Analyse complexe G2

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Cours dAnalyse complexe Analyse complexePage 1 FONCTION DUNE VARIABLE COMPLEXE Si chaque valeur que peut prendre la variable complexe, il correspond une ou plusieurs valeurs de la variable complexe , on dit quune fonction f de z, note et on a: Cest--diredanslapartierelleetimaginairedewsontdesfonctions relles des variables relles x et y. La fonction est appele uniforme si chaque valeur de z ne correspond quune seule valeur de w. Siplusieursvaleursdewcorrespondentchaquepointzdudomainededfinitionde ,domaine qui se trouve dans le plan de la variable z, on dit multiforme : au point z correspond plusieurs points de w. 1.FONCTION QUADRATIQUE Soit alors Lapartierelledelafonctionquadratiqueestdoncdonnepar , lapartieimaginairev par Pour linterprtation gomtrique on dtermine les images des lignes de coordonnes et du plan z sous lapplication . Limage de la droite donne et du plan de z sous lapplication . Limage de la droite , est donne par les quations et Cest la reprsentation paramtrique da paramtre y dune courbe dans le plan w. Cours dAnalyse complexe Analyse complexePage 2 Enliminantleparamtreyontrouvepour cest--direlquationdune parabole ouverte gauche dans le plan de , soit son axe concide avec laxe des . Demme,limagedeladroite estdonneparlesquations et .Enliminantleparamtre,ontrouvepour cest--direlquation dune parabole ouverte droite dans le plan de , son axe concide avec laxe de . 2.FONCTION INVERSION Soit la fonction dfinie par on a Donc et Lesquationsetentranentlarelation doenutilisantde nouveau et pour linterprtation gomtrique de lapplication , on dcompose dabord limagedune droite quelconque. Supposons que la droite soit donne sous la forme paramtrique suivante o dsigne le paramtre. et avec Substituantlesvariablesetselonetonobtient et .Enliminantleparamtreona cest--dire ou encore en multipliant par : Selonlquation ,limagedunedroitedont cest--direquinepassepaspar lorigine du est donc un cercle passant par lorigine du . Si , cest -direladroitepasseparloriginedu sonimageseraunedroitepassantparloriginedu .Dterminerdepluslimageduncerclederayontdonnsouslaforme Cours dAnalyse complexe Analyse complexePage 3 et avec ouaprsliminationduparamtre Substituons les variables et , on trouve , do En divisant cette dernire quation par on supposeici Daprslquation,limageduncercledont ,cest--direquinepassepas par lorigine du est donc un cercle dans le . POINT DE BRANCHEMENT 1.Montrer que la fonction log a un point de branchement On a log log Supposons que lon parte du point du plan complexe avec On a donc log log Alors aprs avoir fait un tour complet autour de lorigine dans le sensdirectontrouveenrevancheen si bien quelog log Noussommessuruneautrebranchedelafonctionetdonc estunpointde branchement.Onendduitquelog estunefonctionquiadmetuneinfinitde dterminations.Labrancheparticulirede log quiestrellequandlavariable estrelle et positive est appele la dtermination principale. Pour obtenir cette branche principale on imposera , pour . Ceci peut tre fait en prenant log log o est choisi de telle manire que ou Gnralisationlog admet comme point de branchement Cours dAnalyse complexe Analyse complexePage 4 FONCTION EXPONENTIELLE La fonction exponentielle est dfinie par On a cos Pour avoir linterprtation gomtrique, onsintressera aux images des lignes de coordonnes et . Si , on trouve cos do et Enliminantleparamtreyontrouve ,lquationduncerclederayon centr lorigine. Pour onobtient cos ,do et Enliminantleparamtrexontrouve ,cequireprsenteunedroitepassantpar lorigine du et formant langle . Sinousappelonsdterminationprincipalede cellepourlaquelle , dmontrons que log alois do o log La branche principale est obtenue pour car la fonction exponentielle est priodique de priode FONCTION LOGARITHMIQUE La fonction logarithmique est dfinie comme linverse de la fonction exponentielle. ln Soientr et les coordonnes polaires de z. do lon dduit ce qui entraine ln ce qui entraine avec k un entier. La fonction logarithmique est une fonction multivoque, on obtient sa valeur principale pour Cours dAnalyse complexe Analyse complexePage 5 Cours dAnalyse complexe Analyse complexePage 6 DERIVEE DUNE FONCTION A VARIABLE COMPLEXE Dfinition Soit une fonction dune variable complexe dans un domaine du Lafonction estditecontinueaupoint si tendvers lorsque tends verszrodefaonquelconque.Onvoitfacilementqueestcontinueen siet seulementsilespartiesrellesetimaginairesde ,cest--dire sont continuesaupoint .Onappelle drivableaupoint silequotient possde une et une seule limite lorsque tend vers zro de faon quelconque. Cette limite est dite la drive de au point et est dsigne par . Si est drivable en tout point du domaine , est appel analytiquedans dans. Condition de Cauchy-Rieman Supposonsquelespartiesrelleetimaginairedelafonction soient continument drivables par rapport x et y dans le domaine de dfinition.Thorme Lafonction estdrivableenunpoint sietseulementsiles conditions suivantes sont satisfaites en ce pont : Ces conditions sont appeles conditions ce Cauchy Rieman.Pour dmontrer ce thorme, on vrifie dabord que les conditions sont ncessaires. On suppose donclexistencedelalimite lim otendverszrodefaon arbitraire.Ensapprochantdupoint lelongdunedroiteparalllelaxerel,cest--dire , on trouve .En sapprochant du point z le long dune droite parallle laxe imaginaire , cest--dire , on trouve (3) En comparant on a do lon dduit les quations Cours dAnalyse complexe Analyse complexePage 7 On dmontre la suffisance des quations (1) de la manire suivante: La diffrentielle de la fonction est ue la foime Ensubstituant dansledeuximetermedumembresedroite,decettedernirequation selon les quations, on trouve Ainsi la limite existe et prend la valeur , valeur qui ne dpend pas de la faon dont tend vers zro. NB Toutes les notions vues en variable relle sont valables en variable complexe1. 2. 3. avec Si estunefonctionanalytiqueonavuquelesfonctions satisfontauxconditionsdeCauchy-Rieman.Onveutadmettreque possdent automatiquementdesdemi-sectionscontinues.Lesconditions entrainentimmdiatementque vrifient lquation de Laplace ; La partie relleet imaginaire dune fonction analytique sont donc2 fonctions harmoniques qui satisfont aux conditions de Cauchy-Rieman Exemple 1.Montrer que les fonctionssuivantes sont harmoniques dan a. b. 2.Montrerquelesfonctionsduplan-zsontharmoniquesdansleplan-w,wtantlizparla transformation . Si etdonc et a. ; Cours dAnalyse complexe Analyse complexePage 8 b.Ondoitmontrerque sin estgalementharmonique, cest--dire Rciproquement,siuetvestunefonctionharmoniqueayantdesdrivescontinues,ilexistedes fonctionsanalytiquesdontuestlapartierelle.Leurpartieimaginairevestunefonction harmonique conjugue de u que lon dtermine de la manire suivante: Connaissantuonpose et ,lexpression estla diffrentielle totale. Puisque lemembre de droite de cette quation satisfait la condition pour lexistencedunpotentiel cequidcouledufaitqueuestharmonique.Sile dmaine de dfinition de u est simplement connexe, lintgrale curviligne o dsigneunpointarbitrairedudomainede dfinition u, et donc indpendant du chemin dintgration, ce qui suit de thorme de Green dans le plan.LafonctionvrifielesconditionsdeCauchy-Rieman(1) et etlona Ainsi v, dfinie par lquation (5) est une fonction harmoniqueconjuguede u ; elle est uniforme et dtermine une constant additive prs. Si le domaine de u est multiplement connexe, le conjugu v de u toujours dfini selon (5) est en gnral une fonction uniforme.A titre dexemple, on considere la fonctionexponentielle suivante Les portions imaginaires et relles :

SontcontinumentdrivablesetsatisfaisantauxconditionsdeCauchy-Riemann(1)entoutpointdu plan z Lafonction exponentielle est donc analytique dans le plan z et sa drive est gale elle-mme. On verifie facilement que uet v vrifient lquation de Laplace Cours dAnalyse complexe Analyse complexePage 9 Rciproquement,silonveutdterminerunefonctionanalytique dontlapartierelleestla fonction harmonique donne On procde comme suit lexpression estladifferentielletotaledunefonction harmonique conjugue, on a (5) Etoncalcule,enintegrantdabordde lelongdeladroite etpuisde le long de la droite Commeledomainededfinitiondeestleplan continu,dansundomainesimplement connexe, la fonction est uniforme, dtermin une constante addition par ordre Exercice Conditions de Cauchy-Riemann en coordonnes polaires Supposons que les portions relles et imaginaires de la fonction Cours dAnalyse complexe Analyse complexePage 10 Sont continuementderivable par rapport dans le domaine D de dfinition. Soit drivable en un point z de D dans le quotient Possdeuneetuneseulelimitelorsquetendverszrodefaconquelconquecomme On trouve,si tend vers zro le long du vecteur rayon de z, c'est--dire Dautre part, si tend vers zro le long du cercle de rayon r et centr lorigine c'est--dire , on obtient

(2) Engalantlesexpressions(1)et(2)pourladeriveonarriveauxconditionsdeCauchy-Riemann sous laforme polaire suivante : Selon la relation (1), la derive gale A titre dexemple nous considrons la fonction logarithmique Les paries relles et imaginaires

Sont continument drivables et satisfont aux conditions de Cauchy-Riemann en tout point de z.