MANUAL DE METODOLOGAS ANEXOS ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN FECHA:03-AGO -07 II.1 INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN LINEAL En VALMER se aplican distintos mtodos de interpolacin, que principalmente se utilizan para encontrar la estructura temporal de tasas a partir de puntos concretos (nodos) obtenidos de niveles de mercado, ya sea de manera directa o indirecta.Losnodossondelaforma(t,rt)dondeteselplazoyrteselrendimientoasociadoadichoplazo.Sin embargo,conlafinalidaddeexponerlosmtodosdeinterpolacindeformageneral,seutilizarla notacin (X, Y) para cada nodo. INTERPOLACIN La interpolacin lineal es la forma ms simple de interpolar. Consiste en construir una funcin lineal que tenga como extremos a los nodos conocidos. El problema principal de este tipo de interpolacin es que si existen varios nodos que no pertenecen a una misma recta, el resultado es una funcin no derivable en cadanodo,loquesignificaquenoesunafuncinsuavizada,comosemuestra,msadelanteenel ejemplo 2.Si se consideran dos nodos (X1, Y1) y (X2, Y2) y se desea encontrar el valor de Y asociado a un valor X, tal que X1 < X < X2, como se muestra en la siguiente grfica: ( )2 2Y , X( )1 1Y , X) Y , X (YX Se utiliza la equivalencia de los tringulos: 111 21 2X XY YX XY Y= Despejando la variable Y de la expresin anterior resulta: ( )1 11 21 2Y X XX XY YY + ||.|

\|=INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN LINEAL Pgina 1 de 3 ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN FECHA:03-AGO -07 Donde el trmino 1 21 2X XY Y indica la pendiente de la recta. De este modo, es posible determinar el valor de Y para cualquier X mayor a X1 y menor que X2. Ejemplo 1. Interpolacin con 2 nodos Supngase que se tiene los siguientes datos: PlazoTasa de Inters287.26 % 917.43 % Ysedeseaobtenerlastasasdeinterscorrespondientealosplazos50y70das.Porcomodidadse trabajarn con las tasas multiplicadas por 100.La funcin lineal que contiene a los dos nodos conocidos est dada por: ( ) 26 . 7 28 X28 9126 . 7 43 . 7Y + |.|

\|= SiX = 50 entonces( ) 3194 . 7 26 . 7 28 5028 9126 . 7 43 . 7Y = + |.|

\|= SiX = 70 entonces( ) 3733 . 7 26 . 7 28 7028 9126 . 7 43 . 7Y = + |.|

\|= Ejemplo 2. Interpolacin con 4 nodos PlazoTasa de inters407.29 % 507.34 % 607.35 % 707.38 % INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN LINEAL Pgina 2 de 3 ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN FECHA:03-AGO -07 Como se tienen 4 nodos existen tres funciones lineales, dadas por: ( ) 29 . 7 40 X40 5029 . 7 34 . 7Y + |.|

\|= Para 40 < X < 50 ( ) 34 . 7 50 X50 6034 . 7 35 . 7Y + |.|

\|= Para 50 < X < 60 ( ) 35 . 7 60 X60 7035 . 7 38 . 7Y + |.|

\|= Para 60 < X < 70 Obteniendo la siguiente grfica: 7.24%7.26%7.28%7.30%7.32%7.34%7.36%7.38%7.40%40 50 60 70PlazosXTasas Y EXTRAPOLACIN Porotra parte, para extrapolar linealmente se utiliza la ltima recta generada con los datos conocidos. Por ejemplo, si se desea obtener el valor cuando X = 75 del ejercicio anterior, la extrapolacin lineal es la siguiente: ( ) 395 . 7 35 . 7 60 7560 7035 . 7 38 . 7Y = + |.|

\|= INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN LINEAL Pgina 3 de 3 ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN FECHA:03-AGO -07 II.2. INTERPOLACIN CBICA CON ESTIMACIN LINEAL DE PENDIENTES El mtodo de Interpolacin cbica con estimacin lineal de pendientes consiste en la interpolacin de n nodosconocidosdelaforma(X1,Y1),(X2,Y2),,(Xn,Yn),utilizandounafamiliaden-1polinomiosde tercer grado. De la siguiente expresin se desea encontrar el valor Yi asociado a X. i i i2i i3i i i id ) X X ( c ) X X ( b ) X X ( a ) X ( S Y + + + = = Donde el subndice i, indica el polinomio de tercer grado que asocia a los nodos (Xi,Yi) y (Xi+1, Yi+1). Para obtener la interpolacin, es necesario obtener los coeficientes ai, bi, ci y di de cada polinomio a partir de los nodos conocidos. De manera explcita la familia de los n-1 polinomios, es la siguiente: + + + = + + + = + + + == = n 1 n 1 n 1 n 1 n21 n 1 n31 n 1 n 1 n3 2 2 2 222 232 2 22 1 1 1 121 131 1 1X X X Para d ) X X ( c ) X X ( b ) X X ( a ) X ( S...X X X Para d ) X X ( c ) X X ( b ) X X ( a ) X ( SX X X Para d ) X X ( c ) X X ( b ) X X ( a ) X ( S) X ( S Y Setienen4n-4incgnitas(loscoeficientesdecadapolinomio)yseestablecern4n-4condicionesala curva,paracontarconunsistemadeecuacionesdelcualseobtenganloscoeficientesdecada polinomio. Propiedades de la curva 1.-Congruenciaconlosnodosoriginales:Cadapolinomiodebepasarporlosnodosopuntos originales que lo generaron, por lo que:i i iY ) X ( S = Para i = 1, , n-1 Con lo que se obtienen n-1 condiciones. 2.-Continuidad: La curva debe ser continua, por lo que se incluye la condicin de que el ltimo valor del polinomio anterior i debe ser igual al primer valor del polinomio posterior i+1. Dicha condicin se expresa de la siguiente forma: 1 i 1 i 1 i 1 i iY ) X ( S ) X ( S+ + + += = Para i = 1, , n-2 n n 1 nY ) X ( S =Para i = n-1 Con lo que se obtienen n-1 condiciones. INTERPOLACIN CBICA CON ESTIMACIN LINEAL DE PENDIENTES Pgina 1 de 7 ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN FECHA:03-AGO -07 3.-La curva debe ser derivable (suavidad en la curva):Para los nodos que se encuentren dentro de los nodos extremos, la derivada evaluada con el polinomio anterior debe ser igual a la derivada evaluada con el polinomio posterior: ) X ( S ) X ( Si'i i'1 i=Para i = 2, , n-1 Donde la primera derivada est dada porSi i i2i i'ic ) X X ( b 2 ) X X ( a 3 ) X ( + + =Con lo que se obtienen n-2 condiciones. 4.- Condiciones de Frontera: Las pendientes de la curva en los puntos extremos son definidas como la pendiente de cada recta formada por los dos primeros y ltimos puntos, respectivamente.

1 21 21'1X XY Y) X ( S= y1 n n1 n nn'1 nX XY Y) X (= S Con lo que se tienen 2 condiciones ms. 5. Estimacin lineal de pendientes:Para encontrar el valor con la que se igualan las derivadas de los nodosinternos,sedefinealapendientecomoelpromedioponderadodelaspendientesdelasdos rectasformadasconlosnodosadyacentes,siempreycuandocuentenconelmismosigno,encaso contrario, la pendiente ser igual a cero. Para i = 2, , n-1, el valor se obtiene a partir de: > +=+ + + 0 m * m Para 00 m * m Para m32m31) X ( S1 i , i i , 1 i1 i , i i , 1 i 1 i , i i , 1 ii'1 i

Donde:i 1 ii 1 i1 i , iX XY Ym=+++ Con lo que se obtienen n-2 condiciones. INTERPOLACIN CBICA CON ESTIMACIN LINEAL DE PENDIENTES Pgina 2 de 7 ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN FECHA:03-AGO -07 Con las cinco propiedades anteriores se forma un sistema de 4n-4 ecuaciones y 4n-4 incgnitas, por lo que es posible encontrar los coeficientes de cada polinomio.Para ilustrar de forma general las propiedades antes descritas, se ejemplificar el sistema de ecuaciones contrespuntosonodosoriginales,locualgeneraunsistemade8ecuacionescon8incgnitas,dicho sistema sera de la siguiente forma: Primera propiedad, i i iY ) X ( S =1 ecuacin: S1(X1) = a1(X1-X1)3 + b1(X1-X1)2 + c1(X1-X1) + d1 = d1 = Y1 2 ecuacin: S2(X2) = a2(X2-X2)3 + b2(X2-X2)2 + c2(X2-X2) + d2 = d2 = Y2 Segunda propiedad, 1 i 1 i iY ) X ( S+ +=3 ecuacin: S1(X2) = a1(X2-X1)3 + b1(X2-X1)2 + c1(X2-X1) + d1 = Y2 4 ecuacin: S2(X3) = a2(X3-X2)3 + b2(X3-X2)2 + c2(X3-X2) + d2 = Y3 Tercera propiedad,) X ( S ) X ( Si'i i'1 i=Alsertresnodos,solamentesetiene unnodointerior,enelquela derivada delpolinomioanterioryel posterior deben ser iguales. 5 ecuacin:S =S ) X (2'1) X (2'2Es decir, 3a1(X2-X1)2 + 2b1(X2-X1)+c1 = c2 Cuarta propiedad, condiciones de frontera 6 ecuacin: 1 21 21 1 1 1 121 1 1 1'1X XY Yc c ) X X ( b 2 ) X X ( a 3 ) X (= = + + = S7 ecuacin: 2 32 32 2 3 222 3 2 3'2X XY Yc ) X X ( b 2 ) X X ( a 3 ) X (S= + + =Quinta propiedad, estimacin lineal de pendientes 8 ecuacin:S = 3a ) X (2'1 1(X2-X1)2 + 2b1(X2-X1)+c1 = ||.|

\|+||.|

\|2 32 31 21 2X XY Y32X XY Y31 INTERPOLACIN CBICA CON ESTIMACIN LINEAL DE PENDIENTES Pgina 3 de 7 ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN FECHA:03-AGO -07 El sistema de ecuaciones se puede expresar de manera matricial de la siguiente forma: ((((((((((((

=((((((((((((

((((((((((((

) X ( S) X ( S) X ( S0YYYYdcbadcba0 0 0 0 0 1 ) X X ( 2 ) X X ( 30 1 ) X X ( 2 ) X X ( 3 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 ) X X ( 2 ) X X ( 31 X X ) X X ( ) X X ( 0 0 0 00 0 0 0 1 X X ) X X ( ) X X (1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 02'13'21'13221222211111 221 22 322 31 221 22 322 332 31 221 231 2 Donde: 1 21 21'1X XY Y) X ( S=2 32 33'2X XY Y) X ( S=||.|

\|+||.|

\|=2 32 31 21 22'1X XY Y32X XY Y31) X ( S UnavezquesecuenteconestesistemadeecuacionesdelaformaAx=besposibleutilizaralgn mtodo matemtico para encontrar su solucin, por ejemplo, utilizar descomposicin triangular, matrices inversas, etc. Al resolver el sistema de ecuaciones anterior se determinan los coeficientes de los dos polinomios y por ende la curva completa. Ejemplo 1. Interpolacin con 3 nodos. Se tienen los siguientes nodos: PlazoTasa de inters 17.0077.50288.00 INTERPOLACIN CBICA CON ESTIMACIN LINEAL DE PENDIENTES Pgina 4 de 7 ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN FECHA:03-AGO -07 Enestatablasetienen3nodos,porloqueesnecesarioconstruirdospolinomiosdegrado3,loque implicaencontrarlos8coeficientesdelospolinomios.Porcomodidadsetrabajarnconlastasas multiplicadas por 100. Por lo tanto las 8 ecuaciones expresadas de manera matricial son: ((((((((((((

=((((((((((((

((((((((((((

04365 . 002381 . 008333 . 0085 . 75 . 77dcbadcba0 0 0 0 0 1 12 1080 1 42 1323 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 12 1081 21 441 9261 0 0 0 00 0 0 0 1 6 36 2161 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 022221111 Alresolverelsistemautilizandolamatrizinversa,seobtieneelvectorsolucindecoeficientesdelos polinomios: Coeficientes del primer polinomio Coeficientes del segundo polinomio a1 =-0.001102a2 =0.000045 b1 =0.006614b2 =-0.001890 c1 =0.083333c2 =0.043651 d1 =7d2 =7.5 Por lo tanto, los polinomios son: S1(X) = -0.001102 (X-1)3 + 0.006614 (X-1)2 + 0.083333 (X-1) + 7 S2(X) = 0.000045 (X-7)3 0.001890(X-7)2 + 0.043651(X-7) + 7.5 INTERPOLACIN CBICA CON ESTIMACIN LINEAL DE PENDIENTES Pgina 5 de 7 ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN FECHA:03-AGO -07 Grficamente, los polinomios generan la siguiente curva: 6.90%7.10%7.30%7.50%7.70%7.90%8.10%1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27YTasasPlazosX Ejemplo 2. Interpolacin con 5 nodos. Se tienen los siguientes nodos: PlazoTasa de inters 15.00285.801806.503009.00 36010.00 Estos nodos estn dispuestos de manera que la curva es un poco ms accidentada que la anterior. Estos nodos generan 4 polinomios de tercer grado (cuatro coeficientes cada uno) por lo que se debe construir unamatrizde16X16.Laconstruccindedichamatrizesanlogaalaanteriorporloqueslose mencionarn los resultados obtenidos, los cuales son los siguientes: INTERPOLACIN CBICA CON ESTIMACIN LINEAL DE PENDIENTES Pgina 6 de 7 ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN FECHA:03-AGO -07 S1(X)S2(X)S3(X)S4(X) ai -0.0000230.000001-0.0000010.000000 bi 0.000618-0.0001810.000113-0.000046 ci 0.0296300.0129470.0154240.018056 di 5.0000005.8000006.5000009.000000 Por lo que la grfica de interpolacin es: 0.00%2.00%4.00%6.00%8.00%10.00%12.00%0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360Tasas YPlazosX1 INTERPOLACIN CBICA CON ESTIMACIN LINEAL DE PENDIENTES Pgina 7 de 7 ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN FECHA:03-AGO -07 II.3. INTERPOLACIN POR CUBIC SPLINES ElmodelodeInterpolacinCubicSplineoTrazadoresCbicos,essimilaralmodelodeinterpolacin cbicaconestimacinlinealdependientes,lanicadiferenciaesqueenestecasoseasumen propiedades con la segunda derivada. Secuentaconlainformacindennodosconocidos,delaforma(X1,Y1),(X2,Y2),,(Xn,Yn),utilizando una familia de n-1 polinomios de tercer grado. De la siguiente expresin se desea encontrar los coeficientes ai, bi, ci y di, para i = 1,,n-1. i i i2i i3i i i id ) X X ( c ) X X ( b ) X X ( a ) X ( S Y + + + = = Donde el subndice i, indica el polinomio de tercer grado que asocia a los nodos (Xi,Yi) y (Xi+1, Yi+1). De manera explcita la familia de los n-1 polinomios, es la siguiente: + + + = + + + = + + + == = n 1 n 1 n 1 n 1 n21 n 1 n31 n 1 n 1 n3 2 2 2 222 232 2 22 1 1 1 121 131 1 1X X X Para d ) X X ( c ) X X ( b ) X X ( a ) X ( S...X X X Para d ) X X ( c ) X X ( b ) X X ( a ) X ( SX X X Para d ) X X ( c ) X X ( b ) X X ( a ) X ( S) X ( S Y Setienen4n-4incgnitas(loscoeficientesdecadapolinomio),porloqueseestablecern4n-4 ecuaciones, tales que reflejen las siguientes propiedades: 1.-Congruenciaconlosnodosoriginales.Cadapolinomiodebepasarporlosnodosopuntos originales, por lo que:i i iY ) X ( S = Para i = 1, , n-1 Con lo que se obtienen n-1 condiciones. 2.-Continuidad. La curva debe ser continua, por lo que se incluye la condicin de que el ltimo valor del polinomio anterior i debe ser igual al primer valor del polinomio posterior i+1. Dicha condicin se expresa de la siguiente forma: 1 i 1 i 1 i 1 i iY ) X ( S ) X ( S+ + + += = Para i = 1, , n-2 n n 1 nY ) X ( S =Para i = n-1 Con lo que se obtienen n- 1 condiciones. INTERPOLACIN POR CUBIC SPLINES Pgina 1 de 6 ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN FECHA:03-AGO -07 3.- La curva debe ser derivable (suavidad en la curva).Para los nodos que se encuentren dentro de los nodos extremos, la derivada evaluada con el polinomio anterior debe ser igual a la derivada evaluada con el polinomio posterior, por lo que se tienen n-2 condiciones dadas por: ) X ( S ) X ( Si'i i'1 i=Para i = 2, , n-1 La primera derivada es: i i i2i i'ic ) X X ( b 2 ) X X ( a 3 ) X ( S + + =Con lo que se obtienen n-2 condiciones. 4.- Segunda derivada de la funcin.De la misma forma que en la primera derivada,en los nodos que seencuentrendentrodelosnodosextremos,lasegundaderivadaevaluadaconelpolinomioanterior debeserigualalasegundaderivadaevaluadaconelpolinomioposterior,porloquesetienenn-2 condiciones dadas por: ) X ( S ) X ( Si' 'i i' '1 i=Para i = 2, , n-1 La segunda derivada es: i i i' 'ib 2 ) X X ( a 6 ) X ( S + =Con lo que se obtienen n-2 condiciones. 5. Condiciones de Frontera. Para contar con las dos ltimas ecuaciones necesarias para obtener los coeficientes de cada polinomio, se debe utilizar cualquiera de las siguientes condiciones de frontera: (i) Frontera libre o natural0 ) X ( S ) X ( Sn' '1 n 1' '1= =(ii)yS Frontera sujeta) X ( f ) X ( S1'1'1= ) X ( f ) X (n'n'1 n= En Valmer, se utiliza la segunda opcin y los valores de las condiciones de frontera, estn dados por: 1 21 21'1X XY Y) X ( S=y 1 n n1 n nn'1 nX XY Y) X ( S= Para ilustrar la interpolacin, supongamos que tenemos tres puntos o nodos originales, lo cual genera un sistema de ecuaciones de 8 ecuaciones y 8 incgnitas, dicho sistema sera de la siguiente forma: INTERPOLACIN POR CUBIC SPLINES Pgina 2 de 6 ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN FECHA:03-AGO -07 Primera propiedad: 1 ecuacin: S1(X1) = a1(X1-X1)3 + b1(X1-X1)2 + c1(X1-X1) + d1 = d1 = Y1 2 ecuacin: S2(X2) = a2(X2-X2)3 + b2(X2-X2)2 + c2(X2-X2) + d2 = d2 = Y2 Segunda propiedad: 3 ecuacin: S1(X2) = S2(X2)a1(X2-X1)3 + b1(X2-X1)2 + c1(X2-X1) + d1=d2 4 ecuacin: S2(X3) = a2(X3-X2)3 + b2(X3-X2)2 + c2(X3-X2) + d2 = Y3 Tercera propiedad: 5 ecuacin:S =S ) X (2'1) X (2'2Lo cual se traduce en3a1(X2-X1)2 + 2b1(X2-X1)+c1 = c2 Cuarta propiedad: 6 ecuacin:S =S ) X (2' '1) X (2' '2Lo cual se traduce en6a1(X2-X1) + 2b1 = 2b2 Quinta propiedad: 7 ecuacin: 1 21 21 1 1 1 121 1 1 1'1X XY Yc c ) X X ( b 2 ) X X ( a 3 ) X (= = + + = S8 ecuacin: 2 32 32 2 3 222 3 2 3'2X XY Yc ) X X ( b 2 ) X X ( a 3 ) X (S= + + = INTERPOLACIN POR CUBIC SPLINES Pgina 3 de 6 ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN FECHA:03-AGO -07 El sistema de ecuaciones se puede expresar de manera matricial de la siguiente forma: ((((((((((((

=((((((((((((

((((((((((((

) X ( S) X ( S00Y0YYdcbadcba0 1 ) X X ( 2 ) X X ( 3 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 2 0 0 0 2 ) X X ( 60 1 0 0 0 1 ) X X ( 2 ) X X ( 31 X X ) X X ( ) X X ( 0 0 0 01 0 0 0 1 ) X X ( ) X X ( ) X X (1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 03'21'1321222211112 322 31 21 221 22 322 332 31 221 231 2 Donde: 1 21 21'1X XY Y) X ( S=2 32 33'2X XY Y) X ( S= UnavezquesecuenteconestesistemadeecuacionesdelaformaAx=besposibleutilizaralgn mtodoparaencontrarsusolucin,porejemplo,utilizardescomposicintriangular,matricesinversas, etc. Al resolver el sistema de ecuaciones anterior se determinan los coeficientes de los dos polinomios y por lo tanto, la funcin completa. Ejemplo 1. Interpolacin con 3 nodos. Se tienen los siguientes nodos: PlazoTasa de Inters17.00 % 77.50 % 288.00 % INTERPOLACIN POR CUBIC SPLINES Pgina 4 de 6 ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN FECHA:03-AGO -07 Enestatablasetienen3nodos,porloqueesnecesarioconstruirdospolinomiosdegrado3,loque implicaencontrarlos8coeficientesdelospolinomios.Porcomodidadsetrabajarnconlastasas multiplicadas por 100. Por lo tanto las 8 ecuaciones expresadas de manera matricial son: ((((((((((((

=((((((((((((

((((((((((((

02381 . 008333 . 000805 . 77dcbadcba0 1 42 1323 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 2 0 0 0 2 360 1 0 0 0 1 12 1081 21 441 9261 0 0 0 00 0 0 0 1 6 36 2161 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 022221111 Alresolverelsistemapormatricesinversas,seobtieneelvectorsolucindecoeficientesdelos polinomios: Coeficientes del primer polinomioCoeficientes del segundo polinomio a1 =-0.000367a2 =0.000105 b1 =0.002205b2 =-0.004409 c1 =0.083333c2 =0.070106 d1 =7.000000d2 =7.500000 Por lo tanto, los polinomios son: S1(X) = -0.000367 (X-1)3 + 0.002205 (X-1)2 + 0.083333 (X-1) + 7 S2(X) = 0.000105 (X-7)3 0.004409 (X-7)2 + 0.070106 (X-7) + 7.5 Grficamente, los polinomios generan la siguiente curva: INTERPOLACIN POR CUBIC SPLINES Pgina 5 de 6 ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN FECHA:03-AGO -07 6.90%7.10%7.30%7.50%7.70%7.90%8.10%1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27YTasasPlazosX INTERPOLACIN POR CUBIC SPLINES Pgina 6 de 6 ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN FECHA:03-AGO -07 II.4. INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN POR SMOOTHING SPLINES Los Splines proporcionan un camino til para generar curvas suaves a partir de un conjunto de nodos (Xi, Yi) conocidos. El objetivo de este mtodo puede ser interpolar, donde se requiere que la curva pase a travs de todos los nodos, o para un proceso ms general de ajuste, en el cual la curva ayuda a mejorar el ajuste, pero no necesariamente pasa por todos los nodos. En contraste con los modelos alternativos, tales como los polinomios de ajuste de alto orden, una ventaja de los Splines es que requieren de un nmero pequeo de parmetros.Considerando un conjunto de datos de informacin, en la terminologa de los splines, los valores X son referenciadosalosplazos,ylosvaloresYcomolastasasasociadascondichosplazos.Elajustedel spline involucra el vnculo de cada par de nodos adyacentes con un polinomio cbico de tal forma que la funcin resultante sea suave, esto se garantiza con la propiedad de que sean continuas sus primeras y segundas derivadas. La funcin del spline suavizado, denotado por f, surge de resolver el siguiente problema: ( ))` + =nX1X2 ' 'n1 i2i ifds )] s ( f )[ s ( ) p 1 ( ) Xi ( f Y w p minEstaexpresinconstadedoselementos.Elprimero,lasuma,mideladiferenciaqueexisteentrelos valores de Y conocidos y los calculados con el modelo a partir de la X correspondiente. El segundo, la integraltomadadelnodoinicialalnodofinal,midelasuavidaddelafuncinresultante.Tantolasuma comolaintegral estnponderadas por elparmetro p,queest acotadoentre 0y1.Amayor pmayor peso se le da a la suma de los errores y a menor p mayor peso se le asigna a la suavidad de la funcin. Cuando p=1 elproblema esidnticoaldespline cbico. (s) es elparmetro desuavizamientoytiene valor de default 1. Las diferencias de los rendimientos y el modelo estn ponderadas por las ws. Estas ws le dan diferente peso a las diferencias de los nodos.Enespecial,paralaconstruccindelaestructuratemporaldetasas,seasumequeelpesodeberser menor conforme crece el plazo. Por lo que se propone determinar las wis como: ==n1 jjiiD / 1D / 1wDonde Di es la duracin de un bono cupn cero con un plazo de Xi. Con lo que se establece que a menor plazomayor pesosele otorgaalnodo encuestin. Enlaprcticaesteprocedimientoarrojaresultados satisfactorios. A continuacin se muestra un diagrama con dos modelos: Nelson-Siegel-Svensson y Smoothing Splines. INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN POR SMOOTHING SPLINES Pgina 1 de 2 ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN FECHA:03-AGO -07 Es importante mencionar que para la estimacin de Nelson-Siegel-Svensson no se incorporan dos de los nodosdelargoplazo,deotramaneraalajusteenelcortoplazoserapobre.Comoseobservaenel corto plazo el ajuste es similar. Sin embargo, en el mediano y largo plazo el ajuste es significativamente diferente. Se considera que el mtodo de Smoothing Splines incorpora de mejor manera la informacin delmercadoy,demaneraimportante,eslosuficientementeflexibleparasertilcomomodeloalas cambiantes condiciones del mercado mexicano. Unpuntodesumarelevanciaeselplazomsalldelltimonodo.Dadoqueelsplinepresentauna trayectoriaaccidentadamsalldeesteltimonodo,seproponeunajusteparalaextrapolacinde estos plazos. Una vez obtenidos los nodos se corre una regresin (mnimos cuadrados ordinarios) y se obtieneelrendimientoquesealelalneadelaregresincorrespondientealmslargoplazoquese quiere considerar. Con este nodo adicional se ejecuta el proceso descrito anteriormente lo cual brinda un modelo para plazos ms largos, y el ajuste para los plazos cortos y medianos es satisfactorio.Unapreocupacinalmodelarlaestructuratemporaldetasaseslacurvadeforwardsimplcitaenel modelo resultante. Primero, las tasas forward deben de ser consistentes. Segundo, las tasas forward no deben de admitir arbitraje, tema que se aborda ms abajo. A la luz de la teora de expectativas, la cual asevera que los agentes en la economa, dada la informacin del mercado tienen esperado observar, por ejemplo un da despus, una estructura temporal de tasas igual a la de las tasas forward de 1 a t das. INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN POR SMOOTHING SPLINES Pgina 2 de 2 ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN FECHA:03-AGO -07 II.5. INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACINPOR NELSON-SIEGEL ElmodelodeNelson-Siegel1esunmodeloparsimoniosono-lineal,elcualproponeunafuncinpara describir el comportamiento de las tasas forward con el paso del tiempo. Se basa en la premisa de que existeunconjuntodeecuacionesdiferenciablesquegeneranlasformastpicasdelacurvade rendimientodelosmercados,esimportantemencionarqueestemodelopuedegenerarcurvascon caractersticasatpicascomosonlascurvasquetienenformadeSolascurvasquetienen rendimientos ms altos en la parte media de la curva. Losautoresproponenlasiguienteecuacinfuncinpararepresentarcurvadetasasdeinters instantneasr al vencimientom : |.|

\||.|

\| + |.|

\| + =mexp *m*mexp * ) m ( r2 1 0 Componente: 0 Elprimercomponentepuedeversecomolacontribucindellargoplazo.Losotroscomponentes convergernen cero cuando el vencimiento aumente, ya que se multiplican por el trmino de decaimiento exponencial. Componente:|.|

\|mexp *1 Puedeversecomolacontribucindelcortoplazo.Estecomponenteesmuyimportanteenelvencimiento cercanodelplazo,sinembargo,convergerpidamenteacerocuandoseincrementaelplazo.Tieneel decaimiento ms rpido de todas las funciones. Componente:|.|

\||.|

\|mexp *m*2 Estafuncintambintieneeltrminodedecaimientoexponencialperomultiplicadopor m,quese incrementa con el plazo a vencimiento. Por lo tanto, esta funcin empieza en cero (cuandomes igual a 0) y se incrementa hasta un mximo antes de converger otra vez en cero. Bajo el supuesto de un mercado libre de arbitraje se tiene lo siguiente: ( ) ( ) ( )||.|

\| = = =k1 jj jk k 2 2 1 1 k km ) m ( r exp) m r exp( m ) m ( r exp m ) m ( r exp m ) m ( R exp K 1 Nelson y Siegel, Parsimoneous Modeling of Yield Curves for U. S. Treasury Bills, 1985. INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN POR NELSON-SIEGEL Pgina 1 de 4 ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN FECHA:03-AGO -07 Donde = ) m ( Rk Tasa de inters para el periodo( )km , 0 . = ) m ( rj Tasa de inters forward para el periodo( )j 1 jm , m conk , , 1 j K =1 j j jm m m = Por lo que, haciendo, y cambiando la notacin de0 mj m mk = , se tiene: = m0dx ) x ( r m ) m ( RResolviendolaintegralydespejandosetieneelmodelodeNelson-Siegel,lacualpuedeser expresada de la siguiente forma: ) m ( R|.|

\| |.|

\| ((

|.|

\| + + =mexp *m*mexp 1 * ) ( ) m ( R2 2 1 0 Es decir, la tasa spot actual se define a partir del comportamiento futuro de las tasas forward, determinada por cuatro parmetros, Losparmetrosbetapuedenserestimadosmedianteelmtodode mnimos cuadrados una vez que se ha elegido un parmetro tau. . , , ,2 1 0 Sin embargo, el proceso no implica la seleccin de un parmetro Tau fijo. En su lugar, se propone ajustar el modelo para valores mltiples de Tau y para cada Tau, usar mnimos cuadrados para un mejor ajuste de los coeficientes y .As,la R-cuadrada es la medida para saber qu tan bien el modelo se ajusta a los datos.1 0, 2 Supongamos que tenemos las siguientes observaciones de tasas de inters: PlazoTasa de Inters15.60 % 28 9.77 % 56 10.84 % 84 10.60 % 112 10.12 % 140 9.55 % 168 9.08 % 196 8.70 % 224 8.48 % 252 8.31 % 280 8.20 % 308 8.10 % 336 8.08 % 3648.00 % INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN POR NELSON-SIEGEL Pgina 2 de 4 ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN FECHA:03-AGO -07 Esimportanteobservarquelosnodosentre28y112daspresentanmayorrendimientoquelastasas subsecuentes, esto fue planteado as para observar el ajuste del modelo de Nelson-Siegel a estructuras temporales de tasa de inters atpicas como es este caso. ElparmetroTaufuefijadoen50porqueestevalorproporcionabaunbuenajustealaestructura anterior.Conesteparmetroyutilizandoelmtododemnimoscuadradossedeterminanlos coeficientes beta del modelo de Nelson-Siegel. En nuestro ejemplo, los coeficientes son los siguientes: ParmetroEstimacin por MCO 00.080000 1-0.024971 20.100007 50 La grfica del modelo utilizando estos parmetros es la siguiente: Nelson Siegel0.0000%2.0000%4.0000%6.0000%8.0000%10.0000%12.0000%1 28 56 84 112 140 168 196 224 252 280 308 336 364OriginalesEstimados Comosepuedeverenlagrficaexistenpequeasdesviacionesconrespectoalosnodosoriginales,sin embargo,lacurvaproporcionaunbuenajusteyaquelasumadeloserroreselevadosalcuadradoes 0.0003%, teniendo mayor desviacin en el primer nodo, como se puede ver en el siguiente cuadro: INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN POR NELSON-SIEGEL Pgina 3 de 4 ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN FECHA:03-AGO -07 PlazoOriginalesEstimadosError^2 15.6000%5.7488%0.00022% 289.7700%9.7730%0.00000% 5610.8400%10.8402%0.00000% 8410.6000%10.6663%0.00004% 11210.1200%10.1194%0.00000% 1409.5500%9.5514%0.00000% 1689.0800%9.0809%0.00000% 1968.7000%8.7287%0.00001% 2248.4800%8.4799%0.00000% 2528.3100%8.3105%0.00000% 2808.2000%8.1983%0.00000% 3088.1000%8.1253%0.00001% 3368.0800%8.0785%0.00000% 3648.0000%8.0489%0.00002% INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN POR NELSON-SIEGEL Pgina 4 de 4 ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN FECHA:03-AGO -07 II.6. INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN POR NELSON-SIEGEL-SVENSSON La extensin de Svensson2 al modelo de Nelson_Siegel consiste en agregar un cuarto componente a la funcin de tasas forward de Nelson-Siegel, con el fin de tener una mayor flexibilidad en la curva. ||.|

\|||.|

\| +||.|

\|||.|

\| +||.|

\| + =2 231 1211 0mexp *m mexp *m*mexp * ) m ( r El modelo tiene seis parmetros que deben ser estimados: 2 1 3 2 1 0, , , , , . = 0 Este parmetro, el cual debe ser positivo, es el valor asinttico de r(m). La curva tenderhacia ese valor asinttico mientras m tienda a infinito. = 1Esteparmetrodeterminaelvalorinicial(eltrminoacortoplazo)delacurvaentrminosde desviacin de la asntota. ste tambin define la velocidad bsica con la cual la curva tiende haca su largoplazo.Lacurvatendrunapendientenegativaenelcortoplazocuandoesteparmetroes positivo y viceversa. La suma de 1 0y es la interseccin vertical. = 2Esteparmetrodeterminalamagnitudydireccindelacurva.Si 2 espositiva,unacurva ocurrirenmientrasquesi esnegativa,unacurvaconformadeUocurrirenestemismo valor. 12 = 3Este parmetro al igual que, determina la magnitud y direccin de la segunda curva. 2 1= Este parmetro que deber ser positivo, especifica la posicin de la primer curva con forma de U. 2= Este parmetro que deber ser positivo, especifica la posicin de la segunda curva con forma de U. De igual modo, la funcin de la tasa de rendimiento cero se obtiene integrando la funcin. El resultado es el siguiente: |||||.|

\|||.|

\|||.|

\| +|||||.|

\|||.|

\|||.|

\| +|||||.|

\|||.|

\| + =22231112111 0mexpmmexp 1mexpmmexp 1mmexp 1) m ( R 2 Svensson, Lars, Estimating and Interpreting Forward Interest Rates, 1994. INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN POR NELSON-SIEGEL-SVENSSON Pgina 1 de 3 ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN FECHA:03-AGO -07 A partir de esta expresin se puede obtener la tasa de inters continua, por lo que se debe encontrar la tasa de inters simple equivalente. Dicha tasa se despeja normalmente de la siguiente expresin: |.|

\| + = |.|

\|360plazoi 1360plazor expEs decir, plazo360* 1 e i360plazor||.|

\| = Donderes una tasa de inters continua e es una tasa de inters simple. i ComoejemploutilizaremoslacurvadetasasdeintersdelmodelodeNelsonSiegel.Paraestimarlos parmetrosbetaseutilizuna501 = yuna602 = ,porqueseencontrquedichosvalores proporcionaban un buen ajuste a la curva final. Los valores de los parmetros beta fueron obtenidos, al igual que en el caso anterior, mediante el mtodo de mnimos cuadrados, resultando los siguientes: ParmetroEstimacin por MCO 00.079995 1-0.024956 20.099721 30.000284 150 260 Con estos parmetros, se tienequela sumadel cuadradodelos errores deestimacinestansolo del 0.0000006%,porloquesepuededecirqueestemodeloseajustmejoralaestructuratemporalde tasas de inters que el modelo de Nelson-Siegel. En la siguiente tabla se muestran las estimaciones de la tasa de inters en los nodos originales: INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN POR NELSON-SIEGEL-SVENSSON Pgina 2 de 3 ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN FECHA:03-AGO -07 PlazoOriginalesEstimadosError^2 15.7500%5.7493%0.00000% 289.7700%9.7722%0.00000% 5610.8400%10.8398%0.00000% 8410.6700%10.6665%0.00004% 11210.1200%10.1200%0.00000% 1409.5500%9.5521%0.00000% 1689.0800%9.0815%0.00000% 1968.7300%8.7291%0.00001% 2248.4800%8.4801%0.00000% 2528.3100%8.3105%0.00000% 2808.2000%8.1980%0.00000% 3088.1200%8.1248%0.00001% 3368.0800%8.0779%0.00000% 3648.0500%8.0482%0.00002% La grfica de la curva estimada es muy similar al modelo de Nelson-Siegel. Nelson Siegel + Svensson00.020.040.060.080.10.121 28 56 84 112 140 168 196 224 252 280 308 336 364OriginalesEstimados INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN POR NELSON-SIEGEL-SVENSSON Pgina 3 de 3 ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN FECHA:03-AGO -07 II.7. EXTRAPOLACIN CON TASAS FORWARD CONSTANTES La tasa forward denotada por, es la tasa que hace equivalente invertir en una tasa de inters rbaFb con plazo b, a utilizar una tasa de inters ra con plazo a, y posteriormente reinvertir a una tasa de intersFpara el periodo (a,b). Tal como se muestra en la siguiente grfica: ba brarbaF0 a b Esta equivalencia se hace bajo el supuesto de ausencia de oportunidades de arbitraje y analticamente se expresa por: |.|

\| + |.|

\| + = |.|

\| +360a bF 1360ar 1360br 1ba a b Donde: rbTasa simple correspondiente al plazo b raTasa simple correspondiente al plazo a baF Tasa forward del tiempo a al tiempo b Cona < b Si se conocen las tasas simples, rb y ra, es posible obtener la tasa forward,, implcita.baFAl despejarla de la igualdad antes mencionada, se tiene: a b3601360ar 1360br 1Fabba||||.|

\|||||.|

\|++= EXTRAPOLACIN CON TASAS FORWARD CONSTANTES Pgina 1 de 5 ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN FECHA:03-AGO -07 A manera de ejemplo, supngase que se tienen los siguientes datos: Plazo Tasa Cero Simple r30306.909819 % r58587.045305 % Por lo tanto, la tasa implcita de 28 das que aplicar dentro de 30 das,, es:5830F 071493 . 02836013603006909819 . 0 13605807045305 . 0 1F5830=||||.|

\|||||.|

\|++= Extrapolacin Sea desean obtener las tasas simples de k+1 hasta m, y se supone conocida la estructura temporal de tasas simples desde 1 hasta k. 1k-pk-p+1k-2 k-1 k k+1 mConocidas No Conocidas Como puede observarse la ltima tasa forward conocida de un da es, que se obtiene a partir de: k1 kF 136013601 kr 1360kr 1F1 kkk1 k||||.|

\|||||.|

\|++= Una vez que se tiene el valor de, ste se supone constante para los siguientes periodos, es decir, k1 kF m1 m1 kkk1 kF ... F F+= = = Por lo que la tasa simple del periodo k+1 es: 1 k36013601F 1360kr 1 r1 kkk 1 k+||.|

\| |.|

\| + |.|

\| + =++ Posteriormente,seutilizaelvalorderk+1ylatasaforwardconstanteparaobtenerrk+2y,as sucesivamente, hasta obtener la tasa rm. EXTRAPOLACIN CON TASAS FORWARD CONSTANTES Pgina 2 de 5 ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN FECHA:03-AGO -07 Cabe mencionar, que adems de la tasa forward asociada a un periodo se podra utilizar cualquier otra tasa forward. De manera general, se podra utilizar la tasa forward asociada a p das,F . kp kkp kF kp k1 k1 p kF F++ = 0k-pk-p+1k-2 k-1 k k+1 m Conocidas No Conocidas Por lo que la tasa, es: kp kF p3601360p kr 1360kr 1Fp kkkp k||||.|

\|||||.|

\|++= Dado quese mantendr constante, entonces, por lo que la tasa de inters del plazo k+1 se obtiene de la siguiente forma, kp kF mp m1 k1 p kkp kF ... F F++ = = = 1 k3601360pF 13601 p kr 1 r1 k1 p k1 p k 1 k+||.|

\| |.|

\| + |.|

\| + + =++ + + O bien, de manera general: j k3601360pF 1360j p kr 1 rj kj p kj p k j k+||.|

\| |.|

\| + |.|

\| + + =++ + + Para j = 1, 2, , m-k Como ejemplo, supngase que se tiene una curva cero de inters con 10 das y se desea extrapolar la informacin hasta el plazo 15, usando la ltima tasa forward de 5 das conocida. Con la notacin tenemos que: k = 10 m = 15 p = 5 EXTRAPOLACIN CON TASAS FORWARD CONSTANTES Pgina 3 de 5 ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN FECHA:03-AGO -07 La ltima tasa forward de 5 das conocida es020673 . 0536013605020593 . 0 136010020636 . 0 1105=||||.|

\|||||.|

\|++= F Al mantener esta tasa constante, los valores de la tasa simple de 10 a 15 das estn dados por:

j 1036013605020673 . 0 1360j 5r 1 rj 5 j 10+||.|

\| |.|

\| + |.|

\| ++ =+ + Para j = 1, 2 , , 5 Por ejemplo, para j = 1 se tiene020640 . 01136013605020673 . 0 13606020607 . 0 1 r11=||.|

\| |.|

\| + |.|

\| + = De la misma forma se calculan las tasas simples hasta el da 15, obteniendo: Plazo Tasa Cero Simple % Tasa Forward5 das 10.0204840.020630 20.0205190.020654 30.0205500.020665 40.0205740.020670 50.0205930.020673 60.0206070.020673 70.0206170.020673 80.0206240.020673 90.0206300.020673 100.0206360.020673 110.020640120.020644130.020647140.020649150.020652 EXTRAPOLACIN CON TASAS FORWARD CONSTANTES Pgina 4 de 5 ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN FECHA:03-AGO -07 EXTRAPOLACIN CON TASAS FORWARD CONSTANTES Pgina 5 de 5 Al graficar las tasas simples, se obtiene: 2.035%2.040%2.045%2.050%2.055%2.060%2.065%2.070%1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15PlazosXTasas Y