Upload
kay
View
77
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Analiza matematyczna. III. Funkcje. WYKŁAD 8. Badanie funkcji. Krzysztof KucabRzeszów, 2012. Plan wykładu. ekstrema funkcji, twierdzenie Fermata o istnieniu ekstremum, funkcje wypukłe i wklęsłe, punkty przegięcia wykresu funkcji, badanie przebiegu zmienności funkcji. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Analiza matematyczna
WYKŁAD 8
Badanie funkcji
III. Funkcje
Krzysztof Kucab Rzeszów, 2012
Plan wykładu
• ekstrema funkcji,• twierdzenie Fermata o istnieniu ekstremum,• funkcje wypukłe i wklęsłe,• punkty przegięcia wykresu funkcji,• badanie przebiegu zmienności funkcji.
Ekstrema funkcji
Funkcja f ma w punkcie minimum lokalne, gdy:
Funkcja f ma w punkcie maksimum lokalne, gdy:
Rx 0
0 00 , :x S x f x f x
Rx 0
0 00 , :x S x f x f x
Ekstrema funkcji
Funkcja f ma w punkcie minimum lokalne właściwe, gdy:
Funkcja f ma w punkcie maksimum lokalne właściwe, gdy:
Rx 0
0 00 , :x S x f x f x
Rx 0
0 00 , :x S x f x f x
Ekstrema funkcji
Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław
2004.
Ekstrema funkcji
Minima i maksima lokalne funkcji nazywamy ekstremami lokalnymi funkcji.
Ekstrema funkcji
Twierdzenie Fermata
Warunek konieczny istnienia ekstremum
Jeżeli funkcja f ma:- ekstremum lokalne w punkcie x0,
- pochodną f’(x0),
to:
UWAGA:Implikacja odwrotna jest fałszywa
00 xf
Ekstrema funkcji
Funkcja może mieć ekstrema lokalne tylko w punktach, w których jej pochodna równa się zero
albo w punktach, w których jej pochodna nie istnieje.
Ekstrema funkcji
I warunek wystarczający istnienia ekstremum
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:-
-
to w punkcie x0 ma maksimum lokalne właściwe.
Twierdzenie o minimum lokalnym jest analogiczne.
,00 xf
0
0
, : 00 :
, : 0
x S x f x
x S x f x
Ekstrema funkcji
II warunek wystarczający istnienia ekstremum
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:-
-
- n jest liczbą parzystą, gdzie
to w punkcie x0 ma maksimum lokalne właściwe.
Twierdzenie o minimum lokalnym jest analogiczne.
,0... 01
00 xfxfxf n
,00 xf n
,2n
Ekstrema funkcji
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:-
-
- n jest liczbą nieparzystą,
to w punkcie x0 nie ma ekstremum lokalnego.
,0... 01
00 xfxfxf n
,00 xf n
Ekstrema funkcji
Wartość najmniejsza i największa funkcji na zbiorze
Liczba jest wartością najmniejszą funkcji f na zbiorze , jeżeli:
Liczba jest wartością największą funkcji f na zbiorze , jeżeli:
fDARm
mxfAxmxfAx :oraz: 00
RM fDA
MxfAxMxfAx :oraz: 00
Ekstrema funkcji
Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław
2004.
Funkcje wypukłe i wklęsłe
Funkcja f jest wypukła na przedziale (a,b), gdzie jeżeli:
Funkcja f jest ściśle wypukła na przedziale (a,b), gdzie jeżeli:
2121
21
11
:10
xfxfxxf
bxxa
, ba
, ba
2121
21
11
:10
xfxfxxf
bxxa
Funkcje wypukłe i wklęsłe
Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław
2004.
Funkcje wypukłe i wklęsłe
Funkcja f jest wklęsła na przedziale (a,b), gdzie jeżeli:
Funkcja f jest ściśle wklęsła na przedziale (a,b), gdzie jeżeli:
2121
21
11
:10
xfxfxxf
bxxa
, ba
, ba
2121
21
11
:10
xfxfxxf
bxxa
Funkcje wypukłe i wklęsłe
Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław
2004.
Funkcje wypukłe i wklęsłe
Warunek wystarczający wypukłości
Jeżeli dla każdego , to funkcja f jest ściśle wypukła na (a,b).
Jeżeli dla każdego , to funkcja f jest ściśle wklęsła na (a,b).
00 xf bax ,
00 xf bax ,
Punkty przegięcia wykresu funkcji
Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu punktu x0. Ponadto niech funkcja f ma tam pochodną (właściwą lub niewłaściwą).Punkt (x0,f(x0)) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f w.t.w., gdy istnieje liczba >0 taka, że funkcja f jest ściśle wypukła na oraz ściśle wklęsła na albo jest odwrotnie.
,0xS
,0xS
Punkty przegięcia wykresu funkcji
Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.
Punkty przegięcia wykresu funkcji
Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:- (x0,f(x0)) jest punktem przegięcia,
- istnieje f’’(x0),
to:
UWAGA:Implikacja odwrotna jest fałszywa
00 xf
Punkty przegięcia wykresu funkcji
Funkcja może mieć punkty przegięcia tylko w punktach, w których jej druga pochodna równa się zero albo w punktach, w których ta pochodna
nie istnieje.
Punkty przegięcia wykresu funkcji
I warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:- w punkcie x0 ma pochodną właściwą lub niewł.,
-
to (x0,f(x0)) jest punktem przegięcia jej wykresu.
Twierdzenie jest też prawdziwe, gdy nierówności dla drugiej pochodnej są odwrotne w sąsiedztwach jednostronnych punktu x0.
0:,
0:,:0
0
0
xfxSx
xfxSx
Punkty przegięcia wykresu funkcji
II warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:-
-
- n jest liczbą nieparzystą,
to (x0,f(x0)) jest punktem przegięcia jej wykresu.
,0... 01
00 xfxfxf n
,00 xf n
Punkty przegięcia wykresu funkcji
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:-
-
- n jest liczbą parzystą,
to (x0,f(x0)) nie jest punktem przegięcia jej wykresu.
,0... 01
00 xfxfxf n
,00 xf n
Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław
2004.
Badanie funkcji
1. Ustalenie dziedziny funkcji.2. Wskazanie podstawowych własności funkcji (parzystość, okresowość, miejsca zerowe, ciągłość).3. Obliczenie granic lub wartości funkcji na „krańcach” dziedziny.4. Znalezienie asymptot pionowych i ukośnych.
Badanie funkcji
5. Zbadanie pierwszej pochodnej funkcji:a) wyznaczenie dziedziny pochodnej;b) wyznaczenie punktów, w których funkcja może mieć ekstrema;c) ustalenie przedziałów monotoniczności funkcji;d) ustalenie ekstremów funkcji;e) obliczenie granic lub wartości pochodnej na „krańcach” jej dziedziny.
Badanie funkcji
6. Zbadanie drugiej pochodnej funkcji:a) wyznaczenie dziedziny drugiej pochodnej;b) wyznaczenie punktów, w których funkcja może mieć punkty przegięcia;c) ustalenie przedziałów wklęsłości i wypukłości;d) wyznaczenie punktów przegięcia wykresu funkcji;e) obliczenie pierwszej pochodnej w punktach przegięcia.
Badanie funkcji
7. Sporządzenie tabelki.8. Sporządzenie wykresu funkcji.