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Analysis I Kurzskript
25. Januar 2013
Inhaltsverzeichnis
1 Die Sprache der Mathematik 51.1 Mathematische Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Vollstandige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Die Arbeitsweise des Mathematikers 62.1 Induktiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Deduktiv: die axiomatische Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Axiome der reellen Zahlen R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Die naturlichen Zahlen N := {0, 1, 2, 3, . . .} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Folgen, Reihen und Grenzwerte I 73.1 Folgen reeller Zahlen (an)n∈N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Folgen, Reihen und Grenzwerte II 84.1 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.2 Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.3 Bestimmte Divergenz / Uneigentliche Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5 Vollstandigkeit 95.1 Cauchyfolgen und Vollstandigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.2 Teilfolgen und Haufungspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6 Beschrankte Folgen I 106.1 Satz von Bolzano-Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.2 sup / inf und min /max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
7 Beschrankte Folgen II 117.1 Monotone Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117.2 lim sup und lim inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117.3 Vollstandigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
8 Metrische Raume I 128.1 Metrische Raume (X, d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128.2 Konvergenz in metrischen Raumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128.3 Offene und abgeschlossene Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
9 Metrische Raume II 139.1 Offene und abgeschlossene Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139.2 Vollstandigkeit und Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1
Prof. Dr. Laszlo Szekelyhidi Analysis I, WS 2012
10 Konvergenz auf Rd; Konvergente Reihen I 1410.1 Der euklidische Raum Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1410.2 Reihen mit nicht-negativen Gliedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1410.3 Absolute Konvergenz, Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
11 Konvergente Reihen II 1511.1 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1511.2 Umordnung von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
12 Potenzreihen und Exponentialfunktion 1612.1 Umordnung von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612.2 Reelle Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612.3 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
13 Potenzreihen und Exponentialfunktion II 1713.1 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1713.2 Korper der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
14 Komplexe Potenzreihen 1814.1 Korper der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814.2 Konvergenz in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814.3 Komplexe (Potenz)reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15 Stetigkeit in metrischen Raumen I 1915.1 Allgemeine Definitionen und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
16 Stetigkeit in metrischen Raumen II 2016.1 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016.2 Gleichmaßige Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
17 Stetigkeit R → R 2117.1 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2117.2 Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2117.3 Monotone Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
18 Elementare Funktionen und Grenzwerte I 2218.1 Exponentialfunktion und Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2218.2 Einige Grenzwerte mit exp und log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
19 Elementare Funktionen und Grenzwerte II 2319.1 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319.2 Die Zahl π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
20 Die Funktionen tan, arctan, arcsin und arccos 24
21 Differentialrechnung auf R 2421.1 Differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
22 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen 2522.1 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2522.2 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
23 Probeklausur 26
Prof. Dr. Laszlo Szekelyhidi Analysis I, WS 2012
24 Mittelwertsatz und Anwendungen 2724.1 Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2724.2 Regel von de l’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
25 Extrema, Monotonie 2825.1 Kriterium fur Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2825.2 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
26 Konvexitat 2926.1 Anwendungen von Konvexitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
27 Das Riemann’sche Integral 3027.1 Charakterisierung von Riemann-integrierbaren Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 30
28 Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung 3128.1 Riemann’sche Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3128.2 Das unbestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
29 Integrationsmethoden 3229.1 Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3229.2 Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3229.3 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3229.4 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Prof. Dr. Laszlo Szekelyhidi Analysis I, WS 2012
Empfohlene Literatur
[F] Otto Forster: Analysis 1
[H] Stefan Hildebrandt: Analysis 1
[K] Konrad Konigsberger: Analysis 1
9. Oktober 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi
Prof. Dr. Laszlo Szekelyhidi Analysis I, WS 2012
1 Die Sprache der Mathematik
[F] §1
[H] §1.4
[K] §1
1.1 Mathematische Aussagen
tertium non datur
1.2 Aussagenlogik
• Implikation: P ⇒ Q, P (n) ⇒ Q(n)
• Aquivalenz: P ⇔ Q
• Konjuktion: P und Q
• Disjunktion: P oder Q
• Negation: nicht P
Beispiel 1 (Fallunterscheidung).
(x− 1)(x− y) = 0
(y − 3)(x2 − y2 + 1)y = 0
1.3 Beweise
• Direkter Beweis;
• Indirekter Beweis; Beispiel 3|n2 ⇒ 3|n;• Widerspruchsargument; Beispiel
√2 irrational;
• Vollstandige Induktion.
Kontraposition:{
P ⇒ Q}
⇔{
nicht Q⇒ nicht P}
1.4 Vollstandige Induktion
(1) Induktionsanfang: P (n0) fur ein n0 ∈ N;
(2) Induktionsschritt: P (n) ⇒ P (n+ 1).
Beweisprinzip: aus (1) und (2) folgt P (n) fur alle n ≥ n0.
Definition 1 (Summen/Produktzeichen).
0∑
k=1
ak = 0 und
k+1∑
k=1
ak = ak+1 +
k∑
k=1
ak;
0∏
k=1
ak = 1 und
k+1∏
k=1
ak = ak+1 ·k∏
k=1
ak.
Satz 1.∑n
k=1 k = n(n+1)2
Satz 2. Die Anzahl Anordnungen von {1, . . . , n} ist n!
Satz 3 (Bernoulli’sche Ungleichung). Falls x > −1 und n ∈ N, dann (1 + x)n ≥ 1 + nx.
Satz 4 (geometrische Reihe).∑n
k=0 xk = 1−xn+1
1−x .
Satz 5. Die Anzahl k-elementigen Teilmengen von {1, . . . , n} ist(
nk
)
.
Satz 6 (Binomischer Lehrsatz).
(x+ y)n =
n∑
k=0
(
n
k
)
xkyn−k.
9. Oktober 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi
Prof. Dr. Laszlo Szekelyhidi Analysis I, WS 2012
2 Die Arbeitsweise des Mathematikers
2.1 Induktiv
Beispiel 1. Der Kreis besitzt unter allen ebenen Figuren mit gleichem Flacheninhalt den kleinstenUmfang.
Beispiel 2. an = n2 + n+ 41 ist eine Primzahl fur alle n ≤ 39!
Beispiel 3.∑n
k=1(4k2 − 1)−1 = n
2n+1 .
2.2 Deduktiv: die axiomatische Methode
Grundbegriffe werden nicht definiert, sondern durch Axiome beschrieben.
2.3 Axiome der reellen Zahlen R[F] §2-3
• Algebraischen Axiome, Definition eines Korpers;
• Anordnungsaxiome;
• Das Archimedische Axiom (Gegenbsp. Korper der rationalen Funktionen);
• Das Vollstandigkeitsaxiom (siehe Vorlesung 5)
Satz 1. Die Zahl 0 ist eindeutig bestimmt. Die Zahl 1 ist eindeutig bestimmt.
Satz 2. Fur alle x ∈ R ist −x eindeutig bestimmt. Weiterhin gilt −0 = 0. Das Inverse ist eindeutigbestimmt, und es gilt 1−1 = 1.
Satz 3. Die Gleichung a + x = b hat eine eindeutig bestimmte Losung, namlich x = b − a. DieGleichung ax = b hat eine eindeutig bestimmte Losung, namlich x = a−1b.
Satz 4. x · 0 = 0 fur alle x ∈ R.
Satz 5. xy = 0 genau dann wenn x = 0 oder y = 0.
Satz 6. 1 > 0
Beispiel 4. R, Q, Z, C
2.4 Die naturlichen Zahlen N := {0, 1, 2, 3, . . .}Definition 1. Eine Teilmenge eines Korpers heißt induktiv, falls 0 ∈M und (a ∈M ⇒ a+1 ∈M).
N ist die kleinste induktive Teilmenge von R.
Definition 2.
|x| ={
x x ≥ 0
−x x < 0
Satz 7. (a) Fur alle x ∈ R gilt: |x| ≥ 0 und |x| = 0 genau dann wenn x = 0. (b) |xy| = |x||y|, (c)|x+ y| ≤ |x|+ |y|.
12. Oktober 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi
Prof. Dr. Laszlo Szekelyhidi Analysis I, WS 2012
3 Folgen, Reihen und Grenzwerte I
[F] §4
3.1 Folgen reeller Zahlen (an)n∈N
Definition 1. Eine Folge (an)n∈N heißt konvergent falls es ein a ∈ R gibt, so dass folgendeBedingung gilt: fur alle ε > 0 existiert ein N ∈ N so dass
|an − a| < ε fur alle n ≥ N .
Negation der Bedingung in obiger Definition: Es existiert ein ε > 0 so dass fur alle N ∈ N
existiert n ≥ N mit |an − a| ≥ ε.
Notation: abgeschlossene [a, b] und offene ]a, b[ Intervalle.
Definition 2. beschrankte Folgen
Satz 1. Jede konvergente Folge ist beschrankt.
Beispiel 1.
• konstante Folge an = a; an → a,
• an = 1n ; an → 0,
• an = (−1)n; nicht konvergent,
• an = nn+1 ; an → 1,
• an = n2n ; an → 0,
• Fibonacci Zahlen, f0 = 0, f1 = 1, fn+2 = fn + fn+1 fur n ≥ 0.
• unendliche Kettenbruche; a0 = 0, an+1 = 1 + 11+an
.
Satz 2. Das Limes einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt.
Satz 3 (Regeln und Operationen mit Folgen).
(i) aus an → a und bn → b folgt an + bn → a+ b;
(ii) aus an → a und bn → b folgt anbn → ab;
(iii) aus an → a und bn → b folgt λan + µbn → λa+ µb;
(iv) aus an → a und bn → b mit b 6= 0 folgt an
bn→ a
b ;
(v) aus an → a folgt |an| → |a|;
(vi) aus an → a, bn → b und an ≤ bn folgt a ≤ b;
16. Oktober 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi
Prof. Dr. Laszlo Szekelyhidi Analysis I, WS 2012
4 Folgen, Reihen und Grenzwerte II
[F] §4
[H] §1.9 4.1 Folgen
Satz 1 (Regeln und Operationen mit Folgen).
(i) aus an → a und bn → b folgt an + bn → a+ b;
(ii) aus an → a und bn → b folgt anbn → ab;
(iii) aus an → a und bn → b folgt λan + µbn → λa+ µb;
(iv) aus an → a und bn → b mit b 6= 0 folgt an
bn→ a
b ;
(v) aus an → a folgt |an| → |a|;
(vi) aus an → a, bn → b und an ≤ bn folgt a ≤ b;
Satz 2 (Quetschlemma). Aus an → a, bn → a und an ≤ cn ≤ bn folgt cn → a.
Beispiel 1. • 2n2+13n2+n+1 → 2
3 ;
• 1 + 12+ 1
2+ 12+...
=√2;
• 1 + 11+ 1
1+ 11+...
= 12 (√5 + 1);
• c > 0, a0 = 1 und an+1 = 12 (an + c
an).
4.2 Unendliche Reihen
Definition 1. Eine unendliche Reihe ist definiert als Grenzwert der Partialsummen:
∞∑
k=0
ak = limn→∞
n∑
k=0
ak.
Beispiel 2. Die geometrische Reihe. Sei |x| < 1. Dann
∞∑
k=0
xk =1
1− x.
4.3 Bestimmte Divergenz / Uneigentliche Konvergenz
Definition 2. Bestimmt divergente Folgen (gegen ∞ oder −∞).
Satz 3. Reziprokes einer positiven (oder negativen) Nullfolge = bestimmt divergente Folge.
19. Oktober 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi
Prof. Dr. Laszlo Szekelyhidi Analysis I, WS 2012
5 Vollstandigkeit
5.1 Cauchyfolgen und Vollstandigkeit
[F] §5 Definition 1. Cauchyfolgen.
Satz 1. Jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge.
Das Vollstandigkeitsaxiom: In R ist jede Cauchyfolge konvergent.
[H] §8 Beispiel 1 (Dezimalbruche, p-adische Bruche).
∞∑
n=0
anp−n, p, an ∈ N, p ≥ 2, 0 ≤ an < p.
Satz 2. Sei p ∈ N, p ≥ 2.
(i) Jeder p-adischer Bruch stellt eine Cauchyfolge dar.
(ii) Jede reelle Zahl lasst sich in einem p-adischen Bruch entwickeln.
Definition 2. Eine Intervallschachtelung ist eine Folge (In)n∈N von Intervallen in R so dass
In+1 ⊂ In fur alle n ∈ N, und limn→∞
|In| = 0.
Satz 3 (Intervallschachtelungsprinzip). Zu jeder Intervallschachtelung (In)n existiert genau einereelle Zahl im Durchschnitt
⋂
n In.
Beispiel 2.
1 +1
2 + 12+ 1
2+...
=√2
Satz 4. Q liegt dicht in R. d.h. zu jedem x ∈ R und jedem ε > 0 existiert q ∈ Q mit |x− q| < ε.
5.2 Teilfolgen und Haufungspunkte
[F] §5
[H] §1.11Definition 3.
(i) Teilfolgen
(ii) Haufungspunkte
Beispiel 3.
• an = (−1)n;
• falls an → a, dann ist a der einzige Haufungspunkt von (an)n∈N;
• die rationalen Zahlen Q als eine Folge; Cantor’sches Diagonalverfahren.
23. Oktober 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi
Prof. Dr. Laszlo Szekelyhidi Analysis I, WS 2012
6 Beschrankte Folgen I
[F] §5
[H] §1.8 6.1 Satz von Bolzano-Weierstraß
Satz 1 (Bolzano-Weierstraß). Jede beschrankte Folge besitzt einen Haufungspunkt.
Korollar 1. Eine beschrankte Folge konvergiert dann und genau dann, wenn sie genau einenHaufungspunkt besitzt.
6.2 sup / inf und min /max
[F] §9 Definition 1. Supremum und Infimum einer Folge.
Satz 2. Jede nach oben beschrankte Folge besitzt ein Supremum.
Definition 2. Maximum und Minimum einer Folge.
Beispiel 1.
an =1
n, n ≥ 1, an =
n
n+ 1, n ≥ 0, an =
2n
n2, n ≥ 1.
Definition 3. Sup/Inf und Max/Min einer Teilmenge M ⊂ R.
Beispiel 2.[a, b] und ]a, b[
26. Oktober 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi
Prof. Dr. Laszlo Szekelyhidi Analysis I, WS 2012
7 Beschrankte Folgen II
7.1 Monotone Folgen
[F] §5
[H] §1.10Definition 1.
• monoton wachsend/fallend;
• streng monoton wachsend/fallend.
Satz 1. Jede beschrankte monotone Folge reeller Zahlen ist konvergent.
Beispiel 1. • Intervallschachtelungen;
• e = limn→∞(
1 + 1n
)n.
7.2 lim sup und lim inf
[F] §9
[H] §1.11Definition 2. Limsup und liminf einer Folge.
Lemma 1. Sei (an) beschrankt. Dann
lim inf an ≤ lim sup an.
Gleichheit besteht dann und genau dann wenn die Folge konvergent ist. In diesem Fall giltlim inf an = lim an = lim sup an.
Lemma 2. Sei (an)n∈N beschrankt. Dann
lim supn→∞
an = limn→∞
(
sup{ak : k ≥ n})
lim infn→∞
an = limn→∞
(
inf{ak : k ≥ n})
Beispiel 2. Sei (an)n∈N die Folge
0, 1, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, . . . .
Die Menge der Haufungspunkte von bn = an
n+anist das Intervall [1/3, 1/2].
7.3 Vollstandigkeit
Bolzano-Weierstraß⇔Vollstandigkeitsaxiom⇔ Intervallschachtelungsprinzip
Satz 2. Der Satz von Bolzano-Weierstraß impliziert das Vollstandigkeitsaxiom
30. Oktober 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi
Prof. Dr. Laszlo Szekelyhidi Analysis I, WS 2012
8 Metrische Raume I[H] §1.14
8.1 Metrische Raume (X, d)
Definition 1. Metrik d : X ×X → R: fur alle x, y, z ∈ X gilt
(i) d(x, y) = d(y, x);
(ii) d(x, y) ≥ 0 und d(x, y) = 0 genau dann wenn x = y;
(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Beispiel 1. R mit d(x, y) = |x− y|.
(Diskrete Metrik): Beliebige Menge X mit d(x, y) =
{
1 x 6= y
0 x = y
Beispiel 2.
Rd ={
x = (x(1), x(2), . . . , x(d)) : x(i) ∈ R fur i = 1, . . . , d}
mit
|x− y| =(
d∑
i=1
(x(i) − y(i))2)1/2
, |x− y|max = maxi=1,...,d
|x(i) − y(i)|, |x− y|1 =d∑
i=1
|x(i) − y(i)|
Lemma 1. In Rd gilt
(a)d∑
i=1
xiyi ≤ |x||y| (Cauchy-Schwarz Ungleichung);
(b) |x+ y| ≤ |x|+ |y| (Dreiecksungleichung).
8.2 Konvergenz in metrischen Raumen
Definition 2. Konvergenz in (X, d): xn → x falls d(xn, x) → 0.
Lemma 2. Eindeutigkeit des Limes
8.3 Offene und abgeschlossene Mengen
[H] §16 Definition 3. • Offene Kugel Br(x) := {y ∈ X : d(x, y) < r};• A ⊂ X ist offen, falls fur alle x ∈ A ein r > 0 existiert so dass Br(x) ⊂ A;
• A ⊂ X ist abgeschlossen, falls fur alle konvergente Folgen (xn)n ⊂ A mit xn → x gilt: x ∈ A.
Satz 1. Eine Menge A ⊂ X ist genau dann offen, wenn das Komplement X \A abgeschlossen ist.
Folgende Definition wird in Aufgabe 21 benotigt, in der Vorlesung war jedoch keine Zeit mehr:
Definition 4. Sei A ⊂ X .
• Das Innere A◦ := {x ∈ A : es existiert ε > 0 so dass Bε(x) ⊂ A};• Der Abschluss A := {x ∈ X : es existiert (xn)n ⊂ A mit xn → x};• Der Rand ∂A := {x ∈ X : fur alle ε > 0 gilt Bε(x) ∩ A 6= ∅ und Bε(x) \A 6= ∅}.
2. November 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi
Prof. Dr. Laszlo Szekelyhidi Analysis I, WS 2012
9 Metrische Raume II[H] §1.16
9.1 Offene und abgeschlossene Mengen
Definition 1. Sei A ⊂ X .
• Das Innere A◦ := {x ∈ A : es existiert ε > 0 so dass Bε(x) ⊂ A};
• Der Abschluss A := {x ∈ X : es existiert (xn)n ⊂ A mit xn → x};
• Der Rand ∂A := {x ∈ X : fur alle ε > 0 gilt Bε(x) ∩ A 6= ∅ und Bε(x) \A 6= ∅}.
Lemma 1. • Der Durchschnitt endlich vieler offenen Mengen ist offen;
• Die Vereinigung beliebig vieler offenen Mengen ist offen;
• Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossenen Mengen ist abgeschlossen;
• Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
Lemma 2. Sei A ⊂ X . A◦ ist offen und A ist abgeschlossen.
Definition 2. Eine Teilmenge B ⊂ A ist dicht in A falls A ⊂ B.
Beispiel 1. • In Rd: Br(x) = {y : |x− y| ≤ r}; ∂Br(x) = {y : |x− y| = 1};
• In R: Q = R, Q◦ = ∅, ∂Q = R;
• Fur die diskrete Metrik: B1(x) = {x}; jede Teilmenge ist offen und abgeschlossen.
9.2 Vollstandigkeit und Kompaktheit
Definition 3. Cauchyfolgen
Lemma 3. Jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge.
Lemma 4. Jede Cauchyfolge, die eine konvergente Teilfolge besitzt, ist selbst konvergent.
Definition 4. Beschrankte Mengen. (Folgen-)kompakte Mengen.
Lemma 5. Jede Cauchyfolge ist beschrankt.
Definition 5. Ein metrischer Raum (X, d) heißt vollstandig, falls jede Cauchyfolge konvergiert.
6. November 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi
Prof. Dr. Laszlo Szekelyhidi Analysis I, WS 2012
10 Konvergenz auf Rd; Konvergente Reihen I
10.1 Der euklidische Raum Rd
[H] §1.16
Satz 1. Charakterisierung der Konvergenz auf Rd: Konvergent komponentenweise.
Definition 1. Wurfelschachtelungen.
Lemma 1 (Wurfelschachtelungsprinzip). Jede Wurfelschachtelung in Rd erfasst genau einenPunkt im Durchschnitt.
Satz 2. Jede beschrankte Folge in Rd besitzt eine konvergente Teilfolge.
Korollar 1. (a) Rd ist vollstandig; (b) Eine Teilmenge A ⊂ Rd ist genau dann kompakt, wennsie beschrankt und abgeschlossen ist.
10.2 Reihen mit nicht-negativen Gliedern
[F] §7
[H] §1.12Satz 3. Eine Reihe
∞∑
n=1an mit an ≥ 0 ist entweder konvergent oder bestimmt gegen ∞ divergent.
Satz 4. Majorantenkriterium.
Beispiel 1.∞∑
n=1
1n = ∞ und
∞∑
n=1
1n2 <∞.
10.3 Absolute Konvergenz, Konvergenzkriterien
Definition 2. absolute Konvergenz.
Satz 5. Cauchys Konvergenzkriterium.
Korollar 2. Wenn∞∑
n=1an konvergiert, dann ist (an)n eine Nullfolge.
9. November 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi
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11 Konvergente Reihen II
[F] §7
[H] §1.1611.1 Konvergenzkriterien
Definition 1. Absolute Konvergenz.
Satz 1. Leibniz’ Konvergenzkriterium fur alternierende Reihen.
Beispiel 1. Alternierende harmonische Reihe: 1− 12 + 1
3 − 14 + 1
5 − . . .
Satz 2 (Quotientenkriterium). lim supn→∞ |an+1
an| < 1.
Beispiel 2.∑
1n divergiert,
∑
1n2 konvergiert.
Satz 3. Cauchy’s Verdichtungskriterium.
Beispiel 3.2n∑
k=1
1
k≥ n
2.
Beispiel 4. Falls α > 1, dann
2n∑
k=1
1
kα≤
n∑
k=1
qk−1 mit q = 2−α+1.
11.2 Umordnung von Reihen
[H] §1.19
Definition 2. Die Reihe∑∞
n=0 bn ist eine Umordnung der Reihe∑∞
n=0 an, wenn es eine bijektiveAbbildung σ : N → N gibt so dass bn = aσ(n) fur alle n.
Definition 3. Bijektive Abbildungen.
Beispiel 5. Umordungen der alternierenden harmonischen Reihe 1− 12 + 1
3 − 14 + 1
5 − . . .
13. November 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi
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12 Potenzreihen und Exponentialfunktion
12.1 Umordnung von Reihen
[H] §1.19
Satz 1 (Umordnungssatz von Dirichlet).
Satz 2 (Umordnungssatz von Riemann). Ohne Beweis.
12.2 Reelle Potenzreihen[F] §8
[H] §1.20 Lemma 1. Falls |x| < |y| und die Reihe∑
anyn konvergiert, dann konvergiert die Reihe
∑
anxn
absolut.
Definition 1 (Konvergenzradius).
R = sup{
x ∈ R :∑
anxn konvergent
}
.
Satz 3. Sei∑∞
n=0 anxn eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R.
(i) Falls R = ∞, dann konvergiert die Potenzreihe fur alle x ∈ R;
(ii) Falls R = 0, dann divergiert die Potenzreihe fur alle x ∈ R \ {0};
(iii) Falls 0 < R < ∞, dann konvergiert die Potenzreihe absolut fur alle |x| < R und divergiertfur alle |x| > R.
12.3 Die Exponentialfunktion
[F] §8 Definition 2. Fur x ∈ R:
exp(x) =
∞∑
n=0
xn
n!.
Konvergenzradius der Exponentialreihe ist R = ∞.
16. November 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi
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13 Potenzreihen und Exponentialfunktion II
13.1 Exponentialfunktion
[F] §8
[K] §8.1 Lemma 1 (Fundamentallemma fur die Exponentialfunktion).
limn→∞
(
1 +1
n
)n
= exp(1).
Varianten:
• limn→∞(
1 + xn
)n= exp(x);
• limn→∞(
1 + xn
n
)n= exp(x) falls xn → x.
Satz 1. (i) exp(x+ y) = exp(x)exp(y) fur alle x, y ∈ R;
(ii) exp(−x) = 1exp(x) fur alle x ∈ R;
(iii) exp(x) ≥ 1 + x und exp(x) > 0 fur alle x ∈ R;
(iv) exp(nx) = exp(x)n fur n ∈ N, x ∈ R;
(v) exp(1/n) = e1/n fur n ∈ N, n 6= 0.
13.2 Korper der komplexen Zahlen
[F] §13
[H] §1.17Satz 2. C ist ein Korper.
20. November 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi
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14 Komplexe Potenzreihen
14.1 Korper der komplexen Zahlen
[F] §13
[H] §1.17 Beispiel 1. • Aus z2 = w2 folgt z = ±w;
• Aus z3 = 1 folgt z ∈ {1,− 12 + i
√32 ,− 1
2 −√32 }
Definition 1. Komplexe Konjugierte z, Reeller und imaginarer Teil Re z und Im z.
Beispiel 2. Re z = 12 (z + z), Im z = 1
2i (z − z), |z| = |z|, zw = zw.
Satz 1. (i) |z| ≥ 0 und |z| = 0 genau dann wenn z = 0;
(ii) |zw| = |z||w|;(iii) |z + w| ≤ |z|+ |w|.
Satz 2. C mit der Metrik d(z, w) := |z − w| ist ein metrischer Raum.
14.2 Konvergenz in C
Definition 2. cn → c falls |cn − c| → 0.
Satz 3. cn → c genau dann wenn Re cn → Re c und Im cn → Im c.
Korollar 1. C ist vollstandig.
Korollar 2. cn → c genau dann wenn cn → c.
14.3 Komplexe (Potenz)reihen
Beispiel 3.
(a)
∞∑
n=1
(
1 + i
2− i
)n
, (b)
∞∑
n=1
in
n, (c)
∞∑
n=1
(
1− i
1 + i
)n
.
Definition 3. Konvergenzradius der Potenzreihe∑∞
n=0 cnzn ist
R = sup{|z| : z ∈ C und∑
cnzn konvergent}.
Satz 4. (i) Falls R = ∞, dann konvergiert die Potenzreihe fur alle z ∈ C;
(ii) Falls R = 0, dann divergiert die Potenzreihe fur alle z ∈ C \ {0};(iii) Falls 0 < R < ∞, dann konvergiert die Potenzreihe absolut fur alle |z| < R und divergiert
fur alle |z| > R.
Definition 4. exp(z) =∑∞
n=0zn
n! .
Satz 5. (i) exp(z + w) = exp(z)exp(w) fur alle z, w ∈ C;
(ii) exp(−z) = 1exp(z) fur alle z ∈ C;
(iii) exp(z) 6= 0 fur alle z ∈ C;
(iv) exp(z) = exp(z) fur alle z ∈ C.
Beispiel 4. |eix| = 1 fur alle x ∈ R.
Definition 5. cos(x) = Re (eix) und sin(x) = Im (eix).
23. November 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi
Prof. Dr. Laszlo Szekelyhidi Analysis I, WS 2012
15 Stetigkeit in metrischen Raumen I
15.1 Allgemeine Definitionen und Eigenschaften
[F] §10
[H] §2.1-2.3
[K] §7.1
Im Folgenden betrachten wir metrische Raume (X, dX) und (Y, dY ) und Funktionen
f : D → Y,
wobei D ⊂ X eine Teilmenge ist (der Definitionsbereich von f). Falls Y = R, heißt die Funktionreellwertig. Falls Y = C, heißt die Funktion komplexwertig. Falls Y = Rd, d > 1, heißt die Funktionvektorwertig.
Definition 1. Die Funktion f ist stetig im Punkt x0 ∈ D wenn
∀ (xn)n∈N ⊂ D mit limn→∞
xn = x0 gilt : limn→∞
f(xn) = f(x0).
Die Funktion f ist stetig in D wenn sie in jedem Punkt x ∈ D stetig ist.
Beispiel 1. Konstante Funktion und Identitat stetig, Charakteristische Funktion einer MengeA ⊂ X stetig in x ∈ X \ ∂A.
Lemma 1 (Summe, Produkt und Quotient). Falls f, g reellwertig und stetig, dann f + g und fgstetig. Falls zusatzlich g(x0) 6= 0, dann f/g stetig im Punkt x0.
Lemma 2 (Vektorwertige Funktionen). Eine vektorwertige Funktion f = (f1, . . . , fd) ist genaudann im x0 ∈ D stetig, wenn jede Komponente fi, i = 1 . . . d stetig im x0 ist. Falls f, g vektorwer-tige, stetige Funktionen sind, ist auch f + g stetig. Falls h reellwertig und stetig ist, ist auch fhstetig.
Lemma 3 (Die Abstandsfunktion). Sei x0 ∈ X . Die Funktion f : X → R definiert durch
f(x) = d(x, x0)
ist stetig. Insbesondere ist die Funktion f(x) = |x|, f : R → R stetig.
Sei f : D ⊂ X → Y eine Funktion und A ⊂ D eine Teilmenge vom Definitionsbereich D. DasBild von A unter f ist die Teilmenge von Y definiert durch
f(A) := {f(x) : x ∈ A}.[H] §2.4 Lemma 4 (Verknupfung). Seien (X, dX), (Y, dY ), (Z, dZ) metrische Raume. Sei f : D ⊂ X → Y
stetig im Punkt x0 und g : f(D) → Z stetig im Punkt f(x0). Dann ist die Verknupfung g ◦ f :D → Z definiert durch g ◦ f(x) = g(f(x)) stetig im x0.
[F] §11 Satz 1 (ε-δ Kriterium). Die Funktion f : D ⊂ X → Y ist genau dann stetig im Punkt x0, wenn
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ D mit dX(x, x0) < δ : dY (f(x), f(x0)) < ε.
27. November 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi
Prof. Dr. Laszlo Szekelyhidi Analysis I, WS 2012
16 Stetigkeit in metrischen Raumen II
Im Folgenden betrachten wir metrische Raume (X, dX) und (Y, dY ) und Funktionen
f : D → Y,
wobei D ⊂ X eine Teilmenge ist (der Definitionsbereich von f). Sei B ⊂ Y eine Teilmenge. DasUrbild von B unter f ist die Teilmenge von X definiert durch
f−1(B) := {x ∈ D : f(x) ∈ B}.
Satz 1. Eine Funktion f : D ⊂ X → Y ist genau dann stetig in D, wenn
∀U ⊂ Y offen : f−1(U) offen .
Beispiel 1. Sei f : X → R stetig und c ∈ R. Dann ist
f−1(]−∞, c[) = {x ∈ X : f(x) < c}
offen. Die Nullstellenmenge f−1(0) = {x ∈ X : f(x) = 0} ist abgeschlossen.
16.1 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen
Erinnerung (aus Vorlesung 9): eine Teilmenge K ⊂ X heißt kompakt, wenn jede Folge (xn)n∈N inK eine konvergente Teilfolge besitzt.
In Rd sind die kompakte Mengen genau die beschrankte und abgeschlossene Mengen. Darausfolgt:
[F] §11
[H] §2.6Satz 2. Sei K ⊂ R kompakt und nichtleer. Dann besitzt K Minimum und Maximum. D.h. esexistieren xm, xM ∈ K so dass fur alle x ∈ K gilt:
xm ≤ x ≤ xM .
Satz 3. Sei K ⊂ X kompakt und f : K → Y stetig. Dann ist die Bildmenge f(K) ⊂ Y kompakt.
Korollar 1. Sei K ⊂ X kompakt und f : K → R stetig. Dann besitzt f Minimum und Maximumauf K. D.h. es existieren xm, xM ∈ K so dass fur alle x ∈ K gilt:
f(xm) ≤ f(x) ≤ f(xM ).
16.2 Gleichmaßige Stetigkeit
[F] §11
[H] §2.8Definition 1. Die Funktion f : D ⊂ X → Y ist gleichmaßig stetig auf D, wenn:
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x, y ∈ D mit dX(x, y) < δ : dY (f(x), f(y)) < ε.
Beispiel 2. Die Funktion f(x) = 1x ist stetig aber nicht gleichmaßig stetig auf ]0, 1[.
Satz 4. Die Funktion f : D ⊂ X → Y ist genau dann gleichmaßig stetig auf D, wenn fur alleFolgen (xn)n∈N, (yn)n∈N ⊂ D mit lim
n→∞dX(xn, yn) = 0 gilt:
limn→∞
dY(
f(xn), f(yn))
= 0.
Satz 5. Falls K ⊂ X kompakt und f : K → Y stetig, dann ist f gleichmaßig stetig auf K.
30. November 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi
Prof. Dr. Laszlo Szekelyhidi Analysis I, WS 2012
17 Stetigkeit R → R
Im Folgenden betrachten wir Funktionen
f : D → R,
wobei D ⊂ R eine Teilmenge ist (der Definitionsbereich von f).
17.1 Grenzwerte von Funktionen[F] §10
[H] §2.3
[K] §7.7-7.8
Definition 1. Sei a ∈ D. Man definiert
limx→a
f(x) = c, falls ∀ (xn)n∈N ⊂ D mit limn→∞
xn = a gilt: limn→∞
f(xn) = c;
limx→∞
f(x) = c, falls ∀ (xn)n∈N ⊂ D mit limn→∞
xn = ∞ gilt: limn→∞
f(xn) = c;
limxցa
f(x) = c, falls ∀ (xn)n∈N ⊂ D mit
{
xn > a,
limn→∞
xn = agilt: lim
n→∞f(xn) = c;
limxրa
f(x) = c, falls ∀ (xn)n∈N ⊂ D mit
{
xn < a,
limn→∞
xn = agilt: lim
n→∞f(xn) = c;
limx→ax 6=a
f(x) = c, falls ∀ (xn)n∈N ⊂ D mit
{
xn 6= a,
limn→∞
xn = agilt: lim
n→∞f(xn) = c.
Beispiel 1.limx→0
expx = 1, limxր0
χ]∞,0](x) = 1, limxց0
χ]∞,0](x) = 0.
Definition 2. f : D ⊂ R → R ist stetig im Punkt a ∈ D falls limx→a
f(x) = f(a).
Beispiel 2. exp : R → R ist stetig.
17.2 Zwischenwertsatz[F] §11
[H] §2.5
[K] §7.4
Satz 1 (Zwischenwertsatz). Sei f : [a, b] → R stetig, a < b und y ∈ R mit f(a) ≤ y ≤ f(b). Dannexistiert x ∈ [a, b] mit f(x) = y.
Korollar 1. Sei I ⊂ R ein Intervall und f : I → R stetig. Dann ist f(I) auch ein Intervall.
17.3 Monotone Funktionen
Definition 3. Monotone/Streng monotone Funktionen.
Lemma 1. Sei I ⊂ R ein Intervall, f : I → R streng monoton. Dann ist f : I → f(I) bijektiv,d.h. zu jedem y ∈ f(I) existiert genau ein x ∈ I mit f(x) = y.
Satz 2 (Umkehrfunktion, allgemeine metrische Raume). Sei f : K ⊂ X → Y stetig und bijektiv.Dann ist f−1 : Y → K stetig.
[F] §11
[H] §2.5Satz 3 (Umkehrfunktion, R → R). Sei f : [a, b] → [c, d] stetig und bijektiv. Dann ist f−1 : [c, d] →[a, b] stetig.
4. Dezember 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi
Prof. Dr. Laszlo Szekelyhidi Analysis I, WS 2012
18 Elementare Funktionen und Grenzwerte I
18.1 Exponentialfunktion und Logarithmus
[F] §12-13
[H] §3.4
[K] §8.2-8.4
Lemma 1. (i) Die (komplexe) Exponentialfunktion (Vorlesung 14) exp : C → C ist stetig.(ii) Die (reelle) Exponentialfunktion (Vorlesug 12) exp : R → R ist streng monoton wachsend.
Beispiel 1.limx→∞
exp(x) = ∞, limx→−∞
exp(x) = 0.
Definition 1. Der naturliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion von exp : R →]0,∞[, also
log :]0,∞[→ R, log = exp−1 .
Beispiel 2. log :]0,∞[→ R ist stetig, streng monoton wachsend und log(1) = 0.
Lemma 2 (Funktionalgleichung fur log). Fur alle x, y > 0 gilt
log(xy) = log(x) + log(y).
Insbesondere log 1x = − logx.
Definition 2. Die Exponentialfunktion zu Basis a > 0 ist definiert als
expa : R → R, expa(x) = exp(
x log(a))
.
Lemma 3. expa : R → R ist stetig und es gilt
(i) expa(x+ y) = expa(x) expa(y),
(ii) expa(n) = an fur n ∈ N,
(iii) expa(pq ) =
q√ap fur p ∈ Z, q ∈ N mit q ≥ 2.
Beispiel 3. Fur alle a > 0 gilt limn→∞
n√a = 1.
18.2 Einige Grenzwerte mit exp und log
[F] §12 Beispiel 4. Sei k ∈ N.
limx→∞
ex
xk= ∞, lim
x→∞xke−x = 0, lim
xց0xke
1x = ∞.
Beispiel 5. Die Funktion f : R → R, f(x) =
{
e−1x x > 0
0 x ≤ 0ist stetig.
Beispiel 6.limx→∞
log x = ∞, limxց0
log x = −∞.
Beispiel 7. Sei α > 0.
limxց0
xα = 0, limxց0
x−α = ∞, limx→∞
log x
xα= 0, lim
xց0xα log x = 0.
Beispiel 8.
limx→0x 6=0
ex − 1
x= 1.
7. Dezember 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi
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19 Elementare Funktionen und Grenzwerte II
19.1 Trigonometrische Funktionen
[F] §14
[H] §3.5
[K] §8.6
Definition 1 (vgl. Vorlesung 14).
cosx = Re(eix), sinx = Im(eix)
Euler’sche Identitat: eix = cosx+ i sinx.
Satz 1. (i) cosx = 12 (e
ix + e−ix), sinx = 12i(e
ix − e−ix)(ii) cos(−x) = cosx, sin(−x) = − sinx(iii) cos2(x) + sin2(x) = 1.
Notation: cos2(x) = (cosx)2, sin2(x) = (sinx)2
Satz 2. cos, sin : R → R sind stetig.
Satz 3 (Additionstheorem). (i) cos(x+ y) = cosx cos y − sinx sin y(ii) sin(x+ y) = sinx cos y − sin y cosx.
Satz 4 (Potenzreihen). cosx =∞∑
k=0
(−1)k x2k
(2k)! , sinx =∞∑
k=0
(−1)k x2k+1
(2k+1)! .
Beispiel 1. limx→0x 6=0
sin xx = 1.
19.2 Die Zahl π[F] §14
[K] §8.7Satz 5. Die Funktion cos hat genau eine Nullstelle im Intervall [0, 2]
Definition 2. Die (eindeutige) Nullstelle von cos im Intervall [0, 2] wird mit π2 bezeichnet.
Satz 6. eiπ2 = i, eiπ = −1, ei
3π2 = −i, e2iπ = 1.
Korollar 1 (Nullstellen von sin und cos). (i) sinx = 0 genau dann, wenn x = kπ fur ein k ∈ Z;
(ii) cosx = 0 genau dann, wenn x = π2 + kπ fur ein k ∈ Z.
Korollar 2. eix = 1 genau dann, wenn x = 2kπ fur ein k ∈ Z.
Korollar 3. Sei n ≥ 2. Die Gleichung zn = 1 hat genau n komplexe Losungen ei2πkn , k =
0, 1, . . . , n− 1.
Satz 7. Umfang des Einheitskreises in der Ebene = 2π.
11. Dezember 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi
Prof. Dr. Laszlo Szekelyhidi Analysis I, WS 2012
20 Die Funktionen tan, arctan, arcsin und arccos
Definition 1. tan : R \ {π2 + kπ : k ∈ Z} → R
Satz 1. (i) cos : [0, π] → [−1, 1] streng monoton fallend und surjektiv;(ii) sin : [−π
2 ,π2 ] → [−1, 1] streng monoton wachsend und surjektiv;
(iii) tan :]− π2 ,
π2 [→ R streng monoton wachsend und surjektiv.
Definition 2. arcsin, arccos : [−1, 1] → R, arctan : R → R
Satz 2 (Polarkoordinaten). Zu jeder komplexen Zahl z ∈ C existiert r ≥ 0 und θ ∈ [−π, π] sodass z = reiθ.
21 Differentialrechnung auf R
[F] §15
[H] §3.1
[K] §9.1
Im Folgenden betrachten wir Funktionen
f : D ⊂ R → C.
21.1 Differenzierbare Funktionen
Definition 3. Die Funktion f ist im Punkt a ∈ D differenzierbar, falls der Grenzwert
f ′(a) = limx→ax 6=a
f(x)− f(a)
x− a
existiert.
Beispiel 1. Sei n ∈ N, n ≥ 1 und c ∈ C.
d
dxxn = nxn−1,
d
dxecx = cecx,
d
dxlog x =
1
x,
d
dxsinx = cosx,
d
dxcosx = − sinx.
Satz 3. f ist genau dann differenzierbar in a ∈ D, wenn es eine Funktion ϕ : D → C existiert sodass
(i) ϕ ist stetig im Punkt a;
(ii) f(x)− f(a) = (x − a)ϕ(x) fur alle x ∈ D.
In diesem Fall f ′(a) = ϕ(a).
Korollar 1. Ist f : D ⊂ R → C im Punkt a ∈ D differenzierbar, so ist sie auch stetig.
Beispiel 2. x 7→ |x| nicht differenzierbar im Punkt x = 0.
14. Dezember 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi
Prof. Dr. Laszlo Szekelyhidi Analysis I, WS 2012
22 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen
Im Folgenden betrachten wir Funktionen
f : D ⊂ R → C.
Satz 1 (Lineare Approximation). f ist genau dann in a ∈ D differenzierbar, wenn es eine lineareFunktion L : R → C existiert, so dass
limh→0
f(a+ h)− f(a)− L(h)
h= 0.
In diesem Fall gilt: L(h) = f ′(a)h.
22.1 Ableitungsregeln
[F] §15
[K] §8.1
[K] §9.2
Satz 2 (Algebraische Regeln).
(i) (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x);
(ii) (Produktregel) (fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x);
(iii) (Quotientenregel)(
fg
)′(x) = f ′(x)g(x)−f(x)g′(x)
g2(x) .
Satz 3 (Kettenregel).(g ◦ f)′(x) = g′(f(x))f ′(x).
Satz 4 (Ableitung der Umkehrfunktion). Sei g die Umkehrfunktion von f . Dann
g′(x) =1
f ′(g(x)).
22.2 Extrema[F] §16
[K] §9.3Im Folgenden betrachten wir Funktionen
f : D ⊂ R → R.
Definition 1. Extrema = lokales Maximum/Minimum einer Funktion.
Satz 5. Sei x ein lokales Maximum/Minimum von f und f differenzierbar im Punkt x. Dannf ′(x) = 0.
18. Dezember 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi
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23 Probeklausur
4. Januar 2013 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi
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24 Mittelwertsatz und Anwendungen
24.1 Mittelwertsatz
Satz 1 (Satz von Rolle). Sei f : [a, b] → R stetig und in ]a, b[ differenzierbar, mit f(a) = f(b).Dann existiert ξ ∈]a, b[ so dass f ′(ξ) = 0.
Satz 2 (Mittelwertsatz). Sei f : [a, b] → R stetig und in ]a, b[ differenzierbar. Dann existiert einξ ∈]a, b[ so dass
f(b)− f(a)
b− a= f ′(ξ).
Korollar 1. f ′(x) = 0 fur alle x ∈]a, b[ =⇒ f ist konstant.
24.2 Regel von de l’Hopital
Satz 3 (Verallgemeinertes Mittelwertsatz). Seien f, g : [a, b] → R stetig und in ]a, b[ differenzier-bar. Dann existiert ein ξ ∈]a, b[ so dass
f(b)− f(a)
g(b)− g(a)=f ′(ξ)
g′(ξ).
Satz 4 (l’Hopital’sche Regeln). Seien f, g :]a, b[→ R differenzierbar und g′(x) 6= 0 fur alle x ∈]a, b[.In jedem der beiden Situationen
(a) f(x) → 0 und g(x) → 0 mit xց a;
(b) f(x) → ∞ und g(x) → ∞ mit xց a
gilt: Existiert limxցa
f ′(x)g′(x) , so existiert auch lim
xցa
f(x)g(x) und
limxցa
f(x)
g(x)= lim
xցa
f ′(x)
g′(x).
Beispiel 1.
limxց0
(x log x) = limxց0
log x
1/x
l’Hopital
= limxց0
1/x
−1/x2= 0.
Beispiel 2.
limxց0
(
1
sinx− 1
x
)
= limxց0
(
x− sinx
x sinx
)
l’Hopital
= limxց0
1− cosx
x cos x+ sinx
l’Hopital
= limxց0
sinx
2 cosx− x sinx= 0 .
Eine bessere Losung ist die Potenzreihe fur sinx zu nutzen:
sinx = x− x3
3!+x5
5!− x7
7!+ . . . ,
so dass, mit
F (x) =1
3!− x2
5!− x4
7!+ . . .
folgt x−sin xx sin x = x3F (x)
x2−x4F (x) =xF (x)
1−x2F (x) . Da F (0) = 1/6, erhalten wir limցx−sin xx sin x = 0.
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25 Extrema, Monotonie
25.1 Kriterium fur Extrema
Satz 1. Sei f :]a, b[→ R differenzierbar und f ′(x0) = 0. Dann hat f in x0 ein
• lokales Minimum, falls ∃ ε > 0 so dass f ′ ≤ 0 in ]x0 − ε, x0[ und f′ ≤ 0 in ]x0 − ε, x0[;
• lokales Maximum, falls ∃ ε > 0 so dass f ′ ≥ 0 in ]x0 − ε, x0[ und f′ ≥ 0 in ]x0 − ε, x0[;
25.2 Monotonie
Satz 2 (Monotoniekriteria). Ist f : D → R differenzierbar, so gilt
• f ′ > 0 in D ⇒ f ist streng monoton wachsend,
• f ′ < 0 in D ⇒ f ist streng monoton fallend,
• f ′ ≥ 0 in D ⇔ f ist monoton wachsend,
• f ′ ≤ 0 in D ⇔ f ist monoton fallend.
Beispiel 1. x 7→ (1 + 1x )
x ist streng monoton wachsend.
Satz 3. Sei f : D → R differenzierbar und in x0 zweimal differenzierbar, mit
f ′(x0) = 0, f ′′(x0) > 0.
Dann ist x0 ein strenges lokales Maximum.
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26 Konvexitat[F] §16
[K] §9.7-9.8 Definition 1. f : [a, b] → R ist konvex, falls fur alle x, y ∈ [a, b] und alle 0 < λ < 1 gilt:
f(
λx + (1− λ)y)
≤ λf(x) + (1− λ)f(y).
f ist konkav falls −f konvex ist.
Satz 1. Sei f :]a, b[→ R zweimal differenzierbar. Dann
f ist konvex in ]a, b[ ⇔ f ′′(x) ≥ 0 fur alle x ∈]a, b[.
26.1 Anwendungen von Konvexitat
Lemma 1 (Geometrische/arithmetische Mittel). Sei x, y > 0 und 0 < λ < 1. Dann gilt
xλy1−λ ≤ λx + (1− λ)y.
Definition 2 (p-Norm). Sei p ≥ 1 und z = (z1, . . . , zn) ∈ Cn. Die p-Norm von z ist
‖z‖p :=(
n∑
k=1
|zk|p)1/p
.
Satz 2 (Holder’sche Ungleichung). Sei p, q > 1 so dass 1p + 1
q = 1. Dann gilt
n∑
k=1
|zkwk| ≤ ‖z‖p‖w‖q
fur alle z, w ∈ Cn.
Satz 3. Sei p ≥ 1. Dann gilt‖z + w‖p ≤ ‖z‖p + ‖w‖p
fur alle z, w ∈ Cn.
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27 Das Riemann’sche Integral
Definition 1. φ : [a, b] → R ist eine Treppenfunktion, φ ∈ T [a, b], falls eine Unterteilung a =x0 < x1 < · · · < xn = b existiert so dass φ ist konstant (= ck) auf jedem offenem Teilintervall]xk, xk+1[.
Lemma 1. T [a, b] ist ein Vektorraum.
Definition 2 (Integral fur Treppenfunktionen).
ˆ b
a
φ(x) dx =
n−1∑
k=0
ck(xk+1 − xk).
Satz 1. Das Integral auf T [a, b] ist linear und monoton. Letzteres heißt
φ ≤ ψ ⇒ˆ b
a
φ(x) dx ≤ˆ b
a
ψ(x) dx.
Definition 3. Sei f : [a, b] → R beschrankt. Das Ober-/Unterintegral ist definiert als
ˆ ∗b
a
f(x) dx = inf
{
ˆ b
a
ψ(x) dx : φ ∈ T [a, b], ψ ≥ f
}
,
ˆ b
∗af(x) dx = sup
{
ˆ b
a
φ(x) dx : ψ ∈ T [a, b], φ ≤ f
}
.
f ist Riemann-integrierbar, f ∈ R[a, b] falls´ ∗ba f(x) dx =
´ b
a∗ f(x) dx. In diesem Fall
ˆ b
a
f(x) dx :=
ˆ ∗b
a
f(x) dx.
27.1 Charakterisierung von Riemann-integrierbaren Funktionen
Satz 2 (Einschliessung zwischen Treppenfunktionen). f ∈ R[a, b] genau dann, wenn fur alle ε > 0
es existiert φ, ψ ∈ T [a, b] so dass φ ≤ f ≤ ψ und´ b
a (ψ − φ)(x) dx ≤ ε.
Satz 3. Jede stetige Funktion f : [a, b] → R ist Riemann-integrierbar.
Satz 4. Jede monotone Funktion f : [a, b] → R ist Riemann-integrierbar.
Satz 5. R[a, b] ist ein Vektorraum und das Riemann Integral ist linear und monoton auf R[a, b].
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28 Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung
28.1 Riemann’sche Summen
Definition 1. Eine Zerlegung Z = (xk)k=0...n des Intervalls [a, b] ist eine streng monotone Folgea = x0 < x1 < · · · < xn = b, mit Feinheit ∆(Z) = maxk(xk − xk−1). Fur beliebige Stutzstellenξk ∈ [xk−1, xk] und stetige Funktionen f : [a, b] → R definieren wir die Riemann’sche Summe
S(f, Z) =
n∑
k=1
f(ξk)(xk − xk−1).
Die Ober-/Untersummen sind definiert als
S∗(f, Z) =n∑
k=1
max[xk−1,xk]
f (xk − xk−1), S∗(f, Z) =n∑
k=1
max[xk−1,xk]
f (xk − xk−1),
so dass S∗(f, Z) ≤ S(f, Z) ≤ S∗(f, Z).
Satz 1. Sei f : [a, b] → R stetig. Dann
lim∆(Z)→0
n∑
k=1
f(ξk)(xk − xk−1) =
ˆ b
a
f(x) dx.
Beispiel 1.ˆ a
0
x dx =a2
2,
ˆ a
1
1
xdx = log a, a > 1.
Beispiel 2.
limn→∞
n∑
k=1
1
n+ k= log(2).
Beispiel 3.∞∑
k=1
(−1)k+1 1
k= log(2).
28.2 Das unbestimmte Integral
Satz 2. Sei f : [a, b] → R stetig und setze
F (x) :=
ˆ x
a
f(t) dt x ∈ [a, b].
Dann ist F differenzierbar in ]a, b[ und ddxF (x) = f(x).
Definition 2 (Stammfunktion). Eine differenzierbare Funktion F :]a, b[→ R heißt Stammfunktionvon f falls d
dxF (x) = f(x).
Satz 3. Wenn F,G beide Stammfunktionen von f sind, dann F −G =konstant.
Satz 4 (Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung). Sei f : [a, b] → R stetig und Feine Stammfunktion von f . Dann gilt
ˆ b
a
f(x) dx = F (b)− F (a).
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29 Integrationsmethoden
29.1 Stammfunktionen
(i)
ˆ
xs dx =xs+1
s+ 1, s 6= −1, (ii)
ˆ
1
xdx = log x
(iii)
ˆ
sinx dx = − cosx, (iv)
ˆ
cosx dx = sinx
(v)
ˆ
ex dx = ex, (vi)
ˆ
1√1− x2
dx = arcsinx
(vii)
ˆ
1
1 + x2dx = arctanx, (viii)
ˆ
1
(cos x)2dx = tanx
29.2 Substitutionsregel
Satz 5. Sei f : D → R stetig und φ : [a, b] → R stetig differenzierbar mit φ([a, b]) ⊂ D. Dann gilt
ˆ b
a
f(φ(t))φ′(t) dt =
ˆ φ(b)
φ(a)
f(x) dx.
Beispiel 4.ˆ 1
−1
√
1− x2 dx =π
2.
29.3 Partielle Integration
Satz 6. Seien f, g : [a, b] → R stetig differenzierbar. Dann
ˆ b
a
f(x)g′(x) dx = [f(x)g(x)]ba −ˆ b
a
f ′(x)g(x) dx.
29.4 Uneigentliche Integrale
Definition 3. 1.
2.
3.
Beispiel 5.
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