Analyse Signal

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Cours Thme II ANALYSE DU SIGNALI- PROPRITS TEMPORELLES DU SIGNAL1- Gnralits La plupart des grandeurs physiques sont variables au cours du temps. Donnons quelques exemples : la pression atmosphrique (P en mbar) mesure sur plusieurs jours, l'clairement (E en lux) d au soleil sur une journe, la tension lectrique fournie par EDF en quelques millisecondes, les champs lectrique et magntique produits par un four "micro-ondes" mesur en quelques nanosecondes.

2- Signal quelconque C'est un signal qui ne ne possde aucune proprit particulire. Cependant, quelques caractristiques peuvent tre dfinies (valeur maximale et valeur minimale). Prenons, par exemple, la visualisation du courant lectrique traversant une antenne radio :10 ) i (

On mesure :Imax

8 6 4

Imax = 8A Imin = -2AImin

2 0 0 -2 -4 2 4 6 8 10

t (s)

3- Signal priodique La priode Beaucoup de grandeurs ont des variations qui se reproduisent identiquement entre deux instants conscutifs. Dfinition : On dfinira la priode, en secondes, d'une grandeur priodique s(t) comme la plus petite dure T vrifiant la relation : s( t + T) = s(t). Remarque : L'tude d'un signal priodique pourra donc se faire sur une seule priode. La frquence Dfinition : La frquence F, exprime en Hertz (Hz), d'une grandeur priodique est le nombre de priodes contenues dans une dure gale une seconde. En une seconde, on aura F priodes de dure T donc F.T = 1s ce qui donne :t (ms)

Les grandeurs variables dpendent du temps, on les notera en lettres minuscules. Par exemple on notera que le courant i = 20 mA l'instant t = 80 s; il s'agit de la valeur instantane du courant ( un instant prcis). La grandeur variable sera reprsente sur l'ordonne d'un graphique dont l'abscisse est le temps. Exemple : Le graphique ci-contre reprsente une tension dont les variations ont t enregistres durant 10 ms : Les units, les chelles et les graduations doivent tre prcises pour pouvoir exploiter l'enregistrement.12 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10

u (V)

F=

1 avec F en Hertz (Hz) et T en secondes (s) . T

Les multiples pour l'unit de frquence sont : Le kilohertz : 1 kHz = 103 Hz (T=1ms). Le mgahertz : 1 MHz = 106 Hz (T=1s). Le gigahertz : 1 GHz = 109 Hz (T=1ns). Le trahertz : 1 THz = 1012 Hz (T=1ps)TS IRIS ( Physique Applique ) Christian BISSIERES http://cbissprof.free.fr Page 1 sur 11 Thme 2 : ANALYSE DU SIGNAL

On peut citer quelques frquences utilises en lectricit et lectronique : Rseau EDF : f = 50 Hz ( T = 0,02 s ou 20ms ). France Inter en grandes ondes : f = 162 kHz. Bande radio FM : de 88 MHz 108 MHz. Tlphone cellulaire : 900 MHz et 1,8 GHz. La valeur moyenne Prenons le graphique ci-dessous (variation d'une grandeur x) et essayons d'ajuster une droite horizontale (tension continue) qui reprsenterait la moyenne Xmoy des valeurs prises par la grandeur variable x(t).

Le fait que A+ = A- implique que la surface A est aussi gale la surface du rectangle de largeur T et de hauteur Xmoy . On a donc A = Xmoy .T

Xmoy =

AT

.

Dfinition : La valeur moyenne d'une grandeur priodique x(t) de priode T est la tension constante Xmoy dfinie par la relation : la courbe x(t) et l'axe des abscisses. Mthode de calcul : Calcul de la surface A en faisant la somme algbrique de toutes les surfaces pour une priode T ( si la courbe est en dessous de l'axe, la surface sera ngative ). A Finir par le calcul X moy = . T

Xmoy = A avec A surface entre T

x(t)

A+Xmoy

A0 0 T

Remarque : Le calcul de la surface peut aussi se faire l'aide d'un intgrale mathmatique. 1 t 0 +T x ( t )dt Ce qui donne la relation : X moy =< x ( t ) >= t T 0

tExemple de calcul pour une tension : Calculons la valeur moyenne de la tension u(t) reprsente sur l'oscillogramme cicontre : A = A1 + A2 = ( 32 ) ( 21.10-3 ) + ( -12 ) ( 31.10-3 ) = 12.10-3 6.10-3 = 6.10-3 V.s A10V Voie 1 : 2V / div DC Voie 2 : Inactive DC Temps : 1ms / div

On peut dfinir deux surfaces : La surface A+ entre la courbe x(t) et la droite Xmoy ( partie suprieure la droite ); La surface A- entre la courbe x(t) et la droite Xmoy ( partie infrieure la droite ). La droite Xmoy a pour ordonne la valeur moyenne des valeurs de x(t) ce qui implique que les surfaces A+ et A- sont gales.

A2

x(t)

AA l'aide du schma ci-contre, dfinissons la surface A entre la courbe x(t) et l'axe des abscisses.0 0http://cbissprof.free.fr

6.103 < v1 >= A = = 1,2 V. T 5 1.10 3Remarques : Une grandeur ayant une valeur moyenne nulle est appele grandeur alternative. La valeur moyenne est aussi appele "Composante continue". La valeur moyenne d'une grandeur x se note aussi < x > .

Xmoy

AtTPage 2 sur 11

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Thme 2 : ANALYSE DU SIGNAL

Composante continue et composante variable En lectronique, on rencontre souvent des signaux ayant une valeur moyenne non nulle (composante continue) et une composante variable alternative autour de la valeur moyenne. Prenons, par exemple, le cas d'une tension u(t) observe l'oscilloscope :Composante continue (DC) 0 volt Amplitude de la composante variable (AC)

Amplitude : L'amplitude Smax est la valeur maximale du signal qui va donc varier de +Smax Smax. Pulsation : La pulsation reprsente l'angle parcouru par la sinusode durant une seconde. La frquence f reprsente le nombre de priodes effectues durant une seconde. Sachant qu'une priode T reprsente un angle de 2 rad, les relations entre , f et T sont :

= 2fHz b- Reprsentation par vecteur de Fresnel

= 2 Trad.s-1 s

Dans la suite du cours, on notera Umoy la valeur moyenne (composante continue) et uond la tension variable alternative. On a alors la relation : u(t) = Umoy + uond . 4- Signal alternatif sinusodal a- Expression temporelle Une grandeur sinusodale s(t) est reprsent par l'expression :

Pour un circuit linaire, les deux grandeurs intressantes en rgime sinusodal sont la valeur efficace et la phase l'origine. Nous allons voir qu'il est possible de reprsenter ces deux grandeurs l'aide d'un vecteur et d'un axe Ox comme repre de rfrence. Dfinition : Le vecteur U associ au signal sinusodal u(t) est appel vecteur de Fresnel et a les proprits suivantes : Son origine est le point 0. L'angle orient Ox, U qu'il fait avec l'axe de rfrence Ox est gal la phase l'origine U de u(t) Sa longueur (norme) reprsente la valeur efficace U de u(t) soit

s(t) = Smax sin(t + )Smax est l'amplitude ( le signal varie de +Smax Smax ) t est la variable reprsentant le temps en seconde est la pulsion en rad.s-1 est la phase l'origine en radian ( compatible avec t en radian ).s(t)S m ax

(

)

U max 2

.

Remarque :La valeur efficace sera dfinie dans la suite du cours. Exemple : Soit la tension u(t) = 12 2 sin(100t + / 3) , le vecteur de Fresnel U associ est reprsent ci-dessous : u(t) ULongeur = 3cmt (ms)-5 5 15 25

(rad)0

U m a x 17V

t (s)

u x 0Echelle : 1cm 4V

-S m axTS IRIS ( Physique Applique ) Christian BISSIERES

u = /3

2

( rad )

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Thme 2 : ANALYSE DU SIGNAL

5- Signal de type "rponse d'un systme" c- Reprsentation par nombre complexe Un nombre complexe peut avoir une reprsentation vectorielle dans laquelle la longueur et l'angle reprsentent respectivement le module et l'argument du nombre complexe reprsent. Rappel de Mathmatiques Le nombre complexe z = a + jb est compos d'une partie relle a et d'une partie imaginaire b. La reprsentation vectorielle OM du nombre complexe permet d'illustrer ses proprits :Axe des imaginaires1,05E E 0,95E 0,90E

Dans de nombreux domaines (mcanique, lectrique, hydraulique ...), le signal en sortie d'un systme est souvent de type "oscillant amorti". Prenons l'exemple de la tension aux bornes du condensateur dans un circuit RLC srie soumis une tension continue E (chronogramme ci-dessous) :

u (volt)

Reprsentation cartsienne : z = a + jb Reprsentation polaire : z = ( Z , ) Avec module Z = a 2 + b2 et argument = tan 1 b si a > 0. a Dfinition :bb = Z sin

M

Z 0a = Z cos Axe des rels

a0,10E 0 0 1 2

tr 5% = 7s t (s)3 4 5 6 7 8 9 10

Le nombre complexe U = (U , U) associ au signal sinusodal u(t) a les proprits suivantes : . 2 Remarque :La valeur efficace sera dfinie dans la suite du cours. Son argument U reprsente la phase l'origine de u(t). Son module U reprsente la valeur efficace de u(t) soit

tm = 0,7sU maxPour ce type de signal, on peut dfinir quelques caractristiques : Valeur finale : Valeur que prend le signal au bout d'un temps infini. Dans notre exemple : Valeur finale = lim u ( t ) = E.t

Exemple : Prenons par exemple le courant sinusodal i(t) = 5 2 sin(t 3 / 4 ) (A). Le nombre complexe I associ i(t) est : I = [ 5 , -3/4 ] (A) ( reprsentation polaire ). I = 5cos(-3/4) + j5sin(-3/4) I -3,54 j3,54 (A) ( reprsentation cartsienne ).

Temps de rponse 5% : Temps que met le signal pour tre compris entre 95% et 105% de la valeur finale. Dans l'exemple : tr 5% 7s. Temps de monte : Temps que met le signal pour passer de 10% 90% de la valeur finale. Dans l'exemple : tm 0,7s.

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Thme 2 : ANALYSE DU SIGNAL

II- PROPRITS FRQUENTIELLES DU SIGNAL1- Introduction Utilisons un logiciel tableur-grapheur pour effectuer la somme de plusieurs signaux sinusodaux d'amplitude et de frquence donne :1,5 1 0,5 0 -0,5 -1 -1,5

Observation : La somme de signaux sinusodaux de frquences multiples ( , 3, 5 ...) et d'amplitudes dfinies par avance semble donner un signal carr s(t) alternatif -1V / +1V de frquence gal