Analiza XI Limite

Limite de funcii Analiza matematic, cls. a XI-a Virgil-Mihail Zaharia

1

Limite de funcii Notaii: f :DR, DR, - punct de acumulare a lui D;

1. Definiii ale limitei

Definiia 1.1. R,)(lim =

llxfx

, dac pentru orice vecintate V a lui l exist o vecintate

U a lui astfel nct xDU, x, s rezulte f(x)V. Definiia 1.2. R,)(lim =

llxf

x , dac pentru orice ir (xn)n0, xnD\{}, avnd

=

nn

xlim rezult lxfn

=

)(lim (criteriul cu iruri);

Definiia 1.3. R,)(lim =

llxfx

, dac >0, >0 astfel nct xD\{} i x - <

rezult f(x) - l< ; Definiia 1.4. lxf

x

=

)(lim

,dac ls= ld=l, unde )(lim xfl

xx

s

= .

2. Operaii cu limite de funcii

f :DR, g:DR, - punct de acumulare a lui D, 1)(lim lxfx

=

, 2)(lim lxgx

=

, l1,l2R;

1 2

1 2

1

12

2

1. ( ( ) ( )) ;

2. ( ) ( ) ;

3. ( ) ;

( )4.daca 0, .

( )

lim

lim

lim

lim

x

x

x

x

f x g x l l

f x g x l l

af x a l

lf xl

g x l

+ = +

=

=

=

3. Limite tip

nnn

nnn

x

aaaaxaxa +++=+++

...)...(lim.11

101

10

;lim)...(lim 01

10n

xn

nn

x

xaaxaxa

=+++

mmm

nnn

mmm

nnn

x bbb

aaa

bxbxb

axaxa

+++

+++=

+++

+++

...

...

...

...lim.2 1

10

110

110

110

;lim...

...lim

0

0

110

110

m

n

xmmm

nnn

x xb

xa

bxbxb

axaxa

=

+++

+++

2,,,lim.3 = +

nNnRx nn

x

; =

n

x

xlim , =+

12lim

n

x

x ;

4. }1{\,,lim*+

= RaRaa x

x

; =

x

x

alim , 0lim =

x

x

a , dac a > 1;


2

0lim =

x

x

a , =

x

x

alim , dac 0 < a < 1;

5. }1{\ finita, 0,logloglim*+

>= Rx aa

x

; =>

xa

xx

loglim

00

i +=

xax

loglim dac a

> 1; +=>

xa

xx

loglim

00

i =

xax

loglim dac 0

tgx

x

x

lim

2

2

;

=>

ctgx

xxlim

00

, ==

aZna

xx

n

x

10. ;)1(lim,1

1lim

1

0

exex

x

x

x

x

=+=

+

11. ;1)1ln(

lim0

=+

x

x

x

12. 0,ln1

lim0

>=

aa

x

a x

x

,

13. Rrrx

x r

x

=+

,

1)1(lim

0

.


3

LIMITELE FUNCIILOR ELEMENTARE

1) FUNCIA PUTERE RRf : , f(x) = xn, unde n numr natural nenul +=

+

n

xxlim +=

n

xx2lim =+

12lim nx

x

Exemple:

a) +=+

5lim xx

b) +=+

35lim xx

c) =

35lim xx

d) +=

45lim xx

c) =+

65lim xx

, pentru c ( ) =+ 55 6x

d) =+

210lim xx

, pentru c ( ) =+ 1010 2x

2) FUNCIA RADICAL ( DE ORDIN 2) f:[0,) R , f (x) = x +=

+x

xlim

Exemple:

a) +=++

102lim xx

, pentru c ( ) +=++=+++ 10102102x

b) +=

20lim 2xx

, pentru c ( ) +=+= 202020 22x

3) FUNCIA EXPONENIAL RRf : , f(x) = ax, unde a = baz, a > 0, a 1

+=+

x

xalim , dac a > 1 ( adic baz supraunitar)

0lim =+

x

xa , dac a ( )1,0 , ( adic baz subunitar )

Exemple:

a) +=+

x

x3lim , pentru c a = 3 > 1

b) +=

x

x

25,4lim , pentru c a = 4,5 > 1, iar -2x ( ) += 2

c) +=++

108lim xx

, pentru c a = 8 > 1 d) +=+

710lim xx

, pentru c a = 10 > 1

e) 07,0lim =+

x

x, pentru c a = 0,7 < 1 f) 0

2

1lim

5

=

+

+

x

x, pentru c a = 15,0

2

1=

g) 04

3lim

92

=

+

x

x, pentru c a = 175,0

4

3= , iar 2x-9 ( ) +=+=+ 992

4) FUNCIA LOGARITMIC ( ) Rf +,0: , f(x) = ln x ( logaritmul natural, n baza e=2,7..., numrul lui Euler ) +=

+x

xlnlim

Exemple:

a) +=++

)102ln(lim xx

, pentru c ( ) +=++=+++ 10102102x

b) +=+

)108ln(lim 5xx

, pentru c ( ) +=+=+ 10108108 5x

c) +=+

)102ln(lim xx

, pentru c -2x+10 ( ) +=++=+ 10102


4

d) +=

)12ln(lim 4xx

, pentru c 2x4-1 ( ) ( ) +=+=+= 11212 4

Exerciii: S se calculeze urmtoarele limite (explicnd rezultatul gsit):

1) +x

lim 3x+5

2) +x

lim 0,32x

3) +x

lim 4,53x-6

4) +x

lim

x5

4

1

5) +x

lim 2x10

6) +x

lim -30x4 7)

+xlim ln(x+2) 8)

+xlim ln(x-8)

9) +x

lim ( 1007293 )103ln(8,08,2102 xxx xx +++++ )

10) +x

lim 996 x 11) +x

lim 10026 x 12)

+xlim ( 2

x + 0,5

x + ln x + x )

13) x

lim 2-5x

14) x

lim 2x6 15)

xlim -2x

3 16)

xlim -3x

4

17) x

lim 0,2-3x+10

18) x

lim 0,368-x

19) x

lim

79

5

2+

x

20) x

lim 64 +x

21) x

lim 34-8x

22) x

lim 1,5-4x-7

23) x

lim 2,8-x

24) x

lim 3,87-x

25) x

lim ln(8-2x) 26) x

lim ln(-10x+10) 27) x

lim ln ( -7x5 +8)

28) x

lim ln( -20x21

-300) 29) x

lim 320 + x 30) x

lim 1023 + x

31) x

lim -2 x 32) +x

lim -3ln(x+10) 33) +x

lim -2 10+ x

34) +x

lim x

4

5 35)

+xlim

x

5

4 36)

+xlim ( )72ln

4

2+

x

37) +x

lim 98

7+

x 38)

+xlim

x

3 39) +x

lim -2x 40)

+xlim (-5)

2x


5

LIMITELE FUNCIILOR POLINOMIALE I A FUNCIILOR RAIONALE 1)LIMITE DE FUNCII POLINOMIALE

Exemple de funcii polinomiale:

f(x) = 2x+10, funcie polinimial de gradul I f(x) = x

2+5x-52, funcie polinimial de gradul II

f(x) = x3 x

2 +3x 7, funcie polinimial de gradul III

Deci gradul unei funcii polinomiale este cea mai mare putere la care apare necunoscuta x Fie f(x) = anx

n + an-1x

n-1 + ... + ao o funcie polinomial de gradul n , atunci

limita sa cnd x + este: ( )+=+

nx

axf )(lim

Exemple:

a) +x

lim 2x4-3x

2+6x-9 = 2 ( ) ( ) +=+=+ 24

b) +x

lim -3x5+6x

4+5x

3-7x

2-5x+8 = -3 ( ) ( ) =+=+ 35

2) LIMITE DE FUNCII RAIONALE

Exemple de funcii raionale: f(x) = 53

62

+

x

x, ( )

x

xxf

56

82

= , ( )2

83

+

=x

xxf

Fie f(x) = anxn + an-1x

n-1 + ... + ao o funcie polinomial de gradul n i

g(x) = bixi +bi-1x

i-1 +...+bo o funcie polinomial de gradul i, atunci:

+xlim

( )( )

=xg

xf

i

n

b

a, dac grad f = grad g

0 , dac grad g > grad f +, dac grad f > grad g i numerele an i bi au acelai semn -, dac grad f > grad g i numerele an i bi au semne diferite Exemple:

1) +x

lim3

2

73

62=

x

x, au gradele egale cu 1

2) +x

lim +=+

42

12

x

x, gradul de sus este mai mare, iar numerele 1 i 2 au acelai semn

3) +x

lim =x

x

3

12, gradul de sus este mai mare, iar numerele 1 i -3 au semne diferite

4) +x

lim 0103

52

=+

+

x

x, gradul celui de jos este mai mare

5) +x

lim =+

+403

992 2

x

xx, gradul celui de sus este mai mare, iar numerele -2 i 3 au

semne diferite


6

6) +x

lim2

5

32

652

2

=+

x

xx, au gradele egale cu 2

7) +x

lim 078

622

=

xx

x, gradul celui de jos este mai mare

Exerciii pentru munc independent

S se calculeze urmtoarele limite, explicnd rezultatul gsit:

1) +x

lim53

42

+

x

x 2)

+xlim (-2x

3+6x

2+5x-9) 3)

+xlim (4x

5-4)

4) +x

lim76

722 +

x

x 5)

+xlim

42

872

+

x

xx 6)

+xlim

62

5 2

+

x

x

7) +x

lim (6x3-6x

2+9) 8)

+xlim (-2x

2+6x-71) 9)

+xlim (-2x+9)

10) +x

lim793

8922

2

+

+

xx

xx 11)

+xlim

84

462 2

++

x

xx 12)

+xlim

96

52

x

xx

13) +x

lim3

2 6

x

x + 14)

+xlim

106

92

+

x

x 15)

+xlim

76

959 2

+

x

xx

16) +x

lim (6x4+8x-100) 17)

+xlim (-3x

3-6x

2 +6x+8) 18)

+xlim (-8x

2 +5)

19) +x

lim5

92

++

x

x 20)

+xlim

92

74

+

x

x 21)

+xlim

95

72

2

+

+

xx

xx

22) +x

lim65

792 2

++

x

xx 23)

+xlim

105

795 2

++

x

xx 24)

+xlim

776

9 2

+x

x

25) +x

lim86

102

+

x

x 26)

+xlim

752

262

3

+

+

xx

xx 27)

+xlim

724

915

+

x

x

28) +x

lim (-3x2+9x-55) 29)

+xlim (4x

3-9x

2+6x-40) 30)

+xlim (-3x

4-9x

2 +5x-9)


7

Nedeterminri :

S se calculeze limitele de funcii:

1) x

limxx

x

52

832 +

+ ; 2)

xlim

42

23

+

+

x

xx ; 3)

xlim

14

5372

2

+

x

xx;

4) x

lim23

23

24

++

xx

xx; 5)

xlim

643

115223

3

+

+

xx

xx; 6)

xlim

52

32

+

x

x;

7) x

lim1

1

+

x

x ; 8)

xlim

1

1

+

x

x ; 9)

xlim

42 +x

x ; 10)

xlim

42 +x

x;

11 ) x

lim1

1

4

2

+

++

x

xx ; 12)

xlim

1

1

4

2

+

++

x

xx ; 13)

xlim

12

2

+x

x;

14) x

lim12

2

+x

x 15)

xlim

5

32

2 +

+

x

x ; 16)

xlim

5

32

2 +

+

x

x ;

17) x

lim)2ln(

)ln(4

2

xx

xx

+

+ ; 18)

xlim

)1ln(

)1ln( 2

+

+x

x

e

e; 19)

xlim

( )xx

xx

52

12

33

+

+;

S se determine parametrii reali a i b, astfel nct :

xlim

+

+bax

x

x

1

12 = 0 ;

Nedeterminri : 0

0

S se calculeze limitele de funcii :

1) 0

limx 236

24

23

2

xxx

xx

++

; 2)

1lim

x 23

12

2

++

xx

x ; 3)

1limx 34

2324

3

+

+

xx

xx ;

4) 1

limx 23

322

24

+

+

xx

xx ; 5)

2limx 23

42

2

+

xx

x ; 6)

1limx 1

1223

2

+

+

xxx

xx;

7) 1

limx 122

3423

2

+

+

xxx

xx ; 8)

2limx 8

43

2

x

x ; 9)

0limx xx

xx

+4

4

;


8

10) 0

limx 3x

x ; 11)

0limx 4

34

x

xx + ; 12)

1limx 1

.......2

+++

x

nxxx n ;

13) 1

limx 2)1(

)1(1

x

xnx n; nN* ; 14)

1limx 1

1

n

m

x

x; m , n N* ; m n.

14) 2

3lim

x 1833204

183281223

23

+++

++

xxx

xxx ; 15)

2lim

x 86

4432

2

++

+

xx

xx ;

16)m i p fiind numere naturale, s se afle :

ax

limpp

mm

ax

ax

.

S se afle :

ax

limxaax

xaax22

33

)1()1(

)1()1(

.

Nedeterminri : 0

0


1) 0

limx x

e x

3

12 ; 2)

0limx 1

15

3

x

x

e

e; 3)

1limx 1

13

22

x

e x; 4)

0limx xx

xx

ee

ee

3

2

;

5) 0

limx x

ex

132

; 6)

0limx xx

xx

ee

ee25

46

; 7)

3limx 3

273

x

x

; 8) 0

limx x

a x

1, ( >0);

9) 2

limx 2

42

x

x

; 10) 3

limx 3

644

x

x

; 11) 0

limx x

e x

4

1sin ; 12)

0limx x

e x

6

13sin .


1) 0

limx x

x

7

)31(ln +; 2)

0limx )21(ln

)51(ln

x

x

++

; 3) 0

limx x

xx )31(ln 2+ ;

4) 1

limx x

xx

+

1

)1(ln 24; 5)

0limx )41(ln

)31(ln

x

x

++

; 6) 0

limx x

xe x

2

)21(ln1 ++;

7) 3

limx 3

)2(ln273

+

x

xx; 8)

0limx )5sin1(ln

)3sin1(ln

x

x

++

; 9) 0

limx x

xtg

5

)21ln( +;


9

10) 0

limx x

x

3sin

)arcsin1(ln +.

Nedeterminri : 0

0


1) 0

limx x

x

7

13sin ; 2)

0limx x

x

9sin

2sin ; 3)

0limx 2

23

3

)(sin

x

xx ; 4)

0limx 2

2

5

2sinx

x ;

5) 0

limx x

xx 3sinsin ; 6)

0limx x

xx 3sin7sin + ; 7)

0limx x

xx

sin

3sin5sin ;

8) 2

limx 23

)2(arcsin2 +

xx

x ; 9)

0limx 2

)3sin(sin

x

xx ; 10)

2lim

x )23(sin

)2(sin2

2

++

+

xx

xx;

11)3

limx )6(arcsin

)9(sin2

2

+

xx

x ;12)

4limx 16

)45(arcsin2

2

+

x

xx;13)

1limx 1

)1(sin2

x

x.


1) 0

limx

xtg

x

10

5 ; 2)

0limx

xtg

xtg

5

7 ; 3)

0limx

xtg

xtg

, 0.

4) 3

2limx

23

)23(2 +

xx

xtg ; 5)

0limx

xarctg

xarctg

5

2 .


1) 0

limx

xtg

x

sin ; 2)

2

1limx

)14(

)21(arcsin2

xtg

x ; 3)

3limx )9(

)3(arcsin2

xarctg

x.

Nedeterminri : 0

0


1) 0

limx x

x 11 + ; 2)

0limx x

xx + 11; 3)

1limx 1

25

x

x ;


10

4) 1

limx 1

1

x

x ; 5)

7limx 49

322

x

x ; 6)

0limx

234

5

+ x

x ;

7) 0

limx

x

x 283 + ; 8)

1limx

2

3532

2

+

++

xx

xx ; 9)

8limx 8

23

x

x ;

10) 64

limx

4

83

x

x ; 11)

8limx 2

529

3

+

x

x ; 12)

4limx

x

x

+

51

53 ;

13) 3

limx 34

62622

22

+

++

xx

xxxx ; 14)

0limx x

xxx ++ 11 2;

15) 1

limx 33 21

1

+

x

x ; 15)

0limx 11

112

3

3

+

+

x

x ; 16)

4limx x

x

+

51

35 ;

17) 2

limx

1514

232

+

+

xx

xx;18)

0limx 11

113

+

+

x

x ;19)

axlim

ax

babx

.

Nedeterminri :


1) x

lim ( )xx 212 + ; 2) x

lim ( )112 22 ++ xxxx ;

3) x

lim ( )3 31 xx + ; 4) x

lim ( )3 233 23 11 +++ xxxx ;

5) x

lim ( )3683 2 xxx ++ ; 6) x

lim x ( )xx 359 2 ++ ;

7) x

lim ( )xxx ++ 32 ; 8) x

lim ( )232 2 + xxx ;

9) x

lim ( )12134 22 +++ xxx ; 10) x

lim ( )13 242 + xxx ;

11) x

lim ( )xxx 213 2 ++ ; 12) x

lim ( )3221 ++++ xxx ;

13) x

lim

+x

x

x

12

3

; 14) 1

limx

313

1

1

xx; 15)

2

lim

x

xx 2sin

1

cos

1;


11

16) 0

limx

xx sinsin22

1

2

1; 17)

xlim ( ) ( )

+ 3 23 2 11 xx ;

18) x

lim x ( )xx +12 ; 19) 2

limx

( )

+

231

2

122 xxxx

;

20)

xlim ( )( )xx ln1ln + ; 21)

xlim x ( )[ ]xx ln2ln + ;

Nedeterminri : 1


1) x

lim

x

x

x

+

1

1; 2)

xlim

x

x

x

+ 1; 3)

xlim

x

x

1

1 ; 4) x

lim

12

2

3+

+

x

x

x;

4) 3

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( ) 31

413 xx ; 5) x

lim

2

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xx

xx

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++; 6)

xlim

13

12

32+

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x

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xx

+

++

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12

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10) 0

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lim

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( ) xx 21

sin ; 12) 0

limx

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2

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2

82

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0limx

xxx

x

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+;15)

xlim

x

x

xx

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22

2 x

x

x

++

5

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Aflai valorile parametrului a, pentru care :x

lim

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xx

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+

++

23

12

2

= e

16) x

lim

4

2

22

1

1+

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xx

xxeste : a) e-2 ; b) e ; c) 1 ; d) e2 ; e) e

-1 .

17)1

limx

+

+ xx 11

1

33

este: a) 0 ; b) 1 ; c) 2 ; d) 3 ; e) .

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Analiza XI Limite