Analyse Complexe 0607L305cours

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UniversitLille1UFRdeMathmatiquesLicencedeMathmatiques(L3,S5,anne20062007)M305:ANALYSECOMPLEXEResponsable:Jean-FranoisBurnolMots-cls: Fonctions dune variable complexe, analyse complexe, thorme des rsidus.La thorie des fonctions holomorphes a longtemps t considre comme particulirement adap-te la troisime anne de lenseignement mathmatique suprieur, puisque, sappuyant essentielle-ment sur les outils de base de lAnalyse (limites de suites et de sries, calcul direntiel, topologie)ellepermetauxtudiantsdesavourerlesfruitsdeleurseortspasss, etdeprendrepieddansundomainefrlantlamagieparmoment, undomainequi atellementfascindesgnrationsdemathmaticiensetdingnieursquependantdesdcenniesonyafaitrfrencesouslappellationmajestueuse de La Thorie des Fonctions . La thorie a de plus un support gomtrique qui luiaussidevraitpouvoiraiderlarendre,aupremierabord,moinsabstraite ;enralitonconstateque ce support gomtrique est la source de certaines dicults pdagogiques.Denosjours,ilnousfautinscrirecetenseignementdansuncontexteplusfragment,etdansun volume horaire plus restreint, et on se sent proche du point o il ne sera plus vraiment possibledenvisager quelque chose de cohrent ; en tout cas quelque chose qui dpasse la simple applicationde recettes de cuisine. Mais, avouons-le, le Professeur moderne est tout de mme heureux denseignerce cours car avec le Thorme des Rsidus il tient l la source dexercices peu prs standardiss, ila donc LA recette de cuisine qui lui permettra de composer un sujet dexamen lui laissant esprerun taux de russite nommable.Jeregrettetoutdemmequelepolycopi, qui rassembletroischapitresdistribusdurantlesemestre, trouvesaconclusionsi rapidement aprs lnoncdes thormes des rsidus ! dans lapratiqueducours jemesuis eorcdeles noncer auxalentours delahuitimesemaine, dendcrire une dmonstration peu de temps aprs et daller un peu au-del ensuite.Maisquepeut-onfaireendouzesemainesdedeuxheures ?leProfesseurfatigurpondra: de moins en moins anne aprs anne . . . le lecteur surpris de la fatigue du Professeur voquerapeut-tre que Weierstrass, lui, savait prsenter les bases en une seule leon de six heures ! cela leProfesseur et ses tudiants piqus au vif rtorqueront, Il y a tout de mme beaucoup de choses icien un volume assez restreint denviron soixante pages, et mme des choses que Monsieur Weierstrassnenseignait point ! .Il faudraensuite, pour supporter lacomparaisonavecles tudiants deWeierstrass, aller serenseigner secrtement sur ce dont il nest pas question ici. En premier lieu, je pense aux fonctionsGamma et Bta : l cest simple, il y a sur mon sitejf.burnol.free.fr/ens.html un chapitre ducours2005qui leurestddi. Il seraitbonaussi densavoirplussurlesfonctionsharmoniques:l aussi mon cours 2005 contient quelques renseignements. Ensuite il faudrait lire un cours sur lesfonctionselliptiques ;plusieurslivresexistent.Plusgnralement,legrandclassiquedeWhittakeret WatsonModernAnalysisresteunerfrenceessentielleencequi concernelesfonctions transcendantes .Lille, le 19 dcembre 2006,Jean-Franois Burnol2Tabledesmatires1 Leplancomplexe 42 SuitesetLimites ;Sries 53 Sriesentires 54 Topologie ;Fonctionsetlimites 65 Direntiabilit 86 DrivabilitetquationsdeCauchy-Riemann 97 Oprateursdetdbarre 118 Drivabilitdessriesentires 129 Fonctionsanalytiques 1410 LeThormedeCauchy-Goursat 1511 Lafonctionexponentielle 1812 LeThormedeLiouvilleetuneapplication 1813 RacinecarreetLogarithmecomplexe 1914 LamthodedeGoursat 2115 SriesdeLaurent(etsriesdeFourier) 2216 LeThormedanalyticitetleThormedelafaussesingularit 2517 Classicationdessingularitsisoles ;Ples,Rsidus 2618 Zros(I):Multiplicits 2719 PetitPrcissurlaConnexit 2820 Zros(II):ThormedelIdentitAnalytique 3121 FormuledelaMoyenneetPrincipeduMaximum 3222 Ouvertstoilsetprimitives 3423 TrianglesetThormedeMorera 3524 Limitesuniformesdefonctionsholomorphes 3625 Intgraleslelongdechemins 37UniversitLille1 c JFBurnol,20062007326 FormulesintgralesdeCauchy 4127 LethormedeCauchy-Gauss 4328 Indicesdelacets 4729 Lethormedesrsidusavecindices 4930 LethormedesrsiduspourlescontoursdeJordan 5031 Leprincipedelavariationdelargument 5232 Propritslocales:prservationdesangles,applicationouverte 5433 FormulesdeLagrangepourlinversion 5534 Homographies 5735 Annexe:Surlescycleshomologiquementtriviaux 6036 Annexe:laformuleduproduitinnipoursin(z) 62LicencedeMathmatiques(L3,S5) L305 AnalyseComplexe 41 LeplancomplexeEn posant (x1, y1)+(x2, y2) = (x1+x2, y1+y2) et (x1, y1)(x2, y2) = (x1x2y1y2, x1y2+ 1.ay1x2) on munit RR dune addition et dune multiplication commutatives et associatives,quitendentcellesdeR(enidentiantxaucouple(x, 0)).Ennotanti=(0, 1),etdonc(x, y) = x +iy= x +yi,1on voit quei2= 1 et que rciproquement en imposanti2= 1on retombe sur les lois prcdentes. On notera C lanneau commutatif ainsi dni.Si z=x + iyetsi lonposez=x iyoncalculezz=x2+ y2. Doncsi z =0et 1.bsi w=xx2+y2 iyx2+y2alorszw=wz=1. Lanneau(C, +, )estdoncuncorps : toutlment non nul est inversible.On peut considrer que le nombre complexe z= x+iy correspond au point Pdun plan 1.ccartsien, de coordonnes (x, y) dans un repre orthonorm. Alors zz= x2+y2est le carrde la distance lorigine. On note [z[ =zzla distance elle-mme.Laddition correspond la construction dun paralllogramme, ou dun triangle, et sur 1.dcette base, ou algbriquement, on obtient limportante ingalit :[z +w[ [z[ +[w[La multiplication a elle-aussi une interprtation gomtrique. Tout dabord la multipli- 1.ecation pari agit selon(x, y) (y, x) cest--dire une rotation de90autour de loriginedescoordonnes,danslesensditdirect,outrigonomtrique(quiestlopposdusens de rotation des aiguilles dune montre).Plus gnralement si z = 0 on peut crire en coordonnes polaires z= r cos()+ir sin(),r = [z[ =

x2+y2. Alors, par les identits trigonomtriques de base, on obtient :z1z2= r1r2(cos(1 +2) +i sin(1 +2))Autrement dit la multiplication par z1 agit par rotation autour de lorigine par un angle 1et dilatation des coordonnes dun facteurr1. Notons aussi limportante galit :[zw[ = [z[[w[Cest cetteinteractionentrelaconditionalgbrique i2= 1et lestransformations 1.fanesduplanqui justiequelonparleduplancomplexe, ouplandeArgand-GaussproposducorpsC.2CarlefaitquunespacevectorieldedimensiondeuxsurRcorrespondeunplannariendespcialement notable. Lalgbre(viai2= 1, ladistributivit, la commutativit, lassociativit) correspond la gomtrie des rotations etdilatations : a cest notable.Hamilton3amontrqueles rotations delespaceavaient aussi unpendant alg- 1.gbrique: mais pour cettecomprhensiondes rotations delespacededimensiontroisil est ncessaire dintroduire uncorps de dimensionquatre : le corps des quaternionsq =x + ia + jb + kc, x, a, b, c R, i2=j2=k2= 1, ij =k, jk=i, ki =j, maisij= ji, jk= kj, ki= ik.LecorpsdeHamiltonestdoncnon-commutatif.Ilexisteaussi les octonions de Cayley4, une algbre qui nest ni commutative, ni associative, et est1. onabrgez wenzw.2. Gauss17771855 ;Argand176818223. Hamilton180518654. Cayley18211895UniversitLille1 c JFBurnol,200620075dedimensionhuitsurR.Sicelavousintressedesrecherchessurlatoilevousmnerontprobablement rapidement des informations sur ces sujets.Pourz=x + iyon dit quex est la partie relleRe(z) etyla partie imaginaireIm(z) 1.h(la partie imaginaire esty et non pasiy alors que lon dit quez est imaginaire pur si il estde la formeiy ; comprenne qui pourra). On a les formules :Re(z) =12(z +z) Im(z) =12i(z z)2 SuitesetLimites ;SriesOn dit quune suite(zn)nN de nombres complexes converge vers la limitew si la suite 2.adenombresrels [zn w[ convergevers0 ; cest--diresi pourtout>0il existeNtelque [zn w[ pourn N.Oncriralimnzn=wonplusbrivementlimzn=w.Ceci quivaut aux deux limites de suites relles :limRe(zn) = Re(w),limIm(zn) = Im(w).Lorsquune limite existe elle est unique. La limite dune somme est la somme des limites,dun produit, le produit des limites, dun quotient, le quotient des limites si le dnominateurne tend pas vers zro.Unesrie n=0unestlammechosequelasuitedesessommespartiellesS0=u0, 2.bS1= u0 +u1, . . ., Sn= u0 + +un. On dit que la srie converge si la suite (Sn) converge.Si cest le cas et siS= limSn alors on crit S=n=0un, et on dit que S est la somme dela srie. Une srie converge si et seulement si ses parties relles et imaginaires convergent.Unesriedetermegnral unest diteabsolument convergentesi lasriedeterme 2.cgnral [un[ est convergente, ce qui quivaut dire quil existe une borne suprieure nieauxsommespartielles Nn=0[un[ (puisquunesuitecroissantedenombresrelsconvergesi et seulement si elle est borne suprieurement). Toute srie absolument convergente estconvergente. Eneet comme [Re(un)[ [un[ et [Im(un)[ [un[, les parties relles etimaginairessontabsolumentconvergentes,doncconvergentesparunthormeconnusurles sries de nombres rels.Letermegnral undunesrieconvergentetendautomatiquementvers 0. Eneet 2.dun= SnSn1et les deux suites(Sn) et(Sn1) ont la mme limite.3 SriesentiresUne srie entire est une srie de la formen=0unzn, vue comme fonction du paramtre 3.az. Elle converge au moins pourz= 0, mais parfois seulement pourz= 0 ; on dit alors quelerayondeconvergenceestnul. Si elleconvergepourtousles zonditquelerayondeconvergence est inni.Dans le cas gnral il existe R [0, +] tel que [un[rntende vers zro pour tout r < R 3.bet ne soit pas born pour r > R. Ce R unique sappelle le rayon de convergence de la srie.Preuve : soitA lensemble desr tels que [un[rnn0.A est non vide car il contient0 ;soitRsabornesuprieure.Si r Aalorstoutr [0, r]estaussidansA.OnendduitqueA = [0, R[ ouA = [0, R]. Soitr telle que la suite [un[rnsoit borne par une constanteM< ; alorspourtout r R. Par contre pour toutztel que [z[ < R la srie n=0unznestabsolument convergente. En eet prenons r =12([z[ +R) si R < et r = [z[ +1 si R = .Alors [z[ < r< R. On alim[un[rn= 0 puisquer< R donc il existeCtel que [un[rn Cpour toutn. Alors Nn=0[unzn[ =Nn=0[un[[z[nNn=0C([z[/r)nC1|z|r< . Donc lasrie n=0unznest absolument convergente pour [z[ < R.Pour les z avec [z[ = R il ny a pas de rgle gnrale pour la convergence ou la divergence. 3.dCela dpend de chaque