ANEXO: Análisis de Fourier - Grupo de investigación IMAC · departamento de ingenierÍa mecÁnica, energÉtica y de materiales anexo – anÁlisis de fourier 3º de ingenierÍa

DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEEIINNGGEENNIIEERRÍÍAA MMEECCÁÁNNIICCAA,,EENNEERRGGÉÉTTIICCAAYY DDEE MMAATTEERRIIAALLEESS ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER

33ºº DDEE IINNGGEENNIIEERRÍÍAA IINNDDUUSSTTRRIIAALL

EELLEEMMEENNTTOOSS DDEE MMÁÁQQUUIINNAASS YY VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.1 -

ANEXO:Análisis deFourier







A.1 IntroducciónPor regla general, el estudio de vibraciones en sistemas mecánicos suele iniciarseanalizando la respuesta de un sistema discreto básico de un grado de libertad antesolicitaciones de tipo armónico, para, posteriormente, extender los resultados obtenidos alcaso de solicitaciones periódicas cualesquiera. Ello permite analizar el comportamiento desistemas mecánicos ante excitaciones periódicas. La principal ventaja de las excitacionesperiódicas es que basta con analizar un periodo de la excitación para extender lasconclusiones obtenidas a la totalidad del dominio temporal.No obstante, resulta también de interés ampliar el campo de trabajo para poder incluir lasvibraciones aleatorias, ya que ésta será la realidad con la que nos encontremos en unagran parte de los casos con los que podamos enfrentarnos. Además, muchos de losalgoritmos empleados en los analizadores de vibraciones para determinar las frecuenciasnaturales y los modos de vibración de un sistema mecánico están desarrollados desde laperspectiva de las vibraciones aleatorias.El estudio de la vibraciones mecánicas de carácter aleatorio se caracteriza por el uso de laestadística y del análisis espectral, análisis en el dominio de la frecuencia; mediante el cualuna función periódica puede ser descompuesta en sus componentes armónicas, lo que esconocido también como Análisis de Fourier.En este Anexo se introduce el Análisis de Fourier, basado en la Transformada de Fourier, apartir de las Series de Fourier. Se estudiarán sus propiedades más significativas con uncierto detalle de cara a su posterior aplicación en el ámbito del Análisis Modal. El estudiode la Transformada de Fourier Finita y de la Transformada de Fourier Discreta permitiráanalizar las aproximaciones que se llevan a cabo en el ámbito señalado y los errorespresentes en su aplicación.




A.2 Series de FourierSea una función periódica f(t) de periodo T. Se verificará entonces:

f(t+T) = f(t+2T) = ...= f(t+nT) = f(t) (1)La teoría matemática de las Series de Fourier demuestra que si la función periódica f(t) escontinua y tiene definidas las derivadas por la izquierda y por la derecha en cada punto delintervalo [0,T], dicha función puede expresarse como serie de funciones armónicas en laforma

( ) ( ) ( )∞

=

∞

=

π+π+=1j

0j1j

0j0 tjf2senbtjf2cosaa21tf (2)

donde f0 es la llamada frecuencia fundamental, y es igual a 1/T.Por otra parte los coeficientes aj y bj vienen dados por las expresiones

( ) ( )−

π=2T

2T 0j dttjf2costfT2a j = 0, 1, 2, ... (3)

( ) ( )−

π=2T

2T 0j dttjf2sentfT2b j = 1, 2, ... (4)

donde las funciones sen(2πjf0t) y cos(2πjf0t) forman un sistema ortogonal, ya que severifican las siguientes relaciones

( ) 0dttjf2sen2T

2T 0 =π−

j = 1, 2, ... (5)

( ) 0dttjf2cos2T

2T 0 =π−

j = 0,1, 2, ... (6)

( ) ( ) 0dttjf2costif2sen2T

2T 00 =ππ−

i, j = 0, 1, 2, ... (7)

( )2Tdttjf2sen

2T

2T 02 =π

−j = 1, 2, ... (8)

( )2Tdttjf2cos

2T

2T 02 =π

−j = 1, 2, ... (9)




( ) ( ) 0dttjf2costif2cos2T

2T 00 =ππ−

i ≠ j (10)

( ) ( ) 0dttjf2sentif2sen2T

2T 00 =ππ−

i ≠ j (11)

Puede ayudar a justificar la ecuación (2) el considerar que f(t), que es una funciónperiódica de periodo T, se obtiene como serie de funciones periódicas cuyos periodos sondivisores exactos del periodo T.La Serie de Fourier definida por las expresiones (2), (3) y (4) puede escribirse también deotra forma más compacta haciendo:

2j

2jj baA += (12)

j

jj a

barctg=θ (13)

de donde resulta que aj y bj pueden expresarse en la forma

jjj cosAa θ= (14)

jjj senAb θ= (15)Sustituyendo estos resultados en (2)

( ) ( ) ( )( )

( )∞

=

∞

=

θ−π+=

=π⋅θ+π⋅θ+=

1jj0j0

1j0j0jj0

tjf2cosAa21

tjf2sensentjf2coscosAa21tf

(16)

FORMA EXPONENCIAL COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER

Más utilidad que las dos anteriores expresiones (2) y (16), tiene una tercera forma deexpresar la Serie de Fourier, conocida con el nombre de forma compleja de la SerieFourier. Las relaciones de Euler establecen que

( ) ( )t0jf2it0jf2i0 ee

21tjf2cos π−π +=π (17)

( ) ( )t0jf2it0jf2i0 ee

i21tjf2sen π−π −=π (18)

haciendo

( )jjj iba21F −= (19)




y sustituyendo (17), (18) y (19) en la ecuación (2) resulta

( )

( )∞

=

π−π

∞

=

π−π

++=

=�

��

��

��

++��

�

��

−+=

1j

t0jf2i*j

t0jf2ij0

1j

t0jf2ijjt0jf2ijj0

eFeFa21

e2

ibae

2iba

a21tf

(20)

donde F*j es el complejo conjugado de Fj. Teniendo en cuenta (3) y (4) se verificaaj = a-j bj = -b-j (21)

y por tanto, dada la expresión (19), se tendrá queF*j = F-j (22)

sustituyendo este resultado en (20)

( )−∞

−=

π∞

=

π∞

=

π−−

∞

=

π +=+=1j

t0jf2ij

0j

t0jf2ij

1j

t0jf2ij

0j

t0jf2ij eFeFeFeFtf (23)

y podremos obtener:

( )∞

∞−

π= t0jf2ijeFtf (24)

Recordando (3), (4) y (19), los coeficientes Fj tendrán la forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )−−

π−π=−=2T

2T 0

2T

2T 0jjj dttjf2sentfTidttjf2costf

T1iba

21F (25)

teniendo en cuenta que, según la fórmula de Euler,

( ) ( )tjf2senitjf2cose 00t0jf2i π−π=π−

sustituyendo en (25), resulta finalmente

( )−

π−=2T

2T

t0jf2ij dtetf

T1F j = 0, ±1, ±2, ... (26)

las expresiones (24) y (26) constituyen la forma compleja de la Serie de Fourier, a la quecabe darle una interpretación geométrica de cierto interés.Fj es un número complejo que puede ser asociado con un vector en el plano. Su módulo omagnitud |Fj| y su argumento θj están relacionados con las expresiones (12) y (13). A suvez, ( )t0jf2i

jeF π es otro número complejo de la misma magnitud que puede ser expresado:

( )jt0jf2ij

t0jf2ij eFeF θ+ππ = (27)




Este número complejo puede serconsiderado como un vector demagnitud |Fj| que gira en sentidocontrario a las agujas del reloj convelocidad angular 2πjf0 (Figura 1).Por otra parte, el correspondientetérmino con (j) negativo es otro vectorde la misma magnitud |Fj| yargumento (-θj). Figura 1

Explicitando el signo (-) cuando (j) es negativo, el número complejo ( )t0jf2ijeF π−

− resulta serun vector simétrico al de la Figura 1, que gira con velocidad angular 2πjf0 en el sentido delas agujas del reloj.Ambos vectores aparecenrepresentados en la Figura 2,juntamente con su resultante.A partir de dicha figura puedededucirse que esta resultante es unmovimiento armónico real deamplitud (2|Fj|) y de frecuencia jf0.En función de los coeficientes aj y bjesta amplitud será: Figura 2

2j

2j

2j

2j

j ba4

b4

a2F2 +=+= (28)

lo cual está de acuerdo con la expresión (12). En la Figura 2, puede observarse que lascomponentes imaginarias de los dos términos en (j) y en (-j) se anulan entre sí. Por eso,aunque la expresión (24) es un sumatorio de números complejos, el resultado de dichosumatorio es real.La expresión (26) indica el modo de extraer la componente Fj a la frecuencia jf0, de lafunción f(t). Recuérdese que la función f(t) tiene un conjunto de componentes armónicas defrecuencias múltiplo de la frecuencia fundamental f0. Según lo que se acaba de ver, f(t)puede considerarse como la suma de un conjunto de parejas de vectores que giran convelocidades angulares opuestas de valor 2πjf0Como la función f(t) es periódica, será nula la integral extendida a un periodo de cualquierade sus componentes armónicas, pues cada una de estas componentes tiene un periodoque divide exactamente al periodo T. Si se multiplica la función f(t) por e-i2πjf0t, todos los




vectores Fk que componen f(t) sufren una modificación en su velocidad angular, en elsentido de que ésta queda disminuida en (2πjf0) radianes, ya que

( ) ( ) t0fjk2ik

t0jf2it0kf2ik eFeeF −ππ−π =⋅ (29)

el vector Fk gira ahora con velocidad angular 2π(k-j)f0. Como esta frecuencia sigue siendomúltiplo de la frecuencia fundamental f0, la integral de este término extendida a un periodoT seguirá siendo cero a no ser que k=j. Dicho de otra forma, el multiplicar la función f(t) pore-i2πjf0t tiene como resultado el parar la componente (j), verificándose entonces que

( ) j

2T

2T

t0jf2i FTdtetf ⋅=−

π− (30)

de donde se deduce la expresión (26). Obsérvese que es el carácter periódico de f(t) loque determina que sus componentes aparezcan a frecuencias discretas múltiplo de lafrecuencia fundamental f0. El contenido en frecuencia de una función periódica f(t) puederepresentarse gráficamente (Figura 3).

Figura 3

VALOR CUADRÁTICO MEDIO DE UNA SEÑAL PERIÓDICA

Una propiedad de especial interés en una señal periódica es su valor cuadrático medio. Enel caso de una función armónica, su valor cuadrático medio puede calcularse muyfácilmente.

2adt

Tt4cos1

T2adt

Tt2sena

T1 2T

0

2T

0

2

=��

� π−=��

��

� π⋅ (31)

Si se tiene una función periódica f(t) desarrollable en Serie de Fourier en la formaexponencial compleja vista en la expresión (24)




( )∞

∞−

π⋅= t0jf2ij eFtf (24')

se llama espectro de potencia de esta función al conjunto de los valores cuadráticosmedios de sus componentes en frecuencia. Hay que recordar que la amplitud de lacomponente de frecuencia jf0 es (2|Fj|). Por tanto su valor cuadrático medio asociado será,teniendo en cuenta las ecuaciones (28) y (31):

( )2

b2

a2F2 2

j2j

2j += (32)

resultado que está de acuerdo con la expresión (2).El espectro de potencia puede ser representado gráficamente de 2 formas (Figura 4).Dichas representaciones se suelen llamar, respectivamente, espectros de dos bandas yespectro de una banda; y cualquiera de ellas sirve para indicar la composición enfrecuencia de la función f(t). En este sentido, el espectro de potencia proporciona la mismainformación que la Serie de Fourier de la Figura 3, aunque es evidente que con él lainformación de fase se ha perdido.

Figura 4

RESPUESTA DE UN SISTEMA DE 1 GDL ANTE UNA FUERZA

PERIÓDICA

Recordemos que la ecuación de equilibrio de un sistema de 1 gdl es:

( )tfkxxcxm =++ �� (33)

Si f(t) es periódica podrá desarrollarse en Serie de Fourier, según (24):

( )∞

∞−

π⋅= t0jf2ij eFtf (24'')




y como el sistema es lineal, la respuesta será la suma de las respuestas a cada término dela serie (24''). Siendo cada una de estas respuestas la respuesta ante una fuerza decarácter armónico - que puede calcularse multiplicando por la correspondiente función detransferencia -, se tendrá que:

( ) ( )[ ]∞

∞−

π⋅= t0jf2ij0 eFjfHtx (34)




A.3 Integral de FourierPara extender el resultado del Apartado anterior sobre las Series de Fourier al caso de lasfunciones no periódicas, basta hacer tender a infinito el periodo T de la función f(t).Cuando el periodo T tiende a infinito, la frecuencia fundamental f0 - definida como f0=1/T -tiende a cero.Por otro lado, esta frecuenciaf0 es la que separa lasfrecuencias de los distintosarmónicos (Figura 3), por loque al tender a cero la funcióndiscreta de dicha figura tiendea adoptar la forma de unafunción continua (Figura 5). Figura 5No obstante, conviene precisar que las dimensiones de aj y de A(f) no son las mismas: lasdimensiones de A(f) son las de aj, pero por unidad de frecuencia; esto es, A(f) tiene lasdimensiones de una densidad de aj. Para que aj tuviera la misma dimensión de A(f) habríaque multiplicar ésta por δ(f-jf0) - siendo δ la función δ de Dirac -.

Así pues, cuando f0 → df resulta que

Fj → F(f).df (35)

1/T = f0 → df (36)

jf0 → f (37)Sustituyendo estos valores en la expresión (26) resulta que

( ) ( )∞

∞−

π−= dtetffF ft2i (38)

expresión en la que se ha simplificado el término df presente a ambos lados de la igualdad.Además, el sumatorio de (24) se convertirá en una integral, y se tendrá

( ) ( ) dfefFtf ft2i π∞

∞−⋅= (39)

ésta es la expresión de la función f(t) como Integral de Fourier. A la función F(f), definidamediante la ecuación (38) - y con contenido en todas las frecuencias -, se le llama




Transformada de Fourier (TDF) de f(t). Análogamente, f(t) es la Transformada deFourier Inversa (TDFI) de F(f).La función F(f) es una función compleja (al igual que Fj), en la que se podrá separar laparte real y la parte imaginaria. Por analogía con la expresión (19):

( ) ( ) ( )( )fiBfA21fF −= (40)

a partir de la expresión (38) se deduce que

( ) ( ) ( )dtft2costf2fA∞

∞−π⋅= (41)

( ) ( ) ( )dtft2sentf2fB∞

∞−π⋅= (42)

de estas expresiones se deduce claramente que A(f) es una función simétrica de f, esdecir: A(f) = A(-f), mientras que B(f) es una función antisimétrica: B(f) = -B(-f).La Transformada de Fourier (TDF) admite una interpretación análoga a la realizada parael coeficiente Fj de la Serie de Fourier. Así, los términos:

( ) ( ) ( )( )dffiBfA21dffF −= (43)

( ) ( ) ( )( )dffiBfA21dffF += (44)

son dos vectores que giran con velocidades angulares (2πf) y (-2πf), dando comoresultante un movimiento armónico de frecuencia (f) y de amplitud (2⋅F(f)⋅df).La Transformada de Fourier F(f) de una función f(t) tiene unas condiciones matemáticas deexistencia bastante restrictivas. Puede demostrarse que para que la función f(t) tenga TDFes necesario que esté acotada la integral

( ) ∞<∞

∞−dttf (45)

según esta condición, ninguna función periódica tendría TDF, al estar esta integralextendida desde (-∞) hasta (+∞). Más adelante se verá cómo puede ser superada estadificultad recurriendo a la función δ(t), que no es una función propiamente dicha, sino unafunción generalizada.

SIMETRÍA DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER

Esta propiedad consiste en que la TDF de la TDF de una función f(t) está directamenterelacionada con dicha función f(t).




Sea F(f) la TDF de f(t) y Φ(g) la TDF de F(f). Se verificarán las relaciones( ) ( )∞

∞−

π= dfefFtf ft2i [f(t) es la Transf. de Fourier Inversa de F(f)] (46)

( ) ( )∞

∞−

π−=Φ dfefFg fg2i [Φ(g) es la TDF de F(f)] (47)a partir de esta última expresión, es evidente que se verificará:

( ) ( )∞

∞−

π=−Φ dfefFg fg2i (48)comparando las expresiones (46) y (48) se puede concluir que:

Φ(-g) = f(g) (49)o bien que

f(t) = Φ(-t) (50)

Por lo tanto, la TDF de la TDF de una función f(t), es otra función ΦΦΦΦ(t) simétrica de lafunción original f(t) respecto del eje de ordenadas.

TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA

A partir de la TDF de la función f(t)=ei2πf0t, y mediante la relación de Euler, se obtendrán lasTDF de funciones senoidales y cosenoidales. En principio, esta función f(t) - que esperiódica - no tiene Transformada de Fourier porque no cumple la condición deacotamiento (45).

Sin embargo, si se prueba la función generalizada δ(-) delta de Dirac, como TDF y se hallala TDFI se obtiene para el valor f-f0

F(f) = δ(f-f0) (51)( ) ( ) ( ) t0f2ift2i

0ft2i edfeffdfefFtf π∞

∞−

π∞

∞−

π =−δ== (52)

donde se ha tomado en cuenta que ( ) ( ) ( )afdttfat =−δ∞

∞−, y de donde se puede deducir

que ei2πf0t y δ(f-f0) son función y transformada respectivamente.De esta forma, y como la TDF es lineal, se podrá determinar la TDF de la función seno ycoseno. Utilizando la relación de Euler,

( ) ( ) ��

� +=π⋅=π−π

2eeatf2cosatf

t0f2it0f2i

01 (53)

( ) ( ) ��

��

� −=π⋅=π−π

i2eeatf2senatf

t0f2it0f2i

02 (54)




y aplicando las ecuaciones (51) y (52)

( ) ( ) ( )[ ]001 ffff2afF +δ+−δ= [TDF de la función cos real] (55)

( ) ( ) ( )[ ]002 ffffi2

afF +δ−−δ= [TDF de la función sen imag.] (56)

Así pues, el concepto de transformada de Fourier puede extenderse a funcionesarmónicas (y, por consiguiente, también a las periódicas), a través de la función δδδδ deDirac.Con más generalidad, la TDF de un par de términos cualesquiera de la Serie de Fourier

( ) ( ) ( )tjf2senbtjf2cosatf 0j0j π+π= (57)será

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0jj0jj jffiba21jffiba

21fF +δ++−δ−= (58)

es muy fácil comprobar que la TDFI de la función F(f) de la expresión (58), viene dada porla función f(t) de la expresión (57).Por lo tanto, la TDF de una función periódica cualquiera f(t) podrá calcularse a partirde la correspondiente Serie de Fourier. Recordando (24)

( )∞

∞−

π⋅= tjf2ij

0eFtf (24''')

como la TDF es una operación lineal y teniendo en cuenta (51) y (52):

( ) ( )[ ]∞

∞−

−δ⋅= 0j jffFfF (59)

Este resultado permite recordar la indicación hecha anteriormente acerca de la diferenciaen la dimensión de Fj y F(f), donde se advirtió que para que Fj tuviera la misma dimensiónque F(f) había que multiplicarla por la función δ de Dirac.

TEOREMA DE CONVOLUCIÓN

La convolución o producto de convolución entre dos funciones x(t) e y(t), se denotacomo x(t) * y(t) y se define como la integral

( ) ( ) ( ) ( ) τ⋅τ−⋅τ=∗∞

∞−dtyxtytx (60)




El Teorema de la Convolución es una de las herramientas más utilizadas en el Análisisde Fourier, y se podría enunciar en la siguiente forma: "Dadas dos funciones x(t) e y(t), quetienen como TDF a las funciones X(f) e Y(f) respectivamente, si z(t) es la función queresulta del producto de convolución de las funciones x(t) e y(t), su TDF Z(f) es el productode las funciones X(f) e Y(f)".

z(t) = x(t) * y(t) (61)

Z(f) = X(f) ⋅ Y(f) (62)Para demostrar este teorema basta calcular la TDF de la función z(t) definida mediante laexpresión (38)

( ) ( ) ( )( )∞

∞−

π−∞

∞−ττ−⋅τ= dtedtyxfZ ft2i (63)

permutando el orden de las integrales

( ) ( ) ( )( )∞

∞−

∞

∞−

π− ττ−τ= ddtetyxfZ ft2i (64)

haciendo el cambio de variable σ = t - τ en la integral anterior

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )fXfYdefYx

dedeyxfZf2i

f2if2i

⋅=τ⋅⋅τ=

=τσστ=∞

∞−

τπ−

∞

∞−

τπ−∞

∞−

σπ−

(c.q.d.) (65)

El teorema de la convolución se aplica también en sentido inverso: si Z(f) es el producto deconvolución de las funciones X(f) e Y(f) definido en la forma

( ) ( ) ( ) ( ) ( )dggfYgXfYfXfZ −⋅=∗=∞

∞−(66)

entonces la función z(t), la TDFI de Z(f), es el producto de las funciones x(t) e y(t). Parademostrarlo puede utilizarse el Teorema de la Convolución y la propiedad de simetría (50).Aplicando la TDF a (66) y teniendo en cuenta (50) resulta:

z(-t) = x(-t) ⋅ y(-t) (67)o bien, finalmente

z(t) = x(t) ⋅ y(t) (68)Los Teoremas de la Convolución en tiempo y en frecuencia facilitan el cálculo de TDFdirectas o inversas, y tienen también importantes aplicaciones en los siguientes apartados.En la Figura 6, se representa esquemáticamente el Teorema de la Convolución directa.




Figura 6

CONVOLUCIÓN CON LA FUNCIÓN IMPULSO δδδδ(t-a)

Es interesante observar (Figura 7) el efecto que, sobre una función cualquiera f(t), tiene elproducto de convolución con la función impulso:

( ) ( ) ( ) ( ) τ−τδ⋅τ−=−δ∗∞

∞−datfattf (69)




y teniendo en cuenta las propiedades de integración de la función δ de Dirac:

( ) ( ) ( )atfattf −=−δ∗ (70)

que indica como el efecto de realizar una convolución con la función impulso situadaen “a“, es el de trasladar el origen de la función f(t) a dicho punto.

Figura 7

EJEMPLOS Y TABLA DE TRANSFORMADAS DE FOURIER

Ejemplo 1: TDF de una función constante

f(t) = a (71)Esta es una función que tampoco cumple la desigualdad (45). Sin embargo, la TDFI de lafunción

F(f) = a⋅δ(f) (72)resulta ser f(t):

( ) adfefa)t(f ft2i =⋅δ⋅= π∞

∞−(73)

con lo que queda demostrado que la TDF de una función constante es una función δδδδ deDirac situada en el origen f0=0. En virtud de la propiedad de simetría, la TDF de unafunción impulso será una función constante.

f(t) = a ⋅ δ(t) (74)

( ) ( ) adtetafF ft2i =⋅δ⋅= π−∞

∞−(75)




Tabla 1 – Ejemplos de Transformadas de Fourier (TDF)




Tabla 1 (continuación) – Ejemplos de TDF




Ejemplo 2: TDF de un pulso rectangular

f(t) = a t ≤ T0

f(t) = 0 t > T0 (76)la TDF de esta función

( ) ( )−

π−∞

∞−

π− =⋅= 0T

0T

ft2ift2i dteadtetffF (77)

ya que f(t) es cero fuera del intervalo [-T0, T0]. Sustituyendo la función exponencial pormedio de la relación de Euler

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )0

0000

TT

T

T

fT2senf

a

fT2cosfT2cosif2

afT2senfT2senf2

a

ft2cosift2senf2

adtft2senift2cosafF 0

0

0

0

ππ

=

=π−−ππ

+π−−ππ

=

π⋅+ππ

=π⋅−π= −−

(78)

luego, la TDF de un pulso rectangular es una función senoidal decreciente.

Ejemplo 3: TDF de un tren de impulsos

Dado el tren de impulsos de la Figura 8,cuya expresión analítica es

( ) ( )∞

−∞=

−δ⋅=n

nTtatf (79)

Esta función es una función periódica y portanto debe admitir desarrollo en Serie deFourier: Figura 8

( ) ( )∞

−∞=

π∞

−∞=

⋅=−δ⋅=j

t0jf2ij

neFnTtatf (80)

siendo f0=1/T. Los coeficientes Fj podrán calcularse a partir de la expresión (26)

( ) ( )∞

−∞=−

π−

−

π− ⋅−δ⋅=⋅=n

2T

2T

t0jf2i2T

2T

t0jf2ij dtenTta

T1dtetf

T1F (81)




pero por ser (-T/2) y (+T/2) los límites de integración, sólo el impulso correspondiente a n=0cae dentro del intervalo de integración. Por tanto,

Fj = a/T (82)sustituyendo en la expresión (80), se tendrá

( ) ( )∞

−∞=

π∞

−∞=

=−δ⋅=j

t0jf2i

ne

TanTtatf (83)

Estudiada la función, es fácil obtener su TDF considerando (51) y (52):

( ) ( )∞

−∞=

−δ=j

0jffTafF (84)

de donde se puede concluir que la TDF de un tren de impulsos es otro tren de impulsoscuyo periodo y amplitud están relacionados con los del primer tren.

TRANSFORMADA DE FOURIER FINITA (TDFF)

En la expresión (38) de la TDF el dominio de la integración está extendido de (-∞) a (+∞).En la práctica, cuando se trata de calcular TDF de funciones determinadasexperimentalmente, nunca se dispone de registros de duración infinita. Entonces, la TDFdebe ser calculada mediante la expresión

( ) ( )−

π−⋅=2T

2T

ft2i dtetfT,fF (85)

El cálculo de esta TDFF de f(t)puede verse como el cálculode la TDF de una función g(t),obtenida mediante el productode f(t) por un pulso rectangularr(t) de valor unidad y extendidode (-T/2) a (+T/2), según puedeverse en la Figura 9 para elcaso en que f(t) es una funcióncoseno. Figura 9La aplicación de la TDFF a la función f(t) es idéntica a la aplicación de la TDF, a la funcióng(t), pues g(t) se supone nula fuera del intervalo [-T/2, T/2]. Aplicando el Teorema de laConvolución en frecuencia, la TDFF de f(t) será igual al producto de convolución de lasTDF de f(t) y r(t).




( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )fRfFdtetgT,fGfGT,fF2T

2T

ft2i ∗=⋅===−

π− (86)

Para el caso concreto en el que f(t) sea, por ejemplo, una función coseno

f(t) = a0⋅cos(2πf0t) t ≤ T/2 (87)La TDF de f(t) viene dada por las expresiones (53) y (55)

( ) ( ) ( )[ ]000 ffff

2a

fF +δ+−δ= (88)

mientras que la TDF del pulso rectangular puede encontrarse en la expresión (78)

( ) ( )fT2senf

1fR ππ

= (89)

entonces, de acuerdo con la expresión (86)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∞

∞−−⋅=∗= dggfRgFfRfFfG (90)

sustituyendo los resultados de las expresiones (88) y (89)

( ) ( ) ( )[ ] ( )( )∞

∞− −−π⋅+δ+−δ

π= dg

gfTgf2senfgfg

2afG 00

0 (91)

teniendo en cuenta las propiedades de integración de la función δ de Dirac,

( ) ( )( ) ( )( )��

�

++π

+−

−ππ

=0

0

0

00

ffTff2sen

ffTff2sen

2afG (92)

donde se puede comprobar que la convolución de R(f) con la doble función impulso de laexpresión (88) produce el efecto de una doble traslación de R(f) a los puntos (-f0) y (+f0).En la Figura 10, se muestra la TDF y la TDFF de f(t).

Figura 10




Puede comprobarse que el área comprendida bajo las dos TDF de la Figura 10, - la finita yla infinita -, es la misma. La figura indica que la realización de la TDF en intervalos delongitud finita, introduce distorsiones y errores en la información que se obtiene acerca delcontenido en frecuencia de la función analizada. Este error se conoce en la literaturatécnica con el nombre de leakage.El efecto del leakage es doble. Por una parte, limita la resolución en frecuencia que sepuede obtener mediante la TDFF, ya que dos frecuencias serán indistinguibles cuando sudiferencia sea menor que el semiperiodo de la función sen(2πfT)/πf. Este semiperiodo es1/(2T). Así pues, si se quiere aumentar la resolución en frecuencia, no hay másremedio que aumentar la longitud T del intervalo de tiempo. El segundo efecto delleakage, viene producido por las oscilaciones que aparecen en la función R(f) a amboslados del máximo absoluto. El resultado es una distorsión en las frecuencias a (f0).Para disminuir estos dos errores del leakage se han sugerido varios procedimientos, de loscuales el más popular es el debido a Hanning, que consiste en modificar la forma del pulsorectangular con el que se ha realizado la convolución de la señal original. Convienerecordar que la TDF de este pulso es la que se repite, desplazada a (-f0) y a (+f0), en laTDFF de f(t). Interesa que la forma del pulso sea tal que las oscilaciones de R(f) sean lasmenores posibles. A la función r(t) con la que se realiza la convolución, se le suele llamarventana. La ventana de Hanning viene definida por la función

( ) TtTtcos1

21tr ≤��

� π+= (93)

en la Tabla 1 vista anteriormente, se representa esta función y su TDF.

DENSIDAD ESPECTRAL

La densidad espectral es a la TDF lo mismo que el espectro de potencia es a la Serie deFourier.Supóngase que se tiene unaseñal no periódica, cuya TDF esuna función continua, y que sequiere estudiar el valor cuadráticomedio de su composición en unaestrecha banda de frecuenciascentrada en f0 (Figura 11). Figura 11Se verificará que

( ) ( )∞

∞−

π⋅= dfefFtf ft2i (94)




El contenido de esta función alrededor de la frecuencia f0 se podrá expresaraproximadamente como:

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]( ) ( ) ( )( )[ ]tf2senitf2cosffF

tf2senitf2cosffFtf

000

000f0

π⋅−π⋅∆⋅−+

+π⋅+π⋅∆⋅=(95)

Teniendo en cuenta que

( ) ( ) ( )[ ]fBifA21fF ⋅−= (96)

resulta

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tf2senfBtf2cosfAftf 00000fπ⋅+π⋅⋅∆= (97)

el valor cuadrático medio de esta componente será

( )( )[ ] ( ) ( ) ( ) 20

22

02

022f fF2f

2fB

2fAftfm

0⋅⋅∆=

�

��

�

�+⋅∆= (98)

a esta función |F(f)|2 se le conoce con el nombre de densidad espectral. Es una funciónreal que proporciona información acerca del contenido en frecuencia de la función f(t).

RESPUESTA DE UN SISTEMA DE 1 GDL ANTE UNA FUERZA

CUALQUIERA POR EL MÉTODO DE LA TDF

Resulta sencillo calcular la respuesta de un sistema de 1 gdl ante una excitación de tipogeneral - f(t) -, teniendo en cuenta que la TDF de la fuerza indica su contenido enfrecuencia, y que para una excitación de una frecuencia determinada la respuesta delsistema se halla multiplicando por la función de transferencia H(f). Así, sea F(f) la TDF dela fuerza de excitación f(t)

( ) ( )∞

∞−

π−⋅= dtetffF ft2i (99)la respuesta del sistema será la suma - es decir, la integral - de las respuestas para cadafrecuencia. Esto es,

( ) ( ) ( )∞

∞−

π⋅⋅= dfefFfHtx ft2i (100)pero, además, x(t) estará relacionado con su TDF a través de la TDFI:

( ) ( )∞

∞−

π⋅= dfefXtx ft2i (101)comparando las expresiones (100) y (101) se concluye que

X(f) = H(f) ⋅ F(f) (102)




es decir, que la TDF de la respuesta del sistema es el producto de la función detransferencia por la TDF de la fuerza excitadora. Este resultado permite calcular larespuesta del sistema ante cualquier fuerza excitadora, siempre que se disponga demedios para calcular TDF directas e inversas.

Como ejemplo de aplicación se va a calcular la respuesta ante una excitación impulso δ(t).Se tendrá que

( ) ( ) 1dtetfF ft2i =⋅δ=∞

∞−

π− (103)X(f) = H(f) (104)

y la respuesta h(t) ante un impulso unitario será

( ) ( ) ( )∞

∞−

π⋅== dfefHthtx ft2i

(105)de donde se concluye que la función de transferencia H(f) es la TDF de la respuestah(t) a un impulso unitario. Esta es una propiedad verdaderamente importante para elanálisis experimental de vibraciones, porque la función h(t) es mucho más fácil dedeterminar físicamente que la función de transferencia. De hecho, la función detransferencia siempre se determinará a partir de la respuesta h(t) a un impulso unitario,calculando su TDF.Por otro lado, la respuesta de un sistema de 1 gdl ante una excitación de tipo generalpuede expresarse también mediante la integral de convolución en la forma

( ) ( ) ( )∞

∞−ττ⋅τ−= dhtftx (106)

es decir, con la notación introducida anteriormentex(t) = f(t) * h(t) (107)

Aplicando el Teorema de la Convolución, se tendrá que

( ) ( ) ( )fHfFfX ⋅= (108)

donde ( )fH es la TDF de h(t).

Comparando la expresión (108) con la expresión (102), se vuelve a concluir que la funciónde transferencia es la TDF de la respuesta h(t) al impulso unitario.




TRANSFORMADA DEFOURIER DISCRETA (TDFD)

CONCEPTO DE TDFD

La TDF explicada en los apartados anteriores puede, en la práctica, ser calculada de unmodo analógico o de un modo digital. En el primero de estos modos, la función f(t) esfiltrada mediante un filtro de banda tan estrecha como sea posible; el resultado de estaoperación es el extraer la componente armónica de la función f(t) en la frecuencia deseada.La amplitud de esta componente es el valor de la TDF en ese punto.El cálculo analógico de las TDF exige filtros muy precisos, y es una operación muy lenta alas bajas frecuencias características de las vibraciones mecánicas. Además, envibraciones aleatorias aparecen otras funciones como la densidad espectral, la densidadespectral cruzada, la autocorrelación, etc., que para ser calculadas analógicamente, exigencostosos equipos adicionales.Actualmente, el Análisis de Fourier se realiza, en la mayoría de los casos, digitalmente.Para ello, una vez que la función f(t) ha sido convenientemente filtrada y acondicionada(por las razones que se verán posteriormente), se procede a digitalizarla en un convertidoranalógico-digital.

Figura 12

Así, la función f(t)queda reducida a unconjunto de N valoresdiscretos (Figura 12)que se almacenandigitalmente en lamemoria de unacomputadora.

A partir de este momento, todas las operaciones que se realizan sobre estos datos, serealizan numéricamente, con todas las ventajas que esto tiene en cuanto a rapidez yeliminación de fuentes de error. Además, el tratamiento numérico de estos datos puederealizarse con una gran versatilidad, obteniéndose todas las características de f(t) que sedeseen utilizando el programa adecuado.




Se llama Transformada de Fourier Discreta (TDFD) a la TDF que se obtiene digitalmentea partir de una función f(t) discretizada. Las expresiones de la Serie de Fourier para unafunción continua eran, respectivamente

( )∞

∞−

π⋅= tjf2ij

0eFtf (109)

( )−

π−⋅=2T

2Ttjf2i

j dtetfT1F 0 j = 0, ±1, ±2, ... (110)

Es natural adoptar, para la TDFD, una expresión análoga a la expresión (110) en la que laintegral se sustituye por un sumatorio extendido al dominio finito T. Supóngase que estedominio se ha subdividido en N intervalos de longitud t0

−

=

π−⋅=1N

0k

ktjf2ik

0j

00efTtF (111)

Ahora bien, se verifica que

N ⋅ t0 = T (112)f0 = 1/T (113)

introduciendo estos valores en la expresión (111) resulta

( )−

=

⋅π−−

=

π− ⋅=⋅=1N

0k

jkN2i

k

1N

0k

Njk2ikj ef

N1ef

N1F (114)

que también puede expresarse−

=

⋅⋅=1N

0k

jkNkj Wf

N1F (115)

donde e-i2πN se ha denominado WN.Esta expresión puede ser considerada como una expresión aproximada para calcular loscoeficientes de la expresión de f(t) en Serie de Fourier. Haciendo modificaciones análogasen la expresión (109) se llega a que

( )−

=

⋅−−

=

π ⋅=⋅=1N

0j

jkNj

1N

0j

Njk2ijk WFeFf (116)




que es la fórmula inversa de la (114) ó (115). En concreto, la expresión (116) es la fórmulainversa exacta de la expresión (115), en el sentido de que permite recalcular exactamentelos valores de fk utilizados. Efectivamente

( ) ( ) ( ) =⋅�

��

�⋅=⋅=

−

=

π−

=

π−−

=

π1N

0j

Njk2i1N

0r

Njr2ir

1N

0j

Njk2ijk eef

N1eFf

( )( )−

=

−

=

−π−�

��

�⋅=

1N

0r

1N

0j

Nkrj2ir ef

N1 (117)

pero el paréntesis de la expresión anterior es igual a N si r=k, y es cero si r≠k, pues es unasuma vectorial de N vectores unitarios uniformemente espaciados angularmente entre 0 y(2π(r-k)(N-1)/N) radianes. Por tanto

( ) k

1N

0rrkrr fNf

N1f =δ⋅⋅=

−

=

(118)

Las fórmulas (114-115) y (116) son expresiones aproximadas para la Serie de Fourier de lafunción f(t); estas aproximaciones implican por tanto el carácter periódico - con periodo T -de la función f(t) discretizada. A pesar de que en realidad f(t) no es una función periódica,sino una función cualquiera, las expresiones (114-115) y (116) se generalizan, y seconsideran respectivamente como la Transformada de Fourier Discreta Directa eInversa. Posteriormente, se estudiarán los errores introducidos por esta aproximación.Seguidamente se van a considerar, desde otro punto de vista, las hipótesis implicadas enla aceptación de las expresiones (114-115) y (116) como TDFD. Estas hipótesis estánresumidas en la Figura 13. Supóngase una función cualquiera f(t) con su TDF F(f), Figura13a. Discretizar la función f(t) es equivalente a multiplicarla por un tren de funcionesimpulso ∇ (t, t0).

( ) ( )∞

∞−

−δ=∇ 00 nttt,t (119)

Este peine de funciones impulso aparece en la Figura 13b juntamente con su TDF, (84) eincluida en la Tabla 1. La función resultante del producto f(t)⋅∇ (t,t0) es la función f(t)discretizada a lo largo de todo el dominio de la variable tiempo.




Figura 13




Esta función producto tendrá una TDF que, en virtud del Teorema de la Convolución, seráel producto de convolución de F(f) por el tren de funciones impulso 1/t0⋅∇ (f,1/t0). Teniendoen cuenta que la convolución con la función impulso equivale a un desplazamiento a lolargo del eje de abscisas. La TDF de la función f(t)⋅∇ (t,t0) será la que aparece reflejada enla Figura 13c y cuya expresión matemática es

( ) ( ) ( )∞

∞−

−=∇∗ 00 tnfFt1,ffF (120)

En la figura 13c puede observarse que la TDF exacta de una función discretizada estodavía una función continua. En dicha figura, la función f(t)⋅∇ (t,t0) está definida sobre undominio de longitud infinita. Para tener en cuenta que en la realidad no podrá ser así y quehabrá que considerar un nº finito de valores, habrá que multiplicar por la funciónrectangular r(t), que aparece en la Figura 13d, juntamente con su TDF, R(f).

La función producto f(t)⋅∇ (t,t0)⋅r(t) se muestra en la figura 13e. Su TDF será el dobleproducto de convolución F(f)*1/t0⋅∇ (f,1/t0)*R(f), que aparece en la misma Figura. Tambiénesta TDF sigue siendo continua. Como una TDF continua no puede ser guardada en lamemoria del ordenador, hay que realizar una segunda discretización, esta vez en eldominio de la frecuencia.Esta segunda discretización se realiza multiplicando dicha TDF por otro tren de funcionesimpulso ∇ (f,1/T). El resultado de este producto aparece en la Figura 13g. Por el Teoremade la Convolución este producto en el dominio de la frecuencia equivale a una convoluciónen el dominio del tiempo. Convolución que se debe realizar precisamente entre la funciónf(t)⋅∇ (t,t0)⋅r(t) y el tren de funciones impulso T⋅∇ (t,T).Recordando otra vez que la convolución con la función impulso equivale a una traslaciónen el eje de abscisas, se llega a la conclusión de que en la Figura 13g aparece la TDFFdiscreta de una función en el tiempo, que es la función f(t) discretizada y multiplicada por elpulso rectangular r(t), y considerada además como función periódica de periodo T. Se tienepues en síntesis, la interpretación de lo que es la TDFD y de las aproximaciones querepresenta.Si se recuerda la propiedad de simetría de la TDF, resulta lógico que así como una funciónperiódica tiene TDF discreta, una TDF discretizada debe ser la TDF exacta de una funciónperiódica. En otras palabras, el carácter digital de la función y de su TDF implican laperiodicidad de ambas funciones. Es evidente que éste es uno de los distintos errores quese cometen al calcular transformadas de Fourier Discretas. Más adelante, se estudiaránestos errores y la forma de eliminarlos o, al menos, de disminuir su influencia. Así porejemplo, de la Figura 13g se deduce que no tienen sentido las componentes a frecuenciassuperiores a 1/(2t0), dada la periodicidad de la TDFD.




PROPIEDADES DE LA TDFD

A continuación, se enuncian y demuestran algunas de las propiedades más importantes dela TDFD definida por las expresiones (115) y (116).

1ª Linealidad

Sean fk y gk dos sucesiones de N valores uniformemente espaciados en el tiempo ytomados a partir de las funciones f(t) y g(t). Si Fj y Gj son sus correspondientes TDFD, severifica que la TDFD de fk+gk viene dada por Fj+Gj.En efecto,

( ) jj

1N

0k

Nkj2ik

1N

0k

Nkj2ik

1N

0k

Nkj2ikk GFeg

N1ef

N1egf

N1 +=⋅+⋅=⋅+

−

=

π−−

=

π−−

=

π− (121)

2º Simetría

Si Fj es la TDFD de fk, se verifica que (f-k) es la TDFD de (N⋅Fj). Para demostrarlo, bastacalcular f-k a partir de la expresión (116)

( )( ) ( ) ( )−

=

π−−

=

−π− ⋅⋅=⋅=

1N

0j

Njk2ij

1N

0j

Nkj2ijk eFN

N1eFf (122)

3º Fórmula de Inversión

Esta fórmula permite calcular TDFD inversas a partir de la TDFD directa. La fórmula es lasiguiente

( )( )∗

−

=

−π∗�

��

�⋅=

1N

0j

Nkj2ijk eFf (123)

donde (*) indica el conjugado de un número complejo.Para demostrar esta fórmula basta conjugar como se indica en la expresión

Fj = Aj + i Bj (124)Fj* = Aj - i Bj (125)

sustituyendo, y teniendo en cuenta que el conjugado de un producto es el producto de losconjugados,

( )( )−

=

π

∗−

=

−π∗ ⋅=�

��

�⋅

1N

0j

Njk2ij

1N

0j

Nkj2ij eFeF (126)




que coincide con la expresión (116).

4º TDFD de una función par

Sea fj una función par. Su producto por la función coseno será una función par, mientrasque su producto por la función seno será impar. Entonces

−

=

−

=

−

=

π− ��

� π⋅−��

� π⋅=⋅=1N

0kk

1N

0kk

1N

0k

Njk2ikj N

jk2senfNi

Njk2cosf

N1ef

N1F (127)

pero el sumatorio imaginario es cero porque fk repite valores para k ≥ N/2 (recuérdese elcarácter periódico de la TDFD) y el sumatorio está extendido a un número entero de ciclos;luego

−

=

��

� π⋅=1N

0kkj N

jk2cosfN1F (que es un número real) (128)

5º TDFD de una función impar

Análogamente a lo realizado para funciones pares, puede demostrarse que la TDFD deuna función impar viene dada por la expresión

−

=

��

� π⋅−=1N

0kkj N

jk2senfNiF (129)

6º TDFD de una función compleja

Sea f(t) una función compleja definida en la forma

f(t) = r(t) + i⋅s(t) (130)

fk = rk + i⋅sk (131)La TDFD de fk se define igualmente por medio de la expresión (115)

( )−

=

π−−

=

π− ⋅⋅+=⋅=1N

0k

Njk2ikk

1N

0k

Njk2ikj esir

N1ef

N1F (132)

TEOREMA DE LA CONVOLUCIÓN DISCRETA

La convolución continua de dos funciones x(t) e y(t) se definía en la forma

( ) ( ) ( ) ( )∞

∞−ττ⋅τ−=∗ dytxtytx (133)

La convolución discreta se obtiene suponiendo que x(t) e y(t) vienen dadas por valoresdiscretos y sustituyendo la integral por el sumatorio correspondiente. Si se dispone de Nvalores discretos de x(t) e y(t).




( ) ( )−

=− ⋅=∗

1N

0kkmkm yxyx (134)

la aplicación de esta fórmula no puede hacerse sin recurrir al carácter periódico que laTDFD supone para xk e yk, pues si no xk-m puede no estar definida.El Teorema de la Convolución para la TDFD establece que la TDFD de

( )−

=− ⋅=

1N

0kkmkm yxz (135)

viene dada por la función

Zj = Xj* ⋅ Yj⋅N (136)Para demostrar este teorema, hay que sustituir los valores de xk-m y de yk dados por lasexpresiones (123) y (116) en la expresión (135).

( )−

=

−

=

π

∗−

=

−π−∗ ��

�⋅⋅

��

��

�⋅=

1N

0k

1N

0n

Nnk2in

1N

0j

Nmkj2ijm eYeXz (137)

si xk-m es real la conjugación del corchete podrá omitirse porque dicho corchete es real. Setendrá entonces, permutando los sumatorios

( )−

=

−

=

−π−

=

π∗ ��

�⋅⋅⋅=

1N

0j

1N

0k

Nkjn2i1N

0n

Njm2injm eeYXz (138)

el corchete de la expresión (138) es análogo al de la expresión (117), y por las mismasrazones que aquél es igual a

( )nj

1N

0k

Nkjn2i Ne δ⋅=−

=

−π (139)

siendo δnj la δ de Kronecker. La expresión (138) se reduce en tal caso a

( ) NeYXz1N

0j

Njm2ijjm ⋅⋅⋅=

−

=

π∗ (140)

pero esta expresión coincide con la de la TDFD inversa. Luego

Zj = Xj* ⋅ Yj⋅N (141)con lo cual queda demostrado el Teorema de la Convolución en el tiempo. Existe tambiénun Teorema de la Convolución en frecuencia que establece que si xk e yk son dosfunciones discretas cuyas TDFD son Xj e Yj, entonces, si Zm es el producto de convoluciónde Xj* e Yj, zk es el producto de xk e yk.




( )−

=

∗− ⋅=

1N

0jjmjm YXZ (142)

sustituyendo Xj-m e Yj mediante la fórmula de la TDFD

( )−

=

−

=

π−∗−

=

−π− ��

�⋅⋅�

��

�⋅=

1N

0j

1N

0n

Nnj2in

1N

0k

Nmjk2ikm ey

N1ex

N1Z (143)

reordenando términos

( )−

=

−

=

−π−−

=

π−�

��

�⋅⋅=

1N

0k

1N

0j

Nknj2i1N

0n

Nkm2ink2m eeyx

N1Z (144)

teniendo en cuenta que el corchete es δkn⋅N, resulta:−

=

π−⋅⋅=1N

0k

Nkm2ikkm eyx

N1Z (145)

en esta expresión se reconoce la forma de la TDFD de Zk, por lo que se habrá de verificar

zk = xk ⋅ yk (c.q.d.) (146)

ERRORES DE LA TDFD

La TDFD permite calcular TDF de cualquier tipo de función, incluso de las que no estándefinidas analíticamente. Sus cálculos pueden ser realizados por un ordenador en unpequeño intervalo de tiempo y por un coste mínimo. Sin embargo, como la TDFD no esmás que una aproximación de la TDF, al utilizarla se cometen errores de los que esnecesario conocer el alcance y el significado. Además, estos errores pueden en ocasioneseliminarse o, al menos, reducir sus efectos.En el cálculo de TDFD pueden distinguirse tres fuentes principales de error:

� El error propio del carácter digital de las funciones del tiempo y de la frecuencia, querecibe el nombre de aliasing.

� El error originado por la necesidad de considerar intervalos finitos de la funcióntemporal. A este error - que ya ha aparecido al hablar de la TDF continua - se le dael nombre de leakage.

� El error inherente del proceso de digitalización, pues el valor de la función debe serredondeado o truncado para poder expresar con el nº de cifras limitado que elordenador puede considerar. Este último tipo de error carece de importancia si elordenador considera un nº de cifras adecuado, y por ello toda la atención se dirigiráal aliasing y al leakage.




Aliasing

Para explicar este tipo de error se hace necesario volver a acudir a la Figura 13. Entre laTDF exacta de la Figura 13a y la TDFD de la Figura 13g, se han introducido dos fuentesprincipales de error: la convolución con la función pulso rectangular, y el carácter periódicoque adquiere la TDF al realizar la convolución con el tren de funciones impulso. El primerode estos errores es el leakage, que se verá posteriormente. Es el segundo de estos errores- el aliasing -, el que se considera a continuación.El efecto del aliasing aparece muy claramente si se comparan las TDF de la Figura 13a y13c. La primera de las citadas figuras muestra la TDF exacta, mientras que en la segundaya hay aliasing. Este se ha introducido como consecuencia de la discretización de lafunción temporal, y fundamentalmente consiste en dotar a la TDF de un carácter periódicoque en realidad no tiene. Si t0 es el intervalo de digitalización en el tiempo, 1/t0 será elperiodo introducido en el dominio de la frecuencia. La TDF periódica se obtiene sumandoinfinitas funciones F(f) desplazadas cada una respecto a la anterior una distancia 1/t0.El efecto del aliasing es, por lo tanto, doble. Por una parte, elimina el sentido de lasfrecuencias mayores que 1/(2t0) y menores que -1/(2t0), ya que los valores de la TDF de laFigura 13c exteriores a dicho intervalo no son más que meras repeticiones de los valoresinteriores. Esta propiedad se conoce con el nombre de Teorema de Shannon: con unintervalo de discretización de t0 no es posible obtener información acerca del contenido dela señal original a frecuencias superiores a 1/(2t0). A esta frecuencia se le llamafrecuencia de Nyquist.Otra forma de explicar estamisma limitación es recordarque para detectar lafrecuencia de una funciónarmónica, hay quemuestrear el valor de lafunción al menos dos vecespor periodo. En la figura 14,se observa como unafrecuencia f/N esindistinguible de lafrecuencia f(N+1)/N si sólose dispone de la informaciónde los valores discretizados. Figura 14Además de la frecuencia límite mencionada, el aliasing tiene otro importante efecto queafecta negativamente a la precisión de los valores calculados y que puede comprenderse




observando las figuras 13a y 13c. Hay valores de F(f) por encima de la frecuencia deNyquist que, cuando F(f) es desplazada, caen durante el intervalo [-1/(2t0), +1/(2t0)],perturbando los valores de la TDF dentro de este intervalo. Así por ejemplo, el valor de laTDF para la frecuencia f que es tomado como correcto es la suma siguiente

( ) �+�

��

�+−+��

��

�++��

��

�+−+��

��

�++ f

t2Ff

t2Ff

t1Ff

t1FfF

0000(147)

Para corregir este tipo de error hay que tener en cuenta que si la función no tienecomponentes a frecuencias superiores a la de Nyquist, este error no se produce. Lo que sedebe entonces hacer es filtrar la función a analizar con un filtro que elimine todas lasfrecuencias altas (por encima de 1/(2t0).

Leakage

Ya se ha hablado del leakage al tratar de la Transformada de Fourier Finita. La TDFFequivale, según se demostró, a la convolución de la verdadera TDF de la función original,con la TDF de un pulso rectangular unitario de longitud T. En la Figura 13d aparece estepulso rectangular y su TDF. Esta TDF presenta la forma de una función armónica cuyaamplitud tiende hiperbólicamente a 0. El semiperiodo de esta función armónica es 1/T.Los errores producidos por el leakage se deben también a un doble mecanismo deactuación. Por una parte, la convolución con el lóbulo central de la TDF R(f) del pulsorectangular tiende a promediar las componentes a frecuencias contiguas en la TDF F(f).Quiere esto decir que se disminuye la resolución de la Transformada de Fourier, enproporción a la anchura 2/T de dicho lóbulo. Así, por ejemplo, en la Figura 10 se vio cómola TDF de una función coseno, que consta de dos funciones impulso, aparece como unadoble función R(f). Si no se desea perder resolución, y se quiere evitar este defecto, hayaumentar la longitud del periodo T en la TDFF.El segundo tipo de error producido por el leakage se debe a los lóbulos laterales deamplitud decreciente que aparecen en la TDF R(f) del pulso rectangular r(t). Estos lóbulostienden a distorsionar la composición en frecuencia según puede verse comparando lasfiguras 13c y 13e. Además este error no se corrige como el de la falta de resolución,aumentando simplemente el intervalo T. Para disminuir este error es necesario reducir enlo posible las oscilaciones de la TDF del pulso rectangular. Para ello, lo que se suele haceres cambiar la forma de este pulso, al que - como ya se ha dicho - se le suele denominartambién ventana. Hay que buscar ventanas distintas de la rectangular, cuya TDF presentemenos oscilaciones que la de ésta. Entre la multitud de formas propuestas que se puedenencontrar en la bibliografía, la más popular sin duda es la ya citada de Hanning. La forma




de esta ventana viene dada por la expresión (93) y su transformada de Fourier puedeencontrarse en la Tabla 1.En la Figura 15, aparece la ventana rectangular y la ventana de Hanning juntamente consus respectivas TDF (en módulo). En dicha figura puede verse que la TDF de la ventana deHanning presenta unas oscilaciones mucho menores que las de la ventana rectangular. Sinembargo, éste es el precio de una mayor anchura en el lóbulo central, con lo cual, algo delo que se gana en fiabilidad del resultado se pierde en resolución por el efecto antes citado.Otro efecto de la ventana de Hanning es reducir el valor de la amplitud de la señalconsiderada a la correspondiente frecuencia. Así, para una señal armónica, dicha amplitudse reduce en 6.02 db.

Figura 15Hasta ahora, todo lo que se ha dicho del leakage es válido para la TDFF continuas ydiscretas. A partir de ahora, se realizarán consideraciones y se presentarán algunosejemplos característicos de la TDFD.




En la Figura 16,puede verse la TDFde un pulsotriangular, funciónque resulta al hacerla convolución de dospulsos rectangulares;por ello, su TDF esigual al cuadrado dela TDF del pulsorectangular. En laFigura 17, aparece laTDF de un pulsotriangular truncado, yse puede observar ladistorsión debida altruncamiento.

Figura 16

Figura 17En la Figura 18, aparece unafunción periódica triangular. Se haregistrado un intervalo de 8segundos correspondiente a 8periodos de 1 segundo. En dichafigura aparece la TDF de estafunción, con picos asociados afrecuencias de 1, 3, 5 ... Hz.Puede comprobarse que estaTDF es exacta. Figura 18A primera vista, este resultado no deja de ser sorprendente, porque deberían aparecer losefectos del leakage. No es así, y la explicación es sencilla. Se ha dicho anteriormente quela TFFD es la TDF exacta de una señal discreta en el tiempo de duración T, que se suponeperiódica con ese mismo periodo T. Como el intervalo T de la función de la Figura 18comprende un número entero de periodos de f(t), el superponer este intervalo repetido nointroduce ningún error en la función f(t), y por tanto la TDF que aparece da valores exactos.No se puede decir que esta TDF es exacta, sino sólo que da valores exactos. La razón deeste hecho está en que la TDF continua de la función f(t) definida en el intervalo finito de 8segundos, sí que presenta los efectos del leakage. ¿Cómo es entonces que la funcióndiscreta no los presenta?.La razón se encuentra explicada en la Figura 19, y se fundamenta en el hecho de que ladiscretización de la TDF se realiza precisamente en los ceros de la TDF del pulso




rectangular, con lo cual la TDFD no se ve afectada por estos errores. Esto sólo sucedecuando el pulso rectangular contiene un número entero de periodos de la función original.

Figura 19

En la Figura 20, aparece lamisma función periódicatriangular, pero sin que elnúmero de periodoscomprendido en el intervalo Tsea entero. En este caso, ensu correspondiente TDFD,aparecen ahora claros losefectos del leakage. Figura 20En la Figura 21, aparece la misma función triangular de la Figura 18, pero con frecuenciadoble. En este caso, los picos de la TDFD aparecen desplazados hacia la derecha

Figura 21Como el número de puntos de discretización no ha aumentado, los efectos del aliasing sehacen notar, y sólo se puede obtener información acerca de la frecuencia fundamental ydel primer armónico, pues todos los demás armónicos quedan por encima de la frecuenciade Nyquist. Como no se han filtrado las frecuencias altas, los errores de magnitudproducidos por el aliasing están presentes en los resultados de todas estas figuras.




En la Figura 22,aparece una funciónarmónica y su TDFD.Como el número deperiodos es entero yno hay aliasing, porno haber en estecaso más que unafrecuencia, elresultado es exacto. Figura 22Es evidente que - en la práctica - no se puede nunca garantizar la condición referente alnúmero de periodos. Por ello, no hay más remedio que utilizar la ventana de Hanning, conobjeto de reducir el leakage.

Figura 23

En la Figura 23,aparece la funciónarmónica de la Figura22 multiplicada por laventana de Hanning, ysu TDF. El resultadoes una disminución dela resolución enfrecuencia.

En la Figura 24, aparece la misma función armónica (y su TDTD), pero con un número deperiodos no enteros. En la Figura 25, se muestra dicha función multiplicada por la ventanade Hanning. Comparando ambas figuras, se observan los efectos del leakage y de laventana de Hanning. Dicha ventana disminuye la resolución, pero los valores de lafrecuencia que proporciona son más fiables.

Figura 24 Figura 25




TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER (FFT)

Se ha visto anteriormente que la TDFD venía definida por las relaciones−

=

π−⋅=1N

0k

Nkj2ikj ef

N1F (148)

( )−

=

π⋅=1N

0j

Nj2ij eFtf (149)

El cálculo directo de estas expresiones supone aproximadamente N2 multiplicaciones porla función exponencial. En tiempo de ordenador esto tiene un precio excesivamente alto.La preocupación por la resolución de este problema llevó a Cooley y Tukey a desarrollar -amediados de los años 60- el algoritmo de la Transformada Rápida de Fourier ó FFT (FastFourier Transform). Este algoritmo está basado en el cálculo de la TDFD de un conjunto devalores de fk a partir de la TDFD de subconjuntos parciales de dichos valores. Con esto, elnúmero de multiplicaciones por la función exponencial se reduce considerablemente a N⋅log2N. Por ejemplo, para el caso en que N=215 N2 es aproximadamente 109, mientras queN.log2N es 4,9⋅105. El factor de reducción en el tiempo de cálculo es aproximadamente2000, visto lo cual no es preciso hacer muchos más comentarios.La FFT necesita que el número de puntos N sea una potencia de 2. Si el número depuntos de que se dispone no cumple esta condición, caben dos posibilidades: truncar laserie de puntos hasta la potencia de 2 inferior, o completar con ceros hasta la potencia de2 inmediatamente superior. Esta segunda alternativa es preferible, porque así no se pierdeninguna información.

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ANEXO: Análisis de Fourier - Grupo de investigación IMAC · departamento de ingenierÍa mecÁnica, energÉtica y de materiales anexo – anÁlisis de fourier 3º de ingenierÍa