ANALYSE DES RAISONNEMENTS D’‰LˆVES € .**** Universit© du Qu©bec   ... Les recherches sur

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  • Adihou A., Squalli H., Saboya M., Tremblay M., Lapointe A. (2015) Analyse des raisonnements dlves travers des rsolutions de problmes de comparaison. In Theis L. (Ed.) Pluralits culturelles et universalit des mathmatiques : enjeux et perspectives pour leur enseignement et leur apprentissage Actes du colloque EMF2015 GT3, pp. 206-219.

    ANALYSE DES RAISONNEMENTS DLVES TRAVERS DES RSOLUTIONS DE PROBLMES DE COMPARAISON

    Adolphe ADIHOU* Hassane SQUALLI**- Mireille SABOYA*** Mlanie TREMBLAY****

    Annick LAPOINTE*****

    Rsum Nous exposons quelques rsultats dune recherche conduite auprs dlves du premier cycle du secondaire au Qubec (12-14 ans) visant documenter les raisonnements algbriques et arithmtiques mobiliss par ces lves dans la rsolution de problmes crits de type comparaison, gnralement utiliss lentre du secondaire. Lanalyse amne constater une cohabitation, des allers-retours entre les penses arithmtique et algbrique.

    Mots-clefs : algbre, arithmtique, structure, rsolution de problmes, raisonnements

    Abstract - We present some results of a research conducted with junior high school students in Quebec (12- 14 years ) to document the algebraic and arithmetic reasoning mobilized by these students in solving word problems type comparison, typically used at the entrance of the school. The analysis leads to the recognition of cohabitation, back and forth between arithmetic and algebraic thinking.

    Keywords: algebra, arithmetic, structure, problem solving, reasoning

    I. CONTEXTE DE LA RECHERCHE

    Ltude sinscrit dans la continuit de deux recherches qubcoises ; celle de Bednarz et Janvier (1992), ralise aprs la rforme des annes 1980 et celle de Marchand (1998) ralise aprs la rforme des annes 1990 (Saboya, Besanon, Martin, Adihou, Squalli, Tremblay 2014). Comme ces deux recherches notre tude vise clairer le travail fait dans la rsolution de problmes de comparaison en algbre aprs les changements mis sur pied dans le curriculum des mathmatiques au secondaire dans les annes 2000. Par ailleurs, Oliveira et Camara (2011) ont men une tude qui brosse le portrait de la rsolution de ces problmes pour les lves de 6e anne primaire et du premier cycle du secondaire au Brsil et au Qubec. Dans la recherche dont nous faisons tat dans cette contribution, et dans une perspective du dveloppement de la pense algbrique, nous avons conu et soumis des

    * Universit Sherbrooke Canada - Adolphe.Adihou@USherbrooke.ca ** Universit Sherbrooke Canada - Hassane.Squalli@USherbrooke.ca *** Universit du Qubec Montral Canada - Saboya.Mireille@uqam.ca **** Universit du Qubec Rimouski Canada - Melanie_Tremblay@uqar.ca ***** Universit Sherbrooke Canada - Annick.Lapointe@USherbrooke.ca

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    problmes qui valorisent des raisonnements algbriques chez les lves du 1er cycle du secondaire (1re anne : 12/13 ans et 2e anne : 13/14 ans) (Saboya et al. 2014).

    II. LEMENTS DE PROBLMATIQUE

    Les recherches sur le recours aux problmes texte dans lenseignement de lalgbre sont trs varies : celles qui tudient la place et le rle des problmes dans le curriculum de lenseignement secondaire, celles qui tudient les difficults lies leur rsolution, celles qui tudient le contenu quils vhiculent et celles qui se focalisent sur les problmes pour tudier le passage de larithmtique vers lalgbre. Ainsi, les annes 90 ont vu la ralisation dune varit de recherches sur lenseignement et lintroduction de lalgbre par le biais de la rsolution de problmes. Cest le cas de Bednarz et Janvier (1996) qui soulignent dans leur introduction For many reasons, we must consider problem solving as a significant perspective through which to introduce students to algebra (p.115). Dans leurs tudes, elles mettent en vidence les diffrentes perspectives dintroduction de lalgbre entre autres le dveloppement des habilets gnraliser et raisonner de manire analytique qui sont deux composantes essentielles de la pense algbrique (Squalli 2000), et a fortiori, deux enjeux de lenseignement et de lapprentissage de lalgbre au moment de son introduction.

    De nombreuses recherches empiriques ont montr quau lieu de stratgies algbriques de rsolution de problmes, un grand nombre d'lves prfrent utiliser des stratgies arithmtiques. Ces recherches ont mis en vidence le fait que lorsquil sagit de rsoudre une quation, plusieurs ont de la difficult oprer sur linconnue et utilisent plutt la mthode par essais et erreurs, qui est souvent efficace dans certains problmes scolaires. Filloy et Rojano (1984) considrent que dans de tels cas il existe une coupure didactique le long de la ligne dvolution dune pense arithmtique une pense algbrique chez l'lve. A linstar de ces recherches, Marchand (1998) a travaill spcifiquement sur laspect analytique de lintroduction lalgbre. Elle a montr quil existait des discontinuits dans la nature et la complexit des problmes proposs aux lves dun niveau scolaire un autre dans le cadre du programme de 1993. Elle a constat que peu dlves du premier cycle du secondaire effectuait le passage un raisonnement algbrique, plusieurs privilgiant le raisonnement essais et erreurs qui taient pourtant peu frquent avant la rforme de 1993.

    Par ailleurs, le programme qubcois (Gouvernement du Qubec 2006) prconise dintroduire lalgbre par une double voie : 1) par la gnralisation et 2) par lintroduction au raisonnement analytique dans le cadre de la rsolution de problmes (considrer linconnue et oprer sur elle comme on opre sur les donnes connues). En effet, la capacit gnraliser et celle raisonner sur linconnue favorisent la capacit symboliser (Squalli 2000) et ces deux voies favorisent lintroduction du langage symbolique de lalgbre. En effet, comme le prcise Pimm (1995):

    We symbolise when we want something that is absent or missing in some way and then we work on or with the symbol as a substitute, and on occasion as a consolation.

    [] One central reason, then, for symbolising is that symbols allows us to manipulate, by proxy, things that are not easily handled, or which are even impossible to handle, by our physical selves (p. 109).

    Par contre pour la premire voie, le travail de Denis (1997) et celui de Squalli, Theis, Ducharmes-Rivard et Cotnoir (2007) ont mis en vidence le glissement qui sest opr dans les manuels: de lide dexploitation de situations qui se voulaient prtexte une gnralisation et lintroduction du symbolisme algbrique, un enseignement devenu avant tout celui des suites numriques. Concernant la seconde voie, par une analyse des problmes utiliss dans des manuels pour lintroduction lalgbre (nature et complexit), Marchand

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    et Bednarz (1999) ont mis en vidence que les problmes choisis naident pas les lves voir la pertinence dun passage au raisonnement algbrique (raisonner de manire analytique) et saisir la puissance de lalgbre (Squalli 2002) dans la rsolution dune classe de problmes pour laquelle le raisonnement arithmtique se rvle en ralit suffisant. Bednarz et Janvier (1994) distinguent trois classes de problmes : des problmes de taux, des problmes de comparaison et des problmes avec des transformations dans le temps. Elles ont mis en place une grille pour analyser des problmes arithmtiques et algbriques et leur complexit. Bednarz et Janvier (1996) ont tudi la rsolution de problmes sous langle de continuit et de discontinuit entre la rsolution avec larithmtique et lapproche algbrique. Elles ont analys la faon dont les lves procdent lors dune rsolution arithmtique (les raisonnements, le traitement, lutilisation des relations, etc.) dans le but de faire un lien entre une rsolution arithmtique et celle algbrique. Elles ont ainsi fait ressortir la diffrence qui existe entre le calcul relationnel luvre lors dune rsolution arithmtique et dune rsolution algbrique. The preceding analysis appears to link a priori this way of connecting the problem (algebraic solution) to the reasoning we called numeric trial (p.128). Dans leur conclusion, elles ont laiss transparatre que la difficult des tudiants rsoudre un problme par larithmtique pourrait tre une motivation pour passer une rsolution par lalgbre. Leur tude fait aussi ressortir les difficults des lves de revenir des rsolutions arithmtiques lorsque ces derniers maitrisent les rsolutions algbriques.

    Dans la perspective du dveloppement de la pense algbrique, quels sont les raisonnements algbriques chez les lves du 1er cycle du secondaire ? Nous analysons les raisonnements utiliss par les lves dans la perspective selon laquelle la pense algbrique articule les dimensions arithmtique et algbrique.

    III. CADRE DE RFRENCE

    Dans cette perspective, il importe alors de pouvoir reconnaitre et distinguer les diffrentes stratgies de rsolution mobilises par les lves en situation pour ainsi mieux adapter les interventions. Le raisonnement algbrique est caractris, entre autres, par la capacit se dtacher des grandeurs et du contexte (habillage du problme) soit pour oprer sur linconnue, soit pour modliser des relations, soit pour gnraliser un phnomne. Pour ce faire, on a recours lutilisation doutils smiotiques (tels que les graphiques ou les symboles algbriques) qui permettent la reprsentation et le calcul algbrique (Kieran 2007; Squalli 2003). On entend alors par raisonnement analytique cette capacit se servir de linconnue comme si elle tait dj connue pour en tirer des conclusions ncessaires

    jusqu en obtenir quelque chose qui soit a dj t dmontr vrai ou a dj t dmontr faux. (traduction libre de Lins, 1993, produite par Jeannotte 2009). Bednarz et Janvier (1992) et Lins (1993) voient le raisonnement analytique comme tant une constituante importante du raisonnement algbrique.

    Depuis fort longtemps, les Anciens opposaient