ANDRÉ LUIGUI BEZERRA SANTOS

ANDRÉ LUIGUI BEZERRA SANTOS

DESENVOLVIMENTO DE UMA FERRAMENTA COMPUTACIONAL NO

MICROSOFT EXCEL PARA AUTOMAÇÃO DOS CÁLCULOS DE

ANÁLISES DE TENSÕES EM VIGAS

ANGICOS-RN

2020

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMIÁRIDO

PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO

CENTRO MULTIDISCIPLINAR DE ANGICOS

INTERDISCIPLINAR EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA





Monografia apresentada à Universidade Federal

Rural do Semiárido – UFERSA, Campus

Angicos, para obtenção do título de Bacharelado

em Ciência e Tecnologia.

Orientadora: Janielly Kaline de Oliveira Ferreira

da Fé.

ANGICOS-RN

2020

© Todos os direitos estão reservados a Universidade Federal Rural do Semi-Árido. O conteúdo desta obra é de inteira

responsabilidade do (a) autor (a), sendo o mesmo, passível de sanções administrativas ou penais, caso sejam infringidas as leis

que regulamentam a Propriedade Intelectual, respectivamente, Patentes: Lei n° 9.279/1996 e Direitos Autorais: Lei n° 9.610/1998. O conteúdo desta obra tomar-se-á de domínio público após a data de defesa e homologação da sua

respectiva ata. A mesma poderá servir de base literária para novas pesquisas, desde que a obra e seu (a) respectivo (a) autor

(a) sejam devidamente citados e mencionados os seus créditos bibliográficos.

S237d Santos, André Luigui Bezerra. DESENVOLVIMENTO DE UMA FERRAMENTA COMPUTACIONAL NO MICROSOFT EXCEL PARA

AUTOMAÇÃO DOS CÁLCULOS DE ANÁLISES DE TENSÕES

EM VIGAS / André Luigui Bezerra Santos. -

2020. 117 f. : il.

Orientador: Janielly Kaline de

Oliveira Ferreira da Fé. Monografia (graduação) -

Universidade Federal Rural do Semi-árido, Curso de

Ciência e Tecnologia, 2020.

1. Tensões. 2. Propriedades

Geométricas. 3. Microsoft Excel. I. da Fé,

Janielly Kaline de Oliveira Ferreira, orient.

II. Título. O serviço de Geração Automática de Ficha Catalográfica para Trabalhos de Conclusão de Curso (TCC´s) foi desenvolvido

pelo Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação da Universidade de São Paulo (USP) e gentilmente cedido para o Sistema de Bibliotecas da Universidade Federal Rural do Semi-Árido (SISBI-UFERSA), sendo customizado pela Superintendência de Tecnologia da Informação e Comunicação (SUTIC) sob orientação dos bibliotecários da instituição para ser adaptado às necessidades dos alunos dos Cursos de Graduação e Programas de Pós-Graduação da Universidade.





Monografia apresentada à Universidade Federal

Rural do Semiárido como requisito para obtenção

do título de Bacharelado em Ciência e Tecnologia.

Defendida em: _____ / _____ / __________.

BANCA EXAMINADORA

_________________________________________

Janielly Kaline de Oliveira Ferreira da Fé, DSc (UFERSA)

Presidente

_________________________________________

Sara de Oliveira Marques Luna, Engenheira Civil

Membro Examinador

_________________________________________

Marcilene Vieira da Nóbrega, DSc (UFERSA)

Membro Examinadora

AGRADECIMENTOS

Agradeço aos meus pais, Lourdinha e Adaildo, por não medirem esforços para

garantirem uma educação de qualidade. Agradeço a Deus por sempre garantir, de alguma forma,

que na maioria das vezes tudo dê certo. A toda a minha família por sempre me apoiar.

Agradeço ainda a professora Janielly por me aceitar como orientador, a professora Sara

por acreditar no meu potencial desde de sempre e ser uma das minhas fontes inspiradoras pra

esta área, ao professor Klaus André por me ensinar os princípios da Resistência dos Materiais,

a professora Marcilene por compartilhar o assunto de transformação de tensão e pelas suas aulas

capazes de acalmar qualquer dia, e a Núbia por me fornecer os princípios da estática.

Não poderia deixar de esquecer dos meus amigos que sempre melhoram meu astral,

Ruane, minha amiga para tudo, Felipe Lino e Gustavo Júnior, companheiros de casa, Átila, que

estuda comigo desde criança até hoje, Hermínia, Igor Lima, Igor Luiz e Laninha, amigos para

descontrair, Kleycinha por sempre manter o astral e Larissa por me apoiar.

“Para meu herói, que é quem eu persigo.

Quando eu tinha 15 anos, eu tinha uma pessoa

importante na minha vida, que me perguntou

quem era meu herói. Eu respondi que não sabia

e que precisava pensar sobre isso. Pensei por

algumas semanas e depois disso descobri que

meu herói era eu mesmo daqui a 10 anos. Aos 25

anos essa pessoa veio até mim e perguntou se eu

já era um herói. Obviamente eu não sou,

respondi. Meu herói sou eu aos 35 anos. Pensei

por algumas semanas e depois disso descobri

que meu herói era eu mesmo daqui a 10 anos. Eu

nunca vou ser um herói, nunca vou alcançar

isso. Eu sei que não sou e isso é bom pra mim,

porque isso me mantém com um objetivo a ser

perseguido.”

Matthew McConaughey

RESUMO

As tensões e suas transformações são um dos assuntos mais discutidos pelos autores da

Resistência dos Materiais. Estas tensões são pressões geradas devido aos esforços internos,

predominando o momento fletor e o esforço cortante como os principais esforços reativos em

vigas. É importante frisar que devido a estas tensões atuarem sobre as seções transversais, torna-

se necessário a análise de todas as propriedades geométricas de seções estudadas. Desse modo,

devido a inúmera quantidade de passos e assuntos para os cálculos das tensões atuantes em

vigas, o objetivo principal do trabalho foi a criação de modelos analíticos no Microsoft Excel,

capazes de calcular de maneira automatizada as propriedades geométricas, os esforços internos,

as tensões atuantes e as suas transformações. Para isto, foi feito um estudo algébrico das

equações disponíveis na literatura para o encontro destas tensões, aliado com a adequação

destas equações para cada caso analisado. Frisa-se que para este trabalho os casos estudados

foram as seções I, T, retangular e T invertido, alternando entre vigas engastas e biapoiadas, com

carregamentos pontuais ou distribuídos. Como forma de validar os resultados obtidos pela

planilha, análises analíticas foram realizadas e comparadas com os resultados obtidos no

Microsoft Excel. A partir disto, concluiu-se que a planilha possuiu eficácia no cálculo das

tensões, permitindo assim, que quem a utilize possua a capacidade de alterar as dimensões das

seções de vigas estudadas, e dos perfis, sem a necessidade da repetir cálculos extensos.

Palavras-chave: Tensões. Propriedade Geométricas. Microsoft Excel.

ABSTRACT

Tensions and their transformations are two subjects most discussed by the authors of Resistance

of Materials. These stresses are just pressures exerted on internal forces, predominantly or

bending moment and shear force, as the main stresses of the beams. It is important to state that

I am activating these strains as transversal measures, it will be necessary to analyze all the

geometric properties of the studied instructions. Thus, due to a large number of steps and

subjects for calculating stressful stresses in beams, or main objective of the work of non-

Microsoft Excel analytical models, capable of automatically calculating geometric properties,

internal stresses, such as Impressive Stress and its transformations. For this reason, algebraic

studies are available for the literature or for these tensions, combined with the adequacy of these

equations for each case analyzed. I know that, for this work, we studied cases for sections I, T,

rectangular and inverted T, alternating between defined and biaporate beams, with punctual or

distributed loads. As a way of validating the results obtained by the spreadsheet, analytical

analyzes were performed and compared with the results obtained not in Microsoft Excel. From

there, it was concluded that a plan that has an efficient calculation of the tensile stresses,

allowing assimilation, that allows to change the dimensions of the studied beams and two

profiles, will need to repeat extensive calculations.

Keywords: Tensions. Geometric Properties. Microsoft Excel.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 – O momento causado no parafuso é igual a força vezes a distância. ...................... 21

Figura 2 – Momento Estático de Área. .................................................................................... 21

Figura 3 – Momento Estático de Área analisando de maneira infinitesimal. .......................... 22

Figura 4 – Centro de Gravidade. ............................................................................................. 22

Figura 5 – Momento de Inércia. .............................................................................................. 23

Figura 6 – A seção transversal em I é composta pela união de retângulos. ............................ 24

Figura 7 – Raio de Giração. ..................................................................................................... 24

Figura 8 – Viga biapoiada com diversos tipos de carregamento, sendo eles distribuído,

pontual e momento. .................................................................................................................. 26

Figura 9 – Possíveis seções estudadas. .................................................................................... 27

Figura 10 – Convenção dos esforços. ...................................................................................... 27

Figura 11 – Convenção dos esforços. ...................................................................................... 28

Figura 12 – Superfície Neutra. ................................................................................................ 29

Figura 13 – Experimento que prova a linha neutra. ................................................................ 29

Figura 14 – Viga com elemento infinitesimal dx destacado. .................................................. 30

Figura 15 – Elemento infinitesimal sem ter sofrido deformação, à esquerda, e deformado, à

direita, devido ao momento atuante. ......................................................................................... 30

Figura 16 – Representação da tensão no elemento infinitesimal. ........................................... 31

Figura 17 – Força e momento atuante em uma seção transversal infinitesimal. ..................... 32

Figura 18 – Força q atuando em uma viga causando um esforço cortante, que por

consequência, gerou a tensão cisalhante................................................................................... 33

Figura 19 – Conjunto de três tábuas, que ao deformarem, devido a um carregamento P,

deslizam umas sobre as outras. ................................................................................................. 33

Figura 20 – Planos internos de uma viga sofrendo cisalhamento. .......................................... 34

Figura 21 – Viga simplesmente apoiada. ................................................................................ 34

Figura 22 – Elemento infinitesimal destacado em viga. .......................................................... 35

Figura 23 – Elemento infinitesimal destacado nas 3 dimensões da viga. ............................... 35

Figura 24 – Elemento infinitesimal destacado nas 3 dimensões da viga, junto com as tensões

atuantes. .................................................................................................................................... 35

Figura 25 – Elemento infinitesimal com as forças atuantes. ................................................... 36

Figura 26 – Viga de madeira e não linearidade das suas fibras. .............................................. 37

Figura 27 – Elemento infinitesimal. ........................................................................................ 38

Figura 28 – Elemento infinitesimal com corte realizado em ângulo θ. ................................... 38



Figura 31 – Áreas. ................................................................................................................... 39

Figura 32 – Elemento Infinitesimal final................................................................................. 40

Figura 33 – Gráfico formado através do cateto adjacente e do cateto oposto. ........................ 41

Figura 34 – Tensões Principais................................................................................................ 43

Figura 35 – Hibbeler (2019, p. 394) “As equações de transformação de tensão podem ser

usadas para prever a direção das trincas e as tensões principais normais que as causaram”. .. 43

Figura 36 – Gráfico formado através do cateto adjacente e do cateto oposto. ........................ 44

Figura 37 – Tensão cisalhante máxima. .................................................................................. 45

Figura 38 – Elemento infinitesimal para o círculo de Mohr. .................................................. 46

Figura 39 – Círculo de Mohr detalhado. ................................................................................. 46

Figura 40 – Seções, dimensões e eixos. .................................................................................. 47

Figura 41 – Elementos infinitesimais destacados. ................................................................... 48

Figura 42 – Tensão Cisalhante em viga. ................................................................................. 49

Figura 43 – Capa da planilha. .................................................................................................. 50

Figura 44 – Eixos da viga. ....................................................................................................... 51

Figura 45 – Aba da inserção de dados. .................................................................................... 52

Figura 46 – Primeira etapa, inserção das dimensões. .............................................................. 53

Figura 47 – Segunda etapa, comprimento da viga e tipo de carregamento. ............................ 53

Figura 48 – Distância a e b que apareceram na planilha para serem inseridas. ...................... 53

Figura 49 – Segunda etapa, inserção das distâncias do carregamento pontual. ...................... 54

Figura 50 – Segunda etapa, inserir se o ponto é o Anterior ou Posterior. ............................... 54

Figura 51 – O ponto vermelho representa o analisado no cálculo das tensões. ...................... 55

Figura 52 – Segunda etapa, inserir se o ponto é o Anterior ou Posterior. ............................... 55

Figura 53 – Aba de navegação está localizada na direita superior da planilha. ...................... 55

Figura 54 – Aba das propriedades geométricas. ...................................................................... 56

Figura 55 – Aba das tensões. ................................................................................................... 57

Figura 56 – Aba dos gráficos das tensões. .............................................................................. 58

Figura 57 – Ajuste do limite do gráfico................................................................................... 59

Figura 58 – Aba do Círculo de Mohr. ..................................................................................... 60

Figura 59 – Esquema representando o funcionamento da planilha. ........................................ 61

Figura 60 – Viga engasta com perfil em I, sujeita a carregamento distribuído de 2 kN. ........ 61

Figura 61 – Diagrama de corpo livre. ...................................................................................... 62


Figura 63 – Diagramas de corpo livre e esforços internos. ..................................................... 63

Figura 64 – Seção estudada. .................................................................................................... 64

Figura 65 – Detalhamento da seção para obtenção do Sz da mesa. ........................................ 66

Figura 66 – Detalhamento da seção para obtenção do Sz da alma. ......................................... 66

Figura 67– Gráficos das Tensões Cisalhantes. ........................................................................ 68

Figura 68 – Gráficos das Tensões Normais. ............................................................................ 69


Figura 70 – Círculo de Mohr montado manualmente e via M. Excel. .................................... 70

Figura 71 – Viga biapoiada, sujeita a carregamento distribuído de 2 kN. .............................. 78






Figura 77 – Gráficos das Tensões Cisalhantes. ....................................................................... 82



Figura 80 - Menu da planilha .................................................................................................. 85

Figura 81 - Inserção de dados .................................................................................................. 86

Figura 82 - Aba das Tensões. .................................................................................................. 87

Figura 83 - Aba dos gráficos das tensões, é importante frisar que pra este caso não tem

gráfico para a tensão normal. .................................................................................................... 88

Figura 84 - Aba do Círculo de Mohr. ...................................................................................... 89

Figura 85 – Viga engasta com perfil em T, sujeita a carregamento pontual de 2 kN. ............ 90






Figura 91 – Detalhamento da seção para obtenção do Sz da alma. ......................................... 94

Figura 92 – Gráficos das Tensões Cisalhantes. ....................................................................... 95

Figura 93 – Gráficos das Tensões Normais. ............................................................................ 95



Figura 96 - Menu da planilha para seções T............................................................................ 98

Figura 97 - Aba de inserção..................................................................................................... 99

Figura 98 - Aba das propriedades geométricas. .................................................................... 100

Figura 99 - Aba das tensões................................................................................................... 101

Figura 100 - Gráficos das tensões. ........................................................................................ 102

Figura 101 - Aba do Círculo de Mohr ................................................................................... 103

Figura 102 – Viga engasta com perfil em T invertido, sujeita a carregamento pontual de 2

kN. .......................................................................................................................................... 104

Figura 103 – Diagrama de corpo livre. .................................................................................. 104

Figura 104 – Diagrama de corpo livre. .................................................................................. 105

Figura 105 – Diagramas de corpo livre e esforços internos. ................................................. 105

Figura 106 – Seção estudada. ................................................................................................ 106

Figura 107 – Detalhamento da seção para obtenção do Sz da mesa. .................................... 107

Figura 108 – Detalhamento da seção para obtenção do Sz da alma. ..................................... 108

Figura 109 – Gráficos das Tensões Cisalhantes. .................................................................. 109

Figura 110 – Gráficos das Tensões Normais. ........................................................................ 109

Figura 111 – Elemento infinitesimal. .................................................................................... 110

Figura 112 – Círculo de Mohr montado manualmente e via M. Excel. ................................ 111

Figura 113 - Menu da planilha para seções T invertido. ....................................................... 112

Figura 114 - Aba de inserção................................................................................................. 113

Figura 115 - Aba das propriedades geométricas. .................................................................. 114

Figura 116 - Aba das tensões................................................................................................. 115

Figura 117 - Aba dos gráficos das tensões. ........................................................................... 116

Figura 118 - Aba do Círculo de Mohr. .................................................................................. 117

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Esforços internos obtidos via manual e via programada no Microsoft Excel. ...... 64

Tabela 2 – Valores das propriedades geométricas obtidas via Microsoft Excel e manualmente.

.................................................................................................................................................. 65

Tabela 3 – Tensões cisalhantes na alma obtidas manualmente e no Microsoft Excel. ........... 67

Tabela 4 – Tensões cisalhantes na mesa obtidas manualmente e no Microsoft Excel. ........... 67

Tabela 5 – Tensões normais na mesa obtidas manualmente e no Microsoft Excel. ................ 68

Tabela 6 – Tabela com os dados da transformação de tensão com cálculos manuais e via M.

Excel. ........................................................................................................................................ 71

Tabela 7 – Viga Biapoiada com carregamento distribuído de 2 kN, seção retangular, sendo

analisada no CG e em x = 0 m. ................................................................................................. 72

Tabela 8 – Viga Biapoiada com carregamento pontual de 2 kN, seção em T, sendo analisada

no CG e em x = 2 m. ................................................................................................................. 73

Tabela 9 – Viga Engastada com seção em T invertido, analisada em x = 0 e no CG. ........... 74

Tabela 10 – Esforços internos obtidos via manual e via programada no Microsoft Excel. .... 79


.................................................................................................................................................. 81

Tabela 12 – Tensões cisalhantes na alma obtidas manualmente e no Microsoft Excel. ......... 82

Tabela 13 – Tensões normais obtidas manualmente e no Microsoft Excel. ............................ 82


Excel. ........................................................................................................................................ 84

Tabela 15 – Esforços internos obtidos via manual e via programada no Microsoft Excel. .... 91


.................................................................................................................................................. 93

Tabela 17 – Tensões cisalhantes na alma obtidas manualmente e no Microsoft Excel. ......... 94

Tabela 18 – Tensões cisalhantes na mesa obtidas manualmente e no Microsoft Excel. ......... 94

Tabela 19 – Tensões normais na mesa obtidas manualmente e no Microsoft Excel. .............. 95


Excel. ........................................................................................................................................ 97

Tabela 21 – Esforços internos obtidos via manual e via programada no Microsoft Excel. .. 105


................................................................................................................................................ 107

Tabela 23 – Tensões cisalhantes na alma obtidas manualmente e no Microsoft Excel. ....... 108

Tabela 24 – Tensões cisalhantes na mesa obtidas manualmente e no Microsoft Excel. ....... 108

Tabela 25 – Tensões normais na mesa obtidas manualmente e no Microsoft Excel. ............ 109


Excel. ...................................................................................................................................... 111

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

A Área

dA Derivada de área

DCL Diagrama de Corpo Livre

DEC Diagrama de Esforço Cortante

DMF Diagrama de Momento Fletor

dx Distância em x

dy Distância em y

Ix Momento de Inércia com relação ao eixo x

Iy Momento de Inércia com relação ao eixo y

Iz Momento de Inércia com relação ao eixo z

ix Raio de Giração com relação ao eixo x

iy Raio de Giração com relação ao eixo x

iz Raio de Giração com relação ao eixo x

Mx Momento Estático de Área com relação ao eixo x

My Momento Estático de Área com relação ao eixo y

Mz Momento Estático de Área com relação ao eixo z

σ Tensão Normal

Sz Momentos Estático de Área da seção estudada no cisalhamento

τ Tensão Cisalhante

W Módulo Resistência

x Eixo x

y Eixo y

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 18

1.1 JUSTIFICATIVA ............................................................................................................... 19

2 OBJETIVOS ........................................................................................................................ 20

2.1 OBJETICOS GERAIS ........................................................................................................ 20

2.2 OBJETICOS específicos .................................................................................................... 20

3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ...................................................................................... 21

3.1 PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS ................................................................................. 21

3.1.1 Momento estático de área ............................................................................................. 21

3.1.2 Centro de gravidade ...................................................................................................... 22

3.1.3 Momento de inércia ....................................................................................................... 23

3.1.3.1 Teorema dos eixos paralelos ........................................................................................ 23

3.1.4 Raio de giração............................................................................................................... 24

3.1.5 Módulo resistente ........................................................................................................... 25

3.2.DIAGRAMAS .................................................................................................................... 25

3.2.1 Descontinuidades ........................................................................................................... 25

3.2.2 Convenção de sinais ....................................................................................................... 27

3.3 TENSÃO NORMAL NA FLEXÃO................................................................................... 28

3.3.1 Linha neutra ................................................................................................................... 28

3.3.2 A equação da tensão normal na flexão ........................................................................ 29

3.4 CISALHAMENTO ............................................................................................................. 33

3.4.1 Linha nutra e tensão cisalhante .................................................................................... 34

3.4.2 A equação do cisalhamento ........................................................................................... 34

3.5 TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO ................................................................................. 37

3.5.1 Tensões principais.......................................................................................................... 41

3.5.2 Tensão cisalhante máxima ............................................................................................ 43

3.5.3 Círculo de mohr ............................................................................................................. 45

4 METODOLOGIA ................................................................................................................ 47

4.1 MICROSOFT EXCEL ....................................................................................................... 47

4.2 seções transversais .............................................................................................................. 47

4.3 DESENVOLVIMENTO DA PLANILHA ......................................................................... 48

5 RESULTADOS E DISCUSSÕES....................................................................................... 50

5.1 FUNCIONAMENTO DA PLANILHA.............................................................................. 50

5.2 VIGA EM BALANÇO COM CARREGAMENTO DISTRIBUIDO E SEÇÃO I ............ 61

5.2 DEMAIS EXEMPLOS ....................................................................................................... 71

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS .............................................................................................. 75

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 76

APÊNDICE A - VIGA BIAPOIADA COM CARREGAMENTO DISTRIBUIDO E SEÇÃO

RETANGULAR ....................................................................................................................... 78

APÊNDICE B – PLANILHA PARA SEÇÕES RETANGULARES ..................................... 85

APÊNDICE C – BIAPOIADA COM CARREGAMENTO PONTUAL E SEÇÃO T .......... 90

APÊNDICE D – PLANILHA PARA SEÇÕES EM T ........................................................... 98

APÊNDICE E - ENGASTADA COM CARREGAMENTO PONTUAL E SEÇÃO T

INVERTIDO .......................................................................................................................... 104

APÊNDICE F – PLANILHA PARA SEÇÃO EM T INVERTIDO .................................... 112

18

1 INTRODUÇÃO

Uma das peças estruturais mais utilizadas na construção civil são as vigas, elementos

que possuem uma das dimensões preponderantes em relação as outras duas. Estes tipos de

membros normalmente estão sujeitos a carregamentos externos capazes de gerar esforços

reativos internos. Destaca-se a Terceira Lei de Newton para a explicação disto. Quando um

carregamento externo atua sobre uma viga, a fim de se manter a estabilidade, ela reage com um

esforço interno de mesmo valor, podendo para casos de carregamentos longitudinais, reagir

com um esforço cortante ou fletor.

O processo de determinação das tensões atuantes envolve cálculos que demandam

certa quantidade de tempo e esforço mental. Hibbeler (2019) define os seguintes passos para a

determinação da tensão normal: cálculo do centroide e do momento de inércia da seção

transversal do eixo perpendicular ao carregamento, a descoberta do momento interno atuante e

pôr fim, a utilização de uma coordenada da seção para o encontro da tensão. Nesse passo a

passo, cada termo elencado possui um significado no surgimento da tensão normal. Começando

pelo centroide, o seu descobrimento representará a linha neutra da seção transversal, o local

onde a tensão normal é igual a zero. Logo em seguida surge o momento de inércia, esta

propriedade ditará o quão resistente a flexão a seção transversal é, sendo a peça com maior

momento de inércia a menos sujeita a flexão. Posteriormente, tem-se o encontro do momento

fletor, o esforço interno responsável pelo surgimento da tensão normal na seção.

Por fim, é necessário a escolha do ponto para a análise da tensão, este ponto depende

do centroide da seção transversal, já que este representará o ponto de tensão zero, sendo assim,

quanto mais distante dele maior a tensão imposta na viga.

Quanto a tensão cisalhante ela possui todos os passos elencados acima, com ressalva

a utilização da base da seção transversal, o momento estático de área da seção acima ou baixo

do ponto analisado e o esforço cortante ao invés do momento fletor. Os termos utilizados

representarão quase as mesmas funções dos anteriores, porém, agora o centroide representará o

ponto de maior tensão cisalhante. Isto ocorre devido a quanto mais acima dele menos planos de

deslizamento a peça possui, sendo o ponto mais distante do centroide o local com a tensão

cisalhante zero.

Tendo em vista a inúmera quantidade de passos para o cálculo e supondo agora uma

situação na qual a peça estudada não resiste as tensões impostas, necessitando da alteração de

sua seção transversal, isto representará ao calculista a repetição de cálculos que se analisados

poderiam ser programados para o aumento da eficácia.

19

Sendo assim, a planilha consistirá na automação de todo o processo de cálculo

elencado, fornecendo ao usuário dados como os esforços internos, propriedades geométricas,

tensões e suas transformações.

O desenvolvimento da planilha partiu da análise algébrica de seções transversais com

dimensões representadas por variáveis. Sendo isto o ponto chave para que independente da

alteração na dimensão da seção transversal, as propriedades geométricas sejam calculadas

automaticamente. O cálculo algébrico também foi utilizado para a obtenções das equações que

regiram as tensões para cada tipo de seção e para o encontro das suas transformações. Em posse

de todas as equações, rotinhas de cálculo foram inseridas no Microsoft Excel e testadas de

maneira analítica provando a veracidade da planilha para cálculo de tensões.

1.1 JUSTIFICATIVA

O ponto base para os projetos de engenharia estrutural é o conhecimento das tensões

atuantes nos membros utilizados. A utilização da presente planilha garantirá ao usuário a

eficiência de métodos clássicos de cálculo com a eficácia proporcionada pelas novas tecnologia.

Além disso, a utilização por usuários durante a graduação, garantirá a eles uma aprendizagem

do conteúdo de Resistencia dos Materiais além da resolução de exercícios, partindo para a

modelagem de seções transversais que acomodaram melhores os esforços provocados.

20

2 OBJETIVOS

2.1 OBJETICOS GERAIS

Este trabalho possui como objetivo a criação de planilhas no Microsoft Excel para

automação do cálculo de tensões em elementos estruturais, visando um aprimoramento do

tempo de cálculo e um melhor entendimento das tensões atuantes em peças.

2.2 OBJETICOS ESPECÍFICOS

• Fazer uma revisão literária de como os autores tratam os cálculos das propriedades

geométricas e tensões;

• Discutir o desenvolvimento da planilha e comparar os resultados a mão com o do Microsoft

Excel;

• Comprovar a eficácia da planilha com a comparação utilizando exercícios resolvidos

manualmente através dos métodos convencionais.

21

3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

3.1 PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS

O estudo das tensões, na resistência dos materiais, consiste em uma série de deduções.

Para o professor Hasse (2015), devido a estas tensões atuarem ao longo das seções transversais

de um corpo, torna-se necessário conhecer as características das seções transversais estudadas.

3.1.1 Momento estático de área

Um dos conceitos primordiais discutido na estática é o momento causado por uma

força, sendo ele igual a força aplicada vezes a distância perpendicular ao ponto (Figura 1).

Figura 1 – O momento causado no parafuso é igual a força vezes a distância.

Fonte: Google (2019)1

No entanto, no Momento Estático de Área, ao invés de uma força causando um

momento, existirá uma área, distanciada de eixos x e y, provocando uma rotação sobre estes.

Para Melconian (2009, p.169) “o momento estático de área é definido através do produto entre

a área do elemento e a distância que o separa do eixo de referência”. É importante deixar claro

algumas considerações sobre está definição. Por se tratar de uma tendência de giro, ao analisar

o eixo x percebe-se que o braço de alavanca, o qual tende a fazer a área rotacionar, possui

distância em y. Já no momento no eixo y segue o inverso da explicação anterior, estando o braço

de alavanca a uma distância em x. Concluindo assim, que o momento estático de área em relação

a um eixo sempre utilizará a distância perpendicular a este eixo, sendo ilustrado isto na Figura

2.

Figura 2 – Momento Estático de Área.

Fonte: Melconian (2009)

1 DESCOMPLICA. Mapa Mental: Equilíbrio dos Corpos Extensos. Disponível em: <

https://descomplica.com.br/artigo/mapa-mental-equilibrio-de-corpos-extensos/4rV/> . Acesso em: 28 dez.

2019.

https://descomplica.com.br/artigo/mapa-mental-equilibrio-de-corpos-extensos/4rV/

22

Sendo a seção transversal formada por figuras que variam suas áreas seguindo funções

matemáticas, o Momento Estático de Área agora é analisado através de um elemento

infinitesimal dA (Figura 3), possuindo assim, a equação, uma formulação diferencial.

Figura 3 – Momento Estático de Área analisando de maneira infinitesimal.


Devido ao momento estático de área ser calculado multiplicação da área vezes uma

distância, ele é representado pela unidade de comprimento utilizada no cálculo ao cubo.

O momento estático de área tem sua importância no cálculo da tensão de cisalhante,

sendo as seções com maiores momentos as submetidas a maiores tensões cisalhantes.

3.1.2 Centro de gravidade

A maioria dos elementos estruturais são compostos pela combinação de várias formas

geométricas. Devido a isto, torna-se necessário localizar o centro de gravidade (Figura 4),

significando este ponto, para Melconian (2002), o ponto onde se concentra a área.

Figura 4 – Centro de Gravidade.


Mx = y . A (1)

My = x . A (2)

Mx = ∫ y . dA A

(3)

My = ∫ x . dA A

(4)

(4)

23

O centro de gravidade é representado através da unidade de comprimento utilizada no

cálculo.

3.1.3 Momento de inércia

O momento de inércia de uma seção transversal expressa a relação entre a área da peça

e a distância do centro de gravidade para o eixo ao quadrado. Para Hibbeler (2019) quando se

trata de um elemento de área infinitesimal dA (Figura 5), o momento de inércia em relação aos

eixos x e y são dIx = y2.dA e dIy = x2.dA, respectivamente.

Figura 5 – Momento de Inércia.


A sua importância na engenharia, segundo Melconian (2009), está na resistência das

peças estruturais, conferindo um maior momento de inércia, uma maior resistência a flexão.

3.1.3.1 Teorema dos eixos paralelos

Ao se deparar com problemas nos quais uma seção transversal é composta por vários

formatos geométricas (Figura 6), a utilização do teorema dos eixos paralelos é necessária para

o cálculo do momento de inércia. A expressão que representa este teorema leva em

consideração o momento de inércia da seção estudada, a área desta parte e sua distância para o

eixo de referência.

xcg = ∫ y . dA

A

∫ dA A

=∑ (x

i.Ai)

i=ni=1

∑ (Ai)i=ni=1

(5)

ycg

= ∫ x . dA

A

∫ dA A

=∑ (y

i.Ai)

i=ni=1

∑ (Ai)i=ni=1

(6)

Ix= ∫ y2.dA A

(7)

Iy= ∫ x2.dA A

(8)

24

Figura 6 – A seção transversal em I é composta pela união de retângulos.

Fonte: Autor (2019)

O momento de inércia é representado através da unidade de comprimento elevado a

quarta potência.

3.1.4 Raio de giração

Para Melconian (2009), o raio de giração de uma seção, em relação a um eixo estudado,

representa a raiz da divisão do momento de inércia do eixo pela área (Figura 7). No estudo dos

elementos sujeitos a flambagem, maiores valores de raio de giração garantirão aos membros

solicitados uma maior carga crítica, que por consequência suportaram uma maior carga sem

flambar.

Figura 7 – Raio de Giração.


Ix = Ix̅' + A . dy2 (9)

Iy = Iy̅' + A . dx2 (10)

ix= √Ix

A (11)

25

O raio de giração é representado através da unidade de comprimento utilizada no

cálculo.

3.1.5 Módulo resistente

O módulo resistente é a relação entre o momento de inércia de um eixo e a distância

do centro de gravidade ao ponto mais distante da seção. Para Melconian (2009) o módulo

calcula a resistência de uma superfície plana em relação aos eixos do centroide. O módulo

resistente é igual a unidade de comprimento utilizada ao cubo.

3.2.DIAGRAMAS

Segundo Hibbeler (2013, p. 95) “antes que se possa estabelecer um equilíbrio para

um membro estrutural, é necessário determinar a força e o momento que atuam sobre ele”. Ou

seja, antes da execução de um projeto estrutural é necessário o conhecimento dos esforços

internos resultantes em cada seção da peça.

Estes esforços são representados por equações em função de uma variável x, podendo

serem representados por uma única função ou funções que variam durante o eixo longitudinal

da peça. A não linearidade dos diagramas dependerá do tipo de carregamento e de como ele

causará uma descontinuidade no gráfico, permitindo esta descontinuidade que um ponto no eixo

longitudinal da viga possua dois valores para a força ou momento. Em geral, as funções dos

esforços são equação que se iniciam no ponto 0 da viga e ao se escolher um ponto dentro do

intervalo do membro estrutural o esforço pode ser encontrado.

3.2.1 Descontinuidades

Antes de entender como os diagramas são traçados, é necessário conhecer as cargas

que causarão descontinuidades. Como dito anteriormente, nem sempre os diagramas serão

compostos por equações contínuas, podendo existir casos, nos quais uma seção da peça possuirá

dois resultados paras os esforços atuantes.

Para entender como isto funciona será utilizado a viga da Figura 8.

iy= √Iy

A (12)

Wx= Ix

ymáx.

(13)

Wy= Iy

xmáx.

(14)

26

Figura 8 – Viga biapoiada com diversos tipos de carregamento, sendo eles distribuído,

pontual e momento.

Fonte: Autor (2019)

A viga acima é um ótimo exemplo para explicar isto. Começando a explicação com os

carregamentos transversais serão eles os causadores dos esforços que tendem a cortar a peça.

Logo, no traçado do Diagrama de Esforço Cortante (DEC) os esforços que causarão

descontinuidade serão os carregamentos pontuais transversais e o início e final de cargas

distribuídas.

Haverá pontos no diagrama em que a descontinuidade resultará em um deslocamento

vertical do gráfico. Normalmente, isto ocorre posteriormente a carregamentos distribuídos, os

quais são sucedidos por cargas pontuais. Um bom exemplo disto é a seção c, a qual, analisando

da esquerda para direita, está possuirá um valor para o esforço imediatamente antes, sem

considerar a carga pontual de 5,33 kN, e um valor imediatamente depois, considerando a carga

pontual. Analisando da direita para esquerda, imediatamente antes (a direita), o esforço cortante

possuirá valor zero, e imediatamente depois (a esquerda), terá o valor de - 5,33 kN.

Partindo para o Diagrama de Momento Fletor (DMF), a explicação parte do próprio

nome, momento. Aqui a principal fonte de descontinuidade serão os momentos distribuídos ao

longo da viga, mantendo ainda a regra do DEC das cargas distribuídas e dos carregamentos e

momentos pontuais. O conceito de imediatamente antes e depois ainda é utilizado, sendo os

momentos pontuais o principal causador da utilização deste conceito. Utilizando-se da seção d

para exemplificar, ela possuirá um valor para o momento fletor antes, sem considerar o

momento pontual, e uma valor depois, considerando os 2 kN.m.

27

Figura 9 – Possíveis seções estudadas.

Fonte: Autor (2019)

O entendimento destas descontinuidades será a peça chave para, segundo Hibbeler

(2019), um dos passos para o traçado dos diagramas, o seccionamento da viga. No DEC, as

seções a, b e c, da Figura 9, serão as utilizadas para os cálculos destes esforços, enquanto no

DMF, todas as seções b, c e d serão analisadas.

3.2.2 Convenção de sinais

Os autores Beer e Johnston (2015) definem as seguintes convenções para a análise

desenho dos diagramas pelo método das equações. Dependendo da direção de análise da peça,

esquerda ou direita, os esforços internos entrarão com os sentidos descritos pela Figura 10.

Figura 10 – Convenção dos esforços.

Fonte: Autor (2019)

28

Outra convenção utilizada é a do Hibbeler (2019), o método das seções (Figura 11).

Este método simplifica os cálculos dos esforços internos, utilizando-se de pontos ao longo da

viga e realizando o somatório dos esforços em cada ponto. O calculista pode decidir se analisará

pela esquerda ou pela direita levando em consideração o lado com menos solicitações.

Figura 11 – Convenção dos esforços.

Fonte: Autor (2019)

3.3 TENSÃO NORMAL NA FLEXÃO

As vigas, segundo a NBR 6118 (2014, p. 74), são “Elementos lineares em que a flexão

é preponderante”. Sendo o principal causador deste tipo de tensão os esforços externos capazes

de gerar momento fletor. Em uma revisão literária, os autores da Resistência dos Materiais,

Hibbeler (2019) e Beer e Johnston (2015), trazem a seguinte equação para o cálculo dessa

tensão.

M – Momento fletor.

Iz – Momento de inércia em relação ao eixo z.

y – Distância do ponto analisado para o centro de gravidade.

Como unidade, as tanto as tensões normais como as cisalhantes são iguais a força sobre

área.

Para o entendimento de como utilizar está fórmula, se torna necessário o conhecimento

de um termo chamado linha neutra.

3.3.1 Linha neutra

Segundo os autores Beer e Johnston (1995, p. 324) “deve haver uma superfície

paralela à face superior e à face inferior de uma viga, onde a deformação e as tensões normais

se tornam nulas, esta superfície é chamada superfície neuta”.

σ = M

Iz

.y (15)

29

Figura 12 – Superfície Neutra.

Fonte: Autor (2019)

A Figura 12 representa o plano formado pela superfície neutra. Quanto a Figura 13,

ela demonstra uma prova real da linha neutra. Analisando a imagem, percebe-se que a linha

horizontal representada no centro da barra, mesmo após ela ser flexionada, manteve o seu

comprimento original, algo que não ocorreu com a superior e a inferior.

Figura 13 – Experimento que prova a linha neutra.

´

Fonte: Hibbeler (2019)

Para Beer e Johnston (1995, p. 327) “a linha neutra passa pelo centro geométrico das

seções”, e esta frase é a base para os cálculos da de tensões normais devido a flexão, sendo o

ponto igual ao centro geométrico o ponto zero para os cálculos, e os acima ou abaixo os

utilizados para ser encontrada a tensão.

3.3.2 A equação da tensão normal na flexão

A expressão que representa a tensão normal é encontrada a partir de dois conceitos

básicos, deformação e a lei de Hooke. Em que para Beer e Johnston (2015), o processo de

dedução tem o seu início com a análise de um elemento infinitesimal da barra (Figura 14).

30

Este elemento, para ele, possuía um comprimento inicial AB e devido aos esforços que

tendem a fletir a barra, o comprimento da linha AB foi reduzido para ds’ e transformando em

parte de uma circunferência de centro C e raio ρ.

Figura 14 – Viga com elemento infinitesimal dx destacado.

Fonte: Autor (2019)

Para uma melhor dedução, ao invés do termo AB utilizado por Beer e Johnston (2015),

o termo ds substituirá AB e dx significará a linha neutra da seção. Por fim, tem-se que a distância

da linha neutra dx até a linha ds é igual a y. A Figura 15 destaca todos os termos citados

anteriormente.

Figura 15 – Elemento infinitesimal sem ter sofrido deformação, à esquerda, e

deformado, à direita, devido ao momento atuante.

Fonte: Autor (2019)

Para o encontro da deformação o conceito de variação é utilizado, no qual a variação

entre dois valores é igual a diferença do final menos o inicial dividido pelo valor inicial.

Sendo assim:

Utilizando o raio de curvatura da circunferência e notando que anteriormente ds é igual

a dx.

ε = ds' - ds

ds (16)

ds = dx = r.dθ = ρ . dθ (17)

31

O raio entre o centro e ds’ igual a ρ menos y, logo, o comprimento de ds’ também pode

ser encontrado.

Agora, substituindo as equações 17 e 18 na 16, a seguinte equação é obtida.

Hibbeler (2019) afirma que esse importante resultado indica que a deformação

longitudinal, de qualquer elemento no interior de uma viga, depende de sua localização y na

seção transversal. Em outras palavras, para qualquer seção transversal específica, a deformação

normal longitudinal variará linearmente com y em relação ao eixo neutro.

Figura 16 – Representação da tensão no elemento infinitesimal.

Fonte: Autor (2019)

A equação 19 pode ser remodelada para o encontro da deformação máxima,

substituindo a distância do ponto mais extremo da seção e com maior distância do C.G. (Figura

16).

Dividindo a equação 19 pela 20 obtêm-se:

A partir da equação anterior outra correlação pode ser feita levando em consideração

as tensões.

ds' = r.dθ = (ρ-y) . dθ (18)

ε = -y

ρ (19)

εmáx. = -c

ρ (20)

ε = -y

c.εmáx. (21)

σ = -y

c.σmáx. (22)

32

Figura 17 – Força e momento atuante em uma seção transversal infinitesimal.

Fonte: Autor (2019)

Tendo sido encontrada todas as relações, a equação que rege este tipo de tensão pode

ser encontrada. Para isto, a maioria dos livros realizam o corte de uma seção transversal da peça

sujeita a uma força infinitesimal e um momento (Figura 17).

Iniciando pelo somatório das forças.

Para Hibbeler (2019), na equação anterior os termos tensão e posição do ponto c, não

são iguais a zero. Sendo assim, os termos restantes, que significam o momento estático de área

da seção transversal em torno da linha neutra, são iguais a zero, provando assim, a sua

existência.

Por fim, precisa-se então do somatório do momento na linha neutra da seção

transversal.

Sendo y2.dA é igual ao momento de inércia, a equação 27 passa a ser:

M – Momento fletor.

I – Momento de inércia em relação ao eixo z.

c – Distância do ponto analisado para o centro de gravidade.

∑ FX = 0 (23)

∫ dFA

= ∫ σ.dAA

= ∫ -y

c.σmáx..dA

A

= -σmáx.

c∫ y.dA

A

= 0 (24)

∑ M = 0 (25)

M= ∫ y . dFA

= ∫ y.σmáx.

c.y.dA

A

(26)

M=σmáx.

c∫ 𝑦2.dA

A

(27)

σmáx.=M

I.c (28)

33

3.4 CISALHAMENTO

Para Hibbeler (2019, p. 317) “o cisalhamento V é o resultado de uma distribuição de

tensão de cisalhamento que age na seção transversal da viga”, ou seja, as tensões que tendem

a cisalhar são aquelas que surgem devido as cargas que atuam paralelamente as seções

transversais dos elementos estruturais (Figura 18).

Figura 18 – Força q atuando em uma viga causando um esforço cortante, que por

consequência, gerou a tensão cisalhante.

Fonte: Autor (2019)

Além do cisalhamento da seção transversal, as cargas paralelas podem causar esforços

que tendem a cisalhar o elemento estrutural no seu eixo longitudinal (Figura 19). Hibbeler

(2009) demonstra isto em um elemento estrutural composto por três tábuas empilhadas uma a

uma, nas quais ao serem sujeitas a um carregamento P, deslizam-se uma sobre as outras.

Figura 19 – Conjunto de três tábuas, que ao deformarem, devido a um carregamento

P, deslizam umas sobre as outras.


Este deslizamento ocorrente entre as barras do sistema, será o causador da Tensão

Cisalhante Longitudinal. É importante frisar que até então as tensões que envolvem o momento

fletor não consideraram o carregamento transversal. Contudo, ao submeter um elemento

prismático ao conjunto de ações que tendem a fletir e cisalhá-la, o material passará a possuir

34

deformações nada constantes. Para isto, Beer e Johnston (2015) e Hibbeler (2019), consideram

em suas deduções para tensão cisalhante, o não efeito das tensões normais na peça ou que as

deformações devido ao conjunto de carregamentos não possuem valores expressivos.

3.4.1 Linha nutra e tensão cisalhante

Assim como a tensão normal, o trabalho com as equações que envolvem o

cisalhamento depende do conhecimento da linha neutra. Neste caso, a linha neutra possuirá

significado totalmente contrário do anteriormente. Antes o ponto localizado sobre linha neutra

era aquele com o valor igual a zero para a tensão normal. Contudo, neste caso, o ponto em que

a tensão cisalhante possuirá seu valor máximo será sobre a linha neutra. Isto pode ser explicado

pelos planos ilustrados na Figura 20.

Figura 20 – Planos internos de uma viga sofrendo cisalhamento.

Fonte: Autor (2019)

Começando pelos planos amarelo e laranja. Por estarem situados na linha neutra, será

ele o ponto no qual a cisalhante possuirá valor máximo. O fato disto ocorrer será devido a

quanto mais próximo a linha neutra mais planos de deslizamento longitudinal existem, estando

um ponto localizado no plano azul, sem nenhum plano de cisalhamento acima dele para que ele

possa ser cisalhado, causando assim uma tensão cisalhante igual a zero.

3.4.2 A equação do cisalhamento

A maioria dos problemas que envolvem a mecânica dos materiais, partem de

problemas básicos, como o da Figura 21, que servirão para situações mais complexas. No caso

da equação cisalhante, ela é obtida através de um elemento infinitesimal destacado em uma

viga, com distância y partindo da linha neutra (Figura 22).

Figura 21 – Viga simplesmente apoiada.

Fonte: Medeiros (2018)

35

Ao destacar um elemento e utilizando as definições de diagrama, percebe-se que este

elemento possuirá um valor para o momento atuante imediatamente antes e depois, sendo M e

posteriormente M + dM momentos internos e sigma na direção longitudinal a tensão devido a

flexão. Quanto aos esforços que tendem a causar o corte da peça, para Hibbeler (2019) eles não

entrarão no cálculo por ele estar na direção vertical (y) da viga e nesta dedução ele apenas

utilizar o eixo x.

Figura 22 – Elemento infinitesimal destacado em viga.


Figura 23 – Elemento infinitesimal destacado nas 3 dimensões da viga.


Transformados os esforços atuantes em tensões (Figura 24-b) e seccionando o

elemento verde (Figura 23), o seguinte elemento da Figura 25 pode ser obtido.

Figura 24 – Elemento infinitesimal destacado nas 3 dimensões da viga, junto com as

tensões atuantes.


36

Remodelando as tensões atuantes em forças, temos que o as seguintes forças atuantes.

Sendo o intervalo das integrações do ponto y até o h/2, ou seja, as dimensões verticais do

elemento transversal.

Figura 25 – Elemento infinitesimal com as forças atuantes.


Utilizando a equação da tensão normal devido a flexão juntamente com os momentos

M, a esquerda, e M+dM, a direita, tem-se.

Substituindo as equações 31 e 32 na 30 obtêm-se.

Utilizando os conceitos das propriedades geométricas das seções transversais,

percebe-se que o termo y.dA diz respeito ao momento estático de área do elemento infinitesimal.

∑ FX = 0 (29)

∫ σ*x . dA

h/2

y

- ∫ σx . dA

h/2

y

- ∫ τ . t . dx

h/2

y

= 0 (30)

σ*x = M + dM

I . y (31)

σx = M

I . y (32)

∫M + dM

I . y. dA

h/2

y

- ∫M

I . y . dA

h/2

y

- τ . t . dx = 0 (33)

∫dM

I . y. dA

h/2

y

- τ . t . dx = 0 (34)

∫dM

I . y. dA

h/2

y

= τ . t . dx (35)

τ = ∫dM

I .

1

t . dx. y. dA

h/2

y

= (dM

dx) .

1

I.t∫ y. dA

h/2

y

(36)

37

Significando isto, que a cada vez que se desejar encontrar a tensão cisalhante em um ponto, o

momento estático de área correspondente ao trecho acima ou abaixo deste ponto deve ser

encontrado. Para não utilizar sempre a expressão y.A, ela será representada na equação pelas

letras SZ. Outro termo conhecido na equação acima é o dM/dx, utilizando as correlações

existentes entre os esforços internos, Hibbeler (2019) define em seu livro que esta expressão

corresponde ao esforço cortante V. Sendo assim.

3.5 TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO

No início do estudo da Resistência dos Materiais, algumas considerações são impostas,

sendo uma delas a isotropia dos materiais. Os elementos que possuem este tipo de característica

possuem a capacidade de reagirem da mesma forma independentemente das direções de

aplicação dos esforços. Contudo, este tipo de propriedade não nada comum nos materiais de

engenharia, sendo a madeira um ótimo exemplo para a explicação.

Iniciando pela madeira (Figura 26), ao analisá-la visualmente, percebe-se a não

constância nas suas fibras lenhosas. Sendo assim, as verdadeiras tensões atuantes no material

não são as que estão atuando sobre a seção transversal do elemento, mas sim, uma tensão gerada

em planos inclinados.

Figura 26 – Viga de madeira e não linearidade das suas fibras.


Estas transformações de tensões, para autores da Resistencia dos Materiais, envolvem

o estudo de elementos infinitesimais obtidos de acordo com cada caso estudado. Estes

elementos são representados como descrito na Figura 27, possuindo ainda na imagem abaixo

os sentidos convencionados para as tensões positivas.

2 CUSTO DA CONSTRUÇÃO. Vigota 6 x 12 cm viga de madeira não aparelhada mad regional. Disponível

em: < https://www.custodaconstrucao.com/app/produtos/vigota-6-x-12-cm-viga-de-madeira-nao-aparelhada-

mad-regional> . Acesso em: 28 nov. 2019.

τ = V

I . t.SZ (37)

https://www.custodaconstrucao.com/app/produtos/vigota-6-x-12-cm-viga-de-madeira-nao-aparelhada-mad-regional

https://www.custodaconstrucao.com/app/produtos/vigota-6-x-12-cm-viga-de-madeira-nao-aparelhada-mad-regional

38

Figura 27 – Elemento infinitesimal.

Fonte: Autor (2019)

Para evitar que a cada caso diferente novas fórmulas para análise de tensões sejam

formuladas, os autores Beer e Johnston (2015) e Hibbeler (2019), deduzem uma expressão geral

para as transformações de tensões. A construção da equação geral parte da separação do

elemento infinitesimal, estando a parte estudada com um ângulo θ da aresta esquerda do

elemento (Figura 28).

Figura 28 – Elemento infinitesimal com corte realizado em ângulo θ.

Fonte: Autor (2019)

Após o destaque do elemento, surgirá duas novas tensões atuantes em eixos inclinados,

significando estas tensões as atuantes após a transformação. Pela definição que força é igual a

tensão vezes a área, torna-se necessário o encontro de cada área na qual as tensões atuarão.

Tornando-se o elemento da Figura 29 a base para o encontro destas áreas.

39


Fonte: Autor (2019)

Destacando um elemento infinitesimal de três dimensões (Figura 30), uma área A é

obtida através de um corte e transformada para um plano 2D (Figura 31).


Fonte: Autor (2019)

Figura 31 – Áreas.

Fonte: Autor (2019)

Ao realizar a multiplicação de cada respectiva área pela tensão obtêm-se a forças

descritas na equação 32.

40

Figura 32 – Elemento Infinitesimal final.

Fonte: Autor (2019)

Utilizando relações trigonométricas a equação anterior se torna.

Utilizando relações trigonométricas.

Quanto a tensão normal no eixo y, por ela ocorrer em a 90º do eixo x, basta somar o

ângulo θ + 90º na equação 41 e obtêm-se.

∑ FX' = 0 (38)

σx' . ∆A - τxy.∆A. cos(θ). sen(θ) - σx.∆A. cos(θ) .cos(θ)

- σy. ∆A. sen(θ) .sen(θ)-τxy.∆A. cos(θ) . sen(θ) = 0 (39)

σx' = cos(θ). sen(θ).2.τxy+ cos2(θ). σx+ sen2(θ). σy (40)

σx'= σx+σy

2+

σx-σy

2cos(2.θ) +τxy. sen(2.θ) (41)

∑ Fy' = 0 (42)

τx'y' . ∆A - σx.∆A. cos(θ). sen(θ) - τxy.∆A. cos(θ) .cos(θ)

+τxy . ∆A. sen(θ) .sen(θ)-σy.∆A. cos(θ) . sen(θ) = 0 (43)

τx'y' = cos(θ). sen(θ).(σy - τxy

)+ cos2(θ). τxy- sen2(θ). τxy (44)

τx'y'= -σx-σy

2sen(2.θ) +τxy. cos(2.θ) (45)

σy'= σx+σy

2-σx-σy

2cos(2.θ) -τxy. sen(2.θ) (46)

41

3.5.1 Tensões principais

As expressões obtidas até então possuem variáveis trigonométricos em sua

composição, ou seja, de acordo com o ângulo de rotação do plano as tensões atuantes nos

membros são alteradas. Sendo assim, para Hibbeler (2019, p. 394) “é importante determinar

as orientações que fazem a tensão normal e a tensão de cisalhamento sejam máximas”. Para

isto, o artifício do teste da derivada primeira é utilizado. Leithold (1994) define que caso exista

um número c definido no domínio da função f e se f’(c)=0 este número será chamando de

número crítico, sendo o valor c o ponto no qual a derivada é igual a zero e um valor de máximo

da função f.

Logo, para encontrar o ponto máximo da tensão que atua no eixo x, a derivada da

equação de transformação de tensão em x e igualada a zero.

Devido a função tangente ser igual ao cateto oposto sobre o cateto adjacente, um

gráfico tensão cisalhante versus tensão normal pode ser criado na Figura 33, utilizando a

equações 51.

Figura 33 – Gráfico formado através do cateto adjacente e do cateto oposto.

Fonte: Autor (2019)

Quanto ao elemento que representa a hipotenusa do triângulo, por se tratar de um

triângulo retângulo, o método de Pitágoras permite o encontro de sua dimensão.

dσx'

dθ (

σx+σy

2+

σx-σy

2cos(2.θ) +τxy. sen(2.θ)) = 0 (47)

dσx'

dθ= (-2.

σx-σy

2. sen(2.θ) +2.τxy. cos(2.θ)) = 0 (48)

(σx-σy). sen(2.θ) =2.τxy. cos(2.θ) (49)

sen(2.θ)

cos(2.θ) =

2.τxy

(σx-σy) (50)

tg (2.θP)= 2.τxy

(σx-σy) (51)

42

Seguindo então para o encontro da equação que regira as tensões principais máximas,

o cosseno e seno são encontrados pelo gráfico da figura anterior para então serem inseridos na

equação 41.

Substituindo a equação do seno e cosseno na da tensão normal, a equação é rearranjada

na seguinte forma.

Para Hibbeler (2019), a equação que envolve a tensão principal no eixo y é encontrada

invertendo o sinal do termo que representa a hipotenusa. Isto ocorre devido aos últimos termos

da equação possuírem parcelas negativas e positivas.

Dessa forma, para simplificação, os autores Beer e Johnston (2015) e Hibbeler (2019)

retratam estas tensões como σ1 para a tensão em x, positiva, e σ2 para a tensão em y, negativa.

sen (2.θ)=

τxy

√(σx-σy

2)

2

+τxy2

(52)

cos (2.θ)=

σx-σy

2

√(σx-σy

2)

2

+τxy2

(53)

σx'= σx+σy

2+

σx-σy

2.

σx-σy

2

√(σx-σy

2)

2

+τxy2

+τxy.τxy

√(σx-σy

2)

2

+τxy2

(54)

σx'=

σx+σy

2+

1

√(σx-σy

2)

2

+τxy2

((σx-σy

2)

2

+ τxy2)

(55)

σx'=

σx+σy

2+

1

√(σx-σy

2)

2

+τxy2

((σx-σy

2)

2

+ τxy2)

(56)

σx'=

σx+σy

2+

1

√(σx-σy

2)

2

+τxy2

((σx-σy

2)

2

+τxy2)

1

(57)

σx'= σx+σy

2+ √(

σx-σy

2)

2

+τxy2 (58)

σy'= σx+σy

2-√(

σx-σy

2)

2

+τxy2 (59)

43

É importante deixar claro que caso o seno e cosseno, obtidos pela derivada, fossem

utilizados na equação da transformação da tensão cisalhante, isto resultaria em um valor igual

a zero, provando a não existência de cisalhamento no plano principal. A Figura 34 confirma

que ao transformar as tensões para as principais, a cisalhante torna-se igual a zero.

Figura 34 – Tensões Principais.

Fonte: Autor (2019)

O descobrimento do plano da tensão normal máxima será a base para o encontro das

direções de surgimento de fissuras em vigas( Figura 35).

Figura 35 – Hibbeler (2019, p. 394) “As equações de transformação de tensão

podem ser usadas para prever a direção das trincas e as tensões principais normais que

as causaram”.


3.5.2 Tensão cisalhante máxima

Utilizando o princípio do ponto crítico da derivada.

σ1,2= σx+σy

2±√(

σx-σy

2)

2

+τxy2 (60)

dτx'y'

dθ ( -

σx-σy

2sen(2.θ) +τxy. cos(2.θ)) = 0 (61)

dτx'y'

dθ= -

σx-σy

2.2.cos(2.θ) -τxy.2. sen(2.θ) = 0 (62)

44

Manipulando a definição de tangente, um gráfico pôde ser criado com os catetos

oposto e adjacente na Figura 36.

Figura 36 – Gráfico formado através do cateto adjacente e do cateto oposto.

Fonte: Autor (2019)

As relações trigonométricas o seno e cosseno podem ser obtidas pelo gráfico acima.

Substituindo os termos seno e cosseno na equação de transformação da tensão

cisalhante, equação 45.

Sobre as tensões normais atuantes, Hibbeler (2019) relata que a atuante, tanto em x

como em y, nos casos de tensão cisalhante máxima é a tensão média. A Figura 37 relata como

as tensões estão dispostas para a tensão cisalhante máxima.

τxy.2. sen(2.θ) = −σx-σy

2.2.cos(2.θ) (63)

sen(2.θ)

cos(2.θ) =

-σx-σy

2τxy

(64)

tg(2.θc) = -σx-σy

2τxy

(65)

sen (2.θ)=

τxy

√(σx-σy

2)

2

+τxy2

(66)

cos (2.θ)= −

σx-σy

2

√(σx-σy

2)

2

+τxy2

(67)

τx'y'= -σx-σy

2

τxy

√(σx-σy

2)

2

+τxy2

+τxy.−

σx-σy

2

√(σx-σy

2)

2

+τxy2

(68)

τx'y'= √(σx-σy

2)

2

+τxy2 (69)

45

Figura 37 – Tensão cisalhante máxima.


3.5.3 Círculo de mohr

O círculo de Mohr permite a visualização das tensões de acordo com a inclinação do

elemento e sem a necessidade de realização de novos cálculos. Hibbeler (2019) define que para

o encontro da equação que definirá o círculo de Mohr é necessário rearranjar as equações das

transformais das tensões normais e cisalhantes.

Somando os quadrados das equações anteriores:

Sabendo que o quadrado do seno mais o cosseno é igual a um.

E sendo a equação de uma circunferência igual à.

Uma correlação entre a equação da circunferência e a equação 74 pode ser feita.

Analisando as duas, o centro da circunferência será C(σméd.;0). Para o encontro do ponto zero,

σx' - σx+σy

2=

σx-σy

2. cos(2.θ) +τxy. sen(2.θ) (70)

τx'y'= -σx-σy

2sen(2.θ) +τxy. cos(2.θ) (71)

(σx' - σx+σy

2)

2

+(τx'y')2 = (

σx-σy

2)

2

. cos2(2.θ) +

(σx-σy

2)

2

. sen2(2.θ) +(τxy)2. sen2(2.θ) + (τxy)

2. cos2(2.θ)

(72)

(σx' - σx+σy

2)

2

+(τx'y')2

= (σx-σy

2)

2

.(cos2(2.θ) + sen2(2.θ))

+(τxy)2.(sen2(2.θ) + cos2(2.θ))

(73)

(σx' - σx+σy

2)

2

+(τx'y')2 = (

σx-σy

2)

2

+(τxy)2 (74)

(x-xc)2+(y-yc)

2= R2 (75)

46

Hibbeler (2019) faz a seguinte relação, estando um ponto na rotação de 0º σx=σx’ e τxy=τx’y’,

significando então este ponto, A(σx; τxy), o base para as rotações. Quanto a tensão no eixo y,

devido a equação de montagem do círculo possuir o ângulo multiplicado por dois, e o eixo y

estar a 90º (Figura 38) de x, a tensão em y estará a 180º do ponto A.

Figura 38 – Elemento infinitesimal para o círculo de Mohr.


A partir dos pontos A e C descobertos, o Circulo de Mohr pôde ser detalhado na Figura

39.

Figura 39 – Círculo de Mohr detalhado.


47

4 METODOLOGIA

Dentre as vertentes existentes, analítica, numérica e experimental, o trabalho baseou-

se na obtenção de modelos algébricos representado por letras e testados por análises analíticas.

4.1 MICROSOFT EXCEL

A aplicação foi desenvolvida no Microsoft Excel, uma ferramenta capaz de criar, editar

e exibir planilhas, aumentando a eficiência de cálculos programados. Os recursos do programa

incluem uma interface interativa e moldável, aliado com ferramentas de cálculos e que facilitam

a construção de tabelas.

Figura 40 – Excel.


4.2 SEÇÕES TRANSVERSAIS

Em uma pesquisa de mercado, notou-se que as seções transversais mais utilizadas no

ramo da engenharia civil são os perfis retangulares, I, T e T invertido. Sendo estes os perfis

programados na planilha.

Figura 41 – Seções, dimensões e eixos.

Fonte: Autor (2019)

3 WIKIPÉDIA. Microsoft Excel. Disponível em: < https://pt.wikipedia.org/wiki/Microsoft_Excel> .

Acesso em: 07 fev. 2020.

https://pt.wikipedia.org/wiki/Microsoft_Excel

48

4.3 DESENVOLVIMENTO DA PLANILHA

O ponto chave e inicial para a criação das planilhas são as deduções das propriedades

geométricas das seções transversais, retangulares, L, T e T invertido, todas possuindo as suas

dimensões representadas por letras (Figura 40). Fazendo assim com que uma situação genérica

de seção, com comprimentos com letras, se expanda para diversos valores algébricos de

dimensões.

Estando calculada as propriedades das seções, o estudo das tensões desenvolvidas no

membro estrutural pode ser realizado. Iniciando pelas tensões que tendem a cisalhar a peça,

cada seção transversal teve um elemento infinitesimal destacado a fim de se encontrar a equação

que regira o momento estático de área da seção conforme o ponto analisado se aproxime do

centroide da peça (Figura 41). É importante deixar claro que o momento estático citado é o

termo Sz citado na equação 37.

Figura 42 – Elementos infinitesimais destacados.

Fonte: Autor (2020)

Para as seções transversais que correspondem a combinação de seções retangulares,

como os perfis I e T, a parte que corresponde a mesa possuirá uma equação do momento

diferente se comparada a alma, sendo isto o ponto base para o encontro das equações.

Outro ponto crucial é a definição dos intervalos de atuação das equações encontradas,

pois o programa ao ler o ponto definido dentro da seção, terá que interpretar aonde este ponto

está localizado e qual equação utilizar para obtenção das seções. Para programar isto, os termos

condicionais se, ou e e, do Microsoft Excel foram utilizados, frisando aqui, que estas

ferramentas condicionais permitirão ainda o percebimento do ponto nas zonas entre alma e

mesa e a representação da tensão correta.

Quanto as situações na quais o ponto estudado está fora da seção, a imagem da seção

transversal é projetada no início da planilha, com um ponto o qual indica a localização do ponto

49

analisado. Além disso, um aviso de ponto fora seção aparecerá na célula destinada a

confirmação do ponto.

Mais à frente, a planilha necessita dos valores do esforço cortante e momento fletor

para o cálculo das tensões atuantes e montagem do círculo de Mohr. Ressalvando aqui um

conceito de tensão cisalhante que foi o determinante para o correto sinal desta tensão no círculo.

Figura 43 – Tensão Cisalhante em viga.


Hibbeler (2019), em seu livro, não descreve ao certo como encontrar o sinal das

tensões cisalhantes para círculo de Mohr, contudo, ao ler o seu livro, notou-se que em um

elemento um esforço cortante positivo estava causando uma tensão cisalhante negativa (Figura

42), significando isto, que para o círculo, ao invés da tensão cisalhante ser inserida com o sinal

positivo, devido ao cortante positivo, ela na verdade possui o oposto do sinal calculado.

Quanto a formação do círculo de Mohr no Microsoft Excel, ela partiu do pressuposto

que as equações que regem sigma x, sigma y e tau xy, são equações que variam em ângulos de

0 a 360 graus, e por se tratar de um círculo que representa em x a tensão sigma x e em y tau xy,

se colocarmos ambas as equações parar rodar em ângulos que variam de 0 até 180, os pontos

formarão um círculo. É importante frisar aqui que uma rotação de 30º no sentido horário

necessita-se entrar com o sinal negativo, isto devido as rotações negativas no círculo

representarem as o sentido horário.

50

5 RESULTADOS E DISCUSSÕES

O principal resultado do trabalho é a criação de uma planilha capaz de calcular as

tensões de vigas corretamente. A título de conferência, a eficácia dela será testada com

exemplos de estruturas comuns e exercícios corriqueiros de Resistências dos Materiais.

Os exemplos correspondentes aos perfis retangulares, T e T invertido, estarão após as

referências do trabalho e em forma de apêndice.

5.1 FUNCIONAMENTO DA PLANILHA

A planilha traz em seu início o menu de apresentação do programa, nele está disponível

as abas que possíveis de serem acessadas pelo programa. Devido as planilhas serem separadas

em arquivos diferentes para cada tipo de seção e a fim de se evitar a repetição de informações,

sendo o procedimento de utilização do programa igual para as outras seções transversais, a

explicação partirá apenas do programa para a viga em perfil I (Figura 43). Quanto as outras

planilhas, elas estarão atreladas nos apêndices B, D e F.

Figura 44 – Capa da planilha.

Fonte: Autor (2020)

Destaca-se antes a importância do conhecimento dos eixos para cada etapa do

programa. Os eixos utilizados para o cálculo das propriedades geométricas foram fixados na

extremidade esquerda e inferior da peça, igualmente a Figura 44-a. Em relação a estes foram

calculados os centroides, momento de inércia, momento de inércia e raio de giração. Quanto ao

módulo resistente e a análise das tensões, o usuário deve entender que o eixo foi deslocado para

o centroide da peça, representando isto a Figura 44-b.

51

Figura 45 – Eixos da viga.

Fonte: Autor (2020)

Partindo então para o programa, em primeiro lugar é necessário acessar a aba que diz

respeito a inserção de dados (Figura 45). Esta inserção de dados é dividida em três etapas.

52

Figura 46 – Aba da inserção de dados.

Fonte: Autor (2020)

53

Na primeira etapa, Figura 46, o usuário terá que inserir as dimensões da peça estudada.

Essas dimensões serão legendadas pelo programa em forma de cotas na seção transversal

estudada.

Figura 47 – Primeira etapa, inserção das dimensões.

Fonte: Autor (2020)

Mais à frente, na segunda etapa, o autor deve inserir primeiramente, o comprimento

da viga em relação ao eixo x representado na Figura 44 e os tipo de carregamento. Para inserir

o carregamento basta clicar na célula do Excel que representa os tipos de carregamento e ele

mostrará as opções disponíveis (Figura 47).

Figura 48 – Segunda etapa, comprimento da viga e tipo de carregamento.

Fonte: Autor (2020)

Deixa-se de ressalva a situação de Viga Biapoiada com Carregamento Pontual (Figura

48). Casos estas opções sejam selecionadas o usuário deve inserir os dados corretos com as

distâncias do carregamento a e b do carregamento (Figura 49).

Figura 49 – Distância a e b que apareceram na planilha para serem inseridas.

Fonte: Autor (2020)

54

Figura 50 – Segunda etapa, inserção das distâncias do carregamento pontual.

Fonte: Autor (2020)

É importante frisar que se o ponto no eixo x da viga, o correspondente ao eixo

longitudinal, for igual ao comprimento a, o diagrama de esforço cortante possuirá um valor

anterior e um posterior no ponto analisado. Para isto, surge na planilha a opção Ponto. Nela, o

usuário deverá inserir, a sua direita, a palavra Anterior ou Posterior (Figura 50), fazendo então,

com que o programa entenda qual o valor para o esforço cortante será utilizado.

Figura 51 – Segunda etapa, inserir se o ponto é o Anterior ou Posterior.

Fonte: Autor (2020)

Ainda na segunda etapa, o ponto analisado no eixo y, o mesmo representado na Figura

44-b, deve ser inserido, permitindo assim, que o programa calcule as tensões desenvolvidas

nesse ponto. É importante frisar, que se o ponto estiver fora da seção o programa avisará sobre

a confirmação do ponto. Além disso, caso o utilizador não perceba a localização do ponto, este

estará representado em uma imagem da seção estudada na aba inserir (Figura 51).

55

Figura 52 – O ponto vermelho representa o analisado no cálculo das tensões.

Fonte: Autor (2020)

Por fim e na última etapa, a terceira, torna-se necessário a inserção de uma tensão

normal adicional no eixo x e ainda a inserção de uma tensão normal no eixo y (Figura 52).

Figura 53 – Segunda etapa, inserir se o ponto é o Anterior ou Posterior.

Fonte: Autor (2020)

Tendo finalizado a etapa de inserção de dados, todas as propriedades geométricas,

tensões, gráficos e transformações de tensões serão calculadas automaticamente no Excel. Para

acessar os dados obtidos, basta navegar entre as abas do programa na direita superior do

programa (Figura 53).

Figura 54 – Aba de navegação está localizada na direita superior da planilha.

Fonte: Autor (2020)

Iniciando pela aba que diz respeito as propriedades geométricas (Figura 54), o

programa apresentará um desenho da seção transversal estudada em dimensões reais e centrada

no CG, e também, os valores das propriedades em milímetros.

56

Figura 55 – Aba das propriedades geométricas.

Fonte: Autor (2020)

Posteriormente, a aba a ser exibida é as das tensões envolvidas no membro (Figura 55). Nesta parte, a tabela mostrará as tensões máximas

desenvolvidas e quais são as tensões no ponto inserido na aba de inserção. É importante frisar que caso o ponto esteja localizado no limite entre a

mesa e a alma, para seções I, T e T invertido, o programa dirá para olhar as tensões na mesa e na alma abaixo.

57

Figura 56 – Aba das tensões.

Fonte: Autor (2020)

Logo após as tensões, os gráficos correspondentes as tensões em cada ponto da seção estarão plotadas na aba gráfico das tensões (Figura

56). Deixa-se claro que o gráfico das tensões normais entenderá se as fibras de baixo estão tracionando ou comprimindo de maneira automática,

não necessitando informar isto. Quanto o da tensão cisalhante, se a seção transversal for constituída por mesa e alma, o programa exibirá gráficos

distintos para as duas partes.

58

Figura 57 – Aba dos gráficos das tensões.

Fonte: Autor (2020)

Caso o gráfico das tensões cisalhantes não apareça nada plotado, deve-se selecionar o eixo horizontal e redefinir os limites do gráfico. Isto

além de fazer com que reapareça a curva também deixará o gráfico plotando de maneira correta, podendo ajustar os limites do menor ao maior

valor (Figura 57).

59

Figura 58 – Ajuste do limite do gráfico.

Fonte: Autor (2020)

Por fim, e na última aba, o programa possui a aba do Círculo de Mohr (Figura 58),

sendo esta a destinada às transformações de tensões para o ponto analisado. Aqui o programa

utilizará automaticamente os dados obtido na aba das tensões e montará o Círculo de Mohr,

mostrando ainda em quais ângulos ocorrem as tensões principais e máximas e os seus valores.

É importante deixar claro que caso os ângulos tendessem ao infinito, situação na qual o termo

de baixo da tangente dos ângulos são iguais a zero, o Excel entenderá que o ângulo para a tesão

máxima será 45º.

Para garantir que o usuário não necessite retornar a aba de inserção para inserir o

ângulo de rotação do elemento infinitesimal, na aba de Mohr está centrado uma tabela destinada

a inserção da rotação do elemento e se ela será no sentido horário ou anti-horário.

60

Figura 59 – Aba do Círculo de Mohr.

Fonte: Autor (2020)

61

Em suma, o programa funcionará como mostrado no esquema da Figura 59.

Figura 60 – Esquema representando o funcionamento da planilha.

Fonte: Autor (2020)

A primeira opção será o Menu, que posteriormente necessitará da inserção de dos

dados, validação do ponto e impressão dos resultados.

5.2 VIGA EM BALANÇO COM CARREGAMENTO DISTRIBUIDO E SEÇÃO I

Para a confirmação dos cálculos automatizados na planilha, foram feitas operações

matemáticas manuais.

Figura 61 – Viga engasta com perfil em I, sujeita a carregamento distribuído de 2 kN.

Fonte: Autor (2020)

A análise manual se inicia com a interpretação do problema e a construção do diagrama

de forças que atuam no membro estrutural. Para a questão descrita, o seguinte DCL (diagrama

de corpo livre) foi montado conforme a Figura 61.

Menu Inserção de DadosValidadeção do ponto analisado

Propriedades Geométricas

Tensões

Gráfico das Tensões

Círculo de Mohr

62

Figura 62 – Diagrama de corpo livre.

Fonte: Autor (2020)

Devido a peça estudada se tratar de uma estrutura estaticamente determinada, as

equações de equilíbrio para os eixos x e y e momento foram utilizadas.

Com os cálculos as seguintes reações, RAx, Ray e MA, foram encontradas

respectivamente, 0 kN, 8 kN e 16 kNm. Permitindo então a montagem do diagrama de corpo

livre com algarismos numéricos (Figura 62).


Fonte: Autor (2020)

∑ Fx = 0 (76)

RAx = 0 (77)

∑ Fy = 0 (78)

RAy = 8 kN (79)

∑ MA = 0 (80)

-2 . 4 . 2 + MA = 0 (81)

MA = 16 kNm (82)

63

A partir das reações e da convenção direta para o traçado de diagramas os seguintes

esforços foram encontrados.

Fonte: Autor (2019)

Apenas com os quatro valores anteriores torna-se possível o traçado dos diagramas de

esforços internos (Figura 63).

Figura 64 – Diagramas de corpo livre e esforços internos.

Fonte: Autor (2020)

Estes diagramas não são obtidos de maneira direta pelo programa, mas sim

indiretamente, sendo necessário, para um tipo de carregamento como este, a inserção de

diferentes pontos no eixo x da viga, na aba de inserção de dados da planilha. Em um caso como

este, o usuário iria poder solicitar e anotar os esforços para x igual à zero, dois e quatro metros,

e com os esforços destes pontos, plotar os gráficos manualmente.

VA = 8 kN (83)

VB = 8 – 2.4 = 0 kN (84)

MA = - 16 kN (85)

MB = 0 kN (86)

64

Tabela 1 – Esforços internos obtidos via manual e via programada no Microsoft

Excel.

Q (kN) M (kN) Q (kN) M (kN)

0 8 -16 8 -16

2 4 -4 4 -4

4 0 0 0 0

x (m)Manualmente Microsoft Excel

Fonte: Autor (2020)

A Tabela 1, além de confirmar os resultados da planilha, mostra claramente como seria

o processo de montagem manual dos diagramas, com os três pontos analisados e anotados seus

valores, o usuário poderia plotar a mão os diagramas de esforços internos.

O próximo passo para a análise é a análise manual das propriedades geométricas e

obtenção do Sz utilizado nos cálculos das tensões cisalhantes. Utilizando respectivamente da

Figura 64 e das Figuras 65 e 66.

Figura 65 – Seção estudada.

Fonte: Autor (2020)

Centroide:

zcg= 200

2= 100 mm (87)

y

cg=

274

2= 137 mm

(88)

65

Momento de Inércia:

Raio de Giração:

Módulo Resistente:

Tabela 2 – Valores das propriedades geométricas obtidas via Microsoft Excel e

manualmente.

Manual M. Excel

Centro de Gravidade Zcg (mm) 100 100

Centro de Gravidade Ycg (mm) 137 137

Momento de Inércia Iz (mm^4) 9,55E+07 9,55E+07

Momento de Inércia Iy (mm^4) 1,60E+07 1,60E+07

Módulo Resistente Wesq,dir (mm^3) 1,60E+05 1,60E+05

Módulo Resistente Wsup,inf (mm^3) 6,97E+05 6,97E+05

Raio de Giração iz (mm) 114,35 114,35

Raio de Giração iy (mm) 46,85 46,85

Propriedade Geométricas

Fonte: Autor (2020)

Iz=

10 . 2503

12+ 2. (

200 . 123

12+(137-6)2.200.12)

= 95,45. 106 mm4 = 95,45. 10

6. 10-12 m4

(89)

Iz=95,45.10-6

m4 (90)

Iy= 250 . 10

3

12+ 2 .

12 . 2003

12= 16,02. 10

6 mm4= 16,02. 10

6. 10-12 m4 (91)

Iy=16,02.10-6 m4 (92)

A = 2 . 200 . 12 + 10 . 250 = 7300 mm2 (93)

iz= √Iz

A= √

95,45. 106

7300= 114,35 mm (94)

iy= √Iy

A= √

16,02. 106

7300= 46,85 mm (95)

Wsup, inf = Iz

y=

95,45 . 106

137= 693,71 . 10

3 mm3 (96)

Wesq, dir = Iy

x=

16,02 . 106

100= 160,20 . 10

3 mm3 (97)

66

Através da Tabela 2 e fazendo uma comparação entre os resultados obtidos

manualmente e automaticamente, a planilha do Excel apresenta alta eficácia, apresentando os

mesmos valores para as duas formas de cálculo. Destaca-se que em grande parte dos casos, o

fornecedor de propriedades geométricas do Excel, possui o resultado mais fiel possível devido

à grande quantidade de algarismos significativos.

Sz:

Figura 66 – Detalhamento da seção para obtenção do Sz da mesa.

Fonte: Autor (2020)

Figura 67 – Detalhamento da seção para obtenção do Sz da alma.

Fonte: Autor (2020)

Equações das tensões para o ponto em x = 0, no qual V=8 kN e M=-16 kNm:

Sz = A.y (98)

Sz = (((137 - y).200).(y + 0,5(137 - y))) mm3 (99)

Sz = (1876900 - 100.y2).10-9 m3 (100)

Sz = A1.y1 + A2.y2 (101)

Sz = (200.12.131)

+ (((125 - y).10).(y + 0,5(125 - y))) mm3 (102)

Sz = (392525 - 5.y2).10-9 m3 (103)

67

Tabela 3 – Tensões cisalhantes na alma obtidas manualmente e no Microsoft Excel.

Manual M. Excel

0 3,29 3,29

62,5 3,13 3,13

125 2,64 2,64

y (mm)Tensões (MPa)

Fonte: Autor (2020)

Tabela 4 – Tensões cisalhantes na mesa obtidas manualmente e no Microsoft Excel.

Manual M. Excel

125 0,132 0,132

131 0,0674 0,0674

137 0 0


Fonte: Autor (2020)

Com a dedução do termo Sz para a mesa e a alma e ainda a variação do ponto y partindo

do CG da seção, foi feita a coleta de três tensões de pontos para a mesa e a alma. Como

resultado, a planilha mostrou novamente a sua confiabilidade para o cálculo das tensões

cisalhantes desenvolvidas no membro, sendo representado pelas Tabelas 3 e 4 os resultados

obtidos.

τmesa = V

I . t.SZ =

8.103.(1876900 - 100.y2).10

-9

95,45 . 10-6

.200.10-3

(104)

τalma = V

I . t.SZ =

8.103.(392525 - 5.y2).10

-9

95,45 . 10-6

.10.10-3

(105)

σ =M

I.c =

-16.103

95,45 . 10-6

.c (106)

68

Figura 68– Gráficos das Tensões Cisalhantes.

Fonte: Autor (2020)

Os valores encontrados anteriormente nas Tabelas 3 e 4 serão a base para um gráfico

que representa a distribuição de tensão na seção. Analisando os gráficos via Excel e via manual

percebe-se uma diferença quanto ao contorno na mesa. Isto ocorre devido aos livros de

Resistência dos Materiais ajustarem os gráficos das tensões a parábolas com um contorno

perfeito, enquanto o Excel, por se tratar de um intervalo de domínio curto e por plotar fielmente

o gráfico, a curva da tensão na mesa passa a não ter deflexão e se assemelhar a uma reta. Caso

a curva da tensão na mesa possuísse um comprimento maior que os 12 mm da mesa, a equação

possuiria um intervalo suficiente capaz de tornar perceptível a curva da equação.

Tabela 5 – Tensões normais na mesa obtidas manualmente e no Microsoft Excel.

Manual M. Excel

137 23 23

-137 -23 -23


Fonte: Autor (2020)

69

Figura 69 – Gráficos das Tensões Normais.

Fonte: Autor (2020)

Quanto a tensão normal na mesa, analisando a Tabela 5 e a Figura 68, conclui-se que

a planilha foi capaz de entender que um momento negativo é capaz de causar a

compressibilidade das fibras abaixo do centro de gravidade da seção e representar um gráfico

que condiz com o real.

Para o círculo de Mohr, um elemento infinitesimal localizado a 125 mm do centroide

será utilizado (Figura 69).


Fonte: Autor (2020)

Tensões médias e principais:

σx = 21 MPa (107)

σy = 0 MPa (108)

τxy = 2,64 MPa (109)

σméd = σx+σy

2 =

21+0

2 = 10,5 MPa (110)

σ1,2=

21+0

2±√(

21-0

2)

2

+(-2,64)2 (111)

σ1= 21,33 MPa (112)

σ2= -0, 33 MPa (113)

70

Tensão cisalhante máxima:

Ângulo das tensões principais e cisalhantes máximas:

Pontos para a montagem do círculo de Mohr da Figura 70:

Figura 71 – Círculo de Mohr montado manualmente e via M. Excel.

Fonte: Autor (2020)

τxy = √(

21-0

2)

2

+2,642 = 10,83

(114)

tg (2.θP) = 2.τxy

(σx-σy)=

2 . (-2,64)

21-0 (115)

θP = -7,05° (116)

tg(2.θc) =

-σx-σy

2τxy

(117)

tg(2.θc) = -21-0

2(-2,64)

(118)

(118)

θc = 37,94° (119)

A (σx; τxy) = A (21; 0) (120)

C (σméd; 0) = C (10,5; 0) (121)

71

Tabela 6 – Tabela com os dados da transformação de tensão com cálculos

manuais e via M. Excel.

Manual M. Excel

σ1 21,33 (MPa) 21,33 (MPa)

σ2 -0,33 (MPa) -0,33 (MPa)

σméd 10,5 (MPa) 10,5 (MPa)

τmáx 10,83 (MPa) 10,83 (MPa)

θp -7,05 ° -7,06 °

θc 37,94° 37,94°

Transformação de Tensão

Fonte: Autor (2020)

Por fim, no Círculo de Mohr, o Excel foi capaz de representá-lo de maneira fiel. Sendo

capaz de fornecer as tensões principais máximas e seus ângulos de atuação. Os resultados

obtidos para o Círculo de Mohr estão destacados na Tabela 6 acima.

5.2 DEMAIS EXEMPLOS

A fim de se evitar a repetição dos cálculos as questões para as seções retangulares, T

e T invertido. Anotou-se nas Tabelas 7, 8 e 9, os resultados para os carregamentos descritos nas

legendas. Quanto ao memorial de cálculo, ele está em forma de apêndice nos apêndices A, C e

E.

72

Tabela 7 – Viga Biapoiada com carregamento distribuído de 2 kN, seção retangular,

sendo analisada no CG e em x = 0 m.

Manual Excel

Q (0 m) 6 6

Q (3 m) 0 0

Q (6 m) -6 -6

M (0 m) 0 0

M (3 m) 9 9

M (6 m) 0 0









100 mm 0 0

0 0,45 0,45

-100 mm 0 0

100 mm 0 0

-100 mm 0 0

σ1 0,45 (MPa) 0,45 (MPa)

σ2 -0,45 (MPa) -0,45 (MPa)

σméd 0 (MPa) 0 (MPa)

τmáx 0,45 (MPa) 0,45 (MPa)

θp 45 ° 45 °

θc 0° 0°

Esforços Internos


Tensões Cisalhanetes (MPa)

Tensões Normais (MPa)


Fonte: Autor (2020)

73

Tabela 8 – Viga Biapoiada com carregamento pontual de 2 kN, seção em T, sendo

analisada no CG e em x = 2 m.

Manual Excel

Q (0 m) 1,2 1,2

Q (2 m) 1,2 1,2

Q (5 m) -0,8 -0,8

M (0 m) 0 0

M (2 m) 2,4 2,4

M (5 m) 0 0


Centro de Gravidade Ycg (mm) 189,16 189,16




Módulo Resistente Wsup (mm^3) 4,68E+05 4,68E+05

Módulo Resistente Winf (mm^3) 1,80E+05 1,80E+05



72,84 mm 0 0

66,84 mm 0,0148 0,0148

60,84 mm 0,0283 0,0283

60,84 mm 0,565 0,565

0 mm 0,63 0,63

-189,16 mm 0 0

72,84 mm -5,13 -5,13

-189,16 mm 13 13

σ1 0,63 (MPa) 0,63 (MPa)

σ2 0,63 (MPa) 0,63 (MPa)


τmáx 0,63 (MPa) 0,63 (MPa)

θp 45 ° 45 °

θc 0° 0°





Esforços Internos

Fonte: Autor (2020)

74

Tabela 9 – Viga Engastada com seção em T invertido, analisada em x = 0 e no CG.

Manual Excel

Q (0 m) 2 2

Q (4 m) 2 2

M (0 m) -8 -8

M (4 m) 0 0










189,16 mm 0 0

0 mm 1,05 1,05

-60,84 mm 0,942 0,942

-60,84 mm 0,0471 0,0471

-66,84 mm 0,0246 0,0246

-72,84 0 0

-72,84 mm -17,1 -17,1

189,16 mm 44,4 44,4

σ1 1,05 (MPa) 1,05 (MPa)

σ2 -1,05 (MPa) -1,05 (MPa)


τmáx 1,05 (MPa) 1,05 (MPa)

θp 45 ° 45 °

θc 0° 0°

Esforços Internos





Fonte: Autor (2020)

Tendo em vista que os resultados obtidos nas Tabelas 7,8 e 9 e comparando resultados,

nota-se que eles representam fielmente os resultados manuais, a planilha está validada e pronta

para ser utilizada pelos usuários.

75

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Como resultado, diante de tudo elencado e discutido, nota-se a viabilidade da

programação de cálculos de engenharia no Microsoft Excel, sendo esta ferramenta capaz aliar

a eficiência dos métodos de cálculo clássicos com a eficácia dos computadores. Notou-se

também a eficácia do código programado na planilha do Microsoft Excel, sendo ele capaz de

entender o tamanho da seção estudada, representá-la com as dimensões inseridas, mostrar o

ponto analisado de maneira interativa na seção transversal, gerar os esforços internos atuantes

e por fim as tensões.

Analisando os resultados obtidos, a planilha atingiu com sucesso a equivalência dos

valores obtidos manualmente e automaticamente, mostrando assim a viabilidade para o

dimensionamento de vigas sujeitas aos carregamentos programados.

É importante destacar que devido a gama de carregamentos existentes e seções, torna-

se necessário a continuação deste trabalho a fim de se melhorar cada vez mais o

dimensionamento de vigas e o ensino da resistência dos materiais. Sendo, a partir da

continuação, possível de se realizar mais estudos sobre as diversas seções utilizadas no mercado

e quais são as estruturas e carregamentos, além dos programados, que trariam ao usuário uma

melhor experiência. Espera-se ainda que a continuação possa melhorar a parte estética da

planilha, a deixando-a com um design capaz de aprimorar a experiência de quem a utiliza, com

gráficos intuitivos, diagramas e mais informações.

Por fim, acreditasse que a partir da utilização das planilhas nas disciplinas de

Resistência do Materiais 1 e 2, ocorra o aumento do aprendizado, transformando o aluno em

um engenheiro capaz de resolver além de exercícios pré-estabelecido, mas entendendo o que a

diminuição da espessura de uma mesa causará, ou o que acontece ao variar o comprimento da

seção. Expecta-se ainda a realização de um estudo sobre o quanto a planilha auxiliará no ensino

da Resistência dos Materiais e a elaboração uma única planilha capaz de analisar vários tipos

de tensões. Além disso, espera-se também a realização de um estudo de como as alterações das

dimensões das seções transversais influenciam nas tensões atuantes e como as tensões

principais são utilizadas para prever as fissuras em vigas.

76

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de estruturas

de concreto - Procedimento. Rio de Janeiro, 2004.

BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Makron Books, 1995.

BEER, Ferdinand P.; E. JOHNSTON, Russell Jr., DEWOLF, John T.; MAZUREK, David. F..

Mecânica dos Materiais. 7. ed. McGraw-Hill, 2015.

BEZERRA, Paulo Henrique Araújo; GOUVEIA, Bruno Guida. Utilização do software excel®

e de outras ferramentas computacionais no ensino de resistência dos materiais. In:

PROCEEDINGS OF THE XXXIV IBERIAN LATIN-AMERICAN CONGRESS ON

COMPUTATIONAL METHODS IN ENGINEERING, 13., 2013,

Pirenópolis. Artigo. Utilização do Software Excel® e de Outras Ferramentas Computacionais

no Ensino de Resistência dos Materiais: Z.j.g.n del Prado, 2013. p. 1 - 12.

BRANCHIER, Henrique Scalcon. Contribuições dos softwares na aprendizagem de análise

e cálculo de elementos estruturais. 2017. 110 f. TCC (Graduação) - Curso de Engenharia

Civil, Universidade do Vale do Taquari, Lajeado, 2017.

HASSE, D. Notas de aula de Características Geométricas de Figuras Planas. São José dos

Campos: Daniel Hasse, 2015.

HIBBELER, R.C. Análise das Estruturas. 8ª Ed., PEARSON, 2013.

HIBBELER, R. C. Mecânica Estática. 12ª ed. PEARSON, 2010.

HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 10ª Ed., PEARSON, 2019.

HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 7ª Ed., PEARSON, 2009.

LEITHOLD, LOUIS. Cálculo com Geometria Analítica. 5ª.ed. Harbra, 1994. v. 1.

MEDEIROS, K. A. S. Tensão de Cisalhamento na Flexão. Angicos: Klaus André de Sousa

Medeiros, 2018, 26 slides.

MEDEIROS, K. A. S. Tensão de Cisalhamento na Flexão. Angicos: Klaus André de Sousa

Medeiros, 2018, 26 slides.

MELCONIAN, Sarkis. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais. 17ª edição. São

Paulo: Editora Érica, 2009.

NÓBREGA, M. V. Notas de aula de Transformação de Tensão. Angicos: Marcilene Vieira

da Nóbrega, 2019.

VAZ, José Candido de Camargo. Desenvolvimento de uma ferramenta computacional em

excel para automatizar o projeto estrutural de pórticos rolantes. 2010. 130 f. Dissertação

(Mestrado) - Curso de Engenharia Mecânica, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá,

2010.

https://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Busca/Louis_Leithold

https://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Busca/Harbra

https://pt.wikipedia.org/wiki/1994

https://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A3o_Paulo_(estado)

https://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A3o_Paulo_(estado)

77

WIKIPÉDIA. Microsoft Excel. Disponível em: <

https://pt.wikipedia.org/wiki/Microsoft_Excel> . Acesso em: 07 fev. 2020.

YOUTUBE, Cómo calcular un círculo de Mohr con Excel (comentado). Disponível em: <

https://www.youtube.com/watch?v=MJEDbLMFagA&t=177s> . Acesso em: 25 ago. 2018.

https://pt.wikipedia.org/wiki/Microsoft_Excel

https://www.youtube.com/watch?v=MJEDbLMFagA&t=177s

78

APÊNDICE A - VIGA BIAPOIADA COM CARREGAMENTO DISTRIBUIDO E SEÇÃO

RETANGULAR

Figura 72 – Viga biapoiada, sujeita a carregamento distribuído de 2 kN.

Fonte: Autor (2020)


Fonte: Autor (2020)

Viga simétrica, reações iguais.

∑ Fx = 0 (122)

RAx = 0 (123)

RAy = RBy = 6 kN (124)

79


Fonte: Autor (2020)


Fonte: Autor (2020)

VA = 6 kN (125)

VB = 6 – 2.6 = -6 kN (126)

Mmáx=q.l

2

8=

2.62

8= 9 kNm (127)

80


Excel.


0 6 0 6 0

3 0 9 0 9

6 -6 0 -6 0


Fonte: Autor (2020)


Fonte: Autor (2020)

Centroide:


Raio de Giração:

zcg= 100

2= 50 mm (128)

y

cg=

200

2= 100 mm

(129)

Iz= 100. 200

3

12 = 66,67. 10

6 mm4 = 66,67. 106. 10

-12 m4 (130)

Iz = 66,67.10-6

m4 (131)

Iy= 200. 100

3

12= 16,67. 10

6 mm4= 16,67. 10

6. 10

-12 m4 (132)

Iy=16,67.10-6

m4( m4 (133)

A = 200.100 = 20000 mm2 (134)

81

Módulo Resistente:

Wsup, inf = Iz

y=

66,67. 106

137= 333,4 . 10

3 mm3 (137)

Wesq, dir = Iy

x=

16,67 . 106

100= 666,7 . 10

3 mm3 (138)


manualmente.

Manual M. Excel










Fonte: Autor (2020)

Sz:


Fonte: Autor (2020)

iz= √Iz

A= √

66,67. 106

20000= 57,74 mm (135)

iy= √Iy

A= √

16,67. 106

20000= 28,87 mm (136)

82

Equações das tensões para o ponto em x = 0, no qual V=6 kN e M=0 kNm:


Manual M. Excel

100 0 0

0 0,45 0,45

-100 0 0


Fonte: Autor (2020)

Figura 78 – Gráficos das Tensões Cisalhantes.

Fonte: Autor (2020)

Tabela 13 – Tensões normais obtidas manualmente e no Microsoft Excel.

Manual M. Excel

100 0 0

-100 0 0


Fonte: Autor (2020)


será utilizado.

Sz = A.y (139)

Sz = (((100 - y).100).(y + 0,5(100 - y))) mm3 (140)

Sz = (500000 - 50.y2).10-9 m3 (141)

τ = V

I . t.SZ =

6.103.(500000 - 50.y2).10

-9

66,67 . 10-6

.100.10-3

(142)

σ =M

I.c =

0.103

95,45 . 10-6

.c = 0 Pa (143)

83


Fonte: Autor (2020)




σx = 0 MPa (144)

σy = 0 MPa (145)

τxy = 0,45 MPa (146)

σméd = σx+σy

2 =

0+0

2 = 0 MPa (147)

σ1,2=

0+0

2±√(

0-0

2)

2

+(-0,45)2 (148)

σ1 = 0,45 MPa (149)

σ2 = -0,45 MPa (150)

τxy = √(

0-0

2)

2

+(-0,45)2 = 0,45 (151)

tg (2.θP) = 2.τxy

(σx-σy)=

2 . (-0,45)

0-0 (152)

θP = 45° (153)

tg(2.θc) =

-σx-σy

2τxy

(154)

tg(2.θc) =

-0-02

(-0,45)

(155)

θc = 0° (156)

84

Pontos para a montagem do círculo de Mohr:


Fonte: Autor (2020)

Tabela 14 – Tabela com os dados da transformação de tensão com cálculos manuais e

via M. Excel.

Manual M. Excel

σ1 0,45 (MPa) 0,45 (MPa)

σ2 -0,45 (MPa) -0,45 (MPa)


τmáx 0,45 (MPa) 0,45 (MPa)

θp 45 ° 45 °

θc 0° 0°


Fonte: Autor (2020)

A (σx ; τxy) = A (21 ; 0) (157)

C ( σméd ; 0) = C (10,5 ; 0) (158)

85

APÊNDICE B – PLANILHA PARA SEÇÕES RETANGULARES

Figura 81 - Menu da planilha

Fonte: Autor (2020)

86

Figura 82 - Inserção de dados

Fonte: Autor (2020)

87

Figura 83 - Aba das Tensões.

Fonte: Autor (2020)

88

Figura 84 - Aba dos gráficos das tensões, é importante frisar que pra este caso não tem gráfico para a tensão normal.

Fonte: Autor (2020)

89

Figura 85 - Aba do Círculo de Mohr.

Fonte: Autor (2020)

90

APÊNDICE C – BIAPOIADA COM CARREGAMENTO PONTUAL E SEÇÃO T

Figura 86 – Viga engasta com perfil em T, sujeita a carregamento pontual de 2 kN.

Fonte: Autor (2020)


Fonte: Autor (2020)

∑ Fx = 0 (159)

RAx = 0 (160)

∑ MA = 0 (161)

-RBx.5 + 2 . 2 = 0 ( (162)

RBx = 0,8 kN (163)

∑ Fy = 0 (164)

RAy = 2 - 0,8 = 1,2 kN

(165)

91


Fonte: Autor (2020)


Fonte: Autor (2020)


Excel.


0 1,2 0 1,2 0

2 1,2 2,4 1,2 2,4

5 -0,8 0 -0,8 0


Fonte: Autor (2020)

VA = 1,2 kN (166)

VB = -0,8 kN (167)

MA = 0 kN (168)

MB = 0 kN (169)

MC = 1,2.2 = 2,4 kNm (170)

92


Fonte: Autor (2020)

Centroide:


Raio de Giração:

zcg= 200

2= 100 mm (171)

y

cg=

125.10.250 + 256.12.200

10.250 + 12.200= 189,16 mm

(172)

Iz= 10 . 250

3

12+ (189,16-125)2.250.10

+200 . 12

3

12+(256-189,16)2.200.12= 34,06. 10

6 mm4 = 34,06. 10

6. 10-12 m4

(173)

Iz=34,06.10-6 m4 (174)

Iy= 250 . 10

3

12+

12 . 2003

12= 8,02. 10

6 mm4= 8,02. 10

6. 10-12 m4

(175)

Iy=8,02.10-6 m4 (176)

A = 10.250 + 12.200 = 4900 mm2 (177)

iz= √Iz

A= √

95,45. 106

7300= 83,37 mm (178)

93

Módulo Resistente:


manualmente.

Manual M. Excel











Fonte: Autor (2020)

Sz:


Fonte: Autor (2020)

iy= √Iy

A= √

8,02. 106

4900= 40,46 mm (179)

Wsup = Iz

y=

34,06 . 106

263-189,16= 467,6 . 10

3 mm3 (180)

Winf = Iz

y=

34,06 . 106

189,16= 180,06 . 10

3 mm3 (181)

Wesq, dir = Iy

x=

8,02 . 106

100= 80,2 . 10

3 mm3 (182)

Sz = A.y (183)

94


Fonte: Autor (2020)

Equações das tensões para o ponto em x = 2, no qual V=1,2 kN e M=2,4 kNm:


Manual M. Excel

60,84 0,565 0,565

0 0,63 0,63

-189,16 0 0


Fonte: Autor (2020)


Manual M. Excel

72,84 0 0

66,84 0,0148 0,0148

60,84 0,0283 0,0283


Sz = (((72,84 - y).200).(y + 0,5(72,84 - y))) mm3 (184)

Sz = (530566,56 - 100.y2).10-9 m3 (185)

Sz = A.y (186)

Sz = (((189,16 - y).10).(y + 0,5(189,16 - y))) mm3 (187)

Sz = (178907,528 - 5.y2).10-9 m3 (188)

τmesa = V

I . t.SZ =

1,2.103.(530566,56 - 100.y2).10

-9

34,06 . 10-6

.200.10-3

(189)

τalma = V

I . t.SZ =

2,4.103.(178907,528 - 5.y2).10

-9

34,06 . 10-6

.10.10-3

(190)

σ =M

I.c =

2,4.103

34,06 . 10-6

.c (191)

95

Fonte: Autor (2020)


Fonte: Autor (2020)


Manual M. Excel

72,84 -5,13 -5,13

-189,16 13 13


Fonte: Autor (2020)


Fonte: Autor (2020)

96


será utilizado.


Fonte: Autor (2020)




σx = 0 MPa (189)

σy = 0 MPa (190)

τxy = -0,63 MPa (191)

σméd = σx+σy

2 =

0+0

2 = 0 MPa (192)

σ1,2=

0+0

2±√(

0-0

2)

2

+(-0,63)2 (193)

σ1 = 0,63 MPa (194)

σ2 = -0,63 MPa (195)

τxy = √(

0-0

2)

2

+(-0,63)2 = 0,63 (196)

g (2.θP) = 2.τxy

(σx-σy)=

2 . (-0,63)

0-0 (197)

θP = 45° (198)

tg(2.θc) =

-σx-σy

2τxy

(199)

tg(2.θc) = -0-02

(-0,63)(118)

(200)

θc = 0° (201)

97



Fonte: Autor (2020)


via M. Excel.

Manual M. Excel

σ1 0,63 (MPa) 0,63 (MPa)

σ2 0,63 (MPa) 0,63 (MPa)


τmáx 0,63 (MPa) 0,63 (MPa)

θp 45 ° 45 °

θc 0° 0°


Fonte: Autor (2020)

A (σx ; τxy) = A (0 ; -0,63) (202)

C ( σméd ; 0) = C (0 ; 0) (203)

98

APÊNDICE D – PLANILHA PARA SEÇÕES EM T

Figura 97 - Menu da planilha para seções T.

Fonte: Autor (2020)

99

Figura 98 - Aba de inserção.

Fonte: Autor (2020)

100

Figura 99 - Aba das propriedades geométricas.

Fonte: Autor (2020)

101

Figura 100 - Aba das tensões.

Fonte: Autor (2020)

102

Figura 101 - Gráficos das tensões.

Fonte: Autor (2020)

103

Figura 102 - Aba do Círculo de Mohr

Fonte: Autor (2020)

104

APÊNDICE E - ENGASTADA COM CARREGAMENTO PONTUAL E SEÇÃO T

INVERTIDO

Figura 103 – Viga engasta com perfil em T invertido, sujeita a carregamento pontual

de 2 kN.

Fonte: Autor (2020)


Fonte: Autor (2020)

∑ Fx = 0 (204)

RAx = 0 (205)

∑ Fy = 0 (206)

RAy = 2 kN (207)

∑ MA = 0 (208)

-2 . 4 + MA = 0 (209)

MA = 8 kNm (210)

105


Fonte: Autor (2020)


Fonte: Autor (2020)


Excel.


0 2 -8 2 -8

4 2 0 2 0


Fonte: Autor (2020)

VA = 2 kN (211)

VB = 2 kN (212)

MA = - 8 kN (213)

MB = 0 kN (214)

106


Fonte: Autor (2020)

Centroide:


Raio de Giração:

zcg= 200

2= 100 mm (215)

y

cg=

137.10.250 + 6.12.200

10.250 + 12.200= 72,84 mm

(216)

Iz= 10 . 250

3

12+ (189,16-125)2.250.10

+200 . 12

3

12+(256-189,16)2.200.12= 34,06. 10

6 mm4 = 34,06. 10

6. 10-12 m4

(217)

Iz=34,06.10-6 m4 (218)

Iy= 250 . 10

3

12+

12 . 2003

12= 8,02. 10

6 mm4= 8,02. 10

6. 10-12 m4

(219)

Iy=8,02.10-6 m4 (220)

A = 10.250 + 12.200 = 4900 mm2 (221)

iz= √Iz

A= √

34,06. 106

7300= 114,35 mm (222)

iy= √Iy

A= √

8,02. 106

4900= 40,46 mm (223)

107

Módulo Resistente:


manualmente.

Manual M. Excel











Fonte: Autor (2020)

Sz:


Fonte: Autor (2020)

Wsup = Iz

y=

34,06 . 106

189,16= 180,06 . 10

3 mm3 (224)

Winf = Iz

y=

34,06 . 106

72,84= 466,6 . 10

3 mm3 (225)

Wesq, dir = Iy

x=

8,02 . 106

100= 80,2 . 10

3 mm3 (226)

Sz = A.y (227)

Sz = (((72,84 - y).200).(y + 0,5(72,84 - y))) mm3 (228)

Sz = (530566,56 - 100.y2).10-9 m3 (229)

108


Fonte: Autor (2020)

Equações das tensões para o ponto em x = 0, no qual V=2 kN e M=-8 kNm:


Manual M. Excel

189,16 0 0

0 1,05 1,05

-60,84 0,942 0,942


Fonte: Autor (2020)


Fonte: Autor (2020)

Sz = A.y (230)

Sz = (((189,16 - y).10).(y + 0,5(189,16 - y))) mm3 (231)

Sz = (178907,528 - 5.y2).10-9 m3 (232)

τmesa = V

I . t.SZ =

2.103.(530566,56 - 100.y2).10

-9

34,06 . 10-6

.200.10-3

(233)

τalma = V

I . t.SZ =

2.103.(178907,528 - 5.y2).10

-9

34,06 . 10-6

.10.10-3

(234)

σ =M

I.c =

2.103

34,06 . 10-6

.c (235)

Manual M. Excel

-60,84 0,0471 0,0471

-66,84 0,0246 0,0246

-72,84 0 0


109


Fonte: Autor (2020)


Manual M. Excel

-72,84 -17,1 -17,1

189,16 44,4 44,4


Fonte: Autor (2020)


Fonte: Autor (2020)

110


será utilizado.


Fonte: Autor (2020)




σx = 0 MPa (236)

σy = 0 MPa (237)

τxy = -1,05 MPa (237)

σméd = σx+σy

2 =

0+0

2 = 0 MPa (238)

σ1,2=

0+0

2±√(

0-0

2)

2

+(-1,05)2 (239)

σ1 = 1,05 MPa (240)

σ2 = -1,05 MPa (241)

τxy = √(

0-0

2)

2

+(-1,05)2

= -1,05 (242)

tg (2.θP) = 2.τxy

(σx-σy)=

2 . (-1,05)

0-0 (243)

θP = 45° (244)

tg(2.θc) =

-σx-σy

2τxy

(245)

tg(2.θc) = -0-02

(-1,05)(118)

(246)

111



Fonte: Autor (2020)


via M. Excel.

Manual M. Excel

σ1 1,05 (MPa) 1,05 (MPa)

σ2 -1,05 (MPa) -1,05 (MPa)


τmáx 1,05 (MPa) 1,05 (MPa)

θp 45 ° 45 °

θc 0° 0°


Fonte: Autor (2020)

θc = 0° (247)

A (σx ; τxy) = A (0 ; -1,05) (248)

C ( σméd ; 0) = C (0 ; 0) (249)

112

APÊNDICE F – PLANILHA PARA SEÇÃO EM T INVERTIDO

Figura 114 - Menu da planilha para seções T invertido.

Fonte: Autor (2020)

113

Figura 115 - Aba de inserção.

Fonte: Autor (2020)

114

Figura 116 - Aba das propriedades geométricas.

Fonte: Autor (2020)

115

Figura 117 - Aba das tensões.

Fonte: Autor (2020)

116

Figura 118 - Aba dos gráficos das tensões.

Fonte: Autor (2020)

117

Figura 119 - Aba do Círculo de Mohr.

Fonte: Autor (2020)

Documents

ANDRÉ LUIGUI BEZERRA SANTOS