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ANALYSE 6(Calcul intégral et formes diérentielles)

SMA 4, 2014-2017

A. LesfariDépartement de Mathématiques

Faculté des SciencesUniversité Chouaïb DoukkaliB.P. 20, El-Jadida, Maroc.

E. mail : [email protected] Web : http://lesfari.com

Le programme porte sur les notions suivantes : intégrales dé-pendants d'un paramètre, théorème de convergence dominée, inté-grale dépendant d'un paramètre (continuité et dérivabilité), inté-grales multiples, intégrale d'une fonction sur un pavé, théorème deFubini et applications, intégrales doubles et triples et changementde variables, applications aux calculs des surfaces et des volumes,formes diérentielles de degré 1, 2 dans R2 et R3, formes exactes etfermées, théorème de Poincaré, intégrales curvilignes, longueur d'unarc, intégrale sur un chemin, formule de Green-Riemann, fonctionholomorphe, formule de Cauchy, théorème de résidus, calcul d'in-tégrale par la méthode des résidus. Si le temps le permet, d'autresnotions complémentaires seront données.

Table des matières

1 Intégrales généralisées dépendant d'un paramètre 31.1 Intégrales dénies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Intégrales multiples 142.1 Réduction des intégrales multiples (FUBINI) . . . . . . . . . . . 14

2.1.1 D est un pavé de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.2 D est un borné (fermé) quelconque de Rn . . . . . . . . 17

2.2 Changements de variables dans les intégrales multiples . . . . . 202.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Formes diérentielles, intégrales curvilignes 273.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Produit extérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 Diérentielle extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4 Formes fermées et formes exactes . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.5 Transformée ou transposée des formes diérentielles . . . . . . . 403.6 Formules de Green-Riemann, Stokes-Ampère et Gauss-Ostrogradski 413.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 Calcul d'intégrales par la méthode des résidus 454.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2 Fonctions holomorphes, fonctions analytiques . . . . . . . . . . . 504.3 Intégration des fonctions holomorphes, théorèmes de Cauchy . . 524.4 Séries de Laurent, points singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5 Fonctions méromorphes, calcul des résidu et théorème des résidus 614.6 Applications du théorème des résidus au calcul d'intégrales . . . 624.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2

Chapitre 1

Intégrales généralisées dépendant

d'un paramètre

Ce chapitre concerne l'étude des intégrales généralisées dépendant d'unparamètre.

1.1 Intégrales dénies

Soit f : I × [u, v] −→ R, une fonction intégrable par rapport à t ∈ [u, v] oùI ⊂ R est un intervalle et u, v sont des fonctions de x ou des constantes. SoitF : I −→ R, dénie par

F (x) =

∫ v

u

f(x, t)dt.

Proposition 1 Si f est continue sur I × [u, v] et si u, v sont continues sur[α, β], alors la fonction F est continue sur I.

Proposition 2 (Formule de Leibniz). Si u, v sont dérivables sur I et si f , ∂f∂x

sont continues sur I × [u, v], alors la fonction F est de classe C1 sur I et on a

F ′(x) = f(x, v)v′(x)− f(x, u)u′(x) +

∫ v

u

∂f

∂x(x, t)dt.

Proposition 3 (Formule de Fubini). Si f est continue sur I×[u, v], I = [α, β],alors ∫ β

α

F (x)dx =

∫ β

α

(∫ v

u

f(x, t)dt

)dx =

∫ v

u

(∫ β

α

f(x, t)dx

)dt.

(voir chapitre 2).

3

A. Lesfari (SMA-Analyse 6) 4

1.2 Intégrales généralisées

Soit (x, t) 7−→ f(x, t) une fonction dénie sur I × [a, b[, b ni ou inni. Onconsidère le cas b = +∞, c'est-à-dire, les intégrales généralisées de la forme∫ +∞

a

f(x, t)dt,

dépendant d'un paramètre x ∈ I.Les résultas suivants sont valables aussi pour les autres intégrales générali-

sées de la forme ∫ b

a

f(x, t)dt,

dépendant d'un paramètre x ∈ I.

Dénition 4 On dit que l'intégrale généralisée∫ +∞

a

f(x, t)dt converge pour

x ∈ I si et seulement si la limite

limu→+∞

∫ u

a

f(x, t)dt,

existe. Autrement dit,

∀x ∈ I, ∀ε > 0,∃A(ε, x) : ∀u ≥ A(ε, x) =⇒∣∣∣∣∫ u

a

f(x, t)dt− F (x)

∣∣∣∣ ≤ ε

(A(ε, x) dépend en général de ε et x).


a

f(x, t)dt converge abso-

lument sur I si et seulement si∫ +∞

a

|f(x, t)|dt converge sur I.

Les questions que l'on rencontre lors de l'étude des suites et séries de fonc-tions concernant la continuité, la dérivabilité et l'intégration, se posent aussiaux intégrales généralisées dépendant d'un paramètre. En l'absence d'hypo-thèses supplémentaires, les trois propositions précédentes ne sont plus valablespour le cas de ces intégrales. Par exemple, la fonction dénie par

F (x) =

∫ +∞

0

xe−xtdt, x ∈ [0, 1], t ≥ 0

n'est pas continue sur [0, 1] car

F (x) =

1 si x > 00 si x = 0

et pourtant la fonction f(x, t) = xe−xt est continue pour x ∈ [0, 1].Nous allons introduire la notion de convergence uniforme.



a

f(x, t)dt converge uni-

formément sur I si et seulement si

∀ε > 0,∃A(ε) : ∀u ≥ A(ε),∀x ∈ I =⇒∣∣∣∣∫ u

a

f(x, t)dt− F (x)

∣∣∣∣ ≤ ε

(A(ε) ne dépend pas de x).

Notons que ∣∣∣∣∫ u

a

f(x, t)dt− F (x)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ +∞

u

f(x, t)dt

∣∣∣∣ .Théorème 7 (Critère de Cauchy). L'intégrale généralisée

∫ +∞

a

f(x, t)dt converge

uniformément sur I si et seulement si

∀ε > 0,∃A(ε) : ∀u > v ≥ A(ε),∀x ∈ I =⇒∣∣∣∣∫ u

v

f(x, t)dt

∣∣∣∣ ≤ ε

Théorème 8 Si f est continue sur I × [a, +∞[ et si l'intégrale généralisée∫ +∞

a

f(x, t)dt converge uniformément sur I vers F (x), alors F est continue

sur I.

Théorème 9 Supposons que f et ∂f∂x

sont continues sur I×[a, +∞[. S'il existe

x0 ∈ I tel que∫ +∞

a

f(x0, t)dt converge et si∫ +∞

a

∂f

∂x(x, t)dt converge unifor-

mément sur I, alors F (x) =

∫ +∞

a

f(x, t)dt converge uniformément sur I et

elle est de classe C1 sur I. En outre, on a

F ′(x) =

∫ +∞

a

∂f

∂x(x, t)dt.

Théorème 10 Si f est continue sur I × [a, +∞[ et si l'intégrale généralisée∫ +∞

a

f(x, t)dt converge uniformément sur I = [α, β] vers F (x), alors

∫ β

α

F (x)dx =

∫ β

α

(∫ +∞

a

f(x, t)dt

)dx =

∫ +∞

a

(∫ β

α

f(x, t)dx

)dt.


Théorème 11 S'il existe une fonction positive ϕ(t), intégrable sur [a, u], u ≥a, telle que :

|f(x, t)| ≤ ϕ(t), ∀x ∈ I

et si∫ +∞

a

ϕ(t)dt converge, alors l'intégrale∫ +∞

a

f(x, t)dt converge absolument

et uniformément sur I.

Exemple 12 L'intégrale généralisée∫ +∞

1

cos tx

t2dt converge absolument et uni-

formément car ∣∣∣∣cos tx

t2

∣∣∣∣ ≤ 1

t2,

et∫ +∞

1

dt

t2converge

Le critère d'Abel-Dirichlet s'énonce comme suit,

Théorème 13 Soient f, g : I× [a, +∞[−→ R, deux fonctions satisfaisant auxconditions suivantes :

(i) pour tout x ∈ I, la fonction t 7−→ f(x, t) est positive, décroissante etlimt→+∞ f(x, t) = 0 uniformément sur I.

(ii) pour tout x ∈ I, la fonction t 7−→ g(x, t) est intégrable sur [a, u], u ≥ aet il existe une constante C (indépendante de u et de x) telle que,∣∣∣∣∫ u

a

g(x, t)

∣∣∣∣ ≤ C, ∀u ≥ a

Alors l'intégrale∫ +∞

a

f(x, t)g(x, t)dt converge absolument et uniformément

sur I.

Théorème 14 (de convergence dominée). Soit (fk) une suite de fonctions deI dans R, continues par morceaux sur I et convergeant simplement sur I versune fonction f continue par morceaux. S'il existe une fonction g : I −→ R+

continue par morceaux sur I telle que :

∀k ∈ N, |fk(x)| ≤ g(x), (hypothèse de domination)

alors f est intégrable sur I et

limk→∞

∫fk(x)dx =

∫limk→∞

fk(x)dx =

∫f(x)dx.


Théorème 15 Soit (fk) une suite de fonctions de I dans R, continues parmorceaux, intégrables sur I et telle que la série

∑fk converge simplement sur

I vers une fonction f continue par morceaux. Si la série∑∫

I|fk| converge,

alors f est intégrable sur I et∫I

∑fk =

∑∫I

fk =

∫I

fk.

Théorème 16 (de convergence dominée de Lebesgue). Soit (fk) une suite defonctions sommables. Si (fk) converge simplement presque partout vers unefonction f et s'il existe une fonction sommable g telle que :

|fk(x)| ≤ g(x),

presque partout, alors f(x) est sommable et

limk→∞

∫fk(x)dx =

∫limk→∞

fk(x)dx =

∫f(x)dx.

Pour des notions sur les fonctions sommables, voir le complément (facultatif)ci-dessous :

Compléments : on a rassemblé ici quelques notions sommaires sur la théoriede la mesure et l'intégrale de Lebesgue.

Dénition 17 Soit Ω un ensemble. Une classe A de parties de Ω est dite une tribu(ou σ-algèbre de Boole) sur Ω si les conditions suivantes sont satisfaites : i) Ω ∈ A,ii) ∀ A ∈ A, Ac ∈ A, iii) si A1, A2, . . . est une innité dénombrable de parties de A,alors

⋃∞i=1Ai ∈ A.

Exemple 18 L'ensemble ∅,Ω est une tribu (dite triviale) de Ω. L'ensemble P(Ω)des parties de Ω, est une tribu (dite grossière) de Ω. L'ensemble ∅,N, 1, 2, 3, 4, . . .est une tribu sur N. Par contre, l'ensemble A = A : A ⊆ N et A ni n'est pas unetribu sur N car N /∈ A.

Dénition 19 Soient Ω un ensemble et B ⊆ P(Ω) un ensemble de parties de Ω. Onappelle tribu τ(B) engendrée par B, la plus petite tribu contenant B, c'est-à-dire τ(B)est une tribu telle que : B ⊆ τ(B) et pour toute autre tribu A contenant B, τ(B) ⊆ A.

Exemple 20 Soient A et B deux sous-ensembles de Ω. On a

τ(A) = ∅, Ω, A, Ac,τ(A,B) = ∅,Ω, A,B,Ac, Bc, A ∪B,Ac ∪B,A ∪Bc,

Ac ∪Bc, A ∩B,Ac ∩B,A ∩Bc, Ac ∩Bc,

(A ∪B) ∩ (Ac ∪Bc), (A ∩B) ∪ (Ac ∩Bc).


Dénition 21 Soit Ω = R et B la tribu de parties de R engendrée par les intervallesde la forme ]−∞, a], a ∈ R. On dit que B est la tribu borélienne (ou tribu de Borel)de R et ses éléments sont appelés les boréliens de R.

Remarque 22 La tribu borélienne de R contient tous les intervalles et tous les pointsde R. La tribu borélienne de Rn est la tribu engendrée par les parties de Rn de laforme ]−∞, a1]× · · ·×]−∞, an], où a1, . . . , an ∈ R.

Dénition 23 a) Soit Ω un ensemble muni d'une tribu B. On dit qu'une fonctionµ : B → R est une mesure dénie sur B si ∃B ∈ B tel que : µ(B) <∞ et si B1, B2, . . .est une innité dénombrable de parties disjointes de B, alors

µ

( ∞⋃i=1

Bi

)=

∞∑i=1

µ(Bi),

c'est-à-dire µ est dénombrablement ou complètement additive.b) Un ensemble E ⊂ Ω est dit mesurable lorsque E ∈ B.c) Une mesure dénie sur B est dite positive si, ∀B ∈ B, µ(B) ≥ 0.

Exemple 24 µ(∅) = 0. Mesure de Lebesgue : µ(]a, b]) = b− a = longueur de ]a, b].µ (]a, b]× ]c, d]) = (b− a) (d− c)=aire de ]a, b]× ]c, d]. Mesure de Dirac au point a :µ(A) = 1 si a ∈ A et = 0 si a /∈ A

Dénition 25 Soient Ω1 et Ω2 deux ensembles munis respectivement des tribus B1

et B2. On dit qu'une fonction f : Ω1 → Ω2 est mesurable si, ∀B2 ∈ B2, f−1(B2) ∈ B1.

On trouvera dans la littérature d'autres dénitions,a) Une partie E ⊆ R est dite de mesure nulle si pour tout ε > 0, il existe une

suite (Ik) d'intervalles de longueur lk telle que :

E ⊆∞⋃k=0

Ik,∞∑k=0

lk ≤ ε.

b) La locution presque partout (en abrégé p.p.) signie sauf sur un ensemblede mesure nulle.

c) Soit I un intervalle de R. Une fonction f : I → R est dite mesurable s'il existeune suite (ϕk) de fonctions en escalier sur I qui converge simplement presque partoutvers f sur I.

Toutes les fonctions que l'on rencontre en pratique sont mesurables.Avant de dénir l'intégrale au sens de Lebesgue, rappelons briévement ce qu'est

l'intégrale au sens de Riemann. Soit f une fonction réelle bornée dénie sur unintervalle [a, b]. Pour dénir l'intégrale au sens de Riemann, notée

∫ ba f(x)dx, on

considère une subdivision de [a, b] en un nombre ni de points tels que : a = α0 <α1 < . . . < αk = b, et on écrit∫ b

af(x)dx = lim

k→∞

k∑i=1

(αi+1 − αi) f(ξi), αi ≤ ξi ≤ αi+1,


ce qui représente l'aire comprise entre le graphe de f et l'axe ox. Pour qu'une fonctionbornée soit intégrable au sens de Riemann, il faut et il sut que l'ensemble des pointsde discontinuités de f soit de mesure nulle.

L'idée principale de la construction de l'intégrale de Lebesgue, réside dans lefait de considérer une subdivision du domaine des valeurs de f (et non du domaine[a, b] de f , comme dans le cas de Riemann). Soit f une fonction mesurable réelle etpositive. Soit [m,M ] un intervalle sur l'axe oy tel que : Imf ⊂ [c, d] et considéronsune subdivision de [c, d] en un nombre ni de valeurs distinctes yk. Posons Ei =x ∈ [a, b] : yi ≤ f(x) ≤ yi+1 = f−1([yi, yi+1]), et µ(Ei) = mesure de Ei. C'estla longueur usuelle de Ei si Ei est un intervalle ou une réunion nie d'intervallesdisjoints.

Dénition 26 a) L'intégrale de Lebesgue∫fdµ (µ étant la mesure de Lebesgue)

est la limite commune des sommes∑k

i=1 yiµ (Ei) et∑k

i=1 yi+1µ (Ei). Autrement dit,l'expression

∑ki=1 ηiµ (Ei), ∀ηi ∈ [yi, yi+1[, représente une approximation de l'aire

comprise entre le graphe de f et l'axe ox.b) On dit qu'une fonction f est intégrable au sens de Lebesgue ou sommable si et

seulement si f est mesurable et∫|f |dµ est ni.

Une autre façon de dénir l'intégrale au sens de Lebesgue, consiste à introduirela notion de fonction positivement intégrable. Soit I un intervalle de R et f : I −→ Rune fonction.

a) On dit que f est positivement intégrable, s'il existe une suite croissante (ϕk)de fonctions en escalier sur I qui converge simplement vers f presque partout sur Iet telle que lim

k→∞

∫I ϕk existe.

b) La fonction f est dite intégrable au sens de Lebesgue ou sommable sur I, sielle est la diérence de deux fonctions f1 et f2 positivement intégrables c'est-à-diresi f = f1 − f2.

c) L'intégrale de Lebesgue de f sur I est∫I f =

∫I f1 −

∫I f2.

d) Si f = f1 − f2 = g1 − g2 avec f1, f2, g1, g2 positivement intégrables sur I,alors

∫I f1−

∫I f2 =

∫I g1−

∫I g2. Autrement dit, l'intégrale

∫I f est indépendante du

mode de représentation de la fonction f par une diérence de fonctions positivementintégrables.

e) Si deux suites croissantes (ϕk) et (ψk) de fonctions en escalier vérient lesconditions de la dénition précédente (voir fonction positivement intégrable) pourune même fonction f , alors lim

k→∞

∫I ϕk = lim

k→∞

∫I ψk.Autrement dit, la limite lim

k→∞

∫I ϕk

qui intervient dans la dénition de fonction positivement intégrable, ne dépend pasdu choix de la suite (ϕk).

f) Le nombre limk→∞

∫I ϕk, est appelé l'intégrale de Lebesgue de f sur I et est noté∫

I f .Toute fonction intégrable au sens de Riemann est intégrable au sens de Lebesgue

et les deux intégrales sont égales. L'intégrale de Lebesgue généralise celle de Riemannpuisqu'elle permet d'intégrer des fonctions qui ne sont pas intégrables au sens deRiemann dès que les discontinuités ne forment pas un ensemble de mesure nulle.


Exemple 27 La fonction de Dirichlet f(x) = 1 si x est rationnel et = 0 sinon, n'estpas intégrable au sens de Riemann (elle est discontinue en tout point), par contre,elle est intégrable au sens de Lebesgue et son intégrale est nulle.

Remarques importantes pour les applications : a) Une condition susante, trèsutilisée, pour montrer qu'une fonction est sommable est la suivante : une fonction fn'ayant qu'un nombre ni de points de discontinuité est sommable si et seulement si|f | est intégrable au sens de Riemann.

b) Dans la pratique, pour prouver qu'une fonction est sommable, il sut demontrer qu'elle est majorée en module par une fonction positive dont l'intégraleest convergente. Lorsque l'intégrale est prise au sens de Lebesgue, il ne s'agit pasd'intégrales généralisée car il y a convergence absolue.

Dénition 28 Soit Ω un ouvert de Rn. On note L1(Ω) ou plus simplement L1,l'espace vectoriel (sur R ou C) des fonctions sommables sur Ω. L'espace L1(Ω) ouL1 est, par dénition, le quotient de L1 par la relation d'équivalence égalité presquepartout.

Remarques 29 a) Pour montrer que f ∈ L1 , il sut de vérier que l'intégrale∫Ω |f(x)|dx existe. De même, pour montrer que f ∈ L2, il sut de vérier que∫Ω |f(x)|2dx existe. Rappelons que si f est réelle, |f(x)|2 = f2(x) et si f est complexe,|f(x)|2 = f(x)f(x).

b) Deux fonctions égales presque partout seront considérées comme égales. Etconformément à l'usage, on confondra d'une part L1 et L1 et de l'autre L2 et L2.

Exemple 30 La fonction f :]0, 1] −→ R, x 7−→ 1√x, appartient à L1 mais pas à L2.

Par contre la fonction g :]1,∞[−→ R, x 7−→ 1x , appartient à L

2 mais pas à L1.

Propriétés : a) Si f, g ∈ L1, α, β ∈ C, alors αf + βg ∈ L1 et∫(αf + βg) dx = α

∫fdx+ β

∫gdx.

b) Pour qu'une fonction f ∈ L1, il faut et il sut que |f | ∈ L1. En outre∣∣∣∣∫ fdx

∣∣∣∣ ≤ ∫ |f |dx.

c) Si f est mesurable et s'il existe une fonction positive g ∈ L1 telle que : |f(x)| ≤g(x) presque partout, alors f ∈ L1.

d) Si f(x) ≥ 0 est mesurable, alors∫fdx = 0 si et seulement si f = 0 presque

partout.e) Si f ∈ L1 et f = g presque partout, alors g ∈ L1 et

∫fdx =

∫gdx.

f) La quantité ‖f‖ =∫Ω |f(x)|dx, est une norme sur L1(Ω).

g) La quantité ‖f‖ =√∫

Ω |f(x)|2dx, est une norme sur L2(Ω).h) Inégalité de Schwarz : Si f, g ∈ L2, alors∣∣∣∣∫

Ωf(x)g(x)dx

∣∣∣∣2 ≤ ∫Ω|f(x)|2dx

∫Ω|g(x)|2dx.


1.3 Exercices

Exercice 1.3.1 On considère la fonction F dénie par F (x) =∫ +∞0 e−xt

2dt.

a) Montrer que F est continue pour x ≥ a > 0.b) Montrer que F (x) = 1

2

√πx .

c) En déduire la valeur de l'intégrale∫ +∞0 t2ke−xt

2dt, k ∈ N∗, x ≥ a > 0.

Exercice 1.3.2 Soit x 7−→ F (x) =∫ +∞0

e−xt

(1+t)√tdt.

a) Montrer que F est dénie sur [0,+∞[.b) Montrer que l'intégrale ci-dessus converge uniformément sur [a,+∞[, a > 0

et que la fonction F est de classe C1 sur ]0,+∞[ .b) Montrer que F vérie une équation diérentielle du premier ordre avec second

membre et déterminer F sous une autre forme intégrale.

Exercice 1.3.3 Soit l'intégrale F (x) =∫ +∞0 f(x, t)dt où

f(x, t) =

1 si t = 0e−xt sin tt si t > 0

a) Etudier la convergence uniforme de cette intégrale et montrer que F est déri-vable pour x > 0.

b) Montrer que F vérie une équation diérentielle du premier ordre qu'on pré-cisera.

c) Déterminer explicitement F (x).d) Calculer limx→0+ F (x) et en déduire que

∫ +∞0

sin tt dt = π

2 .

Exercice 1.3.4 a) En utilisant le théorème de convergence dominée de Lebesgue,montrer que :

limk→∞

∫ k

0

(1− x

k

)klnxdx =

∫ ∞

0e−x lnxdx.

b) Montrer que :

∫ k

0

(1− x

k

)klnxdx =

k

k + 1

ln k −k+1∑j=1

1jdt

.

c) En déduire que : ∫ ∞

0e−x lnxdx = −γ,

où γ = limk→∞

(∑kj=1

1j dt− ln k

)= 0, 57721..., est la constante d'Euler.

Exercice 1.3.5 Déterminer un équivalent, au voisinage de +∞, de la fonction Fdénie par F (x) =

∫ xe ln(ln t)dt.


Exercice 1.3.6 1) Montrer que la fonction dénie par

f(x) =sinxxα

, α ∈ R∗+

est sommable sur [0, 1] pour 0 < α < 2 et sur [1,∞[ pour α > 1.2) Soit f : R+ −→ R (ou C), une fonction localement sommable (c-à-d., in-

tégrable sur tout intervalle borné). On appelle transformée de Laplace de f(x) lafonction de la variable complexe p = σ + iω dénie par

F (p) =∫ ∞

0f(x)e−pxdx.

a) Montrer que si cette intégrale converge pour Re p = σ0, alors il en est de mêmepour tout p tel que : Re p ≥ σ0.

b) Que peut-on dire si l'intégrale ci-dessus diverge pour Re p = σ0 ?

Exercice 1.3.7 On appelle fonction gamma d'Euler la fonction dénie par

Γ(x) =∫ +∞

0e−ttx−1dt.

a) Montrer que Γ est dénie sur ]0,+∞[.b) Montrer que cette intégrale converge uniformément sur l'intervalle [a, b] où

0 < a < b < +∞.c) En déduire que Γ est continue sur ]0,+∞[.d) Montrer que Γ est de classe C∞ sur ]0,+∞[ avec

Γ(k)(x) =∫ +∞

0e−t(ln t)ktx−1dt.

e) Montrer que : ∀x > 0, Γ(x+ 1) = xΓ(x).f) En déduire que : ∀k ∈ N∗, Γ(k + 1) = k!.g) Montrer que pour tout k ∈ N, on a

Γ(k +

12

)=

(2k)!22kk!

√π, Γ

(−k +

12

)=

(−1)k22kk!(2k)!

√π.

Exercice 1.3.8 Soit Γ(x) la fonction gamma d'Euler (voir exercice 8.3.13).a) Montrer que Γ est convexe.b) Montrer que Γ′ s'annule une et une seule fois en un point α ∈]1, 2[.c) Montrer que : limx→0+ xΓ(x) = 1 et

limx→0+

Γ(x) = limx→+∞

Γ(x) = +∞.

d) Calculer limx→+∞Γ(x)x et interpréter le résultat obtenu.

e) Montrer que l'on peut dénir la fonction Γ(x) pour des valeurs négatives de xet qu'elle agit comme un prolongement de la fonction factorielle.

f) Esquisser une représentation graphique de la fonction Γ(x).


Exercice 1.3.9 a) Montrer que

Γ(x) =∫ +∞

0e−ttx−1dt = lim

k→+∞

∫ k

0

(1− t

k

)ktx−1dt, x > 0

où Γ est la fonction gamma étudiée dans l'exercice précédent.b) Montrer que

Γ(x) = limk→+∞

kx.k!x(x+ 1)...(x+ k)

, x > 0

c) En déduire la formule de Weierstrass :

1Γ(x)

= xeγx∞∏k=1

(1 +

x

k

)e−

xk , x > 0

où γ = limk→∞

(∑kl=1

1l − ln k

)= 0, 57721..., est la constante d'Euler.

Exercice 1.3.10 On dénit la fonction bêta d'Euler par

B(p, q) =∫ 1

0xp−1(1− x)q−1dx.

Montrer que cette intégrale converge pour p ∈]0,+∞[ et q ∈]0,+∞[.

Chapitre 2

Intégrales multiples

2.1 Réduction des intégrales multiples (FUBINI)

Considérons une fonction continue

f : D ⊂ Rn −→ R, (x1, ..., xn) 7−→ f(x1, ..., xn),

où D est un pavé de Rn ou un borné (fermé) quelconque de Rn.

2.1.1 D est un pavé de Rn

Considérons d'abord le cas n = 2. L'ensemble

D = [a, b]× [c, d] = (x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, (a, b, c, d ∈ R),

est un rectangle.Considérons les fonctions dénies par

f : [a, b]× [c, d] −→ R, (x, y) 7−→ f(x, y),

g : [a, b] −→ R, x 7−→ g(x) =∫ d

cf(x, y)dy,

h : [c, d] −→ R, y 7−→ h(y) =∫ d

cf(x, y)dx.

Proposition 31 Si f(x, y) est continue sur D, alors(i) g(x) est continue sur [a, b].(ii) h(y) est continue sur [c, d].

Théorème 32 (Fubini). Si f(x, y) est continue sur D, alors

(∗)∫ b

a

(∫ d

cf(x, y)dy

)dx =

∫ d

c

(∫ b

af(x, y)dx

)dy.

14


Dénition 33 Dans le théorème précédent, le nombre (∗) s'appelle intégrale doublede f sur D et on note

∫D f ,

∫ ∫D f ou

∫ ∫D f(x, y)dxdy.

On peut par convention écrire∫ b

adx

∫ d

cf(x, y)dy pour

∫ b

a

(∫ d

cf(x, y)dy

)dx,

et ∫ d

cdy

∫ b

af(x, y)dx pour

∫ d

c

(∫ b

af(x, y)dx

)dy.

Exemple 34 Calculons l'intégrale∫ ∫

D f(x, y)dxdy où f(x, y) = 2x + 3y2 et D =[1, 3]× [1, 2]. On a∫ 3

1

(∫ 2

1(2x+ 3y2)dy

)dx =

∫ 3

1(2x+ 7)dx = 22.

De même, on a ∫ 2

1

(∫ 3

1(2x+ 3y2)dx

)dy =

∫ 2

1(8 + 6y2)dx = 22.

D'après cet exemple, on voit bien que l'ordre dans lequel on eectue les intgrations n'apas d'importance mais dans certains cas, un ordre d'intégration sera plus avantageuxque l'autre. Par exemple, si

f(x, y) = cos(x− ey), D = [0, 2π]× [1, 2],

il est plus dicile d'utiliser la formule∫ ∫Df(x, y)dxdy =

∫ 2π

0

(∫ 2

1cos(x− ey)dy

)dx,

car il n'est pas facile de calculer l'intégrale∫ 21 cos(x − ey)dy. On a donc intérêt à

utiliser l'autre formule, c-à-d.,∫ 2

1

(∫ 2π

0cos(x− ey)dx

)dy =

∫ 2

1(sin(2π − ey) + sin ey) dy = 0.

Interprétation géométrique : On suppose que f(x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ D ⊂ R2. Ona∫ ∫

Df = volume (dans R3) de l'ensemble (x, y, z) : (x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ f(x, y).

En particulier, si f(x, y) = 1, alors∫ ∫D

1dxdy = volume d'un ensemble dont la base est D et la hauteur 1,

= aire de D,= base × hauteur.

(Si f est négative sur D,∫ ∫

D f sera négative, sa valeur absolue représentera levolume de l'ensemble (x, y, z) : (x, y) ∈ D, f(x, y) ≤ z ≤ 0).


Propriété 35 Si f et g sont continues sur D et si α, β ∈ R, alors αf + βg etcontinue sur D et ∫ ∫

D(αf + βg) = α

∫ ∫Df + β

∫ ∫Dg.

Propriété 36 Si f est continue sur D, alors |f | et continue sur D et∣∣∣∣∫ ∫Df

∣∣∣∣ ≤ ∫ ∫D|f |.

Propriété 37 Si f est continue sur D et si f ≥ 0, alors∫ ∫Df ≥ 0,∫ ∫

Df = 0 ⇐⇒ f = 0.

Propriété 38 Si f et g sont continues sur D, alors

f ≤ g =⇒∫ ∫

Df ≤

∫ ∫Dg.

Théorème 39 (de la moyenne). Si f : D −→ R est une fonction continue, alors ilexiste (x0, y0) ∈ D tel que :∫ ∫

Df(x, y)dxdy = f(x0, y0) Aire(D).

Pour n = 3, D = [a1, b1] × [a2, b2] × [a3, b3], (ai, bi ∈ R, ai < bi, 1 ≤ i ≤ 3), onparle dans ce cas d'intégrale triple et le théorème de Fubini fournit

∫ ∫ ∫Df(x, y, z)dxdydz =

− succession d'une intégrale double etd'une intégrale simple.

− succession d'une intégrale simple etd'une intégrale double.

− succession de trois intégrales simples(réduction complète).

Pour n > 3, D = [a1, b1]× [a2, b2]× ...× [an, bn], (ai, bi ∈ R, ai < bi, 1 ≤ i ≤ n),le théorème de Fubini fournit, parmi d'autres, les formules de réduction complète :∫

Df =

∫ b1

a1

(∫ b2

a2

...

(∫ bn

an

f(x1, x2, ..., xn)dxn

)...dx2

)dx1,

=∫ bn

an

(∫ bn−1

an−1

...

(∫ b1

a1

f(x1, ..., xn−1, xn)dxn

)...dxn−1

)dxn.


Pour n = k+ l, avec D = I × J ⊂ Rk ×Rl = Rn où I est un pavé de Rk et J estun pavé de Rl, le théorème de Fubini fournit,∫

Df =

∫I

(∫Jf(x, y)dy

)dx,

=∫J

(∫If(x, y)dx

)dy, x ∈ I, y ∈ J

et plus particulièrement, si f(x, y) = g(x)h(y), alors∫Df =

(∫Ig(x)dx

)(∫Jh(y)dy

).

2.1.2 D est un borné (fermé) quelconque de Rn

Considérons d'abord le cas n = 2. Soit f : D ⊂ R2 −→ R une fonction où D estun borné (par exemple une courbe fermée dans R2). Rappelons que D est un bornés'il existe un rectangle P = [a, b]× [c, d] tel que : D ⊂ P .

Soit f : P −→ R, le prolongement de f déni par

f(x, y) =f(x, y), ∀(x, y) ∈ D

0, ∀(x, y) ∈ P\D.

Si f est bornée et Aire (x, y) : f(x, y) discontinue = 0, alors f est intégrablesur P . Dès lors, f est intégrable sur P si f est continue sur D et si Aire (fr D)= 0(car les seuls points où f peut être discontinue doivent appartenir à la frontière fr Dde D.

Par dénition, on a ∫ ∫Df =

∫ ∫Pf ,

avec f intégrable sur P . Soit αi, βj ∈ ∆ij où

∆ij = max0≤i,j≤k−1

√(xi+1 − xi)2 + (yj+1 − yj)2, [xi, xi+1]× [yj , yj+1] ⊂ P.

On a ∫ ∫D

= lim∆ij−→0

k−1∑i,j=0

f(αi, βj)(xi+1 − xi)(yj+1 − yj).

1er cas : on considère l'ensemble

D = (x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x),

où g1, g2 : [a, b] −→ R, sont deux fonctions continues telles que : g1 ≤ g2. Dans cecas le théorème de Fubini fournit,∫ ∫

Df =

∫ b

a

(∫ g2(x)

g1(x)f(x, y)dy

)dx.


2ème cas : on considère l'ensemble

D = (x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y),

où h1, h2 : [c, d] −→ R, sont deux fonctions continues telles que : h1 ≤ h2. Dans cecas le théorème de Fubini fournit,∫ ∫

Df =

∫ d

c

(∫ h2(y)

h1(y)f(x, y)dx

)dy.

3ème cas : on considère un ensemble combinant les deux cas précédents. Dansce cas le théorème de Fubini fournit,∫ ∫

Df =

∫ b

a

(∫ g2(x)

g1(x)f(x, y)dy

)dx,

=∫ d

c

(∫ h2(y)

h1(y)f(x, y)dx

)dy.

Exercice 2.1.1 Calculons∫ ∫

D f(x, y)dxdy, où

f(x, y) = (1− x2)3/2,

etD = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤

√1− x2.

En utilisant le 1er cas, c-à-d., a = 0, b = 1, g1(x) = 0, g2(x) =√

1− x2, on obtient∫ ∫Df(x, y)dxdy =

∫ 1

0

(∫ √1−x2

0(1− x2)3/2dy

)dx =

∫ 1

0(1− x2)2dx =

815.

Si on utilise le 2ème cas, c-à-d., c = 0, d = 1, h1(y) = 0, h2(y) =√

1− y2, onobtient ∫ ∫

Df(x, y)dxdy =

∫ 1

0

(∫ √1−y2

0(1− x2)3/2dx

)dy,

ce qui montre que dans cet exemple, il est avantageux d'intégrer d'abord par rapportà y, puis par rapport à x, c-à-d., d'utiliser le 1er cas.


D f(x, y)dxdy, où

f(x, y) = xy,

etD = (x, y) ∈ R2 : 0 < x < y < 2x, x2 + y2 > 4, xy < 4.

Notons que : D = D1 ∪D2, où

D1 = (x, y) ∈ R2 :2√5< x <

√2,√

4− x2 < y < 2x,


etD2 = (x, y) ∈ R2 :

√2 < x < 2, x < y <

4x.

On a ∫ ∫Df(x, y)dxdy =

∫ √2

2√5

(∫ 2x

√4−x2

xydy

)dx+

∫ 2

√2

(∫ 4x

xxydy

)dx,

=∫ √

2

2√5

(5x3

2− 2x

)dx+

∫ 2

√2

(8x− x3

2

)dx,

= −35

+ 4 ln 2.

Lemme 40 (Inégalité de Young). Soient p > 1 et q > 1 deux nombres réels tels que :

1p

+1q

= 1.

Alors,∀α, β ∈ R+, αβ ≤ αp

p+βq

q.

Proposition 41 (Inégalité de Hölder). Si p et q sont comme ci-dessus et si f, g :D −→ R, sont deux fonctions continues et bornées, alors∫ ∫

D|fg| ≤

(∫ ∫D|f |p

) 1p

.

(∫ ∫D|f |q) 1

q

.

Proposition 42 (Inégalité de Cauchy-Shwarz). C'est l'inégalité de Hölder avec p =q = 2.

Proposition 43 (Inégalité de Minkowski). Soient p ≥ 1 un nombre réel et f, g :D −→ R deux fonctions continues et bornées. On a(∫ ∫

D|f + g|p

) 1p

≤(∫ ∫

D|f |p

) 1p

+(∫ ∫

D|g|p) 1

p

.

Si n = 3 et

D = (x, y, z) ∈ R3 : a ≤ x ≤ b, ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x), ψ1(x, y) ≤ z ≤ ψ2(x, y),

où ϕ1, ϕ2 : [a, b] −→ R, sont deux fonctions continues telles que : ϕ1 ≤ ϕ2 etψ1, ψ2 : (x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x) −→ R, sont deux fonctionscontinues telles que : ψ1 ≤ ψ2. Dans ce cas, le théorème de Fubini fournit∫ ∫ ∫

Df(x, y, z)dxdydz =

∫ b

a

(∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

(∫ ψ2(x)

ψ1(x)f(x, y, z)dz

)dy

)dx.


Soit n = k + l, D ⊂ Rn = Rk × Rl. Désignons respectivement par prRk et prRl

les projections dénies par

prRk : Rk × Rl −→ Rk, (x, y) 7−→ x,

prRl : Rk × Rl −→ Rl, (x, y) 7−→ y,

et posonsA = prRkD = x ∈ Rk : ∃y ∈ Rl, (x, y) ∈ D,

B = prRlD = y ∈ Rl : ∃x ∈ Rk, (x, y) ∈ D,

∀x ∈ A, Bx = y ∈∈ Rl, (x, y) ∈ D = section de D par une droite,

∀y ∈ B, Ay = x ∈∈ Rk, (x, y) ∈ D = section de D par une droite.

Notons que

D = (x, y) : x ∈ A, y ∈ Bx = (x, y) : y ∈ B, x ∈ Ay.

Dans ces conditions, le théorème de Fubini s'écrit∫D

=∫A

(∫Bx

f(x, y)dy)dx =

∫B

(∫Ay

f(x, y)dx

)dy.

2.2 Changements de variables dans les intégrales

multiples

Considérons l'application

g : Ω −→ Rn, y 7−→ g(y) = x,

où Ω est un ouvert de Rn. On a

x1 = g1(y1, ..., yn),x2 = g2(y1, ..., yn),

...xn = gn(y1, ..., yn).

On suppose que les dérivées partielles ∂gi

∂yj(y), 1 ≤ i, j ≤ n, existent pour tout y ∈ Ω.

Rappelons que le jacobien de g est

det Jg(y) =∂(x1, ..., xn)∂(y1, ..., yn)

= det(∂gi∂yj

(y))

1≤i,j≤n.

Si n = 2, on a

det Jg(y) =∂(x1, x2)∂(y1, y2)

= det

(∂x1∂y1

∂x1∂y2

∂x2∂y1

∂x2∂y2

).


Théorème 44 (de changement de variable). Soient Ω un ouvert de Rn,

g : Ω −→ Rn, y 7−→ g(y) = x,

une bijection de classe C1 telle que : det Jg(y) 6= 0, ∀y ∈ Ω et

f : D −→ R, x 7−→ f(x),

une fonction intégrable où D ⊂ g(Ω). Alors (fog) |det Jg(y)| est intégrable sur g−1(D)et ∫

Df =

∫g−1(D)

(fog) |det Jg(y)| .

Coordonnées polaires : Considérons l'application

g : Ω =]0,+∞[×]0, 2π[−→ R2\(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y = 0, (r, θ) 7−→ (x, y),

oùx = r cos θ,

y = r sin θ.

g est une bijection de classe C1 dont le jacobien est

det Jg =∂(x, y)∂(r, θ)

= det( ∂x

∂rx∂θ

∂y∂r

∂y∂θ

)= det

(cos θ −r sin θsin θ r cos θ

)= r 6= 0 sur Ω.

Soit D un secteur de couronne circulaire

D =(x, y) ∈ R2 : x = r cos θ, y = r sin θ, r ∈ [r1, r2], θ ∈ [θ1, θ2]

,

où 0 < r1 < r2, 0 < θ1 < θ2 < 2π. On a

g−1(D) = [r1, r2]× [θ1, θ2].

D'après le théorème du changement de variable, si f : D −→ R est intégrable, alors∫ ∫Df(x, y)dxdy =

∫ ∫g−1(D)

f(r cos θ, r sin θ)rdrdθ,

=∫ θ2

θ1

(∫ r2

r1

f(r cos θ, r sin θ)rdr)dθ.

Si D = C est le cercle de centre (0, 0) et de rayon R, alors en passant à la limite, laformule ci-dessus devient∫

Cf =

∫ 2π

0

(∫ R

0f(r cos θ, r sin θ)rdr

)dθ.



D sin(x2 + y2)dxdy, où

D =(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4

.

En passant aux coordonnées polaires, on trouve

g−1(D) = (r, θ) : 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π

2,

d'où ∫ ∫D

sin(x2 + y2)dxdy =∫ 2

1

(∫ π2

0(sin r2).rdθ

)dr =

π

4(cos 1− cos 4).

Coordonnées sphériques : Considérons l'application

g : Ω =]0,+∞[×]0, 2π[]0, π[−→ R3\(x, y, z) ∈ R3 : x ≥ 0, y = 0,

(r, θ, ϕ) 7−→ (x, y, z),

où

x = r cos θ sinϕ,y = r sin θ sinϕ,z = r cosϕ

(Note : on emploie également le système : x = r cos θ cosϕ, y = r sin θ cosϕ, z =r sinϕ où (r, θ, ϕ) ∈]0,+∞[×]0, 2π[]0, π[).

g est une bijection dont le jacobien est

det Jg =∂(x, y, z)∂(r, θ, ϕ)

= det

cos θ sinϕ −r sin θ sinϕ r cos θ cosϕsin θ sinϕ r cos θ sinϕ r sin θ cosϕ

cosϕ 0 −r sinϕ

= −r sinϕ.

Soit D un secteur sphérique

D =(x, y, z) ∈ R3 : x = r cos θ sinϕ, y = r sin θ sinϕ, z = r cosϕ

,

où r ∈ [r1, r2], θ ∈ [θ1, θ2], ϕ ∈ [ϕ1, ϕ2], avec 0 < r1 < r2, 0 < θ1 < θ2 < 2π,0 < ϕ1 < ϕ2 <

π2 . On a

g−1(D) = [r1, r2]× [θ1, θ2]× [ϕ1, ϕ2].

D'après le théorème du changement de variable, si f : D −→ R est intégrable, alors∫ ∫ ∫Df(x, y, z)dxdydz

=∫ ∫ ∫

g−1(D)f(r cos θ sinϕ, r sin θ sinϕ, r cosϕ)|Jg|drdθdϕ,

=∫ ϕ2

ϕ1

(∫ θ2

θ1

(∫ r2

r1

f(r cos θ sinϕ, r sin θ sinϕ, r cosϕ)r2 sinϕdr)dθ

)dϕ.


Si D = S est la sphère de rayon R, on peut faire le passage à la limite, r1 → 0,θ1 → 0, θ2 → 2π, ϕ1 → 0, ϕ2 → π, et la formule précédente devient∫

Sf =

∫ π

0

(∫ 2π

0

(∫ R

0f(r cos θ sinϕ, r sin θ sinϕ, r cosϕ)r2 sinϕdr

)dθ

)dϕ.

Exercice 2.2.2 Déterminons le volume de l'intersection D du cône : x2 + y2 < z2

avec la boule : x2 + y2 + z2 < 2az. En coordonnées sphériques, on a

g−1(D) = (r, θ, ϕ) ∈ R3 : 0 < θ < 2π, 0 < ϕ <π

4, 0 < r < 2a cosϕ,

d'où

V =∫g−1(D)

r2 sinϕdrdθdϕ =∫ π

4

0sinϕdϕ

∫ 2a cosϕ

0r2dr

∫ 2π

0dθ = πa3.

Coordonnées cylindriques : Considérons l'application

g : Ω =]0,+∞[×]0, 2π[]0, 2π[−→ R3\(x, y, z) ∈ R3 : x ≥ 0, y = 0, z ∈ R,

(r, θ, ϕ) 7−→ (x, y, z),

où

x = r cos θ,y = r sin θ,z = z

g est bijective et son jacobien est

det Jg =∂(x, y, z)∂(r, θ, ϕ)

= det

cos θ −r sin θ 0sin θ r cos θ 0

0 0 1

= r 6= 0 sur Ω.

On aD =

(x, y, z) ∈ R3 : x = r cos θ, y = r sin θ, z ∈ R

,

où r ∈ [r1, r2], θ ∈ [θ1, θ2], avec 0 < r1 < r2, 0 < θ1 < θ2 < 2π. D'après le théorèmedu changement de variable, si f : D −→ R est intégrable, alors∫ ∫ ∫

Df(x, y, z)dxdydz =

∫ ∫ ∫g−1(D)

f(r cos θ, r sin θ, z)rdrdθdz.

Si D est le cylindre

D = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 < R2, h1 < z < h2,

rt f : D −→ R intégrable, alors∫ ∫ ∫Df(x, y, z)dxdydz =

∫ 2π

0

(∫ h2

h1

(∫ R

0f(r cos θ, r sin θ, z)rdr

)dz

)dθ.

En particulier, si f ≡ 1,

V (D) =∫ ∫ ∫

Ddxdydz =

∫ 2π

0

(∫ h2

h1

(∫ R

0rdr

)dz

)dθ = πr2(h2 − h1).


Exercice 2.2.3 Calculons∫ ∫ ∫

D

√x2 + y2dxdydz, où

D = (x, y, z) ∈ R3 : x > 0, y > 0, z2 < x2 + y2 < ax.

On a, en coordonnées cylindriques,

g−1(D) = (r, θ, ϕ) ∈ R3 : 0 < θ <π

2, 0 < r < a cos θ,−r < z < r,

d'où ∫ ∫ ∫D

√x2 + y2dxdydz =

∫ π2

0dθ

∫ a cos θ

0r2dr

∫ r

−rdz =

3a4

32.

2.3 Exercices

Exercice 2.3.1 Calculera)∫ 10 dy

∫ 1y e

yxdx.

b)∫ 21 dx

∫ 21xyexydx.

Exercice 2.3.2 Calculera)∫ ∫

D xydxdy où D = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x < y < 2x, x2 + y2 > 4, xy < 4.b)∫ ∫

D sin(x2 + y2)dxdy où D = (x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4.c)∫ ∫

D |x+ y|dxdy où D = (x, y) ∈ R2 : |x| < 1, |y| < 1.

Exercice 2.3.3 Soit f une application continue de R dans R.a) Exprimer l'intégrale multiple∫ b

0dxn

∫ xn

0dxn−1...

∫ x3

0dx2

∫ x2

0f(x1)dx1,

sous la forme d'une intégrale en x1.b) Soit y une fonction de x, de classe Cn, dénie sur R et satisfaisant aux condi-

tions suivantes :

y(0) = y′(0) = ... = y(n−1)(0) = 0, y(n)(x) = f(x).

Montrer que :

y(x) =∫ x

0f(t)

(x− t)(n−1)

(n− 1)!dt.

Exercice 2.3.4 Calculer le volume de l'ellipsoïde

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1, (a, b, c > 0).

Exercice 2.3.5 a) La transformation suivante peut-elle être utilisée comme chan-gement de variables sur le domaine D du plan limité par les droites u = 0 ,v = 0 etu+ v = 2, ϕ(u, v) = (u+ v, v − u2) ?

b) Caratériser l'image de D par ϕ.c) Calculer l'aire de ϕ(D) directement et par changement de variables.d) Calculer directement et par changement de variables l'intégrale sur ϕ(D) de

la fonction 1x−y+1 .


Exercice 2.3.6 Calculer l'intégrale de ex−yx+y sur le domaine limité par les droites

x = 0, y = 0 et x+ y = 1.

Exercice 2.3.7 Soit D la région du premier quadrant limitée par les hyperboles,xy = 1, xy = 3, x2 − y2 = 1, x2 − y2 = 4. Calculons l'intégrale de x2 + y2 sur D.

Exercice 2.3.8 Calculer l'intégrale de xy sur D,a) lorsque D est le domaine limité par la droite y = 0 et le demi cercle déni par

(x− 1)2 + y2 = 1 et y ≥ 0.b) lorsque D est le domaine limité par les droites x = 0 et y = 0 et par l'arc

d'astroïde x = R cos3 t, y = R sin3 t, 0 ≤ t ≤ π2 .

Exercice 2.3.9 Une sphère de rayon R1 est percée d'un trou cylindrique de rayonR2 dont l'axe passe par le centre de la sphère. Calculer le volume résiduel de la sphère.

Exercice 2.3.10 Soit P = [a1, a2] × [b1, b2] le pavé de R2 et Ω un ouvert de R2

contenat P . On considère une fonction f : Ω −→ R, de classe C2. Calculer∫ ∫P

∂2f

∂x∂ydxdy.

Exercice 2.3.11 Calculer l'aire du quadrilatère curviligne limité par les arcs d pa-rabole x2 = ay, x2 = by, y2 = cx, y2 = dx où 0 < a < b et 0 < c < d.

Exercice 2.3.12 Calculer le volume du corps limité par le plan z = 0, le cylindrex2 + y2 = 2ax et le cône x2 + y2 = z2.

Exercice 2.3.13 Calculer l'aire de la surface découpée sur la sphère x2+y2+z2 = a2

par le cylindre x2 + y2 − ax = 0.

Exercice 2.3.14 Calculer l'intégrale∫ ∫

Dxy

x2+y2dxdy, où

D = (x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0, x+ y < 1.

Exercice 2.3.15 Déterminer le volume de l'intersection D du cône : x2 + y2 < z2

avec la boule : x2 + y2 + z2 < 2az.

Exercice 2.3.16 On dénit la fonction bêta d'Euler par

B(p, q) =∫ 1

0xp−1(1− x)q−1dx.

a) Montrer que cette intégrale converge pour p ∈]0,+∞[ et q ∈]0,+∞[.b) Etablir la formule suivante : B(p, q) = Γ(p)Γ(q)

Γ(p+q) où Γ est la fonction gammad'Euler dénie précédemment.


Exercice 2.3.17 Etablir la formule des compléments suivante :

B(p, 1− p) = Γ(p)Γ(1− p) =π

sinπp, 0 < p < 1

où Γ et B sont les fonctions gamma et bêta d'Euler dénies dans les exercices précé-dents.

Exercice 2.3.18 Exprimer à l'aide des fonctions gamma et bêta d'Euler, les inté-grales elliptiques

∫ 10

dx√1−x3

et∫ 10

dx√1−x4

ainsi que l'intégrale trigonométrique∫ π

20 sinm x cosn xdx,

m > −1, n > −1.

Chapitre 3

Formes diérentielles, intégrales

curvilignes

(N.B. Seules les formes diérentielles de degré 1, 2 dans R2 et R3, sont au pro-gramme. Les formes diérentielles de degré k, sont données ici en tant que complé-ment).

3.1 Généralités

Formes diérentielles de degré 1 : considérons l'espace vectoriel Rn et son espacedual (Rn)∗ = L (Rn,R). Ce dernier étant l'espace des formes linéaires sur Rn. Onnote (dx1, ..., dxn) la base duale de la base canonique (e1, ..., en) de Rn. Autrementdit, dx1, ..., dxn sont n formes linéaires sur Rn dénies par

dxi(ej) =

1 si i = j0 si i 6= j

Dénition 45 Soit U un ouvert de Rn. On appelle forme diérentielle de degré 1ou 1-forme diérentielle sur U , l'application dénie par

ω : U −→ L (Rn,R) , x 7−→ ω(x) =n∑i=1

fi(x)dxi,

où fi sont des applications de U dans R. Si fi ∈ Cp, (0 ≤ p ≤ +∞), on dit alors queω est de classe Cp.

Notation : On désigne parfois une 1-forme diérentielle par ω = ω1f où f = (fi).

Remarque 46 Soit

f : U −→ R, (x1, ..., xn) 7−→ f(x1, ..., xn),

une fonction de classe Cp. La diérentielle

df =n∑i=1

∂f

∂xidxi,

27


est une forme diérentielle de classe Cp−1. Par ailleurs, il existe des formes dié-rentielles qui ne sont pas la diérentielle d'une fonction. Considérons par exemple laforme

ω = x1dx2,

et supposons qu'elle soit la diérentielle d'une fonction f(x1, x2). On aurait donc

ω = df =∂f

∂x1dx1 +

∂f

∂x2dx2 = x1dx2.

On en déduit que ∂f∂x1

= 0 (donc f ne dépend pas de x1) et ∂f∂x2

= x1 (donc f dépendde x1), ce qui est absurde.

Formes diérentielles de degré 2 : considérons l'espace Λ2 (Rn) des applications

ϕ : Rn × Rn −→ R, (y, z) 7−→ ϕ(y, z),

bilinéaires et antisymétriques. Rappelons que :a) ϕ est bilinéaire si ∀α, β ∈ R, ∀y, z, u ∈ Rn, on a

ϕ(αy + βz, u) = αϕ(y, u) + βϕ(z, u),

ϕ(y, αz + βu) = αϕ(y, z) + βϕ(y, u).

b) ϕ est antisymétrique si ∀y, z ∈ Rn, on a

ϕ(y, z) = −ϕ(z, y).

Notons que Λ2 (Rn) est un espace vectoriel réel (voir ci-dessous). Pour décrire unebase de cet espace, on introduit les applications dxi ∧ dxj ∈ Λ2 (Rn), 1 ≤ i, j ≤ n,dénies par

dxi ∧ dxj : Rn × Rn −→ R, (y, z) 7−→ det(yi ziyj zj

)= yizj − yjzi.

On en déduit que :

dxi ∧ dxj = −dxj ∧ dxi,dxi ∧ dxi = 0.

Proposition 47 Λ2 (Rn) est un espace vectoriel de dimension n(n−1)2 et sa base est

déterminée par la famille des fonctions bilinéires antisymétriques (dxi∧dxj)1≤i<j≤n.

Soient U un ouvert de Rn et

fij : U −→ R, x 7−→ fij(x), 1 ≤ i < j ≤ n

des fonctions de classe Cp, 0 ≤ p ≤ +∞. Une fonction à valeurs dans Λ2 (Rn) est ditede classe Cp, si ses coordonnées dans la base (dxi ∧ dxj)1≤i<j≤n sont de classe Cp.Le choix de cette base dans Λ2 (Rn) détermine un isomorphisme de cet espace avecR

n(n−1)2 .


Dénition 48 On appelle forme diérentielle de degré 2 ou 2-forme diérentiellesur U , l'application décrite par

ω : U −→ Λ2 (Rn) , x 7−→ ω(x) =n∑

1≤i<j≤nfij(x)dxi ∧ dxj .

Si fij ∈ Cp, (0 ≤ p ≤ +∞), on dit alors que ω est de classe Cp.

Notation : On désigne parfois une 2-forme diérentielle par ω = ω2f où f = (fij).

Formes diérentielles de degré k : considérons l'espace Λk (Rn) des applications

ϕ : Rn × Rn × ...× Rn −→ R, (y1, y2, ..., yk) 7−→ ϕ(y1, y2, ..., yk),

k-linéaires et antisymétriques. Rappelons que :a) ϕ est k-linéaire si ∀α, β ∈ R, ∀i(1 ≤ i ≤ k), ∀y1, ..., yk, zi ∈ Rn, on a

ϕ(y1, ..., αyi + βzi, ..., yk) = αϕ(y1, ..., yi, ..., yk) + βϕ(y1, ..., zi, ..., yk).

b) ϕ est antisymétrique si ∀y1, ..., yk ∈ Rn, ∀i, j(1 ≤ i, j ≤ k, i 6= j), on a

ϕ(y1, ..., yi, ..., yj , ..., yk) = −ϕ(y1, ..., yj , ..., yi, ..., yk).

On montre que Λk (Rn) est un espace vectoriel réel (voir ci-dessous). Introduisonsles applications dxi1 ∧ ... ∧ dxik ∈ Λ2 (Rn), 1 ≤ i1, i2, ..., ik ≤ n, dénies par

dxi1 ∧ ... ∧ dxik : Rn × Rn × ...× Rn −→ R,

(y1, y2, ..., yk) 7−→ det

y1i1 y1i2 ... y1ik

y2i1 y2i2 ... y2ik...

... . . . ...yki1 yki2 ... ykik

, 1 ≤ i1, ..., ik ≤ n

On déduit des propriétés des déterminants que :

dxi1 ∧ ... ∧ dxir ∧ ... ∧ dxis ∧ dxik = −dxi1 ∧ ... ∧ dxis ∧ ... ∧ dxir ∧ dxik ,

et en particulier si ir = is, alors

dxi1 ∧ ... ∧ dxir ∧ ... ∧ dxir ∧ dxik = 0.

Pour k > n, on a dxi1 ∧ ... ∧ dxik = 0.

Proposition 49 Λk (Rn) est un espace vectoriel de dimension n!k!(n−k)! et la famille

des fonctions bilinéires antisymétriques (dxi1∧ ...∧dxik)1≤i1<...<ik≤n, forme une basede cet espace.


Soient U un ouvert de Rn et

fi1,...,ik : U −→ R, x 7−→ fi1,...,ik(x), 1 ≤ i1 < ... < ik ≤ n

des fonctions de classe Cp, 0 ≤ p ≤ +∞. Une fonction à valeurs dans Λk (Rn) est ditede classe Cp, si ses coordonnées dans la base (dxi1 ∧ ... ∧ dxik)1≤i1<...<ik≤n sont declasse Cp. Le choix de cette base détermine un isomorphisme : Λk (Rn) ' R

n!k!(n−k)! .

Dénition 50 On appelle forme diérentielle de degré k ou k-forme diérentiellesur U , l'application décrite par

ω : U −→ Λk (Rn) , x 7−→ ω(x) =∑

1≤i1<...<ik≤nfi1,...,ikdxi1 ∧ ... ∧ dxik .

Si fi1,...,ik ∈ Cp, (0 ≤ p ≤ +∞), on dit alors que ω est de classe Cp.

Notation : On désigne parfois une k-forme diérentielle par ω = ωkf où f =(fi1,...,ik).

Notons que pour k = 0, on convient qu'une 0-forme dans U est simplement unefonction f : U −→ R, x 7−→ f(x). On utilisera parfois la notation ω0

f .

Proposition 51 Les k-formes diérentielles sur U , forment un espace vectoriel notéΩk(U).

3.2 Produit extérieur

Soientω =

∑1≤i1<...<ik≤n

fi1,...,ikdxi1 ∧ ... ∧ dxik ,

une k-forme diérentielle sur U et

λ =∑

1≤j1<...<jl≤ngj1,...,jldxj1 ∧ ... ∧ dxjl ,

une l-forme diérentielle sur U .

Dénition 52 Le produit extérieur de ω et λ est la (k+ l)-forme diérentielle dansU dénie par

ω ∧ λ =∑

1≤i1,...,ik,j1,...,jl≤nfi1,...,ikgj1,...,jl

dxi1 ∧ ... ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ ... ∧ dxjl.

Proposition 53 a) Si k + l > n, alors ω ∧ λ = 0.b) Le produit extérieur est associatif :

(ω ∧ λ) ∧ η = ω ∧ (λ ∧ η).


c) Le produit extérieur est distributif :

(ω + η) ∧ λ = (ω ∧ λ) + (η ∧ λ).

d) Le produit extérieur est anticommutatif :

ω ∧ λ = (−1)kl(λ ∧ ω).

Exemple 54 Le produit extérieur des deux 1-formes diérentielles dans U ⊂ R3,

ω =3∑i=1

fidxi, λ =3∑j=1

gjdxj ,

s'écrit

ω ∧ λ =3∑

1≤i,j≤3

figjdxi ∧ dxj ,

=3∑

1≤i,j≤3i6=j

figjdxi ∧ dxj ,

=3∑

1≤i,j≤3i<j

figjdxi ∧ dxj +3∑

1≤i,j≤3i>j

figjdxi ∧ dxj ,

=3∑

1≤i,j≤3i<j

figjdxidxj +3∑

1≤i,j≤3j>i

fjgidxj ∧ dxi,

=3∑

1≤i,j≤3i<j

figjdxi ∧ dxj −3∑

1≤i,j≤3i<j

fjgidxi ∧ dxj ,

=3∑

1≤i,j≤3i<j

(figj − fjgi)dxi ∧ dxj ,

= (f1g2 − f2g1)dx1 ∧ dx2 + (f1g3 − f3g1)dx1 ∧ dx3

+(f2g3 − f3g2)dx2 ∧ dx3,

où (f2g3−f3g2, f3g1−f1g3, f1g2−f2g1) est le produit vectoriel de f = (f1, f2, f3) parg = (g1, g2g3) et que l'on note également f ∧ g. En abrégé, on note ω = ω1

f , λ = ω1g

et doncω1f ∧ ω1

g = ω2f∧g.

Exemple 55 Le produit extérieur des deux formes diérentielles,

ω = f1dx1 + f2dx2 + f3dx3,

λ = g1dx2 ∧ dx3 + g2dx3 ∧ dx1 + g3dx1 ∧ dx2,


est une 3-forme diérentielle. On obtient

ω ∧ λ = (f1g1 + f2g2 + f3g3)dx1 ∧ dx2 ∧ dx3,

où la fonction f1g1 + f2g2 + f3g3 est le produit scalaire de f = (f1, f2, f3) par g =(g1, g2g3) et que l'on note 〈f, g〉. En abrégé, on note ω = ω1

f , λ = ω2g et donc

ω1f ∧ ω2

g = ω3〈f,g〉.

Exemple 56 Le produit mixte de trois champs de vecteurs f , g et h peut s'exprimerpar la formule

〈f ∧ g, h〉 = 〈f, g ∧ h〉 = det

f1 f2 f3

g1 g2 g3h1 h2 h3

.

3.3 Diérentielle extérieure

Soit f : U −→ R, une application de classe C1. La diérentielle extérieure de fest la 1-forme diérentielle dans U dénie par

df =n∑i=1

∂f

∂xidxi.

Soientω =

∑1≤i1<...<ik≤n

fi1,...,ikdxi1 ∧ ... ∧ dxik ,

une k-forme diérentielle sur U de classe C1.

Dénition 57 La diérentielle extérieure (ou cobord) de ω, est la (k + 1)- formediérentielle dans U dénie par

dω =∑

1≤i1,...,ik≤ndfi1,...,ik ∧ dxi1 ∧ ... ∧ dxik ,

où dfi1,...,ik est la diérentielle extérieure de l'application fi1,...,ik de U dans R,

df =n∑

i0=1

∂fi1,...,ik∂xi0

dxi0 .

On a

dω =∑

1≤i1,...,ik≤ndfi1,...,ik ∧ dxi1 ∧ ... ∧ dxik ,

=∑

1≤i1,...,ik≤n

(n∑

i0=1

∂fi1,...,ik∂xi0

dxi0

)∧ dxi1 ∧ ... ∧ dxik ,

=∑

1≤i0,i1,...,ik≤n

∂fi1,...,ik∂xi0

∧ dxi0 ∧ dxi1 ∧ ... ∧ dxik ,


et en particulier,

∀1 ≤ i1, ..., ik ≤ n, d(dxi1 ∧ ... ∧ dxik) = 0.

Proposition 58 a) Si ω et λ sont deux k-formes diérentielles dans U de classeC1, alors

d(aω + bλ) = adω + bdλ, (a, b ∈ R).

b) Si ω est une k-forme diérentielle dans U de classe C1 et si g est une appli-cation de U dans R de classe C1, alors

d(gω) = dg ∧ ω + gdω.

c) Si ω est une k-forme diérentielle dans U de classe C1 et si λ est une l-formediérentielle dans U de classe C1, alors

d(ω ∧ λ) = (dω ∧ λ) + (−1)k(ω ∧ dλ).

d) Si ω est une k-forme diérentielle dans U de classe C2, alors

d(dω) = 0.

Exemple 59 Soit f une application dans U ⊂ R3 de classe C1. Sa diérentielle

df =3∑i=1

∂f

∂xidxi,

est une 1-forme. Il lui correspond un champ de vecteurs que l'on appelle le gradientde f et que l'on note grad f =

(∂f∂x1

, ∂f∂x2, ∂f∂x3

). En abrégé, on note

ω1grad f

= df.

Exemple 60 Soit

ω =3∑i=1

fidxi,


une 1-forme dans U ⊂ R3 de classe C1. On a

dω =3∑i=1

dfi ∧ dxi,

=3∑i=1

3∑j=1

∂fi∂xj

dxj

∧ dxi,

=3∑

i,j=1i6=j

∂fi∂xj

dxj ∧ dxi,

=3∑

1≤i,j≤3i<j

∂fi∂xj

dxj ∧ dxi +3∑

1≤i,j≤3i>j

∂fi∂xj

dxj ∧ dxi,

=3∑

1≤i,j≤3i<j

∂fi∂xj

dxj ∧ dxi +3∑

1≤i,j≤3j>i

∂fj∂xi

dxi ∧ dxj ,

= −3∑

1≤i,j≤3i<j

∂fi∂xj

dxi ∧ dxj +3∑

1≤i,j≤3i<j

∂fj∂xi

dxi ∧ dxj ,

=3∑

1≤i,j≤3i<j

(∂fj∂xi

− ∂fi∂xj

)dxi ∧ dxj ,

=(∂f2

∂x1− ∂f1

∂x2

)dx1 ∧ dx2 +

(∂f3

∂x2− ∂f2

∂x3

)dx2 ∧ dx3

+(∂f3

∂x1− ∂f1

∂x3

)dx1 ∧ dx3.

Dès lors, dω est une 2-forme diérentielle dans U et il lui correspond un champ devecteurs qu'on appelle le rotationnel de f = (f1, f2, f3) et que l'on note

rot f =(∂f3

∂x2− ∂f2

∂x3,∂f1

∂x3− ∂f3

∂x1,∂f2

∂x1− ∂f1

∂x2

).

En abrégé, on notedω1

f = ω2rot f .

Exemple 61 Soit

ω = f1dx2 ∧ dx3 + f2dx3 ∧ dx1 + f3dx1 ∧ dx2,


une 2-forme diérentielle dans U ⊂ R3 de classe C1. On a

dω = df1 ∧ dx2 ∧ dx3 + df2 ∧ dx3 ∧ dx1 + df3 ∧ dx1 ∧ dx2,

=

(3∑i=1

∂f1

∂xidxi

)∧ dx2 ∧ dx3 +

(3∑i=1

∂f2

∂xidxi

)∧ dx3 ∧ dx1

+

(3∑i=1

∂f3

∂xidxi

)∧ dx1 ∧ dx2,

=∂f1

∂x1dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 +

∂f2

∂x2dx2 ∧ dx3 ∧ dx1 +

∂f3

∂x3dx3 ∧ dx1 ∧ dx2,

=(∂f1

∂x1+∂f2

∂x2+∂f3

∂x3

)dx1 ∧ dx2 ∧ dx3.

Dès lors, dω est une 3-forme diérentielle dans U et il lui correspond la fonctionscalaire

div f =∂f1

∂x1+∂f2

∂x2+∂f3

∂x3,

appelée divergence de f = (f1, f2, f3). En abrégé, on note

dω2f = ω3

div f.

Exemple 62 Soit f une application dans U ⊂ R3 de classe C2. L'expression

∆g = div grad f =∂2f

∂x21

+∂2f

∂x22

+∂2f

∂x23

,

s'appelle Laplacien de f .

3.4 Formes fermées et formes exactes

Dénition 63 Une k-forme diérentielle ω dans U de classe C1 est dite fermée sidω = 0.

Proposition 64 La 1-forme diérentielle dans U de classe C1,

ω =n∑i=1

fidxi,

est fermée si et seulement si

∂fi∂xj

=∂fj∂xi

, ∀1 ≤ i, j ≤ n.

Exemple 65 Soit f : U ⊂ R3 −→ R3, une application de classe C1. La 1-formediérentielle

ω = f1dx1 + f2dx2 + f3dx3,

est fermée si et seulement si rot f = rot (f1, f2, f3) = 0 car dω1f = ω2

rot f .


Exemple 66 Soit f : U ⊂ R3 −→ R3, une application de classe C1. La 2-formediérentielle


est fermée si et seulement si div f = div (f1, f2, f3) = 0 car dω2f = ω3

div f.

Dénition 67 Une k-forme diérentielle ω dans U est dite exacte s'il existe une(k − 1)-forme diérentielle λ dans U de classe C1 telle que : ω = dλ.

Proposition 68 La 1-forme diérentielle dans U de classe C1,

ω =n∑i=1

fidxi,

est exacte s'il existe une application h : U −→ R (de classe C1) telle que :

fi =∂h

∂xi.

Exemple 69 Soit f : U ⊂ R3 −→ R3, une application continue. La 1-forme dié-rentielle

ω = f1dx1 + f2dx2 + f3dx3,

est exacte si et seulement s'il existe une application h : U −→ R (de classe C1) telleque : ω1

f = dh = ω1grad h

, c-à-d., telle que f = grad h car les écritures sont cano-niques. On dit alors que le champ de vecteurs f = (f1, f2, f3) dérive d'un potentielscalaire h.

Exemple 70 Soit f : U ⊂ R3 −→ R3, une application continue. La 2-forme dié-rentielle


est exacte si et seulement s'il existe une 1-forme diérentielle

ω = g1dx1 + g2dx2 + g3dx3,

de classe C1 telle que : dλ = ω (que l'on peut noter sous la forme ω2f = dω1

rot g).Cela revient à dire qu'il existe un champ de vecteurs g = (g1, g2, g3) tel que : f =(f1, f2, f3) = rot g. On dit alors que f dérive d'un potentiel vecteur g.

Proposition 71 Toute forme diérentielle exacte de classe C1 est fermée.

Remarque 72 La réciproque de cette proposition est fausse en général et dépendde l'ouvert U sur lequel la forme diérentielle est de classe C1. Par exemple, siU = R2\0 alors la forme diérentielle

ω =x2

x21 + x2

2

dx1 −x1

x21 + x2

2

dx2,

est fermée mais n'est pas exacte.


Dénition 73 Soit a ∈ U ⊂ Rn. On dit que U est étoilé par rapport à a si pourtout x ∈ U , a+ t(x− a), 0 ≤ t ≤ 1 ⊂ U . Autrement dit, si le segment joignant x àa est contenu dans U .

Exemple 74 Rn est étoilé par rapport à chacun de ses points.

Exemple 75 La boule Bj = x ∈ Rn : ‖x − a‖j ≤ r, j = 1, 2 ou ∞, de centrea ∈ Rn, de rayon r > 0, relative aux normes :

‖.‖1 : Rn −→ R+, x = (x1, ..., xn) 7−→n∑i=1

|xi|,

‖.‖2 : Rn −→ R+, x = (x1, ..., xn) 7−→

√√√√ n∑i=1

x2i ,

‖.‖∞ : Rn −→ R+, x = (x1, ..., xn) 7−→ max|xi| : 1 ≤ i ≤ n,

est étoilé par rapport à a.

Proposition 76 (lemme ou théorème de Poincaré). La réciproque de la proposition5.1.20, est vraie si l'ouvert U est étoilé. Autrement dit, toute forme diérentiellefermée est exacte dans le voisinage d'une variété (ou encore, dans Rn toute formediérentielle fermée est exacte).

Application à la résolution de certaines équations diérentielles : soit l'équation

P (t, y) +Q(t, y)y′ = 0,

ouP (t, y)dt+Q(t, y)dy = 0,

avec P et Q sonr dénies et de classe C1 sur un ouvert D. Rappelons que la formediérentielle de degré 1, Pdt+Qdy, est fermée si et seulement si ∂P∂y = ∂Q

∂t . Elle estdite exacte si et seulement si il existe une fonction f telle que : P = ∂f

∂t et Q = ∂f∂y ou

ce qui revient au même df = Pdt+Qdy. Dès lors, en écrivant l'équation en questionsous la forme df = 0, alors sa solution générale sera donnée par f(t, y) = constante.Rappelons aussi que toute forme diérentielle exacte est fermée. La réciproque estvraie si l'ouvert D esr étoilé (ou simplement connexe). Dans certains cas, même si∂P∂y 6=

∂Q∂t , on peut rendre exacte une équation qui ne l'est pas, en la multipliant par

un facteur intégrant c-à-d. une fonction h(t, y) 6= 0 telle que : ∂P∂t = h.P , ∂Q∂y = h.Q,ou ce qui revient au même que hPdt+hQdy soit exacte. Pour déterminer un facteurintégrant h, on procède comme suit :

(i) Si∂P∂y− ∂Q

∂t

Q = α(t), alors h = e∫α(t)dt, est un facteur intégrant.

(ii) Si∂Q∂t− ∂P

∂y

P = β(y), alors h = e∫β(y)dy, est un facteur intégrant.

(iii) On peut trouver un facteur intégrant dépendant des deux variables t et y.


Exemple 77 L'équation suivante :

2t+ 3t2y + (t3 − 3y2)y′ = 0.

s'écrit sous la formeP (t, y)dt+Q(t, y)dy = 0,

oùP (t, y) = 2t+ 3t2y, Q(t, y) = t3 − 3y2,

d'où∂P

∂y=∂Q

∂t= 3t2.

Déterminons f tel que :df = Pdt+Qdy.

Ordf =

∂f

∂tdt+

∂f

∂ydy,

doncP =

∂f

∂t, Q =

∂f

∂y,

c-à-d.,2t+ 3t2y =

∂f

∂t, t3 − 3y2 =

∂f

∂y.

Dès lors,f(t, y) = t2 + t3y + C(y),

t3 − 3y2 =∂f

∂y= t3 + C ′(y),

C ′(y) = −3y2,

C(y) = −y3 +K, K = constante.

Doncf(t, y) = t2 + t3y − y3 +K,

et par conséquent,df = 0 =⇒ t2 + t3y − y3 = constante.

Exemple 78 L'équation suivante :

2y + t(2 + y)y′ = 0.

s'écrit sous la formeP (t, y)dt+Q(t, y)dy = 0,

oùP (t, y) = 2y, Q(t, y) = t(2 + y),


d'où∂P

∂y= 2 6= 2 + y =

∂Q

∂t.

L'équation en question n'est pas exacte. Pour la rendre exacte, on cherche un facteurintégrant h : comme

∂Q∂t −

∂P∂y

P=

12

= β(y),

alorsh = e

∫β(y)dy = e

y2 ,

est un facteur intégrant et l'équation

hPdt+ hQdy = Rdt+ Sdy = 0,

est exacte où R = 2yey2 , S = t(2 + y)e

y2 et

∂R

∂y=∂S

∂t= (2 + y)e

y2 .

Déterminons f tel que :

df = Rdt+ Sdy =∂f

∂tdt+

∂f

∂ydy.

On aR =

∂f

∂t, S =

∂f

∂y,

c-à-d.,2ye

y2 =

∂f

∂t, t(2 + y)e

y2 =

∂f

∂y.

Dès lors,f(t, y) = 2ye

y2 + C(y),

t(2 + y)ey2 =

∂f

∂y= 2te

y2 + 2tye

y2 + C ′(y),

C ′(y) = 0,

C(y) = K, K = constante.

Finalement,f(t, y) = 2tye

y2 +K,

etdf = 0 =⇒ 2tye

y2 = constante.


3.5 Transformée ou transposée des formes dié-

rentielles

Soient V ⊂ Rn, U ⊂ Rm des ouverts, g : V −→ U une application diérentiableet

ω =∑

1≤i1<...<ik≤nfi1,...,ikdxi1 ∧ ... ∧ dxik ,

une k-forme diérentielle dans U .

Dénition 79 On dénit une k-forme diérentielle dans V (appelée le pull-back parg ou image inverse ou encore transposée de ω par g) en posant

g∗ω =∑

1≤i1,...,ik≤n(fi1,...,ik g) dgi1 ∧ ... ∧ dgik ,

où

dgil =m∑j=1

∂gil∂yj

dyj ,

sont des 1-formes dans V .

Exemple 80 Soit g(y1, y2) = (ey1 , y1y2, y1) et

ω = lnx1dx2 ∧ dx3 + x3dx3 ∧ dx1.

On montre aisément que :g∗ω = −y2

1dy1 ∧ dy2.

Proposition 81 Soient ω est une k-forme diérentielle dans U et λ une l-formediérentielle dans U .

a) Si k = l, alorsg∗(ω + λ) = g∗ω + g∗λ.

b) On ag∗(ω ∧ λ) = g∗ω ∧ g∗λ.

c) Si h : U −→ R est une application continue, alors

g∗(hω) = (h g)g∗ω.

d) Si ω est de classe C1 dans U et g est de classe C2 dans V , alors

g∗(dω) = d(g∗ω).

e) Si S est une variété diérentiable de dimension p, W ⊂ S un ouvert et sih : W −→ V une application de classe C1, alors

(g h)∗ω = h∗(g∗ω).


3.6 Formules de Green-Riemann, Stokes-Ampère

et Gauss-Ostrogradski

Un chemin γ dans Rn est une application, γ : R ⊃ [a, b] −→ Rn, continue. Nousappelons chemin, l'application γ et non son image γ([a, b]) ⊂ Rn. Le chemin γ estdit

- simple si γ est injective.- fermé si γ(a) = γ(b).- de classe C1 si γ est de classe C1.- régulier si γ est de classe C1 et que γ′(t) 6= 0, ∀t ∈ [a, b].Soient γ : [a, b] −→ Rn, un chemin de classe C1 et soit ω une forme diérentielle

continue sur une partie D ⊂ Rn contenant l'image de γ. On dénit l'intégrale de ωsur γ, comme le nombre ∫

γω =

∫[a,b]

ω(γ(t))γ′(t)dt.

Les résultats de ce paragraphe sont encore vrais pour des chemins de classe C1 parmorceaux. Rappelons qu'un chemin de classe C1 par morceaux, est une applicationγ([a, b]) ⊂ Rn telle qu'il existe une subdivision

a = α1 < α2 < ... < αn = b,

de [a, b] pour laquelle la restriction de γ à chaque intervalle ]αk−1, αk[, 1 ≤ k ≤ n,soit de classe C1. L'intégrale est alors dénie par∫

γω =

n∑k=1

∫γ(]αk−1,αk[)

.

(Voir quelques propriétés dans le chapitre suivant).Formule de Green-Riemann : soit

ω = P (x, y)dx+Q(x, y)dy,

une 1-forme diérentielle dans D ⊂ R2. On suppose que P,Q ∈ C1. La formule deGreen-Riemann s'écrit∫

γPdx+Qdy =

∫ ∫D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy,

où γ est un chemin fermé simple de classe C1 (parcouru suivant l'orientation, senspositif c-à-d., sens trigonométrique).

Formule de Stokes-Ampère (ou de la circulation) : soit

ω = f1(x1, x2, x3)dx1 + f2(x1, x2, x3)dx2 + f3(x1, x2, x3)dx3,

une 1-forme diérentielle dans D ⊂ R3. On suppose que f1, f2, f3 ∈ C1. La formulede Stokes-Ampère s'écrit ∫

γf1dx1 + f2dx2 + f3dx3


=∫ ∫D

(∂f3

∂x2− ∂f2

∂x3

)dx2∧dx3 +

(∂f1

∂x3− ∂f3

∂x1

)dx3∧dx1 +

(∂f2

∂x1− ∂f1

∂x2

)dx1∧dx2,

c-à-d., le ux du rotationnel de f à travers une surface D est égal à la circulation def le long de γ (courbe).

Formule de Gauss-Ostrogradski (ou de la divergence) : soit

ω = f1(x1, x2, x3)dx2 ∧ dx3 + f2(x1, x2, x3)dx3 ∧ dx1 + f3(x1, x2, x3)dx1 ∧ dx2,

une 2-forme diérentielle dans D ⊂ R3. On suppose que f1, f2, f3 ∈ C1. La formulede Gauss-Ostrogradski s'écrit∫

γf1dx2 ∧ dx3 + f2dx3 ∧ dx1 + f3dx1 ∧ dx2

=∫ ∫ ∫D

(∂f1

∂x1+∂f2

∂x2+∂f3

∂x3

)dx1 ∧ dx2 ∧ dx3,

c-à-d., l'intégrale de la divergence d'un champ de vecteurs dans un volume est égaleau ux du champ à travers la surface fermée délimitant ce volume

3.7 Exercices

Exercice 3.7.1 Soit f : U ⊂ R3 −→ R, une fonction de classe C2. Montrer que :

rot grad f = 0.

Exercice 3.7.2 Soit f : U ⊂ R3 −→ R3, une fonction de classe C2. Montrer que :

div rot f = 0.

Exercice 3.7.3 Considérons l'espace vectoriel R3 dans lequel on aura xé des coor-données x1, x2, x3 : R3 −→ R. Soient f et g des fonctions de R3 dans R, u et v desfonctions de R3dans R3, de classe C1 sur un ouvert U de R3. Démontrer les formulessuivantes :

grad (fg) = f grad g+ g grad f,rot (fu) = grad f ∧ u + f rot u,div (fu) = 〈grad f, u〉+f div u,

div (u ∧ v) = 〈rot u, v〉 − 〈u,rot v〉 .

Exercice 3.7.4 Soit D un ouvert étoilé de R2 càd. un ouvert tel que : (x1, x2) ∈ Det 0 ≤ t ≤ 1 entraînent (tx2, tx3) ∈ D, et I un intervalle ouvert de R. Soit ω une2−forme diérentielle dénie et continûment dérivable sur I ×D, telle que :

dx1 ∧ ω = 0, dω = 0.


a) Montrer que

ω = dx1 ∧3∑i=2

fidxi,

où les fi sont des fonctions complexes, dénies et continûment dérivables sur I ×D.Quelles conditions les fi doivent-ils satisfaire ?

b) Si x = (x1, x2, x3) ∈ I ×D, on pose

h (x) =3∑i=2

∫ 1

0xifi (x1, tx2, tx3) dt.

Montrer que h est continûment dérivable et que

ω = dx1 ∧ dh.

En déduire une forme diérentielle λ de degré 1, dénie et continûment dérivable surI ×D, telle que ω = dλ.

Exercice 3.7.5 Soit la forme diérentielle

ω = dx1 ∧ dx2 + dx3 ∧ dx4 + · · ·+ dx2n−1 ∧ dx2n.

Calculer ωn.

Réponse : ωn = n!dx1 ∧ dx2 ∧ ... ∧ dx2n−1 ∧ dx2n.

Exercice 3.7.6 Examiner si les formes diérentielles suivantes dans R2 sont exacteset, le cas échéant, en trouver les primitives (c-à-d., une fonction f telle que : ω = df).

a) ω = (xy cosxy + sinxy) dx+(x2 cosxy + y2

)dy.

b) ω =(5x2y − 4xy

)dx+

(3x2 − 2y

)dy.

Exercice 3.7.7 Même question pour les formes diérentielles suivantes dans R3 :a) ω =

(3x2 + 2y2 + 3z

)dx+ (4xy + 2y − z) dy + (3x− y − 2) dz.

b) ω = x2dy + 3xzdz.

Exercice 3.7.8 a) Examiner si la forme diérentielle suivante dans l'ouvert Ω =R2\(x, y) : x+ y 6= 0 :

ω =x+ 2y

(x+ y)2dx+

y

(x+ y)2dy,

est exacte et, le cas échéant, en trouver les primitives.b) Même question pour les formes diérentielles suivantes dans R3 :

ω = (y + z)dx+ (x+ z)dy + (x+ y)dz,ω = yzdx+ xzdy + xydz.


Exercice 3.7.9 Soit la forme diérentielle dénie dans R2 par

ω =(1− x2)dy + 2xydx

(1− x2)2 + y2.

Montrer que ω est exacte et déterminer la fonction f telle que : ω = df .

Exercice 3.7.10 Résoudre l'équation diérentielle dans R2 :

(2xy3 + 1) + (3x2y2 − 2y)y′ = 0, y′ =dy

dx.

Exercice 3.7.11 Soit la 1-forme diérentielle dans l'ouvert Ω = R2 \ (0, 0) :

ω =xdy − ydx

x2 + y2.

Montrer que la forme ω st fermée mais n'est pas exacte sur Ω. Trouver, si possible,un ouvert dont la diérence avec Ω soit de mesure nulle et sur lequel ω soit exacte.

Exercice 3.7.12 Soit la 1-forme diérentielle dans l'ouvert Ω = R2 \ (0, 0) :

ω =x+ 2yx2 + y2

dx+y − 2xx2 + y2

dy.

Même question que l'exercice précédent.

Exercice 3.7.13 Soit la sphère S2 = x21 + x2

2 + x23 ⊂ R3. Montrer que la 2-forme

diérentielle sur S2,

ω =dx2 ∧ dx3

x1=dx3 ∧ dx1

x2=dx1 ∧ dx2

x3,

est fermée mais pas exacte.

Exercice 3.7.14 Soient ω une forme diérentielle et g∗ω sa transformée par g oùg est de classe C2. Montrer que si ω est fermée, alors g∗ω est fermée. Inversement,supposons que g∗ω est fermée, g est bijective, de classe C2, g−1 de classe C2, montrerque ω est fermée.

Exercice 3.7.15 Utiliser la formule de Green-Riemann pour le calcul de l'intégralecurviligne ∫

Cx3dy − y3dx,

où C est le cecle (de centre 0 et de rayon R), orienté dans le sens direct.

Exercice 3.7.16 Calculer l'intégrale curviligne∫C2(x2 + y2)dx+ (x+ y)2dy,

où C est le bord d'un triangle D de sommets (1, 1), (2, 2) et (1, 3).

Chapitre 4

Calcul d'intégrales par la méthode

des résidus

4.1 Généralités

Soient Ω un ouvert de C ' R2 et

f : Ω −→ C, z 7−→ f (z) = w,

une fonction complexe d'une variable complexe z = x+ iy, (x, y ∈ R).

Dénition 82 On dit que la fonction f est uniforme si à chaque valeur de z necorrespond qu'une seule valeur de w. Sinon, elle est dite multiforme.

Exemples de fonctions uniformes :

a) La fonction linéaire :

w = az + b, (a, b ∈ C).

b) La fonction exponentielle :w = ez.

Par dénition, on aez = ex (cos y + i sin y) .

Lorsque z est réel c'est-à-dire z = x, nous retrouvons la fonction exponentielle ez =ex. La fonction ez est périodique, de période 2πi. En outre, on a

ez1ez2 = ez1+z2 .

En écrivantz = r(cos θ + i sin θ) = reiθ,

45


où r = |z| et θ = arg z, on obtient la formule de Moivre

zn = rneinθ,

et les formules d'Euler

cos y =eiy + e−iy

2,

sin y =eiy − e−iy

2i.

c) Les fonctions circulaires. Par extension des dénitions dans le cas réel, on pose

cos z =eiz + e−iz

2,

sin z =eiz − e−iz

2i,

et de là

tan z =sin zcos z

,

cot z =cos zsin z

.

Les relations entre les fonctions trigonométriques réelles s'étendent au cas complexe.Les fonctions cos z et sin z sont périodiques, de période 2π. Elles ont les mêmes zérosque les fonctions réelles correspondantes. Signalons que les fonctions cos z et sin z nesont pas bornées.

d) Les fonctions hyperboliques. Nous les dénirons par extension du cas réel, enposant

cosh z =ez + e−z

2,

sinh z =ez − e−z

2,

et de là

tanh z =sinh zcosh z

coth z =cosh zsinh z

.

Les fonctions cosh z et sinh z sont périodiques, de période 2πi et sont, respectivement,paires et impaires. Les relations entre les fonctions hyperboliques réelles s'étendentau cas complexe.


Remarque 83 On peut dénir les fonctions ez, cos z, sin z, cosh z, sinh z, par leursdéveloppements en série entière qui convergent dans tout le plan complexe :

ez = 1 + z +z2

2!+z3

3!+ · · ·

cos z = 1− z2

2!+z4

4!− · · ·

sin z = z − z3

3!+z5

5!− · · ·

cosh z = 1 +z2

2!+z4

4!+ · · ·

sinh z = z +z3

3!+z5

5!+ · · ·

Exemples de "fonctions" multiformes :

a) La fonction racine carrée :

w =√z.

Considéronsf : C −→ C, z 7−→ w : w2 = z.

Il est clair que f n'est pas une fonction : à chaque valeur de z 6= 0, correspond deuxvaleurs de w. Lorsque l'on tourne autour du point z = 0, par exemple le long d'uncercle centré en 0, alors w change de signe. En eet, soit

z = reiθ, w =√rei

θ2 ,

où r = |z| et θ = arg z. On veut tourner autour de z = 0, donc r sera petit et θvariera entre 0 et 2π. Si θ = 0, alors

w =√re0 =

√r.

Si θ = 2π, alorsw =

√reπi = −

√r.

On peut utiliser le fait que l'argument θ d'un nombre complexe z est déni à 2kπprès. On pose θ = θ0 + 2kπ et dès lors la fonction w =

√z prend deux valeurs

distinctes w1 et w2 pour chaque valeur de z 6= 0 :

w1 =√rei

θ02 ,

w2 =√rei(

θ02

+π) = −w1.

On dit que la fonction w =√z a deux branches ou déterminations. Donc si z décrit

un cercle entourant 0, la fonction√z est multiforme et passe de manière continue

d'une branche à l'autre ; de w =√r à w = −

√r. Si on refait de nouveau un tour

complet c'est-à-dire de θ = 2π à θ = 4π, alors on obtient√r c'est-à-dire la valeur de


départ. On dit que le point z = 0 est un point de branchement ou de ramication dela fonction w =

√z. A distance nie, le point z = 0 est le seul point de branchement

de√z, car la considération de tout cercle autour d'un point z 6= 0 ne conduit à aucun

changement de branches de√z. On peut rendre la fonction

√z uniforme en faisant

une coupure le long de la demi droite issue de z = 0.b) Logarithme complexe. Soit z ∈ C. Sous forme trigonométrique z s'écrit sous

la formez = reiθ = r(cos θ + i sin θ), r > 0

Posons Z = X + iY . L'équation eZ = z, s'écrit eXeiY = reiθ ou sous la forme

eX(cosY + i sinY ) = r(cos θ + i sin θ).

D'où, eX = r et Y = θ + 2kπ, k ∈ Z. Dès lors,

Z = log z = ln r + iθ + 2kπi, k ∈ Z

La fonction log z est dénie comme étant la fonction réciproque de la fonction expo-nentielle. On montre que la fonction log z est multiforme, à une innité de détermi-nations.

La détermination principale de log z est dénie pour tout z ∈ C∗ par

log z = ln r + iθ, −π ≤ θ < π.

La détermination principale du logarithme est une bijection de C∗ sur la bandehorizontale 4 du plan complexe, dénie par Z = X + iY ∈ 4 ⇐⇒ −π ≤ Y < π.


Au lieu de choisir θ ∈ [−π, π[, on peut prendre θ dans un intervalle quelconque semi-ouvert à droite ou à gauche et d'amplitude 2π, c-à-d., [a, a+ 2π[ ou ]a, a+ 2π]. SoitZ = X + iY ∈ 4. On a eZ = eX(cosY + i sinY ), le module de eZ est donc r = eX

et θ = Y est l'argument satisfaisant à −π ≤ θ ≤ π. Dès lors,

log eZ = ln r + iθ = ln eX + iY = X + iY = Z,

où eX désigne l'exponentielle réelle. Ainsi une détermination quelconque du loga-rithme, notée

loga : C∗ −→ z : Im z ∈ [a, a+ 2π[,

est l'inverse de la fonction exponentielle

exp : z : Im z ∈ [a, a+ 2π[ −→ C∗, ∀a ∈ R.

Une telle détermination prolonge la fonction logarithme réelle (dénie sur R∗+) avec

la condition 0 ∈ [a, a + 2π[ car si z ∈ R∗+, z = |z|(cos θ + i sin θ) avec θ = 0 comme

seule valeur. Notons que l'expression log z1z2 = log z1 + log z2 ne sera pas toujoursvraie si z1, z2 ∈ C, alors que ez1+z2 = ez1ez2 est toujours vraie. En fait, on a

log z1z2 = log z1 + log z2 (mod 2πi),

il sut d'appliquer la formule : log z = ln r + iθ, −π ≤ θ < π car si on n'a pas−π ≤ θ1 + θ2 < π la formule en question n'est vraie qu'à 2πi près. La formule ci-dessus fournit également les logarithmes des nombres strictement négatifs. Soit, parexemple, z = −e. On a r = e, θ = −π et donc ln(−e) = 1− πi.

c) La fonction puissance zα (α ∈ C). Elle est dénie par

zα = eα ln z.

La fonction zα est :- uniforme si α est entier.- multiforme, à q déterminations, si α = ±p

q , où p et q sont des entiers positifspremiers entre eux.- multiforme, à une innité de déterminations, si α = a+ ib (a et b non nuls).

Soitf : Ω −→ C, z 7−→ f(z),

une fonction uniforme et z0 ∈ Ω.

Dénition 84 On dit que f(z) tend vers une limite l lorsque z tend vers z0 et onécrit

limz→z0

f(z) = l,

si et seulement si

∀ε > 0, ∃δ > 0 : |z − z0| < δ =⇒ |f(z)− l| < ε.


Quand la limite d'une fonction existe, elle est unique. Les propriétés classiquesconcernant la limite d'une somme, d'un produit ou d'un rapport de deux fonctions,s'étendent du cas réel au cas complexe.

Remarque 85 La fonction f(z) tend vers sa limite indépendamment de la manièredont le point z tend vers z0. En d'autres termes, si la limite existe, alors lorsque ztend vers z0 suivant une loi quelconque (par exemple suivant une courbe), f(z) tendvers cette limite.

Le point à l'inni ∞ est déni par l'image de l'origine par la transformationt = 1

z . Par dénition :

limz→∞

f(z) = l si ∀ε > 0,∃δ > 0 : |z| > δ =⇒ |f(z)− l| < ε.

limz→z0

f(z) = ∞ si ∀ε > 0,∃δ0 : |z − z0| < δ =⇒ |f(z)| > ε.

Notons que si limz→z0

f(z) = l, alors limz→z0

f(z) = l. Il en résulte que

limz→z0

Ref (z) = Re (l) , limz→z0

Imf (z) = Im (l) .

La réciproque est également vraie.

Dénition 86 Soit z0 un point où la fonction f prend la valeur f (z0). On dit quef(z) est continue en z0 si et seulement si

limz→z0

f (z) = f (z0) .

La fonction f (z) est continue dans Ω si et seulement si elle est continue en toutpoint de Ω.

Les propriétés classiques concernant la somme, le produit et le rapport de fonctionscontinues s'étendent du cas réel au cas complexe.

4.2 Fonctions holomorphes, fonctions analytiques

Dénition 87 On dit que f (z) est dérivable au point z ∈ Ω si et seulement si

limh→0

f (z + h)− f (z)h

= f ′ (z) ,

existe, indépendamment de la façon dont h tend vers 0 dans C. Cette limite, notéef ′ (z), est appelée dérivée de f en z.

Dénition 88 La fonction f est diérentiable en z si et seulement si il existe unnombre complexe f ′ (z) tel que

∀h ∈ C, f (z + h) = f (z) + f ′ (z) · h+ o (|h|) .


Les règles de dérivation (somme, produit, quotient) sont les mêmes que cellesutilisées en analyse réelle.

Proposition 89 La fonction f : Ω −→ C est dérivable en z si et seulement sielle est diérentiable en z et f ′(z) a la même signication dans les deux dénitionsprécédentes.

Dénition 90 La fonction f est dite holomorphe dans Ω si elle est dérivable en toutpoint de Ω.

Posons z = x+ iy et soit

f(z) = u(x, y) + iv(x, y),

où u(x, y) = Ref(z) et v(x, y) = Imf(z), sont des fonctions réelles de deux variablesréelles x et y.

Théorème 91 La fonction f(z) = u(x, y) + iv(x, y) est holomorphe dans Ω si etseulement si u et v sont diérentiables dans Ω et satisfont aux conditions (ou équa-tions) de Cauchy-Riemann :

∂u

∂x=∂v

∂y,

∂u

∂y= −∂v

∂x.

En outre, on a

f ′(z) =∂u

∂x+ i

∂v

∂x,

=∂u

∂x− i

∂u

∂y,

=∂v

∂y− i

∂u

∂y,

=∂v

∂y+ i

∂v

∂x.

Remarque 92 Si u et v ne sont pas diérentiables, alors les conditions de Cauchy-Riemann sont nécessaires mais pas susantes.

Proposition 93 Considérons les deux opérateurs

∂

∂z=

12

(∂

∂x− i

∂

∂y

),

∂

∂z=

12

(∂

∂x+ i

∂

∂y

).

Les équations de Cauchy-Riemann sont équivalentes à l'équation∂f

∂z= 0.

En outre, on af ′(z) =

∂f

∂z(z).


Remarque 94 On désigne par H(Ω), l'ensemble des fonctions holomorphes sur unouvert Ω ⊂ C. On montre que : H(Ω) est un espace vectoriel, un anneau (car stablepour la somme et le produit), une sous-algèbre de C1(Ω) et un sous-module ferméde C1(Ω). La composée de deux fonctions holomorphes est holomorphe, l'applicationréciproque d'un diéomorphisme holomorphe est holomorphe et si une fonction holo-morphe possède un logarithme alors celui-ci est holomorphe.

4.3 Intégration des fonctions holomorphes, théo-

rèmes de Cauchy

Dénition 95 On appelle chemin C1 par morceaux une application continue

γ : [a, b] −→ C,

dénie sur un intervalle femé [a, b] de R et telle qu'il existe une subdivision :

a = α1 < α2 < . . . < αn = b,

de [a, b] pour laquelle la restriction de γ à chaque intervalle [αk−1, αk] (1 ≤ k ≤ n)soit de classe C1. On dit que le chemin γ est fermé (ou un circuit, ou encore un lacet)si γ(a) = γ(b).

Dénition 96 Soient f : Ω −→ C une fonction continue et γ : [a, b] −→ C unchemin C1 par morceaux. On appelle intégrale de f le long de γ l'expression∫

γf (z) dz =

∫ b

af (γ (t)) γ′ (t) dt =

n∑k=1

∫ αk

αk−1

f (γ (t)) γ′ (t) dt.

Remarque 97 Une autre façon de dénir l'intégrale ci-dessus, est la suivante :partageons γ en n morceaux, au moyen des points z0, z1, ..., zn. De plus, choisissonsun point ξk sur chaque arc joignant zk−1 à zk (1 ≤ k ≤ n).

On dénit la somme

Sn =n∑k=1

f (ξk) (zk − zk−1) .


La limite obtenue en faisant croître le nombre n de subdivisions, de façon que max1≤k≤n

|zk − zk−1|

tende vers zéro, est appelée intégrale curviligne de f(z) le long de γ et est notée∫γ f(z)dz.

Proposition 98 Si f(z) = u(x, y) + iv(x, y) et γ(t) = x(t) + iy(t), alors∫γf(z)dz =

∫γ(u(x, y)dx− v(x, y)dy) + i

∫γ(u(x, y)dy + v(x, y)dx) .

La formule ci dessus, est une combinaison linéaire d'intégrales curvilignes réelles.Les propriétés habituelles de ces dernières sont donc conservées.

Si on change le sens du parcours du chemin γ : [a, b] −→ C, l'intégrale change designe ∫

γ−f (z) dz = −

∫γf(z)dz,

où γ(t) = γ (a+ b− t), t ∈ [a, b] ; le chemin γ− se déduit de γ par un changementd'orientation :

Si le chemin γ admet la représentation paramétrique

x = ϕ (t) , y = ψ(t),

avec a < t < b, alors on a∫γf (z) dz =

∫ b

af [u (ϕ (t) , ψ (t)) + iv (ϕ (t) , ψ (t))]

(ϕ′ (t) + iψ′ (t)

)dt.

Proposition 99 Si f est holomorphe, alors∫γf ′ (z) dz = f (γ (b))− f (γ (a)) ,

où γ : [a, b] −→ C est un chemin C1 par morceaux.

Proposition 100 (formules de majoration). Soit f : Ω −→ C une fonction continueet γ : [a, b] −→ C un chemin C1 par morceaux. Alors∣∣∣∣∫

γf(z)dz

∣∣∣∣ ≤ ∫γ|f(z)| |dz| =

∫ b

a|f (γ(t))|

∣∣γ′(t)∣∣ dt,et ∣∣∣∣∫

γf(z)dz

∣∣∣∣ ≤ML,

où M est une borne supérieure de |f(z)| sur γ et L =∫ ba |γ

′(t)| dt est la longueur duchemin γ.


Théorème 101 Soient γ : [a, b] −→ C un chemin fermé et ∆ le complémentaire del'image de γ, c'est-à-dire ∆ = Ic où I = z : ∃t ∈ [a, b], z = γ(t). Pour tout z ∈ ∆,on a

12πi

∫γ

dζ

ζ − z= indγ(z),

où indγ(z) est un entier dépendant du point z. Il est égal au nombre de tours quefait γ autour de z. La fonction z 7−→ indγ(z) est constante sur toute partie connexede ∆ et s'annule sur l'unique composante connexe non bornée de ∆.

Dénition 102 On dit que indγ(z) est l'indice de γ par rapport à z.

Pour γ ci-dessous, on a indγ(z) = 2 :

Exemple 103 Soit γ le cercle (orienté positivement) de centre a et de rayon r,déni par

γ(t) = a+ reit, t ∈ [0, 2π]

Le complémentaire du cercle |z − a| = r (support de γ) se divise en deux parties : ledisque |z − a < r et la couronne |z − a| > r. D'après le théorème précédent, l'indiceindγ(a) est constant dans le disque et il sut de le calculer au point a,

indγ(a) =1

2πi

∫γ

dz

z − a=

r

2π

∫ 2π

0

eit

reitdt = 1.

Par ailleurs, dans la couronne, l'indice est nul. Par conséquent, on a

indγ(a) =

1 si |z − a| < r0 si |z − a| > r

Dénition 104 Soient

γ1 : [a, b] −→ C, t 7−→ γ1 (t) ,

γ2 : [a, b] −→ C, t 7−→ γ2 (t) ,

deux chemins dénis sur le même intervalle [a, b], ayant mêmes extrémités γ1 (a) =γ2 (a) et γ1 (b) = γ2 (b). On dit que γ1 et γ2 sont homotopes dans Ω ⊂ C s'il existeune application continue

ϕ : [a, b]× [0, 1] −→ Ω, (t, s) 7−→ ϕ (t, s) ,


telle que :

ϕ (t, 0) = γ1 (t) , ∀t ∈ [a, b] ,ϕ (t, 1) = γ2 (t) , ∀t ∈ [a, b] ,ϕ (a, s) = γ1 (a) = γ2 (a) , ∀s ∈ [0, 1] ,ϕ (b, s) = γ1 (b) = γ2 (b) , ∀s ∈ [0, 1] .

L'application ϕ est dite une homotopie entre γ1 et γ2. Si γ1 et γ2 sont fermés, alorsles deux dernières conditions seront remplacées par celle-ci :

ϕ (a, s) = ϕ (b, s) , ∀s ∈ [0, 1] .

Intuitivement, γ1 et γ2 sont homotopes dans Ω si on peut déformer continûment, touten restant dans Ω, l'un des chemins en l'autre.

Dénition 105 Un domaine est un ensemble ouvert connexe.

Dénition 106 On dit qu'un domaine Ω est simplement connexe si tout cheminfermé γ inclus dans Ω est homotope à un point. Autrement dit, si tout chemin ferméγ inclus dans Ω peut être réduit à un point par déformation continue, sans quitter Ω.

Donc un ouvert Ω est simplement connexe s'il est connexe ainsi que son com-plémentaire. De façon imagée, un ouvert est simplement connexe s'il est connexe etsans trou.

Exemple 107 Un disque est simplement connexe. Par contre, le disque privé de soncentre n'est pas simplement connexe. Une couronne circulaire n'est pas simplementconnexe. Le plan C\R− est simplement connexe. Un ouvert étoilé1 est simplementconnexe.

Théorème 108 (Cauchy). a) Soit f(z) une fonction holomorphe dans un domainesimplement connexe Ω ⊂ C et soit γ un chemin fermé contenu dans Ω. Alors∫

γf(z)dz = 0.

b) Soit f(z) une fonction holomorphe dans un domaine simplement connexe Ω ⊂C, sauf en z1, z2, ..., zk et soit γ un chemin fermé contenu dans Ω entourant tous cespoints. Si γj (1 ≤ j ≤ k) est un chemin fermé contenu dans le domaine intérieur àγ entourant zj et n'entourant pas les autres zl (l 6= j), alors

∫γf(z)dz =

k∑j=1

∫γj

f(z)dz.

1Un ouvert Ω est dit étoilé par rapport à un point a si pour tout x ∈ Ω, le segment [a, x]est inclus dans Ω.


Remarques 109 a) Si le domaine Ω n'est pas simplement connexe et si γ est homo-tope à zéro, alors on peut trouver un domaine simplement connexe ∆ ⊂ Ω contenantγ et le résultat reste inchangé.

b) Si γ a des points doubles alors on décompose le chemin γ de telle façon qu'iln'y plus d'ambiguité et dès lors∫

γf (z) dz =

∫γ1

f (z) dz +∫γ2

f (z) dz.

c) Dans le langage des formes diérentielles, le théorème de Cauchy s'énoncecomme suit : si f(z) est holomorphe dans Ω, alors la forme diérentielle f(z)dz estfermée dans Ω.

Nous allons étudier quelques conséquences du théorème précédent.

Propriété 110 Soit γ un chemin d'extrémités a et b, et contenu dans Ω. Alors,l'intégrale

∫γ f(z)dz ne dépend que des extrémités a et b de γ.

On pose ∫γf(z)dz =

∫ b

af(z)dz.

Soit f(z) une fonction holomorphe dans Ω. D'après la propriété précédente, on peutdénir dans Ω une fonction uniforme (dénie à une constante près, dépendant duchoix du point z0),

F (z) =∫ z

z0

f(ζ)dζ, z0 ∈ Ω.

Proposition 111 F (z) est holomorphe dans Ω et on a F ′(z) = f(z), sur Ω.

Dénition 112 La fonction F (z) est dite primitive de f(z).


Remarques 113 a) Dans la proposition précédente, on suppose que f est holo-morphe mais dans la démonstration seule la propriété de continuité de f sera utilisée.

b) On montre de façon similaire que si Ω est un ouvert étoilé par rapport àun de ses points, alors toute fonction holomorphe dans Ω y admet une primitiveholomorphe. Ceci correspond au théorème de Poincaré : toute forme diérentiellefermée dans un ouvert étoilé y est exacte.

c) Notons que si F est une primitive de f , alors∫ ba f(z)dz = F (b)− F (a).

d) La formule d'intégration par partie ainsi que celle du changement de variablesrestent valables.

Théorème 114 Soit f(z) une fonction holomorphe dans un domaine Ω. Soit γ unchemin fermé contenu dans Ω et soit ∆ le domaine simplement connexe ayant γ pourfrontière. Alors

a) Pour tout z ∈ ∆, on a la formule intégrale de Cauchy :

f(z) =1

2πi

∫γ

f(ζ)ζ − z

dζ.

b) La fonction f est indéniment dérivable dans ∆ et on a, pour tout z ∈ ∆,

f (n)(z) =n!2πi

∫γ

f(ζ)(ζ − z)n+1dζ.

(γ étant parcouru dans le sens positif, c-à-d., anti-horlogique).

Le théorème suivant n'est rien d'autre que la réciproque du théorème de Cauchy(ou plus précisément une réciproque du théorème de Goursat qui dit que si f(z) estholomorphe dans Ω, alors f ′(z) est continue dans Ω).

Théorème 115 (Moréra). Si f(z) est continue dans un domaine simplement connexeΩ et si ∫

γf(z)dz = 0,

pour tout chemin fermé γ de Ω, alors f(z) est holomorphe dans Ω.

Dénition 116 Soit Ω un ouvert de C. On dit qu'une fonction f : Ω −→ C estanalytique au point z0 ∈ Ω si elle admet un développement en série entière dont lerayon de convergence r n'est pas nul. On dit que f est analytique sur Ω si elle l'esten tout point z0 ∈ Ω. On écrit

f(z) =∞∑k=0

ak (z − z0)k , z ∈ Ω,

où |z − z0| < r et (ak) est une suite de nombres complexes.

Théorème 117 Soit Ω un ouvert de C et f : Ω −→ C une fonction complexe d'unevariable complexe z. Alors la fonction f est analytique dans Ω si et seulement si elleest holomorphe dans Ω.


Remarque 118 La réciproque du théorème précédent est fausse en général pour lesfonctions réelles. En eet, une fonction f possédant des dérivées de tout ordre en z0,n'est pas nécessairement égale à la série entière

∞∑k=0

f (k) (z0)k!

(z − z0)k ,

correspondante. Il sut de considérer la fonction f : R −→ R dénie par

f(x) =

e−

1x2 si x 6= 00 si x = 0

On vérie aisément qu'elle est de classe C∞, mais qu'elle n'est pas égale à la sérieentière correspondante.

4.4 Séries de Laurent, points singuliers

Théorème 119 Soit f : ∆ −→ C une fonction holomorphe dans la couronne ouverte

∆ = z ∈ C : R1 <| z − z0 |< R2.

Alors, la fonction f peut être représentée dans ∆ de façon unique par une série dela forme

f(z) =∞∑

k=−∞ak(z − z0)k, (4.4.1)

avecak =

12πi

∫γ

f(ζ)(ζ − z0)k+1

dζ, ∀k ∈ Z (4.4.2)

où γ est un chemin fermé entourant z0 et contenu dans la couronne. En outre,cette série converge absolument vers f dans ∆ et uniformément dans toute couronnefermée contenue dans ∆.

Dénition 120 La série (4.4.1) avec les coecients donnés par (4.4.2) s'appellesérie de Laurent de f autour du point z0.

Ecrivons la série (4.4.1) sous la forme

f(z) =∞∑k=0

ak(z − z0)k︸︷︷︸(∗)

+∞∑k=1

a−k(z − z0)−k︸︷︷︸(∗∗)

.

Dénition 121 La série (∗) est appelée partie régulière (ou holomorphe) et la série(∗∗) est dite partie principale de la série de Laurent (4.4.1).


Classication des points :

Soit f (z) une fonction holomorphe sur un ouvert Ω de C, sauf peut-être en uncertain nombre de points.

a) Un point z0 ∈ Ω est un point régulier pour f (z) si a−k = 0, ∀k ∈ N∗. Dans cecas, la série de Laurent

f (z) =∞∑k=0

ak (z − z0)k ,

est une série de Taylor tout simplement.b) Tout point qui n'est pas régulier est dit singulier ; on dit que f (z) possède une

singularité en tel point. En ce point, la fonction f (z) n'est pas dérivable.c) Un point singulier est dit isolé s'il existe un voisinage de ce point ne contenant

pas d'autres points singuliers. Dans la cas contraire il est dit non-isolé. Ainsi, la fonc-tion coth 1

z , qui devient innie pour z = 1kπ (k = 1, 2, 3, ...) possède une singularité

non isolé en z = 0.d) On distingue deux types de singularités isolées :

- Le point z0 est un pôle d'ordre m > 0, lorsque

a−m 6= 0 et a−(m+l) = 0, ∀l ∈ N∗ : f (z) =∞∑

k=−mak (z − z0)

k .

Autrement dit, si f (z) s'écrit sous la forme

f (z) =g (z)

(z − z0)m ,

avec g (z) holomorphe au voisinage de z0 et telle que g (z0) 6= 0. Lorsque z0 est unpôle de f (z), on montre aisément que f (z) n'est pas bornée au voisinage de z0, mais

1f(z) est bornée en z0.- Le point z0 est un point singulier essentiel s'il existe une innité de coecientsa−k non nuls. Autrement dit si les fonctions f (z) et 1

f(z) ne seront pas bornées auvoisinage de z0.

Notes pratiques :

Nous avons vu précédemment que les coecients ak du développement de Laurent,sont donnés par les intégrales

ak =1

2πi

∫γ

f (ζ)

(ζ − z0)k+1

dζ, k ∈ Z,

où γ est un chemin entourant z0 et contenu dans la couronne

∆ = z ∈ C : R1 < |z − z0| < R2 .

En pratique, pour développer une fonction en série de Laurent, on évite en général lecalcul de ces intégrales. Le recours à des procédés indirects est justié par l'unicité


du développement de f en série de Laurent autour de z0. L'unicité garantit qu'undéveloppement de f en série de puissances (z − z0)

k, avec k ∈ Z, est forcément ledéveloppement de Laurent, quel que soit le procédé utilisé pour l'obtenir.

a) On utilisera au maximum les développements en série entière. On se souviendrades deux propriétés suivantes :(i) Le produit de deux séries entières A et B, de coecients ak et bk, est une sérieentière C. Les coecients ck de C s'obtiennent par la formule

ck =∑i+j=k

aibj .

(ii) Si A est une série entière dont le terme indépendant n'est pas nul, 1A est une série

entière B. Les coecients de B s'obtiennent le plus facilement par la méthode descoecients indéterminés. Considérons par exemple le cas où z0 est un pôle d'ordrem pour f. Soit g le prolongement holomorphe de (z − z0)

m f(z) déni sur le cerclede centre z0 et de rayon r. On a, sur ce même cercle privé de son centre,

f(z) =g(z)

(z − z0)m.

Pour obtenir le développement de Laurent de f , il sura donc de multiplier chaqueterme du développement de g(z) par 1/ (z − z0)

m. Habituellement la fonction holo-morphe g(z) se présente sous la forme du quotient de deux fonctions holomorphesP et Q qui ne s'annulent pas au point z0. Dans ce cas, on calculera d'abord la sériede Taylor représentant 1/Q (utiliser la propriété (ii)), puis on multipliera la sérieobtenue par le développement en série de P (utiliser la propriété (i)).

b) Il est souvent utile d'avoir recours à la série géométrique et ses puissances. Onse souviendra que

11− u

= 1 + u+ u2 + u3 + · · · , |u| < 1

et que les puissances de1

1− upeuvent s'obtenir par dérivation :

1

(1− u)k+1=

1k!

(1

1− u

)(k)

.

En particulier,

1

(1− u)2 =

(1

1− u

)′= 1 + 2u+ 3u2 + 4u3 + · · ·

1

(1− u)3 =

12

(1

1− u

)′′= 1 + 3u+ 6u2 + 10u3 + · · ·


4.5 Fonctions méromorphes, calcul des résidu et

théorème des résidus

Dénition 122 Une fonction f(z) est dite méromorphe si ses seules singularitéssont des pôles.

On en déduit que sur tout domaine borné, une fonction méromorphe ne peut avoirqu'un nombre ni de pôles. Une fonction rationnelle constitue un cas particulier defonction méromorphe. Par exemple la fonction

f(z) =z

(z + 1)(z + 2)2,

qui est holomorphe en tout point à distance nie sauf en z = −1 (pôle simple) etz = −2 (pôle double) est une fonction méromorphe.

Soit f(z) une fonction holomorphe dans un voisinage de z0 ∈ C, privé du pointz0.

Dénition 123 On appelle résidu de f au point z0, le nombre

Rés(f, z0) = a−1 =1

2πi

∫γf(z)dz,

c'est-à-dire le coecient de 1/(z− z0) dans le développement en série de Laurent def au voisinage de z0.

Le résidu de f(z) à l'inni est

Rés(f,∞) = Rés(− 1u2f

(1u

), 0),

où u = 1/z. En eet, lorsqu'on eectue le changement de variable z 7−→ u = 1/z,le point z = ∞ se transforme en u = 0, tandis que l'intégrale

∫f(z)dz devient∫

− 1u2 f( 1

u)du.

Calcul des résidus : a) Lorsque z0 est un pôle d'ordre m de f(z), alors

Rés(f, z0) =1

(m− 1)!limz→z0

dm−1

dzm−1[(z − z0)mf(z)] .

b) Lorsque z0 est un pôle simple de la fonction

f(z) =P (z)Q(z)

,

avec P (z0) 6= 0 et Q(z0) = 0, alors

Rés(f, z0) =P (z0)Q′(z0)

si Q′(z0) 6= 0.

c) Lorsque z0 est un point singulier essentiel de f(z), le résidu s'obtient en déve-loppant f(z) en série de Laurent autour de z0.


Théorème 124 (des résidus). Soit Ω ⊂ C un domaine, z1, z2,..., zk ∈ Ω et

f : Ω\ z1, z2,..., zk −→ C,

une fonction holomorphe. Alors∫γf(z)dz = 2πi

k∑j=1

Rés(f, zj),

où γ est un chemin fermé contenu dans Ω à l'intérieur duquel sont contenus tous leszj.

D'autres versions du théorème des résidus existent, notamment celle avec indices :∫γf(z)dz = 2πi

k∑j=1

indγ(zk)Rés(f, zj),

où indγ(zj) est l'indice de γ par rapport à zj .

4.6 Applications du théorème des résidus au cal-

cul d'intégrales

Le théorème des résidus est particulièrement utile dans le calcul de certainesintégrales réelles dénies. Le principe de la méthode est le suivant : soit à calculerl'intégrale réelle

I =∫ b

af(x)dx.

On associe à f(x) la fonction g(z) et un chemin fermé γ tels que l'on puisse appliquerle théorème des résidus à l'intégrale de g(z) sur γ et tels que sur une partie C de γon ait ∫

Cg(z)dz =

∫ b

af(x)dx.

Si le calcul de l'intégrale de g(z) sur la partie complémentaire de C est possible, lecalcul de I est ainsi ramené à celui d'une intégrale dans le plan complexe.

Pour le calcul des intégrales réelles, on fait souvent appel aux lemmes de Jordansuivants :

Lemme 125 Soit f une fonction continue sur le secteur déni par z = reiθ, r > 0,0 ≤ θ1 ≤ θ ≤ θ2 ≤ 2π. Si lim|z|→∞ zf(z) = 0, alors

limr→∞

∫γr

f(z)dz = 0,

où γr est l'arc de cercle de rayon compris entre les angles θ1 et θ2.


Lemme 126 Soit f une fonction continue sur le secteur déni par z = reiθ, r > 0,0 ≤ θ1 ≤ θ ≤ θ2 ≤ 2π. Si lim|z|→0 zf(z) = 0, alors

limr→0

∫γr

f(z)dz = 0,


Lemme 127 Soit f une fonction continue sur le secteur déni par z = reiθ, r > 0,0 ≤ θ1 ≤ θ ≤ θ2 ≤ π. Si lim|z|→∞ f(z) = 0, alors

limr→∞

∫γr

f(z)eimzdz = 0, m > 0


Le même resultat reste valable pour le cas m < 0 à condition de considérer l'arcde cercle dans le demi plan inférieur Im z < 0.

Soient θ1, θ2 ∈ [0, 2π] et

γε : [θ1, θ2] −→ C, θ 7−→ z0 + εeiθ,

un chemin dont l'image est un arc de cercle.

Lemme 128 (du petit cercle). Si f est holomorphe sur γε(z0) pour ε ≤ ε0 et possè-dant un pôle simple en z0, alors

limε→0

∫γε(z0)

f(z)dz = i(θ2 − θ1)Rés(f, z0),

où Rés(f, z0) = limz→z0

θ1≤arg z≤θ2

(z − z0)f(z) est le résidu de f en z0.

Lemme 129 (du grand cercle). Si f est holomorphe sur γr(z0) pour r assez grandet possèdant un pôle simple en z0, alors

limr→∞

∫γr(z0)

f(z)dz = i(θ2 − θ1)Rés(f, z0),

où Rés(f, z0) = lim|z|→+∞

θ1≤arg z≤θ2

(z − z0)f(z).


a) Intégrales ne faisant pas appel à des fonctions multiformes.

Type 1 :∫ 2π

0f(cos θ, sin θ)dθ

où f est une fonction rationnelle en cos θ et sin θ dont le dénominateur ne s'annule pasdans l'intervalle [0, 2π]. On eectue le changement de variable z = eiθ, qui transforme[0, 2π] en le bord γ du disque unité du plan complexe.

On utilise les formules

cos θ =eiθ + e−iθ

2=z + z−1

2,

sin θ =eiθ − e−iθ

2i=z − z−1

2i,

et dz = ieiθdθ = izdθ, ou plus généralement, les formules

cosnθ =einθ + e−inθ

2=zn + z−n

2,

sinnθ =einθ − e−inθ

2i=zn − z−n

2i,

etdz = ineinθdθ = inzdθ,

et l'intégrale en question devient∫γf

(z + z−1

2,z − z−1

2i

)dz

iz,

γ étant le cercle unité. En appliquant le théorème des résidus, on obtient∫ 2π

0f(cos θ, sin θ)dθ = 2πi

∑Rés

(f(z + z−1

2,z − z−1

2i)

1iz, zj ∈ int D

).

Comme D est le disque unité, alors zj ∈ int D ⇔ |zj | < 1, et∫ 2π

0f(cos θ, sin θ)dθ = 2πi

∑Rés

(f(z + z−1

2,z − z−1

2i)

1iz, |zj | < 1

).


Type 2 :∫ +∞

−∞

P (x)Q(x)

dx

où• P et Q sont des polynômes.• Q(x) 6= 0, ∀x ∈ R et degQ− degP ≥ 2.

Les conditions imposées sont nécessaires et susantes pour que l'intégrale converge.On considère l'intégrale

∫γP (z)Q(z)dz, où γ = C ∪ [−r,+r] est le chemin fermé suivant :

et on fait tendre r vers l'inni. Si P (x)Q(x) est paire, on peut utiliser cette méthode pour

calculer∫ +∞−∞

P (x)Q(x)dx. En appliquant le théorème des résidus et le lemme de Jordan,

on obtient ∫ +∞

−∞

P (x)Q(x)

dx = 2πi∑

Rés(P (z)Q(z)

, zj

),

où la somme est étendue aux pôles zj de P (z)Q(z) situés dans le demi-plan supérieur du

plan complexe.Il faut bien noter que limN→∞

∫ N−N

P (x)Q(x)dx, peut exister (valeur principale de Cau-

chy) sans que l'intégrale∫ +∞−∞

P (x)Q(x)dx converge comme le montre l'exemple suivant :

limN→∞∫ N−N sinxdx = 0, mais l'intégrale

∫ +∞−∞ sinxdx diverge. Dès lors pour que

l'on puisse avoir ∫ +∞

−∞

P (x)Q(x)

dx = limN→∞

∫ N

−N

P (x)Q(x)

dx,

il faut que l'intégrale en question converge.

Type 3 :∫ +∞

−∞f(x)eimxdx,

∫ +∞

−∞f(x) cosmxdx,

∫ +∞

−∞f(x) sinmxdx

où• ces intégrales convergent.• m > 0 (resp. m < 0).• f holmorphe dans le demi-plan fermé supérieur (resp. inférieur) sauf en un

nombre ni de pôles, les pôles réels étant simples.


• lim|z|→∞ f(z) = 0, Im z > 0 (resp. Im z < 0).Nous allons distinguer deux cas :1er cas : Les points singuliers de f ne sont pas sur l'axe réel. Notons que∫ +∞

−∞f(x)eimxdx =

∫ +∞

−∞f(x) cosmxdx+ i

∫ +∞

−∞f(x) sinmxdx.

Le calcul de la première intégrale donne donc les deux autres (puisque celles-ci sontdes nombres réels). On calcule

∫γ f(z)eimzdz, où γ = C ∪ [−r, r] :

et on fait tendre r vers l'inni. En appliquant le théorème des résidus et le lemme deJordan, on obtient∫ +∞

−∞f(x)eimxdx

=

2πi∑

résidus dans le demi-plan supérieur de f(z)eimz si m > 0−2πi

∑résidus dans le demi-plan inférieur de f(z)eimz si m < 0

D'où, ∫ +∞

−∞f(x) cosmxdx = Re

∫ +∞

−∞f(x)eimxdx,∫ +∞

−∞f(x) sinmxdx = Im

∫ +∞

−∞f(x)eimxdx.

2ème cas : La fonction f(z) peut posséder des points singuliers (pôles simples)sur l'axe réel. Dans ce cas, on raisonne de manière analogue au cas précédent enintégrant la fonction f(z)eimz sur des chemins fermés modiés de façon à ne pascontenir ces singularités.

b) Intégrales faisant appel à des fonctions multiformes.Le principe de la méthode est identique à celui du paragraphe a), à ceci près que

les intégrants multiformes doivent être uniformisés au moyen d'une coupure adéquate.Les contours d'intégration ne pouvant pas traverser ces coupures, l'intégrant seradéterminé univoquement par une de ses déterminations le long de ces contours.

Type I :∫ +∞

0xαf(x)dx, 0 < α < 1


où f est holomorphe sauf en un nombre ni de points qui ne sont pas sur le demi-axe réel x > 0. Supposons que f décroît plus vite à l'inni que 1

x2 , ce qui assure laconvergence de l'intégrale en question. On calcule

∫γ z

αf(z)dz, où

γ = γ1 ∪ [R, r] ∪ γ2 ∪ [r,R],

Le point z = 0 est un point de branchement de l'intégrant. La coupure rend celui-ciuniforme sur γ. On choisira la détermination de l'intégrant telle que :

zα =

xα sur le bord supérieur de la coupurexαe2πiα sur le bord inférieur de la coupure

On applique le théorème des résidus :∫γzαf(z)dz =

∫γ1

zαf(z)dz +∫ r

Re2πiαxαf(x)dx

+∫γ−2

zαf(z)dz +∫ R

rxαf(x)dx,

= 2πi∑

Résidus aux points singuliers de la détermination

choisie pour zαf(z).

Le reste consiste à calculer les limites des intégrales sur γ1 et γ2 quand R → ∞ etr → 0.

Type II :∫ +∞

0f(x) log xdx

où f est une fraction rationnelle n'ayant pas de pôles sur le demi-axe x ≥ 0. Onsuppose que f décroît plus vite à l'inni que 1

x ; c-à-d., limx→∞ xf(x) = 0. On a déjàvu que log z est multiforme à une innité de déterminations et que z = 0 en est unpoint de ramication. On utilise le même contour que dans le cas précédent et onapplique le théorème des résidus tout en tenant compte du fait que l'argument de z


vaut 0 sur le bord supérieur de la coupure et 2π sur le bord inférieur de celle-ci. Ona ∫

γf(z)(log z)2dz =

∫γ1

f(z)(log z)2dz +∫ r

Rf(x)(log x+ 2πi)2dx

+∫γ−2

f(z)(log z)2dz +∫ R

rf(x)(log x)2dx,

= 2πi∑

Résidus de la détermination choisie

de f(z)(log z)2aux pôles de f(z).

Le reste consiste à calculer les limites des intégrales sur γ1 et γ2 quand R → ∞ etr → 0. On montre que ces intégrales tendent vers 0 en vertu du lemme de Jordan.D'où ∫ ∞

0f(x) log xdx+ πi

∫ ∞

0f(x)dx

= −12

∑Résidus de la détermination choisie de

f(z)(log z)2aux pôles de f(z)

et il sut de comparer partie réelle et partie imaginaire pour obtenir les intégralesen question. Notons que dans le cas particulier où f(x) est paire, on peut obtenir lemême résultat en considérant le circuit suivant :

avec γ = γ1 ∪ [−R,−r] ∪ γ2 ∪ [r,R].

Type III :∫ b

af(x) n

√(x− a)k(b− x)n−kdx

où f est une fraction rationnelle n'ayant pas de pôles sur l'intervalle [a, b] et n, ksont de entiers avec 0 < k < n. Notons que f(z) n

√(z − a)k(b− z)n−k est multiforme


à n déterminations.

On calcule l'intégrale ∫γf(z) n

√(z − a)k(b− z)n−kdz,

où γ = γ1 ∪ [α1, β1] ∪ γ2 ∪ [β2, α2], γ1 = z : |z − a| = r, γ2 = z : |z − b| = r. Lacoupure rend l'intégrant uniforme sur γ. Posons

ϕ(z) = f(z) n

√(z − a)k(b− z)n−k.

On choisira la détermination de l'intégrant telle que : ϕ(z) sera égal à ϕ(x) sur lebord supérieur de la coupure. Soit C le cercle de centre a (arbitraire) et de rayon R(voir gure ci-dessus). On obtient∫

Cϕ(z)dz +

∫γ−ϕ(z)dz

= 2πi∑

Résidus de la détermination choisie de ϕ(z) aux pôles de f(z).

Le reste consiste à calculer les limites de ces intégrales quand R → ∞ et r → 0.Les intégrales sur γ1 et γ2 tendent vers 0 en vertu du lemme de Jordan. L'intégralesur [α1, β1] tend vers l'intégrale que l'on cherche à calculer et que l'on note I. Pourpasser de [α1, β1] à [β2, α2], z décrit le cercle γ2 de centre b dans le sens négatif.Dans ce cas, l'argument de b− z augmente de −2π tandis que z − a reste inchangé.Dès lors, ϕ(z) augmente de −2π(n−k)

n car (b− z)n−k augmente de −2π(n− k). Doncl'intégrale sur [β2, α2] tend vers −e−

2πi(n−k)n I. Par conséquent,

limR→∞

∫Cϕ(z)dz +

(1− e−

2πi(n−k)n

)I

= 2πi∑

Résidus de la détermination choisie de ϕ(z) aux pôles de f(z),

et le calcul de I s'en déduit aisément. Signalons que souvent le calcul de la limiteci-dessus lorsqu'elle n'est pas nulle se fait en développant l'intégrant en série deLaurent.


4.7 Exercices

Exercice 4.7.1 Montrer que la fonction cosinus complexe cos : C −→ C, n'est pasbornée.

Exercice 4.7.2 Montrer que limz→0

z

zn'existe pas.

Exercice 4.7.3 Soit f ∈ C1 dans Ω, à valeurs complexes. Montrer que la fonction fest holomorphe si et seulement si la forme diérentielle ω = fdz est fermée dans Ω.

Exercice 4.7.4 Soit f(z) = u(x, y)+ iv(x, y), une fonction complexe d'une variablecomplexe z = x+ iy.

a) Montrer que si f(z) est holomorphe dans un domaine Ω, on peut l'y exprimerau moyen de z seul.

b) Comment trouver formellement l'expression de u(x, y) + iv(x, y) au moyen dez seul ?

c) On suppose que u et v soient diérentiables. Montrer que si la fonction f(z)s'exprime au moyen de z seul, alors elle est holomorphe.

d) Supposons que la fonction f soit holomorphe et que f ′(z) 6= 0. Posons g(z) =P (x, y) + iQ(x, y). Montrer que g est holomorphe si et seulement si df ∧ dg = 0.

Exercice 4.7.5 Exprimer la fonction

xy − i

2(x2 − y2),

au moyen de z seul.

Exercice 4.7.6 Montrer que la règle de l'Hospital reste valable dans le cas complexe,à savoir, si f(z0) = g(z0) = 0 alors :

limz→z0

f(z)g(z)

=f ′(z0)g′(z0)

,

si g′(z0) est non nul et si f et g sont dérivables en z0.

Exercice 4.7.7 Soit f : C −→ C, une fonction holomorphe, z = x + iy et posonsf(z) = u(x, y) + iv(x, y). On suppose qu'il existe trois nombres réels a, b, c non tousnuls et tels que : au+ bv = c. Montrer que f est constante.

Exercice 4.7.8 Montrer que les fonctions suivantes ne sont pas holomorphes.a) f(z) = Re(z).b) g(z) = z.

Exercice 4.7.9 Montrer que la fonction f(z) = i√xy, z = x + iy, x ≥ 0, y ≥ 0,

satisfait aux équations de Cauchy-Riemann au point z = 0 mais n'est pas dérivableen ce point.


Exercice 4.7.10 Soit f une fonction holomorphe dans Ω ⊂ C. Déterminer unecondition nécessaire pour que f soit aussi holomorphe dans Ω ⊂ C.

Exercice 4.7.11 Calculer∫γ z

2dz où γ est le segment de droite reliant le point z0 =−i au point z1 = 2 + i, orienté de z0 à z1.

Exercice 4.7.12 Appliquer la formule de majoration ci dessus au cas de l'intégrale∫γ

dz

z2où γ est un arc de cercle de centre 0, de rayon R et d'angle au centre θ.

Exercice 4.7.13 Soit f ∈ C1 dans Ω, à valeurs complexes. Montrer que la fonctionf admet une primitive dans Ω si et seulement si la forme diérentielle ω = fdz estexacte dans Ω.

Exercice 4.7.14 a) Calculer l'intégrale∫γ

1 + z

zdz, lorsque γ est le périmètre du

carré de centre 0, dont un sommet est le point (1, 1) du plan complexe.b) Même question lorsque γ est la circonférence du plan complexe d'équation :

x2 + y2 − 4x+ 3 = 0.c) Calculer l'intégrale

∫γ

cos 2πz(z − 1)7

dz, où γ est le cercle |z| = 2.

Exercice 4.7.15 Calculer l'intégrale∫γ

ez2

z(z − 6)dz.

a) γ désignant le cercle |z − 2| = 1.b) γ désignant le cercle |z − 2| = 3.c) γ désignant le cercle |z − 2| = 5.

Exercice 4.7.16 Déterminer les premiers termes du développement de Laurent de

f(z) =1

sin z,

au voisinage de z = 0 dans le disque D∗ de centre 0, privé de son centre, et de rayonπ.

Exercice 4.7.17 Même question pour

f(z) =1

(z − 1)2 (z − 4)3,

au voisinage de z = 1, dans le disque ouvert D∗ de centre 1, privé de son centre etde rayon 3.

Exercice 4.7.18 Trouver et qualier les points singuliers de la fonction dénie par

f(z) =z

(z − 1)2(z + i).


Exercice 4.7.19 Montrer que z = 0 est un point singulier essentiel de la fonction

f(z) = e1z .

Exercice 4.7.20 Développer en série de Laurent la fonction

f(z) = ez + e1z ,

autour de l'origine du plan complexe.

Exercice 4.7.21 Développer en série de Laurent la fonction

f(z) = − 2(z − 1) (z + 1)

,

autour de z = 1, dans les couronnes : 0 < |z − 1| < 2 et 2 < |z − 1|.

Exercice 4.7.22 Calculer les résidus de la fonction

f(z) =z

(z − 1)(z − 2)2,

en tous les pôles à distance nie.

Exercice 4.7.23 Calculer le résidu de la fonction

f(z) =cos z. chzz3 sin z. shz

,

au point z = 0.

Exercice 4.7.24 Calculer le résidu de la fonction

f(z) = e1z ,

au point z = 0.

Exercice 4.7.25 Calculer l'intégrale∫γ

z

(z − 1)(z − 2)2dz,

où γ est le cercle de centre 0 et de rayon respectivement : 12 ,

32 et 3.

Exercice 4.7.26 Calculer les intégrales suivantes par la méthode des résidus :

a)∫ 2π

0

dθ

a+ cos θ,

b)∫ 2π

0

dθ

a+ sin θ, a > 1.



a)∫ 2π

0

dθ

(a+ b cos θ)2, a > b > 0.

b)∫ 2π

0

dθ

(a+ b cos2 θ)2, a > 0, b > 0.

Exercice 4.7.28 Calculer l'intégrale suivante par la méthode des résidus :∫ 2π

0

cos 3θ5− 4 cos θ

dθ.


a)∫ ∞

−∞

dx

1 + x4.

b)∫ ∞

0

dx

1 + x6.


a)∫ ∞

−∞

x2

(x2 + 1)2(x2 + 2x+ 2)dx.

b)∫ ∞

0

x sin 2xx2 + 1

dx.

Exercice 4.7.31 Calculer les intégrales suivantes par la méthode des résidus :∫ ∞

−∞

x cosxx2 − 2x+ 10

dx,

∫ ∞

−∞

x sinxx2 − 2x+ 10

dx.

Exercice 4.7.32 Calculer l'intégrale suivante par la méthode des résidus :∫ ∞

0

sinxx

dx.

Exercice 4.7.33 Calculer l'intégrale suivante par la méthode des résidus :∫ ∞

0

sin4 kx

x2dx, k > 0.

Exercice 4.7.34 Calculer les intégrales de Fresnel :∫ ∞

0cosx2dx,

∫ ∞

0sinx2dx.

Exercice 4.7.35 Calculer l'intégrale suivante :∫ ∞

−∞

eax

1 + exdx, 0 < a < 1



−∞

eax − ebx

1 + exdx, 0 < a, b < 1


0e−ax

2cos bxdx, a > 0, b > 0


0

xα

(1 + x)xdx, 0 < α < 1.


0

log x1 + x2

dx.

Exercice 4.7.40 Calculer l'intégrale suivante :∫ 1

0

4√x3(1− x)dx,

en utilisanta) un calcul direct.b) la méthode des résidus.


0

sin axx(x2 + b2)

dx, a > 0, b > 0

Bibliographie

[1] Genet, J. et Pupion, G : Analyse moderne, tome 1, Vuibert, 1974.[2] Genet, J. et Pupion, G : Analyse moderne, tome 2, Vuibert, 1974.[3] Lesfari, A. : Eléments d'Analyse Mathématique. Cours et exercices, Sochepress

Université, Casablanca, 1991, épuisé.[4] Lesfari, A. : Distributions, Analyse de Fourier et Transformation de Laplace

(Cours et exercices). Ellipses, Paris, 2012.[5] Lesfari, A. : Notions fondamentales d'analyse mathématique (Résumés de cours,

exercices et problèmes corrigés). Ellipses, Paris, 2014.[6] Lesfari, A. : Variables complexes (Cours et exercices corrigés), éditions Ellipses,

Paris, 2014.[7] Lesfari, A. : Formes diérentielles et analyse vectorielle (Cours et exercices ré-

solus), éditions Ellipses, Paris, 2017.

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