1Animaciones tomadas de: Wikipedia y http://zonalandeducation.com/mstm/physics/waves/partsOfAWave/waveParts.htm#pictureOfAWave

ONDAS

Antonio J. Barbero, Mariano Hernández, Alfonso Calera, Pablo Muñiz, José A. de Toro and Peter Normile

Departamento Física Apolicada. UCLM

2

Una onda es una perturbación periódica en el espacio y el tiempo capaz de propagar energía. La ecuación de ondas es la descripción matemática del modo en que dicha perturbación se propaga en el espacio y el tiempo.

Ondas transversales: Las oscilaciones ocurren perpendicularmente a la dirección de propagación en que se transfiere la energía de la onda. Así ocurre por ejemplo en una onda viajera en una cuerda tensa, en este caso la magnitud que varía es la distancia desde la posición horizontal de equilibrio.

Ondas longitudinales: Aquellas en que la dirección de propagación coincide con la dirección de vibración. Así el momvimiento de las partículas del medio es o bien en el mismo sentido o en sentido opuesto a la propagación de la onda. Por ejemplo, la propagación del sonido en un fluido: lo que cambia en este caso es la presión en el medio.

Vibración

PropagaciónVibraciónPropagación

Algunas ondas transversales, las ondas electromagnéticas, pueden propagarse en el vacío. Sin embargo, las ondas longitudinales se propagan solo en medios materiales.

3

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO

tvxfy Ecuación de ondas

Signo +

La onda viaja hacia la derecha

La onda viaja hacia la izquierda

Signo -

Espacio Tiempo

Velocidad de fase

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

X

Y

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

X

Y

tvxfy

tvxfy

Forma de onda (perfil) f

Forma de onda (perfil) f

La ecuación de onda describe una onda viajera si está presente el grupo (x vt). Esta es una condición necesaria. (El término onda viajera se usa para enfatizar que nos referimos a ondas que se propagan en un medio, caso distinto del de las ondas estacionarias que se considerarán después.

4

Ecuación de onda 24

4tvx

y

donde x, y están en m, t en s, v = 0.50 m/s

Gráfica de y en función del tiempo (instantánea)

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

x (m)

y (m) t = 0

t = 5t = 10

EJEMPLOS

Ejemplo 1: pulso viajero

Cada perfil indica la forma del pulso para el tiempo señalado.

El pulso se mueve hacia la derecha (sentido positivo del eje X) a razón de 0.50 m/s

5

Ecuación de onda 221

2sentxtxy

donde x, y están en m, t en s

Gráfica de y en función del tiempo (instantánea)

Ejemplo 2: pulso viajero

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

x (m)

y (m)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

t = 0

t = 2

t = 4

Cada perfil indica la forma del pulso

para el tiempo señalado.

Escribamos la ecuación de onda de modo que el grupo x+v·t aparezca explícitamente

2

241

22sen

tx

txy

Este pulso se mueve hacia la izquierda (sentido negativo del eje X) a razón de 0.50 m/s. Véase que vt = t/2.

EJEMPLOS / 2

6

Onda armónica moviéndose hacia la derecha

tvxAy 2sin

y

x

Ecuación de onda

tvxAy 2cos

o

ONDAS ARMÓNICAS

Podemos elegir cualquiera de las dos formas añadiendo una fase inicial 0 al argumento de la función…

Se dice que una onda es armónica si la forma de onda f es una función seno o coseno. ?

… lo que significa que elegimos el inicio de tiempos a nuestra conveniencia.

Una cosa más

Siempre que una onda armónica se propaga en un medio, cada punto del mismo describe un movimiento armónico.

0xx

Por ejemplo: Si la onda alcanza un máximo en t = 0 y elegimos escribir su ecuación en forma coseno, entonces 0 = 0 y nos queda

2/2sin

tvxAy

002cos

tvxtyx

y

2/0

02cos

tvxAy

Esto describe exactamente la misma onda

tvxAy 2cos

¿Qué hay que hacer para escribir la misma onda usando la ecuación para el seno?

Respuesta:

Recordatorio: cos2/sin cos2/cos sin2/sin

Perfil de onda en t = 0

y depende sólo del tiempo

0xx es una distancia

7Dependencia temporal en x = x0

t

y

Perfil de onda para t = t0

y

x

ONDAS ARMÓNICAS / 2

02cos

tvxAy

Ec. de onda armónica (eligiendo forma coseno)

Velocidad de fase

Espacio Tiempo

Recordatorio: la función coseno es periódica, verificando que.

Las ondas armónicas exhiben doble periodicidad

Ttftf

Periodo

02cos

tvxAy

Fase

Amplitud

Fase inicial

Desplazamiento

1tt

10 , txy

2tt

20 , txy

T

T

espacio

tiempo

Valle

Cresta

A

-A

01, txy

1xx

02 , txy

2xx

Puntos en fase

Longitud de onda

Period

Foto instantánea Gráfica posición / tiempo

8

(s) t2

2(m) x

ONDAS ARMÓNICAS / 3

Ec. de onda armónica (eligiendo forma coseno)

Desplazamiento : valor actual de la magnitud y, dependiente de espacio y tiempo. Su valor máximo es la amplitud A. Longitud de onda : distancia entre dos puntos consecutivos cuya diferencia de fase es 2. . Número de ondas k: número de ondas contenido en una vuelta completa (2 radianes). A veces se le llama número de ondas angular o número de ondas circular.

m 3/2 1-m 3

3/222

k

Unidades S.I.: rad/m, pero a menudo se indica solo m-1.

1st onda 2nd onda 3rd onda

Periodo T: tiempo que tarda la fase de la onda armónica en aumentar 2 radianes.

Frequencia f: inversa del periodo. La frecuencia nos dice el número de oscilaciones por unidad de tiempo. Unidades S.I.: s-1 (1 s-1 = 1 Hz).

Frecuencia angular : número de oscilaciones en un intervalo de fase de 2 radianes.

2

k

fT

22

Tf 1

La velocidad de fase está dada porkT

v

02cos

tvxAy

Velocidad de fase

Espacio Tiempo

Amplitud

Fase inicial

Desplazamiento

02cos

tvxAy

Fase

En función del número de ondas y de la frecuencia angular, la ecuación de onda se escribe como

txkAy cos rad/s 42

THz 21

Tf

s 2/T

9

ONDAS ARMÓNICAS / 4

txkAy cos La ecuación describe una onda plana

Frentes de ondaCada punto x = cte describe un movimiento armónico simple

Y

tCTEAy cos

X

tAy cos

10

Onda armónica txy cos

Ejemplo 3: onda armónica viajera

donde x, y están en m, t en s

Comparar con

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1,2

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

x (m)

y (m)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1,2

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

t = 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1,2

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

t = 2

t = 1

Hz s 211 1-

Tf

s 2T

m 2

EJEMPLOS / 3

Esta onda se mueve hacia la derecha (sentido positivo del eje X) con una velocidad de 1.00 m/s

m/s 1m 1

rad/s 11-

kv

txkAy cos 2m 1 1- k

T 2rad/s 1

m 1A m/s 1m 2m 2

Tv

11

Onda armónica txtxy 2sin2cos

Ejemplo 4

donde x, y están en m, t en s

EJEMPLOS / 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8-1,8-1,6-1,4-1,2-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,01,21,41,61,8

x (m)

y (m)

0 1 2 3 4 5 6 7 8-1,8-1,6-1,4-1,2-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,01,21,41,61,8

0 1 2 3 4 5 6 7 8-1,8-1,6-1,4-1,2-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,01,21,41,61,8

2t0t 4t

Esta onda se mueve hacia la derecha (sentido positivo del eje X) con una velocidad de 0.50 m/s

Número de ondas y frecuencia

rad/s 1

tkxtkxy sincos

-1m 2k

m 2 k

s 22

T

1-s 211

T

f

m/s 5.0m 2

rad/s 11-

kv

Velocidad de fase

Comparando A = 1 m, y

12

VELOCIDAD DE LAS ONDAS MECÁNICAS

Tv

Bv

Yv

LLAFY

//

relativo toalargamienárea de unidadpor fuerza

VVPB

/ volumendevariación presión

Las ondas mecánicas necesitan un medio material para propagarsey su velocidad de propagación depende de las propiedades del medio.

Fluidos densidad del fluido (kg/m3)Módulo de compresibilidad

Solidos densidad del sólido (kg/m3)Módulo de Young

Cuerda tensa

densidad lineal de masa (kg/m) (N) cuerda la detension T

VELOCIDAD Y ACELERACIÓN DE LAS PARTÍCULAS DEL MEDIO

txkAy cos

txkAtyy sin

yAtxkAtyy cos 222

2

Velocidad máxima Ay max

Aceleración máxima Ay 2

max

13

LAS ONDAS TRANSPORTAN ENERGÍA: ONDAS EN UNA CUERDA

Cada sección de la cuerda (masa m) oscila hacia arriba y abajo debido a la energía transportada por la onda.

Consideremos una onda transversal en una cuerda.Según la onda se propaga en la cuerda, cada punto de la misma describe un movimiento armónico.

x x

mA

A partir de la ecuación de onda, obtenemos para el elemento m en la posición fija x0

txkAy cos 0

Puesto que en un punto fijo k.x0 es constante, podemos escribir que

tAy cos

Esta es la ecuación del movimiento armónico descrito por el elemento de masa m. La frecuencia angular de ese movimiento es .

Recordemos que la energía de una masa m en un movimiento armónico de frecuencia angular y amplitud A está dada por

0x

2 21 AmE

Velocidad máxima

Sea la masa de la cuerda por unidad de longitud x xm

xAE 21 22

tvx

tvAE 21 22

Potencia transmitida por la onda

21 22 vA

tEE

Unidades: Julio/s = watio

14

TRANSMISIÓN DE INFORMACIÓN

Onda senoidal

AM

FM

15

EL SONIDO

Sistema mecánico vibrante. Variaciones de densidad en el medio

Frecuencia de vibración característica(depende del sistema)

Onda mecánica. Transporte de energía

PP

Mayor amplitud de vibración

Menor amplitud de vibración

A

A

16

330

335

340

345

350

355

360

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Velocidad del sonido en el aire en funcion de la temperatura

v (m/s)

T (C)

Figura 1

EL SONIDO / 2

Máximos de presión

Mínimos de presión

ONDAS DE PRESIÓN

La velocidad del sonido aumenta cuando aumenta la rigidez del medio.

Sólidos

Líquidos

Gases

Velo

cida

d de

l son

ido

17

LAS ONDAS TRANSPORTAN ENERGÍA: ONDAS SONORAS

En el sonido la vibración de las partículas ocurre en la misma dirección de la transmisión de la onda: son ondas longitudinales. A la vibración de las partículas del medio les corresponden desplazamientos s(x,t) cuyo valor máximo llamaremos aquí s0:

2/ cos , 0 txkstxsEn la transmisión del sonido, la masa vibrando en cada punto será la que corresponda al volumen elemental V que contiene a dicho punto, esto es m = ρ V. La energía asociada con esta vibración es:

A tales desplazamientos les corresponden variaciones de presión alrededor de un valor de equilibrio p0, que se encuentran desfasadas /2 rad respecto a ellos

txkptxp cos , 0

donde 00 svp 22

0 21 smE 22

0 21 sV

En términos de energía por unidad de volumen

220

21 s

VE

Energía movimiento armónico

18

INTENSIDAD DE LAS ONDAS: APLICACIÓN AL SONIDO

Para una fuente que emite ondas en todas direcciones, la energía se distribuye uniformemente en una superficie esférica A, de radio r. La intensidad de una onda, I, es la potencia por unidad de área, o energía por unidad de tiempo y unidad de área, que incide perpendicularmente a la dirección de propagación

AEI

Frentes de ondaRayos

Fuente

rAtV

EVVt

EtEE

r

vAVE

trA

VEE

vVE

AEI

2

1 21 2

0220 v

pvsI

Como la energía por unidad de volumen es

220

21 s

VE

00 svp v

ps

00

19

NIVELES

• Al definir un nivel es preciso indicar la base del logaritmo, la cantidad de referencia y el tipo de nivel (por ejemplo, nivel de presión sonora, nivel de potencia sonora o nivel de intensidad)

• Un NIVEL es el logaritmo de la razón de una cantidad dada respecto de una cantidad de referencia del mismo tipo.

010log10

WWLW

Potencia de referencia: W0 = 10-12 W)120log10(10

log10 1210

WWLW

Nivel de potencia sonora: Emisión de sonido por una fuente

010log10

IILI

Intensidad de referencia: I0 = 10-12 w/m2

• Umbral de audición: 10-12 w/m2 (0 dB)• Umbral de dolor: 1 w/m2 (120 dB)

Nivel de intensidad sonora: Recepción del sonido de una fuente

)120log10(10

log10 1210

IILI

20

010log10

IILI

0102

2log10IIL I 2log10log10 10

010

II dB 33log10

010

IL

II

NIVELES: EJEMPLO

a) Si se dobla la intensidad de un sonido, ¿qué variación sufre el nivel de intensidad?b) Si se multiplica por 10 la intensidad de un sonido, ¿qué variación sufre el nivel de intensidad?

Se dobla la intensidad

01010

10log10I

IL I 10log10log10 100

10

II dB 1010log10

010

IL

II

Se multiplica por 10 la intensidad

21

EL ÓRGANO DEL OÍDO

22

UMBRALES de AUDICIÓN: MAF y MAP. SENSIBILIDAD DEL OÍDO A DISTINTAS FRECUENCIAS

UMBRAL DE MÍNIMO CAMPO AUDIBLE (MAF)Es el nivel de presión sonora del umbral de audición en jóvenes adultos con audición normal, medido en un campo libre (es decir, aquel campo de sonido en que la onda sonora se propaga a partir de la fuente sin efectos apreciables de límites ni obstáculos).Se determina para tonos puros, con el oyente frente a la fuente, y escuchando con ambos oídos.UMBRAL DE MÍNIMA PRESIÓN AUDIBLE (MAP)Es el nivel de presión sonora del umbral de audición en jóvenes adultos con audición normal, medido mediante la exposición de un oído al sonido a través de auriculares (la mayoría de las medidas de umbrales se llevan a cabo con auriculares, por ejemplo en audiometrías).

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

10 100 1000 104

Area de sensibilidad auditiva

MAF ISO

MAP ANSI

Frecuencia (Hz)

dB

Umbral de malestar Umbral de dolor

23

Consiste en que la frecuencia de la onda emitida por una fuente tiene diferente valor para un receptor que esté en movimiento relativo respecto a la fuente. Es decir, si fuente de la onda y receptor se mueven uno respecto de otro, la frecuencia que medirá el receptor no es la misma que la originada en la fuente. Si el movimiento relativo es de acercamiento, la frecuencia que mide el receptor es mayor; si se alejan la frecuencia es menor.

EFECTO DOPPLER

Fuente y receptor en reposo Fuente moviéndose hacia el receptor

Las sucesivas ondas alcanzan al receptor en intervalos de tiempo menores que el intervalo con el que son emitidas por la fuente, luego la frecuencia que percibe el receptor es mayor que la frecuencia de emisión.

Fuente alejándose del receptor

Sucesivas ondas emitidas en intervalos de tiempo iguales

24

EFECTO DOPPLER (2)

ss

r fuv

vf

v velocidad de la onda

fr frecuencia que mide el receptor

fs frecuencia de la fuente

Subíndice s (fuente)

Subíndice r (receptor)

Alejamiento: signo +Acercamiento: signo

us velocidad de la fuente

Ejemplo. Un tren pasa por una estación a una velocidad de 90 km por hora. La frecuencia del silbato del tren es 1320 Hz. ¿Qué frecuencia percibirá una persona en el andén de la estación cuando el tren se acerca y cuando el tren se aleja? Suponemos que la velocidad del sonido es de 340 m/s.

m/s 25km/h 90 v

rfsf

su

rf

Hz 8.1424132025340

340

rfAcercándose

Hz 6.1229132025340

340

rfAlejándose

25Galaxia de Andrómeda

Galaxia de Pegaso

EFECTO DOPPLER (3)

El desplazamiento al rojo

26

ONDAS ESTACIONARIASUna onda estacionaria es el resultado de la superposición de dos ondas armónicas de iguales amplitudes y frecuencias que se propagan en sentidos opuestos a través de un medio.

Pero una onda estacionaria NO ES UNA ONDA VIAJERA, porque su ecuación no contiene términos de la forma (k x - t).

Ejemplo sencillo de formación de ondas estacionarias: una onda viajera transversal que se propaga hacia la derecha () en una cuerda tensa fija por sus extremos. Esta onda se refleja en el extremo derecho y da lugar a una nueva onda que se propaga hacia la izquierda (). Su combinación puede formar ondas estacionarias.

Onda incidente, direccion (): )cos(1 tkxAy

Cuando la onda viajera viajando hacia la derecha se refleja en el extremo, su fase cambia radianes (se invierte).

Onda reflejada, direccion (): )cos(2 tkxAyT

fk 22 2

)cos(sin)sin(cos)cos()cos(2 tkxAtkxAtkxAtkxAy

)cos(1 tkxAy

)cos(2 tkxAy

tkxAtkxA sinsincoscos

tkxAtkxA sinsincoscos

tkxAtkxAtkxAyyy sinsin2)cos()cos(21

Cada punto de la cuerda tensa vibra describiendo un movimiento armónico de amplitud 2A sen kx: la amplitud de esta vibración depende de la posición, pero no del tiempo, pues el grupo kx-t no aparece. No es una onda viajera.

27

Como los extremos de la cuerda están fijos, la amplitud de vibración de tales puntos debe ser nula. Si L es la longitud de la cuerda, las siguientes condiciones se deben verificar en todo momento:

¿Puede cualquier par de ondas incidentes y reflejadas dar lugar a ondas estacionarias en una cuerda, independientemente de su frecuencia y número de ondas?

NO!

00sin20

Ayx

0sin2

kLAyLx

nL

22nL

La igualdad L = n/2 significa que sólo aparecerán ondas estacionarias cuando la longitud de la cuerda L sea un múltiplo entero de media longitud de onda.

T

Lnfn 2

nL

n2

ONDAS ESTACIONARIAS / 2

tkxAyyy sinsin221

,...3,2,1nnkL

Para una longitud L dada las ondas estacionarias sólo aparecen si la frecuencia cumple que

nL

n2

Lvnfn 2

A partir de la relación entre frecuencia y longitud de onda f = v/, donde v es la velocidad de propagación,

nn

vf

Tv La velocidad es ...3 ,2 ,1n

n = 1 f1 frecuencia fundamental

n > 1 fn armónicos superiores

Nod0Nodo Nodo Nodo Nodo

Anti-nodo Anti-nodo Anti-nodo Anti-nodo

Ejemplo:4o armónico

n = 4n+1 nodosn antinodos

28

0 1 2 3 4 5 6

0

0 1 2 3

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

Onda estacionaria en una cuerda

7th ARMÓNICO

Pesas para tensar la cuerda

n = 1 f1 Frecuencia fundamental

n = 2 f2 2º armónico

n = 3 f3 3er armónico

ONDAS ESTACIONARIAS / 3

29

ONDAS ESTACIONARIAS / EJEMPLO

Dos ondas viajeras de 40 Hz se propagan en sentidos opuestos a través de una cuerda tensa de 3 m de longitud dando lugar al 4º armónico de una onda estacionaria. La densidad lineal de masa de la cuerda es 510-3 kg/m.

nn

vf

Tv

m 5.14322

4

nL

n

4o armónico n = 4 de L = n/2 se obtiene

a) Calcular la tensión de la cuerda

m/s 605.14044 fv

N 1860105 232 vT

b) La amplitud de los antinodos es

4 sinsin2 ntxkAy nnn

3.25 cm. Escribir la ecuación de este armónico de la onda estacionaria

1-

44 m

5.122

k

rad/s 80 2 nn f

cm 25.32 A

(cm) 80sin 5.1

2sin25.3 txy

c) Calcular la frecuencia fundamental.

11

vf

m 61

321

La velocidad de propagación es constante, y la frecuencia fundamental cumple que

Hz 106

60

11

vf (Todos los armónicos son múltiplos enteros de la frec. fundamental, luego f4 = 4 f1)