Upload
nguyentuyen
View
234
Download
5
Embed Size (px)
Citation preview
Analiza matematyczna 1
Marcin StyborskiKatedra Analizy Nieliniowej
pok. 610E (gmach B)[email protected]/homepages/marcins
() 28 września 2010 1 / 10
Literatura podstawowa
R. Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN2006
W. Kryszewski, Wykład analizy matematycznej. Część I. Funkcje jednejzmiennej, Wydawnictwo Naukowe UMK
W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN2009
K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN 1964
() 28 września 2010 2 / 10
Literatura uzupełniająca
G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, Tom 1, WydawnictwoNaukowe PWN 2007
W. Kołodziej, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN 2009
K. Maurin, Analiza, Tom 1, Wydawnictwo Naukowe PWN 2010
() 28 września 2010 3 / 10
Iloczyn kartezjański
Definicja
Parą uporządkowaną o poprzedniku a i następniku b nazywamy zbiór
(a, b) := {{a} , {a, b}} .
() 28 września 2010 4 / 10
Iloczyn kartezjański
Definicja
Parą uporządkowaną o poprzedniku a i następniku b nazywamy zbiór
(a, b) := {{a} , {a, b}} .
Definicja
Iloczynem kartezjańskim zbiorów X i Y nazywamy zbiór
X × Y := {(x , y)| x ∈ X ∧ y ∈ Y } .
() 28 września 2010 4 / 10
Relacje
Definicja
Dowolny podzbiór R iloczynu X × Y nazywamy relacją.
() 28 września 2010 5 / 10
Relacje
Definicja
Dowolny podzbiór R iloczynu X × Y nazywamy relacją.
Niektóre typy relacji R ⊂ X × X :zwrotna ∀x ∈ X (x , x) ∈ Rsymetryczna ∀x , y ∈ X (x , y) ∈ R ⇒ (y , x) ∈ Rprzechodnia ∀x , y , z ∈ X [(x , y) ∈ R ∧ (y , z) ∈ R]⇒ (x , z) ∈ R
() 28 września 2010 5 / 10
Relacje
Definicja
Dowolny podzbiór R iloczynu X × Y nazywamy relacją.
Niektóre typy relacji R ⊂ X × X :zwrotna ∀x ∈ X (x , x) ∈ Rsymetryczna ∀x , y ∈ X (x , y) ∈ R ⇒ (y , x) ∈ Rprzechodnia ∀x , y , z ∈ X [(x , y) ∈ R ∧ (y , z) ∈ R]⇒ (x , z) ∈ R
() 28 września 2010 5 / 10
Relacje
Definicja
Dowolny podzbiór R iloczynu X × Y nazywamy relacją.
Niektóre typy relacji R ⊂ X × X :zwrotna ∀x ∈ X (x , x) ∈ Rsymetryczna ∀x , y ∈ X (x , y) ∈ R ⇒ (y , x) ∈ Rprzechodnia ∀x , y , z ∈ X [(x , y) ∈ R ∧ (y , z) ∈ R]⇒ (x , z) ∈ R
() 28 września 2010 5 / 10
Funkcje
Definicja
Funkcją określoną na zbiorze X i o wartościach w zbiorze Y nazywamy relacjęf ⊂ X × Y spełniającą następujące warunki:
∀x ∈ X ∃y ∈ Y (x , y) ∈ f∀x ∈ X ∀y , z ∈ Y [(x , y) ∈ f ∧ (x , z) ∈ f ]⇒ y = z .
() 28 września 2010 6 / 10
Funkcje
Definicja
Funkcją określoną na zbiorze X i o wartościach w zbiorze Y nazywamy relacjęf ⊂ X × Y spełniającą następujące warunki:
∀x ∈ X ∃y ∈ Y (x , y) ∈ f∀x ∈ X ∀y , z ∈ Y [(x , y) ∈ f ∧ (x , z) ∈ f ]⇒ y = z .
() 28 września 2010 6 / 10
Funkcje
Definicja
Funkcją określoną na zbiorze X i o wartościach w zbiorze Y nazywamy relacjęf ⊂ X × Y spełniającą następujące warunki:
∀x ∈ X ∃y ∈ Y (x , y) ∈ f∀x ∈ X ∀y , z ∈ Y [(x , y) ∈ f ∧ (x , z) ∈ f ]⇒ y = z .
() 28 września 2010 6 / 10
Funkcje
Definicja
Funkcją określoną na zbiorze X i o wartościach w zbiorze Y nazywamy relacjęf ⊂ X × Y spełniającą następujące warunki:
∀x ∈ X ∃y ∈ Y (x , y) ∈ f∀x ∈ X ∀y , z ∈ Y [(x , y) ∈ f ∧ (x , z) ∈ f ]⇒ y = z .
Oznaczenie:f : X → Y
Jeśli x0 ∈ X , to jedyny element y0 ∈ Y taki, że (x0, y0) ∈ f oznaczać będziemyy0 = f (x0).X - dziedzina funkcji fY - przeciwdzedzina funkcji f
() 28 września 2010 6 / 10
Funkcje: obraz i przeciwobraz
Niech f : X → Y będzie funkcją, A ⊂ X oraz B ⊂ YObrazem zbioru A poprzez f jest zbiór
f (A) := {y ∈ Y | ∃x ∈ Ay = f (x)}
Przeciwobrazem zbioru B poprzez f jest zbiór
f −1(B) := {x ∈ X | f (x) ∈ B}
() 28 września 2010 7 / 10
Funkcje: obraz i przeciwobraz
Niech f : X → Y będzie funkcją, A ⊂ X oraz B ⊂ YObrazem zbioru A poprzez f jest zbiór
f (A) := {y ∈ Y | ∃x ∈ Ay = f (x)}
Przeciwobrazem zbioru B poprzez f jest zbiór
f −1(B) := {x ∈ X | f (x) ∈ B}
() 28 września 2010 7 / 10
Funkcje: obraz i przeciwobraz
Niech f : X → Y będzie funkcją, A ⊂ X oraz B ⊂ YObrazem zbioru A poprzez f jest zbiór
f (A) := {y ∈ Y | ∃x ∈ Ay = f (x)}
Przeciwobrazem zbioru B poprzez f jest zbiór
f −1(B) := {x ∈ X | f (x) ∈ B}
() 28 września 2010 7 / 10
Funkcje c.d.
Funkcja f : X → Y jestinjekcją lub różnowartościowa, jeżeli
∀x , x ′ ∈ X , x 6= x ′ ⇒ f (x) 6= f (x ′)
surjekcją lub „na” jeżeli
∀y ∈ Y ∃x ∈ X , y = f (x)
bijekcją lub „1-1” jeżeli jest jednocześnie injekcją i surjekcją.
() 28 września 2010 8 / 10
Funkcje c.d.
Funkcja f : X → Y jestinjekcją lub różnowartościowa, jeżeli
∀x , x ′ ∈ X , x 6= x ′ ⇒ f (x) 6= f (x ′)
surjekcją lub „na” jeżeli
∀y ∈ Y ∃x ∈ X , y = f (x)
bijekcją lub „1-1” jeżeli jest jednocześnie injekcją i surjekcją.
() 28 września 2010 8 / 10
Funkcje c.d.
Funkcja f : X → Y jestinjekcją lub różnowartościowa, jeżeli
∀x , x ′ ∈ X , x 6= x ′ ⇒ f (x) 6= f (x ′)
surjekcją lub „na” jeżeli
∀y ∈ Y ∃x ∈ X , y = f (x)
bijekcją lub „1-1” jeżeli jest jednocześnie injekcją i surjekcją.
() 28 września 2010 8 / 10
Funkcje c.d.
Funkcja f : X → Y jestinjekcją lub różnowartościowa, jeżeli
∀x , x ′ ∈ X , x 6= x ′ ⇒ f (x) 6= f (x ′)
surjekcją lub „na” jeżeli
∀y ∈ Y ∃x ∈ X , y = f (x)
bijekcją lub „1-1” jeżeli jest jednocześnie injekcją i surjekcją.
() 28 września 2010 8 / 10
Funkcje c.d.
Definicja
Niech f : X → Y i g : Y → Z będą funkcjami. Złożeniem funkcji f i g nazywamyfunkcję g ◦ f : X → Z zdefiniowaną wzorem
(g ◦ f )(x) := g(f (x)).
Definicja
Mówimy, że funkcja f : X → Y jest odwracalna, jeżeli istnieje funkcja g : Y → X ,taka że
∀x ∈ X g ◦ f (x) = x∀y ∈ Y f ◦ g(y) = y .
Funkcję g nazywamy funkcją odwrotną do f
() 28 września 2010 9 / 10
Funkcje c.d.
TwierdzenieFunkcja f : X → Y jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijekcją.
WniosekJeśli f jest odwracalna, to funkcja do niej odwrotna jest tylko jedna.
() 28 września 2010 10 / 10