Upload
nguyenkhue
View
214
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
ANALIZA PROSTIRANJA ULTRAZVU NIH OSCILACIJA U SENDVI PRETVARA IMA
Milan Radmanovi , Dragan Man i , Elektronski fakultet u Nišu
Rad po pozivu
Sadržaj – U ovom radu primenom trodimenzionalnih jedna-ina linearne elasti nosti analizirane su osnosimetri ne osci-
lacije metalnih i PZT prstenova kona ne dužine, sa razli itim otvorom i dužinom. Ove zavisnosti su prikazane za prstenove od razli itih materijala i razli itih dimenzija. U pore enju sa rezultatima dobijenim primenom jednodimenzionalne teorije, rezonantne frekvencije izra unate primenom predloženog nu-meri kog metoda bolje aproksimiraju merene rezultate.
1. UVOD
Analiza oscilovanja razli itih metalnih elemenata obi no je povezivana sa rešavanjem nekog prakti nog problema. U brojnim primenama snažnog ultrazvuka, razli iti metalni tala-sovodi su projektovani da osciluju pri rezonantnim uslovima, zbog toga što su potrebne velike izlazne amplitude oscilacija (i do nekoliko desetina m). U najve em broju primena me-talni talasovodi su cilindri sa ili bez centralnog otvora, koji osciluju na osnovnom debljinskom rezonantnom modu, kao polutalasni rezonatori. Na jednom kraju metalnog talasovoda priklju en je ultrazvu ni pretvara , koji pobu uje oscilovanje talasovoda, a na drugom, radnom kraju metalnog talasovoda, emituje se ultrazvu na snaga. U cilju dobijanja što ve e efi-kasnosti, odnosno pove anja emitovane ultrazvu ne snage, neophodno je da pobudni pretvara i metalni izvršni alat osci-luju na istoj frekvenciji. Ovo je prvi razlog zbog kojeg je od-re ivanje rezonantnih frekvencija metalnih talasovoda posta-lo bitno, posebno u postupku projektovanja ultrazvu nih ure-
aja za zavarivanje.
Pored ovakvog “nezavisnog” oscilovanja metalnih izvrš-nih alata, metalni nastavci su i sastavni delovi samih pobud-nih ultrazvu nih pretvara a. U takvim ure ajima, kojima pri-padaju i Langevinovi ultrazvu ni sendvi pretvara i za pri-menu u tehnici snažnog ultrazvuka, pre svega u sistemima za ultrazvu no iš enje i zavarivanje, teži se ka dobijanju što ve-ih amplituda mehani kih oscilacija na njihovom radnom,
emitorskom kraju, pa je i u tim slu ajevima analiza oscilova-nja neophodna za njihovo pravilno projektovanje i funkcioni-sanje. Langevinov sendvi pretvara je polutalasna rezonant-na struktura, koja osciluje u longitudinalnom pravcu [1]. U najprostijem obliku sastoji se od jednog ili više parova pobud-nih piezokerami kih prstenova, pritisnutih pomo u centralnog zavrtnja izme u emitorskog i reflektorskog metalnog nastav-ka. Naj eš i oblici ovih pretvara a i njihovih sastavnih delo-va prikazani su na slici 1. U takvim slu ajevima rezonantna frekvencija kompletnog ultrazvu nog pretvara a se razlikujeod rezonantne frekvencije pojedina nog metalnog nastavka. Zbog toga je odre ivanje rezonantnih frekvencija pojedina -nih metalnih nastavaka po etni uslov za projektovanje slože-nijih sendvi pretvara a [2].
Prve optimizacije parametara ovakvih sendvi pretvara apo ele su po etkom sedamdesetih godina prošlog veka, na osnovu teorije elektromehani kih filtara. Odre ivanje rezo-nantnih frekvencija longitudinalnih oscilacija metalnih nasta-vaka, koji su dosta komplikovane geometrije, vršeno je po-mo u vibracionih platformi, a zatim je trimovanjem ostvare-no podešavanje. U tim prvim istraživanjima došlo se do odre-
enih zaklju aka, pri emu je najzna ajniji u vezi sa dužinom pretvara a i kao optimum je utvr eno da je polutalasni pret-vara najefikasniji. U isto vreme se pokušavalo do i do odgo-
varaju ih matemati kih relacija pomo u kojih bi se mogla iz-vršiti izra unavanja dužine metalnih nastavaka. Me utim, takvi prora uni su dosta neta ni iz razloga složenosti elektro-mehani kog sistema sendvi pretvara a, komplikovanog na-ina rada i oscilovanja samih piezokerami kih plo ica i slo-
ženosti trodimenzionalnih izra unavanja. Kako su napredova-li tehnologija izrade i kvalitet piezokerami kih plo ica, proiz-vo eni su pretvara i boljih karakteristika. Sa druge strane, usavršavani su postupci mehani ke obrade metalnih nastava-ka u cilju poboljšanja mehani ke sprege, što je još više pove-avalo efikasnost samih pretvara a.
Sl.1. Naj eš i oblici ultrazvu nih sendvi pretvara a
i njihovih sastavnih delova.
Razvoj ultrazvu nih pretvara a pratio je veliko nau no
interesovanje za ovu oblast, tako da je ura eno mnogo proje-
kata u oblasti usavršavanja materijala koji se primenjuju za
Langevinovi ultrazvu ni
sendvi pretvara i
eli ni nastavci
duraluminijumski nastavci
PZT keramika
elikPZT keramikaduraluminijum
Zbornik radova XLVIII Konf za ETRAN, a ak, 6-10 juna 2004, tom II
Proc. XLVIII ETRAN Conference, a ak, June 6-10, 2004, Vol. II
141
izradu sastavnih delova pretvara a, kao i u oblasti elektri nih
i mehani kih poboljšanja koja su usmerena ka daljem razvoju
snažnog ultrazvuka. Zahvaljuju i tim tehnološkim dostignu-
ima, danas postoji veliki broj metoda projektovanja za izbor
optimalne forme ultrazvu nih pretvara a. Ove metode po i-
nju sa primenom inicijalnih matemati kih formula i podeša-
vanjem (trimovanjem) pretvara a pomo u vibracionih plat-
formi (trial and error metod), sve do današnjih dana, kada se
primenom mo nih ra unarskih sistema pokušava izvršiti pro-
jektovanje ultrazvu nih pretvara a koriš enjem razli itih nu-
meri kih postupaka (modalna analiza, metod transfer matrica,
metod kona nih elemenata itd.). Modeliranje sendvi pretva-
ra a uslovljeno je razvojem modela piezokerami kih diskova
i prstenova i, uporedo sa tim, i razvojem modela metalnih sa-
stavnih delova pretvara a istog ili sli nog oblika. Ovaj rad
predstavlja numeri ku analizu prostiranja ultrazvu nih oscila-
cija u pojedina nim sastavnim delovima pretvara a, sa ciljem
pore enja frekventnih karakteristika dobijenih na taj na in, sa
odgovaraju im frekventnim karakteristikama dobijenim pri-
menom jednodimenzionalne teorije vodova za iste slu ajeve.
Naime, jednodimenzionalna teorija vodova, sa konstantnom
brzinom prostiranja talasa u vodu, do sada je u literaturi pred-
stavljala naj eš i pristup u projektovanju i modeliranju ovak-
vih složenih struktura. U cilju ilustracije mogu nosti jednodi-
menzionalnih modela vodova za modeliranje sendvi pretva-
ra a sa slike 1, na slici 2 prikazana je eksperimentalna karak-
teristika zavisnosti ulazne elektri ne impedanse od frekvenci-
je za neoptere eni ultrazvu ni sendvi pretvara sa radnom
rezonantnom frekvencijom 41.6 kHz. Navedena zavisnost
upore ena je sa analognim karakteristikama dobijenim pomo-
u postoje ih jedno-dimenzionalnih modela (opšteg [1] i
generalnog [3] modela).
Zul [dB]
f [ ]Hz0
10
20
30
40
50
60
70
0 2 4 6 8 10 12 14x 10 4
Sl.2. Ulazna impedansa u funkciji frekvencije za ultrazvu ni
pretvara sa osnovnom rezonantnom frekvencijom 41.6 kHz:
kompletni [3] ( ) i uproš eni [1] ( ) jedno-
dimenzionalni model, i eksperimentalni rezultati ( ).
Na samoj slici su prikazane greške u odre ivanju osnov-
ne rezonantne frekvencije. Pored osnovnih, i viši rezonantni
modovi dobijeni modeliranim karakteristikama pokazuju ve-
liko odstupanje od eksperimentalnih rezultata, što predstavlja
ograni enje u primeni ovih modela kojima se, uz velika od-
stupanja, može analizirati samo osnovni rezonantni mod. O i-
gledno je da se primenom teorije vodova dobijaju znatne raz-
like izme u prikazanih jednodimenzionalnih teorija i eksperi-
menata, tako da je neophodna dalja modifikacija jednodimen-
zionalnog modeliranja sendvi pretvara a i njihovih sastavnih
delova.
U dosadašnjoj ultrazvu noj praksi koriš eni su metalni
cilindri ni nastavci sa ili bez otvora, pri emu su, kod prisut-
nog unutrašnjeg otvora, u prora unima zanemarivani uticaji
njegovih dimenzija, posebno kod metalnih nastavaka koji os-
ciluju na debljinskoj rezonantnoj frekvenciji. U ovom radu
bi e pokazano da taj uticaj nije zanemarljiv. Ukoliko su radi-
jalne dimenzije nastavka manje od etvrtine talasne dužine
debljinskih oscilacija, radijalne oscilacije su zanemarljive.
Tada se, na osnovu jednodimenzionalne talasne jedna ine
prostiranja longitudinalnih oscilacija u duga kom cilindru
(štapu), mogu na i prosta analiti ka rešenja za odre ivanje
rezonantnih frekvencija. Kod ovog pristupa pomeraji ta aka u
debljinskom pravcu su uniformni na popre nom preseku osci-
latora. Ako se talasna dužina može uporediti sa dimenzijama
u radijalnom pravcu, prostiranje talasa je izobli eno (defor-
misano) zbog uticaja radijalnih pomeraja izazvanih Poissono-
vim efektom, što dovodi do neuniformnih amplituda debljin-
skog oscilovanja [4].
Postoji nekoliko zahteva prilikom projektovanja, o koji-
ma treba voditi ra una. Zahtevana radna rezonantna frekven-
cija, i materijal od koga je izra en nastavak, odre uju njego-
ve ukupne dimenzije, od kojih je presudna dužina nastavka.
Tako e, raspodela mehani kih napona u ta kama duž nastav-
ka mora biti takva da garantuje njegov što duži radni vek. U
mnogim primenama zahteva se i poja anje amplitude oscila-
cija na radnom kraju nastavka. Najzna ajniji parametri koji
karakterišu metalne delove u ultrazvu nim oscilatorima su re-
zonantna frekvencija i odgovaraju i rezonantni mod.
Numeri ki metodi su našli široku primenu u analizi i
prora unu oscilatornih sistema sa spregnutim oscilacijama, i
omogu ili su analizu raspodele (disperzije) rezonantnih mo-
dova i odre ivanje rezonantnih frekvencija [5]. Pošto veliki
broj podataka mora biti obra en (procesiran), numeri ki me-
todi zahtevaju dosta vremena za dobijanje zadovoljavaju e
ta nosti rezultata. I pored toga, u ovom radu je predložen je-
dan numeri ki pristup za odre ivanje rezonantnih frekvencija
metalnih prstenova, zbog važnosti analize uticaja veli ine
unutrašnjeg otvora prstenova na njihove rezonantne frekvent-
ne karakteristike. Teorijska razmatranja oscilovanja metalnih
prstenova baziraju se na razli itim aproksimativnim teorija-
ma, kao i na ta noj trodimenzionalnoj teoriji. Me utim, naj-
ve i broj ovih analiza se odnosi na prstenove sa tankim zi-
dom (bliskim unutrašnjim i spoljašnjim pre nikom) ili na pr-
stenove beskona ne dužine. Pored toga, aproksimativne teori-
je su ta ne samo u okviru ograni enih opsega frekvencija i ta-
lasnih dužina, kao i za odre ene odnose dimenzija, zbog raz-
li itih aproksimacija koje su uklju ene u formulaciju takvih
teorija.
Za cilindri ne šuplje metalne nastavke beskona ne duži-
ne, bez mehani kog napona na cilindri nim površinama, reše-
nje problema njihovog elasti nog oscilovanja je sadržano u
odgovaraju oj frekventnoj jedna ini, dobijenoj rešavanjem
opštih jedna ina linearne elasti nosti. Ova jedna ina dobijena
je zadovoljavanjem relevantnih grani nih uslova na cilindri -
nim površinama nastavka, bez razmatranja uticaja kružno-pr-
stenastih krajeva kona nog nastavka. Me utim, naj eš e se u
ultrazvu nim ure ajima koriste nastavci kona ne dužine i kod
njih efekti krajeva ne mogu biti zanemareni, posebno za krat-
ke uzorke u obliku prstena ili diska. Za takve nastavke u obli-
fr=45.3kHz
(greška 8.89%)
fr=54.2kHz
(greška 30.29%)
fr=41.6kHz
142
ku prstena ili diska kona ne dužine, problem se dodatno
komplikuje zbog ozbiljnih matemati kih ograni enja. Naime,
grani ni uslovi sa nultim mehani kim naponima ne mogu biti
istovremeno zadovoljeni ta no i na kružno-prstenastim i na
cilindri nim površinama nastavka.
U nastavku izlaganja izvršena je numeri ka analiza dis-
perzije osnosimetri nih talasa u neoptere enim metalnim ko-
na nim cilindri nim nastavcima sa otvorom (metalnim prste-
novima). Poseban naglasak je stavljen na disperziju frekvent-
nog spektra. Koriš enjem ta nih jedna ina trodimenzionalnih
problema linearne elasti nosti, analizirani su frekventni
spektri prstenova kona ne debljine (dužine), sa razli itim od-
nosom unutrašnjeg i spoljašnjeg pre nika, koji su validni za
bilo koje opsege frekvencija i talasnih dužina, kao i za bilo
koje odnose dimenzija. Pretpostavljeno je osnosimetri no
kretanje prstena, koji osciluje na razli itim rezonantnim mo-
dovima, kao i simetri no kretanje u odnosu na njegovu cen-
tralnu ravan (z=0). Grani ni uslovi sa nultim mehani kim na-
ponima e biti zadovoljeni ta no na cilindri nim površinama
prstena. Frekvencije vibracionih modova, koje su na taj na in
dobijene iz frekventne jedna ine, odre uju modove koji e
biti superponirani da zadovolje aproksimativno grani ne us-
love sa nultim mehani kim naponima na ravnim kružno-
prstenastim površinama prstena. Dakle, realne, imaginarne i
kompleksne grane odgovaraju eg disperzionog spektra bes-
kona no dugog prstena, superponirane su tako da zadovolje
grani ne uslove na ravnim površinama kona nog prstena sa
velikim stepenom ta nosti. Zna i da su, pored prostiru ih
modova (realne grane spektra), analizom tako e obuhva eni i
prigušeni modovi (imaginarne i kompleksne grane spektra),
zbog ega su grani ni uslovi na ravnim površinama zadovo-
ljeni sa velikom ta noš u. Kao krajnji rezultat ove analize,
mogu e je odrediti zavisnosti rezonantnih frekvencija kona -
nih metalnih prstenova (pa ak i piezokerami kih prstenova),
sa proizvoljnim odnosom unutrašnjeg i spoljašnjeg pre nika,
od njihove debljine (dužine) [5], [6] i [7]. Cilj ovakve analize
rezonantnih frekvencija sastavnih delova ultrazvu nih pretva-
ra a je da se prikažu ograni enja jednodimenzionalnih mode-
liranja metalnih nastavaka, i ukaže na neophodnost primene
trodimenzionalnog matri nog analiti kog modela PZT i me-
talnih prstenova koji su autori predložili u jednom od svojih
radova [8]. Pošto je ova analiza bazirana na ta nim jedna i-
nama trodimenzionalnih problema linearne elasti nosti, ona
predstavlja meru za pore enje validnosti razli itih metoda,
koji za dobijanje frekventnog spektra metalnih prstenova ko-
riste aproksimativne jedna ine trodimenzionalnih problema
linearne elasti nosti, a me u kojima je i metod prikazan u
literaturi [8].
2. ODRE IVANJE FREKVENTNE JEDNA INE
Posmatraju se osnosimetri ne oscilacije homogenog, izo-
tropnog, elasti nog, metalnog cilindra sa otvorom (prstena),
koji je po svom obliku identi an sa piezo-kerami kim i me-
talnim prstenovima prikazanim na slici 1. Dakle, neka su
spoljašnji i unutrašnji polupre nik metalnog prstena a i b,
respektivno, i neka je debljina prstena 2h. Pretpostavlja se da
je centralna ravan prstena locirana pri z=0, tako da njegove
krajnje površine leže na z= h.
Kretanje ta aka prstena predstavljeno je pomo u Lameo-
ve parcijalne diferencijalne jedna ine u vektorskom obliku
[5]
2
22divgrad
tm
uuu , (1)
koja daje vezu izme u vektora pomeraja ta aka prstena u i
Lameovih konstanti materijala prstena m i u dinami kim
uslovima, i u kojoj su gustina, t vreme i 2 Laplaceov di-
ferencijalni operator. Za osnosimetri no kretanje, rešenja jed-
na ine (1) su radijalna, cirkularna i aksijalna (debljinska)
komponenta vektora pomeraja u,
,00
00
zktj
r
er
rYkD
r
rJkC
r
rYB
r
rJAu
0u , (2)
,02
02
00
zktj
z
erYDrJC
rkYBrJAkju
]
[
gde su:
2222 / kvd, 2222 / kvs
,
211
12 Ymd
Ev i (3)
12
Ys
Ev .
je kružna frekvencija, EY Youngov modul, Poisso-
nov odnos, a J0 i Y0 su Besselove funkcije. k v je
osni talasni broj (v je fazna brzina talasa, talasna dužina), vd
i vs su fazne brzine kompresionih (longitudinalnih) i ekvivo-
lumnih (transverzalnih) talasa u beskona noj sredini, respek-
tivno, a A, B, C i D su konstante. Jedna ine (2) uklju uju dve
vrste kretanja, od kojih je jedno simetri no u odnosu na cen-
tralnu ravan, dok je drugo antisimetri no kretanje u odnosu
na centralnu ravan. U ovom radu, izvršena je numeri ka ana-
liza obe vrste pomeranja, mada antisimetri no kretanje (odre-
ivanje tzv. parnih rezonantnih modova) nije od interesa u
projektovanju ultrazvu nih sendvi pretvara a. Za simetri no
pomeranje (neparni rezonantni modovi) lanovi jkze u izra-
zima (2) zamenjeni su sa coskz i sinkz, respektivno, dok su za
antisimetri no kretanje zamenjeni sa sinkz i coskz, respektiv-
no.
Ako su Trr i Trz normalni i smi u i mehani ki napon,
tada grani ni uslovi sa nultim mehani kim naponima u ta ka-
ma na cilindri nim površinama prstena daju slede e grani ne
uslove na tim površinama:
(Trr)r=a=0, za svako z i t,
(Trz)r=a=0, za svako z i t, (4)
(Trr)r=b=0, za svako z i t,
(Trz)r=b=0, za svako z i t,
pri emu su izrazi za komponente tenzora mehani kih napona
u funkciji komponenata vektora pomeraja ta aka prstena sle-
de i [5]:
r
u
z
u
r
u
r
uT rzrr
mrr 2 ,r
u
z
uT zr
rz,
z
u
z
u
r
u
r
uT zzrr
mzz 2 . (5)
143
Zamenom izraza za pomeraje (2) u grani ne uslove (4),
dobija se sistem od etiri homogene algebarske jedna ine u
funkciji nepoznatih konstanti A, B, C i D. Za dobijanje netri-
vijalnog rešenja ovih algebarskih jedna ina, determinanta
ovog sistema mora biti jednaka nuli,
0
44434241
34333231
24232221
14131211
AAAA
AAAA
AAAA
AAAA
, (6)
gde su:
,2
,2
,2
,2
,
,
,2/
,2/
122
24
122
23
122
121
1014
1013
1022
12
1022
11
aYA
aJA
aYaA
aJaA
aYaYaA
aJaJaA
aYaaYA
aJaaJA
.2/
,2/
,/2
,/2
,/
,/
,2//
,2//
1222
44
1222
43
142
141
1034
1033
10222
32
10222
31
bYabA
bJabA
bYbabA
bJbabA
bYbYbabA
bJbJbabA
bYbbYabA
bJbbJabA
Kompleksna transcedentna jedna ina, dobijena iz uslova
(6), naziva se frekventnom (karakteristi nom) jedna inom, i
ona povezuje normalizovanu kružnu frekvenciju ( = a/vs),
normalizovani osni talasni broj ( =ka) i razli ite fizi ke i ge-
ometrijske parametre metalnog prstena. Fizi ki parametri su
brzina prostiranja talasa (v), Poissonov odnos materijala prs-
tena ( ) i gustina ( ), dok je normalizovana debljina zida prs-
tena ( =1-b/a) geometrijski parametar. Za pojedina ne vred-
nosti i , frekventna jedna ina daje disperzione krive, od-
nosno zavisnosti izme u i . Na taj na in dobija se besko-
na no mnogo krivih, koje se obi no nazivaju granama disper-
zionog spektra. Pošto su grani ni uslovi (4) nezavisni od z,
zna i da je karakteristi na jedna ina ista i za simetri no i za
antisimetri no pomeranje. Za realne normalizovane frekven-
cije ( ), rešenja karakteristi ne jedna ine daju realne, imagi-
narne i kompleksne vrednosti normalizovanog talasnog broja
( ), koje su pridružene odgovaraju em talasu. Pri tome su re-
alni talasni brojevi pridruženi prostiru im talasima (modo-
vima), imaginarni talasni brojevi su pridruženi prostorno pri-
gušenim talasima (modovima), dok su kompleksni talasni
brojevi pridruženi i jednima i drugima, tako da su imaginarni
i kompleksni talasni brojevi bitni u okolini krajeva kona nog
prstena (z= h). Kao što je ve pomenuto, zavisno od prirode
, grane disperzionog spektra se nazivaju realnim, imaginar-
nim ili kompleksnim granama, pri emu za odre enu frekven-
ciju postoji kona an broj realnih i imaginarnih grana, i besko-
na an broj kompleksnih grana. Rešenja (sopstvene vrednosti)
za u konjugovano-kompleksnoj ravni se zanemaruju u slu-
aju prstenova beskona ne dužine, jer tada te vrednosti do-
vode do beskona nih vrednosti za pomeraje. Za kona ne prs-
tenove ovaj problem ne postoji i, prema tome, konjugovano-
kompleksne vrednosti su uklju ene pri zadovoljavanju gra-
ni nih uslova na ravnim površinama prstena kona ne dužine.
Pošto raspodela mehani kog napona ne može biti zadovolje-
na u funkciji kona nog broja realnih vrednosti , potrebno je
uklju iti doprinos imaginarnih i kompleksnih sopstvenih
vrednosti , kako bi se zadovoljili grani ni uslovi na ravnim
površinama prstena sa prihvatljivom ta noš u.
U ovom delu rada su odre ene realne, imaginarne i kom-
pleksne grane disperzionog spektra u opsezima 0 10 i
0 14 za metalni prsten od duraluminijuma (slika 3) i
opsezima 0 30 i 0 15 za PZT8 piezokerami ki
prsten (slika 4). Disperzioni spektar eli nog prstena je skoro
identi an spektru prikazanom na slici 3, i zbog toga nije po-
sebno razmatran. Pri tome je piezokerami ki prsten posma-
tran (analogno metalnim nastavcima) kao pasivni medijum,
fizi ki predstavljen njegovim modulom elasti nosti EY, Pois-
sonovim odnosom i gustinom (nisu uzimana u obzir pie-
zoelektri na svojstva i anizotropnost piezo-keramike). U ta-
beli 1 navedene su geometrijske dimenzije i vrednosti fizi -
kih konstanti za sva tri elementa, koje su koriš ene u ovoj
analizi [9]. Uklju uju i i konjugovano-kompleksne grane u
posmatranim opsezima, za svako <10 i <30 karakteristi -
na jedna ina (6) daje 9 grana disperzionog spektra, odnosno 9
rešenja za , i za metalne prstenove i za PZT8 piezokerami ki
prsten.
Re( )Im( )-10
-50
510
0
5
10
0
2
4
6
8
10
Sl.3. Normalizovana frekvencija u funkciji normalizovanog
talasnog broja, za prsten od duraluminijuma sa odnosom
polupre nika b/a=8/40: realne grane spektra ( ),
imaginarne ( ) i kompleksne ( ) grane spektra.
Prva realna grana (Im( )=0) odgovara osnovnom rezo-
nantnom modu i postoji na svim frekvencijama, pri emu
raste sa porastom Re( ). Druga, tre a, etvrta i peta realna
grana polaze od prve, druge, tre e i etvrte grani ne frekven-
cije, respektivno, itd. Grani ne frekvencije se dobijaju kao re-
šenja jedna ine (6), ako je =0. Realne grane imaju minimu-
me, ili su tako e samo rastu e funkcije Re( ). Imaginarne
grane spektra formiraju petlje u oblastima prve i druge gra-
ni ne frekvencije, odnosno u oblastima postojanja tre e i et-
(7)
DURAL:
2a=40mm
2b=8mm
Re( )Im( )
144
vrte grani ne frekvencije. Pri tome, imaginarne petlje spajaju
pojedine realne grane disperzionog spektra i tako e imaju mi-
nimume i ne dodiruju nultu frekventnu ravan. U slu aju
PZT8 piezokeramike, posmatran je najve i frekventni oseg i
mogu e je uo iti etiri imaginarne petlje. Kompleksne grane
spektra “izviru” iz ekstremnih ta aka (relativnih maksimuma
i minimuma) realnih ili imaginarnih grana spektra, i presecaju
nultu frekventnu ravan kao kompleksne grane spektra. Za po-
jedina nu kompleksnu granu, opada sa porastom . Unutar
odre enog opsega normalizovane frekvencije i normalizova-
nog talasnog broja, broj realnih, imaginarnih i kompleksnih
grana se smanjuje sa pove anjem unutrašnjeg pre nika prste-
na od istog materijala.
-100
10
0
10
20
300
5
10
15
20
25
30
Re( ) Im( )
Sl.4. Normalizovana frekvencija u funkciji normalizovanog
talasnog broja, za prsten od PZT8 keramike sa odnosom
polupre nika b/a=15/38: realne grane spektra ( ),
imaginarne ( ) i kompleksne ( ) grane spektra.
Tabela 1. Dimenzije i parametri analiziranih prstenova
dural D5 alatni elik PZT8
a (mm) 20 20 19
b (mm) 4 4 7.5
0.34 0.29 3.0/ 1112EE ss
EY (Pa) 0.74 1011 2.18 1011 1/s33E=0.74 1011
(kg/m3) 2790 7850 7600
vd (m/s) 6389 6033 3622
vs (m/s) 3146 3281 1936
3. ODRE IVANJE REZONANTNIH FREKVENCIJA
Da bi se dalje teorijski odredile rezonantne frekvencije
metalnih prstenova pomo u predloženog numeri kog pristu-
pa, treba zadovoljiti grani ne uslove bez mehani kih napona
na svim površinama. Me utim, ovo je ozbiljno teorijsko og-
rani enje, jer ako su grani ni uslovi ta no zadovoljeni na do-
minantnim površinama prstena, nije mogu e ta no zadovoljiti
grani ne uslove sa nultim mehani kim naponima na preosta-
lim površinama prstena. Zbog toga je primenjen pogodan ap-
roksimativni pristup, odnosno metod superpozicije kona nog
broja rezonantnih modova, tako da su uslovi na preostalim
površinama zadovoljeni sa što manjom greškom. Pretpo-
stavlja se da za definisano karakteristi na jedna ina daje
2m+1 vrednosti na definisanoj frekvenciji Pojedina ni
pomeraji, koji odgovaraju tim talasnim brojevima, linearno su
superponirani uvo enjem 2m+1 nepoznatih konstanti, ime
se dobija rezultuju i pomeraj. Amplitude tih pomeraja bi e
odabrane tako da se što ta nije zadovolje 2m+1 nezavisnih
grani nih uslova na ravnim površinama prstena. Ako za poje-
dina no =1-b/a postoji 2m+1 grana spektra, treba zadovoljiti
slede ih 2m+1 uslova na ravnim površinama prstena u 2m+1
odabranih ta aka:
,,01,
12
1
hzTAT rmizz
m
i
izz (8)
gde je: rm1=b + m1 (a-b) / m , m1=0,1,2,...m,
,,02,
12
1
hzTAT rmirz
m
i
irz (9)
rm2=b + m2 (a-b) / (m+1), m2=1,2,...m.
Pri tome su Tzz i, rm1 i Trz i, rm2 mehani ki naponi (normalni
i smi u i), koji odgovaraju i-toj grani disperzionog spektra i
koji se ra unaju za r=rm1, odnosno r=rm2. Ai je amplitudna
konstanta, koja odgovara i-toj grani, a Tzz i Trz su rezultuju i
normalni i smi u i mehani ki napon, respektivno.
Jedna ine (8) i (9) predstavljaju sistem od 2m+1 nezavis-
nih homogenih jedna ina, koje sadrže 2m+1 nepoznatih kon-
stanti Ai. Za dobijanje netrivijalnog rešenja, determinanta
ovog sistema treba da bude jednaka nuli:
0
,12,2,1
,12,2,1
,12,2,1
,12,2,1
,12,2,1
,12,2,1
222
111
111
000
mmm
mmm
rmrzrrzrrz
rmrzrrzrrz
rmrzrrzrrz
rmzzrzzrzz
rmzzrzzrzz
rmzzrzzrzz
TTT
TTT
TTT
TTT
TTT
TTT
. (10)
Za datu frekvenciju f, karakteristi na jedna ina (10)
sadrži debljinu prstena l=2h kao jedini nepoznati parametar, i
daje beskona no mnogo rešenja za l. Uzimanjem razli itih
vrednosti za frekvenciju, može se odrediti zavisnost rezonant-
ne frekvencije i debljine prstena. Transcedentna jedna ina
(10) je razli ita za simetri no i antisimetri no kretanje, a ov-
de e biti izvršena analiza oba na ina pomeranja. Analizirane
su karakteristike metalnih prstenova od duraluminijuma i e-
lika sa dimenzijama 2a=40 mm, 2b=8 mm, i PZT8 prstena di-
menzija 2a=38 mm, 2b=15 mm, jer se upravo ti prstenovi
naj eš e koriste u realizaciji ultrazvu nih sendvi pretvara a.
Frekventni spektri rezonantnih modova (zavisnosti f od l) sa
simetri no i antisimetri no pomeranje, za vrednosti l od 0 do
120 mm, za duraluminijumski nastavak i PZT8 piezokerami-
ku, prikazane su na slikama 5 i 6, pri emu je, ponovo,
frekventni spektar u funkciji debljine za eli ni prsten sa is-
tim dimenzijama veoma sli an spektru sa slike 5, i nije po-
sebno razmatran.
PZT8:
2a=38mm
2b=15mm
Re( )Im( )
145
f Hz[ ]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120
2
4
6
INa
IV
IIV IIIV
IINa
IIINa
INs
IINs
8
10
12
14
16
teorija voda (indeks )Vnumeri~ki metod (indeksi i )Ns Na
18x 10
4
l m[ ]
IIINs
Sl.5. Zavisnost rezonantne frekvencije od dužine za prsten od
duraluminijuma (b/a=8/40): s – simetri ni modovi,
a – antisimetri ni modovi.
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120
x 105 f Hz[ ]
l m[ ]
0.5
1
1.5
2
2.5
3teorija voda (indeks )Vnumeri~ki metod (indeksi i )Ns Na
IV
IIV
IIIVIVV
VIV
VV
IIINs
IVNsVNs
VINsVIINs
VIIINs
INs
INa
IINs
Sl.6. Zavisnost rezonantne frekvencije od dužine za prsten od
PZT8 keramike (b/a=15/38) ): s – simetri ni modovi
a – antisimetri ni mod.
U slu aju metalnog prstena sa slike 5 prikazana su tri
najniža neparna rezonantna moda za simetri no kretanje pr-
stena (puna linija) i tri najniža parna rezonantna moda za an-
tisimetri no kretanje prstena (isprekidana linija), kako bi se
ilustrovala velika složenost spektra u oblasti malih debljina
ovakvih metalnih prstenova.
U slu aju sendvi pretvara a sa slike 1, zna ajni su samo
simetri ni rezonantni modovi njihovih sastavnih delova, i da-
lje analize odnose se upravo na te rezonantne modove. O ig-
ledno je da frekvencija tih modova ne opada uniformno sa
debljinom u celom posmatranom opsegu f i l, jer u nekim ob-
lastima spektri imaju stepenasti oblik zbog sprezanja modo-
va, pri emu u tim oblastima spektra male pomene debljine
izazivaju velike promene frekvencije, i obrnuto. To je najpre
deo spektra oko 75 kHz na slici 5, kada sve grane spektra
imaju stepenastu strukturu, a to je i deo spektra gde se javlja i
prva kompleksna grana disperzionog spektra (slika 3). Tako-
e, oko 90 kHz tre i mod ima stepenastu strukturu, kao i viši
modovi koji ovde nisu prikazani, a ova oblast frekventnog
spektra odgovara rezonantnoj frekvenciji ivi nog (end) moda,
za koji su dominantni pomeraji oko ravnih površina prstena.
Kod PZT8 piezokerami kog prstena stepenasti delovi
spektra se nalaze u drugim oblastima, jer se radi o prstenu
znatno druga ijih dimenzija i karakteristika, odnosno u obla-
stima oko 45 kHz, 140 kHz i 170 kHz Pri tome je prikazano
prvih 8 modova za simetri ne (neparne) rezonantne modove
(puna linija) i, zbog preglednosti, samo prvi parni rezonantni
mod (isprekidana linija).
U svim slu ajevima, na datim graficima prikazane su i
karakteristike zavisnosti rezonantne frekvencije od debljine
za slu aj jednodimenzionalnog modeliranja, kada se metalni
prstenovi mogu predstaviti preko modela voda. U slu aju ne-
optere enog prstena, nalaženjem nula ulazne impedanse krat-
kospojenog voda bez gubitaka (Zul=jZctgkl), izra unavaju se
zavisnosti rezonantne frekvencije od debljine (Zc je karakteri-
sti na impedansa voda) [1]:
.,...;3,2,1,2
00 YE
vNl
vNf (11)
4. DISKUSIJA
O igledno je da pri razmatranim debljinama prstenova,
pogotovu u oblasti l/(2a)<2, model voda ne može ni približno
reprezentovati realni frekventni spektar pri osnosimetri nom
oscilovanju prstenova. Ovo se može još bolje uo iti ukoliko
se frekventni spektar prikaže u nešto druga ijem obliku, od-
nosno ukoliko se proizvod fxl prikaže u funkciji normalizo-
vane dužine l/(2a). Na slici 7 su prikazane navedene zavisno-
sti za prva tri rezonantna moda duraluminijumskog prstena sa
odnosom b/a=8/40, koje odgovaraju neparnim modovima INs,
IINs, IIINs sa slike 5, dobijenim pomo u numeri kog metoda.
Na istom grafiku prikazana je konstantna vred-
nost 2/0vfxl , dobijena na osnovu izraza (11) za osnovni
rezonantni mod (N=1) u slu aju voda. Na osnovu prikazanih
zavisnosti, o igledno je da se model voda, sa brzinom jedna-
kom brzini prostiranja talasa v0 u beskona no dugom cilindru,
može primeniti za velike dužine prstena, kada se rešenja do-
bijena razli itim pristupima asimptotski približavaju. Pri ma-
lim debljinama prstena, proizvod fxl, koji je dobijen prime-
nom numeri kog metoda, približno je konstantan, i ima znat-
no nižu vrednost nego u slu aju beskona nog cilindra. To
zna i da se model voda u toj oblasti l/(2a) može koristiti, ali
sa znatno manjom brzinom prostiranja talasa. U cilju pore e-
nja, na istom grafiku su prikazana i prva tri rezonantna moda
dobijena tako e na osnovu jedna ine (11), gde v0 treba zame-
niti sa vz dobijenim primenom metoda prividnih modula ela-
sti nosti [4]. Rezonantni modovi dobijeni ovim metodom
prate generalni trend realnih rezonantnih modova, mada razli-
ke izme u pore enih zavisnosti nisu zanemarljive.
Rezultuju e vrednosti za pomeraje ur i uz sada se lako
mogu odrediti i nacrtati zamenom vrednosti izra unatih kon-
stanti Ai u odgovaraju e izraze. Za svaku vrednost frekvenci-
je f i dužine l, može se odrediti pomeraj uz na krajnjoj, ravnoj,
emituju oj površini. U frekventnom opsegu u okolini osnov-
nog rezonantnog moda, mogu se na prethodnoj slici povezati
frekvencije koje odgovaraju onim parovima f i l za koje su
pomeraji uz maksimalni. Na taj na in se dobija glavni mod u
posmatranoj oblasti, koji je na slici 8 prikazan debljom lini-
jom. Sli ni grafici mogu se dobiti i za prstenove od drugih
materijala, koji su od prakti nog interesa. Isprekidanom lini-
DURAL:
2a=40mm
2b=8mm
PZT8:
2a=38mm
2b=15mm
146
jom je ponovo prikazana brzina prostiranja talasa za isti jed-
nodimenzionalni debljinski mod, dobijena na osnovu modela
voda. Razlike izme u ove brzine i stvarne brzine debljinskog
moda, pokazuju da jednodimenzionalni model nije adekvatan
za modeliranje ovakvih metalnih prstenova. Proizvod frek-
vencije i dužine (izražen u Hz m), koji je za glavni mod pri-
kazan na slici 8, jednak je polovini tražene brzine voda v0 (u
m/s) (izraz (11)). Na osnovu prethodno iznetog, može se zak-
lju iti da je poboljšanje jednodimenzionalnog modeliranja
metalnih prstenova mogu e izvršiti fitovanjem brzine voda,
na osnovu zavisnosti za glavni mod prikazane na slici 8.
O igledno je da je ovakav na in analize veoma složen, jer je
suviše komplikovano sprovesti kompletnu prethodnu nume-
ri ku proceduru za odre ivanje disperzionog spektra kona -
nih prstenova, i odrediti maksimalne pomeraje uz, da bi se do-
bila zavisnost na osnovu koje bi se samo poboljšao model vo-
da. Pri tome ne treba zaboraviti da celokupna prethodna nu-
meri ka procedura mora biti ponovljena pri svakom novom
odnosu polupre nika b/a. Ovo je glavni razlog zbog kojeg su
autori predložili aproksimativne trodimenzionalne matri ne
modele PZT i metalnih prstenova, ija je primena znatno
jednostavnija od prikazanog numeri kog pristupa, a koji daju
rezonantne frekventne spektre koji se dobro slažu sa eksperi-
mentalnim rezultatima [8].
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
[ ]Hz mf lx
l/2a
v /0 2
model voda
metod prividnih modula EY
predlo`eni numeri~ki metod
I II
III
Sl.7. Disperzija rezonantnih modova duraluminijumskog prstena, kod koga je b/a=8/40.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
[ ]Hz mf lx
l/2a
v /0 2
I
glavni mod oscilovanja
II
III
Sl.8. Glavni mod oscilovanja za slu aj sa slike 7.
Ukoliko je =1, prethodna numeri ka procedura daje
rešenja za oscilovanje punog cilindra (ili diska). Zbog gloma-
znosti, ova procedura nije ponovo prikazana, ve su na slici 9
punom linijom prikazana etiri najniža rezonantna moda pu-
nog cilindra od duraluminijuma, koji su dobijeni na taj na in.
Na istoj slici, ovaj normalizovani frekventni spektar diska je
upore en sa frekventnim spektrom prstena od istog materijala
i sa istim spoljašnjim pre nikom (isprekidana linija), sa odno-
som b/a=8/40 (deo spektra sa slike 5). O igledno je da se
vrednosti rezonantnih frekvencija pojedinih modova menjaju
zbog prisustva unutrašnjeg otvora, i te promene su ve e uko-
liko je pre nik otvora prstena ve i. Zbog toga, kao što je ve
ranije pomenuto, u modeliranju snažnih ultrazvu nih pretva-
ra a nije svejedno da li su sastavni elementi pretvara a metal-
ni i piezokerami ki prstenovi ili diskovi. Treba napomenuti
da je spektar punog cilindra, koji je dobijen ovim metodom,
identi an sa spektrom dobijenim pomo u metoda Hutckinso-
na [2], koji je u tom cilju reprodukovan za slu aj cilindra od
duraluminijuma, i iji su rezultati i prikazani na slici 9. Ovde
su rezonantne frekvencije punih cilindara od interesa zbog
modeliranja zavrtnja i glave zavrtnja u ultrazvu nim sendvi
pretvara ima, koji po svom obliku predstavljaju pune cilind-
re.
diskprsten
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
l a/(2 )
I
II
III
IV
Sl.9. Zavisnost normalizovane rezonantne frekvencije od
normalizovane dužine za: (a) duraluminijumski disk ( );
(b) duraluminijumski prsten kod koga je b/a=8/40 ( ).
Ipak, najvažniji doprinos u odre ivanju rezonantnih frek-
vencija u ovom delu rada vezan je za metalne prstenove, jer
je dužina zavrtnja dosta ve a od njegovog pre nika, tako da
se za zavrtanj može primeniti i model voda, i odre ivanje za-
visnosti rezonantnih frekvencija od dužine za njega nije kri-
ti no u projektovanju. Numeri ka analiza za takav slu aj nije
ovde prikazana, mada može lako biti reprodukovana denor-
malizovanjem vrednosti za slu aj punog cilindra sa slike 9.
Debljina piezokerami kih plo ica prilikom realizacije ultra-
zvu nih pretvara a je fiksna, i obi no se usvajaju piezo-kera-
mi ki prstenovi sa debljinom od 5 mm ili 6.35 mm. Zbog to-
ga je, u praksi, rezonantnu frekvenciju pretvara a mogu e po-
dešavati uglavnom izborom metalnih prstenova. Zato je odre-
ivanju njihovih karakteristika posve eno najviše pažnje.
5. EKSPERIMENTALNI REZULTATI
Da bi se testirala validnost predloženog numeri kog me-
toda eksperimentalno su odre ene rezonantne frekvencije
metalnih prstenova i punih cilindara razli itih dimenzija i od
DURAL:
2a=40mm
2b=8mm
DURAL:
2a=40mm
2b=8mm
DURAL:
2a=40mm
2b=8mm
DURAL:
2a=40mm
2b=0
147
razli itog materijala. Merenja su izvršena primenom vibracio-
ne platforme firme Herfurth1, iji je merni opseg od 15 kHz
do 50 kHz. Dobijeni eksperimentalni rezultati upore eni su sa
analognim karakteristikama dobijenim primenom opisanog
numeri kog metoda. Najpre su prikazane zavisnosti rezonant-
nih frekvencija od dužine metalnih prstenova i cilindara od
duraluminijuma (slika 10) i elika (slika 11). Prikazani su os-
novni parni i neparni rezonantni modovi dobijeni primenom
prikazanog numeri kog metoda. Pri tome su na istim slikama
kruži ima prikazane eksperimentalne rezonantne frekvencije
merene na vibracionoj platformi, za neoptere ene uzorke sa
geometrijom prikazanom na samim slikama. Kao što se može
videti na slikama 10 i 11, frekvencije dobijene numeri kom
analizom se veoma dobro slažu sa merenim frekvencijama u
posmatranom opsegu, iako su za date materijale usvojene ti-
pi ne vrednosti za Youngov modul EY i Poissonov koeficijent
. Kod konkretnih uzoraka te vrednosti mogu odstupati od
usvojenih vrednosti, što dovodi do izvesnih razlika u pore e-
nim rezultatima. Ovo se naro ito može uo iti za eli ne na-
stavke sa slike 11, gde su teorijske rezonantne frekvencije u
svim slu ajevima uvek iznad merenih rezonantnih frekvenci-
ja. Neznatno smanjenje vrednosti EY doprinosi poklapanju
prikazanih rezultata. Treba napomenuti da su sve izvršene
teorijske analize veoma osetljive na vrednosti koeficijenata
EY i , tako da male promene ovih konstanti izazivaju velike
promene rezonantnih frekvencija.
l [ ]m
f [ ]HzIa
I) 2 =40mm, 2 =0a bduraluminijum:
II) 2 =40mm, 2 =8mma bIII) 2 =51mm, 2 =0a b
Is
IIa
IIs
IIIa
IIIs
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
2
3
4
5
6
7
8x 104
Sl.10. Frekvencije prvih simetri nih (s) i antisimetri nih (a)
modova za razli ite uzorke od duraluminijuma: pore enje
izra unatih i eksperimentalnih rezultata.
Posebno je interesantno pore enje eksperimentalnih
frekventnih spektara piezokerami kih prstenova i diskova, sa
analognim teorijskim spektrima dobijenim primenom nume-
ri ke analize osnosimetri nih ekstenzionih oscilacija izotrop-
nih (metalnih) prstenova, pri emu nisu uzimana u obzir pie-
zoelektri na svojstva i anizotropnost keramike [6], [7]. U tom
slu aju frekventni spektar zavisi od Poissonovog odnosa ma-
terijala keramike
(za piezokeramiku je EE ss 1112 / , Es44/1 ,
a Eijs su piezoelasti ne konstante).
1 Herfurth, Hamburg-Altona, Sonotroden-Meßgerät type USM4
l [ ]m
f [ ]Hz
IaI) 2 =40mm, 2 =0a b
~elik:
II) 2 =51mm, 2 =0a b
Is
IIa
IIs
x 104
2
3
4
5
6
7
8
9
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
Sl.11. Frekvencije prvih simetri nih (s) i antisimetri nih (a)
modova za razli ite uzorke od elika: pore enje
izra unatih i eksperimentalnih rezultata.
Teorijski i eksperimentalno je odre en frekventni spektar
piezokerami kih prstenova i diskova sa Poissonovim odno-
som 0.3, za razli ite odnose debljine i spoljašnjeg pre nika.
Dobijeni normalizovani frekventni spektri za pet najnižih re-
zonantnih modova prikazani su na slici 12 [6]. Dimenzije
analiziranog PZT8 prstena prikazane su na samoj slici. Pri to-
me su, u cilju ocene ovakvog na ina modeliranja, na istim sli-
kama prikazane eksperimentalne vrednosti rezonantnih frek-
vencija za najniže modove PZT8 prstena sa slike 12. Eksperi-
mentalni rezultati su dobijeni pomo u automatskog analiza-
tora mreža HP3042A, merenjem frekvencija na kojima je mo-
duo ulazne elektri ne impedanse minimalan. Ove eksperi-
mentalne vrednosti su zbog pore enja sa teorijskim spektrom
normalizovane na ranije pomenuti na in ( = a/vs). O igled-
no je da se ovakvom analizom skoro u potpunosti može pred-
videti i frekventni spektar piezoelektri nih keramika, bez pot-
rebe za naknadnom korekcijom primenjenih konstanti fitova-
njem eksperimental-nih rezultata.
2 =38mm, 2 =15mm, 2 =5mma b h
0 0.5 1 1.5 20
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
l/( a)2
Sl.12. Izra unati frekventni spektar i mereni
rezultati za PZT8 prsten.
U cilju kompletiranja opisa frekventnog ponašanja cilin-
dri nih elemenata, izvršena je analogna analiza za piezokera-
mi ke diskove [7]. Da bi se, kao i u prethodnom slu aju, te-
148
stirala validnost ovakvog modeliranja diskova, eksperimen-
talno odre ene rezonantne frekvencije piezokera-mi kih dis-
kova su upore ene sa analognim karakteristikama dobijenim
na ra unaru primenom predloženog numeri kog pristupa. Di-
menzije PZT8 diskova koriš enih u ovoj analizi prikazane su
u tabeli 2, a odgovaraju i frekventni spektar, upore en sa
eksperimentalnim rezultatima za pet najnižih rezonantnih
modova, dat je na slici 13.
Tabela 2. PZT8 diskovi koriš eni u analizi i
eksperimentalnim merenjima.
disk I disk II disk III disk IV
2a (mm) 50 30.9 24.9 38.4
2h (mm) 3 2.1 2.5 6.35
h/a 0.060 0.068 0.100 0.165
Pore enjem frekventnog spektra dobijenog primenom
opisanog numeri kog metoda, sa eksperimentalnim merenji-
ma rezonantnih frekvencija diskova iz tabele 2, može se uo i-
ti da je ostvarena velika ta nost u predvi anju rezonantnih
modova u svim slu ajevima. Pri tome je prikazan frekventni
opseg koji je naj eš e koriš en u prakti nim primenama.
l/( a)2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
5
10
15
20
25
I II III IV
Sl.13. Pore enje izme u izra unatog i merenog
frekventnog spektra za PZT8 diskove.
6. ZAKLJU AK
U ovom radu prikazan je jedan nov pristup u analizi pro-
stiranja ultrazvu nih oscilacija u sastavnim delovima ultra-
zvu nih sendvi pretvara a. Prikazanim numeri kim pristu-
pom za analizu osnosimetri nih oscilacija metalnih i PZT
prstenova i diskova razli itih dimenzija, izvršeno je odre iva-
nje njihovih rezonantnih frekventnih spektara, koji mogu ko-
risno poslužiti za analizu prednosti i nedostataka postoje ih
jednodimenzionalnih modela prstenova i diskova, kao i za ve-
rifikaciju razli itih trodimenzionalnih modela koji postoje u
ovoj oblasti analize snažnih ultrazvu nih sendvi pretvara a.
Posebno je interesantno da se ovaj metod analize prstenova
od izotropnog materijala može uspešno primeniti za analizu
frekventnog spektra anizotropnih piezokerami kih prsenova,
bez potrebe za naknadnim fitovanjima dobijenih rezultata,
kakva se npr. primenjuju kod primene metoda kona nih ele-
menata u ovoj oblasti. Ipak, i pored velikih mogu nosti koje
pruža za razmatranje i analizu frekventnog spektra sastavnih
delova sendvi pretvara a, ovaj pristup zbog svoje obimnosti
i složenosti nema veliku primenu u brzom i efikasnom mode-
liranju kompletnih ultrazvu nih sendvi pretvara a, jer se
ovim pristupom ne dobija model prstena kojim bi se lako
analizirali uticaji razli itih parametara i optere enja, kao u
slu aju pomenutog postoje eg analiti kog aproksimativnog
trodimenzionalnog matri nog modela prstenova, pa ak u ne-
kim primenama i u slu aju prevazi enog jednodimenzional-
nog modela voda.
LITERATURA
[1] E. A. Neppiras, “The pre-stressed piezoelectric sand-
wich transducer”, Ultrasonic International Conference
Proceedings, 1973, pp. 295-302.
[2] D. Man i , M. Radmanovi , “Projektovanje snažnih ul-
trazvu nih sendvi pretvara a”, Elektronika, vol. 1, no
1, pp. 66-69, 1997.
[3] D. Man i , M. Radmanovi , “Generalni model piezo-
elektri nog ultrazvu nog sendvi pretvara a”, XLII kon-
ferencija za ETRAN, 1998, pp. 112-115.
[4] D. Man i , M. Radmanovi , “Projektovanje sendvi
pretvara a pomo u prividnih modula elasti nosti”, XVIII
Jugoslovenska konferencija Buka i vibracije, Niš, 2002,
pp. 2.1-2.4.
[5] D.Man i , M.Radmanovi , “A numerical approach to
analysis of axisymmetric rings”, Facta Universitatis, Series: Mechanics, Automatic Control and Robotics,
vol.4, no 16, pp. 141-156, 2004.
[6] D. Man i , V. Paunovi , “Rezonantne frekvencije PZT
piezokerami kih prstenova”, XLIV konferencija za
ETRAN, Soko Banja, 2000, pp. 312-315.
[7] D. Man i , V. Dimi , M. Radmanovi , “Resonance
frequencies of PZT piezoceramic disks: a numerical
approach”, Facta Universitatis, Series: Mechanics,
Automatic Control and Robotics, vol. 3, no. 12, pp. 431-
442, 2002.
[8] D. Man i , M. Radmanovi , “Piezoceramic ring loaded
on each face: a three-dimensional approach”, Journal of
Technical Acoustics, vol. 2, pp. 1.1-1.7, 2002.
[9] Five piezoelectric ceramics, Bulletin 66011/F, Vernitron
Ltd., 1976.
Abstract – In this paper, using the threedimensional equa-
tions of linear elasticity, the axisymmetric vibrations of a
finite metal and PZT rings of various hole and length have
been studied. Resonance frequency-length curves have been
given for rings with various materials and for different selec-
ted dimensions. Compared with the results of the one-
dimensional theory, the calculated resonant frequencies
according to the proposed numerical method are more closely
approximate to the measured results.
ANALYSIS OF PROPAGATION OF ULTRASONIC
OSCILLATION IN THE SANDWICH TRANSDUCERS
Milan Radmanovi , Dragan Man i
149