27
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI ANALIZA VJEROJATNOSTI BLOKIRANJA OVISNO O PROMETNOM OPTEREĆENJU Mentor: Student:

ANALIZA VJEROJATNOSTI BLOKIRANJA OVISNO O PROMETNOM OPTEREĆENJU_0036365596

Embed Size (px)

Citation preview

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI

ANALIZA VJEROJATNOSTI BLOKIRANJA

OVISNO O PROMETNOM OPTEREĆENJU

Mentor: Student:

doc.dr.sc. Štefica Mrvelj Mario Kruh-Vuk 0036365596

Kutina, lipanj 2010.

SADRŽAJ

1. Uvod ……………………………………………………………………… 2

2. Erlang ……………………………………………………………………… 3

3. Erlang B formula ……………………………………………………………. 4

3.1. Erlang distribucija ………………………………………………………. 7

3.2. Poissonova distribucija …………………………………………………. 7

4. Analiza vjerojatnosti blokiranja prometa ovisno o opterećenju primjenom

online Erlang B kalkulatora …………………………………………………… 9

4.1. Izračun vjerojatnosti blokiranja poziva u ovisnosti o broju kanala ……. 9

4.2. Izračun vjerojatnosti blokiranja poziva u ovisnosti o broju

poziva za vrijeme GPS-a …………………………………………………………. 12

4.3. Analiza dobivenih rezultata ……………………………………………… 14

5. Zaključak ………………………………………………………………………. 17

6. Literatura ……………………………………………………………………… 18

7. Popis slika ……………………………………………………………………… 19

1

1. Uvod

Kako sam bio više godina zaposlen u call centru jednog hrvatskog operatera a i sada

radeći u telekomunikacijskoj tvrtki, profesionalni interes me vodio do odabira ovakve teme

odn analize vjerojatnosti blokiranja poziva ovisno o prometnom opterećenju.

Govoreći o interesu za ovakvu temu, kao budući prometni inženjer želio sam saznati više o

projektiranju jednog telekomunikacijskog sustava.

Imajući u vidu prethodno stečeno znanje o tehnologiji telekomunikacijskog prometa, rad će

biti usmjeren na danskog matematičara A.K. Erlanga odn. njegovu teoriju prometa koja je u

mnogočemu bila revolucionarna u području telekomunikacija a sam Erlang označen pionirom

prometnog inženjeringa.

Kako sam rad u nazivu ima riječ «analiza», glavni dio seminara će biti baziran na

matematičkoj analizi vjerojatnosti blokiranja poziva u ovisnosti o prometnom opterećenju na

primjeru jednog PBX sustava. Ali u samoj analizi neću koristiti direktno Erlang formule već

indirektno preko online kalkulatora koji u svojem kodu već imaju ubačene same Erlang

formule te tako olakšavaju računanje onoga što prometnog inženjera najviše zanima – kako uz

što manje troškova, projektirati sustav koji pruža adekvatnu uslugu prema željama i

potrebama korisnika.

2

2.Erlang

Da bi uopće mogli krenuti sa dubljom analizom, moramo pojasniti pojam Erlang.

Erlang je bezdimenzijska statistička mjera obujma (količine) telekomunikacijskog prometa u

odnosu na kapacitet od jednog kanala. Iako nema dimenzije, označava se sa «Erl» a ime je

dobila po danskom inženjeru telekomunikacija A. K. Erlangu, tvorcu prometnog inženjeringa

i teorije čekanja u redu.

Količina prometa u iznosu od 1 Erlanga ekvivalentna je upotrebi 100% vremena jednog

kanala u jedinici vremena. Npr., telefonski operater priča neprekidno 60 min i to znači da je u

tom satu količina prometa bila 1 Erl, odnosno da je pričao samo 30 min, količina bi bila 0,5

Erl.

Teorija i praktična primjena matematike odn formula koje je uveo A.K.Erlang nije ograničena

samo na telekomunikacije. One koriste zapravo svugdje u uslužnim djelatnostima gdje je

korisnici koriste uslugu nusumično odn. bez prethodne najave kao naprimjer, internet

kupovina ulaznica i sl.

U telekomunikacijama, promt u Erlanzima se izračunava po jednostavnoj formuli:

[Erl]

gdje je λ vrijeme dolaska novih poziva a Ts, prosječno zadržavanje poziva u jednici vremena.

Cilj Erlangove teorije prometa je utvrditi količinu potrebnih elemenata u prometu kako bi se

dobila zadovoljavajuća kvaliteta usluge bez pretjerano rastrošnog trošenja resursa.

3

3.Erlang B formula

Prije svega, "Erlang" je prometna jedinica, koja opisuje ukupan promet u jedinici

vremena. Na primjer, ako se 30 poziva obavi u sat vremena, a svaki je prosječno trajao 5

minuta, izračun će biti - (30 * 5) / 60 = 2.5 Erlang. Očito je da će trebati najmanje tri linije za

rukovanje tim prometom. Ali čak i tada, zbog nasumičnog pozivanja, i dalje ćemo imati

značajnu stopu blokiranih poziva koji će biti izgubljeni u sustavu. [1]

Postoji više vrsta Erlang formula, gdje se osim Erlang B nalazi i Erlang C forumula i

povezana Engset formula. One se u ovom seminaru neće objašnjavati, ali samo je za

napomenuti da se one izvode iz posebne vrste kontinuiranog-vremena Markovljevog procesa,

koji se naziva još i procesi rađanja i umiranja .

Za izračun vjerojatnosti tog blokiranja poziva koristimo Erlang B formula koja se naziva i

Erlangovom formulom gubitka.

Erlang B formula je formula izvedena iz Erlang distribucije koja opisuje vjerojatnost

blokiranja (gubitka) poziva u ovisnosti o broju kanala i ponuđenom prometu. Iako se pretežito

koristi u telekomuikacijama, koriste je i druge uslužne djelatnosti sa sustavima kod kojih

imamo gubitke.

Formula vrijedi pod uvjetom da neuspjeli poziv do kojeg dolazi jer nema slobodnog

kanala, ne čeka u redu već je izgubljen zauvijek. Pretpostavlja se da pozivi dolaze po

Poissonovoj distribuciji što znači da je dolazak poziva neovisan. Zatim se pretpostavlja da su

dolazni pozivi neovisni, a duljina poruke se eksponencijalno distribuira (Markovljev sustav)

makar se formula može primjeniti na generalno distribuiranje vremena. Erlang B formula

pretpostavlja neograničenu populaciju izvora (kao što su telefonski pretplatnici), koji pružaju

promet prema N servera (kao veze). Stopa dolazaka novih poziva (stopa rođenja poziva), je

jednaka λ i on je konstantna, ne ovisi o broju aktivnih izvora, jer je totalni broj izvora

pretpostavljen kao beskonačan. Stopa odlaska poziva (razina smrti poziva) je jednaka broju

poziva koji trenutno traju podijeljeno sa h, koji je prosječna duljina poziva Formula

izračunava vjerojatnost blokiranja u sustavu koji trpi gubitke, gdje poziv ako se ne uspostavi

odmah se odbacuje. Zahtjevi znači ne stoje u redu na izvršavanje. Blokiranje se događa kada

4

novi zahtjev dolazi od izvora, ali su svi serveri zauzeti. Formula pretpostavlja da su svi takvi

pozivi odmah odbačeni. [2]

Formula pruža uvid u razinu usluge – GOS ( Grade Of Service) - i govori kolika je

vjerojatnost Pb da novi dolazni poziv bude odbijen zbog zauzeća govornih kanala.

Erlang B formula:

gdje je :

Pb je vjerojatnost blokiranja

m je broj resursa – kanala

E je količina prometa u Erlanzima

Da se pojednostavi računanje formule, ona se najčešće predstavlja u obliku za

jednostavniji izračun tablica Erlangeve B formule:

Uobičajeno, umjesto B( E, m) recipročna vrijednost 1/B(E, m) se računa u

matematičkoj komutaciji:

5

Mnogi znanstvenici su htjeli pojednostavit izračunavanje Erlang B formule pa su proizašle

druge aproksimacije koje neću posebno objašnjavat u ovom seminaru:

Szybyckova aproksimacija:

Rappova aproksimacija:

i druge.

Također, postoje i Erlang B tablice iz kojih se može isčitavat vjerojatnost gubitaka ali kako su

početne vrijednosti u njoj već određene, potrebno je ponekad aproksimirati dobivene

vrijednosti.

Slika 1. Izvod iz Erlang b tablice [7]

gdje je vertikalno označen broj kanala, a horizontalno maksimalni ponuđeni promet.

Vrijednost gdje se križaju broj kanala i ponuđeni promet, označava vjerojatnost gubitka

poziva.

6

3.1. Erlang distribucija

Kako prilikom računanja Erlang B formule spominjemo odn koristimo Erlangovu i

Poissonovu distribuciju, red je da kažemo nešto više i o tome

Erlangova distribucija je kontinuirana distribucija vjerojatnosti koja se može

primjenjivati u više područja, uglavnom zahvaljujući svojoj povezanosti sa exponencijalnim i

Gama distribucijama. Erlang distribuciju je razvio A.K. Erlang da bi proučio broj telefonskih

poziva koji bi se mohli uspostaviti u isto vrijeme [2].

Ova distribucija se sada koristi u stohastičkim procesima.

Primjer kako izgleda graf Erlang distribucije se može vidjeti na slici 1 .

Slika 2. Graf Erlang distribucije [2]

3.2. Poissonova distribucija

Opisao ju je Siméon Denis Poisson početkom XIX stoljeća.

Poissonova slučajna varijabla je broj događaja koji se zbivaju neovisno i slučajno u vremenu

ili prostoru, s prosječnom frekvencijom, μ (npr. rast bakterija na hranjivoj podlozi, broj

prijema u bolnicu na dan).

Obilježja Poissonove distribucije:

• parametar koji opisuje Poissonovu distribuciju je aritmetička sredina, tj. prosječna

frekvencija, μ;

7

• aritmetička sredina i varijanca imaju jednake vrijednosti;

• unimodalna je krivulja, zakrenuta u desno kada je vrijednost aritmetičke sredine mala;

• kako raste aritmetička sredina, asimetrija se smanjuje i na kraju aproksimira normalnu

raspodjelu.

Slika 3. Krivulje Poissonove distribucije [3]

(horizontalna os je indeks k;

napomena: funkcija je definirana cijelim brojevima k,

linija koja povezuje točke ne ukazuje na kontinuitet)

8

4. Analiza vjerojatnosti blokiranja prometa ovisno o

opterećenju primjenom online Erlang B kalkulatora

Analizu vjerojatnosti blokiranja ovisno o opterećenju ćemo napraviti pomoću dva onlina

Erlang B kalkulatora. Prvog možemo pronaći na internat stranici:

http://personal.telefonica.terra.es/web/vr/erlang/eng/cerlangb.htm i njime ćemo računati

vjerojatnost blokiranja ovisno o broju kanala dok ćemo drugim online kalkulatorom kojeg

nalazimo na stranici: http://www.ip-com.rs/ecalculator.php, računati vjerojatnost blokiranja

ovisno o trajanju i broju poziva u glavnom prometnom satu (GPS)

4.1. Izračun vjerojatnosti blokiranja poziva u ovisnosti o broju kanala

Kako sam napomenuo korstit ćemo online Erlang B kalkulator za izračunavanje

vjerojatnosti blokiranja prometa

Slika 4. Online Erlang B kalkulator

No, prije primjene kalkulatora je potrebno prvo pojasniti šta znače njegove kratice i za koju

svrhu se koristi. Erlang B kalkulator evalvuira promet, blokiranje i broj kanala. Kada su

9

poznata dva navedena parametra, onda se treći može pretpostaviti. Uz to, on razdvaja ulazni

promet od izlaznog prometa.

Oznake na kalkulatoru:

1.)Kanali (Circuits): kada je poznat ulazni promet i vjerovatnos blokiranja, on izračunava

potrebni broj kanala (ili linija u skupu).

2.)Blokiranje(Blockage): kada je poznat broj kanala i nošenog prometa, on izračunava

blokiranje (blokirani promet i vjerovatnost blokiranja)

3.)Promet(Traffic): kada je poznat broj kanala i vjerovatnost blokiranja on izračunava promet

koji se može prenijeti

Primjer 1.

Izlazni promet jedne centrale od 10 Erl ćemo uzeti za primjer i tu vrijednost izlaznog prometa

ćemo koristiti u ovoj analizi.

U prvom primjeru ćemo uzeti broj kanala – m = 11

Kalkulator daje izračun 18.7 E + 11 Cts = 10 E + 46.6 % blockage što znači da centrala može

ostvariti 10 Erl izlaznog prometa pri 11 kanala, ukoliko je ponuđeni promet A = 18,7 Erl a

vjerojatnost blokiranja poziva je visokih Pb = 0,466 = 46,6 %.

10

Primjer 2. U ovom primjeru ćemo imati isti izlazni promet ali uz broj kanala - m = 12

Kalkulator daje izračun 13.3 E + 12 Cts = 10 E + 25.4 % blockage što znači da centrala može

ostvariti 10 Erl izlaznog prometa pri 12 kanala, ukoliko je ponuđeni promet A = 13,3 Erl a

vjerojatnost blokiranja poziva Pb = 0,254 = 25,4 %, što je već značajno smanjenje

vjerojatnosti blokiranja u odnosu na prošli primjer.

Primjer 3. U ovom primjeru ćemo imati isti izlazni promet ali uz broj kanala - m = 15

11

Kalkulator daje izračun 10.5 E + 15 Cts = 10 E + 4.8 % blockage što znači da centrala može

ostvariti 10 Erl izlaznog prometa pri 15 kanala, ukoliko je ponuđeni promet A = 10,5 Erl a

vjerojatnost blokiranja poziva Pb = 0,048 = 4,8 %

Primjer 4. U ovom primjeru ćemo imati isti izlazni promet ali uz broj kanala - m = 17

Kalkulator daje izračun 10.1 E + 17 Cts = 10 E + 1.5 % blockage što znači da centrala može

ostvariti 10 Erl izlaznog prometa pri 15 kanala, ukoliko je ponuđeni promet A = 10,1 Erl a

vjerojatnost blokiranja poziva Pb = 0,015 = 1,5 %

12

4.2. Izračun vjerojatnosti blokiranja poziva u ovisnosti o broju poziva za vrijeme GPS-a

U drugoj analizi ćemo pratit vjerojatnost blokiranja prometa u ovisnosti o trajanju poziva

za vrijeme GPS-a i za to ćemo koristiti drugi online kalkulator prikazan na slici.

Slika 5. Online Erlang B kalkulator (2)

Primjer 1. Ovim kalkulatorom ćemo analizirati hipotetsku situaciju jedne tvrtke sa nekom

PBX centralom gdje se vremenom povećava broj poziva u GPS-u.

Uzet ćemo stalnu vrijednost odn da je broj kanala uvijek 10 a da je prosječno trajanje poziva

5 min. U prvom primjeru ćemo računat sa 50 poziva u GPS-u.

Izračun daje vrijednost vjerojatnosti blokiranja poziva od 1% što je vrlo prihvatljivo.

Primjer 2. Ostavit ćemo iste vrjednosti za broj kanala i trajanje poziva a broj poziva će biti

100.

13

Ovog puta smo dobili vjerojatnost blokiranja poziva u iznosu od 14% što je u granicama

prihvatljivosti.

Primjer 3. U trećem primjeru ćemo uz iste vrijednosti broja kanala i trajanja poziva, koristiti

vrijednost od 125 poziva u GPS-u.

Ovog puta vjerojatnost blokiranja iznosi 23% i prelazi granicu prihvatljivosti.

Primjer 4. Ovog puta ćemo uzeti iste vrijednosti za prosječno trajanje poziva i broj poziva iz

prosšlog primjera a broj kanala ćemo povećati na 15.

14

Sada smo dobili vjerojatnost blokiranja od samo 5% što je opet vrlo prihvatljivo.

4.3. Analiza dobivenih rezultata

Prvim online kalkulatorom smo analizirali vjerojatnost blokiranja poziva u ovisnosti o

broju kanala i dobili ove rezultate:

1. A = 18,7 Erl (ponuđeni promet)

E = 10 Erl (izlazni promet)

m = 11

Pb = 0,466 = 46,6 %.

2. A = 13,3 Erl

E = 10 Erl

m = 12

Pb = 0,254 = 25,4 %,

3. A = 10,5 Erl

E = 10 Erl

m = 15

Pb = 0,048 = 4,8 %

4. A = 10,1 Erl

E = 10 Erl

m = 17

Pb = 0,015 = 1,5 %.

15

Dobiveni rezultati jasno pokazuju da se povećanjem broja kanala smanjuje vjerojatnost

blokiranja poziva.

Drugim online kalkulatorom smo računali također vjerojatnost blokiranja poziva ali u

ovisnosti o broju poziva u GPS-u.

Rezulatati su bili:

1. Ts = 5 min (prosječno vrijeme trajanja poziva)

m = 10

N = 50 (broj poziva u GPS-u)

Pb = 0,01 = 1 %.

2. Ts = 5 min

m = 10

N = 100

Pb = 0,14 = 14 %.

3. Ts = 5 min

m = 10

N = 125

Pb = 0,23 = 23 %.

4. Ts = 5 min

m = 15

N = 125

Pb = 0,05 = 5 %.

Ovdje je također vidljivo da se povećanjem broja poziva brzo povećava i vjerojatnoat

blokiranja poziva ali također uz isti broj poziva a povećanjem broja kanala, vidimo kako se

vjerojatnost blokiranja može staviti u prihvatljive granice.

16

Ovakvi rezultati umnogome pomažu inžinjerima prometa koji preojektiraju glasovne usluge

kod korisnika jer uz ovakvu analizu, lakše mogu odrediti kolike bi resurse trebalo uložiti da bi

dobili optimalnu uslugu bez rastrošnog trošenja tih istih resursa.

5. Zaključak

Prometni inženjer ima vrlo težak zadatak da projektira sustav koji pruža optimalnu uslugu

uz minimalni trošak Analiza vjerojatnosti blokiranja poziva u ovisnosti o prometnom

opterećenju je vrlo važna za takve projekcije.

Ovaj seminar je uz teorijski opis i značaj jedinice Erlang odn. objašnjenje formula kojim

računamo količinu prometa, ipak jači naglasak dao na sam izračun vjerojatnosti blokiranja

prometa i to uz pomoć dva online Erlang B kalkulatora kojima je pokazano kako vrlo

jednostavno dolazimo do rezultata potrebnih za projektiranje sustava za glasovne usluge.

Rezultati su dali logično rješenje da se povećanjem obujma prometa ili manjim brojem kanala

povećava i vjerojatnost blokiranja prometa ali su dali i vrijednosti kod kojih bi vjerojatnost

blokiranja prometa bila u prihvatljivim granicama i prema takvoj analizi se sada može

projektirat sustav.

17

Nakon dubljeg ulaženja u problem teorije prometa, možemo reći kako je A.K.Erlang svojom

teorijom i svojim formulama unaprijedio telekomunikacije jer bez njegovog rada, danas bi

telekomunikacije bile skoro pa nezamislive.

.

Literatura

1. http://en.wikipedia.org/wiki/Erlang_B (lipanj 2010)

2. http://en.wikipedia.org/wiki/Erlang_distribution (lipanj 2010)

3. http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_process (lipanj 2010)

4. http://www.ip-com.rs/ecalculator.php (lipanj 2010)

5. http://www.shamrock-software.eu/erlang.htm (lipanj 2010)

6. http://searchcrm.techtarget.com/definition/Erlang-B (lipanj 2010)

18

7. http://www.ittc.ku.edu/EECS/EECS_863.frost/erlang-table.pdf (lipanj 2010)

8. http://oldwww.com.dtu.dk/teletraffic/erlangbook/pps138-155.pdf (lipanj 2010)

9. http://personal.telefonica.terra.es/web/vr/erlang/eng/cerlangb.htm (lipanj 2010)

Popis slika

Slika 1. Izvod iz Erlang b tablice

Slika 2. Graf Erlang distribucije

Slika 3. Krivulje Poissonove distribucije

Slika 4. On-line Erlang-B kalkulator (1)

Slika 5. On-line Erlang-B kalkulator (2)

19