuje obecnie

(bieżąca stopa procentowa).



OCZEKIWANA PRZYSZŁA STOPA NATYCHMIASTOWA (ang. expected future spot rate) = stopa

procentowa, jaką oczekuje się że będzie bieżącą stopą procentową w danym okresie w przyszłości.

s = stopa natychmiastowa

f = stopa terminowa

Pierwszy subskrypt = początek okresu

Drugi subskrypt = koniec okresu

Przykłady:

0s1 = bieżąca 1-roczna stopa natychmiastowa (ang. current one-year spot rate)

0s2 = bieżąca 2-letnia stopa natychmiastowa (ang. current two-year spot rate)

1s2 = 1-roczna stopa natychmiastowa, jaką oczekuje się że będzie obowiązywała na koniec roku 1-go

(ang. one-year spot rate expected to apply at end of year two)

1f2 = bieżąca 1-roczna stopa terminowa dla inwestycji rozpoczynającej się za rok (ang. current one-year

forward rate for investment starting one year from today)

1f3 = bieżąca 2-letnia stopa terminowa dla inwestycji zaczynającej się za rok (ang. current two-year

forward rate for investment starting one year from today)

0fn oraz 0s0 nie istnieją!

NORMALNA KRZYWA DOCHODOWOŚCI ORAZ TERMINOWE STOPY PROCENTOWE (PRZYKŁADY)

Przykład 1

Przy danych następujących natychmiastowych stopach procentowych, należy wyznaczyć całkowite

stopy zwrotu z inwestycji w obligację 1-, 2- oraz 3-letnią.

Bieżąca 1-roczna stopa natychmiastowa 0s1 5.00%

Bieżąca 2-letnia stopa natychmiastowa 0s2 6.00%

Bieżąca 3-letnia stopa natychmiastowa 0s3 6.75%

Stopa zwrotu z inwestycji w obligację 1-roczną = 5%

Stopa zwrotu z inwestycji w obligację 2-letnią = (1.06)2 – 1 = 12.36%

Stopa zwrotu z inwestycji w obligację 3-letnią = (1.0675)3 – 1 = 21.65%

Załóżmy, że dla inwestorów nie ma różnicy między:

Zakupem obligacji 2-letniej dzisiaj i zatrzymaniem jej do końca okresu wykupu

oraz

Zakupem obligacji 1-rocznej dzisiaj i zawarciem kontraktu terminowego umożliwiającego zakup

jeszcze jednej obligacji 1-rocznej za rok.



W takim przypadku, aby 1-roczne inwestycje osiągnęły stopę zwrotu równą stopie z inwestycji 2-letniej,

stopa zwrotu w drugim roku musi wynosić: (1.1236/1.05) – 1 = 1.0701 –1 = 7.01%

7.01% jest stopą procentową terminową 1f2.

Przykład 2

Oblicz 1-roczną stopę terminową dla inwestycji rozpoczynającej się za dwa lata od dnia dzisiejszego.

Niewiadoma: 2f3

Dane:

Całkowita 3-letnia stopa zwrotu wynosi 21.65%

Całkowita 2-letnia stopa zwrotu wynosi 12.36%

Dokonujemy założenia, że nie ma różnicy dla inwestora gdy zainwestuje w:

Obligację 3-letnią dzisiaj i zatrzyma ją do wykupu

Obligację 2-letnią dzisiaj i zakupi kontrakt terminowy na dodatkową obligację 1-roczną za dwa

lata

Rozwiązanie:

2f3 = (1.2165/1.1236) –1 = 8.27%

TEORIA STRUKTURY CZASOWYCH STÓP PROCENTOWYCH

Teoria, która zajmuje się wpływem czasu na stopy procentowe. Pozwala udzielić odpowiedzi na pytanie,

dlaczego obligacje o różnych okresach do wykupu, mają inne stopy zwrotu.

CZYSTA TEORIA OCZEKIWAŃ (ANG. PURE EXPECTATIONS HYPOTHESIS, PEH)

Zgodnie z teorią P.E.H. każda strategia (odpowiednia sekwencja inwestycji) prowadzić będzie do

otrzymania dokładnie takiej samej stopy zwrotu w całym okresie:

1. (1+0s3)3

2. (1+0s3)3 = (1+0s1) * (1+1s2) * (1+2s3)

3. (1+0s3)3 = (1+0s2)2 * (1+2s3)

4. (1+0s3)3 = (1+0s1) * (1+1s3)2

Problem: Nie znamy oczekiwanych stóp natychmiastowych: 1s2, 2s3, 1s3.

Znane są tylko stopy terminowe: 1f2, 2f3, 1f3

Dokonujemy założenia, że:

1-roczna stopa natychmiastowa, jaką oczekuje się, że będzie obowiązywać na koniec 1-go roku

równa jest bieżącej stopie terminowej dla tego samego okresu: 1s2 = 1f2

1-roczna stopa natychmiastowa, jaką oczekuje się, że będzie obowiązywać na koniec 2-go roku




2-letnia stopa natychmiastowa, jaką oczekuje się, że będzie obowiązywać na koniec 3-go roku


W konsekwencji pozwala to sformułować następujące zależności:

1. (1+0s3)3

2. (1+0s3)3 = (1+0s1) * (1+1f2) * (1+2f3)

3. (1+0s3)3 = (1+0s2)2 *(1+2f3)

4. (1+0s3)3 = (1+0s1) * (1+1f3)2

Podstawowe założenie: stopy terminowe równe są oczekiwaniom przyszłych stóp natychmiastowych.

Zależność tę ilustruje wykres poniżej.

Jeśli teoria P.E.H. jest prawdziwa, to kwotowane na rynku stopy terminowe są precyzyjnymi i

nieobciążonymi predyktorami oczekiwanych przyszłych stóp natychmiastowych. Oznacza to również, że

kształt krzywej dochodowości również jest dobrym predyktorem przyszłych natychmiastowych stóp

procentowych.



PROBLEMY Z TEORIĄ P.E.H.

Chociaż teoria zakłada, że stopy terminowe oraz oczekiwane przyszłe stopy natychmiastowe

mogą być obliczane w ten sam sposób, to te ostatnie są tylko predyktorami przyszłych stóp. Znane

są tylko stopy terminowe.

Przy rosnącej krzywej dochodowości, stopy terminowe są wyższe niż bieżące stopy

natychmiastowe. Zgodnie z teorią P.E.H. oznacza to, że oczekiwane przyszłe stopy

natychmiastowe będą wyższe niż bieżące stopy natychmiastowe. Nie zawsze tak jednak musi być.

Badania E. Fama’y dowodzą, że:

Założenie P.E.H.: 1fn = 1sn nie jest spełnione

P.E.H. nie wyjaśnia w pełni struktury czasowej stóp procentowych

Obligacje długoterminowe mają wyższą wrażliwość na zmianę stóp procentowych.

Inwestorzy powinni być nagradzani za podejmowanie tego ryzyka.

TEORIA PŁYNNOŚCI (ANG. LIQUIDITY PREFERENCE THEORY, LPT)

L.P.T. wskazuje, że stopy terminowe zawierają w sobie więcej niż w poprzedniej teorii. L.P.T. zakłada, że

inwestorzy:

mają awersję do ryzyka

wymagają dodatkowej premii jako rekompensaty za inwestycje dokonywane w długim okresie

L.P.T. wskazuje, że stopy terminowe zawierają zarówno oczekiwania inwestorów odnośnie przyszłych stóp

natychmiastowych oraz pewną premię (liquidity premium). Dlatego też stopy terminowe powinny być

wyższe, niż oczekiwane przyszłe stopy natychmiastowe: 1fn > 1sn

Oznacza to, że stopy terminowe nie są nieobciążonymi estymatorami oczekiwanych przyszłych stóp

natychmiastowych.

Teoria L.P.T. zgodna jest generalnie z rosnącą krzywą dochodowości.

Przy krzywej dochodowości odwróconej, inwestorzy ciągle mogliby otrzymywać premię za ryzyko, gdy

oczekuje się że stopy procentowe będą spadać. Premia płynności (liquidity premium) powoduje, że stopy

terminowe będą systematycznie wyższe niż oczekiwane przyszłe stopy natychmiastowe.

PROBLEMY Z TEORIĄ L.P.T.

Chociaż L.P.T. wyjaśnia kształt krzywej dochodowości, to jednak nie wyjaśnia wielkości premii za

ryzyko

Premia za ryzyko niekoniecznie musi wzrastać monotonicznie dla wszystkich okresów do wykupu

Oczekiwane przyszłe stopy natychmiastowe nie są prognozowane wystarczająco precyzyjnie



TEORIA SEGMENTACJI RYNKU (ANG. SEGMENTED MARKETS HYPOTHESIS)

Teoria ta wyjaśnia strukturę czasową stóp procentowych istnieniem określonych „środowisk

inwestycyjnych”, wyznaczonych charakterystyką pasywów inwestorów. Wielu inwestorów

instytucjonalnych preferuje określone okresy do wykupu, które odpowiadają strukturze pasywów.

Banki – preferują obligacje krótkoterminowe

Firmy ubezpieczeniowe i fundusze emerytalne – preferują obligacje długoterminowe

Zgodnie z tą teorią inwestorzy zawsze posiadają określone preferencje co do okresów do wykupu bez

względu na ich oczekiwania odnośnie stóp procentowych.

PROBLEMY Z TEORIĄ SEGMENTACJI RYNKU

Podaż danych o konkretnych terminach wykupu może być problemem. Inwestorzy mogą być

zmuszeni do przyjęcia strategii “buy and sell” zamiast “buy and hold”

Teoria nie jest realistyczna w swojej czystej formie

Dodson, Sutch, Vanderford – badanie, które dostarcza dowodów empirycznych na istnienie segmentacji

rynku

TEORIA PREFERENCJI (ANG. PREFERRED HABITAT THEORY)

Zawiera się pomiędzy L.P.T. i teorią segmentacji rynku. Uznaje ograniczenia w podaży obligacji o

określonych terminach wykupu jak i istnienie możliwości arbitrażu na rynku (pomiędzy różnymi terminami

wykupu).

Teoria preferencji mówi, że ryzyko stopy procentowej minimalizowane jest gdy terminy wykupu obligacji

odpowiadają planowanym wydatkom inwestorów. Jednak „środowiska inwestycyjne” inwestorów nie są

definitywnie określone. Inwestorzy mogą kupować obligacje o innych terminach wykupu, gdy są

adekwatnie rekompensowani za dodatkowe ryzyko, jakie w ten sposób podejmują.

Struktura czasowa stóp procentowych odwzorowuje oczekiwania co do ich przyszłej dynamiki zmian jak

i co do premii za ryzyko, ale premia za ryzyko niekoniecznie musi wzrastać wraz z terminem do wykupu.

Kształt krzywej dochodowości determinowany jest zarówno przez:

oczekiwania co do przyszłych stóp procentowych

premię za ryzyko, która motywuje inwestorów do przesuwania się poza swoje „środowiska

inwestycyjne”

Zgodnie z tą teorią wszystkie kształty krzywej dochodowości są możliwe i są uzasadnione.



IMMUNIZACJA PORTFELA OBLIGACJI

JEDNORAZOWA PŁATNOŚĆ ZOBOWIĄZAŃ

Problem zagwarantowania wypłaty klientom określonej kwoty w przyszłości (lub zagwarantowania

odpowiedniej stopy zwrotu). Przykład: Towarzystwa ubezpieczeniowe, które sprzedają gwarantowane

polisy inwestycyjne.

Strategia immunizacji polega na:

„inwestowaniu aktywów w taki sposób, aby

zabezpieczyć prowadzoną działalność przed zmianami

stóp procentowych.”

Reddington F.M. (1952), „Review of the Principle of Life Office

Valuation”, Journal of the Institute of Actuaries, pp. 286-340.

Najczęściej towarzystwa ubezpieczeniowe finansują tego rodzaju polisy wykorzystując obligacje. W

przypadku inwestycji długookresowych, rynkowe stopy procentowe zawsze będą ulegać zmianom, które

będą w sposób bezpośredni wpływały na stopy zwrotu z obligacji oraz całego portfela takich

instrumentów.

Oznacza to, że założona stopa zwrotu może nie zostać osiągnięta, a więc towarzystwo ubezpieczeniowe

nie wywiąże się ze swojego zobowiązania wobec klientów. Aby tego uniknąć, należy zastosować

strategię immunizacji, która umożliwi zabezpieczenie wartości portfela obligacji przed zmianami stóp

procentowych (w dwie strony).

PRZYKŁAD (FABOZZI, PP. 527)

Towarzystwo ubezpieczeniowe sprzedaje polisy, które gwarantują przez najbliższe 5.5 roku (= 11 okresów

półrocznych) roczną stopę zwrotu w wysokości 12.5% (czyli 6.25% półrocznie dla ekwiwalentu obligacji).

Jak zapewnić wypłatę zagwarantowanego w polisie kapitału, aby była ona niezależna od wahań stóp

procentowych?

Załóżmy, że płatność początkowa wniesiona przez posiadacza polisy wynosi: $ 8,820,262.

Towarzystwo ubezpieczeniowe gwarantuje więc, że posiadacz polisy za 5.5 roku otrzyma:

$ 8,820,262 x (1.0625)11 = $ 17,183,033

Celem towarzystwa ubezpieczeniowego jest zainwestowanie kwoty $ 8,820,262 w obligacje w taki sposób,

aby po okresie 5.5 roku wzrosła ona do wartości $ 17,183,033; bez względu na to, jakie będą na rynku

występowały zmiany w poziomie stóp procentowych. Jest to równoznaczne z osiągnięciem docelowej

stopy zwrotu równej 12.5% (wyrażonej w kategoriach obligacji).

Jeśli stopy procentowe nie zmienią się w całym okresie inwestycji, to cel ten zostanie osiągnięty poprzez

zakup np. następującej obligacji:



Stopa kuponowa = 12.5% (rocznie)

Okres zapadalności: 5.5 roku

Bieżąca cena rynkowa = Cena nominalna (YTM = 12.5%(rocznie))

UWAGA! Zakładana stopa zwrotu zostanie osiągnięta tylko wtedy, gdy płatności kuponowe z obligacji

będą reinwestowane według półrocznej stopy procentowej (6.25%). Skumulowana wartość inwestycji

jest uzależniona bowiem od stopy reinwestycji odsetek.

Co się stanie, gdy po dokonaniu takiej inwestycji na rynku zmienią się stopy procentowe?

Załóżmy, że zmiana stóp następuje bezpośrednio po zakupie tych obligacji ……

Nowa

stopa

zwrotu

Płatności

kuponowe

Przychody z reinwestycji

płatnosci kuponowych

Cena

obligacji

Wartość

skumulowan

a

Całkowita

stopa zwrotu

16,00% 6,063,930 3,112,167 8,820,262 17,996,360 13,40%

15,50% 6,063,930 2,990,716 8,820,262 17,874,908 13,26%

14,50% 6,063,930 2,753,177 8,820,262 17,637,369 13,00%

(…) (…) (…) (…) (…) (…)

12,50% 6,063,930 2,298,840 8,820,262 17,183,033 12,50%

(…) (…) (…) (…) (…) (…)

6,00% 6,063,930 996,577 8,820,262 15,880,769 10,98%

5,50% 6,063,930 906,511 8,820,262 15,790,703 10,87%

5,00% 6,063,930 817,785 8,820,262 15,701,977 10,77%

Docelowa wartość skumulowana portfela w przypadku tych obligacji zostanie osiągnięta tylko wtedy,

gdy stopy procentowe w ogóle nie zmienią się przez cały okres inwestycji (5.5 lat) i pozostaną na stałym

poziomie (12.5% rocznie). Jest to oczywiście nieprawdopodobne.

W przypadku wzrostu rynkowych stóp procentowych, skumulowana wartość portfela na koniec

okresu inwestycji będzie wyższa od zakładanej (>12.5%), gdyż płatności kuponowe będą

reinwestowane według wyższych stóp procentowych niż początkowa stopa YTM.

W przypadku spadku rynkowych stóp procentowych, skumulowana wartość portfela na koniec

okresu inwestycji będzie niższa od zakładanej (<12.5%), gdyż płatności kuponowe będą

reinwestowane według niższych stóp procentowych niż początkowa stopa YTM.

ZALEŻNOŚCI

Gdy rynkowe stopy procentowe wzrastają, osiągnięta wartość skumulowana będzie niższa od

wartości planowanej.

Gdy natomiast rynkowe stopy procentowe spadają, to osiągnięta wartość skumulowana będzie

wyższa od wartości planowanej.



Wartość portfela obligacji na koniec okresu inwestycji (wartość skumulowana) zależy od relacji pomiędzy

odpowiednim wzrostem lub spadkiem:

wielkości przychodów z reinwestycji odsetek

ceny obligacji

Czy jest możliwe znalezienie takiej obligacji (lub takiego portfela obligacji), dla której niezależnie od

zmiany stóp procentowych na rynku relacja pomiędzy wielkością przychodów z reinwestycji odsetek oraz

ceną obligacji pozostaje stała?

Jeśli tak, to wówczas obligacja taka (lub cały portfel) będzie broniła się przed zmianami stóp

procentowych i zachowa pożądaną wartość na koniec okresu inwestycji.

Kluczem do rozwiązania tego problemu jest duration. Aby zabezpieczyć docelową wartość

skumulowaną portfela (czyli docelową całkowitą stopę zwrotu) przed zmianami rynkowych stóp

procentowych należy wybrać obligację (lub portfel obligacji), która spełnia następujące warunki:

1. Czas trwania (duration) ma taką samą wartość jak długość zakładanego okresu inwestycji.

2. Wartość obecna wpływów gotówkowych z obligacji (lub portfela obligacji) na początku okresu

inwestycji jest równa wartości obecnej płatności gotówkowych dotyczących zabezpieczonego

zobowiązania.

Całkowita stopa zwrotu oraz wartość skumulowana na koniec okresu inwestycji nie

spadają poniżej wartości docelowych niezależnie od zmian rynkowych stóp

procentowych.

KORYGOWANIE SKŁADU PORTFELA IMMUNIZACJI

Zmiany stóp procentowych na rynku będą występowały często, co implikuje częste zmiany wartości

duration. Poza tym, sama miara duration będzie zmieniać się wraz z upływem czasu (z definicji…).

ryzyko ceny ryzyko reinwestycji



Skład portfela musi być więc na bieżąco korygowany, aby zawsze czas trwania (duration) był równy

okresowi pozostającemu do końca inwestycji. Im krótszy horyzont inwestycyjny, tym niższa musi być

wartość czasu trwania (duration).

Gdy na początku rozważanego okresu długość horyzontu inwestycyjnego wynosiła 5.5 roku, to wtedy

miara duration także musi być równa 5.5, ale np. po upływie roku horyzont inwestycyjny skróci się do 4.5

roku, a więc i duration musi wtedy zmniejszyć się i powinna wynosić 4.5 (a nie 5.5).

RYZYKO IMMUNIZACJI

Ryzyko immunizacji to przede wszystkim ryzyko reinwestycji odsetek. Portfel obligacji będzie szczególnie

narażony na ryzyko reinwestycji, gdy przepływy gotówkowe są mocno rozproszone względem terminu

zakończenia inwestycji.

Najmniejsze ryzyko będzie miał portfel, dla którego większość przepływów następuje w momencie

zakończenia inwestycji. Istnieją miary pozwalające zmierzyć ryzyko immunizacji (np. miara Fonga i

Vasicka).

IMMUNIZACJA ZA POMOCĄ OBLIGACJI ZEROKUPONOWYCH

Cel w postaci immunizacji portfela obligacji można łatwo osiągnąć przy pomocy obligacji

zerokuponowych o terminie wykupu przypadającym w terminie zakończenia inwestycji. Dzieje się tak,

ponieważ zmodyfikowany czas trwania (duration) obligacji zerokuponowych jest równy ich okresowi do

wykupu.

Problemem jest jednak to, że stopy zwrotu z obligacji zerokuponowych są zwykle niższe od stóp zwrotu z

podobnych obligacji kuponowych.

IMMUNIZACJA WIELOOKRESOWA

Jeśli mamy do czynienia z więcej niż jednym zobowiązaniem (jak w dotychczasowych rozważaniach),

wówczas należy dokonać bardziej złożonej analizy uwzględniającej wszystkie płatności.

W praktyce sytuacja taka ma miejsce bardzo często (np. w działalności różnych towarzystw

ubezpieczeniowych).

Portfel inwestycyjny należy wtedy zdezagregować na poszczególne składowe przepływy gotówkowe.

Każdy z tych przepływów stanowi zabezpiecznie kolejnych płatności wchodzących w skład

zobowiązania.

Alternatywną techniką jest tzw. strategia harmonizacji przepływów gotówkowych.

Documents

Analiza Instrumentów Dłużnych - Teoria