ANALIZA VARIJANCEANALIZA VARIJANCE

prof dr sc Nikola Šakićprof dr sc Nikola Šakić

Zagreb 2010Analiza varijance

Analiza varijance

bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)

bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat

bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka

Zagreb 2010Analiza varijance

Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora

uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x

vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu

aritmetička sredina svihpodataka

doprinos ar sredine j-toguzorka

slučajno odstupanje unutaruzorka

Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

Zagreb 2010Analiza varijance

bull Model se može shvatiti i kao

bull Hipoteza

bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test

( )f F

kb kn

1

FF0

varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss

2122

sF

s

2 21 2( )s s

12

12 j

ij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0

0k

j

H x x x

H x

bar jedan

Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost

Zagreb 2010Analiza varijance

Postupak

1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2

1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

x

sN

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j

ij j j ij j ji j i j i j

N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0

Zagreb 2010Analiza varijance

Konačno

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j

UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka

UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka

x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF

s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss

Zagreb 2010Analiza varijance

Primjer

bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u

bull Tablica analize varijance

udio tvrdog drva mjerenja

5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20

Suma po uzorcima 60 94 102 127

Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217

izvor varijacije

suma kvadrata

odstupanja stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač F0(=001)

faktor udio tvrdog drva

38279 3 12760 1961 494

slučajno odst u uzorcima (ostatak)

13017 20 651 ndash ndash

UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash

ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596

( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001

Frač gt F0 odbaciti H0

uz vj pogreške 1 vrste = 001

Zagreb 2010Analiza varijance

UVOD U PLANIRANJE I ANALIZU UVOD U PLANIRANJE I ANALIZU POKUSAPOKUSA

Zagreb 2010Analiza varijance

Uvod u planiranje i analizu pokusabull Povijest i osnovni pojmovi

ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse

ZNANJE JE MOĆ

ndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of Experiments

bull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose

u poljoprivrednoj proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj

istraživanje istovremenom promjenom više utjecajnih faktora interakcije

Zagreb 2010Analiza varijance

bull definirao osnovne pojmove vezane uz pokusendash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri

izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi

bull objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935)

Zagreb 2010Analiza varijance

Model pokusa

Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja

2 Odabrati utjecajne faktore i njihove razine

3 Odabrati mjerene vrijednosti (izlazne varijable)

4 Odabrati model pokusa

5 Izvesti pokus (predpokus glavni pokus)

6 Analizirati rezultate

7 Formulirati zaključke i prijedloge

Proces problem

kontrolirani faktoriw1 w2 wp

z1 z2 zp

nekontrolirani faktori(poremećaji)

y1

y2

ym

izlazi(mjerne

vrijednostirezultati)

x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)

Zagreb 2010Analiza varijance

Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4

faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više

razinabull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2

razinebull označavanje 2k r

broj razina

broj faktora

broj izvođenja pokusa zasvaku kombinaciju razina faktora

Zagreb 2010Analiza varijance

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba

A1 A2 B1 B2 razine faktora

(1) a b ab stanja pokusa

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

Prikaz promjene rezultata

Zagreb 2010Analiza varijance

Rezultati djelovanja promjene faktorabull glavni efekti

bull interakcija

VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE

(1) 40 30 20 1020

2 2(1) 40 30 20 10

102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 100

2 2

ab a bAB

Zagreb 2010Analiza varijance

bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 100

2 2(1) 0 30 20 10

102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 1020

2 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba

INTERAKCIJA AB = ndash 20

Zagreb 2010Analiza varijance

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

10

20 0

30

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1

Zagreb 2010Analiza varijance

Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija

Izvor varijacija

Suma kvadrata

odstupanja Stupnjevi slobode

Srednji kvadrat odstupanja Frač F0

Faktor A SSA a ndash 1 1A

A

SSMS

a

( )

Arač A

OST

MSF

MS

Faktor B SSB b ndash 1 1B

B

SSMS

b

( )

Brač B

OST

MSF

MS

interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB

AB

SSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSF

MS

ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST

OST

SSMS

a b r

Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1

a broj razina faktora A

b broj razina faktora B

r broj ponavljanja pokusa

opaska p

• Analiza varijance

Zagreb 2010Analiza varijance

Analiza varijance

bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)

bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat

bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka

Zagreb 2010Analiza varijance

Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora

uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x

vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu

aritmetička sredina svihpodataka

doprinos ar sredine j-toguzorka

slučajno odstupanje unutaruzorka

Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

Zagreb 2010Analiza varijance

bull Model se može shvatiti i kao

bull Hipoteza

bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test

( )f F

kb kn

1

FF0

varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss

2122

sF

s

2 21 2( )s s

12

12 j

ij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0

0k

j

H x x x

H x

bar jedan

Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost

Zagreb 2010Analiza varijance

Postupak

1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2

1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

x

sN

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j

ij j j ij j ji j i j i j

N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0

Zagreb 2010Analiza varijance

Konačno

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j

UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka

UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka

x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF

s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss

Zagreb 2010Analiza varijance

Primjer

bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u

bull Tablica analize varijance

udio tvrdog drva mjerenja

5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20

Suma po uzorcima 60 94 102 127

Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217

izvor varijacije

suma kvadrata

odstupanja stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač F0(=001)

faktor udio tvrdog drva

38279 3 12760 1961 494

slučajno odst u uzorcima (ostatak)

13017 20 651 ndash ndash

UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash

ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596

( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001

Frač gt F0 odbaciti H0

uz vj pogreške 1 vrste = 001

Zagreb 2010Analiza varijance

UVOD U PLANIRANJE I ANALIZU UVOD U PLANIRANJE I ANALIZU POKUSAPOKUSA

Zagreb 2010Analiza varijance

Uvod u planiranje i analizu pokusabull Povijest i osnovni pojmovi

ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse

ZNANJE JE MOĆ

ndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of Experiments

bull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose

u poljoprivrednoj proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj

istraživanje istovremenom promjenom više utjecajnih faktora interakcije

Zagreb 2010Analiza varijance

bull definirao osnovne pojmove vezane uz pokusendash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri

izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi

bull objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935)

Zagreb 2010Analiza varijance

Model pokusa

Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja

2 Odabrati utjecajne faktore i njihove razine

3 Odabrati mjerene vrijednosti (izlazne varijable)

4 Odabrati model pokusa

5 Izvesti pokus (predpokus glavni pokus)

6 Analizirati rezultate

7 Formulirati zaključke i prijedloge

Proces problem

kontrolirani faktoriw1 w2 wp

z1 z2 zp

nekontrolirani faktori(poremećaji)

y1

y2

ym

izlazi(mjerne

vrijednostirezultati)

x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)

Zagreb 2010Analiza varijance

Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4

faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više

razinabull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2

razinebull označavanje 2k r

broj razina

broj faktora

broj izvođenja pokusa zasvaku kombinaciju razina faktora

Zagreb 2010Analiza varijance

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba

A1 A2 B1 B2 razine faktora

(1) a b ab stanja pokusa

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

Prikaz promjene rezultata

Zagreb 2010Analiza varijance

Rezultati djelovanja promjene faktorabull glavni efekti

bull interakcija

VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE

(1) 40 30 20 1020

2 2(1) 40 30 20 10

102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 100

2 2

ab a bAB

Zagreb 2010Analiza varijance

bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 100

2 2(1) 0 30 20 10

102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 1020

2 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba

INTERAKCIJA AB = ndash 20

Zagreb 2010Analiza varijance

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

10

20 0

30

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1

Zagreb 2010Analiza varijance

Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija

Izvor varijacija

Suma kvadrata

odstupanja Stupnjevi slobode

Srednji kvadrat odstupanja Frač F0

Faktor A SSA a ndash 1 1A

A

SSMS

a

( )

Arač A

OST

MSF

MS

Faktor B SSB b ndash 1 1B

B

SSMS

b

( )

Brač B

OST

MSF

MS

interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB

AB

SSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSF

MS

ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST

OST

SSMS

a b r

Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1

a broj razina faktora A

b broj razina faktora B

r broj ponavljanja pokusa

opaska p

• Analiza varijance

Zagreb 2010Analiza varijance

Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora

uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x

vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu

aritmetička sredina svihpodataka

doprinos ar sredine j-toguzorka

slučajno odstupanje unutaruzorka

Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

Zagreb 2010Analiza varijance

bull Model se može shvatiti i kao

bull Hipoteza

bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test

( )f F

kb kn

1

FF0

varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss

2122

sF

s

2 21 2( )s s

12

12 j

ij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0

0k

j

H x x x

H x

bar jedan

Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost

Zagreb 2010Analiza varijance

Postupak

1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2

1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

x

sN

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j

ij j j ij j ji j i j i j

N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0

Zagreb 2010Analiza varijance

Konačno

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j

UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka

UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka

x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF

s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss

Zagreb 2010Analiza varijance

Primjer

bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u

bull Tablica analize varijance

udio tvrdog drva mjerenja

5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20

Suma po uzorcima 60 94 102 127

Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217

izvor varijacije

suma kvadrata

odstupanja stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač F0(=001)

faktor udio tvrdog drva

38279 3 12760 1961 494

slučajno odst u uzorcima (ostatak)

13017 20 651 ndash ndash

UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash

ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596

( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001

Frač gt F0 odbaciti H0

uz vj pogreške 1 vrste = 001

Zagreb 2010Analiza varijance

UVOD U PLANIRANJE I ANALIZU UVOD U PLANIRANJE I ANALIZU POKUSAPOKUSA

Zagreb 2010Analiza varijance

Uvod u planiranje i analizu pokusabull Povijest i osnovni pojmovi

ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse

ZNANJE JE MOĆ

ndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of Experiments

bull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose

u poljoprivrednoj proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj

istraživanje istovremenom promjenom više utjecajnih faktora interakcije

Zagreb 2010Analiza varijance

bull definirao osnovne pojmove vezane uz pokusendash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri

izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi

bull objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935)

Zagreb 2010Analiza varijance

Model pokusa

Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja

2 Odabrati utjecajne faktore i njihove razine

3 Odabrati mjerene vrijednosti (izlazne varijable)

4 Odabrati model pokusa

5 Izvesti pokus (predpokus glavni pokus)

6 Analizirati rezultate

7 Formulirati zaključke i prijedloge

Proces problem

kontrolirani faktoriw1 w2 wp

z1 z2 zp

nekontrolirani faktori(poremećaji)

y1

y2

ym

izlazi(mjerne

vrijednostirezultati)

x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)

Zagreb 2010Analiza varijance

Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4

faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više

razinabull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2

razinebull označavanje 2k r

broj razina

broj faktora

broj izvođenja pokusa zasvaku kombinaciju razina faktora

Zagreb 2010Analiza varijance

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba

A1 A2 B1 B2 razine faktora

(1) a b ab stanja pokusa

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

Prikaz promjene rezultata

Zagreb 2010Analiza varijance

Rezultati djelovanja promjene faktorabull glavni efekti

bull interakcija

VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE

(1) 40 30 20 1020

2 2(1) 40 30 20 10

102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 100

2 2

ab a bAB

Zagreb 2010Analiza varijance

bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 100

2 2(1) 0 30 20 10

102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 1020

2 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba

INTERAKCIJA AB = ndash 20

Zagreb 2010Analiza varijance

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

10

20 0

30

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1

Zagreb 2010Analiza varijance

Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija

Izvor varijacija

Suma kvadrata

odstupanja Stupnjevi slobode

Srednji kvadrat odstupanja Frač F0

Faktor A SSA a ndash 1 1A

A

SSMS

a

( )

Arač A

OST

MSF

MS

Faktor B SSB b ndash 1 1B

B

SSMS

b

( )

Brač B

OST

MSF

MS

interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB

AB

SSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSF

MS

ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST

OST

SSMS

a b r

Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1

a broj razina faktora A

b broj razina faktora B

r broj ponavljanja pokusa

opaska p

• Analiza varijance

Zagreb 2010Analiza varijance

bull Model se može shvatiti i kao

bull Hipoteza

bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test

( )f F

kb kn

1

FF0

varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss

2122

sF

s

2 21 2( )s s

12

12 j

ij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0

0k

j

H x x x

H x

bar jedan

Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost

Zagreb 2010Analiza varijance

Postupak

1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2

1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

x

sN

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j

ij j j ij j ji j i j i j

N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0

Zagreb 2010Analiza varijance

Konačno

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j

UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka

UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka

x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF

s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss

Zagreb 2010Analiza varijance

Primjer

bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u

bull Tablica analize varijance

udio tvrdog drva mjerenja

5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20

Suma po uzorcima 60 94 102 127

Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217

izvor varijacije

suma kvadrata

odstupanja stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač F0(=001)

faktor udio tvrdog drva

38279 3 12760 1961 494

slučajno odst u uzorcima (ostatak)

13017 20 651 ndash ndash

UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash

ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596

( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001

Frač gt F0 odbaciti H0

uz vj pogreške 1 vrste = 001

Zagreb 2010Analiza varijance

UVOD U PLANIRANJE I ANALIZU UVOD U PLANIRANJE I ANALIZU POKUSAPOKUSA

Zagreb 2010Analiza varijance

Uvod u planiranje i analizu pokusabull Povijest i osnovni pojmovi

ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse

ZNANJE JE MOĆ

ndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of Experiments

bull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose

u poljoprivrednoj proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj

istraživanje istovremenom promjenom više utjecajnih faktora interakcije

Zagreb 2010Analiza varijance

bull definirao osnovne pojmove vezane uz pokusendash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri

izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi

bull objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935)

Zagreb 2010Analiza varijance

Model pokusa

Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja

2 Odabrati utjecajne faktore i njihove razine

3 Odabrati mjerene vrijednosti (izlazne varijable)

4 Odabrati model pokusa

5 Izvesti pokus (predpokus glavni pokus)

6 Analizirati rezultate

7 Formulirati zaključke i prijedloge

Proces problem

kontrolirani faktoriw1 w2 wp

z1 z2 zp

nekontrolirani faktori(poremećaji)

y1

y2

ym

izlazi(mjerne

vrijednostirezultati)

x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)

Zagreb 2010Analiza varijance

Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4

faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više

razinabull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2

razinebull označavanje 2k r

broj razina

broj faktora

broj izvođenja pokusa zasvaku kombinaciju razina faktora

Zagreb 2010Analiza varijance

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba

A1 A2 B1 B2 razine faktora

(1) a b ab stanja pokusa

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

Prikaz promjene rezultata

Zagreb 2010Analiza varijance

Rezultati djelovanja promjene faktorabull glavni efekti

bull interakcija

VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE

(1) 40 30 20 1020

2 2(1) 40 30 20 10

102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 100

2 2

ab a bAB

Zagreb 2010Analiza varijance

bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 100

2 2(1) 0 30 20 10

102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 1020

2 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba

INTERAKCIJA AB = ndash 20

Zagreb 2010Analiza varijance

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

10

20 0

30

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1

Zagreb 2010Analiza varijance

Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija

Izvor varijacija

Suma kvadrata

odstupanja Stupnjevi slobode

Srednji kvadrat odstupanja Frač F0

Faktor A SSA a ndash 1 1A

A

SSMS

a

( )

Arač A

OST

MSF

MS

Faktor B SSB b ndash 1 1B

B

SSMS

b

( )

Brač B

OST

MSF

MS

interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB

AB

SSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSF

MS

ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST

OST

SSMS

a b r

Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1

a broj razina faktora A

b broj razina faktora B

r broj ponavljanja pokusa

opaska p

• Analiza varijance

Zagreb 2010Analiza varijance

Postupak

1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2

1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

x

sN

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j

ij j j ij j ji j i j i j

N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0

Zagreb 2010Analiza varijance

Konačno

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j

UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka

UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka

x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF

s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss

Zagreb 2010Analiza varijance

Primjer

bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u

bull Tablica analize varijance

udio tvrdog drva mjerenja

5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20

Suma po uzorcima 60 94 102 127

Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217

izvor varijacije

suma kvadrata

odstupanja stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač F0(=001)

faktor udio tvrdog drva

38279 3 12760 1961 494

slučajno odst u uzorcima (ostatak)

13017 20 651 ndash ndash

UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash

ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596

( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001

Frač gt F0 odbaciti H0

uz vj pogreške 1 vrste = 001

Zagreb 2010Analiza varijance

UVOD U PLANIRANJE I ANALIZU UVOD U PLANIRANJE I ANALIZU POKUSAPOKUSA

Zagreb 2010Analiza varijance

Uvod u planiranje i analizu pokusabull Povijest i osnovni pojmovi

ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse

ZNANJE JE MOĆ

ndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of Experiments

bull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose

u poljoprivrednoj proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj

istraživanje istovremenom promjenom više utjecajnih faktora interakcije

Zagreb 2010Analiza varijance

bull definirao osnovne pojmove vezane uz pokusendash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri

izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi

bull objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935)

Zagreb 2010Analiza varijance

Model pokusa

Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja

2 Odabrati utjecajne faktore i njihove razine

3 Odabrati mjerene vrijednosti (izlazne varijable)

4 Odabrati model pokusa

5 Izvesti pokus (predpokus glavni pokus)

6 Analizirati rezultate

7 Formulirati zaključke i prijedloge

Proces problem

kontrolirani faktoriw1 w2 wp

z1 z2 zp

nekontrolirani faktori(poremećaji)

y1

y2

ym

izlazi(mjerne

vrijednostirezultati)

x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)

Zagreb 2010Analiza varijance

Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4

faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više

razinabull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2

razinebull označavanje 2k r

broj razina

broj faktora

broj izvođenja pokusa zasvaku kombinaciju razina faktora

Zagreb 2010Analiza varijance

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba

A1 A2 B1 B2 razine faktora

(1) a b ab stanja pokusa

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

Prikaz promjene rezultata

Zagreb 2010Analiza varijance

Rezultati djelovanja promjene faktorabull glavni efekti

bull interakcija

VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE

(1) 40 30 20 1020

2 2(1) 40 30 20 10

102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 100

2 2

ab a bAB

Zagreb 2010Analiza varijance

bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 100

2 2(1) 0 30 20 10

102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 1020

2 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba

INTERAKCIJA AB = ndash 20

Zagreb 2010Analiza varijance

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

10

20 0

30

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1

Zagreb 2010Analiza varijance

Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija

Izvor varijacija

Suma kvadrata

odstupanja Stupnjevi slobode

Srednji kvadrat odstupanja Frač F0

Faktor A SSA a ndash 1 1A

A

SSMS

a

( )

Arač A

OST

MSF

MS

Faktor B SSB b ndash 1 1B

B

SSMS

b

( )

Brač B

OST

MSF

MS

interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB

AB

SSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSF

MS

ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST

OST

SSMS

a b r

Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1

a broj razina faktora A

b broj razina faktora B

r broj ponavljanja pokusa

opaska p

• Analiza varijance

Zagreb 2010Analiza varijance

Konačno

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j

UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka

UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka

x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF

s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss

Zagreb 2010Analiza varijance

Primjer

bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u

bull Tablica analize varijance

udio tvrdog drva mjerenja

5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20

Suma po uzorcima 60 94 102 127

Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217

izvor varijacije

suma kvadrata

odstupanja stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač F0(=001)

faktor udio tvrdog drva

38279 3 12760 1961 494

slučajno odst u uzorcima (ostatak)

13017 20 651 ndash ndash

UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash

ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596

( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001

Frač gt F0 odbaciti H0

uz vj pogreške 1 vrste = 001

Zagreb 2010Analiza varijance

UVOD U PLANIRANJE I ANALIZU UVOD U PLANIRANJE I ANALIZU POKUSAPOKUSA

Zagreb 2010Analiza varijance

Uvod u planiranje i analizu pokusabull Povijest i osnovni pojmovi

ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse

ZNANJE JE MOĆ

ndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of Experiments

bull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose

u poljoprivrednoj proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj

istraživanje istovremenom promjenom više utjecajnih faktora interakcije

Zagreb 2010Analiza varijance

bull definirao osnovne pojmove vezane uz pokusendash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri

izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi

bull objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935)

Zagreb 2010Analiza varijance

Model pokusa

Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja

2 Odabrati utjecajne faktore i njihove razine

3 Odabrati mjerene vrijednosti (izlazne varijable)

4 Odabrati model pokusa

5 Izvesti pokus (predpokus glavni pokus)

6 Analizirati rezultate

7 Formulirati zaključke i prijedloge

Proces problem

kontrolirani faktoriw1 w2 wp

z1 z2 zp

nekontrolirani faktori(poremećaji)

y1

y2

ym

izlazi(mjerne

vrijednostirezultati)

x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)

Zagreb 2010Analiza varijance

Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4

faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više

razinabull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2

razinebull označavanje 2k r

broj razina

broj faktora

broj izvođenja pokusa zasvaku kombinaciju razina faktora

Zagreb 2010Analiza varijance

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba

A1 A2 B1 B2 razine faktora

(1) a b ab stanja pokusa

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

Prikaz promjene rezultata

Zagreb 2010Analiza varijance

Rezultati djelovanja promjene faktorabull glavni efekti

bull interakcija

VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE

(1) 40 30 20 1020

2 2(1) 40 30 20 10

102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 100

2 2

ab a bAB

Zagreb 2010Analiza varijance

bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 100

2 2(1) 0 30 20 10

102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 1020

2 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba

INTERAKCIJA AB = ndash 20

Zagreb 2010Analiza varijance

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

10

20 0

30

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1

Zagreb 2010Analiza varijance

Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija

Izvor varijacija

Suma kvadrata

odstupanja Stupnjevi slobode

Srednji kvadrat odstupanja Frač F0

Faktor A SSA a ndash 1 1A

A

SSMS

a

( )

Arač A

OST

MSF

MS

Faktor B SSB b ndash 1 1B

B

SSMS

b

( )

Brač B

OST

MSF

MS

interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB

AB

SSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSF

MS

ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST

OST

SSMS

a b r

Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1

a broj razina faktora A

b broj razina faktora B

r broj ponavljanja pokusa

opaska p

• Analiza varijance

Zagreb 2010Analiza varijance

Primjer

bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u

bull Tablica analize varijance

udio tvrdog drva mjerenja

5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20

Suma po uzorcima 60 94 102 127

Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217

izvor varijacije

suma kvadrata

odstupanja stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač F0(=001)

faktor udio tvrdog drva

38279 3 12760 1961 494

slučajno odst u uzorcima (ostatak)

13017 20 651 ndash ndash

UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash

ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596

( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001

Frač gt F0 odbaciti H0

uz vj pogreške 1 vrste = 001

Zagreb 2010Analiza varijance

UVOD U PLANIRANJE I ANALIZU UVOD U PLANIRANJE I ANALIZU POKUSAPOKUSA

Zagreb 2010Analiza varijance

Uvod u planiranje i analizu pokusabull Povijest i osnovni pojmovi

ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse

ZNANJE JE MOĆ

ndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of Experiments

bull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose

u poljoprivrednoj proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj

istraživanje istovremenom promjenom više utjecajnih faktora interakcije

Zagreb 2010Analiza varijance

bull definirao osnovne pojmove vezane uz pokusendash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri

izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi

bull objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935)

Zagreb 2010Analiza varijance

Model pokusa

Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja

2 Odabrati utjecajne faktore i njihove razine

3 Odabrati mjerene vrijednosti (izlazne varijable)

4 Odabrati model pokusa

5 Izvesti pokus (predpokus glavni pokus)

6 Analizirati rezultate

7 Formulirati zaključke i prijedloge

Proces problem

kontrolirani faktoriw1 w2 wp

z1 z2 zp

nekontrolirani faktori(poremećaji)

y1

y2

ym

izlazi(mjerne

vrijednostirezultati)

x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)

Zagreb 2010Analiza varijance

Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4

faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više

razinabull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2

razinebull označavanje 2k r

broj razina

broj faktora

broj izvođenja pokusa zasvaku kombinaciju razina faktora

Zagreb 2010Analiza varijance

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba

A1 A2 B1 B2 razine faktora

(1) a b ab stanja pokusa

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

Prikaz promjene rezultata

Zagreb 2010Analiza varijance

Rezultati djelovanja promjene faktorabull glavni efekti

bull interakcija

VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE

(1) 40 30 20 1020

2 2(1) 40 30 20 10

102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 100

2 2

ab a bAB

Zagreb 2010Analiza varijance

bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 100

2 2(1) 0 30 20 10

102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 1020

2 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba

INTERAKCIJA AB = ndash 20

Zagreb 2010Analiza varijance

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

10

20 0

30

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1

Zagreb 2010Analiza varijance

Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija

Izvor varijacija

Suma kvadrata

odstupanja Stupnjevi slobode

Srednji kvadrat odstupanja Frač F0

Faktor A SSA a ndash 1 1A

A

SSMS

a

( )

Arač A

OST

MSF

MS

Faktor B SSB b ndash 1 1B

B

SSMS

b

( )

Brač B

OST

MSF

MS

interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB

AB

SSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSF

MS

ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST

OST

SSMS

a b r

Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1

a broj razina faktora A

b broj razina faktora B

r broj ponavljanja pokusa

opaska p

• Analiza varijance

Zagreb 2010Analiza varijance

UVOD U PLANIRANJE I ANALIZU UVOD U PLANIRANJE I ANALIZU POKUSAPOKUSA

Zagreb 2010Analiza varijance

Uvod u planiranje i analizu pokusabull Povijest i osnovni pojmovi

ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse

ZNANJE JE MOĆ

ndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of Experiments

bull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose

u poljoprivrednoj proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj

istraživanje istovremenom promjenom više utjecajnih faktora interakcije

Zagreb 2010Analiza varijance

bull definirao osnovne pojmove vezane uz pokusendash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri

izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi

bull objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935)

Zagreb 2010Analiza varijance

Model pokusa

Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja

2 Odabrati utjecajne faktore i njihove razine

3 Odabrati mjerene vrijednosti (izlazne varijable)

4 Odabrati model pokusa

5 Izvesti pokus (predpokus glavni pokus)

6 Analizirati rezultate

7 Formulirati zaključke i prijedloge

Proces problem

kontrolirani faktoriw1 w2 wp

z1 z2 zp

nekontrolirani faktori(poremećaji)

y1

y2

ym

izlazi(mjerne

vrijednostirezultati)

x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)

Zagreb 2010Analiza varijance

Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4

faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više

razinabull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2

razinebull označavanje 2k r

broj razina

broj faktora

broj izvođenja pokusa zasvaku kombinaciju razina faktora

Zagreb 2010Analiza varijance

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba

A1 A2 B1 B2 razine faktora

(1) a b ab stanja pokusa

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

Prikaz promjene rezultata

Zagreb 2010Analiza varijance

Rezultati djelovanja promjene faktorabull glavni efekti

bull interakcija

VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE

(1) 40 30 20 1020

2 2(1) 40 30 20 10

102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 100

2 2

ab a bAB

Zagreb 2010Analiza varijance

bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 100

2 2(1) 0 30 20 10

102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 1020

2 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba

INTERAKCIJA AB = ndash 20

Zagreb 2010Analiza varijance

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

10

20 0

30

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1

Zagreb 2010Analiza varijance

Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija

Izvor varijacija

Suma kvadrata

odstupanja Stupnjevi slobode

Srednji kvadrat odstupanja Frač F0

Faktor A SSA a ndash 1 1A

A

SSMS

a

( )

Arač A

OST

MSF

MS

Faktor B SSB b ndash 1 1B

B

SSMS

b

( )

Brač B

OST

MSF

MS

interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB

AB

SSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSF

MS

ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST

OST

SSMS

a b r

Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1

a broj razina faktora A

b broj razina faktora B

r broj ponavljanja pokusa

opaska p

• Analiza varijance

Zagreb 2010Analiza varijance

Uvod u planiranje i analizu pokusabull Povijest i osnovni pojmovi

ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse

ZNANJE JE MOĆ

ndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of Experiments

bull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose

u poljoprivrednoj proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj

istraživanje istovremenom promjenom više utjecajnih faktora interakcije

Zagreb 2010Analiza varijance

bull definirao osnovne pojmove vezane uz pokusendash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri

izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi

bull objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935)

Zagreb 2010Analiza varijance

Model pokusa

Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja

2 Odabrati utjecajne faktore i njihove razine

3 Odabrati mjerene vrijednosti (izlazne varijable)

4 Odabrati model pokusa

5 Izvesti pokus (predpokus glavni pokus)

6 Analizirati rezultate

7 Formulirati zaključke i prijedloge

Proces problem

kontrolirani faktoriw1 w2 wp

z1 z2 zp

nekontrolirani faktori(poremećaji)

y1

y2

ym

izlazi(mjerne

vrijednostirezultati)

x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)

Zagreb 2010Analiza varijance

Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4

faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više

razinabull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2

razinebull označavanje 2k r

broj razina

broj faktora

broj izvođenja pokusa zasvaku kombinaciju razina faktora

Zagreb 2010Analiza varijance

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba

A1 A2 B1 B2 razine faktora

(1) a b ab stanja pokusa

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

Prikaz promjene rezultata

Zagreb 2010Analiza varijance

Rezultati djelovanja promjene faktorabull glavni efekti

bull interakcija

VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE

(1) 40 30 20 1020

2 2(1) 40 30 20 10

102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 100

2 2

ab a bAB

Zagreb 2010Analiza varijance

bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 100

2 2(1) 0 30 20 10

102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 1020

2 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba

INTERAKCIJA AB = ndash 20

Zagreb 2010Analiza varijance

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

10

20 0

30

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1

Zagreb 2010Analiza varijance

Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija

Izvor varijacija

Suma kvadrata

odstupanja Stupnjevi slobode

Srednji kvadrat odstupanja Frač F0

Faktor A SSA a ndash 1 1A

A

SSMS

a

( )

Arač A

OST

MSF

MS

Faktor B SSB b ndash 1 1B

B

SSMS

b

( )

Brač B

OST

MSF

MS

interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB

AB

SSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSF

MS

ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST

OST

SSMS

a b r

Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1

a broj razina faktora A

b broj razina faktora B

r broj ponavljanja pokusa

opaska p

• Analiza varijance

Zagreb 2010Analiza varijance

bull definirao osnovne pojmove vezane uz pokusendash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri

izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi

bull objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935)

Zagreb 2010Analiza varijance

Model pokusa

Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja

2 Odabrati utjecajne faktore i njihove razine

3 Odabrati mjerene vrijednosti (izlazne varijable)

4 Odabrati model pokusa

5 Izvesti pokus (predpokus glavni pokus)

6 Analizirati rezultate

7 Formulirati zaključke i prijedloge

Proces problem

kontrolirani faktoriw1 w2 wp

z1 z2 zp

nekontrolirani faktori(poremećaji)

y1

y2

ym

izlazi(mjerne

vrijednostirezultati)

x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)

Zagreb 2010Analiza varijance

Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4

faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više

razinabull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2

razinebull označavanje 2k r

broj razina

broj faktora

broj izvođenja pokusa zasvaku kombinaciju razina faktora

Zagreb 2010Analiza varijance

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba

A1 A2 B1 B2 razine faktora

(1) a b ab stanja pokusa

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

Prikaz promjene rezultata

Zagreb 2010Analiza varijance

Rezultati djelovanja promjene faktorabull glavni efekti

bull interakcija

VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE

(1) 40 30 20 1020

2 2(1) 40 30 20 10

102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 100

2 2

ab a bAB

Zagreb 2010Analiza varijance

bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 100

2 2(1) 0 30 20 10

102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 1020

2 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba

INTERAKCIJA AB = ndash 20

Zagreb 2010Analiza varijance

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

10

20 0

30

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1

Zagreb 2010Analiza varijance

Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija

Izvor varijacija

Suma kvadrata

odstupanja Stupnjevi slobode

Srednji kvadrat odstupanja Frač F0

Faktor A SSA a ndash 1 1A

A

SSMS

a

( )

Arač A

OST

MSF

MS

Faktor B SSB b ndash 1 1B

B

SSMS

b

( )

Brač B

OST

MSF

MS

interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB

AB

SSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSF

MS

ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST

OST

SSMS

a b r

Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1

a broj razina faktora A

b broj razina faktora B

r broj ponavljanja pokusa

opaska p

• Analiza varijance

Zagreb 2010Analiza varijance

Model pokusa

Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja

2 Odabrati utjecajne faktore i njihove razine

3 Odabrati mjerene vrijednosti (izlazne varijable)

4 Odabrati model pokusa

5 Izvesti pokus (predpokus glavni pokus)

6 Analizirati rezultate

7 Formulirati zaključke i prijedloge

Proces problem

kontrolirani faktoriw1 w2 wp

z1 z2 zp

nekontrolirani faktori(poremećaji)

y1

y2

ym

izlazi(mjerne

vrijednostirezultati)

x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)

Zagreb 2010Analiza varijance

Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4

faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više

razinabull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2

razinebull označavanje 2k r

broj razina

broj faktora

broj izvođenja pokusa zasvaku kombinaciju razina faktora

Zagreb 2010Analiza varijance

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba

A1 A2 B1 B2 razine faktora

(1) a b ab stanja pokusa

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

Prikaz promjene rezultata

Zagreb 2010Analiza varijance

Rezultati djelovanja promjene faktorabull glavni efekti

bull interakcija

VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE

(1) 40 30 20 1020

2 2(1) 40 30 20 10

102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 100

2 2

ab a bAB

Zagreb 2010Analiza varijance

bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 100

2 2(1) 0 30 20 10

102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 1020

2 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba

INTERAKCIJA AB = ndash 20

Zagreb 2010Analiza varijance

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

10

20 0

30

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1

Zagreb 2010Analiza varijance

Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija

Izvor varijacija

Suma kvadrata

odstupanja Stupnjevi slobode

Srednji kvadrat odstupanja Frač F0

Faktor A SSA a ndash 1 1A

A

SSMS

a

( )

Arač A

OST

MSF

MS

Faktor B SSB b ndash 1 1B

B

SSMS

b

( )

Brač B

OST

MSF

MS

interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB

AB

SSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSF

MS

ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST

OST

SSMS

a b r

Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1

a broj razina faktora A

b broj razina faktora B

r broj ponavljanja pokusa

opaska p

• Analiza varijance

Zagreb 2010Analiza varijance

Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4

faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više

razinabull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2

razinebull označavanje 2k r

broj razina

broj faktora

broj izvođenja pokusa zasvaku kombinaciju razina faktora

Zagreb 2010Analiza varijance

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba

A1 A2 B1 B2 razine faktora

(1) a b ab stanja pokusa

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

Prikaz promjene rezultata

Zagreb 2010Analiza varijance

Rezultati djelovanja promjene faktorabull glavni efekti

bull interakcija

VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE

(1) 40 30 20 1020

2 2(1) 40 30 20 10

102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 100

2 2

ab a bAB

Zagreb 2010Analiza varijance

bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 100

2 2(1) 0 30 20 10

102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 1020

2 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba

INTERAKCIJA AB = ndash 20

Zagreb 2010Analiza varijance

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

10

20 0

30

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1

Zagreb 2010Analiza varijance

Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija

Izvor varijacija

Suma kvadrata

odstupanja Stupnjevi slobode

Srednji kvadrat odstupanja Frač F0

Faktor A SSA a ndash 1 1A

A

SSMS

a

( )

Arač A

OST

MSF

MS

Faktor B SSB b ndash 1 1B

B

SSMS

b

( )

Brač B

OST

MSF

MS

interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB

AB

SSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSF

MS

ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST

OST

SSMS

a b r

Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1

a broj razina faktora A

b broj razina faktora B

r broj ponavljanja pokusa

opaska p

• Analiza varijance

Zagreb 2010Analiza varijance

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba

A1 A2 B1 B2 razine faktora

(1) a b ab stanja pokusa

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

Prikaz promjene rezultata

Zagreb 2010Analiza varijance

Rezultati djelovanja promjene faktorabull glavni efekti

bull interakcija

VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE

(1) 40 30 20 1020

2 2(1) 40 30 20 10

102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 100

2 2

ab a bAB

Zagreb 2010Analiza varijance

bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 100

2 2(1) 0 30 20 10

102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 1020

2 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba

INTERAKCIJA AB = ndash 20

Zagreb 2010Analiza varijance

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

10

20 0

30

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1

Zagreb 2010Analiza varijance

Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija

Izvor varijacija

Suma kvadrata

odstupanja Stupnjevi slobode

Srednji kvadrat odstupanja Frač F0

Faktor A SSA a ndash 1 1A

A

SSMS

a

( )

Arač A

OST

MSF

MS

Faktor B SSB b ndash 1 1B

B

SSMS

b

( )

Brač B

OST

MSF

MS

interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB

AB

SSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSF

MS

ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST

OST

SSMS

a b r

Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1

a broj razina faktora A

b broj razina faktora B

r broj ponavljanja pokusa

opaska p

• Analiza varijance

Zagreb 2010Analiza varijance

Rezultati djelovanja promjene faktorabull glavni efekti

bull interakcija

VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE

(1) 40 30 20 1020

2 2(1) 40 30 20 10

102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 100

2 2

ab a bAB

Zagreb 2010Analiza varijance

bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 100

2 2(1) 0 30 20 10

102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 1020

2 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba

INTERAKCIJA AB = ndash 20

Zagreb 2010Analiza varijance

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

10

20 0

30

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1

Zagreb 2010Analiza varijance

Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija

Izvor varijacija

Suma kvadrata

odstupanja Stupnjevi slobode

Srednji kvadrat odstupanja Frač F0

Faktor A SSA a ndash 1 1A

A

SSMS

a

( )

Arač A

OST

MSF

MS

Faktor B SSB b ndash 1 1B

B

SSMS

b

( )

Brač B

OST

MSF

MS

interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB

AB

SSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSF

MS

ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST

OST

SSMS

a b r

Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1

a broj razina faktora A

b broj razina faktora B

r broj ponavljanja pokusa

opaska p

• Analiza varijance

Zagreb 2010Analiza varijance

bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 100

2 2(1) 0 30 20 10

102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 1020

2 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba

INTERAKCIJA AB = ndash 20

Zagreb 2010Analiza varijance

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

10

20 0

30

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1

Zagreb 2010Analiza varijance

Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija

Izvor varijacija

Suma kvadrata

odstupanja Stupnjevi slobode

Srednji kvadrat odstupanja Frač F0

Faktor A SSA a ndash 1 1A

A

SSMS

a

( )

Arač A

OST

MSF

MS

Faktor B SSB b ndash 1 1B

B

SSMS

b

( )

Brač B

OST

MSF

MS

interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB

AB

SSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSF

MS

ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST

OST

SSMS

a b r

Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1

a broj razina faktora A

b broj razina faktora B

r broj ponavljanja pokusa

opaska p

• Analiza varijance

Zagreb 2010Analiza varijance

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

10

20 0

30

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1

Zagreb 2010Analiza varijance

Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija

Izvor varijacija

Suma kvadrata

odstupanja Stupnjevi slobode

Srednji kvadrat odstupanja Frač F0

Faktor A SSA a ndash 1 1A

A

SSMS

a

( )

Arač A

OST

MSF

MS

Faktor B SSB b ndash 1 1B

B

SSMS

b

( )

Brač B

OST

MSF

MS

interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB

AB

SSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSF

MS

ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST

OST

SSMS

a b r

Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1

a broj razina faktora A

b broj razina faktora B

r broj ponavljanja pokusa

opaska p

• Analiza varijance

Zagreb 2010Analiza varijance

Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija

Izvor varijacija

Suma kvadrata

odstupanja Stupnjevi slobode

Srednji kvadrat odstupanja Frač F0

Faktor A SSA a ndash 1 1A

A

SSMS

a

( )

Arač A

OST

MSF

MS

Faktor B SSB b ndash 1 1B

B

SSMS

b

( )

Brač B

OST

MSF

MS

interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB

AB

SSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSF

MS

ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST

OST

SSMS

a b r

Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1

a broj razina faktora A

b broj razina faktora B

r broj ponavljanja pokusa

opaska p

• Analiza varijance