Relación matemáticaUna relación , de los conjuntos es un subconjunto del producto cartesiano

Una relación binaria es una relación entre dos conjuntos.

El concepto de relación implica la idea de enumeración, de algunos de los elementos, de los conjuntos que forman tuplas.

Un caso particular es cuando todos los conjuntos de la relación son iguales: en este caso se representa como , pudiéndose decir que la relación pertenece a A a la n.

Tipos de relaciones

En las relaciones se diferencian los tipos según el número de conjuntos en el producto cartesiano, que es el número de términos de la relación:

Relación unariaEn matemáticas, una relación unaria R, en un conjunto A, es el subconjunto de los elementos x de A que cumplen una determinada condición que define R:

Ejemplo

Dado el conjunto N de los números naturales, definimos la relación unaria P de los números pares, esto es un número natural x pertenece a P si x es par, que se expresaría:

o lo que es lo mismo:

Partiendo de los alumnos de un centro escolar A, podemos definir la relación unaria alumnos de tercero T, formada por los alumnos del centro que estudian tercer curso:

Relación binariaEn matemáticas, una relación binaria es una relación matemática R entre los elementos de dos conjuntos A y B. Una relación de este tipo se puede representar mediante pares ordenados, :1

Las proposiciones siguientes son correctas para representar una relación binaria :

También puede expresarse:

en notación polaca.

Función matemáticaNo debe confundirse con Función (informática).

En la imagen se muestra una función entre un conjunto de polígonos y un conjunto de números. A cada polígono le corresponde su número de lados.

Una función vista como una «caja negra», que transforma los valores u objetos de «entrada» en los valores u objetos de «salida»

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r2. Del mismo modo, la duración T de un viaje de tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que este se desplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad, d / v. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente.

En análisis matemático, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere en a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto (correspondencia matemática). Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero):

 ...  −2 → +4,  −1 → +1,  ±0 → ±0,     +1 → +1,  +2 → +4,  +3 → +9,  ...

Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son las más conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada palabra del español le asigne su letra inicial:

..., Estación → E, Museo → M, Arroyo → A, Rosa → R, Avión → A, ...

Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de las letras del alfabeto español.

La manera habitual de denotar una función f es:

f: A → B

 a → f(a),

donde A es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; y B es el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(a) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario a del dominio A, es decir, el (único) objeto de B que le corresponde. En ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeseles f y g, se denotarían entonces como:

f: Z → N

 k → k2, o sencillamente f(k) = k2;

g: V → A

 p → Inicial de p;

si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}.

Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo o ecuaciones para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen —como las mostradas arriba—, o como una gráfica que dé una imagen de la función.

Imagen e imagen inversaArtículo principal: Conjunto imagen

Dado un conjunto de votantes y un conjunto de posible partidos, en unas elecciones, el sentido del voto de cada individuo se puede visualizar como una función.

Los elementos del codominio B asociados con algún elemento del dominio A constituyen la imagen de la función.

Dada una función f : A → B, el elemento de B que corresponde a un cierto elemento a del dominio A se denomina la imagen de a, f(a).

El conjunto de las imágenes de cada elemento del dominio es la imagen de la función f (también rango o recorrido de f). El conjunto de las imágenes de un subconjunto cualquiera del dominio, X ⊆ A, se denomina la imagen de X.

La imagen de una función f se denota por Im(f), y la de un subconjunto X por f(X) o f[X]. En notación conjuntista las imágenes de f y X se denotan:

La anti-imagen de cada partido es el conjunto de los electores que lo votaron.

La imagen de una función f es un subconjunto del codominio de la misma, pero no son necesariamente iguales: pueden existir elementos en el codominio que no son la imagen de ningún elemento del dominio, es decir, que no tienen preimagen.

La imagen inversa (también anti-imagen o preimagen) de un elemento b del codominio B es el conjunto de elementos del dominio A que tienen a b por imagen. Se denota por f−1(b).

La imagen inversa de un subconjunto cualquiera del codominio, Y ⊆ B, es el conjunto de las preimágenes de cada elemento de Y, y se escribe f−1(Y).

Así, la preimagen de un elemento del codominio puede no contener ningún objeto o, por el contrario, contener uno o más objetos, cuando a uno o varios elementos del dominio se les asigna dicho elemento del codominio. En notación conjuntista, se escriben:

Ejemplos

La imagen de la función cubo f es todo R, ya que todo número real posee una raíz cúbica real. En particular, las raíces cúbicas de los números positivos (negativos) son positivas (negativas), por lo que se tiene, por ejemplo, f−1(R+) = R+.

El recorrido de la función inverso g no es igual a su codominio, ya que no hay ningún número real x cuyo inverso sea 0, 1/x = 0.

Para la función «clasificación en géneros» γ se tiene:

γ(Perro) = Canis, y γ−1(Canis) = {Perro, coyote, chacal,...}.

Como el área es siempre un número positivo, el recorrido de la función área A es R+. En el diagrama puede comprobarse que la imagen de la función voto v no coincide con el dominio, ya que el

partido C no recibió ningún voto. Sin embargo puede verse que, por ejemplo, v−1(Partido A) tiene 2 elementos

En matemáticas, la gráfica de una función:

es la representación gráfica de la correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen. Es el conjunto formado por todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f; es decir, como un subconjunto del producto cartesiano X×Y.

Las únicas funciones que se pueden trazar de forma completa son las de una sola variable, con un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. Si la función es continua, entonces la gráfica formará una línea recta o curva.

En el caso de funciones de dos variables es posible visualizarlas de forma unívoca mediante una proyección geométrica, pero a partir de tres variables tan solo es posible visualizar cortes (con un plano) de la función para los que los valores de todas las variables, excepto dos, permanezcan constantes.

El concepto de gráfica de una función se generaliza a la gráfica de una relación. Notar que si bien cada función tiene una única representación gráfica, pueden existir varias funciones que tengan la misma, pero con dominios y codominios diferentes.

Dominio de definición

El Dominio de definición D de una función es el subconjunto de X que tienen imagen en Y:

Sin pérdida de la generalidad, consideramos, tanto el conjunto X como Y sea el de los números reales R, siendo X un intervalo o la unión de varios intervalos, podemos diferenciándose los siguientes casos:

El dominio un intervalo abierto: (a,b). Se puede expresar:

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real y a sea menor que x y x menor de b, tal que existe y número real é y= f(x).

La forma de representar el intervalo abierto, da lugar a la expresión:

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real en el intervalo abierto (a,b) , tal que existe y número real é y= f(x).

Si el dominio un intervalo semiabierto: (a,b]. Tenemos la expresión:

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real y a sea menor o igual que x y x menor de b, tal que existe y número real é y= f(x).

Tomando la forma de representar un intervalo semiabierto, tenemos la expresión:

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real en el intervalo semiabierto [a,b) , tal que existe y número real é y= f(x).

Si el dominio es el intervalo semiabierto: [a,b). Tenemos la expresión:

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real y a sea menor que x y x menor o igual que b, tal que existe y número real é y= f(x).

Tomando la forma de representar un intervalo semiabierto, tenemos la expresión:

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real en el intervalo semiabierto [a,b) , tal que existe y número real é y= f(x).

Si el dominio un intervalo cerrado: [a,b] la expresión resultante es:

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real y a sea menor o igual que x y x menor o igual que b, tal que existe y número real é y= f(x).

Tomando la forma de representar un intervalo cerrado, tenemos que:

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real en el intervalo cerrado [a,b] , tal que existe y número real é y= f(x).

En estos ejemplos hemos podido ver, las distintas formas de representar los distintos tipos de intervalos, tanto abiertos semiabiertos o cerrados, en una expresión o en una gráfica.

Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Para hallar el crecimiento y decrecimiento seguiremos los siguientes pasos:

1 Derivar la función.

2 Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.

3 Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad de la función original (si los hubiese).

4 Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.

Si f'(x0) > 0, entonces f es creciente en todos los puntos del intervalo al que pertenece x0.

Si f'(x0) < 0, entonces f es decreciente en todos los puntos del intervalo al que pertenece x0.

5 Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

TRASLACIONES DE GRAFICOS

Para graficar una función, es necesario establecer muy bien los valores de equis y los valores de ye. Esto es el domino y el rango de la función. Esto se consigue haciendo una tabla de valores y luego colocando los puntos en el plano cartesiano.

Por ejemplo la función idéntica o identidad. Que corresponde a la función y = x. veamos su proceso para graficarla.

HACEMOS UNA TABLA DE VALORES     

           

LUEGO UNIENDO LOS PUNTOS

Una de las cosas que queremos descubrir tiene que ver con el cambio que sufre la grafica, y qué relación tiene este cambio con la función algebraica. Si decimos que la función idéntica se mueve un poco hacia arriba o hacia abajo sufre una translación de tipo vertical, y su  movimiento es hacia los lados, entonces sufre una translación horizontal. De mismo modo que esta se mueve, su expresión algebraica también sufre esos cambios.

Así entonces las expresión y = x, que originalmente tiene la forma de la ecuación de la recta Y = mx + b donde m es la pendiente de la recta y b el valor de la intersección con el eje de las ordenadas. Vemos que e cambio es vertical y a pesar de moverse de forma horizontal terminará cortando al eje de las ordenadas en el valor de b.

Las ecuaciones serán:

Y = x + 1     y = x + 2     y = x + 3   y = x- 1       y = x -2

Y las ecuaciones serán muchas, algo a lo que llamamos familia de las rectas. Que son las que tienen la misma pendiente pero una posición distinta.

Interpretemos estas curvas que nacen de la función y = x². Vemos una curva punteada es la original, y las demás curvas nacen de ella misma solo que su desplazamiento es vertical. Por eso las ecuaciones son

y = x² + b, donde b  es el número donde corta al eje de las ordenadas o ye.

Pero si e cambio es hacia el lado horizontal, ya no identificaremos el vértice de la parábola o la curva en el corte con las ordenadas, esta vez su vértice estará en otra coordenadas (x,y).

DELAZAMIENTOS VERTICALES Y HORIZONTALES

Los desplazamientos verticales y los desplazamientos horizontales en las ecuaciones cuadráticas  esta de terminados a partir de origen o la coordenada (0,0).

VERTICAL: Si la gráfica se mueve hacia arriba o hacia abajo el valor de b y su signo son iguales.

HORIZONTAL: Si el desplazamiento es hacia los lados, el signo de uno de los términos será contrario.

EJEMPLO:

La función f(x) = (x +2)² + 3

El vértice de esta función estará ubicado en la coordenadas (- 2 , 3 )

Simetría de una gráfica

 

Simetría significa la correspondencia en forma, posición y dimensión de una figura a un lado y otro de un plano, un eje o un punto.

 

Observa esa correspodencia en cada una de las siguientes ilustraciones.

Ilustración

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ilustración

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ilustración

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ver figura 8 de la página 103.

 

PRACTICA - dobla la gráfica para determinar la simetría.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Para determinar simetría cuando te dan la ecuación, vas a usar los pares ordenados (x, y).

 

Ejemplo: determina la simetría de la función f (x) = x2 .

Observa que los pares ordenados (2, 4) y (2, - 4) satisfacen la ecuación , pues f (2) = 22 = 4 y f (- 2) = (- 2)2 = 4. Por lo tanto esos pares ordenados son puntos de la gráfica. También los pares (3, 9) y (3, - 9) satisfacen; (4, 16) y (4, - 16) satisfacen.

 

En general, si sustituyes x por – x en la ecuación, obtienes la misma ecuación:

f(- x) = ( -x ) 2 = x2 = f(x)

OPERACIONES CON FUNCIONES  

Suma de funciones Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por  

Resta de funciones Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función  

  Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.   Producto de funciones Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por  

Cociente de funciones Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por  

  (La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)   Producto de un número por una función Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por  

FUNCIONES ESPECIALES

FUNCIÓN CONSTANTE

TRLAS QUE F(x)K CON K X ERSe llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una función matemática de la forma:

Donde a es la constante.

Como se puede ver es una recta horizontal en el plano xy, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos:

Tenemos:

Donde a tiene un valor constante, en la gráfica tenemos representadas:

Como la variable dependiente y no depende de x tenemos que:

La variación de y respecto a x es cero

La función constante como un polinomio en x

Si un polinomio general, tiene la forma:

Una función constante cumple esta expresión con n= 0, es un polinomio de grado 0.

Que es lo mismo que:

Que corresponde al termino independiente del polinomio.

Grafica de la función constante

Es el conjunto de los puntos del plano que representan a los pares ordenados de la función, donde su primera componente es un número real y su segunda componente es el valor constante.

F= {(x,f(x)]

VALOR ABSOLUTO

en matemáticas, el valor absoluto o módulo[1] de un número real es su valor numérico sin su respectivo signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y -3.

El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los números reales, cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos.

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4 Representamos la función resultante.

GRAFICA DE LA FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

Es el conjunto de puntos del plano que representa a los pares ordenados de la función en los cuales la primera componente es un numero real y la segunda componente ese el valor absoluto de la primera.

Propiedades de la función

a) INYECTIVA: Aquellas en que a cada imagen le corresponde un único origen. Formalmente,

o lo que es lo mismo,

a cada elemento del dominio corresponde el mismo numero como su imagen de manera que diferente elementos del dominio tienen la misma imagen.

C=3

Por lo tanto la función constante no es inyectiva. Todas las funciones constantes no son inyectivas

B) SUPRAYECTIVA: Aquellas en que la aplicación es sobre todo el codominio, es decir, cuando el conjunto imagen . Esto significa que todo elemento del condominio tiene un origen. Formalmente,

Estas funciones también se conocen como exhaustivas o epiyectivas.

como el dominio y el contra dominio de la función son los números reales y cualquier le pertenece al conjunto de A le corresponde el mismo numero, entonces el conjunto imagen es igual a ej. C=3 y 3 =/ TR por consiguiente la función constante no es suprayectiva

c) BIYECTIVA: cuando la función es inyectiva y suprayect5iva ala vez, cumple la regla biyectiva por lo tanto depende de la fu8ncion

Aquellas que son al mismo tiempo inyectivas y sobreyectivas. Formalmente,

Ejemplos

Sobreyectiva, no inyectiva

Inyectiva, no sobreyectiva Biyectiva

No sobreyectiva, no inyectiva

Ejercicios

FUNCIÓN CONSTANTE

F(x)= 3x E1R F=[(x, F(x)]

VALORES F x =3 (X, F x)

-3 F (-3) =3 (-3,3)

-2 F (-2) =3 (-2,3)

-1 F (-1) =3 (-1,3)

0 F (0) =3 (0,3)

1 F (1) =3 (1,3)

2 F (2) =3 (2,3)

3 F (3) =3 (3,3)

Propiedades

Inyectiva:

Esta grafica no es inyectiva debido a que todos los elementos del dominio les corresponden el mismo contra dominio es decir para todos los elementos de a

C=3

Suprayectiva:

Tampoco es suprayectiva debido a que a todos los humeros de a les corresponde el mismo contra dominio

Biyectiva:

Al no ser inyectiva ni tampoco suprayectiva n cumple las reglas de esta y no es biyectiva

F(x)= -3

-3 F (-3) =-3 (-3,-3)

-2 F (-2) =-3 (-2,-3)

-1 F (-1) =-3 (-1,-3)

0 F (0) =-3 (0,-3)

1 F (1) =-3 (1,-3)

2 F (2) =-3 (2,-3)

3 F (3) =-3 (3,-3)

Propiedades

Inyectiva:

Esta grafrica no es inyectiva para que todos los elementos de X corresponden ala misma imagen es decir que en todos los casos

C=-3

Biyectiva:

No es biyectiva ya que estas a su vez no es ni inyectiva ni suprayectiva al mismo caso anterior y sus rangos corresponden a cualquier cantidad de los dominios.

Suprayectiva:

No es suprayectiva ya que aunque coincida en (-2,-2) el rango es el mismo para todos los dominios.

Ejercicios

VALOR ABSOLUTO

F(x)= -4

X F(x)=(x) (x, F(x))

-4 F (-4)=/-4/ (-4,4)

-3 F (-3)=/-3/ (-3,3)

-2 F (-2)=/-2/ (-2,2)

-1 F (-1)=/-1/ (-1,1)

0 F (0)=/0/ (0,0)

1 F (1)=/1/ (1,1)

2 F (2)=/2/ (2,2)

3 F (3)=/3/ (3,3)

4 F (4)=/4/ (4,4)

Propiedades

Inyectiva:

Esta grafica si es inyectiva ya que para los dominios siempre hay contra dominio diferente a los demás.

Suprayectiva:

Si es suprayectiva ya que a todos los elementos les corresponde más de un elemento y en este caso les corresponde dos as cada uno.

Biyectiva:

Si es biyectiva ya qu8e no se repite ningún para y los contra dominios cambian

 

 

Funciones paramétricas

En algunos casos la ecuación de una función o de una relación no está dada en la forma o ,

como en las igualdades , sino que está determinada por un par de ecuaciones en términos de una misma variable.

Por ejemplo, consideremos las ecuaciones .

Se tiene que a cada valor de le corresponde un punto del plano, el conjunto de los cuales determina una relación

 

 

Funciones paramétricas

En algunos casos la ecuación de una función o de una relación no está dada en la forma o ,

como en las igualdades , sino que está determinada por un par de ecuaciones en términos de una misma variable.

Por ejemplo, consideremos las ecuaciones .

Se tiene que a cada valor de le corresponde un punto del plano, el conjunto de los cuales determina una relación

La siguiente tabla de valores:

nos permite hacer la representación gráfica de la relación de la siguiente manera:

En general, las ecuaciones funciones continuas en un intervalo reciben el nombre de ecuaciones paramétricas o representación paramétrica de una curva en el plano . La gráfica de las ecuaciones paramétricas está dada por el conjunto de puntos del plano , que se obtiene cuando , que recibe el nombre de parámetro, toma todos sus valores posibles en el dominio .

La relación que determinan las ecuaciones paramétricas, en general no es una función, como sucede en el ejemplo anterior. Sin embargo, en algunos casos, la relación dada sí es una función.

Por ejemplo, sean .

Obtenemos la siguiente tabla de valores:

 

La representación gráfica es la siguiente:

En este caso, al sustituir se obtiene que que es la ecuación de la parábola con el eje como el eje de simetría por lo que sí es una función. Note que la ecuación obtenida involucra únicamente las

variables "x" e "y". Se dice entonces que el parámetro ha sido eliminado.

En algunos casos, en la eliminación del parámetro se utiliza una o más identidades trigonométricas como se muestra a continuación.

Sea la relación con representación paramétrica .

Se tiene que

Vamos a expresar la relación utilizando únicamente las variables "x" e "y" como sigue:

de donde es la ecuación de una circunferencia con centro en y radio 2. Luego no representa una función y su representación gráfica es la siguiente:

puede expresarse entonces como:

Sea ahora R la relación con representación paramétrica con .

En este caso

Para expresar R en términos de "x" e "y", se despeja en alguna de las ecuaciones y se sustituye en la otra como se muestra a continuación:

Si entonces

Luego la ecuación para tiene como representación gráfica la siguiente:

Por último verifiquemos que es una ecuación de la relación determinada por las ecuaciones

paramétricas , con .

Como entonces , y como entonces

Luego , de donde , que es la ecuación de una elipse con centro en

Su representación gráfica es la siguiente:

Derivada de la función dada paramétricamente

El siguiente teorema nos proporciona las condiciones necesarias para obtener la derivada de una función dada en forma paramétrica.

  Teorema  

Sean funciones derivables en un intervalo . Supongamos que tiene una inversa derivable en ese intervalo. Entonces en cada punto donde

, las ecuaciones implican que existe una función

derivable tal que , y además

Prueba: Al final del capítulo.

 

Funciones paramétricas

En algunos casos la ecuación de una función o de una relación no está dada en la forma o ,

como en las igualdades , sino que está determinada por un par de ecuaciones en términos de una misma variable.

Por ejemplo, consideremos las ecuaciones .

Se tiene que a cada valor de le corresponde un punto del plano, el conjunto de los cuales determina una relación

La siguiente tabla de valores:

nos permite hacer la representación gráfica de la relación de la siguiente manera:

En general, las ecuaciones funciones continuas en un intervalo reciben el nombre de ecuaciones paramétricas o representación paramétrica de una curva en el plano . La gráfica de las ecuaciones paramétricas está dada por el conjunto de puntos del plano , que se obtiene cuando , que recibe el nombre de parámetro, toma todos sus valores posibles en el dominio .

La relación que determinan las ecuaciones paramétricas, en general no es una función, como sucede en el ejemplo anterior. Sin embargo, en algunos casos, la relación dada sí es una función.

Por ejemplo, sean .

Obtenemos la siguiente tabla de valores:

 

La representación gráfica es la siguiente:

En este caso, al sustituir se obtiene que que es la ecuación de la parábola con el eje como el eje de simetría por lo que sí es una función. Note que la ecuación obtenida involucra únicamente las

variables "x" e "y". Se dice entonces que el parámetro ha sido eliminado.

En algunos casos, en la eliminación del parámetro se utiliza una o más identidades trigonométricas como se muestra a continuación.

Sea la relación con representación paramétrica .

Se tiene que

Vamos a expresar la relación utilizando únicamente las variables "x" e "y" como sigue:

de donde es la ecuación de una circunferencia con centro en y radio 2. Luego no representa una función y su representación gráfica es la siguiente:

puede expresarse entonces como:

Sea ahora R la relación con representación paramétrica con .

En este caso

Para expresar R en términos de "x" e "y", se despeja en alguna de las ecuaciones y se sustituye en la otra como se muestra a continuación:

Si entonces

Luego la ecuación para tiene como representación gráfica la siguiente:

Por último verifiquemos que es una ecuación de la relación determinada por las ecuaciones

paramétricas , con .

Como entonces , y como entonces

Luego , de donde , que es la ecuación de una elipse con centro en

Su representación gráfica es la siguiente:

Derivada de la función dada paramétricamente

El siguiente teorema nos proporciona las condiciones necesarias para obtener la derivada de una función dada en forma paramétrica.

Teorema

Sean funciones derivables en un intervalo . Supongamos que tiene una inversa derivable en ese intervalo. Entonces en cada punto donde

, las ecuaciones implican que existe una función

derivable tal que , y además

Prueba: Al final del capítulo.

 

Ejemplos:

1. Determine Solución:

Por el teorema anterior se tiene que

Luego:

por lo que

2. Determinar los puntos de la curva con ecuaciones en los que que es cero la pendiente de la recta tangente a la curva.

Solución:

Recuerde que la pendiente de la recta tangente está dada por .

Como entonces

La pendiente de la recta tangente es cero cuando , en este caso cuando ; pero esta igualdad no se cumple para ningún valor real de . Luego, no existe ningún punto de la curva dada donde la pendiente de la recta tangente sea cero.

Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva con ecuaciones cuando

1. Solución:

La ecuación de la recta tangente está dada por , donde .

Se tiene que

Cuando , por lo que

Cuando se obtiene , y al sustituir en se obtiene: .

Luego, la ecuación de la recta tangente es:

Derivadas de orden superior para una función dada en forma paramétrica

Si están dadas en forma paramétrica entonces puede expresarse como sigue:

Ejemplo:

Si entonces y

En general, para obtener la enésima derivada, cuando las ecuaciones están dadas en forma paramétrica, se aplica la siguiente igualdad: