Angle inscrit et angle au centre Géométrie Exercices ... · De plus, les côtés et de l’angle coupent le cercle en deux points distincts du sommet. Par conséquent, l’angle

Angles au centre et angles inscrits – Géométrie dans le plan –Exercices corrigés

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1

Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)

Exercice 1 : angle inscrit dans un cercle (reconnaissance d’un angle inscrit)

Exercice 2 : arc de cercle intercepté par un angle inscrit

Exercice 3 : angles interceptant un même arc de cercle

Exercice 4 : propriétés de l’angle inscrit (angles inscrits interceptant le même arc de cercle)

Exercice 5 : angle au centre (représentation d’un angle au centre)

Exercice 6 : relation entre angle inscrit et angle au centre

Exercice 7 : bissectrice d’un angle inscrit

Exercice 8 : triangle rectangle isocèle inscrit dans un cercle et angle au centre de 90°

Exercice 9 : reconnaissance d’un polygone régulier

Exercice 10 : construction d’un dodécagone régulier

Exercice 11 : aire d’un octogone régulier connaissant le rayon du cercle circonscrit

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Angle inscrit et angle au centre – Géométrie

Exercices corrigés

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2

Dans chacun des quatre cas suivants, préciser si l’angle est inscrit ou non dans le cercle.

1)

2)

3)

4)

Rappel : Angle inscrit

Dans un cercle, un angle inscrit est un angle :

dont le sommet est un point du cercle

dont les côtés coupent le cercle en des points distincts

du sommet

Dans l’exemple ci-contre, l’angle est un angle inscrit dans

le cercle de centre . En effet, le sommet de l’angle

appartient au cercle et les côtés et de l’angle coupent

respectivement le cercle et , points distincts du sommet.

Exercice 1 (1 question) Niveau : facile

Correction de l’exercice 1 Retour au menu



3

1)

Le point (sommet de l’angle ) n’appartient pas au cercle.

Par conséquent, l’angle n’est pas inscrit dans le cercle.

2)

Le point (sommet de l’angle ) appartient au cercle.

De plus, et désignent deux cordes du cercle.

Par conséquent, l’angle est inscrit dans le cercle.

Rappel : Une corde d'un cercle est un segment qui joint deux

points de ce cercle.

3)

Le point (sommet de l’angle ) est situé sur le cercle.

De plus, les côtés et de l’angle coupent le cercle en

deux points distincts du sommet.

Par conséquent, l’angle est inscrit dans le cercle.

4)

Le point (sommet de l’angle ) est situé sur le cercle.

De plus, est une corde du cercle.

Or, le côté ne coupe pas le cercle en un point distinct du

sommet .

Par conséquent, l’angle n’est pas inscrit dans le cercle.



4

Dans chacun des quatre cas suivants, préciser si le point appartient à l’arc de cercle intercepté par l’angle

inscrit .

1)

2)

3)

4)

1)

L’angle intercepte le petit arc de cercle bleu .

Or, n’appartient pas à ce petit arc de cercle .

Par conséquent, n’appartient pas à l’arc de cercle intercepté

par l’angle .





5

2)

L’angle intercepte le petit arc de cercle bleu .

De plus, appartient à ce petit arc de cercle .

Par conséquent, appartient à l’arc de cercle intercepté par

l’angle .

3)

L’angle intercepte le grand arc de cercle bleu .

De plus, appartient à ce grand arc de cercle .


l’angle .

Remarque : Un petit arc de cercle se note alors qu’un grand

arc de cercle se note .

4)

L’angle est bien un angle inscrit car est situé sur le cercle

et les côtés et coupent le cercle en deux points

distincts, à savoir respectivement en et en . L’angle

intercepte donc le petit arc de cercle bleu .

De plus, appartient à ce petit arc de cercle .


l’angle .



6

Pour chacun des quatre cercles ci-dessous, préciser si les angles vert et bleu interceptent le même arc de cercle.

1)

2)

3)

4)

1)

L’angle vert intercepte le

grand arc de cercle vert .

L’angle bleu intercepte le

grand arc de cercle bleu .

Les angles et

interceptent donc le même arc

de cercle.





7

2)


grand arc de cercle vert

contenant le point .


grand arc de cercle bleu ne

contenant pas le point .

Les angles et

n’interceptent donc pas le

même arc de cercle.

3)





Les angles et


de cercle.

4)





Les angles et


de cercle.

Remarque : L’angle est noté avec un chapeau renversé car il s’agit d’un angle rentrant, c’est-à-dire d’un

angle dont la mesure est comprise entre 180° et 360°. (voir exercice 5)



8

Dans la figure ci-après, les cercles et sont sécants en et . Les droites et se coupent en .

1) Démontrer que .

2) Démontrer que .

3) En déduire que .

Rappel : Angles inscrits interceptant le même arc de cercle

Dans un cercle, si deux angles inscrits interceptent le même arc, alors ces deux angles sont de même mesure.

1) Démontrons tout d’abord que .

Dans le cercle , les angles inscrits et interceptent le même petit arc de cercle .

Par conséquent, il vient l’égalité suivante : .

Exercice 4 (3 questions) Niveau : moyen




9

2) Démontrons désormais que .

Dans le cercle , les angles inscrits et interceptent le même petit arc de cercle .

Par conséquent, on obtient l’égalité suivante : .

3) Montrons que .

Dans un triangle, la somme des angles est égale à .

En particulier, dans le triangle , on a l’égalité suivante : .

De plus, dans le triangle , on a l’égalité suivante : .

Comme, d’après la première question, et comme, d’après la seconde question, , il résulte

que .



10

, et sont trois points distincts d’un cercle de centre . Représenter tous les angles au centre formés par

ces points.

Rappel : Angle au centre

Dans un cercle, un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du cercle.

Traçons tout d’abord un cercle de centre puis plaçons sur ce cercle les points , et . Représentons ensuite

tous les angles au centre ainsi formés.





11

On remarque qu’avec 3 points distincts d’un cercle il est possible de représenter 6 angles au centre :

un angle saillant et un angle rentrant



Rappel : Angle saillant et angle rentrant

Un angle est dit saillant lorsqu’il est plus petit qu’un angle plat, c’est-à-dire lorsque sa mesure est

comprise entre 0° et 180°. Un angle saillant est noté avec le chapeau .

Un angle est dit rentrant lorsqu’il est plus grand qu’un angle plat, c’est-à-dire lorsque sa mesure est

comprise entre 180° et 360°. Un angle rentrant est noté avec le chapeau renversé .



12

Le point est le centre du cercle de diamètre auquel

appartiennent les points et . L’angle mesure .

1) Préciser la mesure de l’angle .

2) En déduire la mesure de l’angle .

3) Calculer la mesure de l’angle .

4) Calculer la mesure de l’angle .

1) Commençons par préciser la mesure de l’angle .

Rappel : Réciproque du théorème du cercle circonscrit à un triangle

Si le cercle circonscrit à un triangle a pour

diamètre le côté , alors le triangle est

rectangle en .

Le point est situé sur le cercle de diamètre donc,

d’après la réciproque du théorème du cercle circonscrit à un

triangle, le triangle est rectangle en .

Il vient par conséquent que .





13

2) Calculons désormais la mesure de l’angle .

Dans un triangle, la somme des angles est égale à .

Ainsi, dans le triangle , on a l’égalité suivante :

. Autrement dit, on a l’égalité :

.

Or, d’après l’énoncé et d’après la question

précédente .

Donc, en remplaçant par les mesures connues, on obtient :

.

L’angle mesure .

3) Calculons dorénavant la mesure de l’angle .

Les angles et interceptent le même arc de cercle,

à savoir le petit arc de cercle bleu .

Or, les angles et sont deux angles inscrits dans le

cercle.

Donc ils sont de même mesure.

Finalement, .

L’angle mesure .

4) Calculons enfin la mesure de l’angle .

Rappel : Angle inscrit et angle au centre interceptant le même arc

Dans un cercle, si un angle inscrit et un

angle au centre interceptent le même arc de

cercle, alors la mesure de l’angle au centre

est le double de la mesure de l’angle inscrit.



14

Les angles et interceptent le même arc de cercle,

à savoir le petit arc de cercle .

Or, l’angle est un angle inscrit dans le cercle et l’angle

est un angle au centre.

Donc la mesure de l’angle au centre est le double de la

mesure de l’angle inscrit .

Ainsi, .

L’angle mesure .

Finalement, on a la figure ci-après :



15

On a représenté ci-contre le cercle circonscrit à un triangle

équilatéral . est un point de l’arc .

1) Déterminer la mesure des angles et .

2) Qu’en déduit-on pour la droite ?

1) Déterminons la mesure des angles et .

Le triangle est un triangle équilatéral donc chacun de ses

angles , et mesure . De plus, le triangle

est inscrit dans un cercle donc les angles , et

sont des angles inscrits dans le cercle.

Enfin, comme est également un point du cercle distinct des

points , et , est un angle inscrit dans le cercle.

Les angles et sont donc des angles inscrits dans le

même cercle qui interceptent le même arc de cercle . Par

conséquent, ils sont de même mesure.

Autrement dit, .

De même, on peut noter que est un angle inscrit dans le

cercle et que cet angle intercepte le même arc que l’angle

inscrit , à savoir l’arc de cercle . Il vient donc que

et sont de même mesure.

Autrement dit, .

Finalement, les angles et mesurent tous les deux

.





16

2) D’après ce qui précède, .

Rappel : Angles adjacents

Deux angles adjacents et sont deux angles qui :

ont le même sommet

ont un côté commun

se situent de part et d’autre de ce côté commun

Or, les angles et sont deux angles adjacents.

Par conséquent, la droite est la bissectrice de l’angle inscrit .

Côté commun

Sommet commun



17

, et sont trois points d’un cercle de centre tels que

.

Préciser la nature du triangle .

Remarque : Préciser la nature d’un triangle, c’est préciser s’il

est isocèle, équilatéral, rectangle, isocèle rectangle ou

quelconque.

, et sont trois points du cercle de centre .

Ainsi, est un angle inscrit dans le cercle et est un

angle au centre de ce même cercle.

En outre, l’angle inscrit et l’angle au centre

interceptent le même arc de cercle, à savoir l’arc .

Par conséquent, .

On en déduit dans un premier temps que le triangle est

rectangle en .

Enfin, comme les points et sont situés sur le cercle de

centre , il vient que .

On en déduit dans un second temps que le triangle est

également isocèle en .

En définitive, le triangle est rectangle isocèle en .

Exercice 8 (1 question) Niveau : moyen




18

Pour chacune des figures ci-dessous, préciser le nom du polygone et s’il s’agit ou non d’un polygone régulier.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

1)

Rappel : Polygone régulier et mesures de longueurs et d’angles

Un polygone est régulier lorsque ses côtés ont tous la même longueur et ses angles ont tous la même mesure.

D’après le codage, . Le quadrilatère possède donc 4 côtés de même mesure. On en

déduit dans un premier temps qu’il s’agit d’un losange.

De plus, le losange possède un angle droit. On en déduit qu’il s’agit d’un carré.

Or, un carré possède quatre angles droits et tous ses côtés ont la même longueur.





19

Par conséquent, le carré est un polygone régulier.

2)

Rappel : Angle aigu et angle obtus

Un angle aigu est un angle saillant dont la mesure en degrés est comprise entre 0° et 90°.

Un angle obtus est un angle saillant dont la mesure en degrés est comprise entre 90° et 180°.

D’après le codage, . Le quadrilatère possède donc 4 côtés de même mesure. On

en déduit dans un premier temps qu’il s’agit d’un losange.

Les angles ne sont pas de même mesure puisque l’angle est un angle obtus alors que l’angle est un

angle aigu.

Par conséquent, le losange n’est pas un polygone régulier.

Remarque importante : Le carré est l’unique polygone régulier à 4 côtés.

3)

D’après le codage, . On en déduit donc dans un premier temps que le triangle est isocèle en .

En outre, l’angle mesure . Or, tout triangle isocèle dont l’un des angles mesure est équilatéral. On

en déduit que est un triangle équilatéral.

Or, un triangle équilatéral est un triangle qui possède trois angles de même mesure et dont tous les côtés ont la

même mesure.

Par conséquent, le triangle équilatéral est un polygone régulier.

Remarque importante : Le triangle équilatéral est l’unique polygone régulier à 3 côtés.

4)

est un polygone à 5 côtés. Il s’agit donc d’un pentagone.

D’après le codage de la figure, tous les côtés du pentagone sont de même mesure.

Toutefois, les angles de ce pentagone ne sont pas tous de même mesure puisque deux angles sont aigus (en

l’occurrence les angles et ) et les trois autres angles sont obtus.

Par conséquent, le pentagone n’est pas un polygone régulier.

5)

Le polygone a 8 côtés. Il s’agit donc d’un octogone.

Or, tous les côtés de cet octogone sont de même longueur et tous les angles sont de même mesure.

Par conséquent, l’octogone est un polygone régulier.



20

6)

Rappel : Polygone régulier et cercle circonscrit

Un polygone est régulier lorsqu’il est inscrit dans un cercle et ses côtés ont tous la même longueur.

est un polygone à 5 côtés. est donc un pentagone.

Or, chacun des sommets de ce pentagone appartient à un même cercle. Autrement dit, est inscrit dans un

cercle.

De plus, d’après le codage, tous les côtés de ce pentagone sont de même mesure.

Par conséquent, le pentagone est un polygone régulier.



21

Un dodécagone est un polygone à 12 côtés.

1) Déterminer la mesure des angles au centre d'un dodécagone régulier.

2) Construire un dodécagone régulier de centre et de côté 3 cm.

1) Déterminons la mesure des angles au centre d'un dodécagone régulier.

Rappel : Angle au centre d’un polygone régulier

Dans un polygone régulier à côtés, tous les angles au centre sont de même mesure, à savoir de mesure

.

Un dodécagone régulier est un polygone régulier à 12 côtés. Comme tout polygone régulier, un dodécagone

régulier est donc inscrit dans un cercle. Chaque angle au centre mesure alors

, c’est-à-dire .

Les angles au centre d'un dodécagone régulier mesurent tous .

2) Construisons un dodécagone régulier de centre .

Explications de la construction :

Un dodécagone régulier se compose de 12 triangles isocèles en tous isométriques (c’est-à-dire ayant les

longueurs de leurs côtés deux à deux égales), tel que est le centre du cercle circonscrit à ce dodécagone

régulier.

En effet, les 12 points du cercle sont à équidistance du centre et les angles au centre sont de même mesure

.

Etape 1 :

Commençons par tracer un segment tel que .

Les points et sont situés sur le cercle de centre , circonscrit au dodécagone régulier donc .

Ainsi, et est isocèle en . Il s’ensuit immédiatement que .





22

Comme la somme des angles dans un triangle est égale à , on a .

En remplaçant dans cette égalité par sa mesure et par , il vient alors que .

Finalement, , d’où

.

Il convient donc de représenter les angles et de mesure .

Les demi-droites et sont alors concourantes en , centre du cercle circonscrit au dodécagone

régulier.

Etape 2 :

Une fois tracé le triangle isocèle en , on trace le cercle de centre et passant par et .

En effet, tout polygone régulier étant inscrit dans un cercle, les sommets du dodécagone régulier appartiennent

au cercle de centre et passant par et .



23

Etape 3 :

Afin d’obtenir les 10 autres sommets du dodécagone (que l’on appellera ), il suffit

alors d’opter pour l’une des 2 variantes de construction suivantes :

- Méthode 1 : tracer à l’aide d’un rapporteur les 11 autres angles au centre de mesure (voir figure

n°1) puis relier les sommets consécutifs (voir figure n°2)

- Méthode 2 : pointer successivement le compas sur le dernier point du cercle obtenu et reporter sur le

cercle à l’aide d’un compas la mesure d’un côté du dodécagone, à savoir (voir figure n°3) puis

relier les sommets consécutifs (voir figure n°2)

Remarque : La seconde méthode reste à privilégier dans la mesure où les autres points du dodécagone régulier

s’obtiennent ainsi plus facilement.



24

Figure n°1

Figure n°2



25

Figure n°3



26

Première partie :

Soit un triangle rectangle isocèle en tel que .

1) Calculer la valeur exacte de et la valeur exacte de .

2) En déduire que

.

Deuxième partie :

Soit un octogone inscrit dans un cercle de centre et de rayon cm. est le pied de la hauteur

du triangle issue de .

1) Construire la figure.

2) Calculer la valeur exacte de la longueur .

3) En déduire la valeur exacte de la longueur .

4) Calculer la valeur exacte de la longueur .

5) Calculer la valeur exacte, puis la valeur approchée à près, de l’aire de l’octogone .

Première partie :

1) Calculons la valeur exacte de et celle de .

Rappel : Cosinus d’un angle aigu et sinus d’un angle aigu

Soit un triangle rectangle en .

Le cosinus de l’angle aigu est noté et :

Le sinus de l’angle aigu est noté et :

est un triangle isocèle en tel que . Par conséquent, .

Exercice 11 (7 questions) Niveau : difficile


hypoténuse

côté adjacent à

l’angle aigu

côté opposé à

l’angle aigu



27

De plus, le triangle est rectangle en . Donc, d’après le théorème de

Pythagore, on a l’égalité : .

Il vient alors que .

Echelle 2 :1

Enfin, comme est rectangle en , on a :

2) Montrons que

.

est un triangle rectangle isocèle en donc et .

Or, dans un triangle, la somme des angles est égale à donc , c’est-à-dire

. Il vient alors que , c’est-à-dire . Finalement,

.

Or, d’après la première question,

donc, comme ,

.

Deuxième partie :

1) Avant de construire la figure, explicitons la démarche de construction de l’octogone .

L’octogone est inscrit dans un cercle de centre . Par conséquent, est un octogone

régulier de centre . Or, un octogone régulier est un polygone régulier à 8 côtés. Ses angles au centre mesurent

donc

, c’est-à-dire .

Pour tracer , il faut donc suivre les étapes suivantes :

tracer un cercle de centre et de rayon cm

tracer un angle où est un point du

cercle

utiliser le compas afin de prendre l’écart entre les

sommets consécutifs et de l’octogone

reporter cet écart en mettant la pointe du compas sur

et en traçant un demi-arc de cercle ; ce demi-arc de

cercle coupe le cercle de centre en

répéter les 2 étapes précédentes 5 fois afin d’obtenir

successivement les points , , , et

tracer la perpendiculaire à passant par

placer le point d’intersection entre et la

perpendiculaire passant par

relier les sommets consécutifs de l’octogone

Figure à l’échelle 1,5 : 1



28

2) Calculons la valeur exacte de la longueur .

est le pied de la hauteur du triangle issue de . Par conséquent, le triangle est rectangle en .

est un angle au centre du cercle de centre donc .

De plus, comme , .

Enfin, est un rayon du cercle donc .

On a donc

. En remplaçant par les valeurs connues, on obtient

. Finalement, il vient

que .

Or, la première partie a permis d’établir que

donc

.

Le segment mesure donc 1 cm.


donc , c’est-à-dire . En remplaçant par les valeurs connues, on obtient

.

Le segment mesure donc cm.


On a montré que le triangle est rectangle en . On a donc

. En remplaçant par les valeurs

connues, on obtient

. Finalement, il vient que .

Or, la première partie a permis d’établir que

donc

.

Le segment mesure donc 1 cm.

Remarque : On peut également obtenir ce résultat en utilisant le théorème de Pythagore, appliqué au triangle

rectangle en . En effet, , c’est-à-dire . En remplaçant par les valeurs

connues, . Il vient alors que cm.

5) Calculons l’aire de l’octogone régulier .

L’octogone régulier se

compose des 8 triangles adjacents

, , , , , ,

et , tous isométriques.

Par conséquent, l’aire de

l’octogone est plus fois

plus grande que l’aire du

triangle isocèle .



29

Il s’ensuit que :

Rappel : Aire d’un triangle

L’aire d’un triangle de base et de hauteur est donnée par la

formule :

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