ANGLES ORIENTÉS – TRIGONOMÉTRIE – 1ÈRE PARTIE – 1ÈRE S

1. Cercle trigonométrique

Le plan est rapporté à un repère orthonormal O; i!; j!

( ) . On considère le cercle de centre O et de rayon 1 ainsi que la droite d'équation x = 1 que l'on gradue avec la même unité et la même orientation que l'axe

O, j!

( ) .

On "enroule" ensuite cette droite autour du cercle, la partie positive dans le sens direct (inverse des aiguilles d'une montre) et la partie négative dans le sens indirect (sens des aiguilles d'une montre). Voir Figure 1.

Ainsi, chaque réel sur la droite se place sur le cercle :

Sur le point I viennent se placés les nombres : .........................................................................................................................................

Sur le point J viennent se placés les nombres : .........................................................................................................................................

Sur le point K viennent se placés les nombres : ........................................................................................................................................

Sur le point L viennent se placés les nombres : ........................................................................................................................................

Lorsque l'on parcourt ainsi la droite "enroulée" autour du cercle, on passe au même

point du cercle tous les ...............................................................................................................................................................................

On dit que le mouvement est ………………… de ……………………

2. Angles orientés et mesures en radians

Définition : Dans le même plan, on considère deux vecteurs non nuls u!

et v!

et deux points M et M' du plan tels que u

!est colinéaire et de même sens que OI

! "!, OM! "!!!

= v

" et M'

est l'intersection du cercle avec OM[ ) . Voir Figure 2.

On appelle angle orienté u

!, v!

( ) l'angle de rotation de centre O qui à I donne l'image M'. Une mesure en radians de cet angle est donnée par un des nombres de la droite réelle enroulée correspondant au point M' sur le cercle. Ainsi, l'angle orienté

u

!, v!

( ) possède une infinité de mesures en radians :

Si l'on parcourt le cercle dans le sens direct alors u

!, v!

( )> 0 ;

Si l'on parcourt le cercle dans le sens indirect alors u

!, v!

( )< 0.

Premières propriétés : Pour tous vecteurs u

! et v!

du plan : Schéma a Schéma b Schéma c a.

u

!;v!

( ) = ..................

b. Si k > 0, ku

!, v!

( ) = …………

c. Si k < 0, ku

!, v!

( ) = …………

Premières mesures : On considère le cercle trigonométrique de la Figure 3 :

Angle orienté

OI

! "!,OI! "!

( )

OI

! "!,OA! "!!

( )

OI

! "!,OB! "!!

( )

OI

! "!,OC! "!!

( )

OI

! "!,OJ! "!!

( )

OI

! "!,OD! "!!

( )

OI

! "!,OE! "!!

( )

OI

! "!,OF! "!!

( )

OI

! "!,OK! "!!

( )

OI

! "!,OG! "!!

( )

OI

! "!,OH! "!!

( )

OI

! "!,OM! "!!!

( )

Mesures en

degrés

Mesures en

radians

Angle orienté

OI

! "!,OL! "!!

( )

OI

! "!,ON! "!!

( )

OI

! "!,OP! "!!

( )

OI! "!,OQ! "!!

( )

OA

! "!!,OD! "!!

( )

OB

! "!!,OD! "!!

( )

OK

! "!!,OA! "!!

( )

OF

! "!!,OB! "!!

( )

OB

! "!!,ON! "!!

( )

OL

! "!!,OA! "!!

( )

OK

! "!!,OJ! "!!

( )

Mesures en

degrés

Mesures en

radians

3. Sinus et cosinus d'un angle orienté

Soit une mesure d'angle

! "! en radians et soit le point M du cercle tel que OI

! "!,OM! "!!!

( ) = ! . Voir Figure 5.

On définit le cosinus et le sinus de ! respectivement par l'abscisse et l'ordonnée de M dans le repère O; i!; j!

( ) .

Ici, M cos!; sin!( ) .

Exercice : Sur la Figure 4, placer les différentes mesures d'angles du tableau ci-dessous sur le cercle et compléter le cercle et le tableau avec leurs cosinus et leurs sinus.

Mesure en

radian 0

!

6 !

4 !

3 !

2 2!

3 3!

4 5!

6 ! – !

6 – !

4 – !

3 – !

2 – 2!

3 – 3!

4 – !

cosinus

sinus

ANGLES ORIENTÉS – TRIGONOMÉTRIE – 2NDE PARTIE – 1ÈRE S

1. Mesure d'un angle orienté

On rappelle qu'un angle orienté est un angle formé par deux vecteurs non nuls. Sa mesure sur le cercle trigonométrique peut être positive (dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ou sens ………) ou négative (dans le sens des aiguilles d'une montre ou sens …………). Soient deux vecteurs non nuls u

!et v!

. Si ! est une mesure de u

!, v!

( ) en radians, alors pour tout k !! , ! + k2" est une

autre mesure possible de u

!, v!

( ) .

Définition : On note u

!, v!

( ) = ! + k2" ,!!!k #" ou encore u

!, v!

( ) = ! ! 2"( ) qui se lit "à 2π près".

Propriété : il existe une unique mesure de u

!, v!

( ) appartenant à l'intervalle !";"] ] . On l'appelle la ………. …………….

De l'angle u

!, v!

( ) .

Exercice : Donner la mesure principale de chaque mesure d'angle suivante : 9!

2 ; ! 5"

4 ; 26!

7 ; ! 11"

12 ; 41!

6

2. Angles orientés et opérations

Propriétés : Soient u!

, v!

et w!"

trois vecteurs non nuls, k, k '!! . On a alors :

v

!,u!

( ) = ........................

u

!, v!

( ) + v

!,w"!

( ) = ..................

(Relation de Chasles)

!u

!, v!

( ) = .................. !u

!,!v!

( ) = ..................

ku

!, v!

( ) =.................. si .........

.................. si .........

!

"#

$#

Si u!

et v!

sont colinéaires de même sens alors u

!, v!

( ) = ........................ Si u!

et v!

sont colinéaires de sens opposés alors u

!, v!

( ) = ........................ Conséquences :

u

!,!v!

( ) = ..................

ku

!, k 'v!

( ) =.................. si .........

.................. si .........

!

"#

$#

Si A, B, C sont trois points non aliognés, alors :

AB

! "!!,AC! "!!

( ) + CA

! "!!,CB! "!!

( ) + BC

! "!!,BA! "!!

( ) = ............... Théorème de l'angle inscrit Si A, B et M sont trois points distincts d'un cercle de centre O, alors :

OA

! "!!,OB! "!!

( ) = 2 MA

! "!!,MB! "!!

( )!!! 2!( )

3. Sinus et cosinus d'un angle orienté Définition : Soit une mesure d'angle

! "! . On définit le cosinus et le sinus de ! comme l'abscisse et l'ordonnée du point du cercle trigonométrique correspondant à la mesure ! (voir sinus et cosinus : angles orientés, trigonométrie : 1ère partie). Le dessin ci-contre résume les valeurs de sinus et cosinus des mesures des angles particuliers : Premières propriétés : Par définition : pour tout

x !! et k !",!!cos x + 2k"( ) = cos x et sin x + 2k"( ) = sin x

Par Pythagore, on a : pour tout x !!,!!cos

2x + sin

2x = 1

Par symétrie, on obtient les résultats suivants : Pour tout x !! :

cos !x( ) = ............

sin !x( ) = ............

cos!2" x#

$%&'(= ............

sin!2" x#

$%&'(= ............

cos x +

!2

"#$

%&'= ............

sin x +!2

"#$

%&'= ............

cos x + !( ) = ............

sin x + !( ) = ............

cos ! " x( ) = ............

sin ! " x( ) = ............

4. Représentation graphiques des fonctions sinus et cosinus

Les fonctions x! cos x et x! sin x sont définies sur ! . Elles sont périodiques de période 2π. Leurs représentations

graphiques sont données dans le graphique suivant :

5. Formules d'addition et de duplication Théorème : Soit

a,b !! . Alors :

cos a + b( ) = cosa cosb ! sin a sinb

cos a ! b( ) = cosa cosb + sin a sinb

sin a + b( ) = sin a cosb + cosa sinb

sin a ! b( ) = sin a cosb ! cosa sinb

cos 2a = cos2a ! sin

2a = 2 cos

2a !1 = 1! 2 sin

2a

sin 2a = 2 sin a cosa

cos2a =

1

21+ cos 2a( ) sin

2a =

1

21! cos 2a( )

Démonstration : Soit

a,b !! . Dans un repère orthonormal, on construit deux vecteurs u

! et v

!de norme 1

tels que : i!,u!

( ) = b 2!( ) et i!, v!

( ) = a 2!( ) . Ainsi

u

! .........

.........

!"#

$%&

et v

! .........

..........

!"#

$%&

.

u

!! v

!= .....................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................

D'autre part, cos a + b( ) = cos a ! !b( )( ) = .........................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................

De plus, sin a + b( ) = cos!2" a + b( )

#$%

&'(= cos

!2" a " b#

$%&'(= .............................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................

Enfin, sin a ! b( ) = sin a + !b( )( ) = ......................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................

6. Coordonnées polaires Définition : La plan est rapporté à un repère

O; i!; j!

( ) orthonormal.

Tout point M du plan est défini de manière unique par un couple de réels r,![ ] tels que : r = OM et

i

!,OM" !"""

( ) = ! !! 2"( ) en radians.

On dit que r,![ ] sont des coordonnées pola ires de M relativement au pôle O et à

l'axe pôlaire O; i!

( ) . Le rayon polaire r est toujours positif et l'angle polaire ! est défini à 2π près. Remarques : - Pour tout point M du plan distinct de O, il existe un unique couple de coordonnées polaires r,![ ] avec ! " #$;$] ] (mesure principale). - Pour le point O, on considère que r = 0 et que ! est quelconque. Propriétés :

Soit un point M du plan de coordonnées polaires r;![ ] . Alors les coordonnées cartésiennes de M sont :x = ...............

y = ...............

!"#

Soit un point M de coordonnées

x; y( ) dans O; i

!; j!

( ) , alors le rayon polaire de M est r = ............

Exercice : Déterminer les coordonnées polaires de M 4;!4( ) et les coordonnées cartésiennes de N 2 3!;!2!

3

"

#$%

&'.

.................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................