ANGULOS ORIENTADOS ANGULOS ORIENTADOS SISTEMAS DE MEDICION DE SISTEMAS DE MEDICION DE

ANGULOSANGULOSRAZONES TRIGONOMETRICAS RAZONES TRIGONOMETRICAS

EN LA CIRCUNFERENCIA EN LA CIRCUNFERENCIA GONIOMETRICAGONIOMETRICA

Profesora: Eva Saavedra G.Profesora: Eva Saavedra G.

Ángulos positivos y negativosÁngulos positivos y negativosEn la Trigonometría, es importante la orientación o sentido En la Trigonometría, es importante la orientación o sentido

que tienen los ángulos.que tienen los ángulos.

La La orientación o sentido de un ánguloorientación o sentido de un ángulo está determinada por está determinada por la dirección en que gira uno de sus rayos mientras el la dirección en que gira uno de sus rayos mientras el otro permanecer fijootro permanecer fijo

y

xo A

B

Angulo AOB es un ángulo positivo

se mantiene fijoOA

OB Gira en sentido contrario al movimiento de los punteros del reloj

AO

B

Se mantiene fijo OA

OB gira en el mismo sentido que el movimiento de los punteros del reloj

Angulo AOB es un ángulo negativo

Dependiendo del cuadrante en que se halle el lado Dependiendo del cuadrante en que se halle el lado términal de un ángulo se dice que este términal de un ángulo se dice que este ángulo es del ángulo es del cuadrante I, II, III o IV.cuadrante I, II, III o IV.

AO

B Angulo AOB positivo, es un ángulo del cuadrante II

Angulo COD negativo, es un ángulo del cuadrante I

CO

D

Sistemas de medición de ángulosSistemas de medición de ángulos Sistema sexagesimal: Sistema sexagesimal: La unidad de medida es La unidad de medida es

el el grado sexagesimal, grado sexagesimal, lo que se anota lo que se anota 1º. 1º. Esta unidad Esta unidad corresponde a la medida de un ángulo del centro que corresponde a la medida de un ángulo del centro que subtiende un arco igual a la trescientas sesenta ava subtiende un arco igual a la trescientas sesenta ava parte de la circunferencia.parte de la circunferencia.

Así:Así:

1º = 601º = 60‘ y 1‘ = 60"‘ y 1‘ = 60" 1º = 60‘ = 3.600"

E J E M P L O 1E J E M P L O 1

Expresar en grados: 27º 54Expresar en grados: 27º 54' 18"' 18"

Solución: Solución: 27º 5427º 54' 18" = 27º + 54' +18"' 18" = 27º + 54' +18"

Transformamos los minuto a grados :Transformamos los minuto a grados :

º9,006

º1·4545

º1

0645

xx

Transformamos los segundos a grados:

º005,0060.3

º1·8181

º1

060.381

xx

Por lo tanto: 27º 5427º 54'' 18 18"" = 27º + 0,9º + 0,005º = 27,905º

E J E M P L O 2E J E M P L O 2

Calcular a cuántos grados, minutos y segundos Calcular a cuántos grados, minutos y segundos equivalen 7,34ºequivalen 7,34º

Solución: Solución: Sabemos que: 7,34º = 7º + 0,34ºSabemos que: 7,34º = 7º + 0,34º

Transformar las centésimas de grado a minutosTransformar las centésimas de grado a minutos::

4,20º1

º34,0·06º34,0

06

º1º34,0

x

x

De donde : 20,4‘ = 20‘ + 0,4‘,

Transformamos las décimas de minuto a segundos:

421

4,0·064,0

06

14,0

x

x

Por lo tanto: 7,34º = 7º + 20‘ + 24” = 7º 20‘ 24”

O

SISTEMA RADIALSISTEMA RADIAL

En este sistema la unidad de medida es el En este sistema la unidad de medida es el radiánradián ( 1 rad). ( 1 rad).

A

B

r r

r

Esta unidad equivale a un ángulo del centro que subtiende un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia

rarcoABmed

rad

1

Equivalencias entre radianes y gradosEquivalencias entre radianes y grados

La longitud de la circunferencia de La longitud de la circunferencia de radio rradio r es es

, si dividimos su longitud por el radio , si dividimos su longitud por el radio obtendremos los radianes de un ángulo de obtendremos los radianes de un ángulo de 360º, por ello la equivalencia entre ambos es :360º, por ello la equivalencia entre ambos es :

r2

radianes2º360

Como sabemos , el radio está contenido 2Como sabemos , el radio está contenido 2ππ veces en la veces en la circunferencia, esto permite expresar:circunferencia, esto permite expresar:

rad

xrad

radrad

º180

ºº

2

º360

Por ello, la medida en grados sexagesimales de 1 radián es:

º296,571416,3

1º·1801

º180

º

rad

rad

rad

rad

5471º57º296,571 rad

E j e m p l o sE j e m p l o s

Convertir Convertir en radianesen radianes::

º25

radrad

rad

rad

36

5

º180

º·25

º180

º25º25

Convertir en grados sexagesimales:rad10

3

º54º180

·10

3103

º18010

3

rad

radrad

Convertir en grados sexagesimales:Convertir en grados sexagesimales:rad6,4

rad6,4 rad

rad

6,4

º180

1416,3

º180·6,4

º296,57·6,4

º56,263

8333º263

A C T I V I D A DA C T I V I D A D Exprese en grados, minutos y segundos, o en Exprese en grados, minutos y segundos, o en

notación decimal, según corresponda:notación decimal, según corresponda:

1)1) 110,01º 110,01º

1)1) 30º1530º15‘4“ ‘4“

2)2) -175º12' -175º12'

63º110

º251,30

º2,175

ActividadActividad

Exprese en Exprese en ππ radianes radianes

360º =360º = 180º =180º =

90º = 90º = 60º =60º =

45º =45º = 30º =30º =

rad2 rad1

rad2

rad

3

rad4

rad6

Razones trigonométricas de ángulos Razones trigonométricas de ángulos complementarioscomplementarios

Sea el triángulo rectángulo ABC, recto en CSea el triángulo rectángulo ABC, recto en C

AB

C

º90

90

cossen )º90cos( sen )2

cos( sen

sencos )º90(cos sen )2

(cos sen

cottg )º90cot( tg )2

cot( tg

La circunferencia goniométricaLa circunferencia goniométrica

x

Y

O

P(x,y)

Se llama así a toda circunferencia cuyo radio se considera de medida unitaria ( 1u) y tiene su centro en el origen O(0,0) de un sistema de coordenadas cartesiano.

r =1u

mediciónmetría

ángulosgonos

Esta circunferencia es un elemento auxiliar utilizado para definir el valor y el signo de las razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida.

Valores y signos de las razones Valores y signos de las razones trigonométricas en el primer cuadrantetrigonométricas en el primer cuadrante

P(x,y)

sen

cos1

xx

1

cos

X

Y yy

sen 1

0º0 sen 1º90 sen

1º0cos 0º90cos

0º0 tg definidanotg º90

1

1

-1

-1

Medidas del Medidas del ánguloángulo

RazónRazón SignoSigno RangoRango

++

++

++

º90º0 1,0

º90º0

º90º0

1,0

sen

cos

tg ,0

Valores y signos de las razones Valores y signos de las razones trigonométricas en el segundo cuadrantetrigonométricas en el segundo cuadrante

sen

cos

1

Y

X-1

-1

0º180 sen 0sen

1º180cos 1cos

0º180 tg 0tg

Medidas del Medidas del ánguloángulo

RazónRazón SignoSigno RangoRango

++

--

--

º180º90

º180º90

º180º90

1,0

0,1

0,tg

cos

sen

Valores y signos de las razones Valores y signos de las razones trigonométricas en el tercer cuadrantetrigonométricas en el tercer cuadrante

X

Y

1

1

-1

-1

sen

cos

1º270 sen 12

3

sen

0º270cos 02

3cos

definidanotg º270 definidanotg ,2

3

Medida del Medida del ánguloángulo

RazónRazón SignoSigno RangoRango

__

__

++

º270º180

º270º180

º270º180

0,1

0,1

,0

sen

cos

tg

Valores y signos de las razones Valores y signos de las razones trigonométricas en el cuarto cuadrantetrigonométricas en el cuarto cuadrante

X

Y

1

1

-1

-1

sen

cos

0º360 sen 02 sen

1º360cos 12cos

0º360 tg 02 tg

Medida del Medida del ánguloángulo

RazónRazón SignoSigno RangoRango

_ _

++

__

º360º270

º360º270

º360º270

0,1

1,0

tg

cos

sen

0,

A c t i v i d a dA c t i v i d a d

1) Indique el signo de las razones trigonométricas de los ángulos 1) Indique el signo de las razones trigonométricas de los ángulos dados.dados.

a)a) sen 135º b) cos 240º c) tg 298º d) sec 156ºsen 135º b) cos 240º c) tg 298º d) sec 156º

2) Calcule el valor numérico y signo de las expresiones 2) Calcule el valor numérico y signo de las expresiones siguientes.siguientes.

a) sen180º + 3sen270º - 4cos270º -5 sec 180º -6 cosec270º =a) sen180º + 3sen270º - 4cos270º -5 sec 180º -6 cosec270º =

b) tg 180º - 2 cos 180º + 3 cosec 270º + sen 90ºb) tg 180º - 2 cos 180º + 3 cosec 270º + sen 90º

c) sen 0º + 3 cotg 90º + 5 sec 180º - 4 cos 270º =c) sen 0º + 3 cotg 90º + 5 sec 180º - 4 cos 270º =

A c t i v i d a dA c t i v i d a d

3.-Exprese en radianes o en grados, minutos y segundos 3.-Exprese en radianes o en grados, minutos y segundos sexagesimales, según corresponda, las siguientes sexagesimales, según corresponda, las siguientes medidas angulares:medidas angulares:

a)150º b) 55º 30' c) 72º15‘ d) -540ºa)150º b) 55º 30' c) 72º15‘ d) -540º

e) f) g) 120º 35' 18“ h) 5,8 rade) f) g) 120º 35' 18“ h) 5,8 rad

i) 22,5º j) k) l ) 270ºi) 22,5º j) k) l ) 270º

rad8

rad4

7

2

36

5

4. Indique a qué cuadrante pertenecen los ángulos que 4. Indique a qué cuadrante pertenecen los ángulos que cumplen las siguientes condiciones:cumplen las siguientes condiciones:

a) El coseno y la tangente son positivosa) El coseno y la tangente son positivos

b) La cosecante y el coseno son negativos b) La cosecante y el coseno son negativos

c) El seno y el coseno tienen igual signo c) El seno y el coseno tienen igual signo d) El coseno y la tangente son negativos d) El coseno y la tangente son negativos

e) El seno y el coseno tienen distinto signoe) El seno y el coseno tienen distinto signo

A c t i v i d a dA c t i v i d a d

A c t i v i d a dA c t i v i d a d

3. Complete la tabla:3. Complete la tabla:

Medida ánguloMedida ángulo CuadranteCuadrante RazónRazón SignoSigno RangoRango

º90º0

tg

sen

cos ,0

1,0

1,0

º180º90 II

tg

sen

cos

0,

0,1

1,0

º270º180 III

tg

sen

cos

,0

0,1

0,1

º360º270 IV

tg

sen

cos

0,

1,0

0,1

I