Analyse ComplexePhilippe CharpentierUniversit Bordeaux I
Septembre 2010
P HILIPPE C HARPENTIER U NIVERSIT B ORDEAUX I L ABORATOIRE DE
MATHMATIQUES P URES 351, C OURS DE LA L IBRATION , 33405 TALENCE
Adresse lectronique: [email protected]
Prface
J
ai donn ce cours luniversit Bordeaux I en premire anne de Master
durant les annes universitaires 2007-08, 200809, 2009-10 et
2010-11. Le contenu de ce polycopi est exactement ce que jai trait
devant les tudiants. Pour aller plus loin dans la thorie des
fonction holomorphes dune variable complexe, le lecteur pourra
consulter les ouvrages cits dans le bibliographie. Les exercices en
n de chapitre correspondent aux listes dexercices distribues par A.
Yger au cours de lanne universitaire 2010-2011.
iii
Table des matiresPrface CHAPITRE I. Formes diffrentielles,
homotopie I.1. Dnitions gnrales . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2. Intgration des 1-formes diffrentielles . . . . . . I.2.1.
Dnitions gnrales et formule de Stokes I.2.2. Indice dun lacet par
rapport un point . . I.3. Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . I.4. Deux applications . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4.1. Logarithme complexe . . . . . . . . . . . . I.4.2. Quelque
proprits de lindice . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . iii 1 1 4 5 7 8 10 10 11 11 21 21 24 27
31 32 41 41 42 45 49 50 52 53 53 59 59 62 64 65 65 67 68 69 70 75
75 76 76 76 77 77 79 81
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
CHAPITRE II. Fonctions holomorphes II.1. Dnition et proprits
fondamentales . . . . . . . . . II.2. Premires proprits des
fonctions holomorphes . . . . II.3. Sries de Laurent et Thorme de
lapplication ouverte . II.4. Le Thorme de Phragmen-Lindelf . . . .
. . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
CHAPITRE III. Fonctions harmoniques III.1. La formule de Green .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2. Fonctions harmoniques et sous-harmoniques et proprit de la
moyenne . . . . III.3. Le problme de Dirichlet classique dans une
boule . . . . . . . . . . . . . . . . III.4. Cas particulier de la
dimension 2, liens avec les fonctions holomorphes . . . . .
III.4.1. Noyaux de Green et de Poisson du disque unit et fonctions
harmoniques III.4.2. Fonctions sous-harmoniques . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . III.4.3. Intgrale de Poisson et
fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . Exercices . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
CHAPITRE IV. Thorme de Runge, quations de Cauchy-Riemann et
Thorme de Weierstrass IV.1. Thorme de Runge et enveloppes
dholomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2.
Rsolution C des quations de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . IV.3. Le Thorme de Weierstrass . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3.1. Premire
dmonstration du Thorme de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . .
. . IV.3.2. Produits innis de fonctions holomorphes . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . IV.3.3. Les facteurs lmentaires de
Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3.4.
La sphre de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . IV.3.5. Seconde dmonstration du Thorme de
Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . CHAPITRE V. Transformations biholomorphes, Thorme
de Riemann V.1. Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . V.2. Exemples de groupes dautomorphismes . . .
. . . . . . . . . . . . V.2.1. Le groupe des automorphismes de C .
. . . . . . . . . . . . V.2.2. Le groupe des automorphismes de la
sphre de Riemann . . V.2.3. Le groupe des automorphismes du disque
unit D . . . . . . V.3. Le Thorme de Riemann . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . V.4. Rgularit au bord des transformations
conformes . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
CHAPITRE VI. Prolongement analytique, fonctions modulaires,
Thorme de Picard VI.1. Le cas des sries entires . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.2. Le Thorme de
Monodromie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.3. Fonctions modulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . VI.4. Le Thorme de Picard . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.4.1. Un Thorme de
Landau et un Thorme de Bloch . . . . . . . . . . . . VI.4.2. Un
Thorme de Schottky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . VI.4.3. Dmonstration du Grand Thorme de Picard . . . . . . . .
. . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
85 85 86 87 90 90 91 92 93
Annexe
97
CHAPITRE A. Intgration en polaires 97 A.1. Mesure euclidienne
(ou invariante) sur une sphre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 97 A.2. Intgration en polaires . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 98 CHAPITRE B. Mesure euclidienne sur une
sous-varit diffrentiable. Intgration par tranches 101 B.1. Cas des
sous-varits paramtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 B.2. Cas gnral . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Index Bibliographie 104
107
C HAPITRE I
Formes diffrentielles homotopie
I.1
Dnitions gnralesD FINITION I.1.1. Soit U un ouvert de Rn . On
appelle forme diffrentielle de degr 1 (ou 1-forme diffrentielle)
sur U une application f de U dans lespace des formes linaires sur
Rn . Prcisment, si a Rn et x U , on a f (x), a = n fi (x)ai . En
dautres i=1 termes, si on note (dxi )i la base canonique de formes
linaires sur Rn (i.e. dxi , a = ai ), on a f (x) = n fi (x)dxi , et
on i=1 note donc f = n f dxi . On dit que f est de classe C k , k N
{}, si les fonctions fi sont de classe C k . i=1 D FINITION I.1.2.
n Soit U un ouvert de Rn . On appelle champ de vecteurs sur U une
application X = (Xi )i=1 de U dans Rn . On dit que X est k , k N
{}, si les fonctions X (de U dans R) sont de classe C k . de classe
C i Les 1-formes diffrentielles f = n f dxi et les champs de
vecteurs X = (Xi )i=1 sont mis en dualit par la formule i=1n
f , X (x) = fi (x)Xi (x).i=1
n
Exemple I.1.1 (Exemple fondamental). Soit U un ouvert de Rn et
soit f : U R une fonction de classe C 1 . Pour tout x U , soit d f
(x) la diffrentielle de f au point x. Alors lapplication x d f (x)
est une 1-forme diffrentielle appele la diffrentielle extrieure de
f . D FINITION I.1.3. Soient U un ouvert de R p et V un ouvert de
Rn . Soit = (i )i : U V une fonction de classe C 1 . Soit = i dxi
une 1-forme diffrentielle sur V . On appelle image rciproque de par
la 1-forme diffrentielle dnie sur U par
= (i ) dii
o di est le diffrentielle extrieure de i . En particulier, si =
dg est la diffrentielle extrieure dune fonction g alors = d(g )
(i.e. est la diffrentielle extrieure de g ). Avant de dnir les
p-formes diffrentielles, nous faisons quelque rappels sur les
formes p-multilinaires alternes. Nous notons p (Rn ) lespace de ces
formes sur Rn . Si T p (Rn ) et si vi , 1 i p, sont des vecteurs de
Rn , on a donc
T (v1 , . . . , v p ) = sign( )T v (1) , . . . , v (p) ,
CHAPITRE I. FORMES DIFFRENTIELLES, HOMOTOPIE pour toute
permutation de {1, . . . , p}. Si S p (Rn ) et T q (Rn ), on
appelle produit extrieur de S par T , not S T , la forme p +
q-multilinaires alterne dnie par : si (v1 , . . . , v p , v p+1 , .
. . , v p+q ) R p+q ,
S T (v1 , . . . , v p+q ) = sign( )S v (1) , . . . , v (p) T v
(p+1) , . . . , v (p+q ,
(p + q). On vrie facilement que lon a aussi S T (v1 , . . . , v
p+q ) =
o la somme est tendue toutes les permutations de {1, . . . , p +
q} telles que (1) < . . . < (p) et (p + 1) < . . . 0, on
dcoupe en triangles i , dintrieurs deux deux disjoints qui sont
chacun contenu dans un disque centr en un point de et de rayon .
Par compacit, sous lhypothse 3., on peut choisir > 0 tel que sur
chacun de ces disques admet une primitive. Alors, pour chaque i, i
= 0, et comme = i i on a = 0, ce qui montre que 3. implique 1.
Reste voir que 2. implique 3. Soit D x0 , r un disque ouvert
contenu dans . Pour chaque point x = (x1 , x2 ) contenu dans 0 0 D
x0 , r considrons le chemin x runion des segments x0 , x1 , x2 et
x1 , x1 , x et posons f (x) = x . Si x+h D x0 , r , soit h la
juxtaposition des segments [x, (x1 + h1 , x2 )] et [(x1 + h1 , x2 )
, x + h]. Lhypothse 2. implique alors que f (x + h) =
Philippe Charpentier
5
CHAPITRE I. FORMES DIFFRENTIELLES, HOMOTOPIE
f (x) +
h , soit (en notant
= 1 dx1 + 2 dx2 ), puisque est continue1 0
f (x + h) f (x) =ce qui montre que d f = .
1 (x1 + th1 , x2 ) h1 dt +
1 0
2 (x1 + h1 , x2 + th2 ) h2 dt
= 1 (x)h1 + 2 (x)h2 + o (|h|) ,
D FINITION I.2.2. Soit : [a, b] U un chemin dans un ouvert de Rn
. On dit que est rgulier au point t0 [a, b] si le gradient de au
point t0 , (t0 ), est non nul. est dite rgulire si elle est rgulire
en tout point de [a, b]. On appelle courbe lisse de classe C k un
chemin rgulier : [a, b] U de classe C k tel que : 1. Si (a) = (b),
est injective ; 2. Si (a) = (b), est injective sur ]a, b[, 1 ((a))
= {a, b} et toutes les drives jusqu lordre k de concident en a et
en b. On appelle compact bord orient de classe C k par morceaux
dans R2 un compact K dont la frontire est une union nie de courbes
lisses de classe C k deux deux disjointes lexception faite de leurs
extrmits. De plus K est dit positivement orient si, pour chaque
courbe composant le bord K de K lorsque lon parcourt (t) dans le
sens des t croissant on a sa gauche les points intrieurs de K ,
cest--dire si est directement orthogonal la normale sortante de K .
Avec cette dnition, si est une 1-forme diffrentielle dnie au
voisinage dun compact bord orient K dont le bord est la runion (
disjointe ) des courbes lisses i , 1 i k, on dni lintgrale de sur
le bord K de K par K = k i=1 i .
Dautre part, si est une 2-forme diffrentielle dnie sur un ouvert
U de R2 , elle scrit de manire unique = f (x)dx1 dx2 , (x1 , x2 )
tant les coordonnes canoniques. Pour toute partie mesurable F de U
on pose alors F = F f d , o est la mesure de Lebesgue (orientation
du plan).
T HORME I.2.3 (Formule de Stokes dans R2 ).
Soit K un compact bord orient de R2 . Pour toute 1-forme
diffrentielle de classe C 1 dnie au voisinage de K on a
=K K
d.
Remarque. Cette formule se gnralise bien sr aux compacts de Rn
et, plus gnralement aux compacts dans les varits diffrentielles.
Nous nous contentons ici du cas R2 pour viter davoir dnir
lorientation des varits diffrentielles qui est ncessaire pour
noncer la formule en gnral. Dmonstration. On commence par vrier la
formule lorsque K est une carr, K = [a, b] , et, avec les notations
usuelles (x, y)2
pour les coordonnes canoniques de R2 , = 1 dx+2 dy donc d = 2 1
dxdy et K d = [a,b] 2 1 dxdy. x y x y Dautre part
K
=a
b
1 (x, a) dx +
b a
2 (b, y) dy +b a b a
a b
1 (x, b) dx +
a b
2 (a, y) dy
=a
b
(1 (x, a) 1 (x, b)) dx +b a
(2 (b, y) 2 (a, y)) dy 1 dy dx, y
=a
b
2 dx dy x
b a
ce qui montre le rsultat dans ce cas. Pour le cas gnral, pour
chaque entier n 1, on dcoupe le plan en carrs de cts parallles aux
axes avec les droites dquations x = 2kn , y = 2ln , k, l Z. On note
Kn la runion de ces carrs contenus dans lintrieur de K et Ln la
runion de ceux qui coupent le bord de K . Si C1 et C2 sont deux
tels carrs ayant un ct en commun, on vrie aussitt que C1 + C2 = (C1
C2 ) , et la formule pour un carr donne donc Kn = Kn d . Pour
conclure, il suft donc de montrer les deux proprits suivantes :n+
Kn
lim
d =K
d,
(I.1)
et,n Kn
lim
=K
.
(I.2)
Comme est suppose de classe C 1 au voisinage de K , d est borne
sur K et il existe une constante C > 0 telle que K d Kn d C (Ln
) ( mesure de Lebesgue), et, pour vrier (I.1), il suft de voir que
limn+ (Ln ) = 0 : 6 Universit Bordeaux I - Master de Mathmatiques
Pures - Analyse Complexe - Automne 2010
I.2. INTGRATION DES 1-FORMES DIFFRENTIELLES Lemme. Il existe une
constante B > 0, indpendante de n, telle que le volume de Ln est
major par B2n . De plus, il existe une constante A, indpendante de
n, telle que le nombre de carrs composant Ln est major par A2n
.
n 22 . Comme K est un compact runion dun nombre ni de courbes
lisses i , il existe une constante B, indpendante de n (en fait 2 2
fois la somme des longueurs des courbes i ) telle que le volume de
Tn est major par B2n , ce qui montre la premire assertion du Lemme.
Enn la seconde en rsulte puisque Ln est runion de carrs dintrieurs
deux deux disjoints et de volumes 22n .Preuve du Lemme. Soit Tn = x
R2 tels que dist(x, K) Vrions maintenant (I.2). Pour chaque carr C
composant Ln , soit C la partie de C contenue dans lintrieur de K
et oriente ngativement, et soit xC un point de C K . Un rapide
dessin montre aisment que C C = Kn , la somme tant
tendue tous les carrs C composant Ln . Par ailleurs, comme est
de classe C 1 , si on pose C = 1 (xC ) dx + 2 (xC ) dy et = C + C ,
on a |C | = O (2n ), avec une constante indpendante de n. De plus,
comme C est coefcients constants, elle est exacte et son intgrale
sur le bord de C K est nulle, cest--dire (compte tenu de
lorientation ngative de C ) C C = KC C . Ainsi, il vient KC
=C KC
C
CC
et il existe une constante D > 0 indpendante de n telle
que
O (2n )). En sommant sur tous les carrs C composant Ln , le
Lemme donne indpendante de n, ce qui achve la dmonstration du
Thorme. (x, y) tant les coordonnes canoniques usuelles de R2 , on
pose
KC C
D22n (les longueurs de K C et C tant K Kn
E2n pour une constante E
Nous introduisons maintenant des notation propres au plan
complexe C que nous utiliseront constamment par la suite :
dz = dx + idy et d z = dx idy, et toute 1-forme diffrentielle
sur un ouvert de C scrit de manire unique = 1 dz + 2 d z et que dz
d z = 2idx dy. Par ailleurs si f est une fonction de classe C 1 sur
un ouvert de C, sa diffrentielle extrieure scrit de manire
unique
df =1 et on vrie immdiatement que z = 2 f f x f i y et f z
f f dz + d z, z z =1 2 f x f +iy .
P ROPOSITION I.2.1 (Formule de Cauchy-Pompeu). Soit f une
fonction de classe C 1 sur un ouvert de C. Soit K un compact bord
orient contenu dans . Alors pour tout point z0 K
2i f (z0 ) =
K
f (z) dz 2i z z0
f z (z) K
z z0
d (z).
Dmonstration. Soit D (z0 , r) le disque ouvert centr en z0 et de
rayon r. On suppose r assez petit de sorte que ladhrence de ce
disque soit contenu dans lintrieur de K . La Formule de Stokes
applique au compact bord orient K \ D (z0 , r) donne
K
f (z) dz z z0 lim
f (z) dz = z z0 D(z0 ,r)
f z (z) K\D(z0 ,r) 2 0
z z0
d z dz = 2i
f z (z) K
z z0
d (z).
Commer0
la formule sobtient en passant la limite quand r 0.
f (z) dz = lim r0 D(z0 ,r) z z0
f z0 + rei irei d = 2i f (z0 ) , rei
I.2.2
Indice dun lacet par rapport un point
D FINITION I.2.3. Soit un lacet (i.e. un chemin ferm) de classe
C 1 par morceaux dans C. On note Im limage de . On appelle indice
de par rapport un point a C \ Im le nombre
I(, a) =
1 2i
dz . za7
Philippe Charpentier
CHAPITRE I. FORMES DIFFRENTIELLES, HOMOTOPIE P ROPOSITION I.2.2.
Lindice I(, a) dun lacet par rapport un point a C \ Im est un
entier relatif (i.e. I(, a) Z). Dmonstration. En effet, supposons,
pour xer les notations : [, ] C, et posons
(t) = exp
t
(s) ds . (s) a
La Proposition dit que ( ) = 1. Or, except au points o nest pas
drivable (cest--dire pour un nombre ni de valeurs de t ) on a
(t) (t) = , (t) (t) a
cest--dire
a
(t) = 0. Comme
a
est continue, cela signie quelle est constante, et comme () = 1,
on a (t) =
(t)a ()a . Comme
est un lacet (() = ( )) on a bien ( ) = 1.
P ROPOSITION I.2.3. Soit un lacet C 1 par morceaux dans C. 1.
I(, a) est constant dans chaque composante connexe de C \ Im ; 2.
Si est la frontire dun compact bord orient, alors I( K, a) = 1 pour
a K et I( K, a) = 0 pour a C \ K . Dmonstration. Le 1. rsulte de la
Proposition prcdente puisque a I( K, a) est clairement continue
dans K . Si a K , dz la forme za est ferme au voisinage du compact
K \ D(a, r) o D(a, r) est un disque ouvert contenu dans lintrieur
de K .1 1 dz dz La formule de Stokes donne alors (K\D(a,r)) za = 0,
donc I(, a) = 2i D(a,r) za = 2i 0 i d = 1. Lorsque a C \ K , la dz
forme za est ferme au voisinage de K et la formule de Stokes donne
I(, a) = 0. 2
I.3
HomotopieD FINITION I.3.1. Soit un ouvert de C. Soient 1 et 2
deux chemins continus dans que lon suppose paramtrs sur I = [0, 1].
On dit que 1 et 2 sont homotopes (avec extrmits xes) sil ont mme
origine et mme extrmit et sil existe une application continue : I I
telle que : 1. Pour tout t I , (t, 0) = 1 (t) et (t, 1) = 2 (t) ;
2. Pour tout u I , (0, u) = 1 (0) = 2 (0) et (1, u) = 1 (1) = 2
(1).
Dans le cas o 1 et 2 sont des chemins ferms (i.e. 1 (0) = 1 (1)
= 2 (1) = 2 (1)) on dit aussi que les chemins sont homotopes (comme
chemins ferms) (dans ce cas on a (0, u) = (1, u) = 1 (0), u I ). De
plus, on dit quun chemin ferm (i.e. (0) = (1) = a) est homotope un
pointsil est homotope (comme chemin ferm) a un chemin constant 1
(t) = a, t I . Dans toute la suite, nous dirons simplement
homotopes sous-entendant avec extrmits xes ou comme chemins ferms .
On remarquera que lhomotopie ainsi dnie dpends de louvert dans
lequel on considre les chemins. Par exemple le chemin t eit est
homotope un point dans C mais ne lest pas dans C . Pour simplier
les notations, dans toute la suite les chemins seront supposs
paramtrs sur I = [0, 1] sauf prcision contraire. D FINITION I.3.2.
Soit une 1-forme continue localement exacte dans un ouvert de C.
Soit un chemin continu dans . On dit quune fonction continue f : I
= [0, 1] C est une primitive de le long de si t0 I il existe un
voisinage V = V ( (t0 )) de (t0 ) dans et une fonction F = Ft0 de
classe C 1 dans V telle que dF = dans V et f (t) = F (t) au
voisinage de t0 . 8 Universit Bordeaux I - Master de Mathmatiques
Pures - Analyse Complexe - Automne 2010
I.3. HOMOTOPIE On notera que cette Dnition sapplique en
particulier aux formes fermes puisque celles-ci sont localement
exactes (Proposition I.1.5). De plus, si = n i dzi , et si est C 1
par morceaux, alors une primitive f de le long de est aussi C 1 i=1
par morceaux et la dnition de f donne dans la Dnition ci-dessus
quivaut f de classe C 1 par morceaux et, t0 I , f (t) = n i ((t)) i
(t) au voisinage de t0 . i=1 P ROPOSITION I.3.1. Soient un ouvert
de C, un chemin continu dans et une 1-forme continue localement
exacte dans . Alors il existe une primitive de le long de et
celle-ci est unique une constante additive prs. Dmonstration.
Unicit. Soient f1 et f2 deux primitives de le long de de sorte que
t0 I il existe deux primitives F1 et F2 de dans un voisinage V de
(t0 ) telles que fi = Fi , i = 1, 2, au voisinage de t0 . Comme on
peut supposer V connexe, F1 et F2 diffrent dune constante, ce qui
montre que f1 f2 est localement constante. Comme cette fonction est
continue, elle est constante. Existence. Par compacit de ([0, 1]),
il existe > 0 tel que au voisinage de toute disque ferme de
rayon centre en un point du chemin la forme admet une primitive. La
continuit uniforme de montre alors quil existe des points ti , 0 =
t1 < t2 < . . .ti < ti+1 < . . . < tn = 1, tels que
chaque intervalle [ti ,ti+1 ] est contenu dans un disque Di , de
rayon , centr en un point du chemin et sur lequel admet une
primitive Fi . Pour chaque i , Di Di+1 est un ouvert connexe non
vide (il contient (ti+1 )) donc Fi Fi+1 est constante sur cet
ouvert. Par rcurrence, il est alors clair que lon peut modier les
Fi en leur rajoutant des constantes convenables de sorte que la
fonction f dnie par f (t) = Fi ((t)) pour t [ti ,ti+1 ] soit une
primitive de le long de . Cette Proposition permet dtendre la
dnition de lintgrale dune 1-forme continue localement exacte (mais
pas ncessairement de classe C 1 ) aux chemins qui sont seulement
continus : D FINITION I.3.3. Soient une 1-forme continue localement
exacte dans un ouvert de C et un chemin continu dans (paramtr sur I
= [0, 1]). Soit f une primitive de le long de . On appelle intgrale
de le long de le nombre, indpendant de la primitive choisie f ,
= f (1) f (0).
Naturellement, si le chemin est C 1 par morceaux, cette Dnition
est la mme que celle donne la Dnition I.2.1. P ROPOSITION I.3.2.
Soit une 1-forme continue localement exacte dans un ouvert de C.
Soit (n )n une suite de chemins continus qui converge uniformment
vers un chemin . Alors limn+ n = . Dmonstration. En effet, les
primitives locales de Fi , 1 i k, utilises pour dnir sont dnies sur
des ouverts qui recouvrent Imn pour n assez grand (convergence
uniforme et compacit de Im ), on peut donc les prendre pour dnir
les intgrales n , do la conclusion.
T HORME I.3.1.Soit une 1-forme continue localement exacte dans
un ouvert de C. Si 0 et 1 sont deux chemins continus homotopes
(avec extrmits xes) dans on a 0 = 1 . Dmonstration. Soient I1 = [a,
b] et I2 = [c, d] deux segments et soit : I1 I2 une application
continue. On dit quune fonction continue f (t, u) ; I1 I2 est une
primitive de le long de si (t0 , u0 ) I1 I2 il existe une primitive
F0 de au voisinage de (t0 , u0 ) telle que, dans un voisinage de
(t0 , u0 ) on ait f (t, u) = F0 ((t, u)). Comme dans la preuve de
la Proposition I.3.1, il est clair que deux primitives de le long
de diffrent dune constante. Remarquons alors que la dmonstration du
Thorme revient voir quil existe un primitive f de le long dune
homotopie : I I de 0 1 : en effet si une telle primitive existe,
alors (lhomotopie tant extrmits xes) on a f (0, 0) = f (0, u) = f
(0, 1) et f (1, 0) = f (1, u) = f (1, 1), u I , et comme t f (t, 0)
est une primitive de le long de 0 et t f (t, 1) une primitive le
long de 1 , on a 0 = f (1, 0) f (0, 0) et 1 = f (1, 1) f (0, 1) ce
qui montre le Thorme. Pour achever la preuve construisons donc une
telle primitive. Par compacit, il existe > 0 tel que, pour tout
(t, u) I I ([t ,t + ] [u , u + ]) soit contenu dans un disque
ouvert sur lequel admet une primitive. On considre alors un
dcoupage de I I en carrs [ti ,ti+1 ] u j , u j+1 , 1 i k 1 j l ,
tels que ti+1 ti = u j+1 u j = . Alors, la preuve de la ces disques
ce qui donne une primitive f j de le long de la restriction de I et
f2 sont deux primitives de le long de la restriction de I [u2 /2,
u2 + /2] elles diffrent dune constante C2 , et, en remplaant f2 par
f2 + C2 on dni une primitive de le long de la restriction de I [0,
u3 + /2]. On conclut alors par rcurrence sur j. Proposition I.3.1
montre que lon peut construire une primitive de le long du chemin t
t,u j+1 +u j , t I , en utilisant 2 u j /2, u j+1 + /2 [0, 1] .
Comme f1
Philippe Charpentier
9
CHAPITRE I. FORMES DIFFRENTIELLES, HOMOTOPIE Remarque. On notera
que ce Thorme sapplique en particulier aux formes fermes (c.f.
Proposition I.1.5). En particulier, il permet dtendre la notion
dindice I (, a) dun lacet par rapport un point a aux lacets qui
sont seulement continus dz puisque la forme za est ferme au
voisinage de limage du lacet. D FINITION I.3.4. On dit quun ouvert
de C est simplement connexe sil est connexe et si tout chemin
continu ferm contenu dans est homotope un point.
T HORME I.3.2.Toute 1-forme diffrentielle continue localement
exacte dans un ouvert simplement connexe y est exacte.
Dmonstration. En effet, le Thorme I.3.1 montre que, pour tout
chemin ferm contenu dans on a = 0. La conclusion rsulte donc du
Thorme I.2.1. Comme pour le prcdent, on notera que ce Thorme
sapplique aux formes fermes.
I.4
Deux applicationsI.4.1
Logarithme complexe
D FINITION I.4.1. Soit z C = C \ {0}. On appelle dtermination du
logarithme de z un nombre complexe tel que e = z cest--dire un
nombre tel que = log |z| + iArgz + 2ik , k Z. Le nombre log |z| +
iArgz sappelle parfois la dtermination principale du logarithme de
z. La question que lon se pose est de savoir si on peut trouver une
application z (z) continue dans un ouvert de C telle que (z) soit
une dtermination du logarithme de z. Lorsquune telle fonction
existe, on parle de dtermination continue du logarithme de z dans .
En gnral une telle dtermination continue nexiste pas : par exemple
si (z) tait une dtermination continue de log z dans C , on aurait
ei = i + 2ik donc ei0 = 2ik et ei2 = 2i(k + 1) ce qui contredit la
continuit de (z). Pour avoir lexistence dune telle dtermination il
faut faire une hypothse topologique sur louvert : P ROPOSITION
I.4.1. Sur tout ouvert simplement connexe de C il existe une
dtermination continue du logarithme de z qui est unique laddition
dun multiple entier de 2i prs. Dmonstration. Soit a un point de et
posons log a = log |a| + iArga. Daprs le Thorme I.3.2 la forme dz
(qui est ferme z dans C ) est exacte sur . Soit log z sa primitive
(sur ) qui vaut log a au point a et considrons la fonction h(z) =
elog z . Par dnition cette fonction vrie lquation h (z) = z .
Remarquons alors que la fonction h0 (z) = z est aussi une solution
z h(z) g g de cette quation, et, par suite, la fonction g(z) = h
(z) vrie z = 0, et comme on a de manire vidente z = 0, g est
localement constante donc constante puisque est suppos connexe.
Ainsi h(z) = z, pour une constante , et comme h(a) = a par dnition
de h, on a = 1 ce qui montre que la fonction log z dnie ci-dessus
est une dtermination (continue) du logarithme de z sur .0
h(z)
Remarque. Comme deux dterminations continues du logarithme de z
sur diffrent dune constante, la dmonstration cidessus montre quune
dtermination continue du logarithme de z sur est une primitive de
la forme dz (i.e. sa diffrentielle z extrieure est dz ). z 10
Universit Bordeaux I - Master de Mathmatiques Pures - Analyse
Complexe - Automne 2010
EXERCICES
I.4.2
Quelque proprits de lindice
Aprs le Thorme I.3.1, nous avons remarqu que lon peut tendre aux
chemins continus la notion dindice par rapport dz un point : si est
un chemin continu (paramtr sur [0, 1]), et si a Im , la forme za
est localement exacte sur un voisinage / de Im et si f est une
primitive de cette forme le long de , par dnition, on a I(, a) = f
(1) f (0). De plus, f est caractrise donc constante. Ainsi, I(, a)
= f (1) f (0) o f est une fonction continue vriant e f (t) = (t) a,
t [0, 1].e f (t) par la fait que, au voisinage de t0 [0, 1], on a f
(t) = log ((t) a) + C0 de sorte que (t)a = eC0 est localement
constante,
P ROPOSITION I.4.2. Soit D le disque unit du plan complexe centr
en 0, T sa frontire. Soit f : D C une fonction continue et posons
(t) = f eit . Si I(, a) = 0 en un point a C \ f (T) alors f prends
la valeur a sur lintrieur de D. Dmonstration. En effet, dans le cas
contraire, (t, r) = f reit est une homotopie de vers le lacet
constant gal f (0) dz contenue dans C \ {a}. Comme za est ferme sur
C \ {a}, donc localement exacte, et on a I(, a) = 0 daprs le Thorme
I.3.1. P ROPOSITION I.4.3. Soient 1 et 2 deux chemins ferms
continus dans C et posons (t) = 1 (t)2 (t). Alors I(, 0) = I (1 ,
0) + I (2 , 0). Dmonstration. En effet, pour chaque i soit fi une
primitive de dz le long de i telle que e fi (t) = i (t) Alors f =
f1 + f2 est une zf (1) f (0) primitive de dz le long de et I(, 0) =
= I (1 , 0) + I (2 , 0). z 2i
P ROPOSITION I.4.4. Soient 0 et 1 deux chemins ferm continus
dans C tels que 0 Im et, t , |1 (t)| < |0 (t)|. Alors t 0 (t) +
1 (t) a son / image dans C et I (0 + 1 , 0) = I (0 , 0).
Dmonstration. En effet, en crivant 0 + 1 = 0 1 + 1 , on remarque
que le chemin = 1 + 1 tant contenu dans le 0 0 disque centr en 1 et
de rayon 1 (par lhypothse) on a (Proposition I.4.1) I(, 0) = 0, et
on applique la Proposition prcdente.
P ROPOSITION I.4.5 (Thorme de Rouch). Soient 0 et 1 deux chemins
ferm continus dans C. Si, t , on a
|0 (t) + 1 (t)| < |0 (t)| + |1 (t)| ,alors les chemins ne
passent pas par 0 et on a I (0 , 0) = I (1 , 0). Dmonstration. Il
est clair que lhypothse implique que les chemins ne passent pas par
lorigine. Lhypothse scrit donc
C , et, par suite, I (1/0 , 0) = 0. Or, si fi est telle que e fi
(t) = i (t), on a e f1 (t) f0 (t) = ( f1 (0) f0 (0)) = I (1 , 0) I
(0 , 0).
aussi 1 + 1 < 1 + |1 | , ce qui montre que limage de 1 est
contenue dans C \ R , qui est un ouvert simplement connexe de 0 0 0
1 (t) 1 0 (t) , donc 0 = I ( /0 , 0) = f 1 (1) f 0 (1)
| |
ExercicesE XERCICE I.1 (la dualit champ de vecteurs/1-formes
diffrentielles et les coordonnes (z, z) en place de (x, y)).1. Un
champ de vecteurs complexe dans un ouvert U de R2 sexprime sous la
forme
u(x, y)
+ v(x, y) , x y11
Philippe Charpentier
CHAPITRE I. FORMES DIFFRENTIELLES, HOMOTOPIE o u et v sont deux
fonctions de U dans C1 . Vrier quun tel champ sexprime aussi sous
la forme
a(z)o les oprateurs / z et / z sont dnis par
+ b(z) , z z
1 = z 2 x yet z = x + iy. Calculer a et b en fonction de u et
v.
1 = + z 2 x y
2. Le crochet de dualit entre le champ de vecteurs u / x + v / y
et la 1-forme diffrentielle Pdx + Qdy (P et Q tant des fonctions de
U dans C) est dni ponctuellement par
u
+ v , Pdx + Qdy x y
(x,y)
= u(x, y)P(x, y) + v(x, y)Q(x, y).
Vrier que lon a, pour tout (x, y) dans U ,
, dx x (x,y) , dz z zsi dz : dx + idy et dz : dx idy, ainsi
que
= =
, dy y , dz z
(x,y)
=1
z
=1
, dy x (x,y) , dz z z
= =
, dx y , dz z
(x,y)
=0
z
= 0.
E XERCICE I.2 (le yoga des calculs en les coordonnes z et z).
Soient U et V deux ouverts de C (les coordonnes y tant
respectivement dnotes z et w), f une fonction diffrentiable de U
dans V , g une fonction diffrentiable de V dans C. Exprimer (g f )/
z et (g f )/ z en fonction de f , g, f / z, f / z, g/ w, g/ w.
Indication : exprimer plutt laction de la diffrentielle de g f surh
= (h1 , h2 ) h1 + ih2 .
E XERCICE I.3 (le laplacien dans le plan ; coordonnes
cartsiennes et polaires).1. Vrier que, pour toute fonction F de
classe C2 et valeurs complexes dans un ouvert U de R2 , on a
1 [F] = [F] = [F] , z z z z 4o
:=
2 2 + 2 x2 y
dsigne loprateur de Laplace (ou laplacien) en dimension 2. 2.
Soit U un ouvert de R2 \ {(0, 0)} et son image rciproque par
lapplication
(r, ) ]0, [R (r cos , r sin ) R2 \ {(0, 0)}.Vrier que si F est
une fonction de classe C2 dans U , valeurs dans C, on a, pour (r, )
,
(x,y) [F](r cos , r sin ) =
1 1 2 r + 2 [G](r, ) r r r r 2
si G(r, ) := f (r cos , r sin ). Dterminer toutes les fonctions
F de classe C2 dans R2 \ {(0, 0)}, radiales (F(x, y) ne dpend que
de x2 + y2 ), et solutions de [F] 0 dans R2 \ {(0, 0)}.1 Dans le
cours, on considre quun champ de vecteurs complexe sur un ouvert U
de R2 est une application de U dans C2 , celle qui (x, y) associe
(u(x, y), v(x, y)). Les deux points de vue (celui ci et celui du
cours) reviennent au mme en ce qui concerne la dnition des champs
de vecteurs sur un ouvert de Rn . Cela change par contre si lon se
place sur une surface ; seul celui prsent ici garde un sens.
12
Universit Bordeaux I - Master de Mathmatiques Pures - Analyse
Complexe - Automne 2010
EXERCICES 3. Soit U un ouvert de C et f une fonction de classe
C2 de U dans C ; on note toujours cette fois limage rciproque de U
par lapplication Vrier que, si f est une fonction de classe C2 dans
U , valeurs dans C, on a, pour tout (r, ) dans ,
(r, ) ]0, [R rei C .
[ f ](rei ) = z [ f ](rei ) = zVrier que, si 0 R, la
fonction
1 i i e ei [g](r, ) 2 r r 1 i i e + ei [g](r, ). 2 r r
f0 : z = (x + iy) log |z| + i arg]0 ,0 +2[ (z)est une fonction
de classe C2 dans U0 := C \ {tei0 ; t 0}, telle que ( / z)[ f0 ] 0
dans U0 .
E XERCICE I.4 (fonctions positivement homognes). Une fonction f
dnie sur Rn \ {0} et valeurs dans R est dite positivement homogne
de degr r R si et seulement si, pour tout x = (x1 , ..., xn ) Rn \
{0}, pour tout t > 0, on af (tx) = t r f (x).1. Montrer que si f
est une application de classe C1 de Rn \ {0} dans R, dire quelle
est positivement homogne de degr r R quivaut dire quelle satisfait
lquation dEuler :
d f (x).x =
j=1
x j x j (x) = r f (x) , x Rn \ {0}.
n
f
2. Si g est une application continue de Rn dans R, positivement
homogne de degr r > 0 dans Rn \ {0}, trouver toutes les
fonctions f de classe C1 de Rn dans R telles que
d f (x).x =
j=1
x j x j (x) = g(x) , x Rn .
n
f
E XERCICE I.5 (le pullback dune forme diffrentielle). Soient U
et V deux ouverts de C et une application de classe C1 de U dans V
. Exprimer [dz dz] en termes de | / z| et de | / z|. E XERCICE I.6
(formes exactes, formes fermes). La 1-formeest-elle ferme dans R3 ?
exacte ? Trouver explicitement un facteur intgrant, cest--dire une
fonction F : R3 R, de classe C1 , tel que F soit exacte dans R3
.
= 2xzdx + 2yzdy (x2 + y2 + 1)dz
E XERCICE I.7 (formes exactes, formes fermes (dans R2 )).Pour
quelles valeurs de > 0 la forme
:=
(x y)dx + (x + y)dy , z = x + iy , |z|
est elle ferme dans R2 \ {(0, 0)} ? exacte dans R2 \ {(0, 0)} ?
Soit U un ouvert de C et f une fonction de classe C1 de U dans C ;
montrer que f (z) dz est ferme si et seulement si f / z 0 et que f
(z)dz est ferme si et seulement si f / z 0.
E XERCICE I.8 (formes exactes, formes fermes (dans R2 )).
E XERCICE I.9 (formes exactes, formes fermes (dans R2 )).
1. Soit p un entier relatif et p = z p dz, considre comme une
1-forme de classe C dans C = C \ {0}. Pour quelles valeurs de p
cette forme est-elle ferme dans C ? exacte dans C ? Pour les
valeurs de p pour lesquelles elle est exacte, dterminer toutes les
fonction F : C C, de classe C1 , telles que dF = p dans C .
Philippe Charpentier
13
CHAPITRE I. FORMES DIFFRENTIELLES, HOMOTOPIE 2. Soit 0 un nombre
rel, U0 louvert
(le plan complexe fendu le long de la demi-droite issue de
lorigine et dirige par ei0 ) et, pour tout C, la 1-forme
diffrentielle dans U0 dnie par
U0 = C \ {tei0 ; t 0}
(z) = |z| e
iarg] , +2[ (z) 0 0 dz.
Pourquoi cette forme est-elle exacte dans U0 quelque soit la
valeur de ? Vrier en utilisant le rsultat tabli lExercice I.3,
question 3., que les fonctions F de classe C1 dans U0 telles que dF
= sont de la forme
z U0 F(z) = C +
|z|+1 exp i( + 1)arg]0 ,0 +2[ (z) +1
si = 1 (C tant une constante arbitraire) et de la forme
z U0 F(z) = C + log |z| + i arg]0 ,0 +2[ (z)si = 1 (C dsignant
toujours une constante arbitraire).
E XERCICE I.10 (formes diffrentielles et quations
diffrentielles). Soit U un ouvert toil de R2 et Pdx + Qdy une
1-forme de classe C1 ferme dans U . crire ce que cela signie sur P
et Q. On dsigne par F une primitive de Pdx + Qdy dans U ,
cest--dire une fonction de classe C2 dans U telle que dF = Pdx +
Qdy. Pourquoi existe-t-il bien une telle primitive ? Quelle est
lquation cartsienne du graphe de la solution maximale du problme de
CauchyP(x, y) dy = , y(x0 ) = y0 dx Q(x, y)lorsque (x0 , y0 ) est
un point de U o Q ne sannule pas ?
E XERCICE I.11 (la formule de Stokes dans R2 pour un simplexe
tordu positivement orient).Soit 0 le simplexe et = (, ) une
application de classe C2 au voisinage de 0 , valeurs dans R2 ,
telle que d(t, s) soit inversible en tout point de 0 et de jacobien
strictement positif en tout point. On suppose aussi que ralise une
bijection entre 0 et (0 ). Si = Pdx + Qdy est une 1-forme de classe
C1 au voisinage de (0 ), vrier la formule de Stokes (ou de
Green-Riemann puisque lon est ici en dimension 2) :
0 := {(t, s) R2 ; t 0, s 0,t + s 1}
(0 )
d[Pdx + Qdy]
= = := = =
(0 ) (0 ) (0 ) (0 )
d[Pdx + Qdy] Q P dx dy x y Q P dxdy x y Q P dxdy x y [] = 0 [(0
)]
[d] =0
(Pdx + Qdy)
aprs avoir justi le fait que la frontire [(0 )] de (0 ) est C1
par morceaux (les frontires sont ici toutes orientes dans le sens
trigonomtrique). Indication : on traitera dans un premier temps le
cas o est lidentit de R2 dans lui-mme. Peut-on saffranchir de la
condition de classe C2 au voisinage de (0 ) et la remplacer par la
condition plus faible de classe C1 au voisinage de (0 ) ?
E XERCICE I.12 (retour au lemme de Schwarz sur la symtrie des
drives partielles). Dans lexercice prcdent, le lemme de Schwarz
(sur le fait que lon puisse permuter laction de / x et / y pour une
fonction deux fois diffrentiable en un point) a jou un rle
essentiel (mme sil est cach par la proprit d d = 0) pour prouver(0
)
Q P dxdy = x y
0
A B dsdt s t
si Ads+Bdt la mesure de Lebesgue. Dans cet exercice, nous
proposons de montrer pourquoi la formule de Green-Riemann pour les
rectangles suft impliquer le lemme de Schwarz. 14 Universit
Bordeaux I - Master de Mathmatiques Pures - Analyse Complexe -
Automne 2010
:= [Pdx+Qdy] comme consquence de la formule de changement de
variables dans lintgration relativement
EXERCICES 1. Montrer que si G1 et G2 sont deux fonctions
continues sur un ouvert U de R2 , valeurs dans C, telles queR
G1 (x, y) dxdy :=
R
G2 (x, y) dxdy
2. Dduire de a) que si F est une fonction de classe C2 dans U ,
valeurs complexes, alors on a
pour tout rectangle ferm plein R inclus dans U , alors F G dans
U .
( 2 / x y)[F] ( 2 / y x)[F]dans U .
E XERCICE I.13 (appliquer le lemme de Poincar pour les 1-formes
(en dimension n)). Soit U un ouvert toil de Rn et F : Rn C une
fonction de classe C2 ne sannulant pas. Montrer que la 1-forme dF/F
est exacte dans U .Soit une 1-forme de classe C1 dans un ouvert de
R2 , telle que (z0 ) = 0 (ce qui signie (P(x0 , y0 ), Q(x0 , y0 ))
= 0 si = P(x, y)dx + Q(x, y)dy). Montrer quil existe un voisinage
V(x0 ,y0 ) de (x0 , y0 ) dans U , une fonction fx0 ,y0 de classe C1
dans ce voisinage, telle que la forme f(x0 ,y0 ) soit exacte dans
V(x0 ,y0 ) Indication : on effectuera un changement de variable de
manire ce que (localement) = Pdx, puis on exploitera le lemme de
Poincar dans un ouvert toil. Soit p N , U un ouvert de Rn , toil
par rapport lorigine, et
E XERCICE I.14 (facteurs intgrants locaux dans un ouvert de R2
).
E XERCICE I.15 (autour du lemme de Poincar dans Rn ).=
1i1 0 et z un point du disque ouvert D(0, R). Reprsenter au
point z avec la formule de Cauchy-Pompeu (que lon rappellera) la
fonction
se prolonge en une fonction Qz de classe C1 dans C. Calculer Qz
( )(z ) + 1.
D(0, R) (Qz ( )(z ) + 1)2 .3. En xant z et en faisant tendre R
vers linni dans la formule tablie au 2., construire m polynmes q1 ,
..., qm coefcients complexes tels quem
1=
j=1
p j (z)q j (z) , z C .
Quelle autre mthode (algbrique cette fois) permet aussi de
calculer de tels polynmes q j ?
20
Universit Bordeaux I - Master de Mathmatiques Pures - Analyse
Complexe - Automne 2010
C HAPITRE II
Fonctions Holomorphes
ans ce chapitre, ainsi que dans toute la suite du cours, on note
D(z0 , r) le disque euclidien centr en z0 C et de rayon r. Le
disque D(0, 1) centr lorigine et de rayon 1 sera not D. Son bord
sera not T. De plus, nous utiliserons constamment (et mme
uniquement) les notation complexes introduites avant lnonc de la
formule de CauchyPompeu (Proposition I.2.1).
D
II.1
Dnition et proprits fondamentalesD FINITION II.1.1. Soit un
ouvert de C. Une fonction f : C est dite holomorphe au point z0
sizz0
lim
f (z) f (z0 ) = f (z0 ) z z0
existe. f est dite holomorphe (dans ) si elle est holomorphe en
tout point de . En dautres termes, f est holomorphe en z0 si elle
est diffrentiable en ce point et si sa diffrentielle d f (z0 ) est
C-linaire f cest--dire si la drive partielle z (z0 ) est nulle. En
particulier, f est holomorphe en tout point de si elle est
diffrentiable en tout point et si sa drive partielle z est
identiquement nulle. Cette dernire dnition peut se gnraliser des
objets plus gnraux que les fonctions diffrentiables, savoir les
distributions sur : en thorie des distributions, on montre que
loprateur T T est elliptique ce qui implique que si une
distribution T vrie T C () alors T C (), et, par z z suite, si T
est la distribution nulle alors T est une fonction C holomorphe sur
. Ceci fait que certains auteurs dnissent z f les fonction
holomorphes sur un ouvert comme tant les fonction de classe C 1
dont la drive partielle z est identiquement nulle. Les proprits
classiques des sries entires montrent que : Exemple II.1.1 (Exemple
fondamental). La somme dune srie entire est holomorphe sur son
disque de convergence.f
T HORME II.1.1 (Thorme de Cauchy).Soient un ouvert de C et D une
droite. Soit f une fonction continue sur holomorphe dans \ D. Alors
la 1-forme diffrentielle f (z)dz est localement exacte.
CHAPITRE II. FONCTIONS HOLOMORPHES En particulier : 1. Si est
simplement connexe il existe une fonction g C 1 () telle que z = f
et z = 0, ce qui implique que g est holomorphe dans et que g = f .g
g
2. Si est un lacet continu homotope un point dans on a f (z) dz
= 0 (Thorme de Cauchy). Remarque. Dans le 1. ci-dessus, si on ne
suppose pas simplement connexe, la conclusion peut tre fausse : par
exemple f (z) = 1 sur C . z Dans le 2., si nest pas homotope un
point la conclusion est mise en dfaut avec le mme exemple.
Dmonstration. Daprs le Thorme I.2.2 il faut montrer que si est un
triangle ferm contenu dans alors f (z)dz = 0. Posons J = f (z)dz,
et supposons |J| > 0. Premier cas : D = 0. En utilisant les
milieux des cots de , on dcoupe celui-ci en quatre triangles et il
en existe un / (ferm), 1 , qui vrie1
rcurrence, on construit une suite de triangles ferms n tels que
n f (z)dz 4n . Comme le diamtre de n tends vers 0 il existe z0 tel
que n n = {z0 }. Comme f est holomorphe en z0 , pour tout > 0 il
existe > 0 tel que, pour |z z0 | , on a Si on remarque alors
que, par construction, la longueur de n est majore par C2n , que le
diamtre de n est aussi major par C2n , o C est une constante
indpendante de n, et que, pour n n on a n {|z z0 | < }, il vient
(pour n n ) n
f (z)dz
|J| 4 .
En rptant cette opration avec 1 on construit un second triangle
2 , puis, par|J|
f (z) f (z0 ) f (z0 ) (z z0 ) |z z0 | .
f (z)dz
n
f (z0 ) + f (z0 ) (z z0 ) dz C22n .
2 1 Or, comme les formes f (z0 ) dz et f (z0 ) (z z0 ) dz sont
exactes ((z z0 ) dz = 2 d (z z0 ) ) on a
n |J|
f (z0 ) + f (z0 ) (z z0 ) dz = 0,
et on obtient 4n C22n soit |J| C ce qui contredit lhypothse
faite sur J . Second cas : D = 0. Si lun des cots de est port par
D, on dplace ce cot dune distance ce qui donne un triangle / un peu
plus petit auquel on applique le premier cas. Le rsultat sobtient
alors par passage la limite quand tends vers 0 (c.f. Proposition
I.3.2). Si la droite D rencontre uniquement sur un sommet, on
dplace celui-ci le long dun cot de et on conclut par un
raisonnement vident similaire. Enn si D coupe , en utilisant un
point sur le cot non coup par D et D, on dcoupe en quatre triangles
i qui rentrent dans lun des deux cas prcdents et on obtient i f
(z)dz = 0 donc f (z)dz = i f (z)dz = 0.
T HORME II.1.2 (Formule de Cauchy).Soient un ouvert de C et f
une fonction holomorphe dans . Soit un lacet continu homotope un
point dans . Alors, pour tout a \ Im on a
I(, a) f (a) =
1 2i
f (z) dz. za
Dmonstration. Considrons la fonction
g(z) =
f (a)
f (z) f (a) zz
si z \ {a} si z = a.
f (z) f (a) dz ce qui, par dnition de I(, a) donne la formule.
za
Alors g est continue sur et holomorphe sur \ {a}. Le Thorme de
Cauchy implique donc que 0 = g(z)dz = Dans toute la suite nous
noterons H() lespace vectoriel des fonctions holomorphes sur .
T HORME II.1.3.Soient un ouvert de C et f une fonction de dans
C. Les conditions suivantes sont quivalentes : 1. f H() ; 2. f est
analytique (complexe) dans (donc en particulier C ). Plus
prcisment, si D (z0 , r0 ) est un disque ouvert n contenu dans , f
est dveloppable en srie entire f (z) = nN an (z z0 ) de rayon de
convergence r0 . De 22 Universit Bordeaux I - Master de
Mathmatiques Pures - Analyse Complexe - Automne 2010
II.1. DFINITION ET PROPRITS FONDAMENTALES plus, les coefcients
an de cette srie sont donns par la formule
an =pour tout r ]0, r0 [.
1 2i
f ( ){| z0 |=r}
( z0 )n+1
d ,
Remarque. On notera que, par la formule de Stokes lintgrale de
la formule donnant la valeur de an est indpendante de r.
Dmonstration. Soit r ]0, r0 [ de sorte que D (z0 , r) D (z0 , r0 )
. Pour z D (z0 , r), la formule de Cauchy (Thorme II.1.2) donne
f (z) =zz
1 2i
f ( ) 1 d = 2i {| z0 |=r} z(zz )n
f ( ) 1 = 2i {| z0 |=r} ( z0 ) (z z0 )
1 f ( ) zz0 d . {| z0 |=r} z0 1 z0
0 < r < r. Ainsi, pour |z z0 | < r , on a
1 Comme z0 < 1, on a = n ( z0 )n , la srie convergeant
normalement pour (z, ) D (z0 , r ) {| z0 | = r} si zz 0 0 1 z00
f (z) = (z z0 )nn
f ( ){| z0 |=r}
( z0 )n+1
d
ce qui prouve que 1. implique 2., la rciproque tant lExemple
II.1.1. C OROLLAIRE 1. Si f est holomorphe dans un ouvert , les
drives successives f (n) de f sont holomorphes dans . Dmonstration.
Ceci rsulte du Thorme et dune proprit classique des sries entires.
C OROLLAIRE 2 (Formule de Cauchy pour un compact bord orient). Si f
H() et si K est un compact bord orient contenu dans , pour tout
point a dans lintrieur de K on a :
f (z) dz = 0 et f (a) =K
1 2i
K
f (z) dz. za
Dmonstration. Comme f est C , la forme localement exacte f (z)dz
(Thorme II.1.1) est ferme et la premire formule rsulte de la
formule de Stokes (Thorme I.2.3). Pour la seconde formule, on
considre un disque D(a, r) contenu dans lintrieur de K . Alors la
formule de Stokes (Thorme I.2.3) donneK f (z)
f (z) dz za
D(a,r)
f (z) dz = 0 za
(la forme za dz tant ferme au voisinage de K \ D(a, r)) et il
suft dappliquer la formule de Cauchy (Thorme II.1.2) puisque I(
D(a, r), a) = 1. Si K est un compact bord orient dans C, K est
ladhrence de son intrieur et on peut vrier quil existe une suite Kn
de compacts bord orients contenus dans lintrieur de K dont la
frontire converge uniformment vers celle de K . En appliquant le
Corollaire ci-dessus on obtient (Proposition I.3.2) : C OROLLAIRE 3
(Formule de Cauchy pour un compact bord orient). Soit K un compact
bord orient dans C. Soit f une fonction continue sur K holomorphe
lintrieur de K . Alors, pour tout point a dans lintrieur de K on a
:
f (z) dz = 0 et f (a) =K
1 2i
K
f (z) dz. za
T HORME II.1.4 (Thorme de Morera).Soient un ouvert de C et f une
fonction continue de dans C. Les conditions suivantes sont
quivalentes : 1. Pour tout lacet homotope un point dans , f (z) dz
= 0. 2. Pour tout rectangle ferm R contenu dans , R f (z) dz = 0.
3. Pour tout triangle ferm T contenu dans , T f (z) dz = 0.
Philippe Charpentier
23
CHAPITRE II. FONCTIONS HOLOMORPHES
4. Si K est un compact bord orient contenu dans , K f (z) dz =
0. 5. La 1-forme diffrentielle f (z)dz est localement exacte dans .
6. f H(). Dmonstration. Si f H(), nous venons de voir que f est C ,
et comme z = 0, la forme f (z)dz est ferme donc locale ment exacte
(Proposition I.1.5). Il en rsulte que la condition 6. implique
toutes les autres (Thorme I.3.1, pour 1., Thorme I.2.2, pour 2. et
3., et la formule de Stokes, Thorme I.2.3, pour 4.), que 5.
implique 1., 2. et 3. et que 5. est consquence de chacune des
autres. De plus, clairement 4. implique 3. qui quivaut 2. (c.f.
preuve de Thorme I.2.2) et 1. implique 3. Pour conclure, il suft de
voir que 5. implique 6. Or si 5. est satisfaite et si g est une
primitive locale de f (z)dz alors g est de classe C 1 et g = 0 ce
qui signie que g est holomorphe et donc g = f aussi. z f
Remarque II.1.1. On notera que ce Thorme et le Thorme de Cauchy
(Thorme II.1.1) montrent, par exemple, quune fonction continue sur
un ouvert de C qui est holomorphe en dehors dune droite est
automatiquement holomorphe dans . P ROPOSITION II.1.1. Soit un
ouvert simplement connexe de C. Soit f une fonction holomorphe dans
ne sannulant pas. Alors il existe une fonction h holomorphe dans
telle que eh = f . Dmonstration. En effet, puisque f ne sannule pas
la fonction f / f est holomorphe sur et, comme celui-ci est
simplement connexe, daprs le Thorme II.1.1, elle admet une
primitive (dnie une constante prs) holomorphe dans . Soit donc h la
primitive de f / f telle que eh(z0 ) = f (z0 ) en un point z0 de .
Alors on a f eh = f eh h f eh = 0 cest--dire f = eh +C, C C, et on
doit avoir C = 0 puisque eh(z0 ) = f (z0 ).
II.2
Premires proprits des fonctions holomorphesLa Proposition
suivante est une re-formulation du Thorme II.1.3 : P ROPOSITION
II.2.1. Soient un ouvert de C, f H() et z0 un point de . Soit D (z0
, r) le plus grand disque ouvert de centre z0 contenu dans 1 .
Alors la srie de Taylor de f en z0 , n n! f (n) (z0 ) (z z0 )n
converge uniformment sur tout disque ferm contenu dans D (z0 , r)
vers f . P ROPOSITION II.2.2. La somme et le produit de deux
fonctions holomorphes dans est holomorphe dans . Si f est une
fonction holomorphe au voisinage dun point z0 et si f (z0 ) = 0
alors 1 est holomorphe au voisinage de z0 . f Dmonstration. En
effet, 1 est videment C au voisinage de z0 et z f 1 f
= 0.
Remarque II.2.1. Une fonction holomorphe relle ou imaginaire
pure est constante. En effet, si f est une fonction holomorphe
relle alors 0 = z = z et donc z = 0 soit d f = 0. f f f
P ROPOSITION II.2.3 (Principe des zros isols). Soit f une
fonction holomorphe dans un ouvert , non identiquement nulle sur
une composante connexe de . Alors lensemble Z( f ) = {z tels que f
(z) = 0} na pas de points daccumulation dans . De plus, pour chaque
z0 Z( f ) il existe m un unique entier m0 1 et une fonction g
holomorphe dans qui ne sannule pas en z0 tels que f (z) = (z z0 ) 0
g(z), 1 z . Lentier m0 sappelle la multiplicit (ou lordre) du zro
z0 de f . de plus f est holomorphe sur \ Z( f ). 24 Universit
Bordeaux I - Master de Mathmatiques Pures - Analyse Complexe -
Automne 2010
II.2. PREMIRES PROPRITS DES FONCTIONS HOLOMORPHES Dmonstration.
Soit f (z) = n an (z z0 ) le dveloppement en srie entire de f au
voisinage de z0 . Si an = 0 pour tout entier n alors f est
identiquement nulle au voisinage de z0 . Soit alors U lensemble des
points de au voisinage desquels f est identiquement nulle. U est
donc un ouvert non vide de sur lequel toutes les drives de f sont
identiquement nulles. Alors si z1 U , par continuit, toutes les
drives de f sont nulles en z1 . Par suite, le dveloppement de f en
srie entire au voisinage de z1 est identiquement ce qui montre que
U est ferm dans . Ainsi U est une composante connexe de ce qui
contredit lhypothse faite sur f . Il existe donc un entier n tel
que an = 0. Soit alors m0 1 le plus petit entier n tels que an = 0.
On a doncn
f (z) = (z z0 )m0 am0 1 +
an (z z0 )nm0 , am0 n=m0 +1
f (z) nm0 la srie entire 0 +1 aan (z z0 ) convergeant
uniformment au voisinage de z0 . Ceci montre que la fonction (zz
)m0 n=m m0 0 est holomorphe au voisinage de z0 , ne sannule pas en
z0 , et, comme elle est clairement holomorphe sur \ {z0 }, elle est
holomorphe sur (Proposition prcdente). Enn lunicit de lentier m0
est vidente.
C OROLLAIRE . Soient f et g deux fonction holomorphes sur un
ouvert connexe . Si lensemble des points z de tels que f (z) = g(z)
a un point daccumulation dans alors f est identiquement gale g. De
plus sil existe z0 tel que, pour tout entier n on ait f (n) (z0 ) =
g(n) (z0 ) alors f et g sont identiquement gales dans .
Dmonstration. Daprs la Proposition, la premire partie est vidente
et la seconde rsulte du fait que f et g ont mme dveloppement de
Taylor en z0 (donc mme dveloppement en srie entire) donc sont gales
au voisinage de z0 . P ROPOSITION II.2.4. Soient un ouvert de C et
z0 . Soit f une fonction holomorphe dans \ {z0 }. Si est borne au
voisinage de z0 alors f est holomorphe dans (i.e. se prolonge
holomorphiquement au point z0 ). Dmonstration. Soit r > 0 tel
que D (z0 , r) \ {z0 } . Soient D (z0 , r) \ {z0 } et 0 > 0 tel
que | z0 | > 0 . La formule de Cauchy (Corollaire 2 du Thorme
II.1.3) donne, pour 0 < < 0 ,
f ( ) =
1 2i
f ( ) 1 d 2i D(z0 ,r)
f ( ) d . D(z0 ,) f ( ) D(z0 ,r) d
Par hypothse, on peut choisir 0 > 0 tel que f soit borne par
une constante M sur D (z0 , 0 ), et, pour 0 < < 0/2 on a pour
tout D (z0 , r) \ {z0 }, ce qui montre que f se prolonge
holomorphiquement au point z0 (cette dernire intgrale tant
dveloppable en srie entire dans D (z0 , r)). P ROPOSITION II.2.5.
Soient un ouvert de C, z0 et f une fonction holomorphe dans \ {z0
}. Alors lune des trois possibilits suivantes est satisfaite : 1. f
est holomorphe dans . 2. Il existe un entier m et des nombres
complexes ci , 1 i m, uniques, tels que la fonction g(z) = f (z) m
i=1 soit holomorphe dans . Dans ce cas on dit que f est mromorphe
au point z0 .ci (zz0 )i
| | 0/2 pour | z0 | = . Par suite
f ( ) D(z0 ,) d
1 4M . En faisant tendre vers 0, il vient f ( ) = 2i 0
3. Si D (z0 , r) est contenu dans , r > 0, f (D (z0 , r) \
{z0 }) est dense dans C. Dans ce cas on dit que f a une singularit
essentielle en z0 .
Remarque. la n de ce cours, nous verrons que dans le cas 3. on a
un rsultat beaucoup plus fort (Grand Thorme de Picard) : f (D (z0 ,
r) \ {z0 }) contient tout C moins au plus un point et tout point de
Im f est atteint une innit de fois. Dmonstration. Si 3. est faux,
il existe w C, r > 0 et > 0 tels que, dans lensemble {0 <
|z z0 | < r} on a | f (z) w| 1 . Alors la fonction h(z) = f (z)w
est holomorphe dans {0 < |z z0 | < r} et est borne au
voisinage de z0 . La Proposition prcdente dit alors que h est
holomorphe dans D (z0 , r). Si h (z0 ) = 0, f est borne au
voisinage de z0 et on est dans le m cas 1. (Proposition prcdente).
Supposons donc h (z0 ) = 0 et soit m la multiplicit de z0 de sorte
que h(z) = (z z0 ) h1 (z) m 1 avec h1 (z0 ) = 0 et f1 = h est
holomorphe au voisinage de z0 . Ainsi on a f (z) = w + (z z0 ) f1
(z) au voisinage de z0 , et le 1 dveloppement en srie entire de f1
montre que lon est dans le cas 2.
Philippe Charpentier
25
CHAPITRE II. FONCTIONS HOLOMORPHES P ROPOSITION II.2.6. Soient f
une fonction holomorphe dans un ouvert , z0 un point de et D (z0 ,
R) un disque ouvert contenu dans . Alors n si f (z) = n an (z z0 )
est le dveloppement en srie entire de f dans D (z0 , R), pour 0
< r < R on a
n=0
|an |2 r2n = 2
1
2 0
f z0 + rei
2
d .
En particulier, pour tout n, |an |
sup{|zz |=r} | f | 0 rn
(Ingalits de Cauchy).
Dmonstration. Cest simplement la formule de Parseval applique la
fonction n an rn ein . C OROLLAIRE 1 (Thorme de Liouville). Soit f
une fonction holomorphe dans C (une telle fonction est appele une
fonction entire). Si f est borne elle est constante. Dmonstration.
En effet, daprs la Proposition, si | f | M , les coefcients du
dveloppement en srie entire de f dans C M vrient |an | rn pour tout
r > 0, ce qui donne an = 0 si n > 0. C OROLLAIRE 2 (Thorme de
DAlembert). Soit P un polynme coefcients complexes non constant.
Alors P a une racine dans C.1 Dmonstration. En effet, si P ne
sannule pas, P est holomorphes dans C, et comme lim|z|+ |P(z)| = +
si P nest pas 1 constant, P est borne et la conclusion rsulte du
Thorme de Liouville.
P ROPOSITION II.2.7 (Principe du maximum (local)). Soit f une
fonction holomorphe dans ouvert connexe . Sil existe z0 et r > 0
tels que, pour tout z appartenant au disque centr en z0 et de rayon
r on ait | f (z)| | f (z0 )|, alors f est constante dans .
Dmonstration. Soit 0 < r1 < r. Si f (z) = an (z z0 ) est le
dveloppement en srie de f au voisinage de z0 , la formule de 2 2 2
2n Parseval (Proposition II.2.6) donne |an | r1 | f (z0 )| = |a0 |
et donc an = 0 pour tout n 1. La conclusion rsulte donc du
Corollaire du principe des zros isols (Proposition II.2.3).n
P ROPOSITION II.2.8 (Principe du maximum (global)). Soit f une
fonction holomorphe dans ouvert connexe born , continue dans . Soit
M = supz | f (z)|. Alors : 1. Pour tout z on a | f (z)| M . 2. Sil
existe a tel que | f (a)| = M alors f est constante.
Dmonstration. Soit M = supz | f (z)|. Puisque est compact, E = z
tels que | f (z)| = M est non vide. Ainsi la Pro position prcdente
montre que, si f nest pas constante, E = 0. On a donc M = M , et la
Proposition sen dduit. /Remarque. Nous verrons plus tard que ces
deux Propositions sont vraies pour toutes le fonctions qui vrient
la proprit de la moyenne, cest--dire les fonctions harmoniques. La
Proposition qui suit est un cas particulier de la formule de Cauchy
: P ROPOSITION II.2.9 (Proprit de la moyenne). Soit f une fonction
holomorphe dans un voisinage ouvert dun disque ferm D (z0 , r0 ).
Alors
f (z0 ) =
1 2
2 0
f z0 + r0 ei d .
Remarque II.2.2. La partie relle et la partie imaginaire dune
fonction holomorphe vrient la proprit de la moyenne ci-dessus. Nous
verrons au chapitre suivant que les fonctions vriant le proprit de
la moyenne sont les fonctions harmoniques, et que, dans R2 , ce
sont exactement les parties relles (ou imaginaires) des fonctions
holomorphes. P ROPOSITION II.2.10. Soit un ouvert de C. Soit ( f j
) j une suite de fonctions holomorphes dans qui converge,
uniformment sur les compacts de , vers une fonction f . Alors f est
holomorphe dans et la suite vers f . 26 Universit Bordeaux I -
Master de Mathmatiques Pures - Analyse Complexe - Automne 2010
fj
j
converge, uniformment sur les compacts de ,
II.3. SRIES DE LAURENT ET THORME DE LAPPLICATION OUVERTE
Dmonstration. En effet, par convergence uniforme, f est continue,
et si est un triangle ferm contenu dans , la convergence implique f
(z) dz = 0, ce qui montre lholomorphie de f (Thorme II.1.4). Enn,
si K est un compact de et si r > 0 est tel que, pour tout point
z K , le disque D(z, r) soit contenu dans un compact K contenu dans
, les ingalits de Cauchy (Proposition II.2.6) donnent f (z) f j (z)
1 r
f fj
, ce qui montre la dernire assertion. K
C OROLLAIRE (Thorme de Montel). Soit un ouvert de C. Lespace H()
est un espace de Montel pour la topologie de la convergence
uniforme sur les compacts de (i.e. si ( f j ) j est une suite de
fonctions holomorphes sur qui est uniformment borne sur chaque
compact de
(mais pas ncessairement sur ), alors il existe une sous-suite f
j p ).
p
qui converge uniformment sur les compacts de
Dmonstration. En effet, ceci rsulte de la Proposition et du
Thorme dAscoli, car, si K est un compact de et si, comme dans la
preuve prcdente, r > 0 est tel que, pour tout point z K , le
disque D(z, r) soit contenu dans un compact K contenu dans , les
ingalits de Cauchy donnent supK f j 1 supK f j , et la formule de
accroissements nis montre que la suite r ( f j ) j est quicontinue
sur K . P ROPOSITION II.2.11 (Principe de symtrie de Schwarz). Soit
un ouvert connexe de C symtrique par rapport laxe rel. Soient + =
{z tels que mz 0} et = {z tels que mz 0}. Soit f une fonction
continue dans + , holomorphe dans lintrieur de + et relle sur R.
Alors il existe une unique fonction f holomorphe dans telle que f|+
= f . De plus, pour tout z on a f(z) = f (). z Dmonstration. En
effet, lunicit est vidente, et, si f est le fonction gale f sur +
et f () sur , cette fonction est z clairement continue sur , C dans
\ R, et, comme, en un point z intrieur on a z f(z) = z () z = 0,
elle est z z donc nalement holomorphe dans daprs la Remarque
II.1.1. holomorphe dans lintrieur de f
P ROPOSITION II.2.12 (Lemme de Schwarz). Soit f une fonction
holomorphe dans le disque unit D = {z C tels que |z| < 1} telle
que f (0) = 0 et f (D) D. Alors : 1. Pour tout z D, on a | f (z)|
|z|. 2. | f (0)| 1.
3. Sil existe z0 D, z0 = 0, tel que | f (z0 )| = |z0 | alors il
existe une constante , | | = 1, telle que, z D, f (z) = z. 4. Si |
f (0)| = 1, il existe une constante , | | = 1, telle que, z D, f
(z) = z.f (z)
Dmonstration. En effet, lhypothse f (0) = 0 implique que le
fonction z est holomorphe dans D, et, la seconde hypothse f (z) 1
sur f implique que pour 0 < < 1, si |z| = 1 , on a z 1 . Le
principe du maximum global (Proposition II.2.8) donne alorsf (z)
z
II.2.7) montre que z z est constante, cest--dire quil existe une
constante telle que f (z) = z, et comme | f (z0 )| = |z0 |, f (z)
on a | | = 1. Enn, lhypothse du 4. montre que z a un maximum local
au point 0 et on conclut de mme.
1 pour tout z D, ce qui donne le 1. et le 2. Sous lhypothse du
3., le principe du maximum local (Propositionf (z)
II.3
Sries de Laurent et Thorme de lapplication ouverteD FINITION
II.3.1. Soit C = {z C tels que 0 r1 < |z z0 | < r2 } une
couronne dans le plan complexe. On appelle srie de Laurent n dans C
une srie de fonctions de la forme + an (z z0 ) telle que : 1. la
srie entire + an (z z0 ) converge dans le disque {z C tels que |z
z0 | < r2 } ; 0n
Philippe Charpentier
27
CHAPITRE II. FONCTIONS HOLOMORPHESn 2. la srie entire + an (z z0
) converge dans le disque z C tels que |z z0 | < r1 . 11
Ainsi
la srie de fonctions + an (z z0 ) converge {z C tels que r1 <
|z z0 | < r2 }, 0 r1 < r1 r2 < r2 +.n
normalement
dans
toute
couronne
ferme
P ROPOSITION II.3.1. Soit C = {z C tels que 0 r1 < |z z0 |
< r2 } une couronne dans le plan complexe.n
1. La somme f dune srie de Laurent + an (z z0 ) dans C est une
fonction holomorphe dans C. De plus, pour tout 1 2 entier n, si r1
< r < r2 , on a an rn = 2 0 ein f z0 + rei d . 2. Si f est
une fonction holomorphe dans C, il existe une unique srie de
Laurent + an (z z0 ) dans C dont la somme est gale f (on dit que
cette srie est le dveloppement en srie de Laurent de f dans
C).n
Dmonstration. Comme la srie du 1. converge uniformment sur tout
compact de C, lholomorphie de sa somme rsulte su Thorme de Morera
(Thorme II.1.4). Montrons maintenant le 2. ainsi que la formule du
1. Soient r1 et r2 tels que r1 < r1 < r2 < r2 . La formule
de Cauchy (Thorme II.1.2) donne, pour r1 < |z z0 | < r2 ,
2i f (z) =
f ( ) f ( ) d d . {| z0 |=r2 } z {| z0 |=r1 } z
La premire intgrale de cette quation se dveloppe en srie entire
dans le disque {z C tels que |z z0 | < r2 } (voir la preuve du
Thorme II.1.3). Pour la seconde, on refait une preuve similaire
:
f ( ) 1 f ( ) d = d , z z0 {| z0 |=r1 } 1 z0 {| z0 |=r1 } z zz0+
1 et comme zz 0 < 1, on a z = 0 0 1 zz 0 0 z z0 zz0 n
, la convergence tant normale dans tout compact contenu dans
z tels que
z0 r1 }. Ainsi, la seconde intgrale de la formule vaut
f ( ) {| z0 |=r1 } z
d =
(z z0 )n+1 {| z0 |=r1 }
1
( z0 )n f ( ) d ,
et la srie converge dans toute couronne {|z z0 | > r1 }. Enn
la formule du 1. rsulte du fait que lintgrale
{| z0 |=r1 }
( z0 )n f ( ) d
est indpendante de r1 par le Thorme de Cauchy (Thorme II.1.1). D
FINITION II.3.2. Soit C une couronne de la forme C = {z C tels que
0 < |z z0 | < r +}. Soit f une fonction holomorphe dans C et
n soit + an (z z0 ) son dveloppement en srie de Laurent. Le
coefcient a1 de cette srie sappelle le rsidu de f en z0 et sera not
Res ( f ; z0 ). De plus : 1. Sil existe n0 N tel que an0 = 0, on
dit que f a une singularit en z0 (ou que z0 est une singularit de f
), et : (b) sinon on dit que z0 est une singularit essentielle de f
. (a) si an = 0 pour tout n < n0 , on dit que f a un ple en z0
dordre (de multiplicit) n0 ;
2. Soient un ouvert de C. Soit f une fonction holomorphe dans
priv dun un sous-ensemble discret A (i.e. sans point daccumulation
dans ou encore dont tout point est isol dans ). (a) Le coefcient de
1 dans le dveloppement de Laurent de f en un point a de A sappelle
le rsidu de f au point z a et sera not Res ( f ; a). (a) On dit que
f est mromorphe dans si tout point de A est un ple de f . On notera
que cette Dnition est en accord avec celle introduite la
Proposition II.2.5. La remarque suivante rsulte aussitt de la
thorie des sries entires : 28 Universit Bordeaux I - Master de
Mathmatiques Pures - Analyse Complexe - Automne 2010
II.3. SRIES DE LAURENT ET THORME DE LAPPLICATION OUVERTE P
ROPOSITION II.3.2. Si f est une fonction mromorphe dans alors sa
drive f est aussi mromorphe dans . Les exemples suivants rsultent
du principe des zros isols (Proposition II.2.3) : P ROPOSITION
II.3.3. Soit un ouvert de C. 1. Si f et g sont deux fonctions
holomorphes dans , alors la fonction g est mromorphe dans . 2.
Soient a un point de et f une fonction holomorphe dans . (a) Si f a
un zro dordre m en a alors Resf f f
,a = m ;f f
(b) si a un ple dordre m en a alors 1 a un zro dordre m en a et
Res f
, a = m.k
Dmonstration. En effet, 1 est holomorphe en dehors des zros de g
et si g sannule en a alors g(z) = (z a) h(z), h ne g m sannulant
pas au voisinage de a, ce qui montre que 1 est mromorphe au
voisinage de a. Pour 2. (a), on a f (z) = (z a) g(z), gf g g
m 1 o g ne sannule pas en a. Donc f = za + g et g est holomorphe
au voisinage de a. Dans le cas 2. (b), on a f (z) = (za)m g(z) f g
m do f = za + g .
Nous verrons plus tard que toute fonction mromorphe dans un
ouvert simplement connexe est le quotient de deux fonctions
holomorphes dans louvert.
T HORME II.3.1 (Thorme des Rsidus).Soit un ouvert de C. Soient
zi , 1 i n des points deux--deux distincts de . Soit f une fonction
holomorphe dans \ {zi , 1 i n}. Soit un lacet dans \ {zi , 1 i n}
homotope un point dans . Alors
1 2i
f (z) dz = I (, zi ) Res ( f ; zi ) .i=1
n
Dmonstration. Pour chaque i, crivons
f (z) = ci (z zi )k + ci (z z0 )k = Qi + ci (z z0 )k k k k 0
0
1
+
+
le dveloppement en srie de Laurent de f au point zi , la srie Qi
convergeant dans {|z zi | > 0}. Alors f Qi est holomorphe au
voisinage de zi et, donc, f n Qi est holomorphe dans . Le Thorme de
Cauchy (Thorme II.1.1) donne donc i=1
f (z) dz = i
Qi (z) dz.
Comme Qi est une srie qui converge uniformment (et mme
normalement) dans {|z z0 | > 0}, on a
k
Qi (z) dz = ci k
1
(z zi )k dz,k
et, si k = 1, la forme (z zi ) dz tant exacte dans {|z zi | >
0}, on a (z zi ) dz = 0. Do le rsultat, par dnition de lindice
(Dnition I.2.3). P ROPOSITION II.3.4 (Thorme des Rsidus). Soit A un
sous-ensemble discret dun ouvert de C. Soit K un compact bord
orient dans dont la frontire ne rencontre pas A. Soit f une
fonction holomorphe dans \ A. Alors, en notant A K = {zi 1 i
n},
1 2i
K
f (z) dz = Res ( f ; zi ) .i=1
n
Dmonstration. Il suft de reprendre la preuve du Thorme prcdent
en remarquant que la formule de Stokes (Thorme I.2.3) donne K ( f
(z) i Qi (z)) dz = 0.
Philippe Charpentier
29
CHAPITRE II. FONCTIONS HOLOMORPHES P ROPOSITION II.3.5 (Thorme
de Rouch). Soit f une fonction mromorphe dans un ouvert et a . Soit
K un compact bord orient contenu dans . On suppose que f na pas de
ples sur le bord de K et que a f ( K). Alors /
1 2i
K
f (z) dz = Z P, f (z) a
o Z dsigne la somme des ordres de multiplicit des zros de f a
dans lintrieur de K et P la somme des ordres des ples de f dans cet
intrieur. Dmonstration. Soit g(z) = f (z) a. Par hypothse g ne
sannule pas sur K , donc elle est mromorphe sur et 1 est g
mromorphe sur un voisinage ouvert U de K tel que les ples de 1 dans
U sont en nombre ni et contenus dans lintrieur g de K ainsi que les
zros de g. Alors les ples de g dans U vrient la mme proprit. On
applique alors la formule de g la Proposition prcdente, les zi tant
les ples de g dans U et pour conclure, il suft dappliquer le 2. de
la Proposition II.3.3.g
T HORME II.3.2 (Thorme de lapplication ouverte).Soient un ouvert
de C, z0 un point de et f une fonction holomorphe dans non
constante dans un voisinage de z0 . On pose a = f (z0 ). Soit k
lordre du zro z0 de f a. Alors, pour tout > 0 il existe > 0
tel que, pour 0 < |a b| < lquation f (z) = b a exactement k
racines deux--deux distinctes dans le disque {|z z0 | < }. Ainsi
il existe un voisinage ouvert V {|z z0 | < } de z0 et un
voisinage ouvert W de a tels que f (V ) = W . En particulier f est
une application ouverte. Dmonstration. Comme f est non constante
dans un voisinage de z0 , daprs le principe des zros isols
(Proposition II.2.3) on peut trouver > 0 et > 0 tels que,
pour |a b| < les fonctions f b et f ne sannulent pas dans {0
< |z z0 | }. Par1 suite b 2i {|zz0 |=} f (z)b dz est une
fonction continue sur {|a b| < }, et, comme elle prend des
valeurs entires (Thorme de Rouch ci-dessus), elle est constante
gale k. Le Thorme de Rouch dit donc que, pour b = a, f b a k
racines (multiplicits comprises) dans {0 < |z z0 | }. Enn,
comme, par construction, f ne sannule pas dans cet ensemble, ces
racines sont toutes simples. f (z)
Remarque. On notera que ce rsultat redmontre le principe du
maximum local (de faon plus prcise) et que celui-ci sapplique e f
et m f , ce que nous reverrons au chapitre suivant. C OROLLAIRE .
Dans les conditions du Thorme, si de plus f (z0 ) = 0 alors f est
bijective de V sur W et f ne sannule pas dans V . Ainsi, f est un
diffomorphisme de V sur W et f 1 est holomorphe sur W . On dit que
f est un biholomorphisme de V sur W . Dmonstration. Le Thorme dit
que f est bijective et comme d f ne sannule pas sur V , f est un C
-diffomorphisme par le f g Thorme dinversion locale. Soit g = f 1 .
Comme f (g(w)) = w sur W , en drivant par rapport w, il vient z
(g(w)) w = 0f g puisque f est holomorphe. Comme z = f ne sannule
pas sur V , il vient donc w 0 sur W ce qui signie que f 1 est
holomorphe.
Dans les conditions du Corollaire, f 1 est donc dveloppable en
srie entire au voisinage de f (z0 ). On peut donc essayer de
chercher directement f 1 sous forme dune srie entire. En utilisant
alors la mthode dite des sries majorantes , on peut obtenir une
information sur la taille de W . Nous allons rapidement dcrire
cette mthode maintenant. Pour simplier les notations, par
translation et homothtie, on peut supposer z0 = 0 et f (0) = 1. Le
point de dpart de la mthode est le Lemme formel suivant (dont la
dmonstration, que nous ne ferons pas, ne pose aucune difcult) :
Lemme II.3.1. Il existe une suite universelle de polynmes Pk N [X1
, . . . , Xk1 ], k 2, telle que, pour toute srie entire de rayon de
convergence > 0 scrivant S(z) = z an zn , si, pour tout n 2, on
pose Gn (w) = w + n Pk (a2 , . . . , ak ) wk , les n=2 k=2 fonction
(qui sont holomorphes au voisinage de lorigine) z Gn (S(z)) z et w
S (Gn (w)) w sannulent en 0 ainsi que toutes leurs drives dordre n.
crivons alors le dveloppement de f au voisinage de 0 sous la forme
f (z) = z an zn et notons r > 0 le rayon n=2 de convergence de
cette srie. La thorie des sries entire nous assure quil existe un
nombre M 1/r tel que, pour tout n 2, on a |an | M n . Considrons
alors la srie entire k(z) = z M n zn . Cette srie tant gomtrique,
la calcul n=2 de sa somme montre immdiatement que lquation (en z) w
= k(z) est une quation du second degr dont la solution
z(w) holomorphe au voisinage de lorigine est la fonction h(w)
=
1+Mw (1+Mw)2 4w(M+M 2 ) 2(M+M 2 )
, o la racine dsigne la ra-
cine carre qui est holomorphe sur le disque D(1, 1) valant 1 au
point 1. Soit h(w) = w + bn wn le dveloppement n=2 en srie entire
de h au voisinage de lorigine. Posons hn (w) = w + n bk wk . Daprs
le Lemme, si on pose hn (w) = w + k=2 30 Universit Bordeaux I -
Master de Mathmatiques Pures - Analyse Complexe - Automne 2010
II.4. LE THORME DE PHRAGMEN-LINDELFn n Pk M 2 , . . . , M n wk ,
on a k (hn (w)) k hn (w) = O (|w| ), et, comme k est inversible au
voisinage de lorigine (par le k=2
Corollaire prcdent), on a hn (w) hn (w) = O (|w| ), ce qui
montre que le dveloppement de h au voisinage de lorigine 1+Mw 1w
(w) est h(w) = w + Pn M 2 , . . . , M n wn . Comme la fonction h
est explicite, en crivant h(w) = , le rayon de n=2 2n 2(M+M
convergence de son dveloppement est est suprieur celui donn par
la condition |w (w)| < 1 cest--dire
)
|w| < R =
1 . 1 + 2 M + 4M 2
a ainsi obtenu le rsultat quantitatif suivant :
Comme les coefcients des polynmes Pk sont des entiers positifs
ou nuls, le rayon de convergence de la srie g(w) = w + Pn (a2 , . .
. , an ) wn est R, et, daprs le Lemme, f g Id et g f Id ont un zro
dordre inni lorigine. Comme on n=2 vrie facilement que |h(w)| <
1/M pour |w| < R, on a aussi |g(w)| < 1/M sous la mme
condition, ceci implique f 1 = g. On P ROPOSITION II.3.6. Soit f
une fonction holomorphe dans un disque D (z0 , r), r > 0, telle
f (z0 ) = 0. Soit f (z) = f (z0 ) + f (z0 ) [(z z0 ) an (z z0 )n ]
le dveloppement en srie entire de f dans D (z0 , r). Soit M 1/r tel
que, pour tout n=2 n 2, |an | M n . Alors il existe un voisinage
ouvert V de z0 contenu dans D (z0 , r) tel que f|V soit un
biholomorphisme de 1 V sur le disque D ( f (z0 ) , R), avec R = | f
(z0 )| 2.
(1+ 2)M+4M
P ROPOSITION II.3.7 (Thorme de Rouch). Soient un ouvert de C, K
un compact bord orient contenu dans et f et g deux fonctions
holomorphes dans . Si | f (z) g(z)| < | f (z)| + |g(z)| sur K
(auquel cas f et g ne sannulent pas sur K ), les fonction f et g
ont le mme nombre de zros (compts avec multiplicit) dans lintrieur
de K . Dmonstration. En effet, si est un paramtrage positivement
orient de K , daprs le Thorme de Rouch (Proposition II.3.5) ces
nombre de zros sont les indices I (1 , 0) et I (2 , 0) o 1 = f et 2
= g et le rsultat t vu la Proposition I.4.5.
II.4
Le Thorme de Phragmen-LindelfDans cette dernire section nous
donnons un exemple classique de principe du maximum global pour une
fonction holomorphe sur un ouvert non born de C, et montrons, par
un exemple que ce principe nest pas vrai, en gnral, dans ce
contexte :
T HORME II.4.1 (Thorme de Phragmen-Lindelf).Soit = {z C tels que
< a < ez < b < +}. Soit f une fonction holomorphe dans
, continue dans et borne. Pour a x b, on pose M(x) = supez=x | f
(z)|. Alors, pour a < x < b, on a
M(x)ba M(a)bx M(b)xa .En particulier, M(x) max {M(a), M(b)} ce
qui est le principe du maximum global , mais il faut noter que
lingalit donne un renseignement plus fort puisque, en particulier,
si M(a) ou M(b) est nul, alors f est identiquement nulle. Si on
supprime lhypothse f est borne sur , il se peut que f soit borne
sur le bord de sans tre borne sur comme le montre lexemple suivant
: Exemple. Prenons a = 0 et b = 1 dans la dnition de dans le Thorme
et f (z) = ee . On a alors f (iy) = ee iey de sorte que | f (z)| =
1 si z appartient au bord de . Par contre f 1 + iy = eey est non
borne. f (1 + iy) = e 2
(izi ) 2
y
et
Philippe Charpentier
31
CHAPITRE II. FONCTIONS HOLOMORPHES Dmonstration. Supposons tout
dabord M(a)M(b) > 0 et considrons le cas M(a) = M(b) = 1. Pour
> 0 posons h (z) = 1 1+(za) . On vrie aussitt que |h (z)| 1 sur
, et, par suite, pour z , | f (z)h (z)| 1. Dautre part, |1 + (z
a)|
R = |mz|
Pour le cas gnral, lorsque M(a)M(b) > 0, considrons la
fonction g(z) = M(a) ba M(b) ba . g est holomorphe sur , ne sannule
pas et
. Daprs ce qui prcde, on a | f (z)h (z)| 1 sur la frontire de R
, et le principe du maximum global (Proposition II.2.8) dit que
cette ingalit reste vrai sur R . Soit un point de x. Pour 0 on a R
et donc | f ( )h ( )| 1. Comme lim0 h ( ) = 1, on a | f ( )| = 1 ce
qui prouve le Thorme dans ce cas.B bz za
|mz|, et, si | f | B sur (hypothse !), en tout point z de on a |
f (z)h (z)|
B |mz| .
Considrons alors le rectangle
e
sont minors sur de sorte que 1/g est borne sur et donc aussi
f/g. Comme |g(z)| = M(a) sur {ez = a} et |g(z)| = M(b) sur {ez =
b}, f/g vrie les hypothses du cas particulier trait prcdemment donc
| f/g| 1 sur ce qui est le rsultat cherch. Reste le cas M(a)M(b) =
0. Alors il existe clairement une suite n de rels positifs qui
tends vers 0 telle que si on remplace f par f + n on a, pour cette
nouvelle fonction, M(a)M(b) > 0, ceci pour tout n. On peut donc
lui appliquer lingalit que nous venons de dmontrer. Comme, pour
chaque x [a, b], la suite de fonctions y f (x +iy)+n converge vers
y f (x +iy) uniformment sur R, la dmonstration est termine.
bz log M(a) ba
et e
za log M(b) ba
ExercicesE XERCICE II.1 (formule de Cauchy). Calculer les
intgrales curvilignes| +i|=3
sin
d , +i
cos , 2 2 | |=4
d , n | |=2 ( 1) ( 3)
les chemins dintgration mentionns tant parcourus une seule fois
dans le sens trigonomtrique.
E XERCICE II.2 (holomorphie et formule de Cauchy). Soit f une
fonction valeurs complexes dnie et continue dans la couronne ferme
Cr,R := {r |z| R} du plan complexe (o r < R sont deux nombres
strictement positifs), holomorphe dans la couronne ouverte Cr,R :=
{r < |z| < R}. On note respectivement r et R les lacets t [0,
1] re2it et t [0, 1] Re2it . Montrer que, pour tout entier n Z,f
(z) = 1 2iR
n f ( ) d zn ( z)
r
n f ( ) d zn ( z)
z Cr,R .
En dduire, pour tout z Cr,R , les formules de reprsentation
approches :
f (z) =
1 lim 2i n+
R
n f ( ) 1 d = lim zn ( z) 2i n+
r
zn f ( ) d . n ( z)
E XERCICE II.3 (holomorphie et formule de Cauchy). Soit f une
fonction holomorphe dans C . Montrer quil existe une unique
fonction F holomorphe dans C telle que r > 0 , F(z) = 1 2i f ( )
d z z D(0, r) ,
r
o r : t [0, 1] re2it . Quelle est la fonction F lorsque f (z) =
zn , n Z ?
E XERCICE II.4 (holomorphie et formule de Cauchy). Soit I = [ia,
ib] un intervalle ferm de laxe imaginaire du plan complexe (avec a
< b) et f une fonction holomorphe dans un voisinage ouvert de I
. Pour tout z C \ I , on pose(z) :=32
1 2i
I
f ( ) d . z
Universit Bordeaux I - Master de Mathmatiques Pures - Analyse
Complexe - Automne 2010
EXERCICES Montrer que la fonction est holomorphe dans C \ I et
que, pour tout z dans I , on a
f (z) = lim ( ) = lim ( ).Re 0
z
E XERCICE II.5 (dveloppement en srie entire et formules de
Cauchy pour les coefcients de Taylor). Soit f une fonction
holomorphe dans un voisinage du disque ferm D(0, 1), injective sur
ce disque ferm. Montrer que f : t [0, 1] f (e2it ) est un lacet
continu simple et appliquer la formule de Green-Riemann pour
montrer que la surface A f du domaine enserr par le support de ce
lacet vautAf = 1 2i zdz = 1 2i f ( ) f ( ) d avec : t [0, 1] e2it
.
f
Si f (z) = an zn est le dveloppement de f au voisinage de 0,
vrier la relation n=0
n=1
n|an |2 =
Af ( sup | f (z)|)2 . |z|=1
E XERCICE II.6 (nombres de Bernoulli). En faisant la division
suivant les puissances croissantes de X par k1 X k /k!, on
obtientBk k X , k=0 k!
o les Bk sont les nombres de Bernouilli. Quel est le rayon de
convergence de la srie entire [(Bk /k!)zk ]k0 ?
E XERCICE II.7 (fonctions de Bessel). Soit z C. Montrer quil
existe une collection de nombres complexes (Jn (z))nZ tels que C ,
expVrier que pour tout entier n Z et pour tout z C,
1 z 2
=
Jn (z) n .nZ
Jn (z) =
z 2
n
(1)k z k!(n + k)! 2 k=max(0,n)
2k
.
Montrer enn que Jn est une fonction holomorphe dans C, solution
de lquation diffrentielle de Bessel
z2 Jn (z) + zJn (z) + (z2 n2 )Jn (z) = 0.Exprimer en fonction de
J1 la transforme de Fourier de la fonction caractristique du disque
unit.
E XERCICE II.8 (holomorphie et dveloppement en srie).
Existe-t-il une fonction f holomorphe au voisinage de lorigine dans
C et telle quef (1/n) = f (1/n) = 1/(2n + 1)pour tout n N ? Mme
question avec cette fois les contraintes
| f (1/n)| 2n
n N.
E XERCICE II.9 (holomorphie et dveloppement en srie). Soit f une
fonction holomorphe dans D(0, 1) et telle que f (1/n) = f (1/n)
pour tout n N . Montrer que la fonction f se prolonge en une
fonction holomorphe dans C tout entier. E XERCICE II.10 (drive dune
fonction holomorphe). Soient f1 , ..., fm m fonctions holomorphes
dans un ouvert connexe U de C, telles que n | f j |2 soit une
fonction constante j=1 dans U . Montrer qualors toutes les
fonctions f j , j = 1, ..., m, le sont aussi.Philippe
Charpentier33
CHAPITRE II. FONCTIONS HOLOMORPHES
E XERCICE II.11 (srie de Fourier dune fonction holomorphe
priodique). Soit f une fonction holomorphe sur C telle que f (z +
1) = f (z) pour tout z C. Montrer quil existe une fonction g
holomorphe dans C telle que f (z) = g(e2iz ). Montrer que lon a,
pour tout w dans C ,g(w) =avec+
k=
ak wk ,
ak =
1 0
f (t + ib)e2ik(t+ib) dt
b R.
E XERCICE II.12 (holomorphie et dveloppement en srie). Soit F =
P/Q C(X) et R le maximum des modules de tous les ples de F dans C.
Montrer que, pour |z| > R, la fonction F se dveloppe dans la
couronne {|z| > R} sous la formeF(z) = am zm + + a0 + ak , k k=1
z
()
o m N, am , ..., a0 C et la suite (ak )kN vrie une certaine
relation de rcurrence linaire. Rciproquement, si F est une fonction
holomorphe dans une couronne {|z| > R} se dveloppant sous la
forme (), o la suite (ak )kN obit une relation de rcurrence
linaire, peut-on afrmer que F est la restriction la couronne {|z|
> R} dune fraction rationnelle ?
E XERCICE II.13 (holomorphie et dveloppement en srie ; procd
sommatoire de Borel).
1. Soit f (z) = an zn une fonction holomorphe dans D(0, R) (R
> 0). Montrer que lon dnit une fonction entire F n=0 en
posant
F(z) =et que, lon a, pour tout r ]0, R[, pour tout z C,
n=0
n! znf ( )ez/ d .
an
F(z) =
1 2i
r
2. Soit F une fonction entire telle que |F(z)| = O(exp(|z|))
lorsque |z| tend vers + (pour un certain > 0) et bn = F (n)
(0)/n! pour n N. En utilisant les ingalits de Cauchy, montrer que
le rayon de convergence de la srie [n!bn zn ]n0 est au moins gal 1/
.
Vrier aussi que pour tout ]0, R[, |F(z)| = O(exp(|z|/) lorsque
|z| tend vers +.
E XERCICE II.14 (singularits essentielles ou non). Quel est le
type des singularits des fonctions suivantesz 1 z 1 cos , z cotan z
, z z(e1/z 1) ? z2 1 z+1 z
E XERCICE II.15 (singularits essentielles ou non).
1. Soit f une fonction holomorphe dans un voisinage point de
lorigine (lorigine est retire), telle que | f (z)| C|z|1/2 lorsque
|z| tend vers 0. Montrer que la singularit de f en 0 est une
singularit liminable (cest--dire que f peut se prolonger en une
fonction holomorphe au voisinage de 0).
2. Soit f une fonction holomorphe dans un voisinage point de
lorigine (lorigine est retire). Montrer que 0 est une singularit
essentielle de f si et seulement si, pour tout n N,r0
lim [rn (sup | f (z)|)] = +.|z|=r
3. Soit f une fonction holomorphe dans un voisinage point de
lorigine (lorigine est retire), mromorphe lorigine (cest--dire
prsentant en 0 une singularit non essentielle, dite aussi ple).
Soit g une fonction holomorphe dans C non polynomiale. Montrer que
0 est une singularit essentielle de g f .
En dduire que si g est une fonction holomorphe au voisinage de
0, non identiquement nulle, et telle que g(0) = 0, alors f g a une
singularit essentielle en 0 ds que f en a une.
4. Soit f une fonction holomorphe dans un voisinage point de
lorigine (lorigine est retire), prsentant une singularit
essentielle en 0. Montrer que, si g est une fonction holomorphe
dans C et non constante, g f prsente une singularit essentielle en
0. Universit Bordeaux I - Master de Mathmatiques Pures - Analyse
Complexe - Automne 2010
34
EXERCICES
E XERCICE II.16 (ingalits de Cauchy et thorme de Liouville).
Soient f et g deux fonctions holomorphes dans C et telles que | f
(z)| C|g(z)| pour tout z C. Montrer que f = g, o est un nombre
complexe tel que | | C. Que peut-on dire dune fonction entire f
telle que | f (z)| eRe z ? E XERCICE II.17 (ingalits de Cauchy).
Soit f une fonction holomorphe dans la couronne ouverte Cr,R := {z
; r <
