Animação por Computador Capítulo 5 Vínculos Cinemáticos

Animação por Computador

Capítulo 5Vínculos Cinemáticos

CRAb – Grupo de Computação Gráfica

Departamento de ComputaçãoUFC

2

Sumário do Capítulo 5

5. Introdução5.1 Modelagem hierárquica5.2 Cinemática direta5.3 Cinemática inversa

3

5. Introdução

• É conveniente descrever o movimento de um objeto em relação a outro– Sistema de coordenadas conveniente– Exemplo:

•Sistema solar (centrado no sol)•Como seria a definição do movimento da

lua?

4

5. Introdução

• É conveniente descrever o movimento de um objeto em relação a outro– Sistema de coordenadas conveniente– Exemplo:

•Sistema solar (centrado no sol)•Como seria a definição do movimento da lua?

– A lua seria relativa a terra– A terra seria relativa ao sol– Assim, seria possível colocar o movimento da lua

em relação as coordenadas do sol

5

5. Introdução

• É conveniente descrever o movimento de um objeto em relação a outro– Cadeia de objetos relacionados:

•Hierarquia de movimento•Objetos fisicamente conectados•Exemplos

– Astronomia– Robótica– Motores de combustão interna– Animação da figura humana– ...

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5. Introdução

• Ligações causam restrições ao movimento– Dimensionalidade reduzida

•É necessário especificar menos graus de liberdades

•Exemplo:– O movimento da lua ao redor da terra pode ser

especificado com um único parâmetro: ângulo» Já que a lua rotaciona em um plano fixo há

uma distância fixa

7

5. Introdução

• Animando estruturas hierárquicas– Cinemática direta

•Animador deve especificar os parâmetros de rotação nas juntas

8

5. Introdução

• Animando estruturas hierárquicas– Cinemática inversa

•Animador deve especificar a posição da mão

5.1 Modelagem hierárquica

10


• Imposição de restrições de posições relativas– Objeto organizado como uma

estrutura de arvore– Não é necessário verificar se os

membros continuam juntos

11


• Termos– Figuras articuladas

•Objetos conectados pelas pontas– Animais– Humanos

• Junção dos membros (articulações) são manipulados para produzir movimentos dos membros

raiz

12


• Termos– Muito conteúdo é proveniente da

robótica

13


• Termos– Manipuladores

•Sequência de objetos conectados por juntas

14


• Termos– Link

•Objeto rígido entre duas juntas

15


• Termos– End effector

•Fim da cadeia de objetos

16


• Termos– Frame

• Sistema de coordenadas local associado a cada junta

– Juntas • Mais importante:

– Junta de revolução» Um link rotaciona ao redor de um ponto fixo

de outro link– Junta prismática

» Um link translada relativo a outro

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• Termos– Juntas

•Ball and socket

18



•Hinge

19



•Slider

20


• Termos– Grau de liberdade

•O menor número de coordenadas necessárias para especificar completamente o movimento de um objeto

– Juntas que possuem um grau de liberdade:

21


• Termos– Grau de liberdade (degree of freedom –

DOF)•O menor número de coordenadas

necessárias para especificar completamente o movimento de um objeto

– Juntas que possuem mais de um grau de liberdade

» Chamadas de juntas complexas

22


23


• 5.1.1 Estrutura de dados– Estrutura que contem nós e arestas– Nó raiz

•Corresponde ao objeto raiz da hierarquia•Posição dada em coordenadas globais

– Nós•Posições relativas ao nó raiz

– Nós folhas•Correspondem aos end effectors

– Nó pai / Nó filho•O nó pai se encontra em uma posição

mais alta na hierarquia que o nó filho

24


• 5.1.1 Estrutura de dados– Mapeando hierarquia e árvore

•Link x Nó• Junta x Aresta

– Transformação que deve ser feita para todos abaixo na hierarquia

•Um nó de uma árvore pode ter mais de uma aresta ligada a ele

•Um objeto pode ter mais de uma junta conectada a ele

25


• 5.1.1 Estrutura de dados– Transformações globais ocorrem no

nó raiz• Indiretamente, afeta o resto da hierarquia

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• 5.1.1 Estrutura de dados– Um nó contem todas as informações

necessárias para posicionar a parte do objeto

– O ponto de rotação fica no começo da parte do objeto

– Transformações que podem ocorrer•Posicionar no local correto, conectada ao

link pai na hierarquia– Posição natural

•Relativa a junta

27


• 5.1.1 Estrutura de dados

28


• 5.1.1 Estrutura de dados (Exemplo)– Estrutura

29



30



31


• 5.1.1 Estrutura de dados (Exemplo)– Árvore

32


• 5.1.1 Estrutura de dados (Exemplo)– Posição final de um vértice de um

objeto•Concatenação de transformações

11111011

1

1101

1

000

0

1.1Link do vérticeo é

1Link do vérticeo é

0Link do vérticeo é

... '

'

'

VTTTV

V

VTTV

V

VTV

V

33


• 5.1.1 Estrutura de dados (Exemplo)– Animação de junta de revolução

•Transformações parametrizadas

)( iiR

34



•Estrutura

35



•Árvore

36



•Posição final– Sequência de transformações

» Transformação do nó» Rotação» Transformação da junta

11111111111011

111101

..... )()('

)('

VRTRTTV

VRTTV

37


• 5.1.1 Estrutura de dados (Exemplo)– Mais de uma estrutura anexada

•Estrutura

38


• 5.1.1 Estrutura de dados (Exemplo)– Mais de uma estrutura anexada

•Árvore

39


• 5.1.2 Frames de coordenadas locais– É conveniente para aplicar procedimentos

•Cinemática inversa

– Uso:•Desenho

– Converter pontos definidos no frame da junta para as coordenadas globais

•Transformar um ponto em coordenadas locais de um nó filho para o de um nó pai

– Matriz de transformação associada a cada aresta– O inverso também pode ser feito (pai para filho)

» Matriz inversa

40


• 5.1.2 Frames de coordenadas locais

Cinemática direta x Cinemática inversa

1

2

P P

),( 21 fP )(, Pf 121

41


• 5.1.2 Frames de coordenadas locais– Implementação de junta com

múltiplos DOF• Interface com o usuário

– Quais informações são necessárias para especificar os valores de rotação de uma junta?

» Costume: Ângulos de Euler

•Como aplicar as transformações– Quaternios

» Evitar gimbal lock

42

5.2 Cinemática direta

43


• Transformações são feitas da raiz às folhas– Percurso em pré-ordem na árvore

•Uso de pilha•As transformações que preparam o nó

para ser transformado não devem ser compostas com a matriz que vai para pilha

Obs: Existe um pseudo-código de exemplo no livro

44


• Pose– Quando todas os parâmetros são

definidos – Especificado por um vetor

•Vetor posição•Um valor para cada DOF

45


• Animação– Os parâmetros da junta são

manipulados•Ângulos de rotação•São usados para fazer a matriz de

transformação da aresta

– Usuário deve definir poses chaves e interpolar as poses intermediárias•Não é prático ter que definir cada

parâmetro– Tentativa e erro

46


• Exemplo

?

Base

End Effector3l

1

2

2l1l

3

)sin()sin()sin(

)cos()cos()cos(

332211

332211

llly

lllx

47

5.3 Cinemática inversa

48


• Informações recebidas do usuário – Posição e orientação desejadas do

end effector– Pose inicial

• São calculados os valores das juntas para chegar na configuração desejada– Nenhuma solução

•Sistema sobre-restrito

– Uma solução– Várias soluções

•Sistema sub-restrito

49


• Nenhuma solução

50


• Várias soluções

51


• Espaço de alcance (reachable workspace)– É o volume em que o end effector

consegue alcançar

• Espaço de destreza (dextrous workspace)– É o volume em que o end effector

consegue alcançar com qualquer orientação

52


53


• Depois que os valores das juntas são calculados– Animação pode ser feita interpolando

os valores da pose inicial e final•Mudanças muito bruscas não

proporcionam controle sobre o caminho do end effector

– Solução» Várias posições intermediarias do end

effector podem ser calculadas e dadas de entrada para a cinemática inversa

54


• Mecanismo for simples– Calculo analítico– Sendo dados pose inicial e final

•Poses intermediárias conseguidas com a interpolação dos vetores pose

55


• Mecanismo complicado– Abordagem incremental

•Matriz de valores que relacionam as mudanças nos valores das juntas

– Matriz Jacobiana

•End effector é movido até chegar na configuração final (com uma certa tolerância)

56


• 5.3.1 Resolvendo sistema simples analiticamente– Examinar a geometria do sistema– Exemplo:

57


• 5.3.1 Resolvendo sistema simples analiticamente– Exemplo:

•Os ângulos podem ser conseguidos calculando a distância da base até o ponto definido

– Lei dos cossenos

•Tem que ter certeza que o ponto é alcançável

•Nesse exemplo só tem duas soluções simétricas

2122

21 LLYXLL

58


21

2222

21

2

21

2222

21

22

2

2180

LL

YXLL

LL

YXLL

arccos

coscos

22

22

YX

X

YX

X

T

T

arccos

cos

T

T

YXL

LYXL

YXL

LYXL

221

22

2221

1

221

22

2221

1

2

2

arccos

cos

59


• 5.3.2 Jacobiano– Usado para mecanismos complexos– O movimento pode ser construído

incrementalmente•A cada espaço de tempo calcula-se a

mudança dos parâmetros das juntas•Existem muitos métodos para resolver

esse problema– Grande maioria usa a matriz Jacobiana

» Matriz de derivadas parciais

60


• 5.3.2 Jacobiano– Explicação matemática

),,,,,(

),,,,,(

),,,,,(

),,,,,(

),,,,,(

),,,,,(

65432166

65432155

65432144

65432133

65432122

65432111

xxxxxxfy

xxxxxxfy

xxxxxxfy

xxxxxxfy

xxxxxxfy

xxxxxxfy

61



•A derivada de pode ser escrita em função das derivadas de

•Notação vetorial

iy

ix

66

55

44

33

22

11

xx

fx

x

fx

x

fx

x

fx

x

fx

x

fy iiiiii

i

dXX

FdY

XFY

)(

62



•A matriz de derivadas parciais é chamada de Jacobiano

– Pode ser pensada como o mapeamento das velocidades de para as velocidades de

XXJY )(

XF

X Y

63


• 5.3.2 Jacobiano– Quando o Jacobiano é aplicado a um

sistema que se quer animar • valores das juntas• posição e orientação do end effector

•O jacobiano relaciona a velocidade dos ângulos das juntas com a velocidade do end effector

ix

iyT

zyxzyx pppY ],,,,,[

)(JYV

64



sistema que se quer animar• representa velocidade linear e angular

• é o vetor das velocidades nas juntas

Tzyxzyx vvvV ],,,,,[

V

T

n ],[ 21

65



sistema que se quer animar • é a matriz JacobianaJ

n

zzz

n

yyy

n

xxx

vvv

vvv

J

21

21

21

66


• 5.3.2 Jacobiano– Cada termo relaciona a mudança de

uma junta especifica com uma mudança especifica no end effector• Junta de revolução

– Modifica» Velocidade da junta sobre o eixo de rotação

• Junta prismática– Orientação não muda– Mudança linear é igual a mudança na junta

• Junta de rotação– Mudança linear

» Produto vetorial do eixo de revolução com vetor da junta ao end effector

67


68


• 5.3.2 Jacobiano– Velocidades angular e linear

•Diferença da configuração atual e a desejada

•Problema: – Determinar a melhor combinação linear– Jacobiano coloca o problema na forma de

matriz

– Colocar todos os valores no mesmo sistema de coordenadas

69


• 5.3.2 Jacobiano (Exemplo)– A orientação do end effector não interessa para o

exemplo

70


• 5.3.2 Jacobiano (Exemplo)– Incrementos ig

71


• 5.3.2 Jacobiano (Exemplo)– Mudança desejada

– Jacobiano

z

y

x

EG

EG

EG

V

)(

)(

)(

zzz

yyy

xxx

PEPEE

PEPEE

PEPEE

J

))(),,(())(),,(()),,((

))(),,(())(),,(()),,((

))(),,(())(),,(()),,((

21

21

21

100100100

100100100

100100100

72


• 5.3.2 Jacobiano (Exemplo)– Assim:

3

2

1

21

21

21

100100100

100100100

100100100

zzz

yyy

xxx

z

y

x

PEPEE

PEPEE

PEPEE

EG

EG

EG

))(),,(())(),,(()),,((

))(),,(())(),,(()),,((

))(),,(())(),,(()),,((

)(

)(

)(

JV

73


• 5.3.3 Solução numérica (Usando Jacobiano inverso)– Equação a ser resolvida

– Problemas•Se não existir

– Sistema singular

•Matriz não é quadrada

VJ

JV1

1J

74


• 5.3.3 Solução numérica (Usando Jacobiano inverso)– Exemplo de singularidade

•Vetores perpendiculares– Impossível de fazer o movimento necessário

75


• 5.3.3 Solução numérica (Usando Jacobiano inverso)– Exemplo próximo de ser singular

•Valores altos devem ser usados•Erro numérico

76


• 5.3.3 Solução numérica (Usando Jacobiano inverso)– Se a matriz não quadrada

•Provavelmente tem infinitas soluções• Inversa convencional não existe

– Se as linhas forem linearmente dependentes» existe» Pseudoinversa, , pode ser usada

1)( TJJJ

77


• 5.3.3 Solução numérica (Usando Jacobiano inverso)

– Nem sempre as colunas são linearmente dependentes mas as linhas são• não existe, mas existe

– Nota: tirado da errata

11

11

)()(

)()(

TTTT

TTTT

TT

JJJJJJJ

VJ

JJJJVJJJ

JJVJ

JV

1)( JJ T 1)( TJJ

78


• 5.3.3 Solução numérica (Usando Jacobiano inverso)– Decomposição LU pode ser usada

para resolver

•Substituindo

VJJ

VJJT

T

)(

)( 1

TJ

79


• 5.3.3 Solução numérica (Usando Jacobiano inverso)– Integração numérica pode usada para

atualizar os ângulos das juntas•Euler

– O processo é feito para cada passo de tempo até o end effector chegar ao destino•Tolerância

80


• 5.3.3 Solução numérica (Usando Jacobiano inverso)– Importante:

•O jacobiano só é válido para a configuração daquele instante

81


Tamanhos: 15, 10 e 5Pose inicial: {π/8, π/4, π/4}Destino: {-20, 5}Total de frames: 21

Frame 0 Frame 5 Frame 10

Frame 15 Frame 20

82


• 5.3.3 Solução numérica (Usando Jacobiano inverso)– Sistema sub-restrito também tem

problema de singularidade•Modificação da solução

– Parâmetro de damping dado pelo usuário– Reduzir a sensibilidade da pseudoinversa

– Se comporta melhor perto de áreas de singularidade

VIJJJ T 121 )(

83


Tamanhos: 15, 10 e 5Pose inicial: {π/8, π/4, π/4}Destino: {-35, 5} - fora do alcanceTotal de frames: 21

Frame 0 Frame 10 Frame 18 Frame 19 Frame 20

Sem damping

Com damping

84


• 5.3.3 Solução numérica (Adicionando maior controle)– Pseudoinversa é uma solução entre

muitas•Não é necessariamente uma pose natural

– Possível forçar certos ângulos nas juntas para se ter melhor controle•Não afeta na posição do end effector

zIJJ )(

85


• 5.3.3 Solução numérica (Adicionando maior controle)– Possível forçar certos ângulos nas

juntas para se ter melhor controle•Não afeta na posição do end effector

(prova)

0

0

V

zV

zJJJJV

zIJJJV

JV

)(

)(

86


• 5.3.3 Solução numérica (Adicionando maior controle)– Influenciar um certo ângulo

•Não são como restrições rígidas, mas as soluções podem ser influenciadas para os valores do meio

2)( ciiiz

juntas das ganhos os são

desejados juntas das ângulos os são

correntes juntas das ângulos os são Onde,

i

ci

i

87


• 5.3.3 Solução numérica (Adicionando maior controle)– Dados de entrada

• • , indica a importância relativa do

ângulo desejado associado– Quanto maior, mais alto é a rigidez da junta

ci

i

88


• 5.3.3 Solução numérica (Adicionando maior controle)– Assim, a formula final:

zJzVJJJ

zJzVJJJ

zJzVJ

IzJzJVJ

zIJJVJ

TT

TT

)]()[(

)()(

)(

)(

1

1

89


• 5.3.3 Solução numérica (Adicionando maior controle)– Usando a decomposição LU em:

– Assim:

)()( JzVJJ T 1

)( T

T

JJJzV

zJ

90


Tamanhos: 15, 10 e 5Pose inicial: {π/8, π/4, π/4}Destino: {-20, 5}Total de frames: 21Todos os ângulos serão influenciados para 0 (zero)


Ganho: {0.1, 0.5, 0.1}

Ganho: {0.1, 0.1, 0.5}

91


• 5.3.3 Solução numérica (Jacobiano alternativo)– O invés de fazer o end effector ir até ao

destino, fazer com que o destino vá ao end effector• Usar a posição de destino no lugar do end

effector na pseudoinversa



92


• 5.3.3 Solução numérica (Evitando inversa)– Usa-se a transposta do Jacobiano– Resolver a as equações lineares usando

a a pseudo inversa é basicamente: • Determinar o peso necessário para fazer a

velocidade desejada do vetor de mudança do instante

– Outra solução:• Criar a projeção do vetor mudança no end

effectorVJ T

93


• 5.3.3 Solução numérica (Evitando inversa)– Evitar o calculo caro da inversa ou

pseudoinversa– Desvantagem:

•Pode levar o end effector para longe do destino



Escala usada: 0.1

94


• 5.3.3 Solução numérica (Coordenação de Minimização Cíclica)– Não utiliza mecanismo numérico– Considera cada junta por vez

•A partir da mais distante•Escolhe o melhor ângulo que faça o end

effector chegar no destino

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96

Referências

• Slides de J. H. Chuang

• Banco de imagens e vídeos do livro

• Errata do livro

• Dissertação de Benedito Aloísio

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