ANGGARAN LABA/RUGI

DISTRIBUSI

PROBABILITAS

DISKRIT TEORITIS

5.1. PENGANTAR

· Beberapa distribusi probabilitas umum digunakan sebagai basis dalam pembuatan model dari sejumlah masalah praktis.

· Beberapa distribusi probabilitas diskrit yang bersifat fundamental di-kembangkan untuk dijadikan referensi asumsi-asumsi teoritis.

· Distribusi probabilitas diskrit teoritis yang umum digunakan meliputi: Binomial, Geometrik, Poisson, Multinomial, dll.

5.2. DISTRIBUSI PROBABILITAS SERAGAM

Definisi Distribusi Peluang Seragam:

Jika peubah acak X mempunyai nilai x1, x2, x3,...,xk yg berpeluang sama, maka distribusi peluang seragamnya adalah:

f(x; k) =

untuk x = x1, x2, x3,...,xk

Contoh 1:

Jika Abi, Badu dan Cici berpeluang sama untuk mendapat beasiswa, ma-ka distribusi peluang seragamnya adalah:

f(x; 3) = ⅓ untuk x = Abi, Badu, Cici atau x =1, 2, 3

(dalam hal ini mahasiswa dinomori Abi = 1, Badu = 2 dan Cici = 3)

Secara umum: nilai k (banyaknya kategori) dapat dianggap sebagai kom-binansi n dari N →

N = banyaknya titik contoh dalam ruang contoh/populasi

n = ukuran sampel acak = banyaknya unsur peubah acak X

Contoh 2:

Jika kemasan Batu Baterai terdiri dari 4 batu baterai, maka bagaimana distribusi peluang seragam cara menyusun batu baterei untuk 12 batu ba-terei tersebut?

( ada 495 cara

f(x; k) = f(x; 495) =

; untuk x = 1, 2, 3, ..., 495.

5.3. DISTRIBUSI BERNOULLI

Pandanglah suatu kegiatan inspeksi atas satu produk yang baru saja kelu-ar dari proses produksi. Produk tersebut akan dicatat sebagai 0 jika tidak cacat, dan sebaliknya akan dicatat 1. Jika X digunakan sebagai notasi pe-ubah acak kondisi produk, maka:

· X = 1 adalah nilai jika produk cacat dengan probabilitas p.

· X = 0 adalah nilai jika produk tidak cacat dengan probabilitas (1 – p).

· Kemungkinan hasil yang didapat (outcome) sering kali juga disebut dengan “sukses” dan “gagal”.

· Distribusi probabilitas dari X adalah:

p(x) = px(1 – p)1-x; x = 0, 1

p(x) = probabilitas bahwa X = x dari satu trial Bernoulli.

Jika pengamatan dilakukan atas trial yang berulang-ulang, maka berdasar-kan definisi dari harapan matematis, rata-rata nilai dari X adalah:

E (X)=

å

x

x

p

x

)

(

.

= 0.p(0) + 1.p(1)

= 0.(1 – p) + 1.(p) = p

Sedangkan varians peubah acak Bernoulli ini adalah:

V(X)= E(X2) – [E(X)]2

=

å

-

x

p

x

p

x

2

2

)

(

.

= 0.(1 – p) + 1.(p) – p2

= p – p2 = p(1 – p)

Peubah acak Bernoulli akan dipakai sebagai landasan (fondasi) bagi pe-ngembangan bentuk-bentuk distribusi probabilitas lainnya. Secara ekspli-sit, percobaan Bernoulli tersebut mencerminkan trial binomial.

5.4. DISTRIBUSI BINOMIAL

Pada percobaan Bernoulli, kita hanya tertarik pada pengamatan terhadap 1 item (trial) suatu peubah acak. Untuk skenario percobaan yang sama terhadap item yang banyak (ulangan trial), kita akan mendapatkan suatu distribusi probabilitas yang dinamakan Distribusi Binomial. Percobaan Binomial memiliki properti sebagai berikut:

i. Percobaan terdiri dari n ulangan trial yang identik dan fix.

ii. Setiap trial hanya akan mungkin memberikan hasil (outcome) yang dapat dikategorikan dalam dua kelas.

Misalnya: “SUKSES” dan “GAGAL”, atau “YA” dan “TIDAK”.

iii. Peluang kejadian “SUKSES” dinotasikan dengan p, dan tidak bersi-fat konstan (tidak berubah) dari trial ke trial. Dengan demikian, pelu-ang kejadian gagal adalah q = 1 – p.

iv. Setiap ulangan (trial) bersifat independen satu sama lain.

v. Peubah acak biomial X = x didefinisikan sebagai jumlah hasil sukses di antara n ulangan.

Definisi Distribusi Peluang Binomial:

untuk x = 0, 1, 2, 3, ..., n

n: banyaknya ulangan

x: banyaknya keberhasilan dalam peubah acak X

p: peluang berhasil pada setiap ulangan

q: peluang gagal = 1 ─ p pada setiap ulangan

Catatan:

Untuk memudahkan membedakan p dengan q, anda terlebih dahulu harus dapat menetapkan mana kejadian SUKSES dan mana kejadian GAGAL. Anda dapat menetapkan bahwa kejadian yang ditanyakan adalah = keja-dian SUKSES

Contoh 3:

Tentukan peluang untuk mendapatkan "MATA 1" muncul 3 kali pada pelemparan 5 kali sebuah dadu setimbang!

Jawab:

Kejadian sukses/berhasil = mendapatkan "MATA 1"

x = 3 → banyaknya sukses / nilai variabel

n = 5 pelemparan diulang 5 kali (trial)

p =

;q = 1–

=

=

= 10 ( 0,003215... = 0,03215...

Contoh 4:

Dimisalkan dari satu lot produksi busi mengandung 10% di antaranya ru-sak. Jika diambil 4 buah busi secara acak sebagai sampel, berapakah pro-babilitasnya mendapatkan tepat 1 busi rusak? Carilah probabilitasnya bahwa paling sedikit didapatkan 1 busi rusak di antara 4 busi yang dipilih tersebut.

Jawab:

n = 4 (jumlah trial) dan independen (berlaku jika jumlah lot sangat besar).

p = 0,1 → q = 1 – p = 1 – 0,1 = 0,9

X = jumlah busi yang rusak.

b(x; n, p)= b(1; 4, 0,1)

=

4

1

C

.(0,1)1.(0,9)3 = 0,2916

Untuk mencari b(X ≥ 1), kita dapat menghitungnya dengan cara:

b(X ≥ 1)= 1 – b(0; 4, 0,1)

= 1 – {

4

1

C

.(0,1)0.(0,9)4} = 1 – (0,9)4 = 0,3439

Atau bisa juga dengan jalan:

b(X ≥ 1)= b(1; 4, 0,1) + b(2; 4, 0,1) + b(3; 4, 0,1) + b(4; 4, 0,1)

=

å

=

4

1

)

,

;

(

i

i

p

n

x

b

5.4.1. Tabel Peluang Binomial

Soal-soal peluang binomial dapat diselesaikan dengan bantuan Tabel Dis-tribusi Peluang Binomial yang biasa terdapat di semua literatur statistika. Misalnya:

nxp = 0,10 p = 0,15

p = 0,20 dst

500,5905

0,4437

0,3277

10,3280

0,3915

0,4096

20,0729

0,1382

0,2048

30,0081

0,0244

0,0512

40,0004

0,0020

0,0064

50,0000

0,0001

0,0003

Perhatikan Total setiap Kolom p = 1,0000 (atau karena pembulatan, nilai-nya tidak persis = 1,0000 hanya mendekati 1,0000)

x = 0

n = 5

p = 0,10

b(0; 5, 0,10) = 0,5905

x = 1

n = 5

p = 0,10

b(1; 5, 0,10) = 0,3280

Jika 0 2, n = 5 dan p = 0,10 maka x

b(x; n, p) = b(0; 5, 0,10) + b(1; 5, 0,10) + b(2;5, 0,10)

= 0,5905 + 0,3280 + 0,0729 = 0,9914

Contoh 5:

Suatu perusahaan “pengiriman paket” terikat perjanjian bahwa keterlam-batan paket akan menyebabkan perusahaan harus membayar biaya kom-pensasi. Jika peluang setiap kiriman akan terlambat adalah 0,20 dan bila terdapat 5 paket yang harus dikirim, hitunglah probabilitas:

a. Tidak ada paket yang terlambat, sehingga perusahaan tidak membayar biaya kompensasi? (x = 0)

b. Lebih dari 2 paket terlambat? (x (2)

c. Tidak lebih dari 3 paket yang terlambat? (x ( 3)

d. Ada 2 sampai 4 paket yang terlambat? (2 ( x ( 4)

e. Paling tidak ada 2 paket yang terlambat? (x ( 2)

Jawab:

a. x = 0 ( b(0; 5, 0,20) = 0,3277 (lihat tabel atau hitung dengan rumus)

b. x ( 2 ( Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sbb:

b(3; 5, 0,20) + b(4; 5, 0,20) + b(5; 5, 0,20) =

0,0512 + 0,0064 + 0,0003 = 0,0579

atau .....

1 − b(x ( 2) = 1 − [b(0; 5, 0,20) + b(1; 5, 0,20) + b(2; 5, 0,20)

= 1 − [0,3277 + 0,4096 + 0,2048)

= 1 – 0,9421 = 0,0579

(hasilnya sama dengan perhitungan sebelumnya, bukan?)

c. x ( 3 ( Lihat tabel dan lakukan penjumlahan

b(0; 5, 0,20)+ b(1; 5, 0,20) + b(2; 5, 0,20) + b(3; 5, 0,20) =

0,3277 + 0,4096 + 0,2048 + 0,0512 = 0,9933

atau ....

1 − b(x (3) = 1 − [ b(4; 5, 0,20) + b(5; 5, 0,20)]

= 1 − [0,0064 + 0,0003] = 1 – 0,0067 = 0,9933

d. 2 Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sbb: 4 x

b(2; 5, 0,20)+ b(3; 5, 0,20) + b(4; 5, 0,20) =

0,2048 + 0,0512 + 0,0064 = 0,2624

5.4.2. Rata-Rata & Ragam Distribusi Binomial

Suatu sebaran peluang binomial b(x; n, p) memiliki nilai rata-rata dan ra-gam sebagaimana yang dirumuskan dalam box berikut:

Rata-rata dan Ragam Distribusi Binomial b(x; n, p):

Rata-rata = n.p

Ragam (² = n.p.q

n = ukuran populasi

p = peluang keberhasilan setiap ulangan

q = 1 – p = peluang gagal setiap ulangan

Contoh 6:

Kita kembali ke contoh soal nomer 4. Misalkan diambil contoh 4 buah busi dari satu lot kiriman sebelum diuji. Diasumsikan bahwa biaya untuk menjamin pengiriman bebas dari kerusakan adalah C = 3X2, di mana X menotasikan jumlah kerusakan dari keempat contoh busi tersebut di atas. Hitunglah biaya perbaikan yang diharapkan.

Jawab:

Bisa ditunjukkan bahwa E(C) = E(3X2) = 3.E(X2), sehingga permasalahan kita tinggal mencari solusi E(X2). Dari Teorema 4.2. didapatkan bahwa:

V(X) = E(X – μ)2 = E(X2) – μ2

Karena V(X) = np(1− p) dan μ = E(X) = np, maka:

E(X2)= V(X) + μ2

= np(1 – p) + (np)2

Dengan demikian:

E(C)= 3.E(X2) = 3.[np(1 – p) + (np)2]

= 3.[(4).(0,1).(0,9)] + (4)2.(0,1)2]

= 1,24

5.5. DISTRIBUSI GEOMETRIK

Pandanglah serangkaian uji pembakaran terhadap mesin roket yang dapat direpresentasikan sebagai rangkaian peubah acak Bernoulli di mana Xi = 1 jika trial ke-i menghasilkan pembakaran yang sukses, dan Xi = 0 untuk hasil lainnya. Diasumsikan juga bahwa peluang terjadinya pembakaran yang sukses adalah konstan pada tiap trial yang dinotasikan dengan p. Dalam permasalahan ini kita mungkin tertarik pada kejadian sejumlah trial di mana pembakaran sukses terjadi untuk pertama kalinya. Jika Y menotasikan jumlah trial di mana pembakaran pembakaran sukses terjadi untuk pertama kalinya, maka:

P(Y=y)= p(y) = P(X1=0, X2=0, ....., Xy-1=0, Xy=1)

= P(X1=0).P(X2=0). ……P(Xy-1=0).P(Xy=1)

= (1 – p)y-1.p,

y = 1, 2, ….

Model di atas membentuk suatu sebaran nilai-nilai peluang yang secara teoritis disebut sebagai distribusi peluang geometrik.

Definisi Distribusi Peluang Geometrik:

p(y) = p.(1 – p)y-1; y = 1, 2, ….., untuk 0 < p < 1

Rata-rata (nilai harapan) distribusi: E(Y) = μ =

p

1

Ragam (varians) distribusi: V(Y) = σ2 =

2

1

p

p

-

y = kejadian sukses pertama kali terjadi

p = peluang kejadian sukses dalam satu trial

Contoh 7:

Sekitar 30% dari pelamar pekerjaan suatu industri telah pernah mengikuti pelatihan pemrograman komputer sebelumnya. Para pelamar diinterview secara berurutan dan pemilihan dilakukan secara acak. Hitunglah probabi-litas bahwa pelamar dengan kualifikasi seorang programer pertama kali muncul pada interview yang kelima.

Jawab:

Misalkan Y adalah jumlah trial yang diperlukan sedemikian rupa sehing-ga pelamar dengan kualifikasi programer muncul untuk pertama kalinya. Dengan demikian, maka:

P(Y=5)= p(5) =(0,7)4.(0,3)

= 0,072

Misalkan juga bahwa pelamar pertama yang berkualifikasi programer di-tawari posisi dan ia menerimanya. Jika untuk setiap kali interview diper-lukan biaya Rp. 30.000,-, hitunglah nilai ekspektasi (rata-rata) dan ragam dari total biaya interview ini hingga posisi kerja yang ditawarkan terisi!

Jawab:

Total biaya yang dibutuhkan untuk mengadakan interview adalah:

E(C)= 30.000 E(Y) = 30.000

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

p

1

= 30.000

÷

ø

ö

ç

è

æ

3

,

0

1

= 100.000

Dan V(C)= (30.000)2.V(Y) =

2

)

1

(

000

.

000

.

900

p

p

-

=

(

)

2

3

,

0

)

7

,

0

(

000

.

000

.

900

= 700.000

5.6. DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF

Pada ulangan Bernoulli, jika kita tertarik pada jumlah trial untuk muncul-nya kejadian sukses ke-2 atau ke-3 dan seterusnya, maka kita akan beru-rusan dengan suatu bentuk pola probabilistik yang dinamakan binomial negatif. Secara umum, distribusi probabilitas binomial negatif mencer-minkan sebaran peluang bagi munculnya kejadian sukses ke-r dari suatu trial Bernoulli.

Definisi Distribusi Binomial Negatif:

Peluang munculnya kejadian sukses ke-r dari sejumlah X trial Bernoulli mengikuti Distribusi Binomial Negatif dengan sebaran peluang:

p(x) =

r

x

r

p

p

r

x

-

-

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

-

)

1

.(

1

1

;

x = r, r+1, .....untuk 0 ≤ p ≤ 1

Rata-rata (nilai harapan) distribusi: E(X) = μ =

p

r

Ragam (varians) distribusi: V(X) = σ2 =

2

)

1

(

p

p

r

-

X = jumlah trial di mana kejadian sukses ke-r terjadi

r = jumlah kejadian sukses

p = peluang kejadian sukses pada tiap trial

Contoh 8:

Dengan mengambil kembali contoh soal nomer 7, dimisalkan bahwa lo-wongan yang dibuka adalah tiga macam pekerjaan yang memerlukan ke-mampuan programming dari para pelamar. Hitunglah probabilitas bahwa pelamar ketiga yang memenuhi kualifikasi diperoleh pada interview yang kelima!

Jawab:

Misalkan X menyatakan jumlah trial di mana kandidat ketiga yang ber-kualifikasi diperoleh. Dengan demikian X dapat dipandang sebagai me-miliki distribusi binomial negatif, sehingga:

P(X=5)= p(5) =

2

3

)

7

,

0

.(

)

3

,

0

.(

2

4

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

= 6.(0,3)3.(0,7)2 = 0,079

5.7. DISTRIBUSI POISSON

Salah satu distribusi yang banyak dipakai sebagai referensi bagi distribusi lain di samping binomial adalah distribusi Poisson. Percobaan Poisson memiliki ciri-ciri (properti) sebagai berikut:

1. Hasil percobaan pada suatu selang waktu dan tempat tidak tergantung dari hasil percobaan di selang waktu dan tempat yang lain yang terpi-sah (independen).

2. Peluang terjadinya suatu hasil percobaan sebanding dengan panjang selang waktu dan luas tempat percobaan terjadi. Hal ini berlaku hanya untuk selang waktu yang singkat dan luas daerah yang sempit (kecil).

3. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi pada satu selang waktu & luasan tempat yang sama diabaikan.

Definisi Distribusi Peluang Poisson:

e : bilangan natural = 2,71828...

x : banyaknya unsur SUKSES (BERHASIL) dalam sampel

( : rata-rata sukses (keberhasilan)

Perhatikanlah formula yang digunakan! Peluang suatu kejadian Poisson dihitung dari rata-rata populasi (().

Contoh 9:

Pada suatu industri manufaktur tertentu, rata-rata jumlah kecelakaan kerja yang terjadi setiap minggunya adalah 3 buah. Hitunglah probabilitasnya bahwa dalam satu minggu tertentu tidak terjadi kecelakaan kerja!

Jawab:

Jika satu kecelakaan bersifat independen satu terhadap yang lain dan ter-jadi dalam tingkat yang kurang lebih tetap sepanjang waktu, maka kejadi-an tersebut dapat didekati dengan model Poisson. Jadi,

P(x=0)=

!

0

3

.

0

3

-

e

= 0,05

5.7.1. Tabel Peluang Poisson

Seperti halnya pada peluang binomial, masalah-masalah mengenai pelu-ang Poisson dapat diselesaikan dengan Tabel Poisson. Cara membaca dan menggunakan Tabel ini juga tidak jauh berbeda dengan Tabel Binomial

Misal: x( = 4,5

( = 5,0

00,0111

0,0067

10,0500

0,0337

20,1125

0,0842

30,1687

0,1404

: :

:

: :

:

dst dst

dst

150,0001

0,0002

Contoh 10:

Seorang sekretaris baru rata-rata melakukan 5 kesalahan ketik per halam-an. Berapakah peluangnya bahwa pada halaman berikut ia membuat:

a. tidak ada kesalahan? (x = 0)

b. tidak lebih dari 3 kesalahan? (x ( 3)

c. lebih dari 3 kesalahan? (x >3)

d. paling tidak ada 3 kesalahan? (x ( 3)

Jawab:

Diketahui bahwa = 5

a). x = 0 dengan rumus? hitung poisson(0; 5), atau

(0; 5,0) = 0,0067 = 5,0 dengan Tabel Distribusi Poisson, di bawah x = 0 dengan

b). x dengan Tabel Distribusi Poisson hitung poisson(0; 5,0) + poisson(1; 5,0) + poisson(2; 5,0) + poisson(3; 5,0) 3

= 0,0067 + 0,0337 + 0,0842 + 0,1404 = 0,2650

c). x ( 3 3; 5,0) poisson(x

= poisson (4; 5,0) + poisson(5; 5,0) + poisson (6;5,0) + poisson(7;5,0) + ….. + poisson(15; 5,0)

atau

poisson(x >3)

= 1 – poisson(x3)

= 1 – [poisson(0; 5,0) + poisson(1; 5,0) + poisson(2; 5,0) + poisson(3; 5,0)]

= 1 – [0,0067 + 0,0337 + 0,0842 + 0,1404]

=1 – 0,2650 = 0,7350

5.7.2. Pendekatan Poisson Untuk Distribusi Binomial

Pendekatan Peluang Poisson untuk Peluang Binomial terutama dilakukan jika n cukup besar (n>20) dan p sangat kecil (p<0,01). Cara ini ditempuh karena baik perhitungan peluang binomial secara manual maupun tabel tidak lagi praktis atau mampu dilakukan. Perhitungan dilakukan dengan terlebih dahulu menetapkan p dan kemudian menetapkan ( = n x p.

Contoh 11:

Dari 1.000 orang mahasiswa, 2 orang mengaku selalu terlambat masuk kuliah setiap hari. Jika pada suatu hari terdapat 5.000 mahasiswa, berapa peluangnya terdapat lebih dari 3 orang yang terlambat?

Jawab:

Kejadian sukses yang dinotasikan dengan X adalah selalu terlambat ma-suk kuliah.

p =

= 0,002

n = 5.000

x > 3

Jika diselesaikan dengan rumusan peluang Binomial ( b(x > 3; 5.000, 0,002) tidak ada di Tabel. Jika diselesaikan dengan menggunakan rumus perhitungan manual, sangat tidak praktis. Jadi:

p = 0,002

n = 5.000

x > 3

( = n ( p = 0,002 ( 5.000 = 10

diselesaikan dengan peluang Poisson

( poisson (x > 3; 10) = 1 – poisson (x ( 3)

=1 – [poisson (0; 10) + poisson(1; 10) + poisson(2; 10) + poisson(3; 10)]

=1 – [0,0000 + 0,0005 + 0,0023 ]

=1 – 0,0028 = 0,9972

5.8. DISTRIBUSI PELUANG HIPERGEOMETRIK

Percobaan hipergeometrik secara umum adalah sebuah percobaan yang memiliki ciri-ciri (properti) sebagai berikut:

1) Contoh acak berukuran n diambil dari populasi beukuran N

2) k dari N diklasifikasikan sebagai "SUKSES" sedangkan N-k dikla-sifikasikan sebagai "GAGAL".

Jika pada peluang binomial perhatian kita hanya untuk peluang ‘sukses’, maka pada peluang hipergeometrik perhatian kita adalah pada kasus di mana peluang ‘sukses’ berkaitan dengan peluang ‘gagal’. Atau dengan kata lain, peluang hipergeometrik memandang adanya penyekatan dan pe-milihan/kombinasi obyek (dalam hal ini adalah ‘sukses’ dan ‘gagal’).

Definisi Distribusi Hipergeometrik:

Bila dalam populasi berukuran N obyek, k benda termasuk dalam kelas "SUKSES" dan N-k (sisanya) termasuk dalam kelas "GAGAL", maka Distribusi Hipergeometrik peubah Acak X yg menyatakan banyaknya keberhasilan dalam contoh acak berukuran n adalah:

; untuk x = 0, 1, 2, 3..., k

Contoh 12:

Jika dari seperangkat kartu bridge diambil 5 kartu secara acak tanpa pe-mulihan, berapakah peluangnya diperoleh 3 kartu hati?

Jawab:

N = 52;n = 5; k = 13;x = 3

maka,

h

C

C

C

(

;

,

,

)

3

52

5

13

3

13

2

39

5

52

=

(coba selesaikan sendiri !)

5.8.1. Rata-Rata dan Ragam Distribusi Hipergeometrik

Rata-Rata dan Ragam Distribusi Hipergeometrik h(x; N, n, k):

Rata-rata =

m

=

nk

N

Ragam =

s

2

1

1

=

-

-

´

´

-

N

n

N

n

k

N

k

N

(

)

5.8.2. Perluasan Distribusi Hipergeometrik Untuk k > 2

Distribusi Hipergeometrik dapat diperluas menjadi penyekatan ke dalam beberapa kelas lebih dari 2:

f

x

x

x

a

a

a

N

n

C

C

C

C

k

k

x

a

x

a

x

a

n

N

k

k

(

,

,

.

.

.

,

;

,

,

.

.

.

,

,

,

)

1

2

1

2

1

1

2

2

=

´

´

´

L

dan perhatikan bahwa

dan

N

a

i

i

k

=

=

å

1

di mana :

N : ukuran populasi atau ruang contoh

n : ukuran contoh acak

k : banyaknya penyekatan atau kelas

xi : banyaknya keberhasilan kelas ke-i dalam contoh

ai : banyaknya keberhasilan kelas ke-i dalam populasi

Contoh 14:

Dari 10 pengemudi motor, 3 orang mengemudikan motor merk "S", 4 orang memggunakan motor merk "Y" dan sisanya mengemudikan motor merk "H". Jika secara acak diambil 5 orang di antara mereka, berapa peluang untuk mendapatkan 1 orang mengemudikan motor merk "S", 2 orang merk "Y" dan 2 orang merk "H"?

Jawab:

N = 10;n = 5

a1 = 3;a2 = 4;a3= 3

x1 = 1;x2 = 2;x3= 2

5.8.3. Pendekatan Hipergeometrik Untuk Distribusi Binomial

Seperti halnya dalam distribusi Poisson, pendekatan hipergeometrik dapat juga dilakukan untuk menyelesaikan masalah-masalah binomial. Perbeda-an esensial antara kedua distribusi tersebut adalah:

· Binomial ( untuk pengambilan contoh dengan pemulihan (dengan pengembalian).

· Hipergeometrik ( untuk pengambilan contoh tanpa pemulihan (tanpa pengembalian).

Contoh 15:

Dalam suatu kotak terdapat 5 bola yang terdiri dari 2 bola Merah, 2 bola Biru dan 1 bola Putih. Berapakah peluangnya:

a. Terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukan secara acak dengan pemulihan?

b. Terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukan secara acak tanpa pemulihan?

Jawab:

Soal a. diselesaikan dengan Distribusi Peluang Binomial:

p = 2/5 = 0,40;n = 4;

x = 2

b(2; 4, 0,40) = 0,16 (lihat Tabel atau gunakan rumus Binomial).

Soal b. diselesaikan dengan Distribusi Peluang Hipergeometrik:

N = 5;

n = 4; k = 2;

x = 2

N-k = 3;n-x = 2

h(2; 5, 4, 2) =

C

C

C

2

2

2

3

4

5

1

3

5

3

5

0

60

´

=

´

=

=

.

5.9. DISTRIBUSI MULTINOMIAL

Semua bentuk distribusi yang telah dibahas sebelumnya selalu berakar pada urutan trial Bernoulli. Ciri utama distribusi binomial adalah:

· Percobaan terdiri dari n trial yang independen.

· Setiap trial akan menghasilkan outcome salah satu dari k buah ke-mungkinan outcome.

Definisi Distribusi Peluang Multinomial:

P(Y1=y1, Y2=y2, ….., Yk=yk =

k

y

k

y

y

k

p

p

p

y

y

y

n

.....

.

!

!.....

!.

!

2

1

2

1

2

1

Di mana

n

y

k

i

i

=

å

=

1

dan

å

=

k

i

i

p

1

= 1

n : jumlah trial

yi : hasil (outcome) trial ke-i

k : jumlah kemungkinan hasil (outcome) tiap trial.

Rata-Rata dan Ragam Distribusi Multinomial:

Rata-rata = E(Yi) = μ = npi;Ragam = V(Yi) = σ2 = npi(1 – pi)

i = 1, 2, ....., k.

Contoh 16:

Diketahui bahwa item-item yang akan diinspeksi dari output produksi memiliki dua kemungkinan cacat. Sekitar 70% produk dari sebuah batch besar produksi dinyatakan bebas cacat, sementara 20% memiliki cacat ti-pe A dan 10% sisanya memiliki cacat tipe B secara independen. Jika di-ambil secara acak 6 buah produk dari batch tersebut, hitunglah probabi-litasnya bahwa tiga di antaranya tidak memiliki cacat, satu memiliki cacat tipe A dan dua memiliki cacat tipe B.

Jawab:

P(Y1=3, Y2=1, Y3=2) =

!

2

!.

1

!.

3

!

6

.(0,7)3.(0,2)1.(0,1)2

= 0,042

5

PAGE

11

Statistika Teknik – Modul 5: Sebaran Peluang Diskrit Teoritis

_972799331.unknown

_1329128899.unknown

_1329135062.unknown

_1329156888.unknown

_1329271838.unknown

_1329273763.unknown

_1329273880.unknown

_1329275879.unknown

_1329273608.unknown

_1329271365.unknown

_1329151947.unknown

_1329152063.unknown

_1329151910.unknown

_1329134871.unknown

_1329134975.unknown

_1329134826.unknown

_1329012435.unknown

_1329013214.unknown

_1329128738.unknown

_1329012723.unknown

_972800712.unknown

_972802272.unknown

_1328926066.unknown

_1328926323.unknown

_972802338.unknown

_972802614.unknown

_972801840.unknown

_972802163.unknown

_972801308.unknown

_972799396.unknown

_972799672.unknown

_972799376.unknown

_972798753.unknown

_972799254.unknown

_972799317.unknown

_972798912.unknown

_972798094.unknown

_972798174.unknown

_378242034.unknown

_972797920.unknown

_378240393.unknown