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Outubro de 2014
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A
Andreia Patrícia da Cunha Moura
O erro na regulação da aprendizagem
do tema derivada de uma função de
alunos do 11.º ano de Matemática A
Universidade do Minho
Instituto de Educação
Universidade do Minho
Instituto de Educação
Andreia Patrícia da Cunha Moura
O erro na regulação da aprendizagem
do tema derivada de uma função de
alunos do 11.º ano de Matemática A
Outubro de 2014
Relatório de Estágio
Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo
do Ensino Básico e no Ensino Secundário
Trabalho efetuado sob a orientação do
Professor Doutor Floriano Augusto Veiga Viseu
Universidade do Minho
Instituto de Educação
ii
DECLARAÇÃO
Nome: Andreia Patrícia da Cunha Moura
Endereço Eletrónico: [email protected]
Telemóvel: 916954099
Número do Bilhete de Identidade: 13940575
Título do Relatório:
O erro na regulação da aprendizagem do tema derivada de uma função de alunos do 11.º ano de Matemática A
Supervisor:
Doutor Floriano Augusto Veiga Viseu
Ano de conclusão: 2014
Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário
É AUTORIZADA A REPRODUÇÃO INTEGRAL DESTE RELATÓRIO APENAS PARA EFEITOS DE
INVESTIGAÇÃO, MEDIANTE DECLARAÇÃO ESCRITA DO INTERESSADO, QUE A TAL SE COMPROMETE.
Universidade do Minho ___/___/___
Assinatura:______________________________________
iii
Agradecimentos
Dedico este espaço àqueles que de forma direta ou indireta contribuíram positivamente para a
realização deste estudo. Com especial atenção:
Ao Professor Doutor Floriano Augusto Veiga Viseu, meu supervisor, pela disponibilidade,
paciência, ajuda e interesse demonstrado.
Ao Mestre e Professora Carmo Cunha pela paciência demonstrada, pela troca de ideias e
sugestões que me fizeram crescer como professora.
Aos alunos da turma e à direção da escola pela colaboração e disponibilidade.
À Gabriela, colega de estágio, pela companhia, ajuda e todas as palavras de força.
À minha família, em especial aos meus pais Albertina e Joaquim pelo apoio em todos os
momentos da minha formação.
E a todos os meus amigos pelas conversas e sugestões.
iv
v
O ERRO NA REGULAÇÃO DA APRENDIZAGEM DO TEMA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO DE
ALUNOS DO 11.º ANO DE MATEMÁTICA A
Andreia Patrícia da Cunha Moura
Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário
Universidade do Minho, 2014
Resumo
O presente estudo teve como principal objetivo averiguar o papel do erro na regulação da
aprendizagem do tema derivada de uma função de alunos do 11.º ano de escolaridade. Para
concretizar este objetivo estabeleceram-se as seguintes questões de investigação: (1) Que erros
cometem os alunos na aprendizagem de tópicos de derivada de uma função? Quais as causas
desses erros? (2) Que ilações retiram os alunos dos erros que cometem para a sua
aprendizagem de tópicos de derivada de uma função? (3) Qual é a perceção dos alunos sobre as
estratégias de ensino que valorizam o erro na sua aprendizagem? Para dar resposta a estas
questões recorreu-se aos seguintes métodos de recolha de dados: questionários (um antes e
outro depois da intervenção pedagógica), análise documental (planos de aula e produções dos
alunos), questões no final de algumas aulas e gravação em vídeo de aulas.
A análise de dados permite concluir que na aprendizagem de tópicos de derivada de uma função
os alunos cometeram vários erros, quer processuais (simplificação de expressões, substituição,
interpretação e escrita matemática) quer conceituais (na definição de derivada de um ponto, na
definição das regras de derivação e na noção de limite). As causas que levam os alunos a errar
indiciam deverem-se a fatores de distração na realização das atividades, à falta de
conhecimentos prévios e de estudo. Com a análise dos erros que cometem, a maior parte dos
alunos manifesta ter a perceção onde erraram, o que os ajuda a clarificar os erros cometidos de
modo a evitar que os voltem a cometer. Relativamente à perceção dos alunos sobre as
estratégias que valorizam o erro na sua aprendizagem, alguns afirmam que essas estratégias
lhes permitem compreender o porquê de errar e valorizam o trabalho autónomo. Mas, por outro
lado, consideram que tais estratégias podem gerar desmotivação nos alunos e, por vezes,
podem não ser bem conseguidas pelo facto de alguns alunos terem vergonha de expor os seus
erros. Os resultados obtidos neste estudo evidenciam a necessidade de introduzir, nas aulas de
Matemática, estratégias de ensino que valorizem o erro na regulação da aprendizagem de
conceitos matemáticos.
vi
vii
MISTAKE ON THE SUBJECT’S LEARNING REGULATION DERIVED FROM A FUNCTION BY 11TH
GRADE MATHEMATICS A STUDENTS
Andreia Patrícia da Cunha Moura
Master’s in Mathematics Teaching in the third cycle of Basic Education and on the Secondary
Education
Minho University, 2014
Abstract
The present study have had as main goal to ascertain the role of the mistake on the subject’s
learning regulation derived from a function by 11th grade students. In order to achieve this goal,
the following investigation questions were established: (1) What are the mistakes that students
make on the learning of subjects derived from a function? What are the causes of those
mistakes? (2) Which conclusions the students draw from the mistakes that they make for their
learning of subjects derived from a function? (3) What is the perception of the students about the
teaching strategies that prize the mistake on their learning? To provide answers to these
questions, one made use of the following data collection methods: inquiries (one before and
another one after the pedagogical intervention), documentary analysis (class plans and
production of students), questions in the end of some classes and video recording of classes.
Data analysis allows to conclude that on the subject’s learning derived of a function, students
have made several mistakes, either procedural mistakes (simplification of expressions,
replacement, interpretation and mathematics writing) either conceptual (on the definition of
derived from a point, on the definition of derivation rules and on the notion of limit). The causes
that lead students to make the mistakes indicate being due to absentmindedness factors on the
performance of the activities, to the lack of previous knowledge and study. With the analysis of
the mistakes they make, the majority of the students express that have the perception about
where they made mistakes, what helps them to clarify the mistakes made in order to avoid
making them again. Regarding to the students’ perception about the strategies that prize the
mistake on their learning, some claim those strategies allow them to understand why they made
the mistake and they have prized the autonomous work. But, on the other side, they consider
that such strategies can generate the lack of motivation on students and, sometimes, cannot be
very successful by the fact of some students being ashamed of exposing their mistakes. The
results obtained in this study showcase the need to introduce, on Mathematics classes, teaching
strategies that prize the mistake on the learning regulation of mathematical concepts.
viii
ix
Índice
Agradecimentos........................................................................................................................iii
Resumo…………………………………………………………………………………………………………………….v
Abstract……………………………………………………………………………………………………………………vii
Índice……………………………………………………………………………………………………………………….ix
Índice de figuras…………………………………………………………………………………………………………xi
Índice de tabelas……………………………………………………………………………………………………….xiii
Capítulo 1………………………………………………………………………………………………………………….1
1.1. Tema, objetivos e questões de estudo……………………………………………………………………1
1.2. Pertinência do estudo…………………………………………………………………………………………2
1.3. Estrutura do relatório………………………………………………………………………………………….3
Capítulo 2………………………………………………………………………………………………………………….5
2.1. Enquadramento contextual…………………………………………………………………………………..5
2.1.1. Caraterização da Escola………………………………………………………………………………………5
2.1.2. Caraterização da Turma………………………………………………………………………………………7
2.2. Enquadramento Teórico………………………………………………………………………………………9
2.2.1. O ensino de derivadas no currículo de secundário……………………………………………………9
2.2.2. O erro na aprendizagem de conteúdos matemáticos………………………………………………12
2.2.3. O erro de conceitos algébricos……………………………………………………………………………15
2.2.4. Conhecimento concetual e conhecimento processual……………………………………………..20
2.2.5. Atividades de regulação da aprendizagem…………………………………………………………….22
2.3. Estratégias de intervenção…………………………………………………………………………………26
2.3.1. Metodologias de ensino e de aprendizagem………………………………………………………….27
2.3.2. Estratégias de avaliação da ação………………………………………………………………………...30
Capítulo 3……………………………………………………………………………………………………………….33
3.1. Conteúdos lecionados na intervenção pedagógica………………………………………………….33
3.2. Erros dos alunos na aprendizagem de tópicos de derivada de uma função…………………34
3.3. Análise das questões propostas no final de algumas aulas………………………………….…..44
3.4. Perceções dos alunos antes e depois da intervenção pedagógica……………………….……46
Capítulo 4…………………………………………………………………………………………………………….…55
4.1. Conclusões…………………………………………………………………………………………………….55
x
4.1.1. Que erros cometem os alunos na aprendizagem de tópicos de derivada de uma função?
Quais as causas desses erros?......................................................................................55
4.1.2. Que ilações retiram os alunos dos erros que cometem para a sua aprendizagem de
tópicos de derivada de uma função?..............................................................................56
4.1.3. Qual a perceção dos alunos sobre as estratégias de ensino que valorizam o erro na sua
aprendizagem? ……………………………………………………………………………………………….57
4.2. Limitações e Recomendações…………………………………………………………………………….58
Referências Bibliográficas…………………………………………………………………………………………..61
ANEXOS………………………………………………………………………………………………………………….65
Anexo 1 – Questionário Inicial……………………………………………………………………………………..67
Anexo 2 – Questionário Final………………………………………………………………………………………69
Anexo 3 – Pedido de autorização ao Diretor da Escola……………………………………………………..71
Anexo 4 – Pedido de autorização aos Encarregados de Educação………………………………………73
Anexo 5 – Questões entregues aos alunos no final de algumas aulas…………………………………75
xi
Índice de Figuras
Figura 1. Disposição dos alunos na sala………………………………………………………………………….8
Figura 2. Distribuição dos diferentes temas estudados ao longo do ensino secundário…………..10
Figura 3. Distribuição dos diferentes temas estudados ao longo do 11.º ano de escolaridade….11
Figura 4. Distribuição dos diferentes temas estudados ao longo do 12.º ano de escolaridade….11
Figura 5. Figura do estudo de Orton (1983, p. 245)…………………………………………………….....18
Figura 6. Vantagens do trabalho de grupo……………………………………………………………………..27
Figura 7. Tipologia de erros considerada neste relatório…………………………………………………..34
Figura 8. Resolução apresentada pelo grupo 1……………………………………………………………….35
Figura 9. Resolução apresentada pelo grupo 3……………………………………………………………….35
Figura 10. Tarefa resolvida no quadro por um aluno do grupo 4………………………………………..36
Figura 11. Gráfico apresentado por um aluno do grupo 4…………………………………………………36
Figura 12. Resoluções apresentadas, respetivamente, pelos grupos 2 e 3…………………………..37
Figura 13. Resolução apresentada pelo grupo 2……………………………………………………………..38
Figura 14. Resolução apresentada pelo grupo 1……………………………………………………………..38
Figura 15. Resolução apresentada pelo grupo 4……………………………………………………………..39
Figura 16. Tarefa resolvida no quadro, respetivamente, por alunos do grupo 3 e 5……………….39
Figura 17. Resolução apresentada por um aluno do grupo 3…………………………………………….39
Figura 18. Resolução apresentada por um aluno do grupo 5…………………………………………….40
Figura 19. Resolução apresentada pelo grupo 2……………………………………………………………..41
Figura 20. Resolução apresentada pelo grupo 5……………………………………………………………..41
Figura 21. Resolução apresentada pelo grupo 2……………………………………………………………..42
Figura 22. Resolução apresentada pelo grupo 3……………………………………………………………..43
Figura 23. Resolução apresentada pelo grupo 5……………………………………………………………..43
Figura 24. Resposta dada por um aluno relativamente à análise dos erros.……………………….…51
Figura 25. Resposta dada por um aluno relativamente à análise dos erros.………………………….51
Figura 26. Resposta dada por um aluno relativamente à análise dos erros.………………………….52
Figura 27. Resposta dada por um aluno relativamente à análise dos erros.………………………….52
xii
xiii
Índice de Tabelas
Tabela 1- Distribuição das idades dos alunos (n=21)…………………………………………………………7
Tabela 2- Classificações dos alunos à disciplina de Matemática no 11.º ano de escolaridade
(n=21).. ……………………………………………………………………………………………………………………8
Tabela 3- Distribuição dos alunos pelos respetivos grupos………………………………………………..28
Tabela 4- Síntese dos conteúdos lecionados na intervenção pedagógica……………………………..33
Tabela 5- Erros cometido pelos alunos, segundo a sua perspetiva, durante as aulas……………..44
Tabela 6- Causas que levaram os alunos a cometer erros durante as aulas…………………………45
Tabela 7- Sugestões enunciadas pelos alunos para não voltarem a cometerem os mesmos
erros………………………………………………………………………………………………………………………45
Tabela 8- Vantagens do trabalho de grupo para a aprendizagem de conceitos matemáticos……46
Tabela 9- Desvantagens do trabalho de grupo para a aprendizagem de conceitos
matemáticos……………………………………………………………………………………………………….…..47
Tabela 10- Erros que os alunos cometem nas aulas de Matemática……………………………………47
Tabela 11- Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente ao trabalho de
grupo nas aulas de derivada de uma função………………………………………………………………….48
Tabela 12- Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente às causas dos
erros nas aulas de derivada de uma função…………………………………………………………………..48
Tabela 13- Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente à
análise/discussão dos erros nas aulas de derivada de uma função……………………………………49
Tabela 14- Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente à apresentação
dos erros nas aulas de derivada de uma função……………………………………………………………..49
Tabela 15- Aspetos positivos das estratégias de ensino que valorizam o erro nas atividades de
aprendizagem…………………………………………………………………………………………………………..50
Tabela 16- Aspetos negativos das estratégias de ensino que valorizam o erro nas atividades de
aprendizagem…………………………………………………………………………………………………………..50
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
Este capítulo, dividido em 3 secções, apresenta o tema, o objetivo e as questões de
investigação que orientaram a minha prática pedagógica. De seguida, apresenta a pertinência
deste estudo e, por fim, uma breve descrição da estrutura deste relatório.
1.1. Tema, objetivo e questões de estudo
O tema deste estudo incide sobre o erro na regulação da aprendizagem do tema
derivada de uma função de alunos do 11.º ano de Matemática A. A minha experiência enquanto
aluna e a observação de aulas foram fatores decisivos para a escolha deste tema. Enquanto
aluna, fui penalizada várias vezes por ter errado. Poucos foram os professores que optavam por
uma estratégia de ensino que valorizasse o erro, fazendo dele um fator de aprendizagem
importante. Na observação de aulas, na escola onde realizei a minha prática pedagógica, pude
constatar que alguns alunos manifestavam receio de exprimir o que não compreendiam e o que
faziam nas aulas de Matemática. Essa falta de compreensão resulta, em certas ocasiões, da
divergência entre os seus processos e os que são explanados no quadro, como também da
divergência entre os seus resultados e os que são referidos oralmente na turma ou registados no
quadro. Por detrás destas divergências há uma intenção e uma forma de pensar que nem
sempre são considerados, ficando ao critério do aluno o modo como regula as suas atividades.
Quantas vezes o resultado final incorreto não teve um bom raciocínio e se deve a um pequeno
erro? A valorização do resultado final, em detrimento do processo, faz com que muitos alunos
desanimem e percam o seu interesse em trabalhar na disciplina de Matemática. O professor por
mais que incentive os alunos a apresentarem as suas dúvidas e as suas dificuldades nem
sempre obtém da parte destes qualquer intervenção. Os alunos tendem a manifestar receio de
apresentar as suas ideias e os seus processos para não caírem no ‘ridículo’ perante os seus
colegas e o professor.
Tacitamente institui-se a norma de que o que está certo será validado pelo professor ou
pelos melhores alunos, mesmo sem se compreender o que se fez ou o que se diz. O problema
surge nos momentos de avaliação das aprendizagens, em que a falta de compreensão dos
conceitos matemáticos resulta na ausência de resposta ou em respostas erradas. Em tais
2
momentos o erro adquire um carácter penalizador em detrimento do formativo (NCTM, 1999).
Uma forma de valorizar o erro na aprendizagem passa por, no desenvolvimento das atividades
da sala de aula, atender ao que o aluno diz e faz (Nicol, 1999). Ao ter oportunidade de
argumentar as suas ideias e processos e de os confrontar com os produzidos pelos restantes
colegas ou pelo professor, o aluno apercebe-se das razões que o levaram a errar. A perceção
dos alunos sobre os erros que cometem favorece a aprendizagem dos conceitos matemáticos,
principalmente no que diz respeito na forma como estabelecem conexões entre as diferentes
representações de conceitos (NCTM, 2007). Esta é uma das principais razões que me levou à
escolha do tema deste estudo, pretendendo averiguar o papel do erro na regulação da
aprendizagem do tema derivada de uma função de alunos do 11.º ano de escolaridade. Com a
finalidade de concretizar este objetivo, pretendo responder às seguintes questões de
investigação:
– Que erros cometem os alunos na aprendizagem de tópicos de derivada de uma
função? Quais as causas desses erros?
– Que ilações retiram os alunos dos erros que cometem para a sua aprendizagem de
tópicos de derivada de uma função?
– Qual é a perceção dos alunos sobre as estratégias de ensino que valorizam o erro
na sua aprendizagem?
Como a aprendizagem resulta, em grande parte, da atividade que os alunos fazem por si
mesmos, os alunos podem melhorar as suas capacidades de aprender através da regulação
dessa atividade. Trata-se de um processo de questionamento sobre o que o aluno faz e diz no
desenvolvimento das atividades da sala de aula: o que fiz bem? O que fiz mal? Porque errei? Que
diferenças há entre o que fiz e o que os meus colegas fizeram? O que retiro para a minha
aprendizagem? Com este tipo de questões o aluno tira partido das atividades que realiza na aula,
debatendo, analisando e clarificando os seus processos e resultados.
1.2. Pertinência do Estudo
Na organização curricular, a disciplina de Matemática tem no ensino básico o mesmo
programa para todos os alunos que frequentam cada um dos nove anos de escolaridade, o que
já não acontece nos três anos do ensino secundário, cujo programa depende do curso que os
alunos escolhem. Aqui chegados, os que seguem os cursos de Ciências e Tecnologias e Ciências
Socioeconómico têm Matemática A, os que seguem o curso de Artes Visuais têm Matemática B
3
e os que seguem o curso de Línguas e Humanidades têm Matemática Aplicada às Ciências
Sociais (MACS). Para além destes cursos, os alunos podem frequentar diferentes cursos
profissionais, cujo programa de Matemática também depende de curso para curso. Na transição
do ensino básico para o ensino secundário, na escolha do curso, para além da vocação
intrínseca, muitos alunos ponderam a relação que tiveram com a disciplina de Matemática no
seu percurso escolar. Nem todos eles tiveram um desempenho regular nesta disciplina devido,
por exemplo, às suas capacidades cognitivas, aos ritmos de aprendizagem, como também a
estratégias de ensino que nem sempre atenderam às dúvidas e dificuldades dos alunos.
São frequentes os erros e as dificuldades dos alunos em conceitos matemáticos, no
entanto “cometer erros ou dizer as coisas de modo imperfeito ou incompleto não é um mal a
evitar, é algo inerente ao próprio processo de aprendizagem” (Abrantes, Serrazina & Oliveira,
1999, p. 27).
Em suma, o desenvolvimento deste projeto incidiu no ensino e na aprendizagem de
conceitos relacionados com a derivada de uma função tendo por base a valorização do erro,
dando, sempre que possível, a oportunidade ao aluno que errou de rever o seu
raciocínio/resolução para ser ele próprio a identificar e a corrigir o erro. Com esta estratégia
procurei dar importância a problemas de situação de vida real para que os alunos conferissem a
utilidade dos conceitos de Cálculo Diferencial desenvolvidos ao longo da minha intervenção
pedagógica.
1.3. Estrutura do relatório
Este relatório está organizado em quatro capítulos, pelo que se apresenta uma breve
descrição de cada um. No primeiro capítulo – Introdução – apresenta-se o tema, o objetivo e as
questões que orientaram a prática pedagógica. Além disso, a pertinência deste estudo é também
mencionada neste capítulo onde são referidas as razões que estiveram na base desta escolha e,
por fim, a estrutura do relatório.
O segundo capítulo – Enquadramento Contextual e Teórico – está dividido em três
secções. Na primeira, caraterizam-se a escola e a turma onde este projeto se desenvolveu. Na
segunda secção, o enquadramento teórico, apresenta-se a fundamentação teórica deste
trabalho. Na última secção delineiam-se as metodologias de ensino e de aprendizagem e as
estratégias de avaliação da ação.
4
No terceiro capítulo – Intervenção Pedagógica – apresenta-se e analisa-se o processo de
intervenção pedagógica através dos seguintes tópicos: conteúdos desenvolvidos, erros cometidos
pelos alunos da turma durante a intervenção, análise das questões propostas no final de
algumas aulas e perceções dos alunos antes e depois da intervenção pedagógica. No primeiro
tópico são expostos os conteúdos lecionados e um pequeno resumo de como funcionaram as
aulas. O segundo ilustra o ensino e a aprendizagem do conceito derivada de uma função dando
ênfase aos erros cometidos pelos alunos. No terceiro tópico é feita a análise à apreciação dos
alunos sobre a estratégia delineada. O último tópico apresenta as perceções dos alunos, em dois
momentos distintos da intervenção pedagógica, sobre a estratégia desenvolvida através de um
questionário inicial e de um questionário final.
No quarto capítulo – Conclusões, Limitações e Recomendações – apresentam-se e
problematizam-se os resultados obtidos através das questões de investigação delineadas. Por
fim, apontam-se algumas limitações e recomendações para projetos futuros.
5
CAPÍTULO 2
ENQUADRAMENTO CONTEXTUAL E TEÓRICO
Este capítulo tem por finalidade descrever o contexto onde realizei a minha intervenção
pedagógica, fazendo referência à Escola e à Turma em causa, e explicitar, à luz da literatura, o
tema que lecionei, o erro, o processo de regulação e as metodologias de ensino e de avaliação
das estratégias delineadas na concretização deste projeto.
2.1. Enquadramento contextual
Antes de descrever a minha prática pedagógica e discutir os pressupostos teóricos que a
sustentam, importa caraterizar a Escola e a Turma onde realizei essa prática pedagógica.
2.1.1. Caraterização da Escola
A escola secundária onde implementei o meu projeto é uma escola, com 3.º ciclo do
ensino básico, que pertence a um agrupamento de escolas localizada na cidade de Braga. Trata-
se de uma escola que foi sujeita a obras de requalificação (2009 a 2010), no âmbito da
intervenção do Parque Escolar, reunindo nas suas instalações as condições essenciais ao
desenvolvimento da ação educativa. O Parque Escolar tem por objetivo o planeamento, gestão,
desenvolvimento e execução do programa de modernização da rede pública de escolas
secundárias e outras afetas ao Ministério de Educação.
Em termos de oferta educativa, a escola capta uma população estudantil diversificada e
segundo o seu projeto educativo integra alunos provenientes de todas as freguesias da cidade.
Do ponto de vista sociológico, esta escola integra alunos oriundos de famílias de nível social
médio-alto e alto, como também uma parcela significativa de alunos oriundos de famílias de nível
social médio-baixo e baixo. A heterogeneidade do perfil global desta instituição, com a integração
de alunos provenientes dos mais diversos meios sociais, económicos, culturais e com diversas
experiências de vida tem sido encarado como um desafio pedagógico permanente.
A escola desenvolve um projeto educativo com grande envolvimento dos alunos em
atividades extra curriculares, que potenciam a integração e o desenvolvimento de competências
sociais. Dessas atividades, destacam-se as que são realizadas nos seguintes clubes e oficinas na
escola: Atelier de Artes; Clube de Arqueologia; Clube do Ambiente; Desporto Escolar; Oficina de
Latim e Língua Portuguesa; Oficina de Robótica; Oficina de Teatro; Rádio, Televisão e uma
6
Revista. Uma aluna da turma onde realizei a minha prática pedagógica fez parte da Oficina de
Robótica. Uma das vantagens por fazer parte deste clube é beneficiar de mais um valor, no final
do ano letivo, numa disciplina à escolha. A aluna em causa beneficiou de mais um valor na
disciplina de Matemática pois esta era a disciplina com a classificação mais baixa.
A escola, para além de oferecer atividades extra curriculares, como as que foram
referidas e que funcionam durante quase todo o ano letivo, dá a oportunidade aos alunos de
participar em atividades organizadas por diferentes departamentos. Das atividades organizadas
ao longo do ano, destaco aquelas que envolveram o núcleo de matemática na sua realização, o
canguru matemático e o torneio de xadrez. O canguru matemático é um concurso anual
internacional de matemática. É dirigido aos alunos dos 2.º, 3.º e 4.º anos de escolaridade, dos
2.º e 3.º ciclos do ensino básico e do ensino secundário. A sua promoção é de iniciativa da
Associação Canguru sem Fronteiras, uma associação de âmbito internacional que congrega
personalidades ligadas à disciplina de matemática em diversos países. Aberto a todos os
estudantes, sem seleção prévia, o concurso tem lugar no mesmo dia em todos os países
participantes. A prova consiste num questionário de escolha múltipla de cerca de trinta questões
de dificuldade crescente. A promoção desta atividade foi feita através de cartazes afixados pela
escola e de um aviso que percorreu todas as salas de aula. Apesar de bem promovida, a adesão
a esta prova foi fraca, visto que só se inscreveram 40 alunos e no dia da prova só apareceram
18 alunos. O torneio de xadrez foi realizado pelo segundo ano consecutivo na escola e teve como
principal apoio o clube de xadrez de Braga. O apoio deste clube foi fundamental, pois foi ele que
forneceu todo o material necessário para o decorrer do torneio, à escola coube o papel de
fornecer o espaço, de promover esta atividade aos alunos e de arranjar prémios para entregar
aos vencedores da prova. A prova foi divulgada através de cartazes afixados pela escola e de um
aviso que percorreu todas as salas de aula. A participação neste torneiro foi expandida às
escolas de todo o agrupamento onde está inserida esta escola. A adesão desta atividade, em
geral, foi elevada, participando apenas da escola onde desenvolvi a minha prática pedagógica 2
alunos.
Por fazer parte do núcleo de Matemática, mesmo sendo estagiária, participei na
concretização destas duas atividades. Participei na promoção das duas atividades e no dia da
realização do canguru matemático fiquei responsável por vigiar uma das salas onde foi feita a
prova. No dia do torneio de xadrez fiquei responsável por verificar se tudo estava a correr bem e
por distribuir o lanche aos alunos. Foi importante para mim a participação nestas atividades,
7
porque, para além de ter contato com outros alunos, que não os da minha turma de intervenção,
deu para ter a noção que a escola não se resume só a aulas e que as atividades extra-aulas são
importantes para o desenvolvimento dos alunos.
2.1.2. Caraterização da Turma
A turma onde realizei a prática pedagógica é da área Científico - Humanístico de
Ciências Socioeconómico, que no ano letivo de 2013/2014, se encontrava no 11.º ano de
escolaridade. Ao longo do 1.º e 2.º períodos houve dois alunos que trocaram de turma e um
aluno que mudou de escola. Em contrapartida, houve uma aluna que integrou a turma. Esta
nova aluna veio do curso Científico - Humanístico de Ciências e Tecnologias. Deste modo, a
turma ficou constituída por 21 alunos, 6 raparigas (29%) e 15 rapazes (71%), com idades
compreendidas entre os 15 e os 18 anos. A idade média dos alunos da turma é de 16 anos, o
que traduz a idade dos alunos que, geralmente têm um percurso escolar sem retenções.
Tabela 1- Distribuição das idades dos alunos (n=21).
Idades Número de alunos Percentagem de alunos
15 3 14%
16 16 76%
17 1 5%
18 1 5%
Da análise das respostas dos alunos a um questionário, entregue no início do ano letivo,
que teve como objetivo a caracterização da turma, quatro alunos (19%) referem ter dificuldades
na disciplina de Matemática e oito alunos (38%) referem-na como a disciplina preferida. Pela
observação das aulas, no período que antecedeu a minha prática pedagógica, apercebi-me que
os alunos eram trabalhadores mas um pouco perturbadores, o que fazia com que, muitas vezes,
se gastasse muito tempo das aulas para os disciplinar. Relativamente à organização das suas
atividades no contexto de sala de aula, os alunos revelaram que não estavam habituados a
trabalhar em grupo, mas quando trabalhavam em pares mostravam, em geral, motivação e
empenho. Em termos sociais, a turma manifestava ser unida e com um sentido de se
protegerem uns aos outros, o que se traduzia num bom ambiente entre os alunos.
Em relação à disciplina de Matemática, o nível de desempenho dos alunos no final do
10.º ano de escolaridade foi um pouco melhor que o obtido no final do 1.º período deste ano
8
letivo. No 10.º ano de escolaridade, a classificação destes alunos traduziu-se numa média final
de 11,5 valores, sendo a nota mínima de 8 valores e a nota máxima de 17 valores. No final do
1.º período do 11.º ano de escolaridade, as classificações desceram um pouco, havendo 13
negativas e 8 positivas e uma média de, aproximadamente, 9 valores. No final do 2.º período as
notas permaneceram quase iguais, existindo o mesmo número de positivas e negativas, e a
média neste período foi de 9 valores. Só no final do ano letivo é que as classificações destes
alunos melhoraram um pouco, obtendo uma média final de ano de 10,4 valores, ficando assim
com a média final de 11.º ano inferior à média do 10.º ano de escolaridade (Tabela 2).
Tabela 2- Classificações dos alunos à disciplina de Matemática no 11.º ano de escolaridade (n=21).
Períodos 1.º 2.º 3.º
Nota Mínima 5 2 2
Nota Máxima 18 19 20
Média 9.1 9 10.4
Em todas as aulas da minha intervenção pedagógica os alunos foram organizados em
grupos, ficando distribuídos na sala da forma como se apresenta na Figura 1.
Legenda: P – Porta Q – Quadro C – Computador S.P – Secretária Professora A – Aluno
Figura 1. Disposição dos alunos na sala de aula.
Esta organização da sala de aula facilitou a dinamização de momentos de discussão
entre os elementos do grupo. O facto de a sala estar organizada em três filas permitiu-me, nas
minhas atividades de ensino, percorrer os diferentes grupos de modo a acompanhar o
desenvolvimento das suas atividades.
9
2.2. Enquadramento teórico
Este subcapítulo destina-se à fundamentação teórica deste trabalho, atendendo ao
objetivo e às questões de investigação delineadas, tratando do ensino de derivadas no
secundário, dos erros cometidos pelos alunos na aprendizagem de conceitos matemáticos, em
geral, e de conceitos algébricos, em particular e da diferença entre conhecimento concetual e
conhecimento processual. Por fim, trata de diferentes processos de regulação: a avaliação, o
feedback e o erro.
2.2.1. O ensino de derivadas no currículo do secundário
Na minha intervenção pedagógica lecionei vários tópicos, entre eles estão a taxa média
de variação e taxa de variação instantânea/derivada recorrendo à noção de limite. Estes tópicos
estão integrados no tema das funções do 11.º ano de escolaridade, que é um tema de grande
importância no currículo e que tem como um dos seus objetivos introduzir o Cálculo Diferencial.
Numa perspetiva histórica, é difícil perceber quem foi o matemático que esteve na
origem do Cálculo Diferencial. Apesar do aparecimento do deste tema estar associado, segundo
vários autores, a Newton e Leibniz, muitos outros trabalharam para esta descoberta. São
exemplo disso, os métodos da determinação das tangentes de Fermat e o método proposto por
Descartes (Boyer, 2010). Com o intuito de determinar áreas delimitadas por curvas, determinar
curvas e as suas propriedades, determinar tangentes e resolver problemas de máximos e
mínimos, Newton e Leibniz, de forma quase simultânea e independente, descobriram um
método geral para a resolução de problemas associados, por um lado, ao problema da tangente
a uma dada curva (cálculo diferencial) e, por outro lado, aos problemas de áreas delimitadas por
curvas e volumes de sólidos gerados por revolução (cálculo integral) (Boyer, 2010).
As primeiras ideias de Newton acerca do Cálculo vieram diretamente da maneira pela
qual Fermat traçava tangentes a curvas (Simmons, 2010). Simmons (2010) refere que os
cálculos feitos por Fermat já tinham a ideia do infinitamente pequeno. Stewart (2006) afirma que
o primeiro matemático a desenvolver as ideias de limite como base do Cálculo Diferencial foi
Newton. Leibniz percebeu que a determinação da reta tangente a uma curva dependia da razão
das diferenças das ordenadas e das abcissas, quando se tornam infinitamente pequenas (Boyer,
2010).
10
A noção de limite que Newton e Leibniz tinham não era bem clara, a precisão da
definição sobre limites, que hoje conhecemos, foi dada por d’Alembert. Esta precisão surgiu
após d’Alembert perceber a importância central do limite no Cálculo Diferencial (Boyer, 2010).
A perspetiva analítica e gráfica ainda hoje são estudadas no ensino secundário, dando-se
mais ênfase ao estudo analítico. Analiticamente, a derivada de uma função é lecionada como
sendo a taxa de variação instantânea de uma função.
Taxa de variação de uma função f real de variável real, em 0x x , caso exista,
é um número real, para que tende o quociente 0 0( ) ( )f x h f x
h
, quando h
tende para zero, e pode ser representada por 0'( )f x ou
0
d
d x x
f
x
.
0'( )f x
também é designada por derivada da função f no ponto de abcissa 0x
0 0
00
( ) ( )'( ) lim
h
f x h f xf x
h
ou 0
0
0
0
( ) ( )'( ) lim
x x
f x f xf x
x x
Nota: Considerando 0x x h , obtém-se a expressão anterior. (Costa &
Rodrigues, 2013, p. 63).
Com a intenção de perceber se o ensino da derivada de uma função sempre se
debruçou entre as duas perspetivas (analítica e gráfica), optei por fazer uma comparação entre o
programa atual de Matemática A (Ministério da Educação, 2002) e o programa anterior de
Matemática (Ministério da Educação, 1995). No programa de Matemática de 1995, o Cálculo
Diferencial era o tema estudado com mais ‘peso’ durante o ensino secundário (Figura 2).
Figura 2. Distribuição dos diferentes temas estudados ao longo do ensino secundário.
A sua distribuição nos 11.º e 12.º anos era feita da seguinte forma:
11
Figura 3. Distribuição dos diferentes temas estudados ao longo do 11.º ano de escolaridade.
No 11.º ano de escolaridade, o Cálculo Diferencial e a Geometria apareciam com a mesma
percentagem (39%) e as Sucessões com menor percentagem (22%). No 12.º ano de
escolaridade, o Cálculo Diferencial era o maior tema estudado preenchendo quase metade do
programa desse ano letivo (46%), seguindo-se as Probabilidades (39%) e por último os Números
Complexos (15%).
Figura 4. Distribuição dos diferentes temas estudados ao longo do 12.º ano de escolaridade.
Ainda de acordo com o Programa de Matemática de 1995, no 11.º ano de escolaridade
o tema de ‘derivada de uma função’ era iniciado com o estudo da noção de taxa média de
variação e a sua interpretação geométrica passando depois para a noção de taxa de variação
(valor para que tende a taxa média de variação quando a amplitude do intervalo tende para zero)
e a sua interpretação geométrica. Seguia-se o estudo da relação entre o sinal da função
derivada, o sentido de variação e os possíveis extremos relativos de uma função e, por fim, o
estudo da determinação da derivada em casos simples (função afim, funções polinomiais de 2.º
e 3.º grau, função racional de 1.º grau e função módulo), recorrendo a problemas envolvendo
derivadas num contexto de aplicações. Relativamente ao 12.º ano de escolaridade, o Cálculo
12
Diferencial iniciava-se com o estudo de funções racionais e das regras de derivação
(demonstração da regra da soma e do produto; informação das restantes regras) seguindo-se o
estudo das derivadas de funções elementares e o teorema da derivada da função composta. Por
último, fazia-se o estudo das segundas derivadas e da sua relação com o sentido e os pontos de
inflexão da concavidade dos gráficos da função (informação baseada em intuição geométrica).
Segundo o atual Programa de Matemática A (Ministério da Educação, 2002), os tópicos
lecionados no 11.º ano de escolaridade, no que diz respeito ao cálculo diferencial, são os
mesmos que os mencionados no Programa de Matemática de 1995. Apenas é feita uma
alteração na ordem, passando o estudo da relação entre o sinal da função derivada, o sentido de
variação e extremos relativos de uma função a ser feito após o estudo da determinação da
derivada em casos simples. Relativamente ao 12.º ano de escolaridade não houve qualquer
alteração na passagem de um programa para o outro.
Em suma, o estudo do Cálculo Diferencial faz parte do 11.º e 12.º anos de escolaridade
nos dois programas. Os conhecimentos sobre este tema são essenciais para qualquer aluno
como pré-requisito em todas as disciplinas científicas que usem a matemática como
“ferramenta”. Segundo o programa de Matemática A (2002), este conceito é importante para as
disciplinas de Economia, Física e Química. No caso da turma onde realizei a minha intervenção
pedagógica a disciplina de Economia é fundamental.
A assimilação acrítica de conceitos de derivada, a partir de procedimentos mecânicos de
manipulação de expressões algébricas, não favorece a compreensão desses conceitos, pode
estar na origem dos erros que os alunos cometem nas atividades que realizam neste tema
(Azcárate, Casadevall, Casellas & Bosh, 1996).
2.2.2. O erro na aprendizagem de conteúdos matemáticos
Na realização das atividades de aprendizagem, nem sempre os alunos respondem
corretamente às tarefas que lhes são propostas, o que se deve a conflitos entre os significados
institucionais e os significados pessoais (Godino, Batanero & Font, 2008). Como exemplo desses
conflitos cognitivos surgem as diferentes formas dos alunos apresentarem as respostas para
além do esperado pelo professor. A forma como as questões são colocadas poderá induzir os
alunos a um tipo específico de resposta. Tais conflitos tendem a traduzir-se em respostas com
erros, o que, por várias razões, fazem parte do quotidiano da sala de aula e podem surgir em
produções orais e escritas dos alunos em situações de ensino - aprendizagem de conceitos
13
matemáticos. As implicações que o erro tem na aprendizagem dos alunos têm despertado a
atenção de professores, educadores e da investigação no âmbito da educação.
Ao longo dos tempos, a forma como se analisa a problemática do erro nas atividades de
aprendizagem dos alunos tem-se modificado. O erro não deve ser visto como sendo algo
negativo na sala de aula, antes pelo contrário deve ser aproveitado no processo cognitivo da
aprendizagem de matemática (Correia, 2005). Porém, nem sempre esta ideia foi considerada,
como se constata na análise que Correia (2005) faz dos trabalhos de Macedo e de Piaget sobre
a temática do erro. Para Macedo, o erro era associado à ideia de ‘pecado’, assumindo uma
conotação religiosa: fazer algo errado deve ser punido só porque errou. Nas memórias dos
nossos pais e avós este caráter punitivo está bem presente sob o signo da régua na sala de aula
do ensino primário, que ao mínimo erro, por exemplo da tabuada ou de ortografia, este
instrumento de ‘purificação’ entrava em ação. Esta visão foi mudando ao longo do tempo. Aos
poucos, a perspetiva do erro enquanto fracasso foi dando lugar a uma ideia que admite o erro
como elemento que pode ajudar na construção do conhecimento. Esta ideia é apoiada por
Piaget, para quem o ‘erro necessário’ faz com que o aluno aprenda errando. Não se pode
considerar que o aluno seja incapaz só por ter errado, deve-se aproveitar esse erro para orientar
e direcionar os processos de ensino e de aprendizagem. Este trabalho deve ser feito desde os
primeiros anos de escolaridade onde se pode transformar o erro em recurso pedagógico. Numa
perspetiva similar, Bachelard (citado por Santos, 1991) considera que o erro é “um elemento
motor do conhecimento” (p. 130), não resulta apenas como uma consequência do nosso limite,
ele faz parte do nosso progresso. Nesta perspetiva, o erro é um elemento positivo, com ele
aprendemos sempre qualquer coisa. Para este autor, não existem verdades iniciais, pelo
contrário, a verdade resulta de uma rejeição sucessiva de erros, considerando que o tratamento
do erro deve ser feito logo que os alunos começam a frequentar a escola. Só assim se pode
transformar o erro em recurso pedagógico. Segundo Brousseau (1983), o erro é considerado
necessário para: (i) desencadear o processo da aprendizagem do aluno; e (ii) o professor
perceber as conceções dos alunos e assim adaptar a sua situação didática.
A abordagem do erro na disciplina de Matemática faz emergir a importância de se saber
de que forma se pode classificar. São vários os autores que ao abordar a temática do erro o
classificam segundo diferentes perspetivas. Exemplos disso são as seguintes classificações: uma
que associa o erro à ideia de pecado e uma outra que, sendo mais recente, associa o erro ao
processo de aprendizagem. Segundo Norrisch (citado por Santos, 2010), o erro pode ser
14
considerado como ausência de conhecimento, um engano, um lapso ou uma distração. Para
Norrisch, o erro é considerado como ausência de conhecimento quando o aluno se desvia
substancialmente da resposta. Os professores tendem a associar esta ausência aos alunos com
mais dificuldades. Se a imagem que o professor tem de um aluno é que ele sabe, que é um bom
aluno, raramente o erro por ele cometido é considerado como ausência de conhecimento. O erro
é considerado um engano quando o aluno é inconstante na sua realização, umas vezes acerta e
outras vezes erra. O erro é visto como um lapso quando o aluno acerta normalmente e erra
pontualmente. Segundo Norrisch, estes dois últimos pontos tendem a ser um pouco
confundidos. Por fim, o erro é considerado como uma distração quando, embora o aluno
responda corretamente, a resposta não está exatamente conforme o que é perguntado.
Um outro autor, Brousseau (2001), classifica os erros da seguinte forma: (i) erro a um
nível prático, quando o professor considera que são erros de cálculo; (ii) erro na tarefa, neste
ponto são considerados os erros que o professor atribui como descuido; (iii) erro de técnica,
quando o professor critica a execução de um procedimento conhecido; (iv) erros de tecnologia,
neste ponto são considerados os erros em que o professor critica a escolha do método de
resolução; e (v) erros de nível teórico, quando o professor ‘culpabiliza’ os conhecimentos teóricos
do aluno.
Analisando estas diferentes perspetivas podemos constatar que a cultura do erro
enquanto fracasso tem dado lugar a uma cultura que admite o erro como elemento que pode
ajudar na construção do conhecimento. Tão importante como classificar um erro, quando este é
detetado, importa conhecer a sua causa. Ao conhecer as causas que levam os alunos a errar, os
professores têm a vida facilitada para os corrigir. Os professores para conseguirem ajudar os
seus alunos a superar os erros que cometem é importante conhecer a origem desses erros.
São várias as causas que levam os alunos a errar. Vinner (1991) considera que uma das
causas que leva os alunos a errar em conceitos matemáticos é a distinção entre conceito
imagem e conceito definição. Segundo este autor, o conceito imagem é usado para descrever a
estrutura cognitiva que é associada a um determinado conceito. O conceito imagem inclui todas
as imagens mentais, propriedades que lhes estão associadas e processos. O conceito definição
é a definição verbal que explica o conceito de modo exato. A imagem que os alunos possuem de
imensos objetos nem sempre corresponde à sua definição exata, como, por exemplo, o conceito
subtração. Numa primeira fase, este é utilizado só em números inteiros positivos e a imagem
que as crianças retiram deste conceito é que o resultado da subtração é sempre um “número”
15
menor que aquele que está a ser subtraído. Embora isto seja uma afirmação verdadeira, irá
causar imensas dificuldades ou até mesmo erros quando os alunos passarem a trabalhar com
números negativos (Tall & Vinner, 1981). Para combater estas dificuldades, Vinner (1991) refere
que para introduzir um novo conceito matemático nunca se deve começar pela definição mas
sim com exemplos e contraexemplos.
O erro surge conciliado aos obstáculos que os alunos se deparam nas suas atividades de
aprendizagem (Socas, 1997). Para este autor, os erros têm origens diferentes, mas em qualquer
uma delas é visto como a presença de um processo cognitivo inadequado e não apenas como
consequência de uma distração ou de uma falta de conhecimentos. Este autor agrupou as
causas dos erros em cinco categorias: (i) complexidade dos objetos matemáticos; (ii) processos
do pensamento matemático; (iii) processos de ensino desenvolvidos para a aprendizagem da
matemática; (iv) processos de desenvolvimento cognitivo dos alunos; e (v) atitudes afetivas e
emocionais face à matemática. Este autor afasta a ideia de que os erros em Matemática se
devem exclusivamente aos alunos.
Em jeito de síntese, o erro nas atividades de aprendizagem de conteúdos matemáticos
tem despertado a atenção de vários intervenientes no processo educativo e com a valorização
dos processos cognitivos na aprendizagem a sua perspetiva penalizadora deu lugar a uma
perspetiva que considera o erro um fator de aprendizagem. Atualmente, o erro na sala de aula
está associado não só aos alunos mas também a outros indicadores, como, por exemplo, as
estratégias de ensino concretizadas pelo professor. Compete ao professor perceber a origem dos
erros que os alunos cometem e adaptar as suas estratégias de modo a envolvê-los na
identificação das razões desses erros e na sua clarificação.
2.2.3. O erro de conceitos algébricos
Esta parte do trabalho destina-se aos erros que os alunos cometem em Álgebra, de um
modo geral, e no estudo da derivada de uma função, em particular. A Álgebra quando surgiu
apenas estava associada ao estudo dos métodos de resolver equações (NCTM, 2007).
Atualmente, a Álgebra é muito mais que a manipulação de símbolos, as ideias algébricas estão
presentes em muitas áreas do conhecimento. Segundo o NCTM (2007), a competência algébrica
é tão importante na vida adulta, no trabalho e na preparação para o ensino superior que todos
os alunos deveriam aprender Álgebra.
16
Embora a Álgebra não seja referida de forma explícita nos currículos antes do 3.º ciclo
do ensino básico, ela está contida na matemática desde os primeiros anos de escolaridade, por
isso compete aos professores “ajudar os alunos a construir uma base sólida baseada na
compreensão e nas suas experiências como preparação para um trabalho algébrico mais
aprofundado no 3.º ciclo e no secundário” (NCTM, 2007, p. 39). Sem esta preparação, o estudo
da Álgebra tende a ser um fracasso. Kaput (1996) considera que o fracasso neste campo deve-
se à formalização precoce da linguagem algébrica, pois existem muitas atividades matemáticas
que têm como características intrínsecas a generalização e a formalização. Esta falha, na
aprendizagem da Álgebra, deve-se à falta de experiências de aprendizagem promotoras de
construção de significados de regras. Quando se aprende algum conceito, se este não tem
sentido, esse sentimento mantém-se ao longo do tempo (Kaput, 1996). Numa perspetiva mais
ampla, Mason (1996) pondera que o mundo dos problemas da matemática se situa entre a
Aritmética e a Álgebra. Esses problemas na Álgebra aparecem quando é necessário encontrar
valores desconhecidos mediante: (i) a manipulação de símbolos; (ii) a manipulação de
expressões simbólicas, por exemplo, os polinómios; (iii) a utilização das fórmulas; e (iv) o estudo
da estrutura matemática abstrata.
Ao analisar possíveis causas do erro em Álgebra, Ruano, Socas e Palarca (2003)
defendem que alguns desses erros surgem na introdução de conceitos. Para que o aluno
aprenda um novo conceito este deve ter significado para ele próprio, deve-se, para isso,
acrescentar um novo conhecimento utilizando os conhecimentos prévios. Já para MacGregor
(1996), uma das possíveis causas para os alunos errarem no campo da Álgebra é o deficiente
conhecimento da Aritmética. Para este autor, os alunos não aprendem as propriedades
operatórias dos números, nem reconhecem relações e procedimentos gerais. Para Hall (citado
por Vale, 2010) a terminologia é uma das causas para ao alunos errarem neste campo. Existem
erros que mostram, por exemplo, que os alunos não fazem distinção entre os significados de
expressão e de equação. Estas diferentes causas podem originar em: (i) erros por eliminação,
por exemplo, simplificar 40 3x como 37x ou 2 2xy x como y ; (ii) erros por troca de
membros, por exemplo, considerar a equivalência 38 150 38 150x x verdadeira; (iii)
erros por redistribuição, os alunos ao considerar, por exemplo, a equação 10 25x subtraem
10 ao primeiro membro e adicionam 10 ao segundo, obtendo 10 10 25 10x ; (iv) erros por
transposição, um exemplo deste erro é apresentado na equivalência 3
2 3 42
x x , este
17
erro ocorre porque os alunos tendem a generalizar a regra eficaz em equações simples, tal como
2 42
xx ; (v) erros de exaustão, são erros que ocorrem com mais frequência próximo do
fim de uma resolução. Como exemplo, Hall apresenta a seguinte resolução
2
2
6 ( 2)( 3) 2 2 1
( 4)( 3) 4 4 212
x x x x x
x x xx x
. Nesta resolução, o aluno poderia ter cometido o erro
logo no início da expressão, ter feito logo o ‘corte’ na expressão inicial (cortando o 2x ) em vez de
efetuar o ‘corte’ do x no final; e, por último, (vi) a ausência de uma estrutura, é quando ocorre
uma confusão estrutural (por exemplo, no uso de um sinal de igual ou na aplicação de
algoritmos).
No que diz respeito ao tema de derivada de uma função, os erros que os alunos
cometem nesta temática despertaram a atenção de investigadores em estudar as suas razões,
como são exemplo os estudos realizados por Cardoso (1995), com alunos do 11.º ano, por
Orton (1983), com 110 alunos com, pelo menos um ano de Cálculo, por Vinner (1992), com
119 alunos universitários e por Viseu (2000), com futuros professores de matemática.
Cardoso (1995) realizou um estudo, em que parte envolveu o ensino-aprendizagem do
tópico derivada de uma função, com uma turma do 11.º ano de escolaridade que revelava
dificuldades não só em Matemática mas em todas as disciplinas. A turma era da área vocacional
de desporto e era composta, no início da experiência, por 14 alunos, com idades compreendidas
entre os 16 e os 21 anos. O objetivo deste estudo consistiu em estudar formas de ensino de
conceitos de Análise Matemática que valorizem aspetos de visualização gráfica, raciocínio
intuitivo, experimentação, indução e formulação de leis, num ambiente de trabalho de
cooperação e com a utilização de calculadoras gráficas. A autora conclui que as dificuldades de
aprendizagem de derivadas estão relacionadas com: (i) a compreensão do papel das variáveis,
os alunos ao fazerem o gráfico de uma função à mão não sabiam distinguir a variável
independente e a variável dependente; (ii) hesitações na escolha da unidade na representação
gráfica, os alunos demonstravam demasiado tempo a decidir as unidades a colocar nos eixos
ordenados; (iii) tentativa e erro não organizada, isto verificava-se com maior frequência quando
os alunos não sabiam que janela de visualização utilizar na calculadora, eles experimentavam
valores até lhes aparecer um gráfico aceitável; (iv) a influência de estruturas concetuais muito
arreigadas, os alunos ficam ligados a certos conceitos e que quando se aprende um novo é difícil
‘desligar-se’ do antigo; (v) raciocínios incompletos, notou-se muitas vezes que os alunos não
concluíam as resoluções; e (vi) o código linguístico restrito, os alunos apresentavam uma
18
competência linguística muito pobre, a falta desta competência provoca dificuldades de
comunicação dos alunos. Relativamente ao tema da derivada, Cardoso (1995) refere que a
complexidade dos conceitos matemáticos neste tema exige um empenhamento pessoal fora da
aula por parte dos alunos. No entanto, no seu estudo, houve vários alunos que não o faziam
regularmente, não produzindo a fase de assimilação nesses alunos.
Um outro estudo sobre derivadas foi realizado por Orton (1983) com 110 alunos
ingleses, entre os 16 e os 22 anos, com pelo menos um ano de Cálculo. Com este estudo, o
autor constatou que os alunos apresentavam um bom domínio nos algoritmos de cálculo de
derivadas, pelo menos para funções simples, mas apresentavam dificuldades sobre a
conceptualização geométrica de limite, que está na base da noção de derivada. Por exemplo,
quando questionados sobre o que acontece às secantes nPQ , quando o ponto
nQ se move
sobre a curva aproximando-se do ponto fixo P (Figura 5), cerca de 40% dos alunos não foram
capazes, mesmo quando fortemente induzidos, de concluir que o processo conduzia à reta
tangente à curva no ponto P.
Figura 5. Figura do estudo de Orton (1983, p. 245).
Outra dificuldade observada foi no uso de representações gráficas. Os alunos
participantes no estudo mostraram-se capazes de responder corretamente a perguntas do tipo
“calcule o declive da reta tangente a uma dada curva num dado ponto” mas, cerca de 90%
revelaram dificuldades quando confrontados com a obtenção da mesma velocidade de
crescimento através do gráfico. O autor notou também dificuldades na atribuição de significado
correto dos símbolos usados. Por exemplo, quando se lhes pedia para explicar o significado de
dy
dx, cerca de 65% dão respostas incorretas do tipo
var" "
var
velocidade de iação de y
velocidade de iação de x,
“velocidade de variação num dado ponto”, “pequeno incremento na velocidade de variação”.
19
A valorização que o conceito imagem tem na formação dos conceitos matemáticos
despertou a atenção de Vinner (1992). Com a preocupação de averiguar o que permanece nas
“mentes” dos alunos depois de terem terminado o ensino secundário, o autor efetuou um
estudo com 119 alunos universitários no início de um curso de Cálculo, esperando que os
mesmos se relembrassem de conceitos básicos, escolhendo como exemplo o conceito de
função. Considerando que o conceito de função possui várias configurações, Vinner optou por
fazer perguntas sobre tópicos de derivada de uma função, como é exemplo a seguinte questão:
“o que é uma derivada”? As respostas a esta questão foram classificadas pelo autor nas
seguintes categorias:
I. “uma conceção correta de derivada como um limite (6%). Nesta categoria
foram incluídas respostas do tipo: 0
( ) ( )limh
f x h f x
h
;
II. uma conceção correta de derivada segundo uma interpretação visual (25%).
Nesta categoria foram incluídas respostas do tipo: a derivada é uma função
que indica o declive da função original em cada ponto; a derivada é o declive
da parte crescente ou decrescente de uma função num certo momento;
III. uma conceção instrumental de derivada, que relaciona com os métodos de a
obter ou com as suas aplicações, mas que ignora o seu significado (23%).
Exemplos: a derivada é uma função obtida de uma dada função através de
regras matemáticas fixas; a derivada é uma subfunção de uma função
original, por exemplo: 3 22 3 , ' 6 3y x x y x ; uma derivada é um meio
de investigar os domínios de crescimento ou de decrescimento de uma dada
função; é uma fórmula matemática;
IV. uma referência vaga e inaceitável ao conceito de limite (8%). Exemplos: é
uma função que tende para infinito; é o lim ( ) /f x dx , quando 0dx ;
V. uma referência vaga e inaceitável ao aspeto visual de derivada (26%).
Exemplos: é uma função que é tangente a outra função; é a equação da
tangente a uma determinada função; a derivada é uma função cuja
representação gráfica é uma tangente; o ângulo que a função forma com o
eixo dos x ;
VI. respostas totalmente irrelevantes ou não respondidas (12%)”. (pp. 210-211)
As respostas incluídas nas categorias 4, 5 e 6 (46%) foram as que mais preocuparam
Vinner por serem formuladas de uma forma vaga, imprecisa e sem sentido. Os alunos
recordavam palavras, símbolos e gráficos relacionados com derivadas, mas não possuíam uma
ideia com significado.
20
Relativamente às categorias 1 e 2, o autor afirma que os alunos se lembravam melhor
dos aspetos visuais do conceito de derivada do que dos seus aspetos analíticos. No entanto, os
aspetos analíticos são importantes para a aplicação das derivadas nos diferentes ramos da
ciência.
Referindo-se à categoria 3, Vinner acredita que as respostas dadas realçam uma
tendência comum na aprendizagem da Matemática. Quando um conceito é usado como uma
ferramenta, o seu significado original é esquecido. Assim, os aspetos instrumentais do conceito
ocupam o lugar do próprio conceito. Vinner acrescenta que há uma tendência para a
compreensão instrumental predominar mas que os conceitos são melhor recordados no modo
relacional. Isto é suportado pelo facto de as categorias 1 e 2, juntas, terem uma percentagem
superior à da categoria 3, a categoria instrumental.
Num outro estudo, realizado por Viseu (2000) com 19 professores estagiários, procurou-
se identificar as conceções sobre representações gráficas da derivada de uma função. A maior
parte dos futuros professores manifestou dificuldades em aplicar os conhecimentos analíticos
que adquiriram na sua formação, desde os seus estudos no ensino secundário, em situações
gráficas que não lhes fornecia dados que lhes permitisse recorrer a processos analíticos. O autor
conclui que as principais dificuldades que esses futuros professores revelaram foram: (i)
identificar e justificar se uma dada reta é tangente a uma curva num ponto; (ii) fazer a
transposição da informação do gráfico de uma dada função para um possível esboço da sua
derivada e vice-versa; e (iii) relacionar o sinal da segunda derivada de uma dada função com a
variação da primeira derivada dessa função e, consequentemente, fazer a ligação entre os zeros
da segunda derivada e os extremos da primeira derivada. Para o autor, estas dificuldades
devem-se a estratégias de ensino e de aprendizagem que não potenciam a conexão entre as
diferentes representações dos conceitos estudados no tema de derivada de uma função.
Em suma, a análise do erro pode contribuir para a aprendizagem dos alunos, para isso o
professor deve incentivar a análise das suas próprias resoluções. Com isto, os alunos terão
oportunidade de identificar e compreender os seus erros, podendo assim desenvolver processos
de verificação e autocorreção que os ajudem a refazer o ‘caminho’ (Hadji, 1994).
2.2.4. Conhecimento concetual e conhecimento processual
No desenvolvimento das atividades de ensino, as estratégias delineadas pelo professor
visam aproximar o conhecimento institucional e o conhecimento pessoal (Godino et al., 2008).
21
Quando isto não acontece, o aluno depara-se com obstáculos que não lhe permitem assimilar e
acomodar esse conhecimento. Os problemas de aprendizagem têm despertado a atenção de
investigadores, como é exemplo o estudo de Tall e Vinner (1981) sobre problemas de
aprendizagem de limites de sucessões, de limites de funções e de continuidade. Para estes
autores, tais problemas devem-se, na aprendizagem destas noções matemáticas, à diferença
que existe entre os conceitos matemáticos definidos formalmente e os processos cognitivos
utilizados para os conceber. Por definição do conceito, estes autores entendem ser uma
sequência de palavras ou uma definição verbal que explica o conceito com precisão. Poder-se-á
distinguir entre as definições formais, aceites pela comunidade científica matemática, e as
definições pessoais, que são utilizadas pelos alunos na construção de uma definição formal.
Na aprendizagem de tópicos matemáticos, Schneider e Stern (2005) caracterizam dois
tipos de conhecimento: conhecimento concetual e conhecimento processual. Para estes autores,
o conhecimento concetual traduz o conhecimento de conceitos e princípios fundamentais e das
suas inter-relações num determinado domínio. Pela sua natureza abstrata, este tipo de
conhecimento pode ser verbalizado e transformado através de processos de inferência e de
reflexão. Para Arends (1995), o conhecimento concetual consiste na capacidade para aprender a
definir um conceito com base noutros conceitos aprendidos anteriormente e reconhecer a
relação do novo conceito com outros conceitos.
Já o conhecimento processual é, segundo Schneider e Stern (2005), visto como o
conhecimento instrumental relativo aos operadores e às condições em que estes podem ser
utilizados para atingir determinados fins. Este tipo de conhecimento permite que os alunos
possam resolver problemas e outras tarefas matemáticas, por vezes de forma autómata. Este
processo de automação é realizado através da prática e permite uma rápida ativação e execução
deste tipo de conhecimento. A aplicação deste conhecimento envolve pouca atenção e poucos
recursos cognitivos. Arends (1995) considera que o conhecimento processual se refere à
capacidade do aluno utilizar o conceito de uma forma discriminativa.
Schneider e Stern (2005) referem que a distinção entre os dois tipos de conhecimento é
similar à distinção entre o conhecimento declarativo e o processual, considerando o
conhecimento declarativo como o conhecimento de exemplos e de definições específicas. Numa
tentativa de tentar perceber qual é o primeiro tipo de conhecimento que é adquirido pelos
alunos, estes autores constataram que não há unanimidade. Há quem defenda que o
conhecimento concetual é adquirido em primeiro lugar. Por exemplo, os alunos começam por
22
ouvir explicações verbais e com a prática é que adquirem o conhecimento processual. Porém,
também há quem considere que o conhecimento processual é adquirido em primeiro lugar. Por
exemplo, os alunos através de tentativa e erro adquirem o conhecimento concetual. E também
há quem defenda que os dois tipos de conhecimento são adquiridos em simultâneo, sendo o
aumento de um o aumento do outro.
Os desenvolvimentos teóricos atuais e os resultados da investigação em educação
abrem perspetivas para o desenvolvimento de intervenções inovadoras, que valorizem um
‘sujeito interpretativo’, que interpreta e compreende o conhecimento de acordo com as suas
ideias, crenças e sistemas de valores, e não um ‘sujeito recetor’ de conhecimentos instituídos. O
conhecimento adquire-se, não pela interiorização de algo externo que é dado, senão construindo-
o desde o interior.
2.2.5. Atividades de regulação da aprendizagem
Para conseguir ultrapassar um erro é necessário que exista um momento de reflexão.
Vale (2010) considera que “o erro, por si só, não conduz a nada se não for seguido de uma
reflexão sobre a sua ocorrência, tendo em vista o modo de o ultrapassar” (p.35). Na sua prática
escolar o aluno deve ser autónomo e criar as suas próprias estratégias de pensamento, devendo
regular o seu processo de aprendizagem. Segundo Silva, Duarte, Sá e Simão (2004), “a
aprendizagem regulada pelo próprio estudante resulta da interação de conhecimentos,
competências, e motivações, que são necessários ao planeamento, à organização, ao controlo e
à avaliação dos processos adotados e dos resultados atingidos” (p. 13). Entenda-se por
regulação a autonomia dos alunos. Para Perrenoud (1999, p. 2), “regular as aprendizagens
significa contribuir com o desafio cognitivo em todos os processos suscetíveis de fortalecimento
dos esquemas de aprendizagem ou dos saberes”. Segundo este autor, toda a regulação pode
ser considerada autorregulação. Cambra-Fierro e Cambra-Berdún (2007) veem a autorregulação
como sendo uma capacidade inerente ao aluno que lhe permite “estabelecer objetivos; planear a
sua atuação; observar de forma crítica; e avaliar à luz de critérios pré-determinados. Cabe ao
professor criar contextos potenciadores do desenvolvimento, por parte dos alunos, da sua
capacidade de reflexão, de diálogo e de negociação” (p. 2). Segundo Morin (2001), para colocar
atividades de regulação em prática é necessário ensinar estratégias que permitem que os alunos
enfrentem os imprevistos, o inesperado e a incerteza, modificando assim o seu normal
desenvolvimento.
23
Como qualquer ato de regulação tem “necessariamente que passar por um papel ativo
do aluno” (Santos, 2002, p. 1), existem várias formas de promover esse processo, tais como: a
avaliação, o feedback e o erro.
A avaliação na regulação da aprendizagem. A avaliação que existe nas escolas deveria
ser uma avaliação que visa aprimorar o processo de ensino/aprendizagem, conduzindo à
superação dos problemas no mesmo. Este tipo de avaliação é definido, por Buriasco (1999),
como avaliação de aprendizagem. O tipo de avaliação que predomina nas escolas é a que dá
prioridade ao ‘produto final’, que desconsidera as dificuldades, uma vez que estas não são
retomadas, e consiste apenas na verificação da retenção ou não dos conteúdos, o que para
Buriasco (1999) caracteriza a avaliação como rendimento. A avaliação de rendimento está mais
presente na comunidade escolar porque para muitos docentes avaliar é sinónimo de classificar,
o que se deve a uma herança de um sistema educativo que sempre viu a avaliação como
processo de desempenho dos alunos cuja principal função consiste em classificar para fins de
selecionar e certificar. Assim, consegue-se definir os bons e os maus alunos. Desta forma, dá-se
mais importância à quantidade do que à qualidade de ensino e, por isso, o aluno é quem mais
sai prejudicado, sendo ‘eliminado’ do processo educativo devido ao seu elevado número de
erros: “a avaliação tem servido como um mecanismo para a eliminação do aluno da escola.
Além disso, avaliação mal conduzida pode ser, ela mesma, um dos fatores causadores do
fracasso escolar” (Buriasco, 1999, p. 70).
Neste trabalho irei focar-me somente no tipo de avaliação que permite o
acompanhamento do aluno e ajuda o professor na tomada de decisões, de reajustes e de
revisões durante o processo de ensino/aprendizagem, pois é este tipo de avaliação a que se
relaciona com o processo de regulação. O NCTM (1999) refere-se à avaliação apresentando
algumas normas que constituem critérios que servem para melhorar a qualidade do que se
avalia na disciplina de Matemática. Entre esses critérios, destaca-se o que se considera que a
avaliação deve existir para melhorar a aprendizagem de Matemática, devendo, por isso, fazer
parte da ‘rotina’ das atividades de sala de aula. Durante as aulas, podem e devem surgir,
naturalmente, oportunidades para avaliar os alunos e isto envolve ouvi-los, observá-los e
interpretar aquilo que dizem e fazem. Outro critério diz-nos que a avaliação deve ser um
processo coerente, estando alinhado com o currículo e com o ensino. Manter o equilíbrio entre
as atividades diversificadas e adequadas de avaliação pode ajudar a aprendizagem dos alunos.
24
Segundo Alves (2008) o professor deve realizar uma avaliação contínua do trabalho do
aluno promovendo a sua aprendizagem e aumentando a sua confiança naquilo que o aluno já
compreende e sabe comunicar, existindo assim um processo de comunicação entre o professor
e o aluno proporcionando um enriquecimento recíproco: “Esta relação cria laços de respeito e
solidariedade que propiciam um melhor ambiente de aprendizagem” (Alves, 2008, p. 35). A
avaliação como processo de regulação favorece a inclusão e a permanência do aluno na escola,
pois este passa a ser respeitado pelas suas diferenças, tempo e ritmo de aprendizagem. Ao
detetar as falhas do aluno, o professor deve procurar estratégias de ensino para que o aluno as
possa superar. Assim, “a avaliação e a superação caminham juntas no processo de
ensino/aprendizagem, tornando-se a avaliação um processo dinâmico e ético.” (Alves, 2008, p.
35).
O feedback na regulação da aprendizagem. O feedback ou escrita avaliativa, como define
Santos (2008), é uma forma possível para criar momentos de aprendizagem que ajudem o aluno
a desenvolver a sua capacidade de autoavaliação. Com este objetivo, a sua existência poderá
constituir uma estratégia para ajudar o aluno a tomar consciência dos seus erros e de os
autocorrigir. Também Fernandes (2008) defende que o feedback serve para ativar os processos
cognitivos e metacognitivos dos alunos, ajudando a regular e a controlar os processos de
aprendizagem, criando motivação e autoestima. Segundo o NCTM (1999), um feedback, para
que ajude os alunos, deve ser descritivo, específico, relevante, periódico e encorajador, pode ser
oral ou escrito, privado ou público e dirigido a um aluno ou a um grupo de alunos. Para que este
processo tenha resultados positivos, Santos (2008) considera que é necessário que o professor:
(i) tenha uma ideia clara do processo de resolução do aluno, podendo assim decompor esse
processo em partes; (ii) entenda até que ponto o aluno é capaz de lidar com esse processo e/ou
as suas partes; e (iii) perceba qual a imagem que o aluno tem na ‘cabeça’ (cabe ao professor
colocar-se no papel do aluno).
Na literatura são vários os autores que estudam o feedback como processo de regulação
de aprendizagem, apontando diferentes categorias para esse processo. Gipps (1999) refere dois
tipos de feedback: o avaliativo e o descritivo. O avaliativo traduz um juízo de valor, com utilização
implícita ou explícita de normas. Este tipo de feedback tem poucos efeitos na natureza
reguladora. O descritivo recai sobre a realização do aluno e da tarefa proposta. A autora
fragmenta o feedback descritivo em dois tipos: o feedback que descreve o progresso e aquele
que constrói o caminho a seguir. O primeiro requer a responsabilidade apenas do professor. É
25
ele que indica ao aluno qual o caminho a seguir para melhorar a sua resolução. O segundo tipo
requer a responsabilidade do professor e do aluno, existe uma partilha de poder e de
responsabilidades. Este último tipo de feedback encoraja os alunos a uma compreensão mais
profunda sobre as tarefas.
Jorro (2000) também distingue dois tipos de feedback: o feedback como transmissão de
informação e o feedback como diálogo. O feedback como transmissão de informação traduz-se
por juízos de valor ou por enunciados vagos, contribuindo pouco para a aprendizagem. O
feedback como diálogo procura que seja o aluno a refletir, competindo apenas ao professor
questionar e dar pistas. Estas duas categorizações são semelhantes, podendo associar o
feedback avaliativo ao feedback como transmissão de informação e, por sua vez, o feedback
descritivo ao feedback como diálogo.
O feedback é um processo um pouco demorado e exigente para o professor. Sabendo
que os professores não dispõem de tanto tempo, há que escolher quando o fazer. O feedback
nunca deve ser dado antes do aluno ter oportunidade para pensar, nem depois de se
conhecerem os resultados. Deve-se ainda escolher tarefas, não sumativas, nas quais os alunos
tenham oportunidade de melhorar (Black & Wiliam, 1998).
O feedback só é um processo de regulação quando é usado pelo aluno para melhorar a
sua aprendizagem. Santos (2003) destaca, assim, os diferentes aspetos que podem influenciar a
natureza deste processo de regulação:
- ser clara, para que autonomamente possa ser compreendida pelo aluno;
- apontar pistas de ação futura, de forma que a partir dela o aluno saiba como
prosseguir;
- incentivar o aluno a reanalisar a sua resposta;
- não incluir a correção do mesmo, no sentido de dar ao próprio a
possibilidade de ser ele mesmo a identificar o erro e a alterá-lo de forma a
permitir que aconteça uma aprendizagem mais duradoura ao longo do
tempo;
- identificar o que já está bem feito, no sentido não só de dar autoconfiança
como igualmente permitir que aquele saber seja conscientemente
reconhecido. (p. 19)
O erro na regulação da aprendizagem. O professor deve introduzir e desenvolver, através
de práticas educativas baseadas na compreensão, a autonomia dos alunos, apoiando assim um
papel mais ativo dos mesmos. Ao professor compete não apenas transmitir a matéria, mas
incentivar a serem capazes, eles mesmos, de selecionarem e construírem o conhecimento. A
26
cooperação dos alunos e o conflito são importantes para que o professor perceba a causa dos
erros dos alunos e possa ajudá-los a não voltar a cometê-los. Segundo Pinto (2000, pp. 164-
165), “o mais importante é o professor adotar uma atitude reflexiva diante do erro do aluno,
procurando, não apenas, compreender o erro no interior de um contexto de ensino, mas
também compreender o aluno que erra”. O professor detetando então um erro deve tentar
sempre que o aluno tenha oportunidade para ser ele próprio a identificá-lo, a corrigi-lo e a chegar
à resposta correta. Só assim favorece uma aprendizagem que perdura ao longo do tempo (Jorro,
2000). Para isso, o professor deve fazer com que o aluno expresse o seu raciocínio em voz alta
para que assim ao mesmo tempo que este revê o seu pensamento, o professor tenha a
oportunidade de descobrir o que o aluno pensou errado. Os erros podem ser usados como ponto
de partida para desafiar os alunos a mudarem, a crescerem no entendimento e a desenvolverem
a sua capacidade crítica, analítica e de generalização (Alves, 2008). Na mesma perspetiva,
Kamii (1992) refere o professor deve descobrir como os alunos chegam ao erro.
Se as crianças cometem erros é porque, geralmente, estão usando sua inteligência a seu modo. Considerando que o erro é um reflexo do pensamento da criança, a tarefa do professor não é a de corrigir, mas descobrir como foi que a criança fez o erro (Kamii, 1992, p. 64).
Os erros fazem parte do processo de aprendizagem do aluno e, por isso, os professores
devem observar os erros de forma ‘positiva’. O erro pode e deve ser superado e é nesta
superação que o aluno aprende. Durante o processo de superação do erro, o professor tem um
papel fundamental. Exige-se aos professores que se preocupem em saber se os seus alunos
estão aprendendo, questionando-se sobre os porquês dos resultados negativos dos mesmos.
Exige-se, também, que se preocupem em saber “se as estratégias estão adequadas e que
saibam definir as prioridades de seu plano de ensino, bem como tomar decisões diante da
situação” (Alves, 2008, p. 37). O erro consiste assim “uma fonte rica de informação para a
compreensão de uma situação de aprendizagem” (Santos, 2002, p. 2).
2.3. Estratégias de intervenção
Estratégias de ensino que tenham como foco a aprendizagem de todos os alunos
requerem do professor estratégias diversificadas e uma reflexão constante sobre a sua prática
(NCTM, 2007). A reflexão fornece-nos oportunidade de voltar atrás e rever acontecimentos e
práticas e tem como objetivo “fornecer ao professor informação correta e autêntica sobre a sua
ação, as razões para a sua ação e as consequências dessa ação” (Oliveira & Serrazina, 2002, p.
27
34). As estratégias de ensino utilizadas recaíram sobre o ensino da Derivada de uma Função.
Sendo este um tópico de dificuldade elevada, achei por bem dar a possibilidade aos alunos de
promoverem o trabalho de grupo, a autonomia e o espírito crítico.
2.3.1. Metodologias de ensino e de aprendizagem
Tendo como foco do meu estudo a potencialidade do erro na aprendizagem, procurei
atender nas minhas estratégias de ensino a atividade dos alunos, sendo o meu papel como
professora de orientar, questionar e apoiar. Estas atividades que procurei dinamizar refletem-se
em dois elementos que destaco da prática pedagógica: (i) O trabalho de grupo; e (ii) Os planos
de aula.
Trabalho de grupo: Em todas as aulas que lecionei organizei as atividades dos alunos
em grupo. Segundo o Programa de Matemática (Ministério de Educação, 2002) para o ensino
secundário, no desenvolvimento das atividades da sala de aula deve estar contemplado o
trabalho de grupo e o trabalho de pares. O trabalho de grupo, de acordo com o NCTM (2007),
pode motivar a reflexão e a análise. Optei por esta organização dos alunos por duas grandes
razões: (i) permite a discussão entre os alunos, visto que na resolução das tarefas propostas os
elementos do mesmo grupo discutam entre si a sua resolução podendo, assim, encontrar mais
do que uma forma de resolver e ajudarem-se mutuamente; e (ii) cria autonomia nos alunos: ao
poderem dialogar entre si, os elementos do grupo só precisam da ajuda do professor quando
nenhum elemento do grupo conseguir resolver a tarefa. Para além destas duas vantagens
podemos ainda associar ao trabalho de grupo outras virtudes, como mostra a seguinte figura:
Figura 6. Vantagens do trabalho de grupo1.
1 Acedido em 13 de agosto, 2014, de http://estagio2001.no.sapo.pt/pedagogico/grupo.htm.
28
O trabalho de grupo cria, por exemplo, motivação nas tarefas propostas; partilha de
informação entre os elementos do grupo; e a comunicação matemática. De acordo com o NCTM
(2007), a comunicação é “uma parte essencial da matemática e da educação matemática” (p.
66).
O trabalho de grupo, apesar de ter bastantes vantagens, possui também algumas
desvantagens, como por exemplo: (i) os alunos podem distribuir as tarefas pelos elementos do
grupo, ficando cada um com uma tarefa diferente, não aproveitando o facto de estar em grupo
para interagir; e (ii) o trabalho a ser realizado pode ser resolvido apenas por um aluno,
geralmente pelo melhor aluno do grupo. Para poder eliminar estas desvantagens, tentei nas
primeiras aulas da minha intervenção chamar a atenção à turma o que esperava do trabalho de
grupo e como deviam trabalhar para funcionar. Ponte, Ferreira, Varandas, Brunheira e Oliveira
(1999) afirmam que é necessário a negociação com os alunos no estabelecimento de um
conjunto de normas de relacionamento que definam, com clareza, o que se espera do professor
e de cada aluno. É natural pois que na realização deste tipo de atividades se espere a
entreajuda, a responsabilidade pelo comportamento do grupo e pela discussão das
aprendizagens. No início da minha intervenção foram instituídas algumas normas, tais como: (i)
todos os elementos do grupo devem participar nas tarefas propostas; (ii) os elementos do grupo
devem interagir entre si e não com os elementos dos outros grupos, até que seja indicado o
contrário; (iii) só devem chamar a professora quando nenhum elemento do grupo consiga
resolver a tarefa; e (iv) quando um aluno cometer um erro, os elementos do grupo procuram
analisá-lo e encontrar as razões desse erro.
A escolha dos grupos foi feita por mim e tentei que estes fossem equilibrados,
colocando, por isso, um bom aluno em cada grupo. Entenda-se por bom aluno o que
apresentava classificações superiores a 14 valores nos momentos de avaliação sumativa. A
tabela seguinte mostra a distribuição dos alunos pelos respetivos grupos:
Tabela 3- Distribuição dos alunos pelos respetivos grupos.
Grupos I II III IV V
Alunos (Ai) A1, A2, A3,
A4 e A5
A6, A7, A8
e A9
A10, A11,
A12 e A13
A14, A15,
A16 e A17
A18, A19,
A20 e A21
Castro e Ricardo (citados por Gonçalves, 2011) consideram que a dimensão de um
grupo pode variar entre quatro e oito. Preferi fazer os grupos com o menor número para
29
conseguir ter, no final, mais resoluções. O tamanho da sala também permitiu ter um grande
número de grupos.
Planos de aula: Todas as aulas que lecionei foram planeadas antecipadamente. Castro,
Tucunduva e Arns (2008) referem que, hoje em dia, os planos de aula servem como uma
ferramenta importante para organizar e ajudar o trabalho do professor, principalmente quando é
inexperiente na arte de ensinar. Também Moretto (2007) associa a planificação à organização de
ações, mas, em contrapartida, este autor refere que a planificação deve existir não só para
facilitar o trabalho do professor mas também o trabalho do aluno. Os planos devem incluir o que
o professor tenciona fazer e aquilo que é esperado que os alunos façam durante a aula. Os
planos que construí foram elaborados seguindo sempre o mesmo modelo, tendo a seguinte
constituição: tópico, objetivos, atividade motivacional, exploração, prática, tarefa adicional,
trabalho de casa e materiais.
Tópico: este ponto torna claro para o professor o seu foco aquando da planificação.
Objetivos: contêm o que o professor espera que os alunos aprendam durante a aula.
Atividade Motivacional: esta atividade ajuda na organização dos alunos no início da aula. Ela pode estabelecer o tom de comportamento e de aprendizagem para a aula.
Exploração: é neste momento da aula que é crucial o professor criar um bom ambiente de aprendizagem, que encoraje os alunos a explorarem, conjeturarem e extraírem conclusões.
Prática: é constituída por tarefas parecidas com a atividade motivacional. Os exercícios da prática, numa fase inicial, devem ser limitados aos novos conceitos.
Trabalho de Casa: as tarefas do trabalho de casa servem para os alunos praticarem o que foi ensinado de uma forma independente.
Materiais: lista dos materiais a serem usados durante a aula. (Posamentier & Stepelman, 1995)
Na elaboração dos planos de aula tive sempre em principal consideração os objetivos da
aula e os conteúdos a ensinar. Na escolha de tarefas a apresentar aos alunos tentava que estas
fossem de natureza diversificada (de natureza fechada – exercícios e problemas e de natureza
aberta – investigações e explorações) e sempre que possível aplicadas em situações de vida
real. Segundo o Programa de Matemática (Ministério de Educação, 2002) os alunos devem
“analisar situações da vida real identificando modelos matemáticos que permitam a sua
interpretação e resolução” (p. 4). Os planos de lição além de me ajudar a organizar a aula,
ajudaram-me, também, na recolha de material para o meu tema.
30
2.3.2. Estratégias de avaliação da ação
Para que o objetivo e as questões de investigação do meu projeto de intervenção
pedagógica fossem concretizados, procurei recolher a informação através de vários métodos:
questionários, gravação de aulas, produções dos alunos e questões no final de algumas aulas.
Questionários: Foram dois os questionários que apliquei durante a minha intervenção
pedagógica, pois este método de recolha de dados tem várias vantagens como, por exemplo,
garantir o anonimato; não expõe os alunos à influência das opiniões e do aspeto pessoal do
entrevistado (Gil, 1999). Segundo o mesmo autor, os questionários também têm desvantagens,
como, por exemplo, impede o conhecimento das circunstâncias em que foi respondido, o que
pode ser importante na análise das respostas; não oferece a garantia de que a maioria dos
alunos devolva o questionário devidamente preenchido; e proporciona resultados bastante
críticos em relação à objetividade, pois as perguntas podem ter significados diferentes para cada
aluno.
O primeiro questionário (Anexo 1) foi entregue à turma antes da minha intervenção, com
a finalidade de recolher informação que me permitisse conhecer as perceções dos alunos sobre
as estratégias de ensino que valorizam o erro na aprendizagem. Este questionário era composto
por, maioritariamente, questões abertas, pois pretendia que os alunos fornecessem as suas
próprias respostas. No final da minha intervenção pedagógica foi entregue um novo questionário
(Anexo 2) e teve o mesmo objetivo que o questionário inicial. Assim, procurei averiguar se as
perceções dos alunos em relação às estratégias de ensino que valorizam o erro na
aprendizagem se mantinham iguais. Este último questionário era composto, maioritariamente,
por questões fechadas. Em cada questão os alunos tinham que escolher entre cinco opções,
seguindo a tipologia da escala de Likert: DT- Discordo Totalmente, D- Discordo, I- Indiferente, C-
Concordo e CT- Concordo Totalmente.
Gravação de aulas: Todas as aulas da minha intervenção foram gravadas com uma
câmara de filmar. Para poder filmar todas as aulas pedi autorização ao diretor da escola (Anexo
3) e aos encarregados de educação (Anexo 4). Por parte destes intervenientes não houve
qualquer tipo de objeção. A câmara de filmar foi colocada no fundo da sala com a intenção de
capturar a imagem do quadro e os diálogos existentes na sala de aula. Para além de me ajudar
a recolher informação escrita e oral das aulas, a câmara de filmar ajudou-me a visualizar o que
31
corria menos bem numa aula, o que me permitiu alterar nas aulas seguintes algum aspeto que
não tinha corrido como planeei, como foi exemplo reparar em erros que estavam expostos no
quadro e que não chamei a atenção à turma. Os alunos, como não estavam habituados a que as
aulas fossem gravadas, inicialmente mostraram um pouco de receio e timidez, o que foi
ultrapassado com o decorrer das aulas.
Produções dos alunos: As produções dos alunos registam todo o seu trabalho durante as
aulas. Recolhi produções dos alunos em todas as aulas da minha intervenção. Como as aulas
foram dadas em grupo, recolhi em cada aula apenas uma resolução por grupo. No início de
cada aula distribuía pelos grupos algumas folhas de papel químico, ficando responsável um
aluno por grupo por registar todas as atividades nesse papel. O papel químico teve duas grandes
vantagens: (i) os alunos não podiam apagar o que tivessem errado depois de corrigidas as
atividades, permitindo-me assim recolher informação sobre os erros cometidos pelos alunos; e
(ii) os alunos não ficavam sem o trabalho da aula, forneciam-me apenas o químico. As
produções dos alunos foram um elemento fundamental durante a minha intervenção. Ao analisar
os erros mais cometidos pelos alunos e que não eram discutidos com eles na aula em que eram
cometidos, tinha a oportunidade de lhes chamar a atenção desses erros nas aulas seguintes
para evitar que não fossem cometidos de novo.
Questões no final de algumas aulas. Estas questões (Anexo 5) foram dadas aos alunos
durante quatro aulas da minha intervenção pedagógica com o objetivo de perceber se os alunos
tinham consciência dos erros que cometiam em diferentes aulas. Durante as quatro aulas as
questões colocadas aos alunos foram sempre as mesmas. As três questões abertas eram
entregues em papel. Estas questões ajudaram-me a perceber o que os alunos mais erravam e o
que pensavam fazer para ultrapassar esses erros. Além de ser importante para mim, as
questões foram essenciais para os alunos porque os obrigava, no final da aula, a refletir sobre o
trabalho que fizeram durante a aula.
32
33
CAPÍTULO 3
INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA
Este capítulo compreende quatro secções. Na primeira secção apresentam-se,
sucintamente, os conteúdos desenvolvidos durante a intervenção pedagógica. A segunda secção
aborda os diferentes erros cometidos pelos alunos na aprendizagem de tópicos de derivada de
uma função e a forma como alguns foram tratados em sala de aula. A terceira secção
corresponde à análise das respostas dos alunos às questões feitas no final de algumas aulas da
intervenção pedagógica. Na última secção são apresentadas as perceções dos alunos da turma
antes e depois da intervenção pedagógica sobre a estratégia delineada.
3.1. Conteúdos lecionados na intervenção pedagógica
A intervenção pedagógica decorreu durante 15 aulas, todas com duração de 90
minutos, onde lecionei os conteúdos relacionados com o Cálculo Diferencial, a função inversa e
as funções e equações irracionais do 11.º ano, como mostra a seguinte tabela:
Tabela 4- Síntese dos conteúdos lecionados na intervenção pedagógica.
Aulas Conteúdos lecionados
1 Taxa média de variação.
2 Taxa de variação.
3 Função derivada. Derivada de funções polinomiais.
5 Derivada da função racional e função módulo.
7 Sinal da função derivada, sentido de variação e extremos relativos de uma
função.
10 Função inversa.
12 Funções irracionais. Operações com radicais quadráticos e cúbicos.
Potências de expoente fracionário.
13 Função inversa de uma função potência. Equações irracionais.
As aulas que não são referidas na tabela anterior foram aulas dedicadas à resolução de
tarefas. Os alunos trabalharam em grupo em todas as aulas da minha intervenção. No início de
cada aula distribuía uma ficha de trabalho a cada aluno e ao mesmo tempo era entregue o papel
químico a cada grupo para estes poderem entregar uma resolução do trabalho do grupo durante
a aula. Após a entrega destes materiais, deixava que os alunos trabalhassem no seu grupo a
tarefa que lhes era proposta. Estas tarefas iniciais requeriam conhecimentos prévios.
34
Posteriormente, a tarefa era corrigida no quadro por um aluno escolhido ao acaso, salvo exceção
de quando encontrava mais que uma forma de abordar o exercício, aí as duas resoluções
ficavam expostas no quadro. A resolução ou resoluções eram discutidas com a turma tentando,
com essa discussão, que os alunos chegassem à definição do novo conceito matemático. Como
refere Vinner (1991), para introduzir um novo conceito matemático nunca se deve começar pela
definição mas sim com exemplos e contraexemplos. Ruano et al. (2003) defendem que para
introduzir um novo conceito se deve utilizar os conhecimentos prévios relativos ao tema em
estudo.
3.2. Erros dos alunos na aprendizagem de tópicos de derivada de uma função
Para ilustrar o trabalho e o envolvimento dos alunos no decorrer da estratégia
implementada, apresento os erros cometidos pelos alunos em diferentes aulas. A análise das
produções escritas dos alunos fez emergir vários erros, que são organizados segundo as
seguintes categorias: erros processuais e erros concetuais. A divisão dos erros nestas categorias
é baseada na discussão entre o conhecimento concetual e o conhecimento processual
apresentado no capítulo anterior. Assim, neste relatório considero erros processuais os erros que
os alunos cometem na utilização de técnicas durante a resolução da tarefa. Estes erros podem
ser erros de substituição, erros de interpretação, erros de simplificação de expressões e erros de
escrita matemática. Os erros concetuais são os erros que os alunos cometem na aplicação, de
forma errada, de uma definição. Estes erros podem ser erros na definição de derivada num
ponto, erros na definição das regras de derivação e erros na noção de limite.
De uma forma geral, considerei a seguinte tipologia de erros:
Figura 7. Tipologia de erros considerada neste relatório.
35
Erros processuais
Entre este tipo de erros cometidos pelos alunos evidenciaram-se os de substituição,
interpretação, simplificação de expressões e de escrita matemática. Relativamente aos erros de
substituição verifica-se que, por vezes, os alunos cometem erros ao substituir o objeto numa
determinada função, como ilustra a seguinte resolução efetuada por um grupo no estudo do
tópico taxa de variação:
Figura 8. Resolução apresentada pelo grupo 1.
Da análise da resolução verifica-se que o grupo de alunos não distingue o papel de
transformação de uma função. Ao determinar a imagem de x h , os alunos deste grupo
continuam a considerar a função f adicionando-lhe h , o que indicia que a função só considera
um objeto que é representado por um só elemento e não composto pela soma algébrica de
elementos. Para estes alunos, a variável é somente a letra x e consideram que a imagem da
soma desta letra com outra resulta da imagem de x adicionada com a outra letra.
Relativamente a erros de interpretação, verifica-se que os alunos apresentaram
dificuldades em distinguir a ordenada da abcissa. Este erro foi cometido por todos os grupos da
turma, como exemplifica a resolução de um grupo da tarefa proposta no estudo do tópico
derivada de uma função:
Figura 9. Resolução apresentada pelo grupo 3.
36
Na tarefa pedia-se aos alunos para escrever a equação reduzida da reta tangente no
ponto de ordenada 3. Em vez disso, os alunos calcularam a equação reduzida da reta tangente
no ponto de abcissa 3, o que parece dever-se a uma má interpretação do texto da tarefa.
Alguns erros de interpretação geraram discussão no grupo turma, como é exemplo o
que surgiu na resolução apresentada à seguinte tarefa por um elemento do grupo 4.
Figura 10. Tarefa resolvida no quadro por um aluno do grupo 4.
Essa discussão incidiu sobre aspetos da representação gráfica de uma função cúbica,
que representava as receitas de um dado estabelecimento no final do primeiro semestre do ano
de 2013, desenhada no quadro por esse aluno.
Figura 11. Gráfico apresentado por um aluno do grupo 4.
Professora: Toda a gente concorda com o gráfico do vosso colega?
Outro aluno: Não, o tempo não pode ser negativo.
Professora: Muito bem. Percebeste?
Aluno: Sim, não atendemos a esse pormenor.
37
Após a perceção do erro, o próprio aluno restringiu o domínio de validade da função em
contexto com o enunciado da tarefa. Para o aluno, este erro deveu-se por não terem associado o
contexto do problema com a representação gráfica da função dada.
Em relação a erros de simplificação de expressões, são vários os erros que os alunos
cometeram. Na análise das produções dos alunos, constata-se que esses erros ocorreram com
mais frequência no trabalho com expressões fracionárias, como ilustra a resolução de dois
grupos à mesma pergunta colocada no estudo do tópico derivada de uma função:
Figura 12. Resoluções apresentadas, respetivamente, pelos grupos 2 e 3.
Os alunos do grupo 2, para além de aplicarem incorretamente a definição de derivada
de uma função, trocando no acréscimo da função a diferença pela adição, colocaram em
evidência os fatores comuns de dois de três termos do numerador, h x , e efetuaram a lei do
‘corte’ com as mesmas expressões presentes no denominador como se tivessem a expressão do
numerador fatorizada. Constata-se, assim, que estes alunos não têm presente a noção de
simplificação de frações.
Os alunos do grupo 3 colocam somente o h em evidência no denominador quando os
termos têm mais fatores comuns, o que se traduziu, provavelmente por distração, na conversão
dos expoentes de cada uma das letras representadas. Os alunos não revelam capacidade crítica
nessa simplificação, visto que partiram de uma expressão que não tinha termos semelhantes e
reduziram-na a um termo como se isso se verificasse.
Relativamente aos erros de escrita matemática, atendendo ao nível pouco desenvolvido
de pensamento algébrico dos alunos deste nível de escolaridade, são o tipo de erros que os
alunos da turma mais cometeram. Para além da dificuldade em trabalhar com expressões
algébricas, este tipo de erros deve-se por os alunos não terem cuidado com a forma como
38
escrevem as noções matemáticas, como exemplifica a forma como os alunos do grupo 2
registam uma fração composta por frações:
Figura 13. Resolução apresentada pelo grupo 2.
Os alunos não colocam o traço de fração principal ao nível da igualdade, o que denota
falta de rigor na forma como organizam as suas ideias sobre noções matemáticas.
Um outro exemplo sobre a escrita matemática verifica-se na forma como os alunos do
grupo 1 inserem a nomenclatura . .t v nos processos de resolução da derivada de uma função
num dado valor do seu domínio:
Figura 14. Resolução apresentada pelo grupo 1.
Como o estudo da derivada de uma função num dado valor é efetuado a partir da taxa
de variação instantânea, os alunos revelam confusão entre as notações destas duas noções, o
que provavelmente se deve à nomenclatura a que estão habituados em usar no estudo da . .t mv
de uma função num dado intervalo do seu domínio. Os alunos só consideraram uma vez o
limite, o que não tem consequências nos cálculos seguintes porque não precisaram de dar
valores à razão incremental.
Este tipo de erro foi cometido pelos alunos da turma em várias situações, como ilustra a
resolução dos alunos do grupo 4 na determinação da derivada de uma função racional num
39
valor do seu domínio. Os alunos só utilizaram o limite no primeiro passo da sua resolução,
começar por definir a função derivada mas logo de seguida consideram o valor zero e utilizam
abusivamente o símbolo de equivalente entre expressões:
Figura 15. Resolução apresentada pelo grupo 4.
Um erro desta natureza também ocorreu no momento em que um grupo apresentou no
quadro a sua resolução à seguinte tarefa e que foi corrigido em conjunto com a turma:
Figura 16. Tarefa resolvida no quadro, respetivamente, por alunos do grupo 3 e 5.
Os erros cometidos aconteceram na determinação da taxa de variação de uma função
num ponto qualquer do seu domínio. O aluno do grupo 3 escreveu no quadro a seguinte
resolução:
Figura 17. Resolução apresentada por um aluno do grupo 3.
Professora: Deu assim a todos?
40
Aluno: A mim não.
Professora: Vem ao quadro mostrar o que fizeste.
(Este aluno escreveu no quadro a seguinte resolução)
Figura 18. Resolução apresentada por um aluno do grupo 5.
Professora: Que erros identificas na tua resolução?
(Após alguns momentos de silêncio)
Aluno: Não sei professora.
Professora: (Dirigindo-se para a turma) Que erros identificam na resolução do
vosso colega?
Aluno: Falta o limite.
Aluno: Há sinais que não estão corretos.
(Com estas duas respostas os alunos conseguiram visualizar quais foram os
erros cometidos).
Enquanto o aluno que apresentou a primeira resolução não cometeu erros, o mesmo já
não aconteceu com a segunda resolução. Este aluno após terminar a sua resolução fez uma
análise do que fez para poder identificar os seus erros, o que não conseguiu. Foram os seus
colegas da turma que o ajudaram a perceber o que tinha feito de errado.
Ainda entre os erros de escrita que envolvem limites, há quem coloque o sinal de igual
entre o limite e a razão incremental, como se verificou na resolução dos alunos do grupo 2:
41
Figura 19. Resolução apresentada pelo grupo 2.
Na sua resolução, os alunos continuaram a considerar o limite depois da sua aplicação. A
discussão no grupo deste procedimento levou-os a riscar esta referência.
Erros concetuais
Na análise de informação proveniente das produções dos alunos, os erros concetuais
mais frequentes aconteceram na definição de derivada num ponto, na definição das regras de
derivação e na noção de limite. Relativamente aos erros relacionados com a definição de
derivada num ponto, alguns alunos tendiam a transformar a subtração em adição na expressão
que caracteriza o numerador da razão incremental, como acontece na resolução do grupo 5 na
determinação da expressão que representa a derivada de uma função.
Figura 20. Resolução apresentada pelo grupo 5.
42
Este tipo de erro, que aconteceu sobretudo nas primeiras aulas, indicia que os alunos
manifestam dificuldade em compreender a formalização da definição da derivada de uma função
num dado valor do seu domínio.
Na concetualização das regras de derivação, alguns alunos revelaram dificuldades em
traduzir a regra, como se constata na resolução do grupo 2:
Figura 21. Resolução apresentada pelo grupo 2.
Em expressões definidas com mais do que um termo, os alunos deste grupo tendem a
considerar apenas a derivada de um dos termos. A noção de imagem de função não está bem
clarificada, visto que os alunos não consideram a expressão como um todo mas como sendo
constituída por termos isolados, que não se percebe qual o grau do termo que predomina.
Provavelmente o obstáculo sentido pelos alunos foram os termos definidos pro frações. No caso
da última função, como a sua expressão apresenta uma só fração os alunos indiciam que a
transformaram numa constante.
Após o estudo das regras de derivação, os alunos tendem a considerá-las mesmo em
situações em que se pedia a aplicação da definição de derivada de funções racionais, como
ilustra a resolução do grupo 3:
43
Figura 22. Resolução apresentada pelo grupo 3.
Para além do grupo não resolver o que era pedido, calcular a derivada de uma função
num valor do seu domínio a partir da definição, aplicaram de forma errada a regra de derivação
do quociente, considerando somente o quadrado do denominador.
Relativamente a erros da noção de limite, alguns alunos operam com esta noção mesmo
em situações em que aplicaram as regras de derivação, como se observa na resolução do grupo
5:
Figura 23. Resolução apresentada pelo grupo 5.
Os alunos revelam que não distinguem a definição de derivada de uma função num
dado valor do seu domínio da aplicação das regras de derivação.
A análise de erros nas produções dos alunos permite verificar que o erro foi um
elemento presente em todas as aulas. Os diálogos, por sua vez, mostram a forma como alguns
44
desses erros foram tratados na sala de aula. Esses erros foram de natureza diferente mas todos
eles com implicações gravosas em momentos de avaliação.
3.3. Análise das questões propostas no final de algumas aulas
Como já foi referido anteriormente, em algumas aulas da minha intervenção pedagógica
(4 aulas) foi entregue aos alunos, no final da aula, 3 questões. Da análise feita as questões das
quatro aulas em que foram entregues, os alunos revelaram que os erros mais cometidos por
eles foram erros de cálculo (58%), a causa mais apontada por eles para cometer erros durante
essa aula foi a distração (42%) e para não voltar a cometer esse tipo de erros pretendem, por
exemplo, praticar mais (47%) e estar mais atentos (39%). As tabelas seguintes ilustram os vários
tipos de erros que os alunos consideram que cometeram, as causas apontadas por eles para
cometerem esses erros durante essa aula e o que pretendem fazer para voltar a cometer esses
erros (respetivamente):
Tabela 5- Erros cometidos pelos alunos, segundo a sua perspetiva, durante as aulas.
Erros cometidos pelos alunos Frequência absoluta
Cálculo 23
Distração 5
Ao aplicar o caso notável 4
Ao introduzir dados na calculadora 2
Interpretação 2
Raciocínio 2
Ortografia 1
Na justificação da resposta 1
Além dos erros de cálculo, podemos observar que os alunos cometeram outros tipos de
erros, como por exemplo: erros de distração (13%), erros na aplicação do caso notável (10%),
erros de interpretação (5%) e erros de raciocínio (5%).
As causas que os alunos enunciaram para cometerem este tipo de erros estão
representadas na tabela seguinte:
45
Tabela 6- Causas que levaram os alunos a cometer erros durante as aulas.
Causas dos erros cometidos Frequência absoluta
Distração 22
Falta de conhecimentos prévios 9
Falta de concentração 8
Dificuldade de raciocínio 4
Falta de compreensão 4
Falta de estudo 2
Pensar muito depressa 2
Preguiça 1
As causas que os alunos apontaram para cometerem erros nessas aulas foram, por
exemplo, a distração (42%), a falta de conhecimentos prévios (17%), a falta de concentração
(15%), terem dificuldade de raciocínio (8%), falta de compreensão (8%).
Relativamente ao que os alunos pretendem fazer para não voltar a cometer os mesmos
erros, as respostas foram as apresentadas na tabela seguinte:
Tabela 7- Sugestões enunciadas pelos alunos para não voltarem a cometerem os mesmos erros.
Sugestões dadas pelos alunos Frequência absoluta
Praticar mais 33
Estar mais atento 27
Estudar mais 5
Questionar a professora ou os colegas quando
cometo um erro. 3
Pensar com mais cuidado 2
Para além de praticar mais e estarem mais atentos, os alunos referem que para não
voltar a cometer os mesmos erros têm de estudar mais (7%), questionar a professora ou os
colegas quando cometem erros (4%) e pensar com mais cuidado (3%).
Com a análise destas questões deu para perceber que os alunos têm consciência dos
erros que cometem e das causas que os levam a errar. Quando questionados sobre o que
pretendem fazer para superar esses erros as respostas, em todas as aulas onde as questões
foram colocadas, foram similares. Na última aula da minha intervenção pedagógica ao ver que
as respostas à última questão se mantinham, perguntei-lhes se escreviam essa resposta por ser
‘bonita’ ou estavam mesmo a pensar seguir essas ideias. Ficaram sem saber o que responder
46
mas após algum tempo em silêncio, alguns disseram que iam mesmo tentar seguir as sugestões
que eles próprios tinham referido.
3.4. Perceções dos alunos antes e depois da intervenção pedagógica
Com o objetivo de verificar se as perceções dos alunos em relação à estratégia utilizada
nas aulas da intervenção pedagógica modificavam após a minha prática, foram entregues dois
questionários, um antes da intervenção pedagógica e outro no final. O questionário inicial era
composto maioritariamente por questões abertas. Este questionário foi entregue apenas a 16
alunos, visto que na aula onde foi entregue 5 alunos faltaram. Da análise a este questionário
verifica-se que 4 alunos referiram gostar muito da disciplina de Matemática, 7 alunos referiram
gostar razoavelmente, 3 alunos revelaram gostar pouco desta disciplina e 2 alunos mostraram
não gostar nada de Matemática. Quando abordados com algumas atividades possíveis de
realizar nas aulas de Matemática, em que tinham de escolher apenas 3 das que mais gostavam
de realizar, justificando, as respostas mais dadas foram: resolver exercícios (15 alunos), discutir
as resoluções dos exercícios/problemas (8 alunos) e passar para o caderno o que a professora
diz e faz (8 alunos). As justificações que os alunos escreveram para estas escolhas foram,
respetivamente: para praticar (4 alunos), temos mais autonomia (4 alunos) e para recordar mais
tarde (5 alunos). Na questão seguinte era-lhes perguntado se já tinham trabalhado em grupo nas
aulas de Matemática e todos eles responderam afirmativo. As vantagens do trabalho de grupo
para a aprendizagem de conceitos matemáticos referidas são apresentadas na tabela seguinte:
Tabela 8- Vantagens do trabalho de grupo para a aprendizagem de conceitos matemáticos.
Vantagens do trabalho de grupo Frequência absoluta
Permite a discussão 14
Motivação 5
Mudança de rotina 2
Esclarecer dúvidas sem perturbar a professora 2
Os alunos consideram que as maiores vantagens do trabalho de grupo para a
aprendizagem de conceitos matemáticos são permitir a discussão das tarefas e a motivação
para trabalhar.
Quanto às desvantagens do trabalho de grupo, apresentadas na tabela seguinte, a
resposta com maior frequência é a distração.
47
Tabela 9- Desvantagens do trabalho de grupo para a aprendizagem de conceitos matemáticos.
Desvantagens do trabalho de grupo Frequência absoluta
Distração 10
Má distribuição de tarefas 3
Confusão na sala de aula 3
Além da distração, os alunos referem que outras desvantagens do trabalho de grupo são
a má distribuição das tarefas, isto é, a resolução das tarefas podem não envolver todos os
elementos do grupo, acabando por trabalhar mais uns que outros e a confusão na sala de aula,
o trabalho de grupo acaba por criar um ambiente mais ruidoso na sala de aula.
Entrando na temática do erro, quando abordados com a questão se costumavam errar
nas aulas de Matemáticas, 15 alunos responderam afirmativo e 1 aluno respondeu
negativamente. Os alunos referem também que os erros que mais costumam cometer nas aulas
de matemática são erros de cálculo. A tabela seguinte ilustra os erros que os alunos indicam que
cometem nas aulas de Matemática:
Tabela 10- Erros que os alunos cometem nas aulas de Matemática.
Erros cometidos Frequência absoluta
Cálculo 7
Interpretação 3
Troca de sinais 3
Raciocínio 2
Distração 2
Antes da intervenção pedagógica, os principais erros que os alunos consideram que
cometem nas aulas de Matemática são: os de cálculo, de interpretação, a troca de sinais, de
raciocínio e de distração.
Os alunos revelam ainda que, quando erram, alguns dos professores explicam e
esclarecem o erro (10 alunos), outros às vezes explicam e outras vezes ignoram (3 alunos) e por
vezes os professores ignoram por completo (3 alunos). No entanto, a maior parte dos alunos
responde que quando cometem erros têm oportunidade de compreender as razões desses erros
(13 alunos) perguntando à professora que explique novamente (9 alunos) ou fazem de novo o
exercício até descobrir o erro (4 alunos). Os restantes alunos (3 alunos) responderam que não
têm essa oportunidade porque a professora explica muito rápido.
48
Quanto à última questão do questionário inicial, em que lhes era perguntado que
vantagem tinha a análise de erros que cometiam para a sua aprendizagem de Matemática, as
respostas foram: permite não voltar a cometer o mesmo erro novamente (10 alunos) e melhora
a nossa aprendizagem (4 alunos).
Em relação à análise do questionário final, este era composto por 24 questões de
resposta fechada e 3 questões de resposta aberta. Este questionário foi respondido por 20
alunos da turma. No primeiro grupo que era de resposta fechada, as respostas em causa foram
analisadas segundo duas dimensões: (i) o trabalho de grupo; e (ii) as estratégias de ensino que
valorizam o erro nas suas atividades de aprendizagem. A tabela 11 explicita as respostas dadas
pelos alunos sobre o trabalho de grupo nas aulas de derivada de uma função.
Tabela 11- Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente ao trabalho de
grupo nas aulas de derivada de uma função.
Trabalho de grupo DT/D I C/CT
Os trabalhos em grupo favoreceram mais a minha aprendizagem de
tópicos de derivada de uma função do que os trabalhos que realizei
individualmente. 25% 20% 55%
O trabalho em grupo permitiu-me discutir os meus erros com os meus colegas.
10% 10% 80%
A maioria dos alunos (55%) considera que os trabalhos de grupo favorecem mais a
aprendizagem de tópicos de derivada de uma função do que os trabalhos individuais. A maior
parte dos alunos (80%) concordam que o trabalho de grupo permitir discutir os erros com os
colegas.
Relativamente às estratégias de ensino que valorizam o erro nas suas atividades de
aprendizagem as respostas foram analisadas considerando três aspetos: (i) as causas dos erros;
(ii) a análise/discussão dos erros; (iii) apresentação do erro à turma. Quanto às causas dos
erros, a tabela 12 mostra as respostas dadas pelos alunos:
Tabela 12- Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente às causas dos
erros nas aulas de derivada de uma função.
Causas dos erros DT/D I C/CT
Alguns erros que cometi deveram-se ao facto de estar distraído na
realização das minhas atividades. 35% 10% 55%
Alguns erros que cometi deveram-se à falta de estudo. 30% 20% 50%
49
A maioria dos alunos concorda que os erros que cometeram nas aulas de derivada de
uma função deveram-se ao facto de estarem distraídos (55%) e à falta de estudo (50%).
Em relação à análise e à discussão dos erros, as respostas dadas pelos alunos
apresentam-se na tabela seguinte:
Tabela 13- Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente à análise/discussão dos erros nas aulas de derivada de uma função.
Análise/discussão dos erros DT/D I C/CT
Os erros que cometi na aprendizagem de tópicos de derivada de uma
função foram considerados na sala de aula. - 20% 80%
No estudo de tópicos de derivada de uma função apercebi-me da
importância da análise dos erros que cometo para a minha
aprendizagem.
- 20% 80%
A análise de erros cometidos por mim e pelos meus colegas ajudou-
me a ter atenção para não os cometer em momentos de avaliação. 5% 5% 90%
A análise de erros favorece a compreensão dos conceitos
matemáticos. - 15% 85%
A discussão sobre os erros que cometi ajudou-me a compreender
melhor os tópicos de derivada de uma função. 5% 10% 85%
De uma forma geral, a maioria dos alunos considera que a análise e a discussão foram
essenciais nas aulas sobre a derivada de uma função. Relativamente à apresentação ou
exposição dos erros ao grupo e/ou à professora, como se observa na tabela 14, a maioria dos
alunos (90%) não teve receio de revelar os seus erros aos colegas. Por outro lado, quando lhes
foi perguntado se tiveram vergonha de expressar os seus erros à turma e à professora a
percentagem dos que não tiveram vergonha diminuiu (65%). Quanto à penalização por
apresentar os erros à turma/professora existiram 10% de alunos que se sentiram penalizados.
Tabela 14- Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente à apresentação dos erros nas aulas de derivada de uma função.
Apresentação dos erros DT/D I C/CT
Não tive receio de revelar aos meus colegas de grupo de trabalho os
erros que cometi na aprendizagem de tópicos de derivada de uma
função.
5% 5% 90%
Ao apresentar à turma as minhas resoluções das tarefas propostas
apercebi-me dos erros que cometi. - 30% 70%
Senti-me penalizado por apresentar os meus erros à
turma/professora. 65% 25% 10%
Tive vergonha de revelar os meus erros perante a turma e a
professora. 65% 20% 15%
50
Quando lhes foi pedido que referissem aspetos positivos das estratégias de ensino que
valorizam o erro nas atividades de aprendizagem, as respostas apresentadas foram as ilustradas
na tabela seguinte:
Tabela 15- Aspetos positivos das estratégias de ensino que valorizam o erro nas atividades de aprendizagem.
Aspetos positivos Frequência absoluta
Permite compreender o porquê de errar 10
Melhoram a capacidade do trabalho autónomo 4
Valorizam o trabalho de grupo 4
Tornam as aulas menos cansativas 3
A resposta mais apresentada pelos alunos foi que as estratégias de ensino que valorizam
o erro nas atividades de aprendizagem permite compreender o porquê de errarem.
Sabendo que as estratégias de ensino que valorizam o erro nas atividades de
aprendizagem não possuem apenas aspetos positivos, foi necessário questionar os alunos
acerca dos aspetos negativos. As respostas dos alunos, relativamente aos aspetos negativos,
foram as expostas na tabela seguinte:
Tabela 16- Aspetos negativos das estratégias de ensino que valorizam o erro nas atividades de aprendizagem.
Aspetos negativos Frequência absoluta
Vergonha de expor os erros 5
Gerar desmotivação 5
Existe maior distração 3
O erro poder tornar-se constante 2
Alguns alunos referem que um dos aspetos negativos das estratégias de ensino que
valorizam o erro na aprendizagem é a vergonha de expor os erros. Outro aspeto negativo,
indicado com a mesma frequência, é o facto de o professor dar importância ao erro pode gerar
desmotivação.
Na última questão deste questionário, onde lhes era pedido que comentassem a
seguinte afirmação: “A análise dos erros que o aluno comete é uma forma de regular a sua
aprendizagem: Porque errei? Que ilações retiro dos meus erros? Como evitar cometer tais
51
erros?”, as respostas foram variadas. Por isso, de seguida, são expostas algumas dessas
respostas.
Para alguns alunos, o erro é algo natural no processo de aprendizagem e que está
presente nas mais variadas atividades do ser humano, como ilustra a afirmação de um aluno:
Figura 24. Resposta dada por um aluno relativamente à análise dos erros.
A consciencialização por parte deste aluno de que o erro é parte integrante da
aprendizagem leva-o a tirar ilações dos erros que comete, o que indicia de que procura não os
voltar a cometer desde que esteja mais concentrado.
Outros alunos dão a perceber que muitos dos erros que cometem se devem à diferença
entre o seu conhecimento pessoal e o conhecimento institucional, razão que não lhes permite ter
a perceção de quando erram:
Figura 25. Resposta dada por um aluno relativamente à análise dos erros.
Este aluno tem a noção da importância que o erro pode ter na forma como o integra nas
suas estratégias de estudo de factos e de procedimentos matemáticos. Fica a ideia de que a
consideração do erro leva a que tão cedo não seja cometido.
Para outros alunos, quando cometem erros, a primeira atitude a tomar é refletir e chegar
à causa desses erros, essas causas podem ser, por exemplo, de distração ou de falta de
conhecimento da matéria, como realça a resposta apresentada:
52
Figura 26. Resposta dada por um aluno relativamente à análise dos erros.
O aluno refere que quando comete um erro, uma forma de o ajudar a superar esse
obstáculo é fazer uma correção detalhada. Ao observar essa correção, consegue descodificar a
causa do erro e, consequentemente, tenta compreender o que fazer para não o voltar a cometer.
Por fim, há alunos que concordam que a análise dos erros usada na sala de aula é uma
estratégia de ensino que lhes permite retirar aprendizagens de forma a evitar cometer esses
erros posteriormente:
Figura 27. Resposta dada por um aluno relativamente à análise dos erros.
Para o aluno, a análise dos erros que comete é uma boa forma de aprendizagem, pois
permite-lhe que aprenda com os próprios erros de forma a não cometê-los em momentos de
avaliação.
Resumindo, os alunos consideram importantes as estratégias de ensino que valorizem o
erro na aprendizagem do tópico de derivada de uma função. Segundo os alunos, essas
estratégias de ensino fazem com que reflitam sobre os erros que cometem, conhecendo as suas
causas o que lhes permites arranjar formas de não os voltar a cometer. Apesar de a maioria
achar importante que se exponha os erros à turma e/ou à professora, porque pode vir a ajudar
53
outros colegas com o mesmo problema, ainda há alguns alunos que mostram ter receio ou
vergonha de os expor, com medo que venham a ser prejudicados por parte da professora e
‘gozados’ por parte dos colegas de turma.
54
55
CAPÍTULO 4
CONCLUSÕES, LIMITAÇÕES E RECOMENDAÇÕES
Neste capítulo, dividido em duas secções, apresentam-se as principais conclusões deste
estudo, tendo em conta as questões de investigação definidas, o suporte teórico elaborado e a
estratégia delineada ao longo da intervenção pedagógica. Por último, referem-se algumas
limitações ao seu desenvolvimento bem como recomendações para trabalhos futuros.
4.1. Conclusões
Nesta secção apresentam-se as respostas às questões de investigação tendo como
referência os dados obtidos e as referências teóricas consultadas.
4.1.1. Que erros cometem os alunos na aprendizagem de tópicos de derivada de uma função?
Quais as causas desses erros?
Os erros que os alunos cometem na aprendizagem de tópicos de derivada de uma
função dividem-se em erros processuais e erros concetuais. Os erros processuais, tal como
refere Santos e Domingos (2014), estão associados aos procedimentos existentes nas
resoluções das tarefas propostas. Deste tipo de erros identificam-se: (i) erros de substituição; (ii)
erros de interpretação; (iii) erros de simplificação de expressões; e (iv) erros de escrita
matemática. Nos erros de substituição, alguns alunos mostraram não ter bem presente o
conceito de função (objeto e imagem), cometendo erros ao substituir o objeto numa determinada
função. Nos erros de interpretação, os alunos mostraram que, por vezes, ao lerem o enunciado
de uma tarefa, retiram de forma errada os dados fornecidos, como, por exemplo, distinguir
ordenada e abcissa. Relativamente aos erros de simplificação de expressões, os alunos
mostraram não conhecer corretamente algumas ‘técnicas’ existentes, como foi o caso da
simplificação de expressões fracionárias. Um grupo de alunos efetuou o ‘corte’ de termos do
numerador e do denominador sem que fossem fatores das expressões presentes nestes
elementos da fração. Hall (citado por Vale, 2010) identifica este erro como de exaustão. Os
alunos, por vezes, quando não dominam as regras operatórias no ato da simplificação acabam
por aplicar ‘técnicas’ erradas. Dos erros de escrita matemática, o tipo de erros mais cometido
pelos alunos foi não colocarem o sinal de igual alinhado com o traço de fração, principalmente
quando se tratava de uma fração de frações. Outro erro de escrita matemática que os alunos
56
cometeram foi na determinação de limites, colocando apenas limite no início da resolução da
tarefa. Da análise deste tipo de erros, conclui-se que os alunos revelam dificuldades em escrever
corretamente em linguagem matemática. Estes erros de escrita são considerados por Hall
(citado por Vale, 2010) como erros de ausência de uma estrutura, isto é ocorrem quando se dá
uma confusão estrutural.
Os erros concetuais, tal como refere Arends (1995), estão associados aos erros
cometidos na estruturação das definições de conceitos matemáticos, mostrando que estes não
estão bem compreendidos. Entre este tipo de erros identificam-se: (i) erros na derivada num
ponto; (ii) erros na definição das regras de derivação; e (iii) erros na noção de limite. Estes erros
ocorrem com maior frequência quando os conceitos são introduzidos. Para evitar que os alunos
cometam erros processuais, segundo Vinner (1991), os conceitos devem ser introduzidos com
exemplos e contraexemplos. O professor não deve introduzir um novo conceito como se tratasse
de mera magia mas sim fazer com que sejam os alunos a chegar à definição do conceito a
introduzir, recorrendo aos seus conhecimentos prévios (Ruano et al., 2003). Esta forma de
ensinar faz com que os alunos possam compreender melhor um novo conceito matemático.
As causas que levam os alunos a errar indiciam deverem-se a fatores de distração na
realização de atividades, à falta de compreensão, de estudo e de conhecimentos prévios e,
ainda, dificuldades de raciocínio. Estas causas foram apontadas pelos alunos após a intervenção
pedagógica. Para Socas (1997), os erros são vistos como a presença de um processo cognitivo
inadequado e não apenas como consequência de uma distração ou de uma falta de
conhecimentos. Este autor afasta a ideia de que os erros em Matemática se devem
exclusivamente aos alunos, referindo que os erros em Matemática podem acontecer devido, por
exemplo, às relações afetivas e emocionais do aluno com a Matemática ou à complexidade dos
objetos matemáticos.
Independentemente das causas que levam os alunos a errar, é necessário, quando
detetado um erro, que o aluno tenha um momento de reflexão para ser ele próprio a descodificar
a origem do erro.
4.1.2. Que ilações retiram os alunos dos erros que cometem para a sua aprendizagem de
tópicos de derivada de uma função?
Com a análise das respostas dos alunos às questões que lhes foram entregues no final
de algumas aulas, os alunos mostraram ter consciência, não só dos erros que cometem e as
57
suas causas mas também o que fazer para evitar cometer de novo os mesmos erros. Para evitar
alguns erros cometidos, os alunos têm a consciencialização de que devem: (i) estar mais atento
nas aulas; (ii) aplicar o que aprendem a novas situações; (iii) pensar mais calmamente e não
serem tão precipitados; (iv) estudar mais; e (v) questionar a professora e colegas sempre que
erram. Este tipo de questões são importantes para os alunos porque lhes permite repensar
sobre o que pensaram e o que fizeram nas suas atividades e ter consciência do que correu
menos bem, adotando estratégias alternativas para melhorar.
Relativamente às ilações que os alunos retiram dos erros que cometem, as respostas
foram variadas, mas todas elas mostram que os alunos sabem da importância do erro no
processo ensino - aprendizagem. Uns retiram ilações sobre onde erram e o que podem fazer
para não voltar a cometer os mesmos erros. Outros referem que se conhecerem as razões que
os levam a errar, conseguem estudar o que ficou mal compreendido e, assim, conseguem
aprender de novo.
4.1.3. Qual a perceção dos alunos sobre as estratégias de ensino que valorizam o erro na sua
aprendizagem?
As perceções dos alunos sobre as estratégias de ensino que valorizam o ensino na sua
aprendizagem foram analisadas em dois momentos, através de questionários, um antes e outro
depois da intervenção pedagógica. Antes da intervenção pedagógica, os alunos reconhecem que
erram em Matemática e que o erro mais cometido por eles é o erro de cálculo. Os alunos
revelam que nem todos os professores explicam e esclarecem os erros cometidos. Por outro
lado, a maior parte deles considera que quando cometem erros têm a oportunidade de clarificar
as dificuldades que sentem na aprendizagem dos conceitos em estudo. A atenção dada à análise
dos erros permite aos alunos não voltar a cometer o mesmo erro e que melhora a sua
aprendizagem.
Depois da intervenção pedagógica, a maior parte dos alunos reconhece que as causas
dos erros que cometeram deveram-se a estar distraído na realização das suas atividades e à
falta de estudo. A análise e discussão dos erros na sala de aula foram consideradas pelos alunos
como um fator importante na sua aprendizagem, favorecendo a compreensão dos conceitos
matemáticos e ajudando a ter atenção para não voltar a cometer os mesmos erros em
momentos de avaliação. Esta análise e discussão de erros só foram realizadas com sucesso
58
porque a maior parte dos alunos não teve receio/vergonha de revelar aos colegas e/ou à
professora os seus próprios erros pois que nunca se sentiram penalizados por os apresentar.
Os alunos consideram que as estratégias de ensino que valorizam o erro na sua
aprendizagem têm diversos aspetos positivos, tais como: (i) permitir compreender o porquê de
errar; (ii) melhorar a capacidade do trabalho autónomo; e (iii) tornar as aulas menos cansativas.
Para além destas vantagens, os alunos também identificam diversos aspetos negativos, tais
como: (i) vergonha de expor os erros; (ii) gera desmotivação; (iii) existe maior distração; e (iv) o
erro pode tornar-se constante. Segundo Pinto (2000), para que essas estratégias tenham
‘sucesso’ o professor deve adotar uma atitude reflexiva perante o erro do aluno. O professor
detetando o erro deve tentar sempre que o aluno tenha a oportunidade para ser ele próprio a
identificá-lo, a corrigi-lo e a chegar à resposta certa. Para Jorro (2000), só assim se favorece
uma aprendizagem que perdura ao longo do tempo.
4.2. Limitações e Recomendações
Este estudo pretendia averiguar o papel do erro na regulação da aprendizagem do tema
derivada de uma função. Um estudo desta natureza apresenta algumas limitações que se
prendem com o contexto em que o mesmo foi desenvolvido. Por um lado, os alunos não
estavam habituados a trabalhar de acordo com a estratégia delineada, o que nem sempre tornou
fácil envolver toda a turma, principalmente os alunos desmotivados ou com dificuldades de
aprendizagem. Deste modo, o ensino não chegou a todos os alunos ao mesmo tempo. Por outro
lado, o tempo dedicado às aulas da intervenção foi curto, o que não permitiu que os alunos se
adaptassem à estratégia delineada.
Para além disso, a falta de inexperiência foi outra grande limitação para a elaboração
deste estudo. Sendo as aulas usadas neste estudo as minhas ‘primeiras’ aulas em frente a uma
turma, a minha primeira opção enquanto professora era cumprir o plano de aula, deixando um
pouco para segundo plano a preocupação de arranjar informação para a elaboração deste
relatório.
Como recomendações para estudos futuros recomendo estudar o contributo de
estratégias de ensino que proponham tarefas resolvidas em várias fases. Após as resoluções de
uma tarefa, feita individualmente ou em grupo, o professor ao ver as resoluções apresenta
alguns comentários. Tais comentários não identificam os erros, mas dão pistas para que os
alunos possam criticamente ver o que fizeram. Numa aula posterior, as resoluções são
59
entregues de novo aos alunos e estes têm de resolver outra vez a mesma tarefa, desta vez
baseando-se nos comentários feitos pelo professor. Este processo deve ser ‘repetido’ até que a
resolução apresentada pelo(s) aluno(s) esteja resolvida corretamente.
Outra recomendação consiste em analisar como os professores de Matemática encaram
os erros dos alunos. Segundo Almouloud (2010), um dos fatores que mais influenciam a
aprendizagem de conceitos matemáticos é o tratamento que o professor dá ao erro do aluno. A
forma como o professor encara os erros cometidos pelos alunos é fundamental para que os
alunos aprendam com esses erros.
Na última aula da minha intervenção, quando foram entregues as questões no final da
aula, dois alunos referiram que as causas dos seus erros deveram-se as tarefas serem difíceis,
mas será que os erros cometidos pelos alunos nas tarefas de dificuldade reduzida são os
mesmos erros cometidos pelos alunos nas tarefas de dificuldade elevada? Uma outra
recomendação é estudar a relação entre a tipologia de tarefas e os erros cometidos.
60
61
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65
ANEXOS
66
67
Anexo 1
(Questionário entregue aos alunos antes da intervenção pedagógica)
Questionário Inicial
O presente questionário é realizado no âmbito do estágio Profissional do Mestrado em Ensino de
Matemática no 3.º ciclo do Ensino Básico e Secundário, da Universidade do Minho, e tem por
objetivo conhecer as tuas perceções sobre as estratégias de ensino que valorizem o erro como
fator de aprendizagem.
1. Idade: _______ anos.
2. É a primeira vez que frequentas o 11.º ano? Sim Não
3. Gostas da disciplina de Matemática? (escolhe uma das seguintes opções)
Muito Razoavelmente Pouco Nada
4. Das seguintes atividades, indica, justificando, três das que mais gostas de realizar nas aulas
de Matemática?
Resolver exercícios
Resolver problemas
Colaborar na elaboração de definições/propriedades
Passar para o caderno o que a professora diz e faz
Discutir as resoluções dos exercícios/problemas
Realizar experiências matemáticas, sempre que possível
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
5. Nas aulas de matemática já alguma vez trabalhaste em grupo? Sim Não
6. Indica três vantagens do trabalho de grupo para a tua aprendizagem de conceitos
matemáticos? ________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
7. Indica três desvantagens do trabalho de grupo para a tua aprendizagem de conceitos
matemáticos? ________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
8. Costumas errar quando trabalhas na aula de Matemática? Sim Não
9. Se sim, que tipo de erros costumas cometer? ________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
10. De que forma os teus professores lidam com os erros que cometes na aula de Matemática?
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___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
11. Quando cometes erros nas aulas de Matemática tens oportunidade de compreender as
razões desses erros? Justifica a tua resposta.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
__________________________________________________________________
12. Que vantagens têm para a tua aprendizagem de Matemática a análise dos erros que
cometes?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
________________________________________________________________________
69
Anexo 2
(Questionário dirigido aos alunos no final da intervenção pedagógica)
Questionário final
Caro(a) aluno(a):
No âmbito da unidade curricular Estágio Profissional do Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º ciclo do Ensino Básico e Secundário, da Universidade do Minho, pretendo com este questionário recolher as perceções de alunos do 11.º ano de escolaridade sobre as estratégias de ensino que valorizam o erro nas suas atividades de aprendizagem. A informação recolhida será usada somente para fins académicos, comprometendo-me a assegurar o anonimato da mesma. Peço que sejas sincero(a) pois as tuas respostas serão importantes para o estudo que estou a realizar. Das afirmações que se seguem, assinala a que mais se adequa ao teu grau de concordância, atendendo à seguinte escala:
DT: Discordo Totalmente; D: Discordo; I: Indiferente; C: Concordo; CT: Concordo Totalmente.
Afirmações: DT D I C CT
O tema derivada de uma função foi o tema que mais gostei de estudar neste ano letivo.
Os trabalhos em grupo favoreceram mais a minha aprendizagem de tópicos de derivada de uma função do que os trabalhos que realizei individualmente.
Nas atividades de aprendizagem de tópicos de derivada de uma função cometi erros.
Os erros que cometi na aprendizagem de tópicos de derivada de uma função foram considerados na sala de aula.
Não voltei a cometer os erros que cometi no estudo de tópicos de derivada de uma função.
Na aprendizagem de tópicos matemáticos é importante perceber a origem dos erros que se cometem.
Não tive receio de revelar aos meus colegas de grupo de trabalho os erros que cometi na aprendizagem de tópicos de derivada de uma função.
No estudo de tópicos de derivada de uma função apercebi-me da importância da análise dos erros que cometo para a minha aprendizagem.
Ao apresentar à turma as minhas resoluções das tarefas propostas apercebi-me dos erros que cometi.
Alguns erros que cometi deveram-se por estar distraído na realização das minhas atividades.
Os erros que cometi ajudaram-me a perceber que não tinha os conceitos bem formalizados.
A discussão sobre os erros cometidos pelos meus colegas ajudou-me a perceber melhor os tópicos de derivada de uma função.
A análise de erros cometidos por mim e pelos meus colegas ajudou-me a ter atenção para não os cometer nos momentos de avaliação.
Ao aperceber-me dos erros que cometi no estudo de tópicos de derivada de uma função esforcei-me por estudar mais.
Ao apresentar à turma as minhas resoluções das tarefas propostas nem sempre me apercebi dos erros que cometi.
A análise de erros favorece a compreensão dos conceitos matemáticos.
O trabalho em grupo permitiu-me discutir os meus erros com os meus colegas.
Senti-me penalizado por apresentar os meus erros à turma/professora.
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Os erros que cometi na aprendizagem de tópicos de derivada de uma função foram analisados na sala de aula.
Alguns erros que cometi deveram-se à falta de estudo.
Tive vergonha de revelar os meus erros perante a turma e a professora.
Para ultrapassar os meus erros tentei estar mais atento e mais concentrado nas aulas.
Não tive receio de revelar os meus erros à turma e à professora.
A discussão sobre os erros que cometi ajudou-me a compreender melhor os tópicos de derivada de uma função.
Indica três aspetos positivos das estratégias de ensino que valorizam o erro nas tuas atividades
aprendizagem.
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
Indica três aspetos negativos das estratégias de ensino que valorizam o erro nas tuas atividades
aprendizagem.
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
Comenta a seguinte afirmação: A análise dos erros que o aluno comete é uma forma de regular
a sua aprendizagem: Porque errei? Que ilações retiro dos meus erros? Como evitar cometer tais
erros?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
Obrigada pela tua colaboração!
71
Anexo 3
(Pedido de autorização ao Diretor da Escola)
Exmo. Senhor
Presidente da Comissão Administrativa Provisória
No âmbito do Mestrado em Ensino de Matemática, da Universidade do Minho, enquanto
professora estagiária, pretendo desenvolver experiências de ensino que potenciem a
aprendizagem dos alunos do tema “Taxa de variação e derivada”. O desenvolvimento dessas experiências implica a recolha de dados, que serão obtidos através da resolução de tarefas e da
observação das aulas. Para uma melhor compreensão das atividades que se desenvolvem na
aula de Matemática necessito de proceder à recolha de dados através de gravações (áudio e
vídeo). Para esse fim, venho desta forma solicitar a sua autorização para proceder ao registo em
suporte áudio e vídeo dos dados necessários à concretização das experiências de ensino e de
aprendizagem na sala de aula do seu educando.
Comprometo-me a usar os dados apenas para fins académicos e a não divulgar o nome da
escola e dos alunos, nem expor qualquer indicador que envolva o seu educando. Só me
interessa a informação que me ajude a melhorar as minhas estratégias de ensino. Os dados das
gravações serão apenas usados para efeitos do estudo a realizar e não terão qualquer influência
nas classificações escolares dos alunos. Comprometo-me ainda a proceder à destruição de todas
as gravações após a realização dos trabalhos.
Agradecemos a sua colaboração.
Braga, 12 de Novembro 2013
A estagiária de Matemática,
__________________________________________________________________
(Andreia Patrícia Cunha Moura)
72
73
Anexo 4
(Pedido de autorização aos Encarregados de Educação)
Exmo(a). Senhor(a)
Encarregado(a) de Educação
No âmbito do Mestrado em Ensino de Matemática, da Universidade do Minho, enquanto
professora estagiária, pretendo desenvolver experiências de ensino que potenciem a
aprendizagem dos alunos do tema “Taxa de variação e derivada”. O desenvolvimento dessas
experiências implica a recolha de dados, que serão obtidos através da resolução de tarefas e da
observação das aulas. Para uma melhor compreensão das atividades que se desenvolvem na
aula de Matemática necessito de proceder à recolha de dados através de gravações (áudio e
vídeo). Para esse fim, venho desta forma solicitar a sua autorização para proceder ao registo em
suporte áudio e vídeo dos dados necessários à concretização das experiências de ensino e de
aprendizagem na sala de aula do seu educando.
Comprometo-me a usar os dados apenas para fins académicos e a não divulgar o nome da
escola e dos alunos, nem expor qualquer indicador que envolva o seu educando. Só me
interessa a informação que me ajude a melhorar as minhas estratégias de ensino. Os dados das
gravações serão apenas usados para efeitos do estudo a realizar e não terão qualquer influência
nas classificações escolares dos alunos. Comprometo-me ainda a proceder à destruição de todas
as gravações após a realização dos trabalhos.
Agradeço a sua colaboração.
Braga, 12 de Novembro 2013
A estagiária de Matemática,
__________________________________________________________________
(Andreia Patrícia Cunha Moura)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Autorizo que se faça o registo em áudio e vídeo das atividades de ensino e de aprendizagem nas
aulas de Matemática que envolvem o meu educando desde que seja salvaguardado o anonimato
do seu nome e de qualquer indicador que o indicie.
O Encarregado de Educação
__________________________________________________
74
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Anexo 5
(Questões entregues aos alunos no final de algumas aulas)
Questionário:
Que erros cometeste na aula de hoje?
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
Quais foram as causas desses erros?
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
O que pretendes fazer para que não cometas novamente esses erros?
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
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