UNIVERSIDAD TCNICA ESTATAL DE QUEVEDOFACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERACARRERA DE INGENIERA INDUSTRIALMODULO IIITEMA:ANGULO ENTRE DOS VECTORES EN DOS DIMENSIONESPROYECCIN ORTOGONAL DE VECTORES EN DOS DIMENSIONESINTEGRANTES:BUSTE SNCHEZ LISBETH MARIANELADIAZ HIDALGO LAXON MICHAELGALEAS RODRGUEZ CAROLINA JESSICAORTEGA VERA ROGELIO JAVIERRICAURTE ALVARADO DANIELA ENMAUNIDAD DE APRENDIZAJE:ALGEBRA LINEALDOCENTE:GEOLOGA. CLEMENCIA COELLOPERODO LECTIVO:2014ANGULO ENTRE DOS VECTORES EN DOS DIMENSIONESVector en dos dimensiones: son aquellos que sirven para representar grficamente fenmenos fsicos utilizando un plano cartesiano sobre el cual van a estar proyectadas sobre los ejes de las x y de las y sus coordenadas o proyecciones rectangulares o tambin llamadas proyecciones ortogonales.

(3;2)A = (3; 2)

ANGULO ENTRE DOS VECTORESEl ngulo que forman dos vectores y viene dado por la expresin:

Ejemplo:Calcular el ngulo que forman los siguientes vectores:= (3, 4) y= (8, 6)Para ello primero procedemos a calcular el producto escalar= 3 (8) + 4 6 =090

PROYECCIN ORTOGONAL DE VECTORES EN DOS DIMENSIONESProyeccin ortogonal Sean los vectores: u = ux i + uy j y v = vx i + vy jAl proyectar ortogonalmente el vector v sobre la direccin del vector u se obtiene un segmento p tal como se observa en las figuras 1 y 2.

Se denomina: proyeccin escalar del vector v sobre la direccin del vector u a la longitud del segmento p asociado a un signo: positivo o negativo, que indicar si la proyeccin coincide o no con el sentido que tiene el vector sobre el cual proyectamos ortogonalmente. Cmo determinar p? Consideremos la figura 1, en ella el tringulo NOM es rectngulo en M, por lo tanto:

As obtenemos que: la proyeccin del vector v sobre la direccin del vector u es igual a la norma del vector v por el coseno del ngulo comprendido entre los vectores u y v. Pero, por otra parte, si comparamos (I) con la frmula del producto escalar entre vectores, tendremos:

Entonces, operando en (II) y reemplazando por los datos resulta: Ejemplos: Halla la proyeccin del vectorsobre el vector

Para trazar la proyeccin desobre.Prolongamos la lnea del vectory ahora s encontramos la recta para proyectarsobre.Aplicamos la frmula:

Halla la proyeccin del vector sobre el vector = = 1,6=

EJERCICIOS PROPUESTOSGRUPO #3ANGULO ENTRE DOS VECTORES DE 2DIMENSIONES Y PROYECCION ORTOGONAL1. Calcular el ngulo entre los siguientes vectores = (5, 6) y= (1, 4)

2. Seleccione la respuesta correctaLa frmula para calcular el ngulo es:a) b) U.Vc) d) Ninguna de las anteriores.3. Halla la proyeccin del vectorsobre el vector.

4. Halla la proyeccin del vector= (-3,-4) sobre elvector= (4,-5)