Analiza statistica a Legaturilor Dintre Variabile

Statistic teoretic i economic

CAPITOLUL 6 ANALIZA STATISTIC A LEGTURILOR DINTRE VARIABILE Cuvinte cheie:

- coeficientul de corelaie; - covariana; - coeficientul de asociere propus de Yule; - coeficientul de corelaie a rangurilor Spearman; - coeficientul de corelaie a rangurilor Kendall - indicele sau raportul de corelaie. - metoda regresiei

In realitatea economic majoritatea legaturilor dintre variabile sunt statistice pentru ca variabila rezultativ (y) reacioneaz nu numai la influena lui x ci i la influena concomitent a altor variabile. Orice legatur dintre dou variabile poate fi inclus ntr-una din urmtoarele situaii:

legatur univoc, n sensul c x este variabil factorial (cauzal, independent, explicativ), iar y este variabil rezultativ (efect, dependent, explicat) i influena este numai a lui x asupra lui y, fr s existe i o influen a lui y asupra lui x;

legatur biunivoc n sensul c x este factor care determin variaia lui y, dar n acelai timp, y este factor de influen al lui x, adic interdependent;

evoluia paralel a dou variabile fr ca ntre acestea s existe o legatur; evoluia paralel fiind cauzat de o alt variabil comun;

simplu paralelism ntre dou variabile ntre care exist o potrivire numeric, dar nici o legatur logic.

6.1. Tipologia legturilor statistice. Legturile statistice se pot clasifica dup mai multe criterii:

a) dup numrul caracteristicilor luate n calcul: legturi simple (exist o variabil cauzal i una rezultativ); legturi multiple (se consider mai multe variabile cauzale i efectul lor);

b) dup sensul legaturii: legturi directe (crete x, crete y); legturi inverse (crete sau scade x, scade sau crete y);

c) n funcie de forma analitic a legturilor dintre variabile: legturi liniare; legturi curbilinii (parabol, hiperbol, exponenial);


d) n funcie de timpul n care se realizeaz legtura: legturi sincrone (conconitente); legturi asincrone (cu decalaj);

e) dup natura variabilelor: corelaii statistice ntre variabile numerice; asociaii statistice cnd intervine o caracteristica nenumeric.

Identificarea legturii poate fi fcut printr-o serie de metode elementare de organizare i prezentare a informaiilor statistice:

metoda seriilor paralele; metoda gruprii; metoda tabelului cu dubl intrare; metoda grafic.

6.2. Metoda regresiei. Metoda regresiei este folosit pentru a caracteriza forma i sensul legturii dintre variabile. Se consider c ntre cele dou variabile exist o interdependen n sensul c Yi este influenat de Xi. Metoda regresiei trebuie s ne conduc la obinerea unei expresii analitice a unei funcii de regresie care sintetizeazp forma i sensul variaiei lui y sub influena factorului x (sau a factorilor luai n considerare). Dac acceptam un singur factor, atunci vom avea o regresie simpl sau unifactorial, funcia de regresie putnd fi lianiar sau curbilinie. Dac acceptam doi sau mai muli factori, atunci vom obtine o regresie multipl sau multifactorial. Se recomand s se selecteze factorii n funcie de importana influenei lor. Regresia liniar simpl. Dac acceptm c ntre variabilele Xi i Yi exist o legatur direct de forma liniar, metoda regresiei ne permite s estimm parametrii funciei:

.)( iii xbaxfy +==

Estimarea parametrilor funciei de regresie se face cu metoda celor mai mici ptrate pe baza sistemului urmtor:

=+=+

.2 iiii

ii

yxxbxa

yxban

Parametru b se numete coeficient de regresie i exprim sensul i mrimea

influenei lui x asupra lui y. Dac b este pozitiv arat o legtur direct; dac b este negativ arat o legtur indirect. Mrimea parametrului b arat cu ct se modific variabila rezultativ la creterea cu o unitate a factorului de influen.


Regresia simpl curbilinie. Dintre funciile curbilinii n analiza economic i social se utilizeaz frecvent

funcia polinom de gradul 2:

.)( 2iiii xcxbaxfy ++== Sistemul pentru determinarea parametrilor ecuaiei este:

=++=++

=++

.2432

32

2

iiiii

iiiii

iii

yxxcxbxa

yxxcxbxa

yxcxban

Regresia multipl.

Regresia multipl presupune luarea n considerare a influenei concomitente a doi sau mai muli factori. De exemplu, cea mai simpl funcie polinomial de gradul unu este:

....22110,..., 21 kkxxx xaxaxaay k ++++= Parametrii se obin din rezolvarea sistemului:

=+++++

=++++=+++++

=+++++

..................

......

......

......

211110

2212121120

1111121110

11110

ikikikkiikiiki

iikiikiiiii

iikiikiiii

ikikii

yxxaxxaxxaxa

yxxxaxxaxxaxa

yxxxaxxaxaxa

yxaxaxaan

Regresia n condiiile unei repartiii bidimensionale este utilizat n situaile n

care observarea statistic se organizeaz pe colectiviti numeroase, informaia culeas fiind organizat pe intervale de variaie ale variabilei factoriale (x) i ale variabilei rezultative (y). Pentru estimarea parametrilor de regresie, n cazul ecuaiei de gradul nti, se va folosi urmtorul sistem:

.2

=+=+

xyiixixi

yixi

nyxnxbnxa

nynxban

Pentru caracterizarea functiei de regresie (calitatea functiei de regresie) se folosesc urmatorii indicatori:


Eroarea standard (abaterea medie ptratic a valorilor teoretice fa de cele reale) este folosit pentru a caracteriza funcia de regresie sau calitatea funciei de regresie:

nYy

S iiYy ii = 2/ )( .

Coeficientul de eroare cuantific intensitatea variaiei n jurul funciei de regresie i poate fi considerat tot un indicator care arat calitatea ecuaiei de regresie:

100/ =y

Se ii Yy .

Coeficientul de determinaie reprezint o alt modalitate de a caracteriza calitatea funciei de regresie (de regul se trece n dreapta funciei de regresie):

100)()(

1 22

2

=

yy

YyD

i

ii .

6.3. Metoda corelaiei parametrice i neparametrice. Pentru a exprima intensitatea legturii dintre variabile se utilizeaz la alegere urmtorii indicatori:

covariana; coeficientul de corelaie; indicele sau raportul de corelaie.

Covariana este o mrime absolut a intensitii legturii dintre variabile i se

stabilete ca medie aritmetic a produselor ))(( yyxx ii :

).)((1),cov( yyxxn

yx ii =

Dac rezultatul este egal cu zero sau tinde ctre zero atunci ntre variabile nu exist legtur statistic. Dac rezultatul este pozitiv legtura dintre variabile este direct. Dac rezultatul este negativ legtura dintre variabile este invers. Valoarea maxim pe care o poate lua covariana a dou variabile este egal cu produsul dintre abaterea medie ptratic a celor dou variabile i este ntlnit n cazul unei legturi perfecte:

.),cov( max yxyx =

Coeficientul de corelaie msoar intensitatea legturii dintre dou variabile i se

calculeaz prin compararea covarianei empirice, reale, cu valoarea maxim pe care o


poate avea covariana. Coeficientul de corelaie arat intensitatea i sensul legturii dintre variabile.

.))((),cov(

yx

ii

yxxy n

yyxxyxr ==

De asemenea, este folosit i urmtoarea formul dedus din cea de mai sus:

.])(][)([ 2222

=iiii

iiiixy

yynxxn

yxyxnr

n practica social-economic se utilizeaz urmtoarele interpretri ale

coeficientului de corelaie: )2,0;0(xyr , fie c nu exist legtur, fie c legtura este foarte slab;

)5,0;2,0(xyr , legtura este slab i necesit aplicarea unui test de verificare a semnificaiei statistice a acestei legturi (testul Student); )75,0;5,0(xyr , legtura este de intensitate medie; )95,0;75,0(xyr , legtura este puternic;

)1;95,0(xyr , legtura este foarte puternic, cvasifuncional. Pentru legtura dintre variabile pentru repartiia de frecvene, vom avea

urmtoarea relaie:

.])(][)([ 2222

=yiyixixi

yixixyiixy

nynynnxnxn

nynxnyxnr

Testul Student (testul t):

.21 2

= nr

rt

xy

xy

Pentru a accepta ipoteza unei legturi reale, valoarea calculat a lui t trebuie s

fie mai mare dect valoarea tabelat pentru n-2 grade de libertate.

Raportul de corelaie are o aplicabilitate universal pentru msurarea intensitii legturii dintre variabile indiferent de cte variabile lum n calcul i indiferent de forma relaiei dintre variabile. Raportul de corelaie nu arat i sensul legturii dintre variabile, ci numai intensitatea legturii.


.)()(

1 22

=

yyYy

Ri

iixy

Raportul de corelaie are acelai domeniu i subdomenii de definire ca i

coeficientul de corelaie. Ori de cte ori una sau mai multe variabile luate n calcul sunt nenumerice (calitative, nominative) formulele corelaiei parametrice devin noperante. Nu numai aceste variabile se pot trata prin metode nemarametrice ci chiar i variabilele numerice pot fi transformate n serii de ranguri (numere de ordine) sau n variabile alternative. Metodele neparametrice sunt:

coeficientul de asociere propus de Yule; coeficientul de corelaie a rangurilor Spearman; coeficientul de corelaie a rangurilor Kendall.

De exemplu, dintr-un total de 3890 persoane care au achizitionat produse n timpul

unei sptmni dintr-un magazin de cosmetice, 1350 sunt clieni permanani i 2540 ocazionali. Din acelai total 2590 sunt femei i 1300 barbai. Se pune ntrebarea dac ntre fidelitatea fa de magazin i clieni se afl o anumit legtur.

Barbai Femei Total Clieni permanani Clieni ocazionali

304 996

1046 1544

1350 2540

Total 1300 2590 3890

Coeficientul de asociere Yule se utilizeaz atunci cnd unitile caracteristicii sunt separate n dou grupe sau sunt de forma unei caracteristici alternative:

X Y Total Y1 Y2

X1 A B A+B X2 C D C+D

Total A+C B+D A+B+C+D

Pentru exprimarea intensitatii celor doua variabile se utilizeaza un coefficient de asociere calculat astfel:

.CBDACBDAQ +=

Interpretarea rezultatului este identic cu cea de la coeficientul de corelaie.

In cazul exemplului nostru rezultatul este Q = - 0,3788; rezultand o asociere inversa intre sex si tipul de client in sensul ca nu barbatii sunt clienti permanenti, ci femeile. Sau nu este adevarat ca fameile sunt cliente ocazionale.


Coeficientul de corelaie a rangurilor Spearman exprim intensitatea i sensul legturii dintre rangurilor celor n uniti:

.)1(

61

2

= nn

dr iS

Ptratul diferenei dintre rangurile atribuite aceleai uniti este notat cu 2id .

Interpretarea rezultatului este identic cu cea de la coeficientul de corelaie.

Coeficientul de corelaie a rangurilor Kendall este destinat tot analizei intensitii legturii dintre rangurile celor n uniti:

.)1(

2=

nnSrK

Suma dintre numrul de ranguri superioare fiecrui rang i numrul de ranguri

inferioare fiecrui rang se numete scor i este notat cu S. Interpretarea rezultatului este identic cu cea de la coeficientul de corelaie.

Coeficientul de asociere al lui Yule, coeficientul de corelaie a rangurilor Spearman i coeficientul de corelaie a rangurilor Kendall fac parte din analiza corelaiei neparametrice.


Probleme i aplicaii 6.1. Potrivit publicaiilor OCDE, rile membre s-au caracterizat n anul 1998 prin niveluri ale performanei interne (exprimate prin indicatorul PNB/locuitor) i, respectiv, ale performanei externe (sintetizate sub forma exportului de bunuri i servicii/locuitor) cuprinse n tabelul de mai jos: mii USD

ara PNB/locuitor Export de bunuri i servicii/locuitor

Australia 18,7 4,5 Austria 26,2 10,8 Belgia 24,4 17,4 Canada 19,1 8,2 R. Ceh 5,4 2,9 R. Coreea 6,4 3,7 Danemarca 32,9 11,6 Elveia 36,9 14,4 Finlanda 24,5 9,3 Frana 24.4 6,3 Germania 26,1 6,8 Grecia 11,4 1,8 Islanda 29,8 9,9 Irlanda 22,3 16,8 Italia 20,3 5,5 Japonia 30,0 3,7 Luxemburg 38,6 34,0 Marea Britanie 23,0 6,2 Mexic 4,4 1,3 Norvegia 32,9 14,4 Noua Zeeland 13,8 4,9 Olanda 24,1 13,0 Polonia 3,9 0,9 Portugalia 10,6 3,2 Spania 14,1 3,8 S.U.A. 30,5 3,6 Suedia 25,9 11,3 Turcia 3,2 0,7 Ungaria 4,7 1,9

Sursa: OECD n Figures: Statistics on the Member Contries 1999 Edition, Paris, 1999 Se cere: S se precizeze rolul fiecrei variabile n analiza legturii i s se observe sensul i forma legturii ntre cele dou variabile folosind metoda seriilor paralele i metoda grafic. Rezolvare Potrivit teoriei economice a relaiilor internaionale, performana exterioar a unei ri depinde, n bun msur, de cum i ce anume produce i ofer spre export economia acelei ri. Prin urmare, variabila PNB/locuitor se consider a fi cauza sau variabila independent (explicativ sau factorial), variantele ei notndu-se cu xi, iar variabila export/locuitor este considerat efect sau variabil dependent (explicat sau rezultativ),


variantele notndu-se cu yi . Merit menionat faptul c nivelul exportului/locuior realizat de fiecare ar depinde, n afar de propriul PNB/locuitor, de muli ali factori, cum ar fi politica comercial i, n particular, acordurile i nelegerile economice la care este parte contractant, mediul conjunctural specific al diferitelor sectoare etc. n aceste condiii, mulimea perechilor de valori (xi , yi ) reflect o legtur statistic direct, ceea ce poate fi constatat att grafic (pe msur ce xi este mai mare, i yi tinde s fie mai mare), ct i prio metoda seriilor paralele (ordonnd perrechile de valori xi, yi n sensul cresctor al variantelor caracteristicii PNB/locuitor). Dispunerea celor 29 de puncte de coordonate xi, yi fa de sistemul rectangular al axelor de referin permite avansarea ipotezei unei legturi directe de forma dreptei: f(xi) = a +b xi.

S se estimeze i comenteze parametrii funciei liniare de regresie Rezolvare

Folosind datele din tabelul 66.1. se pot stabili urmtoarele sume: n = 29; xi = 588,5; yi = 232,8; xi2 = 15066,39; yi2 = 3237,5; xi yi = 6192,56. Pentru estimarea parametrilor acelei drepte pentru care distana este minim pn la punctele de coordonate xi, yi, sistemul de ecuaii normale:

=+=+

iiii

ii

yxxbxa

yxban2

se particularizeaz astfel:

=+=+

56,619239,150665,5888,2325,58829

baba

Prin rezolvarea sistemului se gsete:

a = - 1,51 Acest parametru nu are semnificaie economic. Din punct de vedere geometric este ordonata punctului n care dreapta de regresie intersecteaz axa Oy.

b = + 0,47 Acest parametru se numete coeficient de regresie. Prin semn el exprim, sensul influenei PNB/locuitor asupra exportului pe locuitor (+ nseamn influen direct), iar prin mrime, cunatumul influenei (la fiecare cretere cu o unitate a cauzei, variabila efect tinde s se modifice n acelai sens cu 0,47 uniti). Funcia liniar de regresie: f (xi) = - 1,51 + 0,47 xi sintetizeaz pentru cele 29 de ri membre ale OCDE tendina medie de variaie a performanei externe, exprimate prin export/locuitor n anul 1998 sub influena exclusiv a PNB/locuitor.

S se msoare intensitatea legturii dintre cele dou variabile. Rezolvare ntruct s-a avansat ipoteza unei legturi liniare, se poate folosi coeficientul de corelaie:


( )[ ] ( )[ ]2222 =

iiii

iiii

yynxxn

yxyxnr

Introducnd datele de mai sus n aceast relaie, rezult r = + 0,7101, ceea ce

nseamn c ntre PNB/locuitor i exportul/locuitor al celor 29 ri exist n anul 1998 o legtur direct de intensitate medie.

Cum poate fi apreciat capacitatea funciei de regresie de a descrie variaia exportului/locuitor?

Rspuns De obicei, se procedeaz la aflarea valorilor teoretice Yi ale caracteristicii

rezultative, nlocuind n funcia identificat argumentul xi cu valorile succesive din tabelul 61.1. (coloana PNB/locuitor).

Mulimea diferenelor (yi-Yi) alctuiete un domeniu de dispersie n jurul funciei de regresie. Intensitatea mprtierii se exprim print-un coeficient de eroare a regresiei form particular a coeficientului de variaie ntlnit la analiza seriilor de repartiie (vezi i problemea nr. 67).

innd seama de faptul c la punctul anterior al problemei s-a aflat coeficientul de corelaie r = 0,7191 i c acest coeficient este cazul particular al indicatorului general de comensurare parametric a intensitii legturii dintre variabile raport de corelaie, se tie c prin ridicarea la ptrat i nmulirea cu 100 se afl coeficientul de determinaie (D):

D = r2 100 = 0,71012 100 = 50,43% Coeficientul de determinaie este o alt modalitate de apreciere a calitii funciei

de regresie. El arat c, funcia sintetizeaz 50,43% din variaia total a exportului/locuitor al rilor membre ale OCDE n anul 1998. Cota ridicat a determinaiei arat implicit faptul c PNB/locuitor este un factor important de influen, iar aprecierea liniar a acestei influene satisfctoare.

6.2. Studiul relaiei dintre nivelul de calificare i compartamentul profesional conduce la urmtoarele constattri fcute pe un eantion de 50 de salariai:

Comportament profesional Nivel de calificare

Corespunztor Necorespunztor

Calificat 18 7 Necalificat 9 16

Se cere: s se estimeze intensitatea asocierii ntre cele dou variabile

alternative. Rezolvare Dac se noteaz: a = 18; b = 7; c = 9; d = 16, atunci coeficientul Yulle de asociere este:

641,0971618971618 +=+=+

=bcadbcadQ


Rezultatatul exprim o asociere direct de intensitate medie, (totui, nu foarte puternic) ntre nivelul de calificare i calitatea comportamentului profesional. Exist i ali factori (n afara nivelului de calificare), care influeneaz comportamentul salariaailor. Observaie:

Aranjarea corect a datelor n tabelul de asociere este esenial: dac varianta independent (nivel de calificare ncepe cu varianta pozitiv (calificat), urmnd, apoi varianta alternativ, atunci i variabila dependent (calitatea comportamentului profesional) trebuie s fie nregistrat mai nti cu varianta pozitiv (corespunztor) i, apoi, cu varianta (necorespunztor). Numai astfel mrimile a i d exprim asocierea direct, iar c i d asocierea invers.

6.3. O analiz psihologic avanseaz ipoteza potrivit creia disponibilitatea cititorului de a se informa folosind concomitent ziare de orientare diferit scade pe msur ce vrsta acestuia crete.

n tabel sunt prezentate rezultatele unei anchete ntreprinse n rndul populaiei de peste 20 de ani dintr-o metropol european (date convenionale).

Printre ntrebrile anchetei s-au numrat: - vrsta persoanei considerat n continuare ca variabil factorial sau

explicativ; - numrul de cotidiane diferite consultate, de obicei, pe parcursul unei

sptmni - variabil rezultativ care potrivit ipotezei ar putea fi explicat, ntre alte cauze, i de vrsta cititorului.

- Numr ziare Vrsta (ani)

0 - 2 3 5 6 i peste Total

20 40 7 956 5 712 1 682 15 350 40 60 7 548 4 703 1 025 13 276 peste 60 3 718 842 122 4 682 Total 19 222 11 257 2 829 33 308

Se cere: S se estimeze parametrii funciei liniare de regresie care exprim influena

vrstei asupra dorinei de a utiliza surse diversificate de informare. Rezolvare Sistemul de ecuaii normale pentru estimarea parametrilor unei drepte: f (xi) = a + b xi , atunci cnd analiza de regresie se face pe baza unei repartiii bidimensionale de frecvene se scrie astfel:

=+=+

xyiixixi

yixi

nyxnxbnxa

nynxban2

Elementele ajuttoare de calcul se determin folosind notaiile din tabelul 65.2.


n acest tabel, s-a notat cu xi centrele intervalelor de grupare dup vrsta persoanelor chestionate i cu yi centrele intervalelor de grupare dup numrul ziarelor diferite, consultate ntr-o sptmn. Tot cu datele din acest tabel se afl i: xiyinxy = 3 509 890

yi xi

1 4 7 Total (nx) xinx xi2nx

30 7 956 5 712 1 682 15 350 460 500 13 815 000 50 7 548 4 703 1 025 13 276 663 800 33 190 000 70 3 718 842 122 4 682 327 740 22 941 800 Total (ny) 19 222 11 257 2 829 33 308 1 452 040 69 946 800 yi ny 19 222 45 028 19 803 84 053 yi2ny 19 222 180 112 138 621 337 955

Rezolvarea sistemului de ecuaii normale:

=+=+

890509380094669040452105384040452130833

baba

conduce la urmtoarele rezultate:

a = + 1,5111; b = 0,0232 iar f (xi) = 1,5111 0 0232 xi n cazul anchetei studiate, se constat c la fiecare cretere cu un an a vrstei persoanei chestionate rezult o tendin medie de reducere a interesului pentru surse diferite de informare cu 0,0232 ziare. Avnd n vedere amplitudinea mare a vrstei persoanelor, influena mic a lui X aszpra lui Y este doar aparent: dac la xi = 20 ani o persoan din metropola investigat citete n medie f (20) = 1,05 ziare, o persoan de 60 de ani, citete n medie doar f (60) = 0,2 ziare. S se msoare intensitatea legturii dintre cele dou variabile, folosind rezultatele

anchetei. Rezolvare

Coeficientul de corelaie poate fi obinut prin utilizarea calculelor ajuttoare din tabelul 65.2 astfel:

[ ][ ] 1688,0)()( 2222 ==

yiyixi

yixixyii

nynynnxn

nynxnyxnr ,

ceea ce exprim o legtur invers slab ntre cele dou variabile. Observaie: Prin ridicarea la ptrat i nmulirea cu 100 rezult un coeficient de determinaie de numai 2,8%. Interpretarea acestui rezultat: Dac se consider o influen liniar a lui X asupra lui Y, atunci vrsta diferit a persoanelor explic doar 2,8% din variaia disparibilitii cititorilor de a folosi concomitent surse (ziare) diferite pentru informarea lor.

Este statistic consistent o influen att de redus?


Rspuns Aplicarea testului Student (t):

2544,311 2

=

= pnr

rt ,

unde: r este valoarea absolut a coeficientului de corelaie, n este volumul

colectivitii cercetate, iar p = 2 (numrul de parametri ai funciei liniare de regresie), rezult o valoare calculat t = 31,2544 mult mai mare dect valoarea critic tabelar pentru o eroare acceptat = 0,05 (t = 1,96). Chiar i pentru o eroare = 0,0001 influena este semnificativ, t fiind tabelat cu 3,891.

6.4. Dintr-o analiz a compartimentului vnzrii interne al unei societi comerciale specializate n producia de frigidere rezult creterea vnzrilor de la 8200 uniti n 1999 la 8740 uniti n anul 2000, n condiiile unei ieftiniri reale a produsului cu 4,2%. n aceeai perioad, veniturile reale ale populaiei rii au crescut cu 6,8%.

S se analizeze elasticitatea cererii pentru frigidere att n raport cu evoluia preului de vnzare, ct i fa de creterea veniturilor populaiei.

Rezolvare nainte de a calcula coeficienii de elasticitate, este necesar determinarea ritmului de

cretere a vnzrilor ca expresie a dinamicii cererii de frigidere.

Notnd: y0 = 8200 buci i y1 = 8740 buci, rezult c:

%6,61000

01 ==Y

yyRy

Elasticitatea cererii de frigidere n raport cu ieftinirea produsului se obine

comparnd ritmul de cretere a cererii cu ritmul de ieftinire a produsului: E1 = Ry : Rx = 6,6 : 4,2 = 1,57 Cererea de frigidere este elastic fa de ieftinirea produsului: la fiecare scdere

cu !% a preului, cererea a crescut n perioada 1999-2000 cu 1,57%. 6.5. Producia i importul de biciclete au cunoscut n perioada 1990-1996 urmtoarea evoluie n Romnia (mii buci):

ANUL 1990 1191 1992 1993 1994 1995 1996 Producia de biciclete 136 107 67 41 28 22 19 Importul de biciclete 13 18 22 31 28 40 63

Se cere: s se reprezinte grafic legtura dintre cele dou variabile; s se determine i interpreteze parametrii funciei de regresie liniar;

Rspuns: ii xY = 133,293,47


S se determine valorile ajustate ale variabilei dependente Y; s se analizeze validitatea statistic i economic a modelului liniar

Rspuns:

iY 8,90 17,23 28,71 36,17 39,90 41,62 42,48

s se msoare intensitatea legturii dintre cele dou variabile cu ajutorul

coeficientului de corelaie i a raportului de corelaie; Rspuns: r = - 0,78; R = 0,78 6.6. Comerul exterior al Romniei cu Danemarca a evoluat n perioada 1991-1998 astfel (mil USD):

ANUL 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 Export 2 4 6 9 15 14 16 23 Import 9 21 48 46 55 87 50 70

Se cere: s se reprezinte grafic relaia export-import; s se determine i comenteze parametrii funciei liniare de regresie;

Rspuns: a = 0,35; b = 0,2233 Not: Ecuaia liniar se consider de forma yi = a + b xi s se caracterizeze intensitatea legturii dintre export i import

Rspuns: R = 0,78

6.7. Este cunoscut faptul c exist o legtur invers ntre dinamica produciei industriale i rata omajului, astfel nct, atunci cnd rata omajului scade, producia industrial crete i invers. S se verifice aceast ipotez folosind urmtoarele date:

ara Producia industrial (% de modificare)

Rata omajului (%)

Australia 6,2 7,4 Belgia 0,7 10,9 Canada 5,4 7,7 Germania 2,3 8,9 Olanda 0,1 14,0 Italia 7,8 15,7 Japonia 12,8 2,6 Elveia 5,6 20,1 Marea Britanie 3,3 9,0 S.U.A. 5,7 5,4

Se cere:

S se determine i interpreteze coeficientul de corelaie;


Rspuns: r = - 0,36 S se testeze semnificaia statistic a coeficientului obinut, admind o eroare

= 0,05 Rspuns: tcalc = 1,091, fa de nivelul critic tabelat de 2,306 pentru = 0,05 i k = 8 grade de libertate

S se determine coeficienii de corelaie neparametric Spearman i Kendall . Rspuns: CSpearman = - 0,36; CKendall = - 0,16 S se estimeze i interpreteze parametrii funciei liniare de regresie. Rspuns: a = 7.59; b = -0.256

6.8. Dintr-o anchet statistic efectuat de o firm asupra unor aspecte cu caracter social i economic, au rezultate urmtoarele aprecieri:

Aspecte social-economice Ranguri stabilite de

salariai

Ranguri stabilite de

patroni Aprecierea muncii bine fcute 1 8 Sentimentul de implicare la realizarea produciei

2 10

Problemele personale 3 9 Securitata muncii 4 2 Salarii 5 1 Interesul fa de munc 6 5 Organizara muncii 7 3 Localitatea angajailor 8 6 Condiii de lucru 9 4 Disciplina 10 7

Se cere: S se stabileasc intensitata asocierii dintre cele dou feluri de aprecieri

folosind de coeficienii de corelaie neparametric (Spearman i Kendall) ntre cele dou opiuni;

Rspuns: CSpearman = -0,36; CKendall = - 0,16.

6.9. Cercetnd relaia dintre numrul investitorilor strini provenind dintr-o ar i volumul capitalului investit de acetia n Romnia, este logic s se avanseze ipoteza unei asocieri directe ntre cele dou variabile. Aceast ipotez se studiaz folosind datele referitoare la primele 40 de ri care au efectuat investiii n Romnia n anul t. n tabelul de mai jos, cele dou variabile numerice numr investitoi i capital investit au fost comprimate sub forma a dou variabile alternative innd cont de numrul mediu al investitorilor din fiecare ar i respectiv de volumul mediu al capitalului provenit din fiecare ar.

Capital investit Numr investitori

Peste medie Sub medie

Peste medie 5 5 Sub medie 9 21


S se determine i comenteze intensitatea asocierii dintre cele dou variabile. Rspuns: + 0,4. O asociere direct destul de modest din punct de vedere al intensitii 6.10. Un analist de marketing urmrete n cinci luni efectul aciunilor de publicitate (x) veniturilor obinute din vnzri (y). El nregistreaz n acest sens cheltuieli de productivitate milioane lei i ncasri din vnzri sute de milioane lei. n urma prelucrrii datelor a obinut: xi = 15; yi = 10; xi2 = 55; i xiyi = 37 (i = 5,1 ). Analistul a stabilit pe baza unor teste specifice c dependena dintre variabile situate este liniar. Ecuaia dreptei de regresie este: a) y = 0,7x; b) y = 0,7 0,1x; c) y = 0,1 0,7x; d) y = 2 0,7x; e) y = 3,7 5,5x; 6.11. Legtura dintre raportul de corelaie (R) i raportul F utilizat n testarea

validitii modelului liniar de regresie este exprimat prin relaia: 6.12.

a) ( )21 22

= nR

RF ;

b) 22

1 RRF = ;

c) ( )( )21 22

= nRRF ;

d) ( )21 2

2

= nRRF ;

e) ( )21

12

2

+= nR

RF ;

6.13. S se analizeze evoluia pieei televiziunii prin cablu din Romnia, folosind

datele referitoare la perioada 1990-1999 preluate din revista Capital nr. 47/23 noiembrie 2000:

ANUL 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999

Tarif mediu lunar (USD)

0,01 0,03 0,40 0,80 1,30 1,80 2,30 2,70 3,00 3,20


Nr. abonai (milioane)

0,70 0,90 1,00 1,50 2,00 2,50 3,30 3,20 3,10 3,10

Recomandare Se va elabora o diagram de corelaie. Pe baza acestei diagrame se alege forma funciei de regresie. Pentru aprecierea intensitii legturii, se va folosi raportul de corelaie. Se pot folosi i coeficieni de elasticitate a evoluiei, numrului de abonai fa de micarea tarifului mediu lunar, n diferitele intervale ale perioadei analizate. 6.13. Cum apreciai elasticitatea vnzrilor n raport cu creterea veniturilor populaiei

a) elastic; b) elasticitate unitar; c) inelastic; dac ntr-o perioad de trei ani vnzrile au sporit cu 8,7%, iar veniturile cu

4,6%. Justificai opiunea fcut.

6.14. Este cunoscut faptul c exist o legtur invers ntre producia industrial i rata omajului, astfel nct atunci cnd rata omajului scade, producia industrial crete. n acest sens se cunosc urmtoarele date:

(date convenionale)

ara Producia industrial (% de modificare)

Rata omajului (%)

Australia Belgia Canada

Germania Olanda Italia

Japonia Elveia

Marea Britanie S.U.A.

6,2 0,7 5,4 2,3 0,1 7,8

12,8 5,6 3,3 5,7

7,4 10,9 7,7 8,9

14,0 15,7 2,6

20,1 9,0 5,4

Se cere: 1. s se determine ecuaia de regresie dintre cele dou variabile; 2. s se calculeze coeficentul de corelaie; 3. s se calculeze coeficientul rangurilor Spearman i Kendall i s se compare cu rezultatul obinut la punctul anterior. 6.15. Datele urmtoare arat numrul de bacterii existente pe o lamel la sfritul fiecrei ore pe o perioad de ase ore:

(date convenionale) Ora 1 2 3 4 5 6

Numr de bacterii 10 50 200 765 3070 12280


Se cere: 1. utiliznd metoda celor mai mici ptrate i cunoscnd c cele dou fenomene evolueaz exponenial s se determine ecuaia de regresie; 2. s se calculeze, pe baza ecuaiei de regresie obinut la punctul anterior, numrul de bacterii dup apte ore. 6.16. Preul pe bucat n mii lei este dat de variabila x i numrul de produse vndute pe lun timp de 8 luni y sunt reprezentate n tabelul urmtor:

(date convenionale) X 12 13 14 12 14 15 17 19 Y 28 20 20 25 16 12 10 7

Se cere: 1. gsii ecuaia de regresie liniar; 2. estimai numrul de produse vndute atunci cnd preul pe unitate este 18. 6.17. Se cunoate c decizia managerial n ceea ce privete creterea vnzrilor la un magazin de nclminte se ia i funcie de mrimea suprafeei destinate vnzrii. Astfel, magazinul prezint urmtoarea situaie:

(date convenionale) Suprafaa comercial (mp) Valoarea vnzrilor (mil.lei)

50 120 180 210 250 300

8 14 20 24 30 42

Se cere: 1. s se stabileasc parametrii ecuaiei de regresie dintre cele dou variabile; 2. s se determine coeficientul de corelaie dintre variabile; 3. dac managerul magazinului dorete s mreasc suprafaa destinat vnzrii la 350 mp., s se determine valoarea scontat a vnzrilor avnd la baz legtura liniar dintre variabile. 6.18. Comerul exterior al Romniei cu cteva ri europene prezint urmtoarea situaie n 1996 (mil.$):

ara Export Import Austria Belgia

Danemarca Germania

Grecia Olanda Spania Suedia

Regatul Unit

169 124 14

1486 177 343 95 44

248

349 185 87

2008 186 266 102 77

330


Sursa: Anuarul de comer exterior al Romniei, 1997, C.N.S., pag.17. Se cere: 1. considernd relaia dintre export i import de form liniar, s se determine i s se interpreteze parametrii funciei de regresie; 2. s se msoare i s se comenteze intensitatea legturii dintre cele dou variabile folosind o metod parametric i una neparametric.

CAPITOLUL 66.1. Tipologia legturilor statistice6.2. Metoda regresiei6.3. Metoda corelaiei parametrice i neparametriceProbleme i aplicaii

Documents

Analiza statistica a Legaturilor Dintre Variabile